Interval Polynomials

46

description

Modern Control System

Transcript of Interval Polynomials

Page 1: Interval Polynomials

�� ���� ����� � ���� ����� � ��� �� � � ���� ������ ��������� ������� � ��� ������ ������ ���� � �� �� �� ��� � ���� ����� ���� ��������� � �� �� ����� � ���� � �� ������ � � ��� �� ��� �� �� � �� � ������� ��� ������� ���������� � ��� � �� ��� ���� ������ ��� � �� ��� ����� ����� � � � ��� ����� ��� ��� �� ��������� � � ������ � � ���� ������ ����������� �� � ����� � � ����� � ��� �� �� ���� ������� � ������ � ��� ����� �� ������� ! ���� "��� ��������� ������� � ��� ����� �� ��� �������� ��� �� �� �� �� ���� ���� ��������� ��� ��������� � � ���� � �� ��� ����

��� ����������

� �� � ���� ����� ������ � � ���� � �� �� #$%& �� '� (� ����� � �������� �� ������ ��������� � � ������ � �������� ��������� ���� ���� ���� �������� ��� ����� ���� �� ��� �� �� ������� � ��� � � ��� ������� ���� � �� � �� � ���� �� ������� � ������������ ��� � ��������� ����

���������� �� �� ��� ���� ��� ���� � �� � ����� �� ����� ��������� �� ���� ��� � �� ��� ���� �� ��� � � �������� ���� � �������� � � �������)����� �� ��� ���� � � *�� ���� ��� � � ����� � ��� �� � � �� � ��+

� ������ � ������� � � ���� �� � ������� �� ����+,��� ������+��� �� � ����� �� ����� � � ����� � ��� ����� ���� ��� �� �������� �-����� ���� �������� � �� ��� � ����������� � �������� ��� �� � ��� ��� ���������� � � ����� � ��� �� � ���� � �� � ���� � � �� � ���� �������� �� � �� ������ � ��� ���� ������� � ����� �� , ����� . ����� ��+ � ��� �� � � � ��� ���� ����� � ��� � ������ � ��� ����� /.����#0 � �� �� � ����� ���� � ��� � �������� �� �� �� ���� � � ��������� � ���� ������� ��� �� � ���� � �� �� � ��� �� �� � � �� ������ ���� � �� '�� (��� /.���� 10� � ��� ���� �� �� � � ��

���

Page 2: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

���� �� �� ������ ����� �� ��� ������� ���� ������� ����������� ���� ���� �������� ����� ������� ��� ��� ���� ���������� ����� �� ���� ����� �� ������ ���������� �������� ������� �� ��� �������� ��� �������� ���� ����� ������������ ���� ��� �� ��� ��� ������ ��������� � ��� �������� ��� ������� �� ���������� �� ���������� �� ��� ����� ��� �� �������� ��������� ��� ����� ������� ����������� �� ��� ��� ���� �� ������ ��� �������� ������� ��� ������� ����� ��������� ������ �� ���� ��� �� ����������� �� ��� �������� ��� ������� ������� ����� �������� ������� ������ !�������� ���� �� ��������� ���� ��������"������� ��� �� �������� �� ������ �������� �� ������ ��� ������� ����� �� ������� ������ � ��� ����� ��� �� ���� �������� �������� ���������� �� ����������������� #� ��� ���� ������� �� ������� ��� ����� $��� �������� �� �� ��������� ������ ����� � % �������� ���� �� ���� ����� �� ����� ����� �� ��� ��������� ����� ��� � ������ �� ��� ��� ������� ������ �� ��������� ��� ����������� ������� ����������� ������ �� ������ � ����� ���� ���������

��� �������� ������ �� ���� �������

#� ���� ������ ������ ���� ���� &���� ������ ������ �������� ������� '� �������� ���� �� ���� � ��� �� ��� ������� �� ������ �� ��� ��� �� ���� ��� �� ��������� ��� ��� �� � &���� ��� �������

(������ ��� ��� ��� �)�* �� ��� ��� ������� �� ����� � �� ��� ���

�)�* + �� , ��� , ���� , ���

� , ���� , � � �, ���

���� ��� ���������� ��� ������ ���� ������

�� � -��� ��.� �� � -��� ��.� � � � � �� � -��� ��.�

����� /+ -��� ��� � � � � ��.

