Kelompok

3

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI R n KE R m

Transformsi Linear Satu-Satu Transformasi linear yang memetakan vektor-vektor (atau titik-titik) yang berbeda ke vektor-vektor (atau titik-titik) yang berbeda merupakan transformasi linear yang sangat penting. Salah satu contoh transformasiseperti itu adalah operator linear Secara geometris jelas bahwa2

yang menotasikan setiap vektor pada sudut dan merupakan vektor-vektor yang

berbeda pada R , maka demikian juga vector-vektor T(u) dan T(v) yang dirotasikan i (gambar 1)

Sebalinya, jika

maka titik-titik berbeda pada garis vertikal yang sama terpetakan ke titik-titik yang sama pada bidang

adalah proyeksi orthogonal R3 pada bidang

1

(gambar 2)

Defenisi : Suatu transformassi linear

memetakan vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda pada vektor-vektor (titik-titik) yang bereda padaHowadr Anton , 2010: 215)

disebut satu-satu jika T ke

.

Contoh 1 : Dalam terminologi defenisi di atas, tetapi operator proyeksi orthogonal operator rotasi gambar 1 adalah satu-satu , tetapi operator ortogonal gambar 2 tidaklah satu-satu. Anggap A adalah matriks dan anggap dibalik dan sifat-sifat Dengan y y y . adaah perkalia A. Kita

sekarang akan menginvestigasi hubungan antara dapat atau tidak dapatnya

ditempat (b) maka peryataan berikut ini ekuivalen.

A dapat dibalik konsisten untuk setiap matriks tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks

2

Akan tetapi, pernyataan terakhir sebenarnya lebih dari perlu. Kita dapat mennjukkan bahwa pernyataan ini adalah ekuivalen y y y A A dapat dibalik konsisten untuk setiap tepat mempunyai satu penyelesaian jika sitem tersebut konsisten.

Dengan menerjemahkan hal tersebut dengan pernyataa yang berpadanan pada kita simpulkan bahwa pernyataan berikut adalah ekuivalen y y dapat dibalik Untuk setiap vektor w pada sehingga dari y . , tepat ada satu vektor x pada adalah satu-satu. , dalam vektor x pada sedemikian adalah semua

. Engan kata lain, daerah hasil untuk

Untuk setiap vektor w dari daerah hasil sedemikian sehingga

. Dengan kata lain,

Teorema a : Jika A adalah suatu matriks n x n dan

perkalian dengan A, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen. a. A dapat dibalik b. Daerah hasil dari TA adalah

adalah

c. TA adalah transformasi satu-satu.

(Setiadji. 2008: 48)

3

Contoh 2 : Dalam contoh 1 kita telah mengamati dari gambar tersebut bahwa operatoroperator rotasi

yang diilustrasikan pada gambar 1 adalah satu-satu. haruslah semua entri R2 dan bahwa matriks adalah pada R2 adalah

Dari teorema a kita dapatkan hasil standar untuk

dapat dibalik. Untuk menunjukkan daerah hasil dari

semua entri R2 kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor bayangan vektor

diperoleh dengan, merotasikan

di bawah . Akan tetapi, hal ini jelas bahwa vector yang pada sudut dipetakan ke

pada sudut . Matriks standar untuk adalah [T] = yang dapat dibalik karena det [T] =

jika dirotasikan

= cos 2 + sin 2 =1 0

Contoh 3 : Pada contoh 1 kita mengamati bahwa operator proyeksi yang

diilustrasikan pada gambar 2 bukan satu-satu. Dari teorema a kita dapatkan bahwa daerah hasil dapat dibalik. Untuk menunjukkan bahwa daerah hasil semua entri R3 kita di bawah. Akan tetapi, sembarang vector adalah : pada yang bukan merupakan bayangan setiap di luar bidang . Lebih bukanlah semua entri R3 dan matriks standar untuk tidak

harus menemukan vektor vector

jauh, kita ketahui matriks standar untuk

4

[T] =

yang tidak dapat dibalik karena

det [T] =

=0

Invers Operator Linear Jika adalah operator linear satu-satu, maka sesuai dengan sebelumnya bahwa matriks dapat dibalik. Sedangkan

teorema yang ada

sendiri adalah operator linear yang disebut dengan invers dati

TA. Operator-operator TA dan TA -1 saling membalikkan sehinggaii

Secara geometris dapat di lihat pada gamabar 4 yang mempunyai arti

5

(gambar 3)

