INTRODUCTION A L’ANALYSE DES MECANISMES · Déplacements du centre de masse de la caisse au cours...

INTRODUCTION A L’ANALYSE DES MECANISMES

Pierre DUYSINX

Université de Liège

Année Académique 2013-2014

1

Références bibliographiques

T. Gillespie. « Fundamentals of vehicle Dynamics », 1992, Society of Automotive Engineers (SAE)

W. Milliken & D. Milliken. « Race Car Vehicle Dynamics », 1995, Society of Automotive Engineers (SAE)

R. Bosch. « Automotive Handbook ». 5th edition. 2002. Society of Automotive Engineers (SAE)

J. Reimpell, H. Stoll, J. Betzler. « The automotive chassis: engineering principles ». 2nd edition. 2001, SAE.

J.Y. Wong. « Theory of Ground Vehicles ». John Wiley & sons. 1993 (2nd edition) 2001 (3rd edition).

M. Géradin & A. Cardona. « Flexible Multibody Dynamics » J. Wiley, 2001.

2

Plan de l’exposé

Importance de l’étude des mécanismes en véhicules

Concept de structure articulée

Paires cinématiques

Indice de mobilité et formule de Grübler

Redondance et singularité

Analyse des mécanismes plans

Exercices

3

Introduction

Etude des systèmes multicorps a fait l’objet de nombreuses études

Plusieurs implantations logicielles

ADAMS (http/www.adams.com)

DADS (http://www.cadsi.com)

MECANO (http://www.samcef.com)

SIMPACK (http://www.simpack.de/websitep.html)

Grande utilisation dans l’industrie

Automobile

Ferroviaire

Aérospatiale

4

Introduction

Modèle multicorps flexible d’une Peugeot 406 (PSA et Samtech)

5

Modélisation d’une Peugeot 406 en vue de l’étude de son comportement routier

Modélisation détaillée:

Des suspensions avant et arrière

De la transmission et de la boîte de vitesse

Du châssis avec des corps

rigides ou des super éléments

élastiques

Des modèles des

pneumatiques (modèles

de Pacejka)

Avec la courtoisie de PSA

6


Exemple:

modélisation

d’un sous-

système: la

direction Division du véhicule en sous-systèmes

7


Vue détaillée de la suspension avant et du système de direction

8


Déplacements du centre de

masse de la caisse au cours

de la manœuvre

Traj. horiz.

cdm caisse

Lacet cdm

caisse

Altitude z

cdm caisse

Roulis cdm

caisse

Tangage

cdm caisse 9


Vitesses et accélérations du

centre de la caisse au cours de

la manœuvre

Vit. longi.

cdm caisse

Acc. longi.

cdm caisse

Vit. Altitude z

cdm caisse

Acc. cdm

caisse

Rayon de courbure

trajectoire

Vit. de lacet

cdm caisse

10

Introduction

Suspensions et systèmes de direction

11

Introduction

Gillespie. Fig 8.1 12

Introduction

13

Introduction

Les trains d’atterrissage, c’est aussi le domaine des véhicules…

14


STRUCTURE ARTICULEE

Une structure articulée est un mécanisme est formée de corps rigides ou flexibles, reliés par des joints cinématiques

15

z

yx

B

A

C

z'

y'

x'

AB

C


DEGRES DE LIBERTE D’UN CORPS RIGIDE

Repérage d’un corps rigide libre dans l’espace

spécifier la position + l’orientation

au moyen de la position de 3 points non colinéaires

3 relations de liaisons (distance fixe entre les points)

6 degrés de liberté (DDL)

3 ddl de translation

position d’un point de référence dans un système de coordonnées

3 ddl de rotation

paramètres de rotation: angles d’Euler, de Bryant, etc.

