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Avaliao de dados de medio Umaintroduo ao Guia para a expresso de

incerteza em medio e documentos correlatos

Instituto Nacional de Metrologia,Instituto Nacional de Metrologia,Instituto Nacional de Metrologia,Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e TecnologiaQualidade e TecnologiaQualidade e TecnologiaQualidade e Tecnologia(INMETRO)(INMETRO)(INMETRO)(INMETRO)

Primeira edio brasileira do INTROGUM 2009

(Traduo autorizada pelo BIPM da primeira edio internacional dodocumento Evaluation of measurement data Anintroduction to the Guide to the expression ofuncertainty in measurement and related documents)

setembro/2012

Primeira edio do documento original:julho de 2009

Copyright 2012 by INMETRO


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Avaliao de dados de medio Uma introduo

ao Guia para a expresso de incerteza de medioe documentos correlatos

Grupo de trabalho para traduo do INTROGUM 2009

Coordenador: Antonio CarlosBaratto Dimci/Ditel/InmetroJailton Carreteiro Damasceno Dimci/Dimat/Inmetro

JorgeTrota Filho Dimci/Dimec/Inmetro

Jos CarlosValente de Oliveira Dimci/Dimec/Inmetro

Paulo Roberto GuimaresCouto Dimci/Dimec/Inmetro


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APRESENTAO

Apenas quando da publicao definitiva


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Avaliao de dados de medio Uma introduo ao Guia para

a expresso de incerteza demedio e documentos correlatos

valuation des donnes de mesure Uneintroduction au Guide pour lexpressionde lincertitude de mesure et auxdocuments qui le concernent

Primeira edio (original) julho de 2009

Primeira edio brasileira dezembro de 2009

JCGM 2009


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e

Documento produzido pelo Grupo deTrabalho 1 do Comit Conjunto para Guiasem Metrologia (JCGM/WG 1).

Os direitos legais derivados deste

documento so compartilhados pelasorganizaes membro do JCGM (BIPM,IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP eOIML).

Document produit par le Groupe de travail 1du Comit commun pour les guides enmtrologie (JCGM/WG 1).

Les droits dauteur relatifs ce document

sont la proprit conjointe des organisationsmembres du JCGM (BIPM, CEI, IFCC,ILAC, ISO, UICPA, UIPPA et OIML).

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JCGM 2009 Todos os direitos reservados Inmetro 2012 1

Comit Conjunto para Guias em Metrologia JCGM

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Avaliao de dados de medio Uma

introduo ao Guia para a expresso de

incerteza de medio e documentos correlatos

valuation des donnes de mesure Une introduction au "Guide

pour l'expression de l'incertitude de mesure" et aux documents qui

le concernent


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JCGM 2009

Os direitos autorais sobre este documento orientador do JCGM so compartilhados pelas organizaesmembro do JCGM (BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP e OIML).

Direitos autorais

Mesmo se verses eletrnicas estiverem gratuitamente disponveis em endereos eletrnicos de umaou mais organizaes membro do JCGM, direitos econmicos e morais relacionados a todas aspublicaes do JCGM so internacionalmente protegidos. O JCGM no permite que, sem suaautorizao escrita, terceiros reescrevam ou repaginem edies, vendam cpias ao pblico, divulguemou usem on-line suas publicaes. Da mesma maneira, o JCGM tambm se contrape a distores,acrscimos ou mutilaes em suas publicaes, incluindo seus ttulos, lemas e logomarcas, ou aquelesde suas organizaes membro.

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As nicas verses oficiais dos documentos so aquelas publicadas pelo JCGM em suas lnguasoriginais.

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Todos os produtos do JCGM so protegidos internacionalmente por direitos autorais. Estatraduo do documento original do JCGM foi realizada com a permisso do JCGM. O JCGMmantm direitos autorais integrais, protegidos internacionalmente, sobre os formatos e contedosdeste documento e sobre os ttulos, lemas e logomarcas do JCGM. As organizaes membro doJCGM tambm mantm direitos integrais protegidos internacionalmente sobre seus ttulos, lemas elogomarcas includos nas publicaes do JCGM. A nica verso oficial o documento publicadopelo JCGM, nas lnguas originais.

O JCGM no assume qualquer responsabilidade pela relevncia, exatido, completeza ou qualidadedas informaes e materiais disponibilizados em qualquer traduo. Uma cpia da traduo deve serprovidenciada para o JCGM por ocasio da publicao.

Reproduo

As publicaes do JCGM podem ser reproduzidas desde que seja obtida permisso escrita do JCGM.Uma amostra de qualquer documento reproduzido dever ser providenciada ao JCGM por ocasio dareproduo, e dever conter a seguinte declarao:

Este documento reproduzido com a permisso do JCGM, o qual mantm direitos autoraisintegrais protegidos internacionalmente sobre os formatos e contedos deste documento e sobreos ttulos, lemas e logomarcas do JCGM. As organizaes membro do JCGM tambm mantm

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Responsabilidade

O JCGM e suas organizaes membro publicaram este documento para aumentar o acesso ainformao sobre metrologia. Envidaro esforos para atualiz-lo regularmente, mas no podemgarantir sua correo a todo o momento e no podero ser responsabilizados por qualquer prejuzodireto ou indireto que possa resultar de seu uso. Qualquer referncia a produtos comerciais de qualquertipo (incluindo, mas no restritivamente, qualquer software, dados ou hardware) ou indicaes paraendereos eletrnicos na internet, sobre os quais o JCGM e suas organizaes membro no tmnenhum controle e pelos quais no assumem qualquer responsabilidade, no implicam aprovao,

endosso ou recomendao pelo JCGM e suas organizaes membro.


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Sumrio ....................................................................... .........................................Pgina

Prefcio da primeira edio brasileira........... .............................................................................4

Prefcio da primeira edio original........... ............................................................................5

Introduo........... ...................................................................................................................6

1 Escopo..................................... .........................................................................................7

2 Referncias normativas................ .............................................................................8

3 O que incerteza de medio? ........... ............................................................................8

4 Conceitos e princpios bsicos........... ...........................................................................10

5 Etapas da avaliao de incerteza........... ...........................................................................14

6 A etapa da formulao: desenvolvendo um modelo de medio...... ........................15

7 A etapa do clculo (propagao e sumarizao) da avaliao da incerteza.... ...........16

7.1 Geral........... .................................................................................................................16

7.2 A metodologia de incerteza do GUM........ ..............................................................17

7.3 Mtodos analticos........... .......................................................................................18

7.4 Mtodo Monte Carlo.......................... ...........................................................................19

7.5 Modelos de medio com qualquer nmero de grandezas de sada...... ...........19

8 Incerteza de medio na avaliao da conformidade........... ....................................20

9 Aplicao do mtodo de mnimos quadrados........... .................................................21

Anexos

A Siglas e abreviaturas........... .......................................................................................22

Bibliografia........... .................................................................................................................23

ndice alfabtico em portugus....... .......................................................................................25

ndice alfabtico em ingls........................ ..........................................................................27

Notas dos tradutores............................ ...........................................................................29


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Prefcio da primeira edio brasileira

O presente documento uma introduo ao contedo do GUM e dedocumentos correlatos, principalmente seus diversos suplementos j publicados ou apublicar. Pela sua prpria extenso no se espera que possa vir a servir como guiapara as atividades prticas referentes medio, o que deve ser buscado nosdocumentos acima referidos. um texto relativamente curto dirigido principalmente ainiciantes no mundo da medio. No obstante, metrologistas mais experientesencontraro material interessante em algumas colocaes e discusses sobre asdiferentes abordagens empregadas na determinao de incertezas em medio.

Este suplemento fornece uma idia geral sobre a medio e discute osconceitos e os princpios bsicos subjacentes contidos no tratamento de incerteza doGUM. D uma descrio das etapas essenciais de uma determinao de incerteza emmedio e faz uma comparao das diversas abordagens presentemente adotadas:propagao de incertezas, propagao de distribuies e mtodos analticos. O

documento aborda tambm os problemas envolvidos na determinao da incerteza demedio na avaliao da conformidade e o ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimosquadrados.

Dois suplementos do GUM aqui citados (JCGM 101:2008 e JCGM102:2011) foram j publicados, porm ainda sem traduo no Brasil. Os outrossuplementos encontram-se em fase de desenvolvimento.

de se notar que o documento prope (ver o pargrafo final da Introduo)uma distino entre o uso do termo erro como uma grandeza e como um valor degrandeza. Isso novo no contexto do GUM, o que nos obrigou criao de termoscorrespondentes em portugus para expressar esses novos conceitos no

consignados no GUM ou no VIM.Ao final do documento apresentamos algumas notas (NT Nota dos

Tradutores) que julgamos convenientes para uma melhor compreenso do texto ou docontexto. Com o fito evitar uma profuso de notas, propiciando uma leitura suave, commenos obstculos, optou-se, em alguns casos, por acrescentar um texto curtocomplementar ou explicativo entre parnteses. Essas inseres esto em vermelho nodocumento digital.

Os tradutores

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Prefcio

Em 1997, as sete organizaes internacionais que haviam originalmente (1993) elaborado o Guia paraa expresso da incerteza de medio (GUM) e o Vocabulrio internacional de metrologia - conceitosfundamentais e gerais e termos associados (VIM) criaram um Comit Conjunto para Guias emMetrologia (JCGM Joint Committee for Guides in Metrology), presidido pelo Diretor do BIPM. O JCGM

assumiu a responsabilidade por estes dois documentos do Grupo Consultivo Tcnico 4 da ISO (ISOTechnical Advisory Group- TAG4).

