Introduction to Astrophysics 4

8/13/2019 Introduction to Astrophysics 4

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4 C l a s s i c a l D y n a m i c s

4 . 1 N e w t o n i a n g r a v i t y

4 . 1 . 1 B a s i c l a w o f a t t r a c t i o n

T w o p o i n t m a s s e s w i t h m a s s M

1

a n d M

2

l y i n g a t r

1

a n d r

2

a t t r a c t o n e

a n o t h e r . M

1

f e e l s a f o r c e f r o m M

2

F

1 2

f o r c e o n M

1

f r o m M

2

G M

1

M

2

r

3

1 2

r

1 2

w h e r e r

1 2

r

1

r

2

v e c t o r f r o m 2 t o 1 a n d r

1 2

r

1 2

Coordinate

Origin

M 1

r

r1F12

F21

M 2

2

S i m i l a r l y M

2

f e e l s a f o r c e f r o m M

1

F

2 1

f o r c e o n M

2

f r o m M

1

G M

2

M

1

r

3

2 1

r

2 1

G M

1

M

2

r

3

1 2

r

1 2

F

1 2

w h e r e r

2 1

r

2

r

1

i s t h e v e c t o r f r o m 1 t o 2 . W e h a v e u s e d r

2 1

r

1 2

a n d

r

2 1

r

1 2

. T h u s t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e s a r e e q u a l a n d o p p o s i t e . T h i s i s i n

a c c o r d a n c e w i t h N e w t o n s 3

r d

l a w a n d e n s u r e s t h a t t h e c o m p o s i t e s y s t e m o f

M

1

M

2

d o e s n o t s u d d e n l y s t a r t m o v i n g a s a w h o l e a n d v i o l a t i n g N e w t o n s

1

s t

l a w .

N o t i c e a l s o t h a t t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e a t M

1

f r o m M

2

i s d i r e c t e d e x a c t l y

a t M

2

. I t i s a c e n t r a l f o r c e F

1 2

i s p a r a l l e l t o r

1 2

. T h i s r e m a r k c a u s e s u s

t o d i g r e s s a n d m e n t i o n

6 0



4 . 1 . 2 T h e l i t t l e k n o w n c o d i c i l t o N e w t o n s 3

r d

l a w

M a n y b o o k s e . g . M a r i o n s t a t e N e w t o n s l a w s i n s o m e t h i n g l i k e t h i s f o r m

1 . A b o d y r e m a i n s a t r e s t o r i n u n i f o r m m o t i o n u n l e s s a c t e d u p o n b y a

f o r c e .

2 . A b o d y a c t e d u p o n b y a f o r c e m o v e s i n s u c h a m a n n e r t h a t t h e t i m e

r a t e o f c h a n g e o f m o m e n t u m e q u a l s t h e f o r c e .

3 . I f t w o b o d i e s e x e r t f o r c e s o n e a c h o t h e r t h e s e f o r c e s a r e e q u a l i n m a g

n i t u d e a n d o p p o s i t e i n d i r e c t i o n .

T h i s s t a t e m e n t o f 3 i s W R O N G T h e c o r r e c t s t a t e m e n t i s

3

0

. I f t w o b o d i e s e x e r t f o r c e s o n e a c h o t h e r t h e s e f o r c e s a r e e q u a l i n m a g

n i t u d e a n d o p p o s i t e i n d i r e c t i o n A N D A L O N G T H E S A M E L I N E .

N e w t o n k n e w t h i s b u t m o d e r n t e x t b o o k w r i t e r s h a v e g a r b l e d i t .

A

B B

A

NOT OK!

(b)(a)

OK

I f b w e r e p o s s i b l e t h e n w e c o u l d t a k e t h e t w o p a r t i c l e s A a n d B n a i l

o n e t o t h e h u b o f a w h e e l t h e o t h e r t o t h e c e n t e r a n d w a t c h a s t h e w h e e l

a c c e l e r a t e d u p t o i n n i t e a n g u l a r v e l o c i t y .

6 1



T h u s w h i l e o n e o f t e n h e a r s a b o u t t h e c e n t r a l f o r c e n a t u r e o f g r a v i t a

t i o n t h i s i s a c t u a l l y a p r o p e r t y o f a n y a c t i o n a t a d i s t a n c e c l a s s i c a l f o r c e

l a w .

Y o u m i g h t w o n d e r a b o u t t h e m a g n e t i c f o r c e b e t w e e n t w o m o v i n g p a r

t i c l e s i n e l e c t r o m a g n e t i s m . T h i s d o e s n o t s e e m t o b e a c e n t r a l f o r c e . T h e

e x p l a n a t i o n i s t h a t t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d i t s e l f c a r r i e s m o m e n t u m a n d

a n g u l a r m o m e n t u m . C l a s s i c a l e l e c t r o m a g n e t i s m c a n n o t b e w r i t t e n a s a p u r e

a c t i o n a t a d i s t a n c e t h e o r y . T h a t i s t h e r e i s m o r e t o M a x w e l l s e q u a t i o n s

t h a n j u s t t h e C o u l o m b l a w .

4 . 1 . 3 G r a v i t a t i o n a l P o t e n t i a l

T h e f o r c e o n M

1

d u e t o M

2

s p r e s e n c e c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e g r a d i e n t

o f a g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l

F

1 2

f o r c e a t M

1

d u e t o M

2

f o r c e a t p o s i t i o n r

1

d u e t o m a s a t r

2

M

1

x

1

G M

2

r

1

r

2

y

1

G M

2

r

1

r

2

z

1

G M

2

r

1

r

2

M

1

r

1

V r

1

w h e r e r

1

i s t h e g r a d i e n t o p e r a t o r a t M

1

x

1

y

1

z

1

V r i s t h e g r a v i

t a t i o n a l p o t e n t i a l a t r

1

V

G M

2

r

1

r

2

T h e p o t e n t i a l a t p o i n t r f r o m a n u m b e r o f m a s s e s a t r

1

r

2

r

3

r

n

i s i n

g e n e r a l

V

N

X

i 1

G M

i

r r

i

w h e r e t h e s u m e x c l u d e s a n y m a s s e x a c t l y a t r d o n o t i n c l u d e t h e i n n i t e

s e l f e n e r g y .

6 2



w e g e t

M

1

M

2

R 0 o r

R 0

T h u s t h e l o c a t i o n o f t h e c e n t e r o f m a s s o f t h e s y s t e m i s u n a c c e l e r a t e d s i n c e

t h e r e i s n o e x t e r n a l f o r c e o n t h e s y s t e m .

I t f o l l o w s t h a t t h e c e n t e r o f m a s s m o v e s a t a c o n s t a n t v e l o c i t y

R

d R

d t

v c o n s t a n t

R R

0

v

0

t

T h i s r e l a t i o n e x p r e s s e s t h e C o n s e r v a t i o n o f L i n e a r M o m e n t u m . R

0

a n d

V

0

a r e t h e r s t 6 c o n s t a n t s o f m o t i o n .

T h e n e x t l o g i c a l t h i n g t o d o i s t o c h a n g e t o c e n t e r o f m a s s c o o r d i n a t e s

r

0

1

r

0

2

t h a t i s t o c o o r d i n a t e s r e l a t i v e t o t h e c e n t e r o f m a s s .

CoM

M 2

M 1

2r

1r

1r′

2r′

R

O

T h e r e l e v a n t r e l a t i o n s h i p s a r e

r

1

R r

0

1

r

2

R r

0

2

R R

0

v

0

t

S u b s t i t u t i n g t h e s e i n t o t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n w e g e t

M

1

r

0

1

G M

1

M

2

r

0

1

r

0

2

3

r

0

1

r

0

2

6 4



M

2

r

0

2

G M

1

M

2

r

0

1

r

0

2

3

r

0

2

r

0

1

N o t e t h a t t h e e q u a t i o n s p r e s e r v e e x a c t l y t h e f o r m t h e y h a d b e f o r e W e c o u l d

h a v e j u s t w r i t t e n d o w n t h e a n s w e r w i t h o u t c a l c u l a t i o n . W e c a n a r b i t r a r i l y

c h o o s e c o o r d i n a t e s r e l a t i v e t o t h e C o M b e c a u s e t h e C o M f r a m e i s a g o o d

i n e r t i a l f r a m e . A n y c h a n g e o f o r i g i n R

0

a n d o r c h a n g e o f v e l o c i t y V

0

i s

a l l o w e d b y s o c a l l e d G a l l i l e a n i n v a r i a n c e .

S o l e t u s c h o o s e t o d o t h i s c o o r d i n a t e s a r e h e n c e f o r t h m e a s u r e d r e l a t i v e

t o t h e C o M a n d w e d r o p t h e p r i m e s .

I n C o M s y s t e m

M

1

r

1

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

1

r

2

M

2

r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

2

r

1

w i t h M

1

r

1

M

2

r

2

0 b y d e n i t i o n

W e c a n n o w c o n s t r u c t f u r t h e r i n t e g r a l s o f t h e m o t i o n . C o n s i d e r t h e t o t a l

a n g u l a r m o m e n t u m a b o u t t h e C o M L M

1

r

1

r

1

M

2

r

2

r

2

. T h e n

d L

d t

M

1

r

1

r

1

r

1

r

1

M

2

r

2

r

2

r

2

r

2

M

1

r

1

r

1

M

2

r

2

r

2

S u b s t i t u t e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r M

1

r

1

a n d M

2

r

2

t h e n

d L

d t

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

f r

1

r

1

r

2

r

2

r

2

r

1

g

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

1

r

2

r

2

r

1

0

i . e . t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e s y s t e m i s c o n s e r v e d

L c o n s t a n t .

6 5



T h a t i s t h e a n g u l a r m o m e n t u m v e c t o r i s x e d i n d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e

b e c a u s e n o e x t e r n a l t o r q u e s a r e a c t i n g .

1r

CoM

L

M 1

r1

r2 M

2

r2

T h e a n g u l a r m o m e n t u m p r o v i d e s 3 m o r e i n t e g r a l s o f t h e m o t i o n s o w e a r e

n o w u p t o 9 .

W e c a n a l s o l o o k a t t h e t o t a l e n e r g y o f t h e s y s t e m

E k i n e t i c e n e r g y p o t e n t i a l e n e r g y

1

2

M

1

r

1

r

1

1

2

M

2

r

2

r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

T o s e e t h a t t h i s i s c o n s e r v e d w r i t e

d E

d t

M

1

r

1

r

1

M

2

r

2

r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

2

d

d t

r

1

r

2

N o w

d

d t

r

1

r

2

d

d t

r

1

r

1

r

2

r

2

2 r

1

r

2

1 2

r

1

r

1

r

2

r

2

r

1

r

2

r

1

r

2

r

1

r

2

r

1

r

2

r

1

r

2

r

1

r

2

T h e r e f o r e

d E

d t

r

1

M

1

r

1

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

1

r

2

r

2

M

2

r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

2

r

1

0

u s i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . T h e r e f o r e t h e t o t a l e n e r g y o f t h e s y s t e m

E c o n s t a n t

6 6



b e c a u s e n o w o r k i s b e i n g d o n e o n s y s t e m s b y a n e x t e r n a l f o r c e . T h e e n e r g y

i s a n o t h e r i n t e g r a l o f t h e m o t i o n e a c h o n e e q u i v a l e n t i n c o u n t i n g t o o n e

i n i t i a l c o n d i t i o n . T h e s e 1 0 i n t e g r a l s R

0

v

0

L E a r e g e n e r a l t o N b o d i e s

n o t j u s t 2 a s w e w i l l s e e l a t e r . T o c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e s y s t e m w e n e e d

1 2 c o n s t a n t s o f i n t e g r a t i o n 1 0 s p e c i e d 2 r e m a i n . T h e s e t u r n o u t t o b e

p a r t i c u l a r t o t h e s p e c i a l c a s e o f 2 b o d i e s . T h a t i s t h e y a r e m o r e l i k e i n i t i a l

c o n d i t i o n s t h a n c o n s e r v a t i o n l a w s .

4 . 2 . 2 T w o b o d y o r b i t s

F i n a l l y w e a r e r e a d y t o s o l v e t h e 2 b o d y p r o b l e m . L e t u s r e c a p W e h a v e

r e m o v e d 6 i n t e g r a l s o f t h e m o t i o n b y w o r k i n g i n t h e c e n t e r o f m a s s c e n t e r

o f m o m e n t u m f r a m e . T h e n t h e o t h e r i n t e g r a l s o f t h e m o t i o n a r e t o t a l e n e r g y

a n d t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m

T h e p o s i t i o n s o f t h e t w o b o d i e s r

1

a n d r

2

o b e y

M

1

r

1

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

1

r

2

1

M

2

r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

2

r

1

2

a n d b y d e n i t i o n

M

1

r

1

M

2

r

2

0 3

W e s h o w e d t h a t

M

1

r

1

r

1

M

2

r

2

r

2

L L c o n s t a n t v e c t o r

1

2

M

1

r

1

r

1

1

2

M

2

r

2

r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

E E c o n s t a n t s c a l a r

W e n o w w a n t t o c o m p l e t e l y s o l v e t h e s y s t e m f o r r

1

t a n d r

2

t

6 7



I t i s c o n v e n i e n t t o r e d u c e t h e s y s t e m t o s i m p l e r f o r m b y w o r k i n g i n t e r m s

o f t h e s e p a r a t i o n v e c t o r o f t h e t w o b o d i e s

r r

1

r

2

v e c t o r f r o m b o d y 2 t o b o d y 1 .

