Introduction au CHAOS
-
Upload
samson-hansen -
Category
Documents
-
view
48 -
download
0
description
Transcript of Introduction au CHAOS
![Page 1: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/1.jpg)
Introduction au CHAOSIntroduction au CHAOS
D’ après Larry Liebovitch, Ph.D.D’ après Larry Liebovitch, Ph.D.
Université de Floride AtlantiqueUniversité de Floride Atlantique
2004 – extrait traduit 2004 – extrait traduit approximativement par D.Sebanapproximativement par D.Seban
![Page 2: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/2.jpg)
Ces deux ensembles de données ont les mêmes
moyennes aspects irréguliers gammes d’intensité
![Page 3: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/4.jpg)
Données 1 Hasard(random)
x(n) = RND
![Page 5: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/5.jpg)
CHAOSDéterministe
x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]
Données 2
![Page 6: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/6.jpg)
etc.
![Page 7: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/8.jpg)
Données 1 Hasardrandom
x(n) = RND
![Page 9: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/9.jpg)
Données 2 CHAOSdéterministe
x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]
x(n+1)
x(n)
![Page 10: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/10.jpg)
DéfinitionCHAOS
Déterministeon prédit cette valeur
Avec ces valeurs
![Page 11: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/11.jpg)
CHAOS
Petit nombre de Variables
x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))
Définition
![Page 12: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/12.jpg)
DéfinitionCHAOS
Résultat Complexe
![Page 13: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/13.jpg)
PropriétésCHAOS
Espace des phases de basse dimension
espace des phasesd , hasard d = 1, chaos
![Page 14: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/14.jpg)
PropriétésCHAOS
Sensibilité aux conditions initiales
Valeurs initialestrès proches
Valeurs finalestrès différentes
![Page 15: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/15.jpg)
PropriétésCHAOS
BifurcationsPetit changement pour un paramètre
Un motif Un autre motif
![Page 16: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/16.jpg)
Séries temporelles
X(t)
Y(t)
Z(t)
enchassées
![Page 17: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/17.jpg)
Espace des phases
X(t)
Z(t)
Y(t)
![Page 18: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/18.jpg)
Attracteurs dans l’espace des phasesEquation logistique
X(n+1)
X(n)
X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)]
![Page 19: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/19.jpg)
Attracteurs dans l’espace des phases
Equations de Lorenz
X(t)
Z(t)
Y(t)
![Page 20: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/20.jpg)
X(n+1)
X(n)
Equation logistique espace des phasesSéries temporelles
d<1
Le nombre de variables indépendantes est supérieur
à la dimension fractale d de l’attracteur
Ici d < 1, l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d’1 variable indépendante.
![Page 21: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/21.jpg)
Equations de Lorenzespace des phasesséries f(t)
d =2.03
Le nombre de variables indépendantes est supérieur
à la dimension fractale d de l’attracteur
Ici d = 2.03, l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur dépend de 3 variables indépendantes..
X(t)
Z(t)
Y(t)
X(n+1)
n
![Page 22: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/22.jpg)
Données 1 Séries temporelles
Espace des phases avec attracteur dont ladimension fractale tend vers l’infini
Quand ,Les séries
temporellesont été générées
par un mécanisme aléatoire.
d
![Page 23: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/23.jpg)
Données 2 séries temporelles
espace des phasesd = 1
Quand d = 1 ,les séries ont
été générées par un mécanisme
déterministe.
