Io Manual Final

MODELO DE PROBABILIDADES PARA LA TOMA DE DECISIONES

Es un modelo en que las acciones o alternativas posibles están signadas por el azar, es decir dependen de eventos aleatorios; y que estos han sido estudiados y medidos con ayuda de la estadística, lo que te permite estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento concreto.

1. VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una función cuyos valores son números reales determinados por los elementos del espacio muestral.

Distribución de probabilidad.- Es una lista que contiene el valor de la variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes

1.1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: La obtención de estos valores se da a través del proceso de conteo, de ahí que los valores se expresan generalmente como números enteros.

a) Función de Probabilidad o Cuantía

Sea una función f(x) de una variable aleatoria discreta X , la cual relaciona a todo número real x con la probabilidad de que X asuma ese valor:

f(x)=P[X=x]

Se deben cumplir las siguentes propiedades:

1.∀ x ; f (x )≥0

2.∑1

f ( x )=1

3. Representación gráfica:

b) Función de distribución acumulada

Si una función tiene como función de probabilidad:

Su función de distribución es:

Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las probabilidades pi correspondiente a los valores xi de la variable X.

1.2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: Puede suponer un valor en cualquier punto fraccionario de un intervalo especificado. Los valores continuos se generan por el proceso de medición.

Por ejemplo: el peso promedio de los panes permitidos para la comercialización.

a) Función de densidad

Una función de densidad debe satisfacer las siguientes propiedades:

1.f ( x )≥0∀ x∈R

2. ∫−∞

+∞

f ( x )dx=1

3.P (a≤ X ≤b )=∫−∞

x

f ( x)dx

b) Función de distribución acumulada: está definida por :

F ( x )=P (X ≤ x )=∫−∞

X

f ( x )dx

2. VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE O ESPERANZA MATEMÁTICA

La media de una variable aleatoria X se denomina valor esperado y se denota por E(X ).

Si X es una v.a. cualquier función de ella, h(x), es también una v.a., en consecuencia también se define este parámetro para una función de v.a.

3. VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La varianza mide la dispersión de la variable alrededor de la media.

Se define como:Var (X )=E ( X2 )−[E (X )]2

4. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE UNA V.A. DISCRETA

Distribuciones de Poisson: Utilizamos la distribución Poisson para determinar la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos, cuando estos ocurren en un tiempo o espacio continuo.

f ( x )=P (X=x )= e−ℷ ℷ x

x !, x=0;1 ;2 ;…donde : e=2.71828

Distribución Normal: También llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, posee una función de densidad simétrica y con forma de campana.

a) Función de densidad

Está dada por:

Donde: μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación

típica (σ2 es la varianza).

Representación Gráfica

b) Función de distribución acumulada:Esta dada por:

F ( X )=∫−∞

X1

σ √2 π∗e

−(X−μ)2

2∗σ2

dx

−∞<X<∞

F ( X )=P(X≤ x)

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Es una distribución normal en la que la media es igual a cero y la desviación estándar es igual a la unidad, cualquier valor X de una población con distribución normal puede convertirse a su valor normal estándar equivalente a Z, mediante la fórmula:

Z= X−μσ

Su función está dada por:

φ ( X )= 1σ √2π

∗e− z2

2 ;−∞<Z<+∞.

F (Z )=P (Z ≤z )=φ ( z )= 1√2 π

∫−∞

z

e−t2

2 dt

1. PROBLEMA DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Un juego consiste en tirar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se ganan 300 pts, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan 100 pts. y para cualquier otro resultado no se gana nada.

a) Determinar F(x)b) Calcular P≥6c) ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la

ganancia esperada de la banca sea de 50 pts?

Solución

El espacio muestral para el problema es = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)} con 36 puntos muestrales. Todos los sucesos elementales tiene la misma probabilidad 1/36. Se define la v.a. X: suma de las dos caras. Esta variable puede tomar los valores 2, 3, 4, ....,12.

x Sucesos f(x)

2 {(1,1)} 1/36

3 {(1,2), (2,1)} 2/36

4 {(1,3), (2,2), (3,1)} 3/36

5 {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 4/36

6 {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

5/36

7 {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

6/36

8 {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}

5/36

9 {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 4/36

10 {(4,6), (5,5), (6,4)} 3/36

11 {(5,6), (6,5)} 2/36

12 {(6,6)} 1/36

La tabla de la función premio es:

x h(x)

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 100

8 100

9 100

10 300

11 300

12 300

1. Determinar F(x)

F ( x )=¿

2. Calcular P≥6

P(≥6)=1- P(≤5) =1-10/36 =1-0.278 =0.722

0 x<21/36 2≤x<33/36 3≤x<46/36 4 ≤x<510/36

5≤x<6

15/36

6≤ x<7

21/36

7≤ x<8

26/36

8≤ x<9

30/36

9≤ x<10

33/36

10≤x<11

35/36

11≤ x<12

1 x≥12

3. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada de la banca sea de 50 pts?

El valor esperado del premio es

En consecuencia, la apuesta debería costar 91,7 + 50 = 141,7 para que la ganancia esperada de la banca sea 50 ptas.

2. PROBLEMA DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:

f ( x )={ 0 ,∧x ≤0a (1+x) ,∧0<x≤1

23,∧1<x≤2∧¿0 ,∧x>2

Se pide:

a) Valor de a para que f sea función de densidad. b) Graficar f(x).c) Determinar F(X) y graficar.d) Calcular E(X) y V(X).e) Calcular P(0,5≤X≤1,5).

Solución:

a) Hallando “a”.

∫−∞

∞

f ( x )dx=1

∫−∞

0

f (x )dx+∫0

1

f (x)dx+∫1

2

f (x)dx+∫2

∞

f (x)dx=1

∫−∞

0

0dx+∫0

1

a(1+x)dx+∫1

2

(2/3)dx+∫2

∞

0dx=1

[ax+ a x2

2 ] 1

0+[ 2x3 ]

21=1

a+ a2+ 2

3=1

a=29

Así tenemos:

f ( x )={0 ,∧x ≤0

29(1+x ),∧0<x ≤1

23,∧1<x≤2∧¿0 ,∧x>2

b) Determinando F(x).

Segundatos del problema :F ( x≤0 )=0 ;F (1<x≤2 )=23; F ( x>2 )=0

F ( x ≤1 )=∫0

x29

(1+x )dx=29x+ x2

9

F ( x ≤2 )=F ( x≤1 )+F (1<x ≤2 )=29x+ x2

9+ 2

3

F ( xϵR )=1

Luego F(x) será:

F ( x )={0 ,∧x≤0

29x+ x2

9,∧0<x ≤1

23+ 2

9x+ x2

9,∧1<x ≤2∧¿1 ,∧x>2

c) Calculando E ( x ) y V ( x ) .

HallandoE ( x ).

E ( x )=∫−∞

∞

xf ( x )dx

E ( x )=∫−∞

0

xf (x )dx+∫0

1

xf (x )dx+∫1

2

xf (x)dx+∫2

∞

xf (x )dx

E ( x )=∫−∞

0

0dx+∫0

129x (1+x)dx+∫

1

2

x (2/3)dx+∫2

∞

0 dx

E ( x )=[ x2

9+ 2x3

27 ] 1

0+[ x2

3 ]21

E ( x )= 527

+1

E ( x )=3227

Calculando E (x2 ).

E (x2 )=∫−∞

∞

x2 f (x )dx

E (x2 )=∫−∞

0

x2 f (x)dx+∫0

1

x2 f (x )dx+∫1

2

x2 f (x )dx+∫2

∞

x2 f (x )dx

E (x2 )=∫−∞

0

0dx+∫0

129x2(1+x)dx+∫

1

2

x2(2/3)dx+∫2

∞

0dx

E (x2 )=[ 2 x3

27+ x4

18 ] 1

0+[ 2x3

9 ]21

E (x2 )= 227

+ 118

+ 149

E (x2 )=9154

Hallando V ( x ) .

V ( x )=E (x2 )−[E ( x )]2

V ( x )=9154

−(32/27)2

V ( x )=409 /1458

d) Calculando: P(0.5≤ x≤1.5)

P(0.5≤ x≤1.5)=∫1 /2

3 /2

f (x )d ( x )

P(0.5≤ x≤1.5)=∫1 /2

1

(2/9)(1+x)dx+∫1

3/2

2/3dx

P(0.5≤ x≤1.5)=[ 29(x+ x2

2)] 1

1/2+[ 23x ]

3/21

P(0.5≤ x≤1.5)= 736

+ 13

P(0.5≤ x≤1.5)=1936

3. PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

PANADERÍA “JHOMI”

De la panadería “Jhomi”, ubicada en… se obtuvieron los siguientes datos:

n2=33

X=∑i=1

n

f∗X

n

s=√∑i=1

n

f∗(X−X )2

n−1

X=27.3030g .

s=3.1173 g .

La panaderia “JHOMI” elabora y vende pan francés. Cada mañana la panadería satisface la demanda del día con pan recién horneado con un peso que se ajusta a una distribución normal de media 27.3030 g y desviación estándar de 3.1173 g .a)¿Cuál es la probabilidad de obtener un pan cuyo peso oscile entre 26 g y la media?b)¿Cuál es la probabilidad de obtener uno con un peso de 30 g o más?

Solución a)= 27.3030 g

=3.1173 g .

X (Peso en gramos)

f (Frecuencia)

30 g. 5

26 g. 3

27 g. 6

32 g. 3

31 g. 4

28 g. 2

24 g. 5

23 g. 5

Total n=33

P (26<X<27.3030) = P (26 –27.3030

3.1173≤Z≤

27.3030 – 27.30303.1173

) = P (-

0,4180≤Z≤0¿

= P (0≤Z≤0,4180) = P ( Z≤0,4180)-P(Z<=0) = 0.6628 – 0.5 = 0.1628

= 16.28%

Interpretatión : La probabilidad de obtener un pan cuyo pero oscile entre 26g. y 27.3030 g. es de 16.28%.

Solución b)= 27.3030 g

=3.1173 g .

P (X=30) = P (30– 27.3030

3.1173≤Z) = P (1.0596≤Z¿

= 0.8531 = 85.31%

Interpretatión : La probabilidad de encontrar un pan con un peso de 30g. a mas es de 85.31.

4. PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

INTERNET “FULL RED”

El centro de internet “FullRed”, ubicado en ofrece su servicio 12 hrs por día, desde las 9:00 am hasta la 1:00 pm y de 3:00 pm a 11:00 pm. Realizando un seguimiento de estudio en esta empresa por tres días y analizando su ficha de control obtuvo que la cantidad promedio de usuarios que acuden a este local es de 10 personas por hora.

Planteamiento:Sabiéndose que el promedio de clientes que llegan al internet “FullRed” es de 10 personas/ hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 min lleguen por lo menos 4 clientes?

e - · x x!

= 10 personashora

∗hora

60min*20 min

= 3.34

P (X ≥4) = 1- P (X≤ 3)

= 1- ∑x=0

2e−¿ .❑x

x !¿

= 1- ( e−3.34 .3.340

0!+ e−3.34 .3.341

1 !+ e−3.34 .3.342

2 !)

= 1- (0.035+0.12+0.20) = 1- (0.035+0.12+0.20)

= 0.645Interpretación: Es casi probable que en 20 minutos lleguen por lo menos 4 clientes dada que la probabilidad es de 0.645.

MODELO DE REDES. ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS

LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS

La buena administración de proyectos a gran escala requiere planeación, programación y coordinación cuidadosa de muchas actividades interrelacionadas.

FASES DE LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS PLANIFICACIÓN

Detallar el proyecto y todas sus actividades o tareas significativas

Definir las interrelaciones entre actividades; qué actividades deben preceder a otras.

Dibujar la red conectando todas las actividades

PROGRAMACIÓN Calcular la RUTA CRITICA. las holguras aplicando las

técnicas para administrar un proyecto (PERT/CPM). Realizar el programa de actividades.

CONTROL Hacer uso de la red y de la gráfica de tiempos para elaborar

reportes periódicos del progreso de la ejecución del proyecto. Puede incluir un nuevo programa en relación con las actividades que faltan ejecutarse.

TÉCNICAS PARA ADMINISTRAR UN PROYECTO

Redes deterministas (CPM = Método de la ruta crítica) Redes probabilistas (PERT = Técnica de evaluación y revisión de

programas)

TIEMPOS ESTIMADOS EN PERT

• Una diferencia importante entre CPM y PERT es el uso en este último de tres tiempos o duraciones estimadas para cada actividad.

• En CPM se usa un solo valor.

• Para cada actividad en PERT se debe determinar un Tiempo OPTIMISTA, un Tiempo PROBABLE y un Tiempo PESIMISTA. Con estos tres valores calculamos el tiempo de conclusión o duración esperados y la respectiva varianza. Asumiendo que estos tiempos siguen la Distribución de Probabilidad “Beta” tenemos:

t ij=(aij+4 mij+b ij)

6

a ij = Tiempo optimista para ejecución de la actividad. b ij= Tiempo pesimista para ejecución de la actividad. mij = Tiempo más probable para ejecución de la actividad. t ij = Tiempo esperado para ejecución de la actividad.