2 M 1 M CoM 2

r1r

−1r 2r r=

T h e n c o n s i d e r e q u a t i o n 1 d i v i d e d b y M

1

m i n u s e q u a t i o n 2 d i v i d e d b y

M

2

r

r

1

r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

r

1

r

2

o r

r

G M

r

3

r

w h e r e M M

1

M

2

i s t h e t o t a l m a s s o f t h e s y s t e m . T h i s e q u a t i o n s a y s

t h a t b o d y 1 m o v e s a s i f i t w a s o f v e r y s m a l l m a s s b e i n g a t t r a c t e d b y m a s s

M

1

M

2

a t b o d y 2 t h e s e p a r a t i o n v e c t o r i s a c c e l e r a t e d b y t h e t o t a l m a s s

o f t h e s y s t e m . T h e f a c t t h a t t h e 2 b o d y p r o b l e m r e d u c e s t o t h e e q u a t i o n o f

t h e o n e b o d y p r o b l e m t e s t m a s s i n t h e c e n t r a l f o r c e e l d o f a c t i t i o u s

m a s s M i s a n a m a z i n g a n d n o n o b v i o u s r e s u l t

W i t h t h e r e l a t i o n s

r r

1

r

2

M

1

r

1

M

2

r

2

0

w e c a n n d h o w t o c a l c u l a t e r

1

a n d r

2

f r o m t h e s o l u t i o n s f o r r

r

1

M

2

M

r r

2

M

1

M

r

6 8



N o t e t h a t t h e s i g n s a r e o p p o s i t e t h e m a s s e s m u s t b e o n o p p o s i t e s i d e s o f

t h e C o M .

E l i m i n a t i n g r

1

a n d r

2

i n f a v o r o f r w e n d t h a t r t o b e y s

r

G M

r

3

r

r

r

M

M

1

M

2

L

1

2

r

r

G M

r

M

M

1

M

2

E

N o t i c e t h e a p p e a r a n c e o f a q u a n t i t y M

1

M

2

M

1

M

2

o n t h e r i g h t

h a n d s i d e s w h e r e w e e x p e c t o n e o v e r a m a s s . T h e q u a n t i t y i s c a l l e d t h e

r e d u c e d m a s s . N o t i c e t h a t i s s m a l l e r t h a n b o t h M

1

a n d M

2

T h e a n g u l a r m o m e n t u m e q u a t i o n

r

r

M

M

1

M

2

L

h a s a n i m p o r t a n t i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e . S i n c e r r

r

r r

r 0

t h a t i s t h e v e c t o r c r o s s p r o d u c t o f t w o v e c t o r s i s p e r p e n d i c u l a r t o b o t h o f

t h e m r a n d

r a r e b o t h p e r p e n d i c u l a r t o L i . e . a l l t h e m o t i o n o c c u r s i n a

p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o L r e m e m b e r t h a t r

1

a n d r

2

a r e p r o p o r t i o n a l t o r

h e n c e p a r a l l e l t o r

A d o p t i n g c o o r d i n a t e s i n t h e p l a n e o f t h e o r b i t w e c a n w r i t e i n C a r t e s i a n

c o o r d i n a t e s

L 0 0 L

r x y 0

r x y 0

T h e m o m e n t u m e q u a t i o n b e c o m e s

x y y x

M

M

1

M

2

L

L

6 9



w i t h a n e n e r g y e q u a t i o n

1

2

x

2

y

2

G M

x

2

y

2

1 2

M

M

1

M

2

E

E

I n p r i n c i p l e t h e a b o v e t w o e q u a t i o n s a r e t h e c o u p l e d d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

f o r t h e t w o u n k n o w n s x t a n d y t . I t i s s i m p l e r h o w e v e r t o e x p l o i t t h e

p l a n a r g e o m e t r y i n p o l a r c o o r d i n a t e s r a n d

+ dt)r(t

δθθ^

azimuthal angle direction

0

δθr

r(t)

rδ δr

particle

trajectory

radial direction

r

I f r t r t d t i n t i m e d t t h e n t o r s t o r d e r

c o m p o n e n t o f r a l o n g o r i g i n a l r a d i a l d i r e c t i o n r

c o m p o n e n t o f r a l o n g d i r e c t i o n o f a z i m u t h r

T h e r e f o r e i f a t a n y g i v e n t i m e i n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s r z

r r 0 0 r e

r

r

r t t r t

t

r

t

r

t

0

r e

r

r

e

r

r

0 0 r

2

r

r r

2

r

2

2

7 0



.er

θθ.

r

er r

.

C e n t r i f u g a l f o r m o f P y t h a g o r a s

W e n d t h a t t h e a n g u l a r m o m e n t u m e q u a t i o n i s

r

2

M

M

1

M

2

L

L

w h i l e t h e e n e r g y e q u a t i o n i s

1

2

r

2

r

2

2

G M

r

M

M

1

M

2

E

E

T h e a n g u l a r m o m e n t u m e q u a t i o n c a n b e i n t e r p r e t e d g e o m e t r i c a l l y

r(t)

t

t + dt

r(t + dt) dA

d (t)θ

I n i n t e r v a l t t o t d t t h e v e c t o r b e t w e e n t h e o b j e c t s s w e e p s a t a r e a d A

d A

1

2

r r d

T h e r e f o r e t h e r a t e o f c h a n g e o f a r e a i s

d A

d t

1

2

r

2

w h i c h b y t h e r s t e q u a t i o n b e c o m e s

d A

d t

1

2

M

M

1

M

2

L

L

2

c o n s t a n t .

7 1



T h u s i t i s a s i m p l e c o n s e q u e n c e o f t h e L a w o f m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n t h a t

t h e r a t e o f s w e e p i n g o u t o f a r e a i s a c o n s t a n t .

T h i s i s K e p l e r s S e c o n d L a w 1 6 0 9 . K e p l e r d i s c o v e r e d i t e m p i r i c a l l y

h e h a d n o i d e a w h a t p h y s i c s w a s b e h i n d i t . K e p l e r w a s T y c h o s g r a d u a t e

s t u d e n t i n m o d e r n t e r m s b u t T y c h o w o u l d n e v e r l e t h i m l o o k a t a l l t h e

d a t a . T y c h o d i e d i n 1 6 0 1 a n d K e p l e r g o t t h e d a t a t h e n . E v e n t o d a y m a n y

o b s e r v e r s w o u l d r a t h e r t a k e t h e i r d a t a t o t h e g r a v e t h a n l e t t h e o r i s t s a n a l y z e

t h e m . O r s o i t s e e m s t o t h e o r i s t s

P r o c e e d i n g w e c a n g e t o n e e q u a t i o n f o r r t b y e l i m i n a t i n g

f r o m t h e s e

e q u a t i o n s . T h e n t h e e q u a t i o n s c a n b e r e w r i t t e n

d r

d t

2

2

M

M

1

M

2

E

2 G M

r

M

M

1

M

2

2

L

2

r

2

d

d t

M

M

1

M

2

L

r

2

4 . 2 . 3 S h a p e s o f t h e o r b i t s

T h e a b o v e e q u a t i o n s c o u l d b e s o l v e d f o r r t a n d t . T h e a n s w e r c o m e s

o u t i n e l l i p t i c i n t e g r a l f u n c t i o n s . B u t t h e s h a p e o f t h e o r b i t c a n b e d e r i v e d

b y e l i m i n a t i n g t i m e f r o m t h e e q u a t i o n s t o g e t a n e q u a t i o n f o r r

d r

d

r

2

L

2 E

2 G M

r

L

2

r

2

1 2

w h e r e w e a r e n o w u s i n g t h e r e d u c e d m a s s

M

1

M

2

M

T h i s i s a r s t o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t c a n b e i n t e g r a t e d

Z

r

L d r

r

2

h

2 E

2 G M

r

L

2

r

2

i

1 2

Z

d

0

7 2



w h e r e

0

c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n . D e n e a c o n s t a n t

r

0

L

2

G M

L

2

G M

2

w h i c h s e t s a s c a l e f o r t h e o r b i t a n d a s e c o n d c o n s t a n t

2

1

2 E L

2

G M

2

1

2 E L

2

G M

2

3

T h e n t h e i n t e g r a l c a n b e r e w r i t t e n

Z

r

r

0

d r

r

2

2

1

r

0

r

2

1 2

0

w h i c h v i a t h e s u b s t i t u t i o n

c o s u 1

r

0

r

b e c o m e s t r y i t

Z

u

d u

0

u

0

1

r

1

r

0

1 c o s

0

t h e p l u s o r m i n u s i s t h r o w n i n g r a t u i t o u s l y b e c a u s e i t c o r r e s p o n d s t o

0

a n

u n k n o w n c o n s t a n t c h a n g i n g b y s o w e c a n w r i t e t h e r e s u l t w i t h t h e m o r e

c o n v e n i e n t s i g n

1

r

1

r

0

1 c o s

0

T h i s i s t h e e q u a t i o n o f a c o n i c s e c t i o n .

T h e r e a r e t h r e e s p e c i a l c a s e s w h i c h w e n o w c o n s i d e r .

C a s e o f 1

I f 1 t h e n

1

r

0 f o r a l l s o t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e t w o m a s s e s

r e m a i n s n i t e t h e o b j e c t s r e m a i n b o u n d w i t h

r

0

1

r

r

0

1

7 3



T h e o r b i t i n t h i s c a s e i s a n e l l i p s e . I f w e p u t

x r c o s

0

y r s i n

0

a n d e l i m i n a t e a n d r t h e e q u a t i o n o f t h e o r b i t b e c o m e s

1

x

2

y

2

1 2

1

r

0

1

x

x

2

y

2

1 2

w h i c h s i m p l i e s t o

x a

a

2

y

2

b

2

1

w h e r e

a

r

0

1

2

b

r

0

1

2

1 2

a r e s e m i m a j o r a n d s e m i m i n o r a x e s .

x = a(1 − ) , y = 0

b r

a x

y

0

θ0θ + π/2

εa

=

r = r / (1 + ε) , θ = θ 0

ε

r = r / (1 − ε), θ = θ + π0 0

x = − a(1 + ε), y = 0

T h e a x i a l r a t i o o f t h e e l l i p s e i s b a 1

2

1 2

. T h e q u a n t i t i y r

0

i s c a l l e d

t h e s e m i l a t u s r e c t u m . N o t e t h a t 1 i m p l i e s f r o m t h e d e n i t i o n

2

1

2 E L

2

G M

2

3

t h a t E 0 i . e . t h e t o t a l e n e r g y o f a b o u n d s y s t e m i s n e g a t i v e .

7 4



W e c a n a l s o s e e t h a t t h e o r b i t i s p e r i o d i c a n d c l o s e d . L e t u s n d t h e

p e r i o d

1

r

1

r

0

1 c o s

0

d

d t

L

r

2

a r e t h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g t w e c a n w r i t e t h i s a s a s i n g l e e q u a t i o n f o r

t

r

2

0

L

Z

d

1 c o s

0

2

Z

t

d t

N o w i n o n e r e p e a t i n g o r b i t

i n c r e a s e s f r o m 2

t i n c r e a s e s f r o m t t p e r i o d s o

r

2

0

L

Z

2

0

d

1 c o s

2

T h e s u b s t i t u t i o n t t a n

1

2

s o d

2 d t

1 t

2

c o s

1 t

2

1 t

2

r e n d e r s t h i s i n t e g r a l

t r a c t a b l e . T h e n

r

2

0

L

2

1

2

3 2

E l i m i n a t i n g r

0

a n d i n t e r m s o f p h y s i c a l v a r i a b l e s L G M r

0

1 2

a n d

r

0

a 1

2

a t h e s e m i m a j o r a x i s

2

a

3 2

G M

1 2

N o t e i n c i d e n t a l l y y o u c a n c h e c k t h a t a d e p e n d s o n l y o n t h e t o t a l e n e r g y

a G M

1

M

2

2 E w h i l e d e p e n d s o n b o t h t h e e n e r g y a n d t h e a n g u l a r

m o m e n t u m . F o r b o u n d o r b i t s w e h a v e n o w p r o v e d K e p l e r s l a w s

1 . T h e p l a n e t s m o v e i n e l l i p s e s w i t h t h e s u n t h e c e n t e r o f m a s s a t o n e

f o c u s

1

r

1

r

0

1 c o s

0

7 5



w i t h 1 0 i s c i r c l e .

2 . A l i n e f r o m t h e S u n t o a p l a n e t s w e e p s o u t e q u a l a r e a s i n e q u a l t i m e s

d A

d t

1

2

L

N o t e t h i s a l s o w o r k s f o r u n b o u n d o r b i t s .

