Leg

1

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 1

Capitolul IV

LEGI DE REGLARE


amplificatorul de c.c. (Acc) cu

K0 pe un domeniu larg de

frecven, rintr - f. mare,

rie - f. mic;

circuitul de intrare cu Z1(s);

circuitul de reacie cu Z2(s).

Legile de reglare sunt realizate de regulator.

Componenta I poate exista n p. fixat (elem. de exec.).

1. Regulatoare cu amplificatoare operaionale

1.1. Amplificatorul operaional

Fig.IV.1

NZ2(s)

Z1(s)

Un amplificator operaional (fig.IV.1) este format din:

()

(+)

Acc

2


Pentru domeniul de liniaritate al Acc se scriu ecuaiile:

N2

2

( ) ( )( ) ,

( )

X s U sI s

Z s

= (1.3)

N1

1

( ) ( )( ) ,

( )

A s U sI s

Z s

= (1.2)

(1.1)

0( ) ( ) .NX s K U s= (1.4)

Fig.IV.1

N

X(s)

A(s)

I1(s)

UN(s)

I2(s)Z2(s)

Z1(s)()

(+)

Acc

1 2( ) ( ) 0 ,I s I s+ =


Se elimin I1(s), I2(s), UN(s) ntre ecuaiile (1.1) (1.4).

2

21

0 1

1.

( )11 1( )

( )( ) ( )

( ) sK s

Z sX s A s

ZZ sZ

=

+

(1.5)

factorul de coreccorecieie:

(1.7)

Se disting:

funcia de transfer idealideal a regulatorului:

(1.6)21

( )( ) ;

( )iR

Z sG s

Z s=

Se obine:

2

0 1

1( ) .

( )11 1( )

C sZ s

K Z s

= +

3


Funcia de transfer a regulatorului:

(1.8)

Din (1.7):0 0

2

0 1

1lim ( ) lim 1,

( )11 1

( )

K KC sZ s

K Z s

+ += =

+

(1.10)

Cu Z1(s) i Z2(s) se obin variate funcii de transfer

respectiv diferite legi de reglarelegi de reglare.

Se introduce i o schimbare de semn intrare ieire;

se compenseaz pe parcursul cii directe.

( ) ( ) ( ).iR RG s G s C s=

2

1

( )( ) ( ) .

( )

iR R

Z sG s G s

Z s =

(1.9)


SchemaParametriZ2(s)=Z1(s)=Tip G s G sR Ri( ) ( ) =

k P

12

2

+CsR

R kR

R

T R C

P =

=

2

1

2

+

k

Ts

P

1

RCs

21

+k

R

R

T R C

P

I

=

=

2

1

1

+

sTk

IP

1

Elementele de circuit utilizate: rezistene i condensatoare.

1.2. Regulatoare uzuale

Tabelul IV.1. Regulatoare PID

kR

RP =

2

1P R1 R2

PT1 R1

PI R1

R1 R2

R1R2C

R1 R2 C

4


R

R Cs

1

1 1+

kR

R

T R C

P

D

=

=

2

1

2

( )sTk DP +

RR

R Cs2

3

3 1+

+

kR R

R

TR R

RC

T R C

P

D

=+

=

=

2 3

1

2 3

1

3

1+

+

Ts

sTk DP

R

RC s

1

1 1 1+R

C s2

2

1+

kR

R

C

C

T R C

T R C

P

D

I

= +

=

=

2

1

1

2

2 1

1 2

++

sTsTk

IDP

1

SchemaParametriZ2(s) =Z1(s)=Tip G s G sR Ri( ) ( ) =

PD R2

PDT1 R1

PID

R1 R2

C

R1 R2 C

R3

C1

R1 R2 C2


1.3. Caracteristici ale regulatoarelor PID (Tabelul IV.2)

PI

PT1

P

Legea reglriiZerouri i /sau

poli finii h t h tR Ri( ) ( )