RUTA CRÍTICA: Es la secuencia de los elementos terminales de la red de proyectos con la mayor duración entre ellos, determinando el tiempo más corto para completar el proyecto.

La duración de la ruta crítica determina la duración del proyecto entero.

T ij=∑ tij

VARIANZA:

σ ij2=

(bij−a ij)2

36

Donde:

σ ij2=∑ σ ij

2

DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

σ ij=√∑ σ ij2

CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Asumiendo que la duración esperada de una actividad es una variable aleatoria independiente, podemos también suponer que la duración esperada del proyecto es una variable aleatoria que aproxima a la distribución de Gauss (para tareas > 30) y por lo tanto podemos calcular algunas probabilidades haciendo uso de una tabla de distribución normal, tomando en consideración las siguientes relaciones:

Consideremos que para números de Tareas < 30, debemos aproximar a una distribución de Student.

La probabilidad de que el proyecto se termine antes de una duración dada t0 está dada por:

Donde z0 es el valor de entrada a una tabla de distribución normal y que se calcula según:

APLICACIÓN DEL TEMA

1.LISTA DE ACTIVIDADES:A. Movilización y desmovilización de materiales.B. Alquiler de Local Para Almacén, Caseta de Guardianía y

Oficina Provisional.C. Cartel de identificación.D. Limpieza de terreno manual.E. Trazo y Replanteo Inicial en Redes de Agua Potable.F. Excavación de Zanja Manual en Terreno Normal.G. Trazo y Replanteo Durante la Ejecución de la Obra.H. Reparación de Redes Existentes de Agua (Matriz y

Domiciliaria).I. Refine y Nivelación de Fondo de Zanja.J. Preparación Cama de Apoyo en Terreno Normal.K. Suministro e Instalación de Tuberías.L. Suministro e Instalación de Accesorios.M.Prueba Hidráulica y Desinfección de Tuberías.N. Dados de concreto para anclaje de accesoriosO. Relleno Compactado con Material Propio Seleccionado.P. Eliminación de Material Excedente.

Q. Entrega de Obra.

2.TABLA DE RESUMEN DE LAS ACTIVIDADES:

ACTIVIDAD

PRECEDENCIA

TIEMPO PESIMISTA

(A)

TIEMPO REAL

(M)

TIEMPO OPTIMISTA

(B)

TIEMPO PROMEDIO

(T)

VARIANZA

σ 2

DESVIACIÓN ESTANDAR

σ

A - 1 2 3 2 0.3333 0.1111

B A 31 33 41 34 1.6667 2.7778

C A 1 1 1 1 0 0

D C 1 1 1 1 0 0

E D 1 1 1 1 0 0

F E 5 6 7 6 0.3333 0.1111

G E 4 6 8 6 0.6667 0.4444

H F 4 7 10 7 1 1

I G,H 3 4 5 4 0.3333 0.1111

J I 3 4 5 4 0.3333 0.1111

K I 2 3 4 3 0.3333 0.1111

L J 3 4 5 4 0.3333 0.1111

M L 1 1 1 1 0 0

N K,M 3 5 7 5 0.6667 0.4444

O N 1 1 1 1 0 0

P K 1 2 3 2 0.3333 0.1111

Q P,O,B 1 1 1 1 0 0

5.4443 2.3333

3.RED DE ACTIVIDADES

Ruta Crítica : A,C,D,E,F,H,I,J,L,M,N,O,Q

Tiempo de duración: 38 días

4.PROGRAMA DE ACTIVIDADES

ACTIVI

DAD

PRECEDE

NCIA

INICIO

TEMPR

ANO

FINAL

TEMPR

ANO

INICI

O

TARD

IO

FINAL

TARD

IO

RUTA

CRITI

CA

HOLGU

RA

A - 0 2 0 2 Si 0

B A 2 36 3 37 No 1

C A 2 3 2 3 Si 0

D C 3 4 3 4 Si 0

E D 4 5 4 5 Si 0

F E 5 11 5 11 Si 0

G E 5 11 12 18 No 7

H F 11 18 11 18 Si 0

I G,H 18 22 18 22 Si 0

J I 22 26 22 26 Si 0

K I 18 21 28 31 No 10

L J 26 3 26 30 Si 0

M L 30 31 30 31 Si 0

N K,M 35 36 35 36 Si 0

O N 36 37 36 37 Si 0

P K 21 23 35 37 No 4

Q P,O,B 37 38 37 38 Si 0

5.DIAGRAMA DE GANNT

6.PLANTEO DE PROBABILIDAD

El proyecto para el mejoramiento de red de agua potable del distrito de Hualmay tiene una duración de finalización estimada de 38 días, con una desviación estándar de 2.3333 días.

a) ¿Cuál es la probabilidad de finalizar el proyecto en 35 días o menos?

Z=t−Tσ

Z=35−382.3333

Z=−1.2857

P (Z ≤−1.2857 )=1−P(Z ≤1.2857)

P (Z ≤−1.2857 )=1−0.9015

P (Z ≤−1.2857 )=0.0985

b) ¿Cuál es la probabilidad de finalizar el proyecto en 37 o más días?

Z=t−Tσ

Z=37−382.3333

Z=−0.4286

P (Z ≥−0.4286 )=1−P (Z ≤−0.4286)

P (Z ≥−0.4286 )=1−0.3336

P (Z ≥−0.4286 )=0.6664

Interpretación: Con los resultados obtenidos podemos estimar que el tiempo en el cual se llevará a cabo el proyecto serán más de 38 días, debido a las fallas de conexiones existentes u otro improvisto en el desarrollo de la obra.

TEMA: SISTEMA PERT/COSTTEMA: SISTEMA PERT/COST

Del Proyecto “Mejoramiento de las redes de agua potable del distrito Hualmay”, en el AA-HH Santa Rosa con una dimensión de 1,018.86m2, con fecha del 01-06-09 al 05-07-09; se dio por conveniente realizar un control de los costos de cada una de las actividades según su porcentaje de avance, con la finalidad de determinar si se ajusta al presupuesto planeado. Con los datos correspondientes a la fecha: 10-07-09 se obtuvieron los Costos Reales de las siguientes actividades:

PROGRAMA DE ACTIVIDADES

DÍAS

ACTIVID

AD

TIEMPO PROMEDIO

(T)

INICIO

TEMPRA

NO

FINAL

TEMPRA

NO

INICIO

TARDI

O

FINAL

TARDI

O

RUTA

CRITIC

A

HOLGU

RA

C i , j

(Soles

)

A 2 0 2 0 2 Si 0 250.00

B 34 2 36 3 37 No 1 200.00

C 1 2 3 2 3 Si 0 656.30

D 1 3 4 3 4 Si 0 1,162.00

E 1 4 5 4 5 Si 0 1,280.50

F 6 5 11 5 11 Si 0 11,550.6

0

G 6 5 11 12 18 No 7 2,018.20

H 7 11 18 11 18 Si 0 300.00

I 4 18 22 18 22 Si 0 1,910.50

J 4 22 26 22 26 Si 0 4,645.50

K 3 18 21 28 31 No 10 7,835.40

L 4 26 3 26 30 Si 0 1,823.00

M 1 30 31 30 31 Si 0 1,750.20

N 5 35 36 35 36 Si 0 385.30

O 1 36 37 36 37 Si 0 9,425.60

P 2 21 23 35 37 No 4 2,815.00

PROGRAMA DE COSTOS (INICIO Y FINAL TEMPRANO)

Días

A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526

27 28 29 3031

32 33 34 3536

37

38

A 125

125

B5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

C 656,3

D 1162

E 1280,5

F 19

19

1925

1925

1925

1925

25,1

25,1 ,1 ,1 ,1 ,1

G 336,37

336,37

336,37

336,37

336,37

336,37

H42,86

42,86

42,86

42,86

42,86

42,86

42,86

I 477,63

477,63

477,63

477,63

J

1161,38

1161,38

1161,38

1161,38

K 2611,8

2611,8

2611,8

L 455,75

455,75

455,75

455,75

M 175

0,2

N 385,3

O 9425,6

P 1407,5

1407,5

TOTAL

125

125

662,18

1167,88

1286,38

2267,35

2267,35

2267,35

2267,35

2267,35

2267,35

48,74

48,74

48,74

48,74

48,74

48,74

48,74

3095,31

3095,31

3095,31

1891,01

2574,76

1167,26

1167,26

1167,26

461,63

461,63

461,63

461,63

1756,08

5,88

5,88

5,88

5,88

391,18

9425,6

0

T.ACOM

125

250

912,18

2080,06

3366,44

5633,79

7901,14

10168,49

12435,84

14703,19

16970,54

17019,28

17068,02

17116,76

17165,5

17214,24

17262,98

17311,72

20407,03

23502,34

26597,65

28488,66

31063,42

32230,68

33397,94

34565,2

35026,83

35488,46

35950,09

36411,72

38167,8

38173,68

38179,56

38185,44

38191,32

38582,5

48008,1

48008,1

PROGRAMA DE COSTOS (INICIO Y FINAL TARDIO)

Días

A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1

415 16 17 18 19 20 21 22 23

2

425 26 27 28 29 30 31

3

233 34 35 36 37

3

8

A 125

125

B 5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

5,88

C 656,3

D 1162

E 1280,5

F 192

192

192

1925

1925

1925

5,1

5,1

5,1 ,1 ,1 ,1

G

336,37

336,37

336,37

336,37

336,37

336,37

H42,86

42,86

42,86

42,86

42,86

42,86

42,86

I 477,63

477,63

477,63

477,63

J

1161,38

1161,38

1161,38

1161,38

K 2611,8

2611,8

2611,8

L 455,75

455,75

455,75

455,75

M 1750,2

N 385,3

O 9425,6

P 1407,5

1407,5

T

O

T

A

L

125

125

656,3

1167,88

1286,38

1930,98

1930,98

1930,98

1930,98

1930,98

1930,98

48,74

385,11

385,11

385,11

385,11

385,11

385,11

483,51

483,51

483,51

483,51

1167,26

1167,26

1167,26

1167,26

461,63

461,63

3073,43

3073,43

4367,88

5,88

5,88

5,88

5,88

1798,68

10838,98

0

T.

A

C

U

M

125

250

906,3

2074,18

3360,56

5291,54

7222,52

9153,5

11084,48

13015,46

14946,44

14995,18

15380,29

15765,4

16150,51

16535,62

16920,73

17305,84

17789,35

18272,86

18756,37

19239,88

20407,14

21574,4

22741,66

23908,92

24370,55

24832,18

27905,61

30979,04

35346,92

35352,8

35358,68

35364,56

35370,44

37169,12

48008,1

48008,1

Días

Total AcumuladoGRÁFICO DE LA REGIÓN FACTIBLE DEL PRESUPUESTO

REPORTE DESPUÉS DE 20 DÍAS (21-06-09)

ACTIVIDAD CR (Soles) C i , j (Soles) AVANCE (%) Vi Di

A 252.10 250.00 100 250.00 2,1

B 252.11 200.00 52 104.00 148,11

C 656.15 656.30 100 656.30 0,15

D 1,161.50 1,162.00 100 1162.00 -0,5

E 1,283.76 1,280.50 100 1280.50 3,76

F 11,547.83 11,550.60 100 11550.60 -2,77

G 2,017.34 2,018.20 100 2018.20 -0,86

H 252.10 300.00 100 300.00 -47,9

I 1,946.02 1,910.50 50 955.25 990,77

J 4,625.62 4,645.50 - - -

K 7,600.70 7,835.40 - - -

L 1,868.06 1,823.00 - - -

M 1,783.01 1,750.20 - - -

N 370.64 385.30 - - -

O 9,402.58 9,425.60 - - -

P 2,831.54 2,815.00 - - -

1092,86

TEMA: CONTRACCIÓN DE LA REDTEMA: CONTRACCIÓN DE LA RED

A) Método PrácticoMétodo Práctico : : CONTRACCIÓN TOTAL DE LA RED

Días Soles Días Soles/Días Días Soles

ACT.

