Katholieke Hogeschool Limburg - pers · model, in de vorm van een blokschema of transfertfunctie,...

Katholieke Hogeschool LimburgDepartement Industriele Wetenschappen en Technologie

Systeemtheorie

SYST

Johan Baeten

Cursus gedoceerd aan2e Academische Bachelor Elektromechanica2e Academische Bachelor Elektronica

13 december 2006

c© Katholieke Hogeschool LimburgDepartement industriele wetenschappen en technologieUniversitaire campus gebouw B, bus 3, B-3590 Diepenbeek, Belgium

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/ofopenbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of opwelke andere wijze ook zonder voorafgaandelijke schriftelijke toestemming van de uitgever.

13/12/2006

SYST Systeemtheorie Titularis Johan Baeten (BaJ) Docenten Johan Baeten (BaJ) Vakcode Vakbenaming

SYST Systeemtheorie

Jaar/ASR 2 ABA EM - 2 ABA ELO ECTS-punten 2

Doelstellingen 1. Voortbouwend op elementaire wiskundige technieken zoals complex rekenen,

differentiaal- en integraalrekenen enerzijds en uitgaande van de elementaire fysische bouwstenen met bijbehorende basiswetten anderzijds, het wiskundig model, in de vorm van een blokschema of transfertfunctie, van een willekeurig (mechanisch, elektrisch, elektronisch, thermisch …) doch analoog systeem of proces, opstellen door hanteren van de Laplace-transformatie met toepassing van de dynamische denkwijze en linearisatie. (AC1, AWC2)

2. De belangrijkste eigenschappen van de Laplace-transformatie bewijzen. (AC1) 3. Voor een gegeven analoog systeem het tijdgedrag (stap-, puls- ramprespons)

berekenen (en tekenen) door toepassing van de inverse Laplace-transformatie op basis van partieelbreuksplitsing en met behulp van het formularium (Laplace-transformatie-tabel) (AC1)

4. Voor een gegeven analoog systeem het frequentiegedrag afleiden en tekenen in Bode- en Nyquistdiagram. (AC1)

5. Systeemeigenschappen synthetiseren uit en koppelen aan tijd- of frequentiegedrag. (AC1,AC2)

6. Fourier-reeksontwikkeling toepassen op (elementaire) periodische signalen. (AC1) 7. Op basis van de overeenstemmende vorm in de basiswet, mechanische systemen

substitueren naar equivalente elektrische systemen en omgekeerd. (AC1, AWC2)

Inhoudsopgave - Inleiding: modelvorming, systemen en signalen. - Laplace-transformatie: Voorwaartse, Inverse transformatie, eigenschappen - Tijdrespons van eerste en tweede orde systemen (impuls, stap, ramp) - Frequentierespons van eerste en tweede orde systemen (Bode, Nyquist) - Systemen met dode tijd. - Fourier-reeksontwikkeling en Fourier-transformatie. - Verbanden tussen ideale systeemelementen.

Onderwijsvorm Hoorcollege met oefeningen

Studiemateriaal Eigen cursus ‘Systeemtheorie’

Aanvullende leermiddelen /

Examenvorm

1ste zittijd Schriftelijk examen: Het examen bestaat uit een 8-tal korte vragen zoals meerkeuze vragen over systeemeigenschappen, evaluatie van frequentie-eigenschappen uit een figuur, het tekenen van een Bode-diagram, het berekenen van een tijdrespons, het afleiden van een Laplace-eigenschap, het toepassen van een Fourier-reeksontwikkeling of het omvormen van een mechanische naar een equivalent elektrisch schema of omgekeerd. (AC1)

2de zittijd Schriftelijk examen: Idem

13/12/2006

SYST Systeemtheorie Algemene Visie Systeemtheorie brengt de student een aantal basisvaardigheden voor het analyseren en beschrijven van

het gedrag van systemen bij. Systeemtheorie is een door en door basisvak voor de ingenieur. Het ontwikkelen, verbeteren of automatiseren van een proces/systeem is maar zinvol of mogelijk indien de ingenieur een duidelijke voeling bezit voor realistisch systeemgedrag of voor aanvaardbare specificaties en indien hij/zij technieken kan hanteren om deze systemen te analyseren en te beschrijven. Alhoewel systeemtheorie een duidelijk ingenieursvak is, kan het vak niet onmiddellijk toegeschreven worden aan één enkele ingenieursrichting. Systeemtheorie is een vakdomein-overschrijdend vak in die zin dat de beschouwde technieken zowel voor mechanische, elektro-mechanische, elektronische, elektrische, hydraulische, pneumatische, thermodynamisch of zelfs chemische systemen van toepassing zijn.

Relatie Algemene Opleidingsdoelstellingen

- polyvalente algemene en technische basisvorming; - belangrijke technische basiskennis; - beredeneerde kennis; - nauwkeurigheid, attitude.

Relatie met de Domeinspecifieke doelstellingen dus Opleidingsdoelstellingen

- Systeemdenken en leren om via analyse en synthese probleemoplossend te denken; - Diepgaande theoretische vorming van overdrachtfuncties; - Technieken voor analoge signaalverwerking.

Situering van het vak in het curriculum

Systeemtheorie vormt (in zijn geheel) de basis voor regeltechniek (REG), waar de analyse en beschrijving van al dan niet geregelde systemen essentieel is. Het vormt een uitgebreide inleiding op analoge signaalbewerking (A/D) voor het ontwerp en de analyse van filters of voor de beschrijving van frequentie-eigenschappen (Bode-diagram). (AC1) Verder biedt systeemtheorie een aantal ingenieurstechnieken die gebruikt worden in tal van ingenieursvakken zoals Meetsystemen (MSYS),Trillingen, Analoge elektronica, Elektriciteit en aandrijvingen voor de beschrijving van systemen. Door het vakoverschrijdend karakter, met een vergelijk van de opgedane kennis uit deze verschillende basisvakken, geeft systeemtheorie de perfecte synthese of ‘integratie’ van deze kennis, welke essentieel is voor een grondige basiskennis en een brede ‘beeldvorming’ van de toekomstige ingenieur: kennis uit één vakdomein is hierdoor overdraagbaar naar andere vakdomeinen! (AWC2, BC2)

Instroom-Relatie met andere vakken

Een grondige studie van systeemtheorie is enkel mogelijk indien de student voldoende wiskundige bagage bezit voor wat integraal- en differentiaalrekenen, complex rekenen en partieelbreuksplitsing betreft. Verder kent systeemtheorie verschillende raakpunten naar vakken zoals fysica, mechanica of elektriciteit wat de beschrijving van ideale systeemelementen betreft.

Relatie met het werkveld

In zijn finaliteit stelt systeemtheorie de toekomstige ingenieur in staat om processen en producten qua tijden frequentiespecificaties op een kritische wijze te beoordelen en dit zowel in aankoop van producten wat specificaties door derden betreft als in de productie of het ontwerp als in de verkoop voor wat het opstellen van eigen productspecificaties betreft. (BC5)

Aanvullende Informatie betreffende competenties en Evaluatie van de Competenties

De evaluatie toetst naar de parate theoretische basiskennis, naar beredeneerd inzicht en naar toepassingsgericht oplossend vermogen om te komen tot het juiste resultaat volgens een adequate werkwijze. (AC1)

Inhoudstafel

Inhoudstafel I

1 Inleiding 1

2 De Laplace-transformatie 32.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies . . . . . . . . . . . . . 42.4 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Lineariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.2 Differentiatietheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.3 Integratietheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.4 Eindwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.5 Beginwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.6 Schaalfactortheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.7 Eerste verschuivingstheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.8 Tweede verschuivingstheorema (reele translatie) . . . . . . . . . 92.4.9 Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie) . . . . . . . . 92.4.10 Deling door t (complexe integratie) . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.11 Convolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 De inverse Laplace-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen . . . . . 132.7 Transformatietabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Systemen van eerste orde 153.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Voorbeeld van een eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 De transfertfunctie van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . 163.4 Tijd- en frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Tijdrespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 213.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 213.9 Het Nyquist-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.10 Het Black- of Nichols-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.11 Het nulpunten-polen-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.12 Eerste orde met differentierende werking . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

I

Inhoudstafel

3.13 De zuivere integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.14 De zuivere differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.16 Bode-diagram van een willekeurig systeem . . . . . . . . . . . . . . . . 323.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld . . . . . . . . . . . . . . . 333.18 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.19 Bewijs “p = jω” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Het tweede orde systeem 374.1 Inleidend voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Het standaard tweede orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 De staprespons van het tweede orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Doorschot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6 Het nulpunten-polen-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem . . . . . . . 474.8 Doorschot bij een tweede orde systeem met complexe polen . . . . . . . 504.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek . . . . . . . . . . . . . 514.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd 555.1 Hogere orde systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Tijddomeinspecificaties voor hogere orde . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4 Systemen met looptijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5 Frequentieanalyse van een systeem met looptijd . . . . . . . . . . . . . 585.6 Voorbeeld: oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Fourier-transformatie en Fourier-reeksontwikkeling 616.1 Fourier-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.1.2 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.3 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.4 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2 Fourier-reeksontwikkeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2.2 Afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.3 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.4 Bespreking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bibliografie 70

A Ideale systemen 73A.1 Fysische veranderlijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Elementtype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.2.1 Veralgemeende inductantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.2.2 Veralgemeende capaciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.2.3 Veralgemeende weerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

II

Inhoudstafel

A.3 Het vermogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.4 Ideale bronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.5 Ideale transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.6 Verbindingsvoorwaarden tussen elementen . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.7 Equivalente systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.8 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

III

Hoofdstuk 1

Inleiding

Deze cursus beschrijft en analyseert het gedrag van elementaire systemen. Zulk een systeemwordt in het meest eenvoudige geval voorgesteld door een blokje. Een aaneenschakeling vansystemen elk beschreven door blokjes levert dan een blokkendiagram op. De blokken stellende fysische processen voor. Elk proces zet bepaalde grootheden om in andere grootheden.Bijvoorbeeld, een lamp, als proces, zet elektriciteit om in licht. Figuur 1.1 stelt een processchematisch voor. De aankomende pijl duidt de ingangsgrootheid of het ingangssignaalaan. De vertrekkende pijl geeft het uitgangssignaal weer.

x yProces

Blok

UitgangssignaalIngangssignaal

x y = K.xK

Versterker

Figuur 1.1: Voorstelling van een proces als blokje; a) algemeen, b) versterker

Figuur 1.2 geeft nog twee basiselementen uit een blokkendiagram: het vergelijkingspunt,om signalen te combineren (optellen) of te vergelijken (aftrekken) en de aftakking, om eensignaal meerdere malen te gebruiken.

x

y

+

-

e x y= - x x

x

Vergelijkingspunt Aftakking

Figuur 1.2: Bewerkingen op signalen

De hier beschouwde systemen zijn allen causaal (zie later), lineair of lineariseerbaar, entijdinvariant1. Verder beperken we ons in deze cursus tot analoge systemen met een enkele(continue) ingang en een enkele (continue) uitgang of SISO-systemen (Eng.:‘Single Input,Single Output’).

1Een systeem is tijdinvariant indien de coefficienten van de beschrijvende differentiaalvergelijking con-stant zijn.

1

1 Inleiding

De beoogde analyse is meestal tweevoudig. Enerzijds onderzoeken we het gedrag van hetsysteem in de tijd, zoals bijvoorbeeld de reactie van het systeem op een plotse stapvormigewijziging aan de ingang. Anderzijds is ook het frequentiegedrag van een systeem belangrijk.De frequentieanalyse onderzoekt hoe het systeem reageert op een continue, sinusvormigeingang.

Vertrekkend vanuit de differentiaalvergelijking, die het systeem beschrijft, zullen weeerst met behulp van de Laplace-transformatie de transfertfunctie (TF) opstellen. Dezeligt aan de basis van de analyse van het systeemgedrag in tijden in frequentiedomein.

De cursus is als volgt opgedeeld. Hoofdstuk 2 beschrijft de Laplace-transformatie.Hoofdstukken 3 en 4 behandelen systemen van eerste en tweede orde. Hoofdstuk 5 be-schrijft kort systemen van hogere orde en analyseert het enige niet-lineaire blokje, dat wevoorlopig zullen toelaten in een blokschema, namelijk dit voor een dode tijd.

De hier geziene leerstof beperkt zich tot de essentiele basis voor de (latere) cursus regel-techniek. Belangrijke aspecten uit de systeemtheorie die voorlopig nog niet aan bod komenzijn de analyse van digitale systemen, de analyse van MIMO-systemen (Eng.:‘Multiple In-puts, Multiple Outputs’) en de beschrijving van het systeem in de toestandsruimte als eenalternatief voor de TF.

2 Johan Baeten

Hoofdstuk 2

De Laplace-transformatie

2.1 Inleiding

Het gedrag of de evolutie van een systeem (in de tijd) wordt klassiek beschreven met behulpvan differentiaalvergelijkingen welke een verband leggen tussen ingangs- en uitgangssignaal(of signalen) van het systeem. Bijvoorbeeld, voor een capaciteit C met als ingang de stroomi(t) en als uitgang de spanning V (t) is de beschrijvende differentiaalvergelijking:

V (t) = V (0) +1

C

t∫0

i(t)dt.

Een meer beknopte beschrijving van een systeem is de transfertfunctie (TF). Deze geefthet verband tussen ingang en uitgang van het systeem weer als een algebraısche vergelijking(dit is zonder afgeleiden of integralen). Om tot de gezochte TF te komen moeten we deLaplace-transformatie (welk een integraaltransformatie is) toepassen.

Naast het bekomen van de TF laat het gebruik van de Laplace-transformatie ook toeom differentiaalvergelijkingen op een alternatieve manier op te lossen. Zoals we later zullenzien, verschaft de Laplace-transformatie bovendien inzicht in de frequentie-eigenschappenvan een systeem.

2.2 Definitie

De Laplace-getransformeerde van een functie f(t) wordt gedefinieerd als:

F (p) = L f(t) =

∞∫0

f(t)e−ptdt (2.1)

op voorwaarde dat deze integraal bestaat (of dat de functie f(t)e−pt convergeert).De invers Laplace-getransformeerde is:

f(t) = L−1 F (p) =1

2πj

a+j∞∫a−j∞

F (p)eptdp (2.2)

3

2 De Laplace-transformatie

Bovenstaande formules geven in feite de eenzijdige Laplace-transformatie weer. Dit wilzeggen dat de integraal enkel genomen wordt voor positieve tijden in de veronderstellingdat de functie f(t) een causale functie is. Causale functies bestaan enkel voor positievetijden en zijn nul voor negatieve tijden. (Indien op tijdstip t = 0 een Dirac-impuls optreedt(zie verder) moet als ondergrens voor de integraal 0− genomen worden.)

Indien F (p) de Laplace-getransformeerde is van f(t) (en dus f(t) de invers Laplace-getransformeerde van F (p)) dan vormen deze beide functies een transformatiepaar. Westellen dit schematisch voor als:

f(t) ↔ F (p)

2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies

Deze paragraaf past de Laplace-transformatie toe op enkele eenvoudige functies. Er wordtniet naar gestreefd om een wiskundig zo correct mogelijke afleiding te geven, doch eerderom op een eenvoudige, soms intuıtieve wijze tot de correcte oplossing te komen.

• De Dirac-impuls: f(t) = δ(t). De Dirac-impuls wordt gedefinieerd als een functie die0 is, voor alle tijdstippen verschillend van 0, en ∞ voor t = 0:

δ(t) =

∞ voor t = 0,

0 voor t 6= 0.(2.3)

Het oppervlak van (of onder) deze functie is in principe 0 · ∞ of onbepaald. Perdefinitie stellen we echter dat het oppervlak onder de puls 1 is:

∞∫−∞

δ(t)dt =

0+∫0−

δ(t)dt ≡ 1

De Laplace-getransformeerde van de Dirac-impuls wordt dan:

Lδ(t) =

∞∫0

δ(t)e−ptdt =

0+∫0−

δ(t)e−p·0dt +

∞∫0+

0 · e−ptdt = 1 + 0 (2.4)

Bijgevolg is de Dirac-impuls het tijdsignaal dat overeenstemt met de eenheid in hetLaplace-domein:

δ(t) ↔ 1

• Stap: f(t) = a (met a een constant reeel getal)

Lf(t) = La =

∞∫0

ae−ptdt = a

[e−pt

−p

]∞0

=a

p

op voorwaarde dat p > 0.

4 Johan Baeten

2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies

• Exponentiele: f(t) = eat (met a een constant reeel getal)

Leat =

∞∫0

eate−ptdt =

∞∫0

e(a−p)tdt =

[e(a−p)t

a− p

]∞0

=1

p− a

op voorwaarde dat p > a.

• Talud of ‘ramp’: f(t) = t

Lt =

∞∫0

te−ptdt =

∞∫0

td

(e−pt

−p

)=

[− t

pe−pt

]∞0

+1

p

∞∫0

e−ptdt = 0+1

p

[e−pt

−p

]∞0

=1

p2

op voorwaarde dat p > 0.

• f(t) = tn (bv. met n = 2 parabolisch of kwadratisch)

Ltn =n!

pn

∞∫0

e−ptdt =n!

pn+1

op voorwaarde dat p > 0 (zonder bewijs).

• Cosinus: f(t) = cos at

Lcos at =

∞∫0

cos at e−ptdt =

∞∫0

cos at d

(e−pt

−p

)(2.5)

=

[cos at e−pt

−p

]∞0

−∞∫

0

(−a sin at)e−pt

−pdt (2.6)

=1

p− a

p

∞∫0

sin at e−ptdt. (2.7)

De overgang van vergelijking 2.5 naar vergelijking 2.6 stemt overeen met vergelij-king 2.13. Het tweede gedeelte van vergelijking 2.7 lossen we nu op dezelfde wijzeop:

∞∫0

sin at e−ptdt =

∞∫0

sin at d

(e−pt

−p

)

=

[sin at e−pt

−p

]∞0

−∞∫

0

(a cos at)e−pt

−pdt

=a

p

∞∫0

cos at e−ptdt =a

pLcos at (2.8)

Johan Baeten 5


De overblijvende integraal in vergelijking 2.8 is per definitie de Laplace-getransformeerde van cos at. Substitutie van vergelijking 2.8 in 2.7 levert:

Lcos at =1

p− a2

p2Lcos at

of

Lcos at =p

p2 + a2. 4 (2.9)

• De Laplace-getransformeerde van een sinus, f(t) = sin at, kan op analoge wijze alsdie van de cosinus afgeleid worden. Lsin at volgt echter rechtstreeks uit vergelij-kingen 2.8 en 2.9:

Lsin at =

∞∫0

sin at e−ptdt =a

pLcos at =

a

p2 + a2. (2.10)

2.4 Eigenschappen

2.4.1 Lineariteit

De Laplace-transformatie is lineair omdat de som en de vermenigvuldiging lineair zijn of:

L a.f (t) + b.g (t) = a.L f (t)+ b.L g (t) = aF (p) + bG(p) (2.11)

met a en b willekeurige constanten.