Jika suatu operasi linear satu-satu pada buknnya ditulis (dan bukannya

) . karena matriks standar

, maka invers dari oprator

ditulis sebagai

dinyatakan dengan

(dan

kita dapatkan

Contoh 4 :

Anggap

adalah operator yang merotasikan setiap vektor dalam

sudut ; sehingga

Terbukti secara geometri bahwa untuk meniadakan dampak dari merotasikan setiap vektor dilakukan oleh operator denga sudut

kita harus

. Akan tetapi, inilah tepatnya yang adalah:

karena matriks standar untuk

6

Contoh 5 :

Tunjukkan bahwa operator linear

didefenisikan oleh persamaan

adalah satu-satu dan carilah Penyelesaiaan : Bentuk matriks dari persamaan berikut ini adalah

Sehingga matriks standar T adalah

Matriks ini dapat dibalik (sehingga satu-satu) dan matriks standar dari adalah :

Jadi,

7

Sifat Kelinearan Setelah kita mempelajari tentag invers dari suatu transformasi, sifat

kelinearan adalah konsep dasar untuk memperjelas konsep secara umum, perhatikan teorema berikut. Teorema b Transformasi dikatakan linear jika an hanya jika hubungan u, v R dan c skalar, berlaku

berikut terpenuhi, yaitu

a. T (u+v) = T (u) + T (u) b. T(cu) = cT (u)(Setiadji, 2008: 35)

Bukti dari teorema ini, gunakan teorema atau defenisi dari matriks yang sudah dipelajari dahulu. Bukti : Anggap bahwa T adalah suatu transformasi linear dan anggap standar untuk dan Sebaliknya, anggap bahwa sifat (a) dan (b) berlaku untuk transformasi T. Kita dapat membuktikan bahwa T lineardengan menemukan matriks dengan sifat bahwa adalah matriks

.Dari sifat transformasi dasar kita dapatkan bahwa :

8

Untuk semua vektor perkalian dengan

menghasilkan matriks ini kita perlu memperhatikan sifat bahwa (a) dapat diperluas hingga tiga kali; misalnya, jika , maka dengan pertama-tama kita mengelompokkan dan an

dan karena itu linear. Namun, sebelum kita dapat

dalam

. Ini akan menunjukkan bahwa T adalah

adalah sembarang vektor pada dan menetapkan

sifat (a) kita peroleh

Secara lebih umum, untuk sembarang vektor dapatkan Sekarang, untuk mencari matriks sebagai berikut :

pada

kita

kita anggap

adalah vektor

dan anggap

adalah matriks yang vektor kolomnya berturut-turut adalah ; yaitu :

Jika

9

adalah sebarang vektor

, maka sebgaimana penjelasan bahwa hasil kali dengan koefisien dari

adalah kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari Sedemikian sehingga :

yang melengkapkan buktinya. Pada (5) merupakan dasar dalam memberikan rumus eksplisit untuk matriks standar suatu operator linear , dibawah T. Karena vektor basis standar untuk . Pada dan dalam bentuk bayangan vektor dalam (4) disebut vektor adala vektorvektor yang panjangnya

satu dan terletak di sumbu koordinat (Gambar 4)

10

Teorema c

Jika

adalah transformasi linear dan

adalah vektor basis standar dari

, maka matriks

standar dari T adalah

(Setiadji, 2008: 38)

( Proyeksi ortogonal pada bidang yang menghasilkan sebuah matriks

transformasi dengan persamaan (a) ; jika dicari dengan menggunakan persamaan (b) akan didapat

Sehingga berdasarkan teorema sebelumnya maka Dengan menggunakan (6) dengan cara yang lain, anggap adalah perkalian dengan kolom matriks :