TIEMPO PROMEDIO

(T)

TIEMPO DE URGENCIA (T’)

C i , j

COSTO DE URGENCIA (C’)

MARGEN DE REDUCCIÓN (Mj)

COSTO DE REDUCCIÓN

(Kj)

RUTA

CRITIC

A

TIEMPO DE REDUCCIÓN

(Yj)

COSTO POR REDUCCION DE ACTIVIDAD

(KjYjJ)

A 2 2 250.00 250.00 0 M Si

B 34 32 200.00 212.00 2 6.00 No / si Y=2 12.00

C 1 1 656.30 656.30 0 M Si

D 1 1 1,162.00 1,162.00 0 M Si

E 1 1 1,280.50 1,280.50 0 M Si

F 6 4 11,550.60 15,500.60 2 1975.00 Si

G 6 5 2,018.20 2,356.50 1 338.30 No

H 7 4 300.00 425.00 3 41.67 Si Y=1,Y=2 125.01

I 4 3 1,910.50 2,370.50 1 460.00 Si

J 4 2 4,645.50 6,948.50 2 1151.50 Si

K 3 2 7,835.40 10,500.60 1 2665.20 No

L 4 2 1,823.00 2,730.00 2 453.50 Si

M 1 1 1,750.20 1,750.20 0 M Si

N 5 3 385.30 540.00 2 77.35 Si

O 1 1 9,425.60 9,425.60 0 M Si

P 2 1 2,815.00 4,218.00 1 1403.00 No

TOTAL 137.01

Resultados al disminuir un día en la actividad H Ruta Crítica: A,C,D,E,F,H,I,J,L,M,N,O,QResultados al disminuir 2 días tanto en la actividad B y H Ruta Crítica: A,B,C,D,E,F,H,I,J,L,M,N,O,Q(nueva RC en B)

Contracción Total de la RedContracción Total de la Red

de Actividadesde Actividades

B)B) do de Programación Linealdo de Programación Lineal

Objetivo:

Min W = M*Y A+6.00∗Y B+M∗Y C+M∗Y D+M∗Y E+ I 975.00∗Y F+338.30∗Y G+41.67∗Y H+460.00∗Y I+1151.50∗Y J+2665.20∗Y K+453.50∗Y L+M∗YM+77.35∗Y N+M∗Y O+1403.00∗Y P

Restricciones:

a) Descripción de la red:

X1=0X2≥2−Y A+X1

X3≥1−Y C+X 2

X 4≥1−Y D+X3

X5≥1−Y E+X 4

X6≥6−Y F+X5

X7≥7−Y H+X6

X7≥6−Y G+X5

X 8≥4−Y I+X7

X 9≥4−Y J+X8

X10≥3−Y K+X 9

X11≥4−Y L+X9

X12≥1−YM+X11

X12≥0−Y f 1+X10

X13≥5−Y N+X12

X14≥1−Y o+X13

X14≥2−Y P+X10

X14≥34−Y B+X2

X15≥1−Y Q+X 14

b) Tiempo de reducción por actividades

Y A=0Y B≤2Y C=0Y D=0Y E=0Y F≤2

Y G≤1Y H≤3Y I≤1Y J ≤2Y K≤1

Y L≤2Y M=0Y N≤2Y O=0Y P≤1

c) Contracción de la Red:

X15≤35

d) Criterio de No Negación:

X j;Y j≥0

TEMA 5: MODELO DE DECISIONES

Dado que la toma individual de decisiones no es un proceso simple, y que se encuentra condicionado por metas, características sicológicas y marcos de referencia de quien toma las decisiones, los modelos de decisión brindan un verdadero apoyo a la toma de decisiones proporcionando diferentes opciones para manejar la información y evaluarla.

Con frecuencia se toman decisiones en entornos que tienen incertidumbre, estas se analizan teniendo en cuenta las probabilidades a priori y a posteriori.

1. TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI

Terminología utilizada en los modelos de toma de decisiones:

• Alternativas de solución (di): El tomador de decisiones necesita elegir una de las alternativas posibles. Esta bajo su control

• Estados de la naturaleza (Sj): Acontecimientos o eventos que afectan el resultado de la decisión. No es controlado por el tomador de decisiones.

• Resultados V (di, Sj): Cada combinación de una alternativa de solución y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, que se da por medio de una tabla de pagos.

• Matriz de Pago o de Resultados: el conjunto de resultados constituye la matriz de pagos. Las entradas de una matriz de pagos se pueden cuantificar en términos de utilidad, costo, tiempo o cualquier otra medida de resultado que pudiera ser apropiada para la situación a analizar.

Sj

d(i)

Estados de la naturaleza

S1 S2 ... Sj ... Sn

d1 V(d1;S1)

d2

.

di V(di;Sj)

.

dm

p(Sj) p1 p2 ... pj ... Pn

• Árbol de decisión: Está formada por nodos de decisión ; nodos de estado , enlace entre los nodos (ramas) y resultados al final de las ramas. Representa gráficamente el proceso de toma de decisiones.

2. CRITERIOS DE DECISIÓN

TOMA DE DECISIONES SIN PROBABILIDADES

Este criterio ignora las probabilidades de los estados de la naturaleza. Se enfoca en los siguientes métodos:

2.1. El Método Optimista

Propone buscar los mejores resultados posibles para cada alternativa de decisión y escoger la alternativa que tenga el resultado más óptimo. Esta estrategia ignora las consecuencias que puede traer dicha elección.

La elección de la alternativa depende del tipo de problema. Para un problema de maximización le corresponde optar por aquella alternativa con la utilidad más alta; para un problema de minimización le corresponde optar por aquella alternativa con el menor valor.

2.2. El Método Pesimista

Propone buscar los peores resultados posibles para cada alternativa de decisión y escoger la alternativa con el mejor de los peores resultados posibles.

La elección de la alternativa depende del tipo de problema. Para un problema de maximización le corresponde el max (min); para un problema de minimización le corresponde el min (max).

2.3. El Método de la Deploración

La elección de la alternativa se realiza mediante el costo de oportunidad y depende del tipo de problema.

Hallar la matriz de deploración mediante R (d i , S j )=V∗(S j )−V (d i ,S j)

S1 ... Sm

d1 R (d1 , S1) ... R (d1 , Sm )

dn R (dn , S1 ) ... R (dn , Sm )

a) Para un problema de maximización: V*(S j¿ es el mayor valor. Se identifican los máximos resultados de cada fila en la matriz hallada. Luego se opta por la mejor decisión mediante el min (max) de los valores encontrados.

b) Para un problema de minimización: V*(S j¿ es el menor valor. Se identifican los mínimos resultados de cada fila en la matriz hallada. Luego se opta por la mejor decisión mediante el max (min) de los valores encontrados.

TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI

En muchas situaciones de toma de decisión podemos obtener estimaciones de probabilidades para cada uno de los estados de la naturaleza. Cuando sus probabilidades están disponibles podemos usar el enfoque de valor esperado para identificar cual es la mejor alternativa de decisión.

N = Número de estados de la naturaleza

p (S j )= Probabilidad del estado de la naturaleza S j

Dado que solamente pueden ocurrir uno y solamente uno de los N estados de la naturaleza, las probabilidades deben de satisfacer dos condiciones:

Para cada alternativa de decisión calcule el valor esperado VE (di).

VE (d i )=∑j=1

n

p (S j )∗V (d i , S j)

Las probabilidades correspondientes deben satisfacer las siguientes condiciones:

P(sj)≥ 0 Para todos los estados de la naturaleza

∑j=1

n

p (S j )=p (S1 )+ p (S2 )+…+p (Sn )=1

Finalmente, seleccione la alternativa con el mayor valor esperado.

3. ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Permite diseñar escenarios en los cuales podremos analizar posibles resultados de nuestro proyecto, cambiando los valores de sus variables y restricciones financieras y determinar el cómo esta afecta el resultado final.

Para el caso con dos estados de la naturaleza, se puede realizar un análisis de sensibilidad usando un procedimiento gráfico; para ello se le asigna:

p (S1 )=p y p (S2 )=( p−1)

Luego se evalúa el VE (di); graficando estas ecuaciones lineales en:

En el gráfico se realiza el análisis correspondiente, estableciéndose los rangos de variación de p y las modificaciones de las decisiones recomendadas.

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION PERFECTA (VE de IP)

La VEIP puede considerarse como una medida general de impacto económico de la incertidumbre en el problema de decisión. Es un indicador de valor máximo que convendría pagar por conseguir información adicional antes de actuar.

VEdeIP = VEconIP - VE*

VEconIP =∑j=1

n

p(Sj) . (mejor valor en Sj)

VE*: Mejor valor esperado.

TRABAJO APLICATIVOTRABAJO APLICATIVO

La empresa Piedrín ubicada en la cuidad de Huacho, está considerando preparar las siguientes cantidades de hamburguesa de carne 65,80 y 120 unidades; además se cuenta con los siguientes datos correspondientes a las ventas de la última semana en la ya mencionada hamburguesería.

Baja Demanda Alta Demanda

Lunes

MartesMiércoles

Jueves Viernes Sábado Domingo

52 68 85 75 105 112 120

Dichos datos nos han permitido hallar las posibles demandas, las cuales 70,112.

La matriz de utilidades se muestra a continuación:

S1(70) S2(112)

d1(65)+52 -24

d2(80) +56 -28

d3(120) -40 +89.6

Probabilidades

0.57 0.43

Ofertas

d1=65

d2=80

d3=120

CRITERIOS DE DECISIÓN

TOMA DE DESICIONES SIN PROBABILIDADES

1. El Método Optimista En este método elijaremos d3 ya que es el mejor resultado que nos brinda mayor utilidad

d3(120)

2. El Método ConservadorEn este método optamos por la decisión 1, ya que es la peor decisión de donde se obtendría la utilidad mínima.

d1(65)

3. El Método De La Deploración (Costo De Oportunidad)

S1(70) S2(112) Min(Max)

d1(65)4 113.6 113.6

d2(80) 0 117.6 117.6

d3(120) 96 0 96

TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI

1. Criterio De Probabilidad Máxima.Se opta por la decisión 2 ya que es la alternativa de decisión que tiene el mayor pago para el estado de naturaleza de probabilidad 0.57 (el mayor).

d2(80)2. Criterio de igual probabilidad.

Probabilidadde decisiones

d1(65)14

d2(80) 14

d3(12 0) 24.8

3. Regla De Decisión De Bayes.

VE ( di ) = ∑j=1

n

p(Sj) V ( di , Sj )

Donde:

n es el número de posibles estados de la naturaleza

p( Sj) es la probabilidad de ocurrencia del estado de la naturaleza Sj.

Entonces:

VE (d1 )=0.57∗(52 )+0.43∗(−24 )

VE (d1 )=19.32

VE¿ (d2 )=0.57∗(56 )+0.43∗(−28 )

VE (d1 )=19.88 Optamos por la decision 2

VE (d3 )=0.57∗(−40 )+0.43∗(89.6 )

VE (d1 )=15.73

4. Árbol de decisión.

5. Análisis De Sensibilidad

VE (d1 )=52 p−24∗(1−p )=76 p−24

VE (d2 )=56 p−28∗(1−p )=84 p−28

VE (d3 )=−400+89.6∗(1−p )=−129.6 p+89.6

6. Valor Esperado De La Información Perfecta (Vedeip)VEdeIP = VEconIP - VE*

Valor Esperado con la Información Perfecta (Veconip)

VEconIP =∑j=1

n

p(Sj) . (Mejor valor en Sj)VEconIP =0.57*(56)+0.43*(89.6)VEconIP =75.578

Entonces:

VEdeIP = 75.578 – 19.88

VEdeIP = 55,698

∴El margen de utilidad que se puede conseguir es de 55,698

P=0.55P

VE

84p-28 = -129.6p+89.6213.6p=117.6

P=0.55

P∈¿

P∈[0.55 ;1]→d2

Tema 6: MODELO DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A POSTERIORI

USO DE NUEVA INFORMACION PARA ACTUALIZAR PROBABILIDADProbabilidad A Priori de los estados de la naturaleza, son subjetivos por ello solo puede que sean estimaciones de las verdaderas probabilidades. Por ello se da sondeos adicionales (a cierto costo) para mejorarlas, estas reciben el nombre de probabilidades a posterioriANALISI BAYESIANOCombina datos de la probabilidad a priori con los datos muestrales, desarrollados por BAYES

La información adicional sobre los estados de la naturaleza que actualizara las probabilidades anteriores, se llama INFORMACIÓN MUESTRAL.

La nueva información combinada con la anterior, mediante el procedimiento bayesiano se le llama probabilidad posteriori o modificada

La nueva información se llama INFORMACION MUESTRAL (IM) o indicador I k Y la probabilidad será P(Sk /J k)

Ley de bayes: p (Sk / I k )=p ( I k /Sk ) p (Sk )

P(I k )

Donde p ( I k )=∑j=1

N

p ( I k /S j ) p(S j)

El análisis Bayesiano se puede realizar en un árbol de decisión

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN MUESTRAL (VEIM)VEde ℑ=VEcon ℑ−VE¿

EFICIENCIA DE LA INFORMACIÓN MUESTRAL

E= VEde ℑVE de IP

Para valores de E:

Bajos se recomienda buscar otro tipos de información Altos la IM es casi tan buena como la IP

UTILIDAD Y PREFERENCIA EN LA TOMA DE DECISIONESEsto se da para casos en que la decisión que muchas veces tomemos no solo depende del mejor valor monetario que nos brinde esa opción, sino de criterios o preferencias del decisor.Utilidad Esperada (UE) :Para poder hallar la Utilidad Esperada se deben seguir los siguientes pasos:

Se asigna en primer lugar un valor utilitario a los posibles resultados mejor y peor de las situaciones de decisión.

