lecture acyclic 2 · 2015. 10. 15. · ideal-fluid aerodynamics“-Karamcheti K. ... Μόνιμη...
Transcript of lecture acyclic 2 · 2015. 10. 15. · ideal-fluid aerodynamics“-Karamcheti K. ... Μόνιμη...
ΕΘΝΙΚΟΜΕΤΣΟΒΙΟΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΤΜΗΜΑΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣΚΑΙΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣ
ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΔιδάσκων:Δρ.ΡιζιώτηςΒασίλης
ΜόνιμηΆκυκληΡοή
ΆδειαΧρήσης
ΤοπαρόνεκπαιδευτικόυλικόυπόκειταισεάδειεςχρήσηςCreativeCommons.Γιαεκπαιδευτικόυλικό,όπωςεικόνες,πουυπόκειταισεάδειαχρήσηςάλλουτύπου,αυτήπρέπεινααναφέρεταιρητώς.
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Αστρόβιλη ροή – Δυναμικό της ταχύτητας
0= ∇× =Ω u αστρόβιλο πεδίο
= ∇Φ( )u r
2( Φ) Φ 0∇ ⋅ ∇ = ∇ = συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού
εξίσωση Bernoulli+ − =ρ
2u p U c2
οριακές συνθήκες
⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ = ∈ =Φ F Φ 0 στερεό σώμα, F( ) 0n r r
∇ → → ∞Φ U r
=Φ Φ( )r
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Αστρόβιλη ροή – Δυναμικό της ταχύτητας
0= ∇× =Ω u αστρόβιλο πεδίο
=φ φ( )r =∇φ( )q r
∇ ⋅ ∇ = ∇ =2( φ) φ 0 συνθήκη ασυμπίεστου ρευστού
εξίσωση Bernoulli+ − =ρ
2u p U c2
οριακές συνθήκες
⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ = −∇ ⋅ ∈ =φ F φ F στερεό σώμα, F( ) 0n U r r
∇ → → ∞φ 0 r
= + = +∇φ( )u U q U r
πεδίο διαταραχής
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Δυναμικό πηγής
= =Af( ) rr
r r
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = ∇ = ∇ ∇ = →⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 23
A A 0 0f( ) r 0r r 0r
r
Δ →
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ ∇ = ∇ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫D 0S
A 1 Alim dSr D r
n θεώρημα Gauss
ολοκληρώνοντας σε μια σφαίρα όπου⋅⎛ ⎞
∇ = − = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
3 2
A A Ar r r r
r e
Δ →→
⎡ ⎤⎛ ⎞∇ = − ⋅ ⋅ = −∞⎜ ⎟⎢ ⎥ Δ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫22D 0
spherer 0
A 1 Alim dSr D r r re e
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Δυναμικό πηγής
=Aφ( )r
r
⋅⎛ ⎞= ∇ − = = ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠3 2
A A A( )r r r r
ru r e
Έστω ή = −Aφ( )r
r
= πq 4 Aη παροχή ρευστού που εξέρχεται από όγκο που περιλαμβάνει το κέντρο της πηγής
= −π
q 1φ( )4 r
rκαι αν το κέντρο της πηγής δεν ορίζεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων
= −π −
q 1φ( )4 0
rr r
0r το κέντρο της πηγής
−= ⋅
π −3
q( )4
0
0
r ru rr r
= ⋅π 3
q( )4 r
ru r
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Δυναμικό πηγής
= − ⋅π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦
1/22 2 20 0 0
q 1φ(x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )
Σε καρτεσιανές συντεταγμένες
0 0 0(x ,y ,z )0r
(x ,y ,z )r−
= ⋅π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦
0x 3/22 2 2
0 0 0
x xqu (x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )
−= ⋅
π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦
0y 3/22 2 2
0 0 0
y yqu (x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )
−= ⋅
π ⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦
0z 3/22 2 2
0 0 0
z zqu (x,y,z)4 (x x ) (y y ) (z z )
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Επαλληλία Παράλληλης ροής Πηγής (ημιάπειρο σώμα)
θ = π =π
q, R4 U
σημείο ανακοπής
πθ = =
πT2q, r
2 4 U
θ = =πLq0, r 24 U μέγιστη ακτίνα
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Επαλληλία Παράλληλης ροής Πηγής-Καταβόθρας (αξονοσυμμετρικό σώμα)
δύο σημεία ανακοπής
