Waves  and  Oscilla-ons  

Kepler  planets  

Lecture  13  –  Sound  Waves  Textbook  reference:  17.1-­‐17.3  

Last  -me:  Standing  Waves  

Standing  waves  have  the  form:  

•  They  can  be  split  into  a  spa-al  and  a  temporal  part.  

•  The  par-cles  that  make  up  the  medium  undergo  SHM  with  amplitude  2Asin(kx).  

y = 2A sin(kx) cos(ωt)

Last  -me:  Standing  Waves  

Nodes:  points  on  a  standing  wave  with  zero  amplitude.  

An*nodes:  points  on  a  standing  wave  at  which  maximum  displacement  occurs  

fn =v

λn= n

v

2L=

n

2L

�T

µ“Natural  frequencies”  Fundamental:  n=1  

Demo  via  YouTube  

Rubens  Tube  demo  with  more  fire  and  good  explana-on  

Wa8:  Standing  Waves  –  vibra-on  generator  and  wire  

The different modes can be generated easily, and the dependence of the frequency on tension shown.

Sound  waves  

•  Longitudinal  waves  •  Can  move  in  three  dimensions  

•  Need  a  medium/material  to  travel  through  

•  As  sound  waves  travel  through  air  they  move  the  molecules  that  make  up  the  air,  crea-ng  high  and  low  pressure  regions.  

•  Can  be  modeled  as  a  sinusoidal  wave  (like  on  a  string)  

How  to  make  a  sound  wave  

Compression  High  Pressure  

Rarefac-on  Low  Pressure  

Assuming  the  piston  is  being  moved  with  SHM  

…and  you  thought  we  were  done  with  pistons!  

Sound  Waves:  Compression  waves  

•  Compressible  gas,  ini-ally  uniform  density  

•  Piston  suddenly  moved  to  the  right  –  Gas  in  front  is  compressed  

•  Piston  comes  to  rest,  but  compression  region  con-nues  to  move  –  Corresponds  to  a  longitudinal  pulse  

travelling  through  the  tube  with  speed  v  

–  Speed  of  the  piston  is  not  the  same  as  the  speed  of  the  wave  

Quan-ta-ve  

Let                                be  the  posi-on  of  a  small  element  rela-ve  to  its  equilibrium  posi-on.    

Each  element  moves  with  SHM  parallel  to  direc-on  of  the  wave.  

Displacement  from  equilibrium:  

smax  is  the  displacement  amplitude.  

We  can  use  this  to  derive  an  expression  for  the  pressure,  which  is  also  periodic.  

s(x, t)

s(x, t) = smax cos(kx− ωt)

Pressure  

Vi = A∆x

∆V = A∆s = A(s1 − s2)

A  defini-on…Bulk  Modulus  

B ≡ volume stress

volume strain= −∆F/A

∆V/Vi= − ∆P

∆V/Vi

⇒ ∆P = −B∆V

Vi

Consider  a  parcel  of  gas  with  thickness  Δx  

Stress:  force  on  a  material  Strain:  what  happens  to  the  material          under  a  given  stress.  

Pressure  

⇒ ∆P = −BA∆s

A∆x

∆P = −B∂s

∂x

∆P = −B∂

∂x[smax cos(kx− ωt)]

∆P = Bsmaxk sin(kx− ωt)Using  equa-on  for  s(x,t)  

This  is  a  Pressure  Amplitude  

Periodic  Sound  Waves:  Pressure  vs.  Displacement  

•  A  sound  wave  may  be  considered  either  a  displacement  wave  or  a  pressure  wave  

•  Since  s  (x,  t)  =  smax  cos  (kx  –  ωt)  and  ΔP  =  Bsmax  k  sin  (kx  –  ωt)    

       the  pressure  wave  is  90o  out  of  phase  with  the  displacement  wave   –  The  pressure  is  a  maximum  when  the  

displacement  is  zero,  etc.  

If  you  blow  across  the  top  of  an  empty  sof-­‐drink  bogle,  a  pulse  of  sound  travels  down  through  the  air  in  the  bogle.  At  the  moment  the  pulse  reaches  the  bogom  of  the  bogle,  what  is  the  correct  descrip-on  of  the  displacement  of  elements  of  air  from  their  equilibrium  posi-ons  and  the  pressure  of  the  air  at  

this  point?  

