La sottoclasse di IA: Ord-Horn

Bernhard Nebel: Solving Hard Qualitative Temporal Reasoning Problems: Evaluating the Efficiency of Using the ORD-Horn Class. ECAI 1996: 38-42

Bernhard Nebel, Hans-Jürgen Bürckert: Reasoning about Temporal Relations: A Maximal Tractable Subclass of Allen's Interval Algebra. J. ACM 42(1): 43-66 (1995)

Definizioni (1) Come in PA, consideriamo le relazioni tra intervalli in

termini di relazioni tra gli estremi degli intervalli Formula atomica: dati a e b due estremi di intervalli sono

formule atomiche a≤b a=b

Negazione di formule atomiche a≠b a≰b

Letterale: formula atomica o la negazione di una formula atomica Esempio: a≤b, a≰b

Clausola: disgiunzione di formule atomiche Esempio: (a≰b v c=d)

Denotiamo con O un insieme finito di clausole

Definizioni(2) ℝ-interpretazione: assegnamento a tutti gli

estremi di intervalli in O di numeri reali (in ℝ) ℝ-modello di O: ℝ-interpretazione che soddisfa

tutte le calusole in O Forma in clausole di una relazione tra

intervalli: e’ un insieme di clausole equivalente a alla relazione.

Equivalente: esiste una corrispondenza biunivoca tra gli (I-)modelli della relazione tra intervalli e gli ℝ-modelli della sua forma in clausole

A una relazione tra intervalli puo’ corrispondere piu’ di una forma in clausole

ORD-clauses Sottoinsieme di clausole Le ORD-clauses sono disgiunzioni di letterali di

tipo a=b a≠b a≤b

Non e’ permesso a≰b Stesso potere espressivo perche’: (a≰b) v C (((a≠b) v C) and ((b≤a) v C)) Data una relazione tra intervalli r, denotiamo con

p(r) la sua forma in ORD-clauses

Esempio I1 (d,o,s) I2 ∈ SAc,

Forma in ORD-caluses p(r)

I1

I-1 I+1

I2I-2 I+2

I-1 I-1

I2- ≤ I2+,

O={I1- ≤ I1+,

I1- ≤ I2+,

I2- ≤ I1+,

I1+ ≤I2+,

I1+ < I2+,

I2- ≠ I2+,

I1- ≠ I1+,

I1- ≠ I2+,

I2- ≠ I1+,

I1+ ≠I2+,

I1+ ≠ I2+}

Relazioni PA e ORD-clauses Clausola unitaria: clausola con un unico letterale

Esempio: a≤b unitaria, ((a≤b) v (c=d)) non unitaria PA : permette solo ORD-clauses unitarie

a>b a≰b {(a≠b), (b≤a)} due clausole unitarie SA: sottoinsieme di IA tale che r ∈ SA sse p(r) ∈PA,

cioe’ p(r) e’ un insieme di ORD-clauses unitarie Esempio I1 (d,o) I2 PA⊂ORD-clauses I2- ≤ I2+,

O={I1- ≤ I1+,

I1- ≤ I2+,

I2- ≤ I1+,

I1+ ≤I2+,

I1+ < I2+,

I2- ≠ I2+,

I1- ≠ I1+,

I1- ≠ I2+,

I2- ≠ I1+,

I1+ ≠I2+,

I1+ ≠ I2+,I1- ≠ I2-,}

Relazioni PAc e ORD-clauses PAc: permette solo ORD-clauses unitarie e, inoltre, per ogni clausola unitaria a≠b nella stessa forma

in clausole deve esserci la clausola a≤b o b≤a Esempio I1 (d,o,s) I2 ∈ SAc

I2- ≤ I2+,

O={I1- ≤ I1+,

I1- ≤ I2+,

I2- ≤ I1+,

I1+ ≤I2+,

I1+ ≤ I2+,

I2- ≠ I2+,

I1- ≠ I1+,

I1- ≠ I2+,

I2- ≠ I1+,

I1+ ≠I2+,

I1+ ≠ I2+}

Riassumendo IA ↔ insiemi di ORD-clauses

I1 (p, p-1) I2 r = p v p-1

p(r) = (I1-≤I1+) ^ (I1- ≠ I1+) ^ (I2-≤I2+) ^ (I2- ≠ I2+) ^ (I1+ ≤ I2- v I2+ ≤ I1-) ^ (I1+ ≠ I2-)^ (I2+ ≠ I1-)

SA ↔ insiemi di ORD-caluses unitarie

SAc ↔ insiemi di ORD-clauses unitarie in cui quando a≠b e’ nell’insieme c’e’ anche a≤b oppure b≤a

ORD-Horn caluses ORD-Horn clausola: e’ una ORD-clausola con

al piu’ un letterale positivo (a=b oppure a≤b) e un numero arbitrario di letterali negativi (a≠b) Esempi a=b v c≠b v e≠f ORD-Horn a≤b v c≠b v e≠f ORD-Horn a≠b v c≠b v e≠f ORD-Horn a=b v c=b v e≠f ORD ma non ORD-Horn a≰b v c≠b v e≠f non ORD e (quindi) non ORD-Horn Notare che ORD-Horn clauses ⊂ ORD clauses

