LA GRAFICACIÓNanticiparconsultoria.com/libros/la-graficacion-como... · 2015-05-22 · Í N D I C...

LA GRAFICACIÓN

COMO HERRAMIENTA

DE LA ESTADÍSTICA

“The purpose of visualization is insight,

not pictures”. (La finalidad de la visualiza-

ción no son las imágenes sino la profunda

percepción de los hechos).

Ben Shneiderman

Toda obra grande, en arte como en ciencia,

es una gran pasión al servicio de una gran idea.

Santiago Ramón y Cajal

LA GRAFICACIÓN

COMO HERRAMIENTA

DE LA ESTADÍSTICA

De la Tabla al Gráfico

Alberto A. Alonso

Buenos Aires - Argentina

Alberto A. Alonso es Ingeniero Químico por la Universidad Nacional de

La Plata, posee una certificación internacional en Administración de

Riesgos por ALARYS y posee, también, un curso de especialización en

Estadística Descriptiva por el CONICET. En su vida profesional, ha sido

declarado “Experto en temas de Ingeniería” por el Ministerio de Educa-

ción y Justicia de la Nación -Resolución D.N.A.U. Nº 86 del año 1987.

Actualmente es Profesor titular de Estadística Aplicada en el IUPFA, pa-

ra las Licenciaturas en Seguridad, Accidentología y Prevención Vial y

Trabajo Social y para la carrera de Ingeniería en Siniestros y Seguridad

Ambiental.

Ver CV completo en: http://www.anticiparconsultoria.com

Fecha de catalogación: 03/02/2014

Ediciones anticipar: http:// www.anticiparconsultoria.com Esmeralda 582 – Piso 8º Of. 30 – (C1007ABD) – Ciudad Autónoma de Buenos Aires

Primera edición. Enero 2014.

© Alberto A. Alonso

Todos los derechos reservados.

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o trans-

mitida en cualquier forma o por cualquier medio electróni-

co o físico, incluyendo fotocopiado, grabación, escaneado,

o cualquier otro sistema de archivo y recuperación de in-

formación, sin el previo permiso por escrito del autor.

Queda hecho el depósito que prevé la ley 11.723

Alonso, Alberto A. La graficación como herramienta de la estadística: de la tabla al gráfico. - 1a ed.

Ciudad Autónoma de Buenos Aires

Anticipar, 2014. E-Book.

ISBN 978-987-45197-2-6

1. Estadística. I. Título

CDD 519.5

Si te atreves a enseñar,

no dejes de aprender.

John Cotton Dana

Prefacio

Escribir un libro no es tarea sencilla. Una cosa es impartir un curso o una clase,

donde hay un ambiente de ense-

ñanza-aprendizaje, donde el feed-

back se huele, se siente y se palpi-

ta; donde, viendo las caras y los

gestos de esas caras, el docente

sabe cómo manejar su clase.

Escribir un libro es como dirigirse

a una clase sin alumnos. A un

aula vacía. Un lugar en el que uno

habla y habla pero no puede pre-

decir si quien lee está atrapado o

simplemente cumple un rol ruti-

nario.

Y aquí radica el gran desafío de escribir un libro. Un desafío donde es más im-

portante el cómo transmitir que el qué transmitir, porque el qué transmitir está

claro. El autor quiere transmitir todo.

En el cómo transmitir comienzan a surgir los interrogantes. Cómo lo digo,

cómo lo explico, cómo lo transmito, son nuestros mayores interrogantes.

Muchas veces hemos escuchado que quien más sabe no es quien mejor trans-

mite o enseña, y es cierto. A todos nos gustaría ser quien más sabe y quien me-

jor enseña, y aquí precisamente comienza el mayor dilema de la enseñanza

como herramienta de la educación: Transmitir lo que sabemos para que otro lo

incorpore a su conocimiento.

Si a todo esto le sumamos que estamos tratando de transmitir conocimientos,

vivencias y realidades no a través de la palabra sino de gráficos, la tarea se

complica. Graficar es transmitir a través de un nuevo lenguaje. Un lenguaje

visual que desarrollamos en el cerebro y que está relacionado con la manera en

que interpretamos lo que percibimos visualmente. Es una nueva manera de

comunicación que prioriza la transmisión de mensajes a través de la imagen.

Un gráfico no es más que la representación visual de una serie de datos estadís-

ticos mediante la utilización de elementos de la geometría, tales como líneas,

círculos, barras, etc. La utilidad de los gráficos reside en la facilidad que pro-

porciona para la comprensión del fenómeno estudiado, su distribución, tamaño,

evolución y las relaciones existentes entre variables.

Este lenguaje gráfico es, de cierta manera, tan elemental que lo ha utilizado el

hombre desde hace millones de años. El hombre primitivo siempre sintió la

necesidad de expresarse a través de dibujos y gráficos, más o menos artísticos.

La estadística, esta inquietante ciencia que a través de parámetros y estadísticos

nos muestra una aproximación a la realidad, en un principio se transmitía a

través de tablas que eran el resultado de la experimentación. Esas tablas difíci-

les de transmitir fueron un escollo para que la estadística se introdujera en la

gente. Por eso la graficación estadística tuvo la enorme virtud de permitir que,

de manera muy simple, el hombre se acercara a la realidad.

Sin embargo, para que el hombre se acercara a la realidad, la graficación debía

cumplir con ciertos requisitos relacionados con la verosimilitud de los datos en

que se sustentaba y con la verosimilitud de su lenguaje visual.

Todas estas cuestiones están resumidas en este libro.

Normalmente, un curso de estadística descriptiva contiene una unidad o capítu-

lo dedicado a la graficación. No más de veinte o treinta páginas. Por eso, sa-

biendo de la importancia de la graficación estadística, quisimos hacer un traba-

jo más completo donde, además del dibujo, aprendiéramos cuándo se utiliza tal

o cual gráfico, qué variables utiliza tal o cual gráfico y en qué situaciones o

escenarios se utiliza tal o cual gráfico.

Lograrlo fue nuestro objetivo. Si lo logramos, será el resultado de la respuesta

de nuestros lectores1.

Alberto Adriano Alonso

La Plata, verano del 2014

http://www.anticiparconsultoria.com

[email protected]

Agradecimiento

Le dedico esta obra a todos los que me quieren y confían en mí.

1 Todo comentario sobre el contenido de este libro será muy bien recibido, y contestado en

tiempo y forma.

http://www.anticiparconsultoria.com/

mailto:[email protected]

Í N D I C E

UNIDAD 0 EVOLUCIÓN DE LA INFORMACIÓN ESTADÍS-

TICA. DE LA TABLA AL GRÁFICO

1

Ventajas y desventajas de los gráficos 4

Orígenes de la graficación como herramienta de la es-

tadística

6

Primeros gráficos estadísticos 7

Anexo 0. Galería de imágenes 15

UNIDAD I ESTRUCTURA DE UN GRÁFICO 21

Numeración 22

Título 23

Unidades de medida 23

Cuerpo del gráfico 24

Figuras 24

Cuerpos geométricos 25

Ejes 25

Escalas 27

Tipo de escalas 30

Escala logarítmica 31

Papel en escala logarítmica y semilogarítmica 32

Eje nominal o de conceptos 35

Leyendas 38

Pié o notas al pié 38

Anexo I. Glosario estadístico utilizado en graficación 39

UNIDAD II ENTRE DATOS Y VARIABLES 47

Datos 47

Datos estadísticos 48

Variables 49

Variable cualitativa 50

Variable cuantitativa 51

Variable nominal 51

Variable ordinal 51

Variable dicotómica 52

Variable policotómicas o multicotómica 52

Variable de intervalo o intervalar 53

Variable de razón o proporción 53

Variable continua 53

Variable contínua derivada 54

Variables discretas 54

Discretización de variables continuas 55

Análisis estadístico uni y multivariante 55

Series estadísticas 56

Series temporales o cronológicas 56

Series espaciales o geográficas 57

El discreto encanto de las variables nominales 57

Graficación de la variable cualitativa nominal 58

¿Entidad o atributo ¿nominal o discreta? 58

Relación entre la variable y el gráfico 60

UNIDAD III GRÁFICO CIRCULAR Y GRÁFICO DE ANI-

LLOS

61

Gráfico circular para datos univariantes 61

Extracción de sectores 65

Gráfico de anillos – para datos univariados 68

Gráfico semicircular 69

Gráficos de anillo para datos multivariados 70

UNIDAD IV GRÁFICO DE BARRAS Y GRÁFICO DE PUN-

TOS

73

Gráfico de barras para datos univariados 73

Gráfico de barras individuales 74

Algunas reglas y convenciones para las gráficas de ba-

rra

74

Gráficos de barras para variables cualitativas 75

Gráficos de barra para variables cualitativas nomina-

les

75

Gráficos de barra para variables cualitativas ordinales 76

Gráfico de barras para variables cuantitativas discretas

con datos univariados. El gráfico de barras delgadas

78

Gráficos diferenciales 78

Gráficos integrales 78

El marcador de datos 80

Gráfico de puntos para datos univariados 81

Gráfico de barras para datos multivariados 82

Gráfico de barras adyacentes para variables cualitati-

vas

83

Gráfico de barras adyacentes para una variable cuali-

tativa y otra cuantitativa

85

Gráfico de barras adyacentes para variables cuantita-

tivas discretas

85

Gráfico de barras superpuestas o apiladas 86

Gráficos de columnas superpuestas al 100% 88

UNIDAD V GRÁFICO DE LÍNEAS Y DE ÁREAS 91

Gráficos de línea o de tendencia 91

Tipos de gráficos de línea 92

Gráfico de comportamiento 92

Gráficos de tendencia 92

Gráfico de línea suavizado 93

Gráfico de línea múltiple 95

Gráfico de líneas de máximos y mínimos 96

Gráfico de áreas o de franjas 97

Gráfico de área única 97

Gráfico de áreas apiladas o superpuestas 97

Gráfico de áreas apiladas al 100% 99

UNIDAD VI GRÁFICOS DE SERIES TEMPORALES DE DO-

BLE ENTRADA

101

Series temporales 101

Series temporales bivariadas 102

UNIDAD VII PICTOGRAMAS 109

Origen de los pictogramas 109

Los pictogramas en estadística 110

Graficación de variables con datos univariados 110

UNIDAD VIII CARTOGRAMAS Y MAPAS TEMÁTICOS 115

Los cartogramas y la carta coropleta 115

La cartografía sigue su curso 117

Cartogramas 118

Objetivo y características de un cartograma 120

Tipos de cartogramas 123

Cartogramas no contiguos 123

Cartogramas contiguos 123

Cartogramas de Dorling 124

Ventajas y desventajas de los cartogramas 125

Mapas temáticos 125

Mapas cualitativos 126

Mapas cuantitativos 127

Otros tipos de mapas temáticos 129

Modalidades del mapa temático

133

Mapa temático de tramas 134

Mapa temático de símbolos proporcionales 135

Mapa temático de tramas y símbolos proporcionales 136

Mapa temático y gráfico de barras 137

Mapa temático y gráfico circular 138

Mapa temático de flujos 139

UNIDAD IX DEL GRÁFICO BINARIO AL TERNARIO 141

Gráfico binario 141

Gráfico ternario 142

UNIDAD X GRAFICACIÓN DE DISTRIBUCIONES 149

Graficación de una única variable continua 149

Gráficos diferenciales 149

Histograma 150

Polígono de frecuencias 152

Gráficos integrales 154

Histograma acumulado 154

Polígono de porcentajes acumulados 155

Suavización o pulimento 156

Graficación multivariante de variables continuas 158

Histograma apilado o superpuesto 160

UNIDAD XI GRÁFICOS DE EJE CENTRAL. LAS PIRÁMIDES

POBLACIONALES

163

Gráficos de eje central 163

Pirámide de población 164

Tipos de pirámides de población: 165

Expansiva o progresiva de base ancha y cima pequeña 166

Regresiva de base más estrecha que el centro y cima

relativamente ancha

166

Estacionaria o estancada con base y centro similar y

cima reducida

167

Desequilibrada 168

UNIDAD XII OTROS GRÁFICOS PARA LA ESTADÍSTICA

CUANTITATIVA MULTIVARIANTE

169

Estadística multivariante 169

Estadística bivariante 169

Gráficos de dispersión bivariantes 170

Estadística trivariante 174

Gráfico de burbujas 174

Estadística multivariante. Caras de Chernoff 178

Estadística multivariante. Gráfico radial 184

Tipo de gráficos radiales 185

Gráfico radial sin marcadores de datos 185

Gráfico radial con marcadores de datos 185

Gráfico radial con relleno 185

La rosa de los vientos. Un gráfico radial muy conocido 191

Un toque de realismo 192

Comparación de métodos – Chernoff vs. Radial 192

UNIDAD XIII GRAFICACIÓN DE PARÁMETROS Y ESTADÍS-

TICOS. DIAGRAMA DE CAJA

197

Diagrama de caja 197

Construcción del diagrama de caja 198

Comparación entre la distribución de frecuencias y su

diagrama de caja

202

UNIDAD XIV BARRAS DE ERROR 207

Estimaciones de los intervalos de confianza para

parámetros de población

209

La Estadística y el error 209

Tratamiento del error en los gráficos 209

Representación del comportamiento de las magnitu-

des

211

Barras de error 212

Barras de error descriptivas 212

Barras de error inferenciales 213

Orientación de la barra de error 216

La graficación como herramienta de la estadística anticipar

1 | P á g i n a

La mejor fuente de información son las personas

que han prometido no contárselo a otros

Marcel Mart2

UNIDAD 0

EVOLUCIÓN DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA

DE LA TABLA AL GRÁFICO

En estadística, tanto los datos como la información se pueden mostrar en dos

tipos de formato: el tabular y el gráfico.

Recordemos que la representación tabular es un ordenamiento de la informa-

ción en filas y columnas, tal como, por ejemplo, se ejecuta al diagramar una

distribución de frecuencias.

Los datos, no son otra cosa que el resultado de la observación de las realidades

de todos los días.

El dato, es un hecho simple al que se denomina "data-ítem" o elemento de dato.

Este término, expresado en plural, se refiere a más de un hecho y son comuni-

cados por varios tipos de símbolos tales como letras de alfabetos, números,

señales, figuras, dibujos, signos, etc.

Cuando estos datos se pueden ordenar y reordenar de forma utilizable se les

denomina información.

Los datos, en sí mismos, se caracterizan por no contener ninguna información.

2 Marcel Mart (1927- ). Es un político, jurista y hombre de negocios ya retirado de origen

luxemburgués. Fuente: www.wikipedia.org

En este nuevo libro, nos centraremos en una de las modalidades más atracti-

vas y seductoras a la hora de mostrar información: la graficación.

En la actualidad, por graficación nos referimos a ese mix entre arte y cien-

cia que tiene por finalidad representar algo a través de imágenes gráficas.

Siempre el hombre utilizó dibujos y pinturas para manifestar desde sus sen-

timientos hasta sus bienes. Tan es así que las pinturas rupestres datan desde

hace unos 400 siglos.

En su acepción más simple, un gráfico es cualquier trazo o marca que ha

sido realizado con intencionalidad y tiene por objeto la representación. Si

bien, en un principio, las imágenes fueron planas o bidimensionales, con la

introducción de las computadoras, los gráficos fueron cada vez más exquisi-

tos no solo en sus formatos y colores sino, también, en sus dimensiones.

Muchas ciencias utilizan la graficación y nosotros en este libro, veremos y

analizaremos los gráficos como una herramienta de la Estadística.

http://www.frasecelebre.net/Frases_De_Marcel_Mart.html


2 | P á g i n a

Por ejemplo: 1,3 kg, o 50 manzanas son simples datos.

La importancia de los datos está en su capacidad de asociarse dentro de un con-

texto para convertirse en información ya que por sí mismos estos no tienen

capacidad de comunicar un significado y por lo tanto no pueden afectar el

comportamiento de quien los recibe. Cuando estos se convierten en informa-

ción adquieren la capacidad de ofrecer un significado, conocimiento, ideas o

conclusiones.

