Le recours à linformatique sur un problème dEuler et de Lucas Christian Boyer Conférence du 31...

Le recours à l’informatique Le recours à l’informatique sur un problème d’Euler et sur un problème d’Euler et

de Lucasde Lucas

Christian BoyerChristian Boyer

Conférence du 31 mars 2005, à AmiensConférence du 31 mars 2005, à Amiens

Jules Verne, le Centenaire (1905 – 2005)Jules Verne, le Centenaire (1905 – 2005)

ASSOCIATION pour leDEVELOPPEMENT de laCULTURE SCIENTIFIQUE

Union Régionaledes Ingénieurset Scientifiquesde Picardie

31 mars 200531 mars 2005 © Christian Boyer© Christian Boyer 22

Jules Verne - Edouard LucasJules Verne - Edouard Lucas

(Nantes 1828 – Amiens 1905) (Amiens 1842 – Paris 1891)(Nantes 1828 – Amiens 1905) (Amiens 1842 – Paris 1891)


E. Lu

cas

E. Lu

cas

Am

iens P

aris

Am

iens P

aris

Edouard LucasEdouard Lucas

1842 : Naissance à Amiens, et études au lycée impérial1842 : Naissance à Amiens, et études au lycée impériald’Amiens (actuel lycée Louis Thuillier)d’Amiens (actuel lycée Louis Thuillier)

1859 : Bac scientifique à Amiens,1859 : Bac scientifique à Amiens,puis math sup au lycée de Douaipuis math sup au lycée de Douai

1861 : Est reçu à Polytechnique et à Normale Sup,1861 : Est reçu à Polytechnique et à Normale Sup,choisit Normale Sup, et quitte Amienschoisit Normale Sup, et quitte Amiens

1864 : Observatoire de Paris1864 : Observatoire de Paris 1870 : Lieutenant d’artillerie, participe aux combats1870 : Lieutenant d’artillerie, participe aux combats

de la Loire (Orléans, Blois, Le Mans, …)de la Loire (Orléans, Blois, Le Mans, …) 1872 : Prof de math spé au lycée de Mougins1872 : Prof de math spé au lycée de Mougins 1876 : Prof de math élém/spé au lycée Charlemagne1876 : Prof de math élém/spé au lycée Charlemagne

et au lycée Saint-Louis, à Pariset au lycée Saint-Louis, à Paris 1891 : Mort accidentelle suite à un banquet1891 : Mort accidentelle suite à un banquet

J. Vern

e

J. Vern

e N

an

tes P

aris Le

Cro

toy / A

mie

ns

Nan

tes P

aris Le

Cro

toy / A

mie

ns


Problème non résoluProblème non résolude Martin Gardnerde Martin Gardner

Est-il possible de construire un carré magique 3x3Est-il possible de construire un carré magique 3x3composé de 9 entiers carrés distincts ?composé de 9 entiers carrés distincts ?

Gardner pose cette question dansGardner pose cette question dans Quantum Quantum, 1996, 1996puis à nouveau dans puis à nouveau dans Scientific AmericanScientific American, 1998, 1998

Il attribue le problème initial à Martin LaBar,Il attribue le problème initial à Martin LaBar,Southern Wesleyan University, USASouthern Wesleyan University, USA• problème n°270 paru sur 2 lignesproblème n°270 paru sur 2 lignes

dans dans The College Mathematics JournalThe College Mathematics Journal, 1984, 1984 Il offre 100$ depuis 1996Il offre 100$ depuis 1996

4 9 2

3 5 7

8 1 6

A² B² C²

D² E² F²

G² H² I²


Deux façons de voir le problèmeDeux façons de voir le problème1)1) Imposer qu’il y aitImposer qu’il y ait

les les 8 sommes magiques8 sommes magiques(3 lignes, 3 colonnes, et 2 (3 lignes, 3 colonnes, et 2 diagonales diagonales ► ► sommes = 3∙a)sommes = 3∙a)

• Et essayer d’utiliser le Et essayer d’utiliser le maximum d’entiers carrés sur maximum d’entiers carrés sur les 9 entiers distincts utilisésles 9 entiers distincts utilisés

2)2) Imposer qu’il y aitImposer qu’il y aitles les 9 entiers carrés distincts9 entiers carrés distincts