3 . T h e s q u a r e o f t h e p e r i o d o f r e v o l u t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c u b e o f

t h e s e m i m a j o r a x i s

2

2

a

3

G M

o r

2

G M

a

3

N o t e t h i s i n v o l v e s t h e t o t a l m a s s M M

1

M

2

C a s e o f 1

A g a i n f r o m t h e d e n i t i o n

1

2 E L

2

G M

2

3

w e s e e t h a t E 0 s o t h e t o t a l e n e r g y o f s y s t e m i s p o s i t i v e . T h i s w i l l i m p l y

t h a t t h e o r b i t i s u n b o u n d

1

r

1

r

0

1 c o s

0

i s a h y p e r b o l a x r c o s

0

y r s i n

0

g i v e s a g a i n

1

x

2

y

2

1 2

1

r

0

1

x

x

2

y

2

1 2

x a

2

a

2

y

2

b

2

1

a

r

0

2

1

b

r

0

2

1

1 2

b a

2

1

1 2

7 6



y

x

y = 0, x = a(ε − 1)

M 2

M 1

r 0

is at one focus; Hyperbola; single-pass orbit. M 0

C a s e o f 1

F r o m t h e d e n i t i o n o f 1 E 0 i . e . t o t a l e n e r g y o f s y s t e m i s

z e r o . I n t h i s c a s e t h e o r b i t i s a p a r a b o l a

1

r

1

r

0

1 c o s

0

y

2

r

2

0

2 r

0

x

y

x

M 2r 0

M 1 r 0 /2

Parabola. Single pass orbit.

7 7



4 . 2 . 4 O r b i t a l e l e m e n t s

F r o m a n o b s e r v a t i o n a l p o i n t o f v i e w a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f a K e p l e r i a n

o r b i t e . g . o f a p l a n e t o r a s t e r o i d i s o n e t h a t e s t a b l i s h e s i t s s i z e s h a p e a n d

o r i e n t a t i o n i n 3 d i m e n s i o n a l s p a c e a n d a l s o g i v e s e n o u g h t i n f o r m a t i o n t o

d e t e r m i n e w h e r e a l o n g t h e o r b i t t h e o b j e c t i s a t a n y g i v e n t i m e . O n e s u c h

c o m p l e t e d e s c r i p t i o n c o n s i s t s o f 6 o r b i t a l e l e m e n t s . T h e r e m u s t b e 6

b e c a u s e t h e c o m p l e t e d e s c r i p t i o n i s e q u i v a l e n t t o g i v i n g a v e c t o r o f p o s i t i o n s

a n d a v e c t o r o f v e l o c i t i e s a t s o m e d u c i a l t 0 .

I n t h e f o l l o w i n g p i c t u r e t h e a c t u a l o r b i t i s t h e i n n e r e l l i p s e w h i l e t h e

t i l t e d c i r c l e s a r e j u s t t o s h o w s e p a r a t e l y t h e o r b i t a l p l a n e a n d e c l i p t i c

p l a n e e q u a t o r o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m u s e d . T h e s y m b o l i s t h e r s t

p o i n t o f A r i e s t h e o r i g i n o f l o n g i t u d e i n t h e s e c o o r d i n a t e s . D o n o t b e f o o l e d

b y a n o p t i c a l i l l u s i o n T h e o r b i t i s i n t h e o r b i t a l p l a n e a n d i s a n e l l i p s e

n o t a c i r c l e w h o s e m a j o r a x i s i s A

0

S A . T h e p e r i h e l i o n c l o s e s t a p p r o a c h o f

t h e o r b i t t o t h e s u n i s A w h i l e P i s t h e p o s i t i o n o f t h e p l a n e t r i g h t n o w .

7 8



T h e 6 o r b i t a l e l e m e n t s a r e d e n e d a s 2 s h a p e p a r a m e t e r s

s e m i m a j o r a x i s a h a l f t h e l e n g t h o f A A

0

e c c e n t r i c i t y e 1 b

2

a

2

1 2

i f b i s t h e s e m i m i n o r a x i s

2 p a r a m e t e r s d e n e t h e o r b i t a l p l a n e

i n c l i n a t i o n i a n g l e

6

Q N B b e t w e e n t h e o r b i t a l

p l a n e a n d t h e e c l i p t i c p l a n e

l o n g i t u d e o f t h e a n g l e

6

S N f r o m r s t p o i n t o f A r i e s

a s c e n d i n g n o d e t o t h e l i n e o f n o d e s N

0

N . A s c e n d i n g

m e a n s p i c k t h e n o d e w h e r e t h e p l a n e t

c r o s s e s t h e e c l i p t i c f r o m s o u t h b e l o w

t o n o r t h a b o v e .

1 p a r a m e t e r o r i e n t s t h e o r b i t i n i t s p l a n e

a r g u m e n t o f p e r i h e l i o n a n g l e

6

N S A

1

f r o m t h e a s c e n d i n g

n o d e m e a s u r e d i n t h e p l a n e o f t h e

o r b i t t o t h e p e r i h e l i o n p o i n t A

1 p a r a m e t e r s p e c i e s o r b i t a l p h a s e

t i m e o f p e r i h e l i o n p a s s a g e T o n e o f t h e p r e c i s e t i m e s t h a t t h e o b j e c t

p a s s e s t h r o u g h t o t h e p o i n t A

N o t e t h a t P t h e p e r i o d i s n o t a n o r b i t a l e l e m e n t s i n c e y o u c a n c o m p u t e i t

f r o m a b y

P i n y e a r s a i n A U

3 2

I n s t e a d o f p e o p l e s o m e t i m e s q u o t e t h e l o n g i t u d e o f p e r i h e l i o n

6

S N

6

N S A

1

T h e s y m b o l i s a c t u a l l y a w e i r d f o r m o f p i b u t m o s t a s t r o n o m e r s c a l l i t

p o m e g a N o t e t h a t t h e t w o s u m m e d a n g l e s a r e m e a s u r e d a l o n g t w o d i e r

7 9



e n t p l a n e s T h i s i s n o t r e a l l y t h e l o n g i t u d e o f a n y t h i n g b u t i t a p p r o x i m a t e s

i t w h e n t h e i n c l i n a t i o n i i s s m a l l .

A l s o i n s t e a d o f T p e o p l e s o m e t i m e s g i v e t h e l o n g i t u d e L o f t h e p l a n e t

a t a s p e c i e d e p o c h t i m e . H e r e t h e l o n g i t u d e i s a g a i n a k i n d o f p h o n e y

L

6

N

6

N P

1

I n c a s e y o u w a n t t o c o m p u t e l o c a t i o n s o f t h e p l a n e t s h e r e a r e t h e v a l u e s

o f t h e i r o r b i t a l e l e m e n t s c a l l e d e p h i m e r i d e s t h e p l u r a l o f e p h e m e r i s

P l a n e t s M e a n E l e m e n t s

F o r e p o c h J 2 0 0 0 0 J D 2 4 5 1 5 4 5 0 2 0 0 0 J a n u a r y 1 . 5

P l a n e t I n c l i n a t i o n i E c c e n t r i c i t y e

M e r c u r y 7

0 0

0

1 7

0 0

9 5 0 5 1 0 . 2 0 5 6 3 1 7 5 2 4 9 1 4

V e n u s 3

2 3

0

4 0

0 0

0 7 8 2 8 0 . 0 0 6 7 7 1 8 8 1 9 1 4 2

E a r t h 0 . 0 0 . 0 1 6 7 0 8 6 1 7 1 5 4 0

M a r s 1

5 0

0

5 9

0 0

0 1 5 3 2 0 . 0 9 3 4 0 0 6 1 9 9 4 7 4

J u p i t e r 1

1 8

0

1 1

0 0

7 7 0 7 9 0 . 0 4 8 4 9 4 8 5 1 2 1 9 9

S a t u r n 2

2 9

0

1 9

0 0

9 6 1 1 5 0 . 0 5 5 5 0 8 6 2 1 7 1 7 2

U r a n u s 0

4 6

0

2 3

0 0

5 0 6 2 1 0 . 0 4 6 2 9 5 8 9 8 5 1 2 5

N e p t u n e 1

4 6

0

1 1

0 0

8 2 7 9 5 0 . 0 0 8 9 8 8 0 9 4 8 6 5 2

P l u t o 1 7

0 8

0

3 1

0 0

8 0 . 2 4 9 0 5 0

M e a n L o n g i t u d e M e a n L o n g i t u d e M e a n L o n g i t u d e

o f N o d e o f P e r i h e l i o n o f E p o c h L

M e r c u r y 4 8

1 9

0

5 1

0 0

2 1 4 9 5 7 7

2 7

0

2 2

0 0

0 2 8 5 5 2 5 2

1 5

0

0 3

0 0

2 5 9 8 5

V e n u s 7 6

4 0

0

4 7

0 0

7 1 2 6 8 1 3 1

3 3

0

4 9

0 0

3 4 6 0 7 1 8 1

5 8

0

4 7

0 0

2 8 3 0 4

E a r t h 0 . 0 1 0 2

5 6

0

1 4

0 0

4 5 3 1 0 1 0 0

2 7

0

5 9

0 0

2 1 4 6 4

M a r s 4 9

3 3

0

2 9

0 0

1 3 5 5 4 3 3 6

0 3

0

3 6

0 0

8 4 2 3 3 3 5 5

2 5

0

5 9

0 0

7 8 8 6 6

J u p i t e r 1 0 0

2 7

0

5 1

0 0

9 8 6 3 1 1 4

1 9

0

5 2

0 0

7 1 3 2 6 3 4

2 1

0

0 5

0 0

3 4 2 1 1

S a t u r n 1 1 3

3 9

0

5 5

0 0

8 8 5 3 3 9 3

0 3

0

2 4

0 0

4 3 4 2 1 5 0

0 4

0

3 8

0 0

8 9 6 9 5

U r a n u s 7 4

0 0

0

2 1

0 0

4 1 0 0 2 1 7 3

0 0

0

1 8

0 0

5 7 3 2 0 3 1 4

0 3

0

1 8

0 0

0 1 8 4 0

N e p t u n e 1 3 1

4 7

0

0 2

0 0

6 0 5 2 8 4 8

0 7

0

2 5

0 0

2 8 5 8 1 3 0 4

2 0

0

5 5

0 0

1 9 5 7 4

P l u t o 1 1 0

1 7

0

4 9

0 0

7 2 2 4

0 8

0

0 5

0 0

5 2 3 8

4 4

0

3 8

0 0

2

8 0



M e a n D i s t a n c e A U M e a n D i s t a n c e 1 0

1 1

m

M e r c u r y 0 . 3 8 7 0 9 8 3 0 9 8 0 . 5 7 9 0 9 0 8 3 0

V e n u s 0 . 7 2 3 3 2 9 8 2 0 0 1 . 0 8 2 0 8 6 0 1

E a r t h 1 . 0 0 0 0 0 1 0 1 7 8 1 . 4 9 5 9 8 0 2 3

M a r s 1 . 5 2 3 6 7 9 3 4 1 9 2 . 2 7 9 3 9 1 8 6

J u p i t e r 5 . 2 0 2 6 0 3 1 9 1 3 7 . 7 8 2 9 8 3 6 1

S a t u r n 9 . 5 5 4 9 0 9 5 9 5 7 1 4 . 2 9 3 9 4 1 3 3

U r a n u s 1 9 . 2 1 8 4 4 6 0 6 1 8 2 8 . 7 5 0 3 8 6 1 5

N e p t u n e 3 0 . 1 1 0 3 8 6 8 6 9 4 4 5 . 0 4 4 4 9 7 6 9

P l u t o 3 9 . 5 4 4 6 7 4 5 9 . 1 5 7 9 9 0

4 . 2 . 5 T h e m a s s o f t h e S u n a n d t h e m a s s e s o f b i n a r y s t a r s

W e h a v e s e e n t h a t t h e s i d e r e a l p e r i o d o f a p l a n e t i s r e l a t e d t o t h e s e m i

m a j o r a x i s o f i t s o r b i t a b y

2

4

2

G M

a

3

w h e r e

M M

m

p l a n e t

T h i s f o r m u l a h a s b e e n a p p l i e d t o c a l c u l a t e G M o n t h e l a s t c o l u m n o f t h e

f o l l o w i n g t a b l e .

