THE LIBRARY OF DĒMĒTSANA:

THE CODEX 72 OF THE 18th CENTURY

NAMED ΄ΜΑTHĒMΑΤΑRΙΟΝ΄THE MATHEMATICAL EDUCATION IN GREECE DURING THE TURKISH RULE

Ἡ διδασκαλία τῶν Μαθηματικῶν στήν τουρκοκρατούμενη Ἑλλάδα ἦταν προβληματικὴ λόγω ἔλλειψης καταρτισμένων δασκάλων. Οἱ συντηρητικοὶ μάλιστα δάσκαλοι καὶ ἐπιστήμονες δὲν συμπαθοῦσαν τὶς θετικὲς Ἐπιστῆμες, καὶ εἰδικὰ ὅσον ἀφορᾶ στὴ Φυσικὴ καὶ τὰ Μαθηματικὰ τὰ θεωροῦσαν ἄχρηστα καὶ ἐπικίνδυνα διότι ἀπομάκρυναν κατὰ τὴν ἄποψή τους τοὺς ἀνθρώπους ἀπὸ τὸ θεὸ καὶ τὴ Χριστιανικὴ θρησκεία, καὶ στὶς σχολὲς ποὺ εἶχαν ἐξουσία ἀπαγόρευαν τὴ διδασκαλία τους. Σημειωτέον ὅτι οἱ φυσικὲς καὶ γενικὰ οἱ θετικὲς Ἐπιστῆμες ἐμφανίζονται στὸ πρόγραμμα σπουδῶν ἀπὸ τὰ μέσα τοῦ 18ου αἰ. καὶ μετά.Σύμφωνα μὲ τὸν Ἀ. Πέκιο, ἐνῷ κατὰ τὸν 18ον αἰ. ἐκδόθηκαν 170 συγγράμματα μὲ θρησκευτικὸ χαρακτήρα, μόλις 20 ἐκδόθηκαν μὲ περιεχόμενο ποὺ ἀφοροῦσε ὅλες τὶς ἄλλες ἐπιστῆμες.

Τὸ ἐκπαιδευτικὸ ἔργο τῆς Σχολῆς τῆς Δημητσάνας κρίνεται σπουδαῖο. Οἱ ἀπόφοιτοί της θεωροῦνταν ἄριστοι γνῶστες τῶν ἀρχαίων Ἑλλήνων καὶ Λατίνων συγγραφέων, ἡ δὲ διδασκομένη ὕλη μπορεῖ νὰ ἦταν λίγη σὲ ἔκταση ἀλλὰ σύμφωνα μὲ ὁρισμένες μαρτυρίες ἦταν Πανεπιστημιακοῦ ἐπιπέδου. Αὐτὸ εἶναι ἀναμενόμενο ἐφ' ὅσον ἐπρόκειτο κατ' οὐσίαν γιὰ μία ¨Πατριαρχικὴ Σχολή¨, ὅρος ποὺ σημαίνει ὅτι σὲ κάποια φάση τῆς λειτουργίας της ἀναγνωρίστηκε μὲ Πατριαρχικὸ Σιγίλλιο (ἢ Συνοδικὴ Ἐγκύκλιο), τὸ ὁποῖο χαρακτήριζε μία Σχολὴ ὡς ἀνεξάρτητη ἀπὸ ὁποιοδήποτε πρόσωπο ἢ ἀρχή, καὶ μὲ ὑποχρέωση νὰ δίνει ἀναφορὰ μόνο στὸ Πατριαρχεῖο.

