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Jose Luis Lizarbe Chira
Indices de Enlacamento Assintotico para Acoesde Rk em Variedades Riemannianas Compactas
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pos–graduacao em Ma-tematica do Departamento de Matematica da PUC–Rio como re-quisito parcial para obtencao Do tıtulo de Doutor em Matematica
Orientador: Prof. Paul Schweitzer
Rio de Janeiroabril de 2005
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Jose Luis Lizarbe Chira
Indices de Enlacamento Assintotico para Acoesde Rk em Variedades Riemannianas Compactas
Tese apresentada ao Programa de Pos–graduacao em Ma-tematica do Departamento de Matematica do Centro TecnicoCientıfico da PUC–Rio como requisito parcial para obtencao Dotıtulo de Doutor em Matematica. Aprovada pela Comissao Exa-minadora abaixo assinada.
Prof. Paul SchweitzerOrientador
Departamento de Matematica — PUC–Rio
Prof. Dethang ZhouUFF
Prof. Sebastiao Marcos Antunes FirmoUFF
Prof. Rafael Oswaldo Ruggiero RodriguezPUC-Rio
Prof. Derek Douglas Jack HaconPUC-Rio
Prof. Paulo Henrique Cabido GusmaoUFF
Prof. Jose Eugenio LealCoordenador Setorial do Centro Tecnico Cientıfico — PUC–Rio
Rio de Janeiro, 04 de abril de 2005
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Todos os direitos reservados. E proibida a reproducao totalou parcial do trabalho sem autorizacao da universidade, doautor e do orientador.
Jose Luis Lizarbe Chira
Graduacao: Matematica-Universidad Nacional de Ingenieria-Lima-Peru (1987-1996).Mestrado: Matematica-Universidade Federal Fluminenense(1997-1999).Doutorado: Matematica-Pontificia Universidade Catolica doRio de Janeiro (2000-2005).
Ficha CatalograficaChira, Jose Luis Lizarbe
Indices de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk
em Variedades Riemannianas Compactas / Jose Luis LizarbeChira; orientador: Paul Schweitzer. — Rio de Janeiro : PUC–Rio, Departamento de Matematica, 2005.
v., 88 f: il. ; 29,7 cm
1. Tese (doutorado) - Pontifıcia Universidade Catolica doRio de Janeiro, Departamento de Matematica.
Inclui referencias bibliograficas.
1. Matematica – Tese. 2. Algebra Exterior. 3. k-CamposVetoriais. 4. Lei de Biot-Savart. 5. Invariante de Hopf. 6.Acoes de Rk. 7. Indice de Enlacamento assintotico. I. Schweit-zer, Paul. II. Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Ja-neiro. Departamento de Matematica. III. Tıtulo.
CDD: 510
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Agradecimentos
Em primeiro lugar a Deus por ter ficado espiritualmente sempre de meu
lado e por ter posto no meu caminho as pessoas certas para que este trabalho
fosse realizado.
A minha amada esposa Patricia pela paciencia, amor e comprensao nos
momentos difiıceis, por seu companherismo no dia a dia e em especial por estar
presente na minha vida e por ter me dado o melhor presente da minha vida
nosso filho Juan Pablo.
A minha famılia peruana, pai, irmaos e sobrinhos pelo carinho, respeito
e motivacao que sempre me deram.
A meu orientador Paul pela sua ajuda academica, espiritual e por ter
providenciado tudo para que este trabalho desse certo, muito obrigado Paul.
Ao professor Ricardo pela sua ajuda academica nos primeiros perıodos
do doutorado.
Aos meus amigos Edwin, Rosa, Sumaya e Jose Barbosa pelo companhe-
rismo. A todos os componentes da secretaria do departamento de matematica
pela ajuda prestada e em especial para Kreuza e Orlando.
Ao CNPq e a PUC–Rio, pelos auxılios concedidos, sem os quais este
trabalho nao poderia ter sido realizado.
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Resumo
Chira, Jose Luis Lizarbe; Schweitzer, Paul. Indices deEnlacamento Assintotico para Acoes de Rk em Varieda-des Riemannianas Compactas. Rio de Janeiro, 2005. 88p. Tesede Doutorado — Departamento de Matematica, Pontifıcia Univer-sidade Catolica do Rio de Janeiro.
V.I. Arnold no seu trabalho “The asymptotic Hopf Invariant and its
applications” de 1986, considerou sobre um domınio Ω compacto de R3
com bordo suave e homologıa trivial campos X e Y de divergencia nula
e tangentes ao bordo de Ω e definiu o ındice de enlacamento assintotico
lk(X, Y ) e o invariante de Hopf associados a X e Y pela integral I(X,Y ) =∫Ω
α∧dβ, onde dα = iXvol e dβ = iyvol, e mostrou que I(X, Y ) = lk(X,Y ).
Agora, no presente trabalho estenderemos estas definicoes de ındices de
enlacamento assintotico lk(Φ, Ψ) e de invariante de Hopf I(Φ, Ψ), onde Φ e
Ψ sao acoes de Rk e de Rs, k+s = n−1, respectivamente de difeomorfismos
que preservam volume em Ωn a bola unitaria fechada em Rn e mostraremos
que lk(Φ, Ψ) = I(Φ, Ψ).
Palavras–chaveAlgebra Exterior. k-Campos Vetoriais. Lei de Biot-Savart. Invari-
ante de Hopf. Acoes de Rk. Indice de Enlacamento assintotico.
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Abstract
Chira, Jose Luis Lizarbe; Schweitzer, Paul. Asymptotic LinkingInvariants for Rk-Actions in Compact Riemannian Mani-folds. Rio de Janeiro, 2005. 88p. PhD Thesis — Department ofMatematica, Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro.
V.I. Arnold, in his paper “The algebraic Hopf invariant and its applications”
published in 1986, considered a compact domain Ω in R3 with a smooth
boundary and trivial homology and two divergence free vector fields X
and Y in Ω tangent to the boundary. He defined an asymptotic linking
invariant lk(X, Y ) and a Hopf invariant associated to X and Y by the
integral I(X, Y ) =∫Ω
α ∧ dβ, where dα = iXvol e dβ = iY vol. He showed
that I(X, Y ) = lk(X, Y ). In the present work we extend these definitions of
the asymptotic linking invariant lk(Φ, Ψ) and the Hopf invariant I(Φ, Ψ),
where Φ and Ψ are actions of Rk e Rs, k + s = n − 1, by volume
preserving diffeomorphisms, on the closed unit ball Ωn in Rn, and we show
that lk(Φ, ψ) = I(Φ, Ψ).
KeywordsExterior Algebra. k-Vector Field. Law of Biot-Savart. Rk-Actions.
Asymptotic Linking Invariant.
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Sumario
1 Introducao 8
2 Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 112.1 Produto Interno Sobre Λ(E) 112.2 Os Produtos · e × 16
3 Os Operadores div e rot 223.1 Operadores Associados a K-Campos em M 223.2 Os operadores rot e div sobre E(M) 26
4 Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 354.1 Acoes de Rk em Mn 354.2 Teorema Ergodico para Acoes de Rk numa Variedade Riemanniana
Compacta 41
5 A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 455.1 Distribuicoes em Rn 455.2 A Lei de Biot-Savart em R3 495.3 A lei de Biot-Savart em Rn 53
6 Formulas de Enlacamento 566.1 Indice de Enlacamento 566.2 Formas de Enlacamento 616.3 Indice de enlacamento para ciclos singulares em M 63
7 Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk em VariedadesRiemannianas 67
7.1 Indice de Enlacamento Assintotico de uma Acao de Rk e uma sub-variedade 67
7.2 Indice de Enlacamento Assintotico entre Acoes de Rk 78
Referencias Bibliograficas 88
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1Introducao
Sejam γ1 e γ2 duas curvas fechadas, disjuntas e orientadas em R3 (ou na
esfera unitaria S3 em R4). Seja N qualquer superfıcie orientavel, transversal a
γ1 e que tem a γ2 como bordo orientado. O ındice de enlacamento lk(γ1, γ2)
e o inteiro definido como o numero algebrico de intersecoes de γ1 com a
superfıcie N . Agora, se uma aplicacao f : S3 → S2 e suave, onde S2 e a
esfera unitaria em R3, entao para cada par de pontos p e q em S2 podemos
definir If := lk(f−1(p), f−1(q)) sempre que as curvas fechadas f−1(p) e f−1(q)
em S3 sejam disjuntas. O inteiro If e chamado de Invariante de Hopf para f
sendo que independe da escolha de p e q. O interessante deste invariante If
e que tambem pode ser calculado como um valor integral∫
S3 d−1β ∧ β, onde
β e a 2-forma em S3 pull back f ∗(θ) de uma 2-forma θ que e um gerador de
H2(S2,Z) e d−1β representa uma 1-forma α em S3 tal que dα = β.
Em (Arn), Arnold define para cada campo X ( fluxo ϕ ) de divergencia
nula em S3 o ındice de enlacamento assintotico lk(X) a qual e uma extensao
do invariante de Hopf visto como enlacamento. Para isso, ele define um
sistema Σ de curvas que ele chama de sistema de caminos curtos tal que
para cada p ∈ S3 e tempo T ≥ 0 existe uma unica curva σ(p, T ) em
Σ com ponto inicial p e ponto final ϕT (p). Assim, para cada pedaco de
orbita ϑ(p, T ) = ϕt(p); t ∈ [0, T ] ele associa uma unica curva fechada
ϑ(p, T ) := ϑ(p, T )∪ σ(p, T ). Logo, define para cada par de pontos p e q em S3
o limite lk(p, q) := limT,R→∞
1
TRlk(ϑ(p, T ), ϑ(q, R)) e mostra, devido a definicao
de Σ, que este limite existe para todo (p, q) no complemento de um conjunto
de medida nula em S3×S3 . Assim, define o ındice de enlacamento assintotico
pela integral lk(X) =∫
S3×S3 lk(p, q)vol× vol, onde dvol e a forma de volume
na metrica usual de S3.
Alem disso, sendo α := iXvol uma 2-forma fechada em S3 ( X sendo de
divergencia nula ), define a invariante de Hopf para X como o valor integral
I(X) :=∫
S3 d−1α ∧ α e mostra, como no caso de aplicacoes suaves de S3 em
S2, que I(X) = lk(X).
No trabalho de Arnold, ele assume a existencia dos sistemas dos caminhos
curtos e da ideias de como construir estes sistemas para campos com zeros
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Capıtulo 1. Introducao 9
isolados mas nao da um exemplo concreto no caso geral. Vogel em (Vog)
consegue dar exemplos naturais destes sistemas Σ, onde cada curva em Σ
e um pedaco de geodesica em S3, mas a sua definicao de Σ somente considera
a convergencia em L1(S3 × S3) da funcao lk(p, q) e nao a convergencia q.t.p.
Vogel observa que para este tipo de convergencia o ındice lk(X) ainda esta
bem definida.
Observemos que, tanto lk(X) como I(X) podem ser estendidas naturalmente
para definir o ındice de enlacamento assintotico lk(X, Y ) de um par de campos
de divergencia nula. Aqui lk(p, q) e o enlacamento assintotico da orbita de X
que passa por p e da orbita de Y que passa por q, e o invariante de Hopf
I(X,Y ) =∫
S3 d−1α∧β, onde α = iXdvol e β = iYvol. Ainda temos a igualdade
I(X,Y ) = lk(X, Y ) . Por outro lado, sabemos que ϕ e ψ os fluxos de X e
Y , respectivamente, sao acoes de R em S3 de difeomorfismos que preservam
volume (de divergencia nula). Naturalmente, poderıamos ter definido I(X,Y )
e lk(X, Y ) como I(Φ, Ψ) e lk(Φ, Ψ), respectivamente.
Por outro lado, analogamente como em R3, podemos definir o ındice de
enlacamento de duas subvariedades Nk11 e Nk2
2 de Mn, k1 + k2 = n− 1, sempre
que ambas sejam de homologia nula.
O proposito deste trabalho e estender o ındice de enlacamento assintotico
para acoes ϕ de Rk numa variedade riemanniana compacta Mn, n > 3, de
difeomorfismos que preservam volume. Isto e, uma acao Φ1 de Rk1 enlacando-
se com uma acao Φ2 de Rk2 , k1+k2 = n−1, ambas agindo em M . Os resultados
desta extensao serao feitas para o caso M = Dn (a bola unitaria em Rn). Para
isto, precisaremos que as acoes Φ1 e Φ2 sejam tangentes ao bordo de Dn.
No trabalho de Arnold em R3 a lei de Biot-Savart e crucial para
estabelecer a igualdade lk(X) = I(X). A lei de Biot-Savart afirma que se Ω e
um dominio em R3 com bordo suave e X e um campo em Ω de divergencia nula
e tangente a ∂Ω entao o campo BS(X)(x) :=1
4π
∫
Ω
(y − x)×X(y)
‖y − x‖3vol(y)
satisfaz rot(BS(X)) = X .
Assim, neste trabalho primeiro estendemos a definicao do produto veto-
rial e do produto interior para k-vetores (Capıtulo 2) e em seguida damos uma
definicao de divergencia e rotacional para k-campos (Capıtulo 3). Tambem
estendemos a Lei de Biot-Savart para k-campos (Capıtulo 5). Agora, para a
extensao do ındice de enlacamento assintotico, seguiremos a ideia de Vogel, isto
e, construiremos um sistema Σki(Teorema 7.9) de k-subvariedades singulares,
tal que para cada ki-retangulo de orbita ϑi de Φi existe σi em Σkique satisfaz
∂ϑi = ∂σi. Deste modo obtemos ki-subvariedades singulares ϑi = ϑi ∪ σi fe-
chadas e sem bordo as quais serao usadas para definir a funcao limite lk(p, q),
como no caso §3, e mostraremos que esta funcao converge em L1(M × M) e
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Capıtulo 1. Introducao 10
independe dos sistemas Σkiescolhidos (Proposicao 7.10). Tambem mostrare-
mos que podemos definir invariante de Hopf integral I(ϕ1, ϕ2) =∫
Md−1α∧β
(Capıtulo 4), onde as formas α e β estao associadas naturalmente as acoes ϕk1
e ϕk2 . E finalmente, mostraremos que lk(ϕ1, ϕ2) = I(ϕ1, ϕ2) (Teorema 7.12) e
daremos algums exemplos no caso k1 = 1, k2 = 2 e n = 4.
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2
Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior
Seja R3 o espaco euclidiano tridimensional, chamamos de algebra exterior
de R3 a algebra Λ(R3) gerada pela base canonica e1, e2, e3 satisfazendo
ei ∧ ej = −ej ∧ ei, ∀i, j.
Nesta algebra define-se o operador linear ∗ que satisfaz:
∗(1) = ei ∧ ej ∧ ek ; ∗(ei) = ej ∧ ek ; ∗(ei ∧ ej) = ek ; ∗(ei ∧ ej ∧ ek) = 1,
para todo i, j, k permutacao positiva de 1, 2, 3.Sejam × o produto vetorial e · o produto interno canonico em R3. Nao e
dificil mostrar que estes produtos podem ser tambem expressados fazendo uso
da algebra exterior e do operador estrela ∗, a saber :
u× v = ∗(u ∧ v) e u · v = ∗(u ∧ ∗v), ∀u, v ∈ R3.
Neste capıtulo estenderemos a definicao de × e · visto como produtos na
algebra exterior de qualquer espaco vetorial e veremos algumas propriedades
as quais sao parecidas ao caso R3.
2.1Produto Interno Sobre Λ(E)
Seja E um espaco vetorial real de dimensao n com produto interno 〈 , 〉.Fixemos β = u1, u2, ..., un uma base ortonormal de E. Chamamos de algebra
exterior de E a algebra Λ(E) gerada por β cujo produto ∧ e anticomutativo
em β ,isto e, para todo i e j em 1, .., n temos que ui ∧ uj = −uj ∧ ui . O
sub-espaco Λk(E) gerado pelos elementos da forma ui1 ∧ ..∧uik1≤i1<..<ik≤n e
dita a k-algebra exterior de E. Cada u ∈ Λk(E) e chamado de k-vetor e no caso
de u = v1∧v2∧ ..∧vk, onde os vi ∈ E, sera chamado de k-vetor decomponıvel.
Notemos que Λ(E) pode ser definida pela soma direta
Λ(E) := Λ0(E)⊕ Λ1(E)⊕ ..⊕ Λn(E).
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 12
Observemos que a propriedade distributiva de uma algebra garante a extensao
da propriedade anticomutativa do produto ∧ para cada par de vetores em E,
isto e, para todo u e v em E se satisfaz u ∧ v = −v ∧ u, em particular, para
todo u ∈ E temos que u ∧ u = 0. logo, se v1, .., vk e um subconjunto de E
linearmente dependente entao
v1 ∧ v2 ∧ .. ∧ vk = 0. (2-1)
Notemos tambem que se v1, .., vn e um subconjunto de E e se para cada i
temos que (vi)β denota as coordenadas de vi na base β entao por (2-1) e a
propriedade anticomutativa do produto ∧ temos que
v1 ∧ .. ∧ vn = [(v1)β, .., (vn)β]u1 ∧ .. ∧ un,
onde [(v1)β, ..(vn)β] e o determinante da matriz cujas linhas sao as coordenadas
(vi)β. Em geral, se γ = w1, ., wn e uma base qualquer de E entao
v1 ∧ .. ∧ vn = [(v1)γ, .., (vn)γ]w1 ∧ .. ∧ wn. (2-2)
Por outro lado, no caso de E∗ o espaco dual de E podemos usar
definicoes analogas ao caso de Λ(E) para definir Λ(E∗) a algebra exterior de
E∗ sendo os elementos desta algebra chamados de covetores. A algebra Λ(E∗)
e isomorfo a (Λ(E))∗. Em particular, Λk(E∗) e isomorfo a (Λk(E))∗, a saber, se
ω1, . . . , ωn e a base dual de u1, . . . , un entao a base ωi1∧..∧ωik1≤i1<..<ik≤n
de Λk(E∗) sera identificada como a base dual de ui1 ∧ .. ∧ uik1≤i1<..<ik≤n em
Λk(E). Notemos que todo k-vetor u pode ser escrito da forma
u =∑
1≤i1<..<ik≤n
(ωi1 ∧ .. ∧ ωik)(u)ui1 ∧ .. ∧ uik . (2-3)
Analogamente, todo k-covetor ω pode ser escrito da forma
ω =∑
1≤i1<..<ik≤n
ω(ui1 ∧ .. ∧ uik)ωi1 ∧ .. ∧ ωik . (2-4)
Notemos tambem, que se α = α1 ∧ .. ∧ αk e um k-covetor decomponıvel e
v = v1 ∧ . . . ∧ vr e um r-vetor decomponıvel entao
α(v) =
0 se k 6= r;
det[αi(vj)] se k = r,(2-5)
onde det denotya o determinante de uma matriz quadrada.
Para cada u ∈ Λ(E) chamaremos de produto interior por u a trans-
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 13
formacao linear
iu : Λ(E∗) −→ Λ(E∗),
ω 7−→ iuω, iuω(υ) = ω(u ∧ υ) ∀ υ ∈ A(E).
Em particular, se u e um 1-vetor, u ∈ E, entao iu e uma antiderivacao de grau
-1 em Λ(E∗), isto e, iu satisfaz
1. iu(ω) ∈ Λk−1(E∗), ∀ω ∈ Λk(E).
2. iu(ω ∧ β) = iu(ω) ∧ β + (−1)kω ∧ iu(β), ∀ω ∈ Λk(E∗) ∀β ∈ Λ(E∗).
Observacao 2.1 Observemos que se u1, u2, .., uk−1 e uk sao elementos de
Λ(E) entao
iu1∧u2∧..∧uk−1∧uk= iuk
iuk−1..iu2iu1 . (2-6)
Para cada k 6= 0 definamos a aplicacao bilinear :
〈 , 〉k : Λk(E)× Λk(E) −→ R
tal que, para cada par u = u1 ∧ ... ∧ uk e v = v1 ∧ ... ∧ vk de k-vetores
decomponıveis corresponde o valor :
〈u, v〉k = det[〈ui, vj〉]. (2-7)
Proposicao 2.2 〈 , 〉k e produto interno sobre Λk(E) .
Prova: Por definicao, o produto 〈 , 〉k e bilinear. Por outro lado, sabendo que
para toda matriz quadrada A e sua transposta At se satisfaz detA = detAt,
por definicao do produto 〈 , 〉k temos
〈u1 ∧ .. ∧ uk, v1 ∧ .. ∧ vk〉k = 〈v1 ∧ .. ∧ vk, u1 ∧ .. ∧ uk〉k.
Logo o produto e simetrico. Agora, seja u1, ..., un base ortonormal de E.
Tomndo u = ur1∧...∧urke v = us1∧...∧usk
decomponıveis tais que r1 < ... < rk
e s1 < ... < sk , temos
〈u, v〉k = det[〈uri, usj
〉]
= det[δrisj
] =
1 se ri = si para todo i.
0 se ri 6= si para algum i.
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 14
Agora, se u =∑
1≤i1<...<ik≤n
ai1...ikui1 ∧ ... ∧ uik ∈ Λk(E) entao
〈u, u〉k =∑
ai1...ikaj1...jk〈ui1 ∧ ... ∧ uik , uj1 ∧ ... ∧ ujk
〉=
∑a2
i1...ik≥ 0,
onde as somas sao tomadas sobre todos os k-uplos tais que
1 ≤ i1 < .. < ik ≤ n e 1 ≤ j1 < .. < jk ≤ n. 2
Notemos que a definicao do produto 〈 , 〉k implica que o conjunto ui1 ∧ .. ∧uik1≤i1<..<ik≤n e uma base ortonormal de Λk(E).
Definamos o produto interno:
〈 , 〉 : Λ(E) × Λ(E) −→ R
tal que se u ∈ Λk(E) e v ∈ Λr(E)
〈u, v〉 =
〈u, v〉k se k = r.
0 se k 6= r.(2-8)
A norma de um vetor u ∈ Λ(E) sera definido como ‖u‖ :=√〈u, u〉.
Este produto interno induz o isomorfismo
j : Λ(E) −→ Λ(E∗)
u 7−→ j(u), j(u)(v) = 〈u, v〉 ∀v ∈ Λ(E)(2-9)
Proposicao 2.3 j e um isomorfismo de algebras, isto e
j(u ∧ v) = j(u) ∧ j(v) ∀u, v ∈ Λ(E). (2-10)
Prova: Seja u = u1 ∧ .. ∧ uk um k-vetor decomponıvel. Tomemos um k-vetor
v = v1 ∧ .. ∧ vk decomponıvel arbitrario. Notemos que
[j(u)](v) = 〈u, v〉= det[〈ui, vj〉]= det[j(ui)(vj)]
= [j(u1) ∧ ... ∧ j(uk)](v1 ∧ .. ∧ vk)
= [j(u1) ∧ ... ∧ j(uk)](v).
ou seja, temos que j(u) = j(u1) ∧ ... ∧ j(uk). 2
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 15
Observacao 2.4 O isomorfismo j−1 : Λ(E∗) −→ Λ(E) induz o produto
interno ≺ , Â: Λ(E∗)× Λ(E∗) −→ R, ≺ α, β Â= 〈j−1(α), j−1(β)〉
Observemos que se u1, ..., un e qualquer base ortonormal de E e
ω1, ..., ωn e a base dual em E∗ entao para todo i temos que ωi = j(ui).
