dangtuanhiep.files.wordpress.com · Lôøi môû ñaàu Ñaây lał taäp tałi lieäu...

Baøi taäp Giaûi tích 1

Ñaëng Tuaán Hieäp

Ñaø Laït - 2008

2 Ñaëng Tuaán Hieäp

Muïc luïc

Lôøi môû ñaàu 5

Caùc kyù hieäu 7

1 Soá thöïc vaø daõy soá 9

2 Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc cuûa haøm soá 19

3 Pheùp tính vi phaân 27

4 Pheùp tính tích phaân 31

5 Chuoãi soá 35

3

Lôøi môû ñaàu

Ñaây laø taäp taøi lieäu ñöôïc bieân soaïn nhaèm giuùp cho caùc baïn Sinh vieân coù theâmsöï tham khaûo trong quaù trình hoïc moân Giaûi tích 1. Haàu heát caùc baøi taäp trongnaøy ñeàu ñöôïc laáy töø giaùo trình Giaûi tích 1, do PGS. TS. Taï Leâ Lôïi bieân soaïn.Naêm hoïc 2008 − 2009 laø naêm ñaàu tieân taùc giaû tham gia giaûng daïy taïi khoaToaùn-Tin, tröôøng Ñaïi hoïc Ñaø Laït. Vaø ñaây cuõng laø naêm ñaàu tieân taøi lieäu naøyñöôïc bieân soaïn, neân chaéc chaén seõ coù nhieàu choã chöa ñöôïc roõ raøng vaø saâu saéc.Taùc giaû mong caùc baïn ñoùn nhaän taøi lieäu naøy nhö moät söï ñoäng vieân tôùi taùcgiaû. Moïi yù kieán ñoùng goùp xin göûi veà hoäp thö [email protected].

Xin chaân thaønh caûm ôn.

Ñaø Laït, muøa ñoâng 2008

Ñaëng Tuaán Hieäp

5

Caùc kyù hieäu

• R - taäp caùc soá thöïc.

• Q - taäp caùc soá höõu tyû.

• Z - taäp caùc soá nguyeân.

• N - taäp caùc soá töï nhieân.

• [x] - phaàn nguyeân cuûa soá thöïc x.

• n! = 1.2.3. . . . .n - giai thöøa.

• supA - caän treân ñuùng cuûa taäp A.

• inf A - caän döôùi ñuùng cuûa taäp A.

7

Chöông 1

Soá thöïc vaø daõy soá

Baøi 1.1. Cho A ⊂ R laø taäp bò chaën treân. Chöùng minh raèng a = sup A khi vaøchæ khi a laø moät caän treân cuûa A vaø ∀ε > 0,∃xε ∈ A : a− ε < xε.

Giaûi. Thuaän: Giaû söû a = supA, khi ñoù a laø caän treân beù nhaát cuûa A.Giaû söû ∃ε > 0 sao cho ∀x ∈ A ta coù x ≤ a− ε. Khi ñoù a− ε laø moät caän treânbeù hôn a cuûa A. (maâu thuaãn)Ñaûo: Giaû söû a laø moät caän treân cuûa A vaø ∀ε > 0,∃xε ∈ A : a − ε < xε. Do Alaø taäp bò chaën treân neân ∃b = sup A. Ta seõ chæ ra b = a. Thaät vaäy, do a laømoät caän treân cuûa A, neân b ≤ a. Neáu b < a thì ta laáy ε = a − b > 0, toàn taïixε ∈ A sao cho a − ε < xε, töùc laø b < xε.(maâu thuaãn)

Baøi 1.2. Cho A ⊂ R laø taäp bò chaën döôùi. Chöùng minh raèng a = inf A khi vaøchæ khi a laø moät caän döôùi cuûa A vaø ∀ε > 0,∃xε ∈ A : a + ε > xε.

Giaûi. Töông töï baøi 1.1

Baøi 1.3. ChoA,B ⊂ R. Giaû söûA bò chaën vaøB ⊂ A. So saùnh sup A, supB, inf A, inf B.

Giaûi. Vì A bò chaën vaø B ⊂ A neân B cuõng bò chaën. Do ñoù, toàn taïisupA, supB, inf A, inf B . Hôn nöõa, ta coù vôùi moïi x ∈ B thì x ∈ A, vìvaäy inf A ≤ x ≤ sup A, töùc laø sup A, inf A töông öùng laø caän treân vaø caän döôùicuûa taäp B . Maø sup B, inf B töông öùng laø caän treân nhoû nhaát vaø caän döôùi lôùnnhaát cuûa B . Toùm laïi, ta coù

inf A ≤ inf B ≤ sup B ≤ sup A.

9


Baøi 1.4. Cho A,B ⊂ R laø caùc taäp khaùc troáng, bò chaën. Chöùng minh

sup(A ∪ B) = max{sup A, supB} ; inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}

Ñoái vôùi A ∩ B thì sao?

Giaûi. Vì A,B laø caùc taäp khaùc troáng vaø bò chaën neân A∪B cuõng khaùc troángvaø bò chaën. Do ñoù, toàn taïi sup(A ∪B), supA, sup B, inf(A ∪ B), inf A, inf B .Ta chöùng minh sup(A ∪ B) = max{sup A, supB}.Theo baøi taäp 1.3, töø A ⊂ A∪B vaø B ⊂ A∪B , ta coù sup A ≤ sup(A∪B) vaøsup B ≤ sup(A ∪ B). Do ñoù, max{sup A, supB} ≤ sup(A ∪ B) (1)Ngöôïc laïi, vôùi moïi x ∈ A ∪ B , thì x ∈ A hoaëc x ∈ B .Neáu x ∈ A thì x ≤ supA ≤ max{sup A, supB}.Neáu x ∈ B thì x ≤ supB ≤ max{sup A, supB}.Do ñoù, x ≤ max{sup A, supB},∀x ∈ A∪B , töùc laø max{supA, supB} laø moätcaän treân cuûa A ∪ B , vì vaäy sup(A ∪ B) ≤ max{supA, sup B} (2)Töø (1) vaø (2), suy ra sup(A ∪ B) = max{sup A, supB}.Chöùng minh töông töï cho inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}.Ñoái vôùi A ∩B thì ta khoâng theå coù ñöôïc keát quaû nhö treân. Thaät vaäy, ta chæcaàn laáy hai taäp A vaø B sao cho A ∩ B = ∅. Tuy nhieân, trong tröôøng hôïpnaøy caùc baïn coù theå thieát laäp moät soá baát ñaúng thöùc. Caùc baïn cuõng coù theå deãdaøng tìm ñöôïc caùc ví duï khaùc maø trong ñoù A ∩ B 6= ∅.