16


JOINTS ET LIAISONS CINEMATIQUES Les corps rigides sont reliés par des joints

Introduisent des contraintes entre le mouvement des corps rigides du système multicorps

Contraintes algébro-différentielles en toute généralité

Si a on « N » corps rigides et « m » contraintes de liaison

Alors le système multicorps ne possède plus que 6N-m degrés de liberté

COORDONNES GENERALISEES Un ensemble de paramètres en nombre minimal permettant de décrire

la configuration du système

Généralement choisies pour satisfaire implicitement les contraintes de liaison

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Classification des paires cinématiques Le type de mouvement relatif autorisé

selon une ligne, une surface ou arbitraire dans l’espace

Le nombre de DDL = le nombre minimum de paramètres nécessaires pour décrire la

position du corps C2 relativement au corps C1

soit 5, 4, 3, 2, ou 1 DDL

la classe d’un joint = 6 - (nombre de DDL)

Le type de contact ponctuel, linéaire ou surfacique

Mode de fermeture Paires auto-fermées

si le contact entre les deux corps est garanti par la réalisation de la liaison

Paires fermées de force

si une force extérieure (gravité, ressort) est nécessaire pour avoir le contact

C1 Liaison

18


Paires cinématiques supérieures et inférieures Paires inférieures:

Le contact entre les corps s’effectue sur une partie substantielle d’une surface.

Point essentiel : le mouvement relatif des corps l’un par rapport à l’autre est identique

Le mouvement est réversible : peu importe l’élément moteur

Seulement 6 paires

liaisons rotoïde (R ), prismatique (P) et hélicoïdale (H) (toutes de classe 5)

liaison cylindrique (C ) (classe 4)

liaison point sur plan (E) et sphérique (S) (classe 3)

Paires supérieures: Caractérisées par un contact ponctuel ou linéaire

Parfois sur un point immatériel

Toutes les autres

19


Les 6 paires inférieures

20


Exemples de paires supérieures 21


Il est possible de remplacer la plupart des paires cinématiques par des combinaisons de joints de classe 5: rotoïde, prismatique ou hélicoïdal

22


Norme AFNOR de représentation

des paires cinématiques

23

Chaînes cinématiques

Structures en chaîne ouverte simple (simple open-tree structure)

Chaque corps est attaché à seulement 2 voisins

Structure purement séquentielle

Architecture habituelle du robot manipulateur

Co

L

C

C

C

L

L

L

L

1

1

2

i

i+ 1

i n

n

24


Structures en chaînes ouvertes arborescentes (multiple open-tree structure)

Certains corps sont connectés à plus de deux autres corps

Plus possible de numéroter les corps de manière séquentielle

Utilisation du concept de graphe

Possibilité d’avoir plusieurs effecteurs (comme le corps humain)

Co

1

Cn

+1

Ln+ 1

Ln+ 2

Ln+ k

Ln+ k+ 1Cm

Cn+ k

25


Structure complexe (multiply connected structure)

Présence de boucles fermées

Modélisation basée sur les structures simplement connectées + contraintes liées à la fermeture des boucles

Avantage : grande raideur, grande précision, mais faible mobilité

Structure typique du mécanisme

Co

1

C

C

L

C

L

L3

2

4

2

35

26


Soient:

nB, le nombre de corps

nJ, le nombre de joints

nL, le nombre de boucles

On montre aisément que le nombre de boucles cinématiques est liés au nombre de corps et de joints par la formule

En effet si la chaîne est ouverte on remarque aisément que le nombre de corps = nombre de joints. Pour refermer une boucle il faut ajouter un nouveau joint. Le nombre de boucles est donc égal au nombre de joints en surplus par rapport au nombre de corps

X

n L = n J ¡ n B

27


Indice de mobilité M:

Nombre de paramètres libres pour déterminer la configuration du mécanisme

Formule de Grübler:

Soient

nB, le nombre de corps

nJ, le nombre de joints

nL, le nombre de boucles

fj les nombres de ddl de l’articulation j, et cj = 6-fj la classe du joint j

Le nombre de ddl d’une chaîne cinématique est donné par:

M = 6 n B ¡

n J X

j = 1

( 6 ¡ f j )

X

M = 6 ( n B ¡ n J ) +

n J X

j = 1

f j

28


Formule de Grübler:

Le nombre de boucles:

L’indice de mobilité s’écrit alors

X

n L = n J ¡ n B

M =

n J X

j = 1

f j ¡ 6 n L

29


Attention !

