Ley de Coulomb y Ley Gauss

TCNICAS DE ALTA TENSIN

INGENIERA ELCTRICA - UNSA Pgina 1

INTRODUCCION

LA LEY DE COULOMB LEY DE GAUSS

LEY DE COULOMB

- La magnitud de cada una de las fuerzas elctricas con que interactan dos

cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la

magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia que las separa y tiene la direccin de la lnea que las une. La

fuerza es de repulsin si las cargas son de igual signo, y de atraccin si

son de signo contrario.

- La constante de proporcionalidad depende de la constante dielctrica del

medio en el que se encuentran las cargas.



LEY DE GAUSS

- En fsica la ley de Gauss, tambin conocida como teorema de Gauss,

establece que el flujo de ciertos campos a travs de una superficie cerrada

es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el

interior de dicha superficie. Dichos campos son aquellos cuya intensidad

decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de

proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.

- Se aplica al campo electrosttico y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga

elctrica y la masa, respectivamente. Tambin puede aplicarse al campo

magnetosttico.
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_un_campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_electrost%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Masa



LA LEY DE COULOMB LEY DE GAUSS

1.1 DEFINICION LEY DE COULOMB

Charles-Augustin de Coulomb desarroll la balanza de torsin con la que

determin las propiedades de la fuerza electrosttica. Este instrumento consiste

en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra

tiende a hacerla regresar a su posicin original, con lo que conociendo la fuerza

de torsin que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza

ejercida en un punto de la barra.

La ley de Coulomb tambin conocida como ley de cargas tiene que ver con las

cargas elctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas

o positivas.

En la barra de la balanza, Coulomb coloc una pequea esfera cargada y a

continuacin, a diferentes distancias, posicion otra esfera tambin cargada.

Luego midi la fuerza entre ellas observando el ngulo que giraba la barra.

Dichas mediciones permitieron determinar que:

La fuerza de interaccin entre dos cargas y duplica su magnitud si

alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas

aumenta su valor en un factor de tres, y as sucesivamente. Concluy entonces

que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas.

En consecuencia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Charles-Augustin_de_Coulombhttp://es.wikipedia.org/wiki/Balanza_de_torsi%C3%B3n



Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interaccin

disminuye en un factor de 4 (2); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3) y

al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4). En

consecuencia, la fuerza de interaccin entre dos cargas puntuales, es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

- Asociando ambas relaciones:

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la

relacin anterior en una igualdad:



1.2 ENUNCIADO DE LA LEY

La ley de Coulomb es vlida slo en condiciones estacionarias, es decir, cuando

no hay movimiento de las cargas o, como aproximacin cuando el movimiento se

realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilneas uniformes. Es por ello que

es llamada fuerza electrosttica.

En trminos matemticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos

cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se

expresa como:

Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vaco, se

atraen o repelen entre s con una fuerza cuya magnitud est dada por:

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

Donde es un vector unitario, siendo su direccin desde la cargas que produce

la fuerza hacia la carga que la experimenta.Al aplicar esta frmula en un ejercicio,

se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, segn sean stas positivas o

negativas.

El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy

en da, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la

forma
http://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica



Entonces:

.

- Representacin grfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo

signo.

Obsrvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica

que fuerzas de igual magnitud actan sobre y .

La ley de Coulomb es una ecuacin vectorial e incluye el hecho de que la fuerza

acta a lo largo de la lnea de unin entre las cargas.

1.3 CONSTANTE DE COULOMB

La constante es la Constante de Coulomb y su valor para

unidades SI es Nm/C.

A su vez la constante

- Donde

Permitividad relativa,

, y F/m
http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_de_constantes_f%C3%ADsicashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Newton_(unidad)http://es.wikipedia.org/wiki/Newton_(unidad)http://es.wikipedia.org/wiki/Culombiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Faradiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro



Es la permitividad del medio en el vaco. Cuando el medio que rodea a las cargas

no es el vaco hay que tener en cuenta la constante dielctrica y

la permitividad del material. La ecuacin de la ley de Coulomb queda finalmente

expresada de la siguiente manera:

La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la

siguiente y su resultado ser en sistema MKS ( ). En

cambio, si la unidad de las cargas estn en UES (q), la constante se expresa de

la siguiente forma y su resultado estar en las unidades

CGS ( ).

