LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
-
Upload
jael-aranda-moo -
Category
Documents
-
view
251 -
download
2
Transcript of LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
1/173
SECRETARIA DE EDUCACION PBLICA
TECNOLGICO NACIONAL DE MXICO
INSTITUTO TECNOLGICO DE MRIDA
INFORME FINAL DE AO SABTICO
Elaboracin del libro de texto:
ANLISIS ESTRUCTURAL
Elaborado por: Ral Mauricio Estrada Sosa
Mrida, Yucatn, Mxico Julio de 2015
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
2/173
NDICE
1. Deflexiones por flexin 1
1.1 Ecuacin diferencial de la curva elstica 3
1.2 Mtodo de doble integracin 6
1.3 Mtodo de rea Momento 15
1.4 Mtodo de la viga conjugada 27
2.Anlisis de cables y arcos 382.1 Ecuacin general de cables 40
2.2 Anlisis de arcos de tres articulaciones, clculo de reacciones, diagramas de
elementos mecnicos 59
3. Mtodos energticos 68
3.1Introduccin 69
3.2Trabajo real 85
3.3Trabajo virtual 923.4Primer teorema de Castigliano 134
3.5Segundo teorema de Castigliano 136
3.6Teoremas de Maxwell y Betti 146
4. Lneas de influencia 151
4.1Introduccin 152
4.2Definicin y propiedades de la lnea de influencia 153
4.3Mtodo de Muller-Breslau aplicado a vigas simples 154
4.4Serie de sobrecargas aisladas 162
Bibliografa 171
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
3/173
1
1. DEFLEXIONES POR FLEXION
COMPETENCIA
Comprender como se generan las deflexiones por flexin.
Comprender la ecuacin diferencial de la curva elstica.
Determinar deflexiones elsticas por el mtodo de doble integracin y dos
importantes mtodos geomtricos: Los teoremas del momento de rea y la
viga conjugada.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Construir un mapa de conceptos de la ecuacin diferencial de una barra
sujeta a flexin y los mtodos de solucin, indicando las diferencias entre
stos.
Construir un mapa mental de los diferentes tipos de apoyos en arcos, vigas,
marcos y armaduras.
A travs de un esquema grfico indicar las hiptesis fundamentales de los
mtodos geomtricos as como su interpretacin para aplicarlos en la
solucin de problemas.
Resolver problemas propuestos en el aula en grupos pequeos.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno ser capaz de entender cmo se comportan las diferentes
estructuras y las deflexiones que se generan en ella. El alumno ser capaz de entender cmo se relaciona la curva elstica con
las deformaciones de una viga y tendr la habilidad de identificar las
relaciones entre la ecuacin diferencial de la elstica y la primera y
segunda derivada de una funcin.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
4/173
2
El alumno desarrollara la habilidad para resolver problema de clculo de
deflexiones por los mtodos de Doble Integracin, rea Momento y Viga
Conjugada.
A travs de la asimilacin de todos los conocimientos de este captulo el
alumno desarrollar en su persona la capacidad de solucionar problemas
de clculo de deflexiones en estructuras que se emplean en obras de
Ingeniera Civil.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
5/173
3
1. Deflexiones por Flexin.
Las deflexiones en estructuras pueden ser provocadas por varios factores, como las
cargas, la temperatura, los errores de fabricacin o los asentamientos de los
apoyos. Durante el diseo deben limitarse la magnitud de las deflexiones para
garantizar la estabilidad e integridad de las cubiertas o techos, evitar el
agrietamiento o dao a elementos del tipo no estructural adjuntos a la estructura,
como falsos plafones, cancelera de aluminio y vidrio entre otros. Adems una
estructura no debe presentar vibraciones excesivas.
Las deformaciones que se considerarn en este texto solo se aplican a estructuras
que se comportan en el rango elstico del material, es decir tienen una respuesta
linealmente elstica. En estas condiciones una estructura que se deforma volver a
su posicin original no deformada al retirar las cargas aplicadas a la misma. La
deflexin en una estructura la causan sus cargas internas, como la fuerza axial, la
fuerza cortante, el momento flexionante y el momento torsionante.
Las deflexiones pueden ser lineales o angulares, a las primeras se les conocen
como las deformaciones verticales y horizontales en una estructura y a las segundas
como giros o pendientes en puntos especficos de la estructura.
1.1 Ecuacin Diferencial de la Curva Elstica.
Para comenzar este tema se debe recordar la ecuacin deducida en Mecnica de
Materiales, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el
momento flector en una viga sometida a flexin pura:
(1-1)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
6/173
4
Donde:
= es el radio de curvatura en un punto especfico de la curva elstica. (1/se
conoce como la curvatura).
E = el mdulo de elasticidad del material del que se compone la viga.
I = el momento de inercia de la seccin transversal de la viga.
M(x) = el momento flector al que est sometida la misma en el punto donde debe
determinarse
Observemos que este ltimo trmino se ha designado como dependiente de la
longitud medida desde un extremo de la viga (x).
Para deducir la ecuacin de la elstica es necesario recordar del clculo elemental,
que el radio de curvatura de una curva plana en un punto P(x, y) puede
determinarse mediante la expresin:
/+/
Donde, dada la relacin y = f(x):
(1-2)
Corresponde a la primeraderivada de la funcin
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
7/173
5
Como las deflexiones son muy pequeas, podemos despreciar el trmino relativo
a la primera derivada; obtenemos entonces que:
Esta es una ecuacin diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el
comportamiento de la curva elstica, la cual describe las deflexiones que
experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.
(1-3)
Corresponde a la segundaderivada de la funcin
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
8/173
6
1.2 Mtodo de Doble integracin.
Es el ms general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi
cualquier combinacin de cargas y condiciones de apoyo en vigas estticamente
determinadas e indeterminadas.
Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza
cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente
y deflexin de una viga por medio del clculo integral.
El mtodo de doble integracin produce ecuaciones para la pendiente y la deflexin
en toda la viga y permite la determinacin directa del punto de mxima deflexin.
Recordando la ecuacin diferencial de la elstica:
El producto EIse conoce como la rigidez a flexin y en caso de que vare a lo largo
de la viga, como es el caso de una viga de seccin transversal variable, debe
expresarse en funcin de xantes de integrar la ecuacin diferencial. Sin embargo,
para una viga prismtica, que es el caso considerado, la rigidez a la flexin es
constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuacin por el mdulo de
rigidez e integrar respecto a x. Planteamos:
(1-4)
(1-5)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
9/173
7
Donde C1 es una constante de integracin que depende de las condiciones de
frontera, como se explicar ms adelante.
Como la variacin de las deflexiones es muy pequea, es satisfactoria la
aproximacin:
De modo que con la expresin anterior se puede determinar la inclinacin de la recta
tangente a la curva de la elstica para cualquier longitud xde la viga.
Integrando nuevamente en ambos lados de la expresin anterior, tenemos:
Mediante esta expresin podemos conseguir la deflexin para cualquier distancia
xmedida desde un extremo de la viga.
(1-6)
(1-7)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
10/173
8
El trmino C2es una constante de integracin que, al igual que C1, depende de
las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse
la deflexin y/o el ngulo de deflexin en algn(os) punto(s) de la viga.
Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta informacin.
En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por
ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
Del apoyo en Apuede establecerse:x = LA y = 0
Y, debido al apoyo en B :x = LB y = 0
Debido al empotramiento A:x = LA y = 0
x = LA = 0
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
11/173
9
Ejemplo. 1.1
Calcular las expresiones para la pendiente y la deflexin a lo largo de la viga y el
valor de la deflexin mxima de la viga mostrada en la figura 1._
Curva elstica
1 2 0 2 Integrando obtenemos la ecuacin la ecuacin de la pendiente a lo largo de la
viga.
2 0 2
10 23 1Integrando nuevamente obtenemos la ecuacin de la deflexin a lo largo de la
viga.
103 16 1 2
4T/m
10m
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
12/173
10
Condiciones de frontera
y=0 Cuando: x=0
0 100
3 2
120
102
Entonces: C2=0
Por simetra en la carga la deflexin mxima se encuentra en el centro del claro de
la viga, por lo tanto:
Cuando: x=5m ; 0
Sustituyendo en la ecuacin de la pendiente:
0 105 235 11166.67
La ecuacin de la pendiente queda.
103
23 166.67
Y la Ecuacin de la deflexin:
103 16 166.67
La deflexin mxima cuando x=5.
521
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
13/173
11
Para Facilitar la solucin de problemas de clculo de deflexiones en vigas, cuando
se aplican varias cargas a la misma, es conveniente trabajar con las funciones de
singularidad estudiadas en mecnica de materiales.
En los siguientes ejemplos se ilustra el manejo de mtodo de doble integracintrabajando con las funciones de singularidad.
Ejemplo 1.2
Usando el mtodo de doble integracin determinar la pendiente en A y el
desplazamiento en C. es constante.
Curva elstica
1
4 4 2 4 6
2 2 2 2
A BC
4T 4T
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
14/173
12
Integrando, obtenemos la ecuacin de la pendiente
4 4 2 4 6
2 4 22 4 62 1Integrando nuevamente obtenemos la ecuacin de la deflexin a lo largo de la
viga.
