TKE 3105

ISYARAT DAN SISTEM

Kuliah 5 – Sistem LTI

Indah Susilawati, S.T., M.Eng.

Program Studi Teknik Elektro

Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer

Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009

64

B A B I I I

S I S T E M L T I

Tujuan Instruksional

1. Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan

analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang

kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem.

2. Khusus

Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan:

- Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian tentang sistem LTI.

- Mahasiswa dapat memahami tentang jumlah konvolusi sistem LTI

waktu diskrit.

- Mahasiswa dapat memahami tentang integral konvolusi sistem LTI

waktu kontinyu.

- Mahasiswa dapat menjelaskan tentang sifat-sifat sistem LTI.

3.1. Pengertian Sistem LTI

Dua sifat sistem yang sangat penting adalah sifat linearitas dan sifat

waktu invarian. Sistem yang mempunyai kedua sifat penting ini disebut

dengan sistem linear waktu invarian (Linear Time Invariance atau LTI).

Berbagai pemrosesan fisik dapat dinyatakan sebagai sistem LTI. Pada subbab

berikut akan dibahas tentang sistem LTI, baik untuk waktu kontinyu maupun

waktu diskrit.

3.2. Sistem LTI Waktu Diskrit dan Jumlah Konvolusi

Isyarat waktu diskrit dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari perkalian

isyarat x[n] dan impuls satuan yang tergeser waktu, atau dinyatakan sebagai

65

...]2[]2[]1[]1[][]0[]1[]1[]2[]2[...

][][][

+−+−+++−++−+=

−= ∑+∞

−∞=

nxnxnxnxnx

knkxnxk

δδδδδ

δ

Gambar 3.1 memperlihatkan suatu isyarat x[n] dan gambar 3.2

mengilustrasikan proses jumlahan konvolusi untuk membentuk x[n].

x[n]

-1 2 3

-3 -2 0 1 n

Gambar 3.1 Isyarat x[n]

Perlu diingat bahwa ⎩⎨⎧

≠=

=−knknkx

knnx;0;][

][][ δ

x[−3] δ[n+3]

(a)

-3 -2 -1 0 1 2 3 n

x[−2] δ[n+2] (b)

-3 -2 -1 0 1 2 3 n

x[−1] δ[n+1] (c)

-1

-3 -2 0 1 2 3 n

66

x[0] δ[n] (d)

-3 -2 -1 0 1 2 3 n

x[1] δ[n−1] (e)

-3 -2 -1 0 1 2 3 n

x[2] δ[n−2] (f)

2

-3 -2 -1 0 1 3 n

x[3] δ[n−3] (g)

3

-3 -2 -1 0 1 2 n

Gambar 3.2 Perkalian x[k] δ[n−k] dengan −∝ < k < +∝

Pada gambar 3.2 terlihat bahwa jika isyarat (a) hingga (g) dijumlahkan, maka

akan diperoleh isyarat x[n].

Jika h[n] adalah keluaran sistem LTI saat masukannya δ[n] dan isyarat

x[n] dapat dinyatakan sebagai

∑+∞

−∞=

−=k

k][nx[k] δx[n]

maka keluaran sistem LTI dapat dinyatakan sebagai

67

∑+∞

−∞=

−=k

k][nhx[k]y[n]

dengan x[n] adalah masukan sistem. Keluaran y[n] sebagai hasil sering

disebut dengan jumlah konvolusi atau jumlah superposisi. Sedangkan

operasinya disebut dengan konvolusi deret x[n] dan h[n] dan ditulis sebagai

k][nhx[k]

h[n]x[n]y[n]

k−=

∗=

∑∞+

−∞=

Deret h[n] sering disebut dengan tanggapan impuls, yaitu tanggapan sistem

saat masukannya berupa impuls satuan δ[n].