Baøi 1.5. Chöùng minh:

1. Vôùi moïi x, y > 0 ñeàu toàn taïi n ∈ N, sao cho x < ny.

2. Vôùi moïi x > 0 ñeàu toàn taïi n ∈ N, sao cho 0 <1

n< x.

3. Vôùi moïi x > 0 ñeàu toàn taïi n ∈ N, sao cho n ≤ x < n + 1.

Giaûi.

1. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïcx

y.

2. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet cho soá thöïc1

x.

3. AÙp duïng nguyeân lyù Acsimet, toàn taïi k ∈ N sao cho 0 < x < k. Xeùt taäpA = {k ∈ N : k > x} ⊂ N, khi ñoù A 6= ∅ vaø A bò chaën döôùi bôûi x. Do

Baøi taäp Giaûi tích 1 11

ñoù, toàn taïi k0 = minA, deã thaáy k0 ≥ 1. Ñaët n = k0 − 1, thì n ∈ N, vaøn ≤ x < n + 1.

Baøi 1.6. Chöùng minh caùc soá sau laø caùc soá voâ tæ:√

3,√

2+√

6, 3√

5− 4√

3,ax + b

cx + d(a, b, c, d ∈

Q, ad− bc 6= 0, x 6∈ Q)

Giaûi.

• Ñaët x =√

2 +√

6, bình phöông hai veá ta ñöôïc x2 = 8 + 4√

3, hayx2−8 = 4

√3. Tieáp tuïc bình phöông hai veá ta ñöôïc x4−16x2+64 = 48,

hay x4 − 16x2 + 16 = 0.Ñeå chöùng minh

√2 +

√6 laø soá voâ tyû, ta seõ chæ ra ña thöùc P (x) =

x4 − 16x2 + 16 khoâng coù nghieäm höõu tyû. Thaät vaäy, neáup

q(p, q ∈

Z, q 6= 0, (p, q) = 1) laø nghieäm cuûa ña thöùc P (x); thì q|1 vaø p|16. Doñoù P (x) neáu coù nghieäm höõu tyû thì chæ coù theå laø moät trong caùc soá±1,±2,±4,±8,±16. Thöû tröïc tieáp, ta thaáy taát caû caùc giaù trò naøy ñeàukhoâng laø nghieäm cuûa ña thöùc P (x).

• Töông töï, ta cuõng chæ ra ñöôïc caùc soá√

3, 3√

5 − 4√

3 laø caùc soá voâ tyû.

• Giaû söû r =ax + b

cx + d∈ Q. Khi ñoù, ta coù (cr − a)x = b − dr.

Neáu cr − a 6= 0 thì x =b − dr

cr − a∈ Q (maâu thuaãn).

Neáu cr − a = 0 thì b − dr = 0, suy ra r(ad − bc) = 0. Do ad − bc 6= 0neân r = 0, hay ax + b = 0.

– Neáu a 6= 0 thì x =−b

a∈ Q (maâu thuaãn).

– Neáu a = 0 thì b = 0, töùc laø ad − bc = 0 (maâu thuaãn).

Baøi 1.7. Tìm sup A, inf A,maxA,minA (neáu toàn taïi), khi

1. A = { 1

n + 1: n ∈ N}.

2. A = { 1

2n+

(−1)n

n + 1: n ∈ N}.


3. A = {1 + (−1)n

n + 1− n2 : n ∈ N}.

Ñaùp soá.

1. sup A = maxA = 1 vaø inf A = 0, khoâng toàn taïi minA.

2. sup A = maxA = 2 vaø inf A = minA = −18.

3. sup A = maxA = 2 vaø inf A = −∞, khoâng toàn taïi minA.

Giaûi. Toâi chæ giaûi ñaïi dieän caâu ñaàu tieân, hai caâu sau caùc baïn töï laøm.Ta deã daøng thaáy

0 <1

n + 1≤ 1 ; ∀n ∈ N

Do ñoù sup A = maxA = 1.Ta seõ chöùng minh inf A = 0 baèng caùch söû duïng baøi taäp 1.2 (chuù yù keå töø nayveà sau caùc baïn coù theå söû duïng baøi taäp 1.1 vaø baøi taäp 1.2 nhö laø caùc keát quaûlyù thuyeát ñaõ bieát maø khoâng caàn phaûi chöùng minh laïi).Laáy ε > 0 baát kyø. Theo nguyeân lyù Acsimet, toàn taïi soá n ∈ N sao cho1

ε< n < n + 1 hay

1

n + 1< ε. Nhö vaäy, vôùi moïi ε > 0 baát kyø, luoân toàn

taïi xn =1

n + 1∈ A sao cho

1

n + 1< ε. Do ñoù, theo baøi taäp 1.2, ta coù

inf A = 0.

Baøi 1.8. Chöùng minh taäp caùc soá dyadic D = { m2n : m ∈ Z, n ∈ N} laø truø maät

trong R.

Giaûi. Laáy x, y ∈ R sao cho x < y. Theo nguyeân lyù Acsimet, toàn taïi n ∈ Nsao cho 0 <

1

y − x< n ≤ 2n hay x < y +

1

2n. Toàn taïi m ∈ Z sao cho

m ≤ 2nx < m + 1. Khi ñoù, toàn taïim + 1

2n∈ D thoûa maõn

x <m + 1

2n=

m

2n+

1

2n≤ x +

1

2n< y.

Baøi 1.9. Cho D truø maät trong R vaø F laø taäp con höõu haïn cuûa D. Chöùng minhD/F truø maät trong R.


Giaûi. Giaû söû |F | = n. Laáy x, y ∈ R sao cho x < y. Do D truø maät trong Rneân toàn taïi z1 ∈ D sao cho x < z1 < y. Toàn taïi z2, . . . , zn+1 ∈ D sao cho

x < z1 < z2 < · · · < zn < zn+1 < y.

Vì |F | = n neân toàn taïi k ∈ {1, 2, . . . , n + 1} sao cho zk ∈ D vaø zk 6∈ F , töùclaø zk ∈ D/F , thoûa maõn x < zk < y.

Baøi 1.10. Cho α ∈ R sao choα

π6∈ Z. Chöùng minh khoâng toàn taïi lim

n→+∞sin nα, lim

n→+∞cosnα.

