Anlisis de nodos y mallasCircuitos elctricos 1

Anlisis de nodosEn el anlisis nodal se aplica la ley de Kirchhoff de corrientes para determinar los voltajes presentes en los nodos.Es conveniente dibujar la red utilizando valores de conductancias y colapsando los nodos a un solo punto.Defina un nodo de referenciaEtiquete los nodos restantes de 1 en adelante.Defina los voltajes de cada nodo (excepto el de referencia)Escriba LKC para cada nodoResuelva el sistema de ecuaciones resultante

Circuitos con fuentes independientes de corrienteConsideremos el circuito de la figura a.La figura 1b es el mismo circuito en donde se hace resaltar la existencia de tres nodos.Dado que los voltajes se definen en pares de nodos, debemos elegir un nodo como referencia para medir dichos voltajes.En la figura c se muestra el mismo circuito con la referencia tomada como el nodo inferior.La figura d muestra la misma red en la que se han eliminado los signos de referencia del voltaje por resultar redundantes.

Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes a cada nodo obtenemos para el nodo 1.

0.5v1 + 0.2(v1 - v2) = 3

o0.7v1 - 0.2v2 = 3

y para el nodo 2.

v2 + 0.2(v2 - v1) = 2

o- 0.2 v1 + 1.2v2 = 2

La solucin de este sistema de ecuaciones es:

v1 = 5 Vv2 = 2.5 V

La tensin del nodo 1 respecto al dos ser: (v1 v2) = 2.5 V. con estos valores se puede determinar la potencia disipada por cualquiera de los elementos del circuito.Para circuitos que solo contienen fuentes independientes de corriente se obtiene una matriz de sistema simtrica, llamada matriz de conductancia.

EjemploDeterminar las tensiones de nodo

Matriz de conductanciasLa matriz de conductancias es la matriz de coeficientes de del sistema de ecuaciones de nodos.Para redes con solo resistencias y fuentes de corriente independientes la matriz de conductancias es una matriz simtrica.Los elementos de la diagonal, gii, son iguales a la suma de las conductancias del nodo i y los elementos gij , con i j, son iguales al negativo de la suma de las conductancias que unen al nodo i y al nodo j.El vector de trminos independientes esta formado por la suma de las corrientes que llegan a cada nodo a partir de las fuentes de corriente.

ejercicioEscriba la matriz de conductancias para el siguiente circuito. Escriba el vector de trminos independientes y resuelva el sistema para encontrar los voltajes de nodos.

Tarea # 11Escriba las ecuaciones de nodo utilizando la definicin de la matriz de conductancias y resuelva el sistema resultante para calcular los voltajes de nodo de la siguiente red.

El supernodoSupernodoLa fuente de voltaje puede considerarse como un supernodo.La LKC se sigue cumpliendo si se aplica a las corrientes que entran y salen de este supernodo.La fuente de voltaje suministra una ecuacin para poder resolver el sistema.4 W

Fuentes controladasSupernodoSupernodoref.v1v2v3v4Ecuaciones 2 v1 + 2.5 v2 0.5 v3 = 140.1v1 v2 + 0.5 v3 + 1.4 v4 = 0 v1 = 120.2 v1 + v3 1.2 v4 = 2Solucin:v1 = 12, v2 = 4, v3 = 0, v4 = 2,

TareaHaga anlisis nodal para determinar el valor de vA.

Anlisis de mallasEl anlisis de mallas se aplica a redes planas.Una red plana es aquella que se puede dibujar sin que se cruce ningn conductor.Definimos un lazo con cualquier camino cerrado que recorre solo una vez cada elemento del mismo.Se define una malla como un lazo que no contiene otros lazos.

Lazos y mallas

EjemploConsidere el circuito de la figura. Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla obtenemos:

-42 + 6i1 + 3(i1 i2) = 0

o

9 i1 3i2 = 42

y para la malla derecha

- 3(i1 i2) + 4i2 10 = 0

o

-3 i1 + 7 i2 = 10

La solucin de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A e (i1- i2)= 2 A. Las tensiones y potencias en cada elemento se pueden calcular fcilmente con estos valores.

Corriente de malla Definimos corriente de malla como la corriente que circula alrededor del permetro de una malla.En la figura se muestran las corrientes de malla de la red anterior. La ecuacin de malla para la malla 1 es:6i1 + 3(i1 i2) = 42La ecuacin de malla para la malla 2 es:3(i2 i1) + 4i2 = 109i1 3i2 = 42 3i1 + 7i2 = 10La solucin es la misma que la anterior.

EjemploEncontrar i1 e i2

EjemploEncontrar i1, i2 e i3

TareaEncontrar i1 e i2

SupermallasLa fuente de corriente se puede manejar mediante una supermalla.Las ecuaciones para la red de la derecha son:Para la supermalla: 7 + 1(i1 i2) + 3(i3 i2) + i3 = 0 i1 4i2 + 3i3 = 7para la malla 2:1(i2 i1) + 3(i2 i3) + 2i2 = 0 i1 + 6i2 3 i3 = 0Ecuacin de la fuente de corriente:i1 i3 = 7Solucin: i1 = 9 A, i2 = 2.5 A, i3 = 2 A.i1i1i2i3

TareaEncontrar i1

Solucin con Workbench

Ejemplo

Solucin con Workbench

Comparacin entre nodos y mallasv1v2v3ixixi1i2i3i4

Solucin:v1 = 25.89v2 = 20.31ix = 2.79Solucin:i2 = ix = 2.79