3.3. Sistem LTI Waktu Kontinyu dan Integral Konvolusi

Dengan cara analogi (seperti pada sistem LTI waktu diskrit), maka

pada sistem LTI waktu kontinyu, masukan x(t) dapat dinyatakan sebagai

( )∫+∞

∞−

−= τ)dτ(tδτxx(t)

Dan jika h(t) merupakan tanggapan impuls sistem LTI saat masukannya δ(t),

maka keluaran sistem LTI saat masukannya x(t) adalah

( )∫+∞

∞−

−= τ)dτ(thτxy(t)

Keluaran y(t) sebagai hasil sering disebut dengan integral konvolusi atau

integral superposisi, dan ditulis sebagai

( )∫∞+

∞−

−=

∗=

dτ τ)(thτx

h(t)x(t)y(t)

3.4. Sifat-sifat Sistem LTI

Berikut akan dipelajari beberapa sifat-sifat penting yang melekat pada

sistem LTI, baik sistem LTI waktu kontinyu maupun sistem LTI waktu

diskrit.

1. Sifat komutatif

68

Sistem LTI mempunyai sifat komutatif, yaitu:

( ) ( )∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

−=−

∗=∗

dτ τ) x(tτhdτ τ)h(tτx

x(t)h(t)h(t)x(t)

untuk sistem LTI waktu kontinyu. Sedangkan untuk sistem waktu diskrit

berlaku

∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

−=−

∗=∗

kkk]x[nh[k]k]h[nx[k]

x[n]h[n]h[n]x[n]

2. Sifat distributif

Sistem LTI mempunyai sifat distributif, yaitu:

x(t) ∗ { h1(t) + h2(t) } = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t)

untuk sistem LTI waktu kontinyu. Sedangkan untuk sistem LTI waktu

diskrit berlaku

x[n] ∗ { h1[n] + h2[n] } = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n]

Dan sebagai akibat sifat komutatif dan distributif sistem LTI, maka

berlaku pula

{ x1(t) + x2(t) } ∗ h(t) = x1(t) ∗ h(t) + x2(t) ∗ h(t)

untuk sistem LTI waktu kontinyu. Sedangkan untuk sistem LTI waktu

diskrit berlaku

{ x1[n] + x2[n] } ∗ h[n] = x1[n] ∗ h[n] + x2[n] ∗ h[n]

3. Sifat Asosiatif

Sistem LTI mempunyai sifat asosiatif, yaitu:

x(t) ∗ { h1(t) ∗ h2(t) } = { x(t) ∗ h1(t) } ∗ h2(t)

untuk sistem LTI waktu kontinyu, atau

x[n] ∗ { h1[n] ∗ h2[n] } = { x[n] ∗ h1[n] } ∗ h2[n]

untuk sistem LTI waktu diskrit.

4. Sistem LTI dengan dan tanpa memori

69

Sistem LTI tanpa memori mempunyai ciri:

h(t) = 0 untuk t ≠ 0 (sistem LTI waktu kontinyu)

atau

h[n] = 0 untuk n ≠ 0 (sistem LTI waktu diskrit)

sehingga tanggapan impulsnya akan berbentuk:

h(t) = k δ(t) (sistem LTI waktu kontinyu)

atau

h[n] = k δ[n] (sistem LTI waktu diskrit)

dengan k adalah konstanta yang besarnya sama dengan h(0) atau h[0].

Dengan demikian, maka keluaran sistem LTI tanpa memori adalah:

y(t) = k x(t) (sistem LTI waktu kontinyu)

atau

y[n] = k x[n] (sistem LTI waktu diskrit)

Jika k = 1, maka sistem LTI menjadi sistem identitas dimana keluaran

sama dengan masukannya.

Sistem LTI dengan memori tidak mempunyai ciri seperti pada sistem

LTI tanpa memori, karena sistem LTI dengan memori mempunyai

keluaran yang juga bergantung pada masukan yang telah lalu maupun

yang akan datang.

5. Invertibilitas sistem LTI

Sistem LTI disebut invertibel jika terdapat sistem inversinya.

Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar 3.3 berikut.

x(t) y(t) w(t)=x(t) h1(t) h(t)

Gambar 3.3 Sistem invertibel waktu kontinyu

Jika suatu sistem dengan tanggapan impuls h(t) mempunyai sifat

invertibel, maka terdapat sistem inversinya (yaitu dengan tanggapan

impuls h1(t)). Jika kedua sistem disusun seperti pada gambar 3.3, maka

70

akan diperoleh keluaran akhir yang sama dengan masukannya, yaitu x(t).

Hal yang sama juga berlaku pada sistem LTI waktu diskrit.