Αὐτὲς οἱ Σχολὲς δέ, θεωροῦντο ¨Ἀνώτερες¨. Εἶναι χαρακτηριστικὸ ὅτι στὴ Σχολὴ ἔφθαναν ἀπὸ Κωνσταντινούπολη, Τεργέστη, Σμύρνη, καὶ ἄλλα μέρη ὅλα τὰ νέα βιβλία, τὰ ὁποῖα ἦταν πνευματικὲς δημιουργίες τῶν Ἑλλήνων λογίων ποὺ μὲ αὐτὸν τὸν τρόπο βοηθοῦσαν στὴ διεύρυνση τῶν κύκλων τῶν διδασκομένων μαθημάτων στὰ σχολεῖα τῆς πατρίδας τους. Ἀλλὰ καὶ οἱ ἴδιοι οἱ διδάσκαλοι εἶχαν μεγάλο ζῆλο καὶ φαίνεται ὅτι δὲν διέκοπταν τὴ διδασκαλία τους οὔτε μία ἑβδομάδα μέσα στὸ ἔτος. Οἱ διδάσκαλοι τῆς Σχολῆς δὲν συνέγραψαν βιβλία, ἀλλὰ μόνο τὰ δίδασκαν.Ὅπως δείχνουν τὰ Μαθηματάρια ποὺ βρέθηκαν στὴ Σχολὴ Δημητσάνας, οἱ μαθητὲς τῆς Σχολῆς ἐδιδάσκοντο μεταξὺ τῶν ἄλλων θεωρητικὴ καὶ πρακτικὴ Ἀριθμητικὴ καθὼς καὶ Εὐκλείδεια Γεωμετρία, γιὰ τὴ διδασκαλία τῆς ὁποίας χρησιμοποιοῦσαν τὸ χειρόγραφο 72 ποὺ κάλυπτε ὕλη ἀπὸ τὴν Γ΄ Γυμνασίου ἕως καὶ τὴ Γ΄ Λυκείου. Ἡ Σχολὴ δὲ δικαιώνει τὸ χαρακτηρισμό της ὡς Ἀνωτέρα ἀφοῦ τὸ χειρόγραφο 49 ποὺ βρέθηκε σὲ αὐτὴ θεωρεῖται πὼς περιέχει ὕλη βασικὴ μέν, ἀλλὰ Πανεπιστημιακοῦ ἐπιπέδου (Ἄλγεβρα, Γεωμετρία, Τριγωνομετρία σφαιρικὴ καὶ μή, καμπύλες καὶ κωνικὲς τομές, Ἀπειροστικὸ Λογισμό, καὶ Ὁλοκληρωτικὸ Λογισμό). Γριτσόπουλος Ἀναστάσιος, Σχολὴ Δημητσάνης, Ἀθήνα 1962, σελ. 162- 169.

Ὁ συγγραφέας τοῦ κώδικα 72 ἦταν σύμφωνα μέ ὅλες τίς ἐνδείξεις ὁ Νικηφόρος Θεοτόκης, ὁ ὁποῖος ὑπῆρξε ἕνας ἀπὸ τοὺς πρώτους ἐπιστήμονες ποὺ προσπάθησαν να συνδυάσουν τὶς γνώσεις τῶν Ἀρχαίων Ἑλλήνων μὲ τὶς σύγχρονες τῶν Δυτικῶν Ἐπιστημόνων. Τὸ γεγονὸς αὐτὸ ὁδήγησε στὴν ἀνάδειξη τῆς δουλειᾶς τῶν Ἑλλήνων Ἐπιστημόνων ὡς τὸ κύριο κριτήριο γιὰ τὴν ἀξιολόγηση τοῦ πολιτισμοῦ τῆς ἐποχῆς του. Ὁ Νικηφόρος Θεοτόκης ἦταν ὁ σύνδεσμος τῶν παλαιοτέρων ἐπιστημόνων λογίων μὲ τοὺς δασκάλους τῶν νέων Φυσικῶν ἐπιστημῶν τῆς χρονικῆς περιόδου πρὶν τὴν Ἐπανάσταση, ὁ ὁποῖος ἀνέγραψε στὸ Ἐκπαιδευτικὸ Πρόγραμμα τῶν Ἑλληνικῶν σχολείων ὡς πρωτεύοντα τὴ Φυσικὴ καὶ τὰ Μαθηματικά.

Issues in the Historiography of Post- Byzantine Science, Boston Studies in the Philosophy of Science, Kluwer Academic Publishers, vol. 151, 1994. D. Dialetis- E. Nikolaidis, Trends in the Historiography of Science Στεφανίδης Μιχαήλ, Αἱ φυσικαὶ ἐπιστῆμαι ἐν Ἑλλάδι πρὸ τῆς Ἐπαναστάσεως: Ἡ Ἐκπαιδευτικὴ Ἐπανάστασις, Τυπογραφικὴ Ἑταιρεία Π. Δ. Σακελλάριος, Ἀθῆναι 1926, σελ. 11.

