Lesson  3-‐  The  Laws  of  Logarithms    Warm  up  problem:    

The  blue  graph  cab  be  generated  by  stretching  the  red  graph  of  𝑦 = 𝑙𝑜𝑔! 𝑥.  Write  the  equation  that  describes  the  blue  graph.                                

We  are  familiar  with  exponent  laws  (i.e.  the  product  law,  the  power  law,  etc.)  and  evaluating  powers  with  the  same  base.  Since  a  logarithm  is  an  exponent,  the  laws  of  exponents  can  be  used  to  develop  a  set  of  laws  for  logarithm.    

Logarithmic  Laws  Product   law  for   logarithms:  log! 𝑥 + log! 𝑦 = log!(𝑥𝑦)                where  x  ,  and  y  are  positive  real  numbers.          

   

Evaluate  or  simplify  the  following  logarithmic  expressions  using  the  product  law  for  logarithms    Ex1:    log!(128  ×64)                                                                                        Ex2:    log! 25𝑎                                                                                Ex3:  log! 4 + log! 9              

     Ex4:  log 𝑥 + 1 + (𝑥 − 3)                                                Ex5:  Express    log! 7 + log! 9 + log! 3𝑛  as  a  single  simplified  logarithm                                                    

     

   Ex6:  log! 7 7  

This  law  states  that  the  sum  of  two  logarithms  with  the  same  base  b,  is  equal  to  the  logarithm  of  the  product  of  those  two  numbers.    

Quotient   law  for   logarithms:  log! 𝑥 − log! 𝑦 = log!(  !  !  )            where  x  ,  and  y  are  positive  real  numbers  

         

 Evaluate  or  simplify  the  following  logarithmic  expressions  using  the  quotient  law  for  logarithms    Ex1:    log!(  

!!  )                                                                                          

       Ex2:  If  log!𝑚 = 𝑥,  determine  an  expression  in  terms  of  x  that’s  equivalent  to    log!(

!"!)    

           Ex3:  log! 245 − log! 5                                                                  Ex4:  Express  log!(72𝑥!)−log!(9𝑥)  as  a  simplified  logarithm              

   Power  law  for   logarithms:  log! 𝑥!  = 𝑛 log! 𝑥      ;  where  x  ,  and  y  are  positive  real  numbers                Evaluate  or  simplify  the  following  logarithmic  expressions  using  the  power  law  for  logarithms    Ex1:    log!(   67!  )                                                                                                      Ex2:  Determine  an  expression  written  in  terms  of  k  that  is  equivalent  to  log!(243!!!)  

This  law  states  that  the  difference  of  two  logarithms  with  the  same  base  b,  is  equal  to  the  logarithm  of  the  quotient  of  those  two  numbers.    

This  law  states  that  the  logarithm  of  a  power  𝑥!,  is  equal  to  the  product  of  the  exponent  of  that  power,  n,  and  the  logarithm  of  the  base  of  that  power,  x,  for  any  base,  b.  The  exponent  becomes  the  multiplier.