O b s e r v e d I n f e r r e d

S i d e r e a l S e m i m a j o r

p e r i o d a x i s o f o r b i t G M

P l a n e t d a y s A U 1 0

2 6

c m

3

s

1

M e r c u r y 8 7 . 9 6 9 0 . 3 8 7 0 9 9 1 . 3 2 7 1 4

V e n u s 2 2 4 . 7 0 1 0 . 7 2 3 3 3 2 1 . 3 2 7 1 3

E a r t h 3 6 5 . 2 5 6 1 . 0 0 0 0 0 0 1 . 3 2 7 1 3

M a r s 6 8 6 . 9 8 0 1 . 5 2 3 6 9 1 1 . 3 2 7 1 2

J u p i t e r 4 3 3 2 . 5 8 9 5 . 2 0 2 8 0 3 1 . 3 2 8 3 9

S a t u r n 1 0 7 5 9 . 2 2 9 . 5 3 8 8 4 1 . 3 2 7 5 0

U r a n u s 3 0 6 8 5 . 4 1 9 . 1 8 1 9 1 . 3 2 7 1 5

N e p t u n e 6 0 1 8 9 3 0 . 0 5 7 8 1 . 3 2 7 2 3

P l u t o 9 0 4 6 5 3 9 . 4 4 1 . 3 2 7 2 7

8 1



T h e r e f o r e f r o m t h e l o w m a s s p l a n e t s

G M

1 3 2 7 1 3 1 0

2 6

c m

3

s

1

T h i s i s k n o w n v e r y a c c u r a t e l y t o 1 p a r t i n 1 0

6

. A m a z i n g l y G i t s e l f

f r o m l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s i s o n l y k n o w n t o a b o u t 1 p a r t i n 1 0

4

a s 6 6 7 0

0 0 0 4 1 0

8

c m

3

s

1

g

1

. S o o u r k n o w l e d g e o f t h e m a s s o f t h e S u n i s l i m i t e d

b y l a b o r a t o r y p h y s i c s n o t a s t r o n o m i c a l o b s e r v a t i o n s

M

1 9 8 9 0 0 0 1 1 0

3 3

g m

W e c a n a l s o e s t i m a t e t h e m a s s o f J u p i t e r M

J

G M

M

J

1 3 2 8 3 9 1 0

2 6

c m

3

s

1

G M

M

E

1 3 2 7 1 3 1 0

2 6

c m

3

s

1

w h e r e M

E

i s t h e m a s s o f t h e E a r t h . J u p i t e r h a s a b o u t a n 0 . 1 e e c t o n

G M . T h u s M

J

0 1 o f s o l a r m a s s . F u r t h e r m o r e

G M

J

M

E

1 2 6 1 0

2 3

c m

3

s

1

M

J

M

E

M

0 0 0 0 9 4 9

w h i c h g i v e s u s

M

J

0 0 0 0 9 4 9 M

1 8 9 1 0

3 0

g

T h i s i s f a i r l y i n a c c u r a t e 1 p a r t i n 1 0

3

a n d i t i s a g o o d i l l u s t r a t i o n o f a n

i m p o r t a n t p r i n c i p l e n o r m a l l y w e m e a s u r e p l a n e t m a s s e s b y t h e i r e e c t s o n

t h e s a t e l l i t e s o r o n e a n o t h e r . A r t i c i a l s a t e l l i t e s e . g . V o y a g e r I I a t U r a n u s

a r e a l s o g o o d

T h i s w o r k s f o r o u r S u n b u t w h a t a b o u t o t h e r s t a r s T h e i r p l a n e t s a r e

t o o f a i n t t h e r e a r e n o l o w m a s s t e s t p a r t i c l e s t h a t w e c a n s e e a r o u n d t h e s e

8 2



s t a r s . B u t

5 0 o f a l l s t a r s a r e i n m u l t i p l e s t a r s y s t e m s . S o w e c a n u s e t h e

r e l a t i v e m o t i o n s o f b i n a r y s t a r s t o g e t s t e l l a r m a s s e s .

T h e p e r i o d s o f b i n a r y s t a r s v a r y t y p i c a l l y f r o m a f e w h o u r s e . g . 6

h

f o r M i r z a m a l i a s U r s a M a j o r i s t o h u n d r e d s o f y e a r s e . g . 7 0 0 y r f o r 6 1

C y g n i . S o m e a r e e v e n s h o r t e r b u t f o r t h e s e i t i s l i k e l y t h a t t h e s t a r s a r e

h i g h l y d i s t o r t e d b y t i d a l e e c t s a n d t h e i r m a s s e s w i l l b e s u b j e c t t o s y s t e m a t i c

e r r o r s e . g . s e m i d e t a c h e d o r c o n t a c t b i n a r i e s .

A v a r i e t y o f d a t a m a y b e a v a i l a b l e f o r a b i n a r y s t a r . W e m a y s e e t h e

m o t i o n o f o n e s t a r a r o u n d t h e o t h e r o n t h e s k y w h i c h i s r a r e o r w e m a y

s e e o n l y v a r i a t i o n s i n t h e v e l o c i t i e s o f t h e s t a r s a s s e e n f r o m D o p p l e r s h i f t s

i n t h e i r s p e c t r a t h i s i s m o r e c o m m o n . B i n a r y s t a r s m a y b e s i n g l e l i n e d

s e e l i g h t f r o m o n l y o n e s t a r o r d o u b l e l i n e d .

C o n s i d e r f o r e x a m p l e t h e s e c o n d c a s e a d o u b l e l i n e d s p e c t r o s c o p i c

b i n a r y s t a r . H e r e w e s e e t h e t w o s t a r s s p e c t r a s u p e r i m p o s e d a n d w e

c a n m e a s u r e t h e r a d i a l v e l o c i t i e s f o r b o t h s t a r s b u t t h e s t a r s a r e t o o c l o s e

t o g e t h e r f o r u s t o s e e t h e i r o r b i t s b y m e a s u r i n g t h e c h a n g i n g p o s i t i o n s o f t h e

s t a r s r e l a t i v e t o o n e a n o t h e r . T h e n w h a t w e s e e a r e s t a r v e l o c i t i e s l i k e

system velocity not,

in general, zero v e l o c i t y , v

time, t /τ

τ

0 .5 1 1.5

K 1

K 2

8 3



I m m e d i a t e l y w e s e e t h a t w e h a v e t h r e e o b s e r v a b l e s

t h e o r b i t a l p e r i o d

t h e p e a k v e l o c i t y o f t h e l e s s m a s s i v e s t a r 1 K

1

t h e m o r e m a s s i v e s t a r

m o v e s m o r e s l o w l y

t h e p e a k v e l o c i t y o f s t a r 2 K

2

T h e s h a p e o f t h e c u r v e s i s h e r e s i n u s o i d a l w h i c h i m p l i e s c i r c u l a r o r b i t s

0 . O t h e r s h a p e s a r e p o s s i b l e f o r O 1

W h a t c a n w e g e t f r o m t h e s e d a t a T o s i m p l i f y t h i n g s s u p p o s e t h e s t a r s

a r e i n a c i r c u l a r o r b i t 0 n o t n e c e s s a r y w e c o u l d t f r o m t h e v e l o c i t y

d a t a i f w e w a n t e d t o b u t t h i s m a k e s t h i n g s h a r d e r . T h e n o u r o r b i t e q u a t i o n s

a r e

M

1

r

1

M

2

r

2

0 c e n t e r o f m a s s a t r e s t

d

d t

L

r

2

0

c o n s t a n t

2

c o n s t a n t a n g u l a r v e l o c i t y c i r c u l a r o r b i t .

B u t t h e p e r i o d i s r e l a t e d t o t h e s e p a r a t i o n o f t h e s t a r s r t h e s a m e a s t h e

s e m i m a j o r a x i s f o r a c i r c u l a r o r b i t b y

2

4

2

r

3

G M

f o r c i r c u l a r o r b i t s

a n d t h e s p e e d s o f t h e s t a r s i n t h e i r o r b i t s a r e v

1

r

1

a n d v

2

r

2

. I f t h e

o r b i t a l p l a n e i s p a r a l l e l t o t h e l i n e o f s i g h t t h e p e a k v e l o c i t i e s w e w o u l d s e e

f o r t h e s t a r s a r e r

1

a n d r

2

. I n g e n e r a l h o w e v e r t h i s w i l l n o t b e t h e c a s e

s e e g u r e o n t h e n e x t p a g e .

A t i n c l i n a t i o n a n g l e i i a n g l e b e t w e e n l i n e o f s i g h t a n d n o r m a l t o

o r b i t a l p l a n e

8 4



K

1

r

1

s i n i

2

r

1

s i n i

K

2

r

2

s i n i

2

r

2

s i n i

I f i 0 w e s e e n o v e l o c i t y . T h u s t h e s e p a r a t i o n o f t h e s t a r s i s

r r

1

r

2

K

1

K

2

2 s i n i

U s i n g t h e p r e v i o u s f o r m u l a f o r

2

a n d e l i m i n a t i n g r t h e p e r i o d e q u a t i o n t h e n

g i v e s a t o t a l m a s s

M

1

M

2

2 G

K

1

K

2

3

s i n

3

i

T h e c e n t e r o f t h e m a s s p r o v i d e s t h e c o n s t r a i n t M

1

r

1

M

2

r

2

s o t h e m a s s

r a t i o i s

M

2

M

1

r

1

r

2

K

1

K

2

P u t t i n g t h e s e t o g e t h e r

M

1

s i n

3

i

1

2 G

K

1

K

2

2

K

2

M

2

s i n

3

i

1

2 G

K

1

K

2

2

K

1

8 5



H e r e t h e r i g h t h a n d s i d e s a r e c o m p l e t e l y k n o w n s o w e i n f e r t h e l e f t

h a n d s i d e s . T h e s e d a t a o n l y g i v e m a s s e s i f w e k n o w t h e i n c l i n a t i o n o f t h e

o r b i t i . B u t i n g e n e r a l w e w i l l n o t k n o w t h i s s o o u r d a t a o n l y m e a s u r e a

c o m b i n a t i o n o f m a s s e s a n d i

F o r o n e s p e c i a l g r o u p o f s t a r s w e d o g e t M

1

a n d M

2

d i r e c t l y f r o m

e c l i p s i n g b i n a r i e s w h e r e t h e l i g h t c u r v e s h o w s a n e c l i p s e s e e g u r e .

1.2

1

.8

.6

.4

.2

00 .5 1 1.5

primary

eclipse

secondary

eclipse

τ

time, /τt

l i g h t

f l u x ,

F / ( F

1

+ F

) 2

H e r e t h e s t a r s a r e e c l i p s i n g o n e a n o t h e r . T h i s s c e n a r i o i s o n l y p o s s i b l e

i f i 9 0

p r o v i d e d t h a t t h e s t e l l a r r a d i i s e p a r a t i o n w h i c h w e c a n c h e c k

i n t h e a b o v e e q u a t i o n s i f t h i s i s n o t t r u e t h e s t a r s a r e s o d i s t o r t e d t h a t w e

c a n n o t u s e t h i s m e t h o d a n y w a y . T h u s s i n i 1 . E r r o r s i n i h a v e l i t t l e

e e c t o n t h e m a s s e s d e r i v e d b e c a u s e s i n i c h a n g e s s l o w l y a t i 9 0

I n f a c t t h e b e s t d a t a o n m a s s e s o f s t a r s c o m e s f r o m e c l i p s i n g s p e c t r o s c o p i c

d o u b l e l i n e d b i n a r i e s e v e n t h o u g h t h e s e a r e h a r d t o n d .

A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h i s t o m e a s u r e m a n y n o n e c l i p s i n g b i n a r i e s a s s u m e

i t o b e s e l e c t e d a t r a n d o m a n d u s e s t a t i s t i c s t o d e r i v e t h e d i s t r i b u t i o n o f

m a s s e s M

1

a n d M

2

8 6



4 . 2 . 6 S u p e r n o v a e i n b i n a r y s y s t e m s

I t i s q u i t e c o m m o n f o r a s u p e r n o v a t o b e i n a b i n a r y s y s t e m . I n f a c t s o m e

s u p e r n o v a e a r e c a u s e d b y a c o m p a n i o n s t a r s d u m p i n g m a s s o n a s t a r u n t i l

t h e l a t t e r e x p l o d e s s e c t i o n 4 . 3 . 4 b e l o w . W h a t h a p p e n s t o t h e b i n a r y s y s t e m

w h e n t h e e x p l o s i o n o c c u r s I t t u r n s o u t t h a t t h e f o r c e o f t h e e x p l o s i o n i s n o t

a n i m p o r t a n t e e c t o n t h e s t a r b u t i t s m a s s l o s s i s

B e f o r e t h e s u p e r n o v a w e h a v e s a y t w o s t a r s i n c i r c u l a r o r b i t

1 2r r

M 2

v2 M

1

v1

CoM

P u t t i n g t h e C o M a t r e s t w e h a v e

M

1

v

1

M

2

v

2

0

M

1

r

1

M

2

r

2

0

L e t M

1

b e t h e m a s s t h a t e x p l o d e s . T y p i c a l l y i t i s t h e m o r e m a s s i v e s t a r t h a t

e x p l o d e s s o M

1

M

2

. W h e n i t e x p l o d e s i t q u i c k l y a n d s p h e r i c a l l y s a y

b l o w s o m o s t o f i t s m a s s s o t h a t i t s n e w m a s s M

0

1

i s

M

0

1

M

1

M

a n d w e h a v e

8 7



M 2

v2 M

1

v1

old

CoM

new

CoM′

expanding shell

of mass

centered on M

1′

M 1

M 1−

A r s t i m p o r t a n t e e c t i s t h a t t h e r e m a i n i n g b i n a r y i s n o t a t r e s t . L e t s

c a l c u l a t e i t s n e w C o M v e l o c i t y v

c

M

0

1

v

1

M

2

v

2

M

0

1

M

2

v

c

O r u s i n g v

1

M

2

v

2

M

1

a n d M

0

1

M

1

M

M

1

M

M

2

M

1

v

2

M

2

v

2

M

1

M M

2

v

c

g i v i n g

v

c

M M

2

M

1

M

1

M

2

M

v

2

N o t i c e t h a t a s M M

1

a l l s t a r e x p l o s i o n v

c

v

2

a s i t m u s t .