Bijvoorbeeld:

Lcosh at = Leat + e−at

2 =

1

2Leat+

1

2Le−at =

1

2

[1

p− a+

1

p + a

]=

p

p2 − a2

op voorwaarde dat p > |a|. Verifieer zelf op analoge wijze dat Lsinh at = a/(p2 − a2)wetende dat sinh at = (eat − e−at)/2.

2.4.2 Differentiatietheorema

De Laplace-getransformeerde van de afgeleide functie is gelijk aan de Laplace-getransformeerde van die functie vermenigvuldigd met p minus de beginvoorwaarde.

Indien f(t) ↔ F (p) dandf(t)

dt↔ pF (p)− f(o). (2.12)

Kortweg zeggen we: “Afleiden komt overeen met een vermenigvuldiging met p”. Het bewijsvoor deze zeer belangrijke eigenschap maakt gebruik van volgende vergelijking:

b∫a

f ′gdt = fg|ba −b∫

a

fg′dt. (2.13)

6 Johan Baeten

2.4 Eigenschappen

De functie g is nu e−pt of

Lf ′(t) =

∞∫0

f ′(t)e−ptdt = f(t)e−pt|∞0 −∞∫

0

f(t)e−pt(−p)dt

= f(∞)e−p∞ − f(0) + p

∞∫0

f(t)e−ptdt.

De Laplace-getransformeerde Lf ′(t) bestaat op voorwaarde dat f(t) van exponentieleorde is of met andere woorden dat f(∞)e−p∞ = 0 en is

Lf ′(t) = pLf(t) − f(0). 4

Voor een tweede afgeleide vinden we door herhaaldelijk toepassen van eigenschap 2.12

Lf ′′(t) = pLf ′(t) − f ′(0)

= p[pF (p)− f(0)]− f ′(0)

= p2F (p)− pf(0)− f ′(0).

Voor een hogere orde afgeleide wordt dit

dnf(t)

dtn↔ pnF (p)− pn−1f(o)− pn−2df(0)

dt− · · · − dn−1f(0)

dtn−1.

Bijvoorbeeld: om de Laplace-getransformeerde van een sinus te berekenen in de veron-derstelling dat we deze voor een cosinus reeds kennen, kunnen we het afleidingstheoremaop de volgende wijze gebruiken

d cos at

dt= −a sin at of sin at = −1

a

d cos at

dt

Toepassing van de Laplace-transformatie op linker- en rechterlid geeft

Lsin at = −1

aL

d cos at

dt

= −1

a

(p · p

p2 + a2− 1

)=

a

p2 + a2.

Dit stemt natuurlijk overeen met vergelijking 2.10.

2.4.3 Integratietheorema

De Laplace-getransformeerde van de geıntegreerde functie is gelijk aan de Laplace-getransformeerde van die functie gedeeld door p of

Indien f(t) ↔ F (p) dan

∫f(t)dt ↔ F (p)

p. (2.14)

Johan Baeten 7


Kortweg zeggen we: “Integreren komt overeen met een deling door p”. Het bewijs voordeze eigenschap maakt gebruik van het differentiatietheorema (eigenschap 2.12).

Stel g(t) =

t∫0

f(t)dt dan is g(t) continu en is f(t) =dg(t)

dt.

Verder geldt

F (p) = Lf(t) = L

dg(t)

dt

= pG(p)− g(0) met g(0) =

0∫0

f(0)dt = 0

dus

L

∫f(t)dt

= Lg(t) = G(p) =

F (p)

p. 4

2.4.4 Eindwaardetheorema

De eindwaarde van de tijdfunctie f(t) wordt verkregen als de limiet voor p gaande naarnul van de Laplace-getransformeerde van f(t), vermenigvuldigd met p.

Indien f(t) ↔ F (p) dan limt→∞

f(t) = limp→0

pF (p).

Bewijs:

limp→0

pF (p) = limp→0

(pF (p)− f(0) + f(0))

= limp→0

∞∫0

f ′(t)e−ptdt + f(0)

=

∞∫0

f ′(t)dt + f(0) = f(∞)− f(0) + f(0)

= f(∞). 4

2.4.5 Beginwaardetheorema

Indien f(t) ↔ F (p) dan limp→∞

pF (p) = f(0).

2.4.6 Schaalfactortheorema

Het schaalfactortheorema is vooral nuttig wanneer de tijdbasis moet omgerekend wordennaar een andere tijdeenheid.

Indien f(t) ↔ F (p) dan f(at) ↔ 1

aF(p

a

).

Zonder bewijs.

8 Johan Baeten

2.4 Eigenschappen

2.4.7 Eerste verschuivingstheorema

Men noemt dit theorema ook het theorema van de complexe translatie omdat het betrekkingheeft op een toename van p, waar p (zoals we later zullen zien) een ‘complex getal’ is.

Indien f(t) ↔ F (p) dan eat f(t) ↔ F (p− a).

Verifieer dit aan de hand van de definitie van de Laplace-transformatie.

2.4.8 Tweede verschuivingstheorema (reele translatie)

Let er op dat de tijdfuncties causaal zijn en dit na verschuiving moeten blijven.

Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t− a) ↔ e−apF (p). (2.15)

Zonder bewijs.

2.4.9 Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie)

Indien f(t) ↔ F (p) dan tf(t) ↔ −dF (p)

dp

of door herhaaldelijk toepassen:

Indien f(t) ↔ F (p) dan tnf(t) ↔ (−1)n dnF (p)

dpn.

Zonder bewijs.

2.4.10 Deling door t (complexe integratie)

Indien f(t) ↔ F (p) danf(t)

t↔

∞∫p

F (u)du.

Zonder bewijs.

2.4.11 Convolutie

Het symbool ∗ geeft de convolutiebewerking weer.

Indien f(t) ↔ F (p) en g(t) ↔ G(p) dan f(t) ∗ g(t) ↔ F (p) ·G(p).

De Laplace-getransformeerde van de convolutie van twee tijdsignalen stemt overeen met devermenigvuldiging van de Laplace-getransformeerden van deze signalen. Zonder bewijs.

Johan Baeten 9


2.5 De inverse Laplace-transformatie

De bewerking L−1F (p) = f(t) wordt de inverse Laplace-transformatie genoemd. Decomplexe functie F (p) is voor de hier beschouwde klasse van systemen steeds voor testellen als een verhouding van veeltermen in p.

F (p) =T (p)

N(p)

Voor fysisch realiseerbare systemen is de graad van de tellerveelterm T (p) kleiner dan ofmaximaal gelijk aan de graad van de noemerveelterm N(p). In deze gevallen kan door split-sing in partieelbreuken de echte breuk die F (p) voorstelt, herleid worden tot een som vaneenvoudigere breuken waarvan we via de tabel met elementaire Laplace-transformatieparen(samengevat in paragraaf 2.7) tot de corresponderende tijdfunctie kunnen komen. In feitemaken we hier gebruik van de lineariteitseigenschap van de inverse Laplace-transformatie

L−1c1F (p) + c2G(p) = c1L−1F (p)+ c2L

−1G(p) = c1f(t) + c2g(t) (2.16)

met c1 en c2 willekeurige constanten.

Voor elke enkelvoudige wortel pi van de noemerveelterm (of pool1) van F (p) geeft departieelbreuksplitsing een breuk van de vorm

Ai

p− pi

met Ai = limp→pi

(p− pi)F (p). (2.17)

Voor elke meervoudige pool pi (r-keer) in F (p) bevat de partieelbreuksplitsing volgendebreuken

A0

(p− pi)r +

A1

(p− pi)r−1 + · · ·+ Ar−1

p− pi

met Aj =1

j!limp→pj

dj

dpj[(p− pi)

r F (p)] . (2.18)

De coefficient die hoort bij de enkelvoudige pool volgt rechtstreeks uit vergelijking 2.17.De coefficienten die horen bij de meervoudige polen daarentegen kan men beter niet bepalenmet vergelijking 2.18 maar door gelijkstelling van de tellers in linker- en rechterlid nadatde partieelbreuken op gelijke noemer werden gebracht.

Dit geldt ook voor complex toegevoegde polen die zullen leiden tot sinusvormige tijdsig-nalen in overeenstemming met de formules 12 tot en met 15 uit de transformatietabel oppagina 14. Voor elk complex toegevoegd polenpaar a± jb bevat de partieelbreuksplitsingvolgende term

Bp + C

(p− a)2 + b2. (2.19)

Bij zuiver complex toegevoegde polen is a = 0 en is de bovenstaande breuk eenvoudig desom van een cosinus en een sinus (respectievelijk met coefficienten B en C). Indien a 6= 0moet de teller Bp + C nog herschreven worden als (B(p − a) + (C + B · a) en komt detotale breuk overeen met een gedempte cosinus en een gedempte sinus respectievelijk met

1De wortels van de noemerveelterm van F (p) zijn per definitie de polen van F (p).

10 Johan Baeten

2.5 De inverse Laplace-transformatie

coefficienten B en (C + B · a)/b. Leer deze laatste twee formules echter niet vanbuitenmaar leid ze telkens weer af!

De mogelijkheid tot meervoudige (of samenvallende) complex toegevoegde polen latenwe hier buiten beschouwing.

Voorbeelden:

• Gevraagd L−1

p− 1

(p + 2)(p + 1)p

p− 1

(p + 2)(p + 1)p≡ A

(p + 2)+

B

(p + 1)+

C

p

Volgens vergelijking 2.17 zijn

A = limp→−2

(p + 2)(p− 1)

(p + 2)(p + 1)p=

(−2− 1)

(−2 + 1)(−2)= −3

2

B = limp→−1

(p + 1)(p− 1)

(p + 2)(p + 1)p=

(−1− 1)

(−1 + 2)(−1)= 2

C = limp→0

(p)(p− 1)

(p + 2)(p + 1)p=

(−1)

(2)(1)= −1

2

Dit geeft:

L−1

p− 1

(p + 2)(p + 1)p

= L−1

−3

2(p + 2)+

2

(p + 1)− 1

2p

= −3

2L−1

1

(p + 2)

+ 2L−1

1

(p + 1)

− 1

2L−1

1

p

= −3

2e−2t + 2e−t − 1

24

• Gevraagd L−1

p2 + 1

(p− 2)3

p2 + 1

(p− 2)3≡ A

(p− 2)+

B

(p− 2)2+

C

(p− 2)3=

A(p− 2)2+B(p− 2) + c

(p− 2)3

of

p2 + 1 ≡ Ap2 + (B − 4A)p + 4A− 2B + C

Dan is

A = 1

B − 4A = 0 → B = 4

4A− 2B + C = 1 → C = 5

Johan Baeten 11


of

L−1

p2 + 1

(p− 2)3

= L−1

1

(p− 2)

+ 4L−1

1

(p− 2)2

+ 5L−1

1

(p− 2)3

= e2t + 4te2t +

5

2t2e2t

=1

2e2t(5t2 + 8t + 2)

• Gevraagd L−1

p

p2 + 4p + 5

De wortels van de noemer zijn −2± j. Dit geeft voor de partieelbreuksplitsing

p

p2 + 4p + 5=

p

(p + 2)2 + 1≡ Ap + B

(p + 2)2 + 1

Bijgevolg is A = 1 en B = 0. Voor de inverse transformatie moet bovenstaandebreuk echter herschreven worden als een som van de formules 14 en 15 uit de trans-formatietabel (zie paragraaf 2.7). Dit geeft:

p

(p + 2)2 + 1≡ C(p + 2)

(p + 2)2 + 1+

D

(p + 2)2 + 1

Eenvoudige gelijkstelling levert C = 1 en D = −2, of

L−1

p

p2 + 4p + 5

= L−1

p + 2

(p + 2)2 + 1

− L−1

2

(p + 2)2 + 1

= e−2t cos t− 2e−2t sin t

Later zullen we zien, dat we de som van een sinus en een cosinus (met dezelfdepulsatie) nog kunnen herschrijven als een sinus met faseverschuiving.

12 Johan Baeten

2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen

2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van con-tinue systemen

De oplossing van elke differentiaalvergelijking van de vorm

Dy |y(t)| = Dx |x(t)|

met

Dy = bndn

dtn+ · · ·+ b0 en Dx = an

dn

dtn+ · · ·+ a0

kan teruggebracht worden tot eenvoudige algebraısche bewerkingen via de Laplace-transformatie. Toepassing van de Laplace-transformatie op beide leden levert:

bn [pnY (p)− y(0)pn−1 − y′(0)pn−2 − · · · − yn−1(0)]+bn−1 [pn−1Y (p)− y(0)pn−2 − y′(0)pn−3 − · · · − yn−2(0)]+ · · ·+ b1 [pY (p)− y(0)] + b0Y (p)= an [pnX(p)− x(0)pn−1 − x′(0)pn−2 − · · · − xn−1(0)]

+an−1 [pn−1X(p)− x(0)pn−1 − x′(0)pn−2 − · · · − xn−2(0)]+ · · ·+ a1 [pX(p)− x(0)] + a0X(p).

Dit is een algebraısche vergelijking die als volgt herschikt kan worden

Y (p) = H(p)X(p) + E(p) met H(p) =anp

n + an−1pn−1 + · · ·+ a0

bnpn + bn−1pn−1 + · · ·+ b0

en E(p) een verhouding van rationele veeltermen in p. De coefficienten van de tellerveeltermzijn functie van y(0), y′(0) · · · yn−1(0), de beginvoorwaarden voor de uitgang (de eersten − 1 afgeleiden van de uitgang op tijdstip 0), en de waarden x(0), x′(0) · · ·xn−1(0) debeginvoorwaarden voor de ingang. De noemerveelterm is dezelfde als die van H(p).

De functie H(p) wordt de systeemfunctie of de transfertfunctie van het door de diffe-rentiaalvergelijking beschreven systeem, genoemd.

Johan Baeten 13


2.7 Transformatietabel

Onderstaande tabel geeft een samenvatting van enkele Laplace-transformatieparen. Detabel geeft voor elk tijdsignaal ook het verloop aan.

f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p)

1. δ(t) 1

2. δ(t − nT) e−nTp

3. u(t) 1p

4. tu(t) 1p2

5. 12t2u(t) 1

p3

6. tnu(t) n!pn+1

7. e−atu(t) 1p + a

8. te−atu(t) 1

(p + a)2

9. 12t2e−atu(t) 1

(p + a)3

10. tne−atu(t) n!

(p + a)n+1

11. (1 − e−at)u(t) ap(p + a)

12. sin(ωt)u(t) ωp2 + ω2

13. cos(ωt)u(t) p

p2 + ω2

14. e−atsin(ωt)u(t) ω(p + a)2 + ω2

15. e−atcos(ωt)u(t) p + a

(p + a)2 + ω2

tijd

f(t)

tijd

f(t)

1

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

nT

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

tijd

f(t)

Figuur 2.1: Tabel met Laplace-transformatieparen

14 Johan Baeten

Hoofdstuk 3

Systemen van eerste orde

3.1 Inleiding

Het meest eenvoudige systeem is dit van eerste orde (naast een zuivere versterking of ver-zwakking hetgeen in feite een nulde orde systeem is). Na de definitie en een voorbeeld vaneen eerste orde systeem, zal dit hoofdstuk de verschillende mogelijke ’voorstellingswijzen’van systemen aan de hand van het eerste orde model behandelen. We onderscheiden hierintwee grote groepen, namelijk de tijdrespons en de frequentierespons.

Andere mogelijke voorstellingswijzen zijn het nulpunten-polen-diagram en de transfert-functie. Elk van de diagrammen, responscurven of modellen vertalen hetzelfde systeem opeen eigen specifieke wijze qua eigenschappen en interprtatie.

3.2 Voorbeeld van een eerste orde systeem

Deze paragraaf beschrijft bij wijze van voorbeeld de afleiding van een elektrisch eerste ordesysteem. Merk hierbij op dat er evengoed elektronische, thermodynamische, hydraulische,pneumatische, thermische, (bio)chemische of mechanische eerste orde systemen bestaan.Uiteindelijk zullen al deze eerste orde systemen (van welke aard ook) beschreven wordendoor dezelfde transfertfunctie. Alle eerste orde systemen gedragen zich dan ook op dezelfdewijze niettegenstaande dat het telkens om verschillende ingangs- en uitgangsgroothedengaat.

Laten we eerst de transfertfunctie berekenen van het systeem uit figuur 3.1, namelijkde RC-kring. Hierbij is Vin de ingangsspanning en Vuit, de spanning over de condensator,de uitgangsspanning.

We weten dat we de condensator waarde C mogen vervangen door de veralgemeendeimpedantiewaarde van een condensator 1/pC. Nu mogen we de condensator als een gewone

R

C

V Vin uit

Figuur 3.1: Voorbeeld 1e orde systeem: RC-kring

15

3 Systemen van eerste orde

weerstand beschouwen. De TF volgt dan uit de volgende regel:

“Spanningen verhouden zich zoals de weerstanden waarover ze staan.”

Dus

TF =Vuit(p)

Vin(p)=

1/pC

R + 1/pC=

1

1 + RCp.

De hoogste macht van p in de noemer is 1. Per definitie (zie later) is dit dan een eerste ordesysteem. In de voorgaande berekeningen werd onmiddellijk de eenvoudigste weg gevolgd.Men kan de transfertfunctie ook op een andere manier berekenen. Veronderstel dat er eenstroom i door de kring vloeit. Dan geldt

Vin(t) = Ri(t) + Vuit(t) met Vuit(t) =1

C

∫i(t)dt of i(t) = C

dVuit(t)

dt

Substitutie geeft

Vin(t) = RCdVuit(t)

dt+ Vuit(t).

Toepassing van de Laplace-transformatie op deze differentiaalvergelijking levert dezelfdetransfertfunctie op als voorheen.

Vin(p) = (RCp + 1) Vuit(p) → Vuit(p)

Vin(p)=

1

1 + RCp.

