7/26/2019 IRA Curs

1/187

1

STRUCTURA I PROIECTAREA UNUI SRA ...................................................... 5

Structura unui SRA ............................................................................................... 5

Clasificarea SA ..................................................................................................... 8

Proiectarea unui SRA ......................................................................................... 16

Criterii de alegere a elementelor componente dintr-un SRA .............................. 17

Traductoare. Caracteristici. ............................................................................ 18

Elementele de execuie (EE) .......................................................................... 22

Proces supus automatizrii (PF) ......................................................................... 24

Modelul Intrare-stare-ieire (Ecuaii de stare) ................................................ 28

Modelul intrare ieire (Funcia de transfer) ................................................. 28

Transformata Laplace a functiei f(t) ......................................................... 30

Transformarea direct................................................................................ 30

Transformarea inversa ............................................................................... 31

Rolul derivativ si integrator al functiilor de transfer. Tipologii specifice .. 33

Scheme bloc operaionale asociate unei funcii de transfer ....................... 36

CRITERII DE PERFORMANTA IMPUSE UNUI SRA ....................................... 40

Tipologii de sisteme cu reglare automata ........................................................... 40

Rspunsul n timp al sistemelor SISO cu parametrii invariani n timp ............ 45

Rspunsul indicial al unui sistem deschis cu intarziere de ordinul I (rspunsulsistemului intrare treapta) ................................................................................... 46

Rspunsul indicial al unui sistem inchis cu reacie unitara negativa, si cu

7/26/2019 IRA Curs

2/187

2

intarziere de ordinul I ......................................................................................... 48

Rspunsul indicial al unui sistem deschis cu intarziere de ordinul II (rspunsul latreapta unitara) .................................................................................................... 49

Performanele n regim tranzitoriu, ale raspunsului unui SRA ...................... 51

Rspunsul n frecventa al sistemelor LTI ........................................................... 53

Performanele unui sistem de reglare automata, n regim staionar ........Error!Bookmark not defined.

PRINCIPIILE ALEGERII I ACORDRII REGULATOARELOR .................... 68

Tipuri de regulatoare. Caracteristici, performane .............................................. 68

Regulatoare liniare .............................................................................................. 70

Regulatorul proporional (P) .......................................................................... 70

Regulatorul integrator (I)............................................................................... 73

Regulator proporional-integrator (PI) ........................................................... 75

REGULATOR PROPORIONAL-DERIVATIV (PD)................................. 80

Regulator proporional-integral-derivativ (PID) ............................................ 83

Regulatoare neliniare .......................................................................................... 86

Regulatoare bipoziionale ............................................................................... 86

Regulatoare tripoziionale .............................................................................. 87

Criterii de alegere a tipului de regulator ............................................................. 88

ALEGEREA I ACORDAREA REGULATOARELOR PENTRU PROCESERAPIDE .................................................................................................................. 92

Criteriul modulului ............................................................................................. 92

7/26/2019 IRA Curs

3/187

3

Criteriul simetriei ................................................................................................ 98

PROIECTAREA SRA PRIN METODA ALOCRII POLI - ZEROURI ............ 103

1) Sistem cu doi poli ......................................................................................... 104

2) Sistemul cu doi poli i un zero ..................................................................... 110

3) Sistemul cu trei poli ...................................................................................... 114

4) Efectele introducerii unei perechi pol-zero .................................................. 115

ALEGEREA I ACORDAREA REGULATOARELOR PENTRU PROCESELENTE .................................................................................................................. 121

Criterii experimentale de acordare a regulatoarelor ......................................... 124

Sisteme de reglare automatcu structura speciala............................................ 128

SISTEME DE REGLARE N CASCADA ........................................................... 128

Criterii de reglare n cascada ........................................................................ 131

Acordarea regulatoarelor RA1 i RA2 pentru procese rapide ...................... 132

Reglarea n cascada a turatiei motorului de curent continuu ........................ 134

REGLAREA DUPPERTURBAIE SI COMBINATA ............................... 139

Reglarea dupperturbaie ............................................................................. 139

Reglarea combinata ...................................................................................... 140

C10. Sisteme de reglare cu predicie a proceselor timp mort ............................... 143

C11. Sisteme cu reacie dupstare ........................................................................ 152

C12. Aplicaii ........................................................................................................ 163

Problema 1 ........................................................................................................ 163

7/26/2019 IRA Curs

4/187

4

Problema 2 ........................................................................................................ 165

Problema 3 ........................................................................................................ 167

Problema 4 ........................................................................................................ 169

Problema 5 ........................................................................................................ 172

Problema 6 ........................................................................................................ 177

Problema 7 ........................................................................................................ 183

Problema 8 ........................................................................................................ 185

7/26/2019 IRA Curs

5/187

5

CAPITOLUL I.1

STRUCTURA I PROIECTAREA UNUI SRA

Structura unui SRA

Sistem automat este un sistem fizico-tehnic capabil sa efectueze, pe baza uneicomenzi, o operaie sau un complex de operaii fr participarea direct aoperatorului uman. Sistemul automat are in componenta un element de tip automat.Automatul este un dispozitiv, un aparat sau o instalaie, n general un sistem, careopereazsau funcioneazn mod automat.

Reglarea const dintr-un ansamblu de operaii care acionnd asupra procesuluitehnologic, n circuit nchis si in urma analizei comparative a marimii de intrare cucea care se doreste a se regla, fac ca mrimea reglat s evolueze dup o legeprestabilit atat n raport cu mrimi independente cat i cu cele dependente deproces. Comanda i reglarea automat se realizeaz cu ajutorul unei instalaii(dispozitiv) de automatizare. Ea este compus dintr-un ansamblu de elemente deautomatizare i conexiuni.

Instalaia de automatizare, mpreun cu procesul tehnologic supravegheatconstituie un sistem automat, ca n figura 1. Sistemul de reglare automateste acelsistem automat n care controlul i modificarea mrimii de ieire sunt realizate nbuclnchisastfel nct n regim staionar:

0== pr yyy

Pentru realizarea acestui deziderat, un sistem de reglare automatare structura dinFigra 1.

7/26/2019 IRA Curs

6/187

6

Figura 1. Structura generala a unui SRA

unde:

EP - element de prescriere (poate fi considerat exterior SRA)

C - element de comparaie

DA= dispozitiv de automatizare

REG = regulator

EE = element de executie (EE=EA (elemente de actionare)+OR(organ dereglare))

IT = instalatie tehnologica

Marimile din proces sunt:

r referina

eroare

a comanda ptr. elementul de acionare

m msura (comanda elaborata de organul de reglare)

y mrimea de ieire poate fi una din mrimile fizice:

- nivel (exemplul 3), temperatura

REG EE INSTALAIE

TR

r+

-

a

saum

v

Y1

DA

EP

C

7/26/2019 IRA Curs

7/187

7

- presiune (exemplul 1), turaie

- debit, poziie

- concentraie (exemplul 2)

Elementul de comparaie EC, avnd la intrri mrimea de conducere w, saureferinta r i cea de reacie y=xrcalculeazdiferena:

rwa =

numit mrime de acionare (eroare, abatere). Aceasta se aplic regulatoruluiautomat (constituit de regul din circuite de amplificare i de corecie) care larndul lui furnizeazmrimea de comand uce se aplicelementului de execuieE. Acesta din urm furnizeaz mrimea de execuie m care aplicat procesuluidetermin obinerea dependenei (valorii) dorite pentru y. Asupra procesuluiautomatizat acioneaz i diferite mrimi perturbatoare care n absena reaciei ardetermina abateri inadmisibile ale mrimii de ieire.

Elementul de msurare msoar mrimea de ieire a sistemului i o transfercorespunztor, astfel nct saibe acelai ordin de mrime i aceeai naturfiziccu mrimea de conducere w. El este n multe cazuri un traductor.

Elementul de comparaie C primete la intrri mrimea de conducere w i mrimeade reacie r i furnizeazla ieire mrimea de acionare (eroare, abatere). n cazul

n care mrimea de ieire y are aceeai naturfizici acelai ordin de mrime cucea prim care este prezentat mrimea de conducere, elementul de msurarepoate lipsi

Dispozitivul de automatizareeste constituit din:

Traductor: msoarvaloarea curent: nivel, temperatur;Regulator: elaboreaz comanda de anulare a abaterii dintrevaloarea prescris(din n regulator) i valoarea curent (msurat

de traductor);element de execuie: amplific comanda generat de regulator imodific fluxurile de energie i/sau de substan din procesulautomatizat.

Cu alte cuvinte automatizarea este aciunea de concepere, de realizare deautomate i de echipare a sistemelor fizico-tehnice cu automate pentru efectuarea

7/26/2019 IRA Curs

8/187

8

unor operaii, micri, aciuni etc., frparticiparea directa omului.

Scopul general al implementarii automatizarii, in diferite sisteme fizico-tehnice,poate fi definit prin:

o creterea productivitii,o scderea consumurilor specifice,o asigurarea preciziei execuiei,o creterea siguranei n funcionare,o protejarea instalaiilor,o scoaterea operatorului uman din medii nocive i

o eliberarea acestuia de participarea nemijlocitlao producia de bunuri i de servicii.

Realizarea unei instalatii de automatizare este facuta de ingineri cu competente sicunostinte specifice. Astfel inginerul automatist, pe baza cunoaterii sistemelorfizico-tehnice, concepe i realizeaz automatizarea acestora. Aceasta este oprofesie inter- i multidisciplinar, care reclama o anumita instruire :

cunotine

o de matematic, fizic, chimie, biologie,o electrotehnic, electronic, tehnicde calcul,o informatici de automatic,

toate adecvat operante n conceperea, realizarea i utilizarea automatizrilor;

culturtiinifici tehnicdublatde o viziune sistemic;

abilitati si cunostinte in soluionarea problemelor deautomatizare a celor mai diverse sisteme fizico-tehnice(mecanice, electrice, termice, fluidice, chimice, biologice saucombinaii ale acestora) i de orice altnatur.

Clasificarea SA

Clasificarea sistemelor automate se poate face dupmai multe criterii i anume:

Dupfuncia fundamentalasiguratdeosebim:1. Sisteme de control automat2. Sistem de protecie automat

7/26/2019 IRA Curs

9/187

9

3. Sisteme de comandautomate4. Sistem de reglare automat

Controlul automatpresupune supravegherea automat i continu a desfurriiunui proces tehnologic sau a funcionrii unei maini. Dispozitivele de controlautomat efectueaz controlul unor parametrii i calitii produsului, automat, frintervenia operatorului. Sistemele de control automat sunt sisteme pasive, eleneintervenind nici asupra procesului, nici asupra utilajului.

Protecia automat include i posibilitatea interveniei active n cazul n careparametrul controlat depete o valoare critic. n caz de pericol dispozitivul de

automatizare va ntrerupe parial sau total funcionarea utilajului.