T y p i c a l v a l u e s m i g h t b e M

1

1 0 M

M

2

5 M

M 8 5 M

l e a v i n g

a 1 5 M

n e u t r o n s t a r f o r M

0

1

s o

v

c

8 5 5

1 0 6 5

v

2

0 6 5 v

2

8 8



F o r c l o s e b i n a r i e s v

2

c a n b e h u n d r e d s o f k i l o m e t e r s p e r s e c o n d s o t h e s y s t e m

r e a l l y t a k e s o

I n f a c t w e n e e d t o c h e c k w h e t h e r t h e b i n a r y r e m a i n s b o u n d a t a l l T h e

e a s i e s t w a y t o d o t h i s i s t o s e e i f i t s t o t a l e n e r g y i n t h e n e w C o M i s p o s i t i v e

o r n e g a t i v e j u s t a f t e r t h e e x p l o s i o n

E

0

t o t a l e n e r g y

i n n e w C o M

0

B

t o t a l

k i n e t i c

e n e r g y

1

C

A

0

B

k i n e t i c

e n e r g y

o f C o M

1

C

A

p o t e n t i a l

e n e r g y

1

2

M

0

1

v

2

1

1

2

M

2

v

2

2

1

2

M

0

1

M

2

v

2

c

G M

0

1

M

2

r

R e c a l l t h a t S e c t i o n 4 . 2 . 2 t h e s e p a r a t i o n v e c t o r r a n d t h e r e l a t i v e v e l o c i t y

v

2

v

1

s a t i s f y K e p l e r s L a w s w i t h t h e t o t a l m a s s . S o f o r c i r c u l a r o r b i t s

G M

1

M

2

r

v

2

v

1

2

S u b s t i t u t i n g t h i s a n d v

c

p r e v i o u s l y o b t a i n e d a n d a l s o e l i m i n a t i n g M

0

1

i n

f a v o r o f M

1

M a n d v

1

i n f a v o r o f v

2

M

2

M

1

w e g e t

E

0

1

2

M

1

M

M

2

v

2

M

1

2

1

2

M

2

v

2

2

1

2

M

1

M

2

M

M M

2

v

2

M

1

M

1

M

2

M

2

M

1

M M

2

M

1

M

2

1

M

2

M

1

v

2

2

N o w a f a i r l y a m a z i n g a l g e b r a i c s i m p l i c a t i o n I u s e d t h e S i m p l i f y

f u n c t i o n i n M a t h e m a t i c a o n t h e c o m p u t e r g i v e s

E

0

1

2

M

2

v

2

2

M

1

M M

1

M

2

M

2

1

M

1

M

2

M

M

1

M

2

2 M

N o t i c e t h a t a l l t h e t e r m s a r e p o s i t i v e s i n c e M M

1

e x c e p t t h e l a s t o n e .

W e s e e t h a t a c o n d i t i o n f o r E t o b e p o s i t i v e u n b i n d i n g t h e b i n a r y i s

M

1

2

M

1

M

2

8 9



t h a t i s l o s s o f m o r e t h a n e x a c t l y h a l f t h e t o t a l m a s s o f t h e s y s t e m . I n t h e

p r e v i o u s n u m e r i c a l e x a m p l e w e h a v e

8 5

1

2

1 0 5

s o t h e n e u t r o n s t a r i s u n b o u n d a n d i e s a w a y a t h i g h v e l o c i t y . I n f a c t

p u l s a r s w h i c h a r e n e u t r o n s t a r s a r e o f t e n s e e n t o b e l e a v i n g t h e g a l a c t i c

p l a n e w h e r e t h e y a r e f o r m e d a t h i g h v e l o c i t y f o r j u s t t h i s r e a s o n .

Y o u m i g h t w o n d e r i f t h e r e i s n t a s i m p l e r w a y t o d e r i v e t h e a b o v e h a l f o f

t o t a l m a s s r e s u l t . T h e r e i s i f y o u a r e c o m f o r t a b l e w i t h e x p r e s s i n g t h e e n e r g y

o f a 2 b o d y s y s t e m i n t e r m s o f t h e r e d u c e d m a s s a s i n a b o v e s e c t i o n 4 . 2 . 2 .

T h e n a s M i k e L e c a r p o i n t e d o u t t o m e y o u c a n w r i t e t h e t o t a l e n e r g y o f a

m o v i n g o r s t a t i o n a r y b i n a r y s y s t e m a s

E

1

2

M v

2

C o M

1

2

v

2

G M

r

w h e r e M i s t o t a l m a s s v

C o M

i s t h e c e n t e r o f m a s s v e l o c i t y a n d v i s t h e

r e l a t i v e v e l o c i t y t h a t i s

r . T h e r s t t e r m h a s n o e e c t o n w h e t h e r t h e

b i n a r y i s b o u n d o r u n b o u n d . R a t h e r i t i s j u s t a q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e

s e c o n d t e r m i s p o s i t i v e o r n e g a t i v e . F o r a n i n i t i a l c i r c u l a r o r b i t w e h a v e

v

2

G M

r

s o t h a t

1

2

v

2

G M

r

1

2

G M

r

A f t e r t h e s u p e r n o v a v

2

i s i n s t a n t a n e o u s l y t h e s a m e w h i l e a n d M c h a n g e .

Y o u c a n s e e t h a t l o s i n g m o r e t h a n h a l f o f M c a u s e s v

2

2 G M r t o c h a n g e

s i g n b e c o m e u n b o u n d .

4 . 3 T i d e s a n d R o c h e e e c t s

W h e n t w o b o d i e s a r e i n o r b i t a r o u n d e a c h o t h e r t h e o t h e r w i s e s p h e r i c a l g r a v

i t a t i o n a l e l d a r o u n d e a c h b o d y i s d i s t o r t e d b y t h e g r a v i t a t i o n a l a t t r a c t i o n

9 0



o f t h e o t h e r b o d y . F o r t h e E a r t h M o o n s y s t e m e . g . t h i s c a u s e s t h e s u r f a c e

o f t h e o c e a n s a n d t o s o m e e x t e n t t h e s o l i d E a r t h a s w e l l t o b e d e f o r m e d

i n t o t h e f a m i l i a r t i d a l s h a p e

Moon

greatest gravitational

attractionEarth

least gravitational

attraction

tidal deformation produced

O u r g o a l i s t o u n d e r s t a n d t h e a b o v e p i c t u r e q u a n t i t a t i v e l y

T h e s u r f a c e o f t h e o c e a n i s a n e q u i p o t e n t i a l b e c a u s e i f i t w e r e n o t

t h a t i s i f t h e r e w e r e a p o t e n t i a l g r a d i e n t a l o n g t h e s u r f a c e t h e r e w o u l d b e

a f o r c e c a u s i n g t h e w a t e r t o o w d o w n h i l l u n t i l i t l l e d u p t h e p o t e n t i a l

v a l l e y .

B u t i s i t a p u r e l y g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l w e m u s t c o n s i d e r N o b e c a u s e

t h e s t a t i o n a r y f r a m e i n w h i c h t h i n g s c a n c o m e t o e q u i l i b r i u m i s t h e r o t a t

i n g f r a m e i n w h i c h t h e E a r t h a n d M o o n a r e x e d . W e a r e h e r e a s s u m i n g

a c i r c u l a r o r b i t . T h i n g s w o u l d b e m o r e c o m p l i c a t e d i f t h e o r b i t w e r e s i g

n i c a n t l y e c c e n t r i c . S o t h e r e i s a l s o a c e n t r i f u g a l f o r c e a n d c o r r e s p o n d i n g

c e n t r i f u g a l p o t e n t i a l . I f t h e o r b i t a l a n g u l a r v e l o c i t y i s w i t h

2

G M

1

M

2

R

3

t h e n t h e c e n t r i f u g a l a c c e l e r a t i o n a t a p o s i t i o n r w i t h r e s p e c t t o t h e C o M

i s r s o t h e c e n t r i f u g a l p o t e n t i a l w h o s e n e g a t i v e g r a d i e n t i s t h e

a c c e l e r a t i o n i s

1

2

r

2

o r i n t h e o r b i t a l p l a n e

1

2

2

r

2

. T h e t o t a l p o t e n t i a l

i n t h e r o t a t i n g f r a m e i s t h u s

G M

1

r r

1

G M

2

r r

2

1

2

2

r

2

9 1



T h e g u r e s h o w s a n e x a m p l e o f s u c h a p o t e n t i a l . N o t i c e t h a t t h e d o w n h i l l

g r a d i e n t t r i e s t o m a k e a t e s t p a r t i c l e e i t h e r f a l l i n t o o n e o f t h e p o t e n t i a l w e l l s

o f t h e m a s s e s o r b e u n g o t o i n n i t y b y c e n t r i f u g a l f o r c e . W e w i l l c o m e

b a c k t o t h i s g e n e r a l c a s e b e l o w i n S e c t i o n 4 . 3 . 4 .

4 . 3 . 1 W e a k t i d e s

T h e M o o n M

2

i s f a r f r o m t h e E a r t h M

1

a n d c a n b e r e g a r d e d a s a p o i n t

m a s s . S i n c e t h e s i z e o f t h e E a r t h i s l i k e w i s e s m a l l c o m p a r e d t o t h e E a r t h

M o o n d i s t a n c e R w e c a n w r i t e t h e L a w o f C o s i n e s

D

2

R

2

r

2

2 R r c o s

a n d t h e n e x p a n d i n t h e s m a l l r a t i o r R

9 2



D

R

0

CoMr 1

r 2

sub-lunar point

θ

Earth

a

Moon

G M

2

r r

2

G M

2

D

G M

2

R

2

a

2

2 R a c o s

1 2

G M

2

R

1

a

2

R

2

2

a

R

c o s

1 2

W e n e e d t o d o t h e b i n o m i a l e x p a n s i o n t o s e c o n d o r d e r t o c o n s i s t e n t l y p i c k

u p a l l t e r m s o f o r d e r a

2

R

2

. T h i s g i v e s

G M

2

R

1

a

R

c o s

1

2

3 c o s

2

1

a

2

R

2

O

a

R

3

I f y o u k n o w a b o u t m u l t i p o l e s y o u w i l l s e e t h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s i n

c o s l u r k i n g h e r e . N o t e t h a t t h e t e r m a R c o s a c t u a l l y v a r i e s l i n e a r l y i n

t h e z d i r e c t i o n f r o m M

1

t o M

2

s i n c e z a c o s s o t h e g r a d i e n t o f t h i s p a r t

o f t h e p o t e n t i a l i s a c o n s t a n t f o r c e .

θa

z

N o w f o r t h e c e n t r i f u g a l p o t e n t i a l t e r m w e a g a i n a p p l y t h e l a w o f c o s i n e s

1

2

2

r

2

1

2

2

M

2

M

1

M

2

R

2

a

2

2

M

2

M

1

M

2

R

a c o s



θ

CoM

M R

M 2

M

M

1

2

2+

Earth Moon

M 1

a

S o c o l l e c t i n g t h e t h r e e t e r m s i n t h e o v e r a l l p o t e n t i a l a n d s u b s t i t u t i n g f o r

2

f o r m u l a i n 4 . 3

G M

1

a

G M

2

R

1

a

R

c o s

1

2

3 c o s

2

1

a

2

R

2

1

2

G M

1

M

2

R

3

M

2

M

1

M

2

2

R

2

a

2

2

M

2

M

1

M

2

R a c o s

L o o k c a r e f u l l y a n d y o u w i l l s e e t h a t t h e t e r m i n a R c o s e x a c t l y c a n c e l s

o u t . T h i s i s n o t c o i n c i d e n c e i t i s b e c a u s e t h e c o n s t a n t f o r c e t e r m i s e x a c t l y

c a n c e l e d b y t h e c e n t r i f u g a l f o r c e t h a t k e e p s t h e b o d i e s i n a c i r c u l a r o r b i t .