![Page 24: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/24.jpg)
Construit par des mesures directes:Espace des phases
Chaque point dans l’espace des phases munid’un repère, a des coordonnéesX(t), Y(t), Z(t)
Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t)
X(t) Y(t)
![Page 25: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/25.jpg)
Construit à partir d’une seule variableEspace des phases
Théorème de TakensTakens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp. 366 - 381
X(t+ t)
X(t+2 t)
X(t)
chaque point dans l’espace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t)
![Page 26: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/26.jpg)
vite
sse
(cm
/sec
)
Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de
l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279
10-1
-10-1
-10-4 3 x 10-5déplacement (cm)
stimulus = 171 Hz
Rappel physiologique : http://www.med.univ-tours.fr/enseign/orl/Otol/aud/phyoi3/phyoi3.html
![Page 27: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/27.jpg)
vite
sse
(cm
/sec
)
Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de
l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279
5 x 10-6déplacement (cm)
stimulus = 610 Hz
-3 x 10-2
3 x 10-2
-2 x 10-5
![Page 28: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/28.jpg)
micro-électrode
cellule cardiaque de poussin
sourceélectrique voltmètre
Cellules myocardiques de poussin
v
Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357
![Page 29: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/29.jpg)
Battement spontané, pas de stlimulation externe
Cellules myocardiques de poussin
voltage
temps
![Page 30: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/30.jpg)
Stimulées périodiquement2 stimulations - 1 battement
Cellules myocardiques de poussin
2:1
![Page 31: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/31.jpg)
Cellules myocardiques de poussin
1:1
Stimulées périodiquement1 stimulation - 1 battement
![Page 32: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/32.jpg)
Cellules myocardiques de poussin
2:3
Stimulées périodiquement2 stimulations - 3 battements
![Page 33: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/33.jpg)
Stimulation périodique - réponse chaotique
Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin
Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357
![Page 34: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/34.jpg)
= phase de battement en fonction du stimulus
Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin poursuivi
phase vs. phase précédente
0.5
0 0.5 1.0
1.0
0 0.5 1.0
i + 1
expérience
i
théorie (carte en arcs de cercle)
![Page 35: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/35.jpg)
Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin
Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357
Tant que la courbe dans l’espace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battementsde ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.
![Page 36: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/36.jpg)
ProcédureProcédure Séries temporellesSéries temporelles
Par ex. le voltage en fonction du Par ex. le voltage en fonction du tempstemps
Représenter les séries Représenter les séries temporelles en un objet temporelles en un objet géométrique (=géométrique (=variété topologiquevariété topologique). ). Cette opération s’appelle Cette opération s’appelle “enchassement” “enchassement” (embedding(embedding))
![Page 37: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/37.jpg)
ProcédureProcédure Déterminer les propriétés Déterminer les propriétés
topologiques de cet objettopologiques de cet objet et particulièrementet particulièrement, , sa sa dimension fractaledimension fractale
Dimension fractale élevéeDimension fractale élevée = hasard= hasard Dimension fractale basseDimension fractale basse = Chaos déterministe= Chaos déterministe
![Page 38: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/38.jpg)
La dimension fractale La dimension fractale
n’est pasn’est pas égale à égale à
la dimension fractale!la dimension fractale!
![Page 39: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/39.jpg)
Dimension fractale d:Dimension fractale d:combien de nouveaux détails de combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle échelle de résolution temporelle plus fine.plus fine.
X
temps
![Page 40: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/40.jpg)
Dimension fractale:Dimension fractale:La dimension La dimension dd de l’attracteur de l’attracteur dans l’espace des phases est dans l’espace des phases est corrélé au nombre de variablescorrélé au nombre de variablesindépendantesindépendantes
X
temps
d
x(t) x(t+ t)
x(t+2 t)
![Page 41: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/41.jpg)
Mécanisme qui génère les donnéesMécanisme qui génère les données
Chanced(espace des phases)
Déterminismed(espace des phases) = faible
Données
x(t)
t
?
![Page 42: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/42.jpg)
Air froid
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Modèle
Air Chaud
(Rayleigh, Saltzman)
![Page 43: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/43.jpg)
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Equations
![Page 44: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/44.jpg)
X = vitesse de la circulation X = vitesse de la circulation convective convective X > 0 sens horaire, X > 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire X < 0 sens anti-horaire
Y = différence deY = différence de température entre les flux température entre les flux
montants et descendantsmontants et descendants
Equations
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
![Page 45: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/45.jpg)
Z = température du bas Z = température du bas vers le haut moins le vers le haut moins le gradient linéairegradient linéaire
Equations
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
![Page 46: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/46.jpg)
Espace des phases
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Z
X Y
![Page 47: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/47.jpg)
Attracteur de LorenzAttracteur de Lorenz
X < 0 X > 0
Cylindre d’air tournant dans le sens anti-horaire
cylindre d‘air tournant dans le sens horaire
![Page 48: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/48.jpg)
IXsommet(t) - Xbase(t)I e t = Exposant de Liapunov
Sensibilité aux conditions initialesSensibilité aux conditions initialesEquations de LorenzEquations de Lorenz
X(t)
X= 1.00001
Condition initiale:
différentidentique
X(t)
X= 1.
