Introduction à la Modélisation stochastique en écologie · 2007-08-24 · Introduction à la...

Introduction à laModélisation stochastique

en écologiecours du 13/10/04

Mastère Ecologie, Biodiversité et Evolution - Paris 6 - Paris XI - ENS - INAPGmodule "Ecologie Théorique et statistiques de l'écologie"

François GoreaudCEMAGREF - LISC

http://wwwlisc.clermont.cemagref.fr/

Attention

• Ce diaporama est un support de cours prévupour être accompagné d'explications orales.

• Si vous n'avez pas assisté à l'exposé, lalecture des diapositives seules peut vousamener à faire des contresens.

Objectifs du cours :

• Qu'est ce qu'est un modèle stochastique ?• Quelques exemples

• Avantages / Inconvénients

Plan :

• La notion de modèle• Des modèles stochastiques• Deux Applications

– statique : relation H/C– dynamique : modèle logistique

• Quelques difficultés

1. La notion de modèle...

Legay J.M. - 1997 : L'expérience et lemodèle. Un discours sur la méthode. INRA"Sciences en Questions". 111 p.

Pave A.- 1994 : Modélisation en biologie eten écologie. Aléas, Lyon. 560 pp.

1. La notion de Modèle

• Une représentation simplifiée de la réalité


• Une représentation simplifiée de la réalité– Une équation

))(1(*)(*)(0 K

tNtNrdt

tdN−=


• Une représentation simplifiée de la réalité– Une équation– Une courbe ajustée aux données

relation h=f(c) : Beau Poirier

y = -0.0008x2 + 0.3573x + 3.0504

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300


• Une représentation simplifiée de la réalité– Une équation– Une courbe ajustée aux données– Un schéma


• Une représentation simplifiée de la réalité– Une équation– Une courbe ajustée aux données– Un schéma– Un dessin

(René Magritte)


• Un modèle répond à un objectif donné


• Un modèle répond à un objectif donné– comprendre

• faire une synthèse des connaissances• tester des hypothèses


• Un modèle répond à un objectif donné– comprendre– prédire

Aujourd'hui(données)

modèle prédictif

(logiciel)

Demain(prédiction)


• Un modèle répond à un objectif donné– comprendre– prédire– communiquer

• entre scientifiques• lors de négociations


• Différentes formes de modèles– Des relations statiques

• à un instant donnérelation h=f(c) : Beau Poirier

y = -0.0008x2 + 0.3573x + 3.0504

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300


• Différentes formes de modèles– Des relations statiques

• à un instant donné

– Des modèles dynamiques• évolution au cours du temps


y = -0.0008x2 + 0.3573x + 3.0504

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300


• Différentes formes de modèles– Des modèles statistiques

(d'après Pavé, 1994)temps

effectif


• Différentes formes de modèles– Des modèles statistiques– Des modèles mécanistes

(d'après Deleuze, 1996)


• Différentes formes de modèles– Des modèles statistiques– Des modèles mécanistes– Des modèles généraux

Schéma du modèle proposé par Huston & DeAngelis (1994)


• Différentes formes de modèles– Le triangle de Levins (1966)

Généralité

RéalismePrécision

Modèles conceptuels

Modèles statistiques

Modèles mécanistes


• Application : dynamique des populations– Le modèle exponentiel

• "L'accroissement est proportionnel à l'effectif"



• "L'accroissement est proportionnel à l'effectif"• N(t) : taille population totale• dN(t) : accroissement pendant un temps dt

dttNrtdN *)(*)( =



rteNtN *)0()( =

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Série1Série2

)(*)( tNrdt

tdN=

2 paramètres


• Application : dynamique des populations– Le modèle exponentiel– Le modèle logistique

• "La population atteint une taille maximale"



))(1(*)(*)(0 K

tNtNrdt

tdN−= 3 paramètres

treCKtN

001

)( −+=

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Série2



=> Ces modèles sont déterministes


• Un modèle déterministe


• Un modèle déterministe– partant d'un état initial, un seul état final


• Un modèle déterministe– partant d'un état initial, un seul état final– parfaitement connu– aucun phénomène aléatoire



• Un modèle stochastique– intègre une part d'aléa=> Pourquoi ? Comment ?

