Introduction to Fluid Mechanics - fem.unicamp.br
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IM250 – Prof. Eugênio Rosa
CINEMÁTICA
Assista Flow Visualization
Download film notes
CONTEÚDO DA AULA
i. Definição de fluido;
ii. Definição de contínuo;
iii. Referencial Lagrangeano e Euleriano;
iv. Campos de Velocidade (regimes 1D, 2D, 3D, transiente);
v. Representação dos campos: linha do tempo, trajetória partícula; linha de emissão de linha de corrente;
vi. Derivada Substantiva e seu significado;
vii. Tensor deformação do fluido e sua decomposição;
viii.Vorticidade;
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(i) Definição de Fluido
Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:
O Fluido se deforma continuamente
O Sólido se deforma, mas não continuamente
Sólido Fluido
O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.
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(ii) Fluido como um Continuo
1 mol de um fluido contém 1023 moléculas em constante movimento.
Não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é
possível medir os efeitos macroscópicos de muitas moléculas:
velocidade, pressão, temperatura, densidade, quantidade mov. etc
As propriedades macroscópicas são avaliadas porque a trajetória livre
das moléculas é muito menor que a dimensão característica do
escoamento.
O conceito de meio continuo descreve o comportamento médio das
moléculas e não o individuual. Ele é a base da mec-flu , termodinâmica,
transferência de calor, resistência de materiais entre outras.
O conceito de continuo falha em: (i) nano-máquinas que trabalhan
com fluido e (ii) na atmosfera externa na fronteira com o espaço.
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Fluido como um Contínuo
Definição da densidade num ponto
infinitezimal requer um cubo com
arestas maiores que 10-6 m (1m)
Consequência da hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço. Mas há limites
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Comparações ao metro: 1mm=10-3m; 1m=10-6m; 1nm=10-9m; 1pm=10-12m
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Dimensões comparadas ao metro
1mm = 10-3m milimetro
1m = 10-6m micrometro (‘micro word’ 100 m a 1 m)
1nm = 10-9m nanometro (grandeza da ordem do átomo)
1A = 10-10 m Angstrom (grandeza da ordem do átomo)
1pm = 10-12m picometro
Considere um mol de gás (6x1023 moléculas) a P e T de 105 Pa e 300K e a
constante universal dos gases 8.31 J/(mol K). O volume que 1 mol de gás ocupa: V =
P/RT = 24,94 litros
Considere agora um cubo com aresta de 1m, volume = 10-15 litros; o No moléculas
no volume. No = 6x1023x10-15/24,94 = 2.4x107!
Um cubo com aresta 1 nm, volume = 10-24 litros, e No moléculas vol = 0.02! Não é
contínuo.
O No moléculas num cubo de aresta de 1m
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(iii) Referencial
Euler x Lagrange
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Métodos de DescriçãoReferencial Lagrangeano:
Acompanha elementos de massa identificáveis;Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada
partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.
Referencial Euleriano:Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num
determinado ponto do espaço como função do tempo;As propriedades do campo do escoamento são descritas como
funções das coordenadas espaciais e do tempo;
As leis físicas (massa, 2ª lei Newton, Energia) aplicam-se para referencial Lagrangeano com elementos de massa identificáveis (todo curso de dinâmica baseia-se neste princípio!).
No entanto, fluidos se deformam continuamente. Não é possível seguir cada partícula individualmente mas é possível determinar a aceleração seguindo uma partícula. Este é um dos temas desta aula!
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Referencial Lagrangeano:
segue a partícula de fluido
y
x
r(t)
r(t+dt)
2
2
y
2
2
x
dt
yd
dt
dva
dt
dyv
dt
xd
dt
dua
dt
dxu
Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano:
Mas, como seguir uma partícula no fluido?
y
x
Referencial Euleriano:
fixo no espaço, define o
campo de velocidades.
(x2,y2)(x1,y1)
Velocidade para um referencial
Euleriano:
Como definir uma aceleração
seguindo uma partícula?
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
u u x , y , t u u x , y , t
v v x , y , t v v x , y , t
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Relação Coordenadas: Euler e Lagrange
No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x0,y0,z0) coincide
com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no
mesmo instante (conceito Lagrangeano):
0
0
0
0000000
0000000
0000000
tt
tt
tt
dtt,z,y,xZdt,z,y,xww
dtt,z,y,xYdt,z,y,xvv
dtt,z,y,xXdt,z,y,xuu
Euler Lagrange
Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial:
EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento.
