Libro de Matemáticas Financieras II 2015.pdf

8/18/2019 Libro de Matemáticas Financieras II 2015.pdf

1/179


2/179

Julio Lezama Vásquez Matemáticas Financieras II……………………………………………………………………………………………………………......

……………………………………………………………………………………………Universidad “Los Ángeles” de Chimbote/ Sistema de Universidad Abierta

El capitulo 2. En este capítulo se toca lo referente al valor actual a interéscompuesto, se estudia además la tasa de interés en sus diferentesmodalidades, finalizando con el cálculo del tiempo

Capítulo 3. Estudia lo referente al descuento, tanto el racional como el bancario y las ecuaciones de valor a interés compuesto

Los capítulos 4,5,6 y 7 estudian las anualidades en sus diferentes formas,como las anualidades ordinarias, anticipadas, diferidas, perpetuas o vitaliciasy las anualidades generales.

El capítulo 8 Trata respecto a las amortizaciones de deudas, depreciación deactivos fijos y agotamiento de recursos no renovables.

Finalmente el capítulo 9. Desarrolla los temas respecto a la evaluación dealternativas de inversión, analizando los principales indicadores deevaluación como el valor actual neto, la tasa interna de retorno, el período derecuperación de capital y la relación beneficio costo.


3/179


4/179



3.3 Cálculo del valor nominal y valor efectivo3.4 Descuento bancario3.5 Listado de fórmulas3.6 Problemas propuestos

CAPITULO IV: ECUACIONES DE VALOR

4.1 Marco referencial4.2 Ecuaciones de valor 4.3 Valor equivalente4.4 Vencimiento medio de obligaciones4.5 Problemas propuestos

CAPITULO V: ANUALIDADESA

5.1 Clasificación de las anualidades

5.2 Monto de una anualidad ordinaria simple5.3 Valor presente de una anualidad ordinaria simple5.4 Valor de las rentas en una anualidad ordinaria simple

5.4.1 Renta ordinaria en función del monto5.4.2 Renta ordinaria en función del valor actual

5.5 El tiempo en una anualidad ordinaria simple5.5.1 El tiempo en función del monto5.5.2 El tiempo en función del valor actual

5.6 La tasa de interés en una anualidad ordinaria simple5.7 Listado de fórmulas5.8 Problemas propuestos

CAPITULO VI: ANUALIDADES ANTICIPADAS

6.1 Monto de una anualidad anticipada simple6.2 Valor actual de una anualidad anticipada simple6.3 Rentas anticipadas simples

6.3.1 Renta anticipada en función del monto6.3.2 Renta anticipada en función del valor actual

6.4 El tiempo en una anualidad anticipada simple6.4.1 El tiempo en función del monto6.4.2 El tiempo en función del valor actual

6.5 La tasa de interés en una anualidad anticipada simple

6.6 Listado de fórmulas6.7 Problemas propuestos

CAPITULO VII: ANUALIDADES DIFERIDAS

6.1 Valor del monto de una anualidad diferida6.1.1 Monto de una anualidad vencida simple diferida6.1.2 Monto de una anualidad simple anticipada diferida

6.2 Valor actual de una anualidad diferida6.3 Valor de la renta de una anualidad diferida

6.3.1 Renta de una anualidad ordinaria diferida en función del monto

6.3.2 Renta de una anualidad anticipada diferida en función del monto6.3.3 Renta de una anualidad ordinaria diferida en función del valor actual


5/179



6.3.4 Renta de una anualidad anticipada diferida en función del valor actual6.3.5 Cálculo de n y t en una anualidad simple diferida

CAPITULO VIII: RENTAS PERPETUAS O VITALICIAS

8.1 Valor actual de una renta perpetua ordinaria8.2 Valor actual de una renta perpetua anticipada8.3 Rentas de una perpetuidad

8.3.1 Renta perpetua ordinaria8.3.2 Renta perpetua anticipada

8.4 La tasa de interés de una perpetuidad8.5 Listado de fórmulas8.6 Problemas propuestos

CAPITULO IX: ANUALIDADES GENERALES

9.1 Monto con varios periodos de capitalización por periodo de pago9.2 Monto con varios periodos de pago por período de capitalización9.3 Valor actual de una anualidad general9.4 Renta de una anualidad general ordinaria9.5 Renta de una anualidad general anticipada9.6 Problemas propuestos

CAPITULO X: AMORTIZACIONES

10.1 Marco referencial10.2 Sistemas de amortización

10.2.1 Un pago único al final del periodo del préstamo10.2.2 Amortización con cuotas ordinarias constantes10.2.3 Amortización con cuotas anticipadas constantes10.2.4 Amortización ordinaria a cuota constante, cuando el préstamo se

desembolsa en partes.10.2.5 Amortización con periodo de gracia o pago diferido10.2.6 Amortización con periodo de gracia , cuando en el plazo diferido se

paga solamente los intereses10.3 Problemas propuestos

CAPITULO XI: DEPRECIACIONES

11.1 Causas que originan la depreciación11.2 Factores de la depreciación11.3 Métodos de cálculo de depreciación

11.3.1 Depreciación a cuota constante11.3.2 Depreciación a cuota decreciente11.3.3 Depreciación a cuota creciente

CAPITULO XII: AGOTAMIENTO

12.1 Métodos de cálculo del agotamiento12.1.1 Método del factor o costo de agotamiento12.1.2 Método del descuento por agotamiento

12.2 Problemas propuestos.


6/179



CAPITULO XIII: EVALUACIÓN ECONOMICA DE PROYECTOS DEINVERSION

13.1 Conceptos generales

13.2 Evaluación económica13.2.1 Valor actual neto13.2.2 Tasa interna de retorno13.2.3 Relación beneficio costo13.2.4 Periodo de recuperación de capital

13.3 Problema propuesto.

CAPITULO XIV: EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS DEINVERSION

14.1 Evaluación financiera14.2 Rentabilidad financiera14.3 Flujo de caja financiero14.4 Problema propuesto


7/179



C A P I T U L O I

1. INTERES COMPUESTO

Las matemáticas financieras como cualquier otra actividad científica utilizancategorías e instrumentos técnicos que ameritan su definición teórica para una

mejor comprensión de sus contenidos.

En consecuencia, iniciamos el estudio de nuestra materia con el análisis de losconceptos básicos referentes a las categorías utilizadas en el cálculofinanciero. Es evidente que algunos de ellos, ya nos son familiares por habersetocado en Matemática Financiera I, pero es necesario mantenerlo vigente parasu aplicación correspondiente en la presente asignatura.

1.1 Función del Tiempo

El crecimiento natural es una variación proporcional de la cantidad presente encualquier orden de cosas en función del tiempo, tal es el caso de los vegetales,animales etc. Que crecen en función continua al tiempo, situación que tambiénse presenta en la capitalización a interés compuesto.

1.2 La Escala de Tiempo

La escala de tiempo es indispensable para visualizar el flujo previsto deefectivo resultante de una inversión propuesta o un flujo de pagos, de acuerdoal tipo de operación financiera que se efectúe.

La escala de tiempo muestra periodos de cálculo del interés, como también lafrecuencia de capitalización de los mismos, y estos pueden ser: meses,trimestres, semestres, años o cualquier otro período de tiempo. Por ejemplo silos intereses se capitalizan trimestralmente, por un espacio de 10 años, laescala de tiempo mostrará 40 periodos y si se capitaliza semestralmente laescala mostrará 20 períodos de capitalización.

La escala de tiempo muestra también los periodos de pago a la deuda, los periodos de cobro de préstamos concedidos o erogaciones por diferentes

conceptos.


8/179



Gráficamente la escala de tiempo, lo ilustramos en la figura siguiente:

Fig. 1.1

200 200 200 200 200 200 200 200Ι Ι Ι Ι Ι Ι . . . . . . . … Ι Ι Ι0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

La Fig. 1.1 representa una serie uniforme de desembolsos anuales que tienenlugar al final de cada año durante un periodo de n años.