Se determina luego la utilidad correspondiente a cada uno de los resultados V(di;Sj) restantes.

U (di ; Sj) = p. U[máx.(di ; Sj)] +(1-p). U [min(di ; Sj)] =10p

Donde p es la preferencia que tiene el decisor al máx. (di ; Sj) respecto al V(di;Sj). Luego se obtiene la siguiente tabla:

di S1 S2 . . . SN

d1 U(d1;S1) U(d1;S2) . . . U(d1;SN)d2 U(d2;S1) U(d2;S2) . . . U(d2;SN). . . . . . .. . . . . . .dm U(dm;S1) U(dm;S2) . . . U(dm;SN)P(Sj) P(S1) P(S2) . . . P(SN)

La utilidad esperada se obtiene mediante:

La decisión elegida será aquella con el mejor UE(di )

TRABAJO APLICATIVOTRABAJO APLICATIVO

La empresa Pedrín, está considerando preparar las siguientes cantidades de hamburguesa de carne 65,80 y 120 unidades. La matriz de utilidades se muestra a continuación:

U [min(di ; Sj)] = 0

U [máx.(di ; Sj)] = 10

UE (d i )=∑j=1

N

p (S j )U (d i ;S j)

Ofertas

d1=65

d2=80

d3=120

S1(70) S2(112)d1(65)52 14.4

d2(80) 56 30.4d3(120) 56 89.6

Probabilidades

0.57 0.43

S1: Promedio de Demanda Baja (70).

S2: Promedio de Demanda Alta (112).

VARIABLES DE LA INFORMACIÓN MUESTRAL:

I 1: Cliente Paciente: Aquellos clientes que esperan pacientemente la atención de su pedido.

I 2: Cliente Impaciente: Aquellos clientes ansiosos que no desean esperar mucho para ser atendidos. Estos dejan el

establecimiento por el tiempo de espera y se dirigen a otro de la competencia.

LA INFORMACION MUESTRAL

Se recabó información aleatoria con respecto al último mes, en la cual se contempla aproximadamente que de cada 10 clientes en que la demanda era baja, se estimaba que 2 clientes resultaban ser impacientes, y de cada 10 clientes en que la demanda era alta, 6 clientes eran impacientes.

Dicha información ha sido plasmada en el siguiente cuadro.

La información en porcentajes es la siguiente.

1. Cálculo del Valor Esperado:

Ofertas

d1=65

d2=80

d3=120

I 1 I 2 Total

S1 2 8 10S2 6 4 10

I 1 I 2

S1 0.20 0.80

S2 0.60 0.40

VE (d1 )=0.57∗(52 )+0.43∗(14.4 )

VE (d1 )=35.832

VE¿ (d2 )=0.57∗(56 )+0.43∗(30.4 )

VE (d2 )=44.992 VE (d3 )=0.57∗(56 )+0.43∗(89.6 )VE (d3 )=70.448

2. Cálculo del Valor Esperado de Información Perfecta:

VEdeIP = VEconIP - VE*

Valor Esperado con la Información Perfecta (Ve con ip)

VEconIP =∑j=1

n

p(Sj) . (Mejor valor en Sj)VEconIP =0.57*(56)+0.43*(89.6)VEconIP =75.578

Entonces:

VEdeIP = 75.578 – 70.45

VEdeIP = 5,128

∴El margen de utilidad que se puede conseguir es de 5,128

3. Cálculo del Valor Esperado de Información Muestral:

P ( I k )=∑j=1

N

P ( I k /S j ) P(¿ S j)¿

P ( I1 )=(0.57∗0.2 )+(0.43∗0.6 )=0.372

P ( I 2)=(0.57∗0.8 )+(0.43∗0.4 )=0.628

P(S j / I k)=P(I k /S j)P (S j)

P ( I k )

P( S1

I1)=0.57∗0.2

0.372=0.306

P( S2

I1)=0.43∗0.6

0.372=0.694

P( S1

I 2)=0.57∗0.8

0.628=0.726

P( S2

I2)=0.43∗0.4

0.628=0.274

Optamos por la

Valor Esperado con Información Muestral (Ve con im)

VEconIM =(0.372*79.318)+(0.628*65.206)VEconIM =70.456

Entonces:

VEdeIM = 70.456 – 70.448

VEdeIM = 0.008

4. Eficiencia de la Información Muestral:

E= VEdeIM/ VEdeIP

E= 0.008/5,128 = 0.0016

5. Utilidad Esperada

U[min(d1;Sj)] = 0

U[max(d1;Sj)] = 10

U(d1;Sj) =p. U[max(d1;Sj)] = 10 + (1-p) U[min(d1;Sj)]

U(d1;Sj) = 10p

V (d1 , S j) Preferencia (p)

89.6 1

56 0.8

52 0.6

30.4 0.4

14.4 0.2

S1 S2d1 6 2d2 8 4d3 8 1P(Sj) 0.57 0.43

UE(d1) = (0.57*6)+(0.43*2) = 4.28UE(d2) = (0.57*8)+(0.43*4) = 6.28UE(d3) = (0.57*8)+(0.43*1) = 4.99

Conclusiones

Para la toma de decisiones con probabilidades a posteriori es necesario realizar un estudio muy minucioso del mercado para obtener de esa manera la información más exacta posible y tomara decisiones con la mayor confiabilidad posible, reduciendo el grado de incertidumbre.

Optamos por la

Con el método de la utilidad y preferencias establecimos los criterios que según el decisor deben de tener sus decisiones, asignándoles preferencias para cada uno de ellos.

La toma de decisiones con la regla de decisión de Bayes muestran la incertidumbre de tomar una decisión, planteadas en modelos matemáticos pero a diferencia de Bayes el segundo toma como punto principal las preferencias del decisor para cada uno de sus posibles resultados.

TEMA 7 : TOMA DE DECISIONES CON CRITERIOS MÚLTIPLES

En el mundo real, se consideran problemas con objetivos múltiples en forma simultánea; por lo tanto es necesario utilizar técnicas que permitan evaluar estos criterios múltiples para llegar a la mejor decisión global; para ello se consideran las siguientes técnicas.

1. PROGRAMACIÓN META (PM)

La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas.

Un factor clave que diferencia la PM de la lineal es la estructura y la función objetivo. En la PL se incorpora una meta en la función objetivo, mientras que en la PM se incorporan muchas metas expresadas en forma de restricción, incluyendo una variable de desviación para reflejar la medida en que se llegue o no a lograr la meta, e incorporando esa función en la función objetivo. Estas variables de desviación, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en PL toman un nuevo significado en la PM. Ellas se dividen en desviaciones positivas y negativas de cada una de las submetas o metas.

En la PM, en vez de intentar minimizar o maximizar la Función Objetivo directamente, como en la PL, se minimizan las desviaciones entre las metas. (Todos los problemas de PM son de MIN).

PROCEDIMIENTO

1. Identificar las metas y nivel de prioridades.2. Definir las variables de decisión.3. Plantear las restricciones.

Restricción del sistema (duras). Restricciones metas (suaves); (se incluyen las variables de desviación “d “ ).

d+ : por encima de la meta. d- : por debajo de la meta.

4. Plantear la función objetivo (MIN: d+ o d-).5. Solución del modelo.

TEMA 8: PROCESO ANALÍTICO DE JERARQUÍAS ( PAJ )

DEFINICIÓN: Es técnica estructurada que fue diseñada para resolver problemas complejos que tienen criterios múltiples para la toma de decisiones sobre todo en la investigación de mercados de nuevos productos.

PROCEDIMIENTO

1. Desarrollo de jerarquías. 2. Elaboración de la matriz de comparaciones

pareadas.3. Sintetización.

Vector de prioridades.4. Jerarquización global.

PRUEBA DE CONSISTENCIAEvalúa la calidad de las comparaciones pareadas mediante la relación de consistencia (RC).RC = IC / IA ; si RC 0.10; se considera un nivel de consistencia aceptable.

El índice aleatorio (IA) depende del número de elementos que se comparan (Tabla).

n 3 4 5 6 7 8IA 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41

El índice de consistencia (IC) se obtiene mediante:

IC=(λ¿¿max−n)/(n−1)¿

Para hallar λmax. : 1. Se halla el vector suma ponderada.

2. Se divide los elementos del vector suma ponderada entre el correspondiente valor de prioridad.

3. λmax.. es el promedio de (2).Escala para comparaciones PAR a PAR

1 Igualmente importante2 Moderadamente importante3 Fuertemente importante4 Muy fuertemente importante5 Extremadamente importanteAplicación del Proceso Analítico Jerárquico a un caso de Elección de la Mejor Pollería

Se trata de aplicar la teoría del PAJ en un problema en el que existe un consumidor que quiere elegir una pollería, la cual

podría estar ofertando servicio con cierto valor agregado. Por ello este individuo, al que nos referimos como centro

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:AHPHierarchy1Spanish.png

decisor, se plantea como debe seleccionar la mejor pollería para satisfacer sus necesidades. El objetivo de esta aplicación

es mostrar a este individuo un método que facilite la toma de decisión.

Modelización del problema:

Objetivo: Elección de la Mejor Pollería.

Criterios:

Precio

Calidad

Entretenimiento

Atención

Alternativas: Aquellas propuestas factibles que nos llevara a alcanzar el objetivo, en este caso, determinado por las más

importantes pollerías ubicadas en la Av. 28 de Julio de Huacho:

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

1. Jerarquía

2. MATRIZ DE COMPARACIÓN DE CRITERIOS:

CriteriosPrecio

Calidad

Entretenimiento

Atención

Precio 1 1/3 4 1/2Calidad 3 1 5 2Entretenimiento 1/4 1/5 1 1/4

Atención 2 1/2 4 1

Elección de la Mejor Pollería

Precio

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Calidad

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Entretenimiento

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Atencion

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Total 6.25 2.03 14 3.75

2.1. Hallando el vector de prioridad

CriteriosPrecio

Calidad

Entretenimiento

Atención

V.P

Precio 0.16 0.16 0.29 0.13 0.19Calidad 0.48 0.49 0.36 0.53 0.47Entretenimiento 0.04 0.10 0.06 0.07 0.07

Atención 0.32 0.25 0.29 0.27 0.28

2.2. Prueba de Consistencia:

Calculando Vector Suma ponderado

1

* 0.19

+

1/3

* 0.47

+

4

* 0.07 +

1/2

*0.28

=

0.77

3 1 5 2 1.95

1/4 1/5 1 1/4 0.28

2 1/2 4 1 1.18

Calculando la media ℷmax

λ=( 0.770.19 )+( 1.95

0.47 )+( 0.280.07 )+( 1.18

0.28 )4

=4.10

Calculando el índice de Consistencia (IC):

IC=( λ−n)n−1

IC=(4.10−4)

3=0.03

Calculando la Razón de Consistencia:

RC= ICIA

RC=0.030.90

=0.03

En este caso el grado de consistencia dio aceptable (0.03) al ser menor que 0.10

3. MATRIZ DE COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS EN TERMINOS DEL CRITERIO PRECIO

Precio Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Pollo Loco 1 1/3 2

Yorkys 3 1 4Rockys 1/2 1/4 1Total 4.50 1.58 7.00


Precio Pollo Loco

Yorkys

Rockys

V.P

Pollo Loco 0.22 0.21 0.29 0.24

Yorkys 0.67 0.63 0.57 0.62Rockys 0.11 0.16 0.14 0.14



1 1/3 2 0.72

3* 0.24

+ 1* 0.62

+ 4 * 0.14

=1.89

1/2 1/4 1 0.41


λ=( 0.720.24 )+( 1.89

0.62 )+( 0,410.14 )

3=3.02


IC=( λ−n)n−1

IC=(3.02−3)

2=0.01


RC= ICIA

RC=0.010.58

=0.017


4. MATRIZ DE COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS EN TERMINOS DEL CRITERIO CALIDAD

Calidad Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Pollo Loco 1 4 3

Yorkys 1/4 1 1/2Rockys 1/3 2 1Total 1.58 7.00 4.50


Calidad Pollo Loco

Yorkys

Rockys

V.P

Pollo Loco 0.63 0.57 0.67 0.62

Yorkys 0.16 0.14 0.11 0.14Rockys 0.21 0.29 0.22 0.24



1 4 3 1.89

1/4* 0.62 + 1 *

0.17+ 1/2 *

0.24=

0.41

1/3 2 1 0.7

2


λ=( 1.890.62 )+( 0.41

0.14 )+( 0.720.24 )

3=3.02


IC=( λ−n)n−1

IC=(3.02−3)

2=0.01


RC= ICIA

RC=0.010.58

=0.017


5. MATRIZ DE COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS EN TERMINOS DEL CRITERIO ENTRETENIMIENTO

Entretenimiento

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Pollo Loco 1 2 1/2Yorkys 1/2 1 1/2Rockys 2 2 1Total 3.5 5.00 2.00