O JCGM formado pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM- Bureau International des Poids etMesures) conjuntamente com a Comisso Eletrotcnica Internacional (IEC InternationalElectrotechnical Commission), a Federao Internacional de Qumica Clnica e Medicina Laboratorial(IFCC International Federation of Clinical Chemistry and Laboratory Medicine), a CooperaoInternacional para Acreditao de Laboratrios (ILAC International Laboratory AccreditationCooperation), a Organizao Internacional de Normalizao (ISO - International Organization forStandardization), a Unio Internacional de Qumica Pura e Aplicada (IUPAC International Union ofPure and Applied Chemistry), a Unio Internacional de Fsica Pura e Aplicada (IUPAP InternationalUnion of Pure and Applied Physics) e a Organizao Internacional de Metrologia Legal (OIML International Organization of Legal Metrology).

O JCGM possui dois Grupos de Trabalho. O Grupo de Trabalho 1, "Expresso de incerteza emmedio", tem a tarefa de promover o uso do GUM e preparar Suplementos e outros documentos paraa sua ampla aplicao. O Grupo de Trabalho 2, "Grupo de Trabalho para o Vocabulrio internacional determos fundamentais e gerais em metrologia (VIM), tem a tarefa de revisar e promover o uso do VIM.Para mais informaes sobre a atividade do JCGM, ver www.bipm.org.

O presente documento foi elaborado pelo Grupo de Trabalho 1 do JCGM, tendo recebido a contribuiode revises detalhadas realizadas pelas organizaes membro do JCGM.

Este documento constitui uma parte de uma srie de documentos do JCGM sob o ttulo genrico deAvaliao de dados de medio. As partes que compem a srie so

JCGM 100:2008. Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty inmeasurement (GUM) (ver captulo 2) [Avaliao de dados de medio Guia para a expresso daincerteza de medio (GUM)],

JCGM 101:2008. Evaluation of measurement data Supplement 1 to the Guide to the expression ofuncertainty in measurement" Propagation of distributions using a Monte Carlo method (vercaptulo 2),

JCGM 102. Evaluation of measurement data Supplement 2 to the Guide to the expression ofuncertainty in measurement" Models with any number of output quantities,

JCGM 103. Evaluation of measurement data Supplement 3 to the Guide to the expression of

uncertainty in measurement" Modelling,

JCGM 104. Evaluation of measurement data An introduction to the Guide to the expression ofuncertainty in measurement" and related documents [Avaliao de dados de medio UmaIntroduo ao Guia para a expresso de incerteza de medio e documentos correlatos] (estedocumento),

JCGM 105. Evaluation of measurement data Concepts and basic principles,

JCGM 106. Evaluation of measurement data The role of measurement uncertainty in conformityassessment, e

JCGM 107. Evaluation of measurement data Applications of the least-squares method.


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Introduo

Uma declarao de incerteza de medio indispensvel para o julgamento daadequao de um valor medido para a aplicao pretendida. Ao comprar no mercadoum quilograma de frutas, o consumidor ficaria satisfeito se a balana indicasse um

valor dentro de, digamos, 2 gramas do peso real de fruta. Entretanto, as dimensesdos componentes dos giroscpios situados nos sistemas de navegao inercial deavies comerciais so checadas por meio de medies at partes por milho para umcorreto funcionamento.

Incerteza de medio um conceito geral associado a qualquer medio. Ela podeser utilizada em processos de deciso profissionais ou como atributo de julgamentoem muitas reas, tanto tericas quanto experimentais. medida que as tolernciasaplicadas produo industrial se tornam mais exigentes, o papel da incerteza demedio se torna cada vez mais importante quando da avaliao da conformidade aessas tolerncias. A incerteza de medio assume um papel central na avaliao da

qualidade e na normalizao.

A medio est presente em quase toda atividade humana, incluindo, mas noexclusivamente, as atividades industriais, comerciais, cientficas, de sade, desegurana e de meio ambiente. A medio auxilia no processo de deciso em todasessas atividades. A incerteza de medio permite que os usurios de um valor medidofaam comparaes, no contexto da avaliao da conformidade, para obter aprobabilidade de tomar uma deciso incorreta com base na medio, e gerenciar osriscos consequentes.

Este documento serve como uma introduo incerteza de medio, ao GUM e aos

documentos correlatos indicados no Prefcio. Uma base probabilstica utilizada paraa avaliao da incerteza. O Anexo A fornece as siglas e as abreviaturas utilizadasneste documento.

Pretende-se, em futuras edies do JCGM 200 (VIM), estabelecer uma clara distinoentre o uso do termo errocomo uma grandeza e como um valor de uma grandeza. Omesmo se aplica ao termo indicao. Tal distino feita no presente documento. OJCGM 200:2008 no faz, explicitamente, distino entre esses diferentes usos.


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Avaliao de dados de medio Uma introduo ao

Guia para a expresso de incerteza de medio e

documentos correlatos

1 Escopo

O Comit Conjunto para Guias em Metrologia (JCGM) preparou este documento para promover aavaliao da incerteza de medio de maneira robusta pelo uso do GUM (ver Captulo 2) e parafornecer uma introduo aos Suplementos do GUM e a outros documentos que o JCGM estproduzindo: JCGM 101:2008 (ver Captulo 2) e referncias (3, 4, 5, 6, 7).

Assim como no GUM, este documento trata principalmente da expresso da incerteza relacionada medio de uma grandeza bem definida o mensurando[JCGM 200:2008 (VIM) 2.3] a qual pode sercaracterizada por um valor verdadeiro essencialmente nico [JCGM 200:2008 (VIM) 2.11 Nota 3]. OGUM fornece diversas razes para no se usar o termo verdadeiro, mas este termo ser mantidoneste documento sempre que, de outra maneira, houver possibilidade de confuso ou ambiguidade.

A finalidade dos Suplementos do GUM e dos demais documentos produzidos pelo JCGM ajudar nainterpretao do GUM e aumentar seu mbito de aplicao. Pretende-se, com os Suplementos do GUMe os demais documentos, alcanar uma abrangncia maior do que aquela abrangida pelo GUM.

Este documento apresenta o conceito de incerteza de medio, o GUM, seus Suplementos e demaisdocumentos que do suporte ao GUM. Est predominantemente direcionado medio de grandezasque podem ser caracterizadas por variveis contnuas tais como comprimento, temperatura, tempo equantidade de substncia.

Este documento introdutrio prov, sem se limitar especificamente, orientao relacionada a

atividades cientficas e disciplinas em geral,

atividades industriais e disciplinas em geral,

laboratrios industriais de calibrao, ensaio e inspeo, laboratrios ligados a sade, segurana emeio ambiente, e

organismos de avaliao e acreditao.

Espera-se que ele seja til tambm para projetistas, j que uma especificao de produto que melhorleva em conta requisitos de inspeo (e medies associadas) pode resultar em requisitos defabricao menos rigorosos. Ele est direcionado tambm academia, na esperana de que maisdepartamentos de universidades venham a incluir mdulos sobre avaliao de incerteza em medioem seus cursos. Como resultado, uma nova gerao de estudantes poder estar melhor capacitadapara entender e fornecer declaraes de incertezas associadas a valores de grandezas medidas, eassim chegar a uma melhor apreciao da medio.

Este documento introdutrio, o GUM, seus Suplementos e os demais documentos devem ser usadosem conjunto com o Vocabulrio Internacional de Metrologia - Conceitos fundamentais e gerais etermos associados e todas as trs partes da norma ISO 3534 citada no Captulo 2, a qual definetermos estatsticos (usados em estatstica e probabilidade, incluindo estatstica aplicada e projeto deexperimentos), e express-los em um sistema bsico conceitual de acordo com a prtica terminolgicanormativa. A ltima considerao est relacionada ao fato de que o suporte terico para a avaliao dedados de medio e a avaliao de incerteza de medio fornecido por estatstica e probabilidadematemticas.


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2 Referncias normativasOs documentos referenciados a seguir so indispensveis para a aplicao deste documento. Parareferncias datadas, apenas a edio citada se aplica. Para referncias no datadas aplica-se a ltimaedio do documento referenciado (incluindo quaisquer emendas).

JCGM 100:2008. Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty in

measurement (GUM). Joint Committee for Guides in Metrology (Avaliao de dados de medio Guiapara expresso de incerteza de medio).

JCGM 101:2008. Evaluation of measurement data Supplement 1 to the Guide to the expression ofuncertainty in measurement" Propagation of distributions using a Monte Carlo method. JointCommittee for Guides in Metrology.

JCGM 200:2008. International Vocabulary of Metrology Basic and general concepts and associatedterms, 3rd Edition. Joint Committee for Guides in Metrology (Vocabulrio Internacional de Metrologia Conceitos fundamentais e gerais e termos associados).

ISO 3534-1:2006. Statistics Vocabulary and symbols Part 1: General statistical terms and termsused in probability.

ISO 3534-2:2006. Statistics Vocabulary and symbols Part 2: Applied statistics.

ISO 3534-3:1999. Statistics Vocabulary and symbols Part 3: Design of experiments.

3 O que incerteza de medio?3.1 O propsito de uma medio fornecer informao a respeito de uma grandeza de interesse um mensurando [JCGM 200:2008 (VIM) 2.3]. O mensurando pode ser o volume de um vaso, adiferena de potencial entre os terminais de uma bateria ou a concentrao de chumbo na gua contidanum frasco.