+ = ⋅ ⋅2 2 2c c
Ar a r 4 aU⎛ ⎞
= = + ⋅ ⋅⎜ ⎟ +⎝ ⎠
2max c
2c
V r1 1x 0 , 1U 2 a 1 (r / a)
crcr
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Δυναμικό διπόλου
⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟
π π ⋅⎝ ⎠
1
1 1
r rq 1 1 qΦ(P)4 r r 4 r r
→→∞→µ
−=
π ⋅1
l 0 1qql
r rqΦ(P) lim4 r r
− → ⋅ θ
⋅ →
12
1
r r l cos
r r r
⋅ θ θ= − = −
π π2 2q l cos μ cosΦ(P)4 4r r
⋅=μ μμ e διάνυσμα στην κατεύθυνση l
⋅ θ ⋅= − = −
π π3 3μ r cos 1Φ(P)4 4r r
μ r
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Δυναμικό διπόλου
⋅ −= −
π −3
( )1Φ( )4
0
0
μ r rrr r
⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟= − ∇⎜ ⎟π −⎝ ⎠
3
( )1( )4
0
0
μ r ru rr r
( )= −
π + +3/22 2 2
μ xΦ(x,y,z)4 x y z
= −π 2
μ cosθΦ(R,θ,φ)4 R
= −π +2 2 3/2
μ xΦ(r,θ,x)4 (x r )
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Δίπολο σε παράλληλη ροή (ροή γύρω από σφαίρα)
⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠
1/3
sμR2 U
δύο σημεία ανακοπής
⎛ ⎞θ = π = ⎜ ⎟π⎝ ⎠
1/3
s sμ0, , R2 U
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Ροή γύρω από σφαίρα
Πηγή: “Principlesofideal-fluidaerodynamics“-Karamcheti K.,Wiley
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Παράλληλη και κάθετη άκυκλη ροή
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Άκυκλη ροή γύρω από σώματα
Πηγή: “Principlesofideal-fluidaerodynamics“-Karamcheti K.,Wiley
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών
=φ φ( )r=∇φ( )q r
∞ ∞= + = +∇φ( )u U q U r
∇ ⋅ ∇ = ∇ =2( φ) φ 0
οριακές συνθήκες
∞⋅∇ = ∇ ⋅∇ = −∇ ⋅ ∈ = − =φ F φ F στερεό σώμα, F( ) r R(x) 0n U r r
∇ → → ∞φ 0 r
∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ+ ⋅ + ⋅ + =
∂∂ ∂θ ∂
2 2 2
2 2 2 2
1 1 0r rr r x
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών
θ
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ= ∇ = =
∂ ∂θ ∂r x1φ( ) (u , u , u ) ( , , )
r r xq r
∞ ∞ ∞ ∞= ⋅ ⋅(U sinα sinθ,U sinα cosθ,U cosα)U
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών – Εύρος ισχύος
∞ ∞
∂ϕ= = ⋅ − ⋅
∂ rdRu U cosα U sinα sinθ
r dx
γραμμικοποιημένη έκφραση συνοριακής συνθήκης
Ισχύει για:
λεπτό σώμα (slender body) <<dRdx<<
RL
L το μήκος του σώματος
∞<<r xu ,u U
επομένως ∂⋅ <<∂xFux
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Γραμμική θεωρία μικρών διαταραχών – Εύρος ισχύος
Δεν ισχύει:
• κοντά σε σημεία ανακοπής
• σε στρογγυλεμένα άκρα
∞= −xu U
↑dRdx
dRdx
dRdx
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Αξονοσυμμετρική ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα
∂ϕ= = ⋅
∂ rdRu U
r dx
γραμμικοποιημένη συνοριακή συνθήκη
μη εισχώρησης
ϕ = − ⋅π − +∫
L
2 20
1 dξ(r,x) q(ξ)4 (x ξ) r
( )∂ϕ ⋅
= = ⋅∂ π − +∫
L
r 3/22 20
1 r dξu (r,x) (r,x) q(ξ)r 4 (x ξ) r
( )∂ϕ − ⋅
= = ⋅∂ π − +∫
L
x 3/22 20
1 (x ξ) dξu (r,x) (r,x) q(ξ)x 4 (x ξ) r
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Αξονοσυμμετρική ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα
∂ϕ= = ⋅
∂ rdRu U
r dxγραμμικοποιημένη
συνοριακή συνθήκη μη εισχώρησης
( )L
r3/22 20r R(x)
1 r dξ dRq(ξ) u U4 dx(x ξ) r
=
⎧ ⎫⋅⎪ ⎪
⋅ = = ⋅⎨ ⎬π − +⎪ ⎪⎩ ⎭∫
με βάση τις υποθέσεις λεπτού σώματος μεταφέρουμε τη συνοριακή
συνθήκη στον άξονα x. Το ολοκλήρωμα της συνοριακής
συνθήκης απειρίζεται όταν και καθώς
L
0
q(ξ) dξ 0⋅ =∫συνθήκη δημιουργίας
κλειστού σώματος
ξ x→r 0→
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Αξονοσυμμετρική ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα
αποδεικνύεται ότι
( )r r 0
q(x)r u2π→
⋅ =
οπότε
( ) ( )r rr 0 r R(x)
q(x) dRr u r u U R2π dx→ =
⋅ ≈ ⋅ = = ⋅ ⋅
dR dSq(x) 2π U R Udx dx
= ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ 2S π R= ⋅