1.  The  displacement  and  pressure  are  both  at  a  maximum.  

2.  The  displacement  and  pressure  are  both  at  a  minimum.  

3.  The  displacement  is  zero,  and  the  pressure  is  a  maximum.  

4.  The  displacement  is  zero,  and  the  pressure  is  a  minimum.  

If  you  blow  across  the  top  of  an  empty  sof-­‐drink  bogle,  a  pulse  of  sound  travels  down  through  the  air  in  the  bogle.  At  the  moment  the  pulse  

reaches  the  bogom  of  the  bogle,  what  is  the  correct  descrip-on  of  the  displacement  of  elements  of  air  from  their  equilibrium  posi-ons  and  the  

pressure  of  the  air  at  this  point?  

1.  The  displacement  and  pressure  are  both  at  a  maximum.  

2.  The  displacement  and  pressure  are  both  at  a  minimum.  

3.   The  displacement  is  zero,  and  the  pressure  is  a  maximum.  

4.  The  displacement  is  zero,  and  the  pressure  is  a  minimum.  

Because the bottom of the bottle is a rigid barrier, the displacement of elements of air at the bottom is zero. Thus, the pressure variation is at a minimum or a maximum. Since the pulse is moving downward, the pressure variation at the bottom is a maximum – see the diagram.

Let’s  take  a  short  break  

Pressure  from  sound  waves  

The  speed  of  sound  

Ini-al  State  

Final  State  

Force  applied  on  piston  from  outside    is  in  equilibrium  with  force  applied  by  gas  on  the  piston.    

The  speed  of  sound  

Afer  -me  interval                          every  bit  of  gas  in  the  element  is  moving  to  the  right  with  speed                  .  The  speed  of  sound  in  this  medium  is        .  

∆t

vx

v

Impulse = ∆momentum

I =�

F∆t = (A∆P∆t)̂iSum  of  forces,  using  defini-on  of  pressure  P=F/A  

The  speed  of  sound  

∆P = −B∆V

Vi= −B

(−vxA∆t)

vA∆t= B

vxv

⇒ I = (ABvxv∆t)̂i

From  8  slides  ago  where  we  defined  B    

Volumes  come  from  diagram  here:  

I =�

F∆t = (A∆P∆t)̂iImpulse  from  previous  page  

The  speed  of  sound  

⇒ I = (ABvxv∆t)̂i

∆p = m∆v = (ρVi)(vx̂i− 0) = (ρvvxA∆t)̂i

⇒ ABvxv∆t = ρvvxA∆t ⇒ v =

�B

ρ

Momentum  of  gas  parcel.    Impulse  I  causes  a  change  in  momentum  Δp  

The  speed  of  sound  (liquid  or  gas)  

v =

�B

ρ

v =

�elastic property

inertial property

v =

�T

µon a string

Speed  of  Sound  in  Air  

•  The  speed  of  sound  also  depends  on  the  temperature  of  the  medium  –  Par-cularly  important  with  gases  

•  For  air,  the  rela-onship  between  the  speed  and  temperature  is  

–  331  m/s  is  the  speed  at  0o  C  –  TC  is  the  air  temperature  in  Celsius  

•  Exercise  for  student:  show  that                                                                      where  TK    is  temperature  in  Kelvin  

C(331 m/s) 1273 CTv = +

€

v = (331 m/s) TK273

The  speed  of  sound  

Pressure  and  displacement  

∆Pmax = Bsmaxk = (ρv2)smax(ω

v) = ρvωsmax

More  useful  to  relate  the  maximum  change  in  pressure  to  density  than  to  bulk  modulus.  

Pressure  amplitude  

Intensity  of  Periodic  Sound  Waves  

Waves  carry  energy,  sound  waves  also  carry  energy.  

As  a  piston  moves  back  and  forward  crea-ng  sound  waves,  it  is  doing  work  on  a  gas.  

The  rate  of  work  done  gives  us  the  power  

W = F · x

Power = F · vx

Intensity  of  Periodic  Sound  Waves  Power = F · vx

Power = [∆P (x, t)A]̂i · ∂

∂t[s(x, t)]̂i

Power = [ρvωAsmax sin(kx− ωt)]∂

∂t[smax cos(kx− ωt)]

Power = ρvωAsmax sin(kx− ωt)[ωsmax sin(kx− ωt)]Power = ρvω2As2max sin

2(kx− ωt)

Now  we  need  to  find  the  average  power  over  one  period.  This  is  independent  of  x  so  we  can  choose  any  value  of  x,  lets  take  x  =  0.  We  start  by  finding  the  average  value  of  the  sin2(kx  –  ωt)  term.  