23 2 2
3 2 6
3 1 2Condiciones de frontera
y=0 Cuando x=0
0 203 20 2
3 20 6
3 102Entonces: C2=0
La deflexin mxima se encuentra en el centro del claro de la viga:
Cuando x=4 ; 0Sustituyendo en la ecuacin de la pendiente.
0 24 24 2 24 6 1 1 3 2 8 2 4
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
15/173
13
La ecuacin de la pendiente queda:
2 2 2 2 6 24
La pendiente en A es: Cuando x=0
24
EI desplazamiento en C es:
243 24 2
3 24 6
3 244
42.665.3396
58.67
Ejemplo 1.3
Usando el mtodo de doble integracin determina la deflexin en el extremo delvolado y en el centro del claro de la viga que se muestra en la figura. EI es
constante a todo lo largo de la misma.
3T/m
2m2m 6m
d
b c
a+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
16/173
14
Curva Elstica
1
Ecuacin de momento
32 15 2 15 8 0 1 0Integrando dos veces obtenemos la ecuacin de la deflexin.
3
6 15 2
2 15 8
2 1
3
24 15 2
6 15 8
6 1 2Condiciones de frontera
y=0 Cuando: x=2m
0 3224 0 0 12 2 2 2 1 2 1 1
Por simetra en la carga, tenemos:
0 Cuando x=5mSustituyendo en la primera integracin
0 356 155 2
2 0 1
15 2Sustituir en (1)
2 2 25 12
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
17/173
15
La ecuacin de la deflexin queda:
8 5 2
2 5 8
6 5 1 2
La deflexin en los volados es cuando x=0
0 0 0 0 1 2 12
La deflexin al centro del claro de la viga es cuando x=5m.
5
8 55 2
2 0 5 5 1 2
23.6
1.3 Mtodo del rea Momento
El mtodo de rea-momento proporciona un procedimiento semigrfico para
encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos especficos sobre la curva
elstica de la viga.
La aplicacin de este mtodo requiere el clculo de reas asociadas con el
diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas
geomtricas sencillas, el mtodo resulta muy fcil de usar. Normalmente este es el
caso cuando la viga est cargada con fuerzas y momentos concentrados.
El mtodo es bastante rpido y simple, pero en general se usa para calcular ladeflexin de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado
nivel de comprensin del principio de momentos y de las tcnicas para preparar
diagramas de momento flector.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
18/173
16
La figura muestra una curva elstica en la que se han seleccionado dos puntos
cualquiera (Ay B) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.
Recordando que las deflexiones son muy pequeas, podemos plantear la ecuacin
de la elstica de la forma:
Si integramos la expresin anterior, obtenemos:
Planteando que:
/
Puede observarse que B/A
es
el ngulo que forma la tangenteque pasa por e l punto Brespecto a la que pasa por A.De forma anloga se define elngulo
A/B.
Es importante notar que ambostienen la misma magnitud, y semiden en sentido contrario.
(1-8)
(1-9)
(1-10)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
19/173
17
Podemos finalmente rescribir la expresin anterior de la forma:
/
/ Esta ecuacin es la base del primer teorema del mtodo de rea de momento:
Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la
aproximacin:
(1-11)
(1-12)
El ngulo entre dosrectas tangentes a dos
puntos cualquiersobre la curva elsticaes igual al rea bajo eldiagrama M/(EI)
entre esos dos puntos
(1-13)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
20/173
18
Donde des el ngulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados
una distancia dx y xes la distancia medida desde el punto Ahasta el elemento
diferencial en cuestin. Al sustituir dqueda:
Finalmente, al integrar la expresin anterior queda:
/ Lo cual puede rescribirse de la forma:
/
(1-14)
(1-15)
(1-16)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
21/173
19
Donde xAes la distancia (medida sobre la direccin x) que existe entre el punto
A y el centroide del rea bajo la curva ME/I.
La ecuacin 1.3.9 supone la base del segundo teorema de rea momento:
La desviacin vertical de la tangente en un punto A sobre la curva elstica
con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es igual al momento de
rea bajo el diagrama ME/I entre los puntos A y B. Este momento se calcula
respecto al punto A donde va a determinarse la desviacin vertical tA/B .
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
22/173
20
De forma anloga, podra hallarse la desviacin del punto Brespecto a la tangente
que pasa por A. Para ello, se calculara el momento de rea bajo el diagrama
ME/Irespecto al punto B, es decir:
/ Donde xB es la distancia que existe desde el punto Bhasta el centroide de la
figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuacin es positivo, el
punto B (en el que se calcula la deflexin) se encuentra por encima de la recta
tangente que pasa por el A(y viceversa).
Para comprender la aplicacin de los dos teoremas de rea de momento,
iniciaremos con ejemplos con bajo grado de dificultad y posteriormente
aumentaremos este.
(1-17)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
23/173
21
Ejemplo: 1.4
Aplicando los teoremas de rea de momento, calcular la pendiente de la elstica en
los apoyos y en el centro del claro de la siguiente viga.
EI=Constante
Ecuacin de Momento Flexionante
2 0 2Diagrama de Momento Flexionante
Aplicando el primer teorema entre A y B y considerando C=0 en B
Calculando el rea bajo la curva
4 2
12
16
ba
P
L 2 L 2
+
4
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
24/173
22
Comprobando por medio de rea de integracin.
2 0
1 2
2 2 .
16
Aplicando el segundo teorema obtenemos la deflexin.
Tomando momentos del rea bajo la curva entre 0 y L/2 con respecto al punto a.
/ Comprobando por medio de rea de integracin x.
1 2
1
2
/
3 . 48
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
25/173
23
Ejemplo: 1.5
Tomando la viga del ejemplo 1.1, aplicando los teoremas del rea de momento,
determina la pendiente en a y la deflexin mxima.
Ecuacin de Momento Flexionante.
2 0 2 0 1 0 El momento al centro del claro lo obtenemos susustituyendo x=L/2
8 410
8 5 0 Aplicando el primer teorema, 0El rea bajo la curva en el tramo de 0 a 5m esigual a la pendiente en (a).
23 5 50 166.67 Este valor corresponde al obtenido por el mtodo de doble integracin.
Aplicando integrales:
1 202 20
2 .
2
3 .
ba
10m
4T/m
EI=Constante
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
26/173
24
25083.33 166.67
Aplicando el segundo teorema, encontramos la deflexin mxima que por simetrase encuentra en el centro del claro.
Tomando momentos del rea bajo la curva entre 0 y 5m, con respecto al punto (a).
166.67 58 5
521
Aplicando integrales
1 202 1 20 2
20 3
2
4
521
Como se mencion al inicio de este tema el mtodo de rea-momento es un
procedimiento Semigrfico y se utiliza para resolver problemas en los cuales la
carga esta aplicada en forma asimtrica.
En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento.
Ejemplo: 1.6
Utilizando el mtodo de reamomento, Calcula la pendiente de la elstica en los
puntos a y m, as como la deflexin en m. El punto m se ubica a 3m del punto (a).
4m2m
30T
EI=Constante
a
b
c
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
27/173
25
Considerando que las pendientes son pequeas:
As: Aplicando el segundo teorema de rea de momentos.
[40 42 2
43] [
40
22
23 2]
30T
20T10T
30 EI
40 EI
M EI
3m
ac
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
28/173
26
320
Por lo tanto:
6 3206
Del dibujo de la elstica, tenemos:
Aplicando el primer teorema del rea de momento
30 32 45 As:
3206 45
8.33
Del dibujo de la elstica deducimos que.
3
Aplicando el segundo teorema del rea de momentos.
30 32 1
45
Finalmente tenemos
3 3206 45
115
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
29/173
27
1.4 Mtodo de la Viga Conjugada.
Fundamento terico:
Derivando cuatro veces la ecuacin de la elstica:
EI y=Deformacin (ordenada de la elstica)
EI= pendiente
EI
= Momento = MEI
= Fuerza Cortante = V
EI= Carga = q
La relacin entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que
existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarseel mtodo de rea de momentos para determinar el momento flector, partiendo del
diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las
ordenadas a partir del diagrama de momentos.
La analoga entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y
entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que stas ltimas se puedan
establecer con los mtodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para
calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hayque suponer que la viga est cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama
de M/EI correspondiente a dichas cargas
.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
30/173
28
Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula
la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se
corresponden con la pendiente y la ordenada de la elstica en los mismos puntos
de la viga inicial. A este mtodo se le denomina Mtodo de la Viga Conjugada.
Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados
para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:
Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia.
Ordenada real = Momento Flector Ficticio.
Por lo anterior podemos concluir:
1. El cortante en cualquier seccin de la viga conjugada es el giro en la viga
real en dicha seccin.
2. El momento flector en una seccin de la viga conjugada es la flecha en la
viga real en dicha seccin.
3.
Planteamiento del mtodo de la viga conjugada.
Se denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los diagramas de
momentos de las cargas reales dadas. La figura muestra un ejemplo de este tipo de
viga
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
31/173
29
P M/EI
VIGA REAL VIGA CONJUGADA
Relaciones entre la viga real y la viga conjugada:
a. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.
b. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real
entre EI.
c. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real.
d. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real.e. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.
f. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada.
g. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.
h. Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacin
en la viga conjugada.