��� ������� � ��� ������ �)�* ���� ��� ��������� ���� �� #������� ��� � ����������� � ��� �� ����������

� /+�� / � � #0���� �� � �� � ��� � + 1�2� � � � � �

�� )3�2*

�� ������ ���� ��� ����� ������ ������� �� ��� ����� � �� ���� 1 �� -��� ��.�$��� � ��� �� ��� ������� �� ������ � ��� ������� ����� ��� �� ������ ��� �� �)�*�� �� ������ ��� ������� ��������"� ������ ������ � ��������� ������������� ��� �������� ��������� �� ��� &���� �������� �� ��� ����� ����� �

������� � � ����������� �������� ��� �������� � ��� ���� �)�* � ������ � ��� ��� � ��� �������� ����

������� ��������� ��� �������

�)�* + �� , ��� , ���� , ���

� , ���� , ���

� , ���� , � � � �

Page 3: Interval Polynomials

���� ���� ����� ���� ������ �� ��� ���� ����� ���

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � ���� � � � � �

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � ���� � � � � � �����

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � ���� � � � � �

�� �� � �� �� ������ ������������ �� �� �� ������� �������� �� � ������� ����� ���� �� ���� �� � ������ ����� �� �� ������� ���� � �� �������!�

������

��

��

�����

�����

�����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

������ � �� �� � �� �� ��� �� ������� ������

����� � ��� ��" ���� � �� #����$%���� ����� �� #�����" ������$�� ��& ����� �� ����� ��' � (� ��� �� ) �� �� � ����������� ��� ����������� � �� � ���� � � �� � ��� ��� �� �� ���� � �� ������

���� � ���

����� � � ������ � ���

����

����� � � ������ � � ��

� ���

������ ��� ���� ����� ��� �� ��� �� � ������ ���� ��� �� � ���� ���� � ��������� �������� ��� ����� � ��

���� ��� � ��

���� ����������

� �

���� � � �

����� �� �� � � *+��,� ���-�

Page 4: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

�����

� ��� � � ������� � � ������

�� ���� �� ��� � �������� � ��� ���� ��� �� � � ������ ����������

� �

���� � � ���� � � �

����� ��� ��� � � ���� ��� �

������ ����� ����� ��� ����� ��� ������� � �

���� ��� � �

���� ���� ������� ��� ���

��������� �������� ���� � ����� �� ������ ���� � �

���� ��� � �

���� ��� ��� ���� �� ���

��!� ������� � � ��� ���� �� ����� ������� ���"����� �� ���� ��� ��!� ����� �� ���� ���� ��� ��!� �� ���� �� ��� ������� ���"����� �� � ����� #�$�� ���� �� �� ������ ��� ���� � ���� ������ ������� ��� � ����� �� ���� ��� ���� ��!� ������ ��� �����!� ���� ��� ��� ������� ���"������ %���� ��� ��������� �� ��� � ������ ��� ����� ��� ���� �� ��������� ���� ����� �� � ����� %��������� ��������� �� ��� &��!����'������%�����! �%�����! (�)� *������ (�� � ������� � � ������ �� ������� �

+� ��!��, ���� -�!!� ��( �� ���� �� ��� � ��� -�!!� ��. ��$�� ������ ��� ������������ �� ��� /����0 -�!!�� ��$������ �� *������ . ��� ������ �!!�������� ���!��� +� ��� ������ -�!!� ��( �� ��� �0�!��� ����� ���� 1�� �� ��.��

���� ���� -��

����� � �� � 2�� � 3(� � )(� � (((�� � (2�� � )4� � (.

����� � �� � 2�� � 3 � � )(� � (((�� � (2�� � 53�� (.�

%���

� ������� � 2�� � )(� � (2�� � (.

� ���

���� � �� � 3(� � (((�� � )4�

� ���

���� � �� � 3 � � (((�� � 53��

1�� �� ��. ����� ���� � ���� ��� ��� � �� �� ���� �� � �

���� ��� � �

���� ������� ���

����������� ���������%� �� �� ����� �� ���� �$��� ������!��� � ��� ���� ��� ���� � ������ ����������

� �

� ��� � � ���� � � �

� ���� ��� ��� � � ���

�� ������� 1�� �0�!���� ��� ������ ���� ����� ������ ��� � �� ����������

� ������ � �� � 3.� � (((�� � )2��

%�� � �� �� -�!!� ��( ��6

� ��� ���

����� � � ����

���� � � ������

����� � � ����

���� � � ������

Page 5: Interval Polynomials

���� ���� ����� ���� ������ �� ��� ���� ����� ���

-50

0

50

100

150

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

....................................................................................................................

............................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

rad/sec

� � �

����

� � ����

� � �

����

� ���� ��

������ �� � ���� ��� �� �

����� � �

����� ������ �� �

������ ��� ����� ����� �� �� ��� ���� ������ � �� ��� ���� ��� ��� � ������ ���� ��� �� ���� ���� � ����

���� ��� � ����

���� ��� ��� ��

� �

���� � � �

����� ��� � � � ��� ��� �����

�����

� ��� � � ������� � � ������

� ����� ��� ����� ����� � � ��� � �� ���� ��� � ������� ��� ��� ��

� �

���� � � ���� � � �

����� ��� � � � ��� ��� �����

� �� ��� ���� �� ���� ����������� !�����

���� �� ����������� ������� !� ���������� �������� ����� "��#��� $������$ �� ��%� �$�&$ ����$ �� �� "�� �'