Giaûi. Giaû söû toàn taïi a = limn→+∞

sinnα. Khi ñoù, ta coù

sin(n + 2)α − sin nα = 2 sin α cos(n + 1)α

Do ñoù b = limn→+∞

cos nα = 0. Hôn nöõa, do

cos(n + 2)α − cosnα = −2 sin α sin(n + 1)α

neân ta phaûi coù a = 0. Vì vaäy, ta coù a = b = 0.Töông töï, neáu toàn taïi b = lim

n→+∞cos nα thì ta cuõng coù ñöôïc a = lim

n→+∞sinnα

vaø a = b = 0. Tuy nhieân, ta laïi coù

1 = limn→+∞

(sin2 nα + cos2 nα) = a2 + b2.

Ta coù ñieàu maâu thuaãn.

Baøi 1.11. Chöùng minh neáu limn→∞

an = L 6= 0, thì daõy ((−1)nan) dao ñoäng.

Neáu L = 0, thì keát quaû nhö theá naøo?

Höôùng daãn. Neáu L 6= 0, thì daõy soá (bn) vôùi bn = (−1)nan dao ñoäng vìb2n = a2n vaø b2n+1 = −a2n+1. Neáu L = 0, thì (bn) cuõng hoäi tuï veà 0.

Baøi 1.12. Chöùng minh neáu an ≤ M vaø limn→∞

an = L, thì L ≤ M . Neáu an ≥ M

vaø limn→∞

an = L, thì keát quaû nhö theá naøo?

Giaûi. Giaû söû L > M . Do limn→∞

an = L neân vôùi ε = L−M > 0, toàn taïi N ∈ Nsao cho ∀n ≥ N , ta coù |an − L| < L − M , töùc laø an > M ;∀n ≥ N . Ñieàu naøymaâu thuaãn vôùi giaû thieát an ≤ M ;∀n ∈ N.


Baøi 1.13. Chöùng minh neáu limn→∞

an = L thì limn→∞

|an| = |L|.

Höôùng daãn. Söû duïng baát ñaúng thöùc ||a| − |b|| ≤ |a − b| vaø ñònh nghóa giôùihaïn theo ngoân ngöõ ε − δ.

Baøi 1.14. Cho ví duï daõy (|an|) hoäi tuï nhöng daõy (an) khoâng hoäi tuï. Neáu daõy(|an|) hoäi tuï veà 0 thì sao?

Giaûi. Xeùt daõy (an) sao cho an = (−1)n. Khi ñoù |an| = 1 hoäi tuï, nhöng daõy(an) khoâng hoäi tuï vì a2n = 1 vaø a2n+1 = −1.

Baøi 1.15. Cho an =1.3. . . . .(2n − 1)

2.4. . . . .2n. Chöùng minh an <

1√2n + 1

. Suy ra

limn→∞

an = 0.

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh 0 < an <1√

2n + 1, vôùi moïi n ∈ N∗.

Sau ñoù aùp duïng nguyeân lyù Sandwich ñeå suy ra limn→∞

an = 0.

Baøi 1.16. Döïa vaøo tính chaát keïp(

1 +1

n

)n

< e <

(1 +

1

n − 1

)n

, tính

limn→∞

n(e1n − 1).

Höôùng daãn. Ta coù

1 < n(e1n − 1) <

n

n − 1

Baøi 1.17. Chöùng minh neáu daõy (an) giôùi noäi, coøn (bn) tieán veà 0, thì (anbn)tieán veà 0.

Höôùng daãn. Vì (an) giôùi noäi, neân toàn taïi M > 0 sao cho |an| ≤ M ; ∀n. Doñoù

0 ≤ |anbn| ≤ M |bn|; ∀n.

Baøi 1.18. Cho a0 = 1, an =√

1 + an−1. Chöùng minh daõy (an) laø daõy ñônñieäu, bò chaën. Tìm ϕ = lim

n→∞an goïi laø tæ leä vaøng.


Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh, vôùi moïi n ∈ N, ta coù an < an+1

vaø 0 < an < 2. Khi ñoù, toàn taïi ϕ = limn→∞

an, thoûa maõn 0 ≤ ϕ ≤ 2 vaø

ϕ =√

1 + ϕ. Do ñoù ϕ =1 +

√5

2.

Baøi 1.19. Giaû söû toàn taïi 0 < r < 1, sao cho |an+1 − an| ≤ Crn,∀n. Chöùngminh (an) laø daõy Cauchy neân hoäi tuï.

Höôùng daãn. Vôùi moïi m > n, ta coù

|am − an| ≤ |am − am−1| + |am−1 − am−2| + · · · + |an+1 − an|≤ C(rm−1 + rm−2 + · · · + rn)

= Crn(rm−n−1 + · · · + 1)

= Crn 1 − rm−n

1 − r

<Crn

1 − r

Baøi 1.20. Cho a0 = 1, an = 1 +1

an−1. Chöùng minh

3

2≤ an ≤ 2, vôùi moïi

n ≥ 1. Suy ra (an) laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï). Tìm ϕ = limn→∞

an.

Höôùng daãn. Duøng quy naïp chöùng minh,3

2≤ an ≤ 2, vôùi moïi n ≥ 1. Sau

ñoù, vôùi moïi n ∈ N, ta coù

|an+1 − an| =|an − an−1||anan−1|

≤ 4

9|an − an−1| ≤ · · · ≤ (

4

9)n|a1 − a0| = (

4

9)n.

Do ñoù, (an) laø daõy Cauchy (neân hoäi tuï).

Khi ñoù, toàn taïi ϕ = limn→∞

an, thoûa maõn3

2≤ ϕ ≤ 2 vaø ϕ = 1 +

1

ϕ. Vì vaäy

ϕ =1 +

√5

2.

Baøi 1.21. Cho daõy soá döông (an). Chöùng minh neáu limn→∞

an = a, thì daõy trung

bình coäng vaø daõy trung bình nhaân:

sn =a1 + a2 + · · · + an

n, pn = n

√a1 . . . an

cuõng hoäi tuï veà a.


Giaûi. Ta coù

|sn − a| =

∣∣∣∣∣1

n

n∑

k=1

(ak − a)

∣∣∣∣∣ ≤1

n

n∑

k=1

|ak − a|

Do limn→∞

an = a, neân vôùi moïi ε > 0 cho tröôùc, toàn taïi N1 ∈ N sao cho

|an − a| <ε

2; ∀n ≥ N1.

Do limn→∞

1

n

N1−1∑

k=1

|ak − a| = 0, neân toàn taïi N2 ∈ N sao cho

1

n

N1−1∑

k=1

|ak − a| <ε

2; ∀n ≥ N2.