Pada gambar 3.3, agar w(t) = x(t) maka harus dipenuhi syarat:

h(t) ∗ h1(t) = δ(t)

Dengan cara yang sama, maka untuk sistem LTI waktu diskrit juga harus

dipenuhi syarat

h[n] ∗ h1[n] = δ[n]

dimana

h(t) : tanggapan impuls sistem LTI waktu kontinyu h[n] : tanggapan impuls sistem LTI waktu diskrit h1(t) : tanggapan impuls sistem inversi waktu kontinyu h1[n] : tanggapan impuls sistem inversi waktu diskrit

6. Kausalitas untuk sistem LTI

Sistem kausal merupakan sebuah sistem yang keluarannya bergantung

pada masukan saat ini dan masukan yang telah lalu. Untuk sistem LTI,

maka kausalitas menghendaki y[n] yang tidak bergantung pada x[k] untuk

k > n atau dapat dinyatakan dengan

h[n−k] = 0 untuk k > n

atau

h[n] = 0 untuk n < 0

Sedangkan untuk sistem LTI waktu kontinyu harus dipenuhi:

h(t) = 0 untuk t < 0

Dengan demikian, untuk sistem LTI kausal berlaku:

∑

∑∞

=

−∞=

−=

−=

0k

n

k

k]x[nh[k]

k]h[nx[k]y[n]

untuk sistem LTI waktu diskrit, dan untuk sistem LTI waktu kontinyu

berlaku:

∫∫

−=

−=∞−

t

0

t

τ)dτh( τ(τ)x

τ)dττ)h(tx(y(t)

71

7. Stabilitas sistem LTI

Sistem LTI stabil jika untuk setiap masukan terbatas maka akan dihasilkan

keluaran yang terbatas pula. Untuk sistem LTI waktu diskrit dengan

masukan x[n] terbatas sebagai berikut

⎢ x[n] ⎢ < B untuk semua n

harus menghasilkan keluaran yang terbatas. Keluaran sistem dengan

masukan yang terbatas tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

∑

∑

∑

∞+

−∞=

∞+

−∞=

+∞

−∞=

≤

−≤

−=

kkhB ][

k]x[nh[k]

k]h[k]x[ny[n]

k

k

Dari persamaan di atas, supaya keluaran y[n] mempunyai nilai yang

terbatas maka

∞<∑+∞

−∞=kh[k]

Dengan cara yang sama, maka untuk sistem LTI waktu kontinyu, stabilitas

mensyaratkan

dτh( τ)By(t) ∫+∞

∞−≤

atau

∫+∞

∞−

∞<dτh( τ)

72

3.5. Contoh Soal dan Penyelesaian

1. Jika

⎩⎨⎧

<≥

=0n;0,0n;1,

u[n]

maka nyatakan u[n] sebagai jumlahan impuls-impuls satuan tergeser.

Penyelesaian:

∑

∑

∑

∞+

=

∞+

=

+∞

−∞=

−=

−=

−=

0k

0k

k

k][nδ

k][nδ1

k]u[k] δ[ku[n]

2. Untuk sistem LTI waktu diskrit dengan tanggapan impuls h[n] dan masukan

x[n] pada gambar 3.4 berikut ini, tentukanlah y[n] = x[n] ∗ h[n].

h[n] (a)

1

-1 0 1 2 n

x[n] 2 (b)

0,5

-1 0 1 2 n

Gambar 3.4 (a) Tanggapan impuls untuk soal no. 2

(b) Masukan untuk soal no. 2

73

Penyelesaian:

Cara 1

Jumlah konvolusi antara x[n] dan h[n] dapat dijelaskan dengan ilustrasi

pada gambar 3.5.

1]h[n2h[n]0,51]h[nx[1]0]h[nx[0]

k]h[nx[k]

k]h[nx[k]

h[n]x[n]y[n]

1

0k

k

−+=−+−=

−=

−=

∗=

∑

∑

=

∞+

−∞=

0,5 h[n] (a)

0,5

-1 0 1 2 3 n

2 h[n−1] 2 (b)

-1 0 1 2 3 n

2,5

y[n] 2 (c)

0,5

-1 0 1 2 3 n

Gambar 3.5 Grafis penyelesaian soal no. 2

74

Cara 2

Cara yang kedua ini adalah dengan mencari nilai y[n] untuk tiap harga n.

