Introduction à la méthode des éléments...

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Introduction à la méthode des éléments finis 2 e édition

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Introduction à la méthode des éléments finis

2e édition

Introduction à la méthode des éléments finis

2e édition

Jean-Christophe Cuillière

© Dunod, Paris, 2011, 20165 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.comISBN 978-2-10-074262-2

Illustration de couverture :Cette image est le résultat d’un calcul par éléments finis à partir

du logiciel SolidWORKS. Source : J.-C. Cuillière.

À mes enfants, Nicolas, Yannick, Caroline, Laurent, Xavier, Axel et ÉlisabethÀ Nadia

Merci pour l’amour et les encouragements

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TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1 • Introduction 1

1.1 La méthode des éléments finis 1

1.2 La pratique de la MEF 3

1.3 Les dangers et difficultés de la pratique de la MEF 3

1.4 L’enseignement de la pratique de la MEF 4

1.5 Organisation de l’ouvrage 5

Chapitre 2 • Rappels 7

2.1 Notations utilisées 7

2.2 Rappels en élasticité linéaire 82.2.1 Tenseurs fondamentaux 82.2.2 Relations entre déplacements et déformations 92.2.3 Relations entre déformations et contraintes 102.2.4 Cas de l’élasticité plane 102.2.5 Formalisation d’un problème d’élasticité tridimensionnel 122.2.6 Énergie de déformation élastique 162.2.7 Théorème des travaux virtuels (déplacements virtuels) 162.2.8 Contraintes principales 172.2.9 Contrainte de Von-Mises 172.2.10 Rupture 18

2.3 Les transformations entre espaces de coordonnées 192.3.1 Principe 192.3.2 Matrice Jacobienne 192.3.3 Utilisation de la matrice Jacobienne 20

Chapitre 3 • Approche directe-élément de barre 29

3.1 Introduction 29

3.2 Élément de barre 30

3.3 Modélisation matricielle 30

3.4 Applications 313.4.1 Première application 313.4.2 Deuxième application 34

3.5 Conclusion 35

Chapitre 4 • Notions générales et interpolation nodale 37

4.1 Notions générales 374.1.1 Introduction 374.1.2 Formulation intégrale 38

Table des matières

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4.1.3 Maillage 384.1.4 Utilité du maillage 394.1.5 Transformation en un système linéaire 394.1.6 Résolution du système linéaire 40

4.2 Types d’éléments finis 404.2.1 Introduction 404.2.2 Éléments à une dimension 424.2.3 Éléments à deux dimensions 424.2.4 Éléments à trois dimensions 43

4.3 Règles de maillage et raffinement de maillages 444.3.1 Règles générales 444.3.2 Raffinement de maillages 474.3.3 Raffinement adaptatif de maillages 47

4.4 Interpolation nodale sur l’élément réel 494.4.1 Introduction 494.4.2 Interpolation nodale 504.4.3 Extension de l’interpolation nodale à deux et trois variables 51

4.5 Interpolation nodale sur l’élément de référence 524.5.1 Principe des éléments de référence 524.5.2 Éléments de référence 534.5.3 Fonctions de forme 544.5.4 Interpolation sur l’élément de référence 584.5.5 Exemple d’un élément à une dimension linéaire 594.5.6 Éléments isoparamétriques 60

4.6 Interpolation nodale en base complète 614.6.1 Convergence de la solution de calcul par EF 614.6.2 Illustration par un exemple 624.6.3 Continuité de la solution 634.6.4 Continuité et convergence de la solution en EF 634.6.5 Continuité et convergence en élasticité 65

4.7 Forme particulière de la matrice Jacobienne 67

Chapitre 5 • Intégration numérique 77

5.1 Introduction 77

5.2 Intégration à une dimension 785.2.1 Introduction 785.2.2 Méthode de Gauss (Gauss-Legendre) 78

5.3 Intégration à deux dimensions 805.3.1 Introduction 805.3.2 Méthode produit 815.3.3 Méthode directe 82

5.4 Intégration à trois dimensions 845.4.1 Introduction 845.4.2 Méthode produit 845.4.3 Méthode directe 855.4.4 Intégration sur le pentaèdre de référence 86

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IX

Table des matières

Chapitre 6 • Formulations intégrales 95

6.1 Introduction 95

6.2 Schéma général de la MEF 96

6.3 Méthode des résidus pondérés - forme intégrale forte 976.3.1 Résidu 976.3.2 Forme intégrale forte 986.3.3 Forme intégrale forte en élasticité 98

