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Introduction à la théorie des options financières
Christophe Chorro ([email protected])
ESC REIMS
Le 16 Janvier 2008
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 1 / 98
Références principales
John HULL: Options, Futures and Other Derivatives, Sixth edition,Pearson Prentice Hall 2006
Paul WILMOTT: Paul Wilmott on Quantitative Finance, Second edition,John Wiley and Sons 2006
Les slides de ce cours et d’autres documents pédagogiques sontdisponibles à l’adresse
www.chorro.ouvaton.org
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Plan de la Présentation
Chapitre 1: GénéralitésLes marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
Chapitre 2: Les optionsVocabulaire des options simplesUn mot sur les options exotiquesExemple d’utilisation des options par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
Chapitre 3: L’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA)Prêt à la banque, vente à découvertL’AOA et le théorème fondamentalConséquence pour le prix des options vanilles
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Plan de la Présentation
Chapitre 4: Stratégies complexes faisant intervenir les options
Chapitre 5: Modèles d’évaluation des optionsModèles en temps discret (Binomial)Modèles en temps continu (Black, Scholes et Merton)
Chapitre 6: Applications
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Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
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Les marchés financiers
Au commencement de l’économie libérale: La loi de l’offre et de lademande
“Comment concilier de manière pacifique les intérets apparammentcontradictoires entre offreurs et demandeurs de manière à optimiser lavente et l’achat des quantités disponibles”
fondée sur deux hypothèses
Homo oeconomicus (agent rationel parfaitement informé)
Concurrence parfaite
Théoriciens: Adam Smith (main invisible), Ricardo (modélisation),Walras (concurrence parfaite)
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Les marchés financiers
Un exemple historique: En 1848 à Chicago création d’un marché au grainpour confronter offre et demande.
De nos jours les marchés classiques d’actions (part du capital d’uneentreprise), de change, de taux d’intérêt ou de matières premièresreprennent ce fonctionnement originel.
Exemples européensForex (change) : www.forex.comEuronext (actions): www.euronext.com
Autres exemplesNew York Stock Exchange (actions) : www.nyse.comNASDAQ (actions) :www.nasdaq.com
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Les marchés financiers
Depuis 30 ans les volumes échangés sur les marchés financiers ontfortement progressé
0
50,000
100,000
150,000
200,000
250,000
300,000
350,000
400,000
1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
Pri
ncip
al A
mo
un
t U
SD
Billio
ns
Markets OTC
Volume de transaction sur les marchés financiers
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Les marchés financiers
Cet envol autour des années 80 peut s’expliquer par
La fin des accords de Bretton Woods, taux de change flottants en 1973
Le financement du déficit budgetaire américain
Le choix de la retraite par capitalisation aux USA
Plus recemment leur dévellopement est amplifié par
Le financement des déficits budgetaires européens et japonais
Le besoin d’épargne retraite dû aux Baby Boomer
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Les marchés financiers
Un exemple: Le problème du taux de change flottant
Taux de change euro/dollar
Question: Comment une entreprise (par exemple EADS) peut se prémunircontre ces fluctuations difficilement prévisibles? ⇒ Les produits dérivés...
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Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
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Les produits dérivés
DéfinitionUn produit dérivé est un actif financier dépendant d’autres variables plusfondamentales (appelées sous jacent) comme une action, un taux de changeou une matière première.
Exemple 1: Les contrats forward
Exemple 2: Les options
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Les produits dérivés
DéfinitionUn contrat forward est un engagement ferme (une obligation) à acheter ouvendre un actif à une date future donnée et à un prix convenu.
DéfinitionUne option donne le droit (et non l’obligation) d’acheter ou de vendre un actifà une date future donnée et à un prix convenu.
Remarque: Contrairement aux contrats forward, une option a un prix.
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Les produits dérivés
Les produits dérivés s’achétent et se vendent sur deux types de marchés
Les marchés organisés: Contrats standardisés, procédures de contrôlestricts, garanties....
- Chicago Board of options exchange (1973) qui porte sur ' 1200 sousjacents
- MONEP (1987) qui porte sur ' 100 sous jacents
Les marchés OTC: Produits sur mesure (mais risque de défaut...)
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3,024
634
61
104
24,604
18,165
46,592
25,549
1,439
4,385
187,340
29,575
248,288
Dec. 2004
4,542
803
66
108
31,588
20,709
57,816
29,308
3,608
5,057
215,237
31,609
284,819
Dec. 2005
2,197- Equity Index Options
502- Equity Index Futures
38- Currency Options
80- Currency Futures
20,793- IR Options
13,123- IR Futures
36,739Organized Exchanges
25,510-Other
1,040- Commodity contracts
3,787- Equity-linked contracts
141,991- Interest rate contracts
24,484- Foreign exchanges contracts
197,177OTC Derivatives
Dec. 2003Notional amount billions US$
Comparaison des marchés
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Les produits dérivés
Les marchés dérivés ne sont plus véritablement des lieux physiques(transactions téléphoniques ou informatiques)
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Les produits dérivés
Un exemple historique instructif: Le marché de la tulipe en Hollande au17ème siècle
Premier exemple de Krash spéculatif (Tulipomania) dû à une sousévaluation du prix de certains produits dérivés.