1.3 Valor del Dinero en el Tiempo

El concepto del valor del dinero en el tiempo, se sustenta en el hecho de que eldinero disponible ahora, vale más que la expectativa de la misma cantidad enun período futuro.

Debido a que una unidad monetaria ahora se puede colocar en una alternativaque permita un rendimiento en el futuro, convirtiéndose en una cantidadmayor que la actual. De manera que no es lo mismo recibir una unidadmonetaria ahora, a recibir la misma cantidad dentro de un mes.

El valor del dinero en el tiempo es diferente, por efecto de la tasa de interés yla tasa inflacionaria; la tasa de interés permite medir el valor económico deldinero y la tasa inflacionaria su capacidad adquisitiva. Por lo tanto un sol dehoy no es el mismo que el de ayer o el de mañana.

La explicación del valor del dinero en el tiempo, nos llevaría a afirmar que nonos atreveríamos a otorgar dinero en calidad de préstamo, sin exigir como

pago una cantidad adicional, que compense la pérdida de la capacidadadquisitiva o conservar su valor equivalente en el tiempo.

La tasa exigible por el préstamo es la tasa de interés; en consecuencia, eltiempo y la tasa de interés son factores esenciales que nos permiten conocer elvalor cronológico del dinero. Ahondando un poquito más, el interés puededefinirse ya como un costo o como una ganancia. Será un costo, cuando se

pide fondos prestados a terceros y por su utilización convenimos pagar unacierta cantidad de dinero; se define como ganancia cuando el préstamo seutiliza en la compra de materiales y equipos con la finalidad de desarrollar unaactividad económica que nos permitan generar ganancias

El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de uncapital. No es lo mismo disponer de 1 millón de unidades monetarias hoy quedentro de un año, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de lainflación.


9/179



Por lo tanto, S/.1,000 en el momento actual será equivalente a S/.1,000 másuna cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la quecompensa la pérdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo.

Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras:

a. Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferiráaquél que sea más cercano

b. Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferirá aquel de importe más elevado

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar elequivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos lasformula de capitalización o de actualización según el caso.

Ejemplo 1.1: ¿Qué es preferible disponer de S/.2,000 dentro de 1 año o deS/.4,000 dentro de 5 años, si la tasa de interés anual es del 25?.

Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambosimportes en un mismo instante.

Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financieras resulta que el primer importe equivale a S/.1,600.00 en el momento actual, y el segundo equivale aS/.1,310.72, veremos que es preferible elegir la primera opción.

Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5años o cualquier otro periodo), y la elección habría sido la misma.

Los indicadores financieros nos permiten calcular el equivalente de un capitalen un momento posterior y toman el nombre de capitalización, mientras queaquellas que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momentoanterior, se denominan de actualización.

Estos indicadores nos permiten también sumar o restar capitales ubicados en

distintos momentos, calculando los equivalentes en un mismo momento.

Ejemplo: Si vamos a recibir S/.1,000 dentro de 6 meses y S/.2,000 dentro de9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9meses o cualquier otro periodo) y entonces si se pueden sumar. (Facil, 2000)

1.4 Período de Capitalización

Es el intervalo de tiempo convenido, para capitalizar los intereses formando un

valor futuro o monto.


10/179



1.5 Valor Futuro de un Capital

Es el valor final o monto acumulado, después de transcurridas sucesivascapitalizaciones durante el horizonte temporal o también el equivalente de uncapital en el futuro.

1.6 Capitalización

Capitalizar significa sumar el interés al capital al final de cada período,formando un nuevo capital mayor al anterior, sobre el cual se calculará elinterés del siguiente período y así sucesivamente hasta el final, de manera quese capitalizarán, tantas veces como el número de períodos permanezca elcapital invertido.

1.7 Interés Compuesto

Es el valor monetario que representa el costo del dinero beneficio o utilidad deun capital o principal y se obtiene mediante un proceso en el cual el interésgenerado por un capital al final de cada periodo de capitalización, no se retirasino que se suma al capital (se capitalizan) para formar un nuevo capitalmayor y sobre la base de este, calcular el interés del siguiente período y asísucesivamente hasta el término del horizonte temporal.

1.8 Cálculo del Monto

En cualquier inversión o colocación de dinero se espera recibir, el capital mássus intereses. Se compran bonos, acciones u otros títulos, para recibir despuésde un determinado periodo de tiempo una cantidad mayor. En este caso elmonto es igual a la suma del capital más el interés obtenido en un horizontetemporal, calculado a una tasa de interés (i) en (n) periodos de tiempo;operación que lo ilustramos en la escala de tiempo:

Fig. 1.2

P S = ?Ι Ι Ι Ι Ι Ι . . . . . . Ι Ι Ι0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

1.9 Deducción de la fórmula del Monto

Para el efecto utilizaremos la simbología siguiente:

S = Monto o cantidad de dinero en una fecha futura, constituido por la sumadel capital más el interés.


11/179



P = Capital, valor actual o valor presente del dinero por el cual se pagaintereses. En la escala de tiempo se ubica en el punto cero, o cualquier otro periodo en que se inicia el cómputo del tiempo.

i = Tasa de interés de un capital o tasa de rendimiento de una inversión.n = Número de periodos en los que un capital se encuentra colocado.m = Frecuencia de capitalizaciónI = Importe del interés

De conformidad con la definición del valor futuro de un capital, como la sumadel capital más el interés, al que se le denomina también monto, deducimos lafórmula mediante el siguiente razonamiento:

Si un capital P, al final del primer período se ha convertido en

P + Pi

Factorizando dicha expresión se habrá convertido en:

P(1+i).

al finalizar el segundo periodo, este nuevo capital se habrá convertido en

P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 ;

y al finalizar el tercer periodo en

P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3.

Esto implica que al final de n periodos, el capital se habrá convertido en:

P(1+i)n

En dicha expresión se encuentra sumado el capital con los intereses obtenidosen n períodos.

Luego la fórmula del monto será:

S = P(1+i)n

La formula permite calcular el monto en una cuenta a interés compuesto,cuando el capital y la tasa de interés efectiva son constantes, no se producenincrementos ni reducciones del capital, ni se realizan retiros de interesesdurante el horizonte temporal. En esta fórmula y las demás referentes alcálculo financiero, i y n deben estar expresados en períodos de tiempo de lamisma duración; es decir si i es anual n es número de años, si i es trimestral n

será numero de trimestres y así sucesivamente para cualquier otro período detiempo.


12/179



1.10 Factor Simple de Capitalización

La expresión (1+i)n que multiplica al capital se llama factor simple decapitalización, simbólicamente lo podemos expresar por FSC. Por lo tanto laformula podría también expresarse como:

S = Pi- n.FSC

y se lee el monto es igual al producto del capital por el factor simple decapitalización a una tasa de interés i en n períodos de tiempo.

El FSC es el monto a interés compuesto, generado por una unidad monetaria,durante n períodos de tiempo y a una tasa de interés i por período. Dichofactor tiene por función llevar al futuro cualquier cantidad presente o traer al

presente cualquier cantidad del pasado.

Ejemplo 1.2 Se deposita en una cuenta de Ahorros S/.5,000 a interéscompuesto a la tasa efectiva del 20% anual. ¿A cuánto ascenderá el monto alcabo de 4 años?

S = P ni1

S = 5,000 420.1

S = 10,368

Como la tasa efectiva esta dado anualmente, significa que el cálculo de losintereses y las correspondientes capitalizaciones se dan anualmente. Es decir al final de cada año.

Ejemplo 1.3 Se deposita en una cuenta un capital de S/.5,000 auna tasa del 20% anual con capitalización trimestral. ¿A cuánto ascenderáel monto al cabo de 4 años?

S = 5 000 1605.1

S = 5 000(2.18287)

S = 10,914.37

En este caso la tasa nominal es anual y la frecuencia de capitalización estrimestral, haciéndose necesario dividir la tasa anual entre 4 trimestres quetiene un año y el resultado es la tasa efectiva trimestral que lo reemplazamosen la fórmula, así mismo, el número de periodos se expresa en la mismaunidad de tiempo que la tasa, ascendente a 16 trimestres. El valor del monto es

mayor al anterior producto de la frecuencia de capitalización de los intereses.