Choïn N = max{N1, N2}. Khi ñoù ∀n ≥ N , ta coù

|sn − a| ≤ 1

n

N1−1∑

k=1

|ak − a|+ 1

n

n∑

k=N1

|ak − a| <ε

2+

n − N1 + 1

n

ε

2< ε.

Do ñoù limn→∞

sn = a.

Neáu a = 0, thì 0 < pn ≤ sn. Do ñoù pn cuõng hoäi tuï veà 0.

Neáu a > 0, thì ln an hoäi tuï veà lna. Do ñoù lnpn =ln a1 + · · · + ln an

ncuõng

hoäi tuï veà ln a. Suy ra pn hoäi tuï veà a.

Baøi 1.22. Cho daõy soá döông (an). Chöùng minh neáu limn→∞

an+1

an= a, thì

limn→∞

n√

an = a. AÙp duïng cho an =nn

n!, suy ra lim

n→∞

nn√

n!= e.

Giaûi. Xeùt daõy (bn) xaùc ñònh nhö sau: b1 = a1 vaø bn =an

an−1; ∀n ≥ 2. Khi ñoù

n√

an = n√

b1b2 . . . bn.

Neáu limn→∞

an+1

an

= a, thì limn→∞

bn = a.

Theo baøi 1.21, ta suy ra limn→∞

n√

an = limn→∞

n√

b1 . . . bn = a.


AÙp duïng cho an =nn

n!. Ta coù lim

n→∞

an+1

an= lim

n→∞

(1 +

1

n

)n

= e. Suy ra

limn→∞

n√

an = limn→∞

nn√

n!= e.

Chöông 2

Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc cuûa haømsoá

Baøi 2.1. Cho ε > 0, tìm δ > 0 (phuï thuoäc ε vaø a) sao cho |f(x) − L| < ε, khi|x− a| < δ.

a) f(x) = 1x, a = 1, L = 1

b) f(x) = x2, a = 2, L = 4

Ñaùp soá.

a) δ = ε− ε2

b) δ =√

ε + 4 − 2

Baøi 2.2. Chöùng minh limx→0

sin1

xkhoâng toàn taïi baèng caùch chæ ra hai daõy soá (xn)

vaø (x′n) cuøng tieán veà 0 nhöng hai daõy

(sin

1

xn

)vaø

(sin

1

x′n

)tieán veà hai giôùi

haïn khaùc nhau.

Giaûi. Xeùt hai daõy soá (xn) vaø (x′n) xaùc ñònh nhö sau:

xn =1

π2

+ 2nπ; x′

n =1

−π2

+ 2nπ

Deã thaáy, khi ñoù limn→∞

xn = 0 vaø limn→∞

x′n = 0.

Nhöng, vôùi moïi n ∈ N ta coù sin1

xn= 1 vaø sin

1

x′n

= −1

19


Baøi 2.3. Chöùng minh khi x → 0, ta coù

a) (1 + x)p = 1 + px + o(x)

b) sinx = x + o(x)

c) cos x = 1 − x2

2+ o(x)

d) ex = 1 + x + o(x)

e) ln(1 + x) = x + o(x)

Vieát laïi caùc ñaúng thöùc treân bôûi so saùnh töông ñöông ∼.

Höôùng daãn. Xem laïi lyù thuyeát phaàn 2.7 vaø 2.8, trang 29, 30.

Baøi 2.4. Haõy so saùnh ax(a > 1), xp, lnx, khi x → ∞.

Höôùng daãn. Duøng quy taéc L’Hospital ñeå tính caùc giôùi haïn limx→∞

lnx

xp, limx→∞

xp

ax.

Keát quaû thu ñöôïc laø lnx laø voâ cuøng beù so vôùi xp vaø xp laø voâ cuøng beù so vôùiax, khi x → ∞.

Baøi 2.5. Chöùng minh neáu f lieân tuïc taïi a vaø f(a) > 0, thì toàn taïi h > 0 saocho f(x) > 0 vôùi moïi x thoûa maõn a − h < x < a + h.

Höôùng daãn. Söû duïng ñònh nghóa cuûa giôùi haïn vôùi ε = f(a) > 0 vaø laáyh = δ > 0.

Baøi 2.6. Chöùng minh neáu f vaø g lieân tuïc thì |f |,max{f, g} vaø min{f, g} cuõnglieân tuïc.

Höôùng daãn. AÙp duïng baát ñaúng thöùc ||a| − |b|| ≤ |a − b|, ta ñöôïc neáulimx→a

f(x) = f(a) thì limx→a

|f(x)| = |f(a)|. Do ñoù, neáu f lieân tuïc thì |f |cuõng lieân tuïc.Hôn nöõa, ta coù

max{f, g} =f + g

2+

|f − g|2

min{f, g} =f + g

2− |f − g|

2

Do ñoù, neáu f vaø g lieân tuïc thì max{f, g} vaø min{f, g} cuõng lieân tuïc.


Baøi 2.7. Xeùt tính lieân tuïc cuûa caùc haøm soá

a) f(x) =

{x+x2

x2−1; x 6= ±1

0 ; x = ±1

b) f(x) =

{sinx

x; x 6= 0

a ; x = 0

c) f(x) =

{x

1x−1 ; x 6= 1

a ; x = 1

Höôùng daãn.

a) Taïi x 6= ±1, ta coù f(x) =x + x2

x2 − 1laø haøm sô caáp, neân f lieân tuïc.

Taïi x = 1, ta coù limx→1

f(x) = limx→1

x + x2

x2 − 1, giôùi haïn naøy khoâng toàn taïi.

Taïi x = −1, ta coù limx→−1

f(x) = limx→−1

x + x2

x2 − 1= lim

x→−1

x

x − 1=

1

26=

f(−1). Do ñoù f cuõng khoâng lieân tuïc taïi x = −1.

b) Taïi x 6= 0, ta coù f(x) =sinx

xlaø haøm sô caáp, neân f lieân tuïc.


f(x) = limx→0

sin x

x= 1.

Neáu a = 1, thì f lieân tuïc taïi x = 0.Neáu a 6= 1, thì f khoâng lieân tuïc taïi x = 0.

c) Taïi x 6= 1, ta coù f(x) = x1

x−1 laø haøm sô caáp, neân f lieân tuïc.


f(x) = limx→1

x1

x−1 = limt→∞

(1 +

1

t

)t

= e.