La información no es un conjunto cualquiera de datos ya que para ser conside-

rados como tal, estos datos deben tener la forma de una colección de hechos

significativos y pertinentes, para la persona física, jurídica o gubernamental

que los percibe.

Por información se entiende a un conjunto de datos significativos y pertinentes

que permiten describir sucesos o entidades.

Para ser significativos, los datos deben constar de símbolos reconocibles, estar

completos y expresar una idea que no sea ambigua.

Para ser pertinentes, los datos deben poder servir para emitir un juicio o análi-

sis rápido y certero.

Ejemplo: Cuando un niño va a la escuela y se le enseña a leer, lo esencial es

que conozca cada una de las letras del abecedario y su pronunciación para lue-

go aprender a unirlas y formar palabras y posteriormente darle significado a

esas palabras. Aquí aparecen entonces tres conceptos:

Datos: las letras del abecedario.

Información: La unión de determinadas letras (datos) en un cierto or-

den da forma a las palabras las cuales adquieren un cierto significado

dado que señalan el nombre de un compañero, la marca del automóvil

de su mamá, el trabajo de su papá, etc.

Conocimiento: Este conjunto de palabras (información) expresan

un pensamiento. Así, el conocimiento es concebido como el conjunto

de hechos o información adquiridos por una persona a través de la ex-

periencia o la educación.

Otro ejemplo: Al estudiante de accidentología vial, se le enseña que la energía

cinética de un cuerpo es igual a la mitad del producto de su masa por el cua-

drado de su velocidad. (Ec = 1/2 m.v2). Los tres conceptos ahora son:

Datos: la masa del automóvil y su velocidad. Por ejemplo: 1.500 kg y

125 km/h.

Información: Para calcular la energía cinética que posee el automóvil

debe multiplicarse su masa por el cuadrado de la velocidad y luego a


3 | P á g i n a

ese resultado dividirlo por dos.

Conocimiento: Dado que la masa del automóvil no varía, su energía

cinética se incrementa en forma proporcional al cuadrado de su veloci-

dad. Así, un automóvil que marcha a 120 km/hora tiene una energía

cinética cuatro veces mayor que la del mismo automóvil circulando a

60 km/hora.

Vemos entonces que una de las finalidades de la estadística es transformar los

datos en información para que la gente pueda adquirir o aumentar su conoci-

miento3.

Volviendo ahora al formato de los datos, se entiende por formato tabular a

aquel que permite efectuar recopilaciones numéricas bien estructuradas y fáci-

les de interpretar de las que nos valdremos luego para sintetizar los datos obte-

nidos con el fin de hacer un uso sencillo de ellos o bien para darlos a conocer

de forma comprensible. Las tablas, compuestas por filas y columnas, es un

ordenamiento de datos en donde se colocan las variables de acuerdo a interva-

los por medio de los cuales se analizan los citados datos.

Por formato gráfico se entiende la representación de datos, generalmente

numéricos, mediante recursos gráficos (líneas, vectores4, superficies o símbo-

los), con el fin de que la relación matemática o correlación estadística que

guardan entre sí, se manifieste visual y atractivamente.

El formato gráfico permite mostrar magnitudes, asociadas a una escala de me-

dición, de manera que se facilite la comparación e interpretación de los datos

estadísticos sin que, necesariamente, se requiera la inclusión de los valores

numéricos, Sin embargo, en muchas ocasiones los gráficos también incluyen la

3 Un desarrollo muy completo de la relación entre datos, información y conocimiento puede

verse en Alonso, Alberto A. ¿De qué hablamos cuando hablamos de estadística?. Buenos Ai-

res. Ediciones anticipar. 2013.http://www.anticiparconsultoria.com 4 Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas carac-

terísticas que son:

Origen. O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el

vector.

Módulo. Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el

extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su

origen hasta su extremo.

Dirección. Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido. Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Fuente: http://tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm


4 | P á g i n a

magnitud de los datos. Más allá de que la variedad y multiplicidad de gráficos y sus modalidades de

ilustración, constituyen opciones útiles para una consulta ágil de la informa-

ción, existe también el riesgo de no usar el tipo de gráfico adecuado o enfatizar

el atractivo visual, dejándose en un segundo plano el objetivo esencial del

gráfico en cuanto a facilitar la consulta e interpretación de los datos o informa-

ción.

Por este motivo, la idea que nos llevó a escribir este libro es brindar la mayor

información básica sobre el uso de técnicas o procedimientos gráficos y linea-

mientos sobre su diseño, de manera tal que las distintas opciones sean eficien-

temente aprovechadas, aplicándose a la vez estándares en la presentación. El

fin último, entonces, es orientar al presentador en la elaboración y exhibición

de gráficos, permitiendo una representación visual de la totalidad de la infor-

mación.

El gráfico estadístico debe estructurarse, entonces, teniendo en cuenta la utili-

dad que preste al receptor común; es decir, que quien lo diseña debe colocarse

en el lugar de quien utilizará la información que el gráfico desea mostrar.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS GRÁFICOS

Hablar de las ventajas y desventajas del gráfico estadístico no es otra cosa que

cotejar la forma de exponer los datos o la información sea en forma tabular o

gráfica.

Comparar la forma de exponer los datos tiene cierta semejanza con la forma de

agrupar los datos.

El conjunto de datos en bruto es el que contiene la mejor y mayor información.

A medida que vamos agrupando los datos en clases, vamos perdiendo informa-

ción a costa de ganar agilidad en su tratamiento. El dilema surge entonces en

decidir cuál es el ancho de clase apropiado donde la pérdida de información se

compense más eficazmente con la agilidad en su tratamiento. Esto es lo que se

conoce como solución de compromiso5.

Volviendo a este maniqueísmo entre la presentación tabular o la gráfica, no

cabe ninguna duda en que la presentación gráfica presenta mucho mejor una

idea general en detrimento de los detalles. Es decir gano en la transmisión de la

información aunque pierdo algo de esta.

5 Soluciones de compromiso (Trade offs). Decimos que hemos adoptado una ―solución de

compromiso‖ cuando para resolver algún problema, entre varias alternativas similares elegimos alguna por uno o más aspectos diferenciales respecto de las demás, sin que ninguna llegue a ser

la ideal. Fuente: http://www.decisionesfaciles.com.ar/2009/09/soluciones-de-compromiso-

trade-offs.html


5 | P á g i n a

No obstante, con los avances de la comunicación, los gráficos se han converti-

do en la forma más adecuada, rápida y eficaz para la presentación y difusión de

la información estadística en cualquier ámbito de la ciencia o de la sociedad.

Esto se debe, sin duda, a que aquí se aplica a la perfección ese dicho de autor

anónimo que dice: ―una buena imagen vale más que mil palabras‖.

En esta época que se ha catalogado como la de comunicación de títulos, no

cabe duda que el lector u oyente de este siglo XXI, que se caracteriza por estar

siempre corriendo, apurado y mirando a las cosas por encima, le resultará más

atractivo tratar de entender un gráfico bien diseñado y atractivamente presenta-

do que leer las aburridas tablas llenas de datos que han servido para elaborar el

apreciado gráfico.

Aceptando, entonces, que el gráfico no es una expresión exacta de los datos,

también tenemos que aceptar que permite a los legos una mejor visión de esa

información pre-digerida.

Pero para ser justos debemos poner de manifiesto, por una cuestión de lealtad,

que los gráficos poseen dos grandes limitaciones:

1. No permiten que se incluya tanta información como en los cuadros o

tablas. Pensemos en una distribución de frecuencias e inmediatamente

entenderemos que el gráfico no puede mostrar la cantidad de informa-

ción almacenada en esas innumerables filas y columnas que alberga la

distribución mencionada.

2. Muestran valores aproximados mientras que las tablas se valen de in-

formación con una gran exactitud.

Pero, si entendemos que la Estadística es una ciencia de tendencias, cabe pre-

guntarse qué diferencia tendría para un habitante cualquiera saber que una in-

vestigación estadística acerca de los resultados de la próxima elección en su

ciudad vaticina un triunfo del candidato ―A‖ con el 48% de los votos, cuando

la tabla expresa que ese porcentaje, en realidad es del 47, 879%. A buen enten-

dedor…pocas palabras bastan.

En este punto deberíamos decir que la presentación tabular y la gráfica no son

competidoras entre sí. Su diferencia radica en que ambas están dirigidas hacia

distintas franjas de público. Pero, para que la tabla no se sienta disminuida

frente a la actitud ganadora y algo arrogante del bello gráfico, debemos reco-

nocer y gritar a los cuatro vientos que sin tabla no hay gráfico posible ya que la

tabla es la materia prima del gráfico.

Para finalizar, debemos poner de manifiesto que como la finalidad del gráfico

es que la información tabular se transmita visualmente, debemos siempre

Continúa ...


6 | P á g i n a

El diseñador, a diferencia del artista, no es normalmente

la fuente de los mensajes que comunica, sino su intérprete.

Jorge Frascara6

UNIDAD I

ESTRUCTURA DE UN GRÁFICO

En muchos países, los institutos de Estadística han dictado normas con el fin de

estandarizar no el gráfico en si mismo sino la información que el gráfico trata

de transmitir, es decir su estructura. La estructura se refiere a la distribución y

orden de las partes importantes de algo y en nuestro caso ese algo es el gráfico.

No es la finalidad de este libro mostrar ni describir las diversas normas o guías

que se han dictado en algunos países con el fin de estandarizar la estructura de

un gráfico estadístico, por cuanto no existe una norma internacional al respec-

to. Nuestra intensión es mostrar, simplemente, los elementos que necesaria-

mente deben conformar la estructura de un gráfico o diagrama y las partes que

debe tener incorporadas cuando forma parte de un libro o documento.

6 Jorge Frascara. Diseñador gráfico argentino nacido en 1939 en Buenos Aires. Se graduó en

1961 en la Escuela de Bellas Artes. Reside en Canadá desde 1976 y es profesor de arte y dise-

ño de la universidad de Alberta; miembro de honor de la sociedad de diseñadores gráficos de Canadá; miembro del foro de ex-presidentes de icograda; miembro de la comisión asesora del

departamento de diseño, universidad Carnegie Mellon (Pittsburgh); director de educación de

icograda (Londres), y miembro de la comisión técnica para símbolos gráficos del ISO (Berlín).

Fuente: http://www.catedranaranja.com.ar

Veremos en esta unidad las condiciones que debe cumplir un gráfico para

poder ser utilizado con fines estadísticos. Esto se debe, principalmente, a

que un gráfico no es un dibujo aunque en ocasiones se trace de forma simi-

lar. El dibujo, es una figura o imagen, construida mediante la utilización

de marcadores de diversa índole sobre un espacio generalmente plano y

que forma parte de una de las artes visuales conocida como pintura. El

dibujo es considerado como un lenguaje gráfico universal, utilizado por el

hombre desde sus inicios para transmitir su cultura y solo responde a la

manifestación de ideas y sensaciones de su creador.

Por su parte, el gráfico es la representación de datos mediante la utiliza-

ción de recursos geométricos tales como puntos, barras, líneas, vectores,

figuras y/o símbolos, para que se manifieste visualmente la relación ma-

temática o correlación que guardan entre sí.

Siendo, entonces, el gráfico una herramienta estadística debe cumplir con

una serie de normas y condiciones que veremos en esta unidad.

http://es.wikipedia.org/wiki/Dato


7 | P á g i n a

Los cuatro elementos principales son:

Numeración

Título

Cuerpo

Pié

A su vez, alguno de estos elementos contiene diversos subelementos.

En el Anexo I, al final de esta unidad, se presenta un glosario de los principales

términos utilizados en graficación estadística.

NUMERACIÓN

En general, los gráficos son parte integrante de presentaciones, notas, informes,

etc. Dentro de estos documentos, muchas veces se hace referencia a un deter-

minado diagrama y con el fin de evitar confusiones resulta importante que cada

gráfico lleve una numeración.

En general la numeración que identifica al gráfico se coloca en la parte supe-

rior del mismo. Cuando se trata de un documento único se utiliza una numera-

ción correlativa que se inicia con el número 1. Cuando dentro del documento

existen capítulos o unidades, al igual de lo que sucede en los libros, con el fin

de que la numeración correlativa no sea muy extensa, la misma se secciona y

consta de dos números. Uno de ellos, generalmente el primero, identifica al

capítulo o unidad y el segundo identifica al gráfico de manera correlativa co-

menzando siempre con el numero 1 en cada capítulo o unidad. El número que

identifica al capítulo debe tener el mismo formato que el capitulo, es decir, un

numero natural o romano. Por su parte el número que indica la posición u or-

den del gráfico dentro del capítulo, generalmente es un número natural.

La tabla I.1 nos brinda algunos ejemplos.

Tabla I.1. Ejemplos de numeración

Numeración Significado

Gráfico nº 1 Se trata del primer gráfico aparecido en un documento único.

Gráfico 1 Se trata del primer gráfico aparecido en un documento único.

Gráfico nº 7 Se trata del séptimo gráfico aparecido en un documento único.

Gráfico 7 Se trata del séptimo gráfico aparecido en un documento único.

Gráfico nº 2.1 Se trata del primer gráfico aparecido en el capítulo o unidad 2.

Gráfico 2.1 Se trata del primer gráfico aparecido en el capítulo o unidad 2.

Gráfico nº IV.3 Se trata del tercer gráfico aparecido en el capítulo o unidad IV.

Gráfico IV.3 Se trata del tercer gráfico aparecido en el capítulo o unidad IV.


8 | P á g i n a

TÍTULO

Todo gráfico debe estar precedido de un título. El título puede ser una palabra

o una frase con que se explica sucintamente el asunto inherente al gráfico.

En general, el título va colocado a continuación de la numeración o en un

renglón posterior.

El título debe indicar al lector o usuario, el contenido del gráfico y estar redac-

tado en forma clara, ordenada y breve. Un título debe contener los siguientes

elementos.

a) Una referencia geográfica. Esta indica la zona a que hace referencia el

gráfico. Por ejemplo: La Plata o Provincia de Buenos Aires o Argentina

o Latinoamérica. Es decir, que puede hacer referencia a datos corres-

pondientes a una localidad, provincia, país o región.

b) La característica principal que quiere mostrar el gráfico. Por ejemplo:

―Consumo de agua‖ o ―Producción de soja‖

c) Debe indicar la forma en que se presenta la información. La informa-

ción puede ser monotemática o multitemática.

Un ejemplo de información monotemática podría ser: ―Producción de

soja, por provincias‖. Un ejemplo de información multitemática podría

ser: Mujeres víctimas de violencia familiar en Colombia, por edad,

según religión. En el gráfico multitemático, en general las variables

medibles se muestran en forma de leyenda y las clasificables en el eje

de conceptos. Las variables medibles, generalmente van precedidas por

la preposición ―por‖ y las clasificables por la preposición ―según‖

d) Una referencia temporal, que da cuenta de la extensión temporal cubier-

ta por la información que muestra el gráfico. La extensión de la refe-

rencia temporal puede ser cualquier unidad de tiempo: día, semana,

mes, trimestre, semestre, año, quinquenio, década. Ejemplos de referen-

cia temporal podrían ser:

Año 2013

2003-2012

Al 31 de diciembre de 2008

Primer trimestre del año 2011

Unidades de medida

Cuando en la estructura de un gráfico debe figurar alguna unidad de medida, es

conveniente que las mismas respondan a la clasificación efectuada en el siste-


9 | P á g i n a

ma internacional de unidades (SI)7. El Sistema Internacional de Unidades cons-

ta de siete unidades básicas, también denominadas unidades fundamentales. De

la combinación de las siete unidades fundamentales se obtienen todas las uni-

dades derivadas. La tabla I.2, nos muestra lo expresado.