Relaciones entre los apoyos de la viga real y de la viga conjugada
a b a b
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
32/173
30
VIGA REAL VIGA CONJUGADA NOTAS
1.- Apoyo Simple
1.- Apoyo Simple
Un apoyo simple real no
tiene flecha pero si tiene
pendiente y por tanto elconjugado no tiene
momento pero si tiene
cortante; equivale a un
apoyo simple.
2.- Apoyo Empotrado
2.- Sin Apoyo Libre
Un apoyo empotrado no
tiene flecha ni pendiente
y por tanto, el conjugadono tiene momento ni
cortante; equivale a un
voladizo.
3.-Voladizo
3.- Apoyo Empotrado
El extremo libre tiene
pendiente y flecha y por
tanto el conjugado tiene
cortante y momentoequivalente a un
empotramiento.
4.- Apoyo Interior 4.-Apoyo Articulado o
Pasador
Un apoyo interior tiene
pendiente pero no tiene
flecha y por tanto tiene
cortante pero no tiene
momento; equivale auna articulacin.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
33/173
31
Concluyendo a continuacin se muestra un cuadro en el que se muestra la
equivalencia entre la viga real y la viga conjugada:
VIGA REAL VIGA CONJUGADA
Momento M Carga M/EI
ngulo Cortante Q
Flecha y Momento M
El diagrama de momentos flexionante equivale a la carga aplicada en la viga
conjugada. Si queremos obtener la pendiente o giro en cualquier punto de la viga
real solo tenemos que calcular el cortante de la viga conjugada en dicho punto, en
forma similar para obtener la flecha en cualquier punto de la viga real, basta con
calcular el valor del momento flexionante en la viga conjugada.
Ejemplo 1.7
Utilizando el mtodo de la viga conjugada, calcula la pendiente en a y la deflexin
mxima.
4m 4m
a b
c
6t
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
34/173
32
Solucin:
3Diagrama de momento flexionante
1 2
Viga conjugada
Por simetra:
1 2 8
2
1
2
24
La pendiente en a en la viga real es igual a la constante en a de la viga conjugada,
por lo tanto:
24 La flecha mxima en la viga real es igual al valor del momento flexionante en el
centro del claro de la viga conjugada:
24 4 12 42 43 64
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
35/173
33
Entonces la deflexin mxima en la viga es:
64
Ejemplo 1.8
Mediante el mtodo de la viga conjugada calcular la deflexin mxima y el sentido
de la misma
0
2 0 2 0 0 0
Diagrama de Momento Flexionante
2m 4m 3m
20T-m20T-m
bac d
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
36/173
34
Viga conjugada
0
20 4 4 9 0
35.56
0
20 4 35.56
44.44
Sabemos que cuando 0 el momento es mximo, por lo tanto 0
44.44 20 2
2 0 2 6 4.21
Ecuacin de momento
44.44 20 2
2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
37/173
35
Sustituyendo x=4.21
138.25
Debido a que el momento es positivo la carga en la viga conjugada es hacia arriba,
por lo que el sentido de la deflexin es hacia abajo.
Ejemplo 1.9
Determinar la deflexin en el centro del claro de la viga que se muestra en la figura,
empleada el mtodo de la viga conjugada.
2900
5800 2 1 0/Solucin:
6 8 62 10
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
38/173
36
Diagrama de Momentos Flexionantes
Viga conjugada
Cargas equivalente sobre la viga conjugada tenemos que 2 22
364.8 6.482 100.44
+
3.6
3.6
1.8 1.8
361
432 36
2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
39/173
37
La deflexin al centro del claro en la viga real es igual al momento en dicho punto
en la viga conjugada.
100.44 5 . 4 [64.8 3.63 1.8][64.8 1.80.90] 6.48 1.82 1.83
239.5 Sustituyendo los valores de (I) y (E).
239.510
2102900 4.13
Actividades complementarias para el alumno
Hacer una investigacin de los diferente tipos de estructuras que se utilizan
en edificacin de obra civil, identificando las partes que las componen y
materiales que se emplean para construirlas
Realizar un resumen de los mtodos vistos en este captulo.
Resolver ejercicios extraclase.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
40/173
38
2. ANLISIS DE CABLES Y ARCOS
COMPETENCIA
Comprender el comportamiento y como se determinan las fuerzas que actan
en los cables.
Resolver problemas de estructuras que utilicen cables, determinando las
fuerzas en los mismos.
Comprender el comportamiento de los arcos.
Resolver problemas construyendo diagramas de elementos mecnicos en
arcos de tres articulaciones.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Resolver ejercicios de estructuras en las cuales se empleen cables para la
estabilidad de la misma.
Discutir en clase la diferencia entre el comportamiento de un cable y un arco.
Resolver problemas de arcos de tres articulaciones, formando grupos
pequeos para obtener los elementos mecnicos que actan en ellos, as
como la construccin de los diagramas.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno ser capaz de entender cmo se comportan las diferentes
estructuras en las que se empleen cables y arcos.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
41/173
39
El alumno ser capaz de entender la ventaja de utilizar arcos con tres
articulaciones.
El alumno desarrollar la habilidad para resolver problemas de anlisis de
cables y arcos de tres articulaciones.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
42/173
40
2.1 Ecuacin general de cables
Introduccin.- Los cables son elementos estructurales lineales, es decir las
dimensiones de su seccin son muy pequeas comparadascon su longitud.Tienenla caracterstica de ser sumamente flexibles. Razn por la cual para su estudio no
se considera suresistencia a flexin y se los disea para soportar cargas axiales,
con esfuerzos nicamente de tensin.
Al estar sometidos a un sistema de fuerzas los cables alcanzan el equilibrio
adaptando su forma a la del funicular de cargas. El estudio esttico de estos
sistemas se reduce al estudio de la curva funicular.
Formas de los cables.- Debido que la forma del cable depende de las cargas que
acten en l, para estudiar la forma de un cable debemos distinguir diferentes
acciones que lo solicitan.
En general los cables se encuentran sometidos principalmente a:
- cargas concentradas en diferentes puntos de su extensin
- cargas verticales distribuidas por unidad horizontal de longitud (Ej. peso del tablero
de un puente colgante)
- cargas verticales distribuidas por unidad de longitud del cable (Ej. peso propio delcable)
Cuando un cable sujeto en sus extremos es sometido a cargas concentradas
adopta una forma poligonal:
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
43/173
41
Si el cable soporta una carga distribuida por unidad horizontal de longitud, su
forma es parablica:
Mientras que si est sometido a una fuerza uniformemente distribuida por unidad de
longitud del mismo, toma la forma de catenaria:
Determinacin de las reacciones de vnculo:
Entenderemos como vnculo la condicin impuesta a un punto de permanecer
inmvil o describir una determinada trayectoria, la forma de realizar los vnculos en
la prctica es mediante los apoyos (materializacin fsica de los vnculos).
A continuacin se desarrollar la resolucin de sistemas planos de cables bajo los
tipos de cargas ms frecuentes.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
44/173
42
Para su estudio se adoptaran las siguientes hiptesis:
1. Seccin despreciable. Se considera que el cable posee una dimensin
predominante mucho mayor que los otras dos, por lo que puede ser
idealizado segn una lnea, sin seccin transversal. Tan slo ser necesario
considerar su seccin a efecto de calcular su peso propio en funcin de la
densidad del material que lo compone.
2. Flexibilidad perfecta. El cable no resiste esfuerzos de flexin, y por lo tanto
tampoco de corte. Tan slo resiste esfuerzos axiales
3. Inextensibilidad. Cuando est sometido a traccin, el cable es lo
suficientemente rgido (en direccin longitudinal) como para que se pueda
despreciar su extensibilidad. Por el contrario, sometido a compresin, elcable no ofrece resistencia alguna y se deforma completamente.
Cables sometidos a fuerzas concentradas en diferentes puntos de su
extensin:
Caso general: Fuerzas aplicadas con componentes horizontales y verticales.
En el caso general de un cable sometido a cargas de direcciones arbitrarias, los
puntos de aplicacin de las mismas o vrtices de la poligonal se desplazarn vertical
y horizontalmente hasta alcanzan el equilibrio del sistema. Por la hiptesis de
inextensibilidad que hemos adoptado, el corrimiento de cada uno de los vrtices
estar condicionado por el desplazamiento que experimentan el resto de los
vrtices, puesto que la distancia entre los mismos debe mantenerse invariante.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
45/173
43
Esquema de estudio:
Incgnitas: De cada uno de los tramos rectos del cable se desconoce la tensin
actuante en l y su orientacin.
Si consideramos que actan un nmero n de cargas, tendremos n+1 tramos
rectos y por consiguiente 2n+2 incgnitas.
Ecuaciones: En cada uno de los puntos de aplicacin de cargas se pueden plantear
dos ecuaciones para garantizar el equilibrio nodal de fuerzas (2n ecuaciones). Se
completa el sistema con dos ecuaciones que aseguren que la deformacin del cable
se compatible con las condiciones de vnculo impuestas.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
46/173
44
Planteo del sistema de ecuaciones
Ecuaciones de equilibrio en cada nodo:
0 c o s cos+ +
0 s i n sin+ +
Ecuaciones de compatibilizacin de deformaciones
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
47/173
45
+
= +
=cos
+
= +
= sinLa resolucin de este sistema de ecuaciones nos permitir conocer las tensiones
que actan en cada uno de los tramos del cable y la forma del mismo en el estado
de equilibrio.