13/179



1.11 El Monto en Periodos Fraccionarios

Analizando los diferentes casos observamos que en una operación financiera,a menudo no coincide el periodo de capitalización con el periodo devencimiento. De manera que en la fórmula del factor simple de capitalización

n no es entero constituyéndose en un exponente fraccionario, por ejemplo: Uncapital se colocó por un período de cinco años a una tasa de interés anual i;

pero por razones imprevistas se interrumpe faltando cuatro meses para suvencimiento, fecha en la que se debe calcular el monto y liquidar la operación.

Una forma de solucionar el problema es calcular el monto a interés compuestoen periodos completos y por la fracción de tiempo que falta se determina elinterés simple sobre el monto encontrado y luego se suma obteniéndose elmonto total y otra manera es calcular el monto para el total de períodos,mediante una n fraccionaria.

Este tipo de problemas lo solucionamos colocando en el exponente de lafórmula, el resultado de convertir el total de periodos incluido la fracción enmeses y dividido por la frecuencia de capitalización.

Ejemplo 1.5: Determinar el monto a interés compuesto de S/.5,870depositado en un banco durante 3 años y 3 meses a la tasa del 16% anual.

En este caso el número de periodos convertido a meses es 39, y como la

frecuencia de capitalización es anual y un año tiene 12 meses n es igual a 1239

,cantidad que reemplazamos en la fórmula:

S = P ni1

S = 5,870 1239

16.01

S = 5,870 25.316.1

S = 9,508.82

Ejemplo 1.6: ¿Que monto deberá pagarse por un préstamo de S/.20,000, enun periodo de 2 años y 9 meses, si el banco cobra el 20% anual concapitalización semestral

El periodo convertido a meses es 33 y la frecuencia de capitalización essemestral, luego en un semestre hay 6 meses

S = P ni1

S = 20,000 633

10.01


14/179



S = 20,000 50.510.1

S = 33,782.34

1.12 Capitalización Calendaría

Las capitalizaciones: anual, semestral, trimestral, mensual, etc. están referidosa períodos bancarios establecido por el BCR, en los cuales todos los mesesestán conformados de 30 días. En cambio la capitalización calendaria, abarca

períodos capitalizables en fechas fijas, incluyendo períodos de capitalizaciónvariables, dependiendo del número de días contenidos en cada mes del año.(Valdez, 2004)

Ejemplo 1.6: Determinar el monto a pagar de un préstamo obtenido el 31 de

marzo por S/.20,000, el mismo que deberá pagarse el 27 de Septiembre delmismo año a una tasa efectiva anual del 16%.

S = 20,000 360180

16.01

S = 20,000 5.016.1

S = 21,540.66

El problema indica que los intereses se capitalizan anualmente y si lafrecuencia de capitalización fuera trimestralmente la solución sufre ciertasvariaciones.

S = 20,000 90180

04.01

S = 20,000 204.1

S = 21,632

1.13 Monto con capital constante y tasa variable

Si en una operación financiera no se producen aumentos o disminuciones del principal, durante el horizonte temporal, después del primer depósito ocolocación inicial, estamos frente a una operación con principal o capitalconstante.

Si la tasa efectiva aumenta o disminuye durante el horizonte temporal. Se produce una variación en la magnitud de la tasa de interés; por ejemplocuando una TEA del 16 % aumenta al 18% o disminuye al 14 %, el resultadode una operación financiera también aumenta o disminuye según el caso.


15/179


16/179



En este caso, una forma de solucionar el problema, es fraccionando laoperación en tramos, durante los cuales el capital y la tasa permanecenconstantes.

Ejemplo 1.9: Se deposita en una cuenta S/.2,000 y cuatro meses después seefectúa un nuevo depósito por S/.800 y se liquida la cuenta cuatro mesesdespués del último depósito, en dicho período la tasa efectiva mensual del 1.5% se mantiene constante los primeros cuatro meses, fecha en la que seincrementa a 2.5 % hasta el término de la operación. Calcular el monto altérmino del horizonte temporal.

Fig. 1.4

2,000 800 S = ?Ι Ι Ι0 i = 0.015 4 i = 0.025 8

S = 2000 4015.1 4025.1 + 800 4025.1

S = 2,343.09 + 883.05

S = 3,226.14

Ejemplo 1.10: Depositamos en una cuenta un capital de S/.12,000 y altérmino de un año se efectúa un nuevo depósito por S/.4,000, liquidándose la

cuenta un año después del último depósito, en dicho período se aplica una tasadel 18% anual, cuyos intereses se capitalizan en forma mensual durante el primer año y en forma trimestral el segundo año. ¿Cuál será el valor del montoal término del periodo?.

S = 12000 12015.1 4045.1 + 4,000 4045.1

S = 17,109.56 + 4,770.07

S = 21,879.63

1.15 Cálculo del Interés

El interés es el beneficio monetario obtenido por el uso de un capital propio oel costo por el uso del capital ajeno durante un determinado período de tiempoy a una tasa de interés determinada..

Hemos visto que una inversión colocada a interés compuesto a una tasa dada,se convierte en una cantidad mayor llamada monto a un plazo determinado.

La diferencia entre dicho monto y el capital inicial, constituye el interés, que podemos representarlo por: I= S – P


17/179


18/179



1.16 Cálculo de la tasa de interés

Tasa, es el interés generado por una unidad monetaria al que se le aplica unrecargo en una unidad de tiempo, que por lo general es un año.

La tasa de interés se define también como la razón geométrica entre el interésobtenido en un período de tiempo que por lo general es un año y el capital ostock inicial de dinero.

De la fórmula básica S = ni1P despejamos i

i = n P

S - 1

Ejemplo 1.13: ¿A qué tasa de interés efectiva mensual un capital de S/.10,000se habrá convertido en S/.12,000, en un periodo de 6 meses?.

i = 6000,10

000,12- 1

i = 0.0308

i = 3.08% efectivo mensual

1.17. Cálculo del número de periodos de capitalización

La variable tiempo n, es otro elemento determinante en el manejo de lasoperaciones financieras. El símbolo n indica el número de periodos decapitalización de los intereses a la que hace referencia la tasa; esto implica,que si la capitalización de los intereses es anual n es el número de años quedura la operación, si la tasa es trimestral n es el número de trimestres y asísucesivamente.

Dicho de otra manera n es el número de periodos de capitalización que

comprende el horizonte temporal de una operación financiera.

Es necesario tener claro que matemáticamente el valor del tiempo esaproximado no exacto, dado a que las fracciones decimales centesimales ocualquier otra fracción son aproximaciones a un determinado período.

La fórmula lo deducimos partiendo de la fórmula del monto

S = ni1

Aplicando logaritmos


19/179



n = i Log 1

logP-SLog

Ejemplo 1.12: ¿En qué tiempo un capital de S/10,000 se convertirá enS/.15,000, a una tasa efectiva del 2% mensual?

n = 02.0.1

log10,000-15,000Log

Log

n = 20.48 meses

n = 1 año 8 meses 14 días

Ejemplo 1.13 ¿Qué, tiempo será necesario para que un capital de S/.100,000soles colocado al 20% anual se convierta en S/. 172,800?

n =)1.(

.log..

i Log

P S Log

n =)20.01.(

000,100.log800,172..

Log

Log

n =)20.1.(

000,100.log800,172..

Log

Log

n =079181246.0

5237543738.5.

n = 3 años

Ejemplo 1.14: Se deposita S/. 20,000 al 24% anual con capitalizacióntrimestral recibiendo S/. 210,900 después de cierto tiempo; ¿cuánto duró eldepósito?

En este caso, estamos frente a un problema en la que la tasa es nominal concapitalización frecuente, de manera que en el denominador de la fórmula,hacemos participar a la frecuencia de capitalización m a fin de que el númerode períodos nos arroje en años.

n =)1.(

.log..

m

imLog

P S Log


20/179



n =)

4

24.01.(4

000,20log900,210..

Log

Log

n = )06.1.(4000,20log900,210..