1.4 POTENCIAL DE COULOMB

La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce

en todo el espacio la aparicin de un campo de fuerzas que decae segn la ley de

la inversa del cuadrado.

Para modelizar el campo debido a varias cargas elctricas puntuales estticas

puede usarse el principio de superposicin dada la aditividad de las fuerzas sobre

una partcula.

Sin embargo, matemticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo

puede llegar a ser complicado, por lo que frecuentemente resulta ms sencillo

definir un potencial elctrico.

Para ello a una carga puntual se le asigna una funcin escalar o potencial de

Coulomb tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:
http://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Constante_diel%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_fuerzas_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_la_inversa_del_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_la_inversa_del_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctrico



- De la ley de Coulomb se deduce que la funcin escalar que satisface la

anterior ecuacin es:

Dnde:

, es el vector posicin genrico de un punto donde se pretende definir el

potencial de Coulomb

, es el vector de posicin de la carga elctrica cuyo campo pretende

caracterizarse por medio del potencial.

Montaje experimental para verificar la ley de Coulomb.



1.5 LIMITACIONES DE LA LEY DE COULOMB

La expresin matemtica solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y

para casos estticos ms complicados de carga necesita ser generalizada

mediante el potencial elctrico. El campo elctrico creado por una distribucin de

carga dada por .

Cuando las cargas elctricas estn en movimiento es necesario reemplazar

incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector de Linard-Wiechert,

especialmente si las velocidades de las partculas son cercanas a la velocidad de

la luz.

Para cargas distancias pequeas (del orden del tamao de los tomos), la fuerza

electrosttica efectiva debe ser corregida por factores cunticos. Para campos

muy intensos puede ocurrir el fenmeno de la creacin espontnea de pares de

partcula-antipartcula que requieren corregir el campo para distancias muy

cortas.

1.6 VERIFICACION EXPERIMENTAL DE LA LEY DE COULOMB

Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo.

Considrense dos pequeas esferas de masa "m" cargadas con cargas iguales, del

mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la

figura adjunta. Sobre cada esfera actan tres fuerzas: el peso mg, la tensin de la

cuerda T y la fuerza de repulsin elctrica entre las bolitas . En el equilibrio:

Tambin:
http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Potenciales_de_Li%C3%A9nard-Wiecherthttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomos



Dividiendo miembro a miembro, se obtiene:

- Siendo la separacin de equilibrio entre las esferas cargadas, la

fuerza de repulsin entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb

- Por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:

Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuacin, en contacto con la

esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su

separacin ser y la fuerza de repulsn entre las mismas estar dada

por:

- Por estar en equilibrio, tal como se dedujo ms arriba:

.

- Y de modo similar se obtiene:



- Dividiendo, miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:

Midiendo los ngulos y y las separaciones entre las cargas y es

posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental. En la

prctica, los ngulos pueden resultar difciles de medir, as que si la longitud de

los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ngulos

resultarn lo bastante pequeos como para hacer la siguiente aproximacin:

- Con esta aproximacin, la relacin (5) se transforma en otra mucho ms

simple:

- De esta forma, la verificacin se reduce a medir la separacin entre cargas

y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulomb#Equation_5



1.7 COMPARACION DE LA LEY DE COULOMB CON LA LEY DE GRAVIATCION

UNIVERSAL

Esta comparacin es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de

dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones

matemticas cuya similitud es notoria.

La ley de la gravitacin universal establece que la fuerza de atraccin entre dos

masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresndolo

matemticamente:

- Siendo:

La constante de gravitacin universal,

Las masas de los cuerpos en cuestin

La distancia entre los centros de las masas.

A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran

dos diferencias importantes.

La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de

diferente signo como sucede en el caso de las cargas elctricas, y la fuerza entre

masas siempre es atractiva.