El sistema sin embargo presenta una gran complejidad y requiere del uso de
mtodos computacionales para su resolucin, dado que no es lineal y al mismo
tiempo parte de las incgnitas estn afectadas por funciones trigonomtricas.
Si bien las estructuras formadas con cables sometidos a cargas concentradas
presentan en general componentes de fuerzas horizontales, un nmero muy
importante de sistemas se encuentran bajo la accin de cargas concentradas
predominantemente verticales. El estudio de estos casos presenta ciertas
particularidades respecto al planteo que hemos realizado. En principio en muchos
de estos modelos se consideran invariantes las distancias horizontales entre cargas
en vez de las distancias entre puntos de aplicacin de fuerzas. De esta manera para
conocer la forma final del cable basta con conocer solamente las deflexiones oflechas de los puntos de aplicacin de las cargas. Al mismo tiempo, queda libre la
posibilidad de plantear la ecuacin geomtrica en trminos de la flecha que
experimenta algn punto del cable, en vez de hacerlo en funcin de su longitud.
Esta posibilidad permite construir sistemas de ecuaciones de mayor simplicidad de
resolucin.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
48/173
46
A continuacin se procede a analizar estos casos:
1.a Caso particular. Cables sometidos a fuerzas concentradas verticales.
Consideremos el caso de un cable sujetado en los puntos A y B, no necesariamente
ubicados a la misma altura, sobre el que acta un sistema de cargas verticales P1,
P2,..Pn.
Para que el sistema se encuentre en equilibrio, la sumatoria de fuerzas horizontales
debe ser nula. Como todas las cargas son verticales, entonces las componentes
horizontales de las reacciones de vnculo externo debern ser iguales y de sentidos
opuestos.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
49/173
47
0
0
Si ahora cortamos el cable en un punto cualquiera C y ponemos en evidencia las
componentes de la tensin que acta en el mismo, del planteo de la misma ecuacin
de equilibrio surge:
0
0
Entonces resulta, Ra=Rb=Tx=H, donde H es una constante cuya magnitud
representa la componente horizontal
de la tensin actuante en cualquier punto del cable.
Sea la siguiente nomenclatura,
MB = suma de los momentos respecto al punto B de todas las cargas Pi
n
MC = suma de momentos respecto al punto C del cable de todas las cargas Pi
que n actan a su izquierda
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
50/173
48
Tomando momentos respecto al punto extremo B de todas las fuerzas que actan
sobre el cable obtenemos:
H L tan Ray LM B = 0n
De donde podemos despejar el valor de la reaccin de vnculo vertical en A.
Ahora tomando momentos respecto al punto arbitrario C, de todas las fuerzas que
actan en la parte del cable a la izquierda de C obtenemos:
H(x tan - y c) + Ray x - MC = 0n
Reemplazando el valor de Ray, y simplificando se obtiene:
H yC L = x/L MB MC
n n
En el primer miembro tenemos a la constante H por la distancia vertical desde el
punto C del cable a la cuerda AB. El segundo miembro de la ecuacin es igual al
momento flector que se producira en C si se aplicaran las cargas Pi en una viga
apoyada en sus extremos de luz L, y C fuese un punto de esta viga imaginaria,
situado a una distancia x del apoyo izquierdo. De esta expresin se deduce el
siguiente teorema general del cable:
En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto
de la componente horizontal de la tensin que soporta el cable por la distancia
vertical desde ese punto a la cuerda, es igual al momento flector que se producira
en esa seccin si las cargas que soporta el cable actuasen sobre una viga apoyada
en sus extremos, de la misma luz que l.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
51/173
49
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
52/173
50
1.b Cables uniformemente cargados por unidad horizontal de longitud.
Los cables son muy utilizados para soportar el peso de las losas o trabes de puentescon claros muy amplios. Un puente colgante es un ejemplo tpico en el que lacubierta del puente est suspendida del cable por medio de sujetadores espaciadosde manera uniforme.
Planteo de las ecuaciones de equilibrio
Ecuacin de proyeccin horizontal de fuerzas:
Fx = 0 = -T cos (T + T) cos
n
Ecuacin de proyeccin vertical de fuerzas
Fy = 0 = -T sin (T + T)sin - w dx
n
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
53/173
51
Ecuacin de momentos
M = 0 = w dx (dx/2)T cosdy T sindx
n
Si se divide cada una de estas ecuaciones entre dx y se toma el lmite cuando dx,
dy, d y dT tienden a cero, resulta:
0 (2-1)
(2-2) (2-3)
Al Integrar la ecuacin 2-1, donde en x=0, se tiene:
cos (2-4)Lo anterior indica que la componente horizontal de la fuerza en cualquier punto a
lo largo del cable se mantiene constante.
Si se integra la ecuacin la ecuacin 2-2, tomando en cuenta que sin 0enx=0, resulta:
sin (2-5)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
54/173
52
Al dividir la ecuacin 2-5 entre la ecuacin 2-4 se elimina T. Ahora usando la
ecuacin 2-3, es posible obtener la pendiente en cualquier punto.
(2-6)Si se integra por segunda vez con y=0 en x=0, tenemos:
(2-7)La ecuacin anterior es una parbola. La constante
se obtiene estableciendo
condiciones de frontera y=h en x=L.
(2-8)Sustituyendo en la ecuacin 2.2.7
(2-9)Finalmente de la ecuacin (2-4) obtenemos la tensin mxima en el cable queocurre cuando es mxima; es decir cuando x=L.
Por lo tanto a partir de las ecuaciones 2-4 y 2-5.
(2-10)Tambin es posible de la ecuacin 2.2.8 expresar en trminos de :
1 (2-11)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
55/173
53
Hay que destacar que se ha ignorado el peso del cable, el cual es uniforme en toda
la longitud del cable y no a lo largo de su proyeccin horizontal. En realidad, un
cable sometido a su propio peso y libre de cualquier otra carga, tomara la forma de
una curva catenaria. Sin embargo, si la relacin de flecha sobre claro es pequea,
como en el caso de la mayora de las aplicaciones estructurales, esta curva se
aproxima a una forma parablica, como se trat anteriormente.
Ejemplo 2.1
Calcular la tensin en cada segmento de cable que se muestra en la figura, as
como las reacciones en cada apoyo.
Tenemos cuatro reacciones incgnita: Rax, Ray,Rdx, Rdy y tres tensiones
desconocidas, una por cada tramo del cable.
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
56/173
54
Solucin:
Tomando momentos con respecto al apoyo (a) sin involucrar el apoyo (d).
Ma= 0,
1.52.52 2
2.5 5.5 62 164 0
1 2 6 45.6 13.57
Equilibrando el nodo c:
Fx=0
13.571.52.5
Donde . 32.21
8.14
cos32.4 9.62
Analizando en nodo b
Fx=0
9.62cos32.4 0Donde:
2.742 53.87 8.14cos53.87 13.80
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
57/173
55
Equilibrando cada apoyo:
Apoyo a
Fx=0
13.8053.87 08.14
Fy=0
13.8053.87 011.15
Apoyo b
13.5730.96 0
11.63Fy=0
13.530.96 0
6.98
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
58/173
56
Respuestas:
13.579.62
13.808.14
11.15
11.636.98
Ejemplo 2.2
Se solicita determinar la tensin del cable que soporta una viga que tiene una
carga aplicada de 1.3 t/ml.
15m 15m
12m6m
a
bc
x
y
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
59/173
57
En este problema el origen de los ejes coordenados se establece en b, que es el
punto ms bajo del cable, donde la pendiente vale cero.
De la ecuacin 2-7, la ecuacin del cable es:
2 1.32
0.65
Suponiendo que el punto (c) se encuentra a una distancia x, de (b), tenemos:
6 0.65 0.1083
Para el punto a:
12 0.65 30
12 0.65
0.1083 30
12 0.650.1083 301.30.65 30
2 90060
90060 0
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
60/173
58
Resolviendo la cuadrtica:
12.43El valor de es:
0.108312.93 16.72De la ecuacin (2-6)
1.3
16.62 0.078
En el punto a:
3012.43 17.57 0.07817.57 1.37
53.88Aplicando la ecuacin (2-4)
16.72
53.88 28.36En el punto b: x=0
0
16.720 16.72
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
61/173
59
En el punto c:
12.43 0.07812.43 0.9695
44.11
16.7244.11 23.29
2.2 Anlisis de arcos de tres articulaciones, clculo de reacciones,
diagramas de elementos mecnicos.
Una definicin de arco es la siguiente:
El arco es en esencia una estructura comprimida utilizada para cubrir
grandes y pequeos claros, y puede considerarse como uno de los
elementos estructurales bsicos en todo tipo de arquitectura. La forma ideal
de un arco capaz de resistir cargas determinadas por un estado de
compresin simple, pueden hallarse siempre con la forma del polgono
funicular correspondiente invertido.
La palabra funicular refiere a funiculares-cables-traccin. Usamos ahora el trmino,
asociado a arcos, exclusivamente para asociar estos arcos a sus cables simtricos
que podran equilibrar las mismas cargas.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
62/173
60
El arco triarticulado es una estructura isosttica, por lo que es posible resolverla
mediante las ecuaciones de equilibrio de la esttica, consta de una viga curva con
dos apoyos fijos articulados y una tercera articulacin en un punto llamado clave.En la figura 2.2.2 puede verse un arco triarticulado donde los apoyos son los puntos
a, b y la clave el punto c.