Log

Log

n =025305865.04

301029996.432407658.5.

x

n =025305865.04

301029996.432407658.5.

x

n = 10.11 años.

Equivalente a 10 años 1 mes y 9 días


21/179



1.18. Problemas propuestos

1. Determinar el monto a pagar dentro de un año y cinco meses, por un préstamo bancario de S/. 32,000 a una tasa efectiva mensual del 3%

2. Hallar el valor futuro de S/. 6,000 en un período de 5 años:a. A la tasa efectiva del 6 % semestral

b. A la tasa del 6 % semestral con capitalización mensual3. Una empresa obtiene un préstamo por S/. 8,000para cancelarse dentro de 4

años y 6 meses, a la tasa del 16% anual con capitalización trimestral.¿Cuánto pagará a la fecha de liquidación?.

4. Una cuenta se apertura el 30 de Abril con S/.15,000, a una tasa nominaldel 3 % mensual con capitalización diaria. ¿Qué monto se acumularádesde la fecha de su apertura hasta el 18 de Septiembre del mismo año,fecha de su liquidación

5. Calcular el monto en la que se transformó un capital de S/. 16,000,colocado a plazo fijo durante 18 meses, período en el que la tasa de interéssufre las siguientes variaciones: Los primeros 6 meses una tasa efectivamensual del 2.5%, los 6 meses siguientes el 3 % mensual concapitalización diaria y los últimos 6 meses el 2 % efectivo mensual.

6. Se deposita en una cuenta de ahorros S/. 12,000 y ocho meses después seefectúa un nuevo depósito por S/. 8,000, liquidándose la cuenta despuésde diez meses más. En dicho período la tasa efectiva del 3 % bimestral semantiene constante los primeros ocho meses, fecha en el que seincrementa al 3.5 % bimestral hasta el término de la operación. Calcular el monto al término del período.

7. Calcular el interés producido por un capital de S/. 10,000, a una tasaefectiva trimestral del 4.5 %, en un período de un año y 10 meses

8. ¿Cuánto se pagará de intereses por un préstamo de S/. 40,000 a la tasa del18% anual con capitalización bimestral.

9. Determinar el interés compuesto de un depósito a plazo fijo de S/. 25,000efectuado en un banco, al 14% efectivo anual, durante 2 años y 4 meses.

10. Determinar el interés compuesto de una colocación de S/. 24,000efectuado en un banco, al 2% mensual con capitalización trimestraldurante 4 años.

11. A que tasa de interés nominal anual, será necesario colocar un capital deS/.6,800, para convertirse en S/. 11,622.15, en un periodo de tres años. Silos intereses se capitalizan mensualmente?.

12. A que tasa nominal anual convertible trimestralmente, un capitalde $30000.00 crecerá a $100,000.00 en cinco años?

13. Calcular la tasa nominal anual con capitalización bimestral que serequiere, para convertir un capital de S/.3,000 en un monto de S/.10,000en un plazo de 5 años.

14. En que tiempo un capital de S/.6,800 se convertirá en S/.12,000, si secoloca al 18% anual con capitalización trimestral?.

15. Calcular el tiempo necesario para que un capital de S/12,000, colocado al20% anual con capitalización trimestral se convierta en S/.21550.28


22/179


23/179



P = S

ni1

1

El factor entre corchetes es el factor simple de actualización, de manera que

podemos decir también:

P = FSAni

S

El valor actual se obtiene multiplicando el valor del monto por el factor simplede actualización a una tasa de interés i en n períodos de tiempo.

2.2 Factor simple de actualización

La expresión

ni11 que multiplica al monto se llama factor simple de

actualización FSA,.El factor simple de actualización, es el valor actual de una unidad monetaria auna tasa i por período, durante n períodos y su función es traer al presentecualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad actual.

Para solucionar cualquier problema ya sea de capitalización o de

actualización, en el que se utilice una tasa nominal capitalizable m veces, esnecesario convertir previamente la tasa nominal a una tasa efectiva, dividiendoa la tasa nominal j por la frecuencia de capitalización m y en el caso que latasa nominal este dado en un periodo menor a la frecuencia de capitalización,se hace necesario multiplicar por el periodo proporcional para su conversiónen una tasa efectiva de acuerdo a la frecuencia de capitalización.

Ejemplos 2.1 Qué cantidad de dinero deberá depositarse para quecapitalizado al 20% de interés efectivo anual durante 3 años se obtenga unmonto de S/. 124,416.

Remplazando datos en la fórmula:

P = S

ni1

1

P = 124,416

320.01

1

P = 124,416 ( 0.578703703 )P = 72,000


24/179



Ejemplo 2.2 Hallar el valor presente de S/. 8,000 pagaderos dentro de 5 añosa la tasa anual del 16% capitalizable trimestralmente..

P = 8,000

2004.01

1

P = 8,000 x 0.456386946

P = 3,651.10

2.3 Tasas utilizadas en el sistema financiero

Para analizar el indicador denominado tasa, implica hacer una clasificación delas tasas, que para el efecto existen varios criterios, de acuerdo al tipo deoperación financiera en los que estén involucrados o al tipo de operaciónfinanciera.

Las tasas de interés lo podemos clasificar de acuerdo a varios criterios, entreestos tenemos:

De acuerdo a la nomenclatura bancaria

Tasa Activa, Es el tipo que la entidad financiera aplica a las operaciones decolocación de fondos como prestamos, descuento de documentos de crédito,créditos ordinarios, créditos hipotecarios etc.

Tasa pasiva; Es aquella que el banco paga a los depositantes o ahorristas por la captación de fondos, que pueden ser en ahorros, depósitos a plazo fijo ocualquier otra modalidad, lo que significa un pasivo para la entidad financiera.

De acuerdo a la liquidación de los intereses:

Tasa vencida: Es la tasa que se aplica al vencimiento del plazo de laoperación financiera, en este caso es requisito fundamental el cumplimientodel periodo pactado para la liquidación de los intereses.

Tasa adelantada es la que se descuenta del capital antes del vencimiento de laoperación, disminuyendo de esta manera, el valor nominal de una letra decambio, pagaré, un titulo valor o cualquier otro documento sometido adescuento.

Según el cumplimiento de la obligación:

Tasa compensatoria: Es el pago que el deudor efectúa en compensación por el uso del dinero, es la tasa utilizada tanto en las operaciones activas como

pasivas.


25/179


26/179



De todo lo anterior nos queda claro, que la tasa nominal nos permitedeterminar la tasa efectiva por periodo de capitalización, cuando la tasanominal es anual y el período de capitalización es menor a la de un año; la tasaefectiva lo obtenemos dividiéndola por la frecuencia de capitalización. La tasanominal también puede estar dado en un período menor al período decapitalización, esto nos autoriza a proponer por ejemplo, una tasa nominalmensual con capitalización trimestral, en este caso determinaremos la tasaefectiva trimestral multiplicando la tasa nominal mensual por tres meses queincluye un trimestre.

Además la tasa nominal, lo podemos expresar en diferentes períodos detiempo como por ejemplo, tasa semestral con capitalización trimestral, tasatrimestral con capitalización mensual, o cualquier otra forma de presentarlo deacuerdo a lo analizado.

De lo manifestado anteriormente la tasa proporcional se puede expresar independiente mente de la frecuencia de capitalización de los intereses y estolo ilustramos mediante el siguiente ejercicio.

Ejemplo 2.3. Si la tasa de interés nominal es del 24% anual, las tasas proporcionales en períodos menores lo obtenemos de la siguiente manera:

Para un semestre j =

2

24.0= 0.12

j = 12%

Para un trimestre j =

4

24.0= 0.06

j = 6%

Para un mes j =

12

24.0= 0.02

j = 2%

Para 18 días j =

360

24.0x 18 = 0.012

j = 1.2 %

Consecuentemente, si la tasa nominal es 1.5% mensual la tasa proporcional enun período mayor lo obtenemos multiplicando:

Para un trimestre j = 0.015 x 3 = 0.045


27/179



j = 4.5 %

Para un semestre j = 0.015 x 6 = 0.09 j = 9 %

Para un año j = 0.015 x 12 = 0.18 j = 18 %

La tasa efectiva por periodo de capitalización, es igual a la tasa nominaldividida por la frecuencia de capitalización, si esta expresión lo remplazamosen la fórmula del monto, nos permitirá deducir una fórmula para calcular latasa nominal proporcional y anual.

