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  • Invariants des hypermatrices

    Jean-Gabriel Luque

    To cite this version:

    Jean-Gabriel Luque. Invariants des hypermatrices. Autre [cs.OH]. Universite de Marne laVallee, 2008.

    HAL Id: tel-00250312

    https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00250312

    Submitted on 11 Feb 2008

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    https://hal.archives-ouvertes.frhttps://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00250312

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    Universit Paris-Est, Marne-la-Valle

    Habilitation diriger desrecherches

    Spcialit Informatique

    prsente par

    Jean-Gabriel Luque

    Invariants des hypermatrices

    soutenue le 12 dcembre 2007 devant le jury compos de

    Daniel Barsky, Rapporteur,Jean-Pierre Gazeau, Rapporteur,Christophe Reutenauer, Rapporteur,

    Maxime Crochemore, Examinateur,Jacques Dsarmnien, Examinateur,Henri Gaudier, Invit,Florent Hivert, Examinateur,Ronald King, Examinateur,Alain Lascoux, Examinateur,Jean-Yves Thibon, Examinateur,Jiang Zeng, Examinateur.

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    Liste des publications[P1 ] Hyperdeterminants on semilattices, paratre dans Linear and Multi-

    linear algebra.

    [P2 ] avec G. Duchamp, J.-C. Novelli, C. Tollu et F. Toumazet, Hopf algebraof diagrams. FPSACO7.

    [P3 ] avec J.C. Novelli et J.-Y. Thibon, Period polynomials and Ihara bra-ckets, Journal of Lie Theory, 17 (2), 229-239, 2007.

    [P4 ] avec J.-Y. Thibon et F. Toumazet, Unitary invariants of k-qubits, paratre dans Mathematical Structures in Computer Sciences.

    [P5 ] avec G. Duchamp, K. Penson et C. Tollu, Free quasi symmetric func-tions, product actions and quantum field theory of partitions, SminaireLotharingien de Combinatoire 54 A, 12p, lectronique.

    [P6 ] avec G. Duchamp et M. Flouret, Transitive Hall sets, Sminaire Lo-tharingien de Combinatoire, 54, 19p, lectronique.

    [P7 ] avec J.-Y. Thibon, Algebraic invariants of five qubits, J. Phys. A :Math. Gen. 39 (2006) 371-377.

    [P8 ] avec G. Duchamp Lazards Elimination in traces is finite-state reco-gnizable, paratre dans Int. Jour. of Alg. Comp..

    [P9 ] avec J.-Y. Thibon, Noncommutative symmetric functions associa-ted with a code, Lazard factorisation and Witt vectors, Journes Mon-toises dInformatique Thorique 2004 ; version tendue paratre dansDMTCS.

    [P11 ] avec E. Briand, J.-Y. Thibon et F. Verstrate, the moduli space of thethree qutrit states,Journal of Mathematical Physics, vol. 45, num. 12,pp. 48554867, 2004.

    [P12 ] avec J.-Y. Thibon, Hyperdeterminantal aspect of Selberg and Aomotointegrals, Molecular Physics, vol 102, n 11-12, 1351-1359, 10-20 June2004. .

    [P13 ] avec E. Briand et J.-Y. Thibon, A complete set of covariants of thefour qubit system, J. Phys A : Math. Gen. 36 (2003), 9915-9927.

    [P14 ]avec J.-Y. Thibon, Polynomial invariants of four qubits, Phys. Rev. A67, 042303 (2003).

    [P15 ] avec J.-Y. Thibon, Hankel hyperdeterminants and Selberg integrals,J.Phys. A : Math. Gen. 36 (2003) 5267-5292.

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    [P16 ]avec J.-Y. Thibon, Pfaffian and Hafnian identities in shuffle algebras,Advances in Applied Mathematics, 29 (2002) 620-646.

    [P17 ] avec G. Duchamp, M. Flouret et E. Laugerotte, Direct and dual lawsfor automata with multiplicities, Theor. Comp. Sci. 267 (2001) 105-120.

    [P18 ] avec G. Duchamp, Transitive factorizations, , Discret. Math. specialissues FPSAC99.

    [P19 ] avec G. Duchamp et . Laugerotte, On the support of graph Lie alge-bras, Theoretical Computer Science, 273, 283-294, (2002).

    [P20 ] avec G. Duchamp et . Laugerotte, Extending the scalars of minimi-zation, Proceedings, SCI 2001.

    [P21 ] avec G. Duchamp, Congruences Compatible with the Shuffle Product,Proceedings, (FPSAC 2000), D. Krob, A.A. Mikhalev Eds., Springer.

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  • Invariants des hypermatrices

    Jean-Gabriel Luque

    11 fvrier 2008

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    Antoine et Camille.

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    Remerciements

    Je tiens, tout dabord, remercier Jean-Yves Thibon pour son soutien et pour mavoir accueilli danslquipe de Combinatoire. En particulier, je le remercie de mavoir initi la thorie des invariants. Lesnombreuses discussions que nous avons eues sur le sujet ont t de point de dpart dune fructueuse col-laboration. Je tiens dans ces quelques lignes lui exprimer toute ma gratitude, mon amiti et mon respect.