• Et essayer d’obtenir le Et essayer d’obtenir le maximum de sommes maximum de sommes magiques sur les 8 possiblesmagiques sur les 8 possibles

a – b a + b + c a – c

a + b – c a a – b + c

a + c a – b – c a + b

A² B² C²

D² E² F²

G² H² I²


Solution proche avec les 9 carrésSolution proche avec les 9 carrés

OK pour les 9 entiers carrés,OK pour les 9 entiers carrés,mais… mais… 7 sommes7 sommes correctes sur correctes sur 88• S2 = 21 609 = 147² pour 3 lignes, 3 colonnes, 1 diagonaleS2 = 21 609 = 147² pour 3 lignes, 3 colonnes, 1 diagonale• Hélas S2 = 38 307 pour l’autre diagonaleHélas S2 = 38 307 pour l’autre diagonale

Par informatique, et indépendammentPar informatique, et indépendamment• 1996 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas1996 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas• 1996 : Michaël Schweitzer, Göttingen, Allemagne1996 : Michaël Schweitzer, Göttingen, Allemagne

Beaucoup d’autres solutions connues de ce typeBeaucoup d’autres solutions connues de ce type• S2 est souvent un carré, comme dans cette solutionS2 est souvent un carré, comme dans cette solution

127² 46² 58²2² 113² 94²74² 82² 97²


Solution proche avec les 8 sommesSolution proche avec les 8 sommes

OK pour les 8 sommes (3 lignes, 3 colonnes, 2 diagonales),OK pour les 8 sommes (3 lignes, 3 colonnes, 2 diagonales),mais… mais… 7 entiers carrés7 entiers carrés sur sur 99• S2 = 3 ∙ Centre = 3 ∙ 425² = 541 875S2 = 3 ∙ Centre = 3 ∙ 425² = 541 875

Par informatique, et indépendammentPar informatique, et indépendamment• 1997 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas1997 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas• 1997 : Andrew Bremner, Arizona State University, USA1997 : Andrew Bremner, Arizona State University, USA

Seule solution connue de ce typeSeule solution connue de ce type

373² 289² 565²360721 425² 23²

205² 527² 222121


Lien avec 3 autresLien avec 3 autresproblèmes mathématiquesproblèmes mathématiques

John Robertson, USA, John Robertson, USA, Mathematics MagazineMathematics Magazine : :• Progressions arithmétiquesProgressions arithmétiques• Triangles rectangles de même aireTriangles rectangles de même aire• Nombres congruentsNombres congruents

et courbes elliptiques yet courbes elliptiques y22 = x = x33 – n – n22xx


Aucune solution possibleAucune solution possiblepour puissances pour puissances ≥≥ 3 3

Dans tout carré magique 3x3, on doit avoir xDans tout carré magique 3x3, on doit avoir xnn + y + ynn = 2z = 2znn

• Car xCar xnn + z + znn + y + ynn = Somme magique= Somme magique= 3 ∙ Centre = 3z= 3 ∙ Centre = 3znn

xx22 + y + y22 = 2z = 2z22 possible (ex: 1 possible (ex: 122 + 7 + 722 = 2 ∙ 5 = 2 ∙ 522))

• On ne peut rien conclureOn ne peut rien conclure xx33 + y + y33 = 2z = 2z33 impossible avec x≠y≠z (Euler) impossible avec x≠y≠z (Euler)

• Donc aucun carré magique 3x3 composé de cubesDonc aucun carré magique 3x3 composé de cubes xx44 + y + y44 = 2z = 2z22 impossible (Legendre) impossible (Legendre) ► ► a fortiori 2za fortiori 2z44 impossible impossible

• Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 4Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 4 xxnn + y + ynn = 2z = 2znn impossible pour n ≥ 3 (Noam Elkies, grâce à la impossible pour n ≥ 3 (Noam Elkies, grâce à la

preuve d’Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat)preuve d’Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat)• Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances ≥3Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances ≥3

x n

z n

y n


Recherches informatiquesRecherches informatiques

Duncan BuellDuncan Buell• Department of Computer Science and Engineering,Department of Computer Science and Engineering,

University of South Carolina, USAUniversity of South Carolina, USA Programme en tâche de fond pendant toute l’année 1998Programme en tâche de fond pendant toute l’année 1998

• Ordinateur multi-processeurs SGI Challenge de son universitéOrdinateur multi-processeurs SGI Challenge de son université Résultat… Résultat…