S = P nm

.j1

De la cual deducimos una fórmula que nos permite calcular la tasa nominal

nm

.j1 =

P

S

m

J1 = n

P

S

m

J= n

P

S- 1

j =

1m n

P S

Ejemplos 2.3 Si la cantidad de 100,000 capitalizado trimestralmente durante4 años, asciende a S/. 180,000 ¿cuál es la tasa de interés nominal anual?.

j = 4

116

000,100

000,180

j = 0.1497

j = 14.97 %

Ejemplo 2.4 Al cabo de 3 años y 9 meses, se retira los intereses de undepósito, los mismos que ascienden a S/.33,718, si la capitalización essemestral, ¿A qué tasa de interés nominal anual se depositó la cantidad deS/.45,000?,Reemplazando valores en la fórmula, encontramos que el monto esdesconocido; pero por su definición sabemos que éste está constituido por el

capital más los intereses, luego tenemos:


28/179



. j = m

1n

P

S

j = 2

16

45

000,45

718,78

j = 2 15.7 74929.1

j = 2 x 0.07741

j = 0.1548

j = 15.48 %

2.5 Tasa Efectiva

La tasa efectiva indica con precisión cuál es la rentabilidad de una inversión oel costo de un crédito por período, la tasa efectiva es la que se utiliza en lasfórmulas de la matemática financiera, en el proceso de capitalización oactualización del dinero, así como el cálculo de cualquier otro indicador financiero.

La mencionada tasa, expresa el verdadero rendimiento que produce una

colocación en una operación financiera; es la que efectivamente actúa sobre elcapital y a diferencia de la tasa nominal, la tasa efectiva no se divide ni semultiplica, esta se potencia o se radica según el caso, para convertirse en unatasa equivalente de diferente periodo de capitalización. Refleja el periodo deconversión de los intereses en capital, El hecho de capitalizar el interés dos omás veces durante un año, da lugar a una tasa efectiva anual mayor a la tasanominal anual.

Para obtener la tasa efectiva, podemos utilizar más de una fórmula según losdatos de los que se disponga, si para deducir la fórmula de la tasa de interés

efectiva, partimos de la fórmula del monto S = ni1P y despejamos iobtenemos la siguiente expresión:

i = n P

S - 1

Expresión que nos permite calcular la tasa efectiva por periodo decapitalización.

Cuando se conoce la tasa nominal anual, la tasa efectiva por periodo decapitalización lo obtenemos dividiendo a la tasa nominal por la frecuencia de


29/179



capitalización de la manera siguiente: i =m

j, dicha expresión está formado

por los elementos:

i = tasa efectiva

j = tasa nominalm = frecuencia de capitalización en el periodo de un año

Ejemplo 2.5 Un capital de S/. 40,000 es colocado por un período de 5 años auna tasa de interés anual convertible trimestralmente, generando un monto deS/.83,526.08. Calcular la tasa efectiva anual

En este caso se conoce el monto, el capital, el período de tiempo y lafrecuencia de capitalización, la tasa efectiva anual lo calculamos de lasiguiente manera:

Primero calculamos la tasa efectiva por periodo de capitalización, en este casotrimestral.

i = 1nP

S

i = 12040,000

83,526.08

i = 0.0375

i = 3.75% tasa efectiva trimestral

Luego calculamos la tasa efectiva anual, potenciando la tasa efectivatrimestral, dado a que la tasa efectiva no se divide ni se multiplica, sino que se

potencia o se radica según el caso, para convertir una tasa efectiva de un periodo menor en una tasa efectiva de un periodo mayor se potencia y paraconvertir una tasa efectiva de un periodo mayor en una tasa efectiva de un

periodo menor se radica.

En este caso lo potenciamos con la formula:

i = 1ni1

i = 140375.01

i = 0.15865

i = 15.865% tasa efectiva anual


30/179



Cuando en vez del monto utilizamos como dato el interés, el capital y elnúmero de periodos de capitalización hacemos uso de la siguiente fórmula:

i = 1n1

P

I1

Utilizando los datos del ejercicio que nos permitió hacer uso de la formulaanterior calculamos la tasa efectiva de la siguiente manera:

i = 1201

000,40

08.526,431

i = 0.0375 tasa efectiva trimestral

i = 140375.1

i = 15.865% tasa efectiva anual

Los resultados nos demuestran que se pueden utilizar las fórmulasindistintamente.

Ejemplo 2.6 Calcular la tasa efectiva anual, que se impuso a un depositoefectuado en una cuenta de ahorros por S/.6,000 y generó un interés

compuesto de 360 en un período de tres meses, si la capitalización es mensual,(utilizar las dos fórmulas).

Utilizando la fórmula a partir del monto:

i = 1nP

S

i = 13

6,000

6,360

i = 0.019612822 Tasa efectiva mensual

i = 112019612822.1

i = 0.2625

i = 26.25 % Tasa efectiva anual


31/179



Con la fórmula, tomando como dato el interés:

i = 131

000,6

3601

i = 0.019612822 Tasa efectiva mensual

i = 112019612822.1

i = 0.2625

i = 26.25 % Tasa efectiva anual

El resultado es el mismo en ambos casos.

Ejemplo 2.7 Calcular la tasa efectiva trimestral de una colocación de S/.5,000 por un período de 1 año, espacio de tiempo en el cual se obtuvo por conceptode intereses la cantidad de S/. 849.29

i = 141

000,5

29.8491

i = 14/1

169858.1

i = 0.04i = 4 % trimestral

o también:

i = 145,000

5,849.29

i = 0.04

i = 4% trimestral

La tasa efectiva anual también lo podemos obtener conociendo la tasa nominalanual y la frecuencia de capitalización mediante el siguiente razonamiento:

La tasa efectiva anual es igual al interés dividido por el capital P

I y el interés

es igual al monto menos el capital (S – P), luego tenemos:

i =

P

PS


32/179



Reemplazando S por su fórmula con el uso de la tasa nominal j y la frecuenciade capitalización m se tiene:

i =P

Pn

m

j1P

Simplificando el segundo miembro obtenemos la formula requerida en base ala tasa nominal:

i =n

m

j1

- 1

Ejemplo 2.8 Un ahorrista desea saber, cuál es la tasa efectiva de interés anualde un depósito efectuado en un banco que paga el 18% de interés anual concapitalización mensual.

i = 112

12

18.01

i = 112015.1

i = 0.1956

i = 19.56%

2.6 Tasas equivalentes.

Una tasa de interés efectiva dada en un periodo puede convertirse en otra tasaefectiva de un periodo diferente, es decir, en una tasa efectiva equivalente;debido a que, toda tasa de interés efectiva de un periodo determinado decapitalización tiene su tasa de interés efectiva equivalente en otro periodo decapitalización.

En las operaciones financieras se presentan diversos casos, como el de

convertir una tasa efectiva de un periodo menor en una tasa efectiva de un periodo mayor y en el sentido opuesto, convertir una tasa efectiva de un periodo mayor en una tasa efectiva de un periodo menor.

2.6.1 Cálculo de la tasa equivalente.

A partir de una tasa efectiva se puede obtener otra tasa efectiva de diferente período, presentándose dos casos bien definidos, el primero consistente endada una tasa efectiva de un periodo menor encontrar su equivalente en un

periodo mayor y para esto se potencia y un segundo caso que consiste en

convertir una tasa efectiva de un periodo mayor en su equivalente de un periodo menor y en este caso se radica.


33/179



Primer caso: Una tasa efectiva de un periodo menor es susceptible deconvertirse en otra tasa de un periodo mayor mediante la potenciación.