Dans le cas d’un mécanisme plan ou sphérique, on a seulement 3 ddls et le nombre de ddl d’une chaîne cinématique est donné par:

La formule de Grübler peut être erronée pour certaines structures complexes, si les contraintes cinématiques dans les boucles sont redondantes

Exemple: sous-ensemble plan dans un mécanisme tridimensionnel

ecome:

M = 3(nB ¡ nJ ) ¡nJX

j=1

fj

X

M =

n J X

j = 1

f j ¡ 3 n L

30

Exercices sur le calcul des ddls d’un mécanisme

nB = 3

nJ = 4

nL = nJ – nB = 1

fj = 1 (j=1…4)

M = 3*(3-4)+4=1

nB = 3

nJ = 4

nL = nJ – nB = 1

fj = 1 (j=1…4)

M = 3*(3-4)+4=1

31


nB = 6

nJ = 7

nL = nJ – nB = 1

fj = 1 (j=1…7)

M = 6*(-1)+7=1

nB = 3

nJ = 4

nL = nJ – nB = 1

f1 =f4= 1; f2=2; f3=3

M = 6*(-1)+1+2+3+1=1 32


nB = 8

nJ = 11

nL = nJ – nB = 3

fj = 1 (j=1…11)

M = 3*(-3)+11=2

33


nB = 7

nJ = 11

nL = nJ – nB = 4

fj = 1 si R; fj = 2 si T; fj = 1 si

S M = 6*(-4)+1+5*2+5*3=2

34


35


nB = 7 nJ = 10 (P=4; S=5; U=1) nL = nJ – nB = 3 M = 6*(-3) + 4*1+5*3+1*2 = 3

36


• nB = 7 • nJ = 8 (7 R + 1 P) • nL = nJ – nB = 1 • M = 6*(-1) + 8*1 = 2

37


M = 3 !

38

PROPRIETES DES MECANISMES PLANS

39

Mécanismes plans

Soit un corps rigide ABC subissant un mouvement de rotation dans un plan

Les trajectoires et les vitesses des points A, B et C sont connues.

Les vitesses des points A, B et C jouissent des propriétés suivantes

40

Mécanismes plans

Existence d’un centre Instantané de Rotation (C.I.R.)

Les perpendiculaires communes aux trois vecteurs vitesses concourent en un point I appelé centre instantané de rotation (C.I.R.)

w est la vitesse angulaire instantané du solide autour de I

~ v A = ~ ! ^

¡ !

I A

~ v B = ~ ! ^

¡ !

I B

~ v C = ~ ! ^

¡ !

I C

41

Mécanismes plans

Quelques CIR évidents

Joint pivot : CIR sur le joint

Joint prismatique: CIR à l’infini dans la direction perpendiculaire au mouvement du joint

42

Mécanismes plans

Quelques CIR évidents

Came: CIR sur la perpendiculaire à la tangente commune

Roulement sans glissement: CIR au point de contact

43

Mécanismes plans

Si à partir d’un point on trace les vecteurs vitesses vA, vB et vC, leurs extrémités forment un triangle semblable et orthogonal au triangle ABC

44

Mécanismes plans

Théorème de composition des vitesses

La vitesse dans tout corps rigide peut s’écrire:

vitesse de A

vitesse relative de B par rapport à A

La vitesse relative de B par rapport à A

Soit

~ v B = ~ v A + ~ v B = A

~ v B = A = ~ ! ^

¡ !

A B

~ v B = ~ v A

+ ~ ! ^

¡ !

A B

45

Mécanismes plans

Théorème d’équiréciprocité des vitesses

¡ !

A B ¢ ~ v A =

¡ !

A B ¢ ~ v B

¡ !

A C ¢ ~ v A =

¡ !

A C ¢ ~ v C

¡ ¡ !

B C ¢ ~ v B =

¡ ¡ !

B C ¢ ~ v C

46

Mécanismes plans

Le champ des vitesses d’un corps rigide en rotation plane est complètement déterminé par la connaissance de la vitesse d’un de ses points et par la direction de la vitesse d’un autre point.