6.4 Forme intégrale faible 996.4.1 Intégration par parties (une dimension) 996.4.2 Formules de Green à deux dimensions 996.4.3 Formules de Green à trois dimensions 1006.4.4 Forme intégrale faible 101

6.5 Hypothèse de Galerkine 1046.5.1 Introduction 1046.5.2 Hypothèse de Galerkine 1046.5.3 Propriétés de l’opérateur variation 1046.5.4 Forme intégrale faible avec hypothèse de Galerkine 1056.5.5 Prise en compte des forces ponctuelles 106

6.6 Application à l’élément de barre 1086.6.1 Introduction 1086.6.2 Equation d’équilibre 1096.6.3 Conditions aux limites 1106.6.4 Forme intégrale forte 1106.6.5 Forme intégrale faible 1116.6.6 Forme intégrale faible avec hypothèse de Galerkine 1116.6.7 Forces ponctuelles : utilisation directe du théorème des travaux virtuels 112

Chapitre 7 • Matrices de rigidité locales et vecteurs force locaux 119

7.1 Découpage de la forme intégrale faible 119

7.2 Discrétisation de la forme intégrale faible (cas général) 1207.2.1 Introduction de l’interpolation nodale 1207.2.2 Matrice [B] 1227.2.3 Matrice de rigidité locale et vecteur force local (cas général) 122

7.3 Discrétisation de la forme intégrale faible (élément de barre) 1247.3.1 Découpage de la forme intégrale faible 1247.3.2 Passage sur l’élément de référence 1257.3.3 Introduction de l’interpolation nodale 1267.3.4 Matrice de rigidité et vecteur force 1277.3.5 Forme des matrices et vecteurs locaux sans passer par l’élément

de référence 1277.3.6 Forme particulière de l’équation (7-30) 129

Chapitre 8 • Expansion assemblage résolution 131

8.1 Représentation du maillage 1318.1.1 Introduction 1318.1.2 Table des nœuds 132

Table des matières

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8.1.3 Table de connectivité 132

8.2 Matrices de rigidité et vecteurs force locaux expansés 1338.2.1 Principe 1338.2.2 Vecteurs de localisation 1358.2.3 Utilisation des vecteurs de localisation 1368.2.4 Utilisation des matrices et vecteurs expansés 136

8.3 Matrice de rigidité globale et vecteur force global 1378.3.1 Principe 1378.3.2 Caractéristiques de la matrice globale 1388.3.3 Minimisation de la largeur de bande 1398.3.4 Exemple d’illustration (expansion et assemblage) 139

8.4 Résolution du système final – calcul des réactions 1428.4.1 Système final 1428.4.2 Particularités du système final 1438.4.3 Méthode directe 1448.4.4 Méthode du terme diagonal pénalisé 1448.4.5 Méthode du terme diagonal unité 1458.4.6 Cas particulier�: déplacements imposés nuls 146

8.5 Expansion-assemblage-résolution (éléments de barre) 1478.5.1 Introduction 1478.5.2 Application à un cas pratique 147

Chapitre 9 • Application à l’élasticité linéaire 165

9.1 Application de la forme générale à un élément de barre 1659.1.1 Introduction 1659.1.2 Calcul de la matrice [H] 1669.1.3 Calcul de la matrice [B] 1669.1.4 Calcul de la matrice [N] 1679.1.5 Calcul des matrices de rigidité locales et vecteurs force locaux 167

9.2 Éléments de poutre 1689.2.1 Élément de poutre en flexion uniquement 1689.2.2 Élément de poutre en tension et flexion combinées 187

9.3 Extension des formulations en 2D et en 3D 1909.3.1 Introduction 1909.3.2 Passage en 2D 1919.3.3 Passage en 3D 1939.3.4 Exemple d’application 194

9.4 Élément triangulaire linéaire en contraintes planes 1989.4.1 Introduction 1989.4.2 Calcul de la matrice [H] 1999.4.3 Calcul de la matrice [B] 2009.4.4 Calcul de la matrice [N] 2029.4.5 Calcul de la matrice de rigidité locale 202

9.5 Élasticité tridimensionnelle 2049.5.1 Introduction 2049.5.2 Maillage et discrétisation de la forme intégrale 2059.5.3 Introduction de l’élément de référence 2059.5.4 Matrice [B] 206