Bij de Laplace-transformatie werd verondersteld dat de beginspanning over de condensatorVuit(0) gelijk is aan nul of met andere woorden dat de beginspanning over de condensator alsreferentiespanning moet beschouwd worden. De spanning Vuit, voor tijdstippen verschillendvan 0, is bijgevolg de afwijking van de werkelijke spanning over de condensator t.o.v. despanning op ogenblik t = 0.

3.3 De transfertfunctie van het eerste orde systeem

De orde van een systeem is gelijk aan de hoogste macht van p in de noemer van de trans-fertfunctie. Dit wil zeggen dat bij een eerste orde systeem de hoogste macht van p in denoemer gelijk is aan 1. De hoogste macht van p komt in feite overeen met de graad vande differentiaalvergelijking die het systeem beschrijft. De orde van een systeem is dus ookgelijk aan de hoogste afgeleide in de differentiaalvergelijking (zie voorgaand voorbeeld).

Bij fysische systemen weten we verder dat de graad van de teller van de transfertfunctienooit groter kan zijn dan die van noemer. Er zijn dan nog vier mogelijk transfertfunctiesdie voldoen aan de eisen van een eerste orde systeem.

1

τip,

1

1 + τp,

τdp

1 + τp,

1 + τvp

1 + τp

Bij elk van deze transfertfuncties kan nog een versterking K staan.

16 Johan Baeten

3.4 Tijd- en frequentierespons

Indien men echter spreekt van ’het eerste orde systeem’, dan gaat het steeds om devolgende TF:

TF1e orde =K

1 + τp(3.1)

In deze transfertfunctie staan twee parameters.

• K is de statische versterking.

• τ is de tijdconstante.

De tijdconstante heeft als dimensie seconden op voorwaarde dat de in- en uitgangsgroot-heden dezelfde dimensie hebben. De statische versterkingsfactor is dan dimensieloos.

Verder onderscheiden we de integrator- en differentiatortransfertfunctie.

TFint. =1

τipen TFdiff. = τdp

met τi de integratietijdconstante en τd de differentiatietijdconstante. De differentiator zalin de praktijk nooit alleen voorkomen maar steeds in combinatie met andere systemen.(De differentiator is in feite ook geen eerste orde systeem).

De volgende paragrafen beschrijven om te beginnen het gedrag van het eerste orde sys-teem in tijden frequentiedomein. Daarna komen dan o.a. de integrator en de differentiatorop dezelfde wijze kort aan bod.

3.4 Tijd- en frequentierespons

De reactie van een systeem op een wel bepaald ingangssignaal bepaalt per definitie deeigenschappen van dit systeem. Bij de analyse van een systeem zal men een gekend signaalaanleggen en het hieruit voortvloeiend uitgangssignaal of de respons bestuderen.

Hierbij onderscheidt men twee soorten van ingangssignalen: willekeurige (niet-periodische) signalen of periodische signalen. De eerste groep worden tijdsignalen of tijd-functies genoemd, de tweede groep frequentiesignalen. De meest gebruikte tijdfuncties zijnde stap-, de impuls- en de ‘ramp’- of taludfunctie. Het meest gebruikte frequentiesignaalis een sinus. De keuze van het aangelegde signaal hangt samen met de beoogde analyse.Dit kan een tijdrespons of een frequentierespons zijn. Figuur 3.2 geeft een overzicht.

Tijdrespons

Frequentierespons

impuls

stap

ramp

sinus

Systeem?

?INGANG UITGANG

Tijdsignaal

Frequentiesignaal

Figuur 3.2: Overzicht analysemogelijkheden

Johan Baeten 17


3.5 Tijdrespons

Bij de gebruikte tijdfuncties als ingangssignalen is de stapfunctie de belangrijkste. Volle-digheidshalve komen echter ook de impulsrespons en de taludrespons aan bod. Figuur 3.3

Stap =

Impuls = A

Ramp of Talud =

tijd

tijd

tijd

Oppervlakte A

Stapgrootte E

Helling m

E

p

m

p

E

2

1

px

1

px

dt

dt

Figuur 3.3: Tijdfuncties met overeenkomstige Laplace-formules

geeft de stap-, ramp- en impulsfunctie grafisch weer samen met de Laplace-formules. Merkop dat een stap de integraal is van een impuls en dat een talud de integraal is van een stap,waarbij integreren overeenstemt met een vermenigvuldiging met 1/p. De constante krijgtbij de integratiestap telkens een andere naam.

Uit de definitie van de transfertfunctie volgt dat de uitgang gelijk is aan de ingangmaal de transfertfunctie (met alle veranderlijken of functies i.f.v. p). De staprespons S(p)is bijgevolg gelijk aan de TF maal de ingang (-stap) E/p of

S(p) =K

1 + τp· E

p

Dit geeft onmiddellijk het uitgangssignaal i.f.v. p. Het uitgangssignaal i.f.v. de tijd isde invers Laplace-getransformeerde van bovenstaande formule. Dit gebeurt via partieel-breuksplitsing en de Laplace-transformatietabel. Partieelbreuksplitsing geeft:

S(p) =K

1 + τp· E

p=

A1τ

+ p+

B

p

De nog ongekende waarden A en B, volgen uit de gelijkstelling1 van rechter en linker lid.

K

1 + τp· E

p=

τAp + (1 + τp) B

(1 + τp) p→ KE = B + τ (A + B) p

of B = KE en A = −KE. Met behulp van de transformatietabel op pagina 14 wordt destaprespons

S(t) = Ae−tτ + B = KE

(1− e−

tτ

)1Gebruik ook eens vergelijking 2.17 om A en B te bepalen.

18 Johan Baeten

3.5 Tijdrespons

Deze functie is nul voor t = 0, gelijk aan KE voor t = ∞ en bereikt na een tijd τ 63%van haar uiteindelijke waarde (=KE). De afgeleide van deze functie op het tijdstip t = 0,levert de hoek α waarmee de curve vertrekt en is

α =bgtg(

KEτ

).

KE

tijd

Staprespons = KE(1-e )- t /t

Uiteindelijke waarde

a

t

0,63.KE

(tijdconstante)

S t( )

Figuur 3.4: Staprespons van een eerste orde systeem

Figuur 3.4 geeft de staprespons weer. Uit de oplossing volgt dat de uitgang zijn uit-eindelijke waarde zo goed als bereikt heeft na 5 maal de tijdconstante. De tijdconstante isdus een indicatie voor de snelheid van het systeem. Systemen met een grote tijdconstantezijn langzame systemen, systemen met een kleine tijdconstante zijn snelle systemen.

Ingang = mt ~m

p

Ramprespons = mK e + t -[ ]t tImpulsrespons =

tijd tijdt t

0,37 mt

0,63

mt

( =1)K

mt

AK/t

0,63 /AK t

e-t/t

Ingang = impuls ~A

0,37 /AK t

AKt

-t/t

2

I t( ) R t( )

Figuur 3.5: Impuls- en ramprespons van het eerste orde systeem

Nu kunnen we de statische versterkingsfactor en de tijdconstante definieren:

• De tijdconstante is de tijd waarbij de uitgang (van een eerste orde systeem) alsrespons op een stap, 63% van de uiteindelijke waarde bereikt of ook de tijd waarbijde uitgang de uiteindelijke waarde bereikt indien ze met dezelfde snelheid zou blijventoenemen als op het tijdstip nul.

• De statische versterkingsfactor is de factor waarmee het ingangssignaal versterktwordt indien dit niet meer verandert en indien men lang genoeg wacht of m.a.w. destatische versterkingsfactor is de factor waarmee ’statische’ signalen (frequentie nul)versterkt worden door het systeem.

Johan Baeten 19


De impuls- en ramprespons kunnen op analoge wijze behandeld worden. Figuur 3.5geeft de oplossing.

3.6 Frequentierespons

De frequentierespons van een systeem is de blijvende reactie van het systeem op een si-nusoıdaal signaal, dat meestal bestaat uit een enkele sinus met een bepaalde frequentie fof pulsatie ω en met een bepaalde amplitude A. Zie volgende figuur.

Systeem of

TF

A.sin t( )w K.A.sin t +( )w j

AKA

tijd tijd

Ingang Uitgang j ( neg.)

Figuur 3.6: Frequentieanalyse

Het uiteindelijk uitgangssignaal zal terug een sinus zijn maar met een andere ampli-tude en met een faseverschuiving t.o.v. het ingangssignaal. In het voorbeeld getekend infiguur 3.6, is de faseverschuiving ϕ negatief.

Een negatieve faseverschuiving geeft aan dat de uitgangssinus later door nul gaat dande ingangssinus of dat de uitgang naijlt op de ingang. Bij een positieve faseverschuivingijlt de uitgang voor op de ingang.

De frequentieanalyse gaat na hoe groot de versterking of verzwakking en hoe groot defaseverschuiving veroorzaakt door het systeem, zijn en dit voor alle mogelijk pulsatiewaar-den, dus voor ω gaande van 0 tot ∞.

De onmiddellijke reactie op een plots aangelegde sinus bestaat in feite uit twee de-len, het overgangsverschijnsel en de regimetoestand. Het overgangsverschijnsel sterft vluguit, zodat de frequentierespons enkel de regimetoestand beschrijft. Figuur 3.7 geeft eenschematisch voorbeeld.

t = 0

tijd

tijd

tijd

tijd

regimeovergang

Overgangsverschijnsel

Regimetoestand

(=freq.respons)

Ingang = sinus voor t > 0

Totaal (=som)

= 0 voor t < 0

Figuur 3.7: Overgangsverschijnsel en regimetoestand

Het resultaat van de frequentieanalyse kan op verschillende wijzen worden voorgesteld.De twee belangrijkste voorstellingswijzen zijn het Bode-diagram en het Nyquist-diagram.

20 Johan Baeten

3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem

Indien de transfertfunctie van het systeem gekend is, kan men de versterking en de fa-severschuiving gemakkelijk vinden door p gelijk te stellen aan jω en in te vullen in detransfertfunctie. Het bewijs hiervoor volgt uit de invers Laplace-transformatie van de uit-gang bij een sinus als ingangsignaal. Voor het eerste orde systeem worden de afleidingenen berekeningen voor dit bewijs gegeven op het einde van dit hoofdstuk (paragraaf 3.19).

3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem

De karakteristieken van de frequentierespons volgen uit de gelijkstelling van p met jω inde TF:

TF1eorde = G(p) =K

1 + pτ→ G(jω) =

K

1 + jωτ(3.2)

G(jω) is een complex getal dat verandert i.f.v. de pulsatie ω. De absolute waarde vanG(jω), voorgesteld door M , is gelijk aan de versterking. De hoek van G(jω) is gelijk aande faseverschuiving ϕ.

G(jω) =K

1 + jωτ= Mejϕ met

M = |G(jω)| =∣∣∣∣ K

1 + jωτ

∣∣∣∣ =K

|1 + jωτ |=

K√1 + ω2τ 2

(3.3)

en

ϕ = ∠G(jω) = ∠Teller− ∠Noemer = 0− bgtg(ωτ) (3.4)

M en ϕ zijn functies van ω. Deze waarden worden meestal in figuren, zoals het Bode-, hetNyquist- en het Black-diagram, weergegeven.

3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem

In het Bode-diagram wordt enerzijds de versterking A in dB en anderzijds de faseverschui-ving ϕ in graden i.f.v. de pulsatie ω uitgezet, waarbij de pulsatie-as een logaritmischeschaalverdeling heeft.

De decibel-waarde van een versterking is gelijk aan het 20 maal het logaritme van diewaarde:

A = 20 log M = 20 log |G(jω)|

Bij een logaritmische schaalverdeling stemt een vermenigvuldiging met een factor (bij-voorbeeld ·10) overeen met een vaste afstand op de logaritmische schaal. Figuur 3.8 geeftde opbouw van het Bode-diagram weer. Om het amplitudegedeelte van het Bode-diagramte tekenen gaan we de functie die A weergeeft i.f.v. ω, evalueren voor zeer kleine ω-waarden,voor ω = 1/τ en voor zeer grote ω-waarden.

A(ω) = 20 log M(ω) = 20 log

(K√

1 + ω2τ 2

)= 20 log K − 20 log

√1 + ω2τ 2

Johan Baeten 21


Amplitudegedeelte

Logaritmische schaal

Pulsatie 'nul'

op - oneindig

Pulsatie in rad/secw

Pulsatie in rad/secw

Fasegedeelte

0,1 1 10 100

0,1 1 10 100ligt

Amplitude

in

dB

Fase

in

graden

Figuur 3.8: Het Bode-diagram

• Voor zeer kleine ω-waarden geldt

ωτ << 1 → A = 20 log K.

• Voor ω = 1/τ (de breekpulsatie of afsnijpulsatie) is de werkelijke waarde van A

A

(1

τ

)= 20 log K − 20 log

√1 + 1 = 20 log K − 3dB.

• Voor zeer grote ω-waarden geldt

ωτ >> 1 → A = 20 log K − 20 log (ωτ) .

Dit is een rechte die voor de waarde ω = 1/τ gelijk is aan 20 log K. Indien we ook nogde helling kennen van deze rechte dan kunnen we deze tekenen. De helling vinden wemet de volgende redenering: Indien ω met een factor 10 vergroot, dan gaat de rechtedoor het punt met grootte A2:

ω2 = 10ω1 → A2 = 20 log K − 20 log (ω2τ)A2 = 20 log K − 20 log (10ω1τ)A2 = 20 log K − 20 log (ω1τ)− 20 log (10)A2 = A1 − 20 log (10) = A1 − 20dB

Dit komt erop neer dat de rechte een helling heeft van -20 dB per decade waarbij eendecade de afstand is die op de logaritmische schaal overeenstemt met een factor 10.

In feite werden nu drie punten exact berekend:

• de asymptotische waarde voor ω gaande naar 0,

• de waarde bij de breekpulsatie ω = 1/τ en

• de asymptotische waarde voor ω gaande naar ∞.

22 Johan Baeten

3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem

20logKAmplitudegedeelte

Fasegedeelte

w [rad/s]

3 dB

-45

0

-90

(breekpulsatie)

20 dBAsymptotisch verloop

Werkelijk verloop

20 dB/decade

Rechte die daalt met

1/t

10/t0,1/t 1/t

[dB]A

j [°]

w [rad/s]

Figuur 3.9: Bode-diagram van het eerste orde systeem

Het asymptotisch amplitudegedeelte van het Bode-diagram bestaat uit twee asympto-ten. Het werkelijke verloop is rakend aan de asymptoten en heeft in het breekpunt (bij debreekpulsatie) een afwijking van -3 dB. Figuur 3.9 geeft het volledige Bode-diagram. Hetfaseverloop volgt rechtstreeks uit de formule die de faseverschuiving beschrijft i.f.v. ω. Defaseverschuiving is nul bij ω = 0, is −45 bij ω = 1/τ en wordt −90 voor ω gaande naar∞. Merk op dat ω = ∞ en ω = 0 op een logaritmische schaal de limietwaarden vormen.

Voorbeeld : Teken het Bode-diagram van het volgende eerste orde systeem:

G(p) =10

2p + 1

Gegeven: τ = 2 sec en K = 10.

Bepaal eerst de breekpulsatie ωk = 1/τ = 1/2 rad/sec = 0,5 rad/sec (Let op de eenheid!)

• Teken een horizontale die de verticale as snijdt in 20log(K) = 20 dB;

• Teken een rechte met helling -20dB/dekade die de vorige horizontale rechte snijdt bijde breekpulsatie;

• Teken het punt dat 3 dB lager ligt dan het snijpunt van de twee rechten;

• Teken tenslotte een vloeiende lijn door dit punt en rakend aan de twee rechten.

• Teken nu het faseverloop onder het amplitudeverloop. Duid hiervoor het punt aanwaarbij de fase −45 wordt, en teken hierdoor een vloeiende curve beginnend bij nulen eindigend bij −90 .

Johan Baeten 23


Een goede benadering voor het faseverloop is een rechte die vertrekt in 0 bij 1/10 van debreekpulsatie en die aankomt in -90 bij 10 keer de breekpulsatie. Voor het eerste punt isde fase omzeggens 0, na het tweede punt is de fase bijna 90. Vergelijk nu het resultaatmet figuur 3.10.

-20

-10

0

10

20Amplitude in dB i.f.v. de pulsatie in rad/sec

0,01 0,1 1 10-90

-45

0Fase in graden i.f.v. de pulsatie in rad/sec

0,01 0,1 1 10

Figuur 3.10: Bode-diagram van eerste orde systeem met K = 10 en τ = 2 sec

Interpretatie: In het gebied ω = 0 tot ω = 1/τ worden de sinusvormige signalenvrijwel onverzwakt (met dezelfde versterking) doorgelaten. Dit frequentiegebied noemenwe de bandbreedte van het systeem. Daar enkel de lage frequenties onverzwakt wordendoorgelaten, noemt men dit ook een laagdoorlaatfilter.

3.9 Het Nyquist-diagram

Het Nyquist-diagram vormt naast het Bode-diagram een tweede mogelijke manier om hetfrequentiegedrag van een systeem voor te stellen. In het Nyquist-diagram wordt het reeelen het imaginair deel van de transfertfunctie uitgezet en dit voor alle pulsaties gaande vannul tot oneindig. Bij elk uitgezet punt wordt vermeld bij welke frequentie dit punt behoort.De Nyquist-curve moet dus gegradueerd worden naar de pulsatie ω.

Een schets van het Nyquist-diagram is meestal voldoende. Deze schets wordt afgeleiduit het Bode-diagram, zodat er in feite geen berekeningen nodig zijn. Volledigheidshalveworden de formules toch gegeven.

G(jω) =K

1 + jτω=

K

1 + τ 2ω2(1− jτω) (3.5)

<e [G (jω)] =K

1 + τ 2ω2en =m [G (jω)] = − Kτω

1 + τ 2ω2(3.6)

24 Johan Baeten

3.9 Het Nyquist-diagram

Men kan het Nyquist-diagram ook opbouwen door voor elke pulsatie ω een vector metlengte M uit te zetten onder een hoek ϕ.