Comanda automatreprezinto aciune n landeschis. Caracteristic sistemelorde comand este lipsa legturii de control dinspre proces spre dispozitivul deautomatizare.

Reglarea automat.Caracteristica eseniala sistemelor de reglare automatesteaceea cmrimea de ieire obinuteste comparatpermanent cu cea prescrisiorice abatere determinatde perturbatori externi sau interni este ferm corectat. nsensul celor mai sus artate, schema bloc a unui SRA se prezint n figura 1.ntruct la structura unui SRA, prezentatsimplificat, se va reveni, precizm doarexistena buclei prin care mrimea de ieire realizat(sau un eantion cunoscut alacesteia) este aplicatdispozitivului de automatizare unde se comparpermanentcu valoarea sa prescris, luanduse msuri pentru compensarea erorii.

Duptipul aciunii deosebim:1. Sisteme continue2. Sisteme discontinue

Un sistem este cuaciune continudacunei variaii continue a mrimii de intrarei corespunde o variaie continua mrimii de ieire a DA (mrimii de execuie aSA).

Un sistem este cu aciune discontinu dac unei variaii continue a mrimii deintrare i corespunde o variaie discontinua mrimii de ieire a dispozitivului deautomatizare (mrime de execuie a SA).

Dupexistena sau inexistena reaciei deosebim:1. Sisteme cu circuit deschis (sisteme de comand)2. Sisteme cu circuit nchis (sisteme de reglare automat)

7/26/2019 IRA Curs

10/187

10

Aceast ultim clasificare este cea mai utilizat, ntruct pune n evidendeosebirile structurale eseniale dintre diferitele tipuri de sisteme automate.

n ce privete sistemul n circuit deschis sau sistemul de comand automatprezentat mai nainte, el se caracterizeazprin faptul cn interiorul su, semnalulse propag unidirecional, n dispozitivul de automatizare neexistnd nici oinformaie asupra preciziei cu care se obine mrime de ieire dorit.

Reacia negativ determin evoluia n sensul anulrii abaterii. Reacia este unconcept fundamental n automatic. Ea poate fi:

o negativ(cazul sistemelor automate),o pozitiv(cazul sistemelor generatoare de oscilaii).

n tehnic reacia negativ a nceput s fie utilizato dat cu realizarea primelorsisteme automate. Noiunea de reacie a aprut n electronici universalitatea ei afost descoperitctre sfritul anilor '30.

Avantajele oferite de prezena reaciei negative n sistem

se poate mbunti stabilitatea sistemului;se poate diminua influena unor perturbaii ce acioneazasupra prii fixate

instalaiei;se diminueaz influena variaiei funciei de transfer a instalaiei (modificareaunor parametri ai instalaiei) asupra luiy(t).

Structura unui SRA cu reacie unitara, este reprezentata prin una din structurile demai jos.

R EE ITr

+

-

yTR

Parte fixata

7/26/2019 IRA Curs

11/187

11

Figura 2. Structura generala aSRA cu reatie unitara

unde generic :

( ) ( )1

( )1 1

f

f n

i

KH s

T T s

=+ +

sau considerand prezenta unui pol n origine i a timpului mort:

( ) ( )1

( )1 1

s

f

f n

i

K eH s

s T T s

=

+ +

unde:

Kf - reprezintcoeficientul de transfer al parii fixate

Ti reprezintconstantele dominante (mari) de timp

T- reprezintsuma constantelor de timp parazite care sunt mult

mai mici dect cele dominante.

{ }1

min10 i

T T =

- reprezinttimpul mort al procesului

Valoarea constantelor Ti determina tipul procesului care poate fi lent sau rapid.Pentru sec10iT procesul este lent.

In general, funcia de transfer a parii fixate, care include sistemul de automatizat iparametrii corespunztori traductorului i elementelor care comand sursa de

R Hf(s) = PFr

+

-

y(t)

Model matematic

u(t)(t)

7/26/2019 IRA Curs

12/187

12

energie care intervine n proces (element de execuie) poate avea forma:

1-1 0

11 0

....( )

...

m m

sm m

f n n

n

b s b s bH s e

s a s a

+ + +=

+ +

Exemple de sisteme cu circuit deschis (de comand) sunt:

o sistemul de nclzire al apei. Se prescrie mrimea de intrare ti itemperatura de ieire nu este reglatci doar urmritde operator sau de unechipament

o sistemul de nclzire al aerului ntr-o incint. Analog se prescrie ti, iar

temperatura n incinteste urmrit.

Prezentam cateva exemple de sisteme industriale de reglare automata.

Exemplul 1

Pentru exemplificarea funcionrii unui sistem de reglare automat este utilprezentarea unui sistem de reglare manuala presiunii intr-o incinta (figura 3) iapoi a sistemului pentru reglarea automata parametrului menionat (figura 4).

Figura 3.Instalatie de reglare manuala a presiunii intr-o incinta

Consum

manometru

y = presiune

P = constant

0 1

barr

7/26/2019 IRA Curs

13/187

13

Operatorul urmareste evolutia presunii, indicata de manometrul de presiune. Elincearca mentinerea constanta a parametrului prin actionarea ventinului caremodifica implicit debitul consumului variabil

Figura 4. Instalatie de reglare automata a presiunii intr-o incinta

n cazul celui de-al doilea, dispozitivul de reglare automat SRA urmrete prinintermediul traductorului de presiune evoluia parametrului. Funcie de abatereadintre valoarea curenta presiunii i cea prescrisdin raiuni de desfurare optima procesului, acesta comand elementul de execuie constituit din convertorulelectro-pneumatic i ventilul V astfel nct prin modificarea debitului de alimentarea instalatiei, parametru presiune sa evolueze spre reducerea abaterii menionate.

Exemplul 2

n industria chimicreglarea automata concentraiei este deosebit de importantpentru obinerea unor produse cu caracteristici dorite.

P =constant

0 1

barr

Trad. de

REG

(electronic)

referina

SA

I

Consum

manometru

ventily = presiune

(convertor electro-pneumatic)

EE

7/26/2019 IRA Curs

14/187

14

Figura 5.Instalatie de reglare manuala a concentratiei unui amestec

Operatorul urmareste evolutia concentratiei in functie de indicatiile traductoruluide concentratie Tc. El incearca mentinerea constanta a parametrului prin actionareaventinului care modifica implicit debitul compusului A in B, rezultand solutia deconcentratie prestabilita A in B.

Figura 6. .Instalatie de reglare automata a concentratiei unui amestec

y = X % concentraieA n BTC=

A B

referina

EE

y = X % concentraieA n BTC=

B

7/26/2019 IRA Curs

15/187

15

Dispozitivul de reglare automatSRA urmrete prin intermediul traductorului deconcentratie A in B, evoluia parametrului. Funcie de abaterea dintre valoareacurent a concentratiei i cea prescris, acesta comand elementul de execuieconstituit din convertorul electro-pneumatic i ventilul V astfel nct prinmodificarea debitului de alimentare a colutiei cu compus A, parametru concentratieA in B sa evolueze spre reducerea abaterii menionate.

Exemplul 3

Figura 7. Instalatie de reglare manuala a nivelului intr-un bazin

Operatorul urmareste evolutia nivelului in functie de indicatiile traductorului denivel Tl. El incearca mentinerea constanta a parametrului prin actionarea ventinuluicare modifica implicit debitul alimentarii QA.

y = h

QA

QE

TL

7/26/2019 IRA Curs

16/187

16

Figura 8. Instalatie de reglare automata a nivelului intr-un bazin

Dispozitivul de reglare automatSRA urmrete prin intermediul traductorului denivel, evoluia parametrului. Funcie de abaterea dintre valoarea curenta niveluluii cea prescris, acesta comand elementul de execuie constituit din convertorul

electro-pneumatic i ventilul V astfel nct prin modificarea debitului de alimentareQA, parametru nivelul lichidului in bazin sa evolueze spre reducerea abateriimenionate.

Proiectarea unui SRA

Proiectarea unui SRA presupune rezolvarea unor probleme legate de alegerea idimensionarea elementelor componente precum i interconectarea lor aa nct safie satisfcute performanele impuse sistemului de reglat. Prima etapa a proiectriiconsta n identificarea obiectivelorpropuse a fi realizate n conformitate cu tipulprocesului i condiiile/restriciile de funcionare ale acestuia.

A doua etapa consta n identificarea soluiilor optimale pentru definirea legii dereglare, implicit a regulatorului corespunztor. Odatdeterminata legea de reglarese procedeazla alegerea tipului de regulator care o poate materializa.

R

y = h

I

QA

QE

TLR0= h0

(convertor electro-pneumatic)

EE

7/26/2019 IRA Curs

17/187

17

Criterii de alegere a elementelor componente dintr-unSRA

Marimea numita referina este mrimea de ieire ideal (ieirea dorit) pentruinstalaie (obiectul reglat). Ea reprezintintrarea n sistemul automat si reprezintamarimea de comparatie a marimii reale de iesire din SRA. Toate elementele dinsistemul automat sunt alese astfel nct rspunsul instalaiei sfie ct mai apropiatde referina impus.

Traductorul este un sistem dinamic liniar care transformmrimea de ieirey(t) ainstalaiei ntr-o mrime de aceeai tip (marime fizica compatibila) cu marimea dereferinta, permind compararea celor dou mrimi i sinteza semnalului deabatere. Traductorul asigur de fapt msurarea ieirii sistemului. Msurtorilepreluate din instalaie sunt transmise ctre sistemul de decizie pe calea de reacienegativ. Deciziile regulatorului urmresc anularea abaterii, ceea ce ar nsemnaaducerea instalaiei ct mai aproape de comportarea dorit.

Aspectul automat al sistemului este conferit de structura SRA- sistem cu bucla dereactie negativa. Calea de reactie negativa masoara in permanenta efectele produsein instalatie prin actiunea regulatorului, asimilat aici ca un factor de decizie.

Reactia negativa este necesara deoarece ea permite controlul real la marimii de

iesire, in prezenta perturbatiilor interne si externe sistemului monitorizat. Prezentatraductorului pe reactia negativa, permite cuantificarea atat a perturbatiilor interne(presupuse cu punct de aplicatie inaintea modelului corespunzator procesului real)dar si a perturbatiilor externe (presupuse cu punct de aplicatie dupa modelulcorespunzator procesului real) care se regasesc in marimea de iesire conformprincipului superpozitiei. Informaiile oferite de traductor conin i efecteleperturbaiei. Cum regulatorul acioneaz n sensul diminurii abaterii, el vadiminua, implicit, efectul perturbaiei asupra instalaiei. n plus, n bucl nchis,structura regulatorului este mai simpl iar ieirea instalaiei este mai puinsensibilla variaia valorilor unor parametri constructivi ai instalaiei.