Bayangan vektor-vektor basis standar dapat dibaca secara langsung dari kolom-

11

Contoh 6: dengan sumbu positif, dimana pada gambar 5a, anggap Anggap l adalah garis bidang yang melalui titik asal dan membentuk sudut . Sebagaimana yang diilustrasikan

dalah operator linear yang memetakan

setiap vektor ke proyeksi ortogonal pada l a) Cari matriks standar untuk T b) Cari proyeksi ortogonal vektor x = (1,5) pada garis melalui titik asal yang membentuk sudut dengan sumbu positif.

gambar 5

Penyelesaian (a)

12

kasus dimana

Dengan

dan

adalah vektor-vektor basis standar untuk ; kasus dimana

adalah serupa. Dengan sehingga.

. Kita tinjau

mengacu ke gambar 5b, kita dapatkan

Dan dengan mengacu ke 5c, kita dapatkan

sehingga

Jadi, matriks standar untuk T adalah Penyelesaia (b) Karena dan

, maka dari bagian (a) kita dapatkan

bahwa matriks standar untuk operator proyeksi ini adalah :

13

Jadi,

Atau notasi secara horisontalnya dapat dituliskan

Interespretasi Geometrik Vektor Eigen Jika tak ada vektor tak nol x sedemikian sehingga : adalah suatu matriks maka disebut suatu nilai eigen dari jika

Vektor-vektor tak nol yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen dari yang berpindah dengan .

Nilai eigen dan vektor eigen dapat pula didefenisikan untuk operatoroperator linear apad defenisi untuk matriks. ; defenisi-defenisi yang pararel dengan defenisi-

14

Defenisi . Jika skalar

disebut nilai eigen dari T jika ada suatu x tak nol pada

adalah suatu operator linear, maka suatu

sedemikian sehingga

Vektor-vektor tak nol x yang memenuhi persamaan ini yang disebut nilai eigen dari T yang berpadanan dengan .(Stiadji, 2008: 42)

Amati bahwa jika A adalah matriks standar untuk T, maka (7) dapat ditulis sebagai

Kemudian kita dapatkan bahwa X adalah suatu vektor eigen dari yang berpadanan dengan Jika adalah suatu nilai eigen dari dan Nilai eigen dari tepat merupakan nilai eigen dari matriks standar .

hanya jika x adalah suatu vektor eigen dari yang berpadanan dengan . . Oleh karena itu, perkalian dengan dan

jika dan

adalah suatu vektor eigen

memetakan ke suatu pengadaan skalarnya sendiri. Pada

yang berpadanan, maka

vektor yang terletak pada garis yang sama dengan (gambar 6).

berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen ke suatu

, hal ini

15

Bahwa jika dengan faktor faktor jika jika

, maka operator linear , maka

memampatkan

atau menerangkan meregangka membalik arah jika jika

dengan vektor yang

dengan

terbaik ini dengan faktor terbalik ini engan faktor

atau meregangkan vektor yang (gambar 7).

Contoh (7) :

dengan sudut

Anggap

adalah operator linear yang merotasikan setiap vektor . Terbukti secarageometris bahwa jika , maka bukanlah

penggandaan dari

vektor tak nol

yang real. Akan tetapi, jika merupakan pengandaan dari geometrik ini secara Aljabar . matriks standar untuk adalah

pada garis yang sama dengan

tidak memetakan sembarang vektor tak nol ; akibatnya , tidak mempunyai nilai eigen , maka setiap

tak nol adalah vektor eigen dari

dipetakan ke garis yang sama dengan sehingga setiap vektor . Mari kita memeriksa pengamatan

16

Niai eigen matriks ini adalah penyelesaian dari persamaan karakteristik yaitu: bukanlah pengandaan dari , maka sehingga dan akibatnya

Akan tetapi, jika

persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian real untuk tidak mempunyai vektor eigen real. Jika . Dalam kasus dimana dan atau

adalah pengandaan dari , maka

menjadi

, sehingga

dan

, tergantung pada faktor pengandaan persamaan karakteristik (8)

merupakan satu-satunya nilai eigen

dari . Dalam kasus ini nilai eigen dari A adalah :