∑+∞

−∞=

−=k

k]x[k]h[ny[n]

Dengan memasukkan harga-harga n, maka akan diperoleh nilai y[n]

sebagai berikut.

2

k]h[3x[k]y[3]

2,520,5

k]h[2x[k]y[2]

2,520,5

k]h[1x[k]y[1]

0,5

k]h[x[k]

k]h[0x[k]y[0]

k

k

k

k

k

=

−=

=+=

−=

=+=

−=

=

−=

−=

∑

∑

∑

∑

∑

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

+∞

−∞=

Nilai y[n] untuk n yang lain sama dengan nol. Dengan

menggambarkannya secara grafis maka akan diperoleh ilustrasi seperti

pada gambar 3.5c. Untuk cara yang ke-dua ini harus diperhatikan proses

penggeseran dan pembalikan waktu pada tanggapan impuls h[n].

3. Jika masukan x(t) dan tanggapan impuls h(t) seperti pada gambar 3.6,

maka tentukanlah keluaran sistem LTI waktu kontinyu yang dihasilkan.

⎩⎨⎧

<≥

=−

0t;00t;e

x(t)at

75

x(t)

1 a > 0 (a)

0 t

h(t) = u(t)

1 (b)

0 t

Gambar 3.6 Isyarat x(t) dan h(t) untuk soal no. 3

Penyelesaian:

Penjelasan secara grafis diperlihatkan pada gambar 3.7. Untuk

menentukan hasil integral konvolusi antara x(t) dan h(t), maka perlu

diketahui terlebih dahulu harga-harga τ dimana x(τ) dan h(t − τ) saling

tumpang tindih (overlap), sehingga hasil perkalian kedua isyarat ini tidak

sama dengan nol, yaitu x(τ).h(t − τ) ≠ 0.

Pada gambar 3.7b, x(τ) ≠ 0 dan h(t − τ) ≠ 0, tidak saling tumpang tindih,

sehingga x(τ).h(t − τ) = 0 untuk semua nilai τ. Pada gambar 3.7c, x(τ) ≠ 0

dan h(t − τ) ≠ 0, saling tumpang tindih pada 0 < τ < t, sehingga

x(τ).h(t − τ) ≠ 0 untuk nilai τ pada jangkauan tersebut. Sedangkan untuk

harga τ yang lain, nilai x(τ).h(t − τ) = 0. Dengan demikian, maka keluaran

sistem untuk jangkauan t = 0 sama dengan t = t dapat ditentukan sebagai

berikut:

76

∫∫

−

∞+

∞−

=

−=

∗=

t

0

aτd τ1.e

τ)dτx( τ)h(t

h(t)x(t)y(t)

[ ]

[ ]

[ ]atea

−

−

−

−

−=

−−=

−−=

−=

11

1ea1

eea1

ea1

at

0at

t

0

aτ

Dan untuk semua harga t, keluaran y(t) dapat dinyatakan sebagai

[ ]u(t)e1a1y(t) at−−=

Isyarat keluaran y(t) diperlihatkan pada gambar 3.8.

3.6. Soal-soal Tambahan

1. Buktikan sifat komutatif sistem LTI.

2. Buktikan sifat distributif sistem LTI.

3. Jelaskan mengapa untuk sistem LTI tanpa memori, tanggapan impuls

untuk n ≠ 0 dan t ≠ 0 harus mempunyai nilai nol.

4. Jelaskan pula mengapa kondisi pada soal no. 3 tidak berlaku pada sistem

LTI dengan memori.

5. Jelaskan tentang sistem inversi pada sebuah sistem yang invertibel.

77

h(-τ)

1 (a)

0 τ

h(t-τ) ; t < 0 h(t-τ) ; t > 0

1 1

t 0 τ 0 t τ

x(τ) x(τ)

1 a > 0 1 a > 0

0 τ 0 τ

(b) (c)

Gambar 3.7 Penjelasan grafis penyelesaian soal no. 3

78

y(t)

1/a

t

Gambar 3.8 Isyarat y(t) untuk penyelesaian soal no. 3