Las reacciones en las articulaciones se pueden encontrar aislando los dos
elementos ac y cb, como se indica en la figura 2.2.2, tomando momentos
respecto de a en el elemento ac, y respecto a b en el elemento cb, se obtiene:
0
0
A
C
B
h
Figura 2.2.1
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
63/173
61
Donde:
Es el momento respecto de A de las fuerzas exteriores comprendidas entreA y C, y
Es el momento respecto de B de las fuerzas exteriores entre C y B.Ambos momentos se consideran positivos en sentido antihorario. De las dos
ecuaciones anteriores se obtienen las reacciones en la clave c.
Las reacciones en los apoyos se obtienen del equilibrio de fuerzas horizontal y
vertical de cada tramo:
Figura 2.2.2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
64/173
62
Esfuerzos internos:
Los esfuerzos en el interior del arco se obtienen aislando un tramo ap, donde p es
un punto cualquiera situado entre a y b. El origen del sistema de coordenadas se
sita en a, con lo que las coordenadas de p son x, y, obsrvese la figura 2.2.3.
El momento flector M se obtiene tomando momentos respecto de P.
Donde es el momento respecto de P de las fuerzas exteriores aplicadas entre
A y P. Se considera positivo en sentido antihorario.
Los esfuerzos axial N y cortante Q se obtienen aplicando el equilibrio de fuerzas en
las direcciones X e Y:
0
0
Figura 2.2.3
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
65/173
63
Donde , son las resultantes, segn X e Y, de las fuerzas exterioresaplicadas entre A y P. El valor que se obtiene para el esfuerzo axial es:
( )
EJEMPLO 2.3
En la figura 2.2.4 se muestra un arco triarticulado de forma parablica sujeto a una
carga de 750 kg/ml. Calclese las reacciones en los apoyos y los diagramas de
elementos mecnicos.
2.2.4
La ecuacin de la parbola es:
7.515 7.5225
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
66/173
64
Solucin:
El diagrama de cuerpo libre de todo el arco se muestra en la siguiente figura.
030 22.515 0
11.25Trabajando primero con la parte bc.
+
+
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
67/173
65
011.257.5 11.2515 7.5 0
11.25 011.25
Definiendo el punto d a x=7.5m del punto b
De la ecuacin de la parabla.
7.5225 7.5225 7.51.875
15
225 Sustituyendo para x=1.875m
0 . 5radianes
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
68/173
66
Por lo tanto:
26.57Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el punto d, tenemos:
011.2526.57 26.6 0 1 0
5.6326.57 26.57 02De 1 0.4511.2526.57 0.512.58Sustituyendo Nd en 2
563 0.512.58 26.5726.57 05.630.225.630.890 0
05.633.75 11.251.875 0
0
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
69/173
67
De los resultados obtenidos nos damos cuenta que el arco est sometido solo a
compresin axial, cuyo valor es.
12.58 (Compresin)El diagrama de fuerzas axiales queda:
Actividades complementarias para el alumno
Hacer una investigacin de los diferentes tipos de estructuras en las que se
utilizan arcos.
Realizar un resumen de los mtodos vistos en este captulo.
Resolver ejercicios extraclase.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
70/173
68
3. METODOS ENERGETICOS
COMPETENCIA
Resolver problemas de deflexiones en vigas, marcos y armaduras aplicando
mtodos energticos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Formar grupos de trabajo para que los estudiantes a partir de pre-
concepciones y apoyo del docente se establezca la descripcin de losconceptos de fuerza, trabajo y energa.
Construir un mapa de conceptos de trabajo, energa interna de deformacin
y la relacin entre stos, para elementos sujetos a fuerza axial, cortante y
momento flexionante.
A travs de un esquema grfico el alumno deber indicar los fundamentos
de los mtodos energticos para aplicarlos en la solucin de problemas.
Resolver ejercicios en el aula formando equipos de pocos integrantes, paraobtener desplazamientos lineales y angulares en: vigas estticamente
determinadas, armaduras en un plano y marcos.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno ser capaz de entender y comprender los mtodos energticos
para calcular deflexiones.
El alumno deber adquirir la habilidad para resolver problemas de clculode deflexiones en armaduras, vigas y marcos aplicando mtodos
energticos.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
71/173
69
3.1 Introduccin. En el captulo 1 se utilizaron mtodos semigrficos para calcular
desplazamientos y pendientes. Para estructuras ms complicadas como armaduras
y marcos es conveniente aplicar los mtodos de energa. La mayora de los mtodos
de energa se basan en el principio de la conservacin de la energa, pero antes de
explicar este concepto es conveniente definir los parmetros que debemos tomar
en consideracin en este captulo:
Modelo del material.
Mientras no digamos lo contrario, supondremos que el material del que est
realizada la estructura muestra un comportamiento elstico-lineal hasta la rotura.
Modelos de deformacin.
Mientras no digamos lo contrario, supondremos que consideramos la hiptesis de
pequeas deformaciones.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
72/173
70
Principio de superposicion.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
73/173
71
Energa interna, elstica o de deformacin.
Supongamos que las cargas aplicadas al solido aumentan, progresivamente, desde
cero hasta su valor final de una manera positiva. En ese caso el trabajo W realizado
por todas las cargas que actan sobre el slido quedara almacenado como energa
elstica de deformacin U en el slido y, por lo tanto:
(3.1.1)Trabajo externo y energa de deformacin
La mayora de los mtodos energticos en el clculo de estructuras se basan en el
principio de la conservacin de la energa, que establece que el trabajo realizadopor las fuerzas exteriores que actan sobre un sistema estructural, W e.
Coincide con la energa de deformacin que almacena dicho sistema U i.
Trabajo de una fuerza exterior
(3.1.2)
Cuando la fuerza F seincrementa desde cero hastaun valor final F=P, laelongacin de la Barra resulta
ser :
2 . 12
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
74/173
72
El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un slido es la mitad
de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus
puntos de aplicacin (en las direcciones de la las mismas, por supuesto).
Si entre las cargas aplicadas existiera algn momento, bastara con tener
en cuenta que:
Donde se digiera fuerza se debera decir momento
Donde se digiera desplazamiento se debera decir giro.
Donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se
debera escribir W=M.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
75/173
73
Ejemplos:
12 .
12 .
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
76/173
74
12 || 12 ||
Las reacciones en el empotramiento (fuerzas y momento) no producen trabajo, pues
la seccin sobre la que actan no sufre movimientos.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
77/173
75
La energa de deformacin causada por los diferentes tipos de elementos
mecnicos que se pueden presentar en la estructura se deduce a continuacin:
Deformacin de una rebanada por esfuerzo axial
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
78/173
76
Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a esfuerzo axial?
12 . 12
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
79/173
77
La hiptesis de Navier (flexin)
Una cara de cualquier rebanada, que era plana antes de deformarse la pieza, sigue
permaneciendo plana una vez que la pieza se ha deformado.
Deformacion de una rebanada por momento flexionante
(Compresin) (Traccin)2
2
2
2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
80/173
78
Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a momento flexionante?
12 . 12
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
81/173
79
Deformacin de una rebanada por esfuerzo cortante
|
El rea a cortante depende de la geometra de la seccin y, en general, se puedeescribir como: =/k. Para el caso de una seccin rectangular K=6/5 (para el casode una seccin circular, por ejemplo, K=10/9)
21
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
82/173
80
Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a esfuerzo cortante?
12 . 12
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
83/173
81
| |
Deformacin de una rebanada por momento de torsin
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
84/173
82
Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a momento de torsin?
1
2
.
1
2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
85/173
83
En resumen:
Axial: .
Flexion: .
Cortante: .
Torsin .
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
86/173
84
Qu energa interna se almacena en una pieza cargada en la que aparecen todos
los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza?
12
3.3.3
La variable s del integrado indica que los esfuerzos pueden variar a lo la rgo de la
pieza en funcin del valor de dicha variables.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
87/173
85
3.2 Trabajo real
Definicin de trabajo
Es la cantidad escalar de fuerza que se emplea para desplazar una partcula o
un cuerpo. Es el producto de la fuerza por la distancia que recorre en la misma
direccin del movimiento.
Trabajo=Fuerza X Distancia W=Fd cos
Energa
La energa es la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo. Todos los cuerpos
por el hecho de estar formados de materia contienen energa almacenada en sus
molculas.
Al moverse un cuerpo, se emplea una parte de la energa contenida por el cuerpo
cuando interviene la accin de una fuerza.
El trabajo es la transferencia de energa de una entidad hacia otra a travs
de la fuerza aplicada en una trayectoria.
Cuando un cuerpo realiza un trabajo, la prdida de energa del cuerpo es
igual al trabajo efectuado.
Toda materia sufre cambios constantes continuamente, y para que la materia pueda
transformarse, requiere de energa en alguna de sus manifestaciones.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
88/173
86
Formas de Energa
MecnicaEnerga Potencial
Energa Cintica
Qumica
Radiante, luminosa,
elctrica, hidrulica,
elica, calorfica
Energa Potencial
Es la energa que un cuerpo posee en funcin de su posicin estando en reposo,
pero en potencia para realizar un trabajo.
