Introduccion a la Cinematica de las Maquinas.

Jose Marıa Rico Martınez

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca

Salamanca, Gto. 36885, Mexico

September 12, 2012

Objetivo: El objetivo de estas notas es proporcionar al interesado una recopilacion de lasdefiniciones y resultados mas importantes acerca de los fundamentos de la teorıa de las maquinasy mecanismos. Ademas permite realizar algunas puntualizaciones necesarias ausentes en algunoslibros de texto.

1 Generalidades

La cinematica de las maquinas, tambien llamada mecanismos, es una disciplina que enlaza cienciasmas basicas, como dinamica, con otras mas ingenieriles o de aplicacion, tales como el diseno demaquinas. Durante el estudio de la dinamica se aprendio el calculo de velocidades y aceleracionesde cuerpos rıgidos y agrupaciones de cuerpos rıgidos; ademas, se analizaron las fuerzas necesariaspara producir determinadas aceleraciones en los cuerpos. Mucho de ese material sera nuevamenteestudiado en la cinematica de las maquinas; sin embargo, ahora el estudio se concentrara enagrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos.

Por otro lado, la cinematica de las maquinas concede especial atencion a las distintas posicionesque los cuerpos que forman parte de un mecanismo adquieren durante el movimiento del mecanismo.Este analisis de posicion es requerido en el diseno de maquinas. Cronologicamente, la primeraconsideracion en un diseno, es el movimiento que es necesario producir a fın de cumplir con elobjetivo deseado; en un segundo termino, se encuentran las consideraciones de resistencia y rigidez.En cuanto a predominancia, en algunos casos, como en el diseno del mecanismo de impresion deuna maquina de escribir manual, el punto de vista mas importante es aquel que se relaciona conel movimiento requerido; mientras que en otros, como el diseno de trascabos y maquinaria deconstruccion, los argumentos de resistencia y rigidez predominan sobre los argumentos puramentecinematicos. En ultimo caso, el diseno final debe obtenerse despues de un compromiso entre ambasconsideraciones. Despues de estos comentarios preliminares, es posible intentar una definicion dela cinematica de las maquinas.

1.1 Definicion de la Cinematica de las Maquinas.

Definicion: La cinematica de las maquinas se define como aquella division del diseno demaquinas que concierne con el diseno cinematico de eslabonamientos, levas, engranes, etc. A fınde precisar el significado de la cinematica de las maquinas se requiere de dos definiciones adicionales.

Definicion: Diseno de maquinas: Es la creacion de un plan para la construccion de unamaquina o dispositivo para realizar una funcion.

Definicion: Diseno cinematico: Es diseno sobre la base de requerimientos de movimiento,en contraste con el diseno en base a requerimientos de resistencia y rigidez. Ası pues, es posibleredefinir la cinematica de las maquinas como: “Aquella parte del diseno de maquinas que

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concierne con el diseno, en base a requerimientos de movimiento, de eslabonamientos,levas, engranes, etc”.

1.2 Mecanismo y Maquina.

Haremos ahora una distincion conceptual entre mecanismos y maquinas.Definicion: Mecanismo. Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro.Definicion: Maquina1: Es un mecanismo o una combinacion de mecanismos que trasmiten

fuerza, desde la fuente de potencia hasta la resistencia a vencer. Si las fuerzas estan asociadascon la conversion de la energıa de fluidos a alta temperatura, entonces podemos hablar de unamaquina termica2.

Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el movimiento, dejandoen un plano secundario la transmision de fuerza necesaria para vencer la friccion o una fuerzaexterior; en la idea de maquina, la mente asocia la transmision de fuerzas substanciales. Debereconocerse que las partes que constituyen un mecanismo deben ser resistentes a la deformacion;es decir, cuerpos rıgidos aproximados.3

Ademas, puesto que en la cinematica de las maquinas no interesa la resistencia y la rigidez,supondremos que las partes de un mecanismo son completamente rıgidas y sin peso. A la luz de laanterior discusion, podemos definir un mecanismo como un conjunto de cuerpos conectadosde tal manera que cada uno se mueve respecto a los demas y transmiten movimiento.

2 Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rıgido.

El concepto de grados de libertad proviene de la teorıa de sistemas y es de aplicacion muy general,en estas notas adoptaremos la siguiente definicion.

Definicion: Grado de libertad de un sistema. Se define como el numero mınimo ysuficiente de variables que es necesario conocer para determinar el estado de un sistema.

En la cinematica, donde no nos interesan las fuerzas que producen el movimiento, el estado deun sistema, cinematico, es sinonimo con posicion. Si se conoce la posicion de un sistema cinematicose conoce todo acerca del sistema. Ası pues, es posible iniciar explorando el concepto de grados delibertad del movimiento de un cuerpo rıgido.

Definicion: Grado de libertad de un cuerpo rıgido es el numero mınimo y suficiente devariables necesarias para especificar completamente la posicion del cuerpo. Si el cuerpo esta librede moverse en el espacio su movimiento tiene seis grados de libertad, vea la figura 1.

Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posicion del cuerpo:Tres variables para especificar las coordenadas de un punto cualquiera del cuerpo, respecto a unsistema de referencia dado, y tres variables para especificar la orientacion de un sistema coordenadoformado por tres lıneas perpendiculares unidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una deesas variables se le asocia un grado de libertad.

Al ponerse en contacto, con otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados delibertad, por ejemplo

1. Un trompo que gira manteniendo contacto con un plano pierde un grado de libertad, el detranslacion a lo largo del eje perpendicular al plano de movimiento.

2. Si el trompo gira de manera tal que la punta permanece fija en un punto, pierde los tresgrados de libertad asociados a la translacion.

1En idioma ingles Machine.2En idioma ingles Engine.3Este requisito es necesario debido a la gran dificultad para analizar elementos flexibles en movimiento. Sin

embargo, desde hace unos veinte anos, se han dado los primeros pasos en esa direccion.

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Figure 1: Grados de Libertad de un Cuerpo Rıgido Libre de Moverse en el Espacio.

3. Un cuerpo sujeto a rotacion alrededor de un eje fijo pierde cinco grados de libertad, restandoletan solo aquel asociado a la rotacion alrededor del eje fijo.

4. Un cuerpo sujeto a translacion rectilınea, pierde todos sus grados de libertad excepto aquelasociado a la translacion a lo largo del eje de desplazamiento.

5. Un cuerpo sujeto a movimiento plano, un movimiento tal que todas las partıculas del cuerpose mueven en planos paralelos, tiene tres grados de libertad. Dos de ellos estan asociadosa las translaciones a lo largo de ejes linealmente independientes contenidos en el plano demovimiento y el grado de libertad restante esta asociado a la rotacion alrededor de un ejefijo perpendicular al plano, vea la figura 2.

Figure 2: Grados de Libertad de un Cuerpo Rıgido Sujeto a Movimiento Plano General.

Este ultimo tipo de movimiento reviste especial importancia en virtud de que en una gran partede los mecanismos industriales los cuerpos que forman el mecanismo se mueven de esta manera.Mas aun, la mayor parte del curso se centra sobre esta clase de mecanismos llamados planos

El movimiento plano general tiene como casos especiales la traslacion bidimensional y la rotacionalrededor de un eje fijo.

Una vez establecidos estos conceptos fundamentales, se analizaran los elementos que constituyenlos mecanismos.

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3 Elementos Constitutivos de un Mecanismo.

Los elementos constitutivos de un mecanismo son, por un lado, los cuerpos que forman el mecanismoy, por el otro lado, las conecciones entres estos cuerpos que les permiten permanecer en contactoy transmitir movimiento. Los cuerpos se denominan eslabones o barras y las conecciones sedenominan pares cinematicos, en estas seccion ambos se definiran de manera puntual y seclasificaran en diferentes tipos o clases.

3.1 Eslabon o Barra.

Definicion: Eslabon o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de acuerdocon lo dicho anteriormente, se suponen que son rıgido y no tienen peso.

La condicion de rigidez de los eslabones no es necesariamente total, sino unicamente implicaque sea rıgido respecto a las fuerzas a las que se somete el eslabon.

Esta consideracion da lugar a una clasificacion de los eslabones de acuerdo a su rigidez:

1. Rıgido en ambos sentidos, cuando el eslabon tiene rigidez a tension y compresion. Ejem-plos: La biela de un compresor, un engrane, el piston de una maquina de combustion interna,etc.

2. Rıgido en un unico sentido.

(a) Rıgido cuando se sujeta a compresion. Ejemplo: Fluidos hidraulicos.

(b) Rıgido cuando se sujeta a tension. Ejemplo: Correas, bandas y cadenas.

A fın de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros. Esas conexionesse realizan a traves de ciertas partes de sus cuerpos que reciben el nombre de elementos. Lasiguiente subseccion examina la relacion entre elementos y pares.

3.2 Eslabones y Pares.

Definicion: Par cinematico. Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones,mantenidos permanentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre ellos,recibe el nombre de par cinematico.

Esta definicion da lugar a una nueva clasificacion de los eslabones, esta clasificacion depende delnumero de elementos que contiene un eslabon; en otra palabras, la clasificacion indica el numeromaximo de pares, que puede formar el eslabon.

Es logico que si los eslabones tienen como funcion la transmision de movimiento, el numeromınimo de pares que deben formar es dos; ası pues, los eslabones se clasifican en:

1. Eslabon o barra binaria, vea la figura 3.

Figure 3: Eslabon o Barra Binaria.

2. Eslabon o barra poligonal.4

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Figure 4: Dos Posibles Representaciones de una Barra Ternaria.

(a) Barra ternaria, vea la figura 4.

(b) Barra cuaternaria.

(c) Barra quinaria, etcetera.

Una vez que se han completado las clasificaciones de eslabones, es necesario proceder con el estudioy clasificacion de pares cinematicos.

3.3 Clasificacion de Pares Cinematicos.

La clasificacion de pares cinematicos puede realizarse en base a tres diferentes criterios.

1. El numero de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones que son conectadospor el par.

2. El tipo de contacto entre los elementos.

3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto.

Clasificacion de pares cinematicos en cuanto al numero de grados de libertad delmovimiento relativo entre los elementos.5 En esta clasificacion, existen dos condiciones queimponen un lımite superior e inferior al numero de grados de libertad, esas condiciones son:

• El par cinematico debe permitir movimiento relativo entre los elementos. Por lotanto, debe existir al menos un grado de libertad en el movimiento relativo.

• Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben per-manecer en contacto. De aqui que deba existir como maximo cinco grados de libertaden el movimiento relativo entre los eslabones. Una vez que se han determinado los lımitessuperior e inferior del numero de grados de libertad del movimiento relativo que permite unpar cinematico, es posible clasificarlos de forma exhaustiva.

En base a estos fundamentos es posible clasificar a los pares cinematicos en base al numero degrados de libertad del movimiento relativo que permiten entre los eslabones.

4A fın de indicar que se trata de un unico cuerpo, y no de tres o mas cuerpos unidos mediante pares cinematicos,

los eslabones poligonales se anchuran.5Esta clasificacion esta basada en las diferentes formas en que el movimiento relativo entre los dos cuerpos puede

restringirse. Existe otro criterio mas estricto para la definicion de un par cinematico; este criterio requiere que el

conjunto de movimientos relativos que permite un par sea un subgrupo del grupo de los movimientos de un cuerpo

rıgido junto con la operacion de composicion. Este grupo se conoce como grupo euclidiano.

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3.3.1 Clasificacion de Pares Cinemticos en Base a los Grados de Libertad del MovimientoPermitido Entre los Eslabones.

Pares Cinematicos de Clase I. Numero de grados de libertad del movimiento 1. Numero degrados de libertad perdidos 5. Posibles casos:

1. Revoluta (R), permite un movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo.

Figure 5: Par de Revoluta.

2. Prismatico (P), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje, o una curvadada.

Figure 6: Par Prismatico.

3. Helicoidal o de tornillo (H), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un ejey simultaneamente un movimiento de rotacion, dependiente de la translacion, alrededor delmismo eje.

Figure 7: Par de Tornillo o Helicoidal.

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Pares cinematicos de la clase II. Numero de grados de libertad del movimiento 2. Numerode grados de libertad perdidos 4. Posibles casos:

1. Esfera ranurada (Sl), permite un movimiento de rotacion alrededor de dos ejes linealmenteindependientes.

Figure 8: Par Constituido por un Esfera con Mango en Contacto con un Soporte Ranurado.

2. Cilındrico (C), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje y un movimientode rotacion independiente alrededor del mismo eje.

Figure 9: Par Cilındrico.

3. Leva (Ca), permite traslacion a lo largo de un eje y rotacion alrededor de un eje perpendic-ular al primero.

Figure 10: Par de Leva.

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Pares Cinematicos de la clase III. Numero de grados de libertad del movimiento 3. Numerode grados de libertad perdidos 3. Posibles casos:

1. Esferico o globular (S), permite rotacion alrededor de tres ejes . Es decir permite rotacionalrededor de un punto fijo.

Figure 11: Par Esferico o Globular.

2. Esfera sobre cilindro acanalado (Ss), permite rotacion alrededor de dos ejes linealmenteindependientes y traslacion a lo largo de un tercer eje.

Figure 12: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilındro Acanalado.

3. Plano (Pl), permite traslacion a lo largo de dos ejes y rotacion alrededor de otro eje per-pendicular a los otros dos.

Figure 13: Par Plano.

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Pares Cinematicos de la clase IV. Numero de grados de libertad del movimiento 4. Numerode grados de libertad perdidos 2. Posibles casos:

1. Esfera sobre acanaladura (Sg), permite rotacion alrededor de tres ejes y translacion a lolargo de otro.

Figure 14: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilindro Ranurado.

2. Cilindro sobre plano (Cp), permite rotacion alrededor de dos ejes y traslacion a lo largode otros dos.

Figure 15: Par Constituido por un Cilindro en Contacto con un Plano.

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Pares Cinematicos de la clase V. Numero de grados de libertad del movimiento 5. Numerode grados de libertad perdidos 1. Posibles casos:

1. Esfera sobre plano (Sp), permite translacion a lo largo de dos ejes y rotacion alrededorde tres ejes.

Figure 16: Par Constituido por una Esfera en Contacto con un Plano.

Existen otras dos clasificaciones que aun cuando no son de importancia en el analisis de meca-nismos son altamente importantes en el contexto mas amplio del diseno de maquinas.

3.3.2 Clasificacion de pares cinematicos de acuerdo al tipo de contacto entre elemen-tos

. En base a esta clasificacion, los pares cinematicos se clasifican en

1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a traves de una superficie. Ejemplos,Piston-camisa de un compresor, par globular de un portaplumas.

2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos idealmente, a traves de unpunto o una lınea. Ejemplos, Contacto entre una leva y su seguidor de rodillo.

Para la transmision de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los pares inferiores;pues los superiores estarıan sujetos a esfuerzos de contacto muy elevados.

3.3.3 Clasificacion de pares cinematicos en cuanto a la forma en que se mantienenlos elementos en contacto

. En base a esta clasificacion, los pares cinematicos se clasifican en

1. Pares abiertos o cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en contacto medianteel concurso de una fuerza externa tal como la gravedad o la fuerza de un resorte deformado.Ejemplo, El par formado por una leva y su seguidor en una maquina de combustion interna.

2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto por la forma mismade construccion del par. Ejemplo, El par prismatico formado por el piston y camara de uncompresor.

Debe observarse que los pares cinematicos cerrados por forma son mas confiables que los cer-rados por fuerza.

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3.4 Mecanismos Planos y Pares Cinematicos.

Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos; su construccion essencilla y su estudio relativamente simple, estas caracterısticas, aunadas a su gran versatilidad deaplicacion, son suficientes para que nuestro curso se concentre en su estudio.

Definicion: Mecanismos planos. Los mecanismos planos se definen como aquellos mecan-ismos tales que todos sus eslabones estan sujetos a movimiento plano general y los planos demovimiento son paralelos.

La pregunta que surge de inmediato es: Que clase de pares cinematicos puede formar parte deun mecanismo plano?.

Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo analisis. Un cuerpo sujeto a movimientoplano general tiene tres grados de libertad; si ademas el cuerpo esta conectado a otros eslabones afın de formar parte de un mecanismo, entonces los pares que pueden formar parte de mecanismosplanos deben perder como mınimo cuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posiblespares a aquellos de las clases I y II.

Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecanismos planos seranaquellos que permitan uno o varios de los movimientos que constituyen el movimiento plano. Deforma mas correcta, debe decirse que esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos enel grupo de los movimientos formados por todos los movimientos planos generales. Translacion alo largo de dos ejes linealmente independientes contenidos en el plano, o rotacion alrededor de uneje perpendicular al plano. Un sencillo analisis muestra que los pares que pueden formar parte deun mecanismo plano son: los pares de revoluta, los pares prismaticos y los pares de leva.

Esta restriccion sobre los tipos de pares cinematicos que pueden formar parte de mecanismosplanos se basa exclusivamente en consideraciones del numero de grados de libertad en el movimientorelativo ası como del movimiento asociado a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos for-mados exclusivamente por los pares antes mencionados que no son planos: Transmisiones medianteengranes conicos, la junta de cardan, levas cilindricas, etc. Por lo tanto, deben existir otras re-stricciones que conciernen a la disposicion u orientacion de los ejes de los pares cinematicos y queen conjunto con las anteriores, aseguran que el mecanismo formado es plano. Estas restriccionesse indican a continuacion.

1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes de rotacion debenser paralelos.

2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismatico, el eje de desplazamiento del parprismatico debe ser perpendicular a los ejes de rotacion de los restantes pares de revoluta.

3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotacion del par de leva debeser paralelo a los ejes de los restantes pares de revoluta y el eje de la traslacion debe serperpendicular a los ejes de rotacion de los restantes pares de revoluta.

Hasta aquı, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes constitutivas de losmecanismos, toca ahora unirlas o conjuntarlas para obtener eventualmente mecanismos, ese es eltema de la siguiente seccion.

4 Cadena Cinematica, Eslabonamiento e Inversion.

La entidad basica, a partir de la cual se generan todos los mecanismos se llama cadena cinematica.Definicion: Cadena Cinematica. Una cadena cinematica es la union de pares cinematicos

y eslabones de modo que formen uno o varios circuitos o lazos6 cerrados.Las cadenas cinematicas se clasifican en:

6En lenguaje ingles loops.

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1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinematica son binarios.

2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligonales.

Ejemplo. La cadena mostrada en la figura 17 tiene un unico lazo y cinco eslabones binarios,por lo tanto es simple.

Figure 17: Cadena Cinematica Simple.

La cadena mostrada en la figura 18 tiene dos lazos. Existe ademas otro lazo que comprendeparte de los otros dos lazos; sin embargo, puede probarse que las ecuaciones escalares que generaeste tercer lazo son combinaciones de las ecuaciones escalares que generan los dos primeros lazos.En esta cadena cinematica, los eslabones 2, 5, y 7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 sonternarios, por lo tanto, la cadena es compleja.

Figure 18: Cadena Cinematica Compleja.

El siguiente paso en la generacion de mecanismos es la generacion de eslabonamientos.Definicion: Eslabonamiento. Un eslabonamiento7 es una cadena cinematica en la cual se

ha fijado uno de sus eslabones a un marco de referencia, este eslabon fijo se denomina marco oeslabon fijo.

7En lenguaje ingles linkage.

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Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con un sentido mas especıfico, para nombrarmecanismos formados exclusivamente por pares inferiores.

Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en la figura 19 se han formado fijando respectiva-mente los eslabones 1 y 5 de la cadena cinematica de la figura 17.

Figure 19: Dos Eslabonamientos Generados a Partir de la Cadena Cinematica Simple de la Figura5.

Estos dos ejemplos permiten introducir el ultimo concepto de esta seccion.Definicion: Inversion. A partir de una cadena cinematica formada por n-eslabones, puede

generarse como maximo n eslabonamientos diferentes. Dado un eslabonamiento, los diferenteseslabonamientos que se producen al fijar alternativamente uno de los otros eslabones de la cadena,se llaman inversiones del eslabonamiento inicial.

Es importante reconocer que en una inversion, el movimiento relativo entre los eslabones no sealtera y solo cambia su movimiento absoluto. Un ejemplo importante del concepto de inversion seencuentra en la sıntesis grafica de levas.

Una de las aplicaciones mas importantes del concepto de inversion cinematica consiste en labusqueda exhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta parte del estudio de los mecanismos esconocida como sıntesis de numero o sistematica.

Figure 20: Cadena Cinematica de Watt.

Por ejemplo, la sistematica nos indica que a partir de la cadena cinematica de Watt, figura20, los unicos eslabonamientos diferentes –sin importar las dimensiones de los eslabones– son losmostrados en la figura 21.

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Figure 21: Dos Eslabonamientos Obtenido a Partir de la Cadena Cinematica de Watt.

5 Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de

Grubler

.Definicion: Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el numero mınimo y

suficiente de variables requeridas para determinar completamente la posicion del eslabonamiento.Es decir, conociendo esas variables debe ser posible conocer la posicion de cualesquiera de loseslabones que forman parte del eslabonamiento.

Ejemplos. A continuacion se presentan dos ejemplos de eslabonamientos que incluyen unconteo de sus grados de libertad o movilidad.

1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento plano con cuatrobarras y cuatro pares de revoluta. Todos los ejes de los pares de revoluta son paralelos. Eleslabonamiento tiene un grado de libertad o movilidad igual a 1.

Figure 22: Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y tres pares, un parcilındrico entre el marco y la leva, un par de leva entre la leva y el seguidor y un par prismaticoentre el seguidor y el marco. El eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad iguala 2.

Una forma de determinar el numero de grados de libertad de un eslabonamiento consiste enobservar su movimiento –si lo hay–, y determinar empiricamente ese numero mınimo y suficientede variables.

Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad de eslabonamientosque no han sido construidos; para solucionar este problema, desde el siglo pasado se formularondiferentes criterios de movilidad, uno de los mas sencillos es el criterio de Grubler.

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Figure 23: Leva Espacial.

A continuacion se deducira el criterio de Grubler para eslabonamientos planos. Es decir, paraaquellos eslabonamientos cuyos eslabones se mueven en planos paralelos. La secuencia del razona-miento es la siguiente

1. Imagine la formacion de un eslabonamiento constituido por N eslabones, vea la figura 24.Originalmente el sistema tiene 3N grados de libertad –3 grados de libertad por cada uno delos cuerpos que se conectaran para construir el eslabonamiento–.

Figure 24: Cuerpos Rıgidos Aislados que Formaran un Eslabonamiento.

2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se fije al sistema refe-rencia, vea la figura 25. Por lo tanto, el conjunto tiene ahora 3 (N − 1) grados de libertad.

3. Por ultimo, a fın de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse mediante parescinematicos, vea la figura 26. Puesto que los eslabones estan originalmente obligados atener movimiento plano general, entonces un par de la clase I –prismatico o de revoluta–elimina 2 grados de libertad y un par de leva, de la clase II elimina un grado de libertad.

Ası pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la ecuacion

F = 3 (N − 1) − 2P1 − P2 (1)

Donde F es el numero de grados de libertad del eslabonamiento, N es el numero de eslabonesque forman el eslabonamiento, P1 es el numero de pares de la clase I que forman parte deleslabonamiento y P2 es el numero de pares de la clase II que forman parte del eslabonamiento.La ecuacion (1) se conoce como el criterio de Grubler.

Dependiendo del numero de grados de libertad, un eslabonamiento se clasifica en

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Figure 25: Cuerpos Rıgidos Aislados que Formaran un Eslabonamiento, con uno de Ellos Fijo.

Figure 26: Eslabonamiento Formado a Partir de los Cuerpos Rıgidos Inicialmente Aislados.

1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una estructuraestaticamente indeterminada.

2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una estructura estatica-mente determinada.

3. F > 0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un mecanismo de1, 2, 3, etc. grados de libertad, segun sea el caso.

5.1 Aplicacion del Criterio de Grubler.

En esta seccion se determinaran los grados de libertad de diferentes eslabonamientos aplicando elcriterio de Grubler.

1. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 26, el eslabonamiento contiene 5 eslabones,y 6 pares cinematicos, indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 6, que es un parde leva, entre los eslabones 2 y 5, son pares de la clase I, de manera que aplicando el criteriode Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1) − 2P1 − P2 = 3 (5 − 1) − 2 (5) − 1 = 12 − 10 − 1 = 1. (2)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad.

2. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 27, el eslabonamiento contiene 4 eslabones,y 4 pares de revoluta, indicados en italica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera

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que aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1) − 2P1 − P2 = 3 (4 − 1) − 2 (4) − 0 = 9 − 8 − 0 = 1. (3)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad, como era de esperarse. Estemecanismo se le conoce como un mecanismo plano de cuatro barras.

Figure 27: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones y Cuatro Pares de Revoluta. Mecan-ismo Plano de Cuatro Barras.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 28, el eslabonamiento contiene 3 eslabones,y 3 pares de revoluta, indicados en italica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de maneraque aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1) − 2P1 − P2 = 3 (3 − 1) − 2 (3) − 0 = 6 − 6 − 0 = 0. (4)

El eslabonamiento es una estructura estaticamente determinada, como era de esperarse pues,del estudio de la Estatica, se sabe bien que un triangulo es la celula basica de las estructuras.

Figure 28: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones y Tres Pares de Revoluta. Estructuraestaticamente Determinada.

4. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 29, el eslabonamiento contiene 3 eslabones,y 3 pares cinematicos indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 3, que es un parde leva, entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera queaplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1) − 2P1 − P2 = 3 (3 − 1) − 2 (2) − 1 = 6 − 4 − 1 = 1. (5)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad. Este mecanismo se conocecomo un mecanismo de leva de disco con seguidor de cara plana.

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Figure 29: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva.Leva de Disco con Seguidor de Cara Plana .

5. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 30, el eslabonamiento contiene4 eslabones, y 4 pares cinematicos indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 4,que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, demanera que aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1) − 2P1 − P2 = 3 (4 − 1) − 2 (3) − 1 = 9 − 6 − 1 = 2. (6)

El eslabonamiento es un mecanismo de dos grado de libertad. Este mecanismo se conocecomo un mecanismo de leva de disco con seguidor de rodillo. A primera vista, este resultadoparece erroneo, pues una leva de disco con seguidor de rodillo puede sustituirse, sin problemaalguno, por una leva de disco con seguidor de cara plana, un mecanismo que tiene unicamenteun grado de libertad. Sin embargo, debe notarse que la leva de disco con seguidor de rodillopresenta un grado de libertad pasivo que consiste en un movimiento de rotacion del rodillo,cuando el resto de los eslabones del mecanismo permanecen fijos.

Figure 30: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par deLeva. Leva de Disco con Seguidor de Rodillo.

5.2 Excepciones al Criterio de Grubler.

Un criterio de movilidad, como el de Grubler, basado exclusivamente en consideraciones del numerode eslabones y de pares necesariamente debe tener excepciones; es decir eslabonamientos para loscuales el numero de grados de libertad determinado mediante el criterio de Grubler no es el correcto.Algunas de ellas se ilustran a continuacion.

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1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal como el mostradoen la figura 31.

Figure 31: Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una Excepcion del Criterio deGrubler.

Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(4 − 1) − 4(2) − 0(1) = 9 − 8 = 1 (7)

Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras sona1 = 4u.l., a2 = 2u.l., a3 = 7u.l. y a4 = 1u.l.. y se trata de ensamblar el mecanismo, seencuentra que la unica manera en que los eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura15. Consecuentemente, este “mecanismo plano de cuatro barras” tiene 0 grados de libertady es en realidad una estructura.

2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura 32.

Figure 32: Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinematicos que Constituye una Excepcion delCriterio de Grubler.

Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(5 − 1) − 2(6) − 0 = 12 − 12 − 0 = 0. (8)

Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3, y 4 son paralelos,ademas los eslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y permiten que el eslabonamiento gireen el sentido indicado, por lo tanto F = 1.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 33.

Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(5 − 1) − 2(6) − 0 = 12 − 12 − 0 = 0. (9)

Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un lazo, aquel for-mado por los eslabones conectados por los pares prismaticos esta asociado a las traslacionalesplanas, mientras que cualquiera de los dos restantes lazos esta asociado al movimiento planogeneral. Puede probarse que el eslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.

19

Figure 33: Eslabonamiento de Dos Lazos con Pares Prismaticos y de Revoluta que Constituye unaExcepcion del Criterio de Grubler.

4. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 34. El eslabonamiento tiene23 eslabones, 33 pares cinematicos de la clase I y no tiene pares cinematicos de la clase II.Por lo tanto, aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1) − 2PI − 1PII = 3 (23 − 1) − 33 (2) − 1 (0) = 66 − 66 − 0 = 0. (10)

El resultado, correcto en este caso, indica que el eslabonamiento es un estructura. Estasestructuras se emplean frecuentemente en techos y puentes.

Figure 34: Un eslabonamiento con cero grados de libertad: Estructura reticular para un puente.

De manera similar, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 35. Este eslabonamientotiene el mismo numero de eslabones y pares cinematicos que el eslabonamiento de la figura34. Por lo tanto, aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N − 1) − 2PI − 1PII = 3 (23 − 1) − 33 (2) − 1 (0) = 66 − 66 − 0 = 0. (11)

Sin embargo, en este caso, el resultado es incorrecto. Ninguna persona precavida le gustarıapasar caminando o manejando un automovil por un puente disenado de esa manera.

Es facil darse cuenta que el eslabonamiento mostrado en la figura 35 se obtuvo del es-labonamiento mostrado en la figura 34 simplemente cambiando de localizacion el eslabono barra numero 14. Este cambio conduce a que el cuadrilatero formado por las barras 16, 17,

20

Figure 35: Un eslabonamiento con un grados de libertad: Un puente peligroso.

18, 19 y 20 forma una subestructura estaticamente indeterminada, de manera que el com-portamiento cinematico del eslabonamiento no se altera si el cuadrilatero se sustituye por uncuerpo rıgido como se muestra en la figura 36. Este eslabonamiento tiene 18 eslabones o bar-

Figure 36: Un eslabonamiento equivalente al mostrado en la figura 35.

ras, 25 pares cinematicos de la clase I y no tiene pares cinematicos de la clase II. Aplicando,el criterio de Grubler se tiene

F = 3 (N − 1) − 2PI − 1PII = 3 (18 − 1) − 25 (2) − 1 (0) = 51 − 50 − 0 = 1. (12)

Este calculo correcto, indica que el eslabonamiento tiene un grado de libertad y en un mecan-ismo, confirmando las sospechas que habiamos indicado en el parrafo anterior.

6 Movilidad Mediante Ecuaciones de Clausura, Criterio de

Paul.

Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, se basa en el numero de variables nece-sarias para determinar la posicion del eslabonamiento ası como las ecuaciones que restringen esasvariables, es debido a Paul y se estudia a continuacion. El metodo requiere de formular las ecua-ciones vectoriales de clausura del eslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponerlas ecuaciones vectoriales de clausura en sus componentes escalares, que se convierten en las ecua-ciones escalares de clausura, y determinar cuantas de ellas son linealmente independientes. Puesto

21

que las ecuaciones escalares de clausura son, tambien, el punto de partida para resolver el analisisde posicion de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenas cinematicas medianteecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del analisis de posicion de mecanismos planos.

6.1 Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La posicion del es-labonamiento queda unicamente determinada si se conocen los angulos θ2, θ3, θ4. Estas variablescinematicas se conocen tambien como coordenadas Lagrangianas, o coordenadas generalizadas. Esimportante reconocer que estas variables no son independientes sino que estan obligadas a satisfacerlas ecuaciones de clausura del lazo o lazos del eslabonamiento.

Figure 37: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuacion de clausura en formavectorial es

~a2 + ~a3 = ~a1 + ~a4 (13)

y las ecuaciones escalares resultantes son

a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 = a1 Cos θ1 + a4 Cos θ4

a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 = a1 Sen θ1 + a4 Sen θ4 (14)

sustituyendo θ1 = 0◦, y reagrupando los terminos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como

f1( θ2, θ3, θ4) = a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 − a1 − a4 Cos θ4 = 0

f2( θ2, θ3, θ4) = a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 − a4 Sen θ4 = 0 (15)

Entonces, el numero de grados de libertad, F , sera el numero de coordenadas Lagrangianas ogeneralizadas, C, menos el numero de ecuaciones independientes E. Es decir

F = C − E (16)

En particular, para el mecanismo plano de cuatro barras,

F = 3 − 2 = 1. (17)

Este resultado comprueba el resultado obtenido previamente mediante el criterio de Grubler.

22

6.2 Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 38. La posicion del eslabonamientoqueda unicamente determinada si se conocen los angulos θ2, θ3, y la coordenada s. Debe notarseque las dimensiones a2, a3, e, θe, θs son parametros constantes.

Figure 38: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo de Biela Manivela Corredera.

Las ecuacion de clausura, en forma vectorial, esta dada por

~a2 = ~e + ~s + ~a3. (18)

Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son

f1(θ2, θ3, s) = a2 Cos θ2 − s − a3 Cos θ3 = 0

f2(θ2, θ3, s) = a2 Sen θ2 − e − a3 Sen θ3 = 0 (19)

Entonces, el numero de grados de libertad sera

F = C − E = 3 − 2 = 1 (20)

De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grubler corrobora el resultado.

6.3 Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 39. La posicion del eslabonamientoqueda unicamente determinada si se conocen los angulos θ2, θ3, θ4, θ5, θ6. Debe notarse que lasdimensiones a1, a2, a3, a4, a5, a6, b1, b2, θ1, δ y γ son parametros constantes.

Las ecuaciones de clausura, en forma vectorial, son

~a2 + ~a3 = ~a1 + ~a4

~a2 +~b2 + ~a6 = ~a1 +~b1 + ~a5 (21)

Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son

f1(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 − a1 Cos θ1 − a4 Cos θ4 = 0

f2(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 − a1 Sen θ1 − a4 Sen θ4 = 0

f3(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Cos θ2 + b2 Cos( θ3 + δ) + a6 Cos θ6 − a1 Cos θ1 − b1 Cos( θ4 − γ) − a5 Cos θ5 = 0

f4(θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) = a2 Sen θ2 + b2 Sen( θ3 + δ) + a6 Sen θ6 − a1 Sen θ1 − b1 Sen( θ4 − γ) − a5 Sen θ5 = 0

(22)

23

Figure 39: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos.

Entonces, el numero de grados de libertad esta dado por

F = C − E = 5 − 4 = 1 (23)

De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grubler corrobora el resultado. Sin embargo, unarevision de la figura 39, revela que existen otros posibles lazos que conducen a otras ecuacionesvectoriales, por ejemplo

~a4 +~b3 + ~a6 = ~b1 + ~a5 (24)

No obstante, puede probarse que esta ecuacion vectorial, al igual que cualquier otra ecuacionque se pueda obtener, son linealmente dependientes de las dos ecuaciones vectoriales que ya se hanobtenido. En particular, si se resta la primera ecuacion (21) de la segunda ecuacion (21), se tieneque

~a2 +~b2 + ~a6 − ~a2 − ~a3 = ~a1 +~b1 + ~a5 − ~a1 − ~a4 (25)

o~b2 − ~a3 + ~a6 + ~a4 = ~b1 + ~a5 (26)

Sin embargo, de la figura 39, es evidente que

~b2 − ~a3 = ~b3 (27)

Por lo tanto, la ecuacion puede escribirse como

~a4 +~b3 + ~a6 = ~b1 + ~a5 (28)

Es claro, pues, que la aplicacion de este criterio requiere de la determinacion de un conjunto deecuaciones vectoriales linealmente independientes y que representen totalmente las ecuaciones declausura del eslabonamiento. Informacion completa acerca de este problema puede encontrarse enel libro de Paul, vea [1].

6.4 Ejemplo 4. Mecanismo Plano de Dos Lazos, que Clarifica Porque

Falla el Criterio de Grubler.

En este ejemplo se usara el criterio de Paul para dar una nueva interpretacion a algunos de loscasos en los que el criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 40.

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Figure 40: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos que Permite IlustrarPorque Falla el Criterio de Grubler.

La posicion del eslabonamiento queda unicamente definida si se conocen los angulos θ2, θ3,θ4, θ5. Existen dos ecuaciones vectoriales de clausura, que estan dadas por

~a2 + ~a3 = ~a1 + ~a4

~b2 + ~a5 = ~a3 +~b4 (29)

Las ecuaciones escalares son

a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 = a1 Cos θ1 + a4 Cos θ4

a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 = a4 Sen θ4 + a1 Sen θ1

b2 Cos θ2 + a5 Cos θ5 = a3 Cos θ3 + b4 Cos θ4

b2 Sen θ2 + a5 Sen θ5 = a3 Sen θ3 + b4 Sen θ4 (30)

Debe notarse que a1, a2, a3, a4, b2, b4, y θ1 son parametros cuyo valor no cambia durante elmovimiento del eslabonamiento. Por lo tanto, el numero de grados de libertad o movilidad deleslabonamiento sera

F = C − E = 4 − 4 = 0 (31)

De aquı que, en general, el eslabonamiento sea una estructura.Considere, sin embargo, el caso particular del eslabonamiento que satisface las siguientes condi-

cionesa1 = a3 = a5, a2 = a4 y b2 = b4. (32)

Analize, por el momento, las ecuaciones escalares de clausura correspondientes al lazo inferior,vea las dos primeras ecuaciones de las de la ecuacion (30), donde se han sustituido las igualdadesindicadas en la ecuacion (32).

a2 Cos θ2 + a1 Cos θ3 = a1 Cos θ1 + a2 Cos θ4

a2 Sen θ2 + a1 Sen θ3 = a2 Sen θ4 + a1 Sen θ1 (33)

Elevando al cuadrado ambos lados de las dos ecuaciones anteriores y sumando los terminos corre-spondientes, se tiene que

a2(C2θ2 + S2θ2) + a1(C

2θ3 + S2θ3) + 2 a1 a2(C θ2 C θ3 + S θ2 S θ3) =

a2(C2θ4 + S2θ4) + a1(C

2θ1 + S2θ1) + 2 a1 a2(C θ1 C θ4 + S θ1 S θ4)

25

o, reduciendo aun mas,C (θ3 − θ2) = C (θ1 − θ4). (34)

Figure 41: Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Determinacion de la Longitud AN.

Por otro lado, para cualquier mecanismo de cuatro barras, vea figura 41, la determinacion dela longitud AN conduce a la ecuacion

a2

1+ a2

2− 2 a1 a2 C (θ2 − θ1) = a2

3+ a2

4− 2 a3 a4 C (θ4 − θ3),

sustituyendo las igualdades dadas por (32), la ecuacion se reduce a

a2

1+ a2

2− 2 a1 a2 C (θ2 − θ1) = a2

1+ a2

2− 2 a1 a2 C (θ4 − θ3),

o, finalmente,C (θ2 − θ1) = C (θ4 − θ3). (35)

Las ecuaciones (34) y (35), conducen a las siguientes posibilidades

θ3 − θ2 = θ1 − θ4 o θ3 − θ2 = −(θ1 − θ4) (36)

θ2 − θ1 = θ4 − θ3 o θ2 − θ1 = −(θ4 − θ3) (37)

Si se toma la primera posibilidad de ambas ecuaciones (36) y (37), se obtiene que8

θ3 = θ1 y θ4 = θ2. (38)

Puesto que θ4 = θ2, un analisis mucho mas simple para el lazo superior conduce a

θ5 = θ3 = θ1. (39)

El eslabonamiento que se obtiene bajo estas restricciones se muestra en la Figura 42.Bajo estas circunstancias, las ecuaciones de restriccion se reducen a

a2 Cos θ2 + a1 Cos θ1 = a1 Cos θ1 + a2 Cos θ2

a2 Sen θ2 + a1 Sen θ1 = a1 Sen θ1 + a2 Sen θ2

b2 Cos θ2 + a1 Cos θ1 = a1 Cos θ1 + b2 Cos θ2

b2 Sen θ2 + a1 Sen θ1 = a1 Sen θ1 + b2 Sen θ2 (40)

8Un analisis de las restantes posibilidades conduce a soluciones en las que las condiciones solo se satisfacen

momentaneamente.

26

Figure 42: Caso Especial del Mecanismo Mostrado en la Figura 40.

Es facil notar que estas ecuaciones se satisfacen identicamente. Por lo tanto,

F = C − E = 1 − 0 = 1 (41)

El grado de libertad, indicado por la ecuacion anterior, es evidente cuando se observa que elconjunto puede rotar alrededor de un eje perpendicular al plano del papel.

6.5 Ejemplo 5. Mecanismo Plano de Dos Lazos Independientes, que

Clarifica Porque Falla el Criterio de Grubler.

En este ejemplo se usara el criterio de Paul para dar una nueva interpretacion a algunos de loscasos en los que el criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 43,que se emplea en mecanismos de prensas mecanicas e hidraulicas. En particular, debe notarse lasimetrıa de la geometrıa y de la topologıa. Esta simetrıa se emplea para aplicar de manera masuniforme la fuerza de prensado mediante el dado superior representado por el eslabon 6.

El mecanismo de la figura 43, tiene 9 eslabones y 12 pares de la clase I, 10 pares de revoluta y2 prismaticos, si se aplica el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(N − 1) − 2PI − PII = 3(9 − 1) − 2(12) − 0 = 24 − 24 = 0. (42)

De manera semejante, si se emplea el criterio de Paul, debe notarse que

θ1 = 180◦ θ2 = 270◦ θ3 = 90◦ + γ3

θ4 = 90◦ + γ4 θ5 = 270◦ θ6 = 180◦

θ7 = 90◦ − γ7 θ11 = 0◦ θ12 = 270◦

θ13 = 90◦ − γ3 θ14 = 90◦ − γ4 θ16 = 0◦

θ17 = 90◦ + γ7

Ademas, las siguientes magnitudes son constantes a1 = a11, a3 = a13, a4 = a14, a6 = a16, a7 = a17.Por lo que, las unicas coordenadas generalizadas son a2, a12, a5, junto con γ3, γ4, γ7.

Las ecuaciones vectoriales de clausura, estan dadas por

~a1 + ~a2 = ~a3 + ~a4

27

Figure 43: Ecuaciones Vectoriales en otro Mecanismo Plano de Dos Lazos Que Permite IlustrarPorque Falla el Criterio de Grubler.

~a5 + ~a6 + ~a7 = ~a3

~a11 + ~a12 = ~a13 + ~a14

~a5 + ~a16 + ~a17 = ~a13 (43)

Puesto que, en general, cada ecuacion vectorial genera 2 ecuaciones escalares, a primera vista elcriterio de Paul conduce a

F = C − E = 6 − 8 = −2 (44)

Ambos resultados, nos indican que el eslabonamiento es una estructura, aun cuando el criterio dePaul, nos indica que la estructura es estaticamente indeterminada.

En la parte final de este ejemplo, se analizaran, con mas detalle, las ecuaciones escalares queresultan de las ecuaciones vectoriales (43), para de esa forma descubrir el numero correcto degrados de libertad del eslabonamiento. Las ecuaciones vectoriales estan dadas por

−a1i − a2j = a3 C (90◦ + γ3)i + a3 S (90◦ + γ3)j + a4 C (90◦ + γ4)i + a4 S (90◦ + γ4)j

−a5j − a6i + a7 C (90◦ − γ7)i + a7 S (90◦ − γ7)j = a3 C (90◦ + γ3)i + a3 S (90◦ + γ3)j

a11i − a12j = a13 C (90◦ − γ3)i + a13 S (90◦ − γ3)j + a14 C (90◦ − γ4)i + a14 S (90◦ − γ4)j

−a5j + a16i + a17 C (90◦ + γ7)i + a17 S (90◦ + γ7)j = a13 C (90◦ − γ3)i + a13 S (90◦ − γ3)j (45)

Sustituyendo las condiciones de igualdad entre los eslabones, las ecuaciones escalares son

−a1 = −a3 S γ3 − a4 S γ4 (46)

−a2 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (47)

28

−a6 + a7 S γ7 = −a3 S γ3 (48)

−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3 (49)

a1 = a3 S γ3 + a4 S γ4 (50)

−a12 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (51)

a6 − a7 S γ7 = a3 S γ3 (52)

−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3 (53)

Un analisis muy simple de las ecuaciones revela que las siguientes parejas de ecuaciones, la (46)y la (50), la (48) y la (52), la (49) y la (53) son redundantes por lo tanto, el sistema de ecuacionesse reduce a

−a1 = −a3 S γ3 − a4 S γ4 (54)

−a2 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (55)

−a6 + a7 S γ7 = −a3 S γ3 (56)

−a5 + a7 C γ7 = a3 C γ3 (57)

−a12 = a3 C γ3 + a4 C γ4 (58)

De esa manera, se tiene que el numero de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul,esta dado por

F = C − E = 6 − 5 = 1 (59)

Ademas es interesante notar que las ecuaciones (55) y (58) conducen a

a2 = a12 (60)

Este resultado permite verificar la completa simetrıa del mecanismo, que es la causante de loserrores iniciales en el calculo de los grados de libertad del mecanismo.

6.6 Ejemplo 6. Mecanismo Plano Complejo, Que Constituye Una Ex-

cepcion del Criterio de Grubler.

Considere el mecanismo plano mostrado en la figura 44, el mecanismo esta formado por cincoeslabones y seis pares de la clase I, cuatro pares prismaticos y dos pares de revoluta. Si se aplicael criterio de Grubler, el resultado es

F = 3 · (N − 1) − 2 · PI − PII = 3 · (5 − 1) − 2 · 6 − 0 = 12 − 12 − 0 = 0. (61)

De acuerdo con este resultado el eslabonamiento parece ser una estructura. Si se consideranlas ecuaciones de clausura dadas por

~s1 + ~s2 = ~a2 +~b3

~a2 + ~a3 = ~s3 + ~s4 (62)

y las ecuaciones escalares correspondientes son

s1 C θs1 + s2 C φ2 = a2 Cθ2 + b3 C (θ3 + γ)

s1 S θs1 + s2 S φ2 = a2 Sθ2 + b3 S (θ3 + γ)

a2 Cθ2 + a3 C θ3 = s3 C θs3 + s4 C φ4

a2 Sθ2 + a3 S θ3 = s3 S θs3 + s4 S φ4 (63)

29

Figure 44: Mecanismo Plano Complejo que Constituye una Excepcion del Criterio de Grubler.

Ademas, las siguientes magnitudes son constantes a2, a3, b3, φ2, φ4, γ, φs1, φs3. Por lo que,las unicas coordenadas generalizadas son, a primera vista, θ2, θ3, s1, s2, s3 y s4.

De esa manera, se tiene que el numero de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul,esta dado por

F = C − E = 6 − 4 = 2. (64)

Sin embargo, debe notarse que el eslabon triangular esta conectado al eslabon fijo mediante dospares prismaticos de modo que el movimiento relativo del eslabon triangular respecto aleslabon fijo es unicamente de traslacion, por lo tanto la “variable” θ3 es en realidad unparametro.

Por lo tanto, volviendo a aplicar el criterio de Paul, se tiene que la movilidad esta dada por

F = C − E = 5 − 4 = 1. (65)

El mecanismo tiene un grado de libertad.

6.7 Ejemplo 7. Mecanismo Plano Que Incluye Pares Superiores.

En los tres ejemplos anteriores se mostro que la movilidad de mecanismos planos puede deter-minarse substrayendo al numero de variables necesarias,para determinar la posicion de todos loseslabones del mecanismo, el numero de ecuaciones independientes obtenidas a partir de las ecua-ciones de clausura de los lazos. Sin embargo, todos los ejemplos ilustrados contienen exclusivamentepares de revoluta y prismaticos. En esta pequena nota, se muestra como se puede determinar, em-pleando este mismo metodo, la movilidad de mecanismos planos que contienen pares de leva, enparticular una pareja de engranes.

Considere el mecanismo mostrado en la figura 45, el mecanismo esta formado por un eslabonfijo, una pareja de engranes y dos bielas. Por lo tanto, el numero total de eslabones del mecanismoes N = 5, ademas el mecanismo tiene PI = 5 pares de la clase I, todos ellos de revoluta, finalmenteel mecanismo tiene un par de leva, representado por la pareja de engranes, por lo tanto, PII = 1.Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3 · (N − 1) − 2 · PI − PII = 3 · (5 − 1) − 2 · 5 − 1 = 12 − 10 − 1 = 1. (66)

30

Figure 45: Mecanismo Plano con un Par de Leva, Formado por una Pareja de Engranes.

Considere ahora la ecuacion vectorial mostrada en la figura 45. La ecuacion esta dada por

~a1 + ~a2 + ~a3 = ~a5 + ~a4 (67)

las componentes escalares de esta ecuacion estan dadas por

a1 Cθ1 + a2 Cθ2 + a3 Cθ3 = a5 Cθ5 + a4 Cθ4 (68)

a1 Sθ1 + a2 Sθ2 + a3 Sθ3 = a5 Sθ5 + a4 Sθ4 (69)

los parametros de estas ecuaciones son a1, a2, a3, a4, a5, r2 y r5 donde estos dos ultimos parametrosson los radios de los engranes. Ademas θ1 = 0◦, las variables son θ2, θ3, θ4 y θ5.

Figure 46: Relacion Entre los Angulos de Giro de los Engranes.

Sin embargo, los engranes introducen una nueva ecuacion, sean θ20 y θ50 las posiciones iniciales,o de ensamble, de los eslabones 2 y 5. Entonces, las angulos θ2 y θ5, vea la figura 46, estanrelacionados por

θ2 − θ20

θ5 − θ50

= −

r5

r2

. (70)

o(θ2 − θ20) r2 = −(θ5 − θ50) r5. (71)

31

En algunos libros, esta ecuacion se denomina ecuacion auxiliar.Concluyendo, el numero de variables necesarias para determinar la posicion del mecanismo es

V = 4, mientras que las ecuaciones escalares independientes son las ecuaciones (68,69,71). Esdecir, E = 3, por lo tanto

F = V − E = 4 − 3 = 1. (72)

El mismo numero de grados de libertad que el determinado empleando el criterio de Grubler.

Bibliografıa

[1] Paul, B. [1979], Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Englewood Cliffs, New Jersey:Prentice-Hall.

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