Moral de l’histoire: Nécessité de proposer un “juste” prix pour les produitsdérivés!!!
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Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
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Les intervenants
Les intervenants directs du marché sont de trois types:
Les hedgers: Utilisent les produits pour réduire l’exposition à un risquedonné (risque de change, risque climatique, etc...).
Approche prudente, historique.
Les spéculateurs: Font des paris souvent risqués sur l’évolution du coursd’un sous jacent.
Approche risqué et parfois controversée.
Rôle indirect: Assurer le liquidité des marchés
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Les intervenants
Les arbitragistes: Détectent et profitent des incohérences du marché(arbitrages) qui sont des mises en défaut de la main invisible.
Approche opportuniste.
Un exemple pédagogique d’arbitrage: un produit est coté à deux prixdifférents sur deux marchés différents.
Rôle fondamental: Leur existence assure que les opportunités d’arbitrage(O.A) sont rares et surtout éphémeres car ils rétablissent par leur action laloi de l’offre et de la demande.
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Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 21 / 98
Vocabulaire
On parle ici d’options simples (ou vanilles) sur actions, qui ne distribuent pasde dividendes et cotés sur des marchés organisés.
DéfinitionUne option vanille donne le droit (et non l’obligation) d’acheter ou de vendreune ou plusieurs actions à une date future donnée et à un prix convenu.
Pour une option d’achat on parle de call, position longue
Pour une option de vente on parle de put, position courte
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 22 / 98
Vocabulaire
Caractéristiques d’une option d’achat
Date d’échéance du contrat T
Actif sous jacent dont le cours est noté (St)t∈[0,T ]
Prix d’exercice (strike) K auquel on peut acheter une unité (en généralplusieurs) de sous jacent.
Une option est dite européenne lorsque le contrat ne peut être exécutéqu’à T .
Une option est dite américaine lorsque le contrat peut être exécuté àtoute date entre 0 et T .
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 23 / 98
Vocabulaire
Une option d’achat est dite
dans la monnaie si ST > K
à la monnaie si ST = K
en dehors de la monnaie si ST < K
Explication
Si ST > K , le detenteur de l’option a intérêt à l’exercer, en effet, il peutacheter une action au prix K et la revendre immédiatement. Le bénéfice estST − K .
Si ST = K , on fait ce que l’on veut. Le bénéfice est 0.
Si ST < K , le détenteur de l’option a intérêt à ne pas l’exercer. Le bénéficeest 0.
Au final, le flux de trésorerie en T (appelé le payoff) est
Max(ST − K , 0) =Not
(ST − K )+.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 24 / 98
Vocabulaire
Profit
ST
- C0
PROFIT LIE A l'ACHAT D'UN CALL EU À T
Perte limitée à la prime
Gains potentiellement illimités
ZONE D'EXERCICE
K
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 25 / 98
Vocabulaire
ProfitPerte Potentielle
Gain Potentiel
Anticipation des cours
Stratégie
LimitéeIllimité (mais le prix ne monte
pas à l’infini)
HAUSSEACHAT de
CALL
LimitéeLimité BAISSEACHAT de PUT
Illimitée (mais le prix ne monte
pas à l’infini)
LimitéSTABILITE ou LEGERE
BAISSE
VENTE de
CALL
LimitéLimitéSTABILITE ou LEGERE
HAUSSE
VENTE de PUT
En résumé pour les options européennes vanilles
Source: Rémi Bachelet
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 26 / 98
VocabulaireModèle de contrat européen EURONEXT (http://www.euronext.com)
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VocabulaireModèle de contrat américain EURONEXT (http://www.euronext.com)
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VocabulaireExemple de cotation sur le NYSE (source http://finance.yahoo.com/)
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Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
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Les options exotiques
Sur les marchés OTC des options moins classiques peuvent s’échanger:
Les options asiatiques (dépendant de la moyenne des cours). Ex
( 1N
N∑k=1
S TkN− K )+.
Les options lookback (dépendant du max des cours). Ex (Maxk
Sk − K )+.
Les options barrière (qui se désactivent si on franchit un seuil).
Les options d’échange.
En finance, il n’y a aucune limite de créativité à partir du moment où unvendeur et un acheteur se rencontrent sur un marché OTC.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 31 / 98
Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 32 / 98
Exemple d’utilisation
Pour un Hedger: Un investisseur détient 1000 titres Lafarge cotés 73euros / titre. Il craint qu’un ralentissement économique pénalise le coursà T .
Sur le marché est disponible un put EU d’échéance T et de strike 65euros au prix de 2, 5 euros.
Il achète 1000 put.
Si ST > K , pas d’exercice. Le profit est 1000ST − 2500 ≥ 62500.
Si ST < K , il exerce. Le profit est 65000− 2500 = 62500.
Dans ce cas le put est une assurance.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 33 / 98
Exemple d’utilisation
Pour un spéculateur: Un titre FT vaut actuellement 20 euros. Unspéculateur pense que le cours de cette action va augmenter dans lesdeux prochains mois.
