KARNAUGH MAP (K-MAP) (I)

KARNAUGH MAP KARNAUGH MAP (K(K--MAP) (I)MAP) (I)

Pokok Bahasan :K-map 2 variabel

K-map 3 variabel

K-map 4 variabel

Tujuan Instruksional Khusus :1. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara

membuat k-map 2, 3, dan 4 bariabel

2. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara peng-cover-an minterm dalam sebuah k-map

KARNAUGH MAP (K-MAP)

Suatu peralatan grafis yang digunakan untukmenyederhanakan persamaan logika ataumengkonversikan sebuah tabel kebenaranmenjadi sebuah rangkaian logika

Salah satu metode yang paling mudah untukpenyederhanaan rangkaian logika

Map value A B Y

0 0 0 A’B’1 0 1 A’B2 1 0 AB’3 1 1 AB

K-MAP 2 VARIABEL

Tabel Kebenaran 0 1

0 A’B’0

A’B1

1 AB’2

AB3

BA

0 1

0 A’B’0

AB’2

1 A’B1

AB3

B A

Model 1

Model 2

Desain Pemetaan K-Map 2 Variabel

Karnaugh-Map 2 variabel denganminterm-mintermnya xy

0 1

0 1 1

1 0 0

yx0 1

0 x’y’ x’y

1 xy’ xy

yx

x y F0 0 10 1 11 0 01 1 0

F = ∑(m0,m1) = x’y + x’y’

0 1

0 0 1

1 1 0

BA

0 1

0 0 1

1 1 0

BA

0 1

0 0 1

1 1 1

BA

0 1

0 0 1

1 1 1

BA

F=AB’+A’B F=AB’+A’B+AB

F=AB’+A’B F=A+B

Map value A B Y

0 0 0 11 0 1 02 1 0 03 1 1 1

Tabel Kebenaran

Contoh 1:

0 1

0 10

01

1 02

13

BA

A’B’

AB 0 1

0 A’B’0

01

1 02

AB3

BA

Jadi Y = A’B’ + AB

Map value A B Y

0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 0

Tabel Kebenaran

Contoh 2:

0 1

0 10

11

1 02

03

BA

A’B’A’B

0 1

0 A’B’0

A’B1

1 02

03

BA

Jadi Y = A’

0 1

0

1

BA

0 1

0 1 1

1 0 1

BA

Catatan untuk K-Map 2 Variabel

0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low) AB

A’B’

Y = A’B’ + AB

Y =A’ + B

A’

B

1

1

1 kotak terlingkupi = 2 variabel output

4 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)

Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)

2 kotak terlingkupi = 1 variabel output

Map value A B Y

0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 1

Dari Tabel Kebenaran di bawah ini, tulis persamaanlogikanya dengan menggunakan K-map

Contoh 3:

0 1

0

1

BA

Jadi Y = A’ + B

1 1

10

A’

B

Sederhanakan persamaan logika Y = A + AB’ + A’B menggunakanK-map

Contoh 4:

0 1

0

1

BA

0 1

11

B

A

AB’

Jadi Y = A + B

Map valu

eA B C Y

0 0 0 01 0 0 12 0 1 03 0 1 14 1 0 05 1 0 16 1 1 07 1 1 1

K-MAP 3 VARIABEL

Tabel Kebenaran00 01 11 10

A’B’C’ A’B’C A’BC A’BC’0 1 3 2

AB’C AB’C ABC ABC’4 5 7 6

1

0

Model II

A BC

5731

AB’CABCA’BCA’B’C14620

AB’C’ABC’A’BC’A’B’C’0

10110100C AB

Model I

Map value

0 1A’B’C’ A’B’C

0 1

A’BC’ A’BC2 3

01

ABC’ ABC116 7

AB’C’ AB’C4 5

10

00AB

C

11170116101500141103010210010000

YCBAMap value

Tabel Kebenaran

51

AB’CA’B’C01

ABCA’BC1173

62

ABC’A’BC’10

40

AB’C’A’B’C’00

10BCA

Model III Model IV

Map value

Desain Pemetaan K-Map 3 Variabel

Catatan untuk K-Map 3 Variabel

0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)

00 01 11 1001

A BC

Y = +

00 01 11 100 1 11 1 1

A BC

00 01 11 100 1 11 1 1

A BC

B

C’

1 kotak terlingkupi = 3 variabel output

Melingkupinya harus posisi“horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)

2 kotak terlingkupi = 2 variabel output

4 kotak terlingkupi = 1 variabel output

8 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)

1

1

1

AB’C’ A’B

Contoh Pengcoveran

00 01 11 1001

CAB 00 01 11 10

0 0 0 1 11 0 0 1 1

CAB

00 01 11 100 1 0 0 11 0 0 1 1

CAB

C

B

A

00 01 11 100 0 0 1 01 0 1 1 1

cab

G(A,B,C) =

F(A,B,C) = +

f = + +

ACB’C’

A

abbc ac

00 01 11 100 0 1 0 11 1 1 1 1

ABC

A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

F = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC

00 01 11 100 0 1 0 11 1 1 1 1

ABC

A

BC’

B’C

F = A + B’C + BC’

Contoh 1 :Diketahui Tabel Kebenaran seperti berikut ini, cari persamaanlogikanya

Map value A B C Y

0 0 0 0 11 0 0 1 12 0 1 0 03 0 1 1 04 1 0 0 05 1 0 1 16 1 1 0 17 1 1 1 1

Tabel Kebenaran

Penyelesaian :

00 01 11 100 1 11 1 1 1

ABC

A’B’

AB

AC

Jadi Y = AC + AB + A’B’

Contoh 2 :Diketahui persamaan Boolean :

D = A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC + AB’C

Sederhanakan dengan metode K-map.

