Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction
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Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011 1
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction
Professeur Patrick VAUDON
Université de Limoges - France
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Théorie géométrique de la diffraction
Définition : Méthode de calcul dite asymptotique, c’est à dire d’autant plus exacte que la fréquence est plus élevée.
Concrètement : il s’agit de méthodes de calcul du champ électromagnétique, intermédiaires entre les méthodes à formulation rigoureuses et les méthodes optiques.
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Les besoins de calculs du champ électromagnétique
-Diagramme de rayonnement des antennes.
- Analyse du canal de propagation.
- Calculs de surface équivalente radar.
- Calculs des niveaux des parasites électromagnétiques (compatibilité EM)
- IEMN, MPF, guerre électronique, etc …..
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Les méthodes de calcul du champ électromagnétique
- Les méthodes exactes (Solutions exactes des équations de MAXWELL) (Solutions peu nombreuses)
- Les méthodes rigoureuses à formulation numérique (Discrétisation des équations de MAXWELL) (Volume de calcul limité)
- Les méthodes asymptotiques (TGD, Optique physique) (Méthodes approchées)
Ce sont les seules méthodes utilisables pour traiter des objets dont les dimensions sont grandes devant la longueur d’onde.
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Exemple de calcul avec un dipôle
- Dipôle : fil dont la longueur est très inférieure à la longueur d’onde
- Diagramme de rayonnement en espace libre :
F( ) = |sin( )| avec une symétrie de révolution autour du fil
- Champ électrique rayonné à grande distance :
Ur
esinEE
jkr
0
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Exemple de calcul avec un dipôleDiagramme de rayonnement en espace libre
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
10
5 10 15 2025
3035
404550
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130135
140145
150155
160165170175180
185190195200205
210215
220225
230
235
240
245
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310315
320325
330335
340345350 355
x
Z
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Exemple de calcul avec un dipôle
Problème : comment rayonne un dipôle situé à une hauteur h au-dessus d’un plan de masse infini et parfaitement conducteur ?
dipôle
h
r
La résolution directe par les équations de MAXWELL est difficile à cause des conditions aux limites imposées par le plan de masse.
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Exemple de calcul avec un dipôle
On va utiliser une méthode d’optique géométrique
dipôle
h
r
Rayon direct :
P
Ur
esinEE
jkr
0d
Rayon réfléchi ?
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Exemple de calcul avec un dipôle
dipôle
h
r
Rayon réfléchi :
P
avec
d
Ur
esinEE
drjk
0r
d = 2h cos( )
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Exemple de calcul avec un dipôleChamp total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de mase
dipôle
h
r
Ur
esinEU
r
esinEEEE
drjk
0
jkr
0rd
Ue1r
esinEE cosjkh2
jkr
0
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Exemple de calcul avec un dipôleChamp total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse
Ue1r
esinEE cosjkh2
jkr
0
))cos(khcos(e2eeee1 cosjkhcosjkhcosjkhcosjkhcosjkh2
Ur
e))cos(khcos(sinE2E
)cos(hrjk
0
Diagramme de rayonnement du dipôle au-dessus du plan de masse
))cos(khcos(sinF
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Exemple de calcul avec un dipôleChamp total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse
))cos(khcos(sinF
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
h=0.1 h=0.5 h=0.75
h= h=1.25 h=1.5
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Exemple de calcul avec un dipôleExpliquer pourquoi, pour h = , le rayonnement est sensiblement nul dans la
direction = 75°
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
dipôle
h=
r P
r1
r2
(r1+r2) – r = k /2
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L’optique géométrique
Toutes les sources ne rayonnent pas de manière sphérique comme dans l’exemple précédent : exemple : lampe de poche,
laser …..
L’optique géométrique précise comment évolue le champ électromagnétique lorsqu’on se déplace le long d’un rayon.
On montre que d’un point de vue théorique, l’optique géométrique est une solution asymptotique des équations de
MAXWELL lorsque la fréquence tend vers l’infini.
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L’optique géométriqueThéorie scalaire
Notion de front d’onde et de rayon
Rayons
=
Direction de
Propagation
De l’énergie
Front d’onde
=
Surface équiphase
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L’optique géométriqueThéorie scalaire
d2
2
1
d1
rayon axial
rayon paraxial
P2
P1
Un tube de rayons transporte une énergie constante
P1 . d1 = P2 . d2
avec
2EP
2
E12 . d1 = E2
2 . d2
soit
12
12 E
dd
E
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L’optique géométriqueThéorie scalaire
d2
d1 O2
O1
1
2
1 + R
2 + R
On montre que les surfaces infinitésimales sont liées par la relation
21
2
21
1
RRdd
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L’optique géométriqueThéorie scalaire
d2
d1 O2
O1
1
2
1 + R
2 + R
On en déduit la relation qui relie ponctuellement l’amplitude du champ :
121
212 E
RRE
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L’optique géométriqueThéorie scalaire
d2
d1 O2
O1
1
2
1 + R
2 + R
Quelques cas particuliers
121
212 E
RRE
- 1 = 2 = onde plane
- 1 ou 2 = onde cylindrique
- 1 = 2 finis onde sphérique
- 1 , 2 finis quelconques onde
astigmate
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L’optique géométriqueThéorie vectorielle
Définition d’une base vectorielle associée à chaque rayon afin de préciser la polarisation de l’onde
//e//e
s
e
es
N
Q
i r
- : vecteur unitaire dans la direction de propagation- : vecteur unitaire perpendiculaire au plan d’incidence- : vecteur inclus dans le plan d’incidence formant un trièdre direct
avec les deux autres et vérifiant :
s
e
//e
see//
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L’optique géométriqueThéorie vectorielle
//e//e
s
e
es
N
Q
i r
Expression vectorielle des champs
iii//
i//
i e E e EE
rrr//
r//
r e E e EE
Les conditions aux limites imposent sur le plan parfaitement conducteur : Ei// = Er
// et Ei = - Er
ir E RE
10
01R
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L’optique géométriqueThéorie vectorielle
Réflexion d’une famille de rayons
P
sr 1i
2i
Q
1r
2r
rjks
rr2
rr1
r2
r1rr e
ssQEPE
rjks
rr2
rr1
r2
r1ir e
ssQE RPE
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L’optique géométriqueLe principe de FERMAT
FERMAT a émis le principe selon lequel, parmi l’infinité des trajets possibles de la source au point d’observation, la lumière choisie le trajet tel que le chemin optique soit stationnaire par rapport à toute modification infinitésimale de ce trajet.
« La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples » Pierre de FERMAT (1657)
Observation(0,5)
y
Source (0,2)
M1
M2
(0,0)
A
B
5 10x
Miroir
vertical
Miroir horizontal
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L’optique géométriqueLe principe de FERMAT
Source (0,2)
Observation ( 4,0)
A
M
B x
y
1
2
n1
n2
MO
A
B