Neáu a = e, thì f lieân tuïc taïi x = 1.Neáu a 6= e, thì f khoâng lieân tuïc taïi x = 1.

Baøi 2.8. Chöùng minh ”Boå ñeà daùn”: Giaû söû f lieân tuïc treân [a, b] vaø g lieân tuïctreân [b, c]. Ñònh nghóa haøm h bôûi h(x) = f(x), x ∈ [a, b] coøn h(x) = g(x), x ∈(b, c]. Khi ñoù h lieân tuïc khi vaø chæ khi f(b) = g(b).

Höôùng daãn. Ta coùh(b) = f(b)


limx→b−

h(x) = limx→b−

f(x) = f(b)

limx→b+

h(x) = limx→b+

g(x) = g(b)

Do ñoù h lieân tuïc khi vaø chæ khi limx→b−

h(x) = limx→b+

h(x) = h(b) ⇔ f(b) =

g(b)

Baøi 2.9. Cho f : [0, 1] → [0, 1] xaùc ñònh bôûi: neáu x =p

qlaø phaân soá toái giaûn

thì f(x) =1

q; neáu x voâ tæ thì f(x) = 0. Chöùng minh f lieân tuïc taïi caùc ñieåm

voâ tæ vaø khoâng lieân tuïc taïi caùc ñieåm höõu tæ.

Giaûi.

• f khoâng lieân tuïc taïi caùc ñieåm höõu tæ.Laáy x0 ∈ [0, 1] laø soá höõu tæ baát kyø. Khi ñoù x0 =

p

qlaø phaân soá toái giaûn, do

vaäy f(x0) =1

q> 0. Do tính truø maät cuûa taäp soá voâ tæ trong R neân toàn taïi

moät daõy soá {xn} ⊂ I ∩ [0, 1], vôùi I laø taäp soá voâ tæ, sao cho limn→∞

xn = x0.

Tuy nhieân, ta laïi coù f(xn) = 0, do ñoù limn→∞

f(xn) = 0 6= f(x0).

• f lieân tuïc taïi caùc ñieåm voâ tæ.Laáy x0 ∈ [0, 1] laø soá voâ tæ baát kyø, ta coùù f(x0) = 0. Laáy {xn} ⊂ [0, 1]laø moät daõy soá baát kyø, hoäi tuï veà x0. Neáu chæ coù höõu haïn soá höõu tæ xn,thì lim

n→∞f(xn) = f(x0) = 0. Ngöôïc laïi, ta cuõng coù ñöôïc ñieàu naøy. Thaät

vaäy, vôùi moïi ε > 0, chæ coù höõu haïn phaân soá toái giaûnpn

qnsao cho

1

qn> ε.

Baøi 2.10. Cho f : R → R thoûa f(tx) = tf(x) vôùi moïi t, x ∈ R. Chöùng minhf lieân tuïc treân R.

Giaûi. Cho x = 1, ta ñöôïc f(t) = tf(1);∀t ∈ R. Vôùi moïi x0 ∈ R, ta coù

limx→x0

f(x) = limx→x0

xf(1) = x0f(1) = f(x0)

Do ñoù f lieân tuïc taïi x0 baát kyø, töùc laø f lieân tuïc treân R.


Baøi 2.11. Tìm taát caû caùc haøm f : R → R, lieân tuïc vaø thoûa maõn f(x + y) =f(x) + f(y);∀x, y ∈ R.

Höôùng daãn. Tröôùc heát, ta seõ chöùng minh f(r) = f(1)r,∀r ∈ Q. Sau ñoù, söûduïng tính lieân tuïc cuûa haøm f vaø tính truø maät cuûa Q trong R, vôùi moïi x ∈ R,toàn taïi daõy (rn) trong Q sao cho lim

n→∞rn = x. Khi ñoù,

f(x) = limn→∞

f(rn) = limn→∞

f(1)rn = f(1)x.

Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laø f(x) = ax, vôùi a ∈ R baát kyø.

Baøi 2.12. Tìm taát caû caùc haøm f : R → R, lieân tuïc vaø thoûa maõn f(x + y) =f(x)f(y);∀x, y ∈ R.

Höôùng daãn. Neáu toàn taïi x0 ∈ R sao cho f(x0) = 0 thì, vôùi moïi x ∈ R, tacoù f(x) = f(x − x0 + x0) = f(x − x0)f(x0) = 0. Neáu f(x) 6= 0;∀x ∈ Rthì f(x) = f(

x

2+

x

2) = (f(

x

2))2 > 0;∀x ∈ R. Khi ñoù, xeùt haøm g : R → R

sao cho g(x) = ln f(x). Khi ñoù, haøm g lieân tuïc vaø thoûa maõn g(x + y) =g(x) + g(y);∀x, y ∈ R. Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laø f(x) = eax, vôùi a ∈ Rbaát kyø vaø haøm f(x) = 0;∀x ∈ R+ .

Baøi 2.13. Tìm taát caû caùc haøm f : R+ → R, lieân tuïc, thoûa maõn f(xy) =f(x) + f(y);∀x, y ∈ R+.

Höôùng daãn. Xeùt haøm g : R → R sao cho g(x) = f(ex). Khi ñoù, haøm g lieântuïc vaø thoûa maõn g(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y ∈ R. Vaäy taát caû caùc haøm caàntìm laø f(x) = a lnx, vôùi a ∈ R baát kyø.

Baøi 2.14. Tìm taát caû caùc haøm f : R+ → R, lieân tuïc vaø thoûa maõn f(xy) =f(x)f(y);∀x, y ∈ R+.

Höôùng daãn. Neáu toàn taïi x0 ∈ R+ sao cho f(x0) = 0 thì vôùi moïi x ∈ R+ , tacoù f(x) = f(

x

x0x0) = f(

x

x0)f(x0) = 0. Neáu f(x) 6= 0;∀x ∈ R+ thì f(x) =

(f(√

x)2 > 0;∀x ∈ R+. Khi ñoù, ta xeùt haøm g : R → R sao cho g(x) = ln f(ex).Khi ñoù, haøm g lieân tuïc vaø thoûa maõn g(x + y) = g(x) + g(y);∀x, y ∈ R.Vaäy taát caû caùc haøm caàn tìm laø f(x) = xa, vôùi a ∈ R baát kyø vaø haømf(x) = 0;∀x ∈ R+.

Baøi 2.15. Cho f : R → R lieân tuïc vaø limx→±∞

f(x) = +∞. Chöùng minh toàn taïimin{f(x) : x ∈ R}.