Entretenimiento

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

V.P

Pollo Loco 0.29 0.4 0.25 0.31Yorkys 0.14 0.2 0.25 0.20Rockys 0.57 0.4 0.5 0.49



1 2 1/2 0.96

1/2* 0.31 + 1 *

0.20+ 1/2 *

0.49=

0.60

2 2 1 1.85


λ=( 0.960.31 )+( 0.60

0.20 )+( 1.850.49 )

3=3.06


IC=( λ−n)n−1

IC=(3.06−3)

2=0.0 3


RC= ICIA

RC=0.030.58

=0.05


6. MATRIZ DE COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS EN TERMINOS DEL CRITERIO ATENCIÓN

Atención

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

Pollo Loco 1 1/4 3

Yorkys 4 1 5Rockys 1/3 1/5 1Total 5.33 1.45 9.00


Atención

Pollo Loco

Yorkys

Rockys

V.P

Pollo Loco 0.19 0.17 0.33 0.19

Yorkys 0.75 0.69 0.56 0.75Rockys 0.06 0.14 0.11 0.06



1 1/4

3 0.70

4* 0.19 + 1 *

0.75+ 5 *

0.06=

2.09

1/3 1/5

1 0.31


λ=( 0.700.19 )+( 2.09

0.75 )+( 0.310.06 )

3=3.09


IC=( λ−n)n−1

IC=(3.09−3)

2=0.0 45

Luego:


RC= ICIA

RC=0.0450.58

=0.08

10 8

Investigación Operativa II Ing. De sistemas


7. PRIORIDAD GLOBAL

PGPolloLoco=(0.24 )∗(0.19 )+(0.62 ) (0.47 )+ (0.31 ) (0.07 )+(0.19 ) (0.28 )=0.4119

PGYorkys=(0.62 )∗(0.19 )+ (0.14 ) (0.47 )+ (0.20 ) (0.07 )+(0.75 ) (0.28 )=0.4076

PGRockys=(0.14 )∗(0.19 )+ (0.24 ) (0.47 )+(0.49 ) (0.07 )+(0.06 ) (0.28 )=0.1905

Luego de los procedimiento anteriormente realizados podremos observar que la alternativa que mejor se ajuste a las necesidades del centro decisor sería la Pollería Pollo Loco.

CONCLUSIÓN

Tanto la Programación por Metas como la aplicación del Proceso Analítico Jerárquico no nos garantiza la mejor

decisión, ya que estos son modelos que nos permite realizar un análisis de que la decisión que se recomienda o

adopta este basada en el análisis minucioso de un problema y en la síntesis de la información formada por el

conocimiento, experiencia, opiniones y preferencias de los diferentes agentes que se hallan involucrado en el

proceso de toma de decisión. En otras palabras hay que considerarlo como un procedimiento que permite en la

generalidad de los casos obtener resultados razonables de problemas multicriterio de gran complejidad e

importancia.

10 8


PROGRAMACIÓN DINÁMICA

1. DEFINICIÓN DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA:

La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en los que es

necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa

condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema

se encontrará en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el

futuro.

Conviene resaltar que a diferencia de la programación lineal, el modelado de problemas de

programación dinámica no sigue una forma estándar. Así, para cada problema será necesario

especificar cada uno de los componentes que caracterizan un problema de programación

dinámica.

En muchos casos las decisiones del pasado afectan los escenarios del futuro. En estos casos se

pueden tomar 2 opciones: asumir que el efecto temporal o dinámico espoco relevante y solo

considerar modelos de un periodo (PPL) o considerar el efectodinámico dentro del modelo

(programación dinámica).

La programación dinámica nace después de la segunda guerra mundial, donde se presentó la

necesidad de resolver procesos de decisión en múltiples etapas. Está técnica usa funciones

recursivas y un principio de optimalidad, desarrollado por Bellman, para resolver este tipo de

problemas.

2. EL MODELO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

La formulación del modelo que se verá a continuación corresponde a la formulación

backward. Cabe señalar que también existe la formulación forward.

El concepto de programación dinámica se basa en el uso de ecuaciones funcionales y

el principio de optimalidad de Bellman. Las ecuaciones funcionales corresponden a:

10 8


Las funciones que dan cuenta de la función objetivo (desde una etapa k hasta el fin del

horizonte de tiempo)

La función de interrelación entre estados de 2 etapas consecutivas.

Condiciones de borde.

A continuación se muestra la formulación backward:

fk(yk) =máx{Hk(yk,xk,fk+1(yk+1))}

xk ∈Ak(yk)

yk+1 = Tk(yk,xk)

k = n, n − 1,...,1

y1 = M

fn+1(yn+1) = F

Describamos cada elemento:

1. Etapas: k

Particiones del problema en los cuales se pueden tomar decisiones que no dependan de

estados anteriores, sino sólo del estado actual. Ej.: días, meses, años, etapas de

producción en una línea, etc. Para su programación debe existir una etapa final(n).

2. Variables de Estado: yk

Variables que caracterizan la situación en la que se encuentra el sistema en una etapa

dada. Estás variables dan la independencia a la etapa actual de las etapas anteriores, por

lo que deben existir tantas variables de estado como las que permitan establecer en qué

condiciones comienza (o finaliza) una etapa para su posterior optimización.

3. Variables de Decisión: xk

Decisiones cuantificables cuyos valores se intenta determinar por medio de la resolución

del modelo. Su valor determina el valor de las variables de estado de las etapas futuras.

10 8


4. Espacio de Soluciones Factibles: Ak(yk)

Espacio de soluciones factibles de las variables de decisión. Estos valores pueden

depender de las variables de estado, es decir, para valores distintos de las variables de

estado puede haber distintos espacios de soluciones factibles.

5. Ecuaciones de Recurrencia:

Función de Recursión: fk

Ecuación que indica cómo se acumula la función de valor desde la etapa k hasta la etapa

final.

Función de Transformación: yk+1 = Tk(yk,xk)

Ecuación que indican cómo se relaciona las variables de estado y decisión de una etapa

con la variable de estado de la etapa posterior.

6. Función de Valor o Beneficio: ( Función Objetivo) Hk

Criterio de comparación entre distintos valores de las variables de estado. Es el objetivo

a alcanzar por la resolución del problema en cada etapa.

7. Condiciones de Borde: y1 = M y fn+1(yn+1) = F

Limitaciones que deben imponerse al problema, corresponden a condiciones iniciales o

finales que deben cumplirse.

Veamos algunas características de este modelo importantes de ser destacadas:

1. Esta formulación tiene el concepto de recursividad, que es la generalización del concepto

dinámico del modelo. Esto se observa en que fk(yk) es definido en función de las variables

(yk, xk) del periodo k y en función de s´ı misma en el periodo siguiente (fk+1(yk+1)).

10 8


2. Las condiciones de borde permiten obtener la solución explicita del modelo, ya que la

etapa n requiere conocer fn+1, y la etapa 1 requiere desparametrizar la solución, asignando

un valor conocido a y1.

3. La función Hk corresponde a la representación de la función objetivo en la etapa k hasta la

etapa n. Ella deberá construirse de manera que otorgue el valor de la función objetivo en cada

etapa.

4. La función de transformación Tk(yk,xk) establece la relación entre las variables de

estado yk e yk+1 para 2 periodos consecutivos. La variable de estado de la etapa siguiente

(yk+1) es expresada como una función de la variable de estado (yk) y de la variable de decisión

(xk) de la etapa actual.

5. El conjunto Ak representa al conjunto de restricciones asociadas a la variable de decisión de

la etapa k. Estas restricciones sólo deben incluir a las variables de decisión de la etapa k y no

deben incluir a las de otras etapas.

6. La solución del subproblema de optimización en la etapa k, es una solución paramétrica en

la variable de estado yk, ya que f es en función de ella. Este subproblema de optimización tiene

como variable de decisión a xk, y el resultado es leído como: “para la etapa k, xk es la mejor

decisión para un yk dado, y fk(yk) es el mejor valor de la función objetivo desde la

etapa k hasta la etapa n”.

7. Se denomina política óptima de la etapa k, k + 1,...,n para un determinado estado inicial en

la etapa k. La política óptima global, esto es, desde la etapa 1,constituye la solución óptima del

problema, puesto que en la etapa 1 se tiene sólo un estado inicial factible.

3. PRINCIPIO DE OPTIMALIDAD DE BELLMAN

10 8


La resolución del modelo en forma óptima mediante programación dinámica está garantizada

siempre y cuando las soluciones del problema verifiquen el principio de optimalidad de

Bellman: “Una solución óptima tiene la propiedad que cualquiera sea el estado inicial y la

decisión inicial, las decisiones para las etapas posteriores deben constituir una política óptima

con respecto al estado resultante de la primera decisión”.

En otras palabras, las decisiones involucradas desde una etapa en adelante sólo dependen del

estado inicial de la etapa y no de las decisiones previas.

4. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Para que un problema pueda ser resuelto con la técnica de programación dinámica, debe

cumplir con ciertas características:

Naturaleza secuencial de las decisiones: El problema puede ser dividido en etapas.

Cada etapa tiene un número de estados asociados a ella.

La decisión óptima de cada etapa depende solo del estado actual y no de las decisiones

anteriores.

La decisión tomada en una etapa determina cual será el estado de la etapa siguiente.

En síntesis, la política óptima desde un estado s de la etapa k a la etapa final está constituida

por una decisión que transforma s en un estado s de la etapa k +1 y por la política óptima

desde el estado s hasta la etapa final.

5. RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Para resolver un problema de programación dinámica debemos al menos realizar:

A. Identificación de etapas, variables de estados y variables de decisión:

• Cada etapa debe tener asociada una o más decisiones (problema de optimización),cuya

dependencia de las decisiones anteriores está dada exclusivamente por las variables de

estado.

10 8


• Cada estado debe contener toda la información relevante para la toma de decisión

asociada a la etapa.

• Las variables de decisión son aquellas sobre las cuales debemos definir su valor de

modo de optimizar el beneficio acumulado y modificar el estado de la próxima etapa.

B. Descripción de ecuaciones de recurrencia:

Nos deben indicar como se acumula la función de beneficios a optimizar y como varían

las funciones de estado de una etapa a otra.

C. Resolución:

Debemos optimizar cada subproblema por etapas en función de los resultados de la

resolución del subproblema siguiente. Notar que para que las recurrencias estén bien

definidas requerimos de condiciones de borde.

Respecto a lo último, la resolución tiene la particularidad de realizarse desde atrás hacia

adelante, realizando los siguientes pasos:

1. Partir en la etapa n, haciendo k = n.

2. Colocar todos los valores factibles de las variables de estado y las de decisión en la

etapa k.

3. Calcular Hk para cada valor del par ordenado (yk, xk) calculado anteriormente.

4. Elegir para cada yk el valor óptimo que debe tener xk y el correspondiente valor de

Hk.

5. Si k = 1 parar, sino disminuir k en 1 y volver a (2).

6. Hacer k = 1

7. Dado que y∗k se conoce, buscar el valor óptimo de xk correspondiente a y∗k y

guardarlo en x∗k, a partir del cual determinar y∗k+1.

8. Si k = n parar, sino aumentar k en 1 y volver a (7).

Luego, los valores de x∗k, con k = 1,...,n corresponde a las decisiones óptimas a tomar

en cada etapa y f∗1(y∗1) corresponde al valor del beneficio en la solución óptima.

6. TIPOS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA:

10 8


A. EL PROBLEMA DE LA DILIGENCIA

El problema de la diligencia es un problema clásico en la programación dinámica.

La idea de este problema es que un vendedor está viajando de una ciudad a otra ciudad.

Su medio de transporte es una diligencia. Cada camino que elija de su viaje cuesta una

cantidad y quiere encontrar el costo mínimo de su viaje, teniendo en cuenta varias rutas.

Pasos a seguir mediante un ejemplo.

Se desea ir de la ciudad 1 a la ciudad 10

Comience por dividir el problema en etapas como se muestra

Supongamos que usted está en el nodo i, que desea encontrar la ruta

de menor costo de i a 10. Comience en el nodo 10, y trabaje hacia atrás a través

de la red como se muestra a continuación.

Comience en la Etapa 1 (la última etapa).

s f*1(s) x* 1

10 8


En la etapa 2 se calcula (s, x2) f2=CSX2+f *1 (x2) para todo (s,x2)

En la etapa 3 se calcula (s, x 3) f3= csx3 + f * 2 (x3) para todo (s, x3)

En la etapa 4 se calcula (s; x4) f4 = CSX2 + f * 3 (x4) para todo (s, x 4) Elegir de la

etapa 4 a la etapa 1 la mejor ruta de las tablas.

A continuación, se suman los números a lo largo de la ruta y se haya la mejor

solución del problema.

B. PROBLEMA DE MOCHILA

El problema de la mochila es un problema de optimización combinatoria : Dado un conjunto

de elementos, cada uno con un peso y un valor, determina el número de cada elemento a

incluir en una colección de modo que el peso total es inferior o igual a un límite establecido

y el valor total es tan grande como sea posible. Deriva su nombre del problema enfrentado

por alguien que se ve limitado por un tamaño fijo de mochila, y le llenan de artículos más

útiles.