    Je voudrais ensuite remercier Daniel Barsky davoir accept dcrire un rapport sur ce mmoireainsi que pour toutes les discussions scientifiques que nous avons eues (en particulier lors des SminairesLotharingien de Combinatoire).

    Jai t particulirement touch par le fait que Christrophe Reutenauer ait accept dtre rapporteurde mon habilitation. Ces travaux, en particulier ceux concernant les algbres de Lie libres, ont inspir mespremires recherches et ont t une des raisons pour lesquelles je me suis intress la combinatoire.

    Je suis galement trs honor que Jean-Pierre Gazeau ait bien voulu rdiger un rapport sur ce m-moire.

    Je remercie Ronald King davoir accept dtre dans mon jury ainsi que pour les conversations scien-tifiques que nous avons eues en particulier lors des sminaires de Combinatoire, Informatique et Physiquedu LIPN.

    Je remercie Henri Gaudier davoir bien voulu faire partie de mon jury ainsi que pour les discussionsautour des vecteurs de Witt.

    Je tiens aussi remercier Jiang Zeng pour sa prsence dans mon jury.Alain Lascoux a accept de faire partie de mon jury, je len remercie. Je le remercie galement pour

    son amiti, pour toutes les discussions que nous avons eues ainsi que pour tous les conseils quil a donnsavec patience et pdagogie au mauvais lve que je suis.

    Maxime Crochemore et Jacques Dsarmnien ont contribu ma bonne intgration dans le laboratoiredinformatique de lIGM. Je leur en suis dautant plus reconnaissant de faire partie de mon jury.

    Enfin, Florent Hivert a partag mon bureau pendant quelques annes. Je suis heureux quil participe lvaluation de mon habilitation.

    Je tiens aussi remercier mes collgues car ils ont tous particip, de manire directe ou indirecte la russite de cette habilitation. Je risque de ne pas tre exhaustif, jespre que les oublis me par-donneront. Je remercie tout dabord les membres de lquipe que je nai pas dj cits. En particulier,Jean-Christophe Novelli pour son amiti, ses conseils et sa gestion du groupe de travail du Vendredi ma-tin, Franois Descouens et Adrien Boussicault, pour les discussions scientifiques ou non que nous avonseues, Teresa Gomez-Diaz pour ses conseils sur la ralisation des prsentations et des posters. Jai unepense pour toutes les personnes participant lambiance exceptionnelle du Laboratoire. En particulierpour Marc Zipstein et Sbastien Paumier sans lesquels les runions du midi seraient certainement moinspdagogiques. Je remercie galement les collgues de lIUT : Renaud Eppstein, Stphane Lohier (anciende lIUT), Florence Bister, Nicolas Classeau, Anne Tasso etc.. Jai une pense particulire pour MartineThireau, ses qualits humaines et professionnelles mont retir de nombreuses pines du pieds. Je remercieaussi les membres du LIPN de Paris 13, Christophe Tollu, Frdric Toumazet et particulirement GrardDuchamp, qui ft mon directeur de thse, avec lequel jai toujours un immense plaisir discuter et travailler.

    Enfin et ce ne sont pas les moindres. Je remercie mes amis (en particulier mon vieux copain Laurent

    et Pol qui partage de mes voyages matinaux et ferroviaires), ma famille, mes parents Gabrielle et Manuel

    et aussi (et surtout) ma compagne Severine et mes deux petits monstres Antoine et Camille.

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    Rsum

    Ce mmoire est consacr la thorie des invariants des hypermatrices.Lorigine de la thorie des invariants date du milieu du XIX ime sicle. Leproblme gnral, tel quil fut nonc par Cayley en 1843, consiste trouverune description de lalgbre des polynmes invariants dans le but dautomati-ser le raisonnement gomtrique. Assez rapidement de fortes limitations dues la taille des calculs se manifestrent et cette discipline se trouva de moinsen moins tudies jusque dans les annes 1950 lorsque fut dveloppe la tho-rie gomtrique des invariants. De nos jours, laccroissement de la puissancede calcul permet de complter danciens travaux qui navaient pu aboutirfaute de moyen informatique ainsi que de traiter de nouveaux cas. Lintrtde cette discipline sest accru depuis peu grce la dcouverte dun lien avecune notion issue de la mcanique quantique et qui est la base de linfor-matique quantique : lintrication. Le phnomne dintrication est apparu en1937, sous la plume septique de trois physiciens, Einstein , Podolsky et Rozenqui voyaient en lui une preuve de la non consistance de la thorie quantique,et est connu depuis sous le nom de paradoxe EPR. Depuis, de nombreuses ex-priences, dont la clbre exprience dAlain Aspect, ont confirm lexistencedes tats intriqus. Ce mmoire se dcompose en deux parties. Dans la pre-mire, nous exposons les techniques fondamentales de la thorie des invariantsainsi que le lien avec lintrication tel quil a t propos par A. Klyachko. Nousmontrons que limplmentation de lalgorithme de Gordan sur un systme decalcul formel permet de calculer des ensembles fondamentaux dinvariants etde covariants de certaines formes multilinaires. En particulier, nous illus-trons ce type de calcul en donnant un systme complet de gnrat