2. Des modèles stochastiques, Pourquoi ? Comment ?

21. La notion de stochasticité



• Dans la réalité, il y a de l'aléa !


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil– un retard à la SNCF


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil– un retard à la SNCF– rencontrer un copain


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil– un retard à la SNCF– rencontrer un copain– être écrasé par un camion


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil– un retard à la SNCF– rencontrer un copain– être écrasé par un camion– qu'est ce que je vais manger ?


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil– un retard à la SNCF– rencontrer un copain– être écrasé par un camion– qu'est ce que je vais manger ?– qui va dormir en cours ?


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil– un retard à la SNCF– rencontrer un copain– être écrasé par un camion– qu'est ce que je vais manger ?– qui va dormir en cours ?– j'ai gagné au loto !


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– une panne de réveil– un retard à la SNCF– rencontrer un copain– être écrasé par un camion– qu'est ce que je vais manger ?– qui va dormir en cours ?– j'ai gagné au loto !

Heureusement sinon la vie serait triste !


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– partant d'un état initial, plusieurs états finaux– connaissance imparfaite– il y a des phénomènes aléatoire


• Dans la réalité, il y a de l'aléa !– partant d'un état initial, plusieurs états finaux– connaissance imparfaite– il y a des phénomènes aléatoire

• On parlera de stochasticité– pour tout ce qui échappe au déterminisme


• Cet alea peut jouer un rôle important !– une variabilité dans les mesures


y = -0.0008x2 + 0.3573x + 3.0504

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300


• Cet alea peut jouer un rôle important !– une variabilité dans les mesures– plusieurs avenirs possibles : s'y préparer !

• comment calculer un risque ?


• Cet alea peut jouer un rôle important !– une variabilité dans les mesures– plusieurs avenirs possibles : s'y préparer !– des effets catastrophiques

• effet papillon• extinction / survie d'espèces


• Cet alea peut jouer un rôle important !– une variabilité dans les mesures– plusieurs avenirs possibles : s'y préparer !– des effets catastrophiques

• donc on veut pouvoir le reproduire / estimer– des modèles stochastiques

• Un modèle stochastique– prend en compte les phénomènes aléatoires– fait intervenir le hasard (tirage aléatoire)

22. Des modèles stochastiques

• Un modèle stochastique– prend en compte les phénomènes aléatoires– fait intervenir le hasard (tirage aléatoire)– partant d'un état initial, plusieurs états finaux

evolution de N, 50 simulations

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

années



• Différentes sources de stochasticité– erreurs de mesures

• Différentes sources de stochasticité– erreurs de mesures– phénomènes inconnus, non modélisés

• interactions au sein d'un système complexe• état initial inexact• fluctuation environnement• variations individuelles (génétique, ...)


• Différentes sources de stochasticité– erreurs de mesures– phénomènes inconnus, non modélisés– aléa intrinsèque ??

• en physique : principe d'incertitude• systèmes chaotiques• liberté ?


• En écologie, beaucoup de stochasticité– objets d'étude complexes

• beaucoup d'éléments en interaction• fluctuation climatique




– objets d'étude vivants• une machine infiniment complexe• importance de l'histoire de vie• comportement




– objets d'étude vivants• une machine infiniment complexe• importance de l'histoire de vie• comportement

=> Une science moins dure que la physique


23. Du stochastique au déterministe

• Comment encapsuler la stochasticité– partant de données réelles "bruitées"

National Park Plenterwald : DG8695 =f(G86)

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

ALLE

G Wachstum 1986-1995

G 1986

(Goreaud, 1999)


• Comment encapsuler la stochasticité– partant de données réelles "bruitées"– ajuster une loi déterministe

(Goreaud, 1999)


0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

ALLEMODEL


G 1986



(Goreaud, 1999)


0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

ALLEMODEL


G 1986

iii xfy ε+= )(

loi déterministe

aléa résiduel



=> C'est le but de l'analyse de données

Tomassone R., Dervin C., Masson J.P. - 1993 : Biométrie : Modélisation de phénomènes biologiques.Masson, Paris. 553 p.