• Aucun « sablier magique » ayant 7 entiers carrésAucun « sablier magique » ayant 7 entiers carréspour tout a < 2,5 ∙ 10pour tout a < 2,5 ∙ 102525

a – b a + b + c a – c

a

a + c a – b – c a + b


Recherches informatiquesRecherches informatiques Andrew Bremner, Andrew Bremner, Acta ArithmeticaActa Arithmetica, 2001, 2001 Remarque simpleRemarque simple

• Pour qu’un carré magique 3x3 puisse avoir Pour qu’un carré magique 3x3 puisse avoir 99 entiers carrés, il faut que toutes les combinaisons entiers carrés, il faut que toutes les combinaisons possibles de possibles de 66 entiers carrés, parmi 9, aient des solutions entiers carrés, parmi 9, aient des solutions

Résultat…Résultat…• Nombreuses solutions pour chacune de ces 16 combinaisons possiblesNombreuses solutions pour chacune de ces 16 combinaisons possibles• Il n’y a donc aucun « blocage » à ce niveauIl n’y a donc aucun « blocage » à ce niveau


Solution 4x4Solution 4x4

Andrew Bremner, 2001Andrew Bremner, 2001 S2 = 2823 pour les 4 lignes, 4 colonnes et 2 diagonalesS2 = 2823 pour les 4 lignes, 4 colonnes et 2 diagonales

37² 23² 21² 22²1² 18² 47² 17²38² 11² 13² 33²3² 43² 2² 31²


De nombreuses recherches et De nombreuses recherches et publications de 1996 à 2004publications de 1996 à 2004

Andrew BremnerAndrew Bremner• Acta ArithmeticaActa Arithmetica (2 articles) (2 articles)

Duncan BuellDuncan Buell Martin GardnerMartin Gardner

• QuantumQuantum puis puis Scientific AmericanScientific American Richard Guy, problème D15Richard Guy, problème D15

• Unsolved Problems in Number TheoryUnsolved Problems in Number Theory, 3, 3èmeème édition édition• American Math MonthlyAmerican Math Monthly

Landon RabernLandon Rabern• Rose-Hulman Institute Math JournalRose-Hulman Institute Math Journal

John RobertsonJohn Robertson• Mathematics MagazineMathematics Magazine

Lee SallowsLee Sallows• The Mathematical IntelligencerThe Mathematical Intelligencer

Tous citent Martin LaBar comme l’auteur initial du problèmeTous citent Martin LaBar comme l’auteur initial du problème


Mes propres recherchesMes propres recherchesde 2004 - 2005de 2004 - 2005

Cas 3x3 : hélas aucune avancéeCas 3x3 : hélas aucune avancée Cas 4x4 : premières solutions paramétriques simplesCas 4x4 : premières solutions paramétriques simples Cas 5x5 : première solution connueCas 5x5 : première solution connue Premières solutions avec des nombres premiers (^²)Premières solutions avec des nombres premiers (^²) Premières solutions avec des cubesPremières solutions avec des cubes Découverte que Euler, puis Lucas avaient déjà travailléDécouverte que Euler, puis Lucas avaient déjà travaillé

sur le sujet (donc bien avant LaBar et Gardner)sur le sujet (donc bien avant LaBar et Gardner)

∑ ∑ = Publication en 2005 d’un article dans= Publication en 2005 d’un article dansThe Mathematical IntelligencerThe Mathematical Intelligencer


Cas 3x3 : hélas aucune avancéeCas 3x3 : hélas aucune avancée

Parmi les 8 configurations possibles de Parmi les 8 configurations possibles de 77 entiers carrés, seule une entiers carrés, seule une configuration a permis de construire un exemple (mais déjà connu)configuration a permis de construire un exemple (mais déjà connu)

Très nombreux essais avec des centres allant jusqu’à 10Très nombreux essais avec des centres allant jusqu’à 102020 ou 10 ou 103030 (mais toutefois non exhaustifs) pour rien…(mais toutefois non exhaustifs) pour rien…

Et donc encore très loin d’une éventuel exemple de Et donc encore très loin d’une éventuel exemple de 88 entiers carrés entiers carrés

(Sabliermagique)


S2 = 85(k² + 29)S2 = 85(k² + 29)

Avec k = 3 S2 = 85(3² + 29) = 3230Avec k = 3 S2 = 85(3² + 29) = 3230

Cas 4x4 : premières solutions Cas 4x4 : premières solutions paramétriques simplesparamétriques simples