Ejemplo 2.9 Convertir la tasa efectiva mensual del 1.5% en una tasaefectiva trimestral, semestral y anual.

iT = 1ni1 M

iT = 13015.1

iT = 0.045678

iT = 4.57% trimestral

iS = 1ni1 M

iS = 16015.1

iS = 0.0934433

iS = 9.34 % semestral

iA = 1ni1 M

iA = 112015.1

iA = 0.1956

iA = 19.56 % anual

Segundo caso: Una tasa efectiva de un periodo mayor, es susceptible deconvertirse en una tasa efectiva de un periodo menor mediante la radicación

Ejemplo 2.10 Convertir la tasa efectiva anual del 16.986% en tasa efectivasemestral, trimestral y bimestral.

iS = 1n i1 A

iS = 116986.01

iS = 0.0816

iS = 8.16 % semestral

iT = 14 16986.01


34/179



iT = 0.04

iT = 4 % trimestral

iB = 16 16986.01 iB = 0.0265

iB = 2.65 % bimestral

2.6.2 Conversión de tasas.

La tasa de interés nominal y la tasa efectiva normalmente se utilizan en el

mercado financiero, la tasa nominal es solamente una forma de expresar unatasa efectiva, en cambio la tasa efectiva, es la que se aplica directamente en lasformulas de la matemática financiera y estas son susceptibles de convertirseuna en otra mutuamente cuyo tema analizamos a continuación.

a. La tasa nominal a partir de la tasa efectiva.

Cuando la frecuencia de capitalización de los intereses es anual la tasanominal anual es igual a la tasa efectiva anual j = i

Si la frecuencia de capitalización de los intereses esta dado en periodosmenores a un año, la tasa nominal anual, lo obtenemos a partir de la fórmulade la tasa efectiva anual.

Partimos de la fórmula de la tasa efectiva.

i = 11

n

m

j

n

m

j

1 = 1 + i

m

j1 = n i1

m

j= n i1 - 1

j = m 11 n i


35/179



En este caso la incógnita es la tasa nominal y el dato es la tasa efectiva,obtener la tasa nominal significa encontrar una tasa, ajuntando información dela frecuencia de capitalización representado por el valor de m.

Ejemplo 2.11 Si un banco paga por depósitos en cuentas de ahorro una tasaefectiva anual del 12.75% ¿Cuál será la tasa nominal anual, si los intereses secapitalizan diariamente?.

jA = m 1n 1 Ai

jA = 360 1360 1275.01

jA = 0.12

jA = 12 % anual

Ejemplo 2.12 ¿Cuál será la tasa nominal anual a partir de la tasa efectivaanual del 20.17%, si los intereses se capitalizan trimestralmente?.

jS = m 11 n Ai

jS = 4 14 2017.01

jS = 0.1880 jS = 18.80 % anual

Para deducir la fórmula que nos permita obtener la tasa nominal a partir deuna tasa efectiva, también podemos utilizar el siguiente razonamiento: Elmonto de una unidad monetaria la tasa efectiva i, transcurrido un determinado

período de tiempo es igual a 1+i, y el monto de una unidad monetariacolocado a la tasa nominal j en el mismo período de tiempo a una frecuencia

de capitalización m esn

m

j

1 ; la ecuación de equivalencia entre estos dos

montos es:

1 + i =n

m

j

1

Despejando j de la ecuación:

m

j1 = n i1

m

j

= 11 n

i


36/179


37/179



2.7 Tasa de inflación

La tasa de inflación es una tasa efectiva, indicadora del crecimiento sostenidode los precios de los bienes y servicios de la economía, en un período detiempo determinado, (calculada por Instituto Nacional de Estadística eInformática INEI) sobre la base de una canasta básica de consumo familiar,tomada en una fecha cuya estructura de costos en la actualidad está referido alaño base 1994.

Para el cálculo de la tasa de inflación se utiliza el índice de precios alconsumidor IPC, debido a que es uno de los indicadores económicos másimportantes que permite conocer el comportamiento inflacionario en unadeterminada economía; debido a que mide la variación promedio de precios delos bienes y servicios consumidos habitualmente por un conjunto de familiascon diversos niveles de ingreso, e una determinada arrea geográfica.

Para calcular la tasa de inflación a la que lo representamos por f hacemos usode la fórmula:

f =0 IPC

IPC n - 1

IPC0 = IPC base

IPCn = IPC actual

EVOLUCION DE LA INFLACIÓN EN EL PERUVariación porcentual anual

Año IPC Inflación

19911992199319941995

199619971998199920002001200220032004

41.6729500065.3156500091.10207000105.1200000115.8700000

129.5900000137.9600000146.2500000151.7000000157.3600000157.1600000101.5200000104.0400000107.6600000

139.23%56.73%39.48%15.39%10.23%

11.84%6.46%6.01%3.73%3.73%

(0.13%)1.52%2.48%3.48%

La información nos permite calcular la tasa inflacionaria par cualquiera de losaños.


38/179



Ejemplo 2.13 Calcular la tasa de inflación para el año 2004, con los índicesde precios al consumidor de la tabla..

En este caso consideramos que los índices de precios están dados al 31 deDiciembre de cada año.

f =0 IPC

IPC n - 1

f =04.104

66.107- 1

f = 0.0348

f = 3.48 %

Con la fórmula podemos calcular la inflación anual, semestral, trimestral,mensual etc. Utilizando correspondientemente los índices de precios.

2.8 Tasa real

Es la tasa de interés efectiva anual deflactada. Es decir la tasa efectiva anualdeducida el efecto de la inflación o de la elevación de los precios.

En el estudio de las tasas hasta el momento, hemos obviado el efecto de lainflación, tal es así que en el valor nominal de la unidad monetaria no se tomóen cuenta la variación de su poder adquisitivo a través del tiempo por elincremento general de los precios de los bienes y servicios La tasa real

permite medir el grado en el que los valores nominales que se ubican en elfuturo serán erosionados por la inflación.

Cuando la inflación en un país es alta, la variación de los precios de los bienesy servicios genera disminución en la capacidad adquisitiva del dinero. Paraajustar el valor nominal del dinero a fin de que refleje su valor real, hacemosuso de la tasa deflactada, deduciendo el efecto de la tasa inflacionaria delmismo período; llamada tasa real:

r = 11

1

f

i

o también

r = f

f i

1

i = Tasa efectiva anual


39/179



f = Tasa de inflaciónr = Tasa real

Ejemplo 2.14 Las empresas más importantes del Departamento de Ancashhan efectuado aumentos de sueldos y salarios a sus trabajadores en el ordendel 22 %, 18 %, 14 % y 10 %, en una economía con una tasa anual promediode inflación del 14 %. Determinar la tasa real de incremento de sueldos ysalarios.

Con el uso de la primera fórmula:

r = 114.01

22.01

r = 0.0702

r = 7.02 % de aumento real

r = 114.01

18.01

r = 0.0351

r = 3.51 % de aumento real

r = 114.01

14.01

r = 0

r = 0% de aumento real

Cuando por disposiciones legales se establece que los sueldos y salarios estánindexados a la tasa inflacionaria, los aumentos deben ser equivalentes alaumento de la tasa de inflación, neutralizando los efectos de la inflaciónmanteniendo estable el nivel de vida de los trabajadores, sin mejorarlo ni

empeorarlo realmente.Pero cuando porcentualmente los aumentos monetarios de sueldos y salariosson inferiores a .la tasa inflacionaria, la tasa real es negativa, indicador querefleja una pérdida del poder adquisitivo del dinero recibido por concepto deremuneraciones

r = 114.01

10.01

r = - 0.0351

r = 3.51 % de disminución real


40/179



Por consiguiente un aumento del 10 % no compensa la pérdida del valor realde los sueldos y salarios por estar por debajo de la tasa inflacionaria.

Ejemplo 2.15 Calcular la tasa real de un préstamo que debe ser revertido enseis meses a una tasa efectiva anual del 20% y la tasa inflacionaria acumuladadurante el período se estima en el 4%.