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Table des matières

9.5.5 Matrice de rigidité locale et vecteur force local 2089.5.6 Application à l’élément tétraédrique linéaire 209

9.6 Calcul d’extrapolation des efforts répartis aux nœuds 2119.6.1 Introduction 2119.6.2 Force volumique sur un élément 1D 2119.6.3 Pression sur un triangle linéaire en 2D 2139.6.4 Pression sur plusieurs triangles linéaires en 2D 2159.6.5 Extrapolation d’une pression pour des éléments de degré plus élevé 217

Chapitre 10 • Utilisation pratique de la méthode des éléments finis 239

10.1 La pratique de la MEF 23910.1.1 Introduction 23910.1.2 Les dangers et difficultés de la pratique de la MEF 24010.1.3 Les sources d’erreur dans l’utilisation pratique de la MEF 240

10.2 Le processus d’utilisation pratique de la MEF 24110.2.1 Les étapes d’un calcul pratique par EF 24110.2.2 L’analyse préliminaire 24210.2.3 L’adaptation du modèle CAO de produit 24310.2.4 La détermination d’un modèle EF 25110.2.5 Calcul 25610.2.6 Analyse des résultats 25610.2.7 Raffinement et modification du modèle EF 25910.2.8 Utilitaires divers 261

Annexe 1 263

Annexe 2 277

Annexe 3 283

Index 285

Formule SAE® conçue et fabriquée par l’équipe 2002-2003 d’unprojet étudiant de l’École d’Ingénierie de l’Université du Québec àTrois-Rivières, dirigée par les chefs d’équipe Marc-André Lebel etPierre-Luc Milot, sous la supervision du Professeur Jean-ChristopheCuillière. Le châssis et de nombreux composants du véhicule ont étéoptimisés à l’aide de la méthode des éléments finis afin de rechercherle meilleur compromis entre légèreté et robustesse.

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1INTRODUCTION

1.1 LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

L’enseignement en génie mécanique de la méthode des éléments finis (MEF) repré-sente l’aboutissement d’une suite de cours traitant des théories, méthodes et outilsutilisés pour calculer la résistance de pièces, d’assemblages et de structures. Parconséquent, aborder un cours d’éléments finis (EF) en mécanique demande de trèsbonnes connaissances en résistance des matériaux et plus généralement en élasticité.Ainsi, la base de l’application de la MEF en mécanique est la théorie des poutresainsi que la théorie plus générale de l’élasticité.

Nous nous limiterons dans le cadre de cet ouvrage à des problèmes d’élasticitélinéaire même si la méthode a de nombreuses applications pratiques dans le domainede la mécanique non-linéaire (contacts, grands déplacements, grandes déforma-tions…). D’ailleurs, de manière plus générale, la MEF tire une grande partie de sapopularité de son potentiel d’application à un très grand nombre de problèmespratiques rencontrés par les ingénieurs. En effet, cette méthode s’applique à toutproblème physique qui peut être modélisé mathématiquement par un ensembled’équations différentielles assorti d’un ensemble de conditions de frontières (ouconditions aux limites) et d’un ensemble de conditions initiales pour les problèmesnon-stationnaires. Ainsi, la MEF s’applique aussi bien pour des problèmes d’élasti-cité, que pour des problèmes de transfert de chaleur, d'électromagnétisme et d’écou-lement de fluides (cette liste est loin d’être exhaustive).

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1.1 La méthode des éléments finis (MEF)

1.2 La pratique de la MEF

1.3 Les dangers et difficultés de la pratique de la MEF

1.4 L’enseignement de la pratique de la MEF

1.5 Organisation de l’ouvrage

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IFS ➤ Découvrir la méthode des éléments finis.

➤ Situer la méthode dans le cadre de l’apprentissage en ingénierie.

➤ Situer la méthode dans le cadre de la pratique du métier d’ingénieur.

Chapitre 1 • Introduction

2

Un problème physique modélisé mathématiquement de cette manière peut êtrerésolu en utilisant des approches analytiques (méthodes de calcul manuelles paropposition aux méthodes de calcul numériques qui elles sont destinées à êtreimplantées sur ordinateur) ou numériques. Les méthodes analytiques sont basées, laplupart du temps, sur des hypothèses simplificatrices qui ne permettent pas desimuler le comportement d'un système réel de manière précise. Dans ce typed’approche, on simplifie le problème pour pouvoir résoudre manuellement les équa-tions. Par exemple, la théorie des poutres, qui est fondamentalement une simplifica-tion de la théorie de l’élasticité, permet de résoudre analytiquement des problèmesde résistance mécanique mais elle ne s’applique que dans le cadre d’hypothèses trèsrestrictives. En effet, cette théorie (et toutes les formules de résistance des matériauxqui en découlent) ne peut donner des résultats précis que dans le cadre de l’applica-tion à des poutres, c'est-à-dire à des objets dont la section est petite par rapport à leurlongueur. De manière générale, les approches de résolution analytiques se basent surdes hypothèses simplificatrices sur la géométrie des objets et domaines étudiés ainsique sur le type de comportement considéré.

Les méthodes numériques (dont la MEF est un exemple) ont connu un développe-ment très important ces dernières années, en grande partie grâce au développementdes technologies informatiques. Ces méthodes restent des méthodes approchées derésolution des problèmes physiques rencontrés par l’ingénieur mais elles permettentde simuler et solutionner beaucoup plus précisément ces problèmes. Elles impli-quent des calculs très lourds, impossibles à réaliser manuellement et le développe-ment de l'outil informatique permet maintenant de retrouver ce type de technologiemême sur plate-forme PC. La MEF fait partie de cet ensemble des méthodes numé-riques dont, par exemple, la méthode des volumes finis, des différences finies, deséléments de frontières ainsi que les méthodes sans maillage.

Contrairement aux méthodes analytiques mentionnées ci-dessus la MEF (et lesméthodes numériques en général) est une méthode qui permet de résoudre lesproblèmes pouvant se formuler par des systèmes d'équations aux dérivées partiellesassortis de conditions aux limites, dans un cadre général (c'est-à-dire sans recourir àdes hypothèses simplificatrices au niveau de la forme des ouvrages calculés ou ducomportement des matériaux impliqués).

Figure 1.1 – Problème continu - problème discret.

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1.2 • La pratique de la MEF

Le principe fondamental de la MEF (voir Figure 1.1) est de transformer unproblème continu (modélisé mathématiquement par un système d’équations auxdérivées partielles avec des conditions aux limites) en un problème discret qui estmodélisé mathématiquement par un système d’équations linéaires. La solutiond’un problème continu est un champ continu d’une grandeur physique (parexemple les déplacements en mécanique), alors que la solution d’un problèmediscret est un ensemble de valeurs prises par une grandeur physique (les déplace-ments aux extrémités des ressorts pour l’exemple choisi) en des points particu-liers, appelés nœuds dans le cadre de la MEF.

En mécanique, la MEF permet (lorsqu’elle est utilisée de manière éclairée) dedimensionner ou de calculer la résistance mécanique des pièces, assemblages etstructures de manière très précise.

1.2 LA PRATIQUE DE LA MEFLa MEF repose sur des bases théoriques complexes et utilise une mathématique deniveau assez élevé. En parallèle, au niveau pratique, la MEF est aujourd’hui bienimplantée dans de nombreux logiciels commerciaux de CAO (Conception Assistéepar Ordinateur) et les processus d’ingénierie modernes l’utilisent de manière inten-sive pour le calcul de toutes sortes d’ouvrages. L’intégration de la MEF au sein desprocessus d’ingénierie touche toutes les phases du cycle de développement deproduits (ingénierie préliminaire, recherche de solutions, ingénierie détaillée, prépa-ration à la fabrication, etc.). Cette intégration a notamment un impact très importantsur le contexte d’utilisation du prototypage physique. D’autre part, les efforts impor-tants de recherche dans le domaine de la CAO au cours des années 1990-2000 ontpermis de mettre en œuvre des interfaces qui rendent, à première vue, l’utilisation dece genre de technologie de plus en plus facile, y compris pour de non spécialistes.Sur ce sujet, on peut citer en particulier les progrès extrêmement importants réalisés,ces dernières années, dans le domaine du maillage automatique (découpage automa-tique de la géométrie CAO en éléments finis) et dans le domaine des estimateursd’erreur (procédures qui permettent d’estimer l’ordre de grandeur de l’erreur d’uncalcul par EF par rapport à la solution exacte). Grâce à ces progrès, on peut mainte-nant mener certains calculs par EF à partir d’un modèle 3D CAO en quelquesminutes alors que la même opération aurait pris plusieurs jours il y a quelquesannées.

1.3 LES DANGERS ET DIFFICULTÉS DE LA PRATIQUE DE LA MEF

Ces apparences sont néanmoins trompeuses car la méthode repose, tel quementionné ci-dessus, sur des bases théoriques complexes qu’il faut bien maîtriserafin de mener des calculs de manière éclairée et ainsi obtenir des résultats de calculréalistes. D’ailleurs, l’utilisation de plus en plus fréquente de ce genre de technolo-gies par des personnels non spécialistes ou inadéquatement formés commence à être

Chapitre 1 • Introduction

4

une source d’inquiétude très sérieuse, compte tenu des enjeux de sécurité sous-jacents. De manière générale, utiliser un logiciel quelconque pour résoudre unproblème d’ingénierie sans en comprendre le fonctionnement est très dangereux etle présent ouvrage vise principalement l’acquisition de connaissances de base,permettant une utilisation éclairée de logiciels de calcul par EF pour résoudre desproblèmes pratiques de dimensionnement et de calcul de résistance mécanique depièces, assemblages et structures.

D’autre part, l’évolution très rapide de la technologie fait en sorte que les analysteset ingénieurs eux-mêmes se trouvent face à un grand nombre d’outils de calcul dontils doivent apprendre à se servir de manière efficace, afin de faire les bons choix enfonction des types de problèmes qu’ils ont à résoudre de manière pratique.

1.4 L’ENSEIGNEMENT DE LA PRATIQUE DE LA MEFHistoriquement, la MEF a longtemps été enseignée exclusivement aux études decycles supérieurs, compte tenu du fait qu’elle repose sur des bases mathématiquesassez complexes, mais également compte tenu du fait qu’elle était considérée commeune technologie de pointe, associée à des industries de pointe. Au fil du temps, lesprogrès des systèmes informatiques et les progrès de la recherche ont entraîné unphénomène de démocratisation des technologies de CAO/FAO en général et de l’utili-sation pratique de la MEF en particulier. Ce phénomène à des effets très importantssur l’évolution de la pratique professionnelle en génie mécanique. Aujourd’hui,compte tenu de l’utilisation de plus en plus répandue de ce type de technologie dansde nombreux domaines industriels, il est nécessaire de former des ingénieurs qui soientcapables d’utiliser efficacement les outils commerciaux de calcul par EF. Les défispédagogiques rencontrés dans l’enseignement de ce cours au premier cycle en géniemécanique sont nombreux et certains programmes d’études en ingénierie n’introdui-sent ce cours qu’au niveau des cycles supérieurs ou comme cours optionnel au premiercycle, ce qui est une faiblesse compte tenu de l’évolution de la pratique professionnelle.

Ainsi, dans le contexte historique mentionné précédemment, la littérature sur laMEF est très abondante mais s’adresse généralement à un public de chercheurs oud’étudiants de cycles supérieurs intéressés à développer des connaissances pointuesdans ce domaine. Par conséquent, la littérature existante est très axée sur le voletthéorique de la méthode et n’a pas spécifiquement comme objectif l’utilisationpratique d’outils logiciels dans le contexte du travail d’un ingénieur. Le présentouvrage est un ouvrage d’introduction qui est spécifiquement destiné à une clientèled’ingénieurs et d’étudiants en génie mécanique au niveau du premier cycle. Lesbases théoriques de la méthode sont abordées dans le but précis de l’utilisation effi-cace des logiciels et de l’exploitation éclairée des résultats.

En effet, pour mener de bons calculs par EF en résistance mécanique, il estd’abord nécessaire d’avoir une bonne compréhension des phénomènes en jeu dans lefonctionnement en service d’une pièce, ce qui demande de solides connaissances enmécanique théorique (statique, dynamique, élasticité, etc.). Il faut ensuite uneconnaissance de base de la MEF, afin de l’utiliser adéquatement pour obtenir desrésultats précis et réalistes par rapport au fonctionnement réel des pièces et assem-

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1.5 • Organisation de l’ouvrage

blages simulés. Il faut enfin, développer une connaissance des outils logiciels lesplus modernes, afin d’obtenir ces résultats de manière rapide et efficace.

1.5 ORGANISATION DE L’OUVRAGE

L’organisation de l’ouvrage est la suivante :Le chapitre 2 résume un ensemble de notions qui sont supposées connues et

maîtrisées par l’étudiant pour aborder un cours d’éléments finis en mécanique. On yintroduit des conventions de notation puis on effectue quelques rappels sur les équa-tions fondamentales de la théorie de l’élasticité linéaire ainsi que sur le principe detransformation entre espaces de coordonnées.