La sottocalsse OH di IA OH ⊂ IA, e tale che r ∈ OH se ha una

forma in clausole, p(r), che e’ un insieme di ORD-Horn clauses

Esempio: I1 (f-1,o,s) I2 ∈ OH

I2- ≤ I2+,

O={I1- ≤ I1+,

I1- ≤ I2-,

I1- ≤ I2+,

I2- ≤I1+,

I1+ < I2+,

I2- ≠ I2+,

I1- ≠ I1+,

I2- ≠ I1+,

I1+ ≠I2+,

( I1+ ≠ I2+ v I1- ≠ I2- ) }

I2I-2 I+2

I1

I+1I-1 I-1

I1

I+1I-1 I+1

Notare che I1 (f-1,o,s) I2 ∉ SA

OH e SA Ogni relazione in SA e’ anche in OH

perche’ la sua forma in clausole e fatta di clausole unitarie

L’inclusione e’ stretta. L’esempio nella slide precedente, I1 (f-1,o,s) I2 , e’ in OH , ma non in SA

Riassumendo

IA

OH SA

SAc213=8192

868~10% 188~2%

88~1%Atomic 13

Caratteristiche di OH

OH contiene 868 relazioni piu’ del 10% di IA Inoltre le clausole che non sono unitarie

sono binarie (cioe’ riguardano solo due intervalli) e contengono letterali solo del tipo (X- op1 Y-) oppure (X+ op2 Y+) con opi ∈{≤,=,≠}

p v p-1∉OH

Teoria PO La teoria PO e’ un insieme di assiomi che

caratterizzano “≤” come ordinamento parziale

∀x,y : x ≤ y and y ≤ z x ≤ z (transitivita’) ∀x: x ≤ x (riflessivita’) ∀x,y : x ≤ y and y ≤ x x = y (Antisimmetria) ∀x,y : x = y x ≤ y ∀x,y : x = y y ≤ x

Questa teoria ammette molti modelli, cioe’ interpretazioni di x, y, z, ≤, =,… che soddisfano gli assiomi

ORD-caluses e teoria PO Th. Dato un insieme di ORD-clauses O, allora O e’ ℝ-soddisfacibile

sse O PO e’ soddisfacibile

Un ℝ-modello di O, e’ un assegnamento di numeri reali i quali soddisfano gli assiomi di PO

supponiamo di avere un modello, F, OPO. Devo ricavarne un ℝ-modello di O. Da PO possiamo dedurre che “=“ riflessiva, transitiva e simmetrica Quindi F/= (F modulo =) e’ ancora un modello di O che soddisfa PO e dunque e’ ordinato parzialmente da ≤. Ogni ordinamento parziale puo’ essere linearizzato ad un ordinamento

totale che puo’ poi essere mappato nei reali. In tale linearizzazione le formule atomiche ORD (a=b), (a ≠b) e (a≤b) di O sono ancora soddisfatte, quindi F puo’ essere cosi’ trasformato in un ℝ-modello di O.

Notare che il Th. vale solo per formule atomiche di tipo ORD, perche’ se ammettiamo O={(a≰b), (b≰a)} allora O non ha un ℝ-modello ma OPO ha come modello un qualunque ordinamento parziale in cui a e b sono incomparabili

HornSAT e’ polinomiale Testare se un insieme di clausole di Horn e’

soddisfacibile e’ lineare nel numero di totale dei letterali presenti nelle clausole

Se non ci sono clausole unitarie allora banalmente soddisfacibile: Assegnare falso a tutte le variabili Infatti ogni clausola contiene almeno un letterale negato

Altrimenti, Unit propagation: Scelgo una clausola unitaria con un solo letterale (e.g.

a≤b) Sostituisco le clausole di tipo: (c v a≥b)^( c v a≠b) con c Elimino le clausole che contengono a≤b

La formula e’ soddisfacibile se alla fine non rimango con un letterale e la sua negazione

ISAT(OH) e’ polinomiale PO e’ una teoria di Horn perche’ contiene solo clausole di

Horn Denotiamo con POO gli assiomi di PO instanziati agli estremi

che compaiono in O Allora usando il Th di Herbrand, OPO e soddisfacibile sse

lo e’ OPOO Dato un insieme di relazioni X ⊆ OH, allora la forma in

clausole p(X) e’ un insieme di clausole ORD-Horn. p(X) puo’ essere ottenuta in tempo lineare nel numero di

relazioni in X PO p(X), cioe’ l’insieme di clausole Horn ottenute instanziando

PO ai punti in p(X) puo’ essere calcolato in tempo lineare in X

p(X) e’ ℝ-soddisfacibile sse p(X) PO p(X) e’ soddisfacibile Ma p(X) PO p(X) e’ un insieme di clausole di Horn ed e’

polinomiale testarne la soddisfacibilita’, lineare nel numero di relazioni in X, quindi quadratico nel numero di intervalli

OH e Path consistency(1) Path consistency su OH risoluzione unitaria

positiva, cioe’ solo di clausole unitarie e positive Assunzione di minimalita’: supponiamo che,

data una relazione r ∈ OH, ogni clausola in p(r) sia minima cioe’: non esiste nessuna clausola con un sottoinsieme di letterali derivabile da p(r)

Assunzione di forma esplicita :a,b,c estremi di intervalli Se (a≤b),(b≤c)∈p(r) (a ≤c)∈p(r) transit. (a≤b),(b≤a)∈p(r) ↔ (a =b)∈p(r) antisimmetria (a=b)∈p(r) ↔ (b=a)∈p(r) (a≤a)∈p(r) riflessivita’

OH e Path consistency(2) Sia R ⊂OH un insieme di relazioni path consistent e

consistente (cioe’ Ø ∉ R). Allora non e’ possibile derivare con la risoluzione positiva unitaria nuove clausole unitarie da p(R)POp(R)

Una nuova clausola unitaria U puo essere derivata solo se esiste una clausola non unitaria C ∈ p(R)POp(R) e un insieme di clausole unitarie positive D ⊆ p(R)POp(R) tale che per tutti i letterali in C tranne U esiste un complementare positivo in D. Si fanno tutti casi possibili per C

Istanza dell’assioma di transitivita’ Istanza dell’assioma di antisimmetria cioe’ di

(x≤y) and (y≤x) y=x, scritto come clausola non unitaria: (not(x≤y) v not(y≤x) v (x=y))

Cioe’ C= (not(a≤a) v not(a≤a) v (a=a)) ma se D={(a≤a),(a≤a)} allora con la

risoluzione derivo (a=a) che non e’ una clausola nuova perche e’ gia’ in p(R) per lassunzione di forma esplicita …oppure

C= (not(a≤b) v not(b≤a) v (a=b)) ma se D={(a≤b),(b≤a)} allora con la risoluzione derivo (a=b) che non e’ una clausola nuova perche e’ gia’ in p(R) per l’assunzione di forma esplicita …oppure

Istanza dell’assioma x=y x≤y oppure y≤x C in p(R)

ISAT(OH) e’ polinomiale Sia R ⊂OH un insieme di relazioni path

consistent. Allora R e’ soddisfacibile sse Ø ∉ R. Ovvia. Se contiene Ø non e’ soddisfacibile se Ø ∉ R allora la clausola vuota non

appartiene a p(R). Quindi non e’ possibile derivare nessuna causola unitaria positiva. Per la completezza di refutazione della risoluzione di clausole positive unitarie p(R)POp(R) e’ soddisfacibile (ha un modello). Per il teorema precedente anche R ha un modello.

Dal teorema per testare la soddisfacibilita’ e’ sufficiente applicare path consistency o(n3)

OH e path consistency Notare che i risultati precedenti si basano

sul fatto che OH e’ chiuso rispetto all’inversione, composizione e intersezione

Quindi, se applico path consistency a un sottoinsieme S di OH ottengo un (possibilmente) nuovo insieme S’⊆OH

MLP(OH) e’ polinomiale ISAT(OH) path consistency O(n3) ISATMLP. Assumiamo un oracolo che

dato un problema di Allen dice se e’ consistente o no. Per ogni vincolo (O(n2)) chiediamo all’oracolo se la rete in cui quel vincolo e’ sostituito con una sola delle sue relazioni ammesse e’ consistente (O(13)).

Ora sappiamo che l’oracolo ci mette ogni volta O(n3)

Quindi MLP(OH) O(13n2) x O(n3)=O(n5)

Riassumendo Sac ⊂ SA ⊂ OH ISAT(SAc)

Con path consistency O(n3) Oppure CSPAN O(n2)

ISAT(SA) CSPAN O(n2)

ISAT(OH) Path consistency O(n3)

MLP(SAc) Path consistency O(n3)

MLP(SA) Feasible O(n4)

MLP(OH) Path-consistency + oracolo O(n5)

Relazioni sentinella1. X (d,d-1,o-1,s-1,f) Y esprime il fatto che X interseca

strettamente Y e comincia dopo, oppure, finisce dopo Y1. p ((d,d-1,o-1,s-1,f))={(X-<X+, Y-<Y+, X-<Y+,(X+>Y-), (X->Y- v

X+>Y+)}

2. X (d-1,o,o-1,s-1,f-1) Y esprime il fatto che X interseca strettamente Y e comincia prima, oppure, finisce dopo Y1. p ((d,d-1,o-1,s-1,f))={(X-<X+, Y-<Y+, X-<Y+,(X+>Y-), (X-<Y- v

X+>Y+)} 3. (p,d-1,o,m,f-1) ∈ SAc⊆OH

1. p ((p,d-1,o,m,f-1))={(X-<X+, Y-<Y+, X-<Y-, X-<Y+)}

4. (p,d,o,m,s) ∈ SAc⊆OH1. p((p,d,o,m,s)) ={(X-<X+, Y-<Y+, X+<Y+, X-<Y+)}

Caratterizzazione classi difficili

Se N1={(p,d-1,o,m,f-1), (p,d,o,m,s), (d,d-1,o-1,s-1,f)} ⊆ S allora ISAT(S) NP-completo

Se N2={(p,d-1,o,m,f-1), (p,d,o,m,s), (d-1,o,o-1,s-1,f-1)} ⊆ S allora ISAT(S) NP-completo

Se OH⊂S allora o (d,d-1,o-1,s-1,f) o (d-1,o,o-1,s-1,f-1) sono nella chiusura di S rispetto a inversione composizione e intersezione

TH. OH⊂S allora ISAT(S) e’ NP-completo

Dimostrazione1. ISAT(S) ∈ NP perche’ ISAT(IA) ∈ NP 2. Vediamo che ISAT(S) ∈ NP-hard3. Esiste una riduzione polinomiale 3SAT N1 e 3SAT N24. Come al solito partiamo da un formula 3SAT F=C1 ^ C2 ^

C3…. cioe’ una congiunzione di clausole del tipo:5. Ci=li,1 v li,2 v li,3 6. Costruiamo un problema temporale T in N1 tale che T e’

soddisfacibile sse lo e’ F7. Per ogni letterale li,j

1. 2 intervalli Xij e Yij 2. il vincolo Xij (d,d-1,o-1,s-1,f) Yij3. Quindi P(T) conterra’ anche (Xij->Yij- v Xij+>Yij+)

8. Per ogni clausola Ci 9. i 3 vincoli {Xi2(p,d-1,o,m,f-1)Yi1, Xi3(p,d-1,o,m,f-1)Yi2, Xi1(p,d-

1,o,m,f-1)Yi3}10. Quindi P(T) contiene anche (Yi1

->Xi2- ), (Yi2

->Xi3-), (Yi3

->Xi1-)

11. In questo modo escludiamo che possa essere soddisfatto (Xij

->Yij- ) per ogni ij,

12. Infatti si avrebbe (Xi1->Yi1

->Xi2- >Yi2

->Xi3- >Yi3

->Xi1-) assurdo

13. e questo lo interpretatiamo come la soddisfazione del letterale lij nella clausola Ci di D

…continua dim…14.Ora non rimane che assicurarsi se lij e’ vero

ogni suo complementare lgh sia falso.

15.Vengono aggiunti i vincoli Xgh(p,d,o,m,s)Yij, Xij(p,d,o,m,s)Ygh

16.Quindi p(T) deve contenere anche (Yij+>Xgh

+ ) and (Ygh

+>Xij+ )

17.In questo modo lij e lgh non possono essere simultaneamente veri altrimenti varrebbero (Xij

+>Yij+ ) e (Xgh

+>Ygh+ ) da cui (Xij

+>Yij+ >

Xgh+>Ygh

+ >Xij+ ) assurdo

…continua dim…18.T soddisfatto formula 3-SAT

soddisfatta. Se il problema di vincoli temporali T ha soluzione allora per ogni i deve esistere un j tale X-

ij>Y-ij non e’

soddisfatta (punto 11 della dim), e questo vuol dire che il letterale lij e’ soddisfatto. Quindi c’e’ un letterale soddisfatto per ogni clausola.

…continua dim…19. Formula 3-SAT soddisfatta T soddisfatta. Sia v un

assegnamento a tutti letterali della formula che la soddisfa.20. per ogni letterale l=true in v

Per ogni sua occorrenza nelle clausole lij eliminiamo X -

ij> Y-ij dalla clausola ORD-Horn ((X-

ij> Y-ij )v (X+

ij> Y+ij))

Per ogni sua occorrenza negata nelle clausole lij eliminiamo X+

ij> Y+ij dalla clausola ORD-Horn ((X-

ij> Y-ij )v (X+

ij> Y+ij))

21. Visto o l =true o not(l) =true eliminando otteniamo tutte ORD-Horn unitarie

22. Visto che ogni clausola e’ soddisfatta non si hanno cicli del tipo X->…>Y- >X->…>Y- contenenti solo punti iniziali (punti 10,11)

23. Visto che letterali complementari hanno valori di verita’ diversi non si possono avere cicli X+>…>X+>Y+>…>X+ contenenti solo punti finali (punto 16)

24. Cicli misti? Non ce ne sono non ci sono disequazioni che coinvolgono un punto iniziale e un punto finale

Il confine tra trattabilita’ e NP-completezza delle sottoclassi di IA

Sia S ⊆ IA. Denotiamo con S* la chiusura di S rispetto all’inversione, composizione e intersezione, cioe’ la piu’ piccola sottoalgebra di IA generata da S

Si puo verificare che dato S tale che OH ⊂S⊆IA, allora

(d,d-1,o-1,s-1,f) ∈S* op (d-1,o,o-1,s-1,f-1)∈S* Metodo enumerativo, controllo se la chiusura di

OH {r} per ogni r in IA-OH contiene oppure no tali relazioni

Alcune considerazioni

Quindi le classi che dominano OH nell’ordinamento prodotto dall’inclusione sono difficili

Ci si chiede se esistono altre sottoclassi massimali di IA, incomparabili con OH che siano trattabili

Si Ad esempio U={≠,1}. Visto che la relazione ≠ tra intervalli

non e’ esprimibile come un insieme di clausole ORD-Horn, U e’ incomparabile con OH. Inoltre ISAT(U) e lineare visto che basta assegnare tutti intervalli distinti

Altre classi trattabili? La classe U non e’ di particolare interesse Capire se esistono sottoclassi contenenti tutte le

relazioni atomiche che siano trattabili e incomparabili a OH

Th. Sia S una sottoclasse contenente le 13 relazioni atomiche. Allora {(p,d-1,o,m,f-1), (p,d,o,m,s)}⊂ S perche’ sono generati

dalla chiusura delle atomiche una delle seguenti alternative e’ vera:

S*⊆OH (d-1,o,o-1,s-1,f-1) or (d,d-1,o-1,s-1,f) sono in S*

OH e’ l’unica classe trattabile massimale Sia S una sottoclasse di IA contenente

tutte le relazioni di base. Allora o S⊆OH e ISAT(S) e’ polinomiale Oppure ISAT(S) e’ NP-completo

Infatti S o contiene N1 oppure contiene N2

Algoritmo ISAT: path-consistency+backtracking

Input:Allen Temporalproblem

Preporcessing:Pathconsistency

Path-consistent?

Intelligent backtracking

Consistent?

Post-processing:Solution determination

no

no

yes

yes

STOP

STOP

Output: labeling atomico

Output:assegnamentodegli intervalli

Intelligent backtracking con OH1. Int-back(matrice vincoli M, i,j interi)2. M’M //salvo M3. 4. for (ogni relazione lk in Mij) do

5. Mij lk6. if (consistency(M)=true) then7. if (Mij last edge or Int-back(M,next_i,next_j)) 8. return true9. MM’; //backtrack10. endfor11. return false12. End;

3. Split(Mij in l1..ls∈Atomic) 3. Split(Mij in l1..ls∈SA) 3. Split(Mij in l1..ls∈OH)

Algebra delle Macro-relazioni

Martin Charles Golumbic, Ron Shamir: Complexity and Algorithms for Reasoning about Time: A Graph-

Theoretic Approach. J. ACM 40(5): 1108-1133 (1993)

Idea fondamentale Sfruttare la corrispondenza tra:

Algebra degli intervalli del ragionamento temporale

Grafi di intervalli di analisi combinatoria

Lattice di Noekel Lattice: un ordinamento

parziale in cui ogni sottoinsieme ha un elemento massimo e un elemento minimo

E’ possibile organizzare le relazioni di Allen in un lattice

La relazione r <r’ se dati I1 e I2 tali che I1 r I2, si puo’ ottenere I1’ da I1 con I1+≤I1’+ e I1- ≤I1’- tale che I1’r I2

In pratica, se posso ottenere r’, mantenendo fisso I2 e slittando I1 verso destra

p

m

o

s

=d

f

f-1

s-1

d-1

o-1

m-1

p-1

>

Macro relazionip

m

o

s

=d

f

f-1

s-1

d-1

o-1

m-1

p-1

Definiamo come macro-relazioni i seguenti sottoinsiemi di relazioni

∩= {m,m-1,o,o-1,s,s-1,f,f-

1,d,d-1 } α= {m,o} α-1={m-1,o-1} C = {s,f,d} C-1 = {s-1,f-1,d-1}

(Macro-)Relazioni atomiche saranno: ∩, p, p-1,=, α, α-1,

C, C-1

Macro algebre Date le macro-relazioni definiamo le seguenti macro-algebre A3= {p,p-1, ∩ } A7= {p,p-1, α, α-1, C, C-1, =} A6= {p,p-1, o, o-1, d, d-1} se gli estremi degli intervalli devono

essere distinti

p

m

o

s

=d

f

f-1

s-1

d-1

o-1

m-1

p-1

∩p

m

o

s

=d

f

f-1

s-1

d-1

o-1

m-1

α-1

α

⊂-1⊂

p-1

Ai i elementi Sono algebre booleane, cioe’ chiuse rispetto all’unione e alla intersezione di insiemi!

p

m

o

s

=d

f

f-1

s-1

d-1

o-1

m-1

p-1A3

A7 A6

Terminologia Problema temporale1. Variabile coppia di intervalli2. Dominio sottoinsieme delle relazioni

dell’algebra che stiamo considerando 3. Vincoli impliciti, indotti dal fatto che le

variabili rappresentano coppie di intervalli temporali (cioe’ intervalli sulla retta reale, e.g. transitivita’)

Taglia di un problema numero di variabili, quindi il numero di relazioni tra coppie di intervalli O(n2) con n intervalli

Terminologia (2) Realizzazione: assegnamento a ogni intervallo di un

intervallo sulla retta reale che soddisfa le relazioni Solo relazioni topologiche ordinamento debole

(transitivo, riflessivo, completo) I1<I2 sse I1+ < I2-, altrimenti incomparabili

Realizzazioni distinte sse l’ordinamento dei punti estremi e’ distinto

Problema temporale su una qualche algebra e’ consistente sse ammette almeno una realizzazione

Instanziazione: scelta di una (singola) relazione per ogni dominio delle variabili

Instanziazione consistente o soluzione: se e’ consistente il problema temporale corrispondente

1 realizzazione 1 instanziazione 1 instanziazione molte realizzazioni ISAT(P) : determinare l’esistenza di una soluzione, cioe’ di

una instanziazione consistente MLP(P): trovare i domini minimi togliendo tutte le relazioni

che non fanno parte di una soluzione

Equivalenza di ISAT e MLP (gia’ visto) TH: Determinare la soddisfacibilita’ (ISAT) e determinare la

rete minima (MLP) di problemi temporali di Allen sono problemi equivalenti in tutte le algebre Ai, i=3,6,7,13

PROVA: Da ognuno esiste una mappatura polinomiale all’altro

1. ISATMLP. Assumiamo un oracolo che dato un problema di Allen dice se e’ consistente o no. Per ogni vincolo (O(n2)) chiediamo all’oracolo se la rete in cui quel vincolo e’ sostituito con una sola delle sue relazioni ammesse e’ consistente (O(13)).

2. MLPISAT. Assumiamo di avere un algoritmo che calcoli la rete minima. Perche’ il problema sia soddisfacibile e’ sufficiente controllare che nessun vincolo non ammetta nessuna relazione (O(n2)).

Relazione tra ISAT e trovare tutte le soluzioni (1) TH: Data l’algebra Ai i=3,6,7,13 se ISAT e’ polinomiale

allora esiste una struttura polinomiale che corrisponde all’insieme di tutte le soluzioni

Questa struttura e’ la rete minima + algoritmo polinomiale che permette di enumerare, a partire dalle rete minima, tutte lo soluzioni (ASP).

Algoritmo polinomiale si intende polinomiale per fornire una soluzione, non tutte che sono esse stesse esponenziali

Infatti ISAT polinomiale MLP polinomiale Sia D=(D1,D2,…, Dn) la rete minima. Di e’ l’insieme minimo di

relazioni del vincolo rappresentato dalla variabile Xi. La rete minima D e’ una struttura polinomiale nella

grandezza di problema: O(n), n=numero variabili. Notare che ogni variabile corrisponde alla relazione tra due

intervalli. Quindi O(n), corrisponde a O(k2) dove k e’ il numero di intervalli

Algoritmo ASP Input: rete minima D Output: tutte le soluzioni 1. int vector a[n]; //a[i] numero della relazione assegnata alla var i2. a[1]1, i 13. if (ISAT(D(a))=true) then //test consistenza istanza corrente4. if (i<n) then 5. a[i+1] 1, 6. i i+17. goto 38. else output D(a) 9. if( a[i] < ni) //ni = cardinalita’ dominio var i10. a[i] a[i]+111. goto 3 12. else if (i=1) return13. else a[i]0, ii-1, goto 9

Relazione tra ISAT e trovare tutte le soluzioni (2) Riassumendo, ASP fa una depth-first search nello

spazio delle soluzioni testando la consistenza della soluzione parziale ad ogni assegnamento nuovo

Complessita’ di ASP per fornire una soluzione: O(mn *Comp_ISAT) dove n=numero delle variabili m= massimo numero di relazioni in un dominio di D e Comp_ISAT = complessita’ di ISAT

Quindi, riassumendo SE ISAT e’ polinomiale

MLP polinomiale D polinomiale ASP polinomiale

Grafi di intervalli V insieme qualunque {I(v)}v∈V :insieme di intervalli di ℝ Diciamo che v<w sse I(v) e’ strettamente alla sinistra di I(w) L’ordinamento indotto in questo modo da {I(v)}v∈V su V e’ un

ordinamento parziale detto ordinamento degli intervalli e {I(v)}v∈V e’ la sua rappresentazione in intervalli

Grafo G(V,E) e’ un grafo di intrevalli sse V ammette una rappresentazione in intervalli tale che Se l’arco non orientato (v,w)∈E allora v ~w, cioe’ I(v) ∩I(w)≠Ø Grafo di incomparabilita’ ~

Sequenza dei punti estremi, [lv,rv] di una rappresentazione in intervalli {I(v)}v∈V

si ottiene considerando tutti gli intervalli da sinistra a destra Un ordinamento per intervalli su V o un grafo di intervalli su V puo’

essere indotto da molte rappresentazioni in intervalli diverse. Al peggio un numero esponenziale

piu’ sono le possibili rappresentazioni, meno informazioni temporali si hanno

Applicazione: archeologia Il problema della serialita’ Dare un ordine cronologico ai manufatti Manufatti: lancia con punta di selce, anfora in terracotta,

lancia punta di ferro, bracciale d’oro, lancia con punta avvelenata

Manufatto intervallo temporale in cui era in uso Goal: assegnare ad ogni manufatto l’intervallo giusto Tomba dove il manufatto e’ trovato istante temporale Il punto temporale che rappresenta la tomba e’

nell’intersezione degli intervalli temporali dei manufatti in essa contenuti

Il Sandwich problem per grafi di intervalli E1, E2 due insiemi di archi definiti sugli stessi

nodi V Grafo sandwich per (E1, E2 ): G(V,E) tale che

E1⊆E⊆E1E2 IGS (Interval Graph Sandwich Problem): Dati

due grafi G1=(V,E1) e G2=(V,E2) con E1∩E2=Ø, dire se esiste un grafo sandwich per E1 e E2 che sia un grafo di intervalli

Sia F= (E1 E2)C complementare di (E1 E2), cioe’ l’insieme degli archi mancanti nel grafo G=(V, E1 E2)

Se E1 oppure F sono Ø , allora la riposta e’ trivialmente SI. Nel primo caso E1, nell’altro E1 ∪E2.

Se E2=Ø algoritmo polinomiale di Booth e Luecker

vedremo la complessita’ nel caso generale

Applicazione: DNA Dato un DNA si hanno delle informazioni

sperimentali sull’intersezione o meno di coppie di segmenti del DNA senza conoscerne i nucleotidi

Goal: trovare come i segmenti possono essere disposti sotto forma di intervalli di una linea (la catena del DNA) in modo da rispettare le informazioni sulle intersezioni

Rappresentazione in grafi Vertici segmenti Nessun arco (arco in F) se non si intersecano Arco E1 se si intersecano Arco E2 se non e’ chiaro se si intersecano o meno

Relazione tra IGS e A3 Ogni istanza di un interval sandwich

problem e’ equivalente a un problema ISAT definito su A3

Coppia di nodi (x,y) variabile temporale V(x,y)

(x,y)∈E1 D(V(x,y)) ={∩}

(x,y)∈E2 D(V(x,y)) ={p,∩, p-1}

(x,y)∉E1 E2 D(V(x,y)) ={p, p-1}

IGS e’ in NP IGS

E1, E2 due insiemi di archi definiti sugli stessi nodi V Grafo sandwich per (E1, E2 ): G(V,E) tale che

E1⊆E⊆E1E2 IGS (Interval Graph Sandwich Problem): Dati due

grafi G1=(V,E1) e G2=(V,E2) con E1∩E2=Ø, dire se esiste un grafo sandwich per E1 e E2 che sia un grafo di intervalli

NP: data una rappresentazione in intervalli di V serve un tempo polinomiale per testare se tutti gli intervalli coinvolti in archi in E1 si intersecano Se tutte le coppie di intervalli che si intersecano

corrispondono a nodi toccati da archi o in E1 o in E2 Devo guardare tutte le possibili coppie di intervalli O(n2)

Triple asteroidali Dato un grafo G(V,E) Tripla asteroidale di vertici di V: TA={x,y,z}

tale che non vi e’ nessun arco sui vertici di TA per ogni coppia di vertici h, k ∈ TA esiste un cammino di

archi in E da h a k che non passa per nessun vertice adiacente al terzo vertice in TA

Un grafo di intervalli non puo’ contenere una tripla asteroidale

Infatti visto che non ci sono archi su x, y, z gli intervalli corrispondenti sono ordinati ad esempio in modo tale che x<y<z

ogni intervallo incomparabile con I(x) e I(z) non puo’ essere ordinato rispetto a I(y)

Not All Equal 3-SAT NAE-3SAT Restrizione di 3-SAT Data una congiunzione di clausole ciascuna

disgiunzione di 3 letterali dire se c’e’ un modo di soddisfarla in modo che per ogni clausola ci sia un letterale vero e almeno uno falso

NAE-3SAT e’ NP-completo anzi, rimane NP-completo anche nella versione

monotona (tutti i letterali sono non-negati) in cui SAT e facile

NP-completezza di IGS Riduzione NAE-3SAT IGS

n letterali m clausole

Un vertice ausiliario p Per ogni variabile Xi 4 vertici:

xi, xi vertici letterali di Xi

x’i,x’i vertici privati di Xi

Mettiamo i seguenti archi che consideriamo in E1

x’ixi xipx’i

NP-completezza di IGS(2)

Per ogni clausola Ci=(Xi1vXi2vXi3) 3 vertici vi1, vi2, vi3 vertici privati

della clausola

Denotando con xi1, xi2, xi3 vertici letterali corrispondenti

Archi in E1 Archi in E2

xi3 xi2

xi1

vi3 vi2

vi1

Archi in F = (E1 ∪ E2)c: Archi tra vertici dello stesso sottografo corrispondente a

una variabile che non sono in E1 Archi tra vertici dello stesso sottografo corrispondente a

una clausola non in E1 e non E2 Archi in E2:

i,j=1, …,n i≠j un arco tra ogni vertice in {xi,x’i,xi,x’i} e ogni vertice in {xj,x’j,xj,x’j}

i,j=1, …,m i≠j un arco tra ogni vertice privato, vih, di Ci e ogni vertice privato, vjk, di Cj

i=1, …,m un arco tra ogni vertice privato di Ci e p e un arco tra ogni vertice privato di Ci e ogni vertice letterale

tranne quelli corrispondenti agli altri due letterali in Ci i=1,..n e j=1,…,m un arco tra ogni vertice privato

di Xi e ogni vertice privato di Cj

Esiste IGS NAE-SAT soddisfatta Supponiamo esista un grafo di intervalli G’ che

soddisfa il problema sandwich per E1 e E2 Sia I(v) una rappresentazione di G’ I(p)=[p1,p2] Per costruzione per ogni variabile Xi I(xi)∩I(xi)=Ø p1 ∈ I(xi) e p2 ∈ I(xi) oppure p2 ∈ I(xi) e p1 ∈ I(xi) Ponendo Xi=true sse p1 ∈ I(xi) solo un letterale per ogni variabile e’ true

x’ixi xipx’i

Esiste IGS NAE-SAT soddisfatta

Per ogni clausola Ci Per costruzione Non puo essere che I(xij)∩I(xih)=Ø,

∀j,h=1,2,3, j≠h perche’ p1 ∈ I(xij) oppure p2 ∈ I(xij) per j=1,2,3

Non puo’ essere che p2 o p1 ∈ I(xij), ∀ij altrimenti si avrebbe che {(xi1,xi2), (xi2,xi3), (xi3,xi3)}∈E e dunque

vi1,vi2,vi3 formerebbe una tripla asteroidale

Quindi p1 e’ in almeno xij che viene associato a vero e la clausola e’ soddisfatta ma non in tutti e 3 i letterali

La formula e NAE-SAT

xi3 xi2

xi1

vi3 vi2

vi1

NAE-SAT esiste un IGS Sopponiamo v sia un assegnamento che

NAE-SAT la formula costruisco un grafo sandwich per (E1,E2)

p1 p3 p2

t11 t12

t21 t22

t31 t32

f11 f12

f21 f22

t31 t31

A1

A2

A3

B1

B2

B3

Se Xi=true I(xi)=Ai and I(xi)=BiSe Xi=false I(xi)=Bi and I(xi)=AiCompatibile con

x’ixi xipx’i

Intervalli corrispondenti alle variabili private delle clausole

p1 p3 p2

t11 t12

t21 t22

t31 t32

f11 f12

f21 f22

t31 t31

I(x1)

I(x2)

I(x3)

I(x1)

I(x2)

I(x3)

I(v23)

I(v12)

I(v31)

I(v22)

I(v11)

I(v32) I(v21)I(v13)

I(v33)

x’ixi xipx’i

xi3 xi2

xi1

vi3 vi2

vi1

(x1v x2 v x3) and (x1v x2 v x3) and (x1v x2 v x3) Assegnamento x1=T, x2=T, x3=f

ISAT e’ NP-hard per A3, A7, A6, A13

Infatti A3 e’ contenuta in ogni Ai, i=7,6, 13

Sottoclassi trattabili di A3

L’insieme di relazioni permesse da A3 e’: {<,>,⋂,<⋂,⋂>,<>,<⋂>}, dove <=p e

>=p-1

Dalla prova vista si ha anche che la sottoclasse

∆0={⋂,<>,<⋂>} non e’ trattabile Ci chiediamo se vi sono delle sottoclassi

trattabili

La sottoclasse ∆1 Consideriamo la sottoclasse definita dal

seguente sottoinsieme ∆1={<,>,⋂,<⋂,⋂>,<⋂>}, cioe’ (relazioni

generate da A3)-{<>} Mostriamo che e’ trattabile riducendo

ISAT(∆1) a determinare l’aciclicita’ di un grafo particolare

La sottoclasse ∆1 Ogni relazione di ∆1 corrisponde a una o a

due relazioni definite sugli estremi degli intervalli

Dati gli intervalli I=[I-,I+] e J=[I-,I+] I<J ↔ I+<J- I>J ↔ J+<I- I <⋂ J ↔ I-≤J+ I ⋂> J ↔ J- ≤ I+ I ⋂ J ↔ I-≤ J+ and J- ≤ I+

Grafo corrispondente(1) Problema di vincoli temporali di tipo ∆1, P grafo

G(P)=(V,E) Estremo di un intervallo nodo in V E=(E0,E1) Per ogni intervallo I=[I-,I+] arco (I-,I+)∈E0 Per ogni vincolo I<J arco (I+,J-) ∈E1 Per ogni vincolo I<⋂J arco (I-,J+) ∈E0 Per ogni vincolo I⋂J arco (I-,J+) ∈E0 e arco

(J-,I+) ∈E0 Per ogni vincolo I<⋂>J nessun arco Archi E0 sono detti deboli Archi E1 sono detti forti

Grafo corrispondente (2) Il grafo cosi’ definito e’ bipartito tra

i nodi {I-1,…,I-n} corrispondenti agli estremi inferiori degli intervalli

i nodi {l+1,…,l+n}, corrispondenti agli estremi superiori

I-1

I-2

I-3

I+1

I+2

I+3

E1

E0

Esprime un ordinamento parziale

P={X,Y}X={I1<I2}

Y={I2∩>I3}

ISAT(P) ↔ grafo aciclico Se c’e’ un ciclo c’e’ una relazione ciclica e quindi

inconsistente tra gli estremi degli intrevalli non soddisfacibile

Se non c’e’ un ciclo, scelgo una qualsiasi linearizzazione dell’ordinamento parziale espresso dal grafo ottengo una soluzione del problema temporale

Complessita’: Costruzione del grafo: lineare nel numero di variabili del

problema Test di aciclicita’: ad esempio con una ricerca in profondita’

in O(|E|), E insieme degli archi del grafo