Figuur 3.11 geeft de algemeenheden van het Nyquist-diagram weer. De positieve zinvoor de hoek ϕ is tegenuurwijzerszin. De getekende hoek is bijgevolg negatief.

j

Complex Vlak

M

Re el DeelÁ

ImaginairDeel We laten vari ren van 0 tot ¥w Á

= Faseverschuivingj

M = Versterking

en bekomen zo verschillende vectoren

met lengte en hoek .M j

Âe

Ám

Figuur 3.11: Het Nyquist-diagram

Om het Nyquist-diagram van het eerste orde systeem te tekenen bepalen we eerst enkelepunten

ω = 0 → <e = K =m = 0 M = K ϕ = 0

ω = 1/τ → <e = K/2 =m = −K/2 M = K√

2/2 ϕ = −45

ω = ∞ → <e = 0 =m = 0 M = 0 ϕ = −90

Men kan wiskundig afleiden dat het Nyquist-diagram voor het eerste orde systeem infeite een halve cirkel is. Zie figuur 3.12.

w = 0j = - 45°

K

w = ¥

w = 1 / t

Âe

Ám

K/2

K/2

Figuur 3.12: Nyquiqst-diagram van het eerste orde systeem

De pijl geeft de toenemende waarde van ω aan. De hoek is negatief in uurwijzerszin.Schets nu bij wijze van oefening het Nyquist-diagram van 10/(1+2p), (zie vorige oefening).Figuur 3.13 geeft de oplossing.

Johan Baeten 25


0 2 4 6 8 10

-5

-4

-3

-2

-1

0

x 0.02r/s

x 0.05r/s

x0.09r/s

x

0.15r/s

x0.27r/s

x0.46r/s

x 0.79r/s

x 1.36 r/s

x 2.33r/s

x 4r/s

x 13.2r/s

Âe

Ám

Figuur 3.13: Het Nyquist-diagram van 10/(1 + 2p)

3.10 Het Black- of Nichols-diagram

In het Black- of Nichols-diagram wordt de versterking A (in dB) uitgezet in functie vande faseverschuiving ϕ (in graden). Zoals bij het Nyquist-diagram tekent men enkel hetkwadrant waar de TF betrekking op heeft. In dit geval kwadrant 3. Zie figuur 3.14.

-90° -45°

-3dB

j [°]

A [dB]

-6dB

-9dB

w = 1/t

w = 0

w = ¥

Figuur 3.14: Black- of Nichols-diagram van het eerste orde systeem met K = 1

Ook het Black-diagram wordt gegradueerd naar de pulsatie ω. Dit wil zeggen dat we bijenkele set van punten (versterking, faseverschuiving) de (bijbehorende) pulsatie aangeven.

3.11 Het nulpunten-polen-diagram

De nulpunten van een systeem zijn de nulpunten van de teller van de transfertfunctie. Depolen van een systeem zijn de nulpunten van de noemer van de transfertfunctie.

26 Johan Baeten


Het nulpunten-polen-diagram geeft de nulpunten en de polen van het systeem weer,getekend in het complex vlak. Een nulpunt wordt aangeduid met een ‘o’ en een pool meteen ‘x’. Zoals bij de staprespons gezien is, bepalen de polen het transient gedrag van hetsysteem. Elke (reele) pool a komt overeen met een exponentieel tijdgedrag:

1

p− a→ eat.

• Indien a positief is dan wordt de exponentiele functie steeds groter. Het ‘transient’gedrag sterft niet uit of het systeem is instabiel.

• Indien a negatief is dan sterft de ‘reactie’ vanzelf uit, zodat het systeem stabielis. (Met reactie bedoelen we de uitgang als respons op een willekeurige ingang bij-voorbeeld ruis). Naarmate a meer negatief is, zal het overgangsverschijnsel vluggeruitsterven.

• Indien a = 0, dan bevindt het systeem zich op de rand van de stabiliteit. Hetovergangsverschijnsel sterft niet uit en wordt ook niet noodzakelijk oneindig groot.

De ligging van de polen en de nulpunten geeft dus informatie over de vorm van detransfertfunctie en over het tijdgedrag van het systeem. Figuur 3.15 geeft het nulpunten-polen-diagram van het eerste orde systeem.

x

-1/tK

1 + pt

Á

Â

Figuur 3.15: Nulpunten-polen-diagram van het eerste orde systeem

Merk op dat 1/τ de breekpulsatie is uitgedrukt in rad/sec en dat −1/τ de pool is vanhet eerste orde systeem. Figuur 3.16 geeft het verband tussen de ligging van de pool enhet transient gedrag.

x x x x x x

t

t t t

tt

Stabiele reactie Instabiele reactie

Rand van de stabiliteit

Á

Â

Figuur 3.16: Verband tussen het nulpunten-polen-diagram en het transient gedrag

In de volgende paragrafen worden Bode-, Nyquist- Black- en nulpunten-polen-diagrammen gegeven voor het eerste orde systeem met differentierende werking, de in-tegrator, de differentiator en het ‘omgekeerde eerste orde systeem’. De figuren volgenallemaal uit de transfertfunctie op een analoge wijze als in de voorgaande paragrafen.

Johan Baeten 27


3.12 Eerste orde met differentierende werking

Neem als voorbeeld de CR-kring uit figuur 3.17. De transfertfunctie hiervoor is

V VR

C ~ pC1/

in uit

Figuur 3.17: Voorbeeld: 1e orde systeem met differentierende werking: CR-kring

Vuit

Vin

=RCp

RCp + 1=

τp

τp + 1met τ = RC [sec] .

De statische versterking K voor deze kring is gelijk aan 1. Figuur 3.18 geeft de eenheids-staprespons en de ramprespons . Figuur 3.19 geeft het Bode-, Nyquist- en Black-diagram.

Ingang = mt ~m

p

tijd tijd

Ramprespons = m e [1- ]-t/

m

0,37

0,63

Staprespons = e-t/

Ingang = stap ~ p1/

K = 1

1

0,63m

2

Figuur 3.18: Stap- en ramprespons van een systeem met differentierende werking

-3 dB

45°

0°

90° -3 dB

1/t

1/t

w = 1/t

w = 0 w = ¥

w = 0

w = ¥

w = 1/t

0,5

10,5

j [°]

j [°]

w

w

Bode

Nyquist

Black

A[dB]

A[dB] 45° 90°

K = 1Âe

Ám

Figuur 3.19: Frequentiediagrammen voor eerste orde systeem met differentierende werking

28 Johan Baeten

3.13 De zuivere integrator

3.13 De zuivere integrator

Als voorbeeld nemen we een vloeistofreservoir. Zie figuur 3.20.

F ( )th t( )

A

r

F = constant ingangsdebiet [kg/s]

h = hoogte van de vloeistof [m]

A = oppervlakte van het reservoir [m ]

r = soortelijke massa [ kg/m ]

in

in

2

3

Figuur 3.20: Het vloeistofreservoir als voorbeeld van een zuivere integrator

Het instromend water zal een verandering van de hoogte veroorzaken. We schrijven:

Φin(t) = ρAdh(t)

dtof

H(p)

φin(p)=

1

τpmet ρA = τ [sec]

De uitgang van de integrator is het geıntegreerde (of ’continu opgetelde’) ingangssignaal.De transfertfunctie is

TFintegrator =1

pτi

. (3.7)

De staprespons van de integrator is een lineair stijgende lijn. De impulsrespons van deintegrator is een stap. Zie figuur 3.21.

Staprespons = t /t Impulsrespons = 1/t

tijdtijd

1

t

1/t

(Ingang = stap met grootte 1) (Ingang = Impuls met oppervlakte 1)

i

i

i

i

Figuur 3.21: Stap- en impulsrespons van de integrator

De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω.

Gi(jω) = −j1

ωτi

→ M =1

ωτi

en ϕ = −90

→ <e = 0 en =m = − 1

ωτi

Figuur 3.22 geeft het Bode-, het Nyquist- en het nulpunten-polen diagram van deintegrator.

Johan Baeten 29


w

w

-90°

w = 0

w = ¥

Bode Nyquist Black

1/t

-1

0°

0

A [dB]

j [°]

A [dB]w = 0

w = ¥

-90°

Âe

Ám

j [°]

w = 1/t

w = 1/t

i

i

i

Figuur 3.22: Frequentierespons van de integrator

3.14 De zuivere differentiator

De uitgang van de differentiator is de afgeleide van het ingangssignaal. De transfertfunctieis

TFdifferentiator = pτd. (3.8)

Een benaderend voorbeeld van een zuivere differentiator is een drukvat. Zie figuur 3.23.

F ( )t

F = constant massadebiet [kg/s]P t( )

P = druk in het vat [N/m ]

C = Capacitiet van het vat [ms ]Cuit

uit2

2

Figuur 3.23: Het drukvat als voorbeeld van een zuivere differentiator

Voor dit systeem geldt

Φuit(t) = CdP (t)

dt→ Φuit(p)

P (p)= pC = pτd.

Dit geeft inderdaad de TF van de differentiator. De staprespons van de differentiator iseen impuls. De impulsrespons van de differentiator is oneindig en heeft geen betekenis.Figuur 3.24 geeft de staprespons weer.

Staprespons

tijd

Ingang = stap met grootte 1

Impuls met opp.= td

Figuur 3.24: Staprespons van de differentiator

De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω.

Gd(jω) = jωτd → M = ωτd en ϕ = 90

→ <e = 0 en =m = ωτd.

Figuur 3.25 geeft het Bode-, het Nyquist- en Black-diagram van de differentiator.

30 Johan Baeten

3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem

w

90°

w = ¥

w

1

2

0°

90°

w = ¥

Bode Nyquist Black

1/t

A [dB]

j [°]

w = 0

2/t

A [dB]

j [°]

w = 0

1/tÂe

Ám

d

dd

Figuur 3.25: Frequentierespons van de differentiator

3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem

De transfertfunctie is

TF = 1 + τvp. (3.9)

Dit systeem komt in feite nooit alleen voor. De transfertfunctie moet gezien worden alseen deel van de totale transfertfunctie van het gehele systeem. De staprespons heeft geendirecte betekenis en wordt derhalve niet besproken. De frequentierespons is wel belangrijk.(We zullen later zien dat dit in feite de TF is van de ideale PD-regelaar).Gelijkstelling van p met jω geeft:

G(jω) = 1 + jτvω → <e = 1 =m = τvω

M =√

1 + (τvω)2 ϕ = bgtg (τω).

Figuur 3.26 geeft het Bode- en Nyquist-diagram overeenkomstig deze transfertfunctie.Hierbij is vooral het Bode-diagram belangrijk. Voor zeer kleine pulsaties is de versterkinggelijk aan 1 of dus 0 dB, voor zeer grote pulsaties is de versterking gelijk aan τω en neemtze dus evenredig toe met ω.

w

w

A [dB]

j [°]

90°

45°1

w = 0

w = ¥

Bode

Nyquist3dB

WerkelijkAsymptotisch

0°

Âe

Ám1/t

1/t

w = 1/t

Figuur 3.26: Frequentierespons van het ’omgekeerde’ eerste orde systeem

Om het Bode-diagram van het omgekeerde eerste orde systeem te bekomen, moet menhet Bode-diagram van het eerste orde systeem spiegelen rond de pulsatie-as.

Johan Baeten 31


Mnemotechnisch trucje: Als p in de teller staat van de TF, zal het amplitude- en fase-verloop naar ‘boven’ toe verlopen, als p in de noemer van de TF staat, zal het amplitude-en faseverloop naar ‘onder’ toe verlopen.

3.16 Bode-diagram van een willekeurig systeem

Met de kennis over de Bode-diagrammen van de afzonderlijke stukken, waaruit de TFbestaat, kan gemakkelijk het volledige Bode-diagram opgesteld worden. Neem bijvoorbeeldeen TF die bestaat uit drie stukken

G(p) =A

B.C

Het Bode-diagram geeft de fase en de versterking:

20 log G(jω) = 20 log(∣∣ AB.C

∣∣) = 20 log |A|+ 20 log(∣∣ 1B

∣∣) + 20 log(∣∣ 1C

∣∣)∠G(jω) = ∠( A

B.C) = ∠A + ∠( 1

B) + ∠( 1

C)

Het totale Bode-diagram bestaat dus uit de som van de afzonderlijke Bode-diagrammen.Teken daarom eerst deze afzonderlijke stukken en tel ze vervolgens op om de volledigefrequentierespons te bekomen.

p

1

1+5p

w

j [°]

A [dB]

0,1 0,2

1

0,1 1

-90°

0°

90°

10

1+10p

1Som

Som

0,2

[r/s]

w [r/s]

Figuur 3.27: Oefening

• Voorbeeld Teken het Bode-diagram van G(p) =(1 + 5p)

p(1 + 10p). Teken eerst de afzonder-

lijke stukken overeenkomstig

(1 + 5p) ,1

(1 + 10p)en

1

p

en tel deze vervolgens op. Figuur 3.27 geeft enkel het asymptotisch verloop. Hetwerkelijk verloop is natuurlijk vloeiender en wordt weergegeven in figuur 3.28.

32 Johan Baeten

3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld

-30

-15

0

15

30

45Amplitude in dB i.f.v pulsatie in r/s

0,01 0,1 10 1-115

-110

-105

-100

-95

-90Fase in graden i.f.v. pulsatie in r/s

0,01 0,1 10 1

Figuur 3.28: Voorbeeld Bode-diagram van (1 + 5p)/(1 + 10p)p

3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld

Deze paragraaf geeft voor de verschillende besproken systemen het nulpunten-polen-beeld.Zoals eerder vermeld, is een nulpunt de wortel van de teller van de TF, en een pool dewortel van de noemer van de TF. Nulpunten duiden we schematisch aan met een bolletje(‘o’), polen met een kruisje (‘x’). Zie figuur 3.29.

Het eerste orde systeem met integrerende werking benadert de zuivere integrator deste meer naarmate −1/τ naar 0 gaat of naarmate τ toeneemt. Het eerste orde systeemmet differentierende werking benadert de zuivere differentiator des te meer naarmate −1/τnaar −∞ gaat of naarmate τ afneemt.

3.18 Oefeningen

• De ‘LAG’-COMPENSATOR of naijlingsketen

Bereken de TF voor het systeem uit figuur 3.30.a. Vervang de tijdconstante in deteller door τ , in de noemer door kτ . Bereken en teken de stapweergave, het Bode-,Nyquist- en Black-diagram.

Bereken eveneens de TF=x2/x1 voor het systeem uit figuur 3.30.b. Wat stel je vast?

• De ‘LEAD’-COMPENSATOR of voorijlingsketen

Bereken de TF voor het systeem uit figuur 3.31. Vervang de tijdconstante in denoemer door τ en in de teller door kτ . Bereken en teken de stapweergave, het Bode-,Nyquist- en Black-diagram.

Johan Baeten 33


x o

Eerste orde

Eerste orde

Zuivere integrator

Zuivere differentiator

`Lag-compensator *

`Lead-compensator *

(*) Zie later.

met integrerende werking

met differenti rende werkingÁ

x

x

o

ox

o x

TF =

t p

t

K

1 + p

1

K p

K

K

k >1

-1/t

Á

Â

Á

Â

Á

Â

Á

Â

Á

Â

Á

Â

-1/t

-1/t

-1/t

-1/k t

-1/k tt1 + p

t1 + p

t1 + p

t p

t1 + k p

t1 + k pk >1

t

Figuur 3.29: Samenvatting : Nulpunten-polen-beeld of nulpunten-polen-diagram

R1

R2

C

V V

f t1( )

f t2( )

f t3( )

f t4( )

x t1( )

x t2( )

x t3( )

?

k1

k2

b

x t1( )

x t2( )

b)a)

in uit

Figuur 3.30: Oefening : a) elektrisch voorbeeld; b) mechanisch voorbeeld

3.19 Bewijs “p = jω”

Om aan te tonen dat “p = jω”2, berekenen we de respons het eerste orde systeem op eensinus.

2p is in het algemeen een complex getal. Te stellen dat “p = jω” houdt in dat het overgangsverschijnselverwaarloosd wordt om zo enkel de regimerespons over te houden. p is dus niet identiek gelijk aan “p = jω”maar door de gelijkstelling kan wel de frequentierespons op eenvoudige wijze berekend worden.

34 Johan Baeten

3.19 Bewijs “p = jω”

R1

R2

C

V Vin uit

Figuur 3.31: Oefening: elektrisch voorbeeld

Vuit(p)

Vin(p)=

K

1 + pτmet Vin(p) =

A ω

p2 + ω2zodat Vuit(p) =

K

1 + pτ.

A ω

p2 + ω2.

De tijdfunctie Vuit(t) is gelijk aan de invers-Laplace-getransformeerde van Vuit(p). Hier-voor voeren we eerst een partieelbreuksplitsing door.

Vuit(p) =K

1 + pτ.

A ω

p2 + ω2=

X

p + 1/τ+

Y ′

p + jω+

Z ′

p− jω

De complexe constanten Y ′ en Z ′ brengen echter heel wat rekenwerk met zich mee. Departieelbreuksplitsing kan daarom beter op de volgende wijze gebeuren:

Vuit(p) =K

1 + pτ.

Aω

p2 + ω2=

X

p + 1/τ+

Y p + Z

p2 + ω2. (3.10)

De waarde van X volgt uit de toepassing van vergelijking 2.17. Y en Z volgen dan uit degelijkstelling van linker- en rechterlid van vergelijking 3.10.

X = limp→−1/τ

(p + 1/τ) K/τ

1/τ + p· A ω

p2 + ω2=

KAωτ

1 + τ 2ω2

en

K/τ

1/τ + p· Aω

p2 + ω2=

X

p + 1/τ+

Y p + Z

p2 + ω2

=(p + 1/τ)(Y p + Z) + X(p2 + ω2)

(p + 1/τ)(p2 + ω2).

Waaruit volgt

KAω

τ≡ (X + Y )p2 + (

Y

τ+ Z)p + Xω2 +

Z

τ

of Y = −X en Z = X/τ .Het eerste stuk (X/(p + 1/τ)) uit vergelijking 3.10 komt overeen met een exponentieel

dalende functie e−t/τ , die uiteindelijk (voor grote t-waarden) uitsterft. Zij zorgt voor hetovergangsverschijnsel. Het tweede deel vormt de regimerespons van het eerste orde systeem.

Johan Baeten 35


De volgende vergelijkingen herschrijven dit deel als de som van een sinus en een cosinus envervolgens als een sinus met een faseverschuiving.

Vuit−regime(p) =Y p + Z

p2 + ω2=

KA

1 + ω2τ 2

(ω

p2 + ω2− ωτ

p

p2 + ω2

)De overeenstemmende regimerespons in de tijd is:

Vuit−regime(t) =KA

1 + ω2τ 2[sin(ωt)− ωτ cos(ωt)]

Deze laatste vergelijking herschrijven we als een sinus met een faseverschuiving.

sin(ωt)− ωτ cos(ωt) = L [sin(ωt + ϕ)]

= L [sin(ωt) cos ϕ + cos(ωt) sin ϕ]

Gelijkstellen van linker- en rechterlid levert de formules voor L en ϕ.