Le chapitre 3 introduit certains concepts fondamentaux de la MEF appliquée à lamécanique, en utilisant un exemple très simple, pour lequel on peut déterminer leséléments mathématiques de base de la méthode (matrices de rigidité locales etvecteurs force locaux) sans utiliser de formulation intégrale. Cet exemple introduitnotamment les bases de la formulation matricielle de la résistance d’éléments destructures qui est à la source de la MEF.

Le chapitre 4 introduit les concepts de base de la MEF et se concentre ensuite surl’interpolation nodale et sur les différents types principaux d’éléments utilisés dansla pratique. On aborde notamment les règles fondamentales qui doivent être respec-tées quant au recouvrement (maillage) d’un domaine par des éléments finis ainsi quele concept d’utilisation d’éléments de référence.

Le chapitre 5 traite d’intégration numérique. On y présente les méthodes dequadrature qui sont spécifiquement utilisées en EF pour calculer les intégralessimples, doubles et triples.

Le chapitre 6 introduit la manière dont le système des équations d’équilibre,assorti des conditions aux limites (déplacements imposés et efforts imposés) peutêtre transformé en une formulation intégrale. Ce chapitre est le plus délicat del’ouvrage et représente la partie la plus théorique de la méthode. Parmi les diffé-rentes options possibles dans l’établissement d’une formulation intégrale, on choisitici d’introduire la méthode des résidus pondérés avec la méthode de Galerkine pource qui est du choix des fonctions de pondération.

Le chapitre 7 décrit comment cette formulation intégrale peut ensuite être discré-tisée et aboutir à la définition de matrices de rigidité locales et vecteurs force locaux.

Le chapitre 8 aborde la manière dont les matrices de rigidité locales et vecteursforces locaux sont assemblés pour former une matrice de rigidité globale et un vecteurforce global. Pour un calcul donné, la matrice de rigidité globale et le vecteur forceglobal forment un système linéaire qui, une fois résolu, fournit les résultats recherchéspar l’ingénieur (champ de déplacements, de déformations, de contraintes et réactionsaux appuis).

Le chapitre 9 aborde l’application particulière de la méthodologie vue dans leschapitres précédents à la résolution de certains problèmes d’élasticité linéaire (élas-ticité plane et tridimensionnelle, éléments de barre et éléments de poutres).

Chapitre 1 • Introduction

6

Le chapitre 10 aborde l’application pratique de la MEF et insiste particulièrementsur les précautions à prendre afin d’utiliser la MEF de manière éclairée et d’obtenirdes résultats de calcul réalistes.

Chaque chapitre propose un ensemble d’exercices d’application, pour lesquelssont fournis des éléments de solution qui sont plus ou moins détaillés selon les cas.

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2RAPPELSPL

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2.1 Notations utilisées

2.2 Rappels en élasticité linéaire

2.3 Les transformations entre espaces de coordonnées

Exercices

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IFS ➤ Connaître les notations utilisées au cours de l’ouvrage.

➤ Revoir les notions théoriques essentielles à l’apprentissage de la MEF.

➤ Revoir les grandeurs et équations fondamentales de l’élasticité linéaire.

2.1 NOTATIONS UTILISÉES

Nous commençons par introduire ici les notations mathématiques qui seront utili-sées à travers l’ensemble de cet ouvrage. Soit un vecteur V

� à n composantes notées

respectivement iv . La notation conventionnelle � �V signifie que l’on considère V�

comme vecteur colonne et la notation conventionnelle V signifie que l’on consi-dère V

� comme vecteur ligne.

Le produit scalaire des deux vecteurs V� et W�

est noté WV��

. alors que le produit vectoriel des deux vecteurs est noté WV

��� .

La notation conventionnelle iv signifie que l’on considère V� comme un tenseur

(un tenseur d’ordre 1).Par convention, les matrices sont notées entre crochets. Par exemple la matrice A

sera notée A� � . La notation conventionnelle ijA signifie que l’on considère la matrice A� � comme un tenseur (un tenseur d’ordre 2). La matrice transposée d’une matrice est notée avec l’exposant T. La matrice transposée de la matrice A� � est

donc notée A� �T . Cela s’applique également aux vecteurs et on a donc les relations :

� �VV T � et � � VV T �

La matrice inverse d’une matrice est notée avec l’exposant -1. La matrice inverse de la matrice A� � est donc notée A� �–1.