In cadrul sistemelor automate, elementele de execuie i traductoarele constituie

elementele de cuplare a regulatorului la procesul supus automatizrii.

7/26/2019 IRA Curs

18/187

18

Figura 9. Schema bloc a unui SRA

Traductoare. Caracteristici.

Aprecierea performanelor unui traductor i a gradului n care el corespunde uneianumite aplicaii se realizeazpe baza caracteristicilor sale:

1) caracteristici de regim staionar, care furnizeazinformaii asupra comportriitraductorului atunci cnd mrimea de intrare este constant sau variazsuficient de lent pentru ca mrimea de ieire s poat urmri fidel aceastvariaie (snu aparregimuri tranzitorii).

caracteristica static

Acesta caracteristica se obtine pentru variatii lente ale mrimii de intrare sieste prezentat sub form analitic sau grafic. Dac se noteaz cu ymrimea de ieire a traductorului i cu umrimea de intrare atunci funcia:

)(ufy=

Exprima caracteristicstatice elementului de tip traductor. Ea poate aveaforme variate, una din sarcinile circuitelor de prelucrare din structura

adaptorului fiind aceea de-ai asigura o ct mai bunliniaritate.

Regulator

ProcesTR EE

Referina

y

m

Perturbaii

Sursa deenergie

u

7/26/2019 IRA Curs

19/187

19

Figura 10. Caracteristica statica a trductorului

Erorile de neliniaritatei histerezis

Raportat la ntregul domeniu de msurare caracteristica static nu esteperfect liniar.Acest comportament al unui traductor se caracterizeazacantitativ prin abaterea de la liniaritate sau eroarea de neliniaritate.

Figura 11. Caracteristica neliniara a unui traductor

Se alege un domeniu de lucru al traductorului in functie de domeniul devariatie al marimii de intrare : (umin, umax). Pentru calculul abateri de laliniaritate se procedeazastfel:

se traseazo dreaptcare aproximeazcel mai bine (cu abateriminime) caracteristica real.

se traseaz dou drepte paralele cu aceasta, astfel nct n

y

ymax

ymin

umax umax

'y

''y

u

y

ymax

ymin

umax umaxu

7/26/2019 IRA Curs

20/187

20

intervalul dintre ele s se ncadreze la limit caracteristicareal.

prin definiie abaterea de la liniaritate, y este maximul

dintre valorile 'y si adic:

( )'''max yyy =

Eroarea de histerezis caracterizeaz funcionarea diferit a traductoruluipentru variaii n sens diferit ale mrimii de intrare. Ca urmare a acestui

fapt aceleiai valori a mrimii de intrare i vor corespunde dou mrimidiferite ale mrimii de ieire. Prin urmare histereza face ca ntre mrimeade intrare i cea de ieire snu existe o legturbiunivoc. Acesata eroareeste caracterizata de marimea :

00

minmax

100

=

yy

yr

Domeniul de msurare

Acesata marime defineste intervalul de variatie al marimii de intrare pentrucare traductorul are un comportament liniar, in sensul efectuarii masurarii.Acest interval este definit respectand urmatoarele observatii:

a) uminpoate fi egal cu zero sau diferit de zerob) umaxpoate fi i el egal cu zero sau diferit de zeroc) umini umaxpot fi de aceeai polaritate sau de polariti

diferited) yminpoate fi egal cu zero sau diferit de zeroe) n cazul traductoarelor cu semnal unificat, aceluiai

domeniu al mrimii de ieire i corespund diferiteintervale (umin, umax)ale mrimii de intrare.

Sensibilitatea

Exprima variaia semnalului la ieirea traductorului in functie de variaiamarimii de intrare (u) i a factorilor perturbatori (v1, vn):

n

n

vv

ydv

v

ydv

v

ydx

x

ydy

++

+

+

= ...22

11

7/26/2019 IRA Curs

21/187

21

Sensibilitatea unui traductor caracterizeaz componenta util i dorit avariaiei marimii de intrare:

u

y

u

yS

=

=

In cazul unui traductor cu comportament liniar, aceasta caracteristica esteexprimata prin relatia:

minmax

minmax

uu

yyS

=

,

In cazul unei caracteristici neliniare, sensibilitate se definete pentru oanumitvaloare a mrimii msurate:

000

uuuu u

y

du

dyS

==

==

Rezoluia

Acesta caracteristica exprima relatia de dependenta intre variaiile continue(analogice) ale mrimii de intrare si variaiile n salturi (digitale) alemrimii de ieire.Intervalul maxim al mrimii de intrare care determinun salt al mrimii de ieire se numete rezoluie. Ea este utilizatndeosebi

n cazul traductoarelor cu ieiri numerice, care au o caracteristicstaticntrepte i este egaln acest caz cu intervalul de cuantificare:

ur =

Pragul de sensibilitate

Este variaia minim a mrimii de intrare care determin o variaiemsurabila mrimii de ieire. Aceasta este limitat n principal de frecrii jocuri n angrenaje pentru dispozitive mecanice i de zgomotul i dederiva caracteristice elementelor electrice.

Semnificaiile celor trei noiuni: sensibilitate, rezoluie respectiv prag desensibilitate trebuie abordate corelat ntruct sensibilitatea poate ficonsiderat(i este) ca o caracteristicde transfer,pragul de sensibilitateo

7/26/2019 IRA Curs

22/187

22

caracteristicde intrare, iar rezoluiao caracteristicde ieire

Precizia

Valoarea numerica unei mrimi este msuratntotdeauna cu un anumitgrad de certitudine, ntruct ntre valoarea real(pe care nimeni nu o poatecunoate) i cea msurat, va exista ntotdeauna o diferennumiteroarede msurare. Din pcate, ea nu poate fi cunoscut, i atunci se apeleazlaindicatorul calitativ, cel mai important al msurrii - precizia. Ea este cuatt mai buncu ct pentru o probabilitate dat, valoarea real a mrimiimsurate este situatntr-un interval ct mai restrns.

2) Caracteristici de regim dinamic, care furnizeaz informaii desprecomportarea traductorului la variaii rapide ale mrimii de intrare (deci iasupra regimurilor tranzitorii).

Regimul dinamic este acela n care mrimea de msurat variaz n timp.Comportarea traductorului n regim dinamic este utila daca el este integrat instructura unui SRA.

Datoritineriei (mecanice, termice, electromagnetice), amortizrilor i altor cauze,variaiile mrimii de intrare se transmit cu ntrziere la ieire, aprnd abateri fade caracteristica static. Analiza regimului dinamic al traductorului utilizeazaceleai metode ca i analiza n regim dinamic a SRA.

Elementele de execuie (EE)

Elementele de executie sunt generatoare de cuplu sau forte cu viteza precizata, prinexploatarea energiei exterioare comandate de semnalele de comanda trimise deregulator. Prin intermediul sau se acioneaz asupra surselor energetice ale

procesului tehnologic, a cror comanda este corelata cu cerinele de variaie amrimii de la ieirea procesului impuse de legea de reglare a regulatorului.

Un element de execuie este format din partea motoare propriu-zisa (elemente de

acionare) i organul de execuie sau organul de reglare specific procesuluitehnologic. Elementul de acionare EA, transforma mrimea de comanda uintr-omrime motoare de execuie nsa n conformitate cu natura fizica i nivelulenergetic al organului de reglare OR. Organul de reglare OR, acioneaz directasupra procesului tehnologic prin intermediul mrimii de execuie m.

7/26/2019 IRA Curs

23/187

23

EE = element de execuieEA = element de acionare

OR = organul de execuie sau organul de reglare

Clasificarea EE

dupnatura energiei utilizate in:o EE pneumaticeo EE hidrauliceo EE electrice

dupmodul de acionare :o EE cu aciune continuao EE bipoziionaleo EE de tip pas cu pas.

Tipuri de elemente de acionare EA:

EA pneumatice:

- EA cu membrana cu simplu i dublu efect,

- EA cu piston cu simplu sau dublu efect pentrumicri de translaie

- EA cu palete pentru micri unghiulare

Ele pot fi comandate de regulatoare pneumatice i de regulatoare electronice. Dacaregulatorul este electronic, cuplarea intre regulator i elementul de execuie se

EE EA OR= +

7/26/2019 IRA Curs

24/187

24

realizeazprin intermediul unui convertor electro-pneumatic.

EA de acionare hidraulica:

- EA cu piston cu simplu sau dublu efect ptr.deplasri liniare

- EA cu pistoane radiale ptr. deplasri unghiulareEA de acionare electrica:

- Motoare electrice de cc- Motoare asincrone monofazate, bifazate i trifazate

- Motoare pas cu pas ptr. acionarea discreta aorganelor de reglare

Tipuri de organe de reglare OR:

Dupnatura energiei reglate organele de reglare pot fi:

OR mecaniceOR electrice

Duptipul procesului OR pot fi:

OR pentru reglarea debitelorOR ptr. reglarea unor mrimi electrice sau neelectrice

Cele mai frecvente OR sunt robinetele de reglare a unor debite de fluid. Ele au camrime de intrare mrimea mecanica (deplasare) generata de elementul deacionare iar ca mrime de ieire un debit care se introduce sau evacueaz dininstalaie.

Ex: OR : organ de reglare = robinet

Acionarea acestuia = pneumatica, hidraulica sau electricaEA pneumatic

Proces supus automatizrii (PF)

Procesul supus automatizarii este definit, n schema de reglare, prin modelulmatematic corespunztor.

7/26/2019 IRA Curs

25/187

25

Figura 12. Conditionarea contextuala a procesului supus automatizarii

Determinarea modelului matematic al procesului monitorizat/controlat este una din

cele mai dificile etape n proiectarea unui SRA. Definireamodelului matematic

corespunztor procesului de automatizat presupune:

identificarea mrimilor de intrare i de ieire (u(t) respectiv y(t)) determinarea perturbaiilor care acioneazn sistem (v(t)) stabilirea observabilitii sistemului determinarea variabilelor de stare de care depind direct mrimile de

ieire daca acestea sunt msurabile precizarea restriciilor funcionale ale procesului procesele complexe se vor descompune n subsisteme i se vor

identifica modelele matematice corespunztoare acestora

Un sistemreprezinto unitate relativ delimitatfade mediu. Un sistem dinamiceste un sistem care evolueaz n timp. Fenomenele care au loc n sisteme suntdeterminate de aciunea mrimilor cauz(mrimilor de intrare) i pot fi observateprin mrimi efect(mrimi de ieire).

Modelul matematic al unui sistem dinamic reprezint setul de ecuaii diferenialesau integro-difereniale care descrie comportarea sistemului sub aciunea mrimilorde intrare (cauze). n formalismul intrare-ieire este evideniat dependenamrimilor de ieire (efecte) de mrimile de intrare (cauze) considerate.