Sur le marché est disponible un call EU d’échéance 2 mois, de strike 25euros au prix de 1 euros.
Il dispose de 4000 euros. Deux stratégies sont possibles:
Acheter 200 actions (S1)
Acheter 4000 options (S2)
Si le cours passe à 15 euros,
S1 rapporte −1000 euros et S2 rapporte −4000 euros.
Si le cours passe à 35 euros,
S1 rapporte 3000 euros et S2 rapporte 36000 euros.
Ce phénomène est appelé effet levier.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 34 / 98
Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 35 / 98
Les mathématiques
Appréhender le hasard ⇒ Théorie des probabilités (processus stochastiques,statistique)
Travaux pionniers (et ignorés!) de Louis Bachelier (Théorie de laspéculation 1900).
La modélisation mathématique s’articule toujours de la manière suivante:
Etape 1: Modélisation du sous-jacent en respectant les deux préceptesantagonistes:
Raffinement du modèle pour coller au mieux à la réalité (complexe!)
Simplicité pour pouvoir exploiter le modèle
Etape 2: Proposer un prix pour les actifs et utiliser le marché pourgénérer de la valeur.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 36 / 98
Les mathématiques
Actuellement deux modèles (et leurs nombreuses extensions) tiennent le hautdu pavé:
Modèle de Black-Merton et Scholes datant de 1973 (Prix Nobeld’économie en 1997).
Modèle en temps continu qui a immédiatement révolutionné la pratiquefinancière:
“Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ilsl’utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralementproches de ceux donnés par la formule, même lorsqu’il devrait exister unécart important... (F. Black)”
Modèle de Cox Ross Rubinstein datant de 1979.
Modèle en temps discret qui est une approximation simple du précédent.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 37 / 98
Les mathématiques
Malgré leur technicité, les modèles mathématiques d’évalution ne sont qu’uneaide à la prise de décision (Les probabilités ne sont pas une nouvelle maininvisible!).
Une anecdote à mediter: Le hedge fund “Long Term CapitalManagement” fondé en 1994 (notamment par Scholes et Merton) fitquasi-faillite en 1998 (4,2 milliards de dollars de perte) entraînant desperturbations très importantes sur les marchés financiers...
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 38 / 98
Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
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Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 39 / 98
Prêt et vente à découvert
Comment intervenir sur les marchés sans apports de fonds?
Emprunt à la banque à un taux annuel r supposé constant sur [0, T ] (Ten années).
Il faut préciser la convention utilisée pour le taux d’intéret.
Si la composition est annuelle: 100 euros à t = 0 deviennent 100(1 + r)T àT .
Si la composition est semestrielle: 100 euros à t = 0 deviennent100(1 + r
2 )2T à T .
Si la composition est journalière: 100 euros à t = 0 deviennent100(1 + r
365 )365T à T .
Si la composition est en temps continu: 100 euros à t = 0 deviennent100erT à T .
On se placera désormais sous cette dernière convention.
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Prêt et vente à découvert
Vente à découvert d’actifs risqués: Il s’agit d’un mécanisme entre 3parties permettant de vendre des actifs que l’on ne possède pas:
Un investisseur C1 passe auprès de son broker (opérateur de marché) unordre de vente à découvert de n titres.
Le Broker trouve un autre client C2 qui accepte de lui préter les titres. LeBroker les vend et remet l’argent à C1.
A un moment donné C1 va clore sa position en achetant n titres qui serontremis à C2 via le Broker.
Intéret: C1 peut profiter d’une baisse des cours.
Règles: C2 et le Broker sont rémunérés, C2 empoche les dividendeséventuels, C2 peut clore le deal à tout instant.
Même si cette procédure est très controlée (parfois interdite), noussupposerons qu’elle est toujours possible.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 41 / 98
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3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
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Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 42 / 98
A.O.A
HYP: On suppose dorénavant (sauf mention contraire) qu’il n’y a pas de coûtsde transactions.
DéfinitionOn dit qu’il existe une opportunité d’arbitrage (O.A) lorsqu’il est possible deréaliser un profit sans risque et sans apports de fonds par une combinaisonde plusieurs transactions
Ex: 1 produit coté à 2 prix différents sur deux marchés.
HYP: L’existence des arbitragistes fait que nous supposerons toujoursA.O.A.
Conséquence: On peut mettre en place des raisonnement par A.O.A: pourmontrer qu’un actif a un certain prix, on suppose le contraire et on montrequ’alors un arbitrage est possible.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 43 / 98
A.O.A
ThéorèmeSoient A et B deux portefeuilles financiers tels que VA(T ) = (≤) VB(T ). Alors∀0 ≤ t ≤ T , VA(t) = (≤) VB(t).
Preuve: Supposons VB(t) > VA(t) (autre cas en exercice):
A la date t (et pour un coût nul)on vend à découvert Bon achète Aon place à la banque VB(t)− VA(t)
A la date T (pour un bénéfice de (VB(t)− VA(t))er(T−t) > 0)on rembourse Bon vend Aon encaisse les intérets place à la banque (VB(t)− VA(t))er(T−t) > 0
Contradiction avec A.O.A �
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 44 / 98
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3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
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Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 45 / 98
Relation de Parité Call-Put
Notations Pour 0 ≤ t ≤ T , on note
• St la valeur à t d’un certain actif risqué ne versant pas de dividendes.