Chapitre 2 • Rappels

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2.2 RAPPELS EN ÉLASTICITÉ LINÉAIRE

2.2.1 Tenseurs fondamentaux

a) Tenseur des déplacements

On considère d’abord le tenseur iU du champ des déplacements qui est un vecteur noté iU et qui a pour composantes (en 3D) :

� ��

��

��wvu

U

b) Tenseur des déformations

On considère ensuite le tenseur ij� du champ des déformations (appelé tenseur de Green-Lagrange linéarisé) qui est une matrice symétrique notée �� � et qui a pour composantes (en 3D) :

� ����

���

zyzxz

yzyxy

xzxyx

���������

� (2-1)

Il faut faire attention au fait que l’on utilise également d’autres composantes de déformations notées :

yzyz

xzxz

xyxy

����

��

.2

.2

.2

��

(2-2)

On utilise également une notation du tenseur des déformations (qui à la base est une matrice symétrique à 9 composantes) sous la forme d’un vecteur à 6 compo-santes. Dans ce cas, les composantes considérées sont les suivantes (ce qui est une source d’erreur importante car les composantes ne sont pas les mêmes) : �� � �x �y �z �xy �xz �yz� �=

c) Tenseur des contraintes

On considère enfin le tenseur du champ ij� des contraintes (appelé tenseur de Cauchy-Euler) qui est une matrice symétrique notée �� � et qui a pour composantes (en 3D) :

� ����

���

zyzxz

yzyxy

xzxyx

���������

� (2-3)

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2.2 • Rappels en élasticité linéaire

Tout comme pour les déformations, on utilise également une notation du tenseur des contraintes (qui à la base est une matrice symétrique à 9 composantes) sous la forme d’un vecteur à 6 composantes. Dans ce cas, les composantes considérées sont les suivantes : �� � �x �y �z �xy �xz �yz� �=

On rappelle qu’une surface élémentaire de vecteur normal unitaire n�

dans le champ de contraintes �� � subit des efforts par unité de surface (contraintes) T

� tels que :

� � � �� �nT .�� (2-4)

Ainsi, si les composantes des vecteurs T�

et n� sont les suivantes :

� ��

��

��

z

y

x

TTT

T et � ��

��

��

z

y

x

nnn

n avec 1222 ���� zyx nnnn�

On a les relations

zzyyzxxzz

zyzyyxxyy

zxzyxyxxx

nnnT

nnnT

nnnT

...

...

...

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���

���

���

���

���

(2-5)

2.2.2 Relations entre déplacements et déformations

On peut déterminer facilement les déformations à partir de la connaissance des déplacements en utilisant les relations classiques :

yw

zv

xw

zu

xv

yu

zw

yv

xu

yzxzxyzyx ��

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D’où on déduit que :

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zv

xw

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xv

yu

yzxzxy .21,.

21,.

21 ���

On peut exprimer cette même relation matricielle en utilisant les notations tenso-rielles (ou indicielles).

# $ijjiij UU ,,.21

��� (2-7)

Les déformations sont donc globalement homogènes aux dérivées premières des déplacements par rapport aux variables d’espace. Ceci a une importance particu-lière dans l’interprétation des résultats de calcul par EF car, en EF, on calcule les déformations en dérivant les composantes de déplacement.

Chapitre 2 • Rappels

10

Les relations entre le champ de déplacements et le champ de déformations impli-quent des conditions (ou relations) de compatibilité entre composantes du tenseur desdéformations. Ces conditions de compatibilité sont exprimées par les 6 relations :

(2-8)

Ces relations s’expriment sous forme tensorielle par

(2-9)

2.2.3 Relations entre déformations et contraintes

On peut ensuite déterminer facilement les contraintes à partir de la connaissancedes déformations en utilisant la loi de Hooke. Cette loi peut être exprimée de manièrematricielle (pour un état de contraintes et de déformations tridimensionnels) :

(2-10)La matrice est appelée matrice de Hooke et vaut pour un matériau homogène

et isotrope défini par son module de Young E et son coefficient de Poisson :

où (2-11)

On peut exprimer cette même relation matricielle en utilisant les notations tenso-rielles (ou indicielles). La loi de Hooke s’exprime alors par où

G est le module de cisaillement , % est le module volumétrique

et est le tenseur de Kronecker.

2.2.4 Cas de l’élasticité plane

Dans certaines configurations de géométrie et de sollicitation, il n’est pas nécessairede considérer un état de déformations et de contraintes complètement tridimensionnel.C’est le cas lorsqu’on considère des poutres sous certaines sollicitations. C’est le cas

02

02

02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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2

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zyyyxzx

zxyxxzy

xyxzyzz

xyxzyzy

xyxzyzx

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����

0,,,, �&&� ikjljlikklijijkl ����

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��������

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((

ijGkkijij ��)%� ..2.. ��

)1.(2 (��

EG

# $# $(((%

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n au

tori

sée

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n dé

lit.