Giaûi. Ta ghi laïi caùc ñònh nghóa:

limx→+∞

f(x) = +∞ ⇔ ∀E > 0,∃R1 > 0 : f(x) > E;∀x ∈ R, x > R1.

limx→−∞

f(x) = +∞ ⇔ ∀E > 0,∃R2 > 0 : f(x) > E;∀x ∈ R, x < −R2.

Choïn E > 0 sao cho E > f(0). Toàn taïi R1, R2 > 0 sao cho f(x) > E;∀x ∈(−∞,−R2)∪ (R1,+∞). Theo giaû thieát, f lieân tuïc treân ñoaïn [−R2, R1], neântoàn taïi m = min

x∈[−R2,R1]f(x). Do m ≤ f(0) < E , neân f(x) ≥ m;∀x ∈ R. Do

ñoù, m chính laø giaù trò nhoû nhaát cuûa f(x) treân R.

Baøi 2.16. Chöùng minh moät ña thöùc baäc leû luoân coù nghieäm thöïc.

Giaûi. Giaû söû P (x) = anxn + · · ·+a1x+a0 laø ña thöùc coù baäc n laø soá leû, khoâng

maát toång quaùt ta giaû söû an > 0. Khi ñoù, ta coù

limx→+∞

P (x) = limx→+∞

anxn(1 +

an−1

x+ · · · + a1

xn−1+

a0

xn) = +∞.

limx→−∞

P (x) = limx→−∞

anxn(1 +

an−1

x+ · · · + a1

xn−1+

a0

xn) = −∞.

Do ñoù, toàn taïi a, b sao cho P (a) < 0 vaø P (b) > 0. Theo ñònh lyù giaù trò trunggian, toàn taïi c sao cho P (c) = 0, töùc laø ña thöùc P (x) coù nghieäm thöïc.

Baøi 2.17. Chöùng minh Ñònh luaät Descartes: Cho ña thöùc

P (x) = a0 + a1x + · · · + ajxj − aj+1x

j+1 − · · · − anxn,

trong ñoù ak ≥ 0,∀k vaø a0 + · · ·+ aj > 0, aj+1 + · · ·+ an > 0. Khi ñoù P (x) coùñuùng moät nghieäm döông.

Giaûi. Xeùt haøm

f(x) =P (x)

xj=

a0

xj+

a1

xj−1+ · · · + aj − aj+1x − · · · − anxn−j.

Deã thaáy f laø haøm giaûm treân (0,+∞). Hôn nöõa, theo giaû thieát, toàn taïii ∈ {0, 1, . . . , j} vaø k ∈ {j + 1, . . . , n} sao cho ai > 0 vaø ak > 0. Doñoù lim

x→0+f(x) = +∞ hoaëc aj > 0, vaø lim

x→+∞f(x) = −∞. Töùc laø, toàn taïi

a, b ∈ (0,+∞) sao cho a < b vaø f(a) > 0, f(b) < 0. Theo ñònh lyù giaù tròtrung gian, toàn taïi c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0. Hôn nöõa, do f laø haøm giaûmtreân (0,+∞), neân c laø xaùc ñònh duy nhaát. Khi ñoù c cuõng chính laø nghieämdöông duy nhaát cuûa P (x).


Baøi 2.18. Chöùng minh phöông trình tanx = x coù voâ soá nghieäm.

Giaûi. Vôùi moãi k ∈ Z, ta xeùt haøm soá f(x) = tan x− x xaùc ñònh treân khoaûng(−π

2+ k2π,

π

2+ k2π). Ta coù

limx→π

2+k2π

f(x) = +∞ ; limx→−π

2+k2π

f(x) = −∞

Do ñoù, toàn taïi a, b ∈ (−π

2+k2π,

π

2+k2π) sao cho a < b vaø f(a) < 0, f(b) > 0.

Theo ñònh lyù giaù trò trung gian, toàn taïi c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0. Nhö vaäy,haøm f coù nghieäm trong moãi khoaûng (−π

2+ k2π,

π

2+ k2π), vôùi k ∈ Z. Töùc

laø f coù voâ soá nghieäm.

Baøi 2.19. Cho f laø haøm lieân tuïc treân khoaûng I . Chöùng minh vôùi moïix1, x2, . . . , xn ∈ I , toàn taïi c ∈ I , sao cho f(c) = 1

n(f(x1) + · · · + f(xn)).

Giaûi. Ñaët

f(xi) = max{f(x1), . . . , f(xn)} ; f(xj) = min{f(x1), . . . , f(xn)}

Xeùt haøm g(x) = f(x) − 1n(f(x1) + · · · + f(xn)). Khi ñoù g laø haøm lieân tuïc

treân khoaûng I . Hôn nöõa, ta coøn coù

g(xi) = f(xi) −1

n(f(x1) + · · · + f(xn)) ≥ 0,

g(xj) = f(xj) −1

n(f(x1) + · · · + f(xn)) ≤ 0.

Theo ñònh lyù giaù trò trung gian, toàn taïi c ∈ I sao cho g(c) = 0, töùc laøf(c) = 1

n(f(x1) + · · · + f(xn)).

Baøi 2.20. Chöùng minh neáu f : [a; b] → [a; b] laø haøm lieân tuïc, thì f coù ñieåmbaát ñoäng, i.e. toàn taïi x0 ∈ [a; b] sao cho f(x0) = x0.

Giaûi. Xeùt haøm g : [a; b] → [a; b] sao cho g(x) = f(x) − x;∀x ∈ [a; b]. Khiñoù g laø haøm lieân tuïc treân [a; b]. Hôn nöõa, ta coù g(a) = f(a) − a ≥ 0; g(b) =f(b) − b ≤ 0. Theo ñònh lyù giaù trò trung gian, toàn taïi x0 ∈ [a; b] sao chog(x0) = 0 hay f(x0) = x0.


Baøi 2.21. Cho haøm f : X → R. Giaû söû f thoûa ñieàu kieän Lipschitz treân X:

∃L > 0 : |f(x) − f(x′)| ≤ L|x − x′|;∀x, x′ ∈ X.

Chöùng minh khi ñoù f lieân tuïc ñeàu treân X .

Giaûi. ∀ε > 0,∃δ = εL

> 0 sao cho

∀x, x′ ∈ X, |x − x′| < δ ⇒ |f(x) − f(x′)| ≤ L|x − x′| < Lε

L= ε.

Do ñoù f lieân tuïc ñeàu treân X .