• Ct la valeur à t d’un call européen sur l’actif risqué, de strike K etd’échéance T
• Pt la valeur à t d’un put européen sur l’actif risqué, de strike K etd’échéance T
Théorème∀t ∈ [0, T ],
Ct + Ke−r(T−t) = Pt + St .
Preuve: Considérer le portefeuille A : 1 Call+ Ke−rT euros et le portefeuille B:1 Put+ 1 sous jacent, puis appliquer le théorème précédent. �
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 46 / 98
Relation de Parité Call-Put
Remarques: • Cette relation est fondamentale, elle permet de déduire lavaleur du put de celle du call. Cela permet aussi de construire des optionssynthétiques.
• Lorsque le sous jacent reverse des dividendes la relation de parité call putdevient
Ct + Dert + Ke−r(T−t) = Pt + St
où D est la valeur actualisée à t = 0 des dividendes reversés.
• Cette relation n’est pas vérifiée en général pour les options américaines.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 47 / 98
Propriétés des prix d’options
Exercice: En utilisant l’A.O.A, démontrer les propositions suivantes,∀t ∈ [0, T ]:
• Ct ≤ St et Pt ≤ Ke−r(T−t).
• Ct ≥ Max(St − Ke−r(T−t), 0) et Pt ≥ Max(Ke−r(T−t) − St , 0).
• Le prix à t du call est une fonction décroissante du strike.
• Le prix à t du put est une fonction croissante du strike.
• Les prix à t du call et du put sont des fonctions convexes du strike (cfButterfly spread).
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 48 / 98
Concernant les américaines
On suppose que le sous jacent ne verse pas de dividende et que r > 0.
Théorème∀t ∈ [0, T ],
Camt = Ct .
LemmeLe prix d’un call europpéen est une fonction croissante de l’échéance.
Lemme∀t ∈ [0, T ],
St − K ≤ Camt − Pam
t ≤ St − Ke−r(T−t).
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 49 / 98
Stratégies complexes
Nous étudions dans cette partie certaines stratégies faisant intervenirplusieurs options de même type (Bull spread, Butterfly spread) ou detype différent (straddle, strangle).
Pour plus d’exemples ou de détails on pourra consulter le site de labourse de Toronto www.m-x.ca ou l’adressehttp://www.euronext.com/fic/000/010/729/107297.pdf.
On supposera ici que r = 0 pour ne pas se préoccuper des problèmesd’actualisation (représentation sur le même graphique de grandeurscorrespondant à des instants différents).
Pour étudier une stratégie on en représentera le profit associé àl’échéance en examinant certains critères parmi
le coût
les gains et les pertes (limités, illimités)
le régime d’utilisation (marché haussier, baissier, stable)
Le risque associé
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 50 / 98
Bull Spread
K1
Position longue sur le call de strike K1
-C0K1
Position courte sur le call de strike K2
C0K2
K2
K2C0K2 - C0
K1
ST
Profit
Profit d'un Bull spread
Réduire le coût d'achat du premier call
Bénéficier d'une hausse dans une certaine mesure
Si les strikes sont grands la stratégieest agressive
Pertes limitées
Utile si l'on pense que le cours vamonter mais pas trop
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 51 / 98
Butterfly Spread
K1
-C0K1
Achat Callstrike K1
K3
Achat Callstrike K3
-C0K3
Vente 2 Callsstrike K2
2C0K2
K22C0K2-C0K1-C0K3≤0
Profit
ST
Profit d'un Butterfly spread (2K 2=K 1+K 3)
Pertes limitées
Intérêt si l'on pense que le cours reste proche de K2
Si K1 et K3 sont proches lecoût est peu élevé (maisagressif)
Permet de reconstruire tousles payoffs par combinaisonlinéaire
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 52 / 98
Straddle
ST
Profit
K
Achat d'uncall
-C0
-P0
-(C0 + P0)
Achat d'un Put
Profit d'un straddle On anticipe une grosse variation des cours sansen connaître le sens
On peut rentre un straddleasymétrique en y ajoutantun call (strap) ou un put(strip)
Pertes limitées
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 53 / 98
Strangle
K1
-P0K1
K2
Achat Callstrike K2
-C0K2
Profit
ST
Profit d'un Strangle
Achat Putstrike K1
-C0K2-C0K2
-(C0K2+ P0
K1 )
Paris sur une variation descours plus forte que pour le straddle
Moins cher qu'un straddle
La vente d'un tel produitest très risqué
Souvent les strikes sont out of the money pour minimiser les coûts
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 54 / 98
Exercice
Exercice: Etudier les stratégies suivantes (portant sur des options sur lemême sous jacent et de même échéance T ):
Condor: On suppose K1 > K2 > K 3 > K 4
On achète deux put (call) de strike K1 et K4
On vend deux put (call) de strike K2 et K3
Iron Condor: On suppose K1 > K2 > K 3 > K 4
On achète un put de strike K3 et un call de strike K2
On vend un put de strike K4 et un call de strike K1
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 55 / 98
Modèles d’évaluation
Pour toute précision technique sur ce sujet on pourra par exemple consulter
http://chorro.ouvaton.org/docs/BSchoo.pdf
http://chorro.ouvaton.org/docs/CS.pdf
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 56 / 98
Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 57 / 98
Modèle binomial 1
Le Modèle Binomial 1 période.