Tabla I.2. Unidades de medida

Magnitud física fundamental Unidad básica Símbolo

1. Longitud Metro m

2. Masa Kilogramo kg

3. Tiempo Segundo s

4. Intensidad de corriente eléctrica Amperio o Ampere A

5. Temperatura Kelvin K

6. Cantidad de sustancia Mol mol

7. Intensidad luminosa Candela cd

CUERPO DEL GRÁFICO

Todo gráfico está conformado por la composición de figuras o cuerpos, ejes,

escalas y leyendas.

Figuras

Las figuras están constituidas por un conjunto de puntos, rectas o curvas que

conforman una imagen o dibujo. Las figuras planas, abarca a los polígonos en

7 Después de la Revolución Francesa los estudios para determinar un sistema de unidades único

y universal concluyeron con el establecimiento del Sistema Métrico Decimal. La adopción

universal de este sistema se hizo con el Tratado del Metro o la Convención del Metro, que se

firmó en Francia el 20 de mayo de 1875, y en el cual se establece la creación de una organiza-

ción científica que tuviera, por una parte, una estructura permanente que permitiera a los países

miembros tener una acción común sobre todas las cuestiones que se relacionen con las unida-

des de medida y que asegure la unificación mundial de las mediciones físicas.

Así, el Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también denominado sistema interna-

cional de medidas, es el sistema de unidades más extensamente usado. Junto con el antiguo

sistema métrico decimal, que es su antecedente y que ha mejorado, el SI también es conocido

como sistema métrico, especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para

su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas o fundamentales. En 1971 fue añadida la

séptima unidad básica, el mol. Fuente:

http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htm


10 | P á g i n a

general -tanto regulares como irregulares- como así también al círculo, que

puede ser considerado un caso especial de polígono (un polígono de infinitos

lados).

Cuerpos geométricos.

Estos cuerpos, también llamados figuras geométricas sólidas delimitan volú-

menes. Entre los más sencillos tenemos los poliedros, que son cuerpos geomé-

tricos cuyas caras son exclusivamente figuras geométricas planas. Entre los

más usuales en graficación tenemos el cubo, las pirámides y los prismas.

También están los conocidos como sólidos de revolución entre los que merecen

citarse el cilindro, el cono y la esfera. Los cuerpos geométricos se utilizan en la

graficación tridimensional. Las formas básicas más habituales que podemos

encontrar en un gráfico, son las que se muestran en la figura I.1.

Figura I.1. Distintos tipos de figuras y cuerpos que se utilizan en los gráficos

Ejes

Los ejes cartesianos ortogonales son utilizados en la mayor parte de los gráfi-

cos. La gran mayoría de los gráficos son planos, es decir que se visualizan en

dos dimensiones. Con la aparición de la computadora muchos gráficos pueden

observarse en forma tridimensional. Las características de este sistema son:

Sistema de coordenadas ortogonal: Sistema de coordenadas cartesia-

nas en el que los ejes o planos son perpendiculares entre sí.

Sistema de coordenadas polares: Sistema que se emplea para localizar

Continúa ...


11 | P á g i n a

El odio es el amor sin los datos suficientes

Ricardo Güiraldes8

UNIDAD II

ENTRE DATOS Y VARIABLES

A los fines de la graficación es necesario conocer con el mayor detalle posi-

bles, qué es lo que se ha de graficar. Por tal motivo comenzaremos efectuando

un repaso de los conceptos de dato y variable.

DATOS

Entendemos por datos al resultado de nuestras observaciones sobre el estado

del universo. Podríamos decir que el dato es la valoración de alguna caracterís-

tica medible de una entidad9. Generalmente, el dato es el resultado de una me-

dición aplicada a hechos de existencia real o de alguna valoración aplicada a

hechos de existencia ideal. La cantidad de plantas en nuestro jardín, las tempe-

8 Ricardo Güiraldes nació en Buenos Aires el 13 de febrero de 1886, en la casa de los Guerrico

(sus bisabuelos). Era hijo de Manuel Güiraldes y Dolores Goñi. Su padre era un acaudalado estanciero, dueño de la Estancia "La Porteña", en San Antonio de Areco, donde Ricardo pasa

su niñez y adolescencia, al regreso de Francia, adonde lo llevaron siendo muy pequeño.

Estudió el Bachillerato en el Colegio Nacional de Buenos Aires, pero no concluyó sus estudios

universitarios de Derecho ni de Arquitectura.

En 1910 regresó a París y comenzó a dedicarse a la literatura. Allí publicó algunos escritos.

De regreso a Buenos Aires, continuó con su tarea literaria, y fundó la revista "Proa". Se dedicó

a la poesía y a la prosa. Pero destacó especialmente por su novela criollista "Don Segundo

Sombra". Falleció en París en 1927. Fuente:

http://www.bibliotecasvirtuales.com/biblioteca/literaturaargentina/Guiraldes/index.asp 9 En estadística se aplica la palabra entidad, como término general, para referirnos a un miem-

bro individual de un grupo de personas, lugares o cosas. Por ejemplo un educador puede mos-

trar interés por aquellos estudiantes que han aprendido a leer empleando determinado método. Fuente:

http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/probabilidad_y_estadística.pdf

Si los gráficos son herramientas o recursos estadísticos que deben cumplir

con ciertos requisitos y que tienen por finalidad representar datos e informa-

ción y sus relaciones o correlaciones, es necesario que antes de crear estos

instrumentos repasemos algunos conceptos matemáticos asociados a los

datos y su variabilidad. Sin embargo, esta unidad de apariencia sencilla, es

clave al momento de escoger el tipo de gráfico a utilizar según el tipo de

variable a graficar.

http://www.sabidurias.com/autor/ricardo-giraldes/es/437


12 | P á g i n a

raturas máximas en distintas ciudades, la cantidad de tiempo que asignamos a

las compras en el supermercado, los kilowatts consumidos en nuestra vivienda,

la cantidad de kilos de carne que compramos para el asado del domingo, el

resultado del partido de fútbol de nuestro equipo favorito, la dirección de la

nueva biblioteca en nuestra ciudad, etc., son simplemente datos.

Pero no solo son datos lo medible en forma física o contable (de contar). Tam-

bién lo son aquellas cuestiones más inmateriales o intangibles como el amor, la

fidelidad, la amistad, la bondad, la cultura, la angustia, el dolor y tantísimas

más.

Así tenemos por ejemplo la elegancia de un vestido, el sabor de un postre, la

simpatía de un nuevo vecino, el amor que sentimos por nuestra compañera de

la universidad, etc. Por suerte, debido a la existencia de varias escalas de medi-

ción, todo es ―medible‖ aunque no todo sea cuantificable. De este modo, po-

demos cuantificar el consumo de electricidad de nuestra casa y podemos medir

la tristeza por la muerte de nuestra mascota. Los datos reflejan, entonces, las

cosas de nuestro mundo.

Datos Estadísticos

Un dato estadístico es cada uno de los valores que se han obtenido al realizar

un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5

datos. A su vez cada uno de esos datos tiene un valor: cara o cruz10

y el conjun-

to de valores resultantes de las cinco tiradas podría ser, por ejemplo como lo

que nos muestra la Fig. II.1.

Figura II.1. Resultado de la tirada de cinco monedas

CARA CARA CRUZ CARA CRUZ

Si lanzamos cinco veces una bolilla sobre la ruleta obtenemos otros 5 datos y

cada uno de ellos está asociado a un valor, por ejemplo: 5, 19, 0, 28 y 34.

Si efectuamos una encuesta obtendremos una gran cantidad de datos, algunos

10 La expresión ―cara o cruz‖ se volvió proverbial porque muchas de las monedas españolas de

la época imperial tenían el retrato del rey en el anverso y una cruz en el reverso. Fuente:

http://www.monedas-antiguas.com.ar/2011/04/la-primera-moneda-con-cara-y-cruz.html


13 | P á g i n a

de ellos cualitativos y otros cuantitativos. Los datos estadísticos se obtienen

mediante un proceso que comprende la observación o medición de distintos

tipos de acontecimiento personales o sociales o características de las cosas,

tales como:

Ingresos del grupo familiar.

Calificación en los exámenes.

Cantidad diaria de revistas vendidas en el kiosco de la esquina.

Densidad del aceite de oliva.

Porcentaje de cloro en el agua.

Etc.

En definitiva, el dato en sí mismo, es un hecho abstracto que se convierte en

real cuando es medido y a partir de tal circunstancia adquiere un valor.

Los valores asignados al dato pueden ser cuantitativos, cuando representan

cantidades numéricas o cualitativos cuando representan valores conceptuales o

descriptivos que en ciertas circunstancias pueden ordenarse o no.

VARIABLES

Una de las tantas definiciones de este término es que por variable se entiende

toda característica de las personas, de la sociedad o de las cosas que es suscep-

tible de adoptar una multiplicidad de valores o categorías.

Sierra Bravo11

, dice que en la investigación científica, por variable se entiende

los aspectos o propiedades de los entes que se distinguen por las peculiaridades

de ser características observables de algo, susceptibles de cambio o variación

en relación al mismo o diferentes objetos, y de presentarse a la observación

vinculadas entre sí, según diversos tipos de relaciones. La importancia de las

variables en el método científico es básica. La investigación científica gira al-

rededor de ellas, ya que su finalidad principal no es otra sino descubrir la exis-

tencia de las variables y su magnitud y probar las relaciones que las unen entre

sí.

También, podemos decir que variable es todo aquello que puede ser medido,

observado, contado o manipulado durante un experimento. Su condición de

variable se desprende del hecho de que puede cambiar según cambie la cosa

estudiada (la temperatura en cada ciudad es distinta en el mismo momento) y

según cambie el momento o situación en que la cosa fue medida (la temperatu-

ra en un mismo lugar cambia con el tiempo).

Obviamente podemos medir y observar cosas, individuos y al mundo mismo.

11 Sierra Bravo, R. óp cit.


14 | P á g i n a

De hecho, hay una gran multiplicidad de variables, por lo cual repasaremos su

taxonomía. El diagrama jerárquico se muestra en la figura II.2.

. Figura II.2

Iremos viendo el significado de cada una de estas variables

La primera gran división es entre variables cualitativas y cuantitativas, depen-

diendo de si los valores presentados tienen o no un orden de magnitud natural

(cuantitativas) o, simplemente, un atributo no sometido a cuantificación (cuali-

tativa).

Variable cualitativa: También llamada categórica, es aquella que expresa dis-

tintas cualidades, características o particularidades. En Estadística cada particu-

laridad se denomina atributo o categoría y la medición consiste simplemente en

la agrupación de dichos atributos mediante el conteo.

Un atributo corresponde a una particularidad específica de una variable, como

ser el caso de la variable vida, que posee solo dos atributos: vivo o muerto.

Otras variables cualitativas como el estado civil, tiene muchos más atributos.

Además en el caso de variables que exploran, por ejemplo, el grado de acuerdo

o desacuerdo frente a una determinada circunstancia, los atributos podrían ser

ordenados de acuerdo a algún criterio. Por ejemplo, el ordenamiento podría ser:

Muy en desacuerdo

VARIABLE

Cualitativa

Nominal

Dicotómica Policotómica

Ordinal

Cuantitativa

IntervaloRazón o

proporción

Continua

Continua derivada

Discreta


15 | P á g i n a

En desacuerdo

Indistinto

De acuerdo

Muy de acuerdo

Variable cuantitativa: Es aquella variable que se expresa mediante cantidades

numéricas. Dado que el dato es el resultado de una medición se exterioriza a

través de un número y su consecuente unidad de medida. Por ejemplo: 3 días,

87 gr, 49 m, 125 km/hora.

Seguiremos ahora por la rama de las variables cualitativas, donde tenemos:

Variable nominal: Estas variable, también llamada categórica, presenta moda-

lidades no numéricas que no admiten un criterio de orden o jerarquía.

Solo pueden agruparse y contarse. Como ejemplo, tenemos:

Nombres de personas

Marcas comerciales o nombres de fantasía

Raza de las personas

Grupo sanguíneo

Colores del arco iris

Sexo de la gente

Cargo de los empleados

Tipo de colegio.

Etc.

Variable ordinal. Esta variable presenta modalidades no numéricas, en las que

existe un orden, secuencia o progresión como criterio de valoración dentro de

un cierto rango. La valoración puede surgir de la comparación de las intensida-

des o de las frecuencias percibidas con cierta lógica. Como ejemplo, tenemos:

La cualificación de un examen: malo, regular, bueno, excelente.

La gravedad de un accidente: leve, moderado, grave

El tamaño de una fruta: pequeña, mediana, grande.

La respuesta a un tratamiento: satisfactorio, neutro, insatisfactorio

El nivel socioeconómico: clase alta, clase media alta, clase media baja,

clase baja.

Etc.

Continúa ...


16 | P á g i n a

La lucha es como un círculo, se puede empezar

en cualquier punto, pero nunca termina.

Subcomandante Marcos12

UNIDAD III

GRÁFICO CIRCULAR Y GRÁFICO DE ANILLOS

GRÁFICO CIRCULAR PARA DATOS UNIVARIANTES

Este gráfico se utiliza

para representar:

Exclusivamente atributos de una única variable

cualitativa nominal dicotómica o policotómica.

La introducción de este tipo de gráficos dentro de la graficación estadística se

debe a William Playfair, en el año 1801. Este ingeniero y economista escocés,

que creó un lenguaje visual universal que se aplicó tanto a las ciencias cuanto

al comercio, instaló un nuevo paradigma en el análisis de los datos.

El diagrama circular nos permite ver y percibir la distribución interna de los

datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total.

Cada categoría se representan mediante sectores circulares individuales donde

el tamaño o superficie de cada sector viene determinado por un valor.

Dado que la suma de los valores establecidos a cada categoría tiene que ser el

100% y tal 100% debe ser asignado al área del círculo (360º), cada sector cir-

12

Subcomandante Marcos o Subcomandante Insurgente Marcos es el nombre de guerra que

utiliza Rafael Sebastián Guillén Vicente el principal ideólogo, portavoz y mando militar (mu-

chas veces confundido con líder) del grupo armado indigenista mexicano denominado Ejército Zapatista de Liberación Nacional (EZLN), que hizo su aparición pública el 1º de enero de

1994, al lanzar una ofensiva militar en la que tomó seis cabeceras municipales del estado sure-

ño mexicano de Chiapas, demandando democracia, libertad, tierra, pan y justicia para los indí-

genas. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Subcomandante_Marcos

Se supone que ya hemos aprendido todo lo que se debe saber acerca de los

datos y su tratamiento, antes de abordar su graficación.

Estamos en condiciones, entonces, de comenzar a analizar los gráficos o

diagramas y en esta unidad comenzaremos por el postre, estudiando los

célebres “gráficos de torta” tan vistos en innumerables medios de comuni-

cación. Un diagrama de torta es una forma gráfica de organizar y mostrar

datos que esencialmente comparan las partes de un todo.

Como todo gráfico, su función consiste en que un simple análisis visual

transmita la mayor información posible al espectador. Entonces, a disfrutar

de estas tortas!!!


17 | P á g i n a

cular, siempre representa un porcentaje.

Es decir que aunque el diagrama en forma de ―leyenda‖ nos muestre una fre-

cuencia absoluta, siempre el sector circular que la representa posee un área que

es un porcentaje del total del área del círculo.

Su implementación, se basa en transformar los distintos valores tabulares de los

datos, en sectores circulares proporcionales a la superficie total del círculo, de

manera que las áreas de los sectores sean proporcionales a las cantidades repre-

sentadas.

Un sector circular es la parte de un círculo comprendida entre un arco de cir-

cunferencia (L) y sus respectivos radios delimitadores (r).

En consecuencia, siendo el sector circular una parte del círculo, su superficie

será una fracción del área circular que estará en función del ángulo del sector

circular considerado. La figura III.1, nos muestra el concepto de sector circular.

Figura III.1. Esquema de un sector circular

En este tipo de gráfico, siempre el área total es equivalente a los 360º que cubre

el círculo. Si a una categoría le corresponde el X% del total, entonces esa cate-

goría se transformará en un sector circular que tendrá una amplitud de X% gra-

dos con respecto al área total del círculo, que es de 360º.