Disso e da definicao do produto ≺ , Â temos que ω1, ..., ωn e tambem uma
base ortonormal de E∗.
Exemplo 2.5
Sejam E = Rn com o produto interno usual, e1, ..., en base canonica de Rn
e α1, ..., αn a base dual.
1.Seja A := 〈3e1 ∧ e2 + 4e2 ∧ e3, 4e1 ∧ e2 + e2〉. Logo:
A = 12〈e1 ∧ e2, e1 ∧ e2〉+ 3〈e1 ∧ e2, e2〉+16〈e2 ∧ e3, e1 ∧ e2〉+ 〈e2 ∧ e3, e2〉
= 12
∣∣∣∣∣e1 · e1 e1 · e2
e2 · e1 e2 · e2
∣∣∣∣∣ + 16
∣∣∣∣∣e2 · e1 e2 · e2
e3 · e1 e3 · e2
∣∣∣∣∣= 12.
2. Seja B := ≺ 3α1 ∧ α2 + 4α2 ∧ α3, 4α1 ∧ α2 + α2 Â. Logo:
B = 〈j−1(3α1 ∧ α2 + 4α2 ∧ α3, j−1(4α1 ∧ α2 + α2)〉
= 〈j−1(3α1 ∧ α2) + j−1(4α2 ∧ α3), j−1(4α1 ∧ α2) + j−1(α2)〉
= 〈3e1 ∧ e2 + 4e2 ∧ e3, 4e1 ∧ e2 + e2〉 = 12. 2
2.2Os Produtos · e ×
Sejam E um espaco vetorial de dimensao n e u1, .., un uma base
ortonormal de E. O subespaco Λn(E) e gerado pelo n-vetor u1∧ ..∧un, logo, a
dimensao de Λn(E) e igual a 1. Assim, Λn(E)− 0 tem duas componentes e
a escolha de uma destas componentes define uma orientacao para E. Fixando
uma componente dizemos que E e um espaco vetorial orientado. Denotaremos
esta componente por O. Alem disso, toda base v1, .., vn de E tal que
v1 ∧ .. ∧ vn ∈ O sera chamada de uma base positiva de E.
Definicao 2.6 Sejam E um espaco vetorial orientado com produto interno
〈 , 〉 e u1, ..., un uma base ortonormal positiva de E. Chamamos de operador
estrela de Hodge a aplicacao linear ∗ : Λ(E) −→ Λ(E) que satisfaz
1. ∗(u1 ∧ u2 ∧ .. ∧ un) = 1.
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 16
2. ∗(1) = u1 ∧ ... ∧ un.
3. Se i1, .., ik, j1, ..jn−k e uma permutacao positiva de 1, .., n entao
∗(ui1 ∧ ... ∧ uik) = uj1 ∧ .. ∧ ujn−k, k 6= n.
Observacao 2.7 O operador estrela de Hodge ∗ independe da escolha da base
ortonormal positiva u1, ..., un.
Analogamente, podemos definir o operador estrela de Hodge sobre o dual
Λ(E∗) considerando sobre E∗ o produto interno e a orientacao induzida pelo
isomorfismo j. O operador ∗ possui as seguintes propriedades:
Sejam i1, .., ik, com os ils distintos, e j1, .., jr contidos em 1, .., ncom intersecao nao nula. Entao
(ui1 ∧ ... ∧ uik) ∧ ∗ (ui1 ∧ ... ∧ uik) = u1 ∧ u2 ∧ .. ∧ un. (2-11)
(ui1 ∧ ... ∧ uik) ∧ ∗ (uj1 ∧ ... ∧ ujr) = 0. (2-12)
O operador ∗ tambem satisfaz as propriedades
∗ ∗ u = (−1)k(n−k)
u ∀u ∈ Λk(E). (2-13)
| ∗ u| = ‖u‖ ∀u ∈ Λn(E). (2-14)
Exemplo 2.8
Sejam E = R5 e e1, .., e5 sua base canonica ortonormal. Suponha que
e1∧ ..∧e5 define a orientacao O de R5. Neste caso sendo α1, .., α5 a base dual
da base canonica e que 1, 3, 4, 2, 5 e 1, 2, 5, 3, 4 sao permutacoes positivas
de 1, 2, 3, 4, 5 temos que
1. ∗ e1 ∧ e3 = e4 ∧ e2 ∧ e5 = − e2 ∧ e4 ∧ e5 .
2. ∗ (e1 ∧ e2 ∧ e5 − e1 ∧ e2) = e3 ∧ e4 − e3 ∧ e4 ∧ e5.
3. ∗ α1 ∧ α3 = − α2 ∧ α4 ∧ α5.
4. ∗ ∗ α1 ∧ α3 ∧ α5 = α1 ∧ α3 ∧ α5. 2
Consideremos Λ(E)=⊕
k∈ZΛk(E), onde
⊕denota soma direta de su-
bespacos, Z denota os inteiros e Λk(E) = 0 se k < 0 ou k > n. Definamos os
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 17
seguintes produtos em Λ(E):
· : Λ(E)× Λ(E) −→ Λ(E)
(u, v) 7−→ u · v = ∗ (u ∧ ∗v).(2-15)
× : Λ(E)× Λ(E) −→ Λ(E)
(u, v) 7−→ u× v = ∗ (u ∧ v).(2-16)
Note que se u ∈ Λk(E) e v ∈ Λr(E) entao u · v ∈ Λr−k(E) e u × v ∈Λn−(r+k)(E).
Observacao 2.9
Sejam E = R3 e e1, e2, e3 a base canonica tal que e1 ∧ e2 ∧ e3 define a
orientacao. Entao, pelas propriedades do operador ∗, temos que
ei · ej = ∗(ei ∧ ∗ej) =
∗(e1 ∧ e2 ∧ e3) = 1 se i = j.
0 se i 6= j.
ei × ej = ∗(ei ∧ ej) =
ek se i 6= j.
0 se i = j,
onde i, j, k e permutacao positiva de 1, 2, 3. Assim, · e × sao respectiva-
mente o produto interno e vetorial usuais em R3. 2
Usando somente as definicoes de × e · podemos mostrar que
u× (v × w) = u · (v ∧ w) ∀u, v, w ∈ Λ(E). (2-17)
Tambem, para v1, ..vn conjunto de vetores em E podemos mostrar por
definicao de × e · e por (2-2) que os vetores decomponiveis u = v1 ∧ .. ∧ vk1 ,
v = vk1+1 ∧ .. ∧ vk2 e w = vk2+1 ∧ .. ∧ vn satisfazem
u× v · w = [(v1)β, (v2)β, .., (vn)β], (2-18)
onde β e qualquer base ortonormal que define a orientacao de E e usamos a
notacao de (2-2).
Proposicao 2.10 Sejam u, v ∈ Λk(E). Entao
u · v = v · u = 〈u, v〉. (2-19)
Prova: Seja u1, ..., un uma base ortonormal de E. A definicao de 〈 , 〉kimplica que ui1 ∧ .. ∧ uik1≤i1<..<ik≤n e base ortonormal de Λk(E).
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 18
Por outro lado, por (2-11) e (2-12) temos que
(ui1 ∧ .. ∧ uik) · (uj1 ∧ .. ∧ ujk) = ∗((ui1 ∧ .. ∧ uik) ∧ ∗(uj1 ∧ .. ∧ ujk
))
=
1 , ir = jr ∀ r
0 , ir 6= jr para algum r
Logo, os produtos 〈 , 〉k e · coincidem numa base de Λk(E). Disso e do fato
que ambos produtos sao bilineares, temos que
〈u, v〉 = u · v, ∀u, v ∈ Λk(E). 2
Seja u1, ..., un uma base positiva de E. Notemos por definicao de norma que
‖u1 ∧ ... ∧ un‖2 = det[〈u1, uj〉], onde det denota determinante.
Corolario 2.11 Sejam u1, .., un uma base positiva de E e ω1, .., ωn a base
dual de E∗. Se g = det[〈u1, uj〉] = ‖u1 ∧ .. ∧ un‖2 entao
j ∗ (u1 ∧ .. ∧ uk) =√
gωk+1 ∧ .. ∧ ωn (2-20)
∗j−1(ωk+1 ∧ .. ∧ ωn) =(−1)k(n−k)
√g
u1 ∧ .. ∧ uk (2-21)
Prova: Sendo j∗(u1∧..∧uk) um r-covetor, r = n−k, e ωl1∧..∧ωlr1≤l1<..<lr≤n
a base dual em Λr(E∗) de ul1 ∧ .. ∧ ulr1≤l1<..<lr≤n entao por (2-4), definicao
de j, proposicao anterior, (2-13), (2-1) e (2-14) temos
j ∗ (u1 ∧ .. ∧ uk) =∑
1≤l1<..<lr≤n
[j(∗(u1 ∧ .. ∧ uk))(ul1 ∧ .. ∧ ulr)]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr
=∑
1≤l1<..<lr≤n
[(ul1 ∧ .. ∧ ulr) · ∗(u1 ∧ .. ∧ uk)]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr
=∑
1≤l1<..<lr≤n
[∗(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ ul1 ∧ .. ∧ ulr)]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr
= [∗(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uk+1 ∧ .. ∧ un)]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
=√
gωk+1 ∧ .. ∧ ωn,
mostrando assim (2-20). Usaremos este resultado para mostrar (2-21).
∗j−1(ωk+1∧ ..∧ωn) = ∗j−1(j ∗(1√gu1∧ ..∧uk)) = (−1)k(n−k) 1√
gu1∧ ..∧uk. 2
Sejam u1, .., un base ortonormal positiva de E e j(u1), .., j(un) sua
base dual em E∗. Definamos o n-covetor unitario volE := j(u1 ∧ .. ∧ un) dual
ao vetor unitario u1 ∧ .. ∧ un.
Proposicao 2.12 Seja u ∈ Ek(M). Entao
iuvolE = j(∗u). (2-22)
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 19
Prova: Sendo u1, ..un uma base ortonormal temos que j(u1), .., j(un) e
a base dual em E∗. Para cada i denotemos ωi := j(ui), logo ui1 ∧ .. ∧uik1≤i1<..<ik≤n e uma base ortonormal de Λk(E) e ωi1 ∧ ..∧ωik1≤i1<..<ik≤n e
a base ortonormal dual de Λk(E∗). Consideremos o caso u1 ∧ .. ∧ uk. Notemos
que iu1∧..∧ukvolE ∈ Λn−k(E
∗). Por (2-4), definicao de iu1∧..∧ukvolE, (2-1)) e
definicao de j temos que
iu1∧..∧ukvolE =
∑1≤j1<..<jn−k≤n
[iu1∧..∧ukvolE(uj1 ∧ .. ∧ ujn−k
)]ωj1 ∧ .. ∧ ωjn−k
=∑
1≤j1<..<jn−k≤n
[volE(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uj1 ∧ .. ∧ ujn−k)]ωj1 ∧ .. ∧ ωjn−k
= [volE(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uk+1 ∧ .. ∧ un)]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
= [‖u1 ∧ .. ∧ un‖2]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
= ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
= j(uk+1 ∧ .. ∧ un).
Por outro lado, sendo u1, .., un uma base ortonormal positiva, temos que
∗(u1 ∧ .. ∧ uk) = uk+1 ∧ .. ∧ un. Logo
j(∗(u1 ∧ .. ∧ uk)) = j(uk+1 ∧ .. ∧ un).
Assim j(∗(u1∧ ..∧uk)) = iu1∧..∧ukvolE. No caso de iui1
∧..∧uikvolE, 1 ≤ i1 < .. <
ik ≤ n, podemos considerar uma permutacao positiva j1, ..jn de 1, .., n tal
que para todo r ∈ 1, ..k temos que ir = jr e mostrar como acima que
j(∗(ui1 ∧ .. ∧ uik)) = iui1∧..∧uik
volE. 2
Proposicao 2.13 Sejam u ∈ Λk(E) e v ∈ Λr(E) entao
j(u · v) = (−1)(r−k)(n−r)iuj(v). (2-23)
Prova: Por definicao u · v ∈ Λr−k(E) . Seja w ∈ Λr−k(E) arbitrario. Por
definicao de j e (2-19) temos que j(u · v)(w) = w · (u · v). Aplicando as
propriedades de ∗ convenientemente temos w ·(u·v) = (−1)(r−k)(n−r) (u∧w)·v.
Logo, por (2-19) e definicao de iu temos que
j(u · v)(w) = (−1)(r−k)(n−r) 〈v, u ∧ w〉
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 20
= (−1)(r−k)(n−r) j(v)(u ∧ w)
= (−1)(r−k)(n−r) iuj(v)(w). 2
Corolario 2.14 Seja u ∈ E, dim(E) = n. Se v ∈ Λk(E) e w ∈ Λs(E) entao
u · (v ∧ w) = (−1)ns(u · v) ∧ w + (−1)(n+1)k v ∧ (u · w). (2-24)
Prova: Sejam v ∈ Λk(E) e w ∈ Λs (E). Por (2-23), (2-10) e sendo iu
antiderivada temos que
j(u · (v ∧ w)) = (−1)(k+s−1)(n−k−s)iuj(v ∧ w)
= (−1)n(k+s−1)iu(j(v) ∧ j(w))
= (−1)n(k+s−1)(iu j(v)) ∧ j(w) + (−1)k j(v) ∧ (iu j(w)).
Disto, (2-23) e (2-10) temos
j(u · (v ∧ w)) = (−1)nsj((u · v) ∧ w) + (−1)(n+1)kj(v ∧ (u · w)).
Logo pela linearidade de j temos
j(u · (v ∧ w)) = j((−1)ns(u · v) ∧ w + (−1)(n+1)kv ∧ (u · w)).
Finalmente, sendo j um isomorfismo podemos aplicar j−1 a ultima equacao e
obter o resultado. 2
Corolario 2.15 Sejam u, vi , i=1,..,k , vetores em E. Entao
u · (v1 ∧ ... ∧ vk) = (−1)(k−1)n
k∑i=1
(−1)i−1 〈u, vi〉v1 ∧ ..vi.. ∧ vk. (2-25)
Prova: ( Por inducao )
k = 1: u · v1 = 〈u, v1〉.Para k + 1 sabendo que se cumpre para k:
Por (2-24) temos que
u·(v1∧..∧vk+1) = (−1)n(u·(v1∧..∧vk))∧vk+1+(−1)(n+1)kv1∧..∧vk∧(u·vk+1).
Como a formula se cumpre para k, temos que
u · (v1 ∧ .. ∧ vk) = (−1)(k−1)n
k∑i=1
(−1)i−1 〈u, vi〉v1 ∧ .. ∧ vi ∧ .. ∧ vk.
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Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 21
Alem disso, como u · vk+1 = 〈u, vk+1〉 ∈ R, podemos escrever
v1 ∧ .. ∧ vk ∧ (u · vk+1) = 〈u, vk+1〉v1 ∧ .. ∧ vk.
Portanto,
u · (v1 ∧ .. ∧ vk+1) = (−1)kn
k+1∑i=1
(−1)i−1〈u, vi〉v1 ∧ .. ∧ vi ∧ .. ∧ vk ∧ vk+1.2
Observacao 2.16
Sejam u, v, w ∈ R3. Entao por (2-17) e (2-25) temos que
u× (v × w) = (u · w) v − (u · v) w.
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3Os Operadores div e rot
Em R3, para todo campo vetorial X a divergencia e o rotacional deste
campo podem ser calculados fazendo uso do vetor gradiente (∂
∂x,
∂
∂y,
∂
∂z) e
do produto interno · e do produto vetorial ×, respectivamente. No capıtulo
1 as definicoes do produto interno · e produto vetorial × em R3 foram
estendidas para qualquer espaco vetorial pelo que neste capıtulo estenderemos
as definicoes de divergencia e rotacional para k-campos numa variedade M .
3.1Operadores Associados a K-Campos em M
Seja Mn uma variedade riemanniana . Para cada p ∈ M temos que
Tp(M), o espaco tangente a M no ponto p, e um espaco vetorial. Definamos
Tk(M) :=⋃
p∈M
Λk(TpM) . A variedade M induz naturalmente sobre Tk(M)
uma estrutura diferenciavel de dimensao n +(
nk
). A saber, sejam U uma
vizinhanca coordenada em M e (x1, .., xn) seu sistema de coordenadas. Para
cada p ∈ U consideremos em Tp(M) a base
∂
∂x1
(p), ..,∂
∂xn
(p)
de vetores
tangentes coordenados e seja π : Tk(M) → M a projecao canonica de
Tk(M), isto e, π(v) = p, sev ∈ Λk(TpM). Entao⋃p∈U
Λk(TpM) sera uma
vizinhanca coordenada em Tk(M) com sistema de coordenadas (x1 π, .., xn π, a12...k, ..., a(n−k+1)...n) definidas por
∑1≤i1<...<ik≤n
ai1i2..ik
∂
∂xi1
(p)∧ .. ∧ ∂
∂xik
(p) 7→ (x1(p), ..., xn(p), a12...k, .., a(n−k+1)...n).
A variedade Tk(M) e chamado de k-fibrado tangente de M . Cada aplicacao
suave X : M → Tk(M) que satisfaz π X = id e chamado de k-campo vetorial
suave em M . Localmente, no sistema de coordenadas (x1, ..xn), escreveremos
um k-campo X como
X(p) =∑
1≤i1<..<ik≤n
fi1..ik(p)(∂
∂xi1
∧ .. ∧ ∂
∂xik
)(p).
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 23
Denotaremos por Ek(M) o espaco dos k-campos vetoriais em M . A variedade
M e dita orientavel se existe um n-campo suave V tal que V (p) 6= 0, ∀p.
Seja N =V
‖V ‖ o n-campo unitario em En(M). Observemos que para cada
p ∈ M a componente de Λn(TpM) que contem N(p), define uma orientacao
Op para TpM . Neste sentido, diremos que N define uma orientacao para M
ou que M e uma variedade orientada com orientacao O. Se M e conexa entao
somente existem duas orientacoes possıveis. Como N define a orientacao, entao
para todo p ∈ M temos que ∗N(p) = ‖N(p)‖ = 1. Localmente, o sistema
de coordenadas (x1, .., xn) sera dita coerente com a orientacao sempre que os
vetores tangentes coordenados
∂
∂x1
(p), ..,∂
∂xn
(p)
forem uma base positiva
de TpM .
Analogamente, para Ek(M) :=⋃
p∈ M
Λk((TpM)∗) podemos induzir na-
turalmente uma estrutura diferenciavel que sera chamado de k-fibrado cotan-
gente de M . Chamaremos de k-forma diferenciavel a toda aplicacao suave da
forma ω : M → T k(M) tal que ω(p) ∈ Λk((TpM)∗). Localmente, no sistema
de coordenadas (x1, .., xn), sendo Λk((TpM)∗) dual a Λk(TpM) e considerando
dx1(p), .., dxn(p) a base dual de
∂
∂x1
(p), ..,∂
∂xn
(p)
escreveremos uma k-
forma diferenciavel ω como
ωp =∑
1≤i1<..<ik≤n
fi1..ik(p)(dxi1dxi2 ..dxik)p,
onde o produto ∧ esta implıcito na igualdade acima, isto e, (dxi1dxi2 ..dxik)p :=
(dxi1 ∧ dxi2 ∧ .. ∧ dxik)p. O espaco das k-formas diferenciaveis em M sera
denotado por Ek(M).
Seja (x1, .., xn) qualquer sistema de coordenandas em M . Para cada
f : M → R suave definimos o diferencial de f como a 1-forma df que tem
representacao local
df =n∑
i=1
∂f
∂xi
dxi.
Em geral, para cada k-forma α, localmente α =∑
1≤i1<..<ik≤n
fi1..ikdxi1 ..dxik ,
definimos o diferencial de α como a (k + 1)-forma dα que tem representacao
local
dα =∑
1≤i1<..<ik≤n
(dfi1..ik)dxi1 ..dxik .
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 24
Definicao 3.1 A aplicacao bilinear
∧ : Ei(M)× Ej(M) → Ei+j(M)
(X, Y ) 7→ X ∧ Y, (X ∧ Y )(p) = X(p) ∧ Y (p)
e chamado de produto exterior de k-campos. A algebra dos k-campos vetoriais
para todo k sera denotada por E(M). Analogamente, podemos definir o produto
exterior de k-formas diferenciaveis
Seja g a metrica riemanniana em M . A metrica restrita a TpM sera identificada
por gp. A extensao de gp a Λ(TpM) tambem sera denotada por gp. Sejam X
e Y k-campos vetoriais em M . Definiremos a funcao g(X, Y )
g(X,Y )(p) = gp(X(p), Y (p)), ∀p ∈ M (3-1)
Definicao 3.2 Seja X ∈ Ek(M). A k-forma j(X) definida por j(X)(p) =
j(X(p)) sera chamada de k-forma associada a X. A (n− k)-forma j(∗X) sera
chamada a (n − k)-forma associada a X. Em particular se f ∈ Λ0(M) =
C∞(M) entao j(f) = f .
Seja N o n-campo unitario que define a orientacao. Chamaremos a j(N)
a forma de volume em M a qual sera denotada por vol. Definamos para
cada X ∈ Ek(M) a (n − k)-forma iXvol tal que para todo p ∈ M temos
(iXvol)p = iX(p)volp e notemos por (2-22) que
iXvol = j(∗X), ∀X ∈ Ek(M). (3-2)
Exemplo 3.3 Seja M domınio Ω ⊂ R5. Considere e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 ∧ e5 ∈ ϑ.
Seja X = f12e1 ∧ e2 + f24e2 ∧ e4 ∈ E2(Ω). Entao
j(X) = f12dx1 ∧ dx2 + f24dx2 ∧ dx4 ∈ E2(Ω)
∗X = f12e3 ∧ e4 ∧ e5 − f24e1 ∧ e3 ∧ e5 ∈ E3(Ω)
j(∗X) = f12dx3 ∧ dx4 ∧ dx5 + f24dx1 ∧ dx3 ∧ dx5 ∈ E3(Ω)
Proposicao 3.4 Sejam M uma variedade orientada, (x1, .., xn) um sistema
de coordenadas em M coerentes com a orientacao, ∂
∂xi
, ..,∂
∂xn
os vetores
tangentes coordenados e dx1, .., dxn sua base dual. Definamos o valor g :=
‖ ∂
∂xi
∧ .. ∧ ∂
∂xn
)‖2 = det[g(∂
∂xi
,∂
∂xj
)]. Entao
∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xn
=√
gN (3-3)
vol =√
gdx1dx2..dxn (3-4)
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 25
Prova : Sendo N(p) base de Λn(TpM) entao (∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xn
)(p) = f(p)N(p).