L cos ϕ = 1 → tgϕ = −ωτ

L sin ϕ = −ωt → L =√

1 + ω2τ 2

De regimerespons wordt uiteindelijk

Vuit(t) =KA

1 + ω2τ 2[sin(ωt)− ωτ cos(ωt)]

=KA

1 + ω2τ 2L [sin(ωt + ϕ)]

=KA√

1 + ω2τ 2[sin(ωt− bgtg(ωτ)]

Dit wil zeggen dat de uitgang (in regimetoestand) eveneens een sinus is met dezelfdefrequentie ω als de ingang, maar in fase verschoven over ϕ = −bgtg(ωτ) en met versterking

M = K/(√

1 + ω2τ 2).

Dit resultaat wordt onmiddellijk verkregen door in de transfertfunctie p te vervangendoor jω en vervolgens te absolute waarde en de hoek te berekenen:

G(p) =K

1 + pτ→ G(jω) =

K

1 + jωτ= Mejϕ

met

M = |G(jω)| =∣∣∣∣ K

1 + jωτ

∣∣∣∣ =K

|1 + jωτ |=

K√1 + ω2τ 2

en

ϕ = ∠G(jω) = ∠Teller− ∠Noemer = 0− bgtg(ωτ). 4

36 Johan Baeten

Hoofdstuk 4

Het tweede orde systeem

4.1 Inleidend voorbeeld

Neem het massa-veer-demper systeem uit figuur 4.1. De ingangsgrootheid van dit systeemis de aangelegde kracht. De uitgangsgrootheid is de verplaatsing van de massa. Merk opdat zulke systemen zeer frequent voorkomen, denk maar aan de ophanging van een auto,demping van bewegende onderdelen, enz.

veerconstante

m

b

massa

dempingsco ffici ntÁ Á

x

F

Verplaatsing

Aangelegde

kracht

k

Figuur 4.1: Voorbeeld: massa-veer-demper systeem

De transfertfunctie volgt uit de krachtenvergelijking. De aangelegde kracht veroorzaakteen versnelling van de massa, wordt tegengewerkt door de demper (kracht evenredig metde snelheid) en ondervindt een tegenwerkende kracht van de veer (veerkracht evenredigmet de verplaatsing). Dit geeft volgende vergelijkingen bij krachtenevenwicht:

F (t) = m.a(t) + Ff (t) + Fx(t) = m.a(t) + b.v(t) + k.x(t)

= m · d2x(t)

dt2+ b · dx(t)

dt+ k.x(t) . (4.1)

Toepassing van de Laplace-transformatie op vergelijking 4.1 geeft de TF.

F (p) =(m.p2 + b.p + k

)X(p) → TF =

X(p)

F (p)=

1

m.p2 + b.p + k

De hoogste macht van p (in de noemer) is gelijk aan twee. Dit systeem is derhalve eentweede orde systeem.

37

4 Het tweede orde systeem

Indien de wortels van de noemer (dit zijn per definitie de polen van het systeem)reeel zijn, dan kan de transfertfunctie gezien worden als een samenvoeging van twee eersteorde systemen (waarbij de uitgang van het eerste systeem de ingang is voor het tweedesysteem). Bij samenvallende polen geeft de ontbinding zelfs twee identieke eerste ordesystemen. Indien echter de polen complex toegevoegd zijn, dan is er geen ontbinding intwee eerste orde systemen mogelijk en ziet de reactie van het systeem er ook volledig andersuit dan bij een aaneenschakeling van twee eerste orde systemen.

De berekeningen en afleidingen, worden toegelicht aan de hand van de standaardvormvan het tweede orde systeem.

4.2 Het standaard tweede orde systeem

De TF van het standaard tweede orde systeem is:

G(p) =Kω2

n

p2 + 2ζωnp + ω2n

(4.2)

met

• ωn de natuurlijke eigenpulsatie,

• ζ (‘zeta’) de dempingscoefficient1 en

• K de statische versterkingsfactor.

Bij gelijkstelling van de oplossing uit voorgaand voorbeeld met vergelijking 4.2 geldtvoor het massa-veer-demper systeem:

1

m.p2 + b.p + k=

Kω2n

p2 + 2ζωnp + ω2n

→ ωn =

√k

mζ =

b

2√

kmK =

1

k

De dempingscoefficient ζ is evenredig met de demping b, aanwezig in het systeem, maarniet identiek gelijk aan b. Indien er geen demping is in het systeem (b = 0), dan is ζ = 0.

4.3 De staprespons van het tweede orde systeem

Deze paragraaf analyseert de staprespons van het tweede orde systeem. Neem als voor-beeld het massa-veer-demper systeem, zet dit in verticale positie, breng de masse uit haarevenwichtspositie en laat ze dan plots los. Wat zal er gebeuren? Hoe zal de plaats van demassa in functie van de tijd evolueren? Intuıtief weten we dat de massa terug naar haarevenwichtspositie zal gaan. Indien de demping in het systeem klein is, dan zal de massaeerst voorbij haar evenwichtspositie schieten en vervolgens lichtjes oscillerend naar haareindwaarde toegaan. Indien de demping in het systeem groot is, dan zal de massa lang-zaam en zonder oscillatie naar de eindwaarde toe bewegen. Figuur 4.2 geeft een overzichtvan de ‘testopstelling’ en geeft een mogelijke beweging van de massa bij ‘weinig’ demping.

De standaard TF van het tweede orde systeem is nu juist zodanig gekozen dat de waardevan ζ bepaalt hoe de reactie van het systeem zal zijn.

1ζ wordt ook vaak aangeduid met de letter z.

38 Johan Baeten

4.3 De staprespons van het tweede orde systeem

Oorspronkelijk

systeem in evenwicht.

Uit evenwicht (ew)

brengen.

Plots loslaten en de beweging

opnemen i.f.v. de tijd.

ew

Stap

ew

tijd

Positie Positie Positie

Figuur 4.2: Voorbeeld staprespons van een tweede orde systeem

• Indien ζ > 1, dan zal er geen oscillatie optreden. De demping in het systeem is in ditgeval te groot om een oscillatie toe te laten. Naarmate ζ groter is, zal ook de dempingin het systeem groter zijn en zal elke verandering trager verlopen. Het systeemis overgedempt. Paragraaf 4.7 toont aan dat de staprespons van een overgedemptsysteem wiskundig weergegeven wordt door de formule:

Stapresponsζ>1 =

K

(1−

√ζ2 − 1− ζ

2√

ζ2 − 1e−ωnt

(ζ+√

ζ2−1)− ζ +

√ζ2 − 1

2√

ζ2 − 1e−ωnt

(ζ−√

ζ2−1))

. (4.3)

De staprespons bevat twee exponentieel afnemende termen. Voor de tijd t gaandenaar oneindig worden deze twee termen gelijk aan nul en blijft enkel de waarde Kover. (De aangelegde stap had grootte een).

Voor ζ > 1 zijn de twee polen van het systeem reeel. Deze twee reele polen stemmenovereen met de exponentiele termen uit de staprespons. De polen zijn:

P1,2 = −ωn

(ζ ±

√ζ2 − 1

).

In feite is het tweede orde systeem voor ζ > 1 niets anders dan een aaneenschakelingvan twee eerste orde systemen.

• Indien ζ = 1, is het systeem kritisch gedempt. Elke verandering zal zo snel mogelijkgevolgd worden, zonder oscillatie en zonder doorschot (Eng.:‘overshoot’). Wiskundigziet de staprespons eruit als:

Stapresponsζ=1 = K[1− (1 + ωnt) e−ωnt

]. (4.4)

De twee polen vallen nu samen en zijn:

P1 = P2 = −ωn.

Een tweede orde systeem met ζ = 1 is hetzelfde als een aaneenschakeling van tweeeerste orde systemen met dezelfde polen, zoals figuur 4.3 aangeeft.

Johan Baeten 39


z = 1Kw

p p+2 +zw w2 2

2

n

n

n wn

K

p +1

1

1

wn

p +11

Figuur 4.3: Ontbinding van 2e orde in cascade van 2 eerste orde systemen

• Indien ζ < 1 worden de polen van het tweede orde systeem complex (toegevoegd):

P1 = −ωn

(ζ + j

√1− ζ2

)en P ∗

1 = −ωn

(ζ − j

√1− ζ2

)De staprespons ziet er nu helemaal anders uit. Zoals in figuur 4.2 geschetst is, zal deeindwaarde eerst overschreden en nadien, eventueel oscillerend, bereikt worden. Ditwordt een gedempte oscillatie genoemd. De wiskundige formule van de stapresponsvoor ζ < 1 is:

Stapresponsζ<1 = K

(1− e−ωnζt√

1− ζ2sin

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1− ζ2

ζ

))(4.5)

Deze formule stelt een gedempte sinus voor rond de eindwaarde K. De demping volgtuit de exponentiele factor met negatieve coefficient. Deze coefficient is gelijk aan hetreeel deel van de (complexe) pool. Het imaginair deel van de pool is de factor diestaat bij de tijd binnen de haakjes van de sinus. Het imaginair deel van de pool isbijgevolg de pulsatie van de gedempte oscillatie, en wordt de gedempte eigenpulsatieωp genoemd:

ωp = ωn

√1− ζ2 (4.6)

Indien er geen demping is in het systeem, is ζ = 0 en trilt het systeem op de natuur-lijke of ongedempte eigenpulsatie: ωp|ζ=0 = ωn.

Figuur 4.4 geeft een schematisch overzicht van de vorm van de staprespons voor de driebesproken gevallen. Figuur 4.5 geeft de exacte staprespons van het tweede orde systeemvoor verschillende ζ waarden. Vergelijk figuur 4.5 met figuur 4.2.

tijd tijd tijd

z > 1 z = 1 z < 1

Overgedempt Kritisch gedempt Gedempte oscillatie

Figuur 4.4: Staprespons van het 2e orde systeem voor ζ > 1 , ζ = 1 en ζ < 1

Figuur 4.6 geeft tenslotte de staprespons van een ongedempt tweede orde systeem (ζ= 0). Door het aanleggen van een stap wordt een blijvende oscillatie opgewekt met eenpulsatie ωn. Voor een systeem met ωn = 1 r/s, is de frequentie van de oscillatie ωn /2π of0,16 Hz. Vergelijk deze waarde met figuur 4.6.

40 Johan Baeten

4.4 Doorschot

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

tijd in sec

Gro

ott

e

z = 0,1

z = 0,3

z = 0,707

z = 1

z = 5

Figuur 4.5: 2e orde staprespons voor verschillende ζ waarden met ωn = 1 r/s en K = 1

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tijd in sec

Figuur 4.6: Staprespons voor ζ = 0 , ωn = 1 r/s en K = 1

4.4 Doorschot

De doorschot (Eng.:’overshoot’) D wordt gedefinieerd als:

D =Vstap max −K

K(4.7)

Figuur 4.7 geeft deze definitie grafisch weer. De doorschot wordt normaal in procentuitgedrukt. Figuur 4.7 geeft ook aan hoe uit de staprespons de eigenpulsatie (ωp = 2π/Tp)bepaald kan worden.

Johan Baeten 41


tijd tijd

x

y

D = x/yv

K

T V t( )T /2V t( ) p

Tp

p

max

Figuur 4.7: Doorschot D en eigenperiode Tp

Paragraaf 4.8 toont aan dat de doorschot enkel afhangt van de demping in het systeem ofm.a.w. enkel bepaald wordt door de dempingscoefficient ζ. Het verband wordt weergegevendoor de formule:

D = e

−ζπ√1− ζ2

of ζ =− ln D√ln2 D + π2

(4.8)

Figuur 4.8 geeft eveneens dit verband of deze formule weer. (Vergelijk figuren 4.5en 4.8). Dit eenduidig verband is vooral belangrijk bij de identificatie van een systeem:door de doorschot te meten, kan de dempingscoefficient bepaald worden.

0 0.1 10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Do

ors

cho

tD

zdempingsco ffici ntÁ Á

Figuur 4.8: Doorschot D i.f.v. de dempingscoefficient ζ

Opmerking: De grootte van de doorschot D volgt uit de eerste piek. Het tijdstip waaropdeze piek optreedt Tpiek, is gelijk aan de halve eigenperiode Tp.

Tpiek =Tp

2=

π

ωp

.

Met vergelijking 4.5 levert dit

D = − e−ζωn

πωp√

1− ζ2sin

(π

ωp

ωp + bgtg

√1− ζ2

ζ

)= − e

−ζωnπ

ωp√1− ζ2

(− sin

(bgtg

√1− ζ2

ζ

))

42 Johan Baeten


of

D = e−ζωn

πωp = e

− ζπ√1−ζ2 4


De frequentierespons van het tweede orde systeem volgt uit de TF, na substitutie van p doorjω. Dit geeft een complexe functie waarvan de absolute waarde de versterking voorstelt(van ingang naar uitgang) en waarvan de hoek overeenkomt met de faseverschuiving:

G(p) =Kω2

n

p2 + 2ζωnp + ω2n

→ G(jω) =Kω2

n

ω2n − ω2 + j2ζωnω

De versterking M is:

M = |G(jω)| = Kω2n√

(ω2n − ω2)2 + (2ζωnω)2

=K√(

1−(

ωωn

)2)2

+(2ζ ω

ωn

)2

(4.9)

of met u = ω/ωn wordt dit

M =K√

(1− u2)2 + (2ζu)2. (4.10)

De faseverschuiving is:

ϕ = ∠G(jω) = −bgtg

(2ζωnω

ω2n − ω2

)of ϕ = −bgtg

(2ζu

1− u2

). (4.11)

De variabele u stelt hierbij de genormeerde pulsatie voor.

Figuren 4.9 en 4.10 geven de frequentierespons voor verschillende ζ waarden weer, voor-gesteld in Bode- en Nyquist-diagram. De natuurlijke eigenpulsatie ωn is steeds gelijk aan1 r/s (zodat we in feite een genormeerd diagram krijgen u = ω) en de statische verster-kingsfactor K is eveneens gelijk aan 1.

Toets figuren 4.9 en 4.10 aan de formules 4.10 en 4.11 (met K = 1). Dit geeft:

• voor u = 0, M = 1 en ϕ = 0. A = 20 log M = 0 dB.

• vooru = 1, M = 1/2ζ en ϕ = −90. Voor ζ < 0, 5 is de versterking M > 1.

• voor u = ∞, M = 0, ϕ = −180 en A= 20 log(0) = -∞.

Ook hier kunnen we een asymptotisch Bode-diagram tekenen. Indien ζ ≥ 1, komtdit overeen met het tekenen en optellen van het asymptotisch diagram van de twee eersteorde systemen, waarin het tweede orde systeem ontbindt. Indien ζ < 1, verloopt het

Johan Baeten 43


0,1 1 10-180

-135

-90

-45

0

Fase (in graden) i.f.v. freq. (in rad/sec)

0,1 1 10-40

-30

-20

-10

0

10

20

Amplitude (in dB) i.f.v. freq. (in rad/sec)

z = 0,1

z=5

z=5

z=1

z= 0,1

z=1

Figuur 4.9: Bode-diagram van 2e orde systeem voor ζ = 0,1; 0,3; 0,707; 1 en 5 (ωn = 1r/s, K=1)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.70

0.84

0.920.96

1.02

1.13

1.34

1.71

0.61

0.720.87

1.14

1.62

2.51

0.33

0.430.550.71

0.91

1.18 0.05

0.080.13

0.21

0.33

0.51

z= 0,3

z=0,707

z=1

z=5

Nyquist van eerste orde als referentie

Re-deel

Im-d

eel

w

Figuur 4.10: Nyquist-diagram voor verschillende ζ waarden, gegradueerd naar ω (ωn = 1r/s)

asymptotisch Bode-diagram horizontaal tot aan het breekpunt u = 1 (ω = ωn) en vanafdan 40 dB/decade dalend.

Zoals figuur 4.9 toont zullen bepaalde frequenties rond de natuurlijke eigenfrequentie(u = 1) door een tweede orde systeem (met een kleine ζ waarde) versterkt worden. De

44 Johan Baeten


frequentie of pulsatie die het meest versterkt wordt, wordt de resonantiefrequentie of re-sonantiepulsatie genoemd. Zoals uit de berekeningen uit paragraaf 4.9 volgt, wordt deresonantiepulsatie ωr gegeven door

ωr = ωn

√1− 2ζ2. (4.12)

Deze resonantiepulsatie bestaat enkel indien

ζ ≤ 1√2

= 0, 707.

De maximale versterking die bij deze pulsatie optreedt is

maxω=0→∞

|G(jω)| = |G(jωr)| =K

2ζ√

1− ζ2

De resonantiepulsatie ωr is nooit groter dan de eigenpulsatie ωn. De piek in het ampli-tudegedeelte van het Bode-diagram treedt dus steeds op voor de natuurlijke eigenpulsatie.Enkel in het geval dat er geen demping is in het systeem (ζ = 0), is de resonantiepulsa-tie gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie. De grootte van de resonantiepiek is hier zelfsoneindig.

Dit speciale geval wordt weergegeven in figuur 4.11. Het amplitudeverloop toont eenoneindige piek juist bij de natuurlijke eigenpulsatie, het faseverloop is trapvormig en springtvan 0 op 180 bij de natuurlijke eigenpulsatie. (Vergelijk de figuur met de formules opde voorgaande pagina’s). De oneindige resonantiepiek stemt overeen met de blijvendeoscillatie t.g.v. een stap (zie figuur 4.6). Beide geven de rand van de stabiliteit aan.

0,1 1 10-40

-20

0

20

40

Amplitude (in dB) i.f.v. pulsatie (in r/s)

-180

-135

-90

-45

0

Fase(ingraden)i.f.v.pulsatie(inr/s)

0,1 1 10

Figuur 4.11: Bode-diagram van 2e orde systeem met ζ ' 0

Johan Baeten 45



Het nulpunten-polen-diagram geeft de ligging van de polen van het systeem weer in hetcomplex vlak. Zoals paragraaf 4.3 aangeeft heeft het tweede orde systeem afhankelijk vande dempingscoefficient twee reele of twee complex toegevoegde polen. Daar waar vroegerbij het eerste orde systeem de polen enkel reeel waren en dus steeds op de reele as lagen,kunnen nu ook complex toegevoegde polen voorkomen en vormt dus het volledige complexevlak de mogelijke verzameling van polen van een tweede orde systeem.