Chöông 3

Pheùp tính vi phaân

Baøi 3.1. Cho haøm soá

f(x) =

{x2 sin 1

xneáu x 6= 0

0 neáu x = 0

Chöùng minh f khaû vi, nhöng f ′ khoâng lieân tuïc taïi x = 0.

Höôùng daãn. Neáu x 6= 0 thì f(x) = x2 sin1

x, neân f khaû vi vaø f ′(x) =

2x sin1

x− cos

1

x.

Neáu x = 0 thì ta coù

limx→0

f(x)

x= lim

x→0x sin

1

x= 0.

Do ñoù f ′(0) = 0.Xeùt hai daõy soá (xn) vaø (x′

n) xaùc ñònh nhö sau:

xn =1

2nπ; x′

n =1

π + 2nπ

Deã thaáy, khi ñoù limn→∞

xn = limn→∞

x′n = 0. Tuy nhieân, vôùi moïi n ∈ N∗ ta coù

f ′(xn) = −1 vaø f ′(x′n) = 1. Do ñoù khoâng toàn taïi lim

x→0f ′(x), töùc laø f ′ khoâng

lieân tuïc taïi x = 0.

Baøi 3.2. Chöùng minh khoâng toàn taïi k ∈ R ñeå phöông trình x3 − 3x + k = 0coù 2 nghieäm treân [0, 1].

27


Giaûi. Giaû söû coù k ∈ R ñeå phöông trình x3 − 3x + k = 0 coù 2 nghieämx1, x2 ∈ [0, 1] vôùi x1 < x2. Xeùt haøm soá f(x) = x3 − 3x + k, khi ñoù f laø haømlieân tuïc treân [0, 1], khaû vi treân (0, 1) vaø f(x1) = f(x2) = 0. Theo ñònh lyùRolle, toàn taïi c ∈ (x1, x2) ⊂ (0, 1) sao cho f ′(c) = 0. Tuy nhieân, phöôngtrình f ′(x) = 0 chæ coù 2 nghieäm laø ±1, caû 2 nghieäm naøy ñeàu khoâng thuoäc(0, 1).

Baøi 3.3. Chöùng minh raèng neáua0

n + 1+

a1

n+ · · ·+ an−1

2+ an = 0, thì phöông

trình a0xn + a1x

n−1 + · · · + an = 0 coù ít nhaát moät nghieäm treân [0; 1].

Höôùng daãn. Xeùt haøm f(x) =a0x

n+1

n + 1+

a1xn

n+ · · · +

an−1x2

2+ anx. Ta coù

f laø haøm lieân tuïc treân [0; 1], khaû vi treân (0; 1) vaø f(0) = f(1) = 0. Do ñoù,theo ñònh lyù Rolle, toàn taïi c ∈ (0; 1) sao cho f ′(c) = 0. Töùc laø, phöông trìnha0x

n + a1xn−1 + · · · + an = 0 coù nghieäm treân [0; 1].

Baøi 3.4. Chöùng minh vôùi p, q > 0,1

p+

1

q= 1, ta coù:

1. ab ≤ ap

p+

bq

q, (a, b > 0)

2. Baát ñaúng thöùc Holder:n∑

k=1

akbk ≤(

n∑

k=1

|ak|p) 1

p(

n∑

k=1

|bk|q) 1

q

.

3. Baát ñaúng thöùc Minkowski: p

√√√√n∑

k=1

|ak + bk|p ≤ p

√√√√n∑

k=1

|ak|p + p

√√√√n∑

k=1

|bk|p.

Höôùng daãn.

1. Xeùt haøm f : R+ → R;x 7→ − lnx. Khi ñoù, f khaû vi hai laàn treân R+ vaøvôùi moïi x ∈ R+ ta coù f ′′(x) = 1

x2 > 0, neân f laø haøm loài. AÙp duïng baátñaúng thöùc Jensen cho haøm f trong tröôøng hôïp n = 2, x1 = ap, x2 =bq, t1 = 1

p, t2 = 1

qta ñöôïc

f(ap

p+

bq

q) ≤ 1

pf(ap) +

1

qf(bq).

Suy ra ab ≤ ap

p+

bq

q, (a, b > 0).


2. Ñaët

x =

(n∑

k=1

|ak|p) 1

p

; y =

(n∑

k=1

|bk|q) 1

q

Neáu x = 0 hoaëc y = 0 thì baát ñaúng thöùc Holder hieån nhieân ñuùng.Neáu x 6= 0 vaø y 6= 0 thì ta seõ aùp duïng baát ñaúng thöùc ñaït ñöôïc ôû 1. trong

tröôøng hôïp a =|ak|xvaø b =

|bk|y. Ta ñöôïc, vôùi moïi k ∈ {1, 2, . . . , n},

thìakbk

xy≤ |ak|

x

|bk|y

≤ 1

p

|ak|p

xp+

1

q

|bk|q

yq.

Coäng laïi, ta ñöôïc

1

xy

n∑

k=1

akbk ≤ 1

pxp

n∑

k=1

|ak|p +1

qyq

n∑

k=1

|bk|q =1

p+

1

q= 1.

Suy ra baát ñaúng thöùc Holder ñöôïc chöùng minh.

3. Ta coù

n∑

k=1

|ak + bk|p ≤n∑

k=1

|ak||ak + bk|p−1 +

n∑

k=1

|bk||ak + bk|p−1.

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Holder, ta ñöôïc

n∑

k=1

|ak||ak + bk|p−1 ≤(

n∑

k=1

|ak|p) 1

p(

n∑

k=1

|ak + bk|(p−1)q

) 1q

.

n∑

k=1

|bk||ak + bk|p−1 ≤(

n∑

k=1

|bk|p) 1

p(

n∑

k=1

|ak + bk|(p−1)q

) 1q

.

Do1

p+

1

q= 1, neân (p − 1)q = p. Vì vaäy, ta coù

n∑

k=1

|ak||ak + bk|p−1 +n∑

k=1

|bk||ak + bk|p−1


≤

(

n∑

k=1

|ak|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|bk|p) 1

p

(

n∑

k=1

|ak + bk|p) 1

q

.

Töø ñoù, ta coù baát ñaúng thöùc Minkowski

(n∑

k=1

|ak + bk|p) 1

p

≤(

n∑

k=1

|ak|p) 1

p

+

(n∑

k=1

|bk|p) 1

p

.