Como ∗N = 1 entao ∗(( ∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xn
)(p)) = f(p). Sendo ∂
∂x1
, ..,∂
∂xn
base positiva entao ∗( ∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xn
) > 0. Logo, por (2-14) temos que
∗( ∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xn
) =
∥∥∥∥∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xn
∥∥∥∥ =√
g. Por tanto f =√
g, mostrando
assim (3-3).
Por outro lado, sendo volp base de Λn((TpM)∗) temos que
(dx1..dxn)p = h(p)volp.
Como volp e base dual de N(p) e (dx1..dxn)p e base dual de∂
∂x1
∧ ..∧ ∂
∂xn
(p)
entao
h(p) = (dx1..dxn)p(N)
= (dx1..dxn)p(1√g
∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xn
)
=1√g.
Por tanto, vol =√
g dx1 .. dxn. 2.
Para cada funcao suave f : M → R podemos definir o 1-campo
grad(f) ∈ E1(M) pela igualdade
df(X) = g(X, grad(f)) ∀X ∈ E1(M),
onde df e a diferencial de f . Este 1-campo grad(f) e chamado de gradiente
de f . Obsevemos que g(X, grad(f)) = j(grad(f))(X). Logo df = j(grad(f))
Estenderemos esta definicao de gradiente para E(M).
Definicao 3.5 O operador gradiente e a aplicacao ∇ : Ek(M) → Ek+1(M)
tal que cada k-campo X e aplicado no (k+1)-campo
∇X = j−1dj(X). (3-5)
Proposicao 3.6 Sejam f ∈ Λ0(M) = C∞(M), X ∈ Ek(M) e Y ∈ E(M)
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 26
entao
∇(f) = grad(f) (3-6)
dj(X) = j(∇X). (3-7)
∇(X ∧ Y ) = (∇X) ∧ Y + (−1)kX ∧ (∇Y ) (3-8)
Prova: Sendo f uma funcao temos f ∈ E0(M), logo j(f) = f . Assim
∇f = j−1(d(f)). Disso e pela definicao de j temos para Y ∈ E1(M)
g(∇(f), Y ) = g(j−1d(f), Y ) = jj−1d(f)(Y ) = d(f)(Y ),
mostrando assim (3-6). Agora, (3-7) segue da definicao
j(∇X) = j(j−1dj(X)) = dj(X).
Por outro lado, sendo j e j−1 homomorfismos de algebras e o diferencial d uma
antiderivacao temos
∇(X ∧ Y ) = j−1(dj(X ∧ Y )) ( definicao de ∇ )
= j−1( d(j(X) ∧ j(Y )) )
= j−1( dj(X) ∧ j(Y ) + (−1)k j(X) ∧ dj(Y ) )
= j−1(dj(X)) ∧ j−1(j(Y )) + (−1)k j−1(j(X)) ∧ j−1(dj(Y ))
Diante disto e por definicao de ∇ temos que
∇(X ∧ Y ) = (∇X) ∧ Y + (−1)kX ∧ (∇Y ). 2
3.2Os operadores rot e div sobre E(M)
Sejam Mn variedade riemanniana orientada, com metrica g.
Definicao 3.7 Sejam s e k inteiros positivos tal que s+k+1 = n. Definamos
os operadores
rot : Ek(Ω) → En−k−1(Ω)
X 7→ rot(X) = (−1)s(k+1) ∗ (∇X).
div : Ek(Ω) → Ek−1(Ω)
X 7→ div(X) = (−1)s(k+1) ∗ ∇(∗X).
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 27
Os operadores rot e div serao chamados de operador rotacional e operador
divergencia, respectivamente. Observemos que as definicoes destes operadores
implicam
rot(U × V ) = div(U ∧ V ), ∀U ∈ Ek(M), ∀V ∈ Es(M) (3-9)
Agora, mostraremos um resultado que relaciona as formas associadas a k-
campos com os operadores definidos acima.
Proposicao 3.8 Seja X ∈ Ek(M). Entao
dj(∗X) = idiv(X)vol. (3-10)
dj(X) = irot(X)vol. (3-11)
Prova: Por (3-7) e (2-13) temos
d(j(∗X)) = j(∇ ∗X)
= i(−1)(k+1)(n−k−1)∗∇(∗X)vol.
Agora, por (2-22) e definicao de div temos
d(j(∗X)) = (−1)(n−k+1)(k−1)j(∗ ∗ ∇(∗X))vol
= idiv(X)vol,
mostrando assim (3-10). Por outro lado, por (3-7) e (2-13) temos
d(j(X)) = j(∇X)
= j((−1)(k+1)(n−k−1) ∗ (∗(∇X))).
Agora, por (2-22) e definicao de rot temos
d(j(X)) = i(−1)(k+1)(n−k−1)∗(∇X)vol
= irot(X)vol. 2
Proposicao 3.9 Sejam X um k-campo sobre M e f ∈ C∞. Entao
div(fX) = fdiv(X) + (−1)s(k+1)∇(f) ·X. (3-12)
Em particular, se k = 1 entao
div(fX) = fdiv(X) + g(∇(f), X). (3-13)
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 28
Prova: Por definicao de div, linearidade de ∗, (3-8) e definicao do produto ·temos que
div(fX) = (−1)s(k+1) ∗ ∇ ∗ (fX)
= (−1)s(k+1) ∗ ∇(f ∗X)
= (−1)s(k+1) ∗ [∇(f) ∧ (∗X) + (−1)s(k+1)(∗f∇ ∗X)]
= (−1)s(k+1) ∗ (∇(f) ∧ (∗X)) + f [(−1)s(k+1) ∗ ∇ ∗X)]
= (−1)s(k+1)∇(f) ·X + fdiv(X). 2
Proposicao 3.10 Seja (x1, x2, .., xn) sistema de coordenadas coerentes com a
orientacao de M . Definamos g := ‖ ∂
∂x1
∧ ..∧ ∂
∂xn
‖2 = det[g(∂
∂xi
,∂
∂xj
)]. Entao
div(∂
∂xi
) =1√g
∂√
g
∂xi
(3-14)
div(∂
∂xi1
∧ .. ∧ ∂
∂xik
) = (−1)k∑
j
(−1)jdiv(∂
∂xij
)∂
∂xi1
∧ ..∂
∂xij
.. ∧ ∂
∂xik
(3-15)
Prova: Lembremos que dx1, .., dxn e a base dual a ∂
∂x1
, ..,∂
∂xn
e que
dx1 ∧ ..∧ dxn =1√gvol. Seja N o n-campo unitario que define a orientacao de
M . Entao, por (2-20) e (2-21) temos que
div(∂
∂x1
) = ∗∇ ∗ ∂
∂x1
= ∗j−1d(j ∗ ∂
∂x1
)
= ∗j−1d(√
gdx2..dxn)
= ∗j−1(∂√
g
∂x1
dx1dx2..dxn)
= ∗j−1(1√g
∂√
g
∂x1
vol)
=1√g
∂√
g
∂x1
∗N =1√g
∂√
g
∂x1
.
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 29
Tambem
div(∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xk
) = (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ ∇ ∗ (∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xk
)
= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j−1d(j ∗ (∂
∂x1
∧ .. ∧ ∂
∂xk
))
= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j−1d(√
gdxk+1..dxn)
= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j−1(k∑
i=1
∂√
g
∂xi
dx1dxk+1..dxn)
=k∑
i=1
(−1)k−i 1√g
∂√
g
∂xi
∂
∂x1
∧ ..∂
∂x1
.. ∧ ∂
∂xk
= (−1)k
k∑i=1
(−1)idiv(∂
∂xi
)∂
∂x1
∧ ..∂
∂x1
.. ∧ ∂
∂xk
No caso geral, podemos considerar j1, j2, j3, .., jn permutacao positiva de
1, 2, .., n tal que i = j1 no primeiro caso e ir = jr, ∀r ∈ 1, .., k, no segundo
caso. 2
Exemplo 3.11
Sejam Ω a n-variedade Rn, a base canonica e1, .., en e dx1, .., dxn a base
dual. Suponha que N = e1∧e2∧e3∧e4∧en define a orientacao de Ω . Notemos
que
∇ei = j−1dj(ei) = j−1ddxi = j−1d2xi = 0, ∀i.
Seja X =n∑
i=1
fi ei entao
a) ∇ X =n∑
i=1
∇(fi ei)
=n∑
i=1
∇(fi) ∧ ei
=n∑
i=1
[n∑
j=1
∂fi
∂xj
ej] ∧ ei
=∑
1≤i<j≤n
[∂fj
∂xi
− ∂fi
∂xj
]ei ∧ ej
b) rot X = (−1)(n−2).2 ∗ (∇X)
= ∗(∑
1≤i<j≤n
∂fj
∂xi
− ∂fj
∂xi
ei ∧ ej)
=∑
1≤i<j≤n
(−1)i+j−1∂fj
∂xi
− ∂fj
∂xi
e1 ∧ ..ei..ej.. ∧ en
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 30
c) div (X) =n∑
i=1
div(fiei)
=n∑
i=1
[∇(fi) · ei + fidiv(ei)]
=n∑
i=1
[n∑
j=1
∂fi
∂xj
ej] · ei
=n∑
i=1
∂fi
∂xi
2
Observacao 3.12 Se X e um campo vetorial em M entao div(X) e a
divergencia usual em M . Se M ⊂ R3 entao div(X) e rot(X) sao a divergencia
e o rotacional usual em R3.
Sejam U e V campos vetoriais em M . Seja (x1, .., xn) um sistema de
coordenadas locais de M , onde localmente U =n∑
i=1
ui∂
∂xi
e V =n∑
i=1
vi∂
∂xi
.
Entao localmente podemos escrever o colchete de Lie de U e V como
[U, V ] =n∑
i=1
g(∇vi, U)− g(∇ui, V ) ∂
∂xi
(3-16)
Em particular, se U = f ∂∂xi
e V = h ∂∂xj
, i < j, entao
[U, V ] = g(∇h, U)∂
∂xj
− g(∇f, V )∂
∂xi
= (∇h · U)∂
∂xj
− (∇f · V )∂
∂xi
Teorema 3.13 Sejam U e V campos vetoriais em M . Entao
div(U ∧ V ) = −(divU)V + (divV )U − [U, V ] (3-17)
Prova:
Primeiro, provaremos para U = f ∂∂xi
e V = h ∂∂xj
, i < j. Entao por (3-12),
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 31
(3-15), (2-25),(3-8), (3-13) e (3-16) temos que
div(U ∧ V ) = div(fh∂
∂xi
∧ ∂
∂xj
)
= fhdiv(∂
∂xi
∧ ∂
∂xj
) + (−1)(n−3)3∇(fh) · ( ∂
∂xi
∧ ∂
∂xj
)
= −fhdiv(∂
∂xi
)∂
∂xj
+ fhdiv(∂
∂xj
)∂
∂xi
)−
(∇(fh).∂
∂xi
)∂
∂xj
+ (∇(fh).∂
∂xj
)∂
∂xi
= −fdiv(∂
∂xi
)V + hdiv(∂
∂xj
)U − (∇f · ∂
∂xi
)V − (∇h · U)∂
∂xj
+(∇f · V )∂
∂xi
+ (∇h · ∂
∂xj
)U
= −fdiv(∂
∂xi
)V + hdiv(∂
∂xj
)U − (∇f · ∂
∂xi
)V − (∇h).U∂
∂xj
+
+(∇f.V )∂
∂xi
+ (∇h.∂
∂xj
)U
= −(fdiv∂
∂xi
+∇f · ∂
∂xi
)V + (hdiv∂
∂xj
+∇h.∂
∂xj
)U −
−(∇h).U∂
∂xj
+ (∇f.V )∂
∂xi
= −div(U)V + div(V )U − [U, V ].
Agora, provaremos para U =∑
i
fi∂
∂xi
=∑
i
Ui e V =∑
j
hj∂
∂xj
=∑
j
Vj
div(U ∧ V ) =∑i,j
div(Ui ∧ Vj)
=∑i,j
−div(Ui)Vj + div(Vj)Ui − [Ui, Vj]
= −div(∑
i
Ui)(∑
j
Vj) + div(∑
j
Vj)(∑
i
Ui)− [∑
i
Ui,∑
j
Vj]
= −div(U)V + div(V )U − [U, V ]. 2
Corolario 3.14 Seja V = V 1 ∧ V 2 ∧ .. ∧ V k tal que V i ∈ E1(M), ∀i. Entao
div(V ) = (−1)k
k∑i=1
(−1)idiv(V i) V 1 ∧ ..V i.. ∧ V k +
(−1)k∑
1≤i<j≤k
(−1)i+j[V i, V j] ∧ V 1 ∧ ..V i..V j.. ∧ V k. (3-18)
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 32
Prova:
Procedendo como na demonstracao do teorema anterior. 2
Observacao 3.15 Sejam V i, i = 1, .., k campos vetoriais em M tal que
div(V i) = 0 e [V i, V j] = 0 para todo i, j. Entao, pelo corolario anterior
div(V 1 ∧ .. ∧ V k) = 0 (3-19)
No caso de M for um domınio Ωn ⊂ Rn, com metrica igual ao produto
interno usual 〈 , 〉, a base canonica e1, .., en podem ser consideradas campos
vetoriais em M ortonormais entre si. Procedendo como no exemplo 3.11
podemos mostrar que
div(ei1 ∧ .. ∧ eik) = 0, ∀i1, .., ik ∈ 1, .., n (3-20)
Logo a propriedade (3-12) garante que a divergencia de um k-campo possa ser
calculado derivando os coeficientes dos k-campos que estao representados como
combinacao linear dos ei1∧..∧eik . A saber, seja U =n∑
i=1
fie1 entao pelo exemplo
3.11 temos div(U) =n∑
i=1
∂fi
∂xi
, logo div(fU) =n∑
i=1
∂(ffi)
∂xi
, onde f e uma funcao
suave de M . Em geral, sejam os campos U i =∑n
j=1 f ijej, i = 1, .., k, em E1(M)
entao por (3-12) e (3-20)
div(U1 ∧ .. ∧ Uk) = div(∑
i1, ..ik = 1nf 1i1..fk
ikei1 ∧ .. ∧ eik)
=n∑
i1,..ik=1
(∇(f 1i1..fkik)) · (ei1 ∧ .. ∧ eik).
Logo, por (3-8), (2-25) e pelo valor da divergencia para 1-campos temos
div(U1 ∧ .. ∧ Uk) =n∑
i1,..ik=1
n∑i=1
(∂f 1
i1..fkik
∂xi
ei
)· (ei1 ∧ .. ∧ eik)
=n∑
i1,..ik=1
(−1)nk
k∑j=1
(−1)j
((∂f 1
i1..fkik
∂xi
ei
)· eij
)ei1 ∧ ..eij .. ∧ eik
= (−1)nk
k∑j=1
(−1)j
n∑i1,..ik=1
(∂f 1
i1..fkik
∂xij
)ei1 ∧ ..eij .. ∧ eik
= (−1)nk
k∑j=1
(−1)j
n∑
i1,..ij ..ik=1
div(f 1i1..f j
ij..fk
ikV j)ei1 ∧ ..eij .. ∧ eik .2
(3-21)
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 33
Portanto, V (x, y) =∑
1≤<i1<..<ik≥n
fi1..ik(x, y)e1 ∧ .. ∧ ek pode ser vista tanto
como um k-campo na variavel x ou um k-campo na variavel y logo podemos
calcular sua divergencia tanto na variavel x como na variavel y.
Corolario 3.16 Seja domınio Ω ⊂ Rn. Seja f ∈ C∞(Ω) e 4f = div(∇f) =n∑
i=1
∂2f
∂y2i
o laplaciano de f . Sejam V =∑n
i=1 viei e U i =n∑
j=1
uijejk
i=1 1-campos
vetoriais em Ω. Definamos o k-campo vetorial U = U1 ∧ .. ∧ Uk. Entao
divx((∇xf(x− y)) ∧ V (y)) = −(4yf)U −∑
i
divy(fyiV )ei + (divy(V ))∇yf(x− y)
(3-22)
divx((∇xf(x− y)) ∧ U(y))) = (−1)k(4yf) U − (−1)k+n(k−1)∇yf ∧ divy(U) + (−1)n+k
k,n,n,..,n∑
r,j,j1,..jr..,jk
(−1)rdivy
(∂f
∂yj
u1j1
..urjr
..ukjk
V r
)ej ∧ ej1 ∧ ..ejr .. ∧ ejk
.
(3-23)
Prova: Notemos que∂2f(x− y)
∂xi∂xj
=∂2f(x− y)
∂yi∂yj
, ∀i, j. Disso, por (3-17),
notando que V independe dos xi, por definicao de laplaciano e por definicao
do colchete de lie temos que
divx((∇xf(x− y)) ∧ V (y)) = −(4x(f))V − [∇xf, V ]x
= −(4x(f))V −n∑
i=1
(∇x(
∂f
∂xi
) · V)
ei
= −(4y(f))V −n∑
i=1
(∇(
∂f
∂yi
) · V)
ei
Agora por (3-12) temos que
divx((∇xf(x− y)) ∧ V (y)) = −(4y(f))V −n∑
i=1
div
(∂f
∂yi
)V )− ∂f
∂yi
div(V )ei
= −(4y(f))V −n∑
i=1
div
(∂f
∂yi
V
)ei + (div(V ))∇yf.
Mostrando assim (3-22). Agora mostraremos (3-23): Seja U = U1 ∧ .. ∧ Uk ∈Ek(M) e os (k − 1)-campos Ai = U1 ∧ ..U i.. ∧ Uk. Por (3-17), definicao de
laplaciano e notando que U independe dos xi e que∂2f(x− y)
∂xi∂xj
=∂2f(x− y)
∂yi∂yj
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Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 34
temos que
divx(∇x(f) ∧ U) = (−1)k(4x(f))U − (−1)k
k∑i=1
(−1)i[∇xf, U i]x ∧ Ai
= (−1)k(4x(f))U − (−1)k
k∑i=1
(−1)in∑
j=1
(∇x(
∂f
∂xj
) · U i
)ej ∧ Ai
= (−1)k(4y(f))U + (−1)k
n∑j=1
ej ∧(
k∑i=1
(−1)i−1
(∇y(
∂f
∂yj
) · U i
)Ai
).
Agora, por (2-25) e definicao de Ai temos que
divx(∇x(f) ∧ U) = (−1)k(4y(f))U + (−1)k(−1)n(k−1)
n∑j=1
ej ∧∇y(∂f
∂yj
) · U.
Por (3-12) e por (3-21) temos para A :=n∑
j=1
ej ∧∇y(∂f
∂yj
) · U que
A =n∑
j=1
ej ∧(
div(∂f
∂yj
U)− ∂f
∂yj
div(U)
)
= (−1)nk
n,k∑j,r=1
(−1)r
n∑
j1,..jr..,jk
div
(∂f
∂yj
u1j1
..urjr
..ukjk
V r
)ej ∧ ej1 ∧ ..ejr .. ∧ ejk
−(∇yf) ∧ div(U).
Isto mostra (3-23). 2
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4Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn
No capıtulo 2 vimos que para cada k-campo em M podemos associar
naturalmente uma k-forma e uma (n − k)-forma. Em particular, para uma
acao Φ de Rk em M podemos associar naturalmente um k-campo X. Assim,
podemos associar a Φ naturalmente formas diferenciais, as quais como veremos
neste capıtulo darao origem a invariantes integrais associados a Φ.
4.1Acoes de Rk em Mn
Seja M variedade riemanniana de dimensao n, compacta, sem bordo,
orientada , conexa e vol sua forma de volume. Seja X ∈ E1(M) um campo
vetorial e Φ, (t, p) 7→ Φt(p), seu fluxo. Como M e compacta sem bordo, o
dominio de Φ e R ×M . Suponha que o fluxo Φ preserva a forma de volume
vol, isto e, para cada t ∈ R temos que Φ∗t (vol) = vol. Neste caso, por definicao
da derivada de Lie com respeito a X se cumpre que LXvol = 0. Sabendo que
LXvol = diXvol temos por (3-2), definicao de div e (2-13) que
LXvol = diXvol = d(j(∗X)) = ∗div(X) = div(X)vol.
Portanto div(X) = 0. Da igualdade anterior podemos afirmar que o recıproco
tambem e certo, isto e, se div(X) = 0 entao o fluxo Φ preserva volume.
Sejam g := X ∈ E1(M); div(X) = 0, a algebra de Lie dos 1-campos
cujos fluxos preservam volume e
gk = (X1, X2, .., Xk) ∈ g× ..× g = gk; [X i, Xj] = 0 ∀i, j,
onde [X i, Xj] e o colchete de Lie dos campos X i e Xj. Para cada X =
(X1, X2, .., Xk) ∈ gk podemos associar uma acao de Rk em M da seguinte
forma. Para cada i ∈ 1, .., k denotemos por Φiti
o fluxo associado a X i. Para
cada par i e j temos que Φiti Φj
tj = Φjtj Φi
ti, ja que [X i, Xj] = 0. Definamos
Θ : Rk ×M → M
(t1, .., tk, p) 7→ Θ(t1,t2,..,tk)(p) = Φktk Φk−1
tk−1 .. Φ1
t1(p)
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 36
Como para cada ti ∈ R a aplicacao Φiti
: M → M e um difeomorfismo que
preserva volume entao para cada (t1, t2, .., tk) ∈ Rk temos que a aplicacao
composta
Θ(t1,t2,..,tk) = Φktk Φk−1
tk−1 .. Φ1
t1
e um difeomorfismo de M que preserva volume. Observemos tambem que
Θ(s1,..,sk)(Θ(t1,..,tk)(p)) = (Θ(s1,..,sk) Θ(t1,..,tk))(p)
= (Φksk .. Φ1
s1 Φk
tk .. Φ1
t1)(p)
= (Φksk Φk
tk.. Φ1
s1 Φ1
t1)(p)
= (Φksk+tk
.. Φ1s1+t1
)(p)
= Θ(s1+t1,..,sk+tk)(p).
Portanto Θ e uma acao de Rk em M de difeomorfismos que preservam volume.
Definicao 4.1 A acao Θ e chamada de acao de Rk em M associada a X ∈ gk
e sera denotada por A(X).