Supongamos uno de los tópicos de la encuesta anual de hogares de la ciudad de

Buenos Aires que se muestra en la tabla III.1

Tabla III.1. Encuesta Anual de Hogares 2011. Ciudad de Buenos

Aires. Distribución porcentual de las viviendas por tipo de vivienda.

Tipo de vivienda

Casa (%) Departamento (%) Otros13

(%) Total (%)

22 72 6 100

13 Incluye: Inquilinato o conventillo, pensión, construcción no destinada a vivienda, rancho o

casilla, hotel y "otro".


18 | P á g i n a

Fuente:

http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/hacienda/sis_estadistico/EAH/cuadros_basicos/2011_ta

bulados_basicos.pdf

Ahora, esos porcentajes de encuestados debemos transformarlos en grados de

un sector circular mediante una sencilla regla de tres simple.

Para el caso de ―Casa‖, sería:

100% ------------- 360º

22% -------------- Xº

Operando dentro de la proporción Xº = 22 x 360 /100 = 79,2º 79º

Para el caso de Departamento, sería:

100% ------------- 360º

72% --------------- Xº

Operando dentro de la proporción Xº = 72 x 360 /100 = 259,2 259º

Continuando de la misma manera, el valor para ―Otros‖ resulta:

Otros: 21,6 22º

La nueva tabla III.2 con los porcentajes transformados en grados, es:

Tabla III.2. Encuesta Anual de Hogares 2011. Ciudad de Buenos Aires. Da-

tos de la tabla III.1 redondeados y transformados a grados.

Tipo de Vivienda Porcentajes Grados

Casa 22% 79º

Departamento 72% 259º

Otros 6% 22º

Total 100% 360º

El diagrama circular resultante es el que se muestra en el Gráfico III.1. En for-

ma manual, el gráfico se realiza utilizando un simple transportador como lo

hacíamos en la escuela secundaria o puede utilizarse, a tal fin, algún programa

de graficación por computadora o, simplemente, el Excel.

Excel dispone de un asistente muy sencillo para crear gráficos dentro de una

variedad de tipos predeterminados. Una parte importante de los gráficos que

aquí presentamos han sido realizados utilizando el asistente para gráficos de

Microsoft Office Excel 2007.


19 | P á g i n a

Gráfico III.1. Encuesta Anual de Hogares 2011. Ciudad de Buenos Aires

Escenario graficado: Cantidad de

viviendas en porcentaje, según su tipo.

Tipo de variable:

Porcentaje de viviendas: Cuantitativa conti-nua.

También, el gráfico circular puede ser graficado con los sectores circulares no

lindantes o separados, tal como muestra el gráfico III.2

Gráfico III.2. Ídem Gráfico III.1, pero con los sectores circulares no lindantes


viviendas en porcentaje, según su tipo.

Tipo de variable:

Porcentaje de viviendas: Cuantitativa continua.

22%

72%

6%

Casa Departamento Otros

22%

72%

6%

Casa Departamento Otros


20 | P á g i n a

Los gráficos circulares son muy adecuados para mostrar la relación entre va-

riables dicotómicas y, como hemos visto, también las relaciones entre variables

policotómicas. Sin embargo, cuando se trata de variables policotómicas, tiene

el inconveniente de no mostrar con claridad los sectores circulares pequeños ya

que o bien los porcentajes deben ser extraídos del sector circular o deben ser

escritos con tipografía muy pequeña. Es por eso que se recomienda su uso para

variables policotómicas con pocos sectores.

La figura III.2, nos muestra un gráficos circular no aconsejable ya que más que

un gráfico con valores parece una tabla decorada.

La función del gráfico que consiste en que su visualización deber ser rápida,

clara y sencilla, aquí no se cumple.

Figura III.2. Gráfico circular con mala presentación

Extracción de sectores

Supongamos que a la tabla III.1 la desagregamos aun más, tal como se muestra

en la tabla III.3

Continúa ...


21 | P á g i n a

“Ya divisan con las luces, desde las altas almenas

los castillo y leones y barras aragonesas”

Fuenteovejuna (Acto segundo)14

.

UNIDAD IV

GRÁFICO DE BARRAS Y GRÁFICO DE PUNTOS

GRÁFICO DE BARRAS PARA DATOS UNIVARIADOS

El llamado gráfico de barras, también conocido como gráfico de columnas, es

exclusivo para variables cualitativas nominales y ordinales y dentro de estas

últimas, muy especialmente las temporales. Como excepción, el gráfico de

barras también puede utilizarse para graficar variables cuantitativas discretas

cuando el recorrido o rango de la variable es pequeño. Esto es así por cuanto si

el rango de la variable fuera muy grande, por una cuestión de escala su visuali-

zación no sería óptima.

El primer gráfico de barras que se utilizó fue el de barras verticales y su intro-

ducción se debe a William Playfair en el año 1786. Sin embargo debemos tener

presente que toda variable cualitativa puede ser representada tanto por barras

verticales cuanto por barras horizontales. Cuando los nombres o categorías son

extensos, es preferible utilizar un diagrama de barras horizontales pues permite

una mejor visualización de los mismos y una mejor disposición del gráfico.

Si bien, desde un comienzo, este gráfico de llamó ―de columnas‖ o ―de barras‖

por su forma de columnas rectangulares, actualmente la tecnología gráfica nos

permite construir estos gráficos sustituyendo las barras por cuanta figura ge-

ométrica bidimensional o tridimensional se nos ocurra (triángulos, pirámides,

14

Fuente Ovejuna (1619) es una obra de teatro barroco, de Lope de Vega, en la que el pueblo

se levanta contra la injusticia y los abusos de poder. Según el crítico literario Menéndez Pela-

yo, "no hay obra más democrática en todo el teatro castellano".

Fuente: http://literatura.about.com/od/Títulosenordenalfabetico/p/Fuente-Ovejuna.htm

Veremos en esta unidad el llamado gráfico de barras o de columnas. Aun-

que su verdadero nombre es gráfico de rectángulos, por referencia a la

figura geométrica utilizada para la graficación, la denominación popular

se ha generalizado tanto, que la seguiremos utilizando.

Los gráficos de barras son una buena solución para representar una o va-

rias categorías de datos, sobre todo si estas incluyen subcategorías ya que

permiten expresar de forma visual la diferencia entre los puntos de datos de

cada una de las categorías.


22 | P á g i n a

conos, etc.). Sin embargo, sea cual fuese la figura que se utilice, el diagrama

sigue llamándose de columnas o de barras, en consideración a su origen aunque

debemos reconocer que el diagrama de barras o de columnas rectangulares

sigue siendo el más utilizado. Los gráficos de barras individuales, se utilizan

para el análisis de cada una de las variables analizadas por separado, es decir,

el análisis está basado en una sola variable por vez.

El análisis bivariado diseña tablas con tabulaciones cruzadas, es decir, las cate-

gorías de una variable se cruzan con las categorías de una segunda variable. A

estas tablas se les conoce como tablas de contingencia. Para graficar estas si-

tuaciones se utilizan tanto gráficos de barras adyacentes como de barras super-

puestas.

GRÁFICO DE BARRAS INDIVIDUALES


para representar:

Atributos de variables cualitativas nominales y ordi-

nales con datos univariados.

Como excepción, también variables cuantitativas

discretas con datos univariados.

Aunque en muchos gráficos los ejes no se muestran, este tipo de gráfico se

construye sobre un sistema de ejes cartesianos. Cuando el gráfico es de barras o

columnas verticales, el eje de las X es el eje de conceptos. Cuando el gráfico es

de barras horizontales, el eje de conceptos pasa a ser el eje Y.

En este tipo de gráfico, a cada categoría le corresponde una única barra donde

la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia o cantidad de elementos

que pertenecen a cada categoría en particular.

Algunas reglas y convenciones para las gráficas de barra

La separación entre barras es convencional, no sigue ninguna regla en

particular. Sin embargo se debe respetar que la separación sea unifor-

me, es decir que siempre sea la misma con el fin de no afectar la visual

del gráfico. En lo posible el ancho de la barra o columna puede coinci-

dir con el ancho de la separación. En el caso de la graficación de una

gran cantidad de barras, este criterio puede dejar de ser respetado, ex-

cepto la condición de respetar la uniformidad de la separación.

La altura de cada barra deben ser proporcional a la frecuencia absoluta

o relativa o porcentaje de cada atributo graficado.

No muestran frecuencias acumuladas ya que las variables cualitativas

no pueden adicionarse. No se pueden sumar peras con manzanas.


23 | P á g i n a

La columna (o barra) con mayor altura representa la mayor frecuencia.

La sumatoria de las alturas de las columnas, cuando se miden porcen-

tualmente, equivalen al 100% de los datos y cuando se miden en térmi-

no de frecuencia relativa equivalen a la unidad. Cuando se mide en

términos de frecuencia absoluta equivalen a N, donde N = Fi .

En la representación de variables categóricas, se aconseja que las varia-

bles se agrupen en orden ascendente o descendente con respecto a la

magnitud medida con el fin de que el lector pueda advertir rápida y

fácilmente que categoría tiene una mayor presencia o importancia cuan-

titativa y su graduación.

GRÁFICOS DE BARRAS PARA VARIABLES CUALITATIVAS

a) Cualitativas nominales

En este tipo de gráficos en general se representa en el eje de las abscisas las

distintas categorías de la variable nominal y en el eje de las ordenadas su fre-

cuencia absoluta o relativa. El gráfico IV.1, muestra un gráfico de barras verti-

cales referido a las disponibilidades de diversos artículos, discriminados por

categorías o rubros, en un minimercado. Como ya hemos explicado, los gráfi-

cos de barras permiten representar la frecuencia en cada uno de los niveles de

las variables de interés. Particularmente, la altura de cada barra es proporcional

a la frecuencia o cantidad de elementos que pertenecen a la categoría en parti-

cular.

Gráfico IV.1.

Escenario graficado: Frecuencia de

productos en un minimercado.

Tipo de variables:

Frecuencia: cuantitativa discreta. Tipo de productos: Cualitativa nominal.

23.000

87.000

16.000

38.000

0

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Limpieza Consumo Tocador Bebidas

F: Frecuencia


24 | P á g i n a

Estos gráficos de barras también pueden ser horizontales. El gráfico IV.2

muestra la misma distribución anterior.

Gráfico IV.2.

Escenario graficado: Frecuencia de

productos en un minimercado.

Tipo de variables:

Frecuencia: cuantitativa discreta. Tipo de productos: Cualitativa nominal.

b) Cualitativa ordinal

Para analizar el gráfico de barras aplicado a una variable cualitativa ordinal

veamos el ejemplo de la tabla IV.1, que nos muestra la opinión de un grupo de

consumidores acerca de un nuevo producto snack.

Una variable cuasi-cuantitativa o variable cualitativa ordinal presenta modali-

dades no numéricas, en las que existe un orden. Esto quiere decir que la varia-

ble permite una cierta ordenación aunque tal ordenación no es cuantitativa.

El diagrama de barras correspondiente se muestra en el gráfico IV.3

Tabla IV.1

Graduación Cantidad de consumidores

Nada satisfactorio 10

Poco satisfactorio 35

Bastante satisfactorio 88

Muy satisfactorio 80

No lo ha probado 3

23.000

87.000

16.000

38.000

0 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000

Limpieza

Consumo

Tocador

Bebidas

F: Frecuencia


25 | P á g i n a

Gráfico IV.3

Escenario graficado: Canti-dad de consumidores según

grado de satisfacción.

Tipo de variables: Cantidad de consumidores: Cuantitativa discreta.

Grado de satisfacción: Cualitativa ordinal.

En ocasiones, en el gráfico de barras para variables ordinales, la barra referida

a aquellos consumidores que carecen de opinión por no haber probado el pro-

ducto puede tener un valor despreciable. En estas condiciones a estos pocos

valores, se los considera como ―valores perdidos‖ (missing values) y a la barra

correspondiente a ellos no se la grafica. El gráfico IV.4, muestra lo aquí expli-

cado.

Gráfico IV.4

Continúa ...

0

20

40

60

80

100

Cantidad de consumidores

0 20 40 60 80 100

Nada satisfactorio

Poco satisfactorio

Bastante satisfactorio

Muy satisfactorio

Cantidad de consumidores


26 | P á g i n a

Un hombre puede combatir una afirmación con un razonamiento;

pero una sana intolerancia es el único modo con

que un hombre puede combatir una tendencia.

Gilbert Keith Chesterton15

UNIDAD V

GRÁFICO DE LÍNEAS Y DE ÁREAS

GRÁFICOS DE LÍNEA O DE TENDENCIA

Estos gráficos se utili-

zan para representar:

Algunos atributos de variables cualitativas nomina-

les y variables cuantitativas, discretas o continuas.

Los gráficos de líneas muestran una serie como un conjunto de puntos conecta-

dos mediante una línea, de allí su nombre. Cada valor aparece representado por

un punto que es la intersección entre los datos del eje horizontal y los del eje

vertical. Las etiquetas de las categorías (conceptos) se presentan en el eje X y

sus valores en el eje Y.

Estos tipos de gráficos son útiles para mostrar las tendencias de las series -de

allí también su nombre- de datos en un determinado período de tiempo.

Los gráficos de líneas en realidad son gráficos de puntos. Lo que sucede es que

generalmente los puntos luego se unen entre sí para facilitar la visualización

del comportamiento del indicador.

Estos gráficos se emplean cuando es necesario representar el comportamiento o

las tendencias de una serie de datos.

En general, por comportamiento -de comportar16

- se entienden los aspectos

psicológicos, genéticos, culturales, sociológicos y económicos de una pobla-

ción o muestra.

Por tendencia entendemos la dirección o rumbo de algo, como por ejemplo un

15

Gilbert Keith Chesterton; Campden Hill, 1874 - Londres, 1936. Crítico, novelista y poeta

inglés, cuya obra de ficción lo califica entre los narradores más brillantes e ingeniosos de la

literatura de su lengua. Fuente: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/chesterton.htm 16 Comportar. Implicar; conllevar; llevar algo juntamente con otra persona. RAE

Los gráficos de línea muestran tendencias y por ende presentan la mayor

similitud con la Estadística cuya misión no es mostrar la realidad sino las

tendencias hacia la realidad. Y en esta sutil particularidad radica la grande-

za de esta ciencia pues puede predecir el futuro cuando conoce muy bien el

pasado.


27 | P á g i n a

mercado, clima, crecimiento, tratamiento, proceso, etc.

Tipos de gráficos de línea

a) Gráfico de comportamiento. Estos gráficos muestran, por ejemplo, los

valores de ciertas categorías físicas o sociales y están ligados a la graficación

de variables cualitativas nominales u ordinales

Supongamos que de los resultados de una encuesta podemos identificar algu-

nos comportamientos de los encuestados.

Esto dará lugar a un gráfico de línea donde el eje conceptual contendrá una

variable cualitativa nominal. El gráfico V.1 muestra los diferentes tipos de

adicción hacia las drogas de los integrantes de una muestra de personas en tra-

tamiento de recuperación de su adicción

Gráfico V.1. Tipos de adicción


pacientes según tipo de adicción

Tipo de variable:

Tipo de adicción: Cualitativa nominal

Cantidad de pacientes: Cuantitativa discreta

b) Gráficos de tendencia. Este gráfico permite ilustrar tendencias de datos o

indicadores. Generalmente se representan series temporales donde la variable

graficada es una variable continua discreta.

El gráfico V.2, nos muestra la tendencia respecto a los autos cero kilómetros

patentados en Argentina durante los primeros meses del año 2013. De su ob-

0

10

20

30

40

50

60

70

Año 2013

Cantidad de pacientes


28 | P á g i n a

servación surge que hay un incremento en los primeros cuatro meses seguido

de un amesetamiento. Gráfico V.2

Fuente: http://autoblog.com.ar/tag/ventas-de-autos/

Escenario graficado: Serie cronológica del patentamiento

de automóviles 0km.