3.2 Nenhuma medio exata. Quando uma grandeza medida, o resultado de sada depende dosistema de medio [JCGM 200:2008 (VIM) 3.2], do procedimento de medio, da percia do operador,do ambiente e de outros efeitos [1]. Mesmo que a grandeza seja medida vrias vezes do mesmo modoe nas mesmas circunstncias, uma indicao [JCGM 200:2008 (VIM) 4.1] (valor medido [JCGM200:2008 (VIM) 2.10]) diferente em geral obtida a cada vez, assumindo-se que o sistema de mediotenha resoluo suficiente para distinguir entre os valores obtidos. Esses valores podem ser tomadoscomo ocorrncias (particulares) da grandeza indicao. (Ver NT 1)

3.3 A dispersodas indicaes estaria relacionada a o quo bem a medio feita. A mdia (dasindicaes) forneceria uma estimativa [ISO 3534-1:2006 1.31] do valor verdadeiro [JCGM 200:2008(VIM) 2.11] da grandeza, a qual geralmente deveria ser mais confivel do que uma indicao individual.A disperso e o nmero de indicaes forneceriam informao relacionada ao valor mdio (como umaestimativa do valor verdadeiro da grandeza). Esta informao, contudo, no seria sempre apropriada.(Ver NT 2)

3.4 O sistema de medio pode fornecer indicaes que esto dispersas no em torno do valorverdadeiro da grandeza, mas em torno de um valor dele desviado. A diferena entre este valordesviado e o valor verdadeiro da grandeza chamada algumas vezes de valor erro sistemtico[JCGM200:2008 (VIM) 2.17] (Ver NT 3). Considerem-se as balanas de banheiro de uso domstico. Suponha-se que elas no indiquem zero quando no h carga sobre elas, mas que indiquem algum valordesviado de zero. Ento, independentemente de quantas vezes a massa de uma pessoa sejaremedida, o efeito desse desvio estar inerentemente presente na mdia das indicaes. Em geral, umerro sistemtico, considerado como uma grandeza, um componente de erro que permanececonstante ou que depende de uma maneira especfica de alguma outra grandeza.

3.5 A grandeza erro de medio (Ver NT 4) pode ser de dois tipos, sistemticoe aleatrio [JCGM200:2008 (VIM) 2.19]. Um erro sistemtico (cuja estimativa conhecida como tendncia [JCGM200:2008 (VIM) 2.18]) est associado ao fato de que o valor medido de uma grandeza contm umdesvio. Um erro aleatrio est associado ao fato de que quando uma medio repetida fornecer,geralmente, um valor medido diferente do valor anterior. Ele aleatrio no sentido de que o prximo

valor medido a ser obtido na medio no pode ser exatamente previsto com base nos valores obtidosanteriormente. (Se fosse possvel fazer uma predio, o efeito j poderia ser levado em conta!). Emgeral cada tipo de erro comportar um determinado nmero de contribuies.


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3.6 Um desafio no campo da medio saber qual a melhor forma de expressar o que se conheceusobre o mensurando. A expresso dos valores dos erros sistemtico e aleatrio obtidos na medio,juntamente com a melhor estimativa do mensurando, era uma abordagem frequentemente utilizadaantes da introduo do GUM. O GUM proveu um modo diferente de pensar a medio; em particular,sobre como expressar a qualidade percebida do resultado de uma medio. Em vez de expressar oresultado fornecendo uma melhor estimativa do mensurando juntamente com informao sobre os

valores dos erros sistemtico e aleatrio (na forma de uma anlise de erros), a abordagem do GUMexpressa o resultado de uma medio como uma melhor estimativa do mensurando acompanhada deuma incerteza de medioassociada.

3.7 Uma das premissas bsicas da abordagem do GUM consiste na possibilidade de tratar os errossistemticos e aleatrios em bases similares, e um mtodo fornecido para isso (ver 7.2). Este mtodorefina a informao que era anteriormente fornecida por uma anlise de erros, e a coloca em umabase probabilstica por meio do conceito de incerteza de medio.

3.8 Outra premissa bsica da abordagem do GUM a impossibilidade de estabelecer o quo bem ovalor essencialmente nico do mensurando conhecido, mas apenas indicar em que medida seacredita que ele conhecido. A incerteza de medio pode ser descrita, assim, como uma medida de oquo bem se acredita conhecer o valor verdadeiro essencialmente nico do mensurando. Essaincerteza reflete um conhecimento incompleto do mensurando. A noo de confiana aqui muito

importante, uma vez que a metrologia levada a um campo em que os resultados de medioprecisam ser considerados e quantificados em termos de probabilidades que expressam graus deconfiana.

3.9 A discusso acima se refere a uma medio direta de uma grandeza, a qual, incidentalmente,raramente ocorre. As balanas de banheiro de uso domstico podem converter um valor medido daextenso de uma mola em uma estimativa do mensurando, isto , a massa da pessoa sobre a balana.A relao particular entre a extenso e a massa determinada pela calibrao[JCGM 200:2008 (VIM)2.39] das balanas.

3.10 Uma relao tal como a citada em 3.9 constitui uma regra para converso do valor de umagrandeza no correspondente valor do mensurando. A regra usualmente conhecida como um modelode medio [JCGM 200:2008 (VIM) 2.48] ou simplesmente um modelo. Na prtica h muitos tipos demedio e, assim, muitas regras ou modelos. Mesmo para um tipo particular de medio pode bem

haver mais de um modelo. Um modelo simples (por exemplo, uma regra proporcional, em que a massa proporcional extenso da mola) pode ser suficiente para o uso domstico dirio. Alternativamente,um modelo mais sofisticado de pesagem, envolvendo efeitos adicionais tais como o empuxo do ar, capaz de fornecer melhores resultados para fins industriais ou cientficos. Em geral haver, comfrequncia, vrias grandezas diferentes, como, por exemplo, temperatura, umidade e deslocamento,que contribuem para a definio do mensurando, e que necessitam ser medidas.

3.11 Termos de correo devem ser includos no modelo quando as condies de medio no soexatamente as estipuladas. Esses termos correspondem a valores de erros sistemticos [JCGM200:2008 (VIM) 2.17]. Tendo sido obtida uma estimativa do termo de correo, a grandeza em questodeve ser corrigida por essa estimativa [JCGM 100:2008 (GUM) 3.2.4]. Haver uma incerteza associada estimativa, mesmo que esta prpria estimativa seja zero, como frequentemente ocorre. Exemplos deerros sistemticos surgem em medio de altura, quando o instrumento de medio no estperfeitamente alinhado na vertical ou a temperatura ambiente diferente da prescrita. Nem o

alinhamento observado do instrumento de medio nem a temperatura ambiente observada soespecificados exatamente, porm a informao referente a estes efeitos estar disponvel de algumaforma (por exemplo, a falta de alinhamento no mximo de 0,001 e a temperatura ambiente na horada medio difere daquela estipulada em no mximo 2 C).

3.12 Uma grandeza pode depender do tempo como, por exemplo, no decaimento de uma amostra deradionucldeos numa determinada taxa. Pretendendo-se obter um mensurando correspondente a umamedio em um determinado instante de tempo, tal efeito deve ser incorporado ao modelo.

3.13 Alm de dados obtidos naturalmente (por medio) que representam valores medidos degrandezas, existe outra forma de (obter) dados que frequentemente necessria em um modelo.Alguns desses dados esto relacionados a grandezas que representam constantes fsicas que no soperfeitamente conhecidas. Alguns exemplos so constantes associadas a materiais, tais como mdulode elasticidade e calor especfico. H amide outros dados relevantes fornecidos em livros de

referncia, certificados de calibrao, etc, considerados como estimativas de outras grandezas.


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3.14 Os itens requeridos por um modelo para definir um mensurando so conhecidos comograndezas de entrada num modelo de medio [JCGM 200:2008 (VIM) 2.50]. A regra ou modelo referida frequentemente como uma relao funcional [JCGM 100:2008 (GUM) 4.1]. A grandeza desada num modelo de medio[JCGM 200:2008 (VIM) 2.51] o mensurando.

3.15 Formalmente, a grandeza de sada, denotada por Y, sobre a qual se requer informao,

frequentemente relacionada a grandezas de entrada, denotadas porX

1,...,X

N, sobre as quaisinformaes esto disponveis, por um modelo de medio [JCGM 100:2008 (GUM) 4.1.1] na forma deuma funo de medio [JCGM 200:2008 (VIM) 2.49]

Y = f(X1,...,XN) (1)

3.16 Uma expresso geral para um modelo de medio [JCGM 200:2008 (VIM) 2.48 nota 1]

h(Y,X1,...,XN)= 0 (2)

Considera-se que, tendo sido dados X1,...,XN, existe um procedimento para calcular Ypela equao (2),e que Y definido por essa equao de maneira unvoca.

3.17 Os valores verdadeiros das grandezas de entrada X1,...,XNso desconhecidos. Na abordagemproposta, X1,...,XNso caracterizadas por distribuies de probabilidade [JCGM 100:2008 (GUM) 3.3.5,ISO 3534-1:2006 2.11] e tratadas matematicamente como variveis aleatrias [ISO 3534-1:2006 2.10].Essas distribuies descrevem as respectivas probabilidades de seus valores verdadeiros selocalizarem em diferentes intervalos, e so determinadas com base em conhecimento disponvel sobreX1,...,XN. Ocasionalmente alguns dos X1,...,XNmantm relao entre si, e as distribuies em questo,que so ento conhecidas como conjuntas, aplicam-se a essas grandezas tomadas em conjunto. Asconsideraes que se seguem, largamente aplicadas a grandezas no relacionadas entre si(independentes), podem ser estendidas a grandezas correlacionadas.