Proposicao 4.2 Seja Θ : Rk ×M → M uma acao de Rk em M cujos fluxos
preservam volume. Entao existe X ∈ gk tal que A(X) = Θ .
Prova : Sejam os campos vetoriais X i ∈ E1(M) definidos por
X i(p) := (dΘ)(0,p) (ei, 0), ∀p ∈ M,
onde e1, .., ek e a base canonica em Rk. Notemos que Φi(t, p) := Θ(tei, p) e
o fluxo associado a X i. De fato,
∂Φi
∂t(t, p) =
∂Θ
∂t(t ei, p)
= limh→0Θ(t ei + h ei, p) + Θ(t ei, p)
h
= limh→0Θ(h ei, Θ(t ei, p) ) + Θ(0, Θ(t ei, p) )
h= (d Θ)Θ(t ei,p)(ei, 0)
= X i (Θ(t ei, p) )
= X i (Φi (t, p)).
Por outro lado, por definicao os Φi comutam e preservam volume, logo para
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 37
todo i e j temos que [X i, Xj] = 0 e div(X i) = 0. Logo
Φktk ... Φ1
t1(p) = Φk
tk(...(Φ1
t1(p))...)
= Θ(tk ek, Θ(tk−1 ek−1, ..., Θ(t1 e1, p)...) )
= Θ(tk ek + tk−1 ek−1 + t1 e1, p)
= Θ(t1, t2, .., tk, p). 2
Proposicao 4.3 Seja X = X1 ∧ .. ∧ Xk o k-campo associado a X =
(X1, .., Xk) ∈ gk . Entao a (n − k)-forma j(∗X) = iXvol associada a X
e fechada.
Prova:
Como X ∈ gk , temos, para todo i e j, que div(X i) = 0 e [X i, Xj] = 0. Por
(3-19) temos que div(X) = div(X1 ∧ .. ∧Xk) = 0; logo, por (3-10) temos
dj(∗X) = idiv(X) vol = 0. 2
No que segue, trabalharemos somente com os X de gk tal que iXvol e exata,
ou seja, X ∈ gk, onde
gk := X = (X1, .., Xk) ∈ gk; ∃ α ∈ En−k−1(M) tal que dα = iXvol.
Observacao 4.4 Se Hk(M) = 0 (equivalentemente por dualidade de Poin-
care Hn−k(M) = 0) entao gk = gk .
Definicao 4.5 Sejam X = (X1, .., Xn) ∈ gk , Y = (Y 1, .., Y s) ∈ gs e N s
subvariedade fechada sem bordo e de homologia nula em M , k+s=n-1. Sejam
α ∈ Es(M) e β ∈ Ek(M) tais que dα = iXvol e dβ = iY vol respectivamente.
Os ındices
I(X, Y ) =
∫
M
α ∧ dβ. (4-1)
I(X, N) =
∫
N
α. (4-2)
sao chamados de invariante de Hopf associados a (X,Y ) e a (X, N), respecti-
vamente.
A definicao de invariante e justificada pela seguinte proposicao:
Proposicao 4.6 I(X, Y ) e I(X, N) independem da escolha de α e β.
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 38
Prova: Mostremos o caso I(X,Y ). Sejam θ ∈ En−k−1(M) e γ ∈ En−s−1(M)
tais que dθ = iXvol e dγ = iY vol. Entao, existem θ1 ∈ En−k−1(M) e
γ1 ∈ En−s−1(M) tais que α = θ + θ1, β = γ + γ1, d θ1 = 0 e dγ1 = 0.
Logo
I(X, Y ) =
∫
M
α ∧ d β =
∫
M
(θ + θ1) ∧ d (γ + γ1) =
∫
M
θ ∧ d γ +
∫
M
θ1 ∧ d γ.
Como d(θ1 ∧ γ) = θ1 ∧ dγ, temos
I(X, Y ) =
∫
M
θ ∧ d γ +
∫
M
d(θ1 ∧ γ).
Finalmente, pelo teorema de Stokes e sendo ∂M = ∅ temos
I(X, Y ) =
∫
M
θ ∧ dγ +
∫
∂M
θ1 ∧ γ =
∫
M
θ ∧ dγ.
Analogamente, podemos mostrar que I(X, N) independe da escolha de α. 2
Proposicao 4.7 Seja α uma s-forma em M e β uma k-forma em M tal que
dβ = iY vol. Entaoα ∧ dβ = α(Y )vol. (4-3)
Em particular, se α satisfaz dα = iXvol entao
I(X,Y ) =
∫
M
α(Y )vol. (4-4)
Prova: Por definicao de iY 1∧..∧Y sα, por (2-6) e pela propriedade de antide-
rivacao de iY i temos
α(Y )vol = α(Y 1 ∧ .. ∧ Y s)vol = (iY 1∧..∧Y sα)vol
= (iY siY s−1 ..iY 1α)vol
= iY s(iY s−1 ..iY 1α ∧ vol) + (−1)s−1(iY s−1 ..iY 1α) ∧ iY svol.
Notemos que (iY s−1 ..iY 1α)∧vol e uma (n+1)-forma em Mn, logo e nula. Entao
α(Y )vol = (−1)s−1iY s−1 ..iY 1α ∧ iY svol.
Procedendo analogamente como acima temos
α(Y )vol = (−1)s−1(−1)s−2..(−1)2(−1)1α ∧ iY 1 ..iY s−1iY svol.
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 39
Disso, por (2-6) e pela anticomutatividade do produto exterior ∧ temos
α(Y )vol = (−1)s−1(−1)s−2..(−1)2(−1)1α ∧ iY s∧..∧Y 2∧Y 1vol
= α ∧ iY vol,
mostrando assim (4-3). A igualdade (4-4) resulta da definicao (4-1) e de
(4-3). 2
Para cada α ∈ Es(M) definamos o s-campo U = j−1(α), U(p) =
j−1(αp), ∀p ∈ M . Por definicao de j temos
g(U, Y ) = g(j−1(α), Y ) = j(j−1α)(Y ) = α(Y ) , ∀Y ∈ Es(M).
Proposicao 4.8 Sejam X = (X1, .., Xn) ∈ gk , Y = (Y 1, .., Y s) ∈ gs e
α ∈ Es(M) tal que dα = iXvol, onde X = X1 ∧ .. ∧ Xk. Se U := j−1(α)
entao rot(U) = X e
I(X,Y ) =
∫
M
g(U, Y )vol =
∫
M
U · Y vol. (4-5)
Prova: A igualdade (3-11) afirma que dj(U) = irot(U)vol. Notemos que j(U) =
j(j−1(α)) = α, logo
irot(U)vol = dj(U) = dα = iXvol.
Portanto X = rot(U). Por outro lado, da igualdade (2-19) temos g(U, Y ) =
U · Y . O resultado (4-5) segue de (4-3).
Proposicao 4.9 Se Hs(M) = 0, entao I(X,Y ) independe da escolha de U
tal que rot(U) = w.
Prova :
Seja V ∈ Es(M) tal que rot(V ) = X. Entao existe W ∈ Es(M) tal que
U = V + W e rot(W ) = 0. Note que dj(W ) = irotW vol = 0, isto e,
j(W ) ∈ Es(M) e fechada. Como Hs(M) = 0 , existe θ ∈ Es−1(M) tal
que dθ = j(W ). Logo, por definicao de j, temos
W · Y = g(W, Y ) = j(W )(Y ) = dθ(Y ).
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 40
Entao
I(X, Y ) =
∫
M
U · Y vol
=
∫
M
(V + W ) · Y vol
=
∫
M
V · Y vol +
∫
M
W · Y vol
=
∫
M
V · Y vol +
∫
M
dθ(Y )vol.
Agora, por (4-3) temos
I(X, Y ) =
∫
M
V · Y vol +
∫
M
dθ ∧ iY vol.
Finalmente, sendo iY vol fechado e aplicando Stokes temos
I(X, Y ) =
∫
M
V · Y vol +
∫
M
d(θ ∧ iY vol)
=
∫
M
V · Y vol +
∫
∂M=∅θ ∧ iY vol
︸ ︷︷ ︸0
.
Portanto I(X,Y ) =∫
MV · Y vol. 2
Observacao 4.10
Seja Mn uma variedade riemanniana compacta com bordo suave. Se X =
(X1, .., Xk) ∈ gk e Y = (Y 1, .., Y s) ∈ gs entao o invariante I(X, Y ) =∫
Mα∧dβ,
onde dα = iXvol e dβ = iY , pode ainda ser definido sempre que para todo i e
j os campos X i e Y j sejam tangentes a ∂M e Hs(M) = 0. De fato, notemos
primeiro que iY vol restrita a ∂M e nula
iY vol |∂M = iY 1∧..∧Y svol |∂M
= iY siY Y−1 ...iY 1vol |∂M
= 0.
Agora mostraremos, como no caso de variedade sem bordo, que I(X,Y )
independe da escolha de α e β. Sejam γ ∈ Es(M) e θ ∈ Ek(M) tal que
dγ = iXvol e dθ = iY vol. Definamos γ2 := α − γ ∈ Es(M) e θ2 := β − θ ∈Ek(M). Entao dθ2 = 0 e dγ2 = 0 e sendo Hs(M) = 0 temos que existe γ3
tal que dγ3 = γ2. Logo, temos que
I(X,Y ) =
∫
M
α ∧ dβ
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 41
=
∫
M
(γ + γ2) ∧ d(θ + θ2)
=
∫
M
γ ∧ dθ +
∫
M
γ2 ∧ dθ
=
∫
M
γ ∧ dθ +
∫
M
dγ3 ∧ dθ
=
∫
M
γ ∧ dθ +
∫
M
d(γ3 ∧ dθ)
=
∫
M
γ ∧ dθ +
∫
∂M
γ3 ∧ dθ
=
∫
M
γ ∧ dθ +
∫
∂M
γ3 ∧ iY vol
=
∫
M
γ ∧ dθ. 2
Definicao 4.11 Seja Mn variedade riemanniana compacta sem bordo e ori-
entada. Sejam Φ e Ψ acoes de Rk e Rs em M respectivamente, k+s = n−1,
e N uma s-variedade fechada, sem bordo e de homologia nula em M . Suponha
que X ∈ gk e Y ∈ gs , onde A(X) = Φ e A(Y ) = Ψ. Definimos
I(Φ, Ψ) := I(X, Y ), I(Φ, N) := I(X, N), (4-6)
Os quais serao chamados de ındice de Hopf com respeito ao par de acoes e
ındice de Hopf com respeito a Φ e N , respectivamente.
A observacao 3.10 garante que o ındice de Hopf para acoes esteja bem
definido tanto para variedades com bordo como para variedades sem bordo.
4.2Teorema Ergodico para Acoes de Rk numa Variedade Riemanniana Com-pacta
Seja M uma variedade riemanniana compacta com forma de volume
vol. Seja Φ uma acao de Rk de difeomorfismos que preservam volume em
M . Denotemos por L1(M) o espaco das funcoes f : M → R tais que∫M|f |vol < ∞. Lembremos que se A ⊂ M entao chamamos de funcao
caracteristica de A a funcao χA tal que χA(x) = 1 se x ∈ A e χA(x) = 0
caso contrario. Agora, uma funcao f e dita simples se existem A1, A2, .., Ak
subconjuntos mensuraveis em M e escalares a1, a2, .., ak tal que
f =k∑
i+1
aiχAi.
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 42
Seja W o subespaco de L1(M) definido por
W = h− h Φ(t1,..,tk); h funcao simples e (t1, .., tk) ∈ Rk.
Denotemos tambem por W o fecho em L1(M) do subespaco linear gerado por
W . Notemos que W e denso em W .
Seja I o subespaco de L1(M) das funcoes Φ invariantes, isto e, uma
funcao f pertence a I se existe U ⊂ M tal que seu complemento tem medida
nula em M e f satisfaz
f(x) = f Φ(t1,..,tk)(x)) ∀x ∈ U, ∀(t1, .., tk) ∈ Rk.
A demonstracao do teorema seguinte pode ser lida em [Tem] no teorema 5.1,
Teorema 4.12 Cada funcao f ∈ L1(M) tem uma unica represenracao da
forma
f1 + f2, f1 ∈ I e f2 ∈ W.
Isto e, L1(M) = I ⊕W .
Seja µ a medida de Lebesgue em Rn. Consideremos uma sequencia de
k-retangulos
Tn = [0, T 1n ]× ..× [0, T k
n ]n∈N
tal que para todo i ∈ 1, .., k temos limn→∞ T in = 0. Seja f ∈ L1(M) e
definamos a sequencia de funcoes fnn∈N ⊂ L1(M) tal que para cada p ∈ M
temos
fn(p) =1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
f(Φ~t(p))dµ(~t).
=1
T 1nT 2
n ..T kn
∫ T kn
0
∫ T k−1n
0
..
∫ T 1n
0
f(Φ(t1,..,tk)(p))dt1dt2..dtk,
onde ~t = (t1, .., tk).
Teorema 4.13 A sequencia fnn∈N converge para uma funcao f em L1(M),
isto e,lim
n→∞
∫
M
|fn − f |vol = 0. (4-7)
Alem disso, esta funcao f independe da escolha da sequencia Tnn∈N escolhida
e satisfaz ∫
M
fvol =
∫
M
fvol. (4-8)
Prova: Seja f ∈ W . Neste caso devemos mostrar que para todo p ∈ M se
satisfaz limn→∞ |fn(p)| = 0. Fixemos ~t′ = (t′1, .., t′k) ∈ Rk. Sera suficiente
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 43
mostrar para o caso f(p) = χA(p)−χA(Φ(t′1,..,t′k)(p)), onde A e um subconjunto
mensuravel em M e χA e a funcao caracterıstica de A. Seja
Dp = (t1, .., tk) ∈ Rk; Φ(t1,..,tk)(p) ∈ A.
Por ser Φ continua (suave) temos que Dp e um conjunto mensuravel em Rk
para todo p em M . Notemos que χA(Φ(t1,..,tk)(p)) = χDp(t1, ..tk). Logo
|fn(p)| = | 1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
f(Φ~t(p))dµ(~t)|
= | 1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
(χDp(~t)− χDp(~t′ + ~t))dµ(~t)|
=
∣∣∣∣∣µ(Dp ∩ Tn)− µ((Dp − ~t′) ∩ Tn)
µ(Tn)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣µ(Dp ∩ Tn)− µ(Dp ∩ (~t′ + Tn))
µ(Tn)
∣∣∣∣∣
≤ 2k∑
i=1
(T 1n + t′1)..(T
i−1n + t′i−1)t
′i(T
i+1n + t′i+1)..(T
kn + t′k)
T 1nT 2
n ..T kn
.
Portanto |fn(p)| → 0. Agora, suponha que f ∈ W . Para cada ε > 0 existe
fε ∈ W tal que∫
M|f(p)− fε(p)|vol = 0. Logo
∫
p∈M
|fn(p)|vol(p) ≤∫
M
(1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
|f(Φ~t(p))| dµ(~t)
)vol(p)
≤∫
M
(1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
|f(Φ~t(p))− fε(Φ~t(p))| dµ(~t)
)vol(p) +
+
∫
M
(1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
|fε(Φ~t(p))| dµ(~t)
)vol(p)
=1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
(∫
M
|f(Φ~t(p))− fε(Φ~t(p))| vol(p)
)dµ(~t) +
+
∫
M
(1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
|fε(Φ~t(p))| dµ(~t)
)vol(p).
Logo, para n suficientemente grande temos∫
p∈M|fn(p)|vol(p) ≤ 2ε. Como ε e
arbitrario, temos que
limn→∞
∫
M
|fn|vol = 0.
Agora, seja f ∈ L1(M). O teorema 4.12 garante que existem f ∈ I e h ∈ W
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Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 44
tal que f = f + h. Observemos que
fn(p) =1
µ(Tn)
∫
Tn
f(Φ~t(p))dµ(~t)
=1
µ(Tn)
∫
Tn
f(Φ~t(p))dµ(~t) +1
µ(Tn)
∫
Tn
h(Φ~t(p))dµ(~t)
=1
µ(Tn)
∫
Tn
f(p)dµ(~t) + hn(p)
= f(p) + hn(p)
para todo p ∈ U , onde U e o conjunto em M no qual a funcao f ∈ I e invariante
pela acao. Lembremos que U tem complemento em M com medida nula, logo
∫
p∈M
|fn(p)− f(p)|vol(p) =
∫
p∈U
|fn(p)− f(p)|vol(p)
=
∫
p∈U
|f(p) + hn(p)− f(p)|vol(p)
=
∫
p∈U
|hn(p)|vol(p)
→ 0.
Portanto fn converge a f no espaco L1(M) e observamos que f independe da
sequencia Tn escolhida, mostrando assim (4-7). Agora, mostraremos (4-8)
lembrando que Φ e uma acao que preserva vol. Assim
∫
p∈M
fn(p)vol(p) =
∫
p∈M
(1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
f(Φ~t(p))dµ(~t)
)vol(p)
=1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
(∫
p∈M
f(Φ~t(p))vol(p)
)dµ(~t)
=1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
(∫
p∈M
f(p)vol(p)
)dµ(~t)
=
(∫
p∈M
f(p)vol(p)
)1
µ(Tn)
∫
~t∈Tn
dµ(~t)
=
∫
p∈M
f(p)vol(p). 2 (4-9)
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5A Generalizacao da Lei de Biot-Savart
Seja Ω um domınio compacto em R3 com bordo suave e X um campo
vetorial em Ω de divergencia nula e tangente ao bordo de Ω. A Lei de Biot
Savart afirma que o campo vetorial BS(X) em Ω definido pela igualdade
BS(X)(x) :=−1
4π
∫
Ω
(x− y)×X(y)
‖y − x‖3vol(y)
satisfaz rot(BS(X)) = X. Neste capıtulo estenderemos este resultado para
um k-campo U em Ω da forma U = U1 ∧ .. ∧ Uk tal que cada U i e um
campo em Ω de divergencia nula e tangente ao bordo. Neste caso, definiremos
o (n− k − 1)-campo BS(U) de Ω pela igualdade
BS(U)(x) :=(−1)k
an
∫
Ω
(x− y)× U(y)
‖x− y‖nvol(y),
onde an e o (n− 1)-volume da esfera unitaria Sn−1 em Rn, e mostraremos que
este (n− k − 1)-campo satisfaz rot(BS(U)) = U .
5.1Distribuicoes em Rn
Seja C∞0 o espaco das funcoes suaves em Rn com suporte compacto.
Uma forma linear sobre C∞0 e dita uma distribuicao se u[φk] → 0 para cada
sequencia φkk∈N em C∞0 satisfazendo
1. Existe conjunto compacto K tal que para todo i o suporte de φi esta
contido em K, isto e, supp φi ⊂ K; e
2. A norma do supremo de qualquer derivada parcial das funcoes φi converge
para 0 , isto e, para cada n-upla = (i1, ..., in) fixa de inteiros nao negativos
e r =∑n
j=1 ij temos que sup
∣∣∣∣∂rφk
∂xinn ..∂xi1
1
∣∣∣∣ → 0.
No que segue, se u e uma distribuicao e f e uma funcao suave com suporte
compacto em Rn entao u[f ] denotara o valor da distribuicao aplicado a f . O
espaco das distribuicoes sera denotado por D. Em particular, se f ∈ L1loc(Rn),
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 46
isto e uma funcao em Rn tal que |f | e localmente integravel, entao esta define
naturalmente uma distribuicao, a qual denotaremos pela propria f , fazendo
f [φ] :=
∫
Rn
f(y)φ(y)vol.
Agora, suponha que a funcao f , que define a distribuicao, e suave. Entao
cada derivada parcial∂rf
∂xinn ..∂xi1
1
de f tambem define uma distribucao. Neste
caso, fazendo integracao por partes, temos, para cada φ suave de suporte
compacto, que
∂rf
∂yinn ..∂yi1
1
[φ] =
∫
Rn
∂rf
∂yinn ..∂yi1
1
(y)φ(y)vol
= (−1)r
∫
Rn
f(y)∂rφ
∂yinn ..∂yi1
1
(y)vol
= (−1)rf [∂rφ
∂yinn ..∂yi1
1
].
Logo, pela definicao de distribuicao, podemos definir a distribuicao derivada
parcial ∂αu de uma distribuicao u por
∂ru
∂yinn ..∂yi1
1
[φ] := (−1)ru[∂rφ
∂yinn ..∂yi1
1
]. (5-1)
Em particular, se f e uma funcao que tem derivada parcial∂rf
∂yinn ..∂yi1
1
local-
mente integravel entao
∂rf
∂yinn ..∂yi1
1
[φ] =
∫
y∈Rn
φ(y)∂rf
∂yinn ..∂yi1
1
(y)vol. (5-2)
Chamamos de operador laplaciano ao operador 4 que age em D e e definida
para cada distribuicao u por
4u :=n∑
i=1
∂2u
∂y2i
. (5-3)
Entre as distribuicoes que nao sao definidas por uma funcao em L1loc(Rn)
existe uma que requer especial atencao, a distribuicao delta de Dirac centrada
em x que e denotada por δx e e definida por δx[φ] := φ(x). No caso de δ~0, onde ~0
e a origem em Rn escreveremos simplesmente δ. Seja fn, n ≥ 3, a distribuicao
definida pela funcao
fn(y) = − 1
(n− 2)an
1
‖y − x‖n−2, (5-4)
onde an e o (n−1)-volume da esfera unitaria Sn−1 ⊂ Rn. Podemos verificar que
4fn = 0, y 6= −→0 , e que
∂fn
∂yi
=1
an
yi
‖y‖ne uma funcao localmente integravel
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 47
em Rn. Alem dissoδx = 4fn. (5-5)
De fato, mostraremos este resultado para o caso x = ~0. Por (5-1) e por definicao
do laplaciano de uma funcao em Rn
4f [φ] = f [4φ] = f [n∑
i=1
∂
∂yi
(∂φ
∂yi
)].
Agora, pela linearidade de uma distribuıcao e por (5-2) temos
4f [φ] = −∑
i
∂f
∂yi
[∂φ
∂yi
] = −∑
i
∫
Rn
∂f
∂yi
∂φ
∂yi
vol.
Notemos que∑n
i=1
∂f
∂yi
∂φ
∂yi
= 〈∇f,∇φ〉, onde 〈 , 〉 e o produto interno canonico
em Rn. Disso, por definicao de integral de uma funcao com singularidades, por
(3-12), aplicando divergencia de Gauss temos que
4f [φ] = − limξ→0
∫
‖y‖≥ξ
〈∇f,∇φ〉 vol
= − limξ→0
∫
‖y‖≥ξ
div(φ∇f)− φ4f vol
= − limξ→0
∫
‖y‖≥ξ
div(φ∇f).