Tipo de variables: Cantidad de automóviles: Cuantitativa discreta

Tiempo: VCCD en meses

c) Gráfico de línea suavizado. Un gráfico de líneas suavizado, compensa dife-

rencias y muestra el diagrama como una línea curva continua. El gráfico V.3,

nos muestra un gráfico de línea suavizado.

Gráfico V.3. Efecto de suavización de un gráfico de línea.

Fuente: https://apesoft.zendesk.com/entries/20531952-Excel-Suavizar-una-gr%C3%A1fica-de-

tipo-l%C3%ADnea

0

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

feb

rero

mar

zo

abri

l

may

o

jun

io

julio

ago

sto

mile

s d

e au

tom

óvi

les

febrero - agosto 2013

Cantidad de automoviles 0 Km. Patentados

https://apesoft.zendesk.com/entries/20531952-Excel-Suavizar-una-gr%C3%A1fica-de-tipo-l%C3%ADnea

https://apesoft.zendesk.com/entries/20531952-Excel-Suavizar-una-gr%C3%A1fica-de-tipo-l%C3%ADnea


29 | P á g i n a

Estos gráficos de puntos o de líneas, son muy utilizados en el ámbito financiero.

Por ejemplo, el gráfico V.4, muestra el precio de cierre de un título cualquiera en

el mercado de valores durante un plazo que va del 10 de mayo al 24 de junio del

año 2000. Gráfico V.4. Precios accionarios de cierre

Fuente:http://www.abanfin.com/?tit=guia-de-analisis-de-lineas-de-tendencia-de-cotizaciones-

tipos-de-gráficos&name=Manuales&fid=gg0bcaf

Escenario graficado: Precio de cierre

de una acción

Tipo de variables: Tiempo: VCCD en quincenas.

Precio de la acción: cuantitativa continua17

El gráfico V.5, nos muestra la línea de unión quebrada entre los precios de cierre

de una acción en el mercado de valores durante un determinado período de tiem-

po. Por ejemplo, un gráfico lineal de M15 (15 minutos) mostrará una línea que

une los precios finales cada 15 minutos.

17 N. del A. En teoría sería una variable cuantitativa continua. Sin embargo, el sistema moneta-

rio al poseer una cantidad determinada de billetes y monedas, la convierte en discreta.


30 | P á g i n a

Gráfico V.5

Escenario graficado: Precio de cierre

de una acción

Tipo de variable:

Precio de cierre: cuantitativa continua

Tiempo: VCCD en días y horas.

d) Gráfico de línea múltiple

En este tipo de gráfico se establece la comparación de dos o más variables me-

diante líneas. Estos gráficos se emplean cuando es necesario representar las

tendencias o relaciones entre dos o más series de datos. En este caso, en el

gráfico V.6, lo que se grafica es la producción de biocombustible en distintos

países.

Gráfico V.6

Continúa ...


31 | P á g i n a

El banquero es un señor que nos presta el paraguas cuando hace sol

y nos lo exige cuando empieza a llover.

Mark Twain18

UNIDAD VI

GRÁFICO5 DE SERIES TEMPORALES DE DOBLE ENTRADA

SERIES TEMPORALES

Se denominan series de tiempo, series temporales o series cronológicas, a un

conjunto de mediciones secuenciales en el tiempo de cierto fenómeno o expe-

rimento y, en lo posible uniformemente espaciadas o equiespaciadas. En los

gráficos de series temporales, la variable tiempo siempre va en la abscisa. Si

bien la variable tiempo es una variable cuantitativa continua, en las series tem-

porales generalmente la vemos discretizada en forma de una serie temporal

estratificada en término de días, meses, trimestres, años, etc. A esta variable la

denominaremos como ―Variable Cuantitativa Continua Discretizada en…

(años, meses, días, etc.)‖. La denominaremos por su acrónico: ―VCCD en…‖

El primer paso para analizar con facilidad una serie cronológica es graficarla,

ya que este procedimiento permite identificar la tendencia del fenómeno estu-

diado, estudiar la estacionalidad y analizar las variaciones irregulares, es decir

los componentes aleatorios.

Uno de los usos más habituales de las series de datos temporales es su análisis

para predicción y pronóstico, tal como ocurre con los datos climáticos, los da-

18 Samuel Langhorne Clemens, conocido por el seudónimo de Mark Twain (Florida, Misuri, 1835 – Redding, Connecticut, 1910), fue un popular escritor, orador y humorista estadouniden-

se. Escribió obras de gran éxito como El príncipe y el mendigo o Un yanqui en la corte del Rey

Arturo, pero es conocido sobre todo por su novela ―Las aventuras de Tom Sawyer‖ y su secue-

la ―Las aventuras de Huckleberry Finn‖.

Los estudios estadísticos que se enfocan en el análisis de una sola variable

se llaman unidimensionales. Sin embargo, en algunas situaciones reales

es habitual que se tenga que investigar la combinación de dos variables

estadísticas, en lo que se conoce por distribución bidimensional y que tu-

bularmente se presenta como tablas de contingencia. En este caso, se utili-

zan presentaciones de los datos en tablas de doble entrada, con gráficas

que muestran ambas variables. Estas series llamadas temporales se usan

para estudiar la relación causal entre diversas variables que cambian con

el tiempo y se influyen entre sí.


32 | P á g i n a

tos bursátiles, los datos demográficos, los datos de clínica médica, los de ma-

croeconomía, los medioambientales, etc.

La figura VI.1, muestra la representación del PBI anual español (en miles de

millones de euros de 1995). Se trata de una serie cronológica de periodo anual

desde 1980 hasta 2005

Figura VI.1

Fuente: http://www.eco.uva.es/estadmed/datos/series/series.htm

La figura VI.2, nos muestra el consumo energético de España en Mtep19

, donde

se puede observar que desde la crisis del petróleo de 19790, el consumo se ha

triplicado.

Figura VI.2

Fuente: http://www.nuclenor.org/aula/222_07/capitulo15.htm

SERIES TEMPORALES BIVARIADAS


para representar:

Dos variables cuantitativas discretas o continuas, en

forma de series temporales.

Muchas veces tenemos la necesidad de mostrar dos variables que difieren en su

19Mtep: Acrónimo de Millón de toneladas equivalentes de petróleo. Fuente:

http://www.hipernova.cl/Notas/Energias-renovables-insuficiencia.html


33 | P á g i n a

concepto y en su escala. Si bien esto puede resolverse por medio de los gráfi-

cos de barras adyacentes o superpuestas, como hemos visto en la unidad ante-

rior, otra manera de hacerlo es utilizando un gráfico donde cada variable se lee

en un eje de ordenadas distinto. Obviamente, esto sirve solo para análisis es-

tadísticos bivariados.

Para ello nos vemos en la necesidad de combinar dos tipos de gráficos, uno

para cada variable. En general se utiliza el gráfico de barras o el de líneas aun-

que, de acuerdo a la capacidad y experiencia profesional del diagramador, se

pueden combinar muchos tipos de gráficos.

Para que este diagrama no cree complicaciones, a contracara de la sencillez que

trata de aportar, es imprescindible que el gráfico cuente con leyendas que nos

indiquen que tipo de graficación representa a cada variable.

Algunas de las áreas del conocimiento donde más se utilizan estos gráficos es

la meteorología, donde se efectúan gráficos para distintas localidades donde se

combinan de a dos, diversas variables climatológicas como la presión atmosfé-

rica, la temperatura diaria, el nivel de lluvias, etc. Estos gráficos se denominan

climogramas o climodiagramas.

En medicina pediátrica, por ejemplo, se utilizan gráficos de este tipo en forma

de diagramas de crecimiento y en las ciencias económicas, también son muy

utilizados.Los primeros climogramas representaban la relación entre las tempe-

raturas y las precipitaciones aunque, obviamente, cualquier par de variables

climáticas pueden ser analizadas, tabuladas y por ende graficadas. El climo-

grama que relaciona la temperatura con las precipitaciones, a través del tiempo,

se denomina diagrama ombrotérmico y se muestra en la figura VI.3.

Figura VI.3

El gráfico VI.1 nos muestra un climograma que combina un diagrama de barras

para las precipitaciones y otro de líneas, con marcadores, para la temperatura.

Por su parte el gráfico VI.2, nos muestra otro climograma en el que se combina


34 | P á g i n a

un diagrama de barras para las precipitaciones, con tres diagramas de línea,

para la temperatura. Gráfico VI.1

Fuente: http://iessonferrerdgh1e07.blogspot.com.ar/2012/11/ud-6-climas-y-paisajes-de-la-

tierra.html

Escenario graficado: Series

temporales de temperatura

y precipitaciones.

Tipos de variables:

Tiempo: VCCD en meses.

Nivel de precipitaciones y temperaturas: ambas cuantitativas

continuas.

Gráfico VI.2

Fuente: http://html.rincondelvago.com/geografia-de-cordoba-argentina.html

Escenario graficado:

Series temporales de

temperatura y preci-

pitaciones.

Tipos de variables:

Tiempo: VCCD en meses.

Nivel de precipitaciones y temperaturas: ambas cuantitati-

vas continuas.

http://html.rincondelvago.com/geografia-de-cordoba-argentina.html


35 | P á g i n a

El gráfico VI.3, es muy similar al VI.1, pero lleva una tabla anexada.

Gráfico VI.3

Fuente: https://sites.google.com/site/jjacedo1/home/climas/templados

Escenario graficado: Series temporales de

temperatura y preci-

pitaciones.

Tipos de variables: Tiempo: VCCD en meses.

Nivel de precipitaciones y temperaturas: ambas cuantitati-

vas continuas.

Los gráficos VI.4 y VI.5, nos muestran como el ingenio del diagramador nos

puede hacer prescindir de las leyendas para mostrarlas en forma pictórica.

Continúa ...


36 | P á g i n a

Eight days a week. The Beatles

UNIDAD VII

PICTOGRAMAS

ORIGEN DE LOS PICTOGRAMAS

Un pictograma no es más que la

representación esquemática de una

realidad social, en un determinado

momento a partir de símbolos, obje-

tos o figuras.

Para cumplir cabalmente con su

cometido, se debe poder interpretar

con sólo unas pocas miradas por lo

que se le deben suprimir todos aque-

llos detalles que resulten superfluos

a la idea que se desea transmitir.

El hombre de la prehistoria sintió la

necesidad de registrar las cosas que le interesaban mediante dibujos pintados

El pictograma es un dibujo que representa un objeto de manera simplifica-

da y que permite transmitir, de este modo, una información real de una

manera muy eficiente. Los pictogramas son independientes de cualquier

lengua en particular porque no representan palabras sino realidades a

través de dibujos.

La pictografía es, sin duda, una de las primeras etapas por la que pasa el

desarrollo de la escritura en la historia de la cultura. En todas las culturas,

mucho antes de que se llegara a fijar el lenguaje por escrito, se logró

transmitir informaciones mediante dibujos que representaban objetos del

entorno de cada sociedad ancestral.

La simplicidad de la pictografía está, precisamente, en su robustez. Por eso

ha llegado hasta nuestros días y está más en firme que nunca.

Veremos en esta unidad, cómo se confeccionan, en la actualidad, tales

gráficos.


37 | P á g i n a

sobre las paredes de las cuevas y cavernas donde vivían.

Las primeras pinturas rupestres no eran aun consideradas escrituras. Sin em-

bargo, los primeros símbolos de escritura, desarrollados hace unos 50 siglos

atrás, se fundamentaban en pictogramas. Con el avance de la civilización, con

la invención de la escritura y la moneda, el hombre comenzó a registrar sus

operaciones comerciales y para ellos utilizó tablas donde los datos eran dibuja-

dos y expresados numéricamente.

De alguna manera, se podría decir que los pictogramas vendrían a ser las pri-

meras manifestaciones de la Estadística antigua. El pictograma que ilustra este

acápite, es la fotografía de una tablilla escrita en cuneiforme que registra las

raciones diarias de cerveza20

que se entregaban a los trabajadores. Su antigüe-

dad se estima entre 3300-3000 a. C. Esta pieza se encuentra exhibida en el Bri-

tish Museum.

LOS PICTOGRAMAS EN ESTADÍSTICA

Graficación de variables con datos univariados


para representar:

Atributos de variables cualitativas nominales y va-

riables cuantitativas discretas con datos univariados.

Este tipo de presentación de los datos estadísticos tiene su principal aplicación

en la representación gráfica de series cronológicas y de variables cualitativas y

consiste en representar los mismos con dibujos alusivos a la realidad que se

desea mostrar.

En ocasiones, el pictograma tiene una forma parecida al diagrama de barras.

Sin embargo no siempre es así.

Si, por ejemplo, queremos representar, mediante un pictograma el padrón mu-

nicipal de habitantes de las 8 provincias de la comunidad española de Andaluc-

ía, podemos hacer una representación gráfica mediante imágenes alusivas, que

no es más que la figura de una persona cuyo tamaño estará relacionado con la

cantidad de habitantes de cada provincia. Este pictograma está representado en

el Gráfico VII.1.

20

Es en Mesopotamia donde la producción y el consumo de cerveza comienzan a generalizar-

se. Tablillas de hace 4.000 años antes de Cristo, encontradas en lo que hoy es Irak, hacen refe-

rencia a una bebida obtenida por la fermentación de granos de cereal a la que llamaban "sika-ru". Fuente:

http://www.eldia.com.ar/blog6/pt/blog/default.aspx?dtf=20120101000000&dtt=201201312359

59


38 | P á g i n a

Gráfico VII.1. Cantidad de habitantes de las 8 provincias de Andalucía

Fuente: http://www.ematematicas.net/graficas_estadistica.php?tipo=picto

Escenario graficado: Canti-dad de habitantes de Anda-

lucía, según provincias.

Tipo de variables Provincias de Andalucía: Cualitativa nominal.

Cantidad de habitantes: Cuantitativa discreta.

Si con los mismos datos elaboramos un gráfico de barras, éste se vería como

muestra el Gráfico VII.2.

Escenario graficado: Canti-

dad de habitantes de Anda-

lucía, según provincias.

Tipo de variables

Provincias de Andalucía: Cualitativa nominal.

Cantidad de habitantes: Cuantitativa discreta.

Vemos, entonces, que salvo el reemplazo de la barra por la figura de la perso-

612.315

1.180.817

784.376 860.898

483.792660.284

1.453.409

1.813.908

Almería Cádiz Córdoba Granada Huelva Jaén Málaga Sevilla

Gráfico V.2. Cantidad de habitantes de las 8 provincias de Andalucía

Cantidad de habitantes


39 | P á g i n a

na, ambos gráficos son idénticos.

Algo similar sucede con las series temporales. Si representamos pictóricamente

el crecimiento de la población de España en el último siglo, hasta el presente,

esta adoptaría la forma que se ve en el gráfico VII.3

Gráfico VII.3. Evolución de la población española (1900-2010).

Fuente: http://www.onepoint.es/matematicas_2/ud3/2_8.html


dad histórica de habitantes, por décadas.

Tipo de variables:

Tiempo, en décadas: Cuantitativa discreta Población: Cuantitativa discreta

Lo mismo sucedería si representáramos la evolución de la cantidad de hectáre-

as sembradas con maíz en un determinado país, que podemos visualizar en el

gráfico VII.4. Gráfico VII.4. Evolución de las hectáreas sembradas con maíz.

Fuente:

http://web.educastur.princast.es/ies/arzobisp/Alumnos/MATEMATICAS/ESTAD%C3%8DST

ICA/Diagramas.htm


dad histórica de terreno sem-

brado con maíz, por años.