Jadi, untuk semua dalam

Sehingga demikian

memetakan setiap vektor pada dirinya sendiri dan dengan pada garis yang sama. Dalam kasus dimana dan sehingga

adalah.

adalah satu-satunya nilai eigen dari . Dalam kasus ini matriks

persamaan karakteristik (8) menjadi

17

Jadi, untuk semua x dalam

Sehngga memetakan setiap vektor ke negatifnya dan dengan demikian pada garis yang sama dengan

Contoh (8) :

Anggap pada bidang

adala proyeksi ortogonal pada bidang dipetakan pada dirinya sendiri di bawah

. Vektor-vektor sehingga setiap

vektor tak nol pada bidang dengan nilai eigen

. Setiap vektor

adalah suatu vektor eigen yang berpadanan

bawah , yang berada pada garis yang sama dengan

pada sumbu dipetakan ke 0 di sehingga setiap vektor atau pada

tak nol pada adalah suatu vektor eigen yang berpadanan yang nilaivektor eigennya sumbu . Vektor-vektor yang tidak berada pada bidang

tidak dipetakan ke penggandaan skalar diri mereka sendiri sehingga

vektor eigen atau nilai eigenya tidak ada. Untuk setiap pengamatan geometri ini secara Aljabar kita anggap matriks standar untuk adalah

Persamaan karakteristik dari atau

adalah

18

yang mempunyai penyelesaian

dan

Vektor eigen dari matriks penyelesaian tak nol dari

yang berpadanan dengan nilai eigen

adalah

Jika

sistem ini adalah

yang mempunyai penyelesaian dalam bentk matriks

(buktikan) atau

Jika

maka (9) adalah

yang mempunyai penyelesaian

atau dalam matriks

yang mana vektor tersebut adalah vektor-vektor bidang

.

19

Soal Latihan :

1. Dengan mencongak, tentukan apakah operator linear berikut ini satu-satu. a. proyeksi orthogonal pada sumbu x di R2. b. pencerminan terhadap sumbu y di R2. c. pencerminan terhadap garis y = x di R2. d. penyempitan dengan factor k > 0 di R2. e. rotasi terhadap sumbu z pada R3. f. pencerminan terhadap bidang xy di R3. 2. Cari matriks standar untuk operator linear yang didefinisikan oleh persamaanpersamaan di bawah ini dan gunakan Teorema 4.3.1 untuk menentukan apakah operator tersebut ini satu-satu. a. w1 = 8x1 + 4x2 w2 = 2x1 + x2 c. w1 = -x1 + 3x2 + 2x3 w2 = 2x1 + 4x3 b. w1 = 2x1 3x2 w2 = 5x1 + x2 d. w1 = x1 + 2x2 + 3x3 w2 = 2x1 + 5x2 + 3x3 w3 = x1 + 8x3

w3 = x1 + 3x2 + 6x3

3. Tunjukkan bahwa daerah hasil dari operator linear yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan w1 = 4x1 2x2 w2 = 2x1 x2 bukan semua entri R2, dan cari sebuah vector yang tidak berada dalam daerah hasil tersebut.

20

4. Tunjukkan bahwa daerah hasil dari operator linear yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan w1 = x1 2x2 + x3 w2 = 5x1 x2 + 3x3 w3 = 4x1 + x2 +2x3 bukanlah dari R3, dan cari sebuah vector yang tidak berada dalam daerah hasil tersebut. 5. Tentukan apakah operator linear yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut ini adalah satu-satu; jika demikian, cari matriks standar untuk operator inversnya, dan cari T-1 (w1,w2). a. w1 = x1 + 2x2 w2 = -x1 + x2 c. w1 = -x2 w2 = -x1 b. w1 = 4x1 6x2 w2 = -2x1 + 3x2 d. w1 = 3x1 w2 = -5x1

6. Tentukanlah apakah operator linear yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut ini adalah satu-satu; jika demikian, cari matriks standar untuk operator inversnya, dan cari T-1 (w1,w2, w3). a. w1 = x1 2x2 + 2x3 w2 = 2x1 + x2 + x3 w3 = x1 + x2 b. w1 = x1 3x2 + 4x3 w2 = -x1 + x2 + x3 w3 = - 2x2 + 5x3