Policial: segue um veículo
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Procure seguir uma partícula de fluido
(Lagrange) na simulação transiente
A sequência mostra a concentração de CO2 em ar
resultante (um puff de CO2) de 1 segundo de duração .
Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd.
Tente acompanhar como o CO2 se dispersa
(Lagrangeano)
Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia
(Euleriano)
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .
2 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 4 seg, indicando superfície com 15 % .
4 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 6 seg, indicando superfície com 15 % .
6 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.
8 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração
mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.
10 seg após injeção
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Lagrangeano x Euleriano
Todas as leis físicas são definidas para um referencial Lagrangeano:
conservação massa, quantidade de movimento, energia etc.
Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa,
caso contrário não poderíamos segui-los!
Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos,
dentro deste contexto?
Reescrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os
campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.
Isto é possível por meio do Teorema de Transporte de Reynolds,
será apresentado na aula 3.
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(iv) Campo de velocidade,
um conceito Euleriano
Campo em relação ao tempo: estacionário ou
transiente.
Campo em relação ao espaço: uni-, bi-e tri-
dimensionais.
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Campo de Velocidade
ESCOAMENTO PERMANENTE - as propriedades em cada ponto
do campo (x,y,z) não mudam com o tempo, então:
ESCOAMENTO TRANSIENTE - as propriedades em cada ponto
do escoamento mudam com o tempo, então:
Num dado instante, o campo de velocidade, V , é uma função das coordenadas espaciais V(x, y, z) e do tempo (t) ou em termos de suas componentes (u,v,w) que também dependem de x, y, z e t:
zy,x,V V ou 0 t
V
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Escoamentos 1D, 2D e 3D
Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número
de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo
de velocidade .
Exemplos:
Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D
permanente e D1 xVV
transiente e D1 t,xVV
permanente e D2 y,xVV
transiente e D3t,z,y,xVV
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Escoamento 1D, regime permanente
Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de
velocidades é dado por:
A velocidade axial é função de ‘r’
2
maxR
r-1 u u
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Escoamento 2D em um difusor plano,
regime permanente
O campo de velocidade varia no plano definido por (x,y) e repete em
planos z = constante, infinitamente.
Alternativamente, dado uma posição (x,y) a velocidade não varia a
medida que z varia!
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Escoamento 3D, regime permanente –
Escoamento deVon Kàrmàn (1928)
Escoamento em rotação na
vizinhança da parede de um
disco estacionário.
A velocidade varia nas
direções x, y e z.
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Campo de Velocidades: regime permanente e 2D
Escoamento
laminar sobre uma
placa, plano YZ.
Resultados
produzidos pelo
PHOENICS cfd
Campo Vetorial (j,k)
Campo escalar w(y,z)
superposição
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PIV imagem: campo de velocidades
instantâneas num plano, experimental
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(v) Formas de Representação
Visual do Campo de Escoamento
É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades
das partículas por meio de:
1. Linhas de tempo; “time lines” - (experimental)
2. Trajetória da partícula; “particle lines” - (experimental)
3. Linhas de emissão; “streak lines” (experimental)
4. Linhas de corrente; “stream lines” (matemática)
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Linhas de TempoUma quantidade de partículas adjacentes são
marcadas simultaneamente num dado instante:
• making timelines 1
• making timelines 2
Links p/ técnica de bolha de
hidrogênio: (1) e (2)
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Trajetória de partítulcas e linhas de emissão
Linha de trajeto: é a trajetória traçada por
uma partícula de fluido em movimento
(conceito Lagrangeano).
Linha de Emissão: ponto fixo no espaço
onde você marca as partículas que passam
pelo ponto em diferentes instantes de
tempo. Após um período temos uma
quantidade de partículas, todas
identificáveis e que em diferentes instantes
de tempo passaram pelo mesmo ponto no
espaço, (conceito Lagrangeano).
Injetor de fumaça
veja túnel de fumaça
dx dyu e v
dt dt
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Trajetória de partícula e Linha de Emissão –similaridade e diferença
Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de
emissão , circle10.mov.
1) Emissão (fumaça)roof-nypth-yov4r.mov
2) Emissão (fumaça) +Trajetória (bolinha)roof-ypth-yov4r.mov
Em regime transiente, a trajetória das partículas não é coincidente com a linha de emissão e nem com a linha de corrente!
Cenário do filmes (1) e (2): escoamento vertical ascendente submetido a uma corrente horizontal alguns instantes após início.
Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a trajetória!