(2k + 42)² (4k + 11)² (8k – 18)² (k + 16)²(k – 24)² (8k + 2)² (4k + 21)² (2k – 38)²

(4k – 11)² (2k – 42)² (k – 16)² (8k + 18)²(8k – 2)² (k + 24)² (2k + 38)² (4k – 21)²

48² 23² 6² 19²21² 26² 33² 32²1² 36² 13² 42²22² 27² 44² 9²


Cas 5x5 : première solution connueCas 5x5 : première solution connue

S2 = 1375S2 = 1375 Entiers distincts de 1 à 31Entiers distincts de 1 à 31

(seulement 4, 18, 26, 28, 29, 30 manquent)(seulement 4, 18, 26, 28, 29, 30 manquent)

1² 2² 31² 3² 20²22² 16² 13² 5² 21²11² 23² 10² 24² 7²12² 15² 9² 27² 14²25² 19² 8² 6² 17²


Premières solutions avec uniquement Premières solutions avec uniquement des nombres premiers (^²)des nombres premiers (^²)

Pourquoi ? Seulement pour corser la difficulté…Pourquoi ? Seulement pour corser la difficulté… 3x3 : impossible3x3 : impossible

4x4 : OK !4x4 : OK !S2 = 509 020S2 = 509 020

5x5 : OK !5x5 : OK !S2 = 34 229S2 = 34 229

Voir Voir www.primepuzzles.netwww.primepuzzles.net

29² 191² 673² 137²71² 647² 139² 257²

277² 211² 163² 601²653² 97² 101² 251²

11² 23² 53² 139² 107²13² 103² 149² 31² 17²71² 137² 47² 67² 61²

113² 59² 41² 97² 83²127² 29² 73² 7² 109²


Premières solutionsPremières solutionsavec des cubesavec des cubes

3x3 prouvé impossible 3x3 prouvé impossible (Rappel : x(Rappel : x33 + y + y33 = 2z = 2z33 impossible avec x≠y≠z) impossible avec x≠y≠z)

4x4 première solution… hmmm… S3 = 0…4x4 première solution… hmmm… S3 = 0…

5x5 première solution… hmmm… S3 = 0…5x5 première solution… hmmm… S3 = 0…

19 3 (-3) 3 (-10) 3 (-18) 3

(-42) 3 21 3 28 3 35 3

42 3 (-21) 3 (-28) 3 (-35) 3

(-19) 3 3 3 10 3 18 3

11 3 (-20) 3 12 3 13 3 14 3

(-15) 3 21 3 3 3 (-10) 3 (-17) 3

(-5) 3 (-4) 3 0 3 4 3 5 3

17 3 10 3 (-3) 3 (-21) 3 15 3

(-14) 3 (-13) 3 (-12) 3 20 3 (-11) 3

x est « distinct » de –x,et x3 + (-x)3 = 0


Edouard Lucas a été le premier à Edouard Lucas a été le premier à proposer le problème 3x3 !proposer le problème 3x3 !

Edouard Lucas en 1876, dans la rarissime revue Edouard Lucas en 1876, dans la rarissime revue Nouvelle Nouvelle Correspondance MathématiqueCorrespondance Mathématique du mathématicien belge du mathématicien belge Eugène Catalan, donc plus d’un siècle avant Martin LaBarEugène Catalan, donc plus d’un siècle avant Martin LaBar

• Jules Verne à Amiens : 1872 Le Tour du Monde en 80 Jours,Jules Verne à Amiens : 1872 Le Tour du Monde en 80 Jours,1874 L’Ile Mystérieuse, 1876 Michel Strogoff1874 L’Ile Mystérieuse, 1876 Michel Strogoff

Solution paramétrique d’un carré semi-magiqueSolution paramétrique d’un carré semi-magique• 66 sommes correctes S2 = (p²+q²+r²+s²)² sommes correctes S2 = (p²+q²+r²+s²)²

Exemple avec (p, q, r, s) = (6, 5, 4, 2) donc S2 = 81Exemple avec (p, q, r, s) = (6, 5, 4, 2) donc S2 = 812 2 = 3= 388