7. Dengan mencongak, tentukan invers dari operator linear satu-satu yang diberikan. a. pencerminan terhadap sumbu x pada R2

21

b. rotasi dengan sudut

pada R2

c. pelebaran dengan faktor 3 pada R2 d. pencerminan terhadap bidang xy pada R3 e. penyempitan dengan faktor pada R3 Pada latihan 8 dan 9 gunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakah adalah suatu operator linear. 8. a. T(x,y) = (2x,y) c. T(x,y) = (-y,x) 9. a. T(x,y) = (2x + y,x y) c. T(x,y) = (y,y) b. T(x,y) = (x2,y) d. T(x,y) = (x,0) b. T(x,y) = (x + 1,y) d. T(x,y) = ( , )

Pada latihan 10 dan 11 gunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakah adalah suatu transformasi linear. 10. a. T(x,y,z) = (x,x + y +z) 11. a. T(x,y,z) = (0,0) b. T(x,y,z) = (1,1) d. T(x,y,z) = (3x 4y, 2x 5z)

12. Pada setiap bagian gunakan Teorema 4.3.3 untuk mencari matriks standar untuk operator linear dari bayangan vektor-vektor basis standar. a. operator pencerminan pada R2 b. operator pencerminan pada R3 c. operator proyeksi pada R2 d. operator proyeksi pada R3 e. operator rotasi pada R2 f. operator pelebaran dan penyempitan pada R3

22

13. Gunakan Teorema 4.3.3 untuk mencari matriks standar untuk dari bayangan vektor-vektor basis standar. a. T : R2 x dan

R2 memproyeksikan suatu vektor secara orthogonal pada sumbu kemudian mencerminkan vektor itu terhadap sumbu y.

b. T : R2 R2 mencerminkan suatu vektor terhadap garis y = x dan kemudian mencerminkan vektor itu terhadap sumbu x. c. T : R2 R2 melebarkan suatu vektor dengan faktor 3, kemudian mencerminkan vektor itu terhadap garis y = x, dan kemudian memproyeksikan vektor itu secara orthogonal pada sumbu y. 14. Gunakan Teorema 4.3.3 untuk mencari matriks standar untuk T : R3 bayangan vektor-vektor basis standar. a. T : R3 R3 dari

R3 mencerminkan suatu vektor terhadap bidang xz dan kemudian

`menyempitkan vektor itu dengan factor . b. T : R3 R3 memproyeksikan suatu vektor secara orthogonal pada bidang xz dan kemudian memproyeksikan vektor itu secara orthogonal pada bidang xy. c. T : R3 R3 mencerminkan suatu vektor terhadap bidang xy, kemudian mencerminkan vektor itu terhadap bidang xz, dan kemudian mencerminkan vektor itu terhadap bidang yz. 15. Anggap adalah perkalian

A=

dan anggap e1, e2, e3, adalah vektor-vektor basis standar untuk R3. Cari vektorvektor berikut ini dengan mencongak. a. TA(e1), TA(e2), dan TA(e3)

23

b. TA(e1 + e2 + e3) c. TA(7e3) 16. Tentukan apakah perkalian dengan A adalah suatu transformasi linear satusatu. a. A = b. A =

17. Gunakan hasil pada contoh 6 untuk mencari proyeksi orthogonal dari x pada garis yang melalui titik asal yang membentuk sudut dengan sumbu x positif. a. x = (-1,2) ; = 450 b. x = (1,0) ; = 300 c. x = (1,5) ; = 1200

Chairul Imron. 2007. Modul Aljabar Matriks. Departemen Pendidikan Nasional Biro Perencanaan da Kerjasama Luar Negeri : Surabaya (Hal. 72) Chairul Imron. 2007. Modul Aljabar Matriks. Departemen Pendidikan Nasional Biro Perencanaan da Kerjasama Luar Negeri : Surabaya (Hal. 73)ii

i

24