Veja de uma placa plana oscilante.
Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente!
filme
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Linhas de Corrente
ds
dx
dy
u
v V
ds
R(t)
R(t+dt)
Linha de corrente
V
Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática da linha de corrente:times
w
dz
v
dy
u
dx
São tangentes ao vetor velocidade do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. Ela não depende se o regime é permanente ou transiente.
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Linhas de Corrente1: linhas de correntes são tangentes ao vetor velocidade. Consequência:
não há escoamento normal a elas.
flowno-flow
flowno-flow
Impossíble!
2: linhas de corrente não se cruzam no interior do escoamento, do contrário haveria extinção ou produção de massa.
Escoamento num cilindro com circulação. Cruzamento linhas de corrente num ponto
de estagnação no fluido! Não viola item (2)
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Dois conceitos importantes
Definições de linhas de corrente (conceito Euler – campo) e de trajetória
de partículas (conceito Lagrangeano) a partir de v e u do campo!
1. Observe que as trajetórias também podem ser expressas por equações
paramétricas em t!
2. Somente para regime permanente, a trajetória das partículas é
coincidente com a linha de emissão que por sua vez também coincide
com a linha de corrente, circle10.mov .
dy v
dx u
dx dyu v
dt dt
linha de corrente
Euler (campo)
trajetoria de particula e
Lagrange (seguindo partícula)
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ExemploUm campo de velocidade é dado por:
Obtenha uma equação para as linha de corrente e outra para a trajetória de uma partícula no plano xy para aquela que passou pelo ponto (x,y) = (1,2)
1m/s B e 3m/sA ;jAyiBAxV
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(m)
y(m
)
c=1
c=2
c=4
c=8
y(3x+1)=C
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(vi) Derivada Total, Material
ou Substantiva
Ela relaciona a taxa de variação no tempo de uma
propriedade (H, V, P, Concentração, Temperatura, etc)
medida de um referencial Lagrangeano a partir de
medidas realizadas de um referencial Euleriano!
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Para que serve derivada Total?
Todas as leis físicas são definidas para um referencial
Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento,
energia etc
Estas leis aplicam-se em sistemas, que possuem uma massa
(identidade) fixa, do contrário não poderiamos seguir a massa.
Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os
fluidos, utilizando um referencial Lagrangeano?
A derivada Total é a taxa de variação no tempo seguindo uma
partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a
partir de um referencial Euleriano.
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Ref. Lagrangeano:
segue a partícula
y
x
r(t)
r(t+dt)
2
2
y
2
2
x
dt
yd
dt
dva
dt
dyv
dt
xd
dt
dua
dt
dxu
Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano são
facilmente calculados se conheceremos a trajetória das partículas!
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Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de
deslocamento, r, e de velocidade, V em função do ponto.
tz,y,xvvtz,y,xvv
tz,y,xuutz,y,xuu
,22222,11111
,22222,11111
Note que o campo de V pode ser conhecidos por correlações,
determinados experimentalmente, ou por modelos simples.
1 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x i y j e r x i y j
y
x
r1r2
Como definir uma aceleração a partir do campo de V?
Note que a aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo.
Porém, para determinar a aceleração é necessário seguir uma partícula
de fluido. Isto requer um conceito Lagrangeano!
Então, como determinar aceleração com informação Euleriano?
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Um Experimento MENTAL... (Tente Imaginar)
Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A concentração
diminui a medida que é transportada pela correnteza. Você deve fazer
uma medida da poluição. Para isto você dispõe de: um bote a motor e um
medidor da concentração C do contaminante.
Você realizou três tipos de medidas,
1) Com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração;
2) Com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração;
3) Com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.
Você constata que cada medida apresentou um resultado diferente! Tente explicar porque!
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Barco Estacionário, Vb = 0
t
c
Dt
Dc
Se o barco está estacionário, o
sensor de poluição medirá uma
concentração ‘c’ que passa pelo
ponto de medida e que varia com o
tempo apenas:x
y
A variação da concentração ‘c’ é
função do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
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Barco Movimentando com
Vb ≠ 0
Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são
independentes mas estão relacionados por Vb:
bV
x
y
dtvdy e dtudx bb
A variação da concentração ‘c’ é
função do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
A taxa temporal de ‘c’ é determinada por:
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
dt
dy
y
c
dt
dx
x
c
t
c
Dt
Dcbb
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Barco Movimentando com
a correnteza Vb = V
V
x
y
Se o bote desloca junto com a
correnteza então:
Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação
de ‘c’ SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela
correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
A variação da concentração ‘c’ é
função do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
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Derivada Total, Material ou Substancial, D/Dt• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa
temporal de variação de um escalar, ou vetor, seguindo uma partícula de
fluido (conceito Lagrangeano).