0
0
![Page 49: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/49.jpg)
Déterministe non-chaotiqueDéterministe non-chaotique
X(n+1) = f {X(n)}
Précision des valeurs calculées pour X(n):
1,736 2,345 3,2545,455 4,876 4,2343,212
![Page 50: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/50.jpg)
Déterministe chaotiqueDéterministe chaotique
X(n+1) = f {X(n)}
Précision des valeurs calculées pour X(n):
3,455 3,45? 3,4?? 3,??? ? ? ?
![Page 51: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/51.jpg)
ConditionsConditions initiales initiales X(tX(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...
Univers “de l’horloger”détermimiste non-chaotique
Calcul possible de toutes les valeurs futures
X(t), Y(t), Z(t)...Equations
![Page 52: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/52.jpg)
Conditions initialesConditions initiales X(t X(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...
Univers ChaotiqueChaotique déterministe
sensibilitéaux conditions
initialesImpossibilitéde calculer
à long termeX(t), Y(t), Z(t)...
Equations
![Page 53: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/53.jpg)
Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz
Les trajectoires venant du dehors
sont attirées VERS lui
d’où son nom d’attracteur!
En partant de loin:
![Page 54: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/54.jpg)
Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz
Des trajectoires proches sur l’attracteur
sont poussées vers la séparation
l’une de l’autre:BIFURCATION(sensitibilité aux
conditions initiales)
En partant dedans:
![Page 55: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/55.jpg)
L’attracteurL’attracteur “Etrange”“Etrange”est fractalest fractal
espace des phases
ordinaire étrange
![Page 56: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/56.jpg)
““Chaotique”Chaotique”sensibilité aux conditions initialessensibilité aux conditions initiales
Séries temporelles
non chaotique chaotique
X(t)
t
X(t)
t
![Page 57: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/57.jpg)
““Shadowing Theorem”Shadowing Theorem”
Si les erreurs à chaque étape d’intégration sont petites, il existe une trajectoire EXACTE qui arrive à une petite distance de la trajectoire erronée que nous avons calculée
![Page 58: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/58.jpg)
Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans un attracteur. Quand nous sortons de l’attracteur, nous sommes aspirés vers l’arrière à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous croyons être.
Shadowing TheoremShadowing Theorem
![Page 59: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/59.jpg)
4. Nous sommes sur une trajectoire
“réelle”3. puis nous
sommes attirésvers l’attracteur
2. L’erreur nousfait sortir
de l’attracteur
1. Nous démarrons ici
Trajectoireque nous calculons
en réalité
Trajectoire que nous essayons
de calculer
![Page 60: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/60.jpg)
La sensibilité aux La sensibilité aux conditions initiales signifie conditions initiales signifie
que les conditions de que les conditions de l’expérience peuvent être l’expérience peuvent être très très semblablessemblables, mais que , mais que les résultats peuvent être les résultats peuvent être
assez assez différentsdifférents..
![Page 61: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/61.jpg)
Mardi
++
10 µlArT
![Page 62: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/62.jpg)
10 µl
Vendredi
ArT
++
![Page 63: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/63.jpg)
A = 3,22
X(n)
n
X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]
![Page 64: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/64.jpg)
A = 3,42
X(n)
n
X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]
![Page 65: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/65.jpg)
A = 3,62
X(n)
n
Bifurcation
![Page 66: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/66.jpg)
Commencez avec une valeur de A commencez avec x(1) = 0,5 utilisez l’équation pour calculer x(2) à partir de x(1). utilisez l’équation pour calculer x(3) à partir de x(2) et ainsi de
suite... jusqu’à x(300).
x(n + 1) = A x(n) [1 -x(n)]
![Page 67: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/67.jpg)
Ignorez x(1) à x(50), ce ne sont que les valeurs de transition hors de l’attracteur. Tracez x(51) to x(300) sur l’axe des Y au-dessus de la valeur de A sur l’axe des X. Changez la valeur de A, et répétez la procédure.
x(n + 1) = A x(n) [1 -x(n)]
![Page 68: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/68.jpg)
Des changements soudains dans le pattern indiquent la présence de bifurcations ( )
x(n)x(n)
![Page 69: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/69.jpg)
L’énergie du glucose est transferrée dans l’ATP. L’ATP est utilisé comme
une source d’énergie pour piloter les réactions biochimiques.