Modelul unui sistem dinamic se poate determina pe baza relaiilor fizico-chimicece caracterizeaz procesul respectiv. Determinarea modelului matematiccorespunzator sistemului controlat, determina cateva caracteristici ale acestuia detip: liniaritate, invarianta, sistem cu parametrii concentrati.

Astfel, modelul matematic intrare-ieire al unui sistem dinamic liniar este o funcie:

( ) ( ( ), )y t f u t t=

PFy(t)

Model matematic

u(t)

v(t)

7/26/2019 IRA Curs

26/187

26

Daca se noteaza generic cuumarimea de intrare intr-un sistem , si cuymarimea deiesire, atunci un sistem dinamic liniar continuu i invariant n timp poate fi descrisprintr-un model matematic de tip ecuaie diferenial liniar de ordinul n, cucoeficieni constani i reali:

)()()()()()( 0)1(

1)(

0)1(

1)(

tubtubtubtyatyatya mm

m

m

n

n

n

n +++=+++

KK ,

unde:

u(t) reprezintmrimea de comandaplicat,

y(t) desemneazmrimea de ieire,

iar treprezintvariabila independenttimp.

Definitie: un sistem este liniar daca functioneaza conform legiisuprapunerii efectelor:

Altfel spus, daca : 2211 ucucu += , atunci 2211 ycycy += .

Definitie: un sistem se numete sistem neted cu parametri concentrai

dacmodelul sau matematic este o ecuaie sau un set de ecuaii diferenialeordinare.

Definitie: un sistem se numete invariant n timpdac toi parametrii sisunt invariani n timp (sub aciunea lui u(t), evoluia lui y(t) esteinvariantpentru orice translaie a lui t0, pentru aceleaiy0i u(t) translate

n timp).

7/26/2019 IRA Curs

27/187

7/26/2019 IRA Curs

28/187

28

anterioare, adic de traiectoria anterioar a comenzii. Se pune c sistemeledinamice funcioneazca sisteme cu memorie (de exemplu ( )1ty , nu depinde doarde ( )1tu ci i de valorile uanterior aplicate)

Modelele matematice sunt de tipul:

intrare stare ieireecuaii de stareintrare ieirefuncie de transfer

Modelul Intrare-stare-ieire (Ecuaii de stare)

dxAx Bu

dt

y Cx Du

= + = +

unde :

u este vectorul intrrilor, cu nucomponente

x este vectorul variabilelor de stare cu nxcomponente

y este vectorul ieirilor, cu nycomponente

A,B,C, i D sunt matrice de dimensiuni : dim( ) ( )x xA n n= ,

dim( ) ( )x uB n n= , dim( ) ( )y xC n n= , dim( ) ( )y uD n n= .

Modelul intrare ieire (Funcia de transfer)

Un sistem dinamic liniar, continuu i invariant n timp, acionat prin mrimea deintrare u(t) i avnd mrimea de ieire y(t), poate fi descris printr-un modelmatematic de tip ecuaie diferenial liniarde ordinul n, cu coeficieni constani

i reali:

)()()()()()( 0)1(

1)(

0)1(

1)(

tubtubtubtyatyatya mmm

m

n

n

n

n +++=+++

KK

O descriere echivalenta sistemului, pentruconditii initiale nule

7/26/2019 IRA Curs

29/187

29

1,0,0)0()( == mku k

i 1,0,0)0()( == nly l ,

este prinfuncia de transfer:

In cazul unui sistem liniar, continuu i invariant n timp, acionat prin mrimea deintrare u(t) i avnd mrimea de ieirey(t), raportul intre marimea de iesire Y(s) simarimea de intrare U(s), se numeste functie de transfer.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Y sY s H s U s H sU s

= = unde

( )0

01

1

00

11

...

...

sasasa

sbsbsbsH

n

n

n

n

m

m

m

m

+++

++=

este o raionalde Cs .

Y(s) si U(s) sunt transformatele Laplace ale funtiilor y(t) si u(t).

H(s) nu depinde de U(s) i Y(s) ci de structura i parametrii sistemului.H(s) poatefi scris:

( )( )

( )

( )( )

,

1

1

sQ

sP

psa

zsb

sHn

j

jn

m

i

im

=

=

=

=

unde Cpj si Cz i sunt polii respectiv zerourile finite ale functiei.

Polinoamele monice (coeficientul termenului de grad maxim este 1):

( ) ( ) =m

izssz1

si ( ) ( ) =n

jpssp1

se numescpolinomul zerourilor ipolinomul polilor.

7/26/2019 IRA Curs

30/187

30

Pentru sisteme dinamice liniare reale , )(grad)(grad sQsP > . Dac aceastcondiie nu este ndeplinit, atunci nu se poate delimita n realitate un sistemdescris prin modelul matematic indicat.

Rdcinile polinomului P(s) se numesc polii sistemului. Rdcinile lui Q(s) senumesczerourile sistemului.

Transformata Laplace a functiei f(t)

Transformarea direct

Definiie f(t) este o funcie original, de variabila real t, care satisfacecondiiile:

1. f(t) = 0, t < 0;2. f(t) este continupe poriuni; pe orice interval finit are cel mult un

numr finit de discontinuiti; n punctele t de discontinuitate existlimitele finitef(t0),f(t + 0);

existM > 0 i a R astfel ca |f(t)| Meat, t 0.

Funcia imagine de variabila complexF(s) este transformata Laplace:

( )00

( ) ( ) lim ( ) ( )T

st st

TL f t F s f t e dt f t e dt

= = =

Unde:

o Transformata F(s) conform definitiei se mai numete iLaplace directunilateral.

o t este timpul; |s| este o pulsaie (s se mai numete "frecvena"complex: s j = + , unde i sunt variabile reale

iar 1j= ).L este o transformare din domeniul timpului ndomeniul "frecvenelor"complexe.

o Ipoteza din definiia transformatei Laplace poate fi omis.Pentruf(t), t R, rezultcF(s) corespunde numai restricieiluif la intervalul [0,+),inclusiv condiiile iniialef(i)( 0), i =

7/26/2019 IRA Curs

31/187

31

0,1,2,.. Este cazul transformatei derivatei generalizate aoriginalului; toate aceste condiii iniiale sunt nule dacipotezadin definitia transformatei este ndeplinit.

Teoreme

o Liniaritatea este asiguratprin definiie.o Imaginea derivatei originalului:

( ){ } ( ) ( ) ( )( ) nkfsfsFstfDL kkkk ,1,0...0 11 ==

o Imaginea derivatei originalului:

( ) ( )sFs

dttfLk

t t

k 1....0 0

=

o Imaginea pordusului de convolutie (producul imaginilor):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sFsFdtffLdtftfLtt

21

0

21

0

21 =

=

Transformarea inversa

Definiie n condiiile definiiei transformatei directe, inversa este funciafde variabilrealt:

( ) ( )[ ] ( ) ( ){ }sFLdsesFj

tftf stjc

jc

1

2

100

2

1 +

==++

Teoreme

o Originalul unei funcii raionale (teorema dezvoltrii). Pentru

( ) ( )

( )sP

sQsF = , unde gradQ=m < gradP = n, cu polii distincti

de multiplicitate qi, unde ri ,1= , nqr

i

i =1

, originalul este:

7/26/2019 IRA Curs

32/187

32

( ) 0,1 1

== =

tettf

r

i

tpq

j

jq ii

i

unde( )

( ) ( )[ ]i

ps

q

ij

j

ij qjnisFpsds

d

jK

i

i ,1,,1,!1

11

1

==

==

o Valoarea iniiala originalului i a derivatelor sale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..2,1,0,0...0lim0 011 =++=+

ksfsfsFssfkkk

s

k

o Valoarea finala a originalului i a derivatelor sale:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ..2,1,0,0...0lim 0110

=++=+

ksfsfsFssfkkk

s

k

Cele doua relatii, pun n coresponden vecintile lui t = 0 (t > 0),respectiv t = + n domeniul timpului, cu vecintile lui |s| = +,respectiv s = 0 n domeniul frecvenei complexe. Cele douacorespundente se obtin aplicarea Teoremei valorii initiale, respectiv

Teoremei valorii finale, ilustrate si in Figura urmatoare:

Plecand de la aceste teoreme , se poate enunta Principiul cauzalitatii si al non-anticiparii.

0=t =t

=R

Teorema valorii initiale

Teorema valorii finale

7/26/2019 IRA Curs

33/187

33

Fie : u(t) 0, y(t) 0, t < 0

Principiul cauzalitatii: cauza nulproduce efectul nul (1)

Principiului non-anticiprii: efectul nu anticipeazcauza (2)

Un sistem care satisface (2) se numete non-anticipativ. Dac u(t) 0 (t < 0)implicy(t) 0, atunci sistemul se numete anticipativ.

Corelat cu reprezentarea prin matricele de stare, se poate scrie:

( ) ( ) 1H s C s I A B D= + .

O forma uzuala a funciei de transfer a unui sistem este aceea n care se pun nevidenta coeficientul de transfer n regim staionar 0K precum i numrul polilor

n origine :

0 1

2

( )( )

( )

K P sH s

P ss=

unde polinoamele 1P i 2P au ultimul termen unu ( 1 2(0) (0) 1P P= = ).

Cea de-a patra forma pune n evidenta polii funciei de transfer respectiv zerourilepolinoamelor 1P i 2P (admitem ca acetia sunt simpli):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2

01 2

....( )

..

m m

n n

s z s z s z bKH s unde K K

s p s p s p as

+ + += =

+ + +

Rolul derivativ si integrator al functiilor de transfer.

Tipologii specifice

Daca H(s)=s, atunci

Y(s)=sU(s);

y(t) = du/dt underivator(iesirea este derivata intrarii).

7/26/2019 IRA Curs

34/187

34

Pentru ( ) ( )ttu sin= ( ) ( )tty cos= , t > 0.

Analizand cele doua functii, rezulta ca marimea de iesire y(t) este n avans de faz(/2) fade u(t). Ieirea derivatorului anticipeaz intrarea. Pentru 1= , rezultaurmatoarea reprezentare grafica:

Figura 13. Reprezentarea efectului anticipativ al functiei H(s)=s

Daca H(s)=1/s, atunci

Y(s)=U(s)/s;

( ) ( )dutyt

=0

y(t) un integrator(iesirea este integrala intrarii).

Pentru ( ) ( )ttu sin= ( ) ( )( )

0,cos

>

= tt

ty

Spunem ca ieirea integratorului intarzie intrarea. In figura de mai jos,

exemplificam efectul de intarziere al functiei de transfer H(s)=1/s, daca intrareaeste particularizata cu : ( ) ( )ttu sin= . Iesirea are intraziere 2/ fata de u(t).

[ sec]/rad

t

u(t)

y(t)

2

u(t),

y(t) sec/1rad=

+1

-1

7/26/2019 IRA Curs

35/187

35

Figura 14. Reprezentarea efectului de intarziere al functiei H(s)=1/s

In cazul modelarii sistemelor reale, efectul nu anticipeazniciodata cauza.

