UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142

Listado 12 (Determinantes)

1. En cada caso calcule det(A) y det(A1).

a) A =

1 1 02 4 0

3 1 2

, b) A =

2 1 14 1 3

2 1 3

, c) A =

1 0 1 01 2 0 10 0 1 1

2 0 1 0

.

2. Sea A Mn(R) tal que det(A) = 2. Calcule:

a) det(A5), b) det(A), c) det(2A1), d) det(AAt).3. Sean A,B Mn(R).

a) Si A1 = 125At, calcule det(A).

b) Si det(A) = a y det(B) =2, calcule det(2A 3B).

c) Si A5At = 2A, calcule det(A).

(En practica c)).

4. Encuentre R tal que det(A I) = 0, donde A = 0 1 21 0 1

0 0 1

.

5. Sean A, B Mn(R)i) Si A es ortogonal, es decir AAt = At A = I, pruebe que det(A) = 1.ii) Si existe una matriz P Mn(R) invertible, tal que B = P1AP , demuestre que

det(A) = det(B).

6. Para las siguientes matrices A y B, pruebe que det(A) = det(B) sin calcular los valoresde los determinantes.

a) A =

a b cd e f

g h i

b) A =

(a+ 2b bc+ 2d d

)c) A =

3 6 21 1 5

4 3 8

B =

a g db h e

c i f

B =

(a b 7ac d 7c

)B =

3 6 201 1 8

4 3 17

(En practica a)).

1

7. Sea A =

1 a a

2

1 b b2

1 c c2

. Pruebe que |A| = (b a)(c a)(c b).

8. Pruebe que

a 0 0 b0 a b 00 b a 0b 0 0 a

=

a bb a2

.

9. Calcule, si es que existen, los valores de k R para los cuales las matrices siguientes tieneninversa

a) A =

k 1 11 k 1

1 1 k

, b) B =

2 2 60 k 4 k

0 k k

, c) C =

3 4 k2 6 2k

1 3 1 + k

.

10. Calcule el rango de las siguientes matrices

a) A =

(1 22 5

), b) B =

1 2 31 2 3

0 4 0

, c) C =

1 0 1 10 2 1 2

1 4 3 5

.

11. Calcule, si es que existen, valores de k R para que las matrices tengan rango tres, doso uno.

a) A =

k 1 11 k 1

1 1 k

, b) B =

1 1 1 11 k 1 k

1 1 k 1 1

, c) C =

2 2 6 k0 k k 1

0 k k k

.

(En practica b)).

12. Para cada matriz dada determine su inversa si existe, usando operaciones elementales ymatriz adjunta.

a) A =

1 1 01 2 1

3 1 1

b) B =

0 1 12 1 1

2 1 1

c) C =

1 0 1 12 1 3 2

2 1 0 21 1 2 1

(En practica b)).

13. Sea A M4(R) definida por A =

2 6 2 60 1

22 3

0 0 2 20 0 0 1

2

. Demuestre que A es invertible y

calcule A1.

RRS/RNG/JMS/AGS/LNB/JSA/BBM/LRS/agssemestre otono 2006.

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