De ligging van de polen bepaalt het transient gedrag en hiermee de stabiliteit van hetsysteem. Dit volgt rechtstreeks uit het volgend Laplace-transformatiepaar:

1

(p− a)2 + b2↔ 1

beat sin bt.

De complexe pool a + jb, veroorzaakt (zoals eerder gezien bij de staprespons) eentransient gedrag dat bestaat uit een exponentiele factor en een sinus.

• Een negatieve waarde voor a, geeft een uitdempende sinus.

• Indien a positief is, divergeert de sinus.

• b stemt in de twee gevallen overeen met de pulsatie van de sinus.

Figuur 4.12 geeft deze relaties weer.

x tijd x

xx x

x x

xtijd

tijd

tijd

tijd

tijdtijd

Á

Â

Figuur 4.12: Verband tussen de ligging van de complexe polen en het transient gedrag

46 Johan Baeten

4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem

4.7 Afleiding staprespons voor tweede orde systeem

De algemene TF is:

V2(p)

V1(p)=

Kω2n

p2 + 2ζωnp + ω2n

.

Hierbij is V2 de uitgangsgrootheid en V1 de ingangsgrootheid. Met V1(p) = 1/p (stap)wordt

V2(p) =Kω2

n

p2 + 2ζωnp + ω2n

· 1

p.

Afhankelijk van de waarde van ζ, bezit het systeem reele, samenvallende of complextoegevoegde polen.

1. ζ > 1: Overgedempt systeem: Cascadeschakeling van twee eerste orde systemen.

p1,2 = −ωn

(ζ ±

√ζ2 − 1

)zodat de partieelbreuksplitsing eruit ziet als

V2(p)|ζ>1 =A

p+

B

p− p1

+C

p− p2

=Kω2

n

(p) (p− p1) (p− p2)

met

A =Kω2

n

(−p1) (−p2)=

Kω2n

ω2n (ζ2 − (ζ2 − 1))

= K

B =Kω2

n

(p1) (p1 − p2)=

Kω2n

−ωn

(ζ +

√ζ2 − 1

)(−2)ωn

√ζ2 − 1

=K(ζ −

√ζ2 − 1

)2√

ζ2 − 1

C =Kω2

n

(p2) (p2 − p1)=

Kω2n

−ωn

(ζ −

√ζ2 − 1

)2ωn

√ζ2 − 1

= −K(ζ +

√ζ2 − 1

)2√

ζ2 − 1.

Dit geeft

V2(t)|ζ>1 =

(K + Be

−ωnt(ζ+√

ζ2−1)

+ Ce−ωnt

(ζ−√

ζ2−1))

of

V2(t)|ζ>1 = K

(1 +

ζ −√

ζ2 − 1

2√

ζ2 − 1e−ωnt

(ζ+√

ζ2−1)− ζ +

√ζ2 − 1

2√

ζ2 − 1e−ωnt

(ζ−√

ζ2−1))

.

Controle op de juistheid : vul t = 0 in, dan moet V2(t) = 0 !!

Johan Baeten 47


2. ζ = 1: Kritisch gedempt systeem: Cascade van twee identieke 1e orde systemen. Hetkritisch gedempt 2e orde systeem komt overeen met de cascade schakeling van tweeidentieke eerste orde systemen met tijdconstante gelijk aan 1/ωn. De polen zijn

p1 = p2 = −ωn zodat de partieelbreuksplitsing eruit ziet als

V2(p)|ζ=1 =A

p+

Bp + C

(p− p1)2 =

Kω2n

(p) (p− p1)2

met

A =Kω2

n

(−p1)2 = K en (Bp + C) p + K (p + ωn)2 = Kω2

n

waaruit volgt dat

B + K = 0 → B = −K en C + 2Kωn = 0 → C = −2Kωn.

Dit geeft

V2(t)|ζ=1 = A + Bd

dt

(te−ωnt

)+ C

(te−ωnt

)= 1−K

(e−ωnt − ωnte

−ωnt)− 2Kωnte

−ωnt

= K[1− (1 + ωnt) e−ωnt

].

Ofwel op de volgende manier

V2(p)|ζ=1 =A

p+

B

(p− p1)+

C

(p− p1)2 =

Kω2n

(p) (p− p1)2

met A = K en K(p + ωn)2 + B(p + ωn)p + Cp ≡ Kω2n waaruit volgt dat

bij p2 → K + B = 0 → B = −Kbij p1 → 2Kωn + Bωn + C = 0 → C = −Kωn

.

Dit geeft natuurlijk hetzelfde eindresultaat:

V2(t)|ζ=1 = A + Be−ωnt + Cte−ωnt = K[1− (1 + ωnt) e−ωnt

].

3. ζ < 1 : Ondergedempt systeem: Oscillerend overgangsgedrag.

De complex toegevoegde polen zijn

p1 = −ωn

(ζ + j

√1− ζ2

)en p∗1 = −ωn

(ζ − j

√1− ζ2

)zodat de partieelbreuksplitsing eruit ziet als

V2(p)|ζ<1 =A

p+

B

p− p1

+C

p− p∗1=

Kω2n

(p) (p− p1) (p− p∗1)

48 Johan Baeten

4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem

met

A =Kω2

n

(−p1) (−p∗1)=

Kω2n

ω2n (ζ2 + (1− ζ2))

= K

B =Kω2

n

(p1) (p1 − p∗1)=

Kω2n

−ωn

(ζ + j

√1− ζ2

)(−2j)ωn

√1− ζ2

= −K(√

1− ζ2 + jζ)

2√

1− ζ2

C =Kω2

n

(p∗1) (p∗1 − p1)=

Kω2n

−ωn

(ζ − j

√1− ζ2

)(2j)ωn

√1− ζ2

= −K(√

1− ζ2 − jζ)

2√

1− ζ2.

Merk op dat C het complex toegevoegde is van B. Substitutie geeft

V2(t)|ζ<1 =

(K + Be

−ωnt(ζ+j√

1−ζ2)

+ Ce−ωnt

(ζ−j√

1−ζ2))

= K

(1−

√1−ζ2+jζ

2√

1−ζ2e−ωnt

(ζ+j√

1−ζ2)−√

1−ζ2−jζ

2√

1−ζ2e−ωnt

(ζ−j√

1−ζ2))

= K

(1− e−ωnζt√

1− ζ2

(√1−ζ2−jζ

2e+jωn

√1−ζ2t +

√1−ζ2+jζ

2e−jωn

√1−ζ2t

))De complexe e-machten vormen een som van cosinussen en sinussen overeenkomstigvolgende formules:

ejx = cos x + j sin x

e−jx = cos x− j sin x→

ejx + e−jx

2= cos x

ejx − e−jx

2j= sin x

Dit geeft:(√1−ζ2−jζ

2e+jωn

√1−ζ2t +

√1−ζ2+jζ

2e−jωn

√1−ζ2t

)=

√1−ζ2

2

(e+jωn

√1−ζ2t + e−jωn

√1−ζ2t

)+ −jζ

2

(e+jωn

√1−ζ2t − e−jωn

√1−ζ2t

)=√

1− ζ2 cos(ωn

√1− ζ2t

)+ ζ sin

(ωn

√1− ζ2t

)Tenslotte geeft dit een sinus met faseverschuiving√

1− ζ2 cos(ωn

√1− ζ2t

)+ ζ sin

(ωn

√1− ζ2t

)= M sin

(ωn

√1− ζ2t + ϕ

)= M

[sin(ωn

√1− ζ2t

)cos (ϕ) + cos

(ωn

√1− ζ2t

)sin (ϕ)

] .

Deze gelijkheid geldt enkel indienM sin (ϕ) =

√1− ζ2

M cos (ϕ) = ζ→

M = 1

ϕ = bgtg(√

1− ζ2/ζ) .

Johan Baeten 49


Het uiteindelijk resultaat wordt

V2|ζ<1 (t) = K

(1− e−ωnζt√

1− ζ2sin

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1− ζ2

ζ

)). (4.13)

De staprespons van een 2e orde systeem met complexe polen, is dus een oscillerende,uitdempende functie of m.a.w. een gedempte sinusvormige trilling. De pulsatie vandeze trilling is per definitie de gedempte eigenpulsatie ωp en is gelijk aan

ωp = ωn

√1− ζ2.

Indien er geen demping is in het systeem, is ζ = 0 en trilt het systeem op de natuur-lijke of ongedempte eigenpulsatie ωn.

4.8 Doorschot bij tweede orde met complexe polen

De doorschot D wordt gedefinieerd als

D =V2max −K

K.

Deze paragraaf leidt voor het 2e orde systeem af dat

D = e

−ζπ√1− ζ2

.

De staprespons is maximaal waar haar afgeleide nul is.

dV2 (t) |ζ<1

dt=

d

dtK

(1− e−ωnζt√

1− ζ2sin

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1−ζ2

ζ

))= 0

−ωnζKe−ωnζt√1−ζ2

sin

(ωpt + bgtg

√1−ζ2

ζ

)+

ωnK√

1−ζ2e−ωnζt

√1−ζ2

cos

(ωpt + bgtg

√1−ζ2

ζ

)= 0

−ζ sin

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1−ζ2

ζ

)+√

1− ζ2 cos

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1−ζ2

ζ

)= 0

ζ sin

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1−ζ2

ζ

)=√

1− ζ2 cos

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1−ζ2

ζ

)tg

(ωn

√1− ζ2t + bgtg

√1−ζ2

ζ

)=

√1−ζ2

ζ

ωn

√1− ζ2t = kπ

of

Tpiek =kπ

ωn

√1− ζ2

met k = 1, 2, 3, . . .

50 Johan Baeten

4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek

De piektijden worden gegeven door Tpiek. Bij de eerste piek treedt het maximum op.Invullen van deze tijd in de oplossing voor de staprespons (vergelijking 4.13) geeft degrootte van de uitgang en zo ook de mogelijkheid om de doorschot D te berekenen.

V2max = K

(1− e−ωnζπ′ωn

√1−ζ2√

1− ζ2sin

(ωn

√1− ζ2 π

ωn

√1−ζ2

+ bgtg

√1−ζ2

ζ

))

= K

(1− e−ζπ′

√1−ζ2√

1− ζ2sin

(π + bgtg

√1−ζ2

ζ

))

= K

(1 +

e−ζπ′√

1−ζ2√1− ζ2

sin

(bgtg

√1−ζ2

ζ

))== K

(1 +

e−ζπ′√

1−ζ2√1− ζ2

√1− ζ2

)of

V2max = K(1 + e−ζπ′

√1−ζ2

)→ D =

V2max −K

K= e−ζπ′

√1−ζ2

. 4 (4.14)

4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek

De versterking wordt gegeven door

M =K√

(1− u2)2 + (2ζu)2met u =

ω

ωn

de genormeerde pulsatie.

Deze functie is maximaal indien de noemer minimaal is. Bovendien is de wortel (in de noe-mer) minimaal indien dat wat onder de wortel staat minimaal is. De maximale versterkingtreedt bijgevolg op bij de pulsatie waarvoor

d

du

[(1− u2)2 + (2ζu)2] = 0

2(1− u2)(−2u) + 8ζ2u = 0

u2 − 1 + 2ζ2 = 0

of

u =√

1− 2ζ2 → ωr = ωn

√1− 2ζ2.

Deze waarde bestaat enkel indien ζ ≤ 1/√

2.

De versterking voor ωr is

Mmax =K√

(1− (1− 2ζ2))2 +(2ζ√

1− 2ζ2)2

=K

2ζ√

1− ζ2.

De maximale versterking wordt de resonantiepiek genoemd. Deze is enkel afhankelijk vanζ en wordt oneindig bij ζ = 0.

Johan Baeten 51


4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem

Gelijkstelling van de TF voor de RLC-schakeling uit figuur 4.13 met de standaard TF geeft

V2(p)

V1(p)=

1/pC

R + pL + 1/pC≡ Kω2

n

p2 + 2ζωnp + ω2n

of

V2(p)

V1(p)=

1/pC

R + pL + 1/pC=

1CL

p2 + RLp + 1

CL

=Kω2

n

p2 + 2ζωnp + ω2n

.

Hieruit volgtω2

n = 1CL

2ζωn = RL

K = 1

→

ωn =

√1

CL

ζ = R2

√C

LK = 1

. (4.15)

R L

CV t( ) V t( )1 2

Figuur 4.13: RLC-keten als tweede orde systeem

• Oefening 1: Gegeven: ωn = 10000 r/s, ζ = 5; 1; 0,707; 0,3 en 0,1. Gevraagd: Welkecomponenten moeten we gebruiken bij een RLC-keten om aan de gegeven waardente voldoen? Hoe groot zijn de doorschot en de eigenpulsatie voor de verschillende ζwaarden?

Antwoord: Kies bijvoorbeeld L = 100 mH, dan moet C = 100 nF en R = 10 kΩ,2 kΩ, 1,4 kΩ, 600 Ω, 200 Ω. De doorschot D en eigenpulsatie ωp bestaan enkel voorde kleinste ζ waarden. We vinden volgende waarden:

ζ D ωp

0,70 4,6 % 7141 r/s0,30 37,2 % 9539 r/s0,10 72,9 % 9950 r/s

• Oefening 2: Leid de TF’s af voor de schakelingen uit figuur 4.14. Hoe groot zijn deeindwaarden van de spanningen indien de ingangsspanning een stap van 1 Volt is?

Oplossing: De TF’s voor de verschillende spanningen zijn:

VR(p)

V1(p)=

pRCω2n

p2 + 2ζωnp + ω2n

enVL(p)

V1(p)=

p2

p2 + 2ζωnp + ω2n

52 Johan Baeten

4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem

R

L

C

R

LC

V t( ) V t( )V t( ) V t( )1 L R1

Figuur 4.14: CRL- en CLR-keten

met ζ en ωn gegeven in vergelijking 4.15.

De eindwaarden (t →∞) zijn (bij een aangelegde stap met grootte 1):

VR(∞) = 0 en VL(∞) = 0

Merk op dat met V1(p) = 1/p, de som V2(p)+VR(p)+VL(p) = 1/p of V2(t)+VR(t)+VL(t) ≡ 1. Dit moet zo zijn want de som van de drie spanningen in de kring moetsteeds gelijk zijn aan de aangelegde spanning.

• Oefening 3: Bereken de resonantiepulsatie voor een tweede orde systeem met ωn =10000 r/s, ζ = 0,3. Hoe groot is de versterking voor deze frequentie? Vergelijk hetresultaat met figuur 4.9.

Oplossing: ωr = 9055 r/s of fr = 1441 Hz. Versterking M = 1,747 en A = 4,9 dB.

• Oefening 4: Schets het Black-diagram voor het tweede orde systeem voor verschil-lende ζ waarden.

Johan Baeten 53


54 Johan Baeten

Hoofdstuk 5

Hogere orde systemen en dode tijd

5.1 Hogere orde systemen

De parameters K en τ beschrijven volledig het eerste orde systemen. Tweede orde systemenworden volledig beschreven door K, ωn en ζ bij ondergedempte systemen of door de tweetijdconstanten τ1 en τ2 bij overgedempte systemen. Voor hogere orde systemen zijn wn en ζechter niet gespecificeerd omdat deze niet bestaan1. Praktisch zullen we trachten de hogereorde systemen te benaderen door een aaneenschakeling van systemen van eerste en tweedeorde. In het geval dat het fysisch systeem effectief bestaat uit zulk een aaneenschakelingvan eerste en tweede orde systemen is deze zienswijze volledig juist. Vaak kan men hetfysisch systeem echter niet meer opdelen in kleinere delen en stelt het wiskundig model datdie opsplitsing wel voorziet dus niet meer ‘exact’ de werkelijkheid voor.

Bovendien mag men niet vergeten dat vele fysische systemen een orde bezitten die naaroneindig toegaat. Hier is een vereenvoudiging noodzakelijk.

5.2 Tijddomeinspecificaties voor hogere orde

Om de staprespons van een hoger orde systeem te beschrijven zijn volgende parametersbelangrijk:

• De maximum doorschot D: uitgedrukt in % van de stapgrootte;

• Het aantal oscillaties;

• De stijgtijd (Eng.:‘rise time’) Tr: dit is de tijd die het systeem nodig heeft om van10% naar 90% van de eindwaarde te gaan als het ingangssignaal een stap is. Ziefiguur 5.1;

• De eindwaarde tijd (Eng.:‘settling time’) Ts voor x%: dit is de tijd die een systeemnodig heeft om zijn staprespons binnen x% van de eindwaarde te krijgen;

• De piektijd (Eng.:‘peak time’) Tpiek: dit is de tijd nodig om het eerste maximum tebereiken;

1Er kunnen wel waarden voor wn en ζ opgegeven worden overeenkomstig de dominante polen

55

5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd

• De statische fout of stationaire fout (Eng.:‘steady state error’) εss: dit is de fout diebestaat tussen de werkelijke en de gewenste uitgang als de tijd naar oneindig gaat.

Figuur 5.1 geeft de hierboven vermelde definities en waarden weer.

± 5 %

T

T

T voor 5%±

10 %

90 %Eindwaarde

y t : Staprespons( )

Tijd

Stap - ingang

ess

piek

s

r

Figuur 5.1: Tijddomeinspecificaties voor hogere orde systemen

Meestal zal men een hoger orde systeem identificeren aan de hand van een opgemetenstaprespons. De verschillende identificatiemethodes (die in de cursus regeltechniek en in debijbehorende labo’s aan bod komen) zullen aan de hand van de staprespons een benaderendmodel geven. Vaak komt hierbij ook een dode tijd of looptijd voor (zie verder).


Vermits een hoger orde systeem bestaat uit een aaneenschakeling van eerste en tweede ordesystemen, dan kunnen we de frequentierespons van het geheel gemakkelijk berekenen oftekenen:

• De totale versterking is immers het product van de afzonderlijke versterkingen (uit-gedrukt als factor) of de som van de afzonderlijke versterkingen uitgedrukt in dB.

• De totale faseverschuiving is de som van de afzonderlijke faseverschuivingen.

Zoals paragraaf 3.16 aangaf, volgt het Bode-diagram voor het geheel uit de som van deBode-diagrammen van de afzonderlijke systemen. Dit zal later nog herhaaldelijk aan bodkomen bij de oefeningen van Regeltechniek.