Efectul este sesizat intotdeauna cu ntrziere fa de cauz. Acesta se explicamatematic prin prezenta in expresia functiei de transfer a operatorului de integrare(1/p(s)) si a celui de de derivare (z(s)). Observatia este posibila numai dacaoperatorul de integrare este dominant fata de cel de derivare, ceea ce are loc numaidac:

nm <

(gradul numitorului este intotdeauna mai mare decat cel al numaratorului in cazulmodelelor corespondente sistemelor reale).

Modelele matematice ale elementelor specificeunui SRA sunt:

Tipul elementului Ecuaia difereniala Funcia de transfer

Element proporional 0( ) ( )y t K u t= 0( )H s K=

Element de ntrziere deordinul nti

0 ( )dyT y K u t dt

+ = 0( ) 1KH s

Ts= +

Element oscilant de

ordinul lI

22 2

022 ( )

n n n

d y dyy K u t

dtdt + + =

20

2 2( )

2n

n n

KH s

s s

=

+ +

Element de ntrziere de

ordinul II( )

2

1 2 1 2 02( )

d y dyT T T T y K u t

dtdt + + + =

( ) ( )0

1 2

( )1 1

KH s

T s T s=

+ +

[ sec]/rad

t

u(t)

y(t)

2

u(t),

y(t) sec/1rad=

+1

-1

7/26/2019 IRA Curs

36/187

36

Element cu timp mort ( ) ( )y t u t = ( )sH s K e =

Element cu timp mort i

ntrziere de ordinul I( )0

dyT y K u t

dt+ = ( ) 0

1

sK eH s

Ts

=

+

Element cu timp mort i

ntrziere de ordinul II ( ) ( )2

1 2 1 2 02

d y dyT T T T y K u t

dtdt + + + = ( ) ( )

0

1 2

( )1 1

sK e

H sT s T s

=

+ +

Element de anticipaie

de ordinul I( ) ( )

duy t T u t

dt= + ( ) 1H s Ts= +

Element de anticipaiede ordinul II

2

22( ) 2 n nd u duy t u

dtdt = + + 2 2( ) 2 n nH s s s = + +

Regulator proporional-

intergral-derivativ

1( ) R d

i

du t K dt T

T dt

= + +

1( ) 1R d

i

H s K T sT s

= + +

Element integrator cu

ntrziere de ordinul I

2

02

d y dyT K u

dtdt+ =

( )0( )

1

KH s

s Ts=

+

Circuit de corecie de

anticipaie1 0 2

dy duT y K T u

dt dt

+ = +

20 2 1

1

1( ) ;

1

T sH s K T T

T s

+= >

+

Circuit de corecie de

ntrziere1 2

dy duT y T udt dt + = +

20 2 1

1

1( ) ;1

T sH s K T TT s

+=

7/26/2019 IRA Curs

37/187

37

Propunem schema bazat pe derivatoare i integratoare pentru reprezentareafunctiei H(s) cu blocuri operationale:

( ) ( ) ( )sUsbsbsbsX mm

m

m ++=

00

11 ...

( ) ( )( )( )( ) ( )sUsbbsbsbsbsX mm ++++= 1210 ....

Pentru a modela functia :

( ) ( )sXsasasasY nnn

n

00

11 ...

1

+++=

apelam in mod repetat la operatorul de amplificare integrare (ntrziere). Astfel,functia G1(s):

( )

1

1 11

1

+=

n

n

n

asa

sasG are urmatoarea schema bloc operationala:

s s s s

b0 b1 b2 bm

U(s)

X(s)

7/26/2019 IRA Curs

38/187

38

( )21

1

2 1

1

+=

naG

GssG are urmatoarea schema bloc operationala:

( )32

2

3 1

1

+=

naG

GssG are urmatoarea schema bloc operationala:

( )0

01

101

1

...

1

1

1

sasasaaG

GssG

n

n

n

nn

n

n +++=

+=

-

+

2G

3na

Y(s)

s

1

-

+

1G

2na

Y(s)

s

1

-

+

san

1

1na

Y(s)

7/26/2019 IRA Curs

39/187

39

Combinand cele doua reprezentari rezulta schema bloc operationala asociatafunctiei de transfer :

( ) ( )

( )sU

sY

sasasa

sbsbsbsH

n

n

n

n

m

m

m

m =+++

++=

00

11

00

11

...

...

s s s s

b0 b1 b2 bm

U(s)

X(s)

X(s)-

+san

1

0a

Y(s)

s

1 +

s

1

1na

1a

- -

+

2a

+

-

Polinomul zerourilor

Polinomul polilor

X(s)-

+

sa n

1

0a

Y(s)s

1

+

s

1

1na

1a

--

+

2a

+

-

7/26/2019 IRA Curs

40/187

40

CAPITOLUL I.2

CRITERII DE PERFORMANTA IMPUSE UNUISRA

Cunosterea cat mai exacta a procesului supus automatizarii, a modelului saumatematic, reprezinta una din problemele cele mai dificile ale proiectarii riguroasea unui sistem de reglare automata.

Tipologii de sisteme cu reglare automataConform aprecierilor facute in capitolele anterioare, un sistem liniar respecta incomportament, principiul suprapunerii efectelor. Vom determina marimea deiesire, pentru un SRA cu reactia unitara negativa, consiferand actiunea succesiva amarimilor de proces:

o intrare treapta unitara (figura 15)o perturbatii cu punct de aplicatie inainte si dupa proces (figura

16, figura 17)

Figura 15. Schema bloc a SRA cu reactie unitara daca se considera numai actiuneareferintei

( ) ( )d R FH H s H s=

0

( )

1 ( )d

d

H sH

H s=

+

0

( ) ( )( )

1 ( ) ( )R F

R F

H s H sH s

H s H s

=

+ funcia de transfer a sistemului cu reacie

HR(s) HF(s)r

+

-

u

y

+

v1 v2+

7/26/2019 IRA Curs

41/187

41

unitara in raport cu referina r .

Daca se considera actiunea succesiva a celor doua tipuri de marimi perturbatoare,se pot determina componentele induse de acestea in marimea de iesire.

Figura 16. Schema bloc a a SRA cu reactie unitara daca se considera numai actiuneaperturbatiei v1

0 1

( )( )

1 ( ) ( )F

v

R F

H sH s

H s H s=

+ funcia de transfer n raport cu

perturbaia v1

In mod similar, se va determina componenta in iesire indusa de actiuneapreturbatiei v2.

Figura 17. Schema bloc a a SRA cu reactie unitara daca se considera numai actiuneaperturbatiei v2

0 2 1( ) 1 ( ) ( )v R FH s

H s H s= + funcia de transfer n raport cu

perturbaia v2

Cumuland aceste rezultate, se determina raspunsul sistemului inchis descris demodelul matematic H0, dupa cum urmeaza:

HR(s) HF(s)

v2+

-

y

HR(s)

HF(s)v1

+

-

y

7/26/2019 IRA Curs

42/187

42

0 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) 2( )v vY s H s r s H s v s H s v s= + +

Analizand expresia Y(s), se pot face aprecieri asupra tipului de SRA, in functie de

politica care se urmareste prin implementarea unei legi de reglare.

In functie de marimea de intrare - referinta care poate fi :

- constanta (SRA de stabilizare)

- variabila (SRA de urmarire)

rezulta ca SRA pot fi de stabilizare sau de urmarire.

In functie de modul de variatie al marimii de intare, un sistem SRA poate fi :

SRA de stabilizare presupune proiectarea unui SRA care eliminaperturbaiile n condiiile meninerii constante a semnalului de referina.

SRA de urmrire a referinei presupune modificarea frecventa areferinei cu neglijarea perturbaiilor.

In general se urmrete proiectarea unui SRA care sa aibperformane bune n

raport cu referina i care sa fie capabil sa elimine efectelor perturbaiilor

(rejecia perturbaiilor).

In functie de tipul de aciune a regulatorului:

SRA

continue discrete

SRA

de stabilizare de urmrire a referinei

7/26/2019 IRA Curs

43/187

43

Performanele generaleunui sistem sunt definite pentru regimul tranzitoriu i celstaionar:

Performanele regimului tranzitoriu

Performanele regimului staionar

Criteriile generale de performanta ale unui sistem sunt determinate prin analizaraspunsului in timp si a raspunsului in frecventa al sistemului SRA.

Analiza raspunsului in timp, pune in evidenta urmatoarele marimi:

in regim tranzitoriu:suprareglaredurata regimului tranzitoriu tt (durata regimuluitranzitoriu)factor de amortizare timp de cretere tctimp de ntrziere ti

in regim stationar, analiza raspunsului pune in evidenta :eroarea stationara

valoarea stationara a marimii de iesire

Analiza raspunsului in frecventa permite aprecieri legate de :

stabilitatea sistemului

precizia n regim staionar sau eroarea staionara st

banda de frecventa marginea de faza Mmarginea de amplitudine (ctig) Mcpulsaia de rezonanta R

valoarea de vrf a modulului Mv

Criteriile de performantase pot defini singularsau ca pachet de cerine deci ca icriterii integrale. Criteriile integrale acopermai bine performanele impuse unuisistem la variaii mari ale intrrii dar i la variaii ale perturbaiilor.

Criterii de performanta integraleuzuale utilizate n proiectarea unui SRA pot avea

7/26/2019 IRA Curs

44/187

44

diferite expresii n funcie de performanele ce se impun unui SRA. Criteriile deperformanta integrale se exprima prin indicii de performanta (IP) al sistemului.

Ex: rspunsul aperiodicla intrare treapta unitara este mult mbuntit cu cat ariahaurata este mai mica:

( )0

0

min.re fIP y y dt dt

= = =

Ex: rspunsul oscilanteste mbuntit daca:

0

min.IP dt

= = sau0

min.2 IP dt

= =

Obs: criteriile integrale se aplica cu succes numai n cazul sistemelor cu eroarestaionar nul i nu ofer informaii despre regimul staionar (altfel valoareaintegralelor ar fi infinita).

y

yref

t

-- -

+ + +

y

t

yref+

y

7/26/2019 IRA Curs

45/187

45

Rspunsul n timp al sistemelor SISO cu parametriiinvariani n timp

In cazul unui sistem liniar, continuu i invariant n timp, acionat prin mrimea deintrare u(t) i avnd mrimea de ieirey(t), raportul intre marimea de iesire Y(s) simarimea de intrare U(s), se numeste functie de transfer.

( ) ( ) ( )( )

( )( )

Y sY s H s U s H s

U s= =

(1)

unde :

( )0

01

1

00

11

...

...

sasasa

sbsbsbsH

n

n

n

n

m

m

m

m

+++

++=

este o raionalde Cs (2)

Y(s) si U(s) sunt transformatele Laplace ale funtiilor y(t) si u(t).