La segunda tiene que ver con los rdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y

de la fuerza elctrica. Para aclararlo analizaremos como actan ambas entre un

protn y un electrn en el tomo de hidrgeno.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_la_gravitaci%C3%B3n_universalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_gravitaci%C3%B3n_universal



La separacin promedio entre el electrn y el protn es de 5,310-11 m. La carga

del electrn y la del protn valen:

- Respectivamente y sus masas son

- Sustituyendo los datos:

Al comparar resultados se observa que la fuerza elctrica es de unos 39 rdenes

de magnitud superior a la fuerza gravitacional. Lo que esto representa puede ser

ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo. 1 C equivale a la carga que pasa en

1 s por cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de

intensidad 1 A constante. En viviendas con tensiones de 220 Vrms, esto equivale a

un segundo de una bombilla de 220 W (120 W para las instalaciones domsticas

de 120 Vrms).

Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una

separacin de 1 metro, la fuerza de interaccin sera:
http://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coulombhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundohttp://es.wikipedia.org/wiki/Amperiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Voltiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vatio



O sea, 916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un milln

de toneladas (un teragramo)!.

Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada ms arriba, se

alejaran bajo la influencia de esta enorme fuerza. Si de esta hipottica

disposicin de cargas resultan fuerzas tan enormes, por qu no se observan

despliegues dramticos debidos a las fuerzas elctricas? La respuesta general es

que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento

de la neutralidad elctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en

un punto.
http://es.wikipedia.org/wiki/Kilopondiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tonelada



2. LEY DE GAUSS

La ley de Gauss relaciona el flujo del campo elctrico a travs de una superficie

cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite

calcular fcilmente los campos elctricos que resultan de distribuciones

simtricas de carga, tales como una corteza esfrica o una lnea infinita.

La figura muestra una superficie de forma arbitraria que incluye un dipolo.

El nmero de lneas que salen de la carga es exactamente igual al nmero de

lneas que entran en el mismo recinto y terminan en la carga negativa. Si

contamos el nmero que sale como positivo y el nmero que entra como negativo,

el nmero neto que sale o entra es cero. En otras distribuciones de carga, como

ocurre en la figura derecha, el nmero neto de lneas que sale por cualquier

superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de

dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.

La magnitud matemtica relacionada con el nmero de lneas de fuerza que

atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo elctrico, cuya definicin

general es:



Frecuentemente estamos interesados en conocer el flujo del campo elctrico a

travs de una superficie cerrada, que viene dado por:

La figura muestra una superficie esfrica de radio R con su centro en la carga

puntual Q. El campo elctrico en un punto cualquiera de la superficie es

perpendicular a la superficie y tiene la magnitud

- El flujo neto a travs de esta superficie esfrica es:



En donde E ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La

integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el rea total,

igual a:

- Sustituyendo:

Se obtiene:

Idntico resultado hubiramos obtenido si la superficie fuese irregular. Si se trata

de sistemas de ms de una carga puntual como en la figura, el flujo neto a travs

de la superficie cerrada sealada es igual a:



- Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en funcin de la

permitividad del vaco:

- De modo que la ley de Gauss se escribe:

2.1. CLCULO DEL CAMPO ELCTRICO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS

En algunas distribuciones de carga altamente simtricas, tales como una esfera

uniformemente cargada o una lnea infinita de carga, es posible determinar una

superficie matemtica que por simetra posee un campo elctrico constante

perpendicular a la superficie.

A continuacin puede evaluarse fcilmente el flujo elctrico a travs de esta

superficie y utilizar la ley de Gauss para relacionar el campo elctrico con la

carga interior a la superficie. Una superficie utilizada para calcular el campo

elctrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie gaussiana.

En esta seccin utilizaremos dicho mtodo para calcular el campo elctrico

producido por diferentes distribuciones simtricas de carga.



a. Campo elctrico E prximo a una carga puntual

I. Superficie gaussiana, elegimos una superficie esfrica de radio r centrada

en la carga.

II. E es radial y su magnitud depende slo de la distancia a la carga.

III. E tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esfrica.

- El flujo neto a travs de esta superficie es:

- Pero la ley de Gauss nos da:

- Igualando obtenemos



b. Campo elctrico E prximo a un plano infinito de carga

Densidad de carga uniforme. Por simetra el campo elctrico debe:

I. Ser perpendicular al plano.

II. Depender slo de la distancia z del plano al punto del campo.

III. Tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la

misma distancia por arriba y por debajo del plano

Escogemos como superficie gaussiana un cilindro en forma de pastillero y su

base tiene un rea A. Como E es paralelo a la superficie cilndrica, no existe flujo

que la atraviese.

