Introducción a Wavelets (ondeletas)Introducción a Wavelets (ondeletas)

http://www.jhu.edu/~signals/phasorlecture2/indexphasorlect2.htm

ANALISIS MULTIRESOLUCION

 

  

Transformadas espectrales:Transformadas espectrales:

F uN

f x ejux

N

x

N

( ) ( )

12

0

1

u = 0,1,2, ..., N-1

nucleo

xfuxKuF

)(),()(

Transformada de Fourier:

xuNj

euxK2

),(

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

Transformada Hartley:Transformada Hartley:

Nucleo o KernelNucleo o Kernel

)(22

cos1

)(1

0

xfxuN

senxuNN

uFN

x

Transformada Discreta Coseno Transformada Discreta Coseno (DCT)(DCT)

)(2

)12(cos

1)(

1

0

xfN

ux

NuF

N

x

nucleo

xfuxKuF

)(),()(

=

nucleo

xfuxKuF

)(),()(

=

Espectro de FourierEspectro de Fourier

f(x)

F(u)

STFT (Short time Fourier transform)STFT (Short time Fourier transform)

Or windowed Fourier Or windowed Fourier transformtransform

dtertgtfwrS jwtf

)()(),(

g(t-r) : Window

SpectrogramSpectrogram

The square modulus of the windowed Fourier The square modulus of the windowed Fourier transform is the transform is the spectrogramspectrogram of a signal: of a signal:

22

)()(),(),( dtertgtfwrSwrSpec jwtff

Ventanas:Ventanas:

Ventana de Hamming:Ventana rectangular:

A segment of a vowel extracted with a rectangular window The amplitude spectrum using a

rectangular window Calculated using Matlab: abs(fft(sig))

  

  The amplitude spectrum using a hamming window. Calculated using Matlab: abs(fft(hamming(512) .* sig))

A segment of a vowel extracted with a hamming window. Calculated using Matlab: hamming(512) .* sig

This is the basis for most computer generated spectrograms (display pixel intensity on a log scale by limiting the dynamic range to about 60-80 dB).

Ejemplos de espectrogramasEjemplos de espectrogramas

(Ver MATLAB)(Ver MATLAB)

Ejemplos de espectrogramasEjemplos de espectrogramas

Here is the sum of two parallel linear chirps with its spectrogram.

Here is the sum of two hyperbolic chirps and its spectrogram.

Introducción a WaveletsIntroducción a Wavelets

four frequency components at different times. The interval 0 to 250 ms is a sinusoid of 300 Hz, and the other 250 ms intervals are sinusoids of 200 Hz, 100 Hz, and 50 Hz

w(t)=exp(-a*(t^2)/2)

Wavelet de MorletWavelet de Morlet

The mexican hat The mexican hat waveletwavelet

224

1 2

)1(3

2)(

x

exx

                                 

            

  Gráficos de varios tipos distintos de wavelets. (a) Wavelet de Haar, (b) Wavelet de Daubechies, (c) Wavelet de Morlet. (Cortesía de Ofer Levi, Universidad de Stanford)

EscalaEscala

fs

1

waveletmothert)(

Ejemplos de escalogramas (CWT)Ejemplos de escalogramas (CWT)Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform

These signals are drawn from a database signals that includes event related potentials of normal people, and patients with Alzheimer's disease.

En un espectrograma:En un espectrograma:

En un escalograma:En un escalograma:

Suma de dos señales CHIRP hiperbólicas

Windowed fourier transform

(Espectrograma)

Continuous Wavelet Transform CWT

(Escalograma)

AplicacionesAplicaciones

AnAnálisis de señalesálisis de señales

OxOxímetro de Pulsoímetro de Pulso

Representación frecuencia-tiempo para:

(a)Datos muestreados

(b) FT

(c) WFT

(d) CWT

DWT (Discrete Wavelet DWT (Discrete Wavelet Transform)Transform)

A friendly guide to wavelets:A friendly guide to wavelets:

http://perso.orange.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html#section7

Ahora dejamos fija la Ondeleta y lo que vamos comprimiendo por etapas es la señal

El análisis multiresolución se El análisis multiresolución se consigue a través de filtrado y consigue a través de filtrado y submuestreo de la señal original.submuestreo de la señal original.

La exploración en tiempo se La exploración en tiempo se consigue a través de operaciones consigue a través de operaciones de convolución (filtrado digital).de convolución (filtrado digital).

)(nxW

)(nx

Sub-band coding

Sub-band coding algorithmSub-band coding algorithm

Transformada inversaTransformada inversa

2-D Discrete Wavelet Transform2-D Discrete Wavelet Transform

Wavelet PacketWavelet Packet

En resumen:En resumen:

CWT

DWT

2D - DWT

... En resumen:... En resumen:

CWT

DWT

2D - DWT

http://www.gisdevelopment.net/technology/ic/techip0003a.htm

http://www.acm.org/crossroads/xrds6-3/sahaimgcoding.html#Fig6

COMPRESION DE LA DCT A WAVELETS

EspectrogramaEspectrograma