Rspunsul n domeniul timpuluial sistemului descris de (1), (2) reprezintieireay(t), t 0, calculatpentru u(t) cunoscut n domeniul t 0.

n studiul sistemelor intervin rspunsuri tipice, definite pentru forme particulareale semnalului de intrare:

Rspunsul indicial - rspunsul sistemului (1), (2) n domeniul timpului,pentru condiii iniiale nule i semnal de intrare de tip treaptunitar.

Rspunsul la impuls - rspunsul sistemului (1), (2) n domeniul timpului,pentru condiii iniiale nule i semnal de intrare de tip impuls Dirac.

Rspunsul la semnal sinusoidal- rspunsul sistemului(1), (2) n domeniultimpului pentru condiii iniiale nule i un semnal de intrare sinusoidal detipul ;)sin()( += tAtu )2,0[;0, >A .

Evident rspunsul n domeniul timpului poate fi determinat analitic, deci ca ofuncie explicitde timp pentru t 0.

Se va presupune n continuare csistemul descris prin funcia de transferH(s) aretoi polii cu parte real strict negativ si c factorul de amplificare este pozitiv (

H(0) > 0 ).

Faptul c sistemul admite doar poli cu parte real strict negativ, nseamn c

7/26/2019 IRA Curs

46/187

46

rspunsul indicial va tinde ctre o marime constant (regim permanent saustaionar).

Pe rspunsul indicial se pot delimita douregimuri de funcionare:

- regim tranzitoriu- care se instaleazimediat dupaplicarea comenzii ipe durata cruia h(t) admite variaii mari;

- regimul permanentsau staionar - n care h(t) este aproximativ constant.

( )tyP este exprimat in marimea de iesire ca si componenta permanenta alaturi decea tranzitorie:

( ) ( ) ( )tytyty PT +=

( )tyP este raiunea de a fi a sistem;

( )tyT este indezirabil, inerenti inevitabil.

Pentru a aprecia convenabil calitatea rspunsului indicial este necesara definireaunor performante menite sa reflecte de o maniera simpla i sugestiva

caracteristicile sistemului.

Vor fi considerate performante ale rspunsului indicial pentru caracterizarearegimului staionar i performane pentru caracterizarea regimului tranzitoriu.Pentru nelegerea utilitii acestor perfomante, trebuie considerat faptul c nfuncionarea sistemului comportarea dorit este, n general, cea din regimulpermanent. Regimul tranzitoriu este inevitabil i, n general, nedorit. n acestcontext, performanele de regim tranzitoriu vor semnala principalele diferentedintre valorile rspunsului indicial caracteristice regimului tranzitoriu i valoareaaproximativ constanta rspunsului, atinsn regim permanent.

Rspunsul indicial al unui sistem deschis cu H(s)element de intarziere de ordinul I (rspunsul sistemuluiintrare treapta)

Este raspunsul sistemului cu intarziere de ordinul I, daca se aplica la intrare un

semnal treapa unitara.

7/26/2019 IRA Curs

47/187

47

unde : T constanta de timp sau ntrziere

K factor de amplificare

S variabila complexa s j = +

( ) ( ) ( )Y s H s U s=

( )( )

1

KY s

s Ts=

+;

( )1 1 1( )

1 1

K Ty t L L K

s Ts s Ts

= = + + ;

1 1 atL es a

= + ; ( ) 1

t

Ty t K e =

Rspunsul unui sistem de ordinul Ila intrare treapta unitara (rspuns indicial)

T

1

K

y(t)

( )sty t y= =

u(t)=r(t)=1 st

t

( )1

KH s

Ts=

+

1

K

Ts+U(s) Y(s)1

s

7/26/2019 IRA Curs

48/187

48

Rspunsul indicial al unui sistem inchis cu reacieunitara negativa, si cu H(s) element de intarziere deordinul I

Figura 18. Raspunsul indicial al unui sistem de ordinul I cu reacie unitara

Performanele sistemului sunt indicate de valoarea duratei regimului

tranzitoriu. Acesta valoare este mai mica daca sistemul este cu reacie

unitara negativa (sistemul i mbuntete rspunsul prin nchiderea

buclei de reacie).

1

K

Ts+

Y(s)1

U(s)

T2

1

K

y(t)

( )sty t y K= =

u(t)=r(t)=1st

t

( )1

KH s

Ts=

+

T1

Rasp. sist. cu reacie

Rasp. sist. frreacie

7/26/2019 IRA Curs

49/187

49

Rspunsul indicial al unui sistem deschis cu H(s)element de intarziere de ordinul II (rspunsul la treaptaunitara)

2

2 2( )

2n

n n

H ss s

=

+ +

Figura 19. Rspunsul indicial al unui sistem oscilant de ordinul II pentru diferite valori alelui

h(t)

t

0=

1<

1>

1

2

2 2( )

2n

n n

H ss s

=

+ +

U(s) Y(s)1

s 2

2 2( )

2n

n n

H ss s

=

+ +

7/26/2019 IRA Curs

50/187

50

( )21,2 1n np j =

Obs: pentru >1 , rdcinile ecuaiei caracteristice sunt reale i diferite,

componenta tranzitorie fiind alctuita din doua exponeniale. Rspunsul n acest

caz este supra-amortizat.

Reprezentarea polilor sistemului de ordinului II, sunt o buna exemplificare pentruverificarea criteriului general de stabilitate a sistemelor (prezenta polilor n

semiplanul stng al planului complex indica un sistem stabil).

0

7/26/2019 IRA Curs

51/187

51

Performanele n regim tranzitoriu, ale raspunsuluiunui sistem

Daca notam cu ( )tyst valoarea de regim staionar sau permanent a marimii de

iesire, atunci ( )tyst reprezintconstanta spre care tinde y(t)

)0()(1

)()(lim limlim00.

GsGs

ssHstyyss

finalevalteor

tst ===

=

Dac funcia de transfer G(s) admite cel puin un pol ip cu parte realpozitiv,

( ) 0Re ip , atunciystnu exist, i teorema valorii finale nu se poate aplica.

Durata procesului tranzitoriu tt sau timpul de rspuns: tr sau ttreprezint

durata regimului tranzitoriu i marcheazmomentul de timp de la care seconsider c sistemul a intrat n regim permanent, adic y(t) devine

yr

11,05

0,95

0,5

0,05tc

ti tt

st

REGIMTRANZITORIU

REGIMSTATIONAR

7/26/2019 IRA Curs

52/187

52

aproximativ constant.

rst

rstst

ttytt

tthyty

>

>

7/26/2019 IRA Curs

53/187

53

Daca se impuneimp

imp

Timpul de cretere ct reprezint intervalul de timp n care mrimea de ieire

evolueazn domeniul [ ]0,05 ,0,95st st y y . El sugereazviteza de reacie asistemului sub aciunea comenzii (ct de repede rspunsul sistemului atingevalori comparabile cu cele din regim permanent) si este un indicator alrapiditatii raspunsului.

Timpul de ntrziere este definit ca fiind timpul necesar ca mrimea de ieire sa

creascde la zero la 0,5st

y

.

Stabilitatea intrare-iesire

Definiie : Un sistem dinamic liniar se numete BIBO (Bounded Input, BoundedOutput) stabil dac i numai dac rspunsul acestui sistem, la orice semnal deintrare mrginit, este mrginit.

tMtyMtktuk ,)(,0,)(,0

Definiie : Un sistem dinamic liniar se numete instabil BIBO dac exist unsemnal de intrare marginitpentru care rspunsul sistemului este nemrginit.

Teoreme de caracterizare a BIBO stabilitii

T1.Un sistem dinamic liniar este BIBO stabil daci numai dactoi polii functiei

H(s) sunt situati in ( ){ }0Re

7/26/2019 IRA Curs

54/187

54

T2. Un sistem dinamic liniar este BIBO stabil daci numai ( )tyt lim existi este

finit.

Altfel spus, un sistem dinamic liniar este BIBO stabil daci numai dacrspunsul

indicial al sistemului tinde ctre o valoare constant (numit valoare de regim

permanent/staionar

)0()(lim Hyty

finalevaloriiteorema

stt

==

T3.Un sistem dinamic liniar este BIBO stabil daci numai dac:

( ) 0,d,00

> tMhMt

T4. Dac un sistem dinamic liniar este BIBO stabil atunci toi coeficienii din

polinomul polilor sunt strict pozitivi. Dac cel puin un coeficient din polinomul

polilor este zero sau strict negativ sistemul este instabil BIBO.

( ) ( )

( )sP

sQ

sasasa

sbsbsbsH n

n

n

n

m

m

m

m =+++

++=

00

11

0

0

1

1...

...

unde 01

1 ....)( asasasPn

n

n

n +++=

, este polinomul polilor.

Dac 0,,0 iani , atunci sistemul este instabil BIBO. Dac toi coeficieniilui P(s) sunt strict pozitivi nu se poate preciza nimic, pe baza acestei teoreme,despre BIBO stabilitatea sistemului.

Analiza BIBO stabilitii prin criterii de analiza polinomiala

Dacpolinomul polilor 01

1 ....)( asasasPn

n

n

n +++=

este de grad mare i/sau

coeficienii lui sunt dependeni de parametri reali este dificilaplicarea teroremelor

de mai sus pentru a studia BIBO stabilitatea sistemelor dinamice liniare. In aceste

situaii ee recomandaplicarea unuia din urmtoarele criterii polinomiale:

7/26/2019 IRA Curs

55/187

55

Criteriul Hurwitz

Fie

01

1 ....)(;)(

)()( asasasP

sP

sQsH

n

n

n

n +++==

,0>na .

Se construiete matricea Hurwitz:

0pentru0;

.................

...00

....00

.....0

.....0

.....

.....

1

2

31

42

531

na .

Se defineste schema Routh asociata polinomului P(s):

7/26/2019 IRA Curs

56/187

56

1

11

1,11111

12221

232221

131211

030201

0

2

1

2

1

................

..........

..........

..........

................

..........

..........

..........

:

:

n

ijiji

jjii

jijii

in

in

in

n

n

n

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

s

s

s

s

s

s

s

+

+

+

+

+

;101=r ;202 =r ;403 =r ;111 =r ;312 =r ;513 =r

unde ..2,1,,2,1

1111

1221

11

===+

+

jnirr

rr

rr

jii

jii

i

ij

Daca notam cu nnnn ssss ++++=

1

11 ... , cu ni

a

a

n

in

i ,1, == si

0na

Atunci se poate enunta criteriul Routh:

O condiie necesari suficientca (s) sfiehurwitzian este ca toi 1ir coloana

1 din s. Routh) sfie strict pozitivi.

Acelasi criteriu se mai poate enunat si astfel:

Polinomul P(s) este hurwitzian (sistemul G(s) BIBO stabil) daci numai dac

toate elementele din prima coloana schemei Routh sunt strict pozitive.