Chöông 4

Pheùp tính tích phaân

Baøi 4.1. Tính caùc tích phaân baát ñònh:

• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá:

a)

∫x√

4 + x2dx b)

∫xe−x2

dx c)

∫lnxdx

x√

1 + lnxd)

∫sinx cos3 xdx

1 + cos2 x

e)

∫dx

(1 + x)√

xf)

∫ √4 − x2dx g)

∫ √a2 + x2dx

Höôùng daãn. a) Ñaët u = 4 + x2 b) Ñaët u = −x2 c) Ñaët u = 1 + lnxd) Ñaët u = 1 + cos2 x e) Ñaët u =

√x

• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:a)

∫x2e−xdx b)

∫x2 lnxdx c)

∫lnx

x3dx d)

∫ex sin xdx e)

∫arcsinx

x2dx

Höôùng daãn. a) u = x2 ∨ dv = e−xdx b) u = lnx ∨ dv = x2dxc) u = lnx ∨ dv = x−3dx d) u = sinx ∨ dv = exdx e) u = arcsinx ∨dv = x−2dx

• Haøm höõu tyû:a)∫

dx

x4 − x2 − 2b)∫

dx

(x2 − 1)(x2 + 1)c)∫

x + 1

(x2 + 1)2dx d)

31


∫x2dx

x6 − 1

e)

∫dx

x(x2 + 1)2f)

∫dx

x4 + 1g)

∫x2dx

(1 − x)100

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang 62 − 64.

• Haøm caên thöùc:a)

∫dx

x(1 + 2√

x + 3√

x)b)

∫x

√x− 2

x + 1dx c)

∫1 −

√x + 1

1 + 3√

x + 1dx

d)∫

dx

(x + 1)√

x2 + x + 1e)∫

dx

x +√

x2 + 2xf)∫ √

−x2 + 4x + 10dx

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang 64 − 65.

• Haøm löôïng giaùc:a)

∫dx

2 sin x − cos x + 5b)

∫dx

1 + ε cosx(ε > 0) c)

∫sin4 xdx

d)

∫cos5 xdx

e)

∫cos 3x sin 5xdx f)

∫sin4 x cos5 xdx g)

∫sin2 x cos4 xdx

Höôùng daãn. Xem giaùo trình lyù thuyeát trang 66.

Baøi 4.2. Tính caùc tích phaân baát ñònh sau theo n:

a) In(a) =

∫dx

(a2 + x2)nb) Jn =

∫sinn xdx c) Kn =

∫cosn xdx d)

Ln =

∫xne−xdx

Baøi 4.3. Tính caùc tích phaân xaùc ñònh:

• Baèng phöông phaùp ñoåi bieán:

a)

∫ a

0

x2√

a2 − x2dx b)

∫ a

1

√a2 − x2

xdx

• Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn:

a)

∫ 1

0

xexdx b)

∫ π2

0

x cosxdx c)

∫ π2

0

ex cosxdx


• Haøm höõu tæ:a)

∫ 1

0

dx

x2 − 5x + 6b)

∫ 1

0

xdx

(1 + x)2c)

∫ 1

0

x5dx

1 + x2d)

∫ 1

0

dx

x4 + 4x2 + 3

• Haøm caên thöùc:

a)

∫ √2

√2

3

dx

x√

x2 − 1b)

∫ 7

2

dx√2 + x + 1

• Haøm löôïng giaùc:

a)

∫ π

0

sinxdx

cos2 x − 3b)

∫ π

0

sin4 xdx c)

∫ π4

0

tan6 xdx d)

∫ π4

0

dx

cos4 x

Baøi 4.4. Cho f laø haøm lieân tuïc treân [0; 1]. Chöùng minh:

a)

∫ π

0

f(sinx)dx = 2

∫ π2

0

f(sin x)dx b)

∫ π

0

xf(sinx)dx =π

2

∫ π

0

f(sin x)dx

AÙp duïng tính

∫ π

0

x sinx

1 + cos2 xdx ,

∫ π

0

x3 sinx

1 + cos2 xdx

Baøi 4.5. Tính caùc tích phaân suy roäng:

a)

∫ +∞

1

dx

x2/3b)

∫ +∞

1

dx

x4/3c)

∫ 1

0

dx

x2/3d)

∫ 1

0

dx

x4/3e)

∫ +∞

0

x2 + 1

x4 + 1dx

f)

∫ +∞

0

x cos xdx g)

∫ +∞

0

x lnxdx h)

∫ +∞

1

xdx√x − 1

Chöông 5

Chuoãi soá

Baøi 5.1. Tìm chuoãi voâ haïn vaø toång cuûa noù neáu daõy toång rieâng cuûa noù {Sn}ñöôïc cho bôûi coâng thöùc

1. Sn =n + 1

n, n ∈ N∗ b) Sn =

2n − 1

2n, n ∈ N

Baøi 5.2. Chöùng minh caùc chuoãi sau hoäi tuï vì daõy toång rieâng hoäi tuï, vaø xaùcñònh toång:

a)1

1.2+

1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+

1

5.6+ · · ·

b)1

1.4+

1

4.7+

1

7.10+

1

10.13+

1

13.16+ · · ·

c)1

2− 1

4+

1

8− 1

16+

1

32− · · ·

d)∞∑

k=0

2k + 3k

6ke)

Höôùng daãn.

a) Sn =n∑

k=1

1

k(k + 1)=

n∑

k=1

(1

k− 1

k + 1

)= 1 − 1

n + 1.

Do ñoù S = limn→∞

Sn = 1.

35


b) Sn =n∑

k=0

1

(3k + 1)(3k + 4)=

1

3

n∑

k=0

(1

3k + 1− 1

3k + 4

)=

1

3

(1 − 1

3n + 4

).


Sn =1

3.

c) Sn =1

2

(n∑

k=0

(−1

2

)k)

=1

3

(1 −

(−1

2

)n+1).


Sn =1

3.

d) Sn =

n∑

k=0

(1

3

)k

+

n∑

k=0

(1

2

)k

=3

2

(1 −

(1

3

)n+1)

+ 2

(1 −

(1

2

)n+1).


Sn =7

2.

Baøi 5.3. Cho ak, bk > 0. Giaû söû∞∑

k=0

ak vaø∞∑

k=0

bk hoäi tuï. Chöùng minh∞∑

k=0

akbk ,

∞∑

k=0

a2k,

∞∑

k=0

(ak + bk)2,

∞∑

k=0

√ak

kcuõng hoäi tuï.

dangtuanhiep.files.wordpress.com · Lôøi môû ñaàu Ñaây lał taäp tałi lieäu...

Documents

Transcript of dangtuanhiep.files.wordpress.com · Lôøi môû ñaàu Ñaây lał taäp tałi lieäu...