Glycolyse
+- -
![Page 70: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/70.jpg)
périodique
ThéorieMarkus and Hess 1985 Arch. Biol. Med. Exp. 18:261-271
Glycolyse
temps
entrée: sucre sortie: ATP
chaotique
temps
temps temps
![Page 71: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/71.jpg)
ExpériencesHess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48
Consommation d’énergie par de la levure de boulanger
Glycolyse
ATP mesuré par fluorescence entrée de glucose temps
![Page 72: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/72.jpg)
ExpériencesHess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48
Périodiquefl
uo
resc
ence
Glycolyse
Vin
![Page 73: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/73.jpg)
GlycolyseExpériencesHess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48
Chaotique
20 min
![Page 74: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/74.jpg)
GlycolyseMarkus et al. 1985. Biophys. Chem 22:95-105
Diagramme de Bifurcation
chaos
théorie
expérience
![Page 75: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/75.jpg)
GlycolyseMarkus et al. 1985. Biophys. Chem 22:95-105
L’ADP mesuré à la même phase du cycle du glucose(l’ATP est en rapport avec l’ADP)
période du cycle du glucose
# =
période de concentration en ATP
fréquence du cycle du glucose
![Page 76: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/76.jpg)
Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
Faites battre l’index gauche au rythme(en phase) avec le métronome.
Essayez de faire battre
l’index droit hors du rythme du métronome.
![Page 77: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/77.jpg)
Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
Pendant que la fréquence du métronome augmente, l’index droit passe d’une oscillation hors-phase (décalé / métronome) à une oscillation en phase.
![Page 78: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/78.jpg)
Position de l’index droitPosition de l’index gauche
A. Séries temporelles
Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
ADD
ABD
![Page 79: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/79.jpg)
Position de l’index droit
360o
0o
B. Évaluation du point de phase relative
180o
Transitions de phase auto-organiséesHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
2 sec
![Page 80: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/80.jpg)
cette bifurcation peut s’expliquer
comme un changement de
fonction d’énergie potentielle
semblable au changement qui
survient dans une transition de
phase physique.
Po
ten
tiel
du
sys
tèm
e
par
amèt
re d
e co
ntr
ôleTransition de phase
Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
![Page 81: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/81.jpg)
De petits changements dans les paramètres peuvent produire de gros changements dans le comportement.
+
10cc ArT
++
9cc ArT
![Page 82: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/82.jpg)
Les bifurcations peuvent servir à tester si le système est déterministe
Modèle mathématique déterministe Expérience
Bifurcations observéesBifurcations prédites
correspondance ?
![Page 83: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/83.jpg)
La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient
générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.
Données expérimentalesx(t)
t
![Page 84: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/84.jpg)
X(t+ t)Espace des phases
X(t)
La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient
générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.
![Page 85: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/85.jpg)
Mécanisme qui a généré les données expérimentales
Déterministe Hasard
d = bas d
La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient
générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.
![Page 86: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/86.jpg)
EpidémiesSchaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden,
Princeton Univ. Press
400015000
0 0
rougeoleNew York
Séries temporelles:
Espace des phases:
varicelle
![Page 87: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/87.jpg)
EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504
dimension de l’attracteur dans l’espace des phases
rougeole varicelle
Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2St. Louis 2,2 2,7New York 2,7 3,3
![Page 88: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/88.jpg)
EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504
Modèles SEIR: 4 variables indépendantes S susceptible = prédisposé E exposé, mais pas encore infecté I infecté R recovered = convalescent
![Page 89: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/89.jpg)
EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504
Conclusion: rougeole: chaotique varicelle: quasi – cyclique annuel
![Page 90: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/90.jpg)
Séries temporelles:voltageKaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67:886-892
normal Fibrillation ventriculaire mort
D = 1chaos
D = hasard
Espace des phasesV(t), V(t+ t)
Electrocardiogramme:enregistrement électrique de
l’activité musculaire cardiaque
8
![Page 91: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/91.jpg)
Séries temporelles: voltageBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211
normal
D = 6chaos