5.4 Systemen met looptijd

De looptijd wordt ook wel de vertragingstijd, de dode tijd (Eng.:‘Dead Time’) of de voort-plantingstijd genoemd.

56 Johan Baeten

5.4 Systemen met looptijd

1m/s

3m

Last

Loopband

T

x t( )

y t( )

Voorbeeld 1

1 m

0,5m/s

T ( = 3 s )

Voorbeeld 2

SensorWals

Voorbeeld 3

Warm Koud

tijd

T ( = 2 s )

x t( )

y t( )

v

v

v

Figuur 5.2: Voorbeelden van systemen met looptijd of dode tijd

De looptijd of dode tijd is de tijd die voorbij gaat tussen het aanleggen van het in-gangssignaal en de eerste reactie van het systeem hierop.

Figuur 5.2 geeft enkele voorbeelden.In het eerste voorbeeld wordt een last via een loopband op een vrachtwagen geplaatst.

Na het lossen van de last duurt het nog 3 seconden voor de vrachtwagen het ’plots vallen’van de last voelt en hierop reageert (bijvoorbeeld door lichtjes te zakken). De looptijd is 3seconden.

In het tweede voorbeeld zal de sensor die de staaldikte van een pas gewalste plaat meetsteeds 2 seconden achteroplopen met de uitgegeven informatie. Immers de dikte die nugewalst wordt, wordt pas na twee seconden gemeten. Men kan de looptijd verkleinen doorde sensor dichter bij de wals te plaatsen. Kunnen we de looptijd echter volledig tenietdoen?

In het derde voorbeeld regelen we de temperatuur van het water (bijvoorbeeld bij eendouche) samengesteld uit een warme en een koude stroom. Elke actie die we ondernemenheeft enige tijd nodig vooraleer we deze actie waarnemen: dit tijdsverschil is de looptijd.

Figuur 5.2 geeft ook het tijddiagram weer voor een zuivere vertraging. Hiervoor geldt:

y(t) = x(t− Tv)

Volgens het tweede verschuivingstheorema van de Laplace-transformatie, vergelijking 2.15,

Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t− a) ↔ e−apF (p)

wordt dit

Y (p) = X(p)e−pTv (5.1)

Johan Baeten 57


De dode tijd wordt dus wiskundig voorgesteld als een negatieve exponentiele macht inhet p-domein. De eenheid van Tv is seconden.

1 p/2 p 3 /2p 2p-360

-270

-180

-90

-57

0

w. [rad] (genormeerd !)T

j [ ]o

v

Figuur 5.3: Fasegedeelte van Bode-diagram voor zuivere looptijd; Amplitude is steeds 0 dB

5.5 Frequentieanalyse van een systeem met looptijd

De TF voor een systeem dat bestaat uit een zuivere vertraging Tv, is:

G(p) = e−pTv

Om de frequentierespons van dit systeem te kennen, stellen we weerom p = jω.

G(jω) = e−jωTv = cos ωTv − j sin ωTv

Dit geeft de versterking M of A en de faseverschuiving ϕ:

M = |G(jω)| =√

(cos ωTv)2 + (sin ωTv)

2 = 1 (5.2)

of

A = 20 log M = 20 log 1 = 0 dB (5.3)

en

ϕ = bgtg

[− sin ωTv

cos ωTv

]= bgtg [−tg (ωTv)] = −ωTv. (5.4)

Vermits ω wordt uitgedrukt in rad/sec en Tv in sec, is de eenheid voor de faseverschui-ving in vergelijking 5.4 radialen!!

58 Johan Baeten

5.6 Voorbeeld: oefening

De looptijd verandert niets aan het amplitudediagram, maar wel aan het fasediagram.De faseverschuiving is evenredig met de frequentie of pulsatie. Voor ω = 1/Tv is ϕ = −1 ra-diaal of -57. Tengevolge van de logaritmische schaalverdeling voor ω in het Bode-diagramloopt de kromme voor ϕ echter onverwacht snel weg! Zie figuur 5.3. Merk op dat de x-asvan figuur 5.3, omwille van de algemeenheid, ω · Tv aangeeft!

Het Nyquist-diagram voor een systeem bestaande uit een zuivere looptijd is weergegevenin figuur 5.4 en is een perfecte cirkel. Door de evenredigheid tussen ω en ϕ ontstaat eengelijkmatige ω-verdeling langs de cirkel.

w = 1/T

w = 0 =

w = p

w = p

w = p3

2pT0 0,5-0,5-1 1

1 rad Âe

Ám

2T

2T

Tv

v

v

v

v

Figuur 5.4: Nyquist-diagram van een zuivere looptijd

5.6 Voorbeeld: oefening

Opgave 1: Bereken enkele punten uit het Bode-diagram (dit is vooral belangrijk voor hetfaseverloop) en teken het Bode-diagram voor het volgend systeem.

G(p) =e−p

1 + 5p

Oplossing: De dode tijd is 1 seconde. De tijdconstante τ = 5 seconden. De breekpulsatieωk = 1/τ = 0, 2 r/s. De statische versterking K = 1. Het asymptotisch amplitudeverloopbegint bij 0 dB en daalt vanaf ω = 0, 2 r/s met 20 dB/dekade. Het faseverloop bestaatuit een stuk t.g.v. het eerste orde systeem (zie eerder) en uit een stuk t.g.v. de dode tijd.Figuur 5.5 geeft het resultaat.Opgave 2: Hoe ziet de stap- of impulsrespons eruit voor het hierboven gegeven systeem?

Johan Baeten 59


0,01 0,1 1-150

-100

-50

0

w [rad/s]

j [ ]o

Eerste orde

Dode tijd

Som

-15

-10

-5

0

A [dB]

w [rad/s]0,01 0,1 1

Figuur 5.5: Bode-diagram van een eerste orde systeem (τ = 5 s) met dode tijd (Tv = 1 s)

60 Johan Baeten

Hoofdstuk 6

Fourier-transformatie enFourier-reeksontwikkeling

6.1 Fourier-transformatie

6.1.1 Definitie

De Fourier-transformatie sluit dicht aan bij de Laplace-transformatie. Het is zoals deLaplace-transformatie een integraaltransformatie die frequentie-eigenschappen van een tijd-signaal berekent. De fourier-getransformeerde van een signaal f(t) is F (ω) gedefinieerd als

F (ω) = zf(t) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt. (6.1)

F (ω) geeft het complexe frequentiespectrum van het signaal f(t). Dit kan opgedeeld wor-den in reeel deel en imaginair deel of in amplitude en fase:

F (ω) = <(ω) + j=(ω) = A(ω)ejϕ(ω). (6.2)

In tegenstelling tot de (eenzijdige)1 Laplace-transformatie, zoals gedefinieerd in hoofd-stuk 2, is de Fourier-transformatie een tweezijdige transformatie: de integratie over de tijdloopt van −∞ tot ∞. Bovendien is de onafhankelijk variabele niet langer de Laplace-variabele p maar de frequentievariabele ω.

Voor causale signalen, dit zijn o.a. signalen die nul zijn voor negatieve tijdstippen, isde Fourier-getransformeerde gelijk aan de Laplace-getransformeerde na gelijkstelling van pmet jω of

F (ω) = F (p)|p=jω. (6.3)

Een belangrijk verschil tussen de Fourier-transformatie en de Laplace-transformatie is datde eerste gebruikt wordt om de frequentie-inhoud van een signaal te berekenen. De Laplace-transformatie is ruimer en kan eveneens gebruikt worden voor de beschrijving en analysevan systemen.

1Merk op dat ook de tweezijdige Laplace-transformatie bestaat.

61

6 Fourier-transformatie en Fourier-reeksontwikkeling

6.1.2 Inverse

f(t) = z−1F (ω) =1

2π

∞∫∞

F (ω)ejωtdω. (6.4)

Naar analogie van de inverse Laplace-transformatie zal ook voor de inverse Fourier-transformatie, niet enkel bovenstaande formule gebruikt worden doch ook de Fourier-transformatietabel2 in combinatie met partieelbreuksplitsing.

6.1.3 Voorbeelden

Dirac-puls

zδ(t) =

∞∫−∞

δ(t)e−jωtdt

=

+0∫−0

δ(t)e−jω0dt

=

+0∫−0

δ(t)dt

= 1

Een Dirac-puls bevat alle frequenties met amplitude 1 (en in fase).

Stap

Als E(t) =

1, voor t > 01/2, voor t = 00, voor t < 0

dan is

zE(t) =

∞∫−∞

E(t)e−jωtdt =

∞∫0

e−jωtdt

=e−jωt

−jω|∞0 = [0− 1

−jω] =

1

jω

Een stap is opgebouwd uit een oneindige som van sinussen. Naarmate de frequentie toe-neemt neemt de amplitude van de sinussen af.

2Dit valt buiten het bestek van deze cursus.

62 Johan Baeten

6.1 Fourier-transformatie

Exponentiele

Als f(t) =

eat, voor t > 01/2, voor t = 00, voor t < 0

dan is

zf(t) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt =

∞∫0

e(a−jω)tdt

=e(a−jω)t

a− jω|∞0 = [0− 1

a− jω] =

1

jω − a.

Puls

Als f(t) =

A, voor |t| < aA/2, voor |t| = a0, voor |t| > a

dan is

zf(t) =

a∫−a

Ae(−jω)tdt = Ae(−jω)t

−jω|a−a

= Ae(−jω)a − e(jω)a

−jω=

2A sin(ωa)

ω.

Figuur 6.1 geeft het pulssignaal en de Fourier-getransformeerde weer.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fourier-getransformeerde

Am

pli

tud

e

Pulsatie [r/s]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tijd [s]

Am

pli

tud

e

Puls

Figuur 6.1: Een puls of rechthoekige functie f(t) met amplitude A = 1 en breedte a = 4 en zijnFourier-getransformeerde F (ω)

Johan Baeten 63


6.1.4 Eigenschappen

Als belangrijkste eigenschap vermelden we hier dat de Fourier-transformatie een lineaireoperatie is:

z a.f (t) + b.g (t) = a.z f (t)+ b.z g (t) (6.5)

met a en b willekeurige constanten.

6.2 Fourier-reeksontwikkeling

6.2.1 Definities

Als f(t) een periodieke functie is, is de Fourier-integraal volgens vergelijking 6.1 onbepaald.Voor periodieke signalen moeten we de Fourier-reeksontwikkeling toepassen. De Fourier-reeksontwikkeling maakt voor de berekening van de frequentie-inhoud van het periodiekesignaal slechts gebruik van een periode van lengte T . De frequentie-inhoud wordt bepaalddoor de coefficienten ak en bk die volgen uit:

ak =2

T

T/2∫−T/2

f(t) cos(kω0t)dt voor k = 0, 1, 2, . . . (6.6)

en

bk =2

T

T/2∫−T/2

f(t) sin(kω0t)dt voor k = 1, 2, 3, . . . (6.7)

met ω0 = 2π/T .

Deze coefficienten geven aan in welke mate het oorspronkelijk periodiek signaal is op-gebouwd uit een som van sinussen en cosinussen zoals weergegeven door de terugtransfor-matie:

f(t) =a0

2+

∞∑k=1

[ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t)]. (6.8)

ω0 = 2π/T is de fundamentele pulsatie (ook wel eerste harmonische genoemd).Een benadering voor het oorspronkelijk periodisch signaal is de Fourier-som. De n-de

Fourier-som van f is gedefinieerd als de trigonometrische som

fn(t) =a0

2+

n∑k=1

[ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t)] (6.9)

64 Johan Baeten


6.2.2 Afleiding

Om vergelijkingen 6.6 tot 6.7 beter te vatten kunnen we volgende redenering opbouwen.Neem even aan dat f(t) is opgebouwd uit een som van sinussen en cosinussen volgens for-mule 6.8. Dan kunnen we deze formule invullen in vergelijking 6.6. Dit levert bijvoorbeeldvoor de eerste coefficient:

a1 =2

T

T/2∫−T/2

[a0

2+

∞∑k=1

[ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t)]] cos(ω0t)dt

=2

T

T/2∫−T/2

[a0

2cos(ω0t) + a1 cos(ω0t) cos(ω0t) + a2 cos(2ω0t) cos(ω0t) + . . .

+b1 sin(ω0t) cos(ω0t) + b2 sin(2ω0t) cos(ω0t) + . . .]dt

=2

T[

T/2∫−T/2

a0

2cos(ω0t)dt +

T/2∫−T/2

a1 cos(ω0t) cos(ω0t)dt +

T/2∫−T/2

a2 cos(2ω0t) cos(ω0t)dt + . . .

+

T/2∫−T/2

b1 sin(ω0t) cos(ω0t)dt +

T/2∫−T/2

b2 sin(2ω0t) cos(ω0t)dt + . . .]

=2

Ta1

T/2∫−T/2

cos2(ω0t)dt

Vermits cos2(ω0t) = (cos(2ω0t) + 1)/2, is de integraal

T/2∫−T/2

cos2(ω0t)dt =1

2[sin(2ω0t)

2ω0

+ t]T/2−T/2 =

1

2[0− 0 + T/2 + T/2] = T/2.

Dit levert als uiteindelijk resultaat voor a1:

a1 =2

Ta1

T/2∫−T/2

cos2(ω0t)dt =2

Ta1

T

2≡ a1

Op gelijkaardige wijze kunnen we aantonen dat ook de overige coefficienten uit deFourier-reeksontwikkeling volgens vergelijkingen 6.6 tot 6.8 correct zijn.

Merk op dat de integraal van het product van twee verschillende sinussen of cosinussensteeds 0 is indien de integratietijd een geheel veelvoud is van de periodes van de afzonderlijkesignalen of

T/2∫−T/2

cos(kω0t) sin(lω0t)dt = 0 voor k, l = 1, 2, . . . (6.10)

Johan Baeten 65


+ +

- -

Tijd [sec]

Am

pli

tude

Tijd [sec]

Am

pli

tude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

+

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

+

- -

Tijd [sec]

Am

pli

tude

Tijd [sec]

Am

pli

tude

+

+

-

Tijd [sec]

Am

pli

tude

Tijd [sec]

Am

pli

tude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-

Figuur 6.2: De integraal over een periode is omwille van symmetrie voor de gegeven situatiessteeds gelijk aan 0; Boven: cos(2πt), sin(2πt) en het product cos(2πt) sin(2πt); Midden: cos(2πt),sin(4πt) en cos(2πt) sin(4πt); Onder: cos(2πt), cos(4πt) en cos(2πt) cos(4πt);

en ∫ T/2

−T/2cos(kω0t) cos(lω0t)dt = 0∫ T/2

−T/2sin(kω0t) sin(lω0t)dt = 0

voor k, l = 1, 2, . . . en k 6= l. (6.11)

66 Johan Baeten


Vergelijkingen 6.10 en 6.11 kan je eveneens op eenvoudige wijze grafisch controleren: het‘positieve’ oppervlak is net even groot als het ‘negatieve’ oppervlak over een periode waar-door de integraal steeds nul is. Figuur 6.2 geeft enkele voorbeelden.

De integraal van een sinus of een cosinus in kwadraat over een periode (of een geheelaantal periodes) daarentegen is steeds gelijk aan T/2 of

T/2∫−T/2

cos2(kω0t)dt = T/2 en

T/2∫−T/2

sin2(kω0t)dt = T/2. (6.12)

6.2.3 Voorbeelden

Blokgolf

Stel f(t) =

1, voor 0 < t < 1/20, voor 1/2 < t < 1

en periodisch met periode T = 1 sec dan worden de Fourier-reekscoefficienten

a0 = 1, a1,2,3,... = 0, b2,4,6,... = 0, b1 =2

π, b3 =

2

3π, b5 =

2

5π, . . .

Controleer deze waarden. Figuur 6.3 geeft het signaal en de Fourier-som (als benadering)weer. De 1e harmonische of basispulsatie ω0 = 2π.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tijd [sec]

Am

pli

tdue

Am

pli

tdue

Am

pli

tdue

Am

pli

tdue

Tijd [sec]

Tijd [sec]

Tijd [sec]

Figuur 6.3: Blokgolf f(t) en de Fourier-sommen voor n = 1, 3 en 5; Naarmate n toeneemtin de Fourier-som benadert deze des te beter het oorspronkelijk signaal. Voor n = 5 geeft ditf5 = 1/2 + 2 sin(2πt)/π + 2 sin(6πt)/(3π) + 2 sin(10πt)/(5π).

Johan Baeten 67


Zaagtand

Stel f(t) = t, voor 0 < t < 1


a0 = 1, a1,2,3,... = 0, b1 = − 1

π, b2 = − 1

2π, b3 = − 1

3π, . . .

Controleer deze waarden. Figuur 6.4 geeft het signaal en de Fourier-som tot de 4e ordeweer.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

1.5

Tijd [sec]

Am

pli

tdu

e

Am

pli

tdu

e

Am

pli

tdu

e

Am

pli

tdu

e

Tijd [sec]

Tijd [sec]

Tijd [sec]

Figuur 6.4: Zaagtand f(t) en de Fourier-sommen voor n = 1, 2, 3 en 4; Voor n = 4 geeft ditf4 = 1/2− sin(2πt)/π − sin(4πt)/(2π)− sin(6πt)/(3π)− sin(8πt)/(4π).

Driehoek

Stel f(t) =

1− 2t, voor 0 < t < 12t + 1, voor − 1 < t < 0


b1,2,3,... = 0, a0,2,4,... = 0 , a1 =8

π2, a3 =

8

(3π)2, a5 =

8

(5π)2, . . .

Controleer deze waarden. Figuur 6.5 geeft het signaal en de Fourier-som van 3e en 5e ordeweer. De basispulsatie ω0 = π.

68 Johan Baeten


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tijd [sec]

Am

pli

tdue

Am

pli

tdue

Tijd [sec]

Figuur 6.5: Driehoekig signaal f(t) en de Fourier-sommen voor n = 3 en 5; Voor n = 5 geeft ditf5 = 8 cos(πt)/π2 + 8 cos(3πt)/(9π2) + 8 cos(5πt)/(25π2).

6.2.4 Bespreking

Deze paragraaf vat een aantal beschouwingen over de Fourier-reeksontwikkeling samen.

• Over het algemeen neemt de bijdrage van elke hogere harmonische in de Fourier-reeksaf. Verwaarlozing van deze hogere harmonischen geeft dan een goede benadering vanhet oorspronkelijk signaal.