k

Ts

P

+ 1

pT

= 1

akxxT P=+

kT s

PI

+1

zk T

p

P I

=

=

1

0+

+=

t

I

p

adtT

akx

0

1

kPNu exist x = kPa

G s G sR Ri

( ) ( )

kP

t

kP

t; tg = kP /T

kPttg = 1 /TI

5


PID

PDT1

PD

Legea reglriiZerouri i / saupoli finii

k T sP D+z

k

T

P

D

= aTakx DP +=

k T s

Ts

P D+

+ 1

zk

T

pT

P

D=

= 1 aTak

xxT

DP

+==+

kT s

T sPI

D+ +1

aTadtT

akx

D

t

I

P

++

+=

01

h t h tR Ri( ) ( )G s G sR R

i( ) ( )

kPt

TD(t)

kP

t

tg = (kP TD/T)/T

kP T > TDDT

T

kPt

tg = (kP TD/T)/T

kP T < TD

DT

T

kPttg = 1 /TI

TD(t)

(1,2

21 42

0

P

DP

D I

z k

Tk

T T

p

=

=

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 10

Pentru obinerea unor rezultate

comparabile se consider

sistemul automat din fig.IV.4

avnd ca parte fixat un

element PT2 cu funcia de transfer:

cu 0, > 0,

2.Proprieti ale SA cu regulatoare PID

21 2 1 2

( ) ,( ) 1

FkG s

TT s T T s=

+ + +(2.2)

Fig.IV.4

_GR(s)+

GF(s)U(s) Y(s)

sau

(2.1)2

2 2( ) ,

2

nF

n n

kG s

s s

=

+ +

( )1,2 2

1 ,1n

T

=

cu 1.

6

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 11

2.1. Regulatorul P

.0;)( >= PPR kksG 0( ) ( )

( ) ,1 ( ) ( )

R F

R F

G s G sG s

G s G s=

+

,2

)(2000

2

200

0

nn

n

ss

ksG

++=

,1

0+

=kk

kkk

P

P

,10 += kk Pnn

0 ,1Pk k

=

+k0

n0

0

1

n

n0, 0,k0, esp

kP

Fig.IV.50

11 1 .1 1

Psp

P P

k ke k

k k k k= = =

+ +

esp

2

0 2 2( ) ,

2 ( 1)

P n

n n P

k kG s

s s k k

=

+ + +

2

2 2( ) ,

2

nF

n n

kG s

s s

=

+ +

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 12

( )s =

Integratorul de pe calea direct asigur epsp = 0!

2.4. Regulatorul PID

1( ) , 0, 0, 0.R P D P I DI

G s k T s k T TT s

= + + >

( )( ) ( )

.12

1)(

2223

22

0InPnDnn

IPDn

TkskksTks

TsksTksG

+++++

++=

Problema BIBO-stabilitii

( )( ) ( ) .

00

21

012

2

223

++

+

=

In

DnnPnIn

Dnn

Tk

TkkkTk

Tk

H (2.17)

,)()(1

)()()(0

sGsG

sGsGsG

FR

FR

+=

2

2 2( ) ,

2

nF

n n

kG s

s s

=

+ +

7

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 13

Pt. 0, SA este BIBO-stabil

dac i numai dac: TD > 0 i

Cf. criteriului Hurwitz din (2.17) se obin condiiile:

detH1 = n(2 + knTD) > 0,

detH2=n2[n(2 + knTD)(kPk + 1) k/TI] > 0,

detH3=(kn2/TI)detH2 > 0.

.(2 )( 1)I n n D P

kTk T k k

>+ +

DBIBO-S

TD > 0,

0

TI

kP

.(2 )( 1)I n n D P

kTk T k k

=+ +

TD = 0, .2 ( 1)I n P

kTk k

=+

Pentru TD = 0 (regulator PI)

condiiile devin: > 0 i

.2 ( 1)I n P

kTk k

>+ DBIBO-S crete cu creterea lui TD .