Electrocardiogramme:enregistrement électrique de
l’activité musculaire cardiaque
![Page 92: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/92.jpg)
Electrocardiogramme:enregistrement électrique de
l’activité musculaire cardiaque
Séries temporelles: intervalle de temps entre les battements cardiaquesBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211
normal
D = 6chaos
FV mortD = 4chaos
arythmies induitesD = 3chaos
Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134
Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, O’Toole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:371-381
![Page 93: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/93.jpg)
Electroencephalogramme:enregistrement électrique
de l’activité cérébraleMayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78
séries temporelles: V(t)
Espace des phases:
D=8 chaos
V(t)
V(t+ t)
![Page 94: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/94.jpg)
Rapp, Bashore, Martinerie, Albano, Zimmerman, and Mees 1989 Brain Topography 2:99-118
Babloyantz and Destexhe 1988 In: From Chemical to Biological Organization ed. Markus, Muller, and Nicolis, Springer-Verlag
Xu and Xu 1988 Bull. Math. Biol. 5:559-565
Electroencephalogramme:enregistrement électrique
de l’activité cérébrale
![Page 95: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/95.jpg)
Différents groupes de chercheurs trouvent
différentes dimensions en appliquant les mêmes
conditions expérimentales
Electroencephalogramme:enregistrement électrique
de l’activité cérébrale
![Page 96: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/96.jpg)
tâche mentale
Éveil calme, paupières fermées
Sommeil
virus: Creutzfeld -Jakob
Epilepsie: petit mal
Méditation, Qi-kong
Electroencephalogramme:enregistrement électrique
de l’activité cérébrale
Peut-être que…dimensionélevée
bassedimension
![Page 97: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/97.jpg)
Chaîne aléatoire de Markov
Comment calculer le x(n) suivant:Chaque t pioche un nombre R au hasard entre 0 et 1 0 < R < 1
Si ouvert et que R < pc -> fermé
Si fermé et que R < po -> ouvert
![Page 98: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/98.jpg)
Chaîne de Markov
t
fermé
Etat fermé:probabilité de s’ouvrir dans l’état suivant t=po
Etat ouvert:probabilité de se fermer dans l’état suivant t = pcouvert
![Page 99: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/99.jpg)
Carte d’itération déterministeLiebovitch & Tóth 1991 J. Theor. Biol. 148:243-267
x(n) = état au temps nx(n+1) = f (x(n))
ouvert
fermé
x(n+1)
x(n)
![Page 100: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/100.jpg)
0 x(1) 0 x(2)0
x(3)
0
x(2)
Carte d’itération déterministeLiebovitch & Tóth 1991 J. Theor. Biol. 148:243-267
Comment calculer le x(n) suivant:
![Page 101: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/101.jpg)
Ecroulement du pont de Tacoma
Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma entre en oscillation sous l'action du vent.
L'amplitude de torsion devient excessive et le pont s'écroule.
Une revue moderne explique pourquoi les explications données dans les livres de physique est fausse: Billah and Scanlan 1991 Am. J. Phys. 59:118-124
![Page 102: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/102.jpg)
Le pont de Tacoma
Equation d’une résonnance simple:x + Ax + Bx = f ( t )
Equation de la vibration qui a détruit le pont de Tacoma:
x + Ax + Bx = f ( x, x )
![Page 103: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/103.jpg)
Comme une petite molécule commutée sans cesse d’un état à l’autre par la chaleurqui l’entoure (agitation moléculaire)
le changement d’état est provoqué pardes fluctuations thermiques kT aléatoires
FERMEhasard
OUVERT
éner
gie
Hasard
![Page 104: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/104.jpg)
DéterministeComme une petite machine mécanique avec des cliquets et des ressorts
Le changement d’état est commandé par des mouvements cohérents qui résultent dela structure et des forces atomiques, électrostatiques et hydrophobes des protéines constituant le canal.
fermé ouvert
éner
gie
déterministe
![Page 105: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/105.jpg)
Analyse des données expérimentales
En principe, vous pouvez savoir si les données ont été générées par unmécanisme aléatoire ou déterministe
La bonne nouvelle:
![Page 106: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/106.jpg)
Analyse des données expérimentales
En pratique, ce n’est pas facile.
La mauvaise nouvelle:
![Page 107: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/107.jpg)
Beaucoup de données nécessaires
• Très grosse masse de données: 10d?• Le taux d’échantillonage doit couvrir l’attracteur uniformément .échantillonnage trop fréquent: on voit seulement les trajectoires 1-d .échantillonage trop rare: on ne
voit plus l’attracteur du tout
Pourquoi c’est difficile de savoir si un mécanisme est aléatoire ou
déterministe
![Page 108: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/108.jpg)
Pourquoi c’est difficile de savoir si un mécanisme est aléatoire ou
déterministeL’analyse des données est délicate• Choix de l’intervalle de temps t pour l’enchassement
– intervalle trop court: la variable ne change pas assez, les dérivées ne sont pas précises– intervalle trop long: la variable
change trop, les dérivées ne sont pas précises.