A l s o n o t e t h a t t h e r e a r e t e r m s w i t h n o a o r d e p e n d e n c e S i n c e t h e s e a r e

j u s t c o n s t a n t s t h e y p r o d u c e n o g r a d i e n t s a n d c a n b e i g n o r e d S o w e g e t

c o m b i n i n g t h e r e m a i n i n g t e r m s

a

G M

1

a

1

2

G a

2

R

3

3 M

2

c o s

2

M

1

c o n s t a n t

T h i s i s t h e l o c a l t i d a l p o t e n t i a l n e a r t h e E a r t h . T o g e t a b e t t e r f e e l i n g f o r

i t s s h a p e l e t u s e x p a n d a i n t e r m s o f h e i g h t h a b o v e t h e r a d i u s o f t h e E a r t h

m e a n s e a l e v e l

a R

h a

2

R

2

1

2 h

R

a

1

R

1

1

h

R

9 4



H e r e w e h a v e u s e d t h e b i n o m i a l e x p a n s i o n t o g e t a

2

a n d a

1

t o r s t o r d e r i n

h R

. N o w t o t h i s o r d e r

h

G M

1

R

1

h

R

1

2

G R

2

R

3

1

2 h

R

3 M

2

c o s

2

M

1

c o n s t a n t

W e c a n n o w a b s o r b i n t o t h e c o n s t a n t a l l t e r m s t h a t d e p e n d o n n e i t h e r h n o r

. D o i n g t h i s a n d w i t h s o m e r e a r r a n g i n g o f t e r m s p u t t i n g a l l m u l t i p l i e r s o f

c o s t o g e t h e r a n d a l l r e m a i n i n g m u l t i p l i e r s o f h t o g e t h e r w e g e t

h

G M

1

R

2

h

1

R

4

R

4

c o s

2

M

2

M

1

R

4

R

3

3

2

h

R

c o n s t a n t

g

h

3

2

M

2

M

1

R

R

3

R

c o s

2

c o n s t a n t

H e r e t h e a p p r o x i m a t e e q u a l i t y m e a n s w e a r e n e g l e c t i n g t e r m s t h a t a r e s m a l l e r

t h a n t h e d o m i n a n t t e r m s b y e i t h e r f a c t o r s o f R

R o r h R b o t h b e i n g

a s s u m e d s m a l l . N o t e t h a t g i s t h e a c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y a t t h e s u r f a c e o f

t h e E a r t h .

T h e s u r f a c e o f t h e o c e a n i n t h e g u r e a t t h e b e g i n n i n g o f 4 . 2 i s a n

e q u i p o t e n t i a l s o i t m u s t h a v e h c o n s t a n t i m p l y i n g

h

3

2

M

2

M

1

R

R

3

R

c o s

2

c o n s t a n t

S i n c e c o s

2

v a r i e s b e t w e e n 1 f r o n t a n d b a c k o f E a r t h a n d z e r o s i d e s o f

E a r t h t h e o t h e r f a c t o r s g i v e t h e h e i g h t o f t h e t i d e h i g h m i n u s l o w . P u t t i n g

i n M

2

M

1

1 8 1 R

6 4 0 0 k m R 3 8 0 0 0 0 k m w e g e t h 5 4 c m .

T h e S u n a l s o g e n e r a t e s a s i g n i c a n t t i d e t h a t t o l o w e s t o r d e r j u s t a d d s

w i t h t h a t o f t h e m o o n b u t w i t h a d i e r e n t o r i g i n f o r t h e d i r e c t i o n p o i n t i n g

t o t h e S u n . F o r t h e S u n

h

3

2

3 3 2 0 0 0

6 4 0 0 k m

1 5 1 0

8

k m

3

6 4 0 0 k m 2 5 c m

9 5



N o t i c e t h a t w e n e v e r a s s u m e d t h a t M

1

M

2

w a s e i t h e r 1 o r 1 s o o u r

f o r m u l a s a p p l y b o t h f o r t h e S u n a n d f o r t h e M o o n . I t i s a n u m e r i c a l c o i n

c i d e n c e t h a t t h e t i d e s t h e y r a i s e a r e o f t h e s a m e o r d e r t h o u g h s o m e h a v e

s p e c u l a t e d t h a t t h e r e s u l t i n g m o r e v a r i a b l e t i d e s p r o d u c e d c o u l d h a v e b e e n

s o m e h o w n e c e s s a r y t o m i x t h e o c e a n s i n a w a y t h a t f u r t h e r e d t h e e v o l u t i o n

o f l i f e o r i t s e m e r g e n c e f r o m t h e s e a .

4 . 3 . 2 T i d a l d r a g a n d t h e l e n g t h e n i n g o f t h e d a y

R e a l t i d e s a r e n o t e x a c t l y t h e s i z e w e h a v e c a l c u l a t e d p r i m a r i l y b e c a u s e t h e

E a r t h i s r o t a t i n g . T h u s t h e c o n t i n e n t s a r e d r a g g e d t h r o u g h t h e o c e a n i c

t i d a l b u l g e s c a u s i n g w a t e r t o p i l e u p o n t h e c o n t i n e n t a l s h e l v e s o w i n t o

a n d o u t o f b a y s e t c . T h e r e c a n a l s o b e r e s o n a n c e e e c t s i n s o m e c a s e s l i k e

t h e f a m o u s B a y o f F u n d y .

T h i s k i n d o f f r i c t i o n b e t w e e n t h e r o t a t i n g E a r t h a n d t h e t i d a l b u l g e s

p r o d u c e s t w o e e c t s .

1 . T h e t i d a l b u l g e i s o n a v e r a g e d r a g g e d a h e a d o f w h e r e i t w o u l d b e i f

i t p o i n t e d a t t h e M o o n .

3 6 0 / d

a y

13 /dayϕ

2 . T h e d r a g s l o w s d o w n t h e r o t a t i o n o f t h e E a r t h .

S i n c e a n g u l a r m o m e n t u m m u s t b e c o n s e r v e d a s t h e E a r t h l o s e s a n g u l a r m o

m e n t u m i t m u s t b e g a i n e d b y t h e M o o n s o r b i t a l m o t i o n H o w d o e s t h i s

9 6



c o m e a b o u t T h e n o n s y m m e t r i c b u l g e a n g l e i n a b o v e p i c t u r e c a u s e s

a g r a v i t a t i o n a l t o r q u e b a c k o n t h e M o o n w h i c h t r a n s f e r s e x a c t l y t h e r i g h t

a m o u n t o f a n g u l a r m o m e n t u m . T h i s m u s t w o r k o u t e x a c t l y b e c a u s e a n g u

l a r m o m e n t u m i s t r u l y c o n s e r v e d N o t e t h a t e n e r g y i s n o t h e r e c o n s e r v e d

b e c a u s e f r i c t i o n i s p r e s e n t b e t w e e n t h e o c e a n a n d t h e r o t a t i n g E a r t h .

I n c r e a s i n g t h e M o o n s o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m c a u s e s i t s o r b i t t o g r a d

u a l l y m o v e o u t w a r d a n d t h e l e n g t h o f t h e m o n t h g e t s l o n g e r . I n f a c t w e k n o w

f r o m g r o w t h s c a l e s i n f o s s i l c o r a l s i n w h i c h a n n u a l a n d m o n t h l y p a t t e r n s c a n

b e d i s c e r n e d t h a t t h e d a y a n d m o n t h w e r e b o t h o n c e s u b s t a n t i a l l y s h o r t e r

t h a n n o w E a r t h h a s s l o w e d d o w n a n d M o o n h a s m o v e d f a r t h e r a w a y a s w e

p r e d i c t .

W h e r e w i l l t h i s p r o c e s s e n d A s t h e E a r t h s r o t a t i o n s l o w s d o w n t h e

E a r t h w i l l u l t i m a t e l y c o m e t o r o t a t e o n c e p e r m o n t h t h e t h e n l e n g t h o f t h e

m o n t h a n d k e e p o n e f a c e a l w a y s t o w a r d s t h e M o o n . I n t h i s s t a t e c a l l e d

t i d a l l y l o c k e d t h e r e i s n o d r a g o n t h e t i d a l b u l g e i t w i l l p o i n t e x a c t l y a t

t h e M o o n a s E a r t h a n d M o o n r o t a t e . I n f a c t t h i s c o r o t a t i o n t h e c u r r e n t

s t a t e t h e M o o n i s i n w i t h r e s p e c t t o t h e E a r t h .

W h a t w i l l t h e u l t i m a t e l e n g t h o f t h e d a y a n d m o n t h b e L e t

1

2 1 d a y

2

2 1 m o n t h

f

2 u l t i m a t e d a y a n d m o n t h . T h e n

c o n s e r v a t i o n o f a n g u l a r m o m e n t u m g i v e s 1 E a r t h 2 M o o n

a n g u l a r m o m e n t u m n o w a n g u l a r m o m e n t u m t h e n

I

1

1

I

2

2

M

1

M

2

M

2

R

2

I

1

f

I

2

f

M

1

M

2

M

f

R

2

f

w h i l e K e p l e r s l a w g i v e s t h e f u t u r e r a d i u s R

0

o f t h e M o o n s o r b i t

R

f

R

2

f

2 3

9 7



t o g o o d a p p r o x i m a t i o n s i n c e M

1

8 1 3 M

2

w e h a v e M

1

M

2

M M

2

. A l s o

w e c a n n e g l e c t t h e s p i n a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e M o o n n o w t h e E a r t h s

a l o n e b e i n g s o m u c h l a r g e r a n d w e c a n n e g l e c t b o t h s p i n s i n t h e n a l s t a t e .

I f y o u d o u b t t h e s e a p p r o x i m a t i o n s y o u c a n s u b s t i t u t e b a c k t h e a n s w e r w e

w i l l g e t a n d c h e c k r e t r o a c t i v e l y t h a t t h e y a r e j u s t i e d . A l s o w e w i l l u s e t h e

m o m e n t o f i n e r t i a o f a u n i f o r m s p h e r e e v e n t h o u g h t h i s i s n o t q u i t e a t r u e

a s s u m p t i o n

I

1

2

5

M

1

R

2

1

T h e n w e h a v e

2

5

M

1

R

2

1

1

M

2

2

R

2

M

2

f

R

2

f

M

2

2

R

2

2

f

1 3

y i e l d i n g

2

f

2

5

M

1

R

2

1

1

M

2

2

R

2

M

2

2

R

2

3

1

2

5

M

1

M

2

R

1

R

2

1

2

3

1

2

5

8 1 3

6 4 0 0

3 8 0 0 0 0

2

2 8

3

1 9 9

S o t h e n a l l e n g t h o f d a y a n d m o n t h w i l l b e 2 8 1 9 9 5 4 d a y s a n d t h e

n a l m o o n s o r b i t a l r a d i u s w i l l b e i t s c u r r e n t v a l u e t i m e s 1 9 9

2 3

o r a b o u t

5 9 0 0 0 0 k m . T h e c u r r e n t r a t e o f l e n g t h e n i n g o f t h e d a y i s a b o u t 2 0 p e r 1 0

9

y e a r s s o i t w i l l t a k e 1 0

1 0

y r f o r t h e p r o c e s s t o g o t o c o m p l e t i o n . B y

t h e n t h e S u n w i l l h a v e s w o l l e n t o a g i a n t a n d i n c i n e r a t e d E a r t h a n d M o o n

a n y w a y .

I n c i d e n t l y a l t h o u g h o u r s p e c i c e x a m p l e h a s b e e n t h e E a r t h M o o n s y s

t e m e x a c t l y t h e s e e e c t s o c c u r i n c l o s e b i n a r y s t a r s T i d a l d r a g c a u s e s t h e m

t o c o m e i n t o c o r o t a t i o n t i d a l l y l o c k e d t o e a c h o t h e r .

9 8



4 . 3 . 3 R o c h e s t a b i l i t y l i m i t f o r s a t e l l i t e s

L e t u s n o w a p p l y t h e p r e v i o u s r e s u l t f o r t h e t i d a l p o t e n t i a l s l i g h t c h a n g e i n

n o t i o n

r

G M

1

r

1

2

G r

3

R

3

3 M

2

c o s

2

M

1

c o n s t a n t

t o t h e c a s e w h e r e M

1

i s a s m a l l s a t e l l i t e o r b i t i n g c l o s e t o a l a r g e p a r e n t s t a r

o r p l a n e t M

2

s o M

1

M

2

R

A B r

z M 1

M 2

axis

Satellite:

I t t u r n s o u t t h a t i f R i s t o o s m a l l t h e s a t e l l i t e i s t o r n a p a r t b y t i d a l f o r c e s .