• puis déplacement lignes et colonnespuis déplacement lignes et colonnes

(p² + q² – r² – s²)² [2(qr + ps)]² [2(qs – pr)]²

[2(qr – ps)]² (p² – q² + r² – s²)² [2(rs + pq)]²

[2(qs + pr)]² [2(rs – pq)]² (p² – q² – r² + s²)²

1² 68² 44²76² 16² 23²28² 41² 64²


Plus petit carré possiblePlus petit carré possibleavec la méthode de Lucasavec la méthode de Lucas

Avec Avec 66 sommes sommes• (p, q, r, s) = (1, 2, 4, 6)(p, q, r, s) = (1, 2, 4, 6)• S2 = (1²+2²+4²+6²)² = 57²S2 = (1²+2²+4²+6²)² = 57²

Avec Avec 88 sommes, Lucas prouve mathématiquement que sa sommes, Lucas prouve mathématiquement que sa méthode ne le permet pasméthode ne le permet pas

Mais avec Mais avec 77 sommes, Lucas n’avait pas vu que sa sommes, Lucas n’avait pas vu que sa méthode le permettaitméthode le permettait• (p, q, r, s) = (1, 3, 4, 11), on retrouve exactement le carré de (p, q, r, s) = (1, 3, 4, 11), on retrouve exactement le carré de

Sallows et Schweitzer !Sallows et Schweitzer !

• Et cela explique pourquoi S2 y était un carréEt cela explique pourquoi S2 y était un carréS2 = (1²+3²+4²+11²)² = 147²S2 = (1²+3²+4²+11²)² = 147²

47² 28² 16²4² 23² 52²32² 44² 17²

127² 46² 58²2² 113² 94²74² 82² 97²


Leonhard Euler a été le premier à Leonhard Euler a été le premier à construire un carré de carrés !construire un carré de carrés !

Lettre envoyée à Lagrange Lettre envoyée à Lagrange en 1770, sans la méthodeen 1770, sans la méthode

« « Permettez-moi, Monsieur, Permettez-moi, Monsieur, que je vous parle d’un que je vous parle d’un problème fort curieux et problème fort curieux et digne de toute attentiondigne de toute attention » »

S2 = 8515S2 = 8515

68² 29² 41² 37²17² 31² 79² 32²59² 28² 23² 61²11² 77² 8² 49²


Lettre d’Euler à Lagrange de 1770Lettre d’Euler à Lagrange de 1770

Original retrouvé à la Bibliothèque de l’Institut de France,Original retrouvé à la Bibliothèque de l’Institut de France,dans la correspondance de Lagrangedans la correspondance de Lagrange

Bibliothèque de l’Institut de FrancePhoto C. Boyer


Méthode 4x4 d’EulerMéthode 4x4 d’Euler Publiée en 1770Publiée en 1770 Méthode liée à ses travaux pour tenter de démontrer que Méthode liée à ses travaux pour tenter de démontrer que

• tout entier positif est la somme d’au plus 4 entiers carréstout entier positif est la somme d’au plus 4 entiers carrés• vieille conjecture de Diophante, puis Bachet et Fermatvieille conjecture de Diophante, puis Bachet et Fermat• conjecture qui sera complètement démontrée par Lagrangeconjecture qui sera complètement démontrée par Lagrange

à partir des résultats partiaux d’Eulerà partir des résultats partiaux d’Euler Précurseur de la théorie des quaternions de HamiltonPrécurseur de la théorie des quaternions de Hamilton

S2 = (a²+b²+c²+d²)(p²+q²+r²+s²)S2 = (a²+b²+c²+d²)(p²+q²+r²+s²) Carré envoyé à LagrangeCarré envoyé à Lagrange

• (a, b, c, d, p, q, r, s) = (5, 5, 9, 0, 6, 4, 2, -3)(a, b, c, d, p, q, r, s) = (5, 5, 9, 0, 6, 4, 2, -3)• S2 = 131∙65 = 8515S2 = 131∙65 = 8515

(+ap+bq+cr+ds)² (+ar–bs–cp+dq)² (–as-br+cq+dp)² (+aq–bp+cs–dr)²

(–aq+bp+cs–dr)² (+as+br+cq+dp)² (+ar–bs+cp-dq)² (+ap+bq–cr–ds)²

(+ar+bs–cp–dq)² (–ap+bq–cr+ds)² (+aq+bp+cs+dr)² (+as–br–cq+dp)²

(–as+br–cq+dp)² (–aq–bp+cs+dr)² (–ap+bq+cr–ds)² (+ar+bs+cp+dq)²


Carrés semi-magiques 3x3 d’EulerCarrés semi-magiques 3x3 d’Euler

Etudie aussi en 1770 les carrés semi-magiques de carrés 3x3Etudie aussi en 1770 les carrés semi-magiques de carrés 3x3 Méthode liée à ses travaux de physique et mécaniqueMéthode liée à ses travaux de physique et mécanique