Previamente determinamos la tasa efectiva semestral

iS = 120.01

iS = 0.095445115

iS = 9.54 %

Remplazamos datos en la formula y obtenemos la tasa real

r = 104.01

0954.01

r = 0.0533

r = 5.33 % en seis meses

2.9 Tasas reajustadas por efectos de inflación

De acuerdo a los resultados: la tasa efectiva semestral es del 9.54% y una tasareal del 5.33% y la tasa de inflación de acuerdo a los datos del 4%.

Observamos que la tasa real es menor a la tasa efectiva. Pero si se requieremantener el valor de la tasa real equivalente a la tasa efectiva lo reajustamosde la siguiente manera:

Calculamos la nueva tasa efectiva

i = i1 f 1 - 1

i = 0.09541 0.041 - 1

i = 0.1392

La nueva tasa real ajustada por efectos de inflación

r = 104.01

1392.01

r = 0.0954

r = 9.54 %


41/179



2.10. istado de Formulas

Fórmula Factor Obtiene

S = P ni1FSC Monto compuesto

P = S

ni1

1 FSA Valor actual o capital

i = 1n

P

S

i = 1nP

I1

Tasa de interés efectiva

n = i1log

logp-Logs Número de periodos decapitalización

I = 1i1P n Interés compuesto

P = 1i1

I

nCapital

i =m

jTasa efectiva por periodo decapitalización

J =

1

P

Sm

Tasa nominal capitalizable mveces

r = 1f 1

i1

Tasa real


42/179



2.11 Problemas propuestos

1. Hallar la cantidad necesaria a depositar en una cuenta que paga el 20 %anual con capitalización trimestral, para disponer de S/. 22,000 al términode 8 años.

2. Una persona debe pagar S/ 30,000 dentro de 2 años y acuerda con suacreedor pagar S/. 10,000 de inmediato y por el resto firmar un pagaré convencimiento a 3 años. ¿Cuál será el valor del pagaré, si la tasa de interés esdel 20% anual con capitalización semestral?.

3. Hace 8 meses se depositó en un banco un capital al 2.5 % efectivomensual. Determinar el valor del depósito si el monto acumulado es deS/.3,898.89.

4. Cuanto será necesario depositar en una cuenta que paga el 18 % anual concapitalización diaria, para disponer de S/. 18,000 dentro de 180 días?.

5. Un capital de S/. 28,000 se coloca en dos partes; la primera a una tasaefectiva anual del 18 % y la segunda a una tasa efectiva anual del 20 % y altérmino de 10 años, el monto de la primera es el triple del monto de lasegunda. Determinar cuánto se coloco en cada caso.

6. Calcular la tasa efectiva trimestral necesaria aplicar a una colocación deS/.4000 para generar un interés de S/. 679.43 durante un año.

7. Al cabo de 2 años y 6 meses, se dispone de un fondo de S/. 6,661.10. ¿Aqué tasa de interés nominal con capitalización trimestral se depositó lacantidad de S/. 4,500?,

8. Cuál será la tasa nominal anual que capitalizable mensualmente, seaequivalente a una tasa efectiva anual del 19.56

9. ¿Cuánto tiempo será necesario para que un capital de S/. 6,000 se conviertaen S/. 9,650.62 a una tasa nominal anual del 24 % con capitalizaciónmensual?.

10. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancariode $1000.00, pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente,en el periodo de un año? R = 19.56


43/179



A P I T U L O III

3. DESCUENTO COMPUSTO.

Después de haber analizado los indicadores como el monto y el valor actual ainterés compuesto, estamos en condiciones de aprender fácilmente lo quecorresponde al descuento compuesto, puesto que también es una forma de

interés con la diferencia que se paga por anticipado; debido a que la entidadfinanciera que realiza el descuento, ejecuta el cobro del interéscorrespondiente al tiempo que falta para el vencimiento del documentosometido a descuento y la diferencia entre el valor nominal (valor que figuraen el documento) y el descuento, viene a ser el valor efectivo o líquido,cantidad que es entregado al propietario del documento respectivo.(Economía, 2013)

Una operación de descuento consiste en obtener el pago anticipado de un títulovalor o de un documento de crédito como el pagaré, letra de cambio, etc. Por

medio de una entidad bancaria, deduciendo el interés llamado descuento, por el tiempo que falta para el vencimiento del documento

El tema del descuento lo hemos tratado también en el curso de MatemáticaFinanciera I, con los mismos argumentos y procesos. La diferencia radica,únicamente en el tipo de interés. El primer curso aplica y desarrolla el interéssimple y Matemática Financiera II curso en proceso de desarrollo, aplica elinterés compuesto.

En esta oportunidad desarrollaremos las dos clases de descuentos, que a

continuación se mencionan, utilizando los criterios y técnicas del interéscompuesto:

a. El descuento compuesto racional, verdadero o legal y; b. El descuento compuesto bancario.

3.1 Descuento Racional.

Al descuento racional se le denomina también, descuento verdadero,matemático o legal. Este tipo de descuento es la diferencia entre el valor

futuro por pagar y su valor actual o efectivo y lo representamos por “D”.


44/179


45/179



D = 100,000

424.01

11

D = 100,000

424.1

1

1

D = 100,000 (0.5770264)

D = 57,702.64

Ejemplo 3.2 Si el ejercicio anterior estuviera afectado por una tasa dedescuento compuesto con una capitalización semestral, el descuento sería:

D = 100,000

812.1

11.

D = 100,000 (0.596116772)

D = 59,611.68

3.1.2 Valor efectivo

El valor efectivo o líquido, es el importe anticipado por la entidad financiera al

cliente o tenedor del documento y se obtiene restando del valor nominal de laletra, el valor de todos los costos originados por el descuento (intereses,comisiones y otros gastos). El tenedor o propietario del título valor, cede eldocumento a la entidad financiera y esta le abona el importe en dineroequivalente al valor efectivo. (Financieros, S.F.)

Por definición

Ve = Vn - D

Ve = Vn - Vn

n

d 1

1

1

Ve = Vn

nd 1

111

Ve = Vn

nd 1

111

Ve = Vn

nd 1

1


46/179



La fórmula del valor efectivo también lo podemos obtener a partir del valor

nominal.

Vn = Ve nd 1

Ve = Vn

nd 1

1

Ejemplos 3.3. Hallar el valor efectivo de una letra de valor nominal S/.8,000,sometida a descuento 1 año y 3 meses antes de su vencimiento, a una tasa dedescuento del 20% anual con capitalización trimestral

Ve = 8,000

505.1

1

Ve = 6,268.21

Ejemplos 3.4. Se desea descontar una letra de S/.5.250 cuando aún faltan 270días para su vencimiento a una tasa de interés anual del 18% concapitalización mensual.

El periodo de descuento esta dado en días y por equivalencia nos permitetransformarlo en meses que coincide con la frecuencia de capitalización.

Ve = 5,250

905.1

1

Ve = 3,384.20

3.1.3 Valor nominal

Es el importe invariable que figura escrito en el título valor o documento, que puede ser una letra de cambio, pagar é o hipoteca, acción, bono o cualquier

otro documento representativo de una deuda o un derecho, y se considera un precio virtual o de referencia, que es asignado por el propietario o personanatural o jurídica que lo ha emitido. (Economía, 2013)

Como el valor nominal es el importe que figura en el documento sometido adescuento, lo podemos obtener en base al descuento o en base al valor efectivo, de acuerdo a la información de la que se disponga.

Para el primer caso deducimos la fórmula a partir del descuento y utilizamoslos datos del ejercicio anterior


47/179



D = Vn

nd 1

11

D = Vn

nd

nd

1

11

Vn = D

11

1n

d

nd

Ejemplos 3.5. Hallar el valor nominal de una letra, que sometido a descuentoracional faltando dos años para su vencimiento a la tasa del 20% anual concapitalización trimestral, se obtenga un descuento de S/.6,820

Vn = 6,820

1805.1

805.1

Vn = 26,674.04

Ejemplos 3.6. Por cuanto será necesario emitir una letra, que descontada 1año y 3 meses antes de su vencimiento, a la tasa del 18% anual concapitalización mensual, el banco cobre por concepto de descuento S/.1,120?.