Ὁ κώδικας, τοῦ ὁποίου ὁ τίτλος εἶναι ¨Μαθηματάριον¨ ἐγράφη περί τά τέλη τοῦ 18ου αἰ., καί φέρει τὴ σφραγίδα τῆς Σχολῆς τῆς Δημητσάνας.

Τὸ πρῶτο μέρος του, δηλαδὴ αὐτὸ τῆς Γεωμετρίας (φ. 4α- φ. 149β) περιέχει τὸ 1ο βιβλίο στὸ ὁποῖο ὑπάρχουν οἱ βασικοὶ γεωμετρικοὶ ὁρισμοί (σημείου, εὐθείας, γωνίας, κύκλου, τριγώνου, παραλληλογράμμου, κ. ἄ.), καὶ ἀποδεικνύονται 48 προτάσεις.

Τὸ 2ο βιβλίο ἀφορᾶ στὰ παραλληλόγραμμα καὶ στὰ ἐμβαδά τους. Ἀποδεικνύονται 14 προτάσεις καὶ ἐπιλύονται 3 προβλήματα.

Τὸ 3ο βιβλίο ἀφορᾶ στὸν κύκλο καὶ περιέχει 37 προτάσεις.

Τὸ 4ο βιβλίο περιέχει τὰ ἐγγεγραμμένα καὶ περιγεγραμμένα σὲ κύ

κλο πολύγωνα, καὶ οἱ σχετικὲς προτάσεις εἶναι 17.

Τὸ 5ο βιβλίο λόγους καὶ ἀναλογίες, μὲ 25 προτάσεις καὶ 7 θεωρήματα.

Τὸ 6ο βιβλίο περιέχει τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα στὰ ὁποῖα ἀναφέρονται 33 προτάσεις.

Τὸ 11ο βιβλίο, τὸ ὁποῖο ἀναφέρεται ἀπὸ τὸν συγγραφέα, ὡς τὸ ¨1ο τῶν στερεῶν¨, περιέχει τὰ κεφάλαια τῆς Στερεομετρίας μέχρι καὶ αὐτὸ τῶν παραλληλεπιπέδων. Ἀναφέρονται δὲ 40 σχετικὲς προτάσεις.

Τὸ 12ο βιβλίο περιέχει προτάσεις σχετικὲς μὲ τὴν πυραμίδα, τὸν κῶνο, τὸν κύλινδρο, καθὼς καὶ τὰ ἐγγεγραμμένα καὶ περιγεγραμμένα σὲ αὐτὰ τὰ στερεὰ σχήματα. Οἱ προτάσεις εἶναι 17 καὶ ἀφοροῦν καὶ στὴ θεωρία τῆς σφαίρας.

• Τὸ δεύτερο μέρος τοῦ κώδικα (150α-180β) περιέχει ὕλη Ἀριθμητικῆς σχετιζομένη μὲ τοὺς ὁρισμοὺς τῶν ἀριθμῶν, τὶς πράξεις μεταξὺ αὐτῶν, τὸν ¨Πυθαγορικὸν Πίνακα¨, τὶς δοκιμὲς τῶν πράξεων, ὅπου καὶ ὁλοκληρώνεται ἀπὸ τὸν συγγραφέα τὸ 1ο βιβλίο τῆς Ἀριθμητικῆς. Στὸ 2ο βιβλίο τῆς Ἀριθμητικῆς περιέχονται τὰ κλάσματα καὶ οἱ πράξεις αὐτῶν, καθὼς καὶ οἱ δεκαδικοὶ μὲ τὶς πράξεις τους. Στὸ 3ο βιβλίο ἀναφέρονται μέθοδοι ὑπολογισμοῦ ριζῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν, καὶ συγκεκριμένα τετραγωνικῶν καὶ κυβικῶν ριζῶν. Τὸ 4ο βιβλίο περιέχει θέματα σχετικὰ μὲ τοὺς λογαρίθμους καὶ τὶς προόδους, καὶ τὸ 5ο βιβλίο ἀναφέρεται σὲ προβλήματα τῆς καθημερινῆς ζωῆς, ποὺ ἀφοροῦν κυρίως στὸ ἐμπόριο.