Es el producto del peso de un cuerpo por la altura a la que se encuentra suspendido
en un plano de referencia,
Energa Cintica
La energa cintica de un cuerpo es aquella energa que posee debido a su
movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una
masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada. Una vez conseguida
esta energa durante la aceleracin,el cuerpo mantiene su energa cintica salvo
que cambie su velocidad.
https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa -
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
89/173
87
Teorema del TRABAJO-ENERGA
La energa total de un cuerpo, al estar en reposo, no puede ser otra ms que su
energa potencial, y al moverse, una parte de su energa interna es convertida en
energa cintica, al transferirla a todas sus partes. El trabajo efectuado no es
precisamente el cambio de energa potencial a cintica en un instante en que ocurre
el movimiento.
ENERGA TOTAL = EP+ EC
Energa Potencial E P m g h W h
Energa Cintica EC 2 ( )
Trabajo W
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
90/173
88
Ley de la conservacin de la energa
La energa no se crea ni se destruye, solo se transforma.
Materia y energa son dos aspectos de una misma realidad.
Esta ley implica que la masa puede considerarse como forma de energa pero, por
lo general, puede ignorarse en que la materia, de alguna manera de hecho, se
transforma en energa y viceversa.
Materia
Materia es todo en cuanto existe en el Universo.
Toda la materia est constituida por partculas elementales agrupadas en tomos y
molculas. La suma total de materia y energa es una cantidad constante en el
Universo.
Introduccin a los mtodos de energa en estructuras
Muchas fuerzas que se estudian en la esttica no ejecutan trabajo alguno, por lo
general, son fuerzas aplicadas en puntos fijos y que actan en direccin
perpendicular al desplazamiento.
, 0 0
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
91/173
89
Las fuerzas que producen un trabajo son las que precisamente actan en un cuerpo
en movimiento, y el peso propio del cuerpo. En un sistema de fuerzas, la suma total
de los trabajos ejercidos por cada una de las fuerzas debe ser igual a cero, allograrse el equilibrio del cuerpo o partcula en cuestin.
Sin embargo en el equilibrio de fuerzas en partes donde deben ocurrir movimientos,
libres de friccin, se da lugar a pequeos desplazamientos o deformaciones en los
nudos, cuyas longitudes para cada fuerza del sistema, deben de sumar cero.
Una deformacin es un cambio de longitud, y en estructuras con articulaciones viene
acompaada de un desplazamiento de los nudos interconectados cuando el
material sufre dicho cambio.
Para estructuras elsticas o de comportamiento elstico, la curva de esfuerzo-
deformacin unitaria es la misma para cargas que para descargas. De ah que se
puedan determinar los esfuerzos cuando el material est trabajando en el rango
elstico.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
92/173
90
Para determinar el trabajo realizado por la deformacin en un miembro se define
primero:
Fi= Fuerza aplicada gradualmente a una estructura, tal que su energa es cero.
Di= Deformacin resultando en direccin de la fuerza.
Para incrementos pequeos se carga el trabajo externo total es igual al rea bajo la
curva Fuerza-Deformacin.
12 Para n cargas y n deformaciones correspondientes:
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
93/173
91
12
=
El trabajo hecho por un grupo de cargas externas es igual a la energa elstica
almacenada en la estructura.
La ley de la conservacin de la Energa dice que la energa se transforma de una
cantidad a otra, y esto se aplica tanto a las fuerzas externas (cargas) como a las
internas (en la estructura).Para aplicar esta ley en las siguientes deducciones, es pertinente hacer las
siguientes suposiciones o hiptesis:
Las fuerzas internas y externas del sistema de fuerzas estn en equilibrio.
El lmite de proporcionalidad elstica del material no se debe exceder (Ley
de Hooke).
Los apoyos no tienen movimiento.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
94/173
92
3.3 Trabajo virtual
Principio de Bernoulli de desplazamientos virtuales
Si en un sistema de fuerzas q que actan sobre un cuerpo rgido est en equilibrio
y permanece en tal estado cuando el cuerpo sufre un desplazamiento virtual
pequeo cualquiera, el trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas es igual a
cero.
Supongamos que un pequeo cuerpo, como en la figura, sufre una ligera vibracin
por alguna causa ajena al sistema de fuerzas Q. Un pequeo cambio de la forma
en el elemento provocara el recorrido de todo el sistema de fuerzas Q, se le llamara
Deformacin Virtual.
De acuerdo a lo anterior se establece que
0
Trabajo Externo Trabajo Virtual Interno
El mtodo del trabajo virtual tambin es conocido como el mtodo de carga unitaria
ficticia.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
95/173
93
Trabajo Virtual Externo
(Fuerza) (Deformacin)Para un sistema de fuerzas Q
=
Deflexiones en armaduras logradas en el trabajo Virtual para escribir una expresin
del trabajo interno efectuado en la barra de una armadura, consideramos la
siguiente figura:
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
96/173
94
Esfuerzo Axial en la barra Deformacin de la barra Trabajo virtual local de la barra
Ley del trabajo virtual
Si un cuerpo en equilibrio, bajo un sistema de fuerzas R, permanece en ese estado
cuando se somete a una pequea deformacin virtual el trabajo virtual exterior
realizado por cargas externas ( ) actuando sobre el cuerpo es igual al trabajoVirtual interior de deformacin realizado por las fuerzas internas ( ).
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
97/173
95
Trabajo Real externo Trabajo Virtual Interno
Aplicacin del trabajo virtual a armaduras
Supongamos que se quiere calcular el desplazamiento vertical en el nodo G.
Eligiendo como sistemas de cargas Q una carga unitaria tenemos, de acuerdo a la
Ley de Hooke del trabajo Virtual.
Sistema Real FP
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
98/173
96
Carga Unitaria Ficticia
Sistema Virtual FQ
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
99/173
97
Deformacin Horizontal Deformacin Vertical
1 [ ]
1 [
] 3.3.4
Donde:
Trabajo Virtual realizado por las reaccionesPero como 01 Fuerzas Virtuales
Fuerzas RealesPara simplificar las numerosas multiplicaciones, emplearemos la siguiente tabla:
Barra L
(m)
A
(cm2)
L / A
(m / cm2)
FQ
(T)
FP
(T)
FQFP (L / A)
(T2m / cm2)
A-B
B-C
C-D
D-E
A-F
B-F
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
100/173
98
Ejemplo 3.1
Calcular la deformacin en el punto C de la armadura que se ilustra en la figura.
Considrese 2 1 0/
Fuerzas internas en el sistema Fsica o Real
Nodo A
Seccin I
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
101/173
99
Seccin II
7.07 20
0
0
450 45
15 450 150.7071 21.23 21.230.7011 15
21.23 15
0
1 5 0
1515
0 1510 0 5 15 5
0 45 0 15 45
0 4515100 545 7.077.07
157.071 15520
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
102/173
100
Seccin III
0 1 5 1 0 1 0 45
1 5 2 0 5 2 0 2 0 0 0
Fuerzas internas en el sistema Virtual
Sesin I
0 0 45 0.5 0.5 450.5 0 0 . 5 0 .. 0.7071
0.5 0.5
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
103/173
101
Seccin II
0 0.5 450 0.50.7071 0.70717071
0 0 . 5 45 0 0.50.70710.7071 0 . 5 0 . 5 1
Seccin III
0 0.5 45 0
0.50.7071 1 1
Resumen de fuerzas internas del sistema real:
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
104/173
102
Resumen de fuerzas internas del sistema virtual:
Utilizando la tabla propuesta anteriormente:
Barra L A L / A FQ FR FQFR(L/A)
(m) (cm2) (m/cm2) (T) (T) (Tm/cm2)A-B 3 30 0.10 15.00 +0.50 0.75A-F 4.242 20 0.21 -.21.27 -0.707 3.19F-B 3 10 0.30 5.00 +0.50 0.75B-C 3 30 0.10 20.00 +1.00 2.00B-G 4.242 20 0.21 -7.07 -0.707 1.06
F-G 3 30 0.10 -15.00 -0.50 0.75C-G 3 5 0.60 0.00 +1.00 0G-H 3 30 0.10 -15.00 -0.5 0.75G-D 4.242 20 0.21 -7.07 -7.07 1.06C-D 3 30 0.10 20.00 +1.00 2.00H-D 3 10 0.30 5.00 +0.50 0.75H-E 4.242 20 0.21 -21.27 -0.707 3.19D-E 3 30 0.10 15.00 +0.50 0.75
17.00
Deformacin por trabajo virtual en el punto C
[ ] 1 [
] /171/1
2 1 0/
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
105/173
103
12 1 0 [17 ] 0 . 5 1 0
17
8 . 5 1 0 8 . 5 1 0 10 8 . 5 1 0
8.5Ejemplo 3.2
Calcular la deformacin en el punto D de la siguiente armadura en voladizo
Momento equivalente MA=-9T(3m)-9T(6m)-9T(9m)
MA=-9T(3m+6m+9m))-162Tm 0 1 6 2 6 0 1626 27
0 0 27 0 2 7 0 27
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
106/173
104
Anlisis del sistema real