Tipo de variables:

Tiempo, en años: Cuantitativa discreta

Área cultivada en hectáreas: Cuantitativa discreta

Vemos, que todos estos pictogramas no difieren, en esencia, con un gráfico de

http://www.onepoint.es/matematicas_2/ud3/2_8.html

http://web.educastur.princast.es/ies/arzobisp/Alumnos/MATEMATICAS/ESTAD%C3%8DSTICA/Diagramas.htm

http://web.educastur.princast.es/ies/arzobisp/Alumnos/MATEMATICAS/ESTAD%C3%8DSTICA/Diagramas.htm


40 | P á g i n a

barras.

Se preguntará el lector, entonces, ¿y para que dedicar una unidad a los picto-

gramas? Lo que sucede es que son muy utilizados con fines didácticos y co-

merciales y, además, porque existen dos tipos de pictogramas, que son:

1. Pictograma de conteo: Aquí se utiliza un dibujo que representa la varia-

ble categórica a graficar y este dibujo se repite tantas veces como indi-

que su frecuencia. Este tipo de pictograma requiere de una clave o le-

yenda que nos indique la cantidad de elementos que representa cada fi-

gura.

2. Pictograma símil barra: Aquí, el dibujo utilizado varía de tamaño, si-

guiendo una escala. El escalamiento de los dibujos debe ser tal que el

área de cada uno de ellos sea proporcional a la frecuencia de cada valor

de la variable categórica representada.

En los pictogramas de conteo, cada variable categoría debe ser contada. Es

similar a un diagrama de barras horizontal o vertical pero no hay una única

figura para cada categoría como sucedía con los pictogramas símil barra, sino

que cada categoría está representada por la suma de varias figuras representati-

vas de cada categoría. Esto puede observarse en el gráfico VII.5

Gráfico VII.5: comparación de la masa de otros planetas con respecto a la masa de la

Tierra.

Continúa ...

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/footnode.htm#foot1190


41 | P á g i n a

Una imagen vale más que mil palabras

Anónimo

UNIDAD VIII

CARTOGRAMAS Y MAPAS TEMÁTICOS

LOS CARTOGRAMAS Y LA CARTA COROPLETA

La carta coropleta es un tipo muy usual de carta estadística. Se trata de una

representación de cantidades (del griego plethos) relativas a espacios o áreas

geográficas (del griego khorê), por medio de una escala de tonos graduados. El

procedimiento fue imaginado a comienzos del siglo XIX, por el francés Char-

les Dupin (1784-1873). Este politécnico, autor de obras de Economía Política y

Estadística Social, presentó la primera carta coropleta en 1826, durante una

lección dictada en el Conservatorio de Artes y Oficios.

Esta carta es publicada al año siguiente en el tratado ―Fuerzas productivas y

comerciales de Francia‖. Dupin ilustra en su carta el tema de la educación pri-

maria, que testimonia, según él, un contraste de desarrollo entre Francia del

norte y Francia del sur, a uno y otro lado de una línea San Maló-Ginebra. Los

departamentos, en la carta figurativa de la instrucción popular, aparecen cada

vez más sombríos mientras menos niños se envían a las escuelas.

El origen del procedimiento se basa, entonces, en una concepción metafórica

de la instrucción: los departamentos más instruidos están como aclarados por la

Y proseguimos en esta unidad con un tipo de gráficos, no tan antiguos como

las pictografías, pero que encierran algo en común: la prevalencia del dibu-

jo.

En los cartogramas o mapas estadísticos se asocian la Cartografía y la Es-

tadística para que de una manera sencilla y amable se pueda brindar infor-

mación a la gente. El objetivo principal de un cartograma es ilustrar de

forma impactante una distribución temática sobre un territorio, teniendo en

cuenta que la superficie de las unidades territoriales adquiere ahora un ta-

maño proporcional al valor de la variable representada. La distorsión y la

pérdida de las relaciones espaciales es, quizás, una de las principales carac-

terísticas de un cartograma.

Imaginemos un mapa donde se representa cada provincia de un país en base

a su superficie. Pero si en vez de graficar la superficie, queremos graficar el

analfabetismo, las relaciones espaciales se distorsiona por haberse cambia-

do la unidad de medida. De ahí la distorsión, siempre presente en los carto-

gramas estadísticos.


42 | P á g i n a

luz del conocimiento, mientras que en las

partes sombrías de la carta reinan las ti-

nieblas de la ignorancia. Dupin no señala

todavía su carta como una "carta en colo-

res".

Mucho más tarde, en un documento de

1938, el geógrafo estadounidense John

Wright propone el adjetivo "coropleta"

para distinguir a este tipo de cartas. La

carta coropleta tiene una difusión rápida

en círculos estadísticos, luego, a partir de

1850 entre los geógrafos, especialmente

en Alemania y en Francia.

El método se difundió luego a fines del

siglo XIX cuando se encuentran cartas en

la prensa o en publicaciones escolares.

Algunas son presentadas durante los de-

bates parlamentarios (sobre la mortalidad,

el alcoholismo, etc.) o en ocasión de las exposiciones universales.

La carta coropleta plantea un problema matemático y gráfico a la vez. Su reali-

zación reposa primero sobre la elección de un método de discretización, es

decir, de división de la serie estadística, la cual se desea cartografiar en clases o

intervalos. Es necesario, además, determinar el número de clases retenidas para

la representación, que corresponde al número de clases visuales a representar.

Estas cuestiones fueron objeto de profundos debates teóricos.

Los estadísticos las abordaron por primera vez en ocasión de sus reuniones

internacionales, entre los años 1860 y 1900. Como su proyecto general era es-

tandarizar los métodos gráficos, algunos preconizan un método único de dis-

cretización y un número fijo de intervalos numéricos.

Otros piensan que no puede promulgarse una regla demasiado estricta. Al

término de los debates, durante el Congreso Internacional de Estadística de San

Petersburgo, en 1872, y después nuevamente, durante una reunión del Instituto

Internacional de Estadística en 1901, se desecha el proyecto de estandarización.

El modo de realización de las cartas coropletas queda librado entonces a la

apreciación de cada uno.

Fuente: http://www.hypergeo.eu/spip.php?article373

La figura VIII.1, nos muestra la carta coropleta de Dupin acerca de la situación

de la educación en Francia y data del año 1826.


43 | P á g i n a

Figura VIII.1

Fuente: http://indiemaps.com/blog/2009/11/the-first-thematic-maps/

LA CARTOGRAFÍA SIGUE SU CURSO

En el siglo XIX se disponía de un volumen importante de datos estadísticos al

servicio de la cartografía, referentes no sólo a la población, sino también a la

educación, la delincuencia, las enfermedades y otros fenómenos. Henry Drury

Harness, que trabajaba para la Comisión de los Ferrocarriles Irlandeses, fue un

precursor en este campo y publicó en 1837 una serie de mapas temáti-

cos sumamente originales en los que utilizaba varias técnicas cuantitativas pa-

ra indicar la densidad de población y la circulación del tráfico, dando naci-

miento a lo que hoy conocemos como mapas de flujos.

Uno de esos mapas de flujo, se muestra en la figura VIII.2.

http://indiemaps.com/blog/2009/11/the-first-thematic-maps/


44 | P á g i n a

Figura VIII.2

Fuente: http://indiemaps.com/blog/2009/11/the-first-thematic-maps/

CARTOGRAMAS


para representar:

Algunos atributos de variables cualitativas nomina-

les y variables cuantitativas discretas

Un cartograma es un mapa o diagrama que muestra datos asociados a las res-

pectivas áreas, mediante la modificación de los tamaños de las unidades de

enumeración. La información es aportada mediante la distorsión de las superfi-

cies reales, utilizando cada superficie de enumeración como un símbolo pro-


45 | P á g i n a

porcional, el cual aumenta o disminuye en función de los valores correspon-

dientes.

Se puede decir, entonces, que el cartograma es un mapa no convencional de

―espacios territoriales‖ que produce un enérgico impacto visual, aunque distor-

sionado de la realidad, pues el tamaño y forma de los territorios es muy dife-

rente al real.

Lo expresado queda claramente reflejado en el gráfico VIII.1, que muestra dos

cartogramas que representan la densidad demográfica21

de la Argentina y Chi-

le.

Gráfico VIII.1. Cartogramas de Argentina y Chile

Fuente: http://www.erroreshistoricos.com/curiosidades-historicas/lugares/1526-densidad-

demografica.html

Continúa ...

21 Densidad demográfica: Relación entre la población de un país y su superficie. Se expresa en

abitantes por kilómetro cuadrado. Fuente:

http://enciclopedia.us.es/index.php/Densidad_demogr%C3%A1fica


46 | P á g i n a

Si los triángulos hicieran un dios, lo idearían con tres lados.

Montesquieu22

UNIDAD IX

DEL GRÁFICO BINARIO AL TERNARIO

GRÁFICO BINARIO

El gráfico binario es la herramienta que utilizamos para construir un gráfico

ternario. Los diagramas binarios son la representación gráfica de las posibles

combinaciones porcentuales entre dos variables que, obviamente, son comple-

mentarias a 100. De tal manera, la suma de ambas variables siempre da el

100%. Se trata de variables dicotómicas23

El Gráfico IX.1, nos muestra un gráfico binario entre las variables dicotómicas

A y B.

Gráfico IX.1. Gráfico binario

Vemos, que cuando la variable A tiene un valor del 0%, la variable B adopta

22 Montesquieu. 1689-1755. Charles-Louis de Secondat. Escritor y político francés uno de los

representantes más destacados del pensamiento de la Ilustración. 23 Ver Unidad II

Que el hombre siempre supo sobreponerse a las adversidades, como decía

el célebre Discepolín en su tango Cambalache, “…ya no hay quien lo nie-

gue” ya que esta es una realidad que, de alguna manera, queda demostra-

da por nuestra existencia como especie en este mundo.

Que el hombre es un ser inteligente puede demostrase de muchas maneras.

Graficar un sistema ternario como combinación de tres sistemas binarios

en un plano es una prueba de que el hombre casi siempre puede resolver

las adversidades que se le presentan.


47 | P á g i n a

un valor del 100% y viceversa. Por ejemplo en el punto X, A tiene un valor del

40% y B un valor del 60% y la suma de ambos es del 100%.

Supongamos que en una muestra se ha arrojado una moneda una cierta canti-

dad de veces al aire y el resultado ha sido 40 % de caras y por ende el 60% de

cecas. El valor de la variable A (caras), entonces queda representada por el

punto Y.

Si en un ensayo epidemiológico se ha encontrado un 10% de casos positivos,

ello indica que la cantidad de casos negativos fue del 90%. Entonces A=10% y

B= 90% (Punto X).

Si en otro muestreo, ha participado un 60% de mujeres, ello también indica que

ha participado un 40% de hombres. Si Mujeres es la variable A. tal valor está

representado por el punto Z. Estos ejemplos se muestran en el gráfico IX.2.

Gráfico IX.2

GRÁFICO TERNARIO

Este gráfico se utili-

za para representar:

Atributos de variables cualitativas nominales y, tam-

bién, variables cuantitativas discretas o continuas.

El gráfico o diagrama ternario, también llamado diagrama triangular, se utiliza

para representar un hecho constituido por tres componentes distintos.

Si bien el nombre de ―diagrama triangular‖ obedece a su forma, la denomina-

ción ―diagrama ternario‖ es más correcta en cuanto a la esencia del objetivo de

este diagrama.

Se emplea para expresar la importancia que, dentro de un determinado valor

global, tiene cada uno de los elementos que lo componen con la única restric-

ción es que el total de componentes sea tres. Aunque en un primer momento el

diagrama triangular fue utilizado en el campo de la física y la mineralogía, tie-

ne multitud de posibilidades de aplicación.


48 | P á g i n a

En genética de poblaciones se suele denominar diagrama de De Finetti24,

mientras que en ―teoría de juegos‖ suele recibir el nombre de diagrama sim-

plex.

El único requisito para poder diagramar triangularmente, es que el total de la

información cuya importancia se quiere destacar se distribuya en tres grupos

diferentes, y que dicha información pueda expresarse bajo forma porcentual

por lo que la suma de los tres componentes siempre será igual a 100 o en forma

de frecuencia relativa donde la suma de los tres componentes siempre será

igual a 1.

El diagrama consiste en un triángulo equilátero cuyos lados aparecen gradua-

dos mediante una escala de 0 a 100, de tal forma que si en la base el valor 0 se

sitúa a la izquierda y el 100 a la derecha, la graduación de los restantes lados

continúe en la misma dirección. Es decir, el lado derecho situaría el 0 abajo y

el 100 en el vértice superior, mientras el lado izquierdo iría aumentando su

valor desde el vértice superior al inferior. En realidad no es más que un dia-

grama baricéntrico25

en tres variables las cuales suman una constante (1 ó 100).

La forma opuesta también es válida, es decir que se puede comenzar con el 100

en la parte izquierda de la base, tal como, por ejemplo, muestra la figura IX.1,

que representa la estructura de este gráfico sobre la que se han de insertar los

valores de cada componente para cada situación en particular.

Cada uno de los lados del triángulo corresponderá a una categoría de la varia-

ble considerada, cuyo valor ha de señalarse en la correspondiente escala gra-

duada. Esta variable puede ser cualitativa nominal como casado, soltero o viu-

do, ordinal como niño, joven y adulto, cuantitativa continuas como la composi-

ción molecular expresada en, etc. El siguiente paso será llevar, a partir de cada

valor señalado en la escala, líneas paralelas a aquel lado del triángulo que que-

da a la izquierda del que se ha señalado el valor correspondiente Es decir, se

trazan líneas que formen un ángulo de 60° con el lado del triángulo donde se ha

efectuado la medición.

Puesto que las tres categorías de datos están expresadas en porcentajes y, por

24 Bruno de Finetti (Innsbruck (Austria), 13 de junio de 1906 – Roma, 20 de julio de 1985) fue

un probabilista,estadístico y actuario italiano conocido por sus concepciones "operacionalmen-

te subjetivas" de la probabilidad, que expuso en 1937. Fuente:

http://bloggerfisic.blogspot.com.ar/2013/01/principales-representantes-de-la.html 25 En geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica

plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicha superficie en dos partes de igual momento respecto a dicha recta. En física, el baricentro de un cuerpo material

coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es homogéneo (densidad unifor-

me) o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la

simetría. Fuente: www.es.wikipedia.org


49 | P á g i n a

tanto, suman 100, las tres líneas han de unirse en un solo punto en el interior

del diagrama, cuya situación indicará el peso relativo que tiene cada uno de sus

componentes. Figura IX.1

La figura IX.2, nos muestra la forma de ubicar y graficar los datos, mientras

que la figura IX.3, nos muestra un ejemplo de graficación de un dato, donde el

punto Z es función de los valores XA, XB y XC.

Z = f (XA; XB; XC)

Figura IX.2


50 | P á g i n a

Figura IX.3

El diagrama triangular también puede utilizarse para describir la evolución

temporal de un fenómeno mediante la comprobación de las distancias que se-

paran los puntos correspondientes a cada año y la dirección del desplazamien-

to, que se convierten en indicadores respectivos de la rapidez y el sentido de

los cambios acaecidos.

A manera de ejemplo, el gráfico IX.1, nos muestra el producto bruto interno

del Perú, por Departamentos, en base a sus sectores económicos más importan-

tes:

Industrias extractivas o Extracción,

Industrias de transformación o Transformación, y

Servicios.

Vemos así, que el sistema de graficación ternario no está referido únicamente a

la graficación de datos mineralógicos. También puede utilizarse para mostrar

Continúa ...


51 | P á g i n a

Cuando uno puede medir aquello de lo que está hablando y expresarlo

con números, sabe algo acerca de ello; pero cuando no puede medirlo,

cuando no puede expresarlo con números, su conocimiento es escaso e

insatisfactorio: podrá ser un principio de conocimiento, pero escasa-

mente ha avanzado su conocimiento a la etapa de una ciencia.

Lord Kelvin26

UNIDAD X

GRAFICACIÓN DE DISTRIBUCIONES

Al gráfico de una distribución de frecuencias de datos cuantitativos continuos

se lo conoce como histograma. Mediante este diagrama lo que hacemos es gra-

ficar un conjunto de datos numéricos continuos que han sido previamente

agrupados en clases.