Νομίσματα-Μέτρα-Σταθμά Τὰ ἀναφερόμενα νομίσματα στὸ χειρόγραφο εἶναι ἡ δραχμὴ ὁ ὀβολὸς καὶ ἡ μνᾶ.Τὰ ἀναφερόμενα ἀπὸ τὸν συγγραφέα μέτρα μήκους εἶναι ὁ ποῦς, ὁ δάκτυλος καὶ ἡ ¨γραμ.¨ ( Ὁ συγγραφέας γράφει συγκεκριμένα: ¨Ὁ ποῦς εἰς 12 μέρη διαιρεῖται δακτύλους καλούμενα, ὁ δὲ δάκτυλος εἰς γραμ:12¨), ὁ τετράγωνος ποῦς καὶ ὁ τετράγωνος δάκτυλος.Σχετικὰ μὲ τὰ ἀνωτέρω ἐπισημαίνω ὅτι ἡ κυρία μονάδα τοῦ ἑλληνικοῦ μετρικοῦ συστήματος ἦταν ὁ ποῦς (0,3083μ.), ὁ ὁποῖος ὑπεδιαιρεῖτο σὲ 16 δακτύλους, 2 δάκτυλοι ἀποτελοῦσαν 1 κόνδυλο (0,0385μ.), 4 δάκτυλοι 1 παλαιστήν, , 8 δάκτυλοι 1 λιχάδα, 11 δάκτυλοι 1 ὀρθόδωρο, καὶ 12 δάκτυλοι 1 σπιθαμή. Ἡ φράση στὸν κώδικα 72: ¨μέτρα 10 τινὸς ποσότητος ὀβολῶν 290¨ δείχνει ὅτι ἡ λέξη ¨μέτρα¨ δὲν δείχνει ἀπαραίτητα τὴ μονάδα μέτρησης τοῦ μήκους, ἀλλὰ μπορεῖ νὰ ἔχει σχέση μὲ μονάδες π.χ. βάρους ἢ ὄγκου.Ὑποσημειώσεις1 δραχμὴ= 6 ὀβολοί, 1 μνᾶ= 100 δραχμές, 1 τάλαντο= 60 μναῖ ἢ 6000 δραχμές. Βλ. Russell Meiggs and Dand Lewis, A selection of Greek Historical Inscriptions, rev. ed. (Oxford: Oxford University Press, 1988), σελ. xv-xvi.Μεγάλη Ἀμερικάνικη Ἐγκυκλοπαίδεια, ἐκδ. Σ. Δημητρακοπούλου Ε.Ε.Ε., Ἀθῆναι 1976, τόμ. ΧVI, σελ. 216.Ἡ μονάδα μέτρησης μήκους ¨μέτρο¨ ὁρίστηκε ὡς τὸ μῆκος τῆς ἀπόστασης ποὺ διανύει τὸ φῶς σὲ 1/299792458 sec. Μέχρι τὸ 1900 35 συνολικὰ ἔθνη εἶχαν δεχθεῖ ἐπίσημα τὸ νέο μετρικὸ σύστημα. Βλ. Ἑλληνικὸ Ἰνστιτοῦτο Μετρολογίας (πηγὴ Internet).Ἀπὸ τὴν 14η Ὀκτωβρίου 1960 ὁ ὁρισμὸς τοῦ μέτρου ἔγινε 1.650.763, 73 μήκη κύματος τοῦ φωτὸς τοῦ κρυπτοῦ 86. Βλ. Μεγάλη Ἀμερικάνικη Ἐγκυκλοπαίδεια, ἐκδ. Σ. Δημητρακοπούλου Ε.Ε.Ε., Ἀθῆναι 1976, τόμ. ΧVΙ, σελ. 214.

Ὑποσημείωση

Τὰ χρησιμοποιούμενα σταθμὰ διέφεραν ἀπὸ τόπο σὲ τόπο. Ἐπὶ παραδείγματι

στὴν Κωνσταντινούπολη χρησιμοποιοῦσαν τὸ καντάρι, τὴν ὀκά, τὸ δράμι, καὶ

τὸ ρότουλο. Ἡ ὀκὰ εἶχε 400 δράμια ἢ 50 ὀγγιές, ἢ 4 λίτρες καὶ 2 ὀγγιές. Στὴ

Φλωρεντία καὶ τὸ Λιβόρνο ἴσχυε: 1 καντάρι= 100 ρότουλα= 44 ὀκάδες= 154

λίτρες. Τὰ δὲ 229 δράμια ἀντιστοιχοῦσαν σὲ 2 λίτρες Λιβόρνου. Βλ.