11

2.2 • Rappels en élasticité linéaire

également en élasticité plane où l’on considère, selon certaines hypothèses, des états simplifiés de déformations et de contraintes (états plans de déformations et de contraintes).

Si on peut appliquer l’hypothèse des déformations planes, alors on considère que l’on a un état plan de déformations et par conséquent, la matrice des déformations se réduit aux termes non nuls suivants :

� ����

���

��

00000

yxyxyx����

L’état de déformations planes correspond, pour ce qui est des contraintes, à un état de contraintes tridimensionnel où certaines composantes sont néanmoins nulles. En effet, pour un état de déformations planes, les termes non nuls de la matrice des contraintes sont les suivants :

� ����

���

��

zyxyxyx

�����

�00

00

Cet état de déformations peut se produire pratiquement pour des objets très épais dans certaines conditions de sollicitation.

On résume alors la relation entre les contraintes et les déformations pour un état de déformations planes par :

� � # $# $ �

��

����

����

&

&&

�&�

��

��

��

xyyxE

xyyx

DPH

xyyx

���

(((

((

((���

���

.

2100

0101

1..21. (2-12)

Avec # $ # $# $ # $yxE

yxz ��((

(��(� ��&

��� .1..21

.

Une autre hypothèse possible est celle des contraintes planes. On considère ici que l’on a un état plan de contraintes et que, par conséquent, la matrice des contraintes se réduit aux termes non nuls suivants :

� ����

���

��

00000

yxyxyx

����

L’état de contraintes planes correspond pour ce qui est des déformations à un état de déformations tridimensionnel où certaines composantes sont néanmoins nulles. En effet, pour un état de contraintes planes, les termes non nuls de la matrice des déformations sont les suivants :

� ����

���

��

zyxyxyx

�����

�00

00

Chapitre 2 • Rappels

12

Cet état de contraintes peut notamment être considéré, de manière pratique, pour des plaques minces chargées dans leur plan.

On résume alors la relation entre les contraintes et les déformations, pour un état de contraintes planes par :

� �# $ �

��

����

����

&&�

��

��

��

xyyxE

xyyx

CPH

xyyx

���

((

(

(���

���

.1

2100

0101

21. avec # $yxEz ��(� �&� . (2-13)

2.2.5 Formalisation d’un problème d’élasticité tridimensionnel

a) Introduction

Globalement, la résolution complète d’un problème d’élasticité tridimensionnelle consiste à déterminer la valeur de 15 inconnues scalaires à l’aide de 15 équations fondamentales. Les 15 inconnues scalaires sont :

• 3 composantes du vecteur des déplacements U�

;

• 6 composantes de la matrice des déformations � �� ;• 6 composantes de la matrice des contraintes � �� .

Les 15 équations fondamentales sont :

• 6 équations vues précédemment pour relier les déplacements U�

aux déforma-tions � �� ;

• 6 équations vues précédemment pour relier les déformations � �� aux contraintes � �� ;

• 3 équations décrivant l’équilibre interne des forces appliquées à un élément infi-nitésimal de matière (voir ci-dessous).

En EF, on utilise habituellement une formulation dite en déplacements, qui consiste à formaliser le problème avec seulement 3 inconnues scalaires (les composantes du vecteur des déplacements U

�). La solution recherchée est donc un champ de dépla-

cements ),,( zyxU�

, qui est transformé par la suite en un champ de déformations, puis de contraintes, grâce aux équations vues aux paragraphes précédents.

b) Équations d’équilibre

On peut représenter un problème d’élasticité en considérant un domaine tridimen-sionnel de l’espace V, borné par son enveloppe S, qui se déforme sous l’action d’efforts appliqués. Comme mentionné précédemment, on va globalement représen-ter le comportement réel de l’objet V en considérant que l’on applique à V des déplacements imposés et des efforts. Ces efforts sont de deux natures potentielles : des efforts appliqués en surface sous la forme d’une pression (homogènes à des N/m2

dans le système international) et des efforts de volume appliqués à l’intérieur du matériau (homogènes à des N/m3 dans le système international). Un exemple pratique d’efforts de volume est la prise en compte du poids propre d’une structure.