T o s e e t h i s l e t s c a l c u l a t e t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n a t p o i n t s A a n d B

i n t h e g u r e . B y s y m m e t r y i t m u s t b e a l o n g t h e z a x i s s o

g

z

r

z

d

d z

G M

z

1

2

G z

2

R

3

3 M

2

G M

1

z

3

z z

3 G M

2

R

3

G z

M

1

z

3

3 M

2

R

3

T h i s i s a r e s t o r i n g f o r c e o n l y i f t h e c o e c i e n t o f z i s n e g a t i v e . O t h e r w i s e t h e

f o r c e i s a w a y f r o m t h e c e n t e r o f t h e s a t e l l i t e a n d t h e s a t e l l i t e i s t o r n a p a r t

s t a r t i n g a t i t s s u r f a c e . P u t t i n g z r a n d c o n s i d e r i n g a s a t e l l i t e o f m e a n

d e n s i t y s o

M

1

4

3

r

3

9 9



w e g e t t h e c o n d i t i o n f o r R o c h e s t a b i l i t y

9

4

M

2

R

3

E q u i v a l e n t l y n o s a t e l l i t e o f d e n s i t y c a n b e s t a b l e i n s i d e t h e R o c h e r a d i u s

R

c r i t

9 M

2

4

1 3

I f t h e p a r e n t b o d y e . g . a p l a n e t h a s t h e s a m e d e n s i t y a s t h e s a t e l l i t e t h e n

M

2

4 R

3

2

3 a n d w e g e t

R

c r i t

3

1 3

R

2

1 4 4 R

2

T h i s i s a p p r o x i m a t e l y w h a t i s g o i n g o n w i t h t h e r i n g s o f S a t u r n a n d l e s s e r

r i n g s o f t h e o t h e r o u t e r p l a n e t s . M a t e r i a l i n s i d e t h e R o c h e l i m i t c a n n o t f o r m

i n t o m o o n s b e c a u s e o f t i d a l f o r c e s f r o m t h e p a r e n t b o d y . A p p r o x i m a t e l y

b e c a u s e o u r a s s u m p t i o n o f a s p h e r i c a l r a t h e r t h a n d e f o r m e d s a t e l l i t e g i v e s

n o t q u i t e t h e r i g h t n u m e r i c a l c o e c i e n t .

4 . 3 . 4 R o c h e L o b e o v e r o w

L e t u s g o b a c k S e c t i o n 4 . 3 t o t h e b a s i c f o r m u l a f o r t h e t i d a l p o t e n t i a l o f

t w o m a s s e s i n t h e r o t a t i n g C o M f r a m e

r

G M

1

r r

1

G M

2

r r

2

1

2

2

r

2

w i t h K e p l e r

2

G M

1

M

2

r

1

r

2

3

1 0 0



A m o r e c a r e f u l l y d r a w n v e r s i o n o f t h e p o t e n t i a l s u r f a c e p l o t i n 4 . 3 i s t h e

f o l l o w i n g c o n t o u r p l o t

T h e e q u i p o t e n t i a l s c o n s t . f o r t h e N e w t o n i a n p l u s c e n t r i f u g a l p o t e n t i a l i n t h e o r b i t a l p l a n e o f a b i n a r y

s t a r s y s t e m w i t h a c i r c u l a r o r b i t . F o r t h e c a s e s h o w n h e r e t h e s t a r s h a v e a m a s s r a t i o M

1

M

2

1 0 1 .

T h e e q u i p o t e n t i a l s a r e l a b e l l e d b y t h e i r v a l u e s o f m e a s u r e d i n u n i t s o f G M

1

M

2

R w h e r e R i s t h e

s e p a r a t i o n o f t h e c e n t e r s o f m a s s o f t h e t w o s t a r s . T h e i n n e r m o s t e q u i p o t e n t i a l s h o w n i s t h e R o c h e l o b e

o f e a c h s t a r . I n s i d e e a c h R o c h e l o b e b u t o u t s i d e t h e s t e l l a r s u r f a c e t h e p o t e n t i a l i s d o m i n a t e d b y t h e

C o u l o m b 1 r e l d o f t h e s t a r s o t h e e q u i p o t e n t i a l s a r e n e a r l y s p h e r e s . T h e p o t e n t i a l h a s l o c a l

s t a t i o n a r y p o i n t s r 0 c a l l e d L a g r a n g e p o i n t s a t t h e l o c a t i o n s m a r k e d L

J

T h e p i c t u r e i s d r a w n f o r t h e p a r t i c u l a r c a s e M

2

M

1

0 1 b u t w o u l d b e

q u a l i t a t i v e l y s i m i l a r f o r o t h e r m a s s r a t i o s .

F o c u s a t t e n t i o n o n t h e c o n t o u r m a r k e d R o c h e l o b e t h a t d e n e s t h e

s a d d l e p o i n t b e t w e e n t h e t w o p o t e n t i a l m i n i m a . L o o k b a c k a t t h e s u r f a c e

p l o t i n 4 . 3 i f y o u n e e d t o v i s u a l i z e t h e s a d d l e p o i n t . I n a b i n a r y s t a r

s y s t e m e a c h R o c h e l o b e i s t h e m a x i m u m s i z e t h a t i t s r e s p e c t i v e s t a r c a n b e .

I f d u e t o s t e l l a r e v o l u t i o n a r y e e c t s o n e s t a r t r i e s t o s w e l l u p t o l a r g e r t h a n

t h e R o c h e l o b e i t s i m p l y d u m p s m a s s t h r o u g h t h e l i p o f t h e p i t c h e r a c r o s s

t h e s a d d l e p o i n t o n t o t h e o t h e r s t a r . T h i s i s c a l l e d R o c h e l o b e o v e r o w

1 0 1



a n d c a n p r o f o u n d l y a e c t t h e e v o l u t i o n o f t h e b i n a r y s t a r s y s t e m .

F o r e x a m p l e c o n s i d e r a c a s e w h e r e M

1

i s i n i t i a l l y g r e a t e r t h a n M

2

. H i g h e r

m a s s s t a r s e v o l v e f a s t e r s o M

1

m a y r s t s w e l l u p a n d d u m p m a s s o n t o

M

2

p o s s i b l y a l s o l o s i n g m a s s t o i n n i t y a s a s t e l l a r w i n d . E v e n t u a l l y M

1

b e c o m e s a w h i t e d w a r f s t a r a n d s t a r t s t o c o o l . L a t e r a s M

2

e v o l v e s n o w

f a s t e r b e c a u s e i t h a s g a i n e d m a s s i t m a y s w e l l u p a n d R o c h e o v e r o w b a c k

o n t o t h e w h i t e d w a r f a p r o c e s s t h a t c a n b e o b s e r v e d a s a n X r a y s o u r c e

t h e X r a y s b e i n g p r o d u c e d a s t h e m a t t e r c r u s h e s d o w n o n t h e w h i t e d w a r f

s u r f a c e . F i n a l l y t h e e x c e s s m a s s d r o p p e d o n t o t h e w h i t e d w a r f m a y b e t o o

m u c h f o r i t t o s u p p o r t a n d i t m a y c o l l a p s e t o a n e u t r o n s t a r i n t h e p r o c e s s

b l o w i n g o p a r t o f i t s m a s s a s a s u p e r n o v a e x p l o s i o n

N o t i c e t h a t t h e s a d d l e p o i n t m a r k e d L

2

i s a v e r y s l i g h t l y h i g h e r c o n t o u r

t h a n L

1

. T h u s a s t a r t h a t s w e l l s v e r y s l o w l y w i l l d u m p p r e f e r e n t i a l l y o n t o

i t s c o m p a n i o n b u t m o r e r a p i d s w e l l i n g c a n o v e r o w b o t h L

1

a n d L

2

s i m u l

t a n e o u s l y . M a t t e r t h a t g o e s o v e r t h e l i p L

2

i s u n g o u t t o i n n i t y i n w h a t

w o u l d l o o k l i k e a n e x p a n d i n g s p i r a l t r a i l r e m e m b e r t h e c o o r d i n a t e s y s t e m

i s r o t a t i n g . T h i s i s t h o u g h t t o b e h a p p e n i n g i n s o c a l l e d v i o l e n t m a s s

t r a n s f e r b i n a r i e s o f w h i c h e x a m p l e s a r e W S e r p e n t i s a n d L y r a e .

4 . 3 . 5 E e c t o f m a s s t r a n s f e r o n b i n a r y o r b i t s

S u p p o s e t h a t M

1

i s l l i n g i t s R o c h e l o b e a n d d u m p i n g m a s s o n t o M

2

. T h i s

p r o c e s s c o n s e r v e s m a s s a n d a n g u l a r m o m e n t u m b u t n o t e n e r g y s i n c e t h e

m a s s c r a s h i n g d o w n o n t o M

1

d i s s i p a t e s i t s e n e r g y i n t o h e a t .

S i n c e M

2

i s g a i n i n g m a s s w e h a v e

M

2

M

1

0

1 0 2



N o t e t h a t t h e t o t a l m a s s M i s c o n s t a n t .

N o w w r i t e t h e a n g u l a r m o m e n t u m f o r a c i r c u l a r o r b i t

L R

2

R

2

G M

R

3

1 2

M

1

M

2

M

1 2

R

1 2

G

1 2

M

1

M

2

R

1 2

G

1 2

M

1 2

N o w w e c o n s e r v e a n g u l a r m o m e n t u m

0

d L

d t

G

1 2

M

1 2

M

1

M

2

R

1 2

M

1

M

2

R

1 2

1

2

M

1

M

2

R R

1 2

S o l v i n g f o r

R a n d e l i m i n a t i n g

M

1

i n f a v o r o f

M

2

w e g e t

R 2 R

M

2

M

1

M

1

M

2

M

2

S o i f t h e l i g h t e r s t a r i s l o s i n g m a s s M

1

M

2

t h e n s i n c e

M

2

0 w e

g e t

R 0 a n d t h e s t a r s d r a w g r a d u a l l y a p a r t . O f t e n t h i s t u r n s o t h e m a s s

o w s i n c e i t p u t s M

1

d e e p e r i n t o i t s R o c h e l o b e . O r t h e m a s s o w p r o c e e d s

o n l y o n t h e s t e l l a r e v o l u t i o n a r y t i m e s c a l e t h a t i t t a k e s M

1

t o k e e p s w e l l i n g

t o l l t h e e v e r l a r g e r R o c h e l o b e .

T h i n g s a r e d i e r e n t i f t h e h e a v i e r s t a r i s l o s i n g m a s s M

1

M

2

T h e n

R i s n e g a t i v e . T h e m a s s o w c a u s e s t h e s t a r s t o g e t c l o s e r w h i c h t y p i c a l l y

i n c r e a s e s t h e m a s s o w a n d s o o n i n a c a t a s t r o p h i c i n s t a b i l i t y . T h i s c o u l d

t h e o r e t i c a l l y e n d w h e n t h e s t a r s r e a c h e q u a l m a s s . B u t i n p r a c t i c e t h e

m a s s o w i s o f t e n s o v i o l e n t t h a t h y d r o d y n a m i c f r i c t i o n r e s u l t s i n t h e s t a r s

m e r g i n g .

4 . 3 . 6 A c c r e t i o n d i s k s

G a s a t r e s t a t t h e l i p L

1

o f t h e R o c h e l o b e h a s a s p e c i c a n g u l a r m o m e n t u m

t h a t i s a n g u l a r m o m e n t u m p e r u n i t m a s s

L r

L 1

r

C o M

2

1 0 3



R e f e r r i n g t o t h e g u r e i n 4 . 3 . 4 y o u c a n s e e t h a t r

L 1

r

C o M

c a n b e s i g n i f

i c a n t l y l e s s t h a n r t h e 2 b o d y s e p a r a t i o n . A c o n s e q u e n c e i s t h a t g a s t h a t

o w s o v e r L

1

h a s o n l y e n o u g h a n g u l a r m o m e n t u m t o g o i n t o a c i r c u l a r o r b i t

w e l l i n s i d e t h e o t h e r R o c h e l o b e i f i t d o e s n o t i m p a c t t h e s u r f a c e o f t h e

o t h e r s t a r r s t . I f t h e o t h e r s t a r i s a w h i t e d w a r f o r n e u t r o n s t a r s o c a l l e d

c o m p a c t o b j e c t s i t i s s m a l l e n o u g h t o a l l o w t h e f o r m a t i o n o f a n a c c r e t i o n

d i s k o f g a s s e e g u r e . O n c e i n t h e a c c r e t i o n d i s k g a s s l o w l y s p i r a l s i n t o

t h e c o m p a c t o b j e c t b y t h e a c t i o n o f v i s c o u s f o r c e s i n c l u d i n g m a g n e t i c a n d

t u r b u l e n t v i s c o s i t y .