On considère un marché à deux dates (t = 0 et t = 1) et deux états dumonde wu et wd .
A ces deux états du monde est associée une probabilité, P(wu) = p etP(Wd ) = 1− p avec 0 < p < 1.
Sur ce marché sont présents deux actifs:
Un actif sans risque dont la valeur est donnée par
S00 = 1, S0
1 = er .
Un actif risqué dont la valeur (S1t )t∈{0,1} est donnée par l’arbre suivant:
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 58 / 98
Modèle binomial 1
t = 0 t = 1
s ��
���
QQQ
S11(wu) = su
S11(wd) = sd
Dynamique de l’actif risqué
avec s > 0 et u > d .
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 59 / 98
Modèle binomial 1
Nous allons supposer que le marché est sans frictions
Il n’y a pas de coût de transactions ni de taxes (extension possible)
Il y a possibilité de vendre à découvert l’actif risqué
Les biens sont parfaitement divisibles
L’actif risqué ne verse pas de dividendes (extension possible)
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 60 / 98
Modèle binomial 1
DéfinitionUn portefeuille financier est un vecteur (Φ0,Φ1) de R2 où Φ0 (resp. Φ1)représente la quantité d’actif sans risque (resp. risqué) que l’on possède.
En notant x ∈ R le capital de départ on supposera qu’il n’y a pas d’entrée oude sortie d’argent (autofinancement) i.e:
x = Φ0 + Φ1s.
Dans ce cas la valeur à t = 1 du portefeuille est donnée par
V 1 = Φ0er + Φ1S11 = xer + Φ1
1(S11 − ser ).
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 61 / 98
Modèle binomial 1
DéfinitionDans ce cadre, un arbitrage est un portefeuille financier (Φ0,Φ1) telle que
x = 0, V1 ≥ 0 et V1 6= 0.
PropositionDans le modèle binomial,
A.O.A ⇔ d < er < u.
Nous nous placerons désormais sous la condition d’A.O.A.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 62 / 98
Modèle binomial 1
Remarques: En présence de coûts de transaction la condition d’ A.O.A estassouplie:
• En présence de coûts fixes,
A.O.A ⇔ d ≤ er ≤ u.
• En présence de coûts proportionnels λ ∈ [0, 1[,
A.O.A ⇔ d1− λ
1 + λ< er < u
1 + λ
1− λ.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 63 / 98
Modèle binomial 1
Dans le modèle binomial un produit dérivé B est un produit financier dont lavaleur à t = 1 dépend de S1
1 ,
t = 0 t = 1
? ��
���
QQQ
B(wu) = Bu
B(wd) = Bd
Dynamique d’un produit dérivé
Exemple: B = (S11 − K )+.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 64 / 98
Modèle binomial 1
Définitiona) Un produit dérivé est fabricable s’il est égal à la valeur en t = 1 d’unportefeuille autofinancé.b) La valeur à t = 0 du portefeuille précédent est apellée prix de fabrication.
PropositionDans le modèle binomial, tout produit dérivé est fabricable. De plus, le prix defabrication est unique (noté Π(B)) et vaut
Π(B) =1er [qBu + (1− q)Bd ] avec q =
er − du − d
.
La composition du portefeuille de fabrication est donnée par
Φ1 =Bu − Bd
su − sdet Φ0 = Π(B)− Φ1s.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 65 / 98
Modèle binomial 1
PropositionLe prix du produit dérivé (noté P(B)) est égal à son prix de fabrication.
Preuve: Nous allons faire un raisonnement par A.O.A. Si Π(B) > P(B) (autrecas en exercice),
A t = 0 (pour un coût nul)On vend à découvert Φ1 = Bu−Bd
su−sd actifs risqués et on emprunte Π(B)− Φ1sà la banque.On achète le produit dérivé au prix p(B).On place Π(B)− P(B) à la banque.
A t = 1 on solde les positions (pour un gain>0).
Contradiction avec A.O.A!!!!!
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 66 / 98
Modèle binomial 1
Quelques remarques
Si on définit une nouvelle probabilité Q sur les deux états du monde enposant
Q(wu) =er − du − d
et Q(wd ) =u − er
u − d,
A.O.A ⇔ Q(wu) et Q(wd) > 0P(B) = EQ[ B
er ] (le prix ne dépend pas du choix de P)Q est appelée la probabilité risque neutre car ser = EQ[S1
1 ].