• Rotation d’un corps solide autour d’un point fixeRotation d’un corps solide autour d’un point fixe Seulement le cas des 6 sommes magiquesSeulement le cas des 6 sommes magiques

• 3 lignes, 3 colonnes3 lignes, 3 colonnes

Ne parle pas du problème des 8 sommes magiquesNe parle pas du problème des 8 sommes magiques• 3 lignes, 3 colonnes, ET 2 diagonales3 lignes, 3 colonnes, ET 2 diagonales

Lucas sera le premier à soumettre complètement le problèmeLucas sera le premier à soumettre complètement le problème

+47/57 +28/57 -16/57+4/57 +23/57 +52/57

+32/57 -44/57 +17/57


Publication d’Euler de 1770Publication d’Euler de 1770 Académie des Sciences de Saint-PétersbourgAcadémie des Sciences de Saint-Pétersbourg

Bibliothèque de l’École PolytechniquePhotos C. Boyer


Plus petit carré possiblePlus petit carré possibleavec la méthode d’Euleravec la méthode d’Euler

En 1770En 1770 : S2 = 8515 : S2 = 8515• Minimum trouvé par EulerMinimum trouvé par Euler

En 1942En 1942 : S2 = 7150 : S2 = 7150• Minimum trouvé par Gaston Benneton, Acad. des Sciences et SMFMinimum trouvé par Gaston Benneton, Acad. des Sciences et SMF

En 2004En 2004 : S2 = 3230 : S2 = 3230• Minimum absolu avec (a, b, c, d, p, q, r, s) = (2, 3, 5, 0, 1, 2, 8, -4)Minimum absolu avec (a, b, c, d, p, q, r, s) = (2, 3, 5, 0, 1, 2, 8, -4)• Génère même carré que celui déjà vu à paramètre unique k = 3Génère même carré que celui déjà vu à paramètre unique k = 3

48² 23² 6² 19²21² 26² 33² 32²1² 36² 13² 42²22² 27² 44² 9²


Quelques problèmes non résolusQuelques problèmes non résolus

Carrés magiques de carrésCarrés magiques de carrés

Carrés magiques de cubes Carrés magiques de cubes (d’entiers positifs)(d’entiers positifs)

3x33x3 Qui ?Qui ?

4x44x4 Euler, 1770Euler, 1770

5x55x5 Boyer, 2004Boyer, 2004

6x66x6 Qui ?Qui ?

7x77x7 Qui ?Qui ?

8x8 et +8x8 et + Bimagiques Bimagiques connusconnus

3x33x3 ImpossibleImpossible

4x4 … 11x114x4 … 11x11 Qui ?Qui ?

12x12 et +12x12 et + Trimagiques Trimagiques connusconnus


Problèmes non résolus (suite)Problèmes non résolus (suite) Carré magique 3x3 avec Carré magique 3x3 avec 99 entiers carrés distincts entiers carrés distincts

ou preuve de son impossibilitéou preuve de son impossibilité• Proposé par Lucas en 1876Proposé par Lucas en 1876• 100$ offerts par Gardner depuis 1996 !100$ offerts par Gardner depuis 1996 !• Si solution, son centre est > 2,5 ∙ 10Si solution, son centre est > 2,5 ∙ 102525

Ou problème « plus simple » :Ou problème « plus simple » :

Autre carré magique 3x3 avec Autre carré magique 3x3 avec 77 entiers carrés distincts entiers carrés distincts ( (différent du carré déjà connu de Sallows et Bremner,différent du carré déjà connu de Sallows et Bremner, et de ses rotations, symétries, et k² multiples et de ses rotations, symétries, et k² multiples))ou carré magique 3x3 avec ou carré magique 3x3 avec 88 entiers carrés distincts entiers carrés distincts• 100€ offerts par Christian Boyer100€ offerts par Christian Boyer• + une bouteille de Champagne+ une bouteille de Champagne ! !


DansDans

(Springer, New York) (Springer, New York)

Dans Dans www.multimagie.comwww.multimagie.com

FIN A suivre…FIN A suivre…

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