• Voor even functies, zoals een cosinus (f(t) = f(−t)), zijn alle coefficienten bk gelijkaan 0. Voor oneven functies, zoals een sinus (f(t) = −f(−t)), zijn alle coefficientenak gelijk aan 0.

• Een willekeurig signaal kan steeds ontbonden worden in de som van een even functieen een oneven functie. De even functie is opgebouwd uit een som van cosinusseneventueel met DC-gedeelte. De oneven functie bestaat uit een som van sinussen.

Johan Baeten 69

Bibliografie

[1] Jacques Denis “Wiskunde – Laplace Transformatie” KHLim, IWT

[2] Victor Berwaerts “Automatisering – Regeltechniek” Standaard uitgeverij

[3] Hendrik Van Brussel “Systemen en signalen,” KULeuven

[4] http://www.khlim.be/∼jbaeten → Cursussen → Systeemtheorie

71

Bijlage A

Ideale systemen

Deze appendix bespreekt de ideale systeemelementen en geeft een samenvatting. Doorde algemene aanpak en de analogieen die hieruit voortvloeien kunnen verbanden gelegdworden tussen elektrische, mechanische en andere systemen. Deze verbanden worden ookbenadrukt door de gelijkvormige TF’s.

A.1 Fysische veranderlijken

De fysische veranderlijken worden opgedeeld in de zogenaamde lopende veranderlijken(Eng.:‘through-variables’) en staande veranderlijken (Eng.:‘across-variables’).

De lopende veranderlijken meten de doorgang van een grootheid door een systeemele-ment zoals de stroom door een weerstand, de kracht door een veer of het vloeistofdebietdoor een leiding. Om de lopende veranderlijke te meten moet de kring onderbroken worden.Het algemeen symbool voor de lopende veranderlijke is f .

De staande veranderlijken meten het verschil in de toestand tussen de uiteinden vanhet systeemelement, zoals de drukval over een leiding, de spanning over een weerstand ofhet snelheidsverschil tussen de uiteinden van een demper. Om de staande veranderlijke temeten wordt het meettoestel “over de klemmen”geplaatst. Het algemeen symbool voor destaande veranderlijke is v (met als indices de punten tussen dewelke gemeten wordt).

A.2 Elementtype

Er bestaan verschillende ideale (fysische) elementen met empirische verbanden tussenstaande en lopende veranderlijken al dan niet in geıntegreerde vorm. We gebruiken vol-gende algemene variabelen:

v Staande veranderlijke

x Geıntegreerde staande veranderlijke (

∫vdt)

f Lopende veranderlijke

h Geıntegreerde lopende veranderlijke (

∫fdt)

73

A Ideale systemen

A.2.1 Veralgemeende inductantie

Bij de zuivere, ideale veralgemeende inductantie is de geıntegreerde staande veranderlijkeevenredig met de lopende veranderlijke of de staande veranderlijke evenredig met de afge-leide van de lopende veranderlijke, met evenredigheidsconstante L ,de inductantiewaarde.

x12 = Lf of v12 = Ldf

dt

Figuur A.1 geeft twee voorbeelden van veralgemeende inductanties.

Elektrische inductantie Mechanische translatieveer

L

kx - x k F= (1/ )V =L.di/dt 2 1

F, x ,x1 2

12

V2

V1

x1 x2

i

Figuur A.1: Inductanties

A.2.2 Veralgemeende capaciteit

Bij de zuivere, ideale veralgemeende capaciteit is de geıntegreerde lopende veranderlijkeevenredig met de staande veranderlijke of de lopende veranderlijke evenredig met de af-geleide van de staande veranderlijke, met evenredigheidsconstante C ,de waarde van deveralgemeende capaciteit.

h = Cv12 of f = Cdv12

dt

Figuur A.2 geeft twee voorbeelden van veralgemeende capaciteiten.

Elektrische capaciteit

Ci = C. dV dt/

i

12

V2

V1

Massa

m

F = m.dv dt/

F

v = stilstand1

v1

v2

2

Figuur A.2: Capaciteiten

A.2.3 Veralgemeende weerstand

Bij de zuivere veralgemeende weerstand is de staande veranderlijke evenredig met de lo-pende veranderlijke met als evenredigheidsconstante R of 1/R, waarbij de tekens steedsgelijk zijn.

v12 =1

Rf

Figuur A.3 geeft twee voorbeelden van veralgemeende weerstanden. Voorbeelden:

74 Johan Baeten

A.3 Het vermogen

R

ib

F = b.v

V = R.i

Elektrische weerstandMechanische demper

12

12

V2

V1

v2

v1

F,v ,v1 2

Figuur A.3: Weerstanden

A.3 Het vermogen

Het vermogen dat in een element door de uiteinden 1 en 2 gaat is steeds gelijk aan hetprodukt van de staande en de lopende veranderlijke.

P = fv12

Voor een weerstand zijn de tekens van f en v12 steeds gelijk. Het vermogen geleverd aande veralgemeende weerstand P = f · v12 is steeds positief. Een veralgemeende weerstanddissipeert dus energie. Voor een capaciteit en een inductantie is de energie gelijk aan deintegraal van het vermogen:

E =

t∫0

Pdt =

t∫0

fv12dt

De enige uitzondering op deze energiebetrekkingen is het thermisch systeem. Daar is hetvermogen de lopende veranderlijke zelf (de warmteflux q) en de energie is de geıntegreerdelopende veranderlijke (de hoeveelheid overgebrachte warmt).

A.4 Ideale bronnen

Een toestel dat energie aan een systeem kan toevoeren of ontnemen wordt een bron ge-noemd. Bij de analyse van systemen is het nuttig ideale bronnen te beschouwen.

Indien de bronveranderlijke een staande veranderlijke is, noemen we dit een v-bron.Deze bron is ideaal wanneer de bronveranderlijke onafhankelijk is van de f -veranderlijkedie door de bron moet geleverd worden.

Indien de bronveranderlijke een lopende veranderlijke is, noemen we dit een f -bron.Deze f -bron is ideaal wanneer de bronveranderlijke onafhankelijk is van de v-waarde dieover de bron ontstaat.

A.5 Ideale transformatoren

Bij een veralgemeende zuivere ideale transformator bestaat er een eenduidig verband tussentwee paren van staande of geıntegreerde staande veranderlijken of tussen twee lopendeveranderlijke met transformatieverhouding n,

xb = nxa of vb = nva

Johan Baeten 75

A Ideale systemen

waarbij de totale energieflux in het toestel nul is

P = fava + fbvb = 0 zodat fb = − 1

nfa.

Voorbeelden van ideale transformatoren worden gegeven in de samenvattende tabel A.2 inparagraaf A.8.

Opmerkingen: Indien er een kruiselings verband is tussen een staande en een lopendeveranderlijke voor twee gekoppelde systeemelementen dan spreekt men van een gyrator. In-dien de veranderlijken betrekking hebben op twee verschillende energiesoorten dan wordendit omzetters genoemd, bijvoorbeeld opnemers of sensoren.

A.6 Verbindingsvoorwaarden tussen elementen

Door de wijze waarop de verschillende systeemelementen op elkaar inwerken worden voor-waarden opgelegd aan de betrekkingen tussen de paren veranderlijken die elk van de sys-teemelementen definieren. Deze voorwaarden zijn de evenwichtsvoorwaarden en de vere-nigbaarheidsvoorwaarden.

Evenwichtsvoorwaarden zijn steeds betrekkingen tussen lopende veranderlijken. Zijworden, naargelang de discipline, soms knooppuntvergelijkingen of continuıteitsvergelijkingengenoemd. Voorbeelden zijn de stroomwet van Kirchhoff in een knooppunt van een elek-trisch netwerk, het krachtenevenwicht in een punt van een mechanische structuur of decontinuıteitsvoorwaarde van een vloeistofstroom.

Verenigbaarheidsvoorwaarden zijn altijd betrekkingen tussen staande veranderlijken.Zij worden soms kringloopvergelijkingen of verbindingsvoorwaarden genoemd. Voorbeeldenzijn de spanningswet van Kirchhoff in de kringloop of geometrische verbindingsvoorwaardenin mechanische systemen.

A.7 Equivalente systemen

Door de analogieen, weergegeven in figuur A.5, kunnen mechanische structuren die be-staan uit ideale elementen omgerekend worden naar volledig equivalente elektrische sche-ma’s. Hiervoor laten we de kracht overeenkomen met de stroom en de snelheid of hetsnelheidsverschil (eventueel t.o.v. stilstand) met de spanning of het spanningsverschil in deovereenstemmende punten (of omgekeerd). Een massa komt zo overeen met een capaciteit,een veer met een inductantie en een demper met een weerstand. Samengevat geeft ditvolgende equivalente waarden voor mechanische en elektrische systemen:

F ↔ i

v12 ↔ V12

→

m ↔ C

1/k ↔ L

b ↔ 1/R

.

Deze analogieen geven in feite weer dat alle (ideale) systemen zich op een gelijkaardigemanier gedragen. Zo kan het elektrisch equivalent van een mechanische structuur gebruiktworden om gesimuleerde ‘testen’ uit te voeren op de structuur door het meten van deelektrische schakeling.

Figuur A.4 geeft voorbeelden van equivalente systemen. De TF’s van deze systemenzijn dan ook dezelfde.

76 Johan Baeten

A.8 Samenvatting

v

Mechanisch Elektrisch

L ~ k1/ R ~ b1/

i1

i 2

(1)

(0)

k

b

F1

F2

TF = = ~ =1+p m k/ V1

V2v1

2

1+p LC

(1)

(0)

2

k m

F1

v2i 1 V


C ~ m(1)

(0)

FTF = = ~ =

p f k1+ /

1 1

i 1

i 2F1

2

1+ /pL R

L ~ k1/

(1)

(0)

2 2


kk

bm

L

R ~ b1/

V1 V2

v1 v2

1/k

L ~ k1/

~

(0)

(1) (2)

(0)

(1) (2)

C ~ m

vTF = = ~ =

p m k1+ /

p k/ pL

i1

i2F1

2

1+p LC2 2

1 1

Figuur A.4: Voorbeelden van mechanisch-elektrisch-equivalenten

A.8 Samenvatting

Gebruikte variabelen:

E energie P vermogenω hoeksnelheid M momentϑ temperatuur q warmtestroomv translatiesnelheid V elektrische spanningf veralgemeende lopende veranderlijke i stroomh veralg. geıntegreerde lopende veranderlijke F krachtv veralgemeende staande veranderlijke P drukx veralg. geıntegreerde staande veranderlijke Q debiet

Gebruikte constanten:

R elektrische weerstand L elektrische inductantieC elektrische capaciteit b demping (translatie)k veerstijfheid m massaB demping (rotatie) K rotatieveerstijfheidI traagheidsmoment Rf hydraulische weerstandI hydraulische inertantie Cf hydraulische capaciteitRt thermische weerstand Ct thermische capaciteit

Johan Baeten 77

A Ideale systemen

1

K

Translatieveer

Rotatieveer

Elektrische inductantie

Hydraulische inertantie

Veralgemeendeinductantie

x = L.f

v

x

v

x

E = L f /2

V = Ldi

dt

P = IdQ

dt

v =dF

dt

1

k

=dM

dtw

E = F k/2

E=M k/2

E=Li /2

E=IQ /2

d

Massa

Traagheidsmoment

Elektrische capaciteit

Hydraulische capacitiet

Veralgemeendecapaciteit

h = C v

E = C v /2

v v

Thermische capaciteit

dvF = m

dV

dti = C

dP

dtQ = C

f

Jddt

q = Ct

w

M = I E = I /2w

E = mv /2

E = CV /2

E =C P /2

E = CtJ

Translatiedemper

Rotatiedemper

Elektrische weerstand

Hydraulische weerstand

Veralgemeendeweerstand

f = v /2

P =v R=f R/

v v

Thermische weerstand

P =Bw

P = bv

Rtq = J

RtP = J

Ri = V

Ri = V

M= B w

F = b v

RfQ = P

RfQ = P

12

12

12

12

12

2

2

2

2

2

2

1

1

2

f

21

2

f , h

12

12

dt

dt

12

12

12

12

f

2

2

2

2

12

12

12

12

1

1

1

1

1

1

12

12

12

12

1212

2

2

2

2

21

12

12

22

f

Figuur A.5: Ideale systeemelementen

veranderlijke

Ge ntegreerdeÎ

Mechanisch

translatie

Mechanisch

rotatie

Elektrisch

Hydraulisch

Thermisch

Kracht F

Moment M

Stroom i

Debiet Q

Warmteflux q

Hoeveelheid van beweging

Hoeveelheid van beweging

p

Lading q

Volume V

Warmte-energie

Snelheidsverschil

Hoeksnelheidsverschil

Spanningsverschil

Drukverschil

Temperatuurverschil

Verplaatsing

Hoekverdraaiing

Fluxomwinding

Drukimpuls

v

v

12

x

x

q

l

T

w

V

J

P

SysteemLopende

veranderlijkelopende

Ge ntegreerdeÎ

veranderlijkeveranderlijkestaande

Staande

hf

12

12

12

12

12

h

12

12

12

1212

Tabel A.1: Staande en lopende veranderlijken

78 Johan Baeten

A.8 Samenvatting

Systeem Grootheid BrontypeBatterij Elektrische spanning vHydraulische pomp Debiet fSmeltend ijs Temperatuur vKoppelmotor Koppel fOceaandiepte Druk v

Tabel A.2: Voorbeelden van fysische v- en f -bronnen

HefboomTandwiel-

overbrenging

Elektirsche

transformatorDifferentiaalzuiger

rarb

(2)

(1)(4)

aFbF

x ,v2 2

x ,v4 4

Nb

Na

(1)

aC

bC

2 24 4 Na Nb

(2)

(1)

(4)

(3)

ai bi

2V,l

v = n v41 21

V = n V P = n P43 21 41 21

F = - F1nb a

i = - i Q = - Q1 1n nb a b a

C = - C1nb a

w w41 21

= n

P2 P1 P4

Q Qa bA Aba

Systeem

Transormatie-fverhouding

Betrekkingen

n= -rb

ran= -

Na

Nbn =

Aa

Abn =

Nb

Na

q ,wq ,w

2

1V,l

1

4V,l

4

3V,l

3

Figuur A.6: Ideale transformatoren

Johan Baeten 79

Formularium SysteemtheorieAlgemeen

ejx = cos x + j sin x,ejx + e−jx

2= cos x, e−jx = cos x− j sin x,

ejx − e−jx

2j= sin x

Laplace

F (p) = L f(t) =

∞∫0

f(t)e−ptdt , f(t) = L−1 F (p) =1

2πj

a+j∞∫a−j∞

F (p)eptdp

Transformatieparen

δ(t) ↔ 1

δ(t− nT ) ↔ e−nTp

A · u(t) ↔ A

p

mt · u(t) ↔ m

p2

tn · u(t) ↔ n!

pn+1

eat · u(t) ↔ 1

p− a

teat · u(t) ↔ 1

(p− a)2

tneat · u(t) ↔ n!

(p− a)n+1

cos(bt) · u(t) ↔ p

p2 + b2

sin(bt) · u(t) ↔ b

p2 + b2

eat cos(bt) · u(t) ↔ p− a

(p− a)2 + b2

eat sin(bt) · u(t) ↔ b

(p− a)2 + b2

Eigenschappen

L a.f (t) + b.g (t) = aF (p) + bG(p) , limt→∞

f(t) = limp→0

pF (p) , limp→∞

pF (p) = f(0)

f ′(t) → pF (p)− f(0) , f(at) ↔ 1

aF(p

a

), eatf(t) ↔ F (p− a)∫

f(t)dt ↔ F (p)

p,

f(t)

t↔

∞∫p

F (u)du , tf(t) ↔ −dF (p)/dp

f(t) ∗ g(t) ↔ F (p) ·G(p)

Versterking - FaseverschuivingG(jω) = Mejϕ met M = |G(jω)| en ϕ = ∠G(jω) [o] of [rad] , A = 20 log M [dB]

Het eerste orde systeem

TF =K

1 + τp, Impulsrespons =

AK

τe−t/τ ,

Staprespons = KE(1− e−t/τ

), Ramprespons = mK

(τe−t/τ + t− τ

)Integrator - differentiator

TFint. =1

τip, TFdiff. = τdp

80

Formularium Systeemtheorie

Eerste orde met differentierende werking

TF =τp

τp + 1, Staprespons = e−t/τ , Ramprespons = mτ

(1− e−t/τ

)LAG-compensator

TF =1 + pτ

1 + pkτmet k > 1, Staprespons = 1 +

1− k

ke−t/kτ

ωϕmin=

1

τ√

ken ϕmin = bgtg

(1− k

2√

k

)LEAD-compensator

TF =1

k· 1 + pkτ

1 + pτmet k > 1, Staprespons =

1

k+

k − 1

ke−t/τ

ωϕmax =1

τ√

ken ϕmax = bgtg

(k − 1

2√

k

)Het tweede orde systeem

TF =Kω2

n

p2 + 2ζωnp + ω2n

Voorbeeld RLC-keten: ωn =

√1

CLen ζ =

R

2

√C

L

Stapresponsζ = 1 : K

(1− (1 + ωnt) e−ωnt

)ζ < 1 : K

(1− e−ωnζt√

1− ζ2sin

(ωpt + bgtg

√1− ζ2

ζ

))met ωp = ωn

√1− ζ2

D = e

−ζπ√1− ζ2

, ζ =− ln D√ln2 D + π2

, tp =kπ

ωn

√1− ζ2

met k = 1, 2, 3 · · ·

Frequentierespons

|G(jωr)| =K

2ζ√

1− ζ2bij ωr = ωn

√1− 2ζ2 met ζ ≤ 1√

2= 0, 707

Dode tijdTF = e−pTv , ϕ = −ωTv.

Fourier-transformatie

F (ω) = zf(t) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt waarbij F (ω) = <(ω) + j=(ω) = A(ω)ejϕ(ω)

f(t) = z−1F (ω) =1

2π

∞∫∞

F (ω)ejωtdω

Fourier-reeksontwikkeling

ak =2

T

T/2∫−T/2

f(t) cos(kω0t)dt en bk =2

T

T/2∫−T/2

f(t) sin(kω0t)dt met ω0 = 2π/T

f(t) =a0

2+

∞∑k=1

[ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t)]

Johan Baeten 81

Katholieke Hogeschool Limburg - pers · model, in de vorm van een blokschema of transfertfunctie,...

Documents

Transcript of Katholieke Hogeschool Limburg - pers · model, in de vorm van een blokschema of transfertfunctie,...