Puesto que el flujo que sale por cada cara superior o inferior es EA, el flujo total

es:



- La carga neta en el interior de la superficie es:

- A partir de la ley de Gauss.

- De donde:

2.2. CAMPO ELCTRICO E PRXIMO A UNA CARGA LINEAL INFINITA

Densidad de carga uniforme Por simetra el campo debe:

a. Ser perpendicular al hilo.

b. Depender slo de la distancia r del hilo al punto.

Tomamos como superficie gaussiana un cilindro de longitud L y radio r coaxial

con la lnea de carga. El campo elctrico es, por tanto, perpendicular a la

superficie cilndrica y posee el mismo valor E, en cualquier punto de la superficie.

No hay flujo a travs de las superficies planas de los extremos del cilindro.

- El flujo elctrico es, por tanto:



Igual al producto del campo elctrico por el rea de la superficie cilndrica.

- La carga neta dentro de esta superficie es:

- Segn la Ley de Gauss:

- De donde:

- NOTA:

Para usar la ley de Gauss es necesaria la existencia de un alto grado de simetra.

El clculo anterior fue necesario suponer E sera constante en todos los puntos de

la superficie gaussiana cilndrica . Esto es admisible cuando la distribucin lineal

es de longitud:

a. INFINITA

b. FINITA

En puntos muy prximos a la carga lineal lo que equivale a suponer que a esa

distancia parece ser infinitamente larga.



2.3. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UNA

CORTEZA CILNDRICA DE CARGA

Densidad de carga superficial uniforme, .

a) Puntos interiores a la corteza

Tomamos una superficie gaussiana cilndrica de longitud L y radio r < R

concntrico con la corteza.

Por simetra, el campo elctrico es:

a) perpendicular a esta superficie gaussiana y

b) su magnitud Er es constante en todos los puntos de la superficie.

El flujo de E a travs de la superficie es, por tanto,

La carga total dentro de esta superficie es cero y la ley de Gauss nos da:

b) Puntos interiores a la corteza

Tomamos una superficie gaussiana cilndrica de longitud L y radio r > R

concntrico con la corteza.

El flujo vuelve a ser:



- Pero la carga interior no sera nula, sino y segn la ley de Gauss:

- Observar que:

Justamente sobre la corteza en r = R, el campo elctrico es:

Como el campo justamente dentro de la corteza es cero resulta un salto.

Esta discontinuidad aparece siempre que haya carga superficial.



2.4. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UN CILINDRO

SLIDO DE CARGA INFINITAMENTE LARGO

Densidad de carga rho, distribuida uniformemente por todo el volumen del

cilindro.

Lo mismo que en el caso de la corteza cilndrica de carga tomamos una superficie

gaussiana cilndrica de radio r y longitud L, el flujo ser

a. Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r > R, La carga total dentro de

esta superficie es:

Y segn la ley de Gauss



De donde:

b. Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r < R, La carga total dentro de

esta superficie es:

Representacin grfica

La figura muestra el valor E, en funcin de r para esta distribucin de carga.

Observar que el campo:

1. en el interior crece directamente proporcional a r

2. en el exterior vara de modo inversamente proporcional a r

3. es continuo en r=R.



2.5. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UNA

CORTEZA ESFRICA DE CARGA

Densidad superficial de carga. Por simetra:

1. E debe ser radial y

2. su magnitud depender slo de la distancia r desde el centro de la

esfera.

a) Puntos exteriores a la corteza.

Tomamos una superficie gaussiana esfrica de radio r > R, el flujo ser

La carga total dentro de esta superficie es:



- Y segn la ley de Gauss:

- De donde:

- Siendo Q la carga total de la corteza.

b) Puntos interiores a la corteza.

Si escogemos una superficie gaussiana esfrica en el interior de la corteza.