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ���� � ��

� �� � � � � �

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ���� � ��

� �� � � � � �

Page 6: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � ���� � � � � � �����

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � ���� � � � � �

�� �� ������ �� ��� � ���� ��� ������ �� ���� ������ ��� ��� �����

�����

��� ��� ������ ��� ���� � ������ ��� � ��

����� ���� � ���

�����

� ��� �� �� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � � � � �

�����

����� �� �� � ���

� � ���� � ���

� � ���� � � � � �

���

� ��

���� �� ��� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � � � � �

� ��

�� ��� �� ���� ���� � ���

� � ���� � ���

� � � � � �

�� ���������� �� ������ �� ����� �� ����� �� � ������� ��

����� � �����

����� �� ��

������

����� � �����

�� ��� �� ��

�����

����� � �����

� ��� �� ��

�� ���� ���!�

����� � �����

� ��� �� ��

�����

�� ���������� ��� �� �� ���� "��#$ ��� "���$ � � �� ��� %� ���� ��� ��������� �� ������ ���� �� �& ��� ���' �� �� ��# � ��� � �������� ��� �� ����� ���

��

���� � �� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � � � � �

����� � �� � ���� � ���

� � ���� � ���

� � � � � �

��

����� � �� � ���� � ���

�� ���

� � ���� � � � � �

� ����

��

����� ����� � ��� � ��� � ��� � ����� � ��� � ����

� � ��� � ����� � � � � �

���

����� ���

����� � ��� � ��� � ��� � ����

� � ��� � ����� � ��� � ����

� � � � � �

������(��

����� � ����� � ��

����� ��� � � � )*��+� ���,�

-��� �� �( �� � ����� ���� �� ��� ���� �� ����( ��� � ����� � ������ �� �� ������ ����

��

����� � ����� � ��

������� ��� � � � )*��+� ���.*�

Page 7: Interval Polynomials

���� ���� ����� ���� ������ �� ��� ���� ����� ���

�����

��

������ ��

������ ����

��

������

��

������

����

������ � �� ������� ��������� �����

���� ����� ���� �� �� ��� ������� ��������� ����� �� ����� �� ������ ������ ������ ���� ��� ���� �� ������������ ������� �� ���� ���� �������� ��

��� ��������� �� ������� ����� �� ��� ��� �� ������� ���� ���!������ �� ��� "�� ������"��# �� �� ����� ���� ��� ���������� �� ������� ���� ���� "� ���"�� ����� ��������!������ ��� �� �� ��� ��� ��������# ������ ���� ��� ���������� �� ������� ������"��# ��� ��� ���� $ ��������%������� "� �� ��������� �� ������ "�������� �� �������� ����# ���� ���� ��� �������� ��� ��� ��� ��������

&� ��������# ���� '���� ��( � ���� �� ��� ���"�� �� ������� ���� ������� �� ���)�# ����

�����

��� ��� % ������� �� ���"��� ���((�

*������� # ���� '���� ��( � ���� �� ��� ���"�� �� ������� ����� ��� ����� �����)� �� �������� ����

�����

��� ��� % ������� �� ���"��� ���(+�

,��# ����� ���-� �����# �� ��� � � '���� ��+ �� ��� ��� ���"�� �� �������

�����

��� ��� % ������� ��� �����

��� ��� % �������

�� �������� ������������ % ������� $ ���� �� ���"���

*���� ���� ��� �� ��"����� �� ������ �� ���� �� �������� ���� ��� ������ ����� �� �� ������� ���� �� ���"�� ��� ���� ��������� ��� ���� �� ��� �������� �

�� ��� �� ��� ���������� �� ������� ��� ���� "� ������� ���� ��� ������������ ���!����� �� ��� .��� ����/

0����� $ ���� % �����

��� % �������� % ����

�� % ������ % � � � �

Page 8: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

������ � ���� � �����

��� � �������� � �����

��� � �������� � � � � �

������ � ���� � �����

��� � �������� � �����

��� � �������� � � � � � ������

������ � ���� � �����

��� � �������� � �����

��� � �������� � � � � �

������ � � � ������� ��������� ��������� ������ �� �� �������� ��������� �� �������� �� �� �� � ��� ���������� ���������� ���� �� �� �� ��� ��� ��������� � � ����� �� �� !����� � �����

������ � � � ������� ������� �� "��������# ����� ��� �� ����$%����� ������� ������������� � ������� �� �� ��&��� �� �� ������� �� ��������� ���� � ��� ��� ������� ��� ������� ������� ��� �� � �������� ��� %��� '����� �� �� ���� ���� ���� ������� �� � ������� ���� ������ ���( ���� �� ��������� ��� ���������� ���)����� ���� ������� ����������$������ ����� ���� ������� ��������� � *� ���� ���� �� �� � �� � "��������# ����� ��� ���� � ���� ��� ��������������� ����� �� �� �� ������������ �������� ������������ �� �� ��� �������� ��� � �� ���)����� �����

������ � + �����&�� ����� "��������# ����� ���� ���� ��� ���������� ��� �� �� ��������� ��� ���������� ���)����� ������� ������������������ !��� ����� ��� �� ,�������-�� "�������� ����� �� ������ �� .����� / ��� 0 �� ��������� ��� ��������� ����� ��� �� ���� ������ ���������� �� ������������� �

������ � .�� ���� �� ������� �� ���&��� �� ���� � �������� �� �� ����$���& � ��� � � �� 1����� ��2�

������ � �

���

������ � 1������& � ��� �!������ ��3�

� ����� ���� ��� �������� �

���� ����� ��

������� � ���� � ���

�� ���)����� ����� ������� �

�� � 4��� ��5� �� � 4��� ��5� �� � 4��� ��5� �� � 4��� ��5� �� � 4��� ��5�

Page 9: Interval Polynomials

���� ���� ����� ���� ������ �� ��� ���� ����� ���

��� �������������� �� ���� � ��� ������ �� ������ ��

���� � ���� � ���

� � ���� � ��� � ���

��� ��������� ��� � � �� �� ����� �� ������ ��� ���� ��� �� ������

�����

�� ��� � �� � ���� � ���

�� �����

�� ��� � �� � ���� � ���

��

��

�� ��� � ��� � ����� ��

����� � ��� � �����

��� ������ � �� ����� ����

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ����� ����� � �� � ��� � ���

� � ���� � ���

��

����� � �� � ��� � ���� � ���

� � ����� ����� � �� � ��� � ���

� � ���� � ���

��

��� ����� � ������ � ��� ������� ��������� � ��� ������ �������� �� �������� ���� � ������ � ��� ������� ��������� � ����� ��� �� ����� ���� � ��� ������� � ������ � ���� ��� ��!��� �� ���� ��� ���� ��� �������" ���# ��������������� ���� �� $%� � � ���� ��� ����� � � �&�������� ����

����� ������� � ���� � ����� ������ � ����� � ��

����

����� ������� � ���� � ����� ������ � ����� � ������

����� ������� � ���� � ����� ������ � ����� � ������

����� ������� � ���� � ����� ������ � ����� � ������

������ ��� ' ����� ��� � ��� ������ ��� � (����� ) )

���� ����� � � �

���

� ��� �� (������� ������ ���� � ������ �*+���� ) ,�

��� �� � �� ��������� �� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� ������� � ��� �� ��� ��!��� �� ����� � � ��� �� ��� � ��������� � ������� -� ����� ����� � ������ � ��� ���� �� ��� � ���� �� � �������� ����� . ��� ���� � �+������ ����

���� ��

���� �

��� � �� � �

�� � ���� � ��� � ��

� � /%�0�)1� � � /%�21� � � /%�31��� � /�%� %1� �� � /�4�)� %�)1� �� � /%� %�)1

��

Page 10: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

��� ���������� � ������� ��� ���� � � ���� �� �� ������� � ����� �� ������� ������ ��� ����� ���� ����� ���� ������� �� ��� �������� ���������� ��� ����� �� ����� �� ��� ��� � � ������ ��� ���� ��� ����� �������� ������� ����� ��� ����� ��� ��� ���� ������

��� ����������� ��������� �� ��� ����� ���� ���� !

���� �� � �� � ��� � ����� �� �

�����

�� � ��� � ����� �� �

�����

� � ��� � ����� �� �

�����

"��� ��� ��������� �� �� � #� $�% � #� $� % ���� ������������ � ���������� ��� ���� &'�� � ���� �� �� ������� ���������� (�� ��� ����� ���� �������� ��� ����� ���� �� ��� ��� �������� ���)���� ����� ��� ����� �!

����� � ��$ � �� $ � *� �

����� � ��#�+ � �� $�+ � ,� �

����� � ��$ � �� $�+ � %�+� �

"��� ��� ������ ���)���� �$ ��� ������� ���)���� ��� �� ��� ����� ������ ��������� �� �� -������ �� ���� �� ��� ��������!

��� �$ � � � #� �#�+ � � � #� $ � � � #�

.��� /��������0 ������� ������ �� ���� ����� ������� ��������� � ��� ������ ���� ���� �� ������� ��� -����� ������ �� ��� ����� ����� � �)���� ����1 � ������ �� ������ �� ��� ���)���� ��� -����� ������ �� ������� ���� /�������� ��������� ������ 2� �� �'����� �� ��������� ���� ���� �������� ���� -����� � ��� ���� � � ������ �� ��� ����� �������� ��� ������!