• Méthode d’évaluation de la dimension.
![Page 109: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/109.jpg)
Les mathématiques ne sont pas la connaissance
• Les théorèmes d’enchassement ne sont prouvés que pour les séries temporelles “lisses”.
Pourquoi c’est difficile de savoir si un mécanisme est aléatoire ou
déterministe
![Page 110: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/110.jpg)
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
N = Nombre de valeurs
dans les séries temporelles,nécessaires pour évaluer
correctementla dimension
d’un attracteurde dimension D
NquandD = 6
![Page 111: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/111.jpg)
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
Smith 1988Phys. Lett. A133:283 42D 5000000000
Wolff et al. 1985Physica D16:285 30D 700000000
Wolf et al. 1985Physica D16:285 10D 1000000
![Page 112: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/112.jpg)
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
Nerenberg & Essex 1990Phys. Rev. A42:7065
D+22
_______1________
kd1/2[A In (k)](D+2)/2
D/22(k-1) ((D+4)/2) (1/2) ((D+3)/2)
x[ ]
200000
![Page 113: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/113.jpg)
Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?
Ding et al. 1993Phys. Rev. Lett. 70:3872 10D/2
(D/2)! D/2
10
1000
Gershenfeld 1990 preprint 2D
![Page 114: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/114.jpg)
nombres pris au hasard
Exemple pathologique où un processus aléatoire de dimension
infinie a un attracteur de BASSE dimension
6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6
![Page 115: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/115.jpg)
Séries temporelles: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ... Espace des phases:
Exemple pathologique où un processus aléatoire de dimension
infinie a un attracteur de BASSE dimension
D = 0
6
6 6
![Page 116: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/116.jpg)
Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases
Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430
petite
direction moyenne
Hasard Pas de flux uniforme
![Page 117: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/117.jpg)
Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases
Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430
grande
Déterministe
direction moyenne
Flux uniforme
![Page 118: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/118.jpg)
Séries temporelles Espace des phases
Expérience
Dimensionbasse = déterministeélevée = hasard
exemples: ECG, EEG
FAIBLE
![Page 119: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/119.jpg)
Faire varier un paramètre
Expérience
prédit par un modèle
non-linéaire
FORTEVoir le comportement
stimulation électriquede cellules, réactionsbiochimiques
exemples:
![Page 120: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/120.jpg)
Contrôle
données sortantesSystème Non-Chaotique
Paramètre de contrôle
![Page 121: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/121.jpg)
Contrôle
données sortantesSystème chaotique
Paramètre de contrôle
![Page 122: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/122.jpg)
Contrôle des systèmes biologiques
L’ancienne
manière d’agirUn contrôle par la force brute
GROSSE machine
GROSSE puissancecoeur
Ampères
![Page 123: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/123.jpg)
Contrôle des systèmes biologiques
Nouvelle manière
d’agir:de délicates impulsions astucieusement rythmées
petite machine
petite puissance
mA
coeur
![Page 124: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/124.jpg)
Ancienne façon
de voir les choses:
Des forces pilotent le système entre des états
stables
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
![Page 125: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/125.jpg)
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
Force D Force E
état stable B
état stable A état stable C
![Page 126: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/126.jpg)
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
Nouvelle façon de voir:
Se maintenir un bon
moment dans une
condition oblige le
système à évoluer vers
une autre condition.
![Page 127: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/127.jpg)
Dynamique de A
Dynamique de B
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
état instable B
état instable A état instable C
![Page 128: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/128.jpg)
Le Chaos en résumé
PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES
Mais le comportement est si complexe qu’il mime un comportement aléatoire.
![Page 129: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/129.jpg)
Le Chaos en résumé
La valeur des variables à l’instant suivant peut être
calculée à partir des valeurs à l’instant précédent.
xi (t+ t) = f (xi (t))
SYSTEME DYNAMIQUEDETERMINISTE
![Page 130: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/130.jpg)
Le Chaos en résumé
x1(t+ t) - x2(t+ t) = Ae t
SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALESNON PREDICTIBLE A LONG
TERME
![Page 131: Introduction au CHAOS](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062301/568133fc550346895d9af115/html5/thumbnails/131.jpg)
Le Chaos en résumé
ATTRACTEUR ETRANGE
L’espace des phases est de basse dimension
(souvent fractale).