El problema surge a menudo en la asignación de recursos con limitaciones financieras.

Formulación del Modelo.

Donde:

n objetos

aj: espacio que ocupa el objeto j

Max∑j=1

n

c j x j

s .a .

∑j=1

n

a jx j≤b

x j∈ {0,1 }

E1 E2 E3 E47

8

9

4

5

3

2

3

1

2

2

3

1

4

2

3

1

3 10 8


cj: valor del objeto j

b: capacidad de la mochila (o contenedor).

xj: 1 si se escoge el objeto j

C. PROGRAMACIÓN DE PRODUCCIÓN E INVENTARIO

El problema consiste en determinar un programa de producción para un periodo de tiempo

con el fin de minimizar los costos totales relacionados. Hay demandas conocidas para cada

periodo, límites de capacidad tanto para la producción como para los inventarios

(almacenamiento). Cuando hay más producción que demanda, se acumula inventario, y

cuando la producción es menor que la demanda, se generarán retrasos en el cumplimiento

de pedidos (backorder). Para cada periodo, una producción no-cero incurre en un costo de

preparación. En programación dinámica, el costo variable se expresa como una función de la

producción (P), el inventario (H), y backorder (B).

APLICACIÓN DE PROGRAMACIÓN DINAMICA

1. PROBLEMA DE LA DILIGENCIA (STAGECOACH PROBLEM), O VIAJERO.Identificación del Problema.

La hamburguesería Pedrin Ubicada en calle San Román está dedicada al servicio de comida rápida, dicha empresa realiza entrega deliverys cuando es requerido, y su principal objetivo es la entrega de sus servicios en las mejores condiciones posibles, para lo cual siempre buscan la manera de hacer llegar sus pedidos de manera rápida.

En esta ocasión la empresa que solicito sus servicios es Telefónica la cual está ubicada entre la esquina de San Martin con Domingo Coloma, para lo cual se citó cuales serian las rutas a seguir y también se le asigno a cada ruta cual sería el tiempo (en minutos) que le tomará en transitar por dicha ruta a las 1.00pm (hora que se solicito el pedido) para así poder determinar cuál es la ruta que nos lleve de manera más rápida a nuestro destino

10 8


Diagnóstico del Problema.

Características del Problema:

El empleado debe elegir una de las alternativas (un ruta a seguir). Su viaje inicia en la Hamburguesería Pedrín. Su viaje termina en la Central de Telefónica-Huacho

Solución del Modelo.

Para E4:

d4

x4

9d4

¿ f 4¿

7 1 9 18 3 9 3

Para E3:

Para E2:

d2

x2

4 5 6d2

¿ f 2¿

2 10

6 -- 5 6

3 -- 4 7 5 4

Para E1:

Leyenda de Rutas

1. Hamburguesería Pedrín2. Echenique3. Alfonzo Ugarte4. Atahualpa5. Av. Grau6. Francisco Rosas7. Domingo Coloma8. San Martín9. Central de Telefónica-Huacho

d3

x3

78 d3

¿ f 3¿

4 -- 7 8 75 3 -- 7 36 -- 6 8 6

10 8

31 5 7 9


d1

x1

2 3d1

¿ f 1¿

1 8 6 3 6

Por lo tanto la ruta que le conviene seguir es pasar por las rutas:

Comentarios.

En encargado de trasladar el pedido deberá salir de Pedrín (por Sáenz Peña), continuar por Echenique, Av. Grau, Coloma y así llegar a la central de telefónica con su pedido en el menor tiempo (6 minutos) ya que se evitaron las rutas de congestión vehicular y así entregar los idos las mejores condiciones.

2. PROBLEMA DE CASO MOCHILA:

Identificación del Problema.

La Librería “Jacky” ubicada en Av. San Martin N° 215 del Distrito de Huaura, ofrece a sus clientes el servicio de envío de los materiales que se requieran, donde lo mas solicitado son los 3 siguientes tipos de papel: Lustre, Papelógrafo y Cartulina, la Sra. Jacky Carrera Farro necesita saber cuál es la utilidad que le genera enviar el paquete de papeles conformado por los tres ya mencionados, sabiendo que este debe tener una capacidad máxima de 10 kg., en la siguiente tabla se muestran los respectivos pesos por tipo de papel , y el grado de preferencia según su utilidad:

Tipo de Papel Pesoen Kg(W ¿¿ i)¿ Valor (V i)Lustre 2 20Papelografo 4 30Cartulina 5 50

W 0=10Kg.

Diagnóstico del problema.

Características del Problema:

Posee tres variables enteras: Papel Lustre, paleógrafo y cartulina. Posee una única restricción a tener en cuenta: Capacidad máxima de 10 kg. Problema de tipo Maximización: Maximizar la utilidad.

*Por lo tanto, resulta adecuado aplicar el método Mochila de Programación Dinámica.

Formulación del Modelo:

d1d2d3

10 8


¿10 x2=x3−2∗d3 x1=x2−4∗d2 x0=x1−5∗d1

MaxZ=50∗d1+30∗d2+20∗d3

5∗d1+4∗d2+2∗d3≤10

d1 , d2 , d3≥0


Resolución por Etapas

Etapa 1:

d1

x10 1 2 d1

¿ f 1¿

0 0 - - 0 01 0 - - 0 02 0 - - 0 03 0 - - 0 04 0 - - 0 05 0 50 - 1 506 0 50 - 1 507 0 50 - 1 508 0 50 - 1 509 0 50 - 1 50

10 0 50100

2100

Etapa 2:

d2

x20 1 2 d2

¿ f 2¿ x1=x2−4∗d2

0 0 - - 0 0 0

r1 =50d1 r2=30d2 r3=20d3

Lustre Papelógrafo Cartulina

10 8


1 0 - - 0 0 12 0 - - 0 0 23 0 - - 0 0 3

4 030

- 0 30 4 ; 0

5 5030

- 0 50 5 ; 1

6 5030

- 0 50 6 ; 2

7 5030

- 0 50 7 ; 3

8 5030

60 2 60 8 ; 4 ; 0

9 5080

60 1 80 9 ; 5 ; 1

10 10080

60 0 100 10 ; 6 ; 2

Etapa 3:

d2

x20 1 2 3 4 5 d2

¿ f 2¿ x1=x2−4∗d2

10100

80

90 90 80100

0100

10; 8 ; 6 ; 4 ; 2 ; 0

Resumen:

Tipo de Papel

d i V i

Lustre 0 0Papelografo

0 0

Cartulina 2 50

MaxZ=50∗2+30∗0+20∗0

MaxZ=100

Comentarios.

10 8


Si se desea obtener una utilidad máxima la Sra. Jacky deberá considerar enviar 2 paquetes de Cartulina, ya que tendría los 10 kilogramos completos y una utilidad referencial de 100.

10 8


3. PROBLEMA DE CASO DE PRODUCCIÓN E INVENTARIO

Identificación del Problema.

La empresa “San Román”, ubicada en la provincia de Huaura elabora diversidades de calzados, estima la siguiente demanda de pares de sandalias de tipo “flats” para los próximos 3 meses.

Mes Enero Febrero MarzoCantidad 150 200 110Los costes de producción de cada par se evalúan en 32.00 soles en horas normales, y en horas extras es de 35.00 soles por cada par elaborado. El número de horas normales disponibles por día son 8. El número de días laborables por mes son 20. Cada mes se puede trabajar un máximo de 40 horas. Durante cada día de producción es posible fabricar 8 pares de sandalias. El costo de almacenar un par de un mes para otro es de 5.00 soles por par. Se dispone de 50 pares en stock en estos momentos.

Establecer el modelo que permite definir el plan de trabajo para los próximos meses a mínimo costo, teniendo en cuenta la siguiente información:

Mes DemandaCapacidad de Producción

Capacidad de Almacenamiento

Enero 150 160 200Febrero 200 180 170Marzo 110 100 80Diagnóstico del Problema.

Caracteristicas del Problema:

La producción de zandalias debe permitir a lo menos, cubrir la demanda en forma íntegra.

Se asumen dos tipos de costos: se incurre en un costo de preparación siempre que se inicia un nuevo lote de producción; además de un costo de almacenamiento, cada vez que hay acumulación de inventario.

Se distinguen tres períodos de tiempo de producción. Es un problema de minimización: Minimizar la suma de los costos de producción, de

preparación y de almacenamiento

Formulacion del Modelo.

D3=150P3=165W3=200d3=??

D2=200P2=180W2=170d2=??

D1=110P1=110W1=80d1=??

10 8


Min(r3 ¿=37d3+5x3−750 Min(r2 ¿=40d2+5x2−1000 Min(r1 ¿=37 d1+5 x1−550

x3+d3≤350

d3≤165

x3+d3≥150

x3 ,d3≥0

x2+d2≤350

d2≤180

x2+d2≥200

x2 , d2≥0

x1+d1≤240

d1≤110

x1+d1≥110

x1 , d1≥0


ETAPA 1

x1 d1 f*1=r1+f*0

0 110 352010 100 320020 90 288030 80 256040 70 224050 60 192060 50 160070 40 128080 30 96090 20 640100 10 320110 0 --120 -- --

ETAPA 2

0 1 2 3 4 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 d2 f*2=r2+f*1 X1=x2+d2-200

r1=32d1+5(x1+d1−110)r2=35 d2+5 (x2+d2−200)

x3=20 x2=x3+d3−150 x1=x2+d2−200 x0=x1+d1−110

10 8


0 0 0 0

0….

….

…..

….

…. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. …..

.. … …

10….

….

…..

….

…. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. …..

.. … …

20….

….

…..

….

…. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. ….. …. …. ….

9820 180

9820 0

30….

….

…..

….

…. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. ….. …. ….

9470

9550 170

9470 0, 10

40….

….

…..

….

…. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. ….. ….

9120

9200

9280 160

9120 0, 10 , 20

50….

….

…..

….

…. …. …. …. …. ….. …. …. …. ….. ….

8770

8850 150

8770 0, 10 , 20, 30

60….

….

…..

….

…. …. …. …. …. ….. …. …. …. …..

8420

8500 140

8420 0, 10 , 20, 30 , 40

70….

….

…..

….

…. …. …. …. …. ….. …. …. ….

8070

8150 130

8070 0, 10 , 20, 30 , 40, 50

80….

….

…..

….

…. …. …. …. …. ….. …. ….

7720

7800 120

7720 0, 10 , 20, 30 , 40,50,60

90….

….

…..

….

…. …. …. …. …. ….. ….

7370

7450 110

7370 0, 10 , 20, 30 , 40,50,60,70

100….

….

…..

….

…. …. …. …. …. …..

7020

7100 100

7020 0, 10 , 20, 30 , 40,50,60,70,80

110….

….

…..

….

…. …. …. …. ….

6670

6750 90

6670 0, 10 , 20, 30 , 40,50,60,70,80,90

120….

….

…..

….

…. …. …. ….

6320

6400 80

6320 0, 10 , 20, 30 , 40,50,60,70,80,90, 100

130….

….

…..

….

…. …. ….

5970

6020 70

5970 0, 10 , 20, 30 , 40,50,60,70,80,90, 100,110

140….

….

…..

….

…. ….

5620

5700 60

5620 0, 10 , 20, 30 , 40,50,60,70,80,90,100,110,120

150….

….

…. 5270 …

0, 10 , 20, 30 , 40,50,60,70,80,90,100,110,120,130

ETAPA 3 :

010 20

30 40 50 60

70 80 90

100 110

120 130 140 150

160 165

d*3 f*3=r3+f*2 X2=x3+d3-150

20 …. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. ….. …. …. …. …. 14720 150 14720 20

10 8


Resumen:

Temporada d1 CP IF CW CT1 150 150(32) 20 20(5) 49002 180 180(35) 0 0 63003 110 110(32) 0 0 3520TOTAL 14720

Comentarios.

En base a los resultados, se concluye que en el mes de Enero se deben producir 150 pares de sandalias, en Febrero 180 y en Marzo 110. Para obtener así el menor costo total, correspondiente a 16 170.00 nuevos soles.

10 8


CONCLUSIONES

La toma de decisiones constituye esencialmente la elección de una de las

posibles alternativas de solución a un problema actual o potencial. La

Investigación de Operaciones proporciona a los decisores bases cuantitativas

para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar habilidades para

hacer planes futuros. La Programación Dinámica es una técnica que se puede

aplicar para resolver muchos problemas de optimización, convirtiendo un

problema grande y engorroso en una serie de problemas más pequeños y más

tratables gracias a su método de solución en reversa (desde el final de un

problema hacia el principio).

PROCESO DE MARKOV

Representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, probabilidad que es constante a lo largo del tiempo. Las cadenas de Markov tienen la propiedad de que la probabilidad de que X n= j sólo depende del estado inmediatamente anterior del sistema: X n−1.

Terminología:

Estado: Situación en que se encuentra el proceso en un momento del tiempo. Ensayo: Ocurrencias repetidas de un determinado evento. Probabilidad de transición: Probabilidad de pasar de un estado al siguiente.