Ἀγνώστου Συγγραφέα, Ζυγόμετρον: ἤτοι τὰ ζύγια καὶ μέτρα

διαφόρων ἐμπορίων χρήσιμον εἰς τοὺς πραγματεύοντας, ἐκδ.

Νικολάου Γλυκὺ τοῦ ἐξ Ἰωαννίνων, Βενετία 1803, σελ. 7-30.Βλ. καὶ σὲ

Lefort et al., Géom. fisc Byz., σελ. 188.

Ὁρολογία-ὉρισμοίΤὸ ἑκατομύριο ἀναφέρεται ὡς ¨μιλλιόνιο¨, καὶ τὸ δισεκατομύριο ὡς ¨διλλιόνιο¨.

Στὸ 3ο βιβλίο τῆς Ἀριθμητικῆς τοῦ χειρογράφου 72 (1ος ὁρισμὸς) διαβάζουμε: ¨Ἐξ ἀριθμοῦ τινὸς ἐφ' ἑαυτὸν πολλαπλασιασθέντος ὁ γινόμενος τετράγωνος λέγεται. Οὗτος δὲ ὁ ἀριθμὸς πλευρὰ ἢ ρίζα τετραγωνική¨. Ἀντιστοίχως στὸν 2ο ὁρισμό: ¨Ἐκ τετραγώνου ἐπὶ τῆς ἑαυτοῦ ρίζης πολλαπλασιασθέντος ὁ γινόμενος κύβος καλεῖται τοῦ ἀπ' ἀρχῆς λειφθέντος, ὁ δὲ ἀπ' ἀρχῆς λειφθεὶς κυβικὴ ρίζα¨.

Στὸ 4ο βιβλίο τῆς Ἀριθμητικῆς τοῦ κώδικα (6ος ὁρισμός), ὁ συγγραφέας γράφει: ¨Αἱ ἐκ πολλῶν ὅρων συνιστάμεναι ἀριθμητικαὶ ἀναλογίαι σειραὶ ἢ πρόοδοι λέγονται ἀριθμητικαί, (ἐν αἷς ἡ 1,2,3,4,5,6,7 κατὰ σειρὰ φυσικὴ ἀριθμητική), ὁμοίως καὶ ἐκ πολλῶν γεωμετρικῶν ὅρων, γεωμετρικαί¨. Ὁ συγγραφέας τοῦ κώδικα χρησιμοποιεῖ τὸν ὅρο ¨μέθοδος τῆς ἑταιρείας¨ σὲ προβλήματα, ὅπου ζητεῖται ὁ ὑπολογισμὸς τοῦ ποσοῦ τοῦ κέρδους τὸ ὁποῖο δικαιοῦται ἕκαστος τῶν συνεταίρων μιᾶς ἐπιχείρησης.

Ὁ συγγραφέας περιγράφει τὴ μέθοδο τῆς ¨ψευδοῦς ὑπόθεσης¨ ὡς ἑξῆς: ¨Ψευδοῦς ὑποθέσεως μέθοδος λέγεται, διὰ τὸ ἐξ ὑποθετικῶν καὶ ἀναλόγων μὲν τοῖς ζητουμένοις, μὴ ἀληθῶν δὲ ἀριθμῶν τὴν τῶν προβλημάτων προκύπτειν ἐπίλυσιν¨. Στὴ 2η πρόταση τοῦ 12ου βιβλίου τῆς Γεωμετρίας ὁ συγγραφέας ἀναφέρει ¨Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὑπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα¨, καὶ ¨Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι¨. Παρατηροῦμε ὅτι δὲν ἀναφέρεται οὔτε καταγράφεται ἀπὸ τὸν συγγραφέα ἡ τιμὴ αὐτοῦ τοῦ σταθεροῦ λόγου ποὺ συμβολίζουμε μὲ τὸ γράμμα π.