Rspunsul n frecventa al sistemelor cu parametriinvarianti in timp (LTI)

Reprezentarea n frecventa a unui sistem se obine prin aplicarea la intrare a unui

7/26/2019 IRA Curs

57/187

57

semnal sinusoidal de frecventa2

f

= , ( )sinr A t= .Daca sistemul este BIBO

stabil, el admite un regim permanent un ras[uns y(t) cu aceeai form ca i

semnalului de intrare. n consecin, duptrecerea regimului tranzitoriu, de durat

finit, rspunsul sistemului devine o sinusoid de amplitudine constant n timp

( )yA , de aceeai pulsaie cu intrarea i defazat fa de intrare cu unghiul

( ) .

( ) ( ) modul===u

y

A

AMjH

( )( ) ( ) fazajG == arg

unde ( )jH este transformata Fourier a raspunsului sistemului la semnal de tip

impuls:

( ) ( ) ( ){ }tgsHjH js F== =

Deoarece raportul dintre cele doua amplitudini ale semnalului de intrare i al celuide ieire este chiar modulul funciei de transfer a sistemului pentru s=j, rezultcamatematic pentru a aprecia rspunsul n frecventa al unui sistem definit prin funciade transfer H(s), se nlocuiete s=j n expresia funciei de transfer si pentru

intrare ieire( )sinA t ( ) ( )sinA j t +H

Sistem dinamic

H(s)

( )sinA t ( ) ( )sinA j t +H

7/26/2019 IRA Curs

58/187

58

diverse valori ale pulsaiei se determinmodulul i argumentul funciei.

Modelul n frecvenprezintinteres deoarece pune n evidenproprieti globaleale sistemului. Cu ajutorul acestui model se pot obine rezultate care s descriecomportarea sistemului sub aciunea unor semnale de intrare oarecare, dat fiindfaptul csemnalele de intrare (comand) pot fi privite ca o superpoziie de semnalesinusoidale (armonici), descrise matematic prin seria / transformata Fourier.Aciunea unui semnal de intrare u(t) oarecare asupra sistemului liniar va fi neleasca aciunea simultana armonicilor componente ale lui ( )tu unde

( ) ( ) ( )

=

==0

sini

iui tAtutu i

Pe baza liniaritii sistemului, ieirea acestuia va fi de fapt superpoziia semnalelorde ieire corespunztoare fiecrei armonici ( )tui n parte:

( ) ( )

=0i

i tyty

unde ( )tyi este raspunsul sistemului la intrarea ( ) ( )tAtu iui i sin= .

Daca sistemul este BIBO stabil, el va raspunde in regim permanent cu marimea:

( )( )iiyipi

tAy += sin

( )

=

=0i

pip tyy

Rezulta ca:

( ) ( )iuiuy MAjHAA iii ==

( ) ( )( )ii jH arg=

7/26/2019 IRA Curs

59/187

59

Aprecierea rspunsului n frecventa a sistemului automat H(s) este descrisa princaracteristicile de frecventa:

caracteristica amplitudine-faza sau locul de transfer(hodograful

funciei): reprezentarea numrului complex H(s) n planul complex

( [ ] [ ]( )Re ( ) , Im ( )H s H s , prin modulul ( )H s i ( )H s . Aceasta

caracteristica se traseaz pentru sistemul deschis, fiind utila i n

aprecierea stabilitii sistemului nchis cu reacie unitara negativa

(criteriul Nyquist)

caracteristici logaritmice: caracteristica amplitudine-pulsaie i faz-

pulsaie cunoscute sub numele decaracteristici Bod.

Prin caracteristicile de frecventa pot fi definite cteva din performanele unui

sistem cu reglare automat: stabilitatea relativa a sistemului, banda de frecventa,

frecventa de rezonanta.

Precizam ca pentru trasarea locului de transfer, daca funcia de transfer a sistemului

deschis este de forma 10

2

( )( )

( )

m

d

n

P sKH s

P ss= , se pot determina asimptotele locului

de transfer n punctele corespunzatoare frecventelor inalte i joase (Figura 20).Cunoaterea acestor asimptote permite trasarea hodografului funciei de transfer asistemului deschis si aprecierea stabilitii sistemului nchis conform criteriului destabilitate Nyquist.

Pe de alta parte, se poate explica uor cum este influenata stabilitatea sistemuluinchis prin alocarea unui pol sau a unui zero n functia de transfer a sistemuluideschis. Un sistem deschis de ordinul II, la frecvente inalte are asimptotacorespunzatoare lui =2; prin adugarea unui pol, se ajunge la un sistem deordinul III care are asimptota =3 la frecvente inalte. Aceasta intersecteaz axa

reala negativa i risca sa ocoleasc punctul (-1, j0) prin stnga acestuia. In modsimilar, adugarea unui zero n sistemul deschis, scade ceea ce scade i riscul deinstabilitate a sistemului nchis.

Obs: reprezintexcesul de poli fata de zerouri n funcia dH .

reprezintnumrul de poli n origine ai dH

7/26/2019 IRA Curs

60/187

60

10

2

( )( ) ;

( )

-

m

d

n

P sKH s

P ss

n m

=

= +

Figura 20. Asimptotele locului de transfer pentru

a) frecvente joase, b) frecvente inalte

n funcie de modul n care sistemul dinamic liniar atenueaz sau amplificsemnalele sinusoidale aplicate la intrarea sa, se disting cteva categorii importante:

filtru trece-jos: atenueaz puternic sinusoidele de pulsaie foarte mare ilasstreacarmonicile de pulsaie joas.

filtru trece-sus: atenueazputernic sinusoidele de pulsaie mici las streacarmonicile de pulsaie mare.

filtru trece-band: las s treac armonicile cu pulsaia cuprins nintervale de forma: [ ]21; , 210

7/26/2019 IRA Curs

61/187

61

Stabilitatea sistemului deschis. Conform criteriului de stabilitate al unuisistem, condiia necesara i suficienta ca un sistem sa fie stabil este ca poliifunciei de transfer H(s) (rdcinile ecuaiei caracteristice) sa fie situai nsemiplanul stng al planului complex.

Stabilitatea sistemului nchisse definete prin interpretarea locului de transfer

al sist. deschis, din punctul de vedere al criteriului de stabilitate Nyquist sau al

caracteristicilor de frecventa n reprezentare logaritmica. Criteriu Nyquist

permite interpretarea stabilitii sistemului n stare nchis daca se cunoate

locul de transfer (sau hodograful funciei) al sistemului in bucla deschisa.

Criteriul Nyquist generalizat : daca sistemul deschis este instabil (deci

funcia ( )dH s areppoli n semiplanul drept al planului complex (, j)), condiia

necesara i suficienta ca un sistem cu parametrii invarianti in timp (sistem LTI) si

continuu, sa fie stabil n stare nchisa, este ca punctul (-1, j0) sa fie nconjurat n

sens trigonometric de caracteristica amplitudine-faza a sistemului deschis (trasata

pentru variind de la -la +), de un numr de ori egal cu numrul polilor situai

n semiplanul drept al funciei de transfer a sistemului nchis.

Criteriul simplificat este o particularizare a celui general i pornete de la ipoteza

sistemului LTI stabil n stare deschisa (deci numrul polilor din semiplanul drept al

Hd(s)(s)Y(s)r(s)

H(s)U(s) Y(s)

7/26/2019 IRA Curs

62/187

62

planului complex (, j) este 0).

Criteriul Nyquist simplificat : daca sistemul deschis este stabil (deci ecuaia

caracteristica are toi polii n semiplanul stng al planului complex), condiia

necesara i suficienta ca sistemul nchis sa fie stabil este ca locul de transfer sau

caracteristica amplitudine-faza, pentru valori cresctoare ale pulsaiei (=0.+)

sa lase n stnga punctul critic de coordonate (-1, j0) sau acest punct sa nu se

gseascn interiorul caracteristicii trasata cu ambele ramuri cnd variazde la -

la +.

1. sistem stabil

2. sistem la limita de stabilitate

3. sistem instabil

Din reprezentarea grafica rezult ca din doua sisteme stabile n stare deschisa,

numai sistemul 1 este stabil n bucla nchis deoarece las n stnga punctul (-1,

j0). Punctele importante de apreciere a gradului de stabilitate sunt cele n care

sistemul are amplitudinea (modulul funciei de transfer) 1 i cel n care faza este

180. Pentru aceste puncte se cunosc pulsaiile respective: ci (hodograful se

Im(HG(s)

(|HG(c)|=1)

c

(-1, j0)

13

2

|HG()|=

= +

= +0

Re(HG(s))

7/26/2019 IRA Curs

63/187

63

traseazprin aplicarea la intrarea unui sistem deschis a unui semnal sinusoidal cu

frecventa (pulsaie) variind de la 0 la +) i amplitudinile de rspuns care

reprezint matematic modulul funciei de transfer n punctele respective. Se

definesc urmtoarele noiuni:

cd

1M =

H (j )Margine de ctig sau de amplitudine

( )d cM =180+arg H (j )

Margine de faza

unde: este pulsaia pentru care faza sistemului este0180=

c este pulsaia la care modulul vectorului ( ) ( )H s G s este 1.

Pentru un sistem stabil Mc > 1i M>0.

Cu cat Mci Msunt mai mari cu att gradul de stabilitateal sistemului automateste mai mare. Cu alte cuvinte, cu cat locul de transfer este mai aproape de

origine, lsnd mult n stnga punctul (-1, j0), cu att sistemul este mai stabil.

|H(s)|=A()|dB= 20 log10|H(s)|

log

c

-1800

log ( )

7/26/2019 IRA Curs

64/187

64

Figura 21. Caracteristicile Bod amplitudine-pulsaie i faza-pulsaie

In cele doua caracteristici poziia relativa a lui c i determina stabilitateasistemului:

4. c < sistem stabil5. c > sistem instabil6. c = sistem la limita de stabilitate

Eroarea staionara st , n cazul sistemelor deschise, se calculeaz ca

diferena intre valoarea de referina*y r= i valoarea staionaraysta mrimii

de ieire:

* 1 0st st st y y y = = = daca 0 1K = deoarece lim ( ) 1st ty y t

= = .

Fie sistemul cu reactie unitara negativa, a carui functie de transfer a caii directe

este H(s). Notam eroarea staionara st , ca fiind diferenta dintre referinta si

valoarea masurata a marimii de iesire (y).

Consideram forma generala a funciei de transfer a caii directe:

( )( )

( )d q

K P sH s

s Q s

=

unde:

r yH(s)

( )( )

( )d qK P s

H ss Q s

=

r +

-

y

7/26/2019 IRA Curs

65/187

65

q = reprezintnumrul de poli n origine,

K = coeficientul de transfer n regim staionar

P(s) i Q(s) sunt polinoame cu ultimul termen 1: P(0)=Q(0)=1.