Fig.IV.7

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 14

Cf. ts0 = 3T0 ts0a se alege TD :

Cu zerourile regulatorului PID

se pot compensa polii p. fixate.

2

2

2 2

1

( 2 )

n DP

D I D n n

k Tks s

T T T s s s

= + + + +

Dn

Dn

FR

FR

Tks

Tk

sGsG

sGsGsG

2

2

0)()(1

)()()(

+=

+=

0

1 ,1T s +

0 21 .n D

Tk T

=

2 2

2

2 2 2 2

1 1( ) ( )( 2 ) ( 2 )

n nD PR F P D

I D I Dn n n n

k kT kG s G s k T s s s

T s s T T Ts s s s

= + + = + + = + + + +

Fig.IV.4

_GR(s)+

GF(s)U(s) Y(s)

212 , .P n nD I D

k

T T T = =

Apoi se ajusteaz kP = 2nTD ,

0 02 20

3 33 .s a Dn D n s a

T t Tk T k t

=

2

1 .In D

TT

=

2

,n Dk T

s

=

8

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 15

Capitolul V

METODA LOCULUI RDCINILOR

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 16

Sinteza regulatorului:

1. Generaliti

1.1. Formularea problemei

Se determin structura i parametrii regulatorului ..

Se aloc polii i zerourile sistemului automat .

Se adopt indicii de calitate admisibili.

( ) ( ) ( ) ( ).R E IAG s G s G s G s=

Calea direct a SA:

Fig.III.16

Gt (s)

+

+G(s)

Yp UGp(s)

A Y

W Gw (s)

Yr

9

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 17

Fig.III.16, cu W(s)=0 i

Gp(s)=Gt(s)=kp=kt,

conduce la fig.V.1.

Fig.V.1

1 ( ) 0.dG s+ = (1.4)

Ecuaia (1.4) are ca rdcini

exact polii sistemului automat.

( ) ( ).d tG s k G s=

Circuitul deschis al SA:

0

( )( ) .

1 ( )d

d

G sG s

G s=

+

Circuitul nchis al SA:

Fig.III.16

kt+

G(s)Yp Y

( ) ( ) ( ) ( ).R E IAG s G s G s G s=

Calea direct a SA:

Gt (s)

+

+G(s)

Yp UGp(s)

A Y

W Gw (s)

Yr

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 18

,0)(1 =+ sGd (1.4)( )

( ) ,( )d

kM sG s

N s= (1.5)

M(s) i N(s) polinoamele zerourilor i al polilor (prime).

k 0 factorul de amplificare al sistemului n circuit deschis.

Din (1.4), (1.5) rezult:

Pentru M(s), N(s) fixati, rdcinile ecuaiei (1.7), respectiv

polii sistemului automat (n circuit nchis) depind de k 0.

( )1 0,

( )

kM s

N s+ = (1.6) ( ) ( ) 0.N s kM s+ = (1.7)

Graficul corespunztor este locullocul geometric al rdcinilorgeometric al rdcinilor.

Este util n analiza SA i, mai ales, n sinteza regulatorului.

10

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 19

Pl. s

0

Exemplul 1.1

11

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1d t R E IA R

G k G s G s G s G s G sTs

==

= = =+

) ( ) , ) ( ) .R RkG s k G ss

= =a b

S se studieze dependena polilor SA de parametrul k 0.

a)

Fig.V.2

,0)()( =+ skMsN (1.7)

Ecuaia polilor SA este: Locul rdcinilor:

kt+

G(s)Yp Y

Fig.V.1

( ) , ( ) ,1R d

kG s k G sTs

= =+

M(s) = 1, N(s) = Ts + 1.