24. Du déterministe au stochastique

• Comment ajouter de l'aléa– partant d'une équation déterministe

)( ii xfy =



– ajouter un bruitiii xfy ε+= )(



– ajouter un bruit– bruiter les paramètres

iii xfy ε+= )(


• Comment ajouter de l'aléa– partant d'une équation déterministe– ajouter un bruit– bruiter les paramètres– introduire des lois de proba

=

...)()(

2

1

qprobaavecxfpprobaavecxf

y i

i

i

25. Stochasticité et changement d'échelle

• Modèles globaux, souvent déterministes– ex : dynamique des populations

• modèle exponentiel• modèle logistique• modèle de Lotka Voltera• modèle de Huston & DeAngelis• ...


• Modèles globaux, souvent déterministes– ex : dynamique des populations– Par ce qu'on s'intéresse à la tendance

• on élimine le bruit


y = -0.0008x2 + 0.3573x + 3.0504

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300


• Modèles globaux, souvent déterministes– ex : dynamique des populations– Par ce qu'on s'intéresse à la tendance– A cette échelle, un effet de compensation

• la stochasticité est dans le détail


• Modèles locaux, souvent stochastiques– ex : modèles individus centrés

• Caulerpe (Thibaut 2001)• Mountain dans CAPSIS• Systèmes Multi Agent• Microsimulations• ...


• Modèles locaux, souvent stochastiques– ex : modèles individus centrés– parce qu'on s'intéresse à la variabilité


• Modèles locaux, souvent stochastiques– ex : modèles individus centrés– parce qu'on s'intéresse à la variabilité– à cette échelle, beaucoup d'aléa

• comportement• environnement local• effets individuels


• Comment ajouter de l'aléa– partant d'une équation déterministe– ajouter un bruit– bruiter les paramètres– introduire des lois de proba– passer à une échelle plus fine

3. Exemple : relation H/D

Pardé J., Bouchon J. - 1988 : Dendrométrie(2ème édition). engref. 325 p.


• Qu'est ce qu'une relation H/D ?– un modèle statique– exprime le lien entre Hauteur et DiamètreH

D


• Qu'est ce qu'une relation H/D ?– un modèle statique– exprime le lien entre Hauteur et Diamètre– construite sur des données de référence


y = -0.0008x2 + 0.3573x + 3.0504

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300


• Qu'est ce qu'une relation H/D ?– un modèle statique– exprime le lien entre Hauteur et Diamètre– construite sur des données de référence– permet de ne plus mesurer les hauteurs !


• Qu'est ce qu'une relation H/D ?– un modèle statique– exprime le lien entre Hauteur et Diamètre– construite sur des données de référence– permet de ne plus mesurer les hauteurs !

– une relation déterministe• différentes formes• ex Mountain : 2

2

)*( DcbDaH

++=


• une relation déterministe– aucune variabilité

2

2

)*( DcbDaH

++=

a=1.3b=1.455c=0.15

H=f(D) déterministe

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60 70

H

D

H


• Comment ajouter de l'aléa ?– partant d'une équation déterministe

– ajouter un bruit– bruiter les paramètres

iii xfy ε+= )(


• Ajouter un bruit– bruit blanc, gaussien centré d'écart type s

ii

ii Dcb

DaH ε++

+= 2

2

)*(

a=1.3b=1.455c=0.15

H=f(D) bruité, s=1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60 70

déterbruité

D

HH=f(D) bruité, s=10

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70

déterbruité

D

H


• Bruiter les paramètres– bruit blanc, gaussien centré d'écart type s

( )22

*)()( iii

ii Dcb

DaHηε +++

+=

a=1.3b=1.455c=0.15

H=f(D) b bruité, s=0.2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80

déterb bruité

D

HH=f(D) c bruité, s=0.02

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80

déterc bruité

D

H


• Ca peut avoir un effet important !