00 01 11 1001

ABC

Penyelesaian :

1

A’BCD = + A’BC’ + AB’C

11 1 1

+ ABC’ + ABC

AC B

Jadi D = B + AC

Map value A B C D Y

0 0 00001111

8 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1

0 01 0 0 12 0 1 03 0 1 14 0 0 05 0 0 16 0 1 07 0 1 1

Tabel KebenaranK-MAP 4 VARIABEL

00 01 11 10A’B’C’D’ A’B’C’D A’B’CD A’B’CD’

0 1 3 200

A’BC’D’ A’BC’D A’BCD A’BCD’4 5 7 6

01

ABC’D’ ABC’D ABCD ABCD’12 13 15 14

AB’C’D’ AB’C’D AB’CD AB’CD’8 9 11 10

10

11

ABCD

Model I

81240AB’C’D’ABC’D’A’BC’D’A’B’C’D’00

91351AB’C’DABC’DA’BC’DA’B’C’D01

101462AB’CD’ABCD’A’BCD’A’B’CD’10

111573AB’CDABCDA’BCDA’B’C’D11

10110100AB

CD

Model II

Desain Pemetaan K-Map 3 Variabel

00 01 11 1000

01

10

11

ABCD

A’ A

D’

C’

C

D

B

B’

Catatan untuk K-Map 4 Variabel

0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)

00 01 11 1000

01

11

10

ABCD

00 01 11 1000

01

11

10

ABCD

A’ ACD’

AC’

A’BCD ABCD’

B’C’

2 kotak terlingkupi = 3 variabel output

1 kotak terlingkupi = 4 variabel output

4 kotak terlingkupi = 2 variabel output

16 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)

8 kotak terlingkupi = 1 variabel output

Melingkupinya harus posisi“horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

Contoh Pengcoveran

00 01 11 1000 0 0 0 0

01 1 0 0 0

11 1 1 0 1

10 1 1 0 0

ABCD 00 01 11 10

00 1 0 0 0

01 0 1 0 0

11 0 0 1 0

10 0 0 0 1

ABCD

AB’CD’A’B’C’D’ A’BC’DABCD

A’C B’CDA’B’D

F = A’B’D+A’C+B’CD F = A’B’C’D’+A’BC’D+ABCD+AB’CD’

Contoh Pengcoveran

00 01 11 1000 0 0 0 1

01 1 1 0 1

11 1 1 1 1

10 1 0 1 1

ABCD

A’D AB’B’C

F = A’D+B’C+AB’+AC

00 01 11 1000 0 1 1 1

01 0 0 1 1

11 0 0 0 0

10 0 0 1 0

ABCD

ABD’ AC’BC’D’

F = ABD’+AC’+BC’D’

AC

Contoh 1 :F(A,B,C,D)=Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)

Penyelesaian :

Jadi

F(A,B,C,D) = C+B’C’D’+A’BD

00 01 11 1000

01

11

10

ABCD

B’C’D’

C

A’BD

1

1

1

1 1

1 1

1

1

1 1

F(A,B,C,D)=Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15)

Contoh 2 :Diketahui Tabel Kebenaran sebagai berikut, cari persamaan logikanya.

Map value A B C D Y

0 0 00001111

8 1 0 0 0 09 1 0 0 1 110 1 0 1 0 011 1 0 1 1 112 1 1 0 0 113 1 1 0 1 014 1 1 1 0 015 1 1 1 1 0

0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 13 0 1 1 14 0 0 0 05 0 0 1 06 0 1 0 17 0 1 1 1

Penyelesaian :

00 01 11 1000

01

11

10

ABCD

AB’D

A’C ABC’D’

1

1

1

1

1

1

1

Jadi

Y(A,B,C,D) = A’C+AB’D+ABC’D’

Contoh 3 :Lingkarilah dan tulis Persamaan logikanya.

00 01 11 1000 1 1

01 1

11 1 1 1 1

10 1

WXYZ

YZ

WXZ’W’X’Y’Z’

WX’Z

Jadi

M = YZ+WX’Z+WXZ’+W’X’Y’Z’

Latihan Soal

1. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, sertasederhanakan dengan pengcoveran yang benar:

a. AB + BC’ + A’B’

b. AC + ABC’ + BC + B’C’

c. XY + X’Z + Y’Z’

d. XY + YZ + XZ + X’Y’

e. BC + AD + ABCD + ADC + A’

f. BC + D + AD

2. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, sertasederhanakan dengan pengcoveran yang benar:

a. (B+D)(A+C) + ABD

b. A(BC’ + C) + B(A + A’C)

c. (AC + ABC’).(BC + B’C’)

d. Z(XY + X’Z).Y’Z’(X + Z)

e. A’(B’C + B’C’) + A’BC’

f. B’(CD’ + A’D) + B’C’(A + A’D’)

Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah ke bentuk SOP)