1

T

� T

0sin2(0− ωt)dt =

1

T

� T

0sin2(ωt)dt =

1

T(t

2+

sin 2ωt

2ω)T0 =

1

2

Intensity  of  Periodic  Sound  Waves  

The  average  power  is  then  given  by:  

Intensity  is  the  power  per  unit  area:  

(Power)avg =1

2ρvω2As2max

I ≡ (Power)avgA

Intensity  of  Periodic  Sound  Waves  

So  for  this  case  (the  wave  was  moving  in  the  x  direc-on)  

Or  in  terms  of  pressure    (remember                                                            )  

I =1

2ρv(ωsmax)

2

∆Pmax = ρvωsmax

I =(∆Pmax)2

2ρv

But  sound  waves  can  travel  in  3  dimensions….  

I =(Power)avg

4πr2

Homework  Set  6:  PHYS  1121:  6,  7,  8,  12,  13  

PHYS  1131:  7,  9,  10,  12,  15,  16  

This  is  an  inverse-­‐square  law  (happens  all  the  -me  in  astrophysics!)  

A  vibra-ng  guitar  string  makes  very  ligle  sound  if  it  is  not  mounted  on  the  guitar  body.  Why  does  the  sound  have  greater  intensity  if  the  string  is  agached  to  the  

guitar  body?  

1.  The  string  vibrates  with  more  energy.  

2.  The  energy  leaves  the  guitar  at  a  greater  rate.  

3.  The  sound  power  is  spread  over  a  larger  area  at  the  listener’s  posi-on.  4.  The  sound  power  is  concentrated  over  a  smaller  area  at  the  listener’s  

posi-on.  

5.  The  speed  of  sound  is  higher  in  the  material  of  the  guitar  body.  

6.  None  of  these  answers  is  correct.  

A  vibra-ng  guitar  string  makes  very  ligle  sound  if  it  is  not  mounted  on  the  guitar  body.  Why  does  the  sound  have  greater  

intensity  if  the  string  is  agached  to  the  guitar  body?  

1.  The  string  vibrates  with  more  energy.  

2.   The  energy  leaves  the  guitar  at  a  greater  rate.  3.  The  sound  power  is  spread  over  a  larger  area  at  the  listener’s  posi-on.  

4.  The  sound  power  is  concentrated  over  a  smaller  area  at  the  listener’s  posi-on.  

5.  The  speed  of  sound  is  higher  in  the  material  of  the  guitar  body.  

6.  None  of  these  answers  is  correct.  

The large area of the guitar body sets many elements of air into oscillation and allows the energy to leave the system by mechanical waves at a much larger rate than from the thin vibrating string.

Ques-on  

A  sound  wave  propagates  in  air  at  27o  C  with  frequency  4.00  kHz.  It  passes  through  a  region  where  the  temperature  gradually  changes  and  then  moves  through  air  at  0o  C.  Give  numerical  answers  to  the  following  ques-ons  to  the  extent  possible  and  state  your  reasoning  about  what  happens  to  the  wave  physically.  

(a) What  happens  to  the  speed  of  the  wave?  (b) What  happens  to  the  frequency?  (c) What  happens  to  the  wavelength?  

QUESTION!!!!!  

The  faintest  sounds  the  human  ear  can  detect  at  a  frequency  of  1000  Hz  correspond  to  an  intensity  of  about  1.00  x  10-­‐12  W/m2,  which  is  called  the  threshold  of  hearing.  The  loudest  sound  that  the  ear  can  tolerate  at  this  frequency  corresponds  to  an  intensity  of  about  1.00  W/m2,  the  threshold  of  pain.  Determine  the  pressure  amplitude  and  displacement  amplitude  associated  with  these  two  limits.  

ρair  =  1.2  kg/m3   Sound  speed  cs  =  343  m/s  

Ques-on  

A  point  source  emits  sound  waves  with  an  average  power  output  of  80.0  W.  

(a) Find  the  intensity  3.00  m  from  the  source.  

(b) Find  the  distance  at  which  the  intensity  of  the  sound  is  1.00  x  10-­‐8  W/m2.