• D/Dt é coincide com a taxa determinada por um referencial
Lagrangeano porém, é medida por um referencial Euleriano. é uma
variável genérica, sua derivada substancial:
• Importante: D/Dt é a taxa no tempo seguindo uma partícula do
fluido.
• Nota: convecção usualmente é utilizado p/ transporte de calor ou
temperatura e advecção p/ transporte de uma concentração. Entretanto
muitos autores utilizam estes termos como sinônimos. Veja apêndice.
termo notacao vetorial termo transiente
convectivo/advectivo
D u v V
Dt t x y t
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Derivada Total de um Escalar• O escalar pode ser concentração espécie química, temperatura,
energia interna, entalpia, entropia, etc.
• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula para um sistema
com coordenadas Cartesianas é dada por:
f Transiente Convectivo
T
c
u
h
tT u T x v T y
tc u c x v c y
u u x v u y
u h x v h y
tu
th
t V
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Derivada Total do Vetor Velocidade, DV/Dt
• A derivada total do vetor velocidade é aceleração da partícula
medida de um referencial Lagrangeano. :
• Para um escoamento 2D o vetor DV/Dt em coordenadas cartesianas
possui as componentes:
f transiente convectivo
Du/Dt = +
Dv/Dt = +
tu u u x v u y
tv u v x v v y
3k
k i
i 1 i
vv ouDV V V xV V
Dt t tV V
d
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Para que serve o cálculo da derivada Total?
Todas as leis físicas foram feitas para sistemas. A derivada total fornece
a taxa de variação para um sistema infinitezimal:
Nossa meta é chegar a forma diferencial da Eq. Quantidade de
Movimento, estamos a um passo dela, já determinamos a aceleração
da partícula por exemplo!
A forma integral desta relação será apresentada na aula 3 como sendo o
Teorema de Transporte de Reynolds:
f
f
f
fV
tDt
D
dt
d
initezimalinf.C.Vsistema
r
sistema V C C SC
dB Dd dV V n dA
dt Dt t. .
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Identidades para Aceleração do Campo
Aceleração seguindo uma
partícula:
DV VV V
Dt t
Considere as
identidades:V V V V
DV V V V V
Dt t 2
Definindo o vetor vorticidade: V
V VV V
2
A relação acima será importante para derivar Bernoulli.
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(vii) TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO
• Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando
submetidas a uma tensão (normal ou cisalhante).
• A determinação da taxa de deformação será necessária para
estabelecer uma equação constitutiva para o fluido: ~ deformação
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i. t = 0, M e N alinhados e dl = 0,
ii. t = dt, M’ deslocou dl em relação M
iii. Deformação: = arcTan(dl/dy)
iv. Taxa Deformação: d/dt
dy
Filme: deformação
Taxa de deformação
A taxa de deformação é um fenômeno local, ponto N e sua vizinhança (dy)
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A taxa de deformação é du/dy e sua a dimensão é (1/seg)
du é a velocidade
relativa entre M e N
derivada arc tan
2t 0
d 1 d dt du 1lim
dt dy dy s1 y
d d
0
A taxa de deformação é:
2
d 1arctan x
dx 1 x
Derivada de arctan
dy
u0+du
u0
Taxa de deformação do fluido
deformação d arctan d dy
taxa deformação = d dt 1 s
As placas paralelas possuem uma velocidade relativa du.
Para um instante dt, a deformação entre N e M - M’ é :
; (dl/dy)2 <<1 por isso 1 + (dl/dy)2 = 1 p/ dy0
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Estado simples de deformação(o que vc viu no seu curso de graduação)
Placas paralelas com espaçamento dy deslocam-se com velocidade relativa du.
Como generalizar a taxa de deformação se
ocorrer deformações nas três direções
simultaneamente?
dy
u0
u0+du
y
x
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Natureza da Taxa de Deformação
Taxa de deformação é um conceito relativo, quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo à sua vizinhança;
Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.
Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional
Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy = du/dy
Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...
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Deformação 2D de um Elemento Fluido
A taxa de deformação depende do movimento relativo de um ponto
em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre
ele e seus vizinhos
Caso 2D há duas direções principais. Em t = 0 tem-se o triângulo
AOB, após t =dt observa-se o deslocamento e deformação devido às
diferentes vel. que atuam em AOB.