Στοιχεῖα ἀπό τό μεταγραμμένο κείμενοὉρισμοί1ος Σημεῖον ἐστὶν οὗ μέρος οὐδέν.2ος Γραμμὴ ἐστὶ σημείου ῥοή, πέρατα δ’ αὐτῆς σημεῖα. Πόρισμα 1ον.Ἔνθεντοι δῆλον, ὅτι γραμμὴ μῆκος ἐστὶν ἀπλατὲς καὶ ἀβαθές. Σχόλιον 1ον

Ἐὰν τὸ σημεῖον ῥέον τὴν ἐπ’ εὐθείας φορὰν μεταβάλλῃ, ἡ ἐξ αὐτοῦ γραμμὴ, εὐθεῖα ἐστίν, ὡς ἡ αβ (σχ. 1), ἐὰν δὲ συνεχῶς τὴν φορὰν μεταβάλλῃ, καμπύλη, ὡς ἡ γδ (σχ. 2) διάφορα δὲ τῆς καμπυλότητος εἴδη κατὰ τὰς διαφόρους τοῦ ῥέοντος σημείου τροπάς.

3ος Εὐθεῖα γραμμὴ ἐστὶ (κατ’ Ἀρχιμήδη) ἡ τῶν ἐχουσῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐλαχίστη. Ἢ (κατὰ Πλάτωνα) ἧς τὰ ἄκρα ἐπιπροσθεῖ πᾶσι τοῖς μέσοις, ἢ (κατ’ Εὐκλείδη) ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.4ος Γωνία ἐπίπεδος ἐστὶν ἀφή, ἢ πτῶσις, ἢ κλίσις γραμμῆς πρὸς γραμμήν.5ος Τῶν μὲν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἡ μὲν εὐθύγραμμος, ἡ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, ὡς ἡ βαγ (σχ. 3)

ἡ δὲ καμ(4β)πυλόγραμμος, ἡ ὑπὸ καμπύλων, οἷον δαγ (σχ. 4) ἡ δὲ μικτόγραμμος, ἡ ὑπὸ εὐθείας καὶ καμπύλης, ὡς ἡ εαγ (σχ. 5). Τῶν δὲ εὐθυγράμμων γωνιῶν ἡ μὲν ὀρθή, ἡ δὲ ἀμβλεῖα, ἡ δὲ ὀξεῖα.

8ος Εὐθεῖαι παράλληλοι εἰσιν, αἱ ἴσοις ἀπ’ ἀλλήλων ἀφιστάμεναι τοῖς ἀποστήμασιν, οἷον αἱ αβ, γδ (σχ. 8). Ἀποστήματα δὲ αἱ ἀπὸ τῶν σημείων τῆς ἑκατέρας ἐπὶ τὴν ἑτέραν ἀγόμεναι κάθετοι οἷον αἱ εζ, ηθ, ικ.

9ος Ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ἐστὶν ἡ ὑπὸ εὐθειῶν περατουμένη, ἣν καὶ ἐπίπεδον καλεῖν εἰώθασι. Ὅρα σχ. 9.10ος Εὐθύγραμμα σχήματα εἰσὶ τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα πλειόνων ἢ δύο. Τρίπλευρα μὲν (5β) τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων. Πολύπλευρα δὲ τὰ ὐπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων. Ὅρα σχ. 10, 11, 12.

11ος Τῶν τριπλεύρων σχημάτων, ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνον ἐστὶ τὸ τρεῖς ἴσας πλευρὰς ἔχον, ἰσοσκελὲς δέ, τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς. Σκαληνὸν δέ, τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον. Ἔτι τῶν τριπλεύρων σχημάτων, ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνον ἐστί, τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δέ, τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν, ὀξυγώνιον, τὸ τὰς τρεῖς γωνίας ὀξείας ἔχον. Ὅρα σχ. 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Το πλήρες έργο με τίτλο:

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στην Ελλάδα κατά τα τελευταία χρόνια της τουρκοκρατίας, Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, έκδ. Αθήνα 2009

ευρίσκεται με τη μορφή eBook στην ιστοσελίδα:

www.yantzi.gr (όρος αναζήτησης: Μαρία Χάλκου)