Pentru sistemul nchis cu reacie unitara negativa, se poate defini eroarea staionara

ca fiind :

( )( ) ( )( ) [ ]( )0 0 ( ) ( )lim lim limst

t s st s s s R s Y s = = =

st Intrare

qTreapta (1/s) Rampa (1/s2) Parabolica (1/s3)

st = eroare de poziie st = eroare de vitezast = eroare de

acceleraie

01

1 k+

1 01

k

2 0 0 1k

Din analiza tabelului de mai sus, rezult ca pentru un sistem la care se doreteatingerea unei erori staionare zero, prin adugarea unui element de de tipintegrator pe calea directa, se introduce un pol n origine ceea ce conduce la eroarestaionar zero. Utilizarea regulatorului cu aciune proporionala este impusa denecesitatea obinerii unei anumite valori a rspunsului n regim staionar nsa cuprecizarea ca aciunea sa conduce la creterea duratei regimului tranzitoriu. Se

impune deci utilizarea n compensatie a unui element de reglare de anticipa ie derivativ. Utilizarea sa singulara poate conduce fie la anularea polului existent nfuncia de transfer fie la scderea cu un grad a numrului de poli n origine ceea ceuneori poate conduce la instabilitatea sistemului (pentru q=1, la intrarea treaptaunitara adugarea unui regulator derivativ duce la apariia erorii staionare iarpentru rampa unitara la eroare staionar ). De aceea, aciunea de coreciederivativa este combinata cel puin cu cea proporionala. Prezenta elementuluiderivativ conduce i la creterea suprareglajului.

7/26/2019 IRA Curs

66/187

66

Din punctul de vedere al proiectrii unui SRA, intereseazeroarea staionar:

in raport cu referina

in raport cu perturbaia.

Calculul erorii staionare n raport cu referina

( ) ( )( ) [ ]0 0

lim lim lim ( ) ( )stt s s

t s s s R s Y s

= = = =

[ ]00

( ) ( ) ( )lim s

s R s H s R s

( )[ ]00

1 ( )limst s

s R s H s

=

( )( )0

1

1limst s ds R s

H s

=

+

referina = treapta unitara:1

( )R ss

=

[ ] [ ]0 00 0

1lim 1 ( ) lim 1 ( )sts s

s H s H ss

= =

( ) ( )2

0 02 20

2

=1n

n n

H s H

s

aca

s

d

=

+ +

0stII =

Referina

treapta rampa

7/26/2019 IRA Curs

67/187

67

referina = rampa unitara:2

1( )R s

s

=

[ ] [ ]0 020 0

1 11 ( ) 1 ( )lim limv

s s

s H s H sss

= =

( )2 2

0 2 2 2 20

1lim 1

2 2v

n n

sn n n n

daca H sss s s s

= =

+ + + +

2 2 2

2 2 2 20 0

2 21lim lim

2 2n n n n

s s

n n n n

s s s

ss s s s

+ + += =

+ + + +

( )2

0 2 22n

n n

da H ss s

ca

=

+ +

20

II v

n

=

y

t

st = 0

vy

t

7/26/2019 IRA Curs

68/187

68

CAPITOLUL I.3

PRINCIPIILE ALEGERII I ACORDRIIREGULATOARELOR

Tipuri de regulatoare. Caracteristici, performane

Intr-un SRA regulatorul functioneaza conform algoritmului de reglare determinatpentru procesul monitorizat/controlat. Legea de reglare a regulatorului reprezint

dependenta dintre (t)i comanda u(t)pa care regulatorul o aplica procesului (pariifixate).

Actiune regulatorului in cadrul unui SRA, trebuie sa asigure urmatoarecaracteristici comportamentale ale unui SRA:

mbuntirea stabilitii sistemului automat;

rapiditate mrita sistemului automat;

diminuarea erorii staionare

Alegerea unui regulator trebuie facuta astfel incat sa se asigure coerenta SRA

din punct devedere al stabilitatii si realizabilitatii practice a legii de reglare cetrebuie implemantata. Astfel, trebuie avute n vedere cateva aspecte, indiferentde tipul regulatorului folosit:

parametrii regulatorului trebuie alei de aa maniernct sistemul

automat s fie BIBO stabil (n funcie de forma particular a

funciei de transfer a prii fixate Gf)

regulatoarele trebuie sfie sisteme realiste (se vor nseria elemente

cu ntrziere de ordin corespunztor).

Analiza pe care o vom face, pune n evidenta modul n care se reflecta interven iaaciunii regulatorului asupraparii fixate care se presupune generic a fi:

element de ntrziere de ordinul I cu sau frtimp mort,

element de ntrziere de ordinul II ( sau element oscilant de ord.II)cu sau frtimp mort

Se evalueazapoi rspunsul indicialal sistemului :

7/26/2019 IRA Curs

69/187

69

frintervenia perturbaiei

cu intervenia mrimilor perturbatoare.

Se va evidentia modul in care diferitele legi de reglare pot modifica performaneleunui SRA:

suprareglaj

viteza de rspuns (timp de cretere)

durata reg. tranzitoriu

factor de amplificarefactor de amortizare

cu sau fara prezenta perturbaiilor.

Tipuri de regulatoare

Duptipul IT(instalaie tehnologica):

regulatoare pentru procese cu caracteristici invariante n timp(LTI)

regulatoare pentru procese cu caracteristici variabile n timp(REG adaptive i extremale)

Dupviteza de rspuns a IT:

regulatoare pentru procese lenteregulatoare pentru procese rapide

Dupcaracteristicile de funcionare ale RA:

regulatoare cu aciune continua

regulatoare cu actiune discretaregulatoare liniare ( u=f()dependenta liniara)regulatoare neliniare( u=f() dependenta neliniara : ex.releu cu doua sau trei poziii)

Dupalgoritmul de reglare(sau legea de reglare elaborata de REG):

regulatoare convenionale de tip : P, PI, PD PID, PDD2

7/26/2019 IRA Curs

70/187

70

regulatoare cu caracteristici speciale : REG adaptive,extremale, cu estimarea strii, etc.

Regulatoare liniare

Regulatorul proporional (P)

Regulatorul de tip P furnizeaz o mrime de ieire liniar proporional cumrimea de intrare. In structura unui SRA marimea de intrare in regulator estesemnalul de eroare obinut prin diferena: ( ) ( ) ( )tytrte = .

Legea de reglare :

( ) ( ) ;

R

R

u t K t

K parametrul de acord

=

=

( )R RH s K= sau

( )_1 1

RR real

KH s

s=

+ daca se considera ntrzierea proprie a regulatorului

real.

Rspunsul indicial al regulatorului P

7/26/2019 IRA Curs

71/187

71

1( ) RY s K

s= ( ) Ry t K=

sau din ( ) ( ) ( ) 1 ( )R Ru t K t t u t K = = =

Analiza unui SRA cu regulatorde tip P i Hf element de ntrziere de ordinulI:

1) n raport cu referina R(s)rspuns indicial:

1

KR

HR(s)= KRU(s)(s)

u(t)

(t)REG

(t)

t

KR ( )

1

f

f

f

KH s

T s

=

+

U(s)(s)

Y(s)R(s)

-

+

v(s)

u(t)

7/26/2019 IRA Curs

72/187

72

0

0

( ) 1( )

1 ( ) 1 11

1

R fd

O

fd R f

R f

K KH s KH s

TH s K K T ss

K K

= = =+ + +

++

Prin intervenia REG de tip P, sistemul H0 romane unul de ordinul I cuurmtoarele performane:

1 1

1 1st R fK K K = =

+ +

0

1

R f

R f

K KK

K K

=

+

0 1f

R f

TT

K K=

+

P

KR st 0T 0K

Creterea factorului de amplificare KR determina o reducere a erorii staionare (decio cretere a preciziei) i o reducere a constantei de timp a sistemului (viteza maibuna de rspuns).

Obs: alegerea unui REG de tip P, implica funcionarea sistemului cu eroarestaionarcare nu poate fi sczuta pnla zero. De aici rezultconcluzia ca NU

se recomanda utilizarea acestui tip de regulator dect atunci cnd precizia impusa

( )1

f R

d

f

K KH s

T s

=

+(s)

Y(s)R(s)

-+

7/26/2019 IRA Curs

73/187

73

ieirii se ncadreazn limitele impuse.

2) n raport cu perturbaia P(s) de tip treapta unitara :

0

1

11

1

f

f f

p

f R f f R

f

K

T s KH

K K T s K K

T s

+= =

+ + +

+

;1

( )1

f

p

f f R

KY s

T s K K s=

+ +

( )_ 1( ) lim lim 1 1f f

st vfs s

f f R f R

K KY s s Y s sT s K K s K K

= = = + + +

cu cat KR creste, cu att efectul perturbaiei este sczut (rspunsul ieirii nregim staionar scade):

P

KR _st fy

Concluzie:un regulator P este recomandat atunci cnd procesul conine cel puinun element integrator. Astfel se asigura eroare staionar nul deci o buna

comportare a sistemului n regim staionar. Pentru procese cu mai multe constante

de timp, alegerea unui regulator P, poate atrage instabilitatea sistemului. Se

indica alegerea factorilor mici de amplificare care nsa va sacrifica precizia

rspunsului n regim staionar (creste eroarea staionar).

Regulatorul integrator (I)

Regulatorul integrator descrie viteza de raspuns a marimi de iesire din procesul

controlat. El furnizeaza in iesire un semnal de tip rampa cu pantaiT

1, Ti este

denumita constanta de integrare. Regulatorul I, datorit efectului de integrare,furnizeaz o mrime de ieire finit i diferit de 0, chiar n situaia n caresemnalul de eroare devine 0. Prezenta regulatorului I, asigura eroarea staionar

7/26/2019 IRA Curs

74/187

74

nulpentru sistemul automat, pe zona de BIBO stabilitate a sistemului automat.

Legea de reglare :

0

1( ) ;

t

i

i

u t dt T

T co nstan ta de in teg ra re

=

=

( )1

R

i

H s

T s

=

( )( )1

1

1Ri

H sT s s

= +

daca se considera ntrzierea proprie a regulatorului

real.

Rspunsul indicial al regulatorului I

21( ) R R

i i

K KY sT s s T s

= = ( )i

ty t

T=

Abaterea rspunsului realindicial al unui regulator I, n raport cu rspunsul ideal,este cu att mai mare cu cat constanta de timp proprie regulatorului este mai mare:

1

( ) 1Ri

H sT s

=

U(s)(s)

u(t)

ideal

real

(t)

t

7/26/2019 IRA Curs

75/187

75

( )( )

11R i

H sT s s

=+

Concluzie:rspunsul unui regulator I este o rampa cu panta 1/Ti. Regulatorul Iare un caracter de memorie de