Modelo Matemático:

pij: Probabilidad de pasar del estado “i” al estado “j”.

10 8


P: Matriz de transición.

Si(t ): Probabilidad de encontrarse en el estado “i” en un tiempo “t”

S(t ): Vector de probabilidad en el tiempo “t”.

Planteamiento:

∑i=1

n

S i ( t )=1…(α )

∑j=1

n

pij=1… (β)

pij≥0

La transición de un periodo al siguiente se expresa de la siguiente manera:

S (t+1 )=S (t)P ...(I)

Evaluando (I) en cada periodo se tiene:

S (1 )=S(0)P

S (2 )=S (1 )P=S (0 ) P2

S (3 )=S (2 ) P=S (0 )P3

En general:

S ( t )=S (0 )P t ...(II)

Estado Estacionario:

Un estado es estacionario cuando las características del mismo no varían con el tiempo.

Esto se expresa de la siguiente forma:

S=S (t+1 )=S (t) ...(III)

Donde:

S: Vector de probabilidad de estado estacionario.

T: Periodo o tiempo.

Haciendo uso de las ecuaciones (I) y (III) obtenemos:

10 8


S=SP ...(IV)

Y haciendo uso de las ecuaciones(α ) y (I ) obtenemos:

∑i=1

n

S i=1…(δ)

Estado absorbente:

Es aquel estado que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, es decir. Una vez en él es imposible dejarlo. Esto quiere decir: Si i es un estado absorbente si se cumple que pij =0 si i≠ j y pii =1.

En otras palabras generalizando:

Una cadena de markov absorbente contiene p estados transitorios y q estados absorbentes. Con base a esto la matriz se representa así:

Donde R es una submatriz

Q corresponde al complemento de R

APLICACIÓN DE CASO INFINITO

La hamburguesería “Pedrin” produce entre su amplia variedad de hamburguesas tres tipos de hamburguesas: la hamburguesa de Carne, de Pollo y la de Tocino. Cuando una persona ha comprado una hamburguesa de Carne hay una probabilidad de 50% de que siga comprándola la vez siguiente y una probabilidad de 30% que elija una de Pollo. Si una persona compró la hamburguesa de Pollo existe un 40% de que repita la vez siguiente y un 30% de que opte por las otras dos, sea de Carne o Tocino. Mientras que para una persona que consume hamburguesas de Tocino hay una probabilidad del 60% para que siga consumiéndola, y un 30% para que decida comer una hamburguesa de Pollo. Por lo tanto, se pide:

a) Si una persona actualmente es consumidor de hamburguesas de Pollo. ¿Cuál es la probabilidad de que compre hamburguesas de Carne pasadas dos compras a partir de hoy?

10 8


b) Si en la actualidad una persona es comprador de hamburguesas de Tocino. ¿Cuál es la probabilidad de que decida comprar hamburguesas de Carne luego de tres compras a partir de ahora?

c) Si el último fin de semana 85 clientes consumieron hamburguesas de carne, 70 de pollo y 60 de tocino. ¿Luego de 3 semanas cuantos consumirán cada una de estas hamburguesas?

d) Determinar la situación estable del modelo.

Solución:

Hamburguesa de Carne

Hamburguesa de Pollo

Hamburguesa de Tocino

Hamburguesa de Carne

0.5 0.3 0.2

Hamburguesa de Pollo

0.3 0.4 0.3

Hamburguesa de Tocino

0.1 0.3 0.6

a) Aplicando: S (t+1 )=S (t)P

S(0)=[0¿1¿0 ]

S (1 )=[0¿1¿0]*[0 .5 0 .3 0.20 .3 0 .4 0 .30 .1 0 .3 0 .6]=[0.3¿0.4¿0.3 ]

S (1 )=[0.3¿0.4¿0.3]∗[0 .5 0 .3 0 .20 .3 0 .4 0 .30 .1 0 .3 0 .6]=[0.3¿034¿0.36]

El diagrama de árbol de dos periodos es el siguiente:

10 8


Interpretación: La probabilidad de que una persona siendo consumidor de hamburguesas de pollo decida comprar hamburguesas de carne luego de dos compras desde ahora es de un 30%, lo cual indica que es posiblemente probable que dicho evento suceda, dado que las probabilidades para las hamburguesas de carne y tocino son de 34% y 36% respectivamente.

b) Aplicando: S ( t+1 )=S (t)P

S(0)=[0 0 1]

S (1 )=[ 0 0 1 ]∗[0.50.30 .1

0.30 .40.3

0 .20.30.6 ]=[ 0 .1 0.3 0.6 ]

S (2 )=[ 0 .10.3 0.6 ]∗[0 .50 .30 .1

0 .30.40 .3

0 .20 .30 .6]=[0.2 0.33 0.47]

S (3 )= [0.2 0.33 0.47 ]∗[0 .50 .30 .1

0 .30 .40 .3

0 .20 .30 .6]=[ 0.246 0.333 0.421 ]

El diagrama de árbol de tres periodos es el siguiente:

¿ S1

¿ S2

¿ S3

S(2)

10 8


¿ S1

¿ S2

¿ S3

S(3)

10 8


Interpretación: La probabilidad de que una persona siendo consumidor de hamburguesas de tocino decida comprar hamburguesas de carne luego de tres compras desde ahora es de un 24,6%, lo cual indica que es poco probable que dicho evento suceda, dado que las probabilidades para las hamburguesas de carne y tocino son de 33,3% y 42,1% respectivamente.

c) El vector de probabilidad inicial es [85¿70¿60], por tanto la probabilidad de consumir las hamburguesas a partir de tres etapas es: [85¿70¿60]* S(3)

S (0 )=[1 0 00 1 00 0 1]

S (1 )=[1 0 00 1 00 0 1]*[0.5 0.3 0.2

0.3 0.4 0.30.1 0.3 0.6]=[0.5 0.3 0.2

0.3 0.4 0.30.1 0.3 0.6]

S (2 )=[0.5 0.3 0.20.3 0.4 0.30.1 0.3 0.6]*[0.5 0.3 0.2

0.3 0.4 0.30.1 0.3 0.6]=[0.36 0.33 0.31

0.30 0.34 0.360.20 0.33 0.47 ]

S (3 )=[0.36 0.33 0.310.30 0.34 0.360.20 0.33 0.47]*[0.5 0.3 0.2

0.3 0.4 0.30.1 0.3 0.6]=[ 0.31 0.333 0.357

0.288 0.334 0.3780.246 0.333 0.421 ]

[85¿70¿60]∗S (3 )=¿

[85¿70¿60]*[ 0.31 0.333 0.3570.288 0.334 0.3780.246 0.333 0.421]=[61.27¿71.665¿82.065]≅ [61¿72¿82]

Interpretación: Si el último fin de semana 85 clientes consumieron hamburguesas de carne, 70 de pollo y 60 de tocino, se estima que luego de 3 compras de este total de 215 clientes, 61 compraran hamburguesas de carne, 72 compraran hamburguesas de pollo y 82 de tocino.

d) Aplicando: S=SP

[ S1S2S3 ]=[S1S2S3 ]∗[0 .50 .30 .1

0 .30.40 .3

0 .20 .30.6 ]

10 8


[ S1S2S3 ]=[ (0 .5S1+0.3S2+0.1S3 ) ( 0.3 S1+0.4 S2+0.3S3 )(0 .2S1+0.3S2+0.6S3)]

Obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones:

¿

Del cual luego de resolver se obtiene:

S1=5

18; S2=

13;S3=

718

Obteniendo así el vector de probabilidad para la situación estable del modelo.

S=[ 518

13

718 ]≅ [0.28 0.33 0.39]

APLICACIÓN DE CASO FINITO (ABSORVENTE)

La hamburguesería Pedrín tiene como personal fijo a 8 empleados (cocineras, recepcionista, meseras, cajeras y seguridad), pero por campaña navideña tuvo que contratar a 4 personas para poder cubrir la demanda. Habiéndose terminado dicho mes de campaña el dueño Pedro Regalado va a realizar una reducción de personal, para lo cual se tendrá que tener en cuenta las probabilidades de que despida o renueve el contrato a un personal principiante o con experiencia que se dieron al culminar la campaña navideña del año anterior, el cual se muestra a continuación:

DESPEDIDO

RENOVADO

PRINCIPIANTE

EXPERIENCIA

DESPEDIDO 1 0 0 0RENOVADO 0 1 0 0PRINCIPIANTE

0,3 0.2 0,3 0,2

EXPERIENCIA

0,1 0,5 0 0,4

Solución:

S(0)= [ 4 , 8 ]

10 8


Hallando la Matriz Fundamental N:

N¿ [ I−M ]−1

N¿ [1 00 1]−[0.3 0.2

0 0.4 ] -1

N¿ [0.7 −0.20 0.6 ]

−1

=[a bc d]

De la propiedad :

A A∗A−1=I

[a bc d ]∗[0.7 −0.2

0 0.6 ]=[1 00 1]

[0.7∗a−0.2∗c 0.7∗b−0.2∗d0∗a+0.6∗c 0∗b+0.6∗d ]=[1 0

0 1]Esto nos brinda el siguiente sistema de ecuaciones:

0.7∗a−0.2∗c=1

0.7∗b−0.2∗d=0

0∗a+0.6∗c=0

0∗b+0.6∗d=1

Del cual obtenemos los siguientes resultados:

a = 1.43 b=0.48

c=0 d=1.67

Y con ello obtenemos la matriz fundamental N:

N¿ [1.43 0.480 1.67]

Calculando N∗L

N *L¿ [1.43 0.480 1.67]∗[0.3 0.2

0.1 0.5]N *L¿ [0.48 0.52

0.17 0.83 ]

10 8


Los empleados principiantes que serán despedidos es de 0.48 % y los que renovaran contrato son 0.52 %

Los empleados expertos que serán despedidos es de 0.17% y los que renovaran contrato son 0.83%

[ 4 8 ]∗[0.48 0.520.17 0.83 ]=[3,28 8,72 ]

Despedidos Renovados

P E P E

2 1 2 7

Por lo tanto de los empleados Principiantes despedirá 2 los cuales no sobresalieron en sus labores y solo renovara a 2 eficientes; y de los empleados expertos despedirá a 1que su labor haya bajado y podrá renovar contrato a 7; quedando así con un numero de personal igual a 9.

CONCLUSIÓN

Las cadenas de Markov discretas son una herramienta estadística que ofrece grandes posibilidades en la descripción y pronóstico de la evolución de un fenómeno dinámico. Cuando notamos que la probabilidad de ocurrencia de los eventos es cambiante con respecto al paso del tiempo, resulta útil el uso de los procedimientos matemáticos que nos otorga el Proceso de Markov; ya sea el caso de Cadena Infinita, previo a múltiples ensayos podremos determinar la preferencia de los estados especificados, y en el caso de Cadena Finita, encontrar el porcentaje de personas que han pasado de un estado en proceso a un estado absorbente.

10 8


LA TEORÍA DE LOS JUEGOS

Definición: La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en un marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.

Esta teoría estudia las estrategias de conflicto, guerras de precios, decisiones de cartel, relaciones sindicato-empresa, acuerdos y negociaciones políticas, económicas, militares, etc.

Elementos de todo juego:

1. Agentes: individuos, empresas, grupos de personas, países, etc.2. Estrategia: Son los planes de acción; es decir decisiones previstas con respecto al

futuro.Estrategia dominante: da el mejor resultado independientemente de lo que haga el adversario.Estrategia Dominada: da el peor resultado independientemente de lo que haga el adversario.

3. Combinación de las diferentes estrategias en un juego “MATRIZ DE PAGOS” o de resultados o de beneficios o de pérdidas. Por lo general, la matriz de pago se da para el jugador I., ya que del jugador II es negativo, debido a la naturaleza de la suma cero.

Casos fundamentales:

1.Punto Silla: En este caso la estrategia optima se ubica en un punto el cual se obtiene hallando:

En cada columna se debe buscar: minmax En cada fila se debe buscar el maxmin

Si el máximo de los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego

10 8


2. Estrategias dominantes: Una estrategia dominante es la que hace que un jugador esté mejor que si hubiera usado cualquier otra estrategia, sin importar cuál haya sido la estrategia elegida por el otro jugador.

Se aplica tanto para filas y columnas Una fila elimina a otra si y solo si sus elementos son mayores o iguales que otra fila Una columna elimina a otra si y solo si sus elementos son menores o iguales que

otra columna.

3. Estrategias Mixtas: Es aquella estrategia en la que el jugador asigna una probabilidad estrictamente positiva a casa estrategia. Se utiliza cuando no existe punto silla ni estrategias dominantes y las estrategias son 2xn ó mx2 ya que su objetivo es poder graficarlos previamente habiendo hallado el Valor Esperado.

V=∑i=1

m

∑j=1

n

PijX iY j

4. Programación Lineal: Se aplica cuando los competidores tienen mxn estrategias y donde se desea maximizar el valor del juego (representado por las Estrategias de un jugador), sujeto a la combinación lineal por la matriz de juego.