= − limξ→0
∫
‖y‖=ξ
φ〈∇f, N〉dS
= − limξ→0
1
an
∫
‖y‖=ξ
φ(y)〈 y
‖y‖n,−y
‖y‖〉dS
= limξ→0
1
an
∫
‖y‖=ξ
φ(y)1
ξn−1dS
= limξ→0
1
an
∫
‖y‖=ξ
(φ(0) + O(ξ))1
ξn−1dS
= limξ→0
φ(0)
ξn−1an
∫
‖y‖=ξ
dS
= φ(0). 2
Consideremos Eo(Rn), o subconjunto de E(Rn) formado pelos k-campos
cujas funcoes coordenadas tem suporte compacto em Rn. Seja Dn o espaco dos
1-campos vetoriais em Rn cujas funcoes coordenadas sao funcoes em L1loc(Rn)
que serao consideradas distribuicoes em Rn. Definamos o produto ∧D entre os
espacos Dn e Eo(Rn) tal que se multiplicamos dois de estes elementos obtemos
um elemento da algebra exterior de Rn, a saber, se F =n∑
i=1
fiei ∈ Dn e
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 48
U =∑
i1,..,ik
ui1,..,ikei1 ∧ .. ∧ eik ∈ Eo(Rn) entao definimos o produto por
F ∧D U :=∑
i,i1,..,ik
fi[ui1,..,ik ] ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik ∈ Λ(Rn),
onde cada fi e considerada distribuicao e fi[ui1,..,ik ] e o valor de fi aplicado na
funcao ui1,..,ik . Observemos que podemos definir os produtos
F ×D U := ∗(F ∧D U)
=∑
i,i1,..,ik
fi[ui1,..,ik ] ∗ ( ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik)
=∑
i,i1,..,ik
fi[ui1,..,ik ] ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik).
F ·D U := ∗(F ∧D (∗U))
=∑
i,i1,..,ik
fi[ui1,..,ik ] ∗ ( ei ∧ ∗(ei1 ∧ .. ∧ eik))
=∑
i,i1,..,ik
fi[ui1,..,ik ] ei · ∗(ei1 ∧ .. ∧ eik).
Agora, suponha que o k-campo U depede das variaveis x e y. Entao podemos
calcular a distribuicao com respeito a variavel y e definir divx e rotx como
veremos a seguir
divx(F ×D U) := divx(∑
i,i1,..,ik
fi[ui1,..,ik ](x) ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik)
=∑
i,i1,..,ik
(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) · (ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik)).
rotx(F ×D U) := rotx(∑
i,i1,..,ik
fi[ui1,..,ik ](x) ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik)
= (−1)(k+1)s∑
i,i1,..,ik
∗(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) ∧ (ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik))
= (−1)(k+1)s∑
i,i1,..,ik
∗(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) ∧ ∗(ei ∧ (ei1 ∧ .. ∧ eik)).
= (−1)(k+1)s∑
i,i1,..,ik
(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) · (ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik).
Exemplo 5.1
Sejam U = (U1, U2, U3) ∈ Eo(R3) e f, h1 =y1
‖y‖3, h2 =
y2
‖y‖2, h3 =
y3
‖y‖3
distribuicoes em R3. Definamos F := (f1, f2, f3) ∈ D3 . Notemos que F = ∇f3,
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 49
onde f3 satisfaz 4f3 = δ. Logo
〈 F , U 〉D = 〈 (h1, h2, h3) , (U1, U2, U3) 〉D= f1[U1] + f2[U2] + f3[U3] ∈ R
F ×D U = (h1, h2, h3)×D (U1, U2, U3)
= (h2[U3]− h3[U2])e1 + (−h1[U3] + h3[U1])e2 + (h1[U2]− h2[U1])e3
=
(∫
R3
y2U3 − y3U2
‖y‖3vol,
∫
R3
−y1U3 + y3U1
‖y‖3vol,
∫
R3
y1U2 − y2U1
‖y‖3vol
)
=
∫
R3
F × Uvol ∈ R3. (5-6)
〈 F ,∇Ui 〉D = 〈∇f3 ,∇Ui 〉D= 〈(∂f3
∂y1
,∂f3
∂y2
,∂f3
∂y3
) , (∂Ui
∂y1
,∂Ui
∂y2
,∂Ui
∂y3
)〉D
=∂f3
∂y1
[∂Ui
∂y1
] +∂f3
∂y2
[∂Ui
∂y2
] +∂f3
∂y3
[∂Ui
∂y3
]
= −∂2f3
∂y21
[Ui]− ∂2f3
∂y22
[Ui]− ∂2f3
∂y23
[Ui]
= −(∂2f3
∂y21
+∂2f3
∂y22
+∂2f3
∂y23
)[Ui]
= −4f3[Ui]
= −Ui(~0). (5-7)
5.2A Lei de Biot-Savart em R3
Agora, fazendo uso do produto ∧D mostraremos a Lei de Biot-Savart. No
que segue consideraremos x = (x1, .., xn) e y = (y1, .., yn).
Proposicao 5.2 (Lei de Biot-Savart) Seja Ω domınio limitado em R3 com
bordo suave ∂Ω. Se U e um campo vetorial em Ω tal que div(U) = 0 e e
tangente a ∂(Ω) entao o campo definido por
BS(U)(x) :=−1
4π
∫
Ω
(x− y)
‖x− y‖n× U(y)vol(y)
satisfaz
rot(BS(U))(x) = U(x)
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 50
Prova: Sejam p ∈ Ω, r = dist(p, ∂Ω) , 0 < 2ζ ¿ r e f : Ω → [0, 1] uma funcao
suave tal que
f(y) =
1 se ‖y − p‖ ≤ ζ.
0 se ‖y − p‖ ≥ 2ζ.
Em Ω definamos os campos vetoriais U1 := fU , U2 = (1− f)U e
BS1(U1)(x) =
−1
4π
∫
Ω
(x− y)
‖x− y‖3× U1(y)vol(y).
Notemos que U1 ∈ Eo(Rn) e que ∇(− 1
4π‖y‖) =1
4π
y
‖y‖3. Entao fazendo uma
mudanca de coordenadas na integral, por (5-4) para o caso x = ~0 e por (5-6)
temos que
BS1(U1)(x) =
−1
4π
∫
R3
(x− y)
‖x− y‖3× U1(y)vol(y)
=−1
4π
∫
R3
y
‖y‖3× U1(x− y)vol(y)
= −∇yf3 ×D U1(x− y).
Notemos por (3-9) que
rotx(∇yf3 ×D U1(x− y)) = divx(∇yf3 ∧D U1(x− y)).
Logo, por (3-17), observando que ∇yf3 independe de x e usando a formula
(3-16) para o colchete de Lie temos que
rotx(BS1(U1))(x) = −divx(∇yf3 ∧D U1(x− y))
= −∇yf3 ∧D (divx(U1(x− y))) +
3∑i=1
〈∇yf3,∇xU1i (x− y)〉Dei
= ∇yf3 ∧D (divy(U1(x− y)))−
3∑i=1
〈∇yf3,∇yU1i (x− y)〉Dei.
Logo, por definicao de distribuicao, por (5-7) e por (5-5)
rotx(BS1(U1))(x) =
−1
4π
∫
y∈R3
div(U1)(x− y))y
‖y‖3vol +
3∑i=1
4f3[U1i (x− y)]ei
=−1
4π
∫
y∈R3
div(U1)(y))x− y
‖x− y‖3vol +
3∑i=1
δ[U1i (x− y)]ei
= − 1
4π
∫
y∈R3
div(U1)(y)x− y
‖x− y‖3vol + U1(x).
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 51
Assim, pela definicao do campo U1 temos que
rotx(BS1(U1))(x) = U1(x)− 1
4π
∫
ζ≤‖y−p‖≤2ζ
div(fU)(y)x− y
‖x− y‖3vol.
Por outro lado, seja
BS2(U2)(x) =
−1
4π
∫
Ω
(x− y)
‖x− y‖3× U2(y)vol(y).
Se Ω0 := ‖y − p‖ ≥ ζ ∩ Ω temos , pela definicao de U2, que
BS2(U2)(x) =
−1
4π
∫
Ω0
(x− y)
‖x− y‖3× U2(y)vol(y).
Neste caso, ∀x ∈ Ω tal que ‖x − p‖ < ζ estamos integrando funcoes suaves.
Logo, podemos derivar dentro da integral. Assim, por (3-9) e por (3-17) temos
que
rotx(BS2(U2))(x) =
1
4π
∫
Ω0
divx((x− y)
‖x− y‖3∧ U2(y))vol(y)
=1
4π
∫
Ω0
divx((x− y)
‖x− y‖3)U2(y)vol(y)−
∑i
∫
Ω0
〈∇x((xi − yi)
‖x− y‖3), U2(y)〉vol
ei.
Como divx((x− y)
‖x− y‖3) = 0 e ∇x(
(xi − yi)
‖x− y‖3) = −∇y(
(xi − yi)
‖x− y‖3) temos
4π rotx(BS2(U2))(x) =
∑i
∫
Ω0
〈∇y((xi − yi)
‖x− y‖3), U2(y)〉vol
ei
=∑
i
∫
Ω0
(div(
xi − yi
‖x− y‖3U2)− xi − yi
‖x− y‖3divU2
)vol
ei.
Por definicao de U2 e teorema de Stokes temos
4π rotx(BS2(U2))(x) =
∑i
∫
∂Ω0
〈 xi − yi
‖x− y‖3U2, N〉dS −
−∫
ζ≤‖y−p‖≤2ζ
xi − yi
‖x− y‖3divU2volei.
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 52
Como ∂Ω0 = ‖y− p‖ = ζ ∪ ∂Ω , U2|‖y−p‖=ζ = ~0 e U2|∂Ω = U |∂Ω e tangente
ao bordo, temos que
rotx(BS2(U2))(x) = − 1
4π
∑i
∫
ζ≤‖y−p‖≤2ζ
divU2(y)xi − yi
‖x− y‖3vol
ei
= − 1
4π
∫
ζ≤‖y−p‖≤2ζ
div(1− f(y))U(y)x− y
‖x− y‖3vol
=1
4π
∫
ζ≤‖y−p‖≤2ζ
divf(y)U(y)x− y
‖x− y‖3vol.
Finalmente, rotx(BS(U))(x) = rotx(BS(U1))(x) + rotx(BS(U2))(x) = U(x).
2
Nesta demonstracao dividimos U em dois campos com a finalidade
de integrar a singularidade de BS(U) usando propriedades de distribuicao.
Ressaltamos que podemos demonstrar o teorema de Biot-Savart em forma
pratica, derivando dentro da integral como se estivessemos trabalhando com
funcoes suaves. Neste caso podemos usar o teorema de divergencia de Gauss,
quando for o caso, e observar se podemos usar a distribuicao delta de Dirac. Na
verdade a propria demonstracao do teorema sugere este fato, ja que as integrais
que faltam na forma pratica sao as integrais que se anulam ao dividir U em duas
partes na demonstracao rigorosa. Apresentaremos agora esta demonstracao
pratica:
Seja f(x, y) =−1
4π‖y − x‖ . Notemos que∂2f
∂xi∂xj
=∂2f
∂yi∂yj
, ∀i, j. Ob-
servemos que1
4π‖x− y‖3= ∇xf . Disso, por (2-17), (3-22) e sendo U de di-
vergencia nula temos que
rotx(BS(U))(x) = −∫
Ω
rotx (∇xf)× U(y)vol(y)
= −∫
Ω
divx (∇x (f) ∧ U(y)) vol(y)
=
∫
Ω
(4yf) U(y)vol(y) +3∑
i=1
(∫
Ω
divy
(∂f
∂yi
U
)vol
)ei.
Por outro lado, por (5-4) e (5-5) temos que 4yf = δx. Logo, pela definicao
de δx, pelo teorema de divergencia de Gauss e sabendo que U e tangente ao
bordo de Ω, temos que
rotx(BS(U))(x) = δx[U ] +3∑
i=1
(∫
∂Ω
⟨∂f
∂yi
U,N
⟩dS
)ei
= U(x). (5-8)
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 53
5.3A lei de Biot-Savart em Rn
Agora, generalizaremos o teorema de Biot-Savart para dimensoes maio-
res. No que resta deste capıtulo fixemos k e s inteiros positivos tal que k + s =
n− 1. Lembremos que (U1, U2, .., Uk) e uma n-upla em gk(Ω) se cada coorde-
nada U i e um 1-campo vetorial em Ω que satisfazem div(U i) = [U i, U j] = 0,
para todo i e j, alem disso se U = U1 ∧ .. ∧ Uk e o k-campo associado a U
entao j(∗U) = iUvol, a (n− k)-forma associada a U , e exata.
Proposicao 5.3 Seja Ω domınio limitado em Rn com bordo ∂Ω suave. Sejam
U = (U1, .., Uk) ∈ gk(Ω) e U o k-campo associado a U . Suponha que cada
1-campo U i e tangente ao bordo de Ω. Entao o s-campo BS(U) definido por
BS(U)(x) :=(−1)k
an
∫
Ω
(x− y)
‖x− y‖n× U(y)vol(y), (5-9)
onde an e o (n− 1)-volume da esfera unitaria em Rn, satisfaz
rot(BS(U))(x) = U(x) (5-10)
Prova: A demonstracao sera feita na forma pratica como no caso do teorema
de Biot-Savart. Seja f(x, y) =−1
an(n− 2)‖y − x‖n−2. Notemos que esta funcao
satisfaz∂2f
∂xi∂xj
=∂2f
∂yi∂yj
,e observemos quex− y
an‖x− y‖n= ∇xf . A observacao
2.15 garante que div(U) = 0. Suponha que para cada i temos que U i =∑nj=1 ui
jej, logo, por (3-9), (2-17), (3-22) e sendo U de divergencia nula temos
que
rotx(BS(U))(x) = −∫
Ω
rotx (∇xf)× U(y)vol(y)
= −∫
Ω
divx (∇x (f) ∧ U(y)) vol(y)
= (−1)n+k
k,n,n,..,n∑
r,j,j1,..jr..,jk
(−1)r
(∫
Ω
divy
(∂f
∂yj
u1j1
..urjr
..ukjk
U r
)vol
).
.ej ∧ ej1 ∧ ..ejr .. ∧ ejk+
∫
Ω
(4yf) U(y)vol(y),
onde os pontinhos nas ultimas linhas significa continuacao do sumatorio.
Agora, o teorema de divergencia de Gauss e sabendo que U e tangente ao
bordo garantem que
∫
Ω
divy
(∂f
∂yj
u1j1
..urjr
..ukjk
U r
)vol = 0.
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 54
Alem disso, por (5-4) e (5-5) temos que 4yf = δx. Assim
rotx(BS(U))(x) = δx[U ]
= U(x). 2
Agora usaremos o teorema de Biot-Savart generalizado para dar uma
formula da invariante de Hopf de duas n-uplas U ∈ gk(Ω) e V ∈ gs(Ω) a qual
sera muito importante para resultados posteriores.
Corolario 5.4 Seja Ω domınio limitado em Rn com bordo ∂Ω suave e com
a cohomologia nula em dimensao s, isto e, Hs(Ω) = 0. Sejam U =
(U1, .., Uk) ∈ gk(Ω) e V = (V 1, ..V s) ∈ gs(Ω). Suponha que os U i e os V j
sao tangentes ao bordo de Ω. Se U e V sao o k-campo e o s-campo associados
a U e V , respectivamente, entao
I(U, V ) =(−1)k
an
∫ ∫
Ω×Ω
(y − x)× U · V‖y − x‖n
vol(x)vol(y) (5-11)
=(−1)k
an
∫ ∫
Ω×Ω
[y − x, U1(x), .., Uk(x), V 1(y), .., V s(y)]
‖y − x‖nvol(x)vol(y).
(5-12)
Prova:
Pelo Teorema de Biot-Savart generalizado, rot[BS(U)](y) = U(y). Disso e do
fato que Hs(Ω) = 0, temos pela proposicao 3.8 e pela proposicao 3.9 que
I(U, V ) =∫Ω
BS(U)(y) · V (y)vol(y). Logo por definicao do s-campo BS(U)
temos
I(U, V ) =(−1)k
an
∫
Ω
(∫
Ω
(y − x)× U(x)
‖y − x‖nvol(x)
)· V (y)vol(y)
=(−1)k
an
∫ ∫
Ω×Ω
(y − x)× U(x) · V (y)
‖y − x‖nvol(x)vol(y)
mostrando assim (5-11). Para mostrar (5-12) consideramos a base canonica de
Rn, β = e1, .., en, e o resultado sera obtido usando a formula (2-18). 2
Observacao 5.5
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Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 55
O invariante de Hopf usado por Arnold em [Arn] para um campo X ∈ E1(M)
de divergencia nula satisfaz
I(X) := I(X,X) =1
4π
∫
Ω
∫
Ω
(x− y)×X(x) ·X(y)
‖x− y‖3vol(x)vol(y),
=1
a2
∫
Ω
∫
Ω
[x− y, X(x), X(y)]
‖x− y‖3vol(x)vol(y)
onde × e · sao o produto vetorial e interno usual em R3 e [ ] e o produto
mixto, os quais como sabemos coincidem com o produto ×, o produto · e o
determinante no caso R3 e observamos que este resultado de Arnold coincide
com o resultado do ultimo corolario para o caso k = 1, U = X e V = X.
2
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6Formulas de Enlacamento
6.1
Indice de Enlacamento
Seja S1 uma variedade conexa, compacta, orientada e sem bordo de
dimensao n. Sendo S1 conexa toda funcao f de S1 em R que satisfaz df = 0
e uma funcao constante. Logo, por definicao temos que H0(S1) = R, onde
H0(S1) e a 0-esima cohomologia de S1. Logo, a dualidade de Poincare garante
que Hn(S1) = R. Por outro lado, o teorema de de Rham afirma que a k-
esima homologia Hk(S1) e isomorfo a Hk(S1) para todo k ∈ 0, 1, .., n. Em
particular, Hn(S1) = R, logo podemos considerar a classe fundamental de S1
como gerador de Hn(S1). Logo, se S2 e outra variedade conexa, compacta,
orientada e sem bordo de dimensao n entao cada aplicacao f : S1 → S2 suave
satisfaz f∗S1 = mfS2, onde mf e uma constante. Um resultado importante da
topologıa assegura que mf e um inteiro chamado de grau de f e denotado por
deg(f).
Suponha agora que a variedade S1 acima seja de dimensao n−1 e imersa
em Rn−~0 sendo f a funcao que define a imersao. Seja g := πf : S1 → Sn−1,
onde π : Rn − ~0 → Sn−1, π(p) =p
‖p‖ , e a projecao na esfera unitaria. O
inteiro deg(g) indica o numero de vezes que f(S1) roda em torno da origem e
sera denotado por If (S1). Neste caso, se σ e a forma de volume de Sn−1 e an
e o (n− 1)-volume de Sn−1 entao
deg(g) =deg(g)
an
∫
Sn−1
σ =1
an
∫
deg(g)Sn−1
σ =1
an
∫
(πf)∗S1
σ =1
an
∫
S1
(π f)∗σ.
Portanto, se τ = π∗σ entao If (S1) =1
an
∫
S1
f ∗τ .
Observacao 6.1
σ =n∑
i=1
(−1)i−1xidx1..dxi..dxn. (6-1)
τ =n∑
i=1
(−1)i−1 xi
rndx1..dxi..dxn, (6-2)
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 57
onde r e a norma euclidiana do vetor posicao X = (x1, x2, .., xn). 2
Seja M uma variedade riemanniana, conexa e orientada de dimensao n.
Sejam S1 e S2 sub-variedades orientadas imersas em M , ambas compactas,
sem bordo e de dimensoes k1 e k2 respectivamente, onde k1 + k2 = n − 1.
Suponha que S1 ∩ S2 = ∅ e ambas sejam de homologia nula em M . Seja S1
uma (k1 + 1)-cadeia em M tal que
1. ∂S1 = S1, como cadeias
2. S1 e transversal a S2.
Define-se o ındice de enlacamento de S1 e S2 por
lk(S1, S2) =∑
S1∩S2
±1, (6-3)
onde sumamos +1 em cada ponto de trasversalidade positiva e −1 se a
transversalidade for negativa. Notemos que o conjunto S1 ∩ S2 e finito, ja
que S2 e compacto e os pontos de transversalidade sao isolados, logo lk(S1, S2)
e finito. Na definicao deste ındice de enlacamento poderıamos tambem ter
usado uma sub-variedade S2 de M tal que ∂S2 = S2. Afirmamos que este
ındice independe da escolha de Si, i = 1, 2, ja que este ındice tambem pode
ser definida por uma integral que depende somente de S1 e S2. Mostraremos
este fato, primeiro para o caso M = Rn. Sendo S1 e S2 compactas, orientadas
e sem bordo a variedade produto S1× S2 e tambem uma variedade compacta,
orientada e sem bordo. sejam x = (x1, .., xn) e y = (y1, .., yn) as imersoes de S1
e S2 em Rn, respectivamente. Por ser S1 ∩ S2 = ∅ podemos definir a aplicacao
suavef : S1 × S2 → Rn − ~0.
(x, y) 7→ y − x.
Entao pode-se mostrar que
lk(S1, S2) = If (S1 × S2) =1
an
∫
S1×S2
f ∗(τ) (6-4)
Esta formula mostra a independencia do lk(S1, S2) com respeito a escolha das
S1 ou S2.
Agora, sendo estas sub-variedades orientadas existem o k1-campo
unitario N1 e e o k2-campo unitario N2 que definem as orientacoes de S1 e S2,
respectivamente. Para cada p ∈ S1 identificaremos Tp(S1), o espaco tangente
de S1 em p, como o subespaco de Rn de vetores tangentes da imersao no ponto
x(p), isto e, estamos considerando Tp(S1) ⊂ Rn. Logo, se u1, .., uk1 e uma
base ortonormal positiva de Tp(S1) entao N1(p) = u1 ∧ .. ∧ uk1 . Identificacoes
analogas serao feitas para os espacos tangentes de S2.
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 58
Proposicao 6.2 O ındice de enlacamento de S1 e S2 pode ser calculado pela
formula
lk(S1, S2) =(−1)k1
an
∫
p∈S1
∫
q∈S2
(q − p)×N1(p) ·N2(q)
‖y − x‖nvol(p)vol(q). (6-5)
Prova: A formula (6-2) afirma que τ =n∑
i=1
(−1)i−1 xi
rndx1..dxi..dxn. Agora,
sendo f(x, y) = y − x temos que
f ∗(τ) =n∑
i=1
(−1)i−1 yi − xi
‖y − x‖n(dy1 − dx1)(dy2 − dx2).. (dyi − dxi)..(dyn − dxn).