47

Théorème de Kennedy

Considérons 3 corps en mouvement relatif

Notons par I1,2 le CIR du mouvement du corps 2 par rapport au corps 1

par I2,3 le CIR du mouvement relatif des corps 2 et 3

et par I1,3 le CIR du mouvement relatif des corps 1 et 3

Ces trois CIR jouissent de la propriété d’être alignés comme le démontre le Théorème de Kennedy

48


Théorème: les CIR de 3 corps en mouvement relatif sont alignés

Démonstration

Si P est un point du corps 2, sa vitesse est

Si P est un point du corps 3, sa vitesse est

si P est le centre instantané du mouvement de 2 par rapport à 3

~ v P 3 = ! 3 ~ e z ^

¡ ¡ ¡ !

I 1 ; 3 P

~ v P 2 = ! 2 ~ e z ̂

¡ ¡ ¡ !

I 1 ; 2 P

~ v P 2 = 3 = ~ v P 2 ¡ ~ v P 3 = 0

49


Ceci signifie que les vecteurs ont même direction et même intensité

Même direction

soit si P= I23

Même intensité

¡ ¡ ¡ !

I 1 ; 2 P = =

¡ ¡ ¡ !

I 1 ; 3 P

¡ !

I 2 ; 3 = ¸

¡ !

I 1 ; 2 + ( 1 ¡ ¸ )

¡ !

I 1 ; 3

v P 2 = ! 2 I 1 ; 2 P = v P 3

= ! 3 I 1 ; 3 P

I 1 ; 2 P

I 1 ; 3 P

=

! 3

! 2

=

I 1 ; 2 I 2 ; 3

I 1 ; 3 I 2 ; 3

50


Si w2.w3<0 alors le point I23 se trouve entre I12 et I13.

Si w2.w3>0 alors le point I23 se trouve à l’extérieur du segment I12 et I13 du côté du corps ayant la plus grande vitesse angulaire.

Si w2=w3 alors si I12 n’est pas confondu avec I13, la seule possibilité est que point I23 soit à l’infini (cas de corps en translation relative).

51


52

Applications du théorème de Kennedy

Le théorème de Kennedy permet de déterminer le CIR de deux corps lorsque l’on connaît le CIR de ces deux corps par rapport à un troisième

De manière récursive, on peut déterminer les CIR d’un ensemble de n corps

Pour les mécanismes de suspension dans le plan, le théorème de Kennedy permet de déterminer le CIR de la masse suspendue (caisse) par rapport au sol

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DÉTERMINER LES CIR DE N CORPS EN MOUVEMENTS RELATIFS

Nombre total de CIR

NCIR = n*(n-1)/2

Méthode pour les cas simples:

Déterminer le nombre total de CIR

Dresser la liste des CIR

Déterminer un maximum de CIR par inspection des mécanismes (joints pivots, roulement sans glissement)

Déterminer les CIR manquants par le théorème de Kennedy

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DÉTERMINER LES CIR DE N CORPS EN MOUVEMENTS RELATIFS

Méthode pour les cas complexes:

Déterminer le nombre total de CIR

Porter sur un cercle autant de points que de corps différents

Déterminer un maximum de CIR par inspection des mécanismes

Relier sur le cercle des points correspondants aux CIR trouvés

Déterminer les CIR manquants par le théorème de Kennedy

Trouver 2 trios de corps comprenant les corps

Le CIR se trouve à l’intersection des lignes contenant le CIR

Par exemple à la figure suivante, le CIR de 1 et 3 se trouve sur l’intersection des droites I12 I23 et I14 I34.

Utiliser la méthode jusqu’à ce que le CIR désiré soit trouvé

55


56

Exercices:

Déterminer les centres de roulis (CIR de la caisse par rapport au sol) des suspensions suivantes

57

Exercices:


58

Exercices:


59

Exercices:

Déterminer le centre de roulis (CIR de la caisse par rapport au sol) de la suspension suivante

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Exercices:

61

Exercices:

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