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Κάθετη ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα
συνοριακή συνθήκη κάθετης ροής
L
3/22 20
1 r sinθ dξφ(r,x,θ) μ(ξ)4π (x ξ) r
⋅ ⋅= ⋅
⎡ ⎤− +⎣ ⎦∫
L
r 3/22 20
2L
5/22 20
φ 1 sinθ dξu (r,x,θ) μ(ξ)r 4π (x ξ) r
3 r sinθ dξμ(ξ)4π (x ξ) r
∂ ⋅= = ⋅∂ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦
⋅ ⋅− ⋅
⎡ ⎤− +⎣ ⎦
∫
∫L
θ 3/22 20
1 φ 1 cosθ dξu (r,x,θ) μ(ξ)r θ 4π (x ξ) r
∂ ⋅= = ⋅
∂ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦∫L
x 5/22 20
φ 3 (x ξ) r sinθ dξu (r,x,θ) μ(ξ)x 4π (x ξ) r
∂ − ⋅ ⋅ ⋅= = − ⋅∂ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦
∫
rφ u W sinθr
∂= = − ⋅
∂
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Κάθετη ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα
συνοριακή συνθήκη κάθετης ροής
2L L
3/2 5/22 2 2 20 0r R(x)
1 sinθ dξ 3 r sinθ dξμ(ξ) μ(ξ) W sinθ4π 4π(x ξ) r (x ξ) r
=
⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪
⋅ − ⋅ = − ⋅⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
∫ ∫
rφ u W sinθr
∂= = − ⋅
∂
Όπως και στην περίπτωση της αξονικής ροής μεταφέρουμε τη συνοριακή συνθήκη στον άξονα του σώματος
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Κάθετη ροή γύρω από λεπτό αξονοσυμμετρικό σώμα
r 0→για
αποδεικνύεται ότι
( )2r r 0
μ(x)r u sinθ2π→
⋅ = −
οπότε η συνοριακή συνθήκη γράφεται
( ) ( )2 2 2r rr 0 r R(x)
μ(x)r u r u sinθ W R sinθ2π→ =
⋅ ≈ ⋅ = − = − ⋅
2μ(x) 2π W R 2 W S(x)= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Κατανομή της πίεσης σε αξονοσυμμετρικά σώματα2
p 2 22
p p qC 2ρ U UU2
∞
∞ ∞∞
− ⋅= = − −
q∞U
αξονική ροή2
xp
r R(x)
u dRC (R,x) 2U dx=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
κάθετη ροή
( )2 2r θ
p r θr R(x)
u u2C (R,x,θ) u sinθ u cosθW W
=
⎛ ⎞+= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
ροή σε γωνία πρόσπτωσης ή γωνία απόκλισης α22
2 2 θ θxp
r R(x)
u u2 u dRC (R,x,θ) α sin θ 2 α cosθU dx U U∞ ∞ ∞
=
⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Κατανομή της πίεσης σε αξονοσυμμετρικά σώματα2
p 2 22
p p qC 2ρ U UU2
∞
∞ ∞∞
− ⋅= = − −
q∞U
αξονική ροή2
xp
r R(x)
u dRC (R,x) 2U dx=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
κάθετη ροή
( )2 2r θ
p r θr R(x)
u u2C (R,x,θ) u sinθ u cosθW W
=
⎛ ⎞+= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
ροή σε γωνία πρόσπτωσης ή γωνία απόκλισης α22
2 2 θ θxp
r R(x)
u u2 u dRC (R,x,θ) α sin θ 2 α cosθU dx U U∞ ∞ ∞
=
⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Κατανομή των δυνάμεων σε αξονοσυμμετρικά σώματα
A A
p dA p R dθ dS= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫F n n
A A
p dA p R dθ dS= − × ⋅ ⋅ = − × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫0 0M r n r n)( dθ
dS
Rx
y
z
dSψ
R
dx
dR
x
r
sinψ cosψ cosθ cosψ sinθdR dx dx dxcosθ sinθdx dS dS dS
= − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
x y z
x y z
n e e e
e e e
Μόνιμη Άκυκλη Ροή
Κατανομή των δυνάμεων σε αξονοσυμμετρικά σώματα
2π2x
p
0
dF ρ dR dSU R C dθ pdx 2 dx dx∞ ∞= ⋅ ⋅ ⋅ +∫
dθ
dS
Rx
y
z
dSψ
R
dx
dR
x
r
2πy 2
p
0
dF ρU R C cosθ dθdx 2 ∞= − ⋅ ⋅ ⋅∫
2π2z
p
0
dF ρU R C sinθ dθdx 2 ∞= − ⋅ ⋅ ⋅∫
L 2π
y
0 0
dRM x R sinθ p R dθ dxdx
⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
Χρηματοδότηση
Τοπαρόνεκπαιδευτικόυλικόέχειαναπτυχθείσταπλαίσιατουεκπαιδευτικούέργουτουδιδάσκοντα.Τοέργο«ΑνοικτάΑκαδημαϊκάΜαθήματα»τουΕΜΠέχειχρηματοδοτήσειμόνοτηναναδιαμόρφωσητουυλικού.ΤοέργουλοποιείταιστοπλαίσιοτουΕπιχειρησιακούΠρογράμματος«ΕκπαίδευσηκαιΔιαΒίουΜάθηση»καισυγχρηματοδοτείταιαπότηνΕυρωπαϊκήΈνωση(ΕυρωπαϊκόΚοινωνικόΤαμείο)καιαπόεθνικούςπόρους.