Por outro lado, localmente os sistemas de coordenadas (t1, .., tk1) de S1 e
(r1, .., rk2) de S2 originam o sistema de coordenadas (t1, .., tk1 , r1, .., rk2) de
S1 × S2. Notemos que dxi =∑k1
i=1
∂xi
∂tidti e dyi =
∑k1
i=1
∂yi
∂ri
dri. Seja base
β = dr1, .., drk2 , dt1, ..drk2 entao as coordenadas de dyi − dxi na base β sao
(dyi − dxi)β = (∂yi
∂r1
, ..,∂yi
∂r2
,∂xi
∂t1, ..,
∂xi
∂tk1
).
Usando a formula (2-2) temos que
f ∗(τ) =
n∑
i=1
(−1)i−1 yi − xi
‖y − x‖n[(dy1 − dx1)β, (dy2 − dx2)β.. (dyi − dxi)β..(dyn − dxn)β]
.
.dr1..drk2dt1..dtk1 ,
onde o pontinho na primeira e segunda linha significa continuacao da formula.
O calculo de um determinante pelo metodo de cofatores com respeito a primeira
linha implica que
f ∗(τ) =[(y1 − x1, (dy1 − dx1)β), .., (yn − xn, (dyn − dxn)β)]
‖y − x‖ndr1..drk2dt1..dtk1 ,
onde cada (yi−xi, (dyi− dxi)β) esta sendo considerada vetor coluna. Notemos
que as k ultimas linhas sao − ∂x
∂t1, ..,− ∂x
∂tk1
. Entao
f ∗(τ) = (−1)k [(y1 − x1, (dy1 + dx1)β), .., (yn − xn, (dyn + dxn)β)]
‖y − x‖ndr1..drk2dt1..dtk1 ,
Agora, aplicando a propriedade anticomutativa do determinante com respeito
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 59
as linhas e sabendo que dr1..drk2dt1..dtk1 = (−1)k1k2dt1..dtk1dr1..drk2 temos
f ∗(τ) = (−1)k [(y1 − x1, (dy1 + dx1)β′), .., (yn − xn, (dyn + dxn)β′)]
‖y − x‖ndr1..drk2dt1..dtk1 ,
onde β′ = dt1, .., dtk1 , dr1, .., drk2. Escrevendo o determinante por linhas
temos que
f ∗(τ) = (−1)k
[(y1 − x1, .., yn − xn),∂x
∂t1..
∂x
∂tk1
,∂y
∂r1
, ..,∂y
∂rk2
]
‖y − x‖ndr1..drk2dt1..dtk1 .
Finalmente usando a formula (2-17) obtemos o resultado desejado. 2
Exemplo 6.3 Sejam Si, i = 1, 2 curvas fechadas e disjuntas em R3, onde
k1 = k2 = 1. Seja αi : [0, Ti] → R3 a parametrizacao de Si. Denotemos por
αi, i = 1, 2, ao vetor tangente∂αi
∂ti. Logo Ni =
αi
‖αi‖ e voli = ‖αi‖dti. Entao
lk(S1, S2) =−1
4π
∫
p∈S1
∫
q∈S2
(q − p)×N1(p) ·N2(q)
‖p− q‖3vol(p)vol(q)
=−1
4π
∫ T1
0
∫ T2
0
(α2(t2)− α1(t1))× α1(t1)
‖α1(t1)‖ ·α2(t2)
‖α2(t2)‖‖α2(t2)− α1(t1)‖3
‖α1‖‖α2‖dt1dt2
=−1
4π
∫ T1
0
∫ T2
0
(α1(t1)− α2(t2))× α1(t1) · α2(t2)
‖α1(t1)− α2(t2)‖3dt1dt2
Esta e a conhecida formula de Gauss para o ındice de enlacamento de duas
curvas fechadas. 2
Observacao 6.4
Sejam X(t1, .., tk1), (t1, .., tk1) ∈ [0, T 1]×..×[0, T k1 ] e Y (r1, .., rk2), (r1, .., rk2) ∈[0, R1] × .. × [0, Rk2 ] parametrizacoes de S1 e S2, respectivamente. Por (3-3)
temos que
∂X
∂t1∧ .. ∧ ∂X
∂tk1
=√
g1N1 ;∂Y
∂r1∧ .. ∧ ∂Y
∂tk2=√
g2N2.
e por (3-4)temos que
dt1..dtk1 =√
g1vol1 ; dr1..drk2 =√
g2vol2.
Entao usando a formula (2-18) podemos localmente escrever
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 60
an(−1)k1lk(S1, S2) como
∫ Rk2
0
..
∫ R1
0
∫ T k1
0
..
∫ T 1
0
[X − Y,
∂X
∂t1, ..,
∂X
∂tk1
,∂Y
∂r1
, ..,∂Y
∂rk2
]
‖X − Y ‖ndµ1dµ2, (6-6)
onde dµ1 = dt1..dtk1 e dµ2 = dr1..drk2 . 2.
Continuemos agora para o caso de M ser uma variedade riemanniana
compacta e sem bordo. Sendo Si sem bordo, a aplicacao linear [α] 7→ ∫Si
α esta
bem definida sobre Hk(M). A dualidade de Poincare garante que Hn−ki(M) =
(Hki(M))∗, logo existe [ηi] ∈ Hn−ki(M), chamado o dual de Poincare de Si,
tal que toda k-forma fechada α ∈ Ek(M) satisfaz∫
Siα =
∫M
α ∧ ηi. Agora,
como existe Si tal que ∂Si = Si, temos
∫
Si
α =
∫
∂Si
α =
∫
Si
dα = 0.
Assim, [ηi] = 0, isto e, ηi e exata. Escolhamos vizinhancas tubulares Wi de Si
tal que W1 ∩W2 = ∅. Podemos escolher representantes ηi do dual de Poincare
de Si tal que o suporte de ηi esta contido em Wi. Podemos mostrar que se α1
e uma forma diferencial que satisfaz dα1 = η1 entao
lk(S1, S2) =
∫
M
α1 ∧ η2.
De fato, W2 pode ser escolhida sendo um fibrado normal de S2 e o dual de
Poincare η2 de S2 pode ser escolhida como uma (n − k2)-forma diferenciavel
fechada que representa a classe de Thom de S2 em W2. Seja U1 um fibrado
normal de S1, onde S1 e qualquer sub-variedade singular tal que ∂S1 = S1,
entao podemos escolher por α1 a classe de Thom de S1 em U1. Entao o produto
exterior α1 ∧ η2 representa a classe de Thom de S1 ∩ S2 em U1 ∩W2. A classe
de Thom θ ∈ En(M) de um ponto satisfaz∫
supp(θ)θ = 1 Como S1 ∩ S2 e um
conjunto finito de pontos temos que
∫
M
α1 ∧ η2 =
∫
Vp
ϕ(S1 ∩ S2) =∑
p∈S1∩N2
±1
= lk(S1, S2)
Outro fato importante e que a escolha da classe de Thom η2 tem integral +1
sobre cada fibra da vizinhanca Wi que e isomorfa a um disco Dε . Assim
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 61
∫
M
α1 ∧ η2 =
∫
W2
α1 ∧ η2 =
∫
p∈S2
α1
∫
Dε
η2.
Portanto ∫
M
α1 ∧ η2 =
∫
S2
α1. (6-7)
6.2Formas de Enlacamento
Definicao 6.5 Uma forma de enlacamento em M e uma forma dupla L em
M×M tal que para duas subvariedades disjuntas e fechadas Sk11 , Sk1
1 , k1+k2 =
n− 1 ambas sem bordo e de homologia nula, a seguinte igualdade se satisfaz
lk(S1, S2) =
∫
S1
∫
S2
L.
Por exemplo em Rn, se v11, v
12, .., v
1k1∈ TpS1 e v2
1, v22, .., v
2k2∈ TqS2 Podemos
definir LRn por
LRn(v11, v
12, .., v
1k1
, v21, v
22, .., v
2k2
) =1
an
[p− q, v11, v
12, .., v
1k1
, v21, v
22, .., v
2k2
]
‖p− q‖n.
No caso de M ser uma variedade riemanniana compacta sem bordo uma forma
de enlacamento e construıda como segue:
Pelo teorema de decomposicao de Hodge, cada α ∈ Ek(M) pode ser
escrita de forma unica como
α = d∂(Gα) + ∂d(Gα) + H(α), (6-8)
onde d e o operador diferencial, ∂ = ∗d∗ e o operador codiferencial, H e o
operador de projecao na parte harmonica da k-forma e G e o operador de
Green. Nesta formula as componentes sao ortogonais entre si na metrica
〈α, β〉 =
∫
M
α ∧ ∗β.
O operador de Green e definida por G(α) = ω − H(ω), onde ω e solucao da
equacao 4ω = α−H(α). O operador de Green tambem pode ser escrita como
G(α)(x) =
∫
M
α ∧ ∗yg(x, y)β
= 〈α, g(x, ·)〉,
onde g(x, y), chamado o nucleo de G, e uma forma dupla em M ×M a qual
e suave fora da diagonal e tem polo de ordem n − 2 ao longo da diagonal.
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 62
Denotemos por wy o operador linear que age sobre o espaco das formas
duplas decomponiveis wy(α(x) ∧ β(y)) = (−1)k(n−k)α(x) ∧ β(y) sempre que
β(y) ∈ Ek(M).
Proposicao 6.6 A forma dupla L := wy(∗ydyg(x, y)) e uma forma de
enlacamento em M . L tem singularidade r(x, y)1−n ao longo da diagonal e
e suave fora dela, onde r e a funcao distancia riemanniana. Alem disso, para
cada k-forma α existe uma (k − 1)-forma h tal que
∫
y∈M
L(x, y) ∧ dα(y) = α(x)−H(α)(x) + dh(x). (6-9)
Prova. O operador G comuta com d e ∂, logo por (5.3) temos
G(∂dα)α = α−H(α)d(−∂(Gα))
= α−H(α) + dh
Por outro lado, ∂ e operador adjunto de d na metrica 〈 , 〉, logo temos
G(∂dα) = 〈∂dα, g(x, ·)〉 = 〈dα, dg(x, ·)〉=
∫
M
dα ∧ ∗ydyg(x, y) =
∫
M
wy ∗y dyg(x, y) ∧ α
=
∫
M
L(x, y) ∧ α
Agora, mostraremos que L(x, y) e uma forma de enlacamento em M . Seja
ε > 0 e denotemos por Dn−k1ε a bola de raio ε em Rn−k1 . Se o fibrado normal
de Si em M e trivial, podemos tomar Wi como a imagem de Si ×Dn−kiε pelo
difeomorfismo dado pela aplicacao exponencial geodesica restrita ao fibrado
normal de Si em M . As coordenadas compatıveis com estes produtos serao
denotadas por (p, a) e (q, b) para W1 e W2 respectivamente. Escolhendo
as classes de Thom como representantes, no fibrado respectivo, do dual de
Poincare ηi de Si com supp(ηi) ⊂ (Wi) temos para cada p ∈ Wi
∫
p×Dn−k1ε
exp∗ηi = 1.
Entao, se α1 e primitiva de η1, por (5.4) temos
lk(S1, S2) =
∫
M
α1 ∧ η2
=
∫
x∈M
(H(α1)(x)− dh(x) +
∫
y∈M
L(x, y) ∧ η1) ∧ η2(x).
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 63
As integrais ∫
M
H(α1) ∧ η2 e
∫
M
dh ∧ η2
se anulam pelo teorema de Stokes ja que η2 e exata e dH(α1) = 0. Como ηi
tem suporte em Wi obtemos
lk(S1, S2) =
∫
x∈W2
(
∫
y∈W1
L(x, y) ∧ η1) ∧ η2(x)
Como W1 e W2 sao disjuntas, L(x, y) e suave em W2. Para ε suficientemente
pequeno
lk(S1, S2) =
∫
(q,b)∈W2
(
∫
(p,a)∈W1
(L((p, 0), (q, 0)) + O(ε)) ∧ η1) ∧ η2(x)
=
∫
(q,b)∈W2
(
∫
p∈S1
(L(p, (q, 0)) + O(ε))) ∧ η2(x)
=
∫
q∈S2
∫
p∈S1
L(p, q) + O(ε)
Como ε pode ser arbitrariamente pequeno, segue o resultado.
No caso em que o fibrado normal de Si nao e trivial, uma calculacao
semelhante, onde Wi e a imagem pela aplicacao exponencial dos vetores
normais a de norma menor ou igual a ε, da o mesmo resultado. 2
6.3
Indice de enlacamento para ciclos singulares em M
Podemos estender o ındice de enlacamento a cadeias e ciclos singulares
em M . Lembremos que um k-simplexo singular em M e uma aplicacao
σ : 4k → M , a qual podemos supor suave sem perda de generalidade, onde
4k e o k simplexo canonico, o menor conjunto convexo que comtem os pontos
e1, e2, .., ek+1 da base canonica em Rk+1. Uma k-cadeia e uma combinacao
linear c =∑
i = 1laiσi, de um numero finito de k-simplexos σ1, σ2, ..σl em M
com coeficientes ai ∈ R. O bordo ∂c de uma k-cadeia c e uma (k − 1)-cadeia
(vide [BT], §15, para a definicao), e c e um k-ciclo se ∂c = 0.No caso de um
k-simplexo σ : 4k → M , definimos∂
∂ti:=
∂F
∂ti. Seja g a metrica em M . Se
gij = g(∂
∂ti,
∂
∂tj) e g = det[gij] entao definimos como no caso de variedades
vol =√
gdt1..dtk, (6-10)
uma k-forma singular a qual chamaremos a forma de volume singular em C.
Agora, se para cada p ∈ C aplicarmos Gram-Schmidt a ∂
∂t1(p), ..,
∂
∂tk(p) ob-
temos X1(p), .., Xk(p) (possivelmente algum Xi(p) nulo), que sera chamado
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 64
de sistema ortonormal singular em C e definiremos o k-campo unitario singular
por N := X1 ∧ .. ∧Xk. Notemos como no caso de variedades que
∂
∂t1∧ .. ∧ ∂
∂tk=√
gN
Sejam C1 um k-ciclo e C2 um s-ciclo em M , onde r + s = n − 1, e suponha
que sejam disjuntas . Se C1 e C2 sao de homologia nula entao podemos definir
o ındice de enlacamento de C1 e C2 pela integral
lk(C1, C2) =
∫
x∈C1
∫
y∈C2
L(x,y).
Este ındice de enlacamento coincide com o usual sempre que C1 e C2 sejam
sub-variedades orientadas em M . Agora, suponha que M = Rn e sejam N1
e N2 o k-campo unitario singular em C1 e o s-campo unitario singular em
C2, respectivamente. Entao como no caso de sub-variedades em Rn podemos
definir
lk(C1, C2) =
∫
p∈C1
∫
q∈C2
L(p,q)
=
∫
p∈C1
∫
q∈C2
(p− q)×N1(p) ·N2(q)
‖p− q‖nvolpvolq. (6-11)
A integral esta bem definida porque o conjunto onde cada Ni se anula e
mensuravel.
Para finalizar este capıtulo definiremos classes especiais de cadeias sin-
gulares e criaremos uma notacao propria para estes ja que serao de muita
importancia no proximo capıtulo para poder definir o ındice de enlacamento
assintotico para acoes que preservam volume numa variedade riemanniana.
Chamaremos de k-retangulo canonico a qualquer k-retangulo da forma
Γ = [0, T1] × .. × [0, Tk] que sera denotada por Γ. Denotaremos por Γi
ao (k − 1)- retangulo [0, T1] × ..[0, Ti].. × [0, Tk]. As faces de Γ serao de-
finidas pelas aplicacoes (t1, .., ti−1, ti+1, .., tk) 7→ (t1, .., ti−1, 0, ti+1, .., tk) e
(t1, .., ti−1, ti+1, .., tk) 7→ (t1, .., ti−1, Ti, ti+1, .., tk) de Γi em Γ e serao denotadas
por ∂i0Γ e ∂i1Γ, respectivamente. Uma aplicacao suave F : Γ → M sera cha-
mada de k-retangulo singular em M e as restricoes de F a ∂0i Γ e a ∂1
i Γ serao
chamadas de i0-bordo de C e de i1-bordo de C e denotadas por ∂i0C e ∂i1C,
respectivamente. Uma k-cadeia singular da forma∑m
i=1 aiCi, onde Ci e um
k retangulo singular em M , sera chamada de k-cadeia retangulo singular em
M . Se C e um k-retangulo singular em M o bordo de C sera a (k − 1)-cadeia
retangulo ∂C =∑k
i=1(−1)i(∂0i C − ∂1
i C). Duas aplicacoes suaves do tipo
F : Γ1 → M e G : Γ2 → M , onde Γi e k-retangulo canonico, representam o
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 65
mesmo k-retangulo singular em M si existe difeomorfismo θ : Γ1 → Γ2 que
preserva orientacao tal que G θ = F .
←↓ ↑Γ
∂02Γ
−∂12Γ
−∂01Γ ∂1
1Γr0r → r
T1
rT2 r−→F
rF(0,0)
C
∂02C
−∂12C ←
−∂01C ∂1
1C
rF(T1,0)
rF(T1,T2)
rF(0,T2)
k=2, Γ um retangulo e C um 2-retangulo singular.
Seja R um k-retangulo singular definida por F : Γ → Ωn, onde Ω e uma
regiao compacta e convexa em Rn O cone C(R) gerado por R de vertice p ∈ Ωn
e o (k + 1)-retangulo singular em M definida pela aplicacao
F : [0, T1]× ..× [0, Ts]× [0, 1] → Ωn
(t1, .., tk, t) 7→ (1− t)F (t1, .., tk) + tp
Como Ωn e convexa, segue-se que F esta bem definida. Agora, se C =m∑
i=1
aiCi
e uma s-cadeia tal que cada Ci e um k-retangulo singular entao a piramide
gerado por C de vertice p e a (k + 1)-cadeia retangulo C(C) =m∑
i=1
aiC(Ci).
Exemplo 6.7R
rα(0)
rα(T1)
rp
−→Rrα(0)
rα(T1)
rp
HHH¡
¡¡
AA
AA
¢¢¢¢
Naturalmente, C(0) = 0. Em particular, se R e um k-retangulo entao nao
e dificil mostrar que
∂C(R) = (−1)k+1(R− p) + C(∂R), (6-12)
onde p e o k-retangulo constante e C(R) e a piramide gerada por ∂R. Em
particular, se ∂R e o bordo do k-retangulo R entao ∂(C(∂R)) = (−1)k∂R,
como veremos a seguir. De fato, sendo ∂R =∑k
i=1(−1)i[∂0i R−∂1
i R] temos que
C(∂R) =k∑
i=1
(−1)i[C(∂0i R)− C(∂1
i R)].
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Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 66
Logo, pela linearidade de ∂ temos
∂(C(∂R)) =k∑
i=1
(−1)i[∂C(∂0i R)− ∂C(∂1
i R)].
Agora, sabendo que ∂ji R e um (k − 1)-retangulo temos pela formula (6-12)
∂(C(∂R)) =k∑
i=1
(−1)i[(−1)k
(∂0
i R− p)
+ C(∂∂0i R)− (−1)k
(∂1
i R− p)− C(∂∂1
i R)]
=k∑
i=1
(−1)i[(−1)k
(∂0
i R− p− ∂1i R + p
)+ C(∂∂0
i R)− C(∂∂1i R)
]
= (−1)k
(k∑
i=1
(−1)i[∂0i R− ∂1
i R]
)+
k∑i=1
(−1)i[C(∂∂0i R)− C(∂∂1
i R)]
= (−1)k
(k∑
i=1
(−1)i[∂0i R− ∂1
i R]
)+ C
(∂
(k∑
i=1
(−1)i[∂0i R− ∂1
i R]
))
= (−1)k∂R + C(∂2(R))
= (−1)k∂R.
k = 2R
C(∂R)
p
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7
Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas
Sejam M uma variedade riemanniana compacta, orientada e L(x,y) a
forma dupla de enlacamento nesta variedade como foi definida na secao
anterior. Neste capıtulo usaremos L(x,y) para definir ındices de enlacamento
associadas a acoes de Rk de difeomorfismos que preservam volume em M .
Os objetos geometricos que enlacaremos serao geradas pelas orbitas da acao.
Consideraremos estes objetos sendo k-cadeias singulares em M , ja que uma
orbita de uma acao nao esta necessariamente imersa em M .
7.1
Indice de Enlacamento Assintotico de uma Acao de Rk e uma sub-variedade
Seja M uma n-variedade riemanniana compacta, orientada, completa
com Hk(M) = 0. Sejam Φ uma acao de Rk em M de difeomorfismos que
preservam volume e S uma sub-variedade de M de dimensao s, fechada, sem
bordo e de homologia nula, k + s = n − 1. Para cada ponto q ∈ N existe
uma unica orbita que passa por q e como cada orbita de Φ e uma variedade
imersa em M de dimensao menor ou igual a k, temos que o conjunto de
pontos cujas orbitas interceptam S e de medida nula em M . Logo, cada p
no complemento deste conjunto de medida nula tem sua orbita enlacando-se
em torno de S. Assim, e natural pensar em definir, se e possıvel, um ındice
que meca o enlacamento das orbitas de Φ com a sub-variedade S. No que
segue, cada k-uplo (T 1, .., T k) ∈ (R+)k, R+ = (0, +∞) sera relacionado o k-
retangulo canonico Γ = [0, T 1] × .. × [0, T k]. A orbita de Φ de perıodo Γ que
passa por p ∈ M , isto e Φ(t1,..,tk)(p); (t1, .., tk) ∈ Γ, sera denotada por ϑ(p,Γ)
e considerada um k-retangulo singular em M .
Seja Σk um conjunto de k-cadeias singulares em M satisfazendo as
seguintes propriedades:
1. Para cada ϑ(p,Γ) existe uma unica σ(p,Γ) em Σk tal que ∂ϑ(p,Γ) = ∂σ(p,Γ).
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 68
2. Existe subconjunto Θ ⊂ (R∗)n mensuravel, cujo complemento tem
medida nula, tal que para cada (T 1, T 2, .., T k) ∈ Θ o conjunto
OΓ := p ∈ M ; σ(p,Γ) ∩ S 6= ∅
tem medida nula em M .
3. As σ(p,Γ) em Σk variam continuamente em medida no sentido de que para
cada (T 1, T 2, .., T k) ∈ Θ a funcao hΓ : M → R, definida por
hΓ(p) =1
T 1..T k
∫
x∈σ(p,T )
∫
y∈S
L(x, y),
e uma funcao em L1(M),isto e,∫
p∈M|hΓ(p)|vol < ∞.
4. A famılia de funcoes hΓ converge em L1(M) para a funcao identica-
mente nula, isto e,
limT 1,..,T k→∞
∫
p∈M
|hΓ(p)|vol = 0. 2
Definicao 7.1 Todo conjunto Σ de k-cadeias singulares em M que satisfaz as
condicoes 1,2,3 e 4 anteriores sera chamado de sistema de k-volumes singulares
pequenos de enlacamento associados a Φ e S.