Ω

DDsk Disk

"Normal

star" L1

4 . 3 . 7 T h e L a g r a n g e p o i n t s

R e f e r r i n g a g a i n t o t h e c o n t o u r p l o t i n 4 . 3 . 4 l e t u s n o w t a k e t h e m a s s e s t o

b e s a f e l y t u c k e d f o r i n s i d e t h e i r R o c h e l o b e s a s f o r t h e E a r t h a n d M o o n

o r S u n a n d J u p i t e r . W e n o w a s k t h e q u e s t i o n A r e t h e r e a n y e q u i l i b r i u m

p o i n t s w h e r e a t h i r d o r b i t i n g t e s t b o d y c o u l d b e p l a c e d a n d w h e r e i t w o u l d

1 0 4



m a i n t a i n a c o n s t a n t p o s i t i o n i n t h e r o t a t i n g f r a m e t h a t i s c o o r b i t w i t h t h e

s a m e p e r i o d a s t h e t w o m a i n b o d i e s a t c o n s t a n t p o s i t i o n r e l a t i v e t o t h e m

T h e c o n d i t i o n f o r s u c h a n e q u i l i b r i u m i s t h a t t h e r e b e n o a c c e l e r a t i o n

a t t h e c h o s e n p o s i t i o n t h a t i s t h e g r a d i e n t o f t h e p o t e n t i a l i n c l u d i n g

c e n t r i f u g a l t e r m m u s t v a n i s h

r 0

G r a d i e n t s v a n i s h i n g e n e r a l a t e x t r e m a a n d a t s a d d l e p o i n t s . I n t h e c o n t o u r

p l o t y o u c a n s e e t h a t t h e r e a r e 3 s a d d l e p o i n t s c o l i n e a r w i t h m a s s e s M

1

a n d

M

2

. I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e r e m u s t a l w a y s b e t h e s e t h r e e f o r a n y m a s s

r a t i o a s t h e f o l l o w i n g g r a p h i l l u s t r a t e s

A B

O x

L1 L2

L 3

Negative of

centrifugal force

Gravitational

force due to M 1

Gravitational force

due to M 2

Y o u c a n s e e t h a t g r a v i t a t i o n a l f o r c e a n d n e g a t i v e c e n t r i f u g a l f o r c e m u s t

a l w a y s c r o s s a t e x a c t l y t h r e e p o i n t s w h e r e

F

g r a v

F

c e n t r i f

o r F

g r a v

F

c e n t r i f

0

T h e s e t h r e e p o i n t s L

1

L

2

L

3

a r e t h e r s t t h r e e L a g r a n g e p o i n t s w h e r e

a t e s t m a s s c a n o r b i t . H o w e v e r s i n c e t h e y a r e s a d d l e p o i n t s s e e c o n t o u r

1 0 5



p i c t u r e a l l t h r e e a r e u n s t a b l e i f t h e m a s s i s s l i g h t l y p e r t u r b e d i t f a l l s i n t o

o n e o f t h e p o t e n t i a l w e l l s o r i s u n g o t o i n n i t y .

M o r e i n t e r e s t i n g a r e t h e t w o m a x i m a o f t h e p o t e n t i a l l a b e l l e d L

4

a n d L

5

i n t h e c o n t o u r p l o t . T h e s e a r e t h e s o c a l l e d s t a b l e L a g r a n g e p o i n t s . L o o k i n g

a t t h e c o n t o u r p l o t o r t h e s u r f a c e p l o t a t t h e b e g i n n i n g o f 4 . 3 y o u c a n s e e

t h a t t h e s e m a x i m a o c c u r a l o n g t h e r i d g e l i n e o f a l o n g b a n a n a s h a p e d r i d g e

b e t w e e n t h e p o t e n t i a l w e l l o f t h e c o m b i n e d m a s s e s a n d t h e c e n t r i f u g a l f o r c e

p o t e n t i a l t h a t d e c r e a s e s t o w a r d i n n i t y .

I f a t e s t m a s s i s p l a c e d a t L

4

o r L

5

i t w i l l s t a y t h e r e . I f i t i s p e r t u r b e d

s l i g h t l y i t w i l l e x e c u t e i n t h e r o t a t i n g f r a m e a s t a b l e t h o u g h n o t n e c e s s a r i l y

c l o s e d o r b i t t h a t g o e s a r o u n d L

4

o r L

5

Y o u m i g h t w o n d e r h o w s u c h a n o r b i t c a n b e s t a b l e i f i t i s g o i n g a r o u n d

a p o t e n t i a l m a x i m u m n o t m i n i m u m . T h e a n s w e r i s t h a t i n t h e r o t a t i n g

f r a m e t h e r e i s a C o r i o l i s f o r c e v s o t h a t a t e s t p a r t i c l e s e q u a t i o n o f

m o t i o n i s a c t u a l l y

d v

d t

r v

I f i n t h e c o n t o u r p i c t u r e i s o u t o f t h e p a g e M

2

a n d M

1

o r b i t i n g c o u n t e r

c l o c k w i s e t h e n a p a r t i c l e p u s h e d o u t w a r d f r o m L

4

o r L

5

e x p e r i e n c e s a

c l o c k w i s e f o r c e a n d g o e s i n t o a s m a l l s t a b l e c l o c k w i s e o r b i t a r o u n d L

4

o r

L

5

r e s p e c t i v e l y .

T h e b e s t r e a l l i f e e x a m p l e o f o b j e c t s o r b i t i n g a s t a b l e L a g r a n g e p o i n t

a r e t h e T r o j a n a s t e r o i d s w h i c h o r b i t L

4

a n d L

5

o f t h e S u n J u p i t e r s y s t e m .

B e t w e e n 1 9 0 6 a n d 1 9 0 8 f o u r s u c h a s t e r o i d s w e r e f o u n d t h e n u m b e r h a s

n o w i n c r e a s e d t o s e v e r a l h u n d r e d s e e g u r e . T h e s e a s t e r o i d s a r e n a m e d

f o r t h e h e r o e s f r o m H o m e r s I l i a d a n d a r e c o l l e c t i v e l y c a l l e d t h e T r o j a n s .

T h o s e t h a t p r e c e d e J u p i t e r a t L

4

a r e n a m e d f o r t h e G r e e k h e r o e s p l u s t h e

1 0 6



T r o j a n s p y H e k t o r a n d t h o s e t h a t f o l l o w J u p i t e r a t L

5

a r e n a m e d f o r t h e

T r o j a n w a r r i o r s a l o n g w i t h t h e G r e e k s p y P a t r o c l u s . S o m e o f t h e T r o j a n s

m a k e c o m p l i c a t e d o r b i t s t a k i n g a s l o n g a s 1 4 0 y e a r s t o m e a n d e r a r o u n d t h e

b a n a n a o f t h e p o t e n t i a l m e a n w h i l e o f c o u r s e o r b i t i n g t h e S u n e v e r y 1 1 . 8 6

y e a r s j u s t l i k e J u p i t e r . A b e l l 7

t h

E d . 1 8 . 3

W e h a v e n o t y e t d e t e r m i n e d t h e l o c a t i o n o f L

4

a n d L

5

i n t h e g u r e . T h e

a m a z i n g f a c t i s t h a t i n d e p e n d e n t o f t h e m a s s r a t i o M

1

M

2

L

4

a n d L

5

a r e

e x a c t l y a t t h e v e r t i c e s o f e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s f o r m e d w i t h M

1

a n d M

2

. T h i s

i s s o r e m a r k a b l e t h a t w e s h o u l d a t l e a s t v e r i f y i t f o r f u n

1 0 7



mass m

F2F1

P

B

M 2

6060 R

r

ψ 1 ψ 2

CoM

A

M 1

pR p) R(1−

O

W e w a n t t o s e e t h a t F

1

F

2

e x a c t l y b a l a n c e s t h e c e n t r i f u g a l t e r m m r

2

T h e m a g n i t u d e s o f F

1

a n d F

2

a r e

F

1

G m M

1

R

2

G m 1 p M

R

2

F

2

G m M

2

R

2

G m p M

R

2

w h e r e p M

2

M

1

a n d M M

1

M

2

. S o t h e c o n d i t i o n f o r f o r c e b a l a n c e

p e r p e n d i c u l a r t o r i s

F

1

s i n

1

F

2

s i n

2

A p p l y t h e L a w o f S i n e s t o t h e t r i a n g l e A O P

s i n 6 0

r

p

3 2

r

s i n

1

p R

1 0 8



S o

s i n

1

p

3 p R 2 r

a n d l i k e w i s e u s i n g t r i a n g l e B O P

s i n

2

p

3 1 p R 2 r

U s i n g t h e p r e v i o u s f o r m u l a s f o r t h e m a g n i t u d e s F

1

a n d F

2

t h e f o r c e c h e c k

b e c o m e s

F

1

s i n

1

p

3 p R

2 r

G 1 p M

R

2

p

3 1 p R

2 r

G m p M

R

2

F

2

s i n

2

H e y i t c h e c k s S o n o w w e n e e d t o c h e c k t h e c o m p o n e n t p a r a l l e l t o r w h i c h

i n c l u d e s t h e c e n t r i f u g a l t e r m

F

1

c o s

1

F

2

c o s

2

m r

2

L a w o f c o s i n e s o n A O P

c o s

1

r

2

R

2

p

2

R

2

2 r R

L a w o f c o s i n e s o n B O P

c o s

2

r

2

R

2

1 p

2

R

2

2 r R

K e p l e r s l a w

2

G M

R

3

S o

G m 1 p M

R

2

r

2

R

2

p

2

R

2

2 r R

G m p M

R

2

r

2

R

2

1 p

2

R

2

2 r R

G M m r

R

3

1 p r

2

R

2

p

2

R

2

p r

2

R

2

1 p

2

R

2

2 r

r

r

2

R

2

1 p p

2

2 r

2

1 0 9



H m m . I s t h i s t r u e f o r a l l v a l u e s o f p Y e s I t i s t h e L a w o f C o s i n e s a p p l i e d

t o t h e t r i a n g l e B O P u s i n g c o s 6 0

1 2

r

2

R

2

1 p

2

R

2

2 1 p R

2

c o s 6 0

R

2

1 p p

2

S o t h e f o r c e b a l a n c e i s e x a c t f o r b o t h c o m p o n e n t s .

4 . 4 T h e v i r i a l t h e o r e m

M a n y b o d y t h a t i s m o r e t h a n 2 b o d y d y n a m i c s i s s o m e t h i n g t h a t c o m e s

l a t e r i n t h e c o u r s e b u t w e n e e d t o d e r i v e o n e i m p o r t a n t r e s u l t t h e v i r i a l

t h e o r e m n o w . J u s t f o r f u n h e r e i s a f a i r l y f a n c y d e r i v a t i o n t a u g h t t o m e b y

G e o r g e R y b i c k i . I f t h i s i s a b o v e y o u r l e v e l j u s t s t u d y i t i n a g e n e r a l w a y .

S u p p o s e w e h a v e N b o d i e s a l l i n t e r a c t i n g . T h e i r k i n e t i c e n e r g y i s

T

1

2

N

X

i 1

m

i

v

2

i

a n d t h e i r g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l e n e r g y i s

V

X

i 6 j

X

j

G m

i

m

j

r

i

r

j

N e w t o n s f o r c e l a w i s

m

i

v

i

r V

r r

D e n e a q u a n t i t y a b i t l i k e a m o m e n t o f i n e r t i a b u t a r o u n d a p o i n t n o t a n

a x i s

I

1

2

N

X

i 1

m

i

r

2

i

D i e r e n t i a t e w i t h r e s p e c t t o t i m e t w i c e

I

X

i

m

i

v

i

r

i

1 1 0



I

X

i

m

i

v

i

r

i

X

i

m

i

v

i

v

i

X

i

r

i

r V

r r

2 T

N o w h e r e i s t h e t r i c k y p a r t T h e v i r i a l t h e o r e m c o m e s a b o u t b e c a u s e t h e

p o t e n t i a l e n e r g y V h a s a s c a l i n g r e l a t i o n t h a t d e s c r i b e s h o w i t s n u m e r i c a l

v a l u e w o u l d c h a n g e i f a l l p o s i t i o n s r w e r e s t r e t c h e d b y s o m e f a c t o r I n

p a r t i c u l a r y o u c a n s e e r i g h t a w a y t h a t

V r

1

r

2

r

N

1

V r

1

r

2

r

N

D i e r e n t i a t i n g w i t h r e s p e c t t o a n d t h e n s e t t i n g 1 w e g e t

X

i

r

i

r V

r r

V

T h u s

I V 2 T

T h i s i s c a l l e d t h e t i m e d e p e n d e n t v i r i a l t h e o r e m . I t s a y s r o u g h l y t h a t i f

V 2 T 0 t h e m e a n s q u a r e s i z e o f t h e s y s t e m m u s t e v e n t u a l l y b e i n c r e a s i n g

w h i l e i f V 2 T 0 t h e s i z e m u s t e v e n t u a l l y b e d e c r e a s i n g . R e m e m b e r t h a t

V i s n e g a t i v e f o r t h i s t o m a k e s e n s e .

I t a l s o f o l l o w s l o g i c a l l y e n o u g h t h a t i f a g r a v i t a t i n g s y s t e m i s i n e q u i l i b

r i u m n e i t h e r i n c r e a s i n g n o r d e c r e a s i n g s t e a d i l y i n s i z e i t m u s t h a v e

h V 2 T i 0 o r 2 h T i h V i

H e r e t h e a n g l e b r a c k e t s d e n o t e t h e l o n g t i m e a v e r a g e . T o s e e t h i s f o r m a l l y

a v e r a g e t h e t i m e d e p e n d e n t t h e o r e m o v e r a l o n g t i m e T

h V 2 T i

1

T

Z

T

0

V 2 T d t

1

T

Z

T

0

I d t

1

T

I T

I 0

1 1 1



N o w i f a l l p a r t i c l e s r e m a i n b o u n d e d w i t h b o u n d e d v e l o c i t i e s f o r a l l t i m e

t h e d e n i t i o n o f a n e q u i l i b r i u m s y s t e m t h e n

I t r e m a i n s b o u n d e d s e e i t s

f o r m u l a a b o v e a n d t h e r i g h t h a n d s i d e g o e s t o z e r o a s T 1 t h u s p r o v i n g

t h e d e s i r e d t i m e a v e r a g e d v i r i a l t h e o r e m .

Introduction to Astrophysics 4

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