3.18 Considerem-se, respectivamente, estimativasx1,,xNdas grandezas de entradaX1,...,XN, obtidasde certificados e relatrios, especificaes de fabricantes, anlise de dados de medio, e assim pordiante. As distribuies de probabilidade que caracterizam X1,...,XNso escolhidas de maneira tal queas estimativas x1,,xN so, respectivamente, as esperanas [JCGM 101:2008 3.6, ISO 3534-1:20062.12] de X1,...,XN. Adicionalmente, considere-se, para a i-sima grandeza de entrada, uma assimreferida incerteza-padro [JCGM 200:2008 (VIM) 2.30], com smbolo u(xi), definida como o desvio-padro[JCGM 101:2008 3.8, ISO 3534-1:2006 2.37] da grandeza de entrada Xi. Desta incerteza-padrose diz estar associadacom a (correspondente) estimativa xi. A estimativa xi a melhor no sentido deque u2(xi) sempre menor que a diferena quadrtica (mdia) esperada de Xicom relao a qualqueroutro valor. (Ver NT 5)

3.19 O uso de conhecimento disponvel para obter uma distribuio de probabilidade que caracterizecada grandeza de interesse aplica-se s Xi e tambm a Y. No ltimo caso, a distribuio deprobabilidade que caracteriza Y determinada pela relao funcional (1) ou (2) juntamente com asdistribuies de probabilidade das Xi. A determinao da distribuio de probabilidade para Ya partirdestas informaes conhecida como propagao de distribuies[JCGM 101:2008 5.2].

3.20 Conhecimento prvio sobre o valor verdadeiro da grandeza de sada Y pode ser tambmconsiderada. Com relao balana domstica de banheiro, podem-se considerar o fato de que amassa de uma pessoa qualquer sempre positiva, e que o que est sendo medido , em vez da massade um motor de carro, a massa de uma pessoa. Ambas as informaes constituem conhecimentoprvio sobre os possveis valores do mensurando neste exemplo. Tais informaes adicionais podemser usadas para prover uma distribuio de probabilidade para Y que possa fornecer-lhe um menordesvio-padro e, ento, uma menor incerteza-padro associada com sua estimativa [2, 13, 24].

4 Conceitos e princpios bsicos

4.1 Conceitos fundamentais e princpios de teoria da probabilidade que compem a abordagem

proposta para a avaliao e expresso de incerteza em medio, alm daqueles discutidos no captulo3, so fornecidos em JCGM 105:2008 [4]. (Ver NT 6)


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4.2 A incerteza de medio definida [JCGM 200:2008 (VIM) 2.26] como

parmetro no negativo que caracteriza a disperso dos valoresatribudos a um mensurando,com base nas informaes utilizadas.

Essa definio consistente com as consideraes de 3.8 e 3.17 a 3.20.

4.3 Duas representaes de uma distribuio de probabilidade [JCGM 101:2008 3.1, ISO 3534-1:2006 2.11] para uma varivel aleatriaXso usadas em avaliao de incerteza:

a funo de distribuio[JCGM 101:2008 3.2, ISO 3534-1:2006 2.7], uma funo que fornece, paracada valor de seu argumento, a probabilidade de Xser menor que aquele valor ou igual a ele, e

a funo densidade de probabilidade [JCGM 101:2008 3.3, ISO 3534-1:2006 2.26], a derivada dafuno de distribuio.

4.4 O conhecimento de cada grandeza de entrada Xi em um modelo de medio muitas vezessintetizado pela melhor estimativa xie pela incerteza-padro associada u(xi) (ver 3.18). Se, para cada iej,XieXjso relacionados (interdependentes), a informao resumida incluir tambm uma medida daintensidade dessa relao, especificada como uma covarincia [ISO 3534-1:2006 2.43] ou uma

correlao. SeXieXjno esto relacionados entre si (so independentes) a sua covarincia zero.4.5 A avaliao de dados de medio, no contexto do modelo de medio (1) ou (2), realizada pelouso de conhecimentos disponveis sobre as grandezas de entrada X1,..., XN, representadas pelasdistribuies de probabilidade usadas para caracteriz-las, de forma a deduzir a distribuiocorrespondente que caracteriza a grandeza Yde sada. A avaliao de dados de medio pode acabarimplicando a determinao de apenas uma descrio resumida desta distribuio.

4.6 O conhecimento sobre uma grandeza de entrada Xi inferido a partir de repetidos valores deindicao (avaliao de incerteza do Tipo A) [JCGM 100:2008 (GUM) 4.2, JCGM 200:2008 (VIM) 2.28],ou julgamento cientfico ou outras informaes sobre os possveis valores da grandeza (avaliaodeincerteza do Tipo B) [JCGM 100:2008 (GUM) 4.3, JCGM 200:2008 (VIM) 2.29].

4.7 Nas avaliaes de incerteza de medio do Tipo A [JCGM 200:2008 (VIM) 2.28], muitas vezesfeita a suposio de que a distribuio que melhor descreve uma grandeza de entrada X, havendorepetidos valores de indicao da mesma (obtidos independentemente), uma distribuio gaussiana[ISO 3534-1:2006 2.50]. A grandeza Xtem ento esperana igual mdia dos valores de indicao edesvio-padro igual ao desvio-padro da mdia. Quando a incerteza avaliada a partir de um pequenonmero de valores de indicao (considerados como ocorrncias de valor de uma grandeza indicaocaracterizada por uma distribuio gaussiana) (Ver NT 1), a distribuio correspondente pode sertomada como uma distribuio-t[ISO 3534-1:2006 2.53]. A Figura 1 mostra uma distribuio gaussianae uma distribuio-t(curva tracejada) com quatro graus de liberdade. Outras consideraes se aplicamquando os valores de indicao no so obtidos de forma independente.

4.8 Para uma avaliao do Tipo B da incerteza [JCGM 200:2008 (VIM) 2.29], muitas vezes a nica

informao disponvel que X est contido em um intervalo especificado [a, b]. Nesse caso, oconhecimento da grandeza pode ser caracterizado por uma distribuio de probabilidade retangular[JCGM 100:2008 (GUM) 4.3.7, ISO 3534-1:2006 2.60] com limites a e b (figura 2). Se informaesdiferentes estivessem disponveis, uma distribuio de probabilidade consistente com essasinformaes seria utilizada [26].

4.9 Uma vez que as grandezas de entrada X1,..., XNtenham sido caracterizadas por distribuies deprobabilidade apropriadas, e o modelo de avaliao tenha sido desenvolvido, a distribuio deprobabilidade para o mensurando Yestar totalmente especificada em termos dessas informaes (vertambm 3.19). Em particular, a esperana de Y utilizada como a estimativa de Y, e o desvio-padro deYcomo a incerteza-padro associada a esta estimativa.

4.10 A figura 3 mostra a funo de medio aditiva Y = X1 + X2 para o caso em que X1 e X2 socaracterizadas, cada uma, por uma diferente distribuio de probabilidade retangular. Neste caso, Ytem uma distribuio de probabilidade trapezoidal simtrica.


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Figura 1 Uma distribuio gaussiana (curva preta contnua) e uma distribuio-tcom quatro graus de

liberdade (curva vermelha tracejada) (unidade denota unidade arbitrria)

Figura 2 Distribuio de probabilidade retangular com limites 0,1 unidade e 0,1 unidade (unidade

denota unidade arbitrria)


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Figura 3 Uma funo de medio aditiva com duas grandezas de entradaX1eX2caracterizadas por

distribuies de probabilidade retangulares

4.11 Muitas vezes requerido um intervalo que contm Ycom uma determinada probabilidade. Talintervalo, um intervalo de abrangncia [JCGM 200:2008 (VIM) 2.36], pode ser deduzido a partir dadistribuio de probabilidade de Y. A probabilidade especificada conhecida como a probabilidade deabrangncia[JCGM 200:2008 (VIM) 2.37].

4.12 Para uma probabilidade de abrangncia especfica, h mais de um intervalo de abrangncia,

a) o intervalo de abrangncia probabilisticamente simtrico [JCGM 101:2008 3.15], para o qual asprobabilidades (um menos a probabilidade de abrangncia) de um valor esquerda e direita do

intervalo so iguais, eb) o menor intervalo de abrangncia[JCGM 101:2008 3.16], cujo comprimento o menor dentre todos

os intervalos de abrangncia com a mesma probabilidade de abrangncia.

4.13 A figura 4 mostra uma distribuio de probabilidade (uma distribuio gaussiana truncada eescalonada, indicada pela curva decrescente) com as extremidades dos intervalos de abrangncia(95% de confiana) para uma grandeza caracterizada por esta distribuio: o menor intervalo (linhasverticais azuis contnuas) e o intervalo probabilisticamente simtrico (linhas verticais tracejadas emvermelho). A distribuio assimtrica e os dois intervalos de abrangncia so diferentes (maisnotavelmente em suas extremidades direita). O menor intervalo de abrangncia tem a suaextremidade esquerda em zero, o menor valor possvel para a grandeza. O intervalo de abrangnciaprobabilisticamente simtrico neste caso 15% maior que o menor intervalo de abrangncia.

4.14 Os coeficientes de sensibilidade c1,..., cN [JCGM 100:2008 (GUM) 5.1.3] descrevem como aestimativa yde Yseria influenciada por pequenas variaes nas estimativas x1,..., xNdas grandezas deentradaX1,...,XN. Para a funo de medio (1), ci igual derivada parcial de primeira ordem de fcomrelao aXiavaliados emX1=x1,X2=x2, etc. Para a funo de medio linear

Y= c1X1+ ... + cNXN, (3)

com X1,...,XNindependentes, uma variao em xiigual a u(xi) produziria uma variao ciu(xi) emy. Estaseria, geralmente, uma declarao aproximada quando se trata dos modelos de medio (1) e (2) (ver7.2.4). As magnitudes relativas dos termos |ci|u(xi) so teis para avaliar as respectivas contribuiesdas grandezas de entrada para a incerteza-padro u(y) associada comy.