��#�+ � ����$ � �� � $�+ � %�+��

.��� �� � ������ ���� ��� ����� ���� ���� ������� ������� � ��� ���� �

� � �% ��

+��� �

�� �������� ��� ��������� �� �� �������� ����� �� ��� /��������0 ���������� ��������� ��� ������' ���)���� � ��� ��'� ������

��� �������� ������ �� ������ ������

��

3����� ��� �� ����� �� ��� ������' ��������� �� ��� ����

���� � � � � ��� � � � � ���� � � � �� � � � ����� �+�$4�

��� � � ���� �� � � � ���� �� � � � � � � � ���� �� �+�$+�

Page 11: Interval Polynomials

���� ���� ����� ���� ������ �� ������� ���� ����� ���

����� � ���� ���� �� � ���� ���� � � � � �

�� ��

�� ���� �����

�� � � ������� �������� ������ �� ���������� �� ������ � ����� ������� ������� �������� ������ ������ ������� � � ������ �� �� �� � ������� �� ��� ���� ����������������� �� ���������! ������ ��� ��� ���� �� � �� ��� ������� �� "��#���� ��$����� �� ������� �������� ������� ���� �� � ��� � ��������� �� ������� ����������� �� ���� �� �������� � ��� �� %������ &� %������ ���������� �� ���� � �� ��� ���� �� ��� � ������ �� ������� � ��� ��� �� ����#����� � ��� � ��������� �������� �� �� ��� ��� ��� ���� �� � �� ��� �$��� �� � �� ������� �����#��� ������� � '� � ��� � $����� ���� ��� ������ ������ ��������� ���� ��� ���������������� ��� �� �� ������� ���������� � ������ (

��

��� () �� * �� * �� * ��� * ��� * ���

� * ��� * ����

*�� * ���� * �� * ���

� * � � � �

��

� �� () �� * �� * ��� * ��� * ��� * ���� * �� * ���

*�� * ���� * ��� * ���

� * � � � � ����+

��

� �� () ��� * �� * �� * ���* �� * ���� * ��� * ���

*��� * ���� * �� * ���

� * � � � �

��

� �� () ��� * �� * ��� * ���* �� * ���� * �� * ���

*��� * ���� * ��� * ���

� * � � � �

���

��

� �� () �� * �� * ��� * ��� * ��� * ���� * �� * ���

*�� * ���� * ��� * ���

� * � � � �

��

� �� () �� * �� * �� * ���* ��� * ���� * ��� * ���

*�� * ���� * �� * ���

� * � � � �

��

� �� () ��� * �� * ��� * ��� * �� * ���� * �� * ���

� ����,

*��� * ���� * ��� * ���

� * � � � �

��

� �� () ��� * �� * �� * ���* �� * ���� * ��� * ���

*��� * ���� * �� * ���

� * � � � �

������� �� ��� ������ � �������� ���� �� ������ �� ��� ��� �� ��� �����

�������� �������� ��� ��� ��

� ��� ��� ��� ��

� ��� ��

� ��� ��

� ��� ��

� �����

� �� ��� ��� �������

���� �� ���� ��� �� ��� ��������� � �$���� $���� � ��� ����� ������������������� ��� �� ����� �� ����� �� �-������ ������ ����� ���� ��� "������#.������ ������ ��� ������� ���������� ������� ��,/ %������ ��

Page 12: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

������� ���� ��� �������� ��������� � ������ ��� ������ ��� ��� ���� ����� �������� �������� ������������� ��� �����! �������� ��������� ��"���

�������� �# �� $ ���� $ ���

� $ ����� $ ���

� $ � � �

������ �# �� $ ���� $ ���

� $ ����� $ ���

� $ � � �

�������� �# ��� $ ���$ ����� $ ���

� $ ����� $ � � �

������ �# ��� $ ���$ ����� $ ���� $ ����

� $ � � �

�� ����

��� ��� # ��

���� $ ������

��� ��� # ��

���� $ ��������

��� ��� # ��

������ $ ������

��� ��� # ��

������ $ ��������

��� ��� �������! �������� ��������� �� ����

�������� # �� $ ���� $ ���� $ ����

� $ ���� $ � � �

������ # �� $ ���� $ ���� $ ����

� $ ���� $ � � �

�������� # ��� $ ��� $ ����� $ ���

� $ ����� $ � � �

������ # ��� $ ���$ ����� $ ���

� $ ����� $ � � �

���

��

� ��� # ������ $ ������

��

� ��� # ������ $ ��������

��

� ��� # �������� $ ������

��

� ��� # �������� $ ��������

�������� ��� ������ ��� ���� ��� �������� ��� ������ ��� �������� %��&�'����( �# ���� ��� )�'����( �# ���� ������ ��� ���� ��� ������� ���� ������ ����*���� �� � # �� +��� �� �����

���� # �� � � � ��� $ �

� $ � � � �

���� # � $ �� � �� � ��

� $ � � �

)� � ���� �� ����� ������������� � ���� � ��

������� ��� ��� � ',��(������

�� ���� �

��������

�� ��� ��� � ',��(

����-�

��������� � ���� � ��������� ��� ��� � ',���(������

�� ���� �

��������

�� ��� ��� � ',���(

���.,�

Page 13: Interval Polynomials

���� ���� ����� ��� ��� ���� �� ���������� ���

��� ����� �� ��� ������� ��� �������� � ������� ��� ������ �� ��� ������ ��������� ��������� ��������� ������ �� �� ��� ����� ����� ���������� ��

������� ��� ���������� ��� ��� �������� ����� �������� �� ��������� ���

���������� ��� � � �� ��� ������� � ���� � ���� ��������� ���� ��� ���� ���������� ���� �� �� �������� ��������� � ����� ��� ��� �� �� ������ � ��� � � ��!������� ��������" ��� ��� ����� � ���#�� ��� ��� ��������� ������������������ ��� � ������ �� ��� � � �� ��� �� ��� $�����%&����� ������� ��� �����' ��������� ��� $����(� )� � ��� �� ��������" � ������ ���� �� ���� ����� ��������� � ����� $����(� �

������ �� *� ��� �����' �� ��� ���� ��� ������� ���� �� ����� ��� ����%����� � � ��� ��� ��" ��� ��������� � �� ���� �� ����� ��� ������ �� ����� ���� �� ��� ����� ������� �' ��� ��� ���� �� � ����� ����� �� �������� ��� ����� ��� �� � � ���� ��������� �� �� + � ��� �����' ���

��� ��������� �� � �� ��� �������������

*� �� � ��� �� �������� ���������, ������� � ���� �� ��� ������ �� ����%���� �� $�����%&����� ������� ��� ��� � ���� �� ��� �����' ����� ���� ����� �� �� ��������� ����" ��������� �� � - �� ��� �� � � � .���/� *� 0������ � ������ ��� ���� ��� $����( ������ �� � ���� ��������� ���� - ��������1����

�2������� �� ��� ������ �� �������� �� ����� - ��������� ��� ����� -�����

���

*� ������� ��� $����( ������ �� ��� ������� ����� ���� �� �� ���� �������� ����� � ��� ���� � ����� ������� ��3� ��� ������ �� ��������� *���� �� ���������, ������� � ��� ��������� �� ���� ���� ���3 ���� �� ��������� �� �������� ��� ��� ���� ��������� ��������� ��������� ��� ������ %�� �������� �� ����� ������ �� ��� ������ �� ���� �� ��� �'����� ���� �������� ����� �� ���������, �������� 4�� ����

�������

��� ������ ��� ��%

��� ���� �� ��

���������

������� ��� ��� ������

�������

� ������ ��� ����� ���� ����

���������

��������

������ �� ����������� ��������� �� ������������ ���������� ������ ���� ����� ��� ����� �������� �� ��� ��� ��

�� ��� �������� ��

������� ��

������� ��

������� ��

������ ���� ��� ���� �� ��� ��� �� � � ����� �� �������� � ���� �

� � ������

� ������

� ������

� ������

� ������

� ������

� ������

� ������

� � � � �

�� ��

������� ��

������� ��

������� ��

������ ��� �� ��� ��� � ��� ��� ����

�� ������� ��������� � 5���� ��6 �� � ��� ��� ��� ������ �� �� ��� ������ ���� ���� ���� ��� ������ �� �� ��� ��� ��� ���� ���� �� �� � ���������� ��� ������� ������ 7� �������� �� ������ �� �������� �� ������� ������������ �� �'������

Page 14: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

��

������

���

�������

������

�� ������

�� �

������

������

��

������

� ��

������

������ � ��������� � �� ���� �����

�� ���� � ���� �� ��� ������� �����

���� � �� � ���� � ��

� �� � ���

� � ���� � ���� ��

�����

�� � ��� ����� � � ���� ������ � � � �� ������� � ����� ������� �� � ��!�� �!����� �� � � "� "������ � ��#� �#���

$���

��

������ � ���� � ���� � �!��� � �#��

��

������ � ������ � �� � �!������ �#

��

������ � ��� � ����� � ����� � "��

��

������ � ��� � ��� � �������� "�

%� �� ����� ��� �������� &��&���� �� ����� &��������� ���� '���� �( �(

$�� ���������� � '���� �( ����� ��� ��� &��������� ��� ���� &���� ���� � �� ��

������ �� ��

������ �� � &���� ���� � �� ��

������ �� ��

������ �� ���

������� �)� ������ ��� �������� &��&���� ���� ��� *�������� &���������

Page 15: Interval Polynomials

���� ���� ����� ��� ��� ���� �� ���������� ���

0

50

100

150

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

....................................................................................................................