11 0 kTs k sT++ + = =

k = 0k = +x1T

10, ;k sT

= = , .k s= + =

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 20

1,2s =

Fig.V.3

Ecuaia polilor SA este:

Rdcinile ecuaiei polilor sunt :

Locul rdcinilor:

Discriminantul: = 1 4kT

( ) , ( ) ,( 1)R d

k kG s G ss s Ts

= =+

( ) 1, ( ) ( 1).M s N s s Ts= = +

Ts2 + s + k = 0.

,0)()( =+ skMsN (1.7)

b)

k = 0

k = +

k = +

k = 0

Pl. s

0x1T

1

2T

14

kT

=

1 1 4 1, 0 ;42

kT kTT

1 4 1 1, .42

j kTk

TT

>

x

1

2

0,0, 1 .

sk

sT

== =

1,21 1, .

4 2k s

T T= =

1,2, .k s= + = +

11

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 21

Problema: s se determine dependena polilor sistemului

n circuit nchis (SA, rdcinile ecuaiei (1.7))

de parametrul k0 al sistemului n circuit deschis.

Rezultatul: locul rdcinilorlocul rdcinilor , respectiv locul geometric al

rdcinilor ecuaiei polilor SA (1.7) pentru k0.

,0)(1 =+ sGd

( )( ) ,

( )dk M s

G sN s

=

( )1 0,

( )

k M s

N s+ =

.0)()( =+ skMsN (1.7)

kt+

G(s)Yp Y

Fig.V.1Fie sistemul automat:

0

( )( ) ( ), ( ) ,

1 ( )d

d td

G sG s k G s G s

G s= =

+

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 22

1.2. Ecuaiile fundamentale ale locului rdcinilor

z i p zerourile i polii sist. n circuit deschis; z p .

Se definesc fazorii:

,)()(1 =n

pssN

Din (1.10) (1.12):

1

1

1z

p

m jz

n j

p

A ek

A e

=

Fie:1

( ) ( ) ,m

M s s z=

( )1 0,

( )

M sk

N s+ =

m n;

.,,1)(

)(

1

1+=

RC ks

ps

zsk

n

m

(1.10)

, 1, ; 0, ;zjz z zs z A e m A

= = R (1.11)

, 1, ; 0, .pj

p p ps p A e n A

= = R (1.12)

1

1

1 ,

m

z

n

p

Ak

A

=

(1.13)

1 1(2 1) , .

m n

z p i i = + Z (1.14)

12

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 23

Ecuaia (1.14), independet de k, exprim proprietatea proprietatea

esenesenialial utilizabil pentru trasarea locului rdcinilor:

este util pentru parametrizarea locului rdcinilor dup k0.

.,)12(11

Z+= iin

pm

z (1.14)

Punctul s aparine locului rdcinilor dac i numai dac

suma argumentelor fazorilor cu originea n zerourile lui Gd(s)

i vrful n s minus suma argumentelor fazorilor cu originea

n polii lui Gd(s) i vrful n s este un multiplu impar de .

Ecuaia (1.13), pus sub forma 1

1

,

n

p

m

z

Ak

A

=

(1.15)

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 24

2. Reguli de trasare a locului rdcinilor

.0)(1

=n

ps

Locul rdcinilor pornete din polii sist. n circuit deschis.

0)()( =+ skMsN (1.7)

are n rdcini.

DDDD. Ecuaia polilor

1 Pentru k0 cele n rdcini ale polinomului polilor SA

pornesc din polii i ajung n zerourile lui Gd(s).

,)()(1 =n

pssN (1.9)

cu k = 0, din (1.7) rezult

Pentru

13

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 25

.0)(1

=m

zs

Din totalul de n ramuri ale locului rdcinilor, m ramuri ajung

n cele m zerouri finite ale sistemului n circuit deschis.

Restul de n m ramuri ale loc. rd. ajung n punctul de la .

1

1

( )1, ,

( )

m

n

s zk m n

s p

=

Leg

Documents

Transcript of Leg