4.15 A incerteza-padro u(y) associada com a estimativa yda grandeza de sada Yno resultadoda soma dos termos |ci|u(xi), mas pela sua combinao em soma quadrtica [JCGM 100:2008 (GUM)5.1.3], ou seja, por (uma expresso que, para os modelos de medio (1) e (2), geralmenteaproximada)

u(y)= c1u(x1)+ ... + cNu(xN). (4)

4.16 Quando as grandezas de entrada Xi contiverem dependncias, a frmula (4) acrescida determos contendo covarincias [JCGM 100:2008 (GUM) 5.2.2], o que pode aumentar ou diminuir u(y).

4.17 De acordo com a Resoluo 10 do 22 CGPM (2003) "... o smbolo para o marcador decimaldeve ser o ponto sobre a linha ou a vrgula na linha...". O JCGM decidiu adotar, em seus documentosem Ingls, o ponto sobre a linha.


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Figura 4 Menor intervalo de abrangncia de 95 % (pontos extremos indicados por linhas verticais

contnuas azuis) e intervalo de abrangncia probabilisticamente simtrico de 95% (linha vermelha

tracejada) para uma grandeza caracterizada por uma distribuio gaussiana truncada e escalonada

(unidade denota unidade arbitrria)

5 Etapas da avaliao de incerteza

5.1 As principais etapas da avaliao de incerteza so a formulao e o clculo, sendo que estaltima etapa consiste na propagao e na consolidao do resultado.

5.2 A etapa de formulao (ver captulo 6) compreende

a) a definio da grandeza de sada Y(o mensurando),

b) a identificao das grandezas de entrada das quais Ydepende,

c) o desenvolvimento de um modelo de medio relacionando Ys grandezas de entrada, e

d) com base no conhecimento disponvel, a atribuio de distribuies de probabilidade gaussianas,retangulares, etc. para as grandezas de entrada (ou distribuies conjuntas de probabilidades paraas grandezas de entrada que no so independentes).

5.3 A etapa de clculo (ver captulo 7) consiste na propagao das distribuies de probabilidadepara as grandezas de entrada por meio do modelo de medio para obter a distribuio deprobabilidade para a grandeza de sada Ye, usando esta distribuio, sintetizar o resultado final paraobter

a) a esperana de Y, tomada como uma estimativa yde Y,

b) o desvio-padro de Y, tomado como a incerteza-padro u(y) associada com y [JCGM 100:2008(GUM) E.3.2], e

c) um intervalo de abrangncia contendo Ycom uma probabilidade de abrangncia especificada.


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6 A etapa de formulao: desenvolvendo um modelo de medio6.1 A etapa de formulao da avaliao de incerteza envolve o desenvolvimento de um modelo demedio incorporando, conforme necessrio, correes e outros efeitos. Em algumas reas de medioesta etapa pode ser muito difcil. Ela envolve tambm o uso de conhecimentos disponveis paracaracterizar as grandezas de entrada do modelo por distribuies de probabilidade. O JCGM 103 [6]

fornece orientaes para desenvolver e trabalhar modelos de medio. A atribuio de distribuies deprobabilidade para as grandezas de entrada em um modelo de medio abordado pelo JCGM 101[JCGM 101:2008 6] e pelo JCGM 102 [5].

6.2 Um modelo de medio relacionando as grandezas de entrada grandeza de sada inicialmente desenvolvido. Pode haver mais de uma grandeza de sada (ver 6.5). O modelo construdo em bases tericas ou empricas, ou ambos, e, geralmente, depende de diversas reas:metrologia, eltrica, dimensional, massa, trmica, etc. O modelo , ento, acrescido de termosconstitudos por grandezas de entrada adicionais, que descrevem efeitos que influenciam a medio. OJCGM 103 [6] fornece orientao sobre tratamento desses efeitos adicionais, que podem serclassificados em efeitos aleatrios e sistemticos.

6.3 O JCGM 103 considera classes mais amplas de modelos de medio do que o faz o GUM, ecategoriza os modelos observando se

a) as grandezas envolvidas so reais ou complexas,

b) o modelo de medio tem a forma geral da equao (2) ou pode ser expresso como uma funo demedio segundo a equao (1), e

c) h uma nica grandeza de sada ou mais de uma grandeza de sada (ver 6.5).

Na categoria (a), grandezas complexas ocorrem especialmente em metrologia eltrica, e tambm nametrologia acstica e ptica. Na categoria (b), para uma funo de medio, a grandeza de sada expressa diretamente como uma frmula envolvendo as grandezas de entrada, e para um modelo demedio geral, uma equao deve ser resolvida para a grandeza de sada em termos das grandezas deentrada (ver 6.5).

6.4 Exemplos de uma gama de disciplinas de metrologia ilustram vrios aspectos do JCGM 103. Soali fornecidas orientaes sobre aspectos de anlise numrica que surgem no tratamento dessesexemplos. As mesmas tambm incluem o uso de mudanas de variveis de modo a que todas oualgumas das grandezas resultantes sejam no correlacionadas ou apenas fracamente correlacionadas.

6.5 O GUM e o JCGM101: 2008 se concentram em modelos de medio na forma de funes demedio que possuem uma nica grandeza Yde sada. H, no entanto, muitos problemas de mediopara os quais existem mais que uma grandeza de sada que so dependentes de um conjunto comumde grandezas de entrada. Essas grandezas de sada so denotadas por Y1,..., Ym. Exemplos incluem (a)uma grandeza de sada complexa, representada em termos de seus componentes real e imaginrio (oumagnitude e fase), (b) grandezas que representam os parmetros de uma funo de calibrao, e (c)grandezas que descrevem a geometria da superfcie de um artefato. O GUM no trata diretamente detais modelos, embora sejam dados exemplos de medio simultnea de resistncia e reatncia [JCGM100:2008 (GUM) H.2] e de calibrao de um termmetro [JCGM 100:2008 (GUM) H.3].

6.6 Na avaliao de incerteza, a etapa de formulao, para o caso de mais de um mensurando, consistente com aquela usada para um modelo de medio com um mensurando nico: elacompreende o desenvolvimento de um modelo e a atribuio de distribuies de probabilidade para asgrandezas de entrada com base no conhecimento disponvel. Da mesma forma que no caso de ummodelo de medio com uma grandeza de sada nica, existe uma estimativa e uma incerteza-padro aela associada para cada grandeza de entrada (e possivelmente covarincias associadas a pares deestimativas). Adicionalmente, uma vez que, em geral, cada grandeza de sada depende de todas asgrandezas de entrada, alm de determinar estimativas das grandezas de sada e suas incertezas-padro associadas, necessrio avaliar as covarincias associadas com todos os pares dessasestimativas.

6.7 Para o caso de um nmero mde grandezas de sada, o uso da funo de medio (1) leva a

Y1= f

1(X

1,,X

N), Y

2= f

2(X

1,,X

N),, Y

m= f

m(X

1,,X

N), (5)

em que h mfunesf1,...,fm. A Figura 5 ilustra um modelo de medio para este caso.


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Figura 5 Um modelo de medio com trs grandezas de entradaX1,X2eX3, duas funes de mediof1e

f2e duas grandezas de sada Y1e Y2

6.8 Modelos de medio multi-etapas, em que as grandezas de sada de etapas anteriores se tornamas grandezas de entrada para etapas subsequentes, so tambm tratados no JCGM 103. Um exemplocomum de um modelo de medio multi-etapas diz respeito construo e utilizao de uma funo decalibrao [JCGM 200:2008 (VIM) 2.39] (ver Figura 6):

a) Tendo sido obtidos valores de grandezas fornecidos por padres de medio, e valorescorrespondentes de indicao oriundos de um sistema de medio, determine as estimativas dosparmetros da funo de calibrao. As incertezas-padro associadas com os valores das

grandezas medidas e com os valores de indicao do origem a incertezas-padro associadascom essas estimativas e, em geral, a covarincias associadas com todos os pares de estimativas;

b) Obtido um novo valor indicao, utilize a funo de calibrao para obter o valor correspondente dagrandeza medida. Esta etapa envolve o inverso da funo de calibrao. As incertezas-padro eas covarincias associadas com as estimativas dos parmetros da funo de calibrao,juntamente com a incerteza-padro associada ao valor da nova indicao, do origem a umaincerteza-padro associada com este valor da grandeza medida.

Figura 6 Um modelo de medio de duas etapas para uma funo de calibrao em que valores degrandezas fornecidas por padres de medio e correspondentes valores de indicao so utilizados para

estabelecer estimativas dos parmetros da funo de calibrao. Essas estimativas sero usadasposteriormente para, dado um novo valor indicao, estimar o correspondente valor medido

7 A etapa de clculo (propagao e consolidao) da avaliao deincerteza

7.1 Geral

7.1.1 A etapa de propagao para a avaliao de incerteza conhecida como propagao dedistribuies[JGGM 101:2008 5.2], estando para isso disponveis vrias abordagens, incluindo

a) a abordagem de incerteza do GUM, que consiste na aplicao da lei de propagao de incertezas,caracterizando-se a grandeza de sada Ypor uma distribuio gaussiana ou uma distribuio-t(ver 7.2),


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b) mtodos analticos, em que anlise matemtica utilizada para derivar uma forma algbrica para adistribuio de probabilidade para Y(ver 7.3), e

c) um mtodo Monte Carlo (MMC), em que uma aproximao para a funo de distribuio de Y estabelecida numericamente por meio de escolhas aleatrias a partir das distribuies de probabilidadeassociadas s grandezas de entrada, a avaliao do modelo sendo feita com base nos valores daresultantes (ver 7.4).

7.1.2 Com relao a qualquer problema particular de avaliao de incerteza pode ser usada aabordagem a) ou b) ou c) (ou alguma outra abordagem), sendo que a) geralmente aproximada, b) exata, e c) fornece uma soluo com uma exatido numrica que pode ser controlada.

7.1.3 A aplicao das abordagens a) e c) a funes de medio com qualquer nmero de grandezasde sada, e a modelos gerais de medio, considerada em 7.5.

7.2 A abordagem de incerteza do GUM

7.2.1 A abordagem de incerteza do GUM [JCGM 100:2008 (GUM) 3.4.8, 5.1] (representada na figura7) utiliza

a) as melhores estimativasxidas grandezas de entradaXi,b) as incertezas-padro u(xi) associadas com osxi, e

c) os coeficientes de sensibilidade ci(ver 4.14)

para formar uma estimativayda grandeza de sada Ye a incerteza-padro associada u(y).

7.2.2 Uma variante [JCGM 100:2008 (GUM) 5.2] de 7.2.1 aplica-se quando as incertezas de entradaso mutuamente dependentes (no indicado na figura 7). Assumindo-se a distribuio de probabilidadede Y como gaussiana, -lhe tambm determinado um intervalo de abrangncia correspondente probabilidade de abrangncia especificada [JCGM 100:2008 (GUM) G.2]. Quando o nmero de grausde liberdade [ISO 3534-1:2006 2.54] relativo a qualquer u(xi) finito, determina-se um nmero (efetivo)de graus de liberdade relativo a u(y), e a distribuio de probabilidade para Y tomada como uma

distribuiot.

7.2.3 H muitas circunstncias nas quais a abordagem de incerteza do GUM [JCGM 100:2008 (GUM)5] pode ser aplicada, levando a declaraes vlidas de incerteza. Se a funo de medio for linear nasgrandezas de entrada e as distribuies de probabilidade para essas grandezas forem gaussianas, aabordagem de incerteza do GUM fornecer resultados exatos [JCGM 101:2008 5.7]. Mesmo quandoessas condies no se aplicam, a abordagem frequentemente funciona suficientemente bem para finsprticos [JCGM 101:2008 5.8].

7.2.4 H situaes em que a abordagem de incerteza do GUM pode no ser satisfatria, incluindoaquelas em que

a) a funo de medio no linear,

b) as distribuies de probabilidade para as grandezas de entrada so assimtricas,

c) as contribuies de incerteza ||, , || (ver 4.14) no so (pelo menos)aproximadamente da mesma magnitude [JCGM 100:2008 (GUM) G.2.2], e

d) a distribuio de probabilidade para a grandeza de sada assimtrica, ou no uma distribuiogaussiana ou uma distribuio-t.

Algumas vezes difcil estabelecer de antemo que existam as circunstncias satisfatrias para que aabordagem de incerteza do GUM seja aplicada.


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Figura 7 Clculo da incerteza de medio utilizando a abordagem de incerteza do GUM,onde a partesuperior esquerda da figura (delimitada pelas linhas tracejadas) refere-se obtenode uma estimativayda

grandeza de sada Ye da incerteza-padro associada u(y), com orestante da figura referindo-se determinao de um intervalo de abrangncia para Y

7.2.5 O uso da abordagem de incerteza do GUM torna-se mais difcil ao se calcularem derivadasparciais (ou aproximaes numricas para elas) para um modelo de medio complicado, como exigidopela lei de propagao de incertezas (possivelmente com termos de ordens superiores) [JCGM100:2008 (GUM) 5]. Um tratamento vlido e algumas vezes mais prontamente aplicvel obtido pelaaplicao de uma implementao adequada da propagao de distribuies por Monte Carlo (ver 7.4).

7.3 Mtodos analticos

7.3.1 Mtodos analticos, pelos quais uma forma algbrica para a distribuio de probabilidade dagrandeza de sada pode ser obtida, no introduzem qualquer aproximao, mas podem ser aplicadosapenas em casos relativamente simples. Um tratamento de tais mtodos pode ser obtido em [8, 12].

Alguns casos que podem ser manipulados desta forma para um nmero geral N de grandezas deentrada so funes lineares de medio (expresso (3)), em que as distribuies de probabilidadepara todas as grandezas de entrada so gaussianas, ou todas so retangulares com a mesma largura.Um exemplo com duas grandezas de entrada (N = 2), cujas distribuies de probabilidade soretangulares, e com distribuio de probabilidade trapezoidal para a grandeza de sada [10], ilustradona figura 3.

7.3.2 Casos em que existe uma grandeza de entrada (N = 1) podem frequentemente ser tratadosanaliticamente usando uma frmula [25, pginas 57-61] para obter algebricamente uma distribuio deprobabilidade para a grandeza de sada. Casos assim surgem na converso de unidades de medidas,por exemplo da unidade linear para a logartmica [10, pginas 95-98].

7.3.3 Uma vantagem de uma soluo algbrica que ela propicia uma (melhor) compreenso (doprocesso) ao explicitar da dependncia da distribuio de probabilidade obtida para a grandeza desada com relao aos parmetros das distribuies de probabilidade das grandezas de entrada.


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7.4 Mtodo Monte Carlo (MMC)

7.4.1 O JCGM 101:2008 fornece informaes detalhadas sobre a utilizao do MMC como ferramentapara a propagao de distribuies [JCGM 101:2008 5.9]. O MMC tem menos condies (restritivas)associadas ao seu uso do que a abordagem de incerteza do GUM [JCGM 101:2008 5.10]. A figura 8ilustra o procedimento correspondente. O JCGM 101:2008 fornece exemplos para comparar o MMC

com o uso da abordagem de incerteza do GUM [JCGM 101:2008 9].7.4.2 O JCGM 101:2008 fornece um procedimento MMC adaptativo em que o nmero de iteraes deMonte Carlo determinado automaticamente utilizando uma medida de convergncia de todo oprocesso [JCGM 101:2008 7.9].

7.4.3 No JCGM 101:2008 existe um procedimento que utiliza o MMC para decidir, em cada casoparticular, se a aplicao da abordagem de incerteza do GUM vlida [JCGM 101:2008 8].

Figura 8 Avaliao da incerteza de medio usando um mtodo Monte Carlo, onde a parte da figura esquerda da linha tracejada relaciona-se obteno de uma estimativayda grandeza de sada Ye sua

incerteza-padro associada u(y), e a parte restante relaciona-se determinao de um intervalo deabrangncia para Y.

7.5 Modelos de medio com qualquer nmero de grandezas de sada

7.5.1 Com o objetivo de avaliar as incertezas e as covarincias associadas com as estimativas dasgrandezas de sada, para modelos de medio com qualquer nmero de grandezas de sada, tanto aabordagem de incerteza do GUM quanto a do MMC, conforme tratado no JCGM 101:2008, exigemextenses. O GUM [JCGM 100:2008 (GUM) F.1.2.3] descreve uma extenso para a sua abordagem,mas considerando-a apenas em exemplos.

7.5.2 No JCGM 102 [5] estabelecido que a lei de propagao de incertezas, elemento principal daabordagem de incerteza do GUM, pode, equivalentemente, quando aplicada a um modelo de mediotendo uma nica grandeza de sada, ser expressa de maneira sucinta em uma forma matricial. Aexpresso matricial tem a vantagem de ser adequada como base para a implementao em software, epara extenso a tipos mais gerais de modelos de medio.

7.5.3 Essa extenso fornecidano JCGM 102 para uma funo de medio com qualquer nmero de

grandezas de sada. A extenso para qualquer nmero de grandezas de sada em um modelo demedio geral (ver 3.16) tambm tratada no JCGM 102.


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7.5.4 O JCGM 102 aplica tambm o MMC para modelos de medio com qualquer nmero degrandezas de sada. Uma representao discreta da distribuio de probabilidade para as grandezasde sada fornecida. So dadas expresses para as estimativas das grandezas de sada, asincertezas-padro associadas a essas estimativas, e as covarincias associadas com pares dessasestimativas em termos daquela representao.

7.5.5 Alm de obter as estimativas das grandezas de sada, juntamente com as incertezas-padro e

covarincias associadas, pode ser necessrio obter uma regioque contenha as grandezas de sadacom uma probabilidade (de abrangncia) especificada. natural considerar a extenso (dessa idia)para regies correspondentes a intervalos de abrangncia probabilisticamente simtricos e a intervalosde menor probabilidade de abrangncia. No entanto, no h contrapartida natural de um intervalo deabrangncia probabilisticamente simtrico na forma de uma regio de abrangncia, o que ocorre nocaso de um menor intervalo de abrangncia. A determinao de uma regio de menor abrangncia geralmente uma tarefa difcil.

7.5.6 Em algumas circunstncias razovel fornecer uma regio de abrangncia aproximada tendoforma geomtrica simples. Duas formas particulares de regio de abrangncia so consideradas a esterespeito. Uma forma resulta da caracterizao das grandezas de sada por uma distribuio gaussianaconjunta com base, por exemplo, no teorema central do limite [JCGM 100:2008 (GUM) G.2]. Neste casoa regio de menor abrangncia limitada por um hiper-elipside. A outra forma constitui-se numa

regio de abrangncia hiper-retangular. Procedimentos para a obteno dessas formas so fornecidosem JCGM 102.

8 Incerteza de medio na avaliao da conformidade8.1 A avaliao da conformidade uma rea de importncia no controle da qualidade de produo,na metrologia legal, e na manuteno da sade e segurana. A inspeo industrial durante a fabricaode peas e componentes leva a que decises sejam tomadas referentes compatibilidade das peascom as especificaes do projeto. Questes semelhantes surgem no contexto da regulamentao(relativamente a emisses, radiao, drogas, controle de doping, etc) a propsito de se conhecer selimites estipulados para valores verdadeiros das grandezas foram ultrapassados. Orientao fornecida em JCGM 106 [7]. Ver tambm referncia [18]. (Ver NT 7)

8.2 A medio est sempre intrinsecamente associada avaliao da conformidade para decidir se agrandeza de sada, ou mensurando, est em conformidade com uma exigncia especificada. Para umagrandeza nica, tal exigncia normalmente assume a forma de limites de especificao que definem umintervalo de valores permissveis. Na ausncia de incerteza, um valor medido que se situe dentro desseintervalo dito ser conforme; em caso contrrio ele dito no conforme. A extenso pela qual aincerteza de medio influencia o processo de inspeo determinada por um balano de riscos entreprodutores e consumidores.

8.3 Os valores possveis de uma grandeza de interesse Y so representados por uma distribuio deprobabilidade. A probabilidade de Y estar de acordo com a especificao pode ser calculada a partirdesta distribuio de probabilidade e dos limites de especificao.

8.4 Devido ao conhecimento incompleto da grandeza Y (segundo o codificado em sua distribuio deprobabilidade), h o risco de decises equivocadas quando de uma deciso pela conformidade a umaespecificao. Tais decises equivocadas so de dois tipos: a grandeza admitida como conforme podeser realmente no-conforme, e uma grandeza rejeitada como no-conforme pode ser, na realidade,conforme. Os riscos relacionados correspondem, respectivamente, a um risco do consumidore a umrisco do produtor(ver JCGM 106).

8.5 A definio de um intervalo de aceitaode valores medidos aceitveis pode equilibrar os riscosde decises equivocadas concernentes a aceitao ou rejeio, minimizando assim os custosassociados a essas decises [19]. O problema de calcular a probabilidade de conformidade e asprobabilidades dos dois tipos de deciso equivocada, dados a distribuio de probabilidade, os limitesde especificao e os limites do intervalo de aceitao, abordado em JCGM 106. A escolha doslimites do intervalo de aceitao uma questo que depende das implicaes que podem seracarretadas pelas decises equivocadas.

8.6 Embora a distribuio de probabilidade considerada em 8.3 a 8.5 seja geral, o JCGM 106 faz umtratamento particularizado para o caso mais importante na prtica, ou seja, quando a distribuio deprobabilidade gaussiana.


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9 Aplicaes do mtodo dos mnimos quadrados

9.1 Orientao sobre a aplicao do mtodo dos mnimos quadrados (tambm conhecido comoajuste de mnimos quadrados) para os problemas de avaliao de dados em metrologia fornecida emJCGM 107 [3]. (Ver NT 8) Em tais problemas h frequentemente uma relao terica subjacente entreuma varivel independente e uma varivel dependente. Essa relao constitui a base do problema de

ajuste de parmetro ou ajuste de curva. As grandezas de entrada no correspondente modelo demedio so as grandezas (variveis dependentes e independentes) cujos valores medidos constituemos resultados (obtidos num dado procedimento de medio). As grandezas de sada (do modelo demedio, ou do mtodo dos mnimos quadrados) so as grandezas que representam os parmetrosrequeridos. A maneira pela qual as grandezas de sada so obtidas a partir das grandezas de entradapor meio de um procedimento de mnimos quadrados define o modelo de medio.

9.2 Na terminologia da calibrao (ver 6.8), um valor medido de uma varivel independente sernormalmente oriundo de um padro. O valor da varivel dependente ser uma indicao retornada pelosistema de medio para o valor correspondente da varivel independente. No contexto de ajuste decurva, que inclui calibrao como um caso especial, o procedimento de ajuste utilizado em JCGM 107 uma verso generalizada do procedimento usual de mnimos quadrados.

9.3 A tarefa aqui estimar os parmetros (e s vezes at mesmo o seu nmero) a partir de pares devalores medidos e indicaes correspondentes. Esses pares, juntamente com as incertezas-padroassociadas e, quando apropriado, as covarincias, constituem os dados de entrada para o ajuste.

9.4 Problemas tpicos de medio em que o JCGM 107 pode ser aplicado incluem

(a) problemas lineares ou no-lineares de ajuste de curva, incluindo o caso de valores noperfeitamente conhecidos da varivel independente, e

(b) ajuste de modelos gerais para estimar parmetros em um processo fsico.

A aplicao do JCGM 107 no se restringe estritamente aos problemas de ajuste de curvas. Ele podeser usado tambm para tratar, por exemplo, problemas de convoluo [21], ajuste de constantesfundamentais [22], e avaliao de dados em comparaes-chave [9].

9.5 No caso de problemas do tipo (a) em 9.4, tendo sido o mtodo dos mnimos quadrados utilizadopara estimar os parmetros de uma funo de calibrao e avaliar as incertezas-padro e covarinciasassociadas, o sistema de medio ser posteriormente utilizado para medio. As estimativas dosparmetros da funo de calibrao, juntamente com um particular valor indicao (obtidoposteriormente numa medio), so ento utilizados para estimar a grandeza correspondente. Aincerteza-padro associada a essa estimativa avaliada por meio das incertezas-padro e covarinciasassociadas com as estimativas dos parmetros e da incerteza-padro associada com o valor indicao.

9.6 enfatizado no documento JCGM 107que a estrutura de incertezadeve ser integralmente levadaem conta quando da formulao e resoluo de problemas de mnimos quadrados. A 'estrutura deincerteza' refere-se s incertezas-padro associadas com os valores medidos e os valores de indicaoe com quaisquer covarincias associadas a pares desses valores.

9.7 Raramente, no caso de problemas do tipo (b) em 9.4, ou quando da determinao dosparmetros em problemas do tipo (a), o problema de ajuste um problema envolvendo uma nicagrandeza de sada. O problema envolve, em geral, uma srie de grandezas de sada em que aformulao matemtica pode ser convenientemente expressa em termos de matrizes. O JCGM 107 fazum uso extensivo do formalismo matricial, o qual bem adaptado a solues numricascomputacionais, o que normalmente requerido na prtica (ver tambm 7.5).


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A Abreviaturas e siglas

A Tabela A.1 apresenta as abreviaturas e siglas usadas neste documento

Tabela A.1 Abreviaturas e siglasAbreviatura ou sigla Descrio

BIPM Bureau Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poidset Mesures)

GUM Guia para a expresso de incerteza de medio (Guide to the expressionof uncertainty in measurement)

IEC Comisso Internacional de Eletrotcnica (International ElectrotechnicalCommission)

IFCC Federao Internacional de Qumica Clnica e Medicina Laboratorial(International Federation of Clinical Chemistry and Laboratory Medicine)

ILAC Cooperao Internacional de Acreditao de Laboratrios (InternationalLaboratory Accreditation Cooperation)

ISO Organizao Internacional de Normalizao (International Organization forStandardization)

IUPAC Unio Internacional de Qumica Pura e Aplicada (International Union ofPure and Applied Chemistry)

IUPAP Unio Internacional de Fsica Pura e Aplicada (International Union of Pureand Applied Physics)

JCGM Comit Conjunto para Guias em Metrologia (Joint Committee for Guides inMetrology)

MMC Mtodo Monte Carlo

OIML Organizao Internacional de Metrologia Legal (International Organizationof Legal Metrology)

TAG4 Grupo Consultivo Tcnico 4 da ISO (ISO Technical Advisory Group 4)

VIM Vocabulrio internacional de metrologia - conceitos fundamentais e geraise termos associados (Vocabulary of Metrology Basic and generalconcepts and associated terms)


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Bibliografia

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8.5


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ndice alfabtico

A

aceitao ............................................................ 8.5

ajuste de curva ..................................... 9.1, 9.2, 9.4abordagem de incerteza do GUM ............ 7.1.1,7.2,7.2.3-5, 7.4.1, 7.5.1, 7.5.2

comparada com o mtodo Monte Carlo .. 7.4.1condies de uso ........................... 7.2.3, 7.2.4validao utilizando MMC ........................ 7.4.3

avaliao de incerteza ........................................ 6.6Tipo A .................................................. 4.6, 4.7Tipo B .................................................. 4.6, 4.8etapas ............................................................5abordagens ................................................. 7.1problema particular ............................... 7.1.1-3

avaliao de dados ............................................ 9.1

C

clculo ver etapas da avaliao de incertezaclculo de incerteza veravaliaocalibrao .................................................... 3.9, 9.2coeficiente de sensibilidade ................... 4.14, 7.2.1combinao quadrtica de termos ................... 4.15comparao chave ............................................. 9.4conformidade

avaliao ......................................... 8, 8.1, 8.2especificao ....................................... 8.3, 8.4

conhecimento disponvel .................... 3.19, 5.2, 6.6

conhecimento incompleto ................................... 8.4conhecimento prvio ........................................ 3.20consolidao ....................................................... 5.1constante fsica................................................. 3.13constante fundamental ....................................... 9.4controle de qualidade ......................................... 8.1convoluo ......................................................... 9.4correo

incerteza associada .................................. 3.11correlao ........................................................... 4.4covarincia ... 4.4, 4.16, 6.6, 6.8, 7.5.1, 7.5.4, 7.5.5,9.3, 9.5, 9.6

Ddeciso equivocada ..................................... 8.4, 8.5derivada parcial ...................................... 4.14, 7.2.5desvio-padro ..................................... 3.18, 4.7, 4.9disperso ............................................................ 3.3distribuio de probabilidade .... 3.17, 3.18, 4.3, 5.2,6.6, 7.1.1, 7.2.2-4, 7.3, 8.3-6

t ............................................... 4.7, 7.1.1, 7.2.2assimtrica ...................................... 4.13, 7.2.4atribuda a grandezas de entrada ............... 6.1conjunta .................................................... 3.17funo de distribuio ....................... 4.3, 7.1.1

funo densidade de probabilidade ............ 4.3gaussiana ............. 4.7, 5.2, 7.1.1, 7.2.2, 7.2.3,7.3.1, 8.6

gaussiana conjunta .................................. 7.5.6representao discreta ............................ 7.5.4retangular ................................. 4.8, 4.10, 7.3.1

trapezoidal ...................................... 4.10, 7.3.1

E

equivocada ver decisoespecificao de projeto ..................................... 8.1esperana .................................................. 3.18, 4.9estimativa ....... .3.3, 4.9, 6.6, 6.8, 7.2.1, 7.5.1, 7.5.4,7.5.5

melhor ...................................... 3.18, 4.4, 7.2.1etapas da avaliao de incerteza

clculo ..................................................... 5.1, 7formulao .............................................. 5.1, 6

exigncia especificada ....................................... 8.2F

forma matricial .......................................... 7.5.2, 9.7formulao veretapas de avaliao da incertezafuno de calibrao ................................... 6.5, 6.8

inversa ........................................................ 6.8parmetro ............................................. 6.8, 9.7

funo de medio .................................. 3.15, 4.14aditiva ........................................................ 4.10linear ..................................... 4.14, 7.2.3, 7.3.1no linear ................................................. 7.2.4

Ggrandeza ...................................................... 8.2, 8.4

de entrada ....... .3.14, 3.15, 5.2, 6.6, 6.8, 7.1.1,7.2.3, 7.3, 9.1

dependente .............................. 4.4, 4.16, 7.2.2dependente do tempo ............................... 3.12de sada..3.14, 3.15, 5.2, 6.6, 6.8, 7.2.1, 7.2.4,

7.3, 7.5.1, 7.5.2, 7.5.4, 7.5.5, 8.2, 9.1, 9.7independente ............................................ 4.14valores possveis ........................................ 8.3

grandeza erroaleatrio ...................................................... 3.5

sistemtico ........................................... 3.4, 3.5grandeza indicao ..................................... 3.2, 4.7graus de confiana ............................................. 3.8graus de liberdade ........................................... 7.2.2

efetivo ...................................................... 7.2.2GUM verabordagem de incerteza do GUM

H

hiper-elipside ................................................. 7.5.6


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I

implementao de software............................ 7.5.2incerteza, avaliao veravaliaoincerteza de medio ............. 3.6, 3.8, 4.2, 8.2, 9.6incerteza-padro......... 3.18, 4.4, 4.9, 4.14, 6.6, 6.8,

7.2.1, 7.5.4, 7.5.5, 9.3, 9.5, 9.6inspeo industrial .............................................. 8.1intervalo de abrangncia ........................ 4.11, 7.2.2

probabilisticamente simtrico ......... 4.12, 7.5.5menor .............................................. 4.12, 7.5.5

intervalo de aceitao ........................................ 8.5intervalo especificado ......................................... 4.8

J

julgamento especfico ......................................... 4.6

L

lei de propagao de incertezas ........... 7.1.1, 7.5.2termos de ordens superiores ................... 7.2.5limites de especificao ....................... 8.2, 8.3, 8.5limites estipulados .............................................. 8.1

M

mdia ................................................................. 3.3mensurando................................... 3.1, 3.6, 5.2, 8.2mtodo analtico ....................................... 7.1.1, 7.3mtodo Monte Carlo ... 7.1.1, 7.2.5, 7.4, 7.5.1, 7.5.4

adaptativo ................................................ 7.4.2comparao com a abordagem de incerteza

do GUM ............................................ 7.4.1condies de utilizao ........................... 7.4.1exemplos ................................................. 7.4.1nmero de iteraes ................................ 7.4.2

metrologia legal .................................................. 8.1mnimos quadrados ................................. 9, 9.5, 9.6

ajuste ................................................... 9.1, 9.2modelo de medio. 3.10, 3.14, 3.15, 4.14, 5.2, 6.6,

7.5.1, 7.5.2ajuste de parmetros ........................... 9.1, 9.3avaliao .................................................. 7.1.1complicado ............................................... 7.2.5com um nmero qualquer de grandezas de

sada ........................ 6.6, 7.5, 7.5.3, 7.5.4expresso geral .............................. 3.16, 7.1.3mltiplos estgios ....................................... 6.8

N

nmero de graus de liberdade vergraus deliberdade

P

padro de medio ...................................... 6.8, 9.2parmetro

funo calibrao ........................................ 9.5

estimativa .................................................... 9.4

probabilidade ............................................... 3.8, 8.3conformidade .............................................. 8.5

probabilidade de abrangncia ...... 4.11, 4.12, 7.2.2,7.5.5

propagao ......................................................... 5.1de distribuies ........... 3.19, 7.1.1, 7.2.5, 7.4.1

R

regio de abrangncia ..................................... 7.5.5aproximado .............................................. 7.5.6hiper-retangular ........................................ 7.5.6menor ............................................. 7.5.5, 7.5.6

regulamentao .................................................. 8.1rejeio ............................................................... 8.5relao subjacente (entre varivel dependente e

independente) ............................................. 9.1requisito especificado verexignciarisco .................................................................. 8.4

balano de ................................................. 8.2consumidor ................................................. 8.4produtor ....................................................... 8.4

S

sade e segurana ............................................. 8.1sistema de medio ....................... 3.2, 3.4, 9.2, 9.5soluo numrica................................................ 9.7

T

tendncia ............................................................ 3.5teorema central do limite ................................. 7.5.6

U

unidades de medio, converso .................... 7.3.2

V

valor duma grandeza .......................................... 6.8intervalo permitido para o ........................... 8.2medido .............. 3.2, 6.8, 8.2, 8.5, 9.2, 9.3, 9.6

conforme ................................................ 8.2no conforme ......................................... 8.2

verdadeiro ............................................ 3.3, 8.1valor erro

aleatrio ...................................................... 3.6sistemtico .................................. 3.4, 3.6, 3.11valor verdadeiro ................................................ 3.17valores indicao ............. 3.2, 6.8, 9.2, 9.3, 9.5, 9.6

no obtidos independentemente ................ 4.7nmero pequeno de .................................... 4.7repetidos ..................................................... 4.6

variveldependente ......................................... .9.1, 9.2

valores medidos ..................................... 9.1independente (s) .......................... 9.1, 9.2, 9.4

valores medidos ..................................... 9.1varivel aleatria............................................... 3.17


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Alphabetical index

Aacceptance ........................................................ 8.5acceptance interval ............................................ 8.5

analytic method ....................................... 7.1.1, 7.3available knowledge ........................... 3.19, 5.2, 6.6average ............................................................... 3.3

C

Calculation seestages of uncertainty evaluationcalibration .................................................... 3.9, 9.2calibration function ...................................... 6.5, 6.8

inverse ................................................... 6.8parameter ....................................... 6.8, 9.7

central limit theorem ........................................ 7.5.6conformity

assessment................................. 8, 8.1, 8.2specification .................................... 8.3, 8.4convolution ......................................................... 9.4correction

associated uncertainty ......................... 3.11correlation ........................................................... 4.4covariance4.4, 4.16, 6.6, 6.8, 7.5.1,

7.5.4, 7.5.5, 9.3, 9.5, 9.6coverage interval ................................... 4.11, 7.2.2

probabilistically symmetric ........ 4.12, 7.5.5shortest ..................................... 4.12, 7.5.5

coverage probability ............ 4.11, 4.12, 7.2.2, 7.5.5coverage region ............................................... 7.5.5

approximate ........................................ 7.5.6hyper-rectangular ............................... 7.5.6smallest .................................... 7.5.5, 7.5.6

curve fitting .......................................... 9.1, 9.2, 9.4

D

data evaluation .................................................. 9.1degrees of belief ................................................. 3.8degrees of freedom ......................................... 7.2.2

effective ............................................ 7.2.2design specification ............................................ 8.1dispersion ........................................................... 3.3

Eerror quantity

random ................................................... 3.5systematic ....................................... 3.4, 3.5

error valuerandom ................................................... 3.6systematic ............................. 3.4, 3.6, 3.11

estimate .............................. 3.3, 4.9, 6.6, 6.8, 7.2.1,7.5.1, 7.5.4, 7.5.5

best ..................................... 3.18, 4.4, 7.2.1evaluation of uncertainty

Type A ........................................... 4.6, 4.7

Type B ............................................ 4.6, 4.8expectation ................................................ 3.18, 4.9

F

formulation seestages of uncertainty evaluationfundamental constant ......................................... 9.4

G

GUM uncertainty framework .... 7.1.1, 7.2, 7.2.3-57.4.1, 7.5.1, 7.5.2

compared with Monte Carlo method ... 7.4.1conditions on use ...................... 7.2.3, 7.2.4validation using MCM ......................... 7.4.3

H

health and safety ................................................ 8.1hyper-ellipsoid ................................................. 7.5.6

I

incomplete knowledge ........................................ 8.4indication quantity ........................................ 3.2, 4.7indication values .............. 3.2, 6.8, 9.2, 9.3, 9.5, 9.6

not obtained independently .................... 4.7repeated ................................................. 4.6small number

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