4. Exemple : modèle logistique

41. Le modèle logistique

• Principe :– dynamique des populations


• Principe :– dynamique des populations– modèle théorique très général


• Principe :– dynamique des populations– modèle théorique très général– croissance initiale exponentielle


• Principe :– dynamique des populations– modèle théorique très général– croissance initiale exponentielle– saturation du milieu


• Principe :– N(t) : taille population totale

)(*)( tNrdt

tdN=



– r, taux d'accroissement,n'est pas constant

)(*)( tNrdt

tdN=

))(1(0 KtNrr −=



– r, taux d'accroissement,n'est pas constant

– K : capacité maximale du milieu.

)(*)( tNrdt

tdN=

))(1(0 KtNrr −=


• Principe :

))(1(*)(*)(0 K

tNtNrdt

tdN−= 3 paramètres

treCKtN

001

)( −+=

Déterministe

Modèle logistique

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Pop

temps

N

42. Modèle logistique bruité

• Ajoutons un bruit blanc :

)())(1(*)(*)(0 t

KtNtNr

dttdN ε+−=

Stochastique

),0()( σε Nt ≈Modèle logistique - Bruit s=1

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

PopSérie1

temps

N

Modèle logistique - Bruit s=1

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

PopSérie1Série3Série4Série5Série6

temps

N


• Ajoutons un bruit blanc :

Stochastique


0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


temps

N


0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

PopSérie1

temps

NModèle logistique - Bruit s=5

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


temps

N

risque d'extinction

• Bruitons les paramètres :

[ ] [ ]))()(1(*)(*)()(

210 tK

tNtNtrdt

tdNε

ε+

−+=

Stochastique


),0()( 11 σε Nt ≈

),0()( 22 σε Nt ≈

Modèle logistique - parametre r0 bruité s=1

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

PopSérie1

temps

NModèle logistique - parametre r0 bruité s=1

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


temps

NModèle logistique - parametre K bruité s=50

0

100

200

300

400

500

600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


temps

N


• On peut rendre ce modèle stochastique– de plusieurs façon



• Ca permet– de s'approcher des données réelles– de prendre en compte divers aleas– de calculer des risques



• Ca permet– de s'approcher des données réelles– de prendre en compte divers aleas– de calculer des risques

• Difficile à relier aux mécanismes

• Comment ajouter de l'aléa– partant d'une équation déterministe– ajouter un bruit– bruiter les paramètres– introduire des lois de proba– passer à une échelle plus fine

43. Une vision individu - centrée


• Principe :– la population est la somme des individus

N(t)


• Principe :– la population est la somme des individus– on peut suivre l'évolution de chacun

• naissances, croissance• mortalité


• traduire l'équation globale en lois de proba– revenir au sens des équations

))(1(*)(*)(0 K

tNtNrdt

tdN−=

mfr −=0mortalité

reproduction


• traduire l'équation globale en lois de proba– Une probabilité de se reproduire

fenfantunavoirP =)__(


• traduire l'équation globale en lois de proba– Une probabilité de se reproduire

– Une probabilité de mourir

fenfantunavoirP =)__(

KtNrmmourirP )()( 0+=


• traduire l'équation globale en lois de proba– Une probabilité de se reproduire– Une probabilité de mourir

• équation globale = espérance du modèle IC

[ ])()__()()( mourirPenfantunavoirPtNdt

tdN−=


• Algorithme :– A chaque pas de temps :



• Pour chaque individu



• Pour chaque individu– Se reproduit-il ?