La quantité d’actif risqué dans le portefeuille de couverture Bu−Bdsu−sd est une
dérivée discrète.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 67 / 98
Modèle binomial 2
Le Modèle Binomial 2 périodes (Exercice)
On considère un marché à 3 dates (t = 0, t = 12 et t = 1) avec un actif
sans rique (r = 0) et un actif risqué dont la valeur est donnée par l’arbresuivant
t = 0 t = 1/2 t = 1
100 ��
��
��
�
Q
110
90
��
��
120
100
80Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 68 / 98
Modèle binomial 2
1) Donner le prix et la composition du portefeuille de couverture d’un calleuropéen sur l’actif risqué d’échéance 1 et de strike K = 100. Quel est le prixdu put de même strike?
2) (Option Moyenne) On considère une option européenne de sous jacent
l’actif risqué. Cette option donne le droit de recevoir à t = 1 le montantS1
12+S1
1
2contre K = 100.
a) Expliquer pourquoi le prix de ce produit dérivé ne peut être représenté parun arbre recombinant.b) Calculer le prix de cette option.c) Donner la composition du portefeuille de couverture associé.
3) (Option sur Max) Reprendre la question précédente en considérant uneoption européenne donnant le droit de recevoir à t = 1 le montant Max
k∈{0, 12 ,1}
Sk
contre K = 90.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 69 / 98
Modèle binomial: Cas général
Dans ce modèle N périodes, la dynamique de l’actif sans risque estS0
0 = 1, ∀k ∈ {1, ...N}, S0kN
= ekrN et celle de l’actif risqué est donnée par
t = 0 t = 1N t = 2
N . . . . . .
. . . . . .
t = N−1N t = 1
s ���PPP
............
............
u2s
uds
d2s............
............
us
ds
............
...........
......................
PPP���
PPP���
...
PPP���
PPP���
uNs
uN−1ds
uN−2d2s......u2dN−2s
udN−1s
dNsChristophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 70 / 98
Modèle binomial: Cas général
En décomposant le problème en N(N+1)2 modèles binomiaux 1 période on
obtient pour le modèle général
Propositiona) A.O.A ⇔ d ≤ er ≤ u.
b) Tout produit dérivé est fabricable et le prix à t = kN d’un produit dérivé de la
forme B = f (S11) est donné par
P kN(B) =
1
er( N−kN )
N−k∑j=0
f(
S1kN
ujdN−k−j)
C jN−k q j(1− q)N−k−j
où q = er−du−d .
Remarque: La composition du portefeuille de couverture à chaque instant estconnue explicitement.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 71 / 98
Modèle binomial: Cas général
Avantages: Les questions du pricing et du hedging sont résolues demanière explicite à l’aide de formules simples et ce pour tous les actifscontingents.
Inconvénient: La dynamique de l’actif risqué est simpliste (donc peuréaliste).
0 1000 2000 3000 4000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
CAC de 03/90 à 06/07
Une idée: Passage à la limite (C.R.R)Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 72 / 98
Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 73 / 98
Black Scholes
Le modèle de Black Scholes (1973) est un modèle à 2 actifs où
La valeur de l’actif sans risque à l’instant 0 ≤ t ≤ T = 1 est donnée parS0
t = ert .
La valeur de l’actif risqué est obtenue en passant à la limite dans unmodèle binomial N périodes avec pour paramètre u = e
bN + σ√
N etd = e
bN−
σ√N . En particulier, on peut montrer (T.C.L) que
S1t = se(b−σ2
2 )t+σN (0,t)
b est appelé le drift (c’est la tendance)
σ est appelée la volatilité (elle mesure l’agitation du cours)
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 74 / 98
Black Scholes
On peut montrer en utilisant des outils issus du calcul stochastique(http://chorro.ouvaton.org/docs/CS.pdf ) que ce modèle vérifie l’A.O.A etque tout produit dérivé est fabricable.
De plus le prix et la composition du portefeuille de fabrication sont obtenuesen passant à la limite dans les formules associés au modèle binomial,notamment,
P kN(B) =
1
er( N−kN )
N−k∑j=0
f(
S1kN
ujdN−k−j)
C jN−k q j(1− q)N−k−j −→
N→+∞?
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 75 / 98
Dans le cas d’un call européen de strike K et de maturité T , on obtient lacélèbre Formule de Black Scholes
PropositionLe prix à t d’un call européen (de strike K et de maturité T ) est donné par
Ct = S1t N(d1(t , S1
t ))− Ke−r(T−t)N(d2(t , S1t ))
où
d1(t , x) =log( x
K ) + (r + σ2
2 )(T − t)σ√
T − tet d2(t , x) =
log( xK ) + (r − σ2
2 )(T − t)σ√
T − t
et où N est la fonction de répartion d’une N (0, 1). La composition duportefeuille de couverture associé est donnée par
Φ1t =
∂Ct
∂S1t
= N(d1(t , S1t )) > 0 et Φ0
t = −Ke−rT N(d2(t , S1t )) < 0.