0 33.7 0 0.832 0 33.790 90.554 16.22 16.220.832 13.5 16.22 13.50 0 53.13 2 7 0
0 53.13 0
27 0.6 . 1 0.8 . 2
0 2 7 33.70 270.832 32.45
0 33.7270 2732.450.5547 2 7 1 8 9 . 2 1.25 1.259 11.25. 1 27 11.250.6 20.25 0 33.7 53.13 33.70 11.250.6 32.450.832
0.83232.458.1124.34
0 33.7 53.13 0 32.450.5548 11.250.80 18927
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
107/173
105
0 33.7 33.7 0 24.3433.7 Cos33.7 24.340.832
33.7 33.7180 24.340.5548 180.5548 13.518
0.5548 8.118.11 8.1124.340.832 13.513.5
0 1816.2233.7 0 1 8 9 9
Anlisis del sistema virtual:
0 0
0 1 0 1 0 9 1 6 0
96 1.50 1.00 33.69 519
1.50
33.69516
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
108/173
106
Nodo E 0 33.611.500 1.50651.80 1.802775
0 1 33.69 0
1 1 . 8 0 5 / 9 1 1 0 11.8027750.5547110
Seccin (I) 0 1.51.51.8033.69 1.805/6 5353.130 0 1 33.69 53.130
0 1.501.50
0 33.69 33.690 1.80
0 1.8033.69 1.8033.69 0 0
Seccin (II)
0 1.80 516 56 0 1.80 5/6
0 1.805/9 5 / 9 1 0
1 5/9 1 0 0 1.8005/6 1.501.50
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
109/173
107
Seccin (III)
0 5/6
0 5/61.50 1.80 0 1.805/9 1 0
1 1 0 0
0 1.805/60 1.50
Resumen de las fuerzas obtenidas de los dos sistemas:
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
110/173
108
Clculo de la deformacin:
Barra L A L/A FQ FP FQFP(L/A)(m) (cm2) (m/ cm2) (T) (1) (Tm/ cm2)
A-B 3.00 40 0.075 -20.25 -1.50 2.278B-C 3.00 40 0.075 -13.50 -1.50 1.518C-D 3.00 40 0.075 -13.50 -1.50 1.518E-F 3.605 40 0.090 32.45 1.80 5.256F-G 3.605 40 0.090 24.34 1.80 3.943G-D 3.605 40 0.090 16.22 1.80 2.627
A-E 6.00 15 0.40 9.00 0 0A-F 5.00 30 0.166 -11.25 0 0B-F 4.005 10 0.40 27.00 0 0B-G 3.605 20 0.18025 -8.11 0 0C-G 2.00 10 0.20 -9.00 0 0
17.14 0
1 12 1 0/17.1411 8.57110
8.571
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
111/173
109
Defelxin en vigas y marcos mediante el mtodo del trabajo virtual
Seccin longitudinal Seccin transversal
En una viga que trabaja a flexin se puede desarrollar un trabajo interno en cualquier
posicin dx a lo largo del claro. Pero, para determinarlo, se tienen que definir cuales
son los esfuerzos de flexin para el sistema de cargas reales y para el sistema de
carga unitaria virtual. En la figura de debajo de ilustran los diagramas de momentos
flexionantes para un sisatema real y un sistema virtual.
M(x) = Momento debidoa a las cargas externas
m(x) = Momento debido a la carga unitaria ficticia
El esfuerzo es un rea diferencial de la seccin transversal para las cargas externas
y para la carga ficticia unitaria son:
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
112/173
110
Momento M(X) del sistema real Momento m(X) del sistema virtual
Al rea dAcorreponde en la longitud diferencial dx una pequea deformacin dxcuando las cargas externas se reintroducen a la viga en el sistema virtual.
La deformacin unitaria en la longitud dx es
Debido a la carga unitaria ficticia, la fuerza total en
se desplza segn esa
deformacin, y el trabajo que realiza es:
1
1 [ ] 1
Momento de Inercia de la seccin
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
113/173
111
El trabajo virtual interno realizado a lo largo de la viga de claro L es:
1
1
Por tanto la deformacin por flexin causado por la carga ficticia es:
1
3.3.1
La pendiente a la tangente de la cuerva elstica, para cualquier rotacin en un punto
a lo largo de L, la carga que se aplica en un momento unitario ficticio, en unidades
de fuerza longitud.
1
3.3.2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
114/173
112
Procedimiento para el clculo de desplazamientos en vigas y marcos
1. Se obtienen las ecuaciones, una vez estudiadas las solicitaciones para M(x)en sistema real, y m(x) en sistema virtual.
2. Se establecen los intervalos adecuados para cada funcin por separado alo largo del recorrido de x, pudindose presentarse traslapes entrefunciones.
3. Si se emplean ecuaciones de singularidad se despeja la funcin en losintervalos en que se archivan los trminos y se reescriben lasfunciones adecuadas solo para ese intervalo.
4. Para facilitar la solucin se puede emplear una tabla estableciendo lascolumnas los siguientes datos: intervalo, M(x), m(x) y el producto M(x)m(x).
Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)0, , ,
5. Se integran los elementos de la columna M(x)m(x) definidos en susrespectivo intervalos.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
115/173
113
Ejemplo 3.3
Obtener la expresin para calcular la deflexin al centro del claro de la viga
simplemente apoyada con carga uniformemente repartida a lo largo de la
misma.
Sistema real:
Carga Total W=wL
0 0 2 0
Ecuacin de momento del sistema real
2 2
2 2
Para 0
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
116/173
114
Sistema Virtual
0 1
0 1 0 Momentos del sistema Virtual
12 1 2
Para el intervalo 0,/2 12 Para el intervalo /2, 12
2
2 12
Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)
0 22
2 2
4 4
4
4
2
2
2
2
2
4 2
2
12
4
4 2
0,
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
117/173
115
2 ,
Energa total del sistema de cargas p y q
1 1
4
4
4
3 4
/
4
2 4 2
/
4 2 23 4
4 3
8
14
16
4
24
64
5768
4 2
23
4
2
4
23
4
23
8
14
16
4 [12
23
14
18
112
164]
4
5192
5
168 1
1
2.5168
5384
Otra forma de resolver el problema es considerar la simetra de la viga y viendo el
recorrido desde los apoyos de la izquierda y de la derecha son idnticos, se
simplifica la operacin.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
118/173
116
Energa de Deformacin
2 2
4
Para 0,/2
1 /
1
2
/
2 /
2
3
4
2
3
8
416
2 5
192
5
384
Ejemplo 3.4
Utilizando la viga del ejemplo anterior, calcule el giro en el punto A. Aplicando un
momento virtual unitario en el apoyo A.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
119/173
117
Momento en el Sistema Virtual
1 1 1
Para todo intervalo
0,
Energa de deformacin
2 [
1 ]
2 2
2
23
4
1
2
2 2
3
4 2
12Finalmente, obtenemos:
24
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
120/173
118
Ejemplo 3.5 Calcular la deformacin vertical al centro del claro de la siguiente viga.
EI = Constante
0
2
2
Ecuacin de momentos de flexin del sistema realPara todo el tramo:
0 / 2 / 2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
121/173
119
Sistema Virtual
Similar al Sistema Real
12 0 / 2
Deformacin 0 / 2 2
22 /
2
3
6 8
48 2
2 2 12
2
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
122/173
120
Ejemplo 3.6
Calcular la deformacin vertical en el extremo del volado de la viga que semuestra en la siguiente fifura.
2 , 1.67 10 0 3 6 0
18 0 183 0
5 4 Momento en el sistema Real
5 4 1 8 3 2 0 1.5 1854
1.5 1 2 3 6 1.56
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
123/173
121
Momento en el Sistema Virtual
6 1 6 Energa Total 0 6
1.5 6 6 1 . 5 6
Deformacin Total en B
1
1
2 1 0/1.6710 3.34/ 100 3 . 3 4 1 0 3.3410
1 3.3410 0.29910 0 . 3 1 0
0 . 3 1 0
1 0 0 0 . 3 1 0
3 1 0
1 . 5 6
32 6
4 38 6 6 0 6
38 36 38 1296486
1 1.5 6
486
4 8 6 3 1 0 1 4 5 8 1 0
1.458
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
124/173
122
Ejemplo 3.7
Calcular la deformacin vertical en el extremo B de la viga. 2 1 0/
, 0 . 5 1 0
0 9 4 . 5 0 13.5
0 93 456 0
2 7 2 7 5 4 Momento en el sistema real
5 4 1 3 . 5 9 3
Para 0 3 5413.513.554Para
3 6 5413.5.9224.527
Sistema Virtual:
0 1 0 1 0 16 0 6
6 1 6 0 6
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
125/173
123
Energa de Deformacin
0 3 3 6 1
1
Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)0 3 13.554 6 13.5 1353243 6 4.56 6 4.56
13.554 6 13.5 5482324 2 10 0.510 10
1
1 13.5 135324
1 4 . 5 6
1 4.5 67.5 324 1.51
6 1.5 1
33 453 2163 6 6 3 6
1.5 1 8 1 4 0 5 6 4 8 2 7 0 526.5 526.510 5.26
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
126/173
124
Ejemplo 3.8
Calcular la deformacin vertical en el extremo de la viga con apoyos simples
articulados que se ilustra a continuacin: 2 1 0/, 0.945
0 1 3 . 5 2 7 0
0 13.5 0 13.53 274.5 9 0
40.5121.59 18 40.51822.5
22.513.5 3 3 2
22.51.5 13.5 3Para 0 3 22.51.5Para 3 9 22.51.5 13.540.5
9 1 . 5 40.5
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
127/173
125
Sistema Virtual Energa de Deformacin
0 13 9 0 39
13
1 13 23 23 1 3Para 0 3 Para 3 9 3
1 1
Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)0 3 22.51.5 23
15
3 6
1.5
940.5
13 3 0.5
1.5
13.5121.5
15 940.5 13 3 12 3 13.54.5 27121.5
0.5 7.5 13.5121.5 15 5
4
0.5 7.5 13.5121.5 0.125 2.5 6.75 121.5 0.125 2.5 6.75 121.5
2 10 0.945 1.8910
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
128/173
126
1
1 5
4
1 0.125 2.5 6.75 121.5 1 53
34
1 0.1259 32.59 36.759 3121.593 1 13520.25 0.125 6480 2.5702 6.7572 121.56
1
114.758101755486729 384.75384.75
384.750.5310 10 2.00410cm.