MODELO DE JUEGOS APLICACIÓN

Las dos empresas, Hamburguesería “Pedrín” y Hamburguesería “Lolo´s”, se constituyen como las más acogidas por el público en el sector de venta de comida rápida, ambas empresas desean capturar más clientes con la finalidad de maximizar sus utilidades, para lo cual cada una de estas realizan una diversidad de estrategias, que son detalladas a continuación:

LOLO´S:

E1:Diversidad de Cremas.E2:Uso de Sistema de Informacion.E3: Eventos promocionales (concierto).E4: Diversidad de tipos de hamburguesas.

PEDRIN:E1: Café gratis y precios bajos.E2: Servicio de estacionamiento.E3: Días de entretenimiento.E4: Food Car.E5: Agilidad de atención.

LOLO´SE1 E2 E3 E4

PEDRIN

E1 -2 -4 -1 4E2 3 -3 1 -3E3 3 -1 0 4E4 3 -3 4 3

E5 1 2 5 4

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Para evaluar los posibles resultados se puede ordenar los valores ponderados con respecto a la utilidad que se genera en la siguiente Matriz de Pagos, con el objetivo de encontrar el mejor valor que menos perjudique a ambas empresas y sus respectivas estrategias.

1. Punto Silla:

No hay punto de equilibrio o punto silla

2. Estrategia dominante:

3. Estrategia Mixta

V=∑i=1

m

∑j=1

n

PijX iY j

V=∑i=1

5

∑j=1

4

PijX iY j

Max(Min) = 1

LOLO´S

E1 E2 E3 E4PEDRIN

E1 -2 -4 -1 4 -4E2 3 -3 1 -3 -3E3 3 -1 0 4 -1E4 3 -3 4 3 -3

E5 1 2 5 4 1

3 2 5 4

Y1 Y2X3 3 -1X5 1 2

LOLO´S

E1 E2 E3 E4PEDRIN

E1 -2 -4 -1 4E2 3 -3 1 -3E3 3 -1 0 4E4 3 -3 4 3

E5 1 2 5 4

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V=∑i=1

5

¿¿¿

V=∑i=1

5

P i1 X iY 1+∑i=1

5

Pi2X iY 2+∑i=1

5

Pi3 X iY 3+∑i=1

5

P i4 X iY 4

V= (P11 X1Y 1+P21 X2Y 1+P31 X3Y 1+P41X 4Y 1+P51 X5Y 1 )+(P12X1Y 2+P22X2Y 2+P32X3Y 2+P42 X4Y 2+P52X5Y 2 )+(P13 X1Y 3+P23 X2Y 3+P33X3Y 3+P43 X4Y 3+P53 X5Y 3 )+(P14 X1Y 4+P24 X2Y 4+P34 X3Y 4+P44 X4Y 4+P54 X5Y 4)

V=3 X3Y 1+1 X5Y 1−1 X3Y 2+2X 5Y 2

Se quiere dibujar X:

X3=1−X5

V=Y 1 [3 X3+X 5 ]+Y 2 [−X 3+2 X 5 ]

V=Y 1 [3 (1−X5 )+X5 ]+Y 2 [−(1−X5 )+2 X5 ]

V=Y 1 [3−2 X5 ]+Y 2 [3 X5−1 ]

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Grafica

V ¿=Max (Min ) {3−2 X5 ;3 X5−1}

0≤ X5≤1

3−2 X5=3 X5−1

X5=45

X3=15

X1=0

X2=0

X 4=0

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Ing. De Sistemas

Hallando el valor optimo:

V ¿=3−2X 5=3−2 ( 45)

V ¿=75

Hallando los valores de Y1 y Y2

V ¿=Y 1 [3−2 X5 ]+Y 2 [3 X5−1 ]=75

X5=0 ;3Y 1−Y 2=75…( I )

X5=1;Y 1+2Y 2=75…(II )

Multiplicamos por 2 a (I):

6Y 1−2Y 2=145

… ( III )

Sumamos (III)+(II):

(6Y 1−2Y 2 )+(Y 1+2Y 2)=215

7Y 1=215

Y 1=35

Y 2=25

Interpretación

Para que ambas empresas obtengan máximas utilidades sin perjudicar a ninguna, el mejor valor encontrado es de 7 /5 , donde la Hamburguesería Pedrín tendría que realizar la Estrategia 5 : Agilidad de atención ; mientras que la Hamburguesería Lolo´s realizaría la Estrategia 1: Diversidad de Cremas.

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Ing. De Sistemas

CONCLUSION

La Teoría de los Juegos explica cómo los resultados que podemos obtener dependen no sólo de nuestra planeación individual, sino de la interacción con otros individuos racionales. En ese sentido, cualquier Organización (y sus directivos) deben anticipar cómo pueden responder sus competidores, para lograr el objetivo deseado.

MODELO DE LINEA DE ESPERA

Todos en alguna ocasión hemos esperado que llegue nuestro turno para recién ser atendidos, y en algunas ocasiones ese tiempo de espera suele ser molestoso; este problema puede ser analizado mediante la Teoría de Colas o también llamado Modelo de línea de espera. Lo que en si se analiza en este problema de colas es el costo ocasionado al cliente y al servidor que tienen correlación inversa.

Los objetivos del Modelo de Colas son:

Caracterizar cuantitativamente y cualitativamente una fila de espera

Determinar los niveles adecuados de ciertos parámetros del sistema, que armonicen el costo social de espera con el costo asociado al consumo de recursos.

Para cuantificar una línea de espera, hacemos un análisis matemático o un proceso de simulación; para ello se han desarrollado modelos cuantitativos que permiten tomar decisiones ante estos problemas.

Según algunas de las características de las líneas de espera se pueden clasificar:

1. Según sus canales: Etapa única Múltiple etapas Canales múltiples Una sola línea de espera con canales múltiples

2. Considerando la tasa de llegada y tasa de servicio:Para ello se utiliza la notación KENDALL: A/B/C

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Ing. De Sistemas

A: distribución de llegadaB: distribución de servicioC: nº de canales, puede ser 1, 2,3…, kA y B pueden ser: M, D, GM: Modelo probabilísticoD: Modelo determinanticoG: Modelo General

3. De acuerdo a la naturaleza de la cola se pueden considerar otros casos

ANALISIS ECONOMICO DE LINEAS DE ESPERA

Para realizar el análisis económico de un sistema de líneas de espera, debe desarrollarse un modelo de costo total, que incluye el costo de espera y el de ofrecer el servicio, para ello utilizamos esta notación:

CT=CW L+CS K

Donde:

CT: Costo total por periodo

CW : Costo de la espera por periodo para cada unidad

L: Numero promedio de unidades en el sistema

CS : Costo de servicio por periodo para cada canal

K: Numero de canales

La forma general de las curvas del costo de la espera, del costo del servicio y del costo total, en modelos de líneas de espera se da de la siguiente forma:

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Ing. De Sistemas

MODELO M/M/1

Restricciones:

La línea de espera tienen un solo canal El patrón de llegada sigue una distribución probabilística de Poisson Los tiempos de servicio siguen una distribución probabilística exponencial La disciplina de la línea de espera “Primero que llega, primero que se atiende” (PLPA)

Notaciones:

µ = número promedio de servicio por periodo (tasa promedio de servicio) λ = número promedio de llegada por periodo (tasa promedio llegada)

Ecuaciones a utilizar en este modelo:

1. Probabilidad que no haya unidades en el sistema

Po=1− λµ

2. Número promedio de unidades en la línea de espera (largo de la fila)

Lq=λ2

µ(µ−λ)3. Número promedio de unidades en el sistema (largo total)

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Ing. De Sistemas

L=Lq+λµ

4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera

W q=Lq

λ5. Tiempo promedio que una unidad pasa ene l sistema

W=W q+1µ

6. Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar para obtener el servicio (factor de utilización)

Pw=λµ

7. Probabilidad que haya “n” unidades en el sistema

Pn=[ λµ ]n

Po

Para utilizar estas ecuaciones se debe tener que: µ > λ

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Ing. De Sistemas

MODELO M/M/k

Restricciones:

La línea de espera tiene dos o más canales El patrón de llegada sigue una distribución probabilística de Poisson El patrón de servicio es de tipo exponencial µ es el mismo para todos los canales Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal abierto para

obtener el servicio La disciplina de la fila es PLPA

Notaciones:

µ = tasa promedio de servicio para cada canal λ = tasa promedio de llegada para el sistema k = número de canales

Las formulas son aplicables para: kµ > λ


1. Probabilidades que no haya unidades en el sistema

P0=1

(∑n=0

k−1 ( λ/µ)n

n! )+ ( λ/µ )k

k ! ( kµkµ− λ )

2. Número promedio de unidades en la línea de espera

Lq=( λ/µ )k λµ

(K−1 )! ( kµ−λ )2P0

3. Número promedio de unidades en el sistema

L=Lq+λµ

4. Tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera

W q=Lq

λ5. Tiempo promedio que una unidad pasa por el sistema

W=W q+1µ

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar

Pw=1k ! ( λµ )

2

( kµkµ−λ )P0

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Ing. De Sistemas

7. Probabilidad de que haya “n” unidades en el sistemaPara n≤k

Pn=( λ /µ )n

n!P0

Para n>k

Pn=( λ /µ)n

k !k (n−k ) P0

MODELO M/G/1

Notaciones:

µ = tasa promedio de servicio para cada canal 1/ µ = tiempo promedio de servicio λ = tasa promedio de llegada para el sistema σ = desviación estándar del tiempo de servicio


1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

Po=1− λµ


Lq=λ2σ 2+ ( λ/µ)2

2 (1−λ /µ )3. Número promedio de unidades ene le sistema

L=Lq+λµ


W q=Lq

λ5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema

W=W q+1µ

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar

W=W q+1µ

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Ing. De Sistemas

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Ing. De Sistemas

MODELO M/G/K SIN LINEA DE ESPERA

Restricciones:

El sistema tiene k canales La llegada sigue una distribución probabilística de Poisson Los tiempos de servicio para cada canal pueden tener cualquier distribución de probabilidad La tasa promedio de servicio µ es la misma para todos los canales


P j=( λ /µ ) j / j !

∑i=0

k

( λ /µ )i

i !

DONDE:

j = 0, 1,2…, k.; representa el numero de los k canales que estén ocupados

En este modelo puede que el cálculo más importante sea Pk, que es cuando todos los canales estén ocupados. También interesa el promedio de unidades que se encuentran en el sistema, y esta evaluación se lleva a cabo

mediante:

L= λµ

(1−Pk )

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Ing. De Sistemas

MODELO M/M/1 CON POBLACION DEMANDANTE FINITA

En este caso N es el tamaño de la población

Restricciones:

Tiene un solo canal Población a ser atendida finita Llegada de tipo Poisson Tasa de servicio exponencial Disciplina de la cola PLPA


1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

P0=1

(∑n=0

NN !

(N−n ) ! )( λµ )n


Lq=N− λ+µλ

(1−P0 )

3. Número promedio de unidades en el sistemaL=Lq+(1−P0)


W q=Lq

(N−L) λ5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema

W=W q+1µ

6. Probabilidad que haya “n” unidades en el sistema

Pn=N !

(N−n)! ( λµ )n

Paran=0;1 ;2 ;…;N

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Ing. De Sistemas

CASO APLICATIVO

Considérese la biblioteca de la Institución Educativa Emblemática Ventura Calamaqui cuyo personal está tratando de decidir cuántas fotocopiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es 3, y la frecuencia con la que llegan es 2.Por tanto se desea establecer los parámetros, que ayudaran al personal establecer estrategias para controlar y hacer más ágil la atención.

Solución:

1. Formulación del Modelo:

Como las llegadas de los clientes son aleatorias y siguen una distribución de Poisson, hablamos de llegadas probabilísticas. Además vemos que la tasa de servicio (μ) sigue una distribución exponencial. La línea de espera tiene un solo canal. Por tanto nos encontramos ante el modelo: M/M/1: ∞/PLPA

2. Hallamos los parámetros que describen el sistema: Tenemos:

λ = 2 Alumnos/minuto → Tasa de llegada μ = 3 Alumnos /minuto → Tasa de servicio o atención

Calculamos los parámetros:

a) Probabilidad de que los alumnos no soliciten el servicio de fotocopia.

P0=1− λμ=1−2

3=1

3=0.33

b) Número promedio de alumnos en la cola.

Lq=λ2

μ (μ− λ )= 22

3 (3−2 )=4

3=1.33

c) Número promedio de alumnos en el sistema.

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Ing. De Sistemas

L=Lq+λμ=4

3+ 2

3=2

d) Tiempo promedio en la cola.

W q=Lq

λ=1.33

2=4

6=0.67

e) Tiempo promedio que el alumno se encuentra en el sistema.

W=W q+1μ=4

6+ 1

3=6

6=1

f) Factor de utilización

Pw=λμ=2

3=0.67

Io Manual Final

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