.........................................................................................................

...............

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................

..............................................................

rad/sec

� ��

������

�� ��

�� �� ��

������ ��

� ��

�����

� ��

�����

������ � ��������� �� ����� � �� ������� � ��� ��� �������� ����

��� ������� ����� ��� ��� �� �� ���� ��� �������� �� ����� � � � ������ ������� ��� ��� ����� ���� � � ����� � � ����� ���� ������� �� � ��� �

� � ������ � ��� ���� �� ��� ��!������� � "��������# � ��� �� ��� ����"�����# $�� ���������� � � ������% � � ������ � �� �� ���� � �� � ���� � �� ��� ���� � ���� ���� ���� ��& ����� ���� � �� '���� � � � ��� ���� ���� � �� ������ � � � ���� ������� ���� ������ �����

����� ��� ������������

�� � �������� � �������� '���� � �(� $�� ��� � ����� � ��� �� ��� � � ��� ����� ����� ���� � ���� ��������� �� �� ��� ������� ���� )�� ����� ��� ����� ��� � ����� ������� ����� ������ �� ������ ��� ������ � ���� ����� ��� �*

����� *+ ������ * � ��� �

, � � � �� �� �� � ��� ����� �� � ���-� ��� ���./� ���� ����� � � �������� � ��� ����� ����� ��� ��� ����� ������& ������& ������& ������ ����� ���� �

Page 16: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

��� ��������� ����� ���� �������� �� � � ��� ���� �� ����� �� ������ ���� ��� ���� ��� � �� � ��� ��������� ����� ����� �� ���� ���� ��� �������� �� �������� ������ �� ��� ������� �� ��� ���� ��� � ������� �!�� �� ��� �� ��! �����"� ���������� ���� � ����� � �� ������ �!� ���

������ �� #������� ��� ������� ����� ��� �� $!� �� ��%� ��� � ��� ����� ���� �� ��� �� ���������� ��� ������ ���&�������� ����� ���&����� ������������������ ��� ����� �� ������ ����

-50

0

50

100

150

-50 0 50 100 150

Real

Imag

� �

��

��

��

��

� ��� ��� ' ��� ���� �� ������� ����� ��� ���������� �!��� �$!� �� ����

����� ��� ������ ������������ �� ������� ����������

��� � �������� ���� ����� �� �� �!�� ������� ��������� ���� ���������( � � )� *�+� %�� ������� ������� �� �� ��������� � ������� �� ��� ����� � ���� ����� ������������ � ��� ��� ����� �� ���� �� ,�� ����� ������ ��� ������ ����� ��� �� ����� ��� ����-

����� -��� . ��

*.

�� . ��

*� . � � �.

�� . ��

*��

Page 17: Interval Polynomials

���� ���� ����� ��� ��� ���� �� ���������� ���

��� �������� � �� ��� ��� �� ������ ��

����� �� �����

��� ��� ������

��� ��� ������

����� �� ����

������ �����

��� ���� ������

� ���

����� �� ����� � ���� � ������ � ������� � ���� � �� � � �� ��

�� �� ��� �� � ��� ����� � ���� ���

����� � ������� ��� � � � ��

�� ��!� ��� � ��"������� ������ �� ������ ���� � ���� ��� ������ ��� ��� �� � �!�"������� �����# ���� � ����� �� ��� �� ��� ��$���� �� ��"����� �� ������� ���� �� ��� #���� � ��� ���# �� �� ��$����� ������% ��� ��� &��� �� ������� �������� ���� �� �������� �� � ���#�� � �� �� ��� #��� ����' ��� �� !� � ���� � ���� ������������ �� ��������� ��� � ����� ��� �#��� �� ��� � �� � � � ��� (� ����� �� � ������ )��!��% ���' *��������+� ��� ��!� �� � ����� �������� �� � �����#���� � �� � ���� ������ ������ � ��! �,� �! ��� ��� � ����� ���� �������� �� � ���# ���

����� ����� � ���� ����� �� ����������� �������

� #�� �� � ������� ����� �� *��������+� ��� ���� �� ��� ���� �� ����# ��� -����� ��� � ���� � ���� �� �� �#� ��� �������� �� ��� ������ �� ������ � � ����� ��� �� � ���� � ���� ��� � ��������� �� �������#��� �� �� ������ �� � ���� � �� � ���� �� � ���#����� �,��� �� �� �!�������� � ���� � .������� /������# ��� �� /���� �� ���� �� ��� ��� �� ���� �� �� ������ ���� �� �� ���� � �� ,��� � ��$���� ��

��� � �� ������ !�� � ���� �� � � ���� ��� �� � � �� �� � ��� ���� ���!�� � ���������� � �$������ ��� ��

������ ��� ��

������ �� �� � ��� ��#��

�� �� �� �� � ������� �� ��& ��� � �����# ������ ,� ��� � ���#�� ��� ���� , � �� ��� ��� �� �� -����� ��� � *�������� �� ������ � ������ � .� � ��������� ��� ������� �� )��!��% �� ������ � �� �� �!� ��� ������� �����' ������' ������' � ���� �� ����� ����� �� � ������� �� �,�������' ���� ������ � ������� ��&!�� ������ � ���#�� ��� �� ��� ���� ����# ���� � ���� ���� � �� �� 0�! ������ �� ������������� ��� � ������ ��� ����� �� -��� ����� ���� ���������� � !�� ����� �� � ��� � ���#�� �� �������� ���� �� �� �!� ��� �� ,���� � � �� ��� !�� � ���#�� 1��� �#��� �� ���� �� ������ � ��! ������� ��� ������# ��������� �� !�� � ���#�� �� ��� �������� �� ����� ��� �� 1��� ����� �� ��� ��� �� �� � ������� ���� �� �� �� ������ �� 2�#�� ��3� ���#�� ��� � �� �� �� � ���� ���� �� ����# �� �����# ' ��� ��� ���� ��� ��� � ����� ��� �� �� �� �� ����

Page 18: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

��� ����� �� ��� ����� ����� ���� ��� ��� � ���� �������� �� ��� �� ��� ������ �� �� � �� ��� ��� ������ ����� ��� ����� ���� ������ ��������� ���� ������ ��� �� � � ��� ����� ��� ������ ����� ���� �� ���������� ��������� ����� ���������� ������ �� ���� � ������������� ���� ��� �������� ��� � ������ � ���������� ������� ��������� �

��

��

��

����

� ��� �

� � ����

�� �� �� �

����

��

��

��

����

������ � !���������� ����� �� ����������" #�����

Page 19: Interval Polynomials

���� ���� ������ �� ������� � ��� ����� � � � ��� ��� ���

����� ����� � ���� �������� ��� ������� �����

��� ������� ���� � ��� �� ����������� ��� ��������� ��� �� �� � ������� ������������ �� ��������� �� ������� �� ��� �������� �� ��������� �� ���� � ��� �������� ������ ����� ��� �� ������ � � �!��� ���� ������� ������ "�#���� ������ ����� ��� ��������� ����� ������ �� �� ���� ���� �������� � ��� ���� � ����� �� ���� ��� ��������� �� ���� � ��� ���� �������� �������� $�� ����� ��%�$�� ����� ��%� $�� ����� ��% ��� $�� ����� ��%� ���� ��#� ��� ��� ������������������ ��������� ��� ��� ��� ���� ����� �������� �������� �������� ����������� � ��� ����� ��� � ��� �� ���� �� &� ��# ������� ���� ���� � ��� ���������� �� ����� ����� ����� ����� ����� �� ��� �� ����� �� �� ������ ����� �� �� � ��������� '� ��#� ���� ��� ��� (����� )���� � ������� ! ��������� �������� ��� "��#��* ����� � ��� ��� � ��� ��������� �� ����� ����� ����� �� �� ���� ����� ��������� ����� �� ��� ������� ���� � +���������,� ��������� ���� ����� �� �������� � ��� ��������� ��� ���� �� �� ��� ��������� �� ����-�������� � ���� ������ � ��������� #���� �������� ��� �������� � ��� �������� ��� !� ��� ��� � ��� (����� )���� �� �������� ��� �������� ����� �� ���� �.��� ����������

��� �������� ��������� �� ��� ��������� ���!"������

'� ���� ������� #� ������ ���� ���� ������� ���������� � ��� +��������� ����������� /������ ���� #� ���� ������ ��� �������� � ��� ���� � ���������

� �� 0 �� � ��� � ���� � � � �� ���

��

#��� ���������� �� ��� ���

� 0 $��� ��%� $��� ��%� � � � � $��� ��%

1��� �������� �� ��� ���� �� ������ 2 ������ �������� ���� ������ ��# �� �����#���3 &��� ����� �� � �� ������ �� ����������4 ��� �������� ������ � ��������� �� �� � ����� ��� #���� ���� �������� ������ � ��� ������� ������� '� �������� ���� � ������� ���#�� �� ���� �������� ��� �� ����� �� ����� � ��� ������������������ ������ �� #� �� �� ����� � ��� ���� ������� � �� ���������� �������������� &� .��� ��� #��� ��� ������� ���������� �������� ������ �������

����# ������$ �������%& �'%$%( ����%� ������(

&� �������� � ����� ������� �������� ����� '� �� �������� ������� �� ���������#��� ���� �������� � ��� ���� ��� ������ �������� �� �������� ������ ���&����

� 0 $��� ��� � � � � ��%�

��� ������ � �� � ����� �� '5���� )�� ���� ������ ��� ���� �� '5��� ��� �� ������ ���������� #��� � ��� ��� ��� � