INTRODUCCIÓN A LA RELATIVIDAD GENERAL

INTRODUCCIÓN A LA

RELATIVIDAD GENERAL

Un curso para estudiantes de física

Cosimo Bambi

Traductores

Carlos Albertho Benavides-Gallego Alejandro Cárdenas-Avendaño

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · México

INTRODUCCIÓN A LA

RELATIVIDAD GENERAL

Un curso para estudiantes de física

Cosimo Bambi

Introducción a la relatividad general. Un curso para estudiantes de física Introduction to General Relativity. A Course for Undergraduate Students of Physics

Translation from the English language edition: Introduction to General Relativity by Cosimo Bambi Copyright © Springer Nature Singapore Pte Ltd. 2018. All Rights Reserved

© Editorial Reverté, 2021

Edición en papel:

ISBN: 978-84-291-4437-6

Edición en e-book (PDF):

ISBN: 978-84-291-9635-1

Versión española por:

Carlos Albertho Benavides-Gallego Alejandro Cárdenas-Avendaño

Coordinación editorial: Patricia Reverté

Revisión de textos: Cristina Illamola

Propiedad de:

Editorial Reverté, S.A. Calle Loreto 13-15, local B 08029 Barcelona Tel: (+34) 93 419 33 36 [email protected] www.reverte.com

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra sólo puede realizarse con la autorización de sus titulares, salvo las excepciones previstas por la Ley 23/2006 de Propiedad Intelectual, y en concreto por su artículo 32, sobre ‘Cita e ilustración de la enseñanza’. Los permisos para fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra pueden obtenerse en Cedro (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org).

# 1530

Fatti non foste a viver come bruti,ma per seguir virtute e canoscenza.DANTE ALIGHIERI, Inferno (Canto XXVI)

Prefacio

Las formulaciones de las teorías de la relatividad especial y general y la mecánica cuánticaen las primeras décadas del siglo XX son un hito fundamental en la ciencia, no solo por susprofundas implicaciones en la física, sino también para la metodología de la investigación.De manera análoga, los cursos de relatividad general y especial y de mecánica cuántica repre-sentan un hito importante para todo estudiante de física. Estos cursos introducen un enfoquediferente para investigar los fenómenos físicos, y los estudiantes necesitan tiempo para digerirun cambio tan radical.

En la mecánica newtoniana y en la teoría de la electrodinámica de Maxwell, el enfoquees bastante empírico y natural. Primero inferimos algunas leyes fundamentales de las ob-servaciones (por ejemplo, las leyes de Newton) y luego construimos la teoría completa (porejemplo, la mecánica newtoniana). En la física moderna, a partir de la relatividad general yespecial y la mecánica cuántica, este mismo enfoque no siempre es posible. Las observacio-nes y la formulación de la teoría pueden cambiar de orden. Esto se debe a que es posible queno tengamos acceso directo a las leyes básicas que rigen un determinado fenómeno físico. Ental caso, podemos formular una serie de teorías, o podemos introducir una serie de respuestaspara explicar un fenómeno físico específico dentro de una determinada teoría si ya tenemosla teoría, y luego comparamos las predicciones de las diferentes soluciones para comprobarcuál, si hay alguna, es consistente con las observaciones.

Por ejemplo, las leyes de Newton pueden inferirse directamente de los experimentos. Encambio, las ecuaciones de Einstein se obtienen imponiendo algunos requisitos "razonables"y luego se confirman comparando sus predicciones con los resultados de los experimentos.En la física teórica moderna, es común que se desarrollen modelos teóricos sobre la basede "conjeturas" (motivados por argumentos teóricos, pero sin ningún apoyo experimental),con la esperanza de que sea posible encontrar predicciones que luego puedan ser probadasmediante experimentos.

Al principio, un estudiante puede sentirse decepcionado por este nuevo enfoque y puedeque no entienda la introducción de supuestos ad hoc. En parte, esto se debe a que estamoscondensando en un curso los esfuerzos de muchos físicos y muchos experimentos, sin discutirtodos los intentos infructuosos, pero necesarios e importantes, que finalmente llevaron a unateoría en su forma final. Además, cada estudiante tendrá diferentes conocimientos anteriores,no solo porque son estudiantes de diferentes disciplinas (por ejemplo, física teórica, físicaexperimental, astrofísica, física-matemática), sino también porque los programas de pregradoen diferentes países pueden ser muy diferentes. Además, algunos libros de texto pueden seguir

VII

VIII Prefacio

enfoques apreciados por algunos estudiantes y no por otros, quienes pueden preferir libros detexto diferentes. Este punto es bastante importante cuando estudiamos por primera vez lasteorías de la relatividad especial y general y la teoría de la mecánica cuántica, porque hayalgunos conceptos que al principio son difíciles de entender, y un enfoque diferente puedehacerlo más fácil o más difícil.

En el presente libro de texto, las teorías de la relatividad especial y general se introducencon la ayuda del formalismo lagrangiano. Este es el enfoque empleado en el famoso librode texto de Landau y Lifshitz. Aquí hemos tratado de tener un libro más accesible para unmayor número de estudiantes, comenzando con una breve revisión de la mecánica newtonia-na, reduciendo la matemática, presentando todos los pasos de la mayoría de los cálculos yconsiderando algunos ejemplos (con suerte esclarecedores). El presente libro de texto dedicabastante espacio a las aplicaciones astrofísicas, discutiendo pruebas del sistema solar, aguje-ros negros, modelos cosmológicos y ondas gravitacionales a un nivel adecuado para un cursointroductorio a la relatividad general. Estas líneas de investigación se han vuelto muy activasen las últimas dos décadas y han atraído a un número creciente de estudiantes. En el últimocapítulo, los estudiantes pueden obtener una descripción general y rápida de los problemasde la gravedad de Einstein y las líneas actuales de investigación en física teórica.

El libro de texto tiene trece capítulos y, en un curso de un semestre (normalmente entre tre-ce y quince semanas), cada semana se puede dedicar al estudio de un capítulo. Sin embargo,tenga en cuenta que los Caps. (1 - 9) son casi "obligatorios" en cualquier curso de relatividadespecial y general, mientras que los Caps. (10 - 13) cubren temas que a menudo se omiten enun curso introductorio para estudiantes de pregrado. Los ejercicios se proponen al final de lamayoría de los capítulos y se resuelven parcialmente en el Ap. (I).

Nota añadida para la versión en español: la versión en inglés de este libro fue publicadapor Springer Nature Singapore en 2018 y en su primer año obtuvo más de dos millones dedescargas. El libro fue traducido al chino mandarín y publicado por Fudan University Pressen 2020, después de corregir algunos errores tipográficos de la versión en inglés. Con estaversión en español estamos así en la tercera edición del libro. Agradezco a Carlos AlberthoBenavides-Gallego y a Alejandro Cárdenas-Avendaño por el arduo trabajo de traducir estelibro.

Agradecimientos: a Dimitry Ayzenberg y a Andrea Lopera por la lectura y comentariosde una versión preliminar de este libro en inglés y español, respectivamente. C. B. tambiénagradece a Ahmadjon Abdujabbarov y Leonardo Modesto por sus comentarios y sugerencias.El trabajo de C. B. fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China(Grant No. U1531117), la Universidad de Fudan (Grant No. IDH1512060) y la FundaciónAlexander von Humboldt. El trabajo de A. C.-A. fue apoyado por la Fundación Universita-ria Konrad Lorenz (Proyecto 5INV1). A. C.-A. agradece la hospitalidad del Departamentode Física de la Universidad de Fudan, en donde algunos de estos capítulos fueron traduci-dos. El trabajo de C.A.B.-G fue apoyado por el programa de becas del gobierno Chino CSC(Grant No. 2017GXZ01922) y por el programa PIFI de la academia China de ciencias CAS.C.A.B.-G también agradece la hospitalidad de la Universidad de Fudan y del ObservatorioAstronómico de Shanghai donde se tradujeron algunos de estos capítulos.

Cosimo BambiAbril 2021

Índice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

Índice general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Convenciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV

1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. El principio de la relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espacio euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Escalares, vectores y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Transformaciones galileanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Principio de mínima acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Constantes de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7. Las ecuaciones geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8. La gravedad newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9. Las ecuaciones de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11. El experimento de Michelson y Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.12. Los primeros pasos hacia la teoría especial de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . 24Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1. El principio de relatividad de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Espacio-tiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Reglas de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.1. Movimiento superlumínico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. Ejemplo: rayos cósmicos de muones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

IX

X Índice general

3. Mecánica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1. Acción para una partícula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Energía y momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1. Formalismo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.2. Formalismo cuadridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Partículas sin masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4. Colisiones de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5. Ejemplo: aceleradores circulares vs. lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6. Ejemplo: el límite Greisen-Zatsepin-Kuzmin (GZK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7. Sistemas de varios cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.8. Formalismo lagrangiano para campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9. El tensor de energía-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.10.1. Tensor de energía-momento de una partícula puntual libre . . . . . . . . . . 593.10.2. El tensor de energía-momento de un fluido perfecto . . . . . . . . . . . . . . . 60

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1. Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2. Movimiento de una partícula cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1. Formalismo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2. Formalismo cuadridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3. Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.1. Ecuaciones de Maxwell homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.2. Ecuaciones de Maxwell inhomogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5. El tensor de energía-momento del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.1. Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme 744.6.2. Campo electromagnético generado por una partícula cargada . . . . . . . . 75

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. Geometría riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1. Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2.3. Propiedades de la derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3. Expresiones útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4. Tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.2. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4.3. El tensor de Ricci y el escalar de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4.4. Las identidades de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Índice general XI

6. Relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1. Covarianza general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2. Principio de equivalencia de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3. Conexión con el potencial newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4. Marcos localmente inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.1. Marcos de referencia localmente minkowskianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.2. Marcos de referencia localmente inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.5. Medidas de los intervalos de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6. Ejemplo: satélites GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.7. Fenómenos no gravitacionales en espacio-tiempos curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7. La gravedad de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1. Ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2. Límite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.3. La acción de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.4. Tensor de materia energía-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.4.3. Conservación covariante del tensor materia energía-momento . . . . . . . 127

7.5. El pseudotensor de Landau-Lifshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8. La solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.1. Espacio-tiempos esféricamente simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.2. Teorema de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.3. La métrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.4. Movimiento en la métrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.5. Agujeros negros de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.6. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.6.1. Espacio-tiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.6.2. Espacio-tiempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9. Pruebas clásicas de la relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.1. Desplazamiento al rojo gravitacional de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.2. Precesión del perihelio de Mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.3. Desviación de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.4. Efecto de Shapiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.5. Formalismo postnewtoniano parametrizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

XII Índice general

10. Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.2. Agujero negro de Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.3. Agujeros negros de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.3.1. Órbitas ecuatoriales circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.3.2. Frecuencias fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.3.3. Arrastre del marco de referencia (frame fragging) . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

10.4. Teoremas del no pelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.5. Colapso gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.5.1. Colapso de polvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.6. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18910.6.1. Espacio-tiempo de Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18910.6.2. Espacio-tiempo de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.6.3. Espacio-tiempo de Oppenheimer-Snyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191


11. Modelos cosmológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.1. La solución de Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.2. Ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711.3. Modelos cosmológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.3.1. El universo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20011.3.2. El universo dominado por la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20111.3.3. Universo dominado por la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20211.3.4. Universo dominado por la energía del vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.4. Propiedades de la métrica de Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . 20411.4.1. Corrimiento al rojo cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20411.4.2. Horizonte de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.5. Plasma primordial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.6. La edad del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.7. El destino del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12. Ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21112.1. Repaso histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21112.2. Ondas gravitacionales en la gravedad linealizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

12.2.1. Gauge armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21412.2.2. Gauge transverso sin traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.3. Fórmula cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21812.4. Energía de las ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22112.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

12.5.1. Ondas gravitacionales producidas por una estrella de neutronesrotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

12.5.2. Ondas gravitacionales producidas por un sistema binario . . . . . . . . . . . 22812.6. Fuentes astrofísicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

10.5.2. Colapso homogéneo de polvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Índice general XIII

12.6.1. Colisión de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23012.6.2. Espirales de masa extrema (extreme-mass ratio inspirals) . . . . . . . . . . 23112.6.3. Estrellas de neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.7. Detectores de ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23412.7.1. Detectores resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23712.7.2. Interferómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23712.7.3. Sincronización de conjuntos de púlsares (pulsar timing arrays) . . . . . 239


13. Más allá de la gravedad de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24113.1. Singularidades espacio-temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24113.2. Cuantización de la gravedad de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24213.3. La termodinámica de agujeros negros y la paradoja de la información . . . . . . 24413.4. El problema de la constante cosmológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

A. Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

B. Cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257B.1. Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257B.2. El símbolo de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259B.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

C. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261C.1. Coordenadas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261C.2. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263C.3. Vector cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265C.4. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266C.5. Ejemplo: superficie esférica de dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

D. Ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

E. El programa Mathematica para el cálculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

F. Solución interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

G. Métrica alrededor de un cuerpo masivo que rota lentamente . . . . . . . . . . . . . . . . 283

H. La métrica de Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

XIV Índice general

I. Sugerencias para resolver los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291I.1. Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291I.2. Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295I.3. Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297I.4. Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301I.5. Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302I.6. Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303I.7. Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305I.8. Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307I.9. Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310I.10. Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311I.11. Capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313I.12. Capítulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Índice de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Convenciones

Hay varias convenciones en la bibliografía y esto, desafortunadamente, a veces puede ge-nerar confusión. En este libro de texto utilizamos la firma para la métrica del espacio-tiempo (−+++), la cual es la más usada por la comunidad académica que trabaja direc-tamente en gravedad clásica. Escribimos la métrica de Minkowski de la siguiente manera:

||ηµν ||=

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, (0.1)

en donde aquí, y en el resto del libro, la notación ||Aµν || se usa para indicar la matriz deltensor Aµν .

Las letras griegas (µ , ν , ρ , ...) se utilizan para denotar los índices de espacio-tiempo ypueden asumir los valores 0, 1, 2, ..., n, en donde n es el número de dimensiones espaciales.Las letras latinas (i, j, k, ...) se utilizan para denotar índices espaciales y pueden asumir losvalores 1, 2,..., n. La coordenada de tiempo se puede indicar como t o como x0. El índiceasociado con la coordenada temporal se puede indicar como t o como 0, por ejemplo, V t oV 0.

El tensor de Riemann se define como

Rµ

νρσ =∂Γ

µ

νσ

∂xρ−

∂Γµ

νρ

∂xσ+Γ

µ

λρΓ

λνσ −Γ

µ

λσΓ

λνρ ,

en donde Γµ

νρ son los símbolos de Christoffel

Γµ

νρ =12

gµλ

(∂gλρ

∂xν+

∂gνλ

∂xρ−

∂gνρ

∂xλ

).

El tensor de Ricci se define como Rµν = Rλ

µλν. Escribimos las ecuaciones de Einstein como

Gµν = Rµν −12

gµν R =8πGN

c4 Tµν .

XV

XVI Convenciones

Dado que el presente libro de texto tiene como objetivo ser un curso introductorio a la re-latividad general y especial, a menos que se indique lo contrario mostraremos explícitamentela velocidad de la luz c, la constante gravitacional de Newton GN y la constante de Planck }.En algunas partes (Caps. (10) y (13) y Secs. (8.2) y (8.6)) emplearemos unidades en las queGN = c = 1 para simplificar las expresiones.

Tenga en cuenta que ρ a veces se usará para indicar la densidad de energía y, a veces, paraindicar la densidad de masa (por lo que la densidad de energía asociada será ρc2).

Capítulo 1Introducción

Este capítulo repasa brevemente la geometría euclidiana, las transformaciones galileanas, elformalismo lagrangiano y la gravedad newtoniana. Aunque se asumirá que el lector ya estáfamiliarizado con estos conceptos, resulta conveniente resumirlos brevemente, ya que seránutilizados o generalizados en los próximos capítulos para las teorías de la relatividad espe-cial y general. Este capítulo concluye señalando la inconsistencia entre las transformacionesgalileanas y las ecuaciones de Maxwell y cómo este importante hecho llevó a la teoría de larelatividad especial entre finales del siglo XIX y principios del XX.

1.1. El principio de la relatividad especial

Consideremos el movimiento de una partícula puntual en un espacio n-dimensional. Para des-cribir este sistema físico, intuitivamente necesitamos n+1 variables, es decir, n coordenadasespaciales para describir la posición de la partícula en el espacio y un determinado valor deuna coordenada temporal (ver Fig. (1.1)). Para asignarle las n coordenadas espaciales a la par-tícula, necesitamos medir la distancia usando, por ejemplo, una barra estándar y la direcciónde esta desde un cierto punto de referencia. La coordenada temporal se determina midiendo,con un reloj estándar, el intervalo de tiempo con respecto a un tiempo de referencia. La elec-ción del punto de referencia, del tiempo de referencia, de la barra estándar y del reloj estándarcorresponde a un cierto observador, el cual establece un sistema de referencia particular. Apartir de estas consideraciones surgen por lo menos las siguientes preguntas:

1. ¿Es necesario elegir un sistema de referencia particular para describir el movimiento dela partícula? En otras palabras, ¿existe un sistema de referencia u observador privilegiadoo podemos elegir cualquier clase de sistema de referencia u observador? ¿Las leyes de lafísica son independientes de dicha elección?

2. ¿Cómo se relacionan las cantidades físicas medidas en cierto sistema de referencia con lasmismas cantidades medidas en otro sistema de referencia?

Galileo Galilei fue el primero, en el siglo XVII, en discutir el tema de la elección delsistema de referencia para describir fenómenos físicos. A partir de observaciones simples,podemos darnos cuenta de que hay cierta clase de observadores que resultan particularmente

1

2 1 Introducción

t

x

y

t = t2

t = t 1

(x ( t ) , y ( t ))

Figura 1.1 Movimiento de una partícula puntual en un espacio bidimensional. Las coordenadas x e y sonespaciales y t es temporal. La trayectoria de la partícula está descrita por la curva (x(t) , y(t)).

adecuados para describir fenómenos físicos: los observadores inerciales (o sistemas de refe-rencia inerciales).

Sistema de referencia inercial. Un sistema o marco de referencia inercial es un sis-tema de referencia en el que el movimiento de un cuerpo que no está sujeto a fuerzaspermanece en reposo o continúa moviéndose a una velocidad constante en línea recta.

Si bien es posible describir fenómenos físicos incluso en sistemas de referencia no inercia-les, es decir, en los sistemas de referencia que no pertenecen a la clase de marcos de referenciainercial, la descripción es más complicada. En particular, para la mayoría de casos suele sernecesario introducir algunas correcciones (que dependen de la referencia escogida) a las le-yes de la física. Sin embargo, estrictamente hablando, los marcos de referencia inercialesno existen en la naturaleza, ya que en el Universo1 existen fuerzas de largo alcance que nopueden ser filtradas o apantalladas. No obstante, generalmente podemos encontrar marcos dereferencia que se aproximan bastante bien a los inerciales.

Con el concepto de marco de referencia inercial definido, podemos presentar el principiode la relatividad especial.

Principio de la relatividad especial. Las leyes de la física son las mismas en todos lossistemas de referencia inerciales.

1 Tenga en cuenta que es común usar la letra mayúscula en la palabra Universo sólo cuando nos referimos anuestro Universo. Si queremos decir un universo genérico o modelo cosmológico, escribimos universo.

1.2 Espacio euclídeo 3

El principio de la relatividad especial no puede probarse mediante argumentos teóricos,sino que solo se confirma (o refuta) mediante experimentos. Los experimentos actuales ylos datos observacionales respaldan este principio. No obstante, hoy en día continúan losesfuerzos experimentales para probar el principio de la relatividad especial cada vez conmayor precisión, o en diferentes escenarios, así como también modelos teóricos en los queeste principio puede ser violado de alguna manera.

1.2. Espacio euclídeo

Consideremos un espacio tridimensional descrito a través del sistema de coordenadas carte-sianas (x,y,z). Este espacio se puede "identificar" con R3, dado que cada punto del espaciopuede ser caracterizado por tres números reales; es decir, los valores de las coordenadas(x,y,z).

La distancia infinitesimal entre el punto xA = (xA,yA,zA) y el punto xB = (xA + dx,yA +dy,zA +dz) es la raíz cuadrada de

dl2 = dx2 +dy2 +dz2 , (1.1)

en donde dl es llamado elemento de línea. La Ec. (1.1) resulta ser una versión del teorema dePitágoras.

Es conveniente introducir la notación (x1,x2,x3) para denotar las coordenadas del espacio.En el caso de las coordenadas cartesianas, tenemos, por lo tanto, la siguiente identificaciónx1 = x, x2 = y y x3 = z. De esta manera, la Ec. (1.1) se puede escribir de forma más compactacomo

dl2 = δi jdxidx j , (1.2)

en donde δi j es la delta de Kronecker y se ha usado la convención de suma de Einstein sobrelos índices repetidos; es decir,

δi jdxidx j ≡3

∑i, j=1

δi jdxidx j . (1.3)

La métrica euclídea es δi j y se puede escribir como la matriz

||δi j||=

1 0 00 1 00 0 1

. (1.4)

4 1 Introducción

Nuestra discusión puede extenderse fácilmente a un espacio de n dimensiones. El espacioeuclídeo n-dimensional es Rn, en el cual el cuadrado del elemento de línea es2

dl2 = δi jdxidx j , (1.5)

pero esta vez i y j toman valores desde 1 hasta n.Es importante resaltar que la distancia infinitesimal entre dos puntos es independiente del

sistema de coordenadas. El elemento de línea es, por lo tanto, un invariante; es decir, unacantidad que no cambia luego de un cambio de coordenadas. Para un sistema de coordenadasarbitrario, escribimos el cuadrado del elemento de línea como

dl2 = gi jdxidx j , (1.6)

donde gi j es el llamado tensor métrico. Este tensor debe ser simétrico en sus índices, i. e.,gi j = g ji, y en general no es igual a δi j. De manera general, si el sistema de coordenadas secambia de (x1,x2,x3) al sistema de coordenadas (x′1,x′2,x′3) se tiene

dxi→ dx′i =∂x′i

∂x j dx j , (1.7)

y, por lo tanto,

gi jdxidx j = g′i jdx′idx′ j = g′i j∂x′i

∂xm dxm ∂x′ j

∂xn dxn . (1.8)

Podemos ver que

gmn =∂x′i

∂xm∂x′ j

∂xn g′i j . (1.9)

Si se multiplican ambos lados de la expresión anterior por ∂xm/∂x′p y ∂xn/∂x′q y se sumasobre los índices repetidos, se obtiene

∂xm

∂x′p∂xn

∂x′qgmn =

∂xm

∂x′p∂xn

∂x′q∂x′i

∂xm∂x′ j

∂xn g′i j = δipδ

jq g′i j = g′pq . (1.10)

En este sentido, el tensor métrico transforma como

gi j→ g′i j =∂xm

∂x′ j∂xn

∂x′ jgmn . (1.11)

A manera de ejemplo, consideremos el sistema de coordenadas esféricas (r,θ ,φ), cuyarelación con las coordenadas cartesianas es

x = rsenθ cosφ ,

y = rsenθsenφ ,

z = r cosθ , (1.12)

2 Desde el punto de vista matemático formal, el espacio euclídeo n-dimensional es la variedad diferenciableRn dotada con la métrica euclídea δi j , ver Ap. (C).

1.2 Espacio euclídeo 5

y su inversa se escribe como

r =√

x2 + y2 + z2 ,

θ = arccos

(z√

x2 + y2 + z2

),

φ = arctan(y

x

). (1.13)

Al aplicar la Ec. (1.11), el cuadrado del elemento de línea queda representado en coordenadasesféricas de la siguiente manera:

dl2 = dr2 + r2dθ2 + r2sen2

θdφ2 , (1.14)

y, por lo tanto, el tensor métrico correspondiente es

||gi j||=

1 0 00 r2 00 0 r2sen2θ

. (1.15)

Una vez expresado el concepto de elemento de línea, es posible ahora medir la longitudde una curva. En el espacio tridimensional con coordenadas cartesianas, una curva es unafunción continua Γ : t ∈ [t1, t2]⊂ R→ R3, cuyos puntos tienen las coordenadas

x(t) =

x(t)y(t)z(t)

. (1.16)

La longitud de la curva es

`=∫

Γ

dl =∫ t2

t1

√x2 + y2 + z2 dt , (1.17)

donde el punto˙ indica la derivada con respecto al parámetro t. La longitud de la curva entredos puntos en el espacio también es un invariante.

Como un ejemplo de la longitud de una curva, consideremos un círculo en R2. Los puntosdel círculo tienen coordenadas cartesianas

x(t) =(

Rcos tRsent

), (1.18)

donde R es el radio y t ∈ [0,2π). La longitud de la curva es, por lo tanto,

`=∫ 2π

0

√R2sen2t +R2 cos2 tdt =

∫ 2π

0Rdt = 2πR . (1.19)

6 1 Introducción

1.3. Escalares, vectores y tensores

Un escalar φ es una cantidad que se mantiene constante tras un cambio de coordenadas: bajola transformación de coordenadas xi→ x′i, tenemos

φ → φ′ = φ . (1.20)

Por ejemplo, el elemento de línea dl es un escalar.Un vector es, estrictamente hablando, un elemento de un espacio vectorial, i. e., conjunto

de objetos sobre los cuales se pueden definir dos operaciones (adición y multiplicación) quesatisfacen ciertos axiomas. El lector muy seguramente ya está familiarizado con el conceptode vector, pero se pueden encontrar más detalles en el Ap. (A.2). Por ejemplo, el desplaza-miento infinitesimal entre dos puntos cercanos del espacio

dx =(dx1,dx2, ...,dxn) , (1.21)

es un vector. Es importante notar que el uso de subíndices (o índices inferiores) y superíndices(o índices superiores) en la sección anterior no fue accidental. Los superíndices se utilizanpara denotar las componentes de aquellos vectores que transforman como

V i→V ′i =∂x′i

∂x j V j , (1.22)

tras un cambio de coordenadas3 xi→ x′i.Los subíndices se usan para las componentes de un vector dual (también llamado vector

contangente o covector), el cual transforma como

Vi→V ′i =∂x j

∂x′iVj . (1.23)

En este libro, el dual del vector V = (V 1,V 2, ...,V n) se indica como V∗ y se define como elobjeto con componentes

Vi ≡ gi jV j . (1.24)

En este sentido, el vector dual puede entenderse como una función cuyo argumento es unvector (con componentes W i), cuya aplicación produce un número real

Vi(W i) = gi jW iV j . (1.25)

Una cantidad como ViW i es un escalar, es decir, un invariante ante transformaciones de coor-denadas

ViW i→V ′i W ′i =∂x j

∂x′iVj

∂x′i

∂xk W k = δj

k VjW k =VjW j . (1.26)

3 Las coordenadas de un espacio, {xi}, no son las componentes de un vector, incluso si tienen índices supe-riores. De hecho, no transforman con la regla presentada en la Ec. (1.22) en general. Por ejemplo, esto es fácilde verificar con las transformaciones entre coordenadas cartesianas y esféricas en las Ecs. (1.12) y (1.13).Escribimos las coordenadas espaciales con los índices superiores simplemente para simplificar la notación.

1.3 Escalares, vectores y tensores 7

Se acostumbra a decir que los índices superiores son "bajados" a través del tensor métrico,gi j, como se muestra en la Ec. (1.24). De manera análoga, los índices inferiores son "subidos"a través de la inversa del tensor métrico gi j

V i = gi jVj = gi jg jmV m = δimV m =V i , (1.27)

en donde gi jg jm = δ im por definición. En el sistema de coordenadas cartesianas el uso de la

métrica euclídea δi j sobre un vector resulta trivial: si tenemos un vector V = (V x,V y,V z), sudual es

V∗ =

VxVyVz

=

V x

V y

V z

. (1.28)

Sin embargo, como se mencionó anteriormente, la métrica euclidiana es un caso particular.Si consideramos coordenadas esféricas, el dual del vector V = (V r,V θ ,V φ ) es

V∗ =

VrVθ

Vφ

=

V r

r2 V θ

r2sen2θ V φ

. (1.29)

Los tensores son la generalización de los vectores y los duales. Estos objetos tienen múl-tiples índices. Un ejemplo es el tensor métrico gi j. Un tensor de tipo (r,s) y orden r+ s tiener índices superiores y s índices inferiores. La regla de transformación para las componentesdel tensor es

T i1i2...irj1 j2... js

→ T ′i1i2...irj1 j2... js

=∂x′i1

∂xp1

∂x′i2

∂xp2...

∂x′ir

∂xpr

∂xq1

∂x′ j1∂xq2

∂x′ j2...

∂xqs

∂x′ jsT p1 p2...pr

q1q2...qs . (1.30)

Un escalar es, en este sentido, un tensor del tipo (0,0), un vector es un tensor del tipo (1,0)y el dual de un vector es un tensor del tipo (0,1). De la misma forma que se vio anteriormente,los índices superiores pueden ser bajados con gi j y lo índices inferiores subidos con gi j.Algunos ejemplos son4

T i jk = gilg jmgknTlmn , T ijk = gilg jmT m

l k , ... (1.31)

Si subimos un índice del tensor métrico, se obtiene la delta de Kronecker, gi jg jm = gim = δ i

m.Cuando se suma sobre índices superiores e inferiores repetidos, el orden del tensor es redu-

cido. En particular, si se tiene un tensor del tipo (2,1) con componentes T i jk y se "contraen"

los índices i y k, se obtiene el siguiente vector

V j = T i ji . (1.32)

4 Es importante resaltar que, en general, el orden de los índices es importante. De hecho, si se tiene un tensorAab al cual se le baja un índice a, se debe por lo tanto escribir A b

a . Si, por ejemplo, queremos bajar el índiceb, tenemos que escribir Aa

b. El índice a debe mantenerse primero, de izquierda a derecha. Si Aab es un tensorsimétrico, i. e., Aab = Aba, se cumple que A b

a = Aba, y el orden no importa, lo cual permite simplificar la

notación de la siguiente manera: Aab.

8 1 Introducción

De hecho, si consideramos la transformación de coordenadas xi→ x′i, se cumple que

V j→V ′ j = T ′i ji =

∂x′i

∂xl∂x′ j

∂xm∂xn

∂x′iT lm

n = δnl

∂x′ j

∂xm T lmn =

∂x′ j

∂xm T lml

=∂x′ j

∂xm V m , (1.33)

y V j, por lo tanto, transforma como un vector. Si tenemos un tensor del tipo (r,s) y ordenr+ s al cual se le contraen 2t índices, el tensor resultante será del tipo (r− t,s− t) y ordenr + s− 2t. También es posible contraer índices entre dos tensores diferentes. Por ejemplo,si tenemos el vector con componentes V i, su vector dual Wj y se contraen sus índices, seobtiene el escalar V iWi, que es un número y, por lo tanto, un invariante ante transformacionesde coordenadas.

Si una cantidad física es descrita por un tensor del tipo (r,s) en cada punto del espacio,esta cantidad es llamada campo tensorial del tipo (r,s). Un campo escalar es, por lo tanto,una función de la forma φ = φ(x1,x2, ...,xn). Un campo vectorial tiene la forma

V = V(x1,x2, ...,xn) =

V 1(x1,x2, ...,xn)V 2(x1,x2, ...,xn)

...V n(x1,x2, ...,xn)

, (1.34)

es decir, cada componente es una función de las coordenadas espaciales.Una definición rigurosa de vectores, duales y tensores puede ser encontrada en los Aps. (A)

y (C).

1.4. Transformaciones galileanas

Consideremos dos sistemas de referencia inerciales con coordenadas cartesianas x = (x,y,z)y tiempo t, y x′ = (x′,y′,z′) y tiempo t ′, respectivamente. Asumamos que el segundo sistemade referencia se mueve con velocidad constante v con respecto al primero. Si los dos sistemasde coordenadas cartesianas coinciden en el tiempo t = t ′ = 0, la transformación que conectaambos sistemas de coordenadas es

x → x′ = x−vt ,

t → t ′ = t . (1.35)

Si, por ejemplo, v = (v,0,0), se tiene que

x → x′ = x− vt ,

y→ y′ = y ,

z→ z′ = z ,

t → t ′ = t . (1.36)

1.4 Transformaciones galileanas 9

Las transformaciones galileanas son las transformaciones que conectan las coordenadas dedos sistemas inerciales que difieren únicamente por movimiento relativo constante y tienenla forma (1.35).

La transformación inversa de (1.35) es

x′ → x = x′+vt ′ ,

t ′ → t = t ′ , (1.37)

la cual se puede obtener a partir de la Ec. (1.35) remplazando v por −v e intercambiando lascoordenadas.

A partir de la Ec. (1.35), se puede inferir la relación entre las velocidades de una partículamedidas en cada sistema de referencia. Si w = x es la velocidad de la partícula en el sistemade referencia con coordenadas cartesianas (x,y,z) y w′ = x′ es la velocidad de la partícula enel sistema de referencia con coordenadas cartesianas (x′,y′,z′), en donde el punto ˙ indica laderivada con respecto al tiempo, se tiene que

w′ = w−v . (1.38)

De manera más general, dos sistemas de referencia inerciales pueden diferir también poruna rotación o traslación. La transformación que conecta los dos sistemas de referencia quedifieren únicamente por una traslación es

x→ x′ = x+T , (1.39)

en donde T = (T 1,T 2,T 3). En principio, una traslación también puede ser aplicada a la coor-denada temporal, y en este caso se tendría que

t→ t ′ = t + t0 . (1.40)

No obstante, el intervalo de tiempo medido en diferentes sistemas de referencia es el mismo,es decir, ∆ t es un invariante. Esta suposición es crucial en la mecánica newtoniana, en dondese postula un tiempo absoluto válido para cualquier observador (inercial y no inercial).

La transformación que conecta dos sistemas inerciales de referencia que difieren solamen-te por una rotación está dada por

x→ x′ = Rx , (1.41)

en donde R es la matriz de rotación de la transformación. Las rotaciones alrededor de los ejesx, y y z (o, de manera equivalente, las rotaciones de los planos yz, xz y xy) por un ángulo θ

tienen, respectivamente, la siguiente forma

10 1 Introducción

Ryz(θ) =

1 0 00 cosθ senθ

0 −senθ cosθ

,

Rxz(θ) =

cosθ 0 −senθ

0 1 0senθ 0 cosθ

,

Rxy(θ) =

cosθ senθ 0−senθ cosθ 0

0 0 1

. (1.42)

De manera general, una rotación se puede escribir como la combinación de rotacioneselementales alrededor de los ejes x, y y z, es decir,

R(θyz,θxz,θxy) = Ryz(θyz) ·Rxz(θxz) ·Rxy(θxy) . (1.43)

El conjunto de transformaciones galileanas, traslaciones y rotaciones forman un grupo(ver Ap. (A.1)): el grupo de Galileo. La combinación de dos o más transformaciones de coor-denadas es también una transformación de coordenadas. El elemento inverso es la inversa dela transformación. El elemento identidad del grupo de Galileo consiste en la transformación

x→ x′ = x , y→ y′ = y , z→ z′ = z , t→ t ′ = t . (1.44)

El grupo de Galileo es el conjunto de todas las transformaciones posibles que conectandiferentes sistemas de referencia inerciales en la mecánica newtoniana. Una transformacióngenérica del grupo de Galileo tiene la forma

x→ x′ = Rx−vt +T ,

t → t ′ = t + t0 . (1.45)

Si se asume que las transformaciones del grupo de Galileo son las transformaciones correctaspara moverse de un sistema de referencia inercial a otro, el principio de la relatividad especialexpresado en la Sec. (1.1) puede formularse de la siguiente manera:

Principio de relatividad de Galileo. Las leyes de la física son invariantes bajo unatransformación del grupo de Galileo.

La física de los siglos XVII y XVIII fue consistente con el principio de la relatividad deGalileo. No obstante, como se muestra al final de este capítulo, la situación cambió en el sigloXIX con el estudio de los fenómenos electromagnéticos. El hecho de que las ecuaciones deMaxwell no sean invariantes bajo las transformaciones de Galileo se interpretó inicialmentecomo una indicación de la existencia de un sistema de referencia privilegiado. No obstante,posteriormente se verificó que el problema estaba en las transformaciones de Galileo, lascuales solo pueden aplicarse cuando la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia esmucho menor que la velocidad de la luz.

1.5 Principio de mínima acción 11

1.5. Principio de mínima acción

Consideremos un sistema físico. Su acción S entre los instantes de tiempo t1 y t2 está dadapor

S =∫ t2

t1L[q(t), q(t), t]dt , (1.46)

en donde L[q(t), q(t), t] es el lagrangiano del sistema, q = (q1,q2, ...,qn), qis son las coor-denadas lagrangianas que definen la configuración del sistema, y q es la derivada de q conrespecto a t. Por ahora solo diremos que el lagrangiano es una función capaz de describir ladinámica del sistema considerado, e introducimos el principio de mínima acción:

Principio de mínima acción. La trayectoria de un sistema entre dos tiempos, e. g., t1y t2, es aquella cuya acción es estacionaria a primer orden.

El principio de mínima acción es una manera diferente (elegante) de inferir las ecuacionesde movimiento de un sistema una vez se conoce su acción. Consideremos pequeños cambiosen la configuración del sistema

q(t)→ q(t) = q(t)+δq(t) , (1.47)

con las siguientes condiciones de frontera:

δq(t1) = δq(t2) = 0 . (1.48)

La variación en las coordenadas lagrangianas (1.47) produce una variación de la acción

δS =∫ t2

t1

(∂L∂qi δqi +

∂L∂ qi δ qi

)dt , (1.49)

en donde se ha usado la convención de suma sobre índices repetidos. Dado que

δ qi = ˙qi− qi =ddt

δqi , (1.50)

podemos escribir

∂L∂ qi δ qi =

ddt

(∂L∂ qi δqi

)−(

ddt

∂L∂ qi

)δqi . (1.51)

A partir de las condiciones de frontera dadas en la Ec. (1.48), el primer término del ladoderecho de la Ec. (1.51) no contribuye cuando se integra con respecto a t. Por lo tanto, laEc. (1.49) se puede expresar como

δS =∫ t2

t1

(∂L∂qi −

ddt

∂L∂ qi

)δqi dt . (1.52)

12 1 Introducción

ddt

∂L∂ qi −

∂L∂qi = 0 . (1.53)

Este sistema de ecuaciones son las ecuaciones de movimiento del sistema.Hasta ahora no hemos especificado el lagrangiano L. Sin embargo, no existe en general

un procedimiento fundamental para construir el lagrangiano de un sistema específico. El la-grangiano de un cierto sistema físico es simplemente el que proporciona las ecuaciones demovimiento correctas para ese sistema. En otras palabras, si queremos estudiar un sistema,podemos considerar un conjunto de lagrangianos, cada uno de los cuales representa un cier-to modelo para dicho sistema. Luego podemos verificar (con experimentos u observaciones)cuál lagrangiano describe mejor el sistema, y así encontrar el mejor modelo.

El principio de mínima acción es un axioma y, por lo tanto, no puede ser demostrado.Sin embargo, hasta ahora todos los sistemas físicos conocidos se pueden tratar bajo esteformalismo.

Para algunas clases de sistemas particulares, encontrar el lagrangiano resulta inmediato. Elejemplo más sencillo consiste en una partícula puntual que se mueve bajo la influencia de unpotencial V . En este caso, el lagrangiano del sistema está dado simplemente por la diferenciaentre la energía cinética de la partícula T y su potencial V . En tres dimensiones escribimos

L = T −V =12

mx2−V , (1.54)

en donde x = (x,y,z) son las coordenadas cartesianas de la partícula, x es su velocidad y x2 =x2 + y2 + z2. Las ecuaciones de Euler-Lagrange proporcionan las ecuaciones de movimiento

mx =−∇V . (1.55)

La Ec. (1.55) es la segunda ley de Newton para una partícula puntual en un potencial V .

1.6. Constantes de movimiento

Estudiemos ahora un sistema físico descrito por un lagrangiano que no depende explícita-mente del tiempo t, i. e., L = L[q(t), q(t)]. En este sentido se cumple que

∂L∂ t

= 0 , (1.56)

y, por lo tanto,

dLdt

=∂L∂qi qi +

∂L∂ qi qi +

∂L∂ t

=∂L∂qi qi +

∂L∂ qi qi , (1.57)

Al requerir que la acción S sea estacionaria para toda pequeña variación de las coordenadaslagrangianas del sistema, i. e., δS = 0 para todo δqi, se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange

1.6 Constantes de movimiento 13

expresión que puede escribirse como

∂L∂qi qi +

∂L∂ qi qi− dL

dt= 0 . (1.58)

A partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange

∂L∂qi =

ddt

∂L∂ qi (1.59)

y la Ec. (1.58), obtenemos (ddt

∂L∂ qi

)qi +

∂L∂ qi qi− dL

dt= 0 , (1.60)

o bien

ddt

(∂L∂ qi qi−L

)= 0 . (1.61)

La expresión dentro del paréntesis en la Ec. (1.61) es una constante de movimiento

E =∂L∂ qi qi−L . (1.62)

En el caso de una partícula puntual que se mueve en un potencial V , se cumple que

∂L∂ qi qi = mx2 = 2T , (1.63)

y

E = T +V , (1.64)

en donde E, por lo tanto, es la energía total de la partícula puntual.Ahora consideremos el caso en el cual el lagrangiano del sistema no depende explícita-

mente de una coordenada, por ejemplo qi. Dado que ∂L/∂qi = 0, a partir de las ecuacionesde Euler-Lagrange se cumple que

ddt

pi = 0 , (1.65)

en donde pi es el momento conjugado definido como

pi =∂L∂ qi , (1.66)

siendo pi una constante de movimiento del sistema.Nuevamente, el ejemplo más sencillo es el de una partícula puntual libre. Dado que V = 0,

el lagrangiano del sistema es simplemente la energía cinética de la partícula. En tres dimen-siones y coordenadas cartesianas, escribimos

14 1 Introducción

L =12

m(x2 + y2 + z2) . (1.67)

Las constantes de movimiento son las tres componentes del momento

px = mx , py = my , pz = mz , (1.68)

y la energía total es E = T .

1.7. Las ecuaciones geodésicas

En la mecánica newtoniana, el lagrangiano de una partícula puntual libre es simplemente laenergía cinética de la partícula, dada por la expresión de la Ec. (1.67). Las ecuaciones demovimiento se pueden obtener minimizando la acción

S =12

m∫

Γ

(x2 + y2 + z2)dt , (1.69)

en donde Γ representa la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones de Euler-Lagrange sonx = y = z = 0 y su solución es un movimiento con velocidad constante a lo largo de una línearecta.

Si consideramos un sistema de coordenadas diferente al cartesiano, por ejemplo, coorde-nadas esféricas (r,θ ,φ), la acción puede escribirse como

S =12

m∫

Γ

gi j xix jdt , (1.70)

en donde gi j es el tensor métrico definido en la Sec. (1.2). Es importante resaltar que, aunqueel elemento de línea dl2 = gi jdxidx j es un invariante, el cuadrado de la velocidad v2 = gi j xix j

es un invariante solamente si no consideramos sistemas de referencia con movimiento relativodiferente de cero. Este hecho se debe a que en el elemento de línea dl2 estamos considerandola distancia infinitesimal entre dos puntos específicos en el espacio, por ejemplo, xA y xB, loscuales existen independientemente del sistema de coordenadas y tienen diferentes coordena-das en cada sistema de coordenadas. Por otra parte, v2, xi = dxi/dt, donde dxi representa elcambio del valor de las coordenadas en el tiempo dt en un cierto sistema de referencia, y lospuntos del espacio son diferentes en los dos sistemas de referencia cuando hay una velocidadrelativa entre ellos.

De esta manera las ecuaciones de Euler-Lagrange se escriben

ddt

∂L∂ xk −

∂L∂xk = 0 ,

ddt

(gi jδ

ikx j +gi jδ

jk xi)−

∂gi j

∂xk xix j = 0 ,

ddt

(2gikxi)− ∂gi j

∂xk xix j = 0 ,

INTRODUCCIÓN A LA RELATIVIDAD GENERAL

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