De modo que r < R, el flujo neto no vara, pero la carga total dentro de la

superficie gaussiana es CERO. Por tanto, para r < R, la ley de Gauss nos da:

- Representacin grfica:



2.6. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UNA ESFERA

SLIDA UNIFORMEMENTE CARGADA

Densidad de carga uniforme, distribuida por todo el volumen Como en el caso de

la corteza esfrica de carga, el flujo a travs de una superficie gaussiana de radio

r es:

1. Puntos exteriores a la esfera. r > R La carga total dentro de esta superficie

es:

Y segn la ley de Gauss



- De donde:

- Siendo Q la carga total de la esfera

2. Puntos interiores a la esfera.

Superficie gaussiana r < R, Carga interior:



- Representacin grfica

3. CONCLUSIONES

a. La LEY DE GAUSS permite calcular de forma simple el campo elctrico

debido a distribuciones de carga con alto grado de simetra

particularmente de distribucin de carga con simetra esfrica, cilndrica o

plana.

b. La ley de Coulomb seala que la fuerza F (newton, N) con que dos cargas elctricas Q y q (culombio, C) se atraen o repelen es proporcional al

producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia r (metro, m) que las separa.



c. Definimos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada

imaginaria que empleamos en la LEY DE GAUSS para calicular el campo

elctrico debido a cierta distribucin de cargas.

d. Para calcular el campo elctricos es necesario seleccionar la superficie

gaussiana, calcular el flujo travs de dicha superficie, calcular la carga

total dentro de dicha superficie.



e. Ley de COULOMB La existencia de ms de una carga produce en cada punto un conjunto de fuerzas individuales cuya resultante es la suma vectorial.

Cuando esta resultante vale cero el campo elctrico en ese punto tambin

es cero.

4. BIBLIOGRAFIA

a. LEY DE GAUSS - HYPERPHYSICS b. LEY DE GAUSS - UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA c. LEWIS FORD, ROGER A. FREEDMAN LA LEY DE GAUSS d. TEOREMA DE GAUSS - CIE e. SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA PUMACAYO f. SISTEMAS ELCTRICOS DE GRAN POTENCIA J. WEEDY g. SISTEMAS DE POTENCIA GOMEZ EXPOSITO h. LEY DE COULOMB - BALDERAS MORENO OCTAVIO MICHE i. LEY DE COULOMB - ITSON j. LEY DE COULOMB - GONZALO REVELO PABON
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/gaulaw.htmlhttp://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/irs-404/contenido/capitulo5.htmlhttps://www.google.com.pe/search?sa=N&hl=es&biw=1366&bih=624&tbm=bks&q=inauthor:%22A.+Lewis+Ford%22&ei=LyBIU4qXBuaZ0AGFl4GgBQ&ved=0CHYQ9AgwCTgKhttps://www.google.com.pe/search?sa=N&hl=es&biw=1366&bih=624&tbm=bks&q=inauthor:%22Roger+A.+Freedman%22&ei=LyBIU4qXBuaZ0AGFl4GgBQ&ved=0CHcQ9AgwCTgKhttps://www.google.com.pe/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=30&cad=rja&uact=8&ved=0CG4QFjAJOBQ&url=http%3A%2F%2F148.216.10.84%2Felectro%2Fproblegauss.htm&ei=ViBIU4fsKJDq0QGA4YG4Cg&usg=AFQjCNG-dYVCvz-uyXj6ba7EmodflwKZ5A&sig2=TRi7rWwvB0AtVCo9wQuPrg&bvm=bv.64542518,d.dmQhttp://biblioteca.itson.mx/oa/dip_ago/ley_de_coulomb/index.htmhttps://www.google.com.pe/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=24&ved=0CHYQFjANOAo&url=http%3A%2F%2Fwww.slideshare.net%2FGONZALOREVELOPABON%2Fley-de-coulomb-problemas-resueltosgonzalo-revelo-pabon&ei=1iBIU7--I8Lk0gGIpIHoCw&usg=AFQjCNH5OtzvGb6mW4ztfZLIxGNjItBF-g&sig2=eTbpS482Pxvii-KjqQzVbw&bvm=bv.64542518,d.dmQ

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