Enlacamentos na bola unitaria Ωn
Seja Ωn a bola unitaria fechada em Rn e fixemos o ponto p ∈ Ωn.
Para cada k-retangulo singular R em Ωn definiremos a k-cadeia singular
σ(R) := (−1)kC(∂R) sendo a piramide gerada por ∂R de vertice p, como
foi definida na ultima secao.
k = 2R
σ(R)
p
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 69
Definamos Σ(p) := σ(R) ; R e um k-retangulo singular em Ωn. Cha-
maremos este conjunto de k-cadeias estreladas com vertice em p.
Teorema 7.2 Seja p um ponto no complemento de S em Ωn. Entao Σ(p) e
um sistema de k-volumes singulares pequenos de enlacamento associados a Φ
e S. Σ(p) independe de Φ.
Prova: Sejam p ∈ Ωn e Γ um k-retangulo canonico quaisquer.
1. Como ϑ(p,Γ) e um k-retangulo singular em Ωn, temos que σ(ϑ(p,Γ)) ∈Σ(p). Por construcao ∂C(∂ϑ(p,Γ)) = (−1)k∂(ϑ(p,Γ)). Logo, se σ(p,Γ) := σ(ϑ(p,Γ)),
entao por definicao de σ(ϑ(p,Γ)) temos que
∂σ(p,Γ) = (−1)k∂C(∂ϑ(p,Γ)) = ∂ϑ(p,Γ).
Assim Σ(p) satisfaz a propriedade 1.
Para provar que Σ(p) satisfaz as condicoes 2,3 e 4, sendo
σ(p,Γ) =k∑
i=1
(−1)i+k(C(∂0i ϑ(p,Γ))− C(∂1
i ϑ(p,Γ)))
mostraremos que estas condicoes sao satisfeitas para cada famılia C(∂ji ϑ(p,Γ)).
Neste caso, sera suficiente mostrar para uma unica famılia, ja que o resto se
mostra de maneira analoga. Em particular, seja σ(k,0)(p,Γ) := C(∂0
kϑ(p,Γ)) a piramide
gerada por ∂0kϑ(p,Γ) de vertice p, isto e, a k-cadeia definida pela aplicacao
F(k,0)(p,Γ) : Γk × [0, 1] → Ωn,
F(k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u) = (1− u)Φ(t1,..,tk−1,0)(p) + up.
2. Fixemos ~t = (t1, .., tk−1) ∈ Γk e definamos a homotopia
Hu~t
:= (1− u)H0~t− uH1
~t, t ∈ [0, 1],
onde H0~t
:= Φ(t1,..,tk−1,0) e H1~t(p) = p, ∀p ∈ Ωn. Seja O
(k,0)Γ := p ∈
Ωn; σ(k,0)(p,Γ) ∩ S 6= ∅. Notemos que
O(k,0)Γ = (Hu
~t)−1(S); (t1, .., tk−1, t) ∈ Γk × [0, 1) ⊂ Rk.
Sendo (Hu~t)∗(vol) = (1 − u)vol, ja que Φ(t1,..,tk−1,0) preserva volume, entao
(Hu~t)−1(S) e uma s-subvariedade em Ω. Assim, O
(k,0)Γ tem no maximo dimensao
k + s = n − 1. Logo, O(k,0)Γ tem medida nula em Ωn, mostrando assim a
propriedade 2 e neste caso Θ = (R+)k.
3. Seja (t1, .., tk−1, u) ∈ Γk × [0, 1]. Notemos que
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 70
‖F (k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u)−F
(k,0)(q,Γ) (t1, .., tk−1, u)‖ ≤ ‖Φ(t1,..,tk−1,0)(p)−Φ(t1,..,tk−1,0)(q)‖.
Logo, sendo Φ uma aplicacao suave e considerando em C∞(Γk × [0, 1], Ωn)
a topologia induzida pela norma do supremo temos que p 7→ F(p,Γ) e uma
aplicacao contınua de Ωn em C∞(Γk× [0, 1], Ωn). Disto e sendo L(x,y) suave no
complemento da diagonal (q, q); q ∈ Ωn em Ωn × Ωn temos
h(k,0)Γ (p) :=
1
T 1..T k
∫
x∈σ(k,0)(p,Γ)
∫
y∈S
L(x,y)
e continua no complemento de O(k,0)Γ que tem medida nula. Assim, h
(k,0)Γ pode
ser considerada uma funcao mensuravel de domınio Ωn.
Agora, mostraremos que∫
p∈Ωn |h(k,0)Γ (p)|vol < ∞. Seja X =
(X1, X2, .., Xk) ∈ gk, como definido no capıtulo 3, tal que A(X) = Φ.
Notemos que∂F
(k,0)(p,Γ)
∂ti(t1, .., tk−1, u) = (1−u)X i(Φ(t1,..,tk−1,0)(p)), i = 1, .., k−1.
Sendo X i campo vetorial definido no domınio compacto Ωn existe A tal
que ‖X i‖ ≤ A, ∀i. Logo ∀i ∈ 1, .., k − 1, ∀p ∈ Ωn e para todo Γ
temos que ‖∂F
(k,0)(p,Γ)
∂ti‖ ≤ A e tambem ‖
∂F(k,0)(p,Γ)
∂u‖ ≤ 2. Como S e com-
pacta, podemos supor que esta definida por um atlas finito da forma
θi : [0, 1]r → Si ⊂ S, (ri1, , , .r
is) 7→ θi(r
i1, .., r
is)i∈1,2,..,m tal que existe
B > 0 tal que ‖∂θi
∂rij
‖ ≤ B, ∀i, j. Seja fi : S → [0, 1]i∈1,2,..,m uma particao
de unidade com respeito a este atlas, note que ‖fi‖ ≤ 1, ∀i. Definamos
h(k,0)(Γ,i)(p) =
1
T 1..T k
∫
x∈σ(k,0)(p,Γ)
∫
y∈Si
fi(y)L(x,y).
Entao h(k,0)Γ =
m∑i=1
h(k,i)(Γ,i). Logo, por (6-11), (6-6) e como σ
(k,0)(p,Γ) esta definida por
F(k,0)(p,Γ) , podemos escrever
h(k,0)(Γ,i)(p) =
1
T 1..T k
∫
Γi
∫ 1
0
∫
(0,1)r
fi
[F
(k,0)(p,Γ) − θi,
∂F(k,0)(p,Γ)
∂t1, ..,
∂F(k,0)(p,Γ)
∂u, ..,
∂θi
∂ris
]
‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n
dυk−1dudυr,
onde dυk−1 e dυs sao as formas de volume em Rk−1 e Rs, respectivamente, F(k,0)(p,Γ)
definida em Γi×[0, 1] e fi, θi definidas em (0, 1)r. Como o valor absoluto de um
determinante e menor ou igual ao produto das normas de seus vetores linhas
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 71
e ‖f‖ ≤ 1, temos que
∫
p∈Ωn
|h(k,0)(Γ,i)(p)| vol ≤ 1
T1..Tk
∫
p∈Ωn
(
∫
Γi
∫ 1
0
∫
(0,1)r
2Ak−1Br
‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n−1
dυk−1dudυr) vol.
Agora, para ~t = (t1, .., tk−1) fixo a homotopia H t~t
= F(k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u)
geometricamente deforma Ωn no ponto p. Como p nao pertence a S, existem
δi ∈ (0, 1] e uma constante Di > 0 tal que ∀p ∈ Ωn, ∀q ∈ S temos que
‖F (k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u)− q‖ ≥ Di , ∀(t1, .., tk−1) ∈ Γk, ∀u ∈ [δ, 1].
Daqui, segue que
I1 :=1
T1..Tk
∫
p∈Ωn
(
∫
Γk
∫ 1
δi
∫
[0,1]r
2Ak−1Br
‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n−1
dυk−1dudυr) vol.
≤ 1
T1..Tk
∫
p∈Ωn
(
∫
Γk
∫ 1
δi
∫
[0,1]r
2Ak−1Br
Dn−1i
dυk−1dudυr) vol
=2Ak−1Brvol(Ωn)
Dn−1i Tk
Agora, notemos que para cada q ∈ Ωn a funcao p 7→ 1
‖p− q‖n−1e integravel.
Portanto, a funcao definida em Ωn por q 7→∫
p∈Ωn
1
‖p− q‖n−1vol e continua.
Logo, existe constante E > 0 tal que∫
p∈Ωn
1
‖p− q‖n−1vol ≤ E ∀q ∈ Ωn. (7-1)
Daqui, aplicando Fubini, sendo (Hu~t)∗(vol) = (1 − u)vol e notando que
1
1− u≤ 1
1− δse 0 < u ≤ δ < 1 temos que
I2 :=1
T 1..T k
∫
p∈Ωn
(
∫
Γk
∫ δi
0
∫
(0,1)r
2Ak−1Br
‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n−1
dυk−1dudυr) vol.
=1
T 1..T k
∫
Γk
∫
(0,1)r
∫ δi
0
(
∫
p∈Ωn
2Ak−1Br
‖H t~t(p)− θi‖n−1
vol)dudυk−1dυr
=1
T 1..T k
∫
Γk
∫
(0,1)r
∫ δi
0
1
(1− u)n(
∫
p∈Ωn
2Ak−1Br
‖H t~t(p)− θi‖n−1
(Hu~t)∗(vol))dudυk−1dυr
=1
T 1..T k
∫
Γk
∫
(0,1)r
∫ δi
0
1
(1− u)n(
∫
p∈(Hu~t
)∗Ωn
2Ak−1Br
‖p− θi‖n−1vol)dudυk−1dυr
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 72
≤ 1
T 1..T k
∫
Γk
∫
(0,1)r
∫ δi
0
2Ak−1BrE
(1− δi)ndudυk−1dυr
=2Ak−1BrE
(1− δi)nT k
Como
I1 + I2 =1
T 1..T k
∫
p∈Ωn
(
∫
T (k−1,k)
∫ 1
0
∫
[0,1]s
2Ak−1Br
‖F (k,0)(p,Γ) − θ‖n−1
dυk−1dudυs) vol,
temos que
∫
p∈Ωn
|h(k,0)(Γ,i)(p)| vol ≤ I1 + I2 ≤ 2Ak−1Br
T kvol(Ωn)
Dn−1i
+E
(1− δi)n < ∞, ∀i
Como∫
p∈Ωn |h(k,0)Γ (p)|vol ≤ ∑m
i=1
∫p∈Ωn |h(k,0)
(Γ,i)(p)|vol, temos que Σ(p) satisfaz a
condicao 3.
4. A condicao 4 e satisfeita da relacao
∫
p∈Ωn
|hk0Γ (p)|vol ≤
m∑i=1
∫
p∈Ωn
|h(k0,i)Γ (p)|vol ≤ 2Ak−1Br
T k
m∑i=1
vol(Ωn)
Dn−1i
+E
(1− δi)n
e do fato que T k →∞ . 2
Pela propriedade 1 de Σ(p), a cada ϑ(p,T (k)) podemos associar a k-cadeia
singular sem bordo ϑ(p,Γ) := ϑ(p,Γ) − σ(p,Γ). Como Hk(Ω) = 0, temos que
ϑ(p,Γ) e de homologia nula.
k = 2ϑ(p,T )
rp r
p1
rp3
rp2
σ(p,T )
rp r
p1
rp3
rp2
rp
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 73
ϑ(p,T ) = ϑ(p,T ) − σ(p,T )
rp r
p1
rp3
rp2
rp
Seja O ⊂ Ωn o conjunto de pontos cujas orbitas interceptam S. No inıcio
desta secao vimos que O tem medida nula. Fixemos Γ. Seja ΩΓ o complemento
de O∪OΓ. Para cada p ∈ ΩΓ temos que ϑ(p,Γ) ∩N = ∅. Logo, podemos definir
em ΩΓ a funcao contınua
lkΓ(p) =1
T 1..T klk(ϑϕ
( p, T ), S).
Sendo o complemento de ΩΓ de medida nula podemos considerar lkΓ como
uma funcao mensuravel definida em Ωn.
Proposicao 7.3 O limite
lk(p) = limT 1,..,T k→∞
lkΓ(p) = limT 1,..,T k→∞
1
T 1..T klk(ϑ(p, Γ), S)
existe no sentido L1 e define uma funcao integravel que nao depende da escolha
do sistema Σ de k-volumes singulares pequenos de enlacamento associados a
Φ e S.
Prova: Sejam X1, .., Xk os campos vetoriais em Ωn de divergencia nula associ-
ados a Φ e N o s-campo unitario em S que define a sua orientacao. Definamos
X := X1 ∧ .. ∧Xk k-campo em Ωn. Para cada p no complemento de S em Ωn
definamos a s-forma suave α(p) em S
(α(p))q :=(−1)k
an
(q − p)×X(p) · Y (q)
‖q − p‖nvolq
Logo, a funcao f definida por f(p) :=∫
Sα(p) e uma funcao contınua no
complemento de S em Ωn. Como S tem medida nula em Ωn a funcao f pode
ser considerada uma funcao mensuravel em Ωn. Aplicando Fubini, podemos
mostrar que f e uma funcao em L1(Ωn). Por outro lado, na k-cadeia ϑ(p, Γ)
temos que o i-esimo vetor tangente coordenado∂
∂tie igual a X i(Φ(t1,t2,..,tk)(p),
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 74
logo∂
∂t1∧ .. ∧ ∂
∂tk= X(ϕ(t1,..,tk)(p)).
Lembremos que podemos definir o k-campo unitario singular N de ϑ(p,Γ) pela
igualdade∂
dt1∧ .. ∧ ∂
dtk=√
gN ,
onde g = ‖ ∂
dt1∧ .. ∧ ∂
dtk‖ e ‖N‖ = 1 se os
∂
dtisao linearmente independentes
e e 0 caso contrario. Logo, pela formula (6-5) e sendo dt1..dtk =√
gvol temos
que
∫
x∈ϑ(p,Γ)
∫
q∈S
L(x,y) =(−1)k
an
∫
x∈ϑ(p,Γ)
∫
y∈S
(q − x)× N(x) ·N(q)
‖q − x‖nvolxvolq
=(−1)k
an
∫
x∈ϑ(p,Γ)
(∫
y∈S
(q − x)×X(x) ·N(q)
‖q − x‖nvolq
)dt1..dtk
=
∫
x∈ϑ(p,Γ)
∫
y∈S
αx(y))dt1..dtk
=
∫ Tk
0
..
∫ T1
0
∫
y∈S
α(Φ(t1,..,tk)(p))dt1..dtk
=
∫ Tk
0
..
∫ T1
0
f(ϕ(t1,..,tk)(p))dt1..dtk.
Logo,
lkΓ(p) =1
T1..Tk
∫
x∈ϑ(p,Γ)
∫
y∈N
L(x,y)
=1
T1..Tk
∫
x∈ ϑ(p,Γ)−σ(p,Γ)
∫
y∈S
L(x,y)
=1
T1..Tk
∫
x∈ϑ(p,Γ)
∫
y∈S
L(x,y) − 1
T1..Tk
∫
x∈σ(p,Γ)
∫
y∈S
L(x,y)
=1
T1..Tk
∫ T1
0
..
∫ Tk
0
f(ϕ(t1,..,tk)(p))− 1
T1..Tk
∫
x∈σ(p,Γ)
∫
y∈S
L(x,y).
Assim pelo teorema ergodico para acoes, teorema 3.13, e condicao 4 do sistema
de k-volumes singulares pequenos de enlacamento temos que lkΓ converge no
sentido L1 para uma funcao lk que satisfaz
∫
p∈Ωn
lk vol =
∫
p∈Ωn
f(p) vol. 2
Definicao 7.4 O ındice lk(Φ, S) :=∫Ωn lk vol sera chamado o ındice de
enlacamento assintotico da k-acao Φ e a subvariedade S.
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 75
Lembremos que no capıtulo 3 definimos o invariante de Hopf I(Φ, S) =∫S
α, onde dα = IXvol e X e o k-campo associado a Φ.
Teorema 7.5 Seja Φ uma k-acao de difeomorfismos que preservam volume
em Ωn, e S uma s-variedade compacta, sem bordo e mergulhada em Ωn,
k + s = n− 1. Entao o ındice de enlacamento assintotico lk(Φ, S) satisfaz
lk(Φ, S) = I(Φ, S)
Prova: Sejam X1, .., Xk os campos vetoriais de divergencia nula associadas a
ϕ , X = X1 ∧ .. ∧ Xk o k-campo associado a Φ e η = iXvol. O teorema
generalizado de Biot-Savart garante que rot(BS(X)) = X. Pelo teorema
generalizado de Biot-Savart temos que
X1 ∧ .. ∧Xk = rot(BS(X1 ∧ .. ∧Xk)).
Logo, pela definicao de rotacional temos
d(j(BS(X))) = irot(BS(X))vol = iXvol = η.
Logo α := j(BS(X)) e uma forma diferencıavel que satisfaz dα = η. Por
teorema 4.13 e resultado do teorema anterior temos que
lk(Φ, S) =
∫
p∈Ωn
lk(p)vol =
∫
p∈Ωn
f(p)vol =
∫
p∈Ωn
(
∫
S
α(p))vol.
Entao, por definicao da forma αp e aplicando Fubini temos que por definicao
do campo BS(X1 ∧ ..∧Xk) = BS(X), por definicao do operador j e notando
que em N temos que α = α(Y )vol , temos
lk(Φ, S) =(−1)k
an
∫
p∈Ωn
∫
q∈S
(q − p)×X(p) · Y (q)
‖q − p‖nvolqvolp
=
∫
q∈S
(−1)k
an
∫
p∈Ωn
((p− q)
‖p− q‖n×X(p)volp) · Y (q)volq.
Agora, por definicao do campo BS(X) e definicao do homomorfismo j temos
que
lk(Φ, S) =
∫
q∈N
BS(X)(q) · Y (q)volq
=
∫
q∈N
j(BS(X))q(Y (q))volq
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 76
Logo, como α = j(BS(X)) e notando que α(Y )vol = α ja que Y e unitario
temos
lk(Φ, S) =
∫
N
αq(Y (q))volq
=
∫
N
α
Finalmente por definicao de I(Φ, S) temos que
lk(Φ, S) = I(Φ, S). 2
Exemplo 7.6
Sejam X(x, y, z, w) = (y,−x, 0, 0) e Y (x, y, z, w) = (0, 0, w,−z) campos
vetoriais de divergencia nula em Ω4. Sejam
ϕXs (x, y, z, w) = (rsin(α + s), rcos(α + s), z, w), r = (x2 + y2)
12 e α = arctan(
x
y)
ϕYt (x, y, z, w) = (x, y, lsin(α + t), lcos(β + t)), l = (z2 + w2)
12 e β = arctan(
z
w)
os fluxos de X e Y , respectivamente. Notemos que as orbitas de X e Y sao
fechadas e de periodo 2π. Como [X, Y ] = 0, existe 2-acao Φ de R2 em Ω4
associado a (X, Y ). Observemos que Φ esta definida por
ϕ(s,t)
(x, y, z, w) = ϕYt ϕX
s (x, y, z, w)
= ϕYt (ϕX
s (x, y, z, w))
= ϕYt (rsin(α + s), rcos(α + s), z, w)
= (rsin(α + s), rcos(α + s), lsin(β + t), lcos(β + t)).
As orbitas de Φ sao fechadas de periodo [0, 2π]× [0, 2π]. Notemos que
iX∧Y
dvol = iYi
Xdvol = ywdydw + xwdxdw + yzdydz + xzdxdz
e que a 1-forma α = (x2+y2
2)(zdz + wdw) satisfaz dα = i
X∧Yvol. Agora, Seja
S o cırculo no primeiro quadrante do yz-plano centrada no ponto (0, y0, z0, 0)
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 77
de raio R. Logo, γ(t) = (0, y0 + Rcos(t), z0 + Rsin(t), 0) parametriza S.
I(Φ, S) =
∫
N
α
=1
2
∫ 2π
0
(y0 + Rcos(t))2(z0 + Rsin(t))Rcos(t)dt
=1
2
∫ 2π
0
Rcos(t)(y20 + 2Ry0cos(t) + R2cos2(t))(z0 + Rsin(t))dt
Como estamos integrando ao longo de um perıodo, temos que a integracao se
anula para todos os somandos excepto para cos2(t). Assim
I(Φ, S) =1
2
∫ 2π
0
2R2y0z0cos2(t)dt = R2y0z0π.
Por outro lado, no caso de enlacamentos, consideremos o disco D no yz-
plano tal que ∂D = S. Notemos que uma orbita ,ao longo de um periodo,
(s, t) 7→ (rsin(α + s), rcos(α + s), lsin(β + t), lcos(β + t)) , pode interceptar
D se rsin(α + s) = lcos(β + t) = 0 , isto e, se s ∈ −α, π − α e
t ∈ π2−β, 3π
2−β Como D esta contido no primeiro quadrante um retangulo de
orbita(um perıodo) se intercepta a D vai intercepta-lo somente num ponto da
forma (0, r, l, 0). Como na integral de enlacamento o somando correspondente
as areas pequenas nao e significativo somente calcularemos os enlacamentos
no retangulos de orbitas que em nosso caso sao fechados. Em particular, se
T1 = [0, 2π]× [0, 2π] temos que
lkΓ(p) =
1
2π2πlk(ϑΦ(p, Γ), N) =
1
2π2πse ϑΦ(p, Γ) ∩D 6= ∅
0 se ϑΦ(p, Γ) ∩D = ∅.
Sabendo que o ındice de enlacamento assintotico independe da sequencia
de perıodos escolhida podemos escolher em particular a sequencia Γn =
[0, 2nπ] × [0, 2nπ]. Notemos que ϑΦ(p, Γn) e um retangulo de orbita fechado
formada por n2 copias do toro ϑΦ(p, Γ) logo
lkΓn
(p) =1
2nπ2nπlk(ϑΦ(p, Γn), N) =
n2
2nπ2nπ= 1
2π2πse ϑΦ(p, Γn) ∩D 6= ∅
0 se ϑΦ(p, Γn) ∩D = ∅.