GRAFICACIÓN DE UNA ÚNICA VARIABLE CONTINUA

De la misma manera que ocurre con las variables discretas, veremos la grafica-

ción diferencial y la integral.

GRÁFICOS DIFERENCIALES

Los gráficos diferenciales, reúnen dos tipos de gráficos:

26 William Thomson, primer barón Kelvin, (Belfast, Irlanda del Norte, 26 de junio de 1824 - †

Largs, Ayrshire, Escocia, 17 de diciembre de 1907). Fue un físico y matemático británico.

Kelvin se destacó por sus importantes trabajos en el campo de la termodinámica y la electróni-

ca gracias a sus profundos conocimientos de análisis matemático. Es uno de los científicos que más hizo por llevar a la física a su forma moderna. Es especialmente famoso por haber desarro-

llado la escala de temperatura Kelvin. Recibió el título de barón Kelvin en honor a los logros

alcanzados a lo largo de su carrera. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/William_Thomson

Y llegamos... Ahora nos toca graficar las variables continuas, aquellas que

siempre aceptan un datito más entre dos datos contiguos.

Y esta particularidad fundamental trae aparejado un cambio substancial

con respecto a los diagramas de barras. Aquellos, permitían cualquier me-

dida en la base de la barra. Los que veremos ahora están sumamente res-

tringidos por los límites reales inferiores y superiores de la distribución de

frecuencias. De aquí que, aunque de apariencia similar, los diagramas para

distribuciones de variables continuas y discretas son, conceptualmente, muy

diferentes.


52 | P á g i n a

Histogramas

Gráficos diferenciales para variables continuas

Polígonos de frecuencia

HISTOGRAMA


para representar:

Distribución de frecuencias de variables cuantitati-

vas continuas

Excepcionalmente, también, variables discretas,

cuando la cantidad de categorías es muy grande.

Un histograma, en apariencia es muy similar a un gráfico de barras pero estos

están formados por una sucesión contigua de barras o columnas mientras que el

gráfico de barras presenta separaciones entre las columnas. La adyacencia es

condición sine qua non para estos gráficos.

El histograma se construye a partir de la distribución de frecuencias de la va-

riable analizada, donde la altura de cada barra representa la frecuencia absolu-

ta, relativa o porcentual de cada clase.

En este caso, los valores de la variable no son singulares o puntuales, sino in-

tervalos. Es por ello que el grafico da lugar a barras y no a puntos.

Para poder construir el histograma es necesario que el ancho de cada clase esté

limitado por sus límites reales y nunca por los aparentes27

. El ancho de la clase

puede quedar representado por la marca de clase.

Una condición de las distribuciones de frecuencias es que el ancho de sus cla-

ses sea siempre igual. En el histograma, los anchos de las columnas, también,

deben ser todos iguales.

Hay autores que entienden que, como el área de cada columna es representativa

del tamaño de cada clase, cuando una clase tiene una frecuencia muy grande el

gráfico queda algo desproporcionado.

En esos casos proponen que el rectángulo que representa a tal clase tenga la

mitad de altura y el doble de base. Sin embargo, esto no es compatible con la

graficación pues el eje X o eje conceptual posee una escala continua que no se

puede alterar. A los fines de graficar una distribución de frecuencias, tomare-

mos como ejemplo la distribución de frecuencias de la tabla X.1. Se trata de

una distribución cualquiera estructurada solo para mostrar la graficación.

27 Un desarrollo muy completo de los dos tipos de límites de clases para una distribución de

frecuencias puede encontrarse en Alonso Alberto A. De qué hablamos cuando hablamos de

estadística. Buenos Aires. Ediciones anticipar. 2013.


53 | P á g i n a

Tabla X.1 – Distribución de frecuencias

LRI Intervalo

de clase LRS

Marca

de clase F f %

60,5 61-70 70,5 65,5 1 0,05 5

50,5 51-60 60,5 55,5 2 0,10 10

40,5 41-50 50,5 45,5 5 0,25 25

30,5 31-40 40,5 35,5 6 0,30 30

20,5 21-30 30,5 25,5 4 0,20 30

10,5 11-20 20,5 15,5 2 0,10 10

Donde: LRI es el límite real inferior y LRS es el límite real superior de cada

clase, F, es la frecuencia absoluta y f, la frecuencia relativa28

.

El gráfico X.1 es la graficación de la distribución de frecuencias de la tabla

X.1, en función de la frecuencia absoluta (F)

Gráfico X.1. Histograma

En forma similar, en el eje vertical podríamos haber representado las frecuen-

28 Para una completa descripción de la distribución de frecuencias ver: Alonso, Alberto A. De

qué hablamos cuando hablamos de estadística. Buenos Aires. Ediciones anticipar.

2013.http://www.anticipar.info


54 | P á g i n a

cias relativas (f) o los porcentajes (%).

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

El polígono de frecuencias es un gráfico lineal que se obtiene uniendo los pun-

tos de intersección de la frecuencia de cada intervalo con su marca de clase.

Para que el polígono no quede abierto en sus costados, se completa con una

recta que une las marcas de clase hipotéticas de la clase anterior a la primera y

posterior a la última, ambas con frecuencia cero.

Estas marcas de clases son 5,5 y 75,5.

El gráfico X.2, muestra el polígono de frecuencias correspondiente a la tabla

X.2. El polígono fue trazado sobre el histograma, para que se comprenda mejor

su significado. El gráfico X.3, muestra el polígono de frecuencias como debe

ser graficado, sin las barras del histograma.

Gráfico X.2


55 | P á g i n a

Gráfico X.3

Las líneas punteadas no se grafican. Se colocaron al solo efecto de que se vi-

sualice que el polígono se quiebra en la intersección de la frecuencia de cada

clase con su intervalo de clase.

El gráfico X.4, muestra la representación final del polígono de frecuencias.

Gráfico X.4. Polígono de frecuencias.

Continúa ...


56 | P á g i n a

¡Soldados, pensad que de lo alto de estas pirámides,

cuarenta siglos os contemplan!.

Napoleón Bonaparte29

.

UNIDAD XI

GRÁFICOS DE EJE CENTRAL

LAS PIRÁMIDES POBLACIONALES

GRÁFICOS DE EJE CENTRAL

Este gráfico

se utiliza

para repre-

sentar:

Distribución de frecuencias de variables cuantitativas con-

tinuas bi o policotómicas

Excepcionalmente, también, variables discretas, bi o poli-

cotómicas, cuando la cantidad de categorías es muy gran-

de.

Es un tipo especial de gráfico donde se combinan dos histogramas uno a cada

lado del eje central.

El más conocido de estos gráficos es la pirámide de población o poblacional o

demográfica. Sin embargo cualquier escenario donde una variable puede ser

descompuesta dicotómicamente30

se puede graficar de este modo.

Por ejemplo se podría graficar la relación entre los grupos de edad y la cantidad

29 Napoleón Bonaparte (15 de agosto de 1769 - 5 de mayo de 1821) fue emperador de Francia,

militar y hombre de estado perteneciente a la Casa de los Bonaparte.

Fuente: http://www.citasyrefranes.com/famosas/autor/843 30 Policotomía (de poli ―varios‖, y tomos ―cortar‖, ―dividir‖ ) es un término usado en el contex-

to de la taxonomía para referirse a la forma de clasificación por divisiones y subdivisiones

sucesivas, cada una de ellas en un número de partes superior a tres. Como adjetivo se usa

policótomo y policotómico. Cuando el número es de dos, se habla de dicotomía. Cuando el número es de tres se habla de

tricotomía.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Policotom%C3%ADa

La imaginación del hombre no tiene fronteras y la del diagramador estadís-

tico, tampoco. Habíamos visto que utilizando diagramas lineales se podían

graficar series bivariadas utilizando a tal fin gráficos de doble eje vertical.

Ahora trataremos también de graficar escenarios bivariados y multivaria-

dos de distribuciones de frecuencia pero con un único eje centra comparti-

do, el cual posee una escala que es válida a ambos lados del mismo.


57 | P á g i n a

de población de un determinado lugar, con lo cual se podría construir un histo-

grama clásico. Pero, si a su vez, la población, se divide dicotómicamente con

respecto al género, la nueva relación constituiría un gráfico de eje central que,

en ese caso en particular, se denomina pirámide poblacional.

Si se clasifica a la población según el trabajo que realiza y el género, se obtiene

una estructura laboral dicotómica, pero si la clasificación se extiende a la ocu-

pación, se obtendría una estructura policotómica.

De este modo, se pueden analizar muchos otros factores como la religión, el

idioma, el origen étnico, etc.

El gráfico XI.1, nos muestra una típica pirámide laboral policotómica.

Gráfico XI.1. Pirámide laboral española. Año 1991. N. del A: En España se llama

―parado‖ a la persona sin trabajo u ocupación.

Fuente: http://www.hiru.com/matematicas/representacion-grafica-de-datos-estadisticos

Escenario graficado: Dis-

tribución de la fuerza labo-

ral, por edad según ocupa-ción y género.

Tipo de variables:

Cantidad de personas por edades, género y ocupa-

ción: cuantitativa discreta. Edad, en años: Cuantitativa discretizada.

Ocupación: Cualitativa nominal.

Género: Cualitativa nominal

PIRÁMIDE DE POBLACIÓN

La pirámide de población o pirámide demográfica es un histograma cuyo an-

cho de clase es proporcional a la cantidad que representa la estructura de la

población por género.

La pirámide poblacional, gráficamente se trata de un doble histograma de fre-


58 | P á g i n a

cuencias donde se grafican las distribuciones de edades de toda una población

segregadas por género.

En el eje horizontal se establece la escala gráfica que se usa para evaluar o me-

dir los valores o cantidades correspondientes a las distintas edades o grupos de

edades, simbolizadas mediante barras horizontales por cada sexo. La longitud

de las barras es determinada por medio de esta escala localizada en la parte

inferior del gráfico. La misma se evalúa a partir del cero que se coloca en el

centro del gráfico y aumenta su valor simétricamente hacia ambos extremos de

la pirámide. La construcción del gráfico empieza por la base con los grupos de

edades menores y se continúa en orden ascendente hacia la cúspide, con las

edades mayores.

A su vez, en el eje de las ordenadas, se disponen e identifican los grupos de

edad, por lo general, de cinco en cinco años (0 a 4, 5 a 9, 10 a 14, etc.), colo-

cando las barras de menor edad en la parte inferior del gráfico y aumentando

progresivamente hacia la cúspide las edades de cada intervalo. La escala de las

abscisas puede representar valores absolutos (es decir, cantidad de habitantes

de cada grupo de edad y género) como, por ejemplo, sucede en la pirámide que

corresponde a los datos de Angola, o valores relativos o porcentajes de cada

grupo de edad y sexo con relación a la población total como, por ejemplo, su-

cede en la pirámide de población de Francia. La ventaja de mostrar los datos

relativamente es que podríamos comparar dos pirámides de población diferen-

tes, ya que se basan en porcentajes.

Tipos de pirámides de población:

En ocasiones las pirámides adoptan formas que se pueden asemejar a los si-

guientes tres modelos que se muestran en la figura XI.1:

Figura XI.1. Tipo de pirámides poblacionales

Fuente: http://pitbox.wordpress.com/2013/04/24/tipos-de-piramides-de-poblacion-progresiva-

regresiva-y-estacionaria/


59 | P á g i n a

Sus características son:

Expansiva o Progresiva de base ancha y cima pequeña. Tiene forma de pa-

goda, debido a que tiene un gran contingente de población joven en la base,

que va desapareciendo rápidamente según avanzan los grupos de edad, en cuya

cumbre quedan muy pocos efectivos. Son por tanto las típicas de países pobres,

que presentan altas tasas de natalidad, y una esperanza de vida baja debido a la

alta mortalidad. Son poblaciones jóvenes, por lo que presentan altas tasas de

crecimiento. Ejemplo: Gráfico XI.2. Angola. Pirámide de población, en miles.

Hombres: Izquierda, Mujeres: Derecha. Año 2005

Gráfico XI.2

Fuente: Organización de las Naciones Unidas (ONU) - Proyecciones de la población mundial,

Revisión 2004.

Regresiva de base más estrecha que el centro y cima relativamente ancha: Tiene forma de bulbo, debido a que en la base existe menos población que en

los tramos intermedios, mientras que en la cumbre existe un número importante

de personas. Son típicas de los países desarrollados, en los que la natalidad ha

descendido rápidamente y, sin embargo, las tasas de mortalidad están controla-

das, siendo la esperanza de vida cada vez mayor. Son poblaciones envejecidas,

en las que no se garantiza el relevo generacional. Ejemplo: Gráfico XI.3, Fran-

cia. Pirámide de población, en miles. Hombres: Izquierda, Mujeres: Derecha.

Año 2005


60 | P á g i n a

Gráfico XI.3

Fuente: Organización de las Naciones Unidas (ONU) - Proyecciones de la población mundial,

Revisión 2004.

Estacionaria o Estancada con base y centro similar y cima reducida. Tiene

forma de campana, debido a que los tramos intermedios de edades tienen la

misma proporción que la base, existiendo una reducción importante hacia la

cumbre. Son las típicas de los países en vías de desarrollo, en los que se ha

controlado la mortalidad y se ven los primeros indicios de control de la natali-

dad reciente. Se puede considerar como el paso intermedio desde una pirámide

progresiva a otra regresiva. Ejemplo: Gráfico XI.4, Chile. Proyección de pirá-

mide de población, en porcentaje. Año 2008. Hombres: Izquierda, Mujeres:

Derecha.

Gráfico XI.4

Continúa ...


61 | P á g i n a

La televisión destruye sistemáticamente la diferencia entre lo nor-

mal y lo anormal, porque en sus parámetros lo normal carece en sí

de interés suficiente y siempre habrá entonces que enfrentarlo a

una alternativa. Su criterio no es la difusión de los valores y los

principios sino el provocar el mayor impacto.

Robert Spaemann31

UNIDAD XIII

GRAFICACIÓN DE PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS

DIAGRAMA DE CAJA

Hasta ahora habíamos visto métodos para graficar datos. Datos que no son otra

cosa que el resultado de observar la realidad para luego medirla o caracterizarla

o graduarla.

Sin embargo, una de las funciones de la Estadística es transformar esos datos

en parámetros con el fin de representar a la población de la cual provienen me-

diante unos pocos valores. En realidad, nosotros utilizamos parámetros cuando

las poblaciones son fácil o medianamente asequibles y estadísticos cuando tra-

bajamos con muestras. Los gráficos que muestran información paramétrica no

están tan difundidos entre los legos debido a que para entenderlos se requieren

conocimientos estadísticos y por tal motivo no son muy difundidos por los me-

dios de comunicación.

DIAGRAMA DE CAJA

31 Robert Spaemann (Berlín, 5 de mayo de 1927), filósofo católico alemán.

Se crio en Colonia. Estudió en Münster, Múnich, París y en el Friburgo suizo. Doctor Honoris

Causa por las Universidades de Friburgo (Suiza), Navarra (España) y Pontificia Universidad

Católica de Chile. Autor de numerosos libros y artículos, traducidos a doce idiomas. Entre los

más destacados traducidos al español se pueden citar Crítica de las utopías políticas, Concep-

tos éticos fundamentales, Lo natural y lo racional, Felicidad y benevolencia.

Ha sido Profesor de Filosofía en las Universidades de Stuttgart, Heidelberg —en cuya cátedra

sucedió a Gadamer— y, finalmente, hasta su jubilación en 1992, en la Ludwig-Maximilians-Universität de München. Es miembro de la Pontificia Academia para la Vida y de la Academia

Chilena de Ciencias Sociales, Políticas y Morales, del Instituto de Chile. Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Spaemann

La graficación, en estadística, no solo se dedica a graficar datos sino que

va más allá con el fin de graficar las características de las muestras y/o

poblaciones, denominados estadísticos y parámetros, respectivamente. Ve-

remos, en esta unidad, este tipo de gráficos.