Ejemplo 3.9
Del marco rgido que se muestra en la figura calcule la deflexin bajo la cargaconcentrada de 13.5T
Considere: 2 1 0/
0 9 0 9 0 93 13.53 6 0
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
129/173
127
67.56 11.25 0 11.2513.50
13.511.252.25 Sistema real
9 9 3 9 9 3Para 0 3 9Para 3 6 9 9 2 7
27
Recorrido desde A hacia arriba
96 3 2.2513.5 3 272.25 13.5 3
Para 0 3 2.25 27Para
3
6
67.511.25
Recorrido visto desde B hacia la derecha
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
130/173
128
Sistema Virtual para el punto D
0 0
0 1 0
0 13 6 0 3 6 0.5
1 0 . 5 0 . 5
Momento en la columna AB Momento en la viga BC
0.5 1 30 3 0.5
3 6 0.5 3
3 0 . 5
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
131/173
129
Momentos desde el punto C
Intervalo 0 3Recorrido desde Chacia la izquierda.
Energa de Deformacin en D
Intervalo M(x) m(x) U = M(x) m(x)3 [0,3] 2.25 27 0.5 1.125 13.54 [0,3] 11.25 0.5 5.625
11 1.125 13.5
0.375 6.75
1 0.37527 6.759 70.875
12 5.625
1.875 1.87527 50.625
Deformacin en D vertical
1 1
1
70.875 1
50.625
121.50 121.50.3961048.11410
0.48
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
132/173
130
Ejemplo 3.10
Calcular los desplazamientos horizontal en A y vertical en B en el marco que se
ilustra en la siguiente figura.
Considerar:
/ .
.
.
. .
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
133/173
131
Corte 1 20.256.75 0 20.256.75
Corte 1 20.256.756 0
20.25 Corte 3 21 6.751
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
134/173
132
Energa de Deformacin Virtual
D.M.F. sistema real
.
.
.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
135/173
133
Virtual 6 t-m
Para Intervalo M(x) m(x) M(x) m(x)
1 0,6 20.256.75 3 6.753 2 0,6
20.25
3
60.75
3 0,6 6.75 6.75Intervalo U=M(x) m(x) b -a
1 0 6 6.75 3 6.75 3 60.75 60.752 0 6 60.75 60.75 364.5 03 0 3 6.75 3.375 30.375 0455.625 60.75
516.375
1
1 516.375 0.99210516.375 5.12
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
136/173
134
Para 1 0,6 20.256.75 6 40.53 2 0,6 20.25 6 20.25 6
Intervalo U=M(x) m(x) b -a1 0 6 40.5 3 20.25 3 182.25 182.252 0 6 20.25 6 10.125 6 0 364.5182.25 182.25
364.5 1
364.5 364.50.992103.615
3.4 Primer teorema de Castigliano
El ingeniero italiano Carlos Alberto Castigliano (1847-1889), elaboro nuevos
mtodos de anlisis para sistemas elsticos. Los dos teoremas que llevan su
nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones ms
importantes para el anlisis estructural.
El primer teorema consiste en un mtodo para expresar las condiciones de equilibrio
y para estudiar estructuras estticamente indeterminadas y no para calcular
desplazamientos.
Se enuncia como sigue:
En una estructura cualquiera, cuyo material es elstico lineal o no lineal y en la
que la temperatura es constante y los apoyos no pueden ceder, la primera derivada
parcial de la energa de deformacin con respecto a cualquier componente del
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
137/173
135
desplazamiento es igual a la fuerza aplicada en el punto en la direccin
correspondiente a esa componente del desplazamiento.
Supongamos que una estructura esta en equilibrio bajo la accin de las fuerzas, , , Estas fuerzas han realizado una cierta cantidad de trabajo externo y una cantidad igual de Energa de deformacin en la estructura. Tambin hanproducido desplazamientos en los puntos de aplicacin de las fuerzas,
, , , .Si al variar cantidades infinitesimales las fuerzas , el desplazamiento varia una pequea cantidad mientras los otros desplazamientos , , ,semantienen constantes la energa de deformacin almacenada en el sistema variar
hasta alcanzar un valor
,donde:
(3.4.1)Si se desprecia la contribucin de segundo orden al trabajo externo debido a la
fuerza diferencial , el trabajo externo realizado en la estructura habraumentado, hasta como consecuencia de la introduccin de desplazamientoadicional , siendo,
(3.4.2)
Como debe ser igual a , igualando los segundos miembros de la ecuacin(3.4.1) y (3.4.2), se tiene:
Que es la expresin matemtica del primer teorema de Castigliano.
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
138/173
136
3.5 Segundo teorema de Castigliano
El segundo teorema de Castigliano se puede enunciar segn Norris (1982) de
acuerdo a como sigue:
En una estructura cualquiera cuyo material es elstico y sigue la ley de Hooke, y
cuya temperatura es constante y los apoyos no pueden ceder, la primera derivada
parcial de la energa de deformacin con respecto a una fuerza cualquiera es igual
al desplazamiento del punto de aplicacin de esa fuerza en la direccin de su lnea
de accin
En este enunciado, las palabras fuerza y desplazamiento pueden interpretarse
tambin como par y rotacin angular, respectivamente. Adems, est implcito quedurante la deformacin de la estructura no hay cambio apreciable de sus
caractersticas geomtricas. Por tanto, la aplicacin de este teorema se limita a los
casos en que es posible superponer corrimientos.
Para deducir el teorema, consideramos una estructura cualquiera que satisfaga las
condiciones dichas, tal como la viga de la Fig. 3.5.1.
FIG.3.5.1. Deduccin del segundo teorema de Castigliano
Supongamos que se le carga gradualmente con las fuerzas , , , .El trabajoexterno realizado por estas fuerzas (que llamaremos ) es una funcin de lasmismas. Por el principio de conservacin de la energa, sabemos que en cualquier
estructura elstica en reposo y en equilibrio bajo un sistema de cargas, el trabajo
interno, o energa de deformacin almacenado en la misma, es igual al trabajo
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
139/173
137
externo realizado por esas cargas durante su aplicacin gradual. Designando el
trabajo interno o energa de deformacin por , podemos escribir , , , (3.4.3)
Supongamos ahora que la fuerza aumenta un pequea cantidad ;el trabajointerno aumentar, y se convertir en (3.4.4)
Sin embargo, la magnitud del trabajo interno total no depende del orden en que se
apliquen las fuerzassolo depende del valor final de dichas fuerzas -. Adems, si
el material sigue la ley de Hooke, la deformacin y los corrimientos producidos por
las cargas.
, , , y, por tanto, el trabajo realizado por ellas son iguales si se aplican estasfuerzas a una estructura ya sometida a otras fuerzas o no, mientras los esfuerzos
totales debidos a todas las causas permanezcan dentro del lmite elstico. Por tanto,
si se aplica la fuerza infinitesimal primero y las , , , despus, lamagnitud del trabajo interno seguir siendo la misma, dada por la Ecuacin (3.4.4).
La fuerzaaplicada primero, produce un desplazamiento infinitesimal, demodo que el correspondiente trabajo externo realizado durante la aplicacin dees una cantidad de segundo orden y se puede despreciar. Si se aplican ahora las
cargas, , , , el trabajo externo realizado por ellas no resultar modificadopor la presencia de, por lo que ser igual al valordado por la Ec. (3.4.3).Sin embargo, durante la aplicacin de estas fuerzas, el punto de aplicacin desedesplaza una cantidad en la direccin d una lnea de aplicacin, por lo quedurante este desplazamientorealiza un trabajo externo igual a. Seael trabajo externo total realizado por todo el sistema durante esta sucesin decargas. Ser:
(3.4.5)
-
7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf
140/173
138
Pero, como es igual a , la Ec. (d) se reduce a (3.4.6)
Esta ltima ecuacin es la expresin matemtica del segundo teorema de
Castigliano.
Para utilizar el segundo teorema Castigliano, es necesario desarrollar previamente
expresiones apropiadas de la energa de deformacin almacenada, o del trabajo
interno realizado por las tensiones de una barra. Consideremos, primero, el caso de
la energa de deformacin almacenada en una barra por una fuerza axial cuandodicha fuerza aumenta gradualmente de cero a su valor final. Imaginemos un
elemento diferencial de esa barra, limitado por dos secciones sucesivas, como el
re