Note que Ω :=⋃q∈D
ϑΦ(q, Γn) = p ∈ Ω4; ϑΦ(p, Γn) ∩ D 6= ∅. Agora, como
(r, s) 7→ (0, y0 + rcos(s), z0 + rcos(s), 0) e uma parametrizacao de D entao
ρ(r, s, t, u) definido por
((y0+rcos(s))cos(t), (y0+rcos(s))sin(t), (z0+rcos(s))cos(u), (z0+rcos(s))sin(u))
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 78
e uma parametrizacao de Ω. Fazendo as contas necessarias temos que a forma
de volume nesta parametrizacao e r(y0+rcos(s))(z0+rsin(s))drdsdtdu. Assim,
∫
p∈Ω4
lkΓn
(p)dvol =
∫
p∈Ω
lkΓn
(p)dvol
=
∫
p∈Ω
1
4π2dvol
=1
4π2vol(Ω)
=1
4π2
∫ R
0
∫ 2π
0
∫ 2π
0
∫ 2π
0
r(y0 + rcos(s))(z0 + rsin(s))drdsdtdu
=1
4π2
∫ R
0
∫ 2π
0
4π2r(y0 + rcos(s))(z0 + rsin(s))drds
=
∫ R
0
∫ 2π
0
ry0z0drds
= y0z0R2π
Como
∫
p∈D4
lkΓn
(p)dvol e constante ∀n entao
lk(Φ, S) = y0z0R2π = I(Φ, S).
7.2
Indice de Enlacamento Assintotico entre Acoes de Rk
Seja M variedade riemanniana orientada, compacta e conexa. Sejam Φ
uma acao de Rk em M e Ψ uma acao de Rs em M de difeomorfismos que
preservam volume, onde k+s = n−1. Notemos que as Φ-orbitas sao variedades
imersas em M de dimensao no maximo k. Agora, por cada ponto de uma Ψ-
orbita ϑΨ passa uma unica Φ-orbita . Logo, o conjunto de pontos das Φ-orbitas
que interceptam a ϑΨ tem medida nula em M . Assim, existe subconjunto de
M , com volume igual ao de M , tal que cada ponto deste conjunto tem sua
Φ-orbita enlacando-se ao redor de ϑΨ. O recıproco tambem acontece com uma
Φ-orbita ϑΦ e a acao Ψ. Logo, e natural pensar em definir um ındice que meca
o enlacamento medio das orbitas de Φ com as orbitas de Ψ. No que segue,
denotaremos por Γ o k-retangulo canonico [0, T 1] × .. × [0, T k] e por Υ o s-
retangulo canonico [0, R1] × .. × [0, Rs], usaremos ϑΦ(p,Γ) e ϑΨ
(q,Υ) para denotar
o k-retangulo de orbita Φ(t1,..,tk)(p) ; (t1, .., tk) ∈ Γ e o s-retangulo de orbita
Φ(r1,..,rs)(p) ; (r1, .., rs) ∈ Υ. Sejam Σk conjunto de k-cadeias singulares em
M e Σs conjunto de s-cadeias singulares em M que satisfazem as seguintes
propriedades:
1. Para cada p e q em Ωn, cada k-retangulo canonico Γ e cada s-retangulo
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 79
canonico Υ existem unico σΦ(p,Γ) ∈ Σk e unico σΨ
(q,Υ) ∈ Σs tal que
∂ϑΦ(p,Γ) = ∂σϕ
(p,Γ) e ∂ϑψ(q,Υ) = ∂σψ
(q,Υ).
2. As σΦ(p,Γ) ∈ Σk e as σψ
(q,Υ) ∈ Σs variam continuamente com respeito a
(p, T 1, .., Tk) e com respeito a (q, R1, .., Rs), respectivamente, no comple-
mento de conjuntos de medida nula.
3. Os conjuntos
Ω(Γ,Υ)(Φ,Σs)
= (p, q) ∈ M ×M ; ϑΦ(p,Γ) ∩ σΨ
(q,Υ) 6= ∅ Ω
(Γ,Υ)Σk,Ψ = (p, q) ∈ M ×M ; σΦ
(p,Γ) ∩ ϑΨ(q,Υ) 6= ∅
Ω(Γ,Υ)(Σk,Σs)
= (p, q) ∈ M ×M ; σϕ(p,Γ) ∩ σψ
(q,Υ) 6= ∅
tem medida nula em Ωn × Ωn para cada Γ e Υ fixos.
4. Seja L(p, q) a forma de enlacamento em M . Os limites
limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞
1
T 1..T kR1..Rs
∫
ϑΦ(p,Γ)
∫
σΨ(q,Υ)
L = 0 (7-2)
limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞
1
T 1..T kR1..Rs
∫
σΦ(p,Γ)
∫
ϑΨ(q,Υ)
L = 0 (7-3)
limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞
1
T 1..T kR1..Rs
∫
σΦ(p,Γ)
∫
σΨ(q,Υ)
L = 0 (7-4)
existem na topologia de L1(M)
Definicao 7.7 Todo par (Σk, Σs) satisfazendo as propriedades acima sera
chamado de sistemas de k-volumes e s-volumes pequenos associados a Φ e
Ψ.
Exemplo 7.8
ϑΦ(p, T )
rp
rΦ
T(p)
XXXXXXXXX ©©©©©©©©©
rp
rp
rΦ
T(p)σΦ(p, T )
ϑΦ(p, T )
rp
rΦ
T(p)
XXXXXXXXX©©©©©©©©©
rp
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 80
rr
rr
ϑΨ(q, R)
rq
rΨ
(T1,0)(q)
rΨ
(0,T2)(q)
rΨ
(T1,T2)(q) σΨ(q,R)
r r
r r
r
r
ϑΨ(q,R)
rq
rΨ
(T1,0)(q)
rΨ(0,T2)
(q) r Ψ(T1,T2)(q)
q
r
rr
r
Teorema 7.9 Sejam p e q em ∂Ωn, p 6= q. Entao o par (Σk(p), Σk(q)) formado
pelo sistema de k-cadeias singulares estreladas com vertice em p e o sistema
de s-cadeias singulares com vertice em q sera um sistema de k-volumes e s-
volumes pequenos associados a Φ e Ψ.
Prova: Por construcao como vimos na secao anterior (Σk(p), Σk(q)) satisfazem
as propriedades 1 e 2 de um sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ.
Agora, para mostrar as propriedades 3 e 4 lembremos que
σΦ(p,Γ) =
k∑i=1
(−1)i+k(C(∂0i ϑ
Φ(p,Γ))− C(∂1
i ϑΦ(p,Γ)));
σΨ(q,Υ) =
k∑i=1
(−1)i+k(C(∂0i ϑ
Ψ(q,Υ))− C(∂1
i ϑΨ(q,Υ))).
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 81
Logo, devemos mostrar que estas propriedades sao satisfeitas para cada famılia
C(∂ji ϑ(p,Γ)). Neste caso, sera suficiente mostrar para uma unica famılia, ja que
no resto se mostra de maneira analoga. Em particular, escolheremos as familias
:
σ(k,0)(p,Γ) := C(∂0
kϑΦ(p,Γ)) ;
σ(s,0)(q,Υ) := C(∂0
kϑΨ(q,Υ)).
Estas cadeias singulares em Ωn sao definidas pelas aplicacoes:
F(k,0)(p,Γ) (~t, u) := (1− u)Φ(~t,0)(p) + up ;
F(k,0)(p,Γ) (~r, t) := (1− t)Φ(~r,0)(q) + tq,
onde ~t′ = (t1, .., tk−1) ∈ Γk, ~r′ = (r1, .., rs−1) ∈ Υs e u, t ∈ [0, 1]. No que segue,
~t := (t1, .., tk1 , tk), ~r := (r1, .., rs1 , rs) e para todo i a medida de Lebesgue e
a forma de volume em Ri serao denotadas por µi e por dµi, respectivamente.
Primeiro mostraremos (7-3). Procedendo analogamente como na demonstracao
da propriedade 3 de sistema de k-volumes pequenos da secao anterior, temos
que existe uma constante C > 0 tal que a integral da formula de enlacamento
nas cadeias singulares σ(k,0)(p,Γ) e ϑΨ
(q,Υ) satisfaz
A(p, q) :=
∣∣∣∣∣∫
x∈σ(k,0)(p,Γ)
∫
y∈ϑΨ(q,Υ)
L(x,y)
∣∣∣∣∣
=
∫ Rs
0
..
∫ R1
0
∫ 1
0
∫ T k−1
0
..
∫ T 1
0
C
‖Ψ~r(q)− F(k,0)(p,Γ) (
~t′, u)‖n−1.
Entao, sabendo que para cada ~r a aplicacao Ψ~r e um difeomorfismo que
preserva volume temos usando tambem a desigualdade (7-1) que
∫
q∈Ω2
∫
p∈Ω1
|A(p, q)| vol(p)vol(q) ≤ ECT k−1..T 1Rs..R1vol(Ω1).
Portanto
1
T 1..T rR1..Rs
∫
q∈Ω2
∫
p∈Ω1
∣∣∣∣∣∫
x∈σ(k,0)(p,Γ)
∫
y∈ϑΨ(q,Υ)
L(x,y)
∣∣∣∣∣ vol(p)vol(q) ≤ ECvol(Ω1)
T k
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 82
mostrando assim 7-3, ja que T k → ∞. Analogamente para (7-2) no caso de
σ(s,0)(p,Υ) temos que existe constante A > 0 tal que
1
T 1..T rR1..Rs
∫
q∈Ω2
∫
p∈Ω1
∣∣∣∣∣∫
x∈ϑΦ(p,Γ)
∫
y∈σ(s,0)(q,Υ)
L(x,y)
∣∣∣∣∣ vol(p)vol(q) ≤ EAvol(Ω2)
Rs.
, O fato de que Rs → ∞ mostra (7-2). Agora para mostrar (7-4) considere-
mos σ(k,0)(p,Γ) e σ
(s,0)(p,Υ). Procedendo como na demonstracao da propriedade 3 da
existencia de volumes pequenos asociados a acoes e sub-variedades podemos
mostrar que existe constante K tal que
A(p, q) :=
∣∣∣∣∣∫
x∈σ(k,0)(p,Γ)
∫
y∈σ(s,0)(p,Υ)
L(x,y)
∣∣∣∣∣
≤∫ 1
0
∫
~r′∈Υs
∫ 1
0
∫
~t′∈Γk
Kdµk−1dudµs−1dt
‖(1− u)Φ(~t′,0)(p) + up− (1− t)Ψ(~r′,0)(q)− tq‖n−1.
Por outro lado, Para cada ~r′ e cada ~t′ as familias de aplicacoes h1u e h2
tdefinidas em Ωn por h1
u(p) = (1−u)Φ(~t′,0)(p)+tp e h2t(q) = (1−t)Ψ(~r′,0)(q)−tq
satisfazem
(h1u)∗(vol) = (1− u)nvol; (h2
t )∗(vol) = (1− t)nvol
Portanto, usando este pullback na integracao e por (7-1) temos que
I1(t, u) :=
∫
p∈Ωn
∫
q∈Ωn
1
‖(1− u)Φ(~t,0)(p) + up− (1− t)Ψ(~r,0)(q)− tq‖n−1vol(p)vol(q)
=1
(1− t)n(1− u)n
∫
p∈(h1u)∗(Ωn)
∫
q∈(h2t )∗(Ωn)
1
‖p− q‖n−1vol(p)vol(q)
≤ E
(1− t)n(1− u)n.
Agora, mostraremos propriedade 3. fixemos Γ e Υ. Seja C uma s-cadeia em
Ωn. Por cada ponto q de C passa uma unica Φ-orbita( k-cadeia ). Entao o
conjunto de pontos que interceptam C e no maximo de dimensao k+r = n−1,
isto e de medida nula em Ωn. Agora, suponha que o conjunto Ω(Γ,Υ)(Φ,Σs)
tem
medida nao nula em Ωn × Ωn. Neste caso, existe um C := σΨ(q,Υ tal que
o conjunto A = p ∈ Ωn; ϑΦ(p,Γ) tem medida nao nula mas isto e um
absurdo ja que notemos que A e um subconjunto de pontos das orbitas que
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 83
interceptam C o qual tem medida nula. Analogo para o conjunto Ω(Γ,Υ)(Σk,Ψ). Para
mostrar o caso ΩΓ,Υ)(Σk,Σs)
de novo suponha que este tenha medida nao nula em
Ωn × Ωn. Entao, existe um σΨ(q,Υ) que nao contem p, o vertice de Σk(p) com a
propriedade que o conjunto B de pontos p tal que σΦ(p,Γ) interceptam σΨ
(q,Υ) tem
medida nao nula em Ωn, mas isto e um absurdo, ja que poderıamos proceder,
usando homotopias, como no caso de secao anterior, de enlacamento de uma
k-acao com uma sub-variedade para mostrar que este conjunto e de medida
nula. 2
Sejam Γ e Υ fixos . No teorema anterior mostramos a existencia de um
sistema de k-volumes e s-volumes associados a Φ e Ψ. Seja U o conjunto de
medida nula que e a uniao dos conjuntos definidos na propriedade 3 de um
sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ. Seja D(Γ,Υ) o complemento
de U em Ωn × Ωn. Logo podemos definir a funcao lk(Γ,Υ) : D(Γ,Υ) → R por
lk(Γ,Υ)(p, q) =1
T 1..T kR1..Rslk(ϑΦ(p, Γ), ϑΨ(p, Υ)). (7-5)
Observemos que os ϑΦ(p, Γ) variam continuamente com respeito a p e que
os σΦ(p, Γ), pela condicao 2 de Σ, variam continuamente com respeito a p
no complemento de um conjunto de medida nula. Assim, os ϑΦ(p,Γ) variam
continuamente com respeito a p no complemento de um conjunto de medida
nula e podemos afirmar o mesmo para os ϑΨ(q, Υ). Assim , as funcoes lk(Γ,Υ).
sao funcoes mensuraveis definidas em Ωn × Ωn.
Proposicao 7.10 A funcao limite lk : Ωn × Ωn → R definida por
lk(p, q) := limT 1,T k,R1,..,Rk→∞
lk(Γ,Υ)(p, q)
= limT 1,T k,R1,..,Rk→∞
1
T 1..T kR1..Rslk(ϑΦ(p, Γ), ϑΨ(q, Υ). (7-6)
existe na topologia de L1(Ωn×ωn). Alem disso, lk e uma funcao integravel que
independe do sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ escolhido.
Prova: Sejam X = X1 ∧ .. ∧Xk e Y = Y 1 ∧ .. ∧ Y s o k-campos e o s-campo
de divergencia nula associados a Φ e Ψ, respectivamente. Definamos a funcao
f : Ω1 × Ω2 → R por
f(p, q) :=(−1)k
an
p− q)×X(q) · Y (p)
‖p− q‖n. (7-7)
Observemos que as singularidades de f sao de ordem n − 1 na diagonal
de Ωn × Ωn (Pontos de intercepcao de Ωn e Ωn). Como esta diagonal tem
dimensao n temos que f e uma funcao de valor absoluto integravel, isto e,
f ∈ L1(Ωn×Ωn). usando a formula (2-18) para a forma de enlacamento temos
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 84
que
A(p, q) :=
∫
y∈ϑΨ(p,Υ)
∫
x∈ϑΦ(p,Γ)
L(x,y)
=(−1)k
an
∫
y∈ϑΨ(p,Υ)
∫
x∈ϑΦ(p,Γ)
y − x)×NΦ(x) ·NΨ(y)
‖y − x‖nvol(x)vol(y),
onde NΦ e NΨ sao os campos unitarios singulares de Φ e Ψ, respectivamente.
Agora, por(2-18) e por (6-6)
A(p, q) =(−1)k
an
∫ Rs
0
..
∫ R1
0
∫ T k
0
..
∫ T 1
0
(Ψ~r(q)− Φ~t(p))×X(Φ~t(p)) · Y (Ψ~r(q))
‖Psi~r(q)− Φ~t(p)‖ndµkdµs,
onde ~r = (r1, .., rs), ~t = (t1, .., tk), dµk = dt1..dtk e dµr = dr1..drs. Definamos
a acao Θ de Rk+s em Ωn × Ωn
Θ(~t,~r)(p, q) = (Φ~t(p), Ψ~r(q)).
Notemos que
f(Θ(~t,~r)(p, q)) = f(Φ~t(p), Ψ~r(q))
=(−1)k
an
(Ψ~r(q)− Φ~t(p))×X(Φ~t(p)) · Y (Ψ~r(q))
‖Psi~r(q)− Φ~t(p)‖n
Disso, da propriedade 4 de sistema de volumes pequenos e a definicao de lk
temos que
lk(p, q) = limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞
1
T 1..T kR1..Rs
∫ Rs
0
..
∫ R1
0
∫ T k
0
..
∫ T 1
0
f(Θ(~t,~r)(p, q))dµkdµs.
Portanto, do teorema ergodico para acoes, resultado (4-7) temos que lk(p, q)
converge na toplogia L1(Ωn × Ωn). Alem disso, o resultado (4-8) do mesmo
teorema garante que∫
q∈Ωn
∫
p∈Ωn
lk(p, q)vol(p)vol(q) =
∫
q∈Ωn
∫
p∈Ωn
f(p, q)vol(p)vol(q) (7-8)
Esta ultima equacao garante a independencia da integral com respeito ao
sistema de volumes pequenos escolhido. 2
Definicao 7.11 O ındice
lk(Φ, Ψ) :=
∫
q∈Ωn
∫
p∈Ωn
lk(p, q)vol(p)vol(q).
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 85
sera chamadop o ındice de enlacamento assintotico medio das acoes Φ e Ψ.
Agora, mostraremos um teorema muito importante que afirma a igual-
dade da invariante de Hopf e da invariante de enlacamento assintotico das
acoes Φ e Ψ.
Teorema 7.12
lk(Φ, Ψ) = I(Φ, Ψ),
onde I(Φ, Ψ) e o invariante de Hopf para Φ e Ψ.
Prova: Por (7-8) e (7-7) temos que
∫
q∈Ωn
∫
p∈Ωn
lk(p, q)vol(p)vol(q) =
∫
q∈Ωn
∫
p∈Ωn
f(p, q)vol(p)vol(q)
=
∫
q∈Ωn
∫
p∈Ωn
(−1)k
an
p− q)×X(q) · Y (p)
‖p− q‖n
Aplicando o teorema de Biot-Savart para o k-campo X temos que
∫
q∈Ωn
∫
p∈Ω1
lk(p, q)vol(p)vol(q) =
∫
q∈Ωn
BS(X)(q) · Y (q)vol(q)
Finalmente pela formula (4-3) temos que
∫
q∈Ωn
∫
p∈Ωn
lk(p, q)vol(p)vol(q) =
∫
q∈Ωn
α ∧ iY vol
= I(Φ, Ψ).
Exemplo 7.13 Seja Φ a acao de R2 em Ω4 definida no exemplo 6.1.9.
cujos campos associados sao X1(x, y, z, w) = (y,−x, 0, 0) e X2(x, y, z, w) =
(0, 0, w,−z). Se X = X1 ∧X2 entao
iXdvol = ywdydw + xwdxdw + yzdydz + xzdxdz.
A 1-forma α = (x2+y2
2)(zdz + wdw) satisfaz dα = i
Xdvol. Agora, Fixemos
o ponto (0, y0, z0, 0) ∈ Ω4 no primeiro quadrante do plano yz. Sejam B4 ⊂ Ω4
uma bola centrada em (0, y0, z0, 0) de raio R suficientemente pequeno tal que
suas coordenadas y e z sao positivas e ψ uma acao de R em B4 definida pelo
campo Y (x, y, w, z) = (0,−(z − z0), (y − y0), 0). Logo,
iYdvol = (y − y0)dxdydw + (z − z0)dxdzdw.
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 86
A 2-forma β =(y − y0)
2 + (z − z0)2
2dxdw satisfaz dβ = i
Ydvol. Logo, se
tildeR =√
R2 − x2 − w2 temos que:
I(ϕ, ψ) =
∫
B4
β ∧ dα
=
∫
B4
((y − y0)
2 + (z − z0)2
2)(yz) dxdydzdw
=
∫
(x,w)∈DR(0,0)
∫
(y,z)∈DR(y0,z0)
((y − y0)
2 + (z − z0)2
2)(yz) dydzdxdw
=1
2
∫
(x,w)∈DR(0,0)
∫ 2π
0
∫ R
0
r2(y0 + rcosθ)(z0 + rsenθ)rdrdθdxdw
=1
2
∫
(x,w)∈DR(0,0)
∫ 2π
0
∫ R
0
r3y0z0drdθdxdw
=y0z0π
4
∫
(x,w)∈DR(0,0)
r4]R
0dxdw
=y0z0π
4
∫
(x,w)∈DR(0,0)
(R2 − x2 − w2)2 dxdw
=y0z0π
4
∫ 2π
0
∫ R
0
(R2 − r2)2 rdrdθ
=y0z0π
2R6
12
Para calcular lk(ϕ, ψ) o ındice de enlacamento assintotico das acoes podemos
escolher sequencias quaisquer dos Tn e Sn, em particular Tn = [0, 2nπ]×[0, 2nπ]
e Sn = [0, 2nπ]. Notemos que ϑϕ(p, Tn) e um pedaco de orbita fechado composta
por n2 copias do toro ϑϕ(p, [0, 2π]× [0, 2π]) e ϑψ(q, Sn) e composta de n copias
do cırculo ϑψ(q, [0, 2π]) logo, se Dp e o disco num plano paralelo ao plano yz
cujo bordo e ϑψ(q, [0, 2π]) entao, analogamente como no exemplo 6.1.9,
lk(Tn,Sn)
(p, q) =1
T 1nT 2
nS1n
lk(ϑϕ(p, Tn), ϑψ(q, Sn))
=
n2n
(2nπ)3=
1
8π3se ϑϕ(p, Tn) ∩Dq 6= ∅
0 se ϑϕ(p, Tn) ∩Dq = ∅.
Pelo que as funcoes lk(Tn,Sn)
sao constantes. Assim usando o resultado do
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Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 87
exemplo 6.1.9 temos
lk(ϕ, ψ) =
∫
p∈Ω4
∫
q∈B4
lk(Tn,Sn)
(p, q)dvol(p)dvol(q)
=
∫
p∈Ω
[
∫
(x,w)∈DR(0,0)
[
∫
(y,z)∈DR(y0,z0)
lk(Tn,Sn)
(p, (x, y, z, w))dydz] dxdw] dvol(p)
=
∫
(x,w)∈DR(0,0)
[
∫ R
0
[
∫
p∈Ω
∫ 2π
0
lk(Tn,Sn)
(p, (x, y0 + r cos(θ), z0 + r sin(θ), w)dθ] rdr] dxdw
=
∫
(x,w)∈DR(0,0)
[
∫ R
0
[y0z0πr2] rdr] dxdw
=y0z0π
4
∫
(x,w)∈DR(0,0)
(R2 − x2 − y2)2dxdw
=y0z0π
4
∫ 2π
0
∫ R
0
(R2 − r2)2rdrdθ
=y0z0π
2R6
12
Por tanto,
lk(ϕ, ψ) =y0z0π
2R6
12= I(ϕ, ψ).
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Referencias Bibliograficas
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