Le prix ne dépend que d’un paramètre non directement observable: lavolatilité
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 76 / 98
Black Scholes
Calcul de sensibilité: les grecques
Call
∆t = ∂Ct∂S1
tN(d1) > 0
Γt = ∂2Ct∂(S1
t )21
xσ√
T−tN ′(d1) > 0
Θt = ∂Ct∂t − xσ
2√
T−tN ′(d1)− Kre−r(T−t)N(d2) < 0
ρt = ∂Ct∂r (T − t)Ke−r(T−t)N(d2) > 0
vegat = ∂Ct∂σ x
√T − tN ′(d1) > 0
La connnaissance de ces quantités est aussi fondamentale que laconnaissance du prix!!!
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 77 / 98
Black Scholes
AVANTAGES
• Formule explicite dans le cas d’un Call (ou d’un Put).
• Ne dépend qu’un d’un seul paramètre: la volatilité qui peut être estimée demanière statistique.
• Procédures numériques (Monte-Carlo, EDP) pour les autres produitsdérivés.
• Prophétie auto-réalisée?
“Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ilsl’utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement proches deceux donnés par la formule, même lorsqu’il devrait exister un écartimportant...” F. Black
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 78 / 98
Black Scholes
INCONVENIENTS
• Hypothèse de log normalité
0 1000 3000
2000
5000
CAC du 03/90 au 06/07
0 1000 3000
1500
3000
Historique B&S
0 1000 3000
−6
−2
2
Retours norm CAC
0 1000 3000
−4
04
Retours norm B&S
Figure: SLLN is not fulfilled when X1 ↪→ C(1) (here n = 10000)
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 79 / 98
Black Scholes
INCONVENIENTS
• Volatilité constante: Le problème du smile
400 600 800 1000 1200 1400 16000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
vol implicite du call (sur une action du S&P 500) en fonction du strike
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 80 / 98
Plan1 Généralités
Les marchés financiersLes produits dérivésLes intervenants
2 Les optionsVocabulaireLes options exotiquesExemple d’utilisation par les intervenantsLe rôle fondamental des mathématiques
3 L’AOAPrêt à la banque et vente à découvertAOAConséquences
4 Stratégies complexes faisant intervenir les options5 Modèles d’évaluation
Modèle binomialBlack et Scholes
6 ApplicationsApplications
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 81 / 98
Applications
Nous nous intéressons à l’évaluation d’un projet d’investissement à l’aidede la théorie des options.
L’exemple pédagogique suivant est issu du livre de Amram et Kulatilaka,Chap 10: Valuing a Start-up.
On considère une start up qui souhaite lancer un produit de hautetechnologie, son business plan est le suivant:
4 millions pour le développement (0.5/trimestre pendant 2 ans)12 millions pour sa commercialisation dans 2 ansVente espérée 6 millions par an correspondant à une valeur espérée del’entreprise de 22 millions (basée sur le ratio valeur de marché/ventes de3.66)
Question: Doit on investir dans ce projet?
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 82 / 98
Applications
0 1 2
+22
-12
-0,5
Cash flow associés au projet
Rappel: En notant Fp les fonds propres, D la dette, kp le taux exigé par lesactionnaires, kD le taux exigé par les créanciers et i le taux d’imposition, lecoût moyen pondéré du capital est
R = (Fp
Fp + Fe)kp + (
Fe
Fp + Fe)kD(1− i).
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 83 / 98
Applications
La valeur actualisée de la valeur espérée de l’entreprise (R = 23, 4%) est14, 46.
La valeur actualisée des investissements (au taux annuel sans risquer = 5% ) est −14, 69.
La VAN est donc de −0, 23.
Question: Doit on abandonner ou reporter ce projet? En effet,
Il pourra être plus dur de pénétrer le marché plus tard une fois laconcurrence établie.
Participer à ce projet peut permettre à terme de s’engager sur desprojets plus lucratifs.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 84 / 98
Applications
Le raisonnement précédent omet un point important:
Une fois le produit développé, rien ne nous oblige à le lancer si le marché aévolué.
Financer le développement nous donne le droit (et non l’obligation) de lancerle produit dans deux ans.
Le calcul de la VAN omet cette flexibilité.
Question: Comment chiffrer cette flexibilité?
Une idée: Utiliser la théorie des options financières.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 85 / 98
ApplicationsLe droit de lancer le produit peut être vu comme un Call européen.
Call européen Option de lancement
Prix du sous jacent Valeur actualisée de l'entreprise
Strike Coût de lancement
Date d'exercice Date de lancement
Taux sans risque Taux sans risque
Volatilité du sous jacent Volatilité de la valeur actualisée de l'entreprise
Cette approche s’appelle la théorie des options réelles.Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 86 / 98
Applications
Pour l’évaluation on utilise la formule de Black-Scholes.
S0N(d1(0, S0))− Ke−rT N(d2(0, S0))
où
d1(t , x) =log( x
K ) + (r + σ2
2 )(T − t)σ√
T − tet d2(t , x) =
log( xK ) + (r − σ2
2 )(T − t)σ√
T − t
et où N est la fonction de répartition d’une N (0, 1).
En prenant pour paramètres: S0 = 14.46, K = 12, T = 2, r = 5% et σ = 40%on obtient que l’option réelle vaut 4.6 millions d’euros.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 87 / 98
Applications
Au final, en utilisant l’évaluation par option réelle,
La valeur actualisée du coût de développement (au taux annuel sansrisque r = 5% ) est −3, 86.