» oui : ajouter un individu




» oui : ajouter un individu– Meurt-il ?

» oui : supprimer cet individu




» oui : ajouter un individu– Meurt-il ?

» oui : supprimer cet individu• Calculer le nombre d'individus final

N(t)


• Plusieurs sources de stochasticité :– tirages aléatoires pour

• reproduction• mortalité


• Plusieurs sources de stochasticité :– tirages aléatoires pour

• reproduction• mortalité

– variabilité des paramètres• individuelle (génétique, ...)• géographique (état initial)• saisonnière


• Simulations :– programme "Lapin" !

N0=10, f=0.5, m=0.1, K=200

Modèle LAPIN, individu centré, stochastique

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

N1

temps

NModèle LAPIN, individu centré, stochastique

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

N1N2N3N4N5

temps

N

risque d'extinction


• Intérêts du modèle individus-centré :– permet de prendre en compte l'aléa

• variabilité de la dynamique• existence de comportements catastrophiques• calcul de risque


• Intérêts du modèle individus-centré :– permet de prendre en compte l'aléa– permet de raisonner sur l'individus

• sens écologique et comportemental• variabilité• dialogue avec les spécialistes


• Intérêts du modèle individus-centré :– permet de prendre en compte l'aléa– permet de raisonner sur l'individus– permet d'intégrer d'autres processus

• hétérogénéité spatiale• environnement local• prédateurs...


• Une version spatialisée :– ressource K hétérogène

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

8-106-84-62-40-2


• Une version spatialisée :– simulations...

Modèle LAPIN, individu centré, spatialisé

050

100150200250300350400

0 10 20 30 40

N

temps

N


• Une version spatialisée :– suivi des populations...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

8-106-84-62-40-20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Série1Série2Série3

44. Conclusion

• Construire des modèles stochastiques– à partir de modèles déterministes– en descendant à une échelle plus fine

44. Conclusion

• Construire des modèles stochastiques– à partir de modèles déterministes– en descendant à une échelle plus fine

• Ils répondent à des questions particulières– variabilité– calcul de risque

5. Quelques difficultés...

51. Difficultés d'implémentation

• Générateur aléatoire– Il faut simuler le hasard, donc faire des tirages


• Générateur aléatoire– Il faut simuler le hasard, donc faire des tirages– comment ?

• un ordinateur est par essence déterministe !


• Générateur aléatoire– Il faut simuler le hasard, donc faire des tirages– un générateur de nombre pseudo aléatoire



• Générateur congruentiel linéaire (Lehmer 1948)

– pas facile (choix a,b,c)

c mod b) x *a ( x n1n +=+

010

20304050

607080

90100

0 20 40 60 80 100

Série1

a 17.5b 16c 100



• Générateur congruentiel linéaire (Lehmer 1948)• Mieux : routines dédiées java, C++ : rand()

– meilleures propriétés– graine aléatoire– parfois insuffisant



• Générateur congruentiel linéaire (Lehmer 1948)• Mieux : routines dédiées java, C++ : rand()• Améliorables

– fixer la graine sur le temps



• Générateur congruentiel linéaire (Lehmer 1948)• Mieux : routines dédiées java, C++ : rand()• Améliorables

– fixer la graine sur le temps– routines spécialisées Numerical recipies & co



– Toujours vérifier sa pertinence• par rapport à un objectif


• Artefacts


• Artefacts– liés au générateur pseudo-aléatoire

010

20304050

607080

90100

0 20 40 60 80 100

Série1


• Artefacts– liés au générateur pseudo-aléatoire– liés à l'ajout d'aléa

• apparition de valeurs impossiblesH=f(D) bruité, s=10

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70

déterbruité

D

H


• Artefacts– liés au générateur pseudo-aléatoire– liés à l'ajout d'aléa– liés à la discrétisation

exemple d'évolution de N(Ai) et C(Li) : ∆t=0.5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 200 400 600 800 1000

