Lesson 6.5 and 6.6 ­ Intro to Natural Logarithm and Derivative

Let's now take a look at y = ex

= 2.718 281 828 459

Let's now take a look at y = lnx

This function is known as the natural logarithm of x and is defined as ln x = logex.

Let's now compare y = ex and y = ln x

y = ex  y = ln x 

Domain:

Range: 

Increasing/Decreasing 

y­intercept

x­intercept 

asymptote 

max/min points 

inflection 

concavity 

Evaluate the following:

(a) e3

(b) e­1/2

(c) ln 10

(d) ln (­5)

(e) ln e

Lesson 6.5 and 6.6 ­ Intro to Natural Logarithm and Derivative

Properties of exponential and logarithmic functions

ln ex = x  and elnx = x

Example ­ Bacterial GrowthThe population of a bacterial culture as a function of time is given by the equation P(t) = 200e0.094t , where P is the population after t days.

(a) What is the initial population of the bacterial culture?

(b) Estimate the population after 3 days.

(c) How long will the bacterial culture take to double its population?

Derivative of the exponential function

Given the exponential function y =  bx

dy/dx = (lnb)bx

Example #1Determine the derivative of each function.

(a) y = 3x

(b) y = ex

Example #2Find the equation of the line tangent to the curve y = 2e x at x = ln3

Example #3A biologist is studying the increase in the population of a particular insect in a provincial park.  The population triples every week.  Assume the population continues to increase at this rate and initially there are 100 insects.(a) Determine the number of insects present after 4 weeks(b) How fast is the number of insects increasing

(i) when they are initially discovered?(ii) at the end of 4 weeks?