La valeur de l’option est 4, 6.
Le projet peut être accepté.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 88 / 98
Applications
Les avantages de la méthode
Prise en compte de la flexibilité.
Généralisation possible via les options américaines.
Les inconvénients de la méthodeL’actif n’étant pas coté sur un marché, difficulté pour caler les paramètres.
La valeur espérée de la firme peut évoluer de manière discontinue(changement technologique brutal).
Incertitude sur la durée d’exclusivité du projet.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 89 / 98
Applications
How freqently does your firm use the follow ing techniques w hen deciding w hich project or acquisition to pursue?
Source: G raham H arvey J FE 2001 n =392
0.00% 10.0 0% 20.00% 30.0 0% 40.00% 50.0 0% 60.0 0% 70.0 0% 80.0 0%
APV
Profita bility index
Sim ulation a nalysis
Book rate of retu rn
Real o ptions
Discounte d p ayback
P/E m ultiple
Sensitiv ity a nalysis
Payback
Hurdle rate
NPV
IRR
Eval
uatio
n te
chni
que
% alw ays o r alm ost alw ays
NPV
Real options
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 90 / 98
Application 2
Proposer une lecture de l’entreprise à la lecture de la théorie des options.
Analyser les décisions financières (accroître l’endettement, investir,renégocier la dette) de l’entreprise à travers le rapport entre actionnaireset créanciers.
On se place dans le cadre de la société anonyme où la responsabilité desactionnaires est limitée à leur apport initial.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 91 / 98
Application 2
On considère une société par actions dont la valeur économique V serépartit classiquement entre la dette D (supposée remboursable àl’échéance en une seule fois) et les fonds propres Fp:
V = Fp + D.
Suivant la valeur de V à l’echéance deux cas peuvent se présenter
V > D : la dette est remboursée et les actionnaires empochent le résidu
V < D : Les actionnaires invoquent la clause de risque limité, perdent leursapports et abandonnent l’actif économique aux créanciers.
Analogie avec les options d’achat
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 92 / 98
Application 2
En effet, endetter une entreprise revient pour les actionnaires à céderl’actif aux créanciers mais en gardant une option d’achat decaractéristiques:
Sous jacent: actif économique
Strike: montant de la dette à rembourser
Echéance: échéance de la dette
La valeur de cette option est bien entendu égale à Fp.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 93 / 98
Application 2
A leurs corps défendants les créanciers se retrouvent vendeur d’uneoption de vente de caractéristiques:
Sous jacent: actif économique
Strike: montant de la dette à rembourser
Echéance: échéance de la dette
La vente de cette option de vente est la prime de risque qui existe entre leprêt risqué et le prêt au taux sans risque.
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 94 / 98
Application 2
Au final
Valeur de l’actif économique = Fonds propres + Dette
Fonds propres = Valeur de l’option d’achat
Dette = Valeur de la dette au taux sans risque - Valeur de l’option devente
On retrouve la parité Call-Put...
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 95 / 98
Application 2On peut par exemple utiliser cette analogie pour analyser une décisiond’accroître la dette
On considère une entreprise HOLDING SA détenant 100 actions de lasocièté FILE SA (cotées 2230 euros par titre) et dont le passif estconstitué de
100 actions ordinaires
300 obligations (supposées remboursables à l’échéance en une seule fois)dont la valeur individuelle de remboursement est de 1000 euros dans 3 ans.
On suppose que les call sur FILE SA s’échangent sur un marchéorganisé aux prix suivant:
Strike (en euros) Valeur de l’option d’échéance 3 ans (en euros)
2600 130
2800 80
3000 45
3200 32Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 96 / 98
Application 2
La valeur de l’actif économique est
V= nbre d’actions FILE SA * cours= 223000 euros.
Pour les Fonds propres on utilise l’analogie “Fonds propres = Valeur del’option d’achat”
Chaque action HOLDING SA est assimilable à un call de sous jacentFILE SA de strike K=Dette à rembourser/ nbre d’action=3000 euros.Ainsi,
Fp = 45 * 100=4500 euros.
On en déduit le montant de la dette
D=V- Fp= 218500.
Cela correspond à un taux actuariel de 11,1 % par obligations
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 97 / 98
Application 2
Supposons que les actionnaires décident d’emmettre 20 obligationssupplémentaires pour financer un dividende exceptionnel.
On en déduit que les fonds propres deviennent à cause du nouvelendettement
Fp = 3200 euros.
correspondant à une dette
D=223000-3200=219800 euros.
Les nouveaux créanciers vont donc s’acquiter de 20∗219800320 = 13737
euros.
les actionnaires disposent de 3200 euros en actions et 13737 dedividendes soit 16937 euros (à comparer avec les 4500 eurosprécédents...).
Ceci se fait au détriment des anciens actionnaires (victimes de laredistribution) dont le taux actuariel passe à 13, 3% au lieu de 11, 1% !
Christophe Chorro ([email protected]) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 98 / 98