O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação
pode ser decomposta em três movimentos : deformação angular,
deformação linear e rotação (translação não deforma nem gira ):
C
0tr
A’
B’
A
BO
O’ dttr
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Cinemática• Veja deformação de um elemento próximo a parede (filme).
• Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos
básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:
Rotação pura
O ângulo dos vértices é
preservado e não há
alongamento do elemento
def. linear pura
Há um alongamento numa
direção e encurtamento em
outra direção
def. angular pura
O ângulo dos vértices
variam no tempo.
Assista o filme NCFMM “Deformation of Continua media”
Translação pura
Não deforma nem
gira.
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Deformação de um Elemento Fluido - I
No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w
A velocidade na vizinhança de O é determinada por uma expansão em
série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:
O O
O O
O O
u u uu du u dx dy dz
x y z
v v vv dv v dx dy dz
x y z
w w ww dw w dx dy dz
x y z
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Deformação de um Elemento Fluido - II
A variação da velocidade de O para vizinhança é expressa por uma
matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:
Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido
( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e
portanto tem natureza tensorial.
A matriz é o tensor deformação do fluido D definido por:,
dz
dy
dx
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
dw
dv
du
T
D V
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Tensor Deformação - III
Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por
Em notação vetorial,
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
DDD
DDD
DDD
x
uD
j
ij,i
333231
232221
131211
TTVDou VgradD
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Decomposição do Tensor de Deformação - I
O tensor D = ui/xj ( i = linha e j = coluna) pode ser decomposto em
uma parte simétrica e outra anti-simétrica:
ji ij
j ji ii j i j j i i j j i
j i j i
Tensor Simétrico Tensor Anti-Simétrico RS
u uu u1 1 1 1D D D = D D =
2 2 x x 2 2 x x
,,
, , , , ,
TENSOR SIMÉTRICO
u 1 u v 1 u w 1 v u 1 w0
x 2 y x 2 z x 2 x y 2 x
1 v u v 1 v w
2 x y y 2 z y
1 w u 1 w v w
2 x z 2 y z z
TENSOR ANTI-SIMÉTRICO
u
z
1 v u 1 w v0
2 x y 2 y z
1 w u 1 w v0
2 x z 2 y z
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Decomposição do Tensor Deformação - II
Vamos ver a seguir que:
1. A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear do elemento
2. Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão associados a deformação angular
3. Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação do elemento fluido.
TENSOR SIMÉTRICO
u 1 u v 1 u w 1 v u 1 w0
x 2 y x 2 z x 2 x y 2 x
1 v u v 1 v w
2 x y y 2 z y
1 w u 1 w v w
2 x z 2 y z z
TENSOR ANTI-SIMÉTRICO
u
z
1 v u 1 w v0
2 x y 2 y z
1 w u 1 w v0
2 x z 2 y z
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(1) Dilatação linear na direção x
Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0
deforma-se e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A
extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’.
O deslocamento relativo:
' '0 0u u x dx u dtA C AC
dxAC
A taxa de deformação linear na
direção é:
' '
xx
d A C ACS
dt AC
As componentes nas outras
direções são:
yvDyy zwDzz
u x
u x dt
yyS zzS
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(2) Deformação angular no plano xy
Um segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no
tempo t = 0 deforma-se no instante t = dt, em A’D’B’C’. O ângulo
original do vértice A deforma-se nos ângulos xy e yx
yu
dt
d
dy
dydtyu
AD
DD xy'
xy
'yx
yx
dv x dxdtCCv x
dx dtAC
A deformação angular e sua taxa:
xy yxS S
A taxa de deformação angular é definida como a média destes dois movimentos:
ou
xy yxS S
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(3) Rotação no plano xy
Um segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira
sobre o vértice A e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O
ângulo original do vértice A é preservado! Não há deformação mas
rotação.
A taxa de rotação no plano (x,y) é definida como a média de d/dt dos vértices. O sinal ‘-’ para xy é porque u < 0!
Se o ângulo de A é
preservado então:
xy
xy
du y dydtDDu y
dy dtAD
'
'yx
yx
dv x dxdtCCv x
dx dtAC
xy yx
DD CC e
AD AC
' '
yuxv
2
1
dt
d
dt
d
2
1DD
yxxyyxxy
Sinal: regra
mão direita
xy yxR R
xy yxR R
ou
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Ten
sor
Def
orm
açã
o
1. A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento.
2. Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação angular.
3. Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação média do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente rotação dos elementos. O termo médio aplica porque cada elemento Rij utiliza duas parcelas.
xx xy xz xy xz
xy yy yz xy yz
xz yz zz xz yz
TENSOR S TENSOR R SIMÉTRICO ANTI-SIMÉTRICO
S S S 0 R R
Def V S S S R 0 R
S S S R R 0
( )
j iij ji
i j
u u1S S
2 x x
jiij
j i
j i
i j
uu1R
2 x x
u u1
2 x x
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O vetor deformação e o campo de velocidades
O tensor deformação é composto por dois tensores: um tensor
simétrico associado à deformação e outro tensor anti-simétrico
associado à rotação.
D = S + R
A variação de velocidade infinitezimal na vizinhança de um
ponto vem do produto entre os tensores de deformação e
rotação com o vetor deslocamento :
i i, j i, j jdU dr ou dU dr S R S R
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(viii) Vetor Vorticidade,
Definição de
vetor vorticidade:
j
i i ijk
k
i j ku
V ou x y zx
u v w
d
Observe que as componentes do vetor vorticidade , i, são componentes de velocidades num plano ortogonal a i.
Por ex., x, emprega (y,z) e (v,w) que pertencem plano (y,z) ortogonal direção x!
w v u w v uˆ ˆ ˆV i j ky z z x x y
x y z
w v u w v uˆ ˆ ˆi; j ky z z x x y
x
y
z rotação (y,z)
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Tensor Rotação e Vetor Vorticidade
As componentes do tensor Rotação, R, estão associadas às três
componentes do vetor vorticidade:
1 1z y2 2
1 1z x2 2
1 1y x2 2
1 v u 1 w u0 0 +
2 x y 2 x z
1 v u 1 w v+ 0 0
2 x y 2 y z
1 w u 1 w v - 002 x z 2 y z
1. Por comparação, é igual a 2 vezes a taxa de rotação média do
elemento.
2. O tensor R pode ser expresso pelas componentes do vetor porque
ele é anti-simétrico.
3. ou R são fenômenos locais. Isto é, linhas de corrente com
curvatura não garantem que o escoamento tenha rotação!
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Relação entre Rij e O tensor R é anti-simétrico e possui 3 escalares distintos, isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!
Para um elemento em estado de rotação pura (S ≡ 0),
1ij i i, j j 2
i j
R dr R dr U dr = dU d
x y z
z y
z x
y x
i j k1
det 2
dx dy dz
ˆ ˆdy dz i du i
ˆ ˆdx dz j dv j
ˆ ˆdx dz k dw k
jiij ijk k
j i
uu1 1R
2 x x 2
Para rotação pura, as componentes dU são definidas em termos da rotação dos elementos de fluido e das distâncias dx, dy e dz
i , jR dr
1 1z y2 2
1 1z x2 2
1 1y x2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
2
0 - dx
+ 0 dy
0 dz
v u u w ˆ dy dz du ix y z x
v u w v ˆdx dz dv jx y y z
u w
z x
1
2
w v ˆdx dy dw ky z
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Vetor Vorticidade,
A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido.
Ela tem papel central no estudo de escoamentos com ausência de viscosidade.
Escoamentos onde é nulo são chamados de escoamentos irrotacionais.
Note que na parede (condição de não deslizamento) o fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!
As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.
Assista o filme NCFMM “Vorticity 1 and 2”
Baixe as notas dos filmes 1 e 2
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FIM
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Apêndice I – DV/Dt em coordenadas
cartesianas e cilindrico-polar
Sistema de coordenadas Cilíndrico Polar
Sistema de coordenadas Cartesiano
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Apêndice II – Nota sobre convecção e advecção
• Frequentemente os termos convecção e advecção
são empregados como sinônimos do transporte de uma
propriedade pelo campo de velocidades, por exemplo:
q. movimento, energia ou concentração. termo convectivo/advectivo bidimensional
u vx y
• Estes termos podem ser diferenciados pelas definições:
Convectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de
um fluido em resposta a adição ou remoção de calor;
Advectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de
algum material dissolvido ou em suspensão em um fluido.
As definições dadas não são um consenso na literatura. Usualmente
são usadas como se fossem sinônimos.
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Exemplos advecção
•As definições dadas no slide anterior não são um consenso na literatura.
Na prática elas são usadas como se fossem sinônimos.
Exemplos convecção
Transporte da tinta vermelha e azul