N(Ai)C(Li)

N(Ai)

temps

exemple d'évolution de N(Ai) et C(Li) : ∆t=0.1

0

5

10

15

20

25

30

0 200 400 600 800 1000

N(Ai)C(Li)

N(Ai)

temps


• Artefacts– liés au générateur pseudo-aléatoire– liés à l'ajout d'aléa– liés à la discrétisation– effets de bord

52. Difficultés de conception

• Identifier toutes les sources de stochasticité– Il y en a beaucoup !

• bruit sur les mesures• bruit sur les paramètres• phénomènes de nature stochastiques


• Identifier toutes les sources de stochasticité– Il y en a beaucoup !– Lesquels sont pertinentes / l'objectif ?

• quel type de modèle (prédictif, ...)• comportement moyen / variabilité ?• estimer un risque ?• environnement constant ou changeant ?


• Identifier toutes les sources de stochasticité– Il y en a beaucoup !– Lesquels sont pertinentes / l'objectif ?– Comment savoir si on en a oublié ?

• étudier le comportement du modèle– grand nombre de simulations

• tests sur plusieurs critères– par rapport aux données– avec les utilisateurs


• Identifier toutes les sources de stochasticité– Il y en a beaucoup !– Lesquels sont pertinentes / l'objectif ?– Comment savoir si on en a oublié ?

– Application


• Ajuster le modèle– Quelles données disponibles ?

• avec quelle répétition / variabilité ?• bruit sur les mesures ?• variabilité des paramètres• dépendance à l'environnement ?=> Biblio !


• Ajuster le modèle– Quelles données disponibles ?– Estimer les lois de probabilité

• mortalité, reproduction, etc...


• Ajuster le modèle– Quelles données disponibles ?– Estimer les lois de probabilité

• mortalité, reproduction, etc...– Estimer la variabilité

• bruit résiduel


• Comment Valider / Evaluer ?– manque de données– Quoi valider / évaluer ?

• prédiction moyenne ?• mesure de variabilité ?• mesure de risque ?• réponse à un utilisateur ?

53. Difficultés d'interprétation

• Le sens d'une réalisation ?– évolution dans le temps

• Une réalisation est un cas particulier


0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

N1

temps

N


• Le sens d'une réalisation ?– évolution dans le temps

• Une réalisation est un cas particulier– Aucune valeur prédictive– Ne renseigne ni sur variabilité ni sur risque


0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

N1

temps

N


• Le sens d'une réalisation ?– évolution dans le temps– simulation spatio-temporelle : encore plus dur !

• Une réalisation est un cas particulier– représenter l'espace et le temps– un grand nombre de carte


• Il faut un grand nombre de simulations– évolution dans le temps

• une famille de courbes


0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

N1N2N3N4N5

temps

N



• une famille de courbes• Et on en fait quoi ?

– moyenne– écart type


0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

N1N2N3N4N5

temps

N



• une famille de courbes• Et on en fait quoi ?

– moyenne– écart type

ce n'est pas toujours suffisantphénomènes catastrophiques


0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

N1N2N3N4N5

temps

N

risque d'extinction


• Il faut un grand nombre de simulations– évolution dans le temps– simulation spatio-temporelle : encore plus dur !

• Cartes de probabilité

ce n'est pas toujours suffisantphénomènes catastrophiques



• Manque d'outils d'analyse– besoin d'adapter aux modèles stochastiques

les outils des systèmes dynamiques



• Manque d'outils d'analyse

• Problème de puissance– calculs partagés, fermes, ...

5. Quelques difficultés...

• Implémentation• Conception• Interprétation

Conclusion

Qu'est ce qu'est un modèle stochastique ?Quelques exemples

Avantages / Inconvénients

Introduction à la Modélisation stochastique en écologie · 2007-08-24 · Introduction à la...

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