Vn = 1,120

115015.1

15015.1

Vn = 5,595.85

En el segundo caso en base al valor efectivo:

Vn = Ve

nd 1

1

Vn = Ve (1+d)

n

Ejemplo 3.7. Calcular el valor nominal de un pagaré sometido a descuentoracional 4 años antes de su vencimiento a la tasa de descuento del 24% anual,con capitalización anual, si se conoce que el valor efectivo es de S/.42,297.36.

Vn = 42,297.36 (1.0.24)4

Vn = 42,297.36 (2.36421376)

Vn = 100,000


48/179



Ejemplo 3.8. Hallar el valor nominal de una letra que sometido a descuentoracional 1 años y 6 meses antes de su vencimiento a la tasa del 24% anual,con capitalización bimestral se obtenga un valor efectivo es de S/.14,290.

Vn = 14,290(1.04)9

Vn = 14,290(1.42331)

Vn = 20,339.13

3.2. Descuento Bancario

El descuento bancario es una operación financiera que consiste en la

presentación de un título valor o documento de crédito en una entidadfinanciera para que ésta haga efectivo el importe del documento previadeducción de un interés por el periodo que falta para su vencimiento ygestione su cobro. El tenedor cede el título al banco y éste le abona su importeen dinero, descontando el importe de la cantidad cobrada por los servicios

prestados.

En el descuento bancario el valor liquido de un título valor es menor que elvalor efectivo calculado a una tasa de interés vencida, debido a que eldescuento bancario se obtiene sobre el valor nominal, es decir sobre el valor

futuro de un documento de crédito o titulo valor. En consecuencia eldescuento bancario es mayor que el interés. (Financieros, S.F.)

El descuento bancario es una operación de activo para las entidadesfinancieras y uno de los servicios bancarios de financiación más utilizados por las empresas. La operación consiste en que la entidad financiera adelanta alacreedor que emite el documento o al tenedor, el importe de un título decrédito no vencido, descontando los intereses que corresponden por el tiempoque media entre la fecha de la ejecución del descuento y la fecha devencimiento del crédito, las comisiones y demás gastos.

Los títulos valores proceden de dos fuentes: El primero de una operación en laque las entidades financieras conceden un préstamo, documentándolo en unaletra de cambio. El banco presta el dinero a su cliente, abonando el líquidoresultante de descontar al nominal de la operación los intereses pactados, lacomisión de apertura del crédito, y otros gastos incurridos en la operación ytodo este proceso toma el nombre de descuento financiero. El segundo caso esel originado por operaciones mercantiles, es decir, existen relacionescomerciales entre el cliente y el proveedor. El proveedor o acreedor adopta lafigura de girador del documento, contra su cliente, el deudor o libradoconcediéndole aplazamiento en el pago. Si el acreedor decide negociar ydescontar el efecto comercial, tendrá que endosar ese documento de crédito, afavor de la entidad bancaria cediéndole el derecho de cobro, frente al deudor.


49/179



Así, el girador o cualquier otro tenedor legítimo que lleve a cabo estaoperación, cobra anticipadamente en la fecha del descuento, el efectivo

procedente de restar al nominal los intereses y gastos, y la entidad financierarecibirá el nominal del efecto comercial en la fecha de vencimiento, a estaoperación se le conoce como descuento comercial; pero el funcionamiento esel mismo, de manera que en este caso lo trataremos únicamente comodescuento bancario (Financieros, S.F.)

Cuando la persona legitimada para cobrar el valor del documento, negocia conel banco la cesión del título de crédito, transmite la propiedad del efecto y elriesgo inherente. Es por esto que las entidades financieras aceptan latransmisión de la titularidad del crédito salvo buen fin, puesto que el clientequeda obligado a reintegrar el nominal más comisiones y gastos de devolucióncuando el crédito no es pagado a su vencimiento por el deudor.

Línea de descuento

Para poder realizar el descuento habitual de efectos, la empresa solicita a laentidad financiera una línea de crédito y ésta lo concede después de un estudioa la empresa solicitante sometiéndolo a una calificación de riesgo comercial, aesta se conoce como línea de descuento, con un límite máximo de volumen dedescuento y tiempo y unas condiciones para su renovación a su vencimiento,como clases de papel, porcentaje de impagados, compensaciones, saldos

bancarios y otros.Los documentos que pueden ser descontados son lossiguientes: Recibos, Cheques bancarios. Talones de cuentas corrientes. Pagarés.

Letras de cambio, Certificaciones de obras. Contratos. Pólizas. Títulos dedeudas amortizables, Cupones de valores públicos y otros. (pagarés, 2014)

Para efecto de los cálculos en la solución de problemas de aplicaciónutilizaremos la simbología siguiente:

D = Descuento bancarioVn = Valor nominal del documentoVL = Valor líquido del documento o efectivo.d = Tasa de descuento

Para obtener el valor líquido de un documento de crédito o título valor,desplazamos el valor nominal de derecha a izquierda en la escala de tiempo.

Fig. 3.2

VL Vn| |

0 1

De manera que el valor líquido en un período, aplicando lo indicando en elgráfico será:


50/179



VL = Vn(1-d)

El valor líquido para dos períodos

Fig. 3.3

VL Vn

0 1 2

VL = S(1-d)2

En consecuencia, el valor líquido para n períodos será:

VL = Vn (1-d)n

El factor (1-d)n es el valor 1quido de una unidad, al tipo de descuento periódico d en n períodos de tiempo.

3.2.1 Cálculo del descuento bancario

El descuento por definición, es la diferencia entre el valor nominal y el valor líquido y esto nos permite deducir la fórmula del descuento.

D = Vn - VL

D = Vn - Vn nd 1

D = Vn

nd 11

Ejemplo 3.9. Un comerciante somete a descuento bancario una letra de valor nominal S/.12,000 con vencimiento a 3 años a la tasa del 18% anual concapitalización trimestral. ¿Cuál será el importe del descuento?.

D = 12,000

12045.011

D = 5,094.12

Ejemplo 3.10. Hallar el descuento bancario que se obtendría de un efecto devalor nominal S/.15,000, sometido a descuento 2 años antes de suvencimiento al 24% anual con capitalización bimestral.

D = 15,000

1204.011

D = 5,809.35


51/179



3.2.2 Valor líquido

VL = Vn nd 1

El valor líquido es el importe que recibe el tenedor o propietario deldocumento sometido a descuento, al ceder la titularidad del efecto a la entidadfinanciera para su cobro al deudor o librador al vencimiento del crédito.

Ejemplo 3.11 Hallar el valor líquido que se obtendría de un documento decrédito de valor nominal S/.50,000, sometido a descuento 2 años y 6 mesesantes de su vencimiento a la tasa de descuento del 16% anual concapitalización semestral.

VL = 50,000

508.01

VL = 32,954.08

Cuando la tasa de descuento esta dado con capitalización en períodosfrecuentes se divide previamente la tasa de descuento por la frecuencia decapitalización y el número de periodos se expresa en función a esta.

Ejemplo 3.12 Calcular el valor líquido que se obtendría de una letra de

S/.75,000, descontada 2 años y 3 meses antes de su vencimiento al 24% anualcon capitalización trimestral.

En este caso la tasa lo dividimos previamente por 4 trimestres que tiene el añoy lo elevamos a 17 trimestres contenidos en 4 años y 3 meses.

VL = 75,000 906.01

VL = 75,000 994.0

VL = 42,974.61

3.2.3 Valor nominal

El valor nominal es el importe que figura en el documento sometido adescuento, es la cantidad por la que se emitió el efecto, indicando el monto dela deuda a pagar a su vencimiento.

El valor nominal lo podemos obtener a partir de la fórmula del descuento o dela fórmula del valor líquido, según los datos de los que se disponen.


52/179



a. Valor nominal en función al descuento. En este caso, deducimos la fórmulaa partir del descuento.

D = Vn

nd 11

Vn = nd

D

11

Vn = D

Libro de Matemáticas Financieras II 2015.pdf

Documents

Transcript of Libro de Matemáticas Financieras II 2015.pdf