62 | P á g i n a

Este gráfico, también conocido como ―de caja y bigotes‖ y en inglés como box

plot o boxplot o box and whisker diagram, es una presentación visual de datos,

bajo la forma de estadísticos o parámetros32

, que muestran al mismo tiempo

características importantes, tales como:

Centro

Dispersión

Simetría

Observaciones atípicas

Para construir un diagrama de caja se necesitan cinco valores que han de pro-

venir de la distribución de frecuencias:

1. Primer cuartil

2. Segundo cuartil o mediana

3. Tercer cuartil

4. Valor mínimo de la variable

5. Valor máximo de la variable

Visualmente, el diagrama tiene la forma de un rectángulo, llamado caja, con

dos brazos laterales conocidos como bigotes, tal como se muestra en la Figura

XIII.1.

Figura XIII.1

Veremos ahora, paso por paso, como se construye este diagrama a partir de los

5 parámetros mencionados anteriormente.

Construcción del diagrama de caja

Primero. Lo primero que debemos hacer es posicionarnos sobre un eje que

32 Estadísticos. Reciben este nombre, que se contrapone al de parámetros, a las medidas o valo-res estadísticos, medias, desviaciones típicas, etc., cuando proceden o son obtenidos a partir de

muestras. Parámetros: Los valores o medidas que caracterizan una población, como, por ejem-

plo, la media y la desviación típica. Fuente: R. Sierra Bravo. Diccionario Práctico de Estadísti-

ca. Madrid. Ed. Paraninfo.1991.


63 | P á g i n a

abarque los valores reales mínimo y máximo de la variable.

Por ejemplo si el valor mínimo de la variable es 17 y el máximo 62, necesita-

remos un eje horizontal que en su espacio disponible pueda albergar 45 unida-

des (o mejor 50 unidades, por comodidad gráfica).

Si, por ejemplo, el espacio disponible para el gráfico es de 10 cm, nuestra esca-

la será:

1unidad de la variable: 2 milímetros ó 0,2 cm.

Segundo. Partiendo de los valores del primer y tercer cuartil, dibujamos un

rectángulo. El lado izquierdo de dicho rectángulo debe coincidir con el primer

cuartil o Q1 y el lado derecho, con el tercer cuartil o Q3. El alto del rectángulo

es arbitrario pues no representa ningún valor.

Tercero. Cuerpo. El rectángulo se divide en dos partes mediante una línea ver-

tical que pasa por el valor del segundo cuartil (Q2) que es, también, la mediana

(Md).

Cuarto. Bigotes. Hacia ambos lados del rectángulo se trazan los bigotes. Los

bigotes tienen una restricción y es que su largo máximo es 1,5 veces el valor

del rango intercuartíl (RI). Por lo tanto, los bigotes están limitados por dos rec-

tas (imaginarias o límites), una situada 1,5 RI a la izquierda de Q1 y que se

denomina Límite Inferior del Bigote (LIB) y otra situada 1,5 RI a la derecha de

Q3 y que se denomina Límite Superior del Bigote (LSB).

Quinto. Variables atípicas. Debido a la restricción en longitud que tienen los

bigotes, en algunas circunstancias algunos valores de la variable, denominados

atípicos, pueden quedar más allá de la zona de bigotes aunque perteneciendo al

box-plot.

Los valores de la variable situados hacia cada lado de la caja a una distancia

mayor a una vez y media el rango intercuartil (RI) pero menor de tres veces

dicho rango, se denominan valores atípicos.

Todos los valores hacia ambos lados de la caja, situados a una distancia mayor

a 3 RI, se denominan valores atípicos extremos

Los valores atípicos se representan mediante círculos pequeños que pueden ser,

por ejemplo, vacios para los valores atípicos y llenos para los valores atípicos

extremos, o viceversa. También, se pueden usar colores para diferenciarlos. En

este aspecto, hay mucha libertad para el diagramador.

Resumen;

Valores típicos: Estos valores, son aquellos valores situados entre los límites


64 | P á g i n a

inferior y superior del bigote, es decir 1,5 RI a cada lado de la caja.

Valores atípicos: Estos valores, conocidos como outliers , son todos aquellos

valores situados más allá de los limites inferior y superior del bigote pero limi-

tados por el límite superior e inferior de los valores atípicos que es de 3 RI a

cada lado de la caja. Algunos autores, también, los llaman valores atípicos le-

ves o moderados.

Valores atípicos extremos: Todos aquellos valores que superan hacia ambos

lados los limites inferior y superior de los valores atípicos.

Supongamos la siguiente distribución de datos en bruto:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 35 45

Los valores a tener en cuenta son:

Q1 = 4

Q3 = 10

IR = 10-4 = 6

1,5 IR = 9

3 IR = 18

LSB = 10 + 9 = 19

LIB = 4 – 9 = -5

LIVA= 4 – 3 IR = 4 – 18 = -14

LSVA = 10 + 18 = 28

Entonces, los valores quedan:

Valores Típicos (VT). Situados entre -5 y 19: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Valores Atípicos (VA) = Situados entre 19 y 28: 25

Valores Atípico Extremos (VAE). Mayores que 28: 35, 45

Sexto. La primera conclusión que podemos sacar de este gráfico es que si lo

comparamos con la distribución de la cual surge, la caja representa el 50% de

los datos que están situados hacia el centro de la distribución. Podemos decir

que la caja representa el cuerpo de la distribución mientras que los bigotes re-

presentan las colas de la misma.


65 | P á g i n a

El gráfico XIII.1, muestra un diagrama de caja donde las abreviaturas (acróni-

mos) están indicadas en la tabla XIII.1.

Tabla XIII.1

RI Rango Intercuartil

LIVA Límite Inferior de Valores Atípicos

LSVA Límite Superior de Valores Atípicos

LIB Límite Inferior del Bigote

LSB Límite Superior del Bigote

Q1 Primer Cuartil

Q3 Tercer Cuartil

Md Mediana

Gráfico XIII.1

Mirando este diagrama nos damos cuenta que al ser el bigote derecho mayor

que el izquierdo, esto indica que la distribución tiene una asimetría positiva

(hacia la derecha).

Vemos tanto por los bigotes como por la posición de la mediana que los datos

están concentrados en sus valores inferiores.

También observamos que el bigote derecho fue cortado al llegar al LSB ya que

se advierte un valor atípico y un valor atípico extremo. Esto nos indica que el

rango real de la distribución es mayor que el rango limitado por los valores

mínimos y máximo de los bigotes.

Continúa ...


66 | P á g i n a

Muchas veces podemos aprender más

de los errores que de los aciertos

Henry H. Longfellow33

UNIDAD XIV

BARRAS DE ERROR

Si la Estadística es una especialidad que se basa en la medición de sucesos y su

interpretación, la certeza en cuanto a la veracidad de tales mediciones es una

cuestión trascendente. La estimación del error de una medida tiene siempre una

componente subjetiva. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalte-

rables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos razo-

nables. Muchas veces es tan importante consignar el cómo se ha obtenido un

error como el propio valor.

Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar

en gran medida la estimación de errores aleatorios. La Estadística permite ob-

tener los parámetros de una población (en este caso el conjunto de todas las

medidas que es posible tomar de una magnitud), a partir de una muestra (el

número limitado de medidas que podemos tomar).

Sabemos que la Estadística está dividida en dos grandes ramas, la descriptiva y

la inferencial. La primera, se dedica a la descripción y análisis de los datos de

una muestra o población. Allí, saber con certeza cuál es el verdadero valor de

una medición es realmente una cuestión muy importante.

La segunda, se dedica a generalizar los valores de una muestra a la población

de la cual tal muestra proviene. Aquí, también es muy importante conocer el

error asociado a esas técnicas, pues si los estadísticos tienen errores, se van a

33 Henry Wadsworth Longfellow (27 de febrero de 1807 – 24 de marzo de 1882) fue un poeta

estadounidense que escribió trabajos que aún hoy siguen gozando de fama popular, entre los que están The Song of Hiawatha, Paul Revere's Ride y Évangéline. También escribió la prime-

ra traducción estadounidense de la Divina Comedia de Dante Alighieri y fue uno de los cinco

miembros del grupo conocido como los Fireside Poets (Poetas hogareños). Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Henry_Wadsworth_Longfellow

La medición de los distintos fenómenos observables con la máxima preci-

sión es uno de los objetivos de las ciencias duras. Basándose en esta capa-

cidad de medir y al empleo de las matemáticas, a dichas ramas de las cien-

cias se las denominan, con cierto eufemismo, ciencias exactas. Pero la

exactitud es una medida del error y el error es una característica de los

instrumentos y del hombre. Lo podremos disminuir, pero jamás eliminar.

Grafiquemos, entonces, los errores.


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multiplicar al asociarlos a la población.

Por otra parte, surgen dos cuestiones relacionadas a las estimaciones de datos y

parámetros, que se conocen como:

estimaciones de punto, y

estimaciones de intervalo.

Estas últimas están relacionadas con la fiabilidad34

.

La estimación de un parámetro de la población dada por un solo número se

llama estimación de punto del parámetro35

.

La estimación de un parámetro de la población dada por dos puntos, entre los

cuales se pueden considerar encuadrado el parámetro, se llama una estimación

del intervalo del parámetro36

.

Las estimaciones de intervalo indican la precisión de una estimación y son pre-

feribles a las estimaciones de punto.

Por ejemplo, si medimos una distancia y tal medición arrojó un valor de 78,5

metros, estamos dando una estimación de punto. Pero, si decimos que la dis-

tancia medida es 78,5 m 0.05 m, (es decir que el verdadero valor está entre

78,45 y 78,55 m) estamos dando una estimación de intervalo.

34 Fiabilidad. Del latín fidare: fiarse, confiarse. En la investigación científica, designa, en general, la cuali-

dad de una operación o un resultado de merecer confianza, porque es correcta o se ajusta a la realidad. El

término se aplica especialmente a los instrumentos de medida y, de acuerdo con su etimología y su significa-

do general, se puede afirmar que indica la condición de un instrumento de ser fiable, es decir, de ser capaz de

ofrecer, en su empleo repetido, resultados veraces y constantes. Según esto, la fiabilidad implica, a la vez la

validez y la seguridad. No obstante, la palabra se utiliza, asimismo, como sinónimo de seguridad o constan-

cia en los resultados obtenidos de un misan instrumento de medida. Sin embargo, esta constancia no implica

que dichos resultados sean fiables o confiables, pues, aunque exista gran coincidencia entre ellos, pueden

desviarse todos sensiblemente del valor real o verdadero. Por lo tanto, parece que no se identifica necesa-

riamente la fiabilidad con la seguridad, ya que aquélla implica también la validez. Fuente: R. Sierra Bravo.

Et al. 35 ESTIMACION DE PUNTO. Estimación en la que se determina un valor o punto único, como apreciación del parámetro desconocido buscado de la población. Un ejemplo sería decir

que, según los resultados de una encuesta muestral, el 30% de los electores van a votar al parti-

do X. Fuente: R. Sierra Bravo. Et al. 36 ESTIMACION DE INTERVALO. Estimación que da lugar, como apreciación del parámetro

buscado, a un intervalo, determinado como tal por dos puntos o valores, y no uno solo como en

la estimación de punto, dentro del cual se debe hallar, con la probabilidad del nivel de confian-

za elegido, el parámetro de la población. En este caso, en lugar de afirmar que el 30% de los

electores van a votar al partido X, se dice que el % de votantes de dicho partido se debe encon-

trar, con la probabilidad elegida, dentro del intervalo de confianza formado por la x ± el error

muestral, o sea entre 30 ±2%, si éste es dicho error. Fuente: R. Sierra Bravo. Et al.


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El margen de error o la percepción de una estimación nos informan su fiabili-

dad.

Estimaciones de los intervalos de confianza para parámetros de población

Sean μ y σ, la media y la desviación estándar de cualquier distribución. Si la

distribución es aproximadamente normal, podemos esperar hallar un estadístico

muestral real que esté dentro de los siguientes intervalos, el siguiente porcen-

taje de veces:

Intervalo entre: Porcentaje

de las veces:

μ - σ μ + σ 68,27 %

μ - 2σ μ + 2σ 95,45 %

μ - 3σ μ + 3σ 99,73 %

La tabla XIV.1, corresponde a los niveles de confianza usados en la práctica.

Para niveles de confianza que no aparecen en la tabla, los valores Z se pueden

encontrar en las tablas de áreas bajo la curva normal.

Tabla XIV.1

Nivel de confianza

99,7 99 98 96 95,45 95 90 80 68,27 50

Z 3 2,58 2,33 2.05 2 1,96 1,645 1,28 1,00 0,6745

La Estadística y el error

En el tratamiento de la Estadística, sea descriptiva o inferencial, el tema del

error está siempre presente y debidamente tratado. Entonces, si la graficación,

trata de mostrar, a través de diagramas, la realidad estadística, no cabe ninguna

duda que esa realidad gráfica también nos tiene que mostrar los errores involu-

crados.

TRATAMIENTO DEL ERROR EN LOS GRÁFICOS

Durante una investigación, las representaciones gráficas deben llevar clara-

mente indicados los datos obtenidos experimentalmente. A tal fin, es necesa-


69 | P á g i n a

rio señalarlos sobre el diagrama con un símbolo cuyo tamaño y forma permita

apreciarlos y distinguir unos de otros cuando correspondan a diferentes conjun-

tos de medidas o series.

Puesto que todos los puntos experimentales van acompañados de un cierto gra-

do de error, es recomendable, siempre que sea posible, hacer la representación

de dichos puntos acotando una región dentro de la cual cualquier punto puede

representar el valor real de la observación, de acuerdo con la escala empleada.

La no acotación de un trazo, se interpreta como la imposibilidad de representar

el error (por ser muy pequeño) por lo que en estos casos es conveniente repre-

sentar los puntos mediante un pequeño círculo. La figura XIV.1, nos muestra

las distintas maneras de exteriorizar la existencia o no de error en un gráfico o

diagrama.

Figura XIV.1

Supongamos que queremos graficar la relación entre el tiempo transcurrido y el

espacio recorrido por un móvil cualquiera.

Los resultados observados se muestran en la tabla XIV.2.

Tabla XIV.2

t ±1, en segundos 0 1 2 4 6 8 12 16 20

x ± 10% en centímetros 5 13 25 37 48 69 110 133 156

Si representamos los valores de la tabla XIV.2, obtenemos el gráfico XIV.1


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Gráfico XIV.1

Para el tiempo, los trazos son del mismo tamaño para todos los puntos, ya que

representan ±1 segundo por encima o por debajo del valor medido. Para las

distancias recorridas, la longitud de los trazos varía debido a que el error de

cada medida (10 %) es diferente por tratarse de un porcentaje de la misma.

Representación del comportamiento de las magnitudes

Los puntos obtenidos experimentalmente no son la única información que pue-

de obtenerse de un experimento ya que el ―espacio vacío‖ entre los puntos debe

ser completado. Para ello, en las representaciones gráficas hay que añadir una

línea que indique la tendencia que rige el comportamiento de una magnitud

frente a la otra. Esta línea debe tener en cuenta que los datos experimentales

están afectados por errores y que, por lo tanto, las líneas no tienen por qué pa-

sar por todos y cada uno de esos puntos experimentales.

Como criterio general debemos tener en cuenta que:

Si se representan variables continuas en cada uno de los ejes, la

curva debe ser continua ya que estas variables no sufren cambios

bruscos. Por otra parte, las inflexiones deben ser siempre suaves y

por lo tanto deben trazarse líneas curvas (o una única recta) que re-

presente el comportamiento de las magnitudes involucradas en el

experimento.

Las líneas deben pasar por la mayoría de las zonas de observación

de los puntos experimentales. Si uno de ellos se aleja demasiado del

comportamiento general del resto debe ser analizado y a conse-

cuencia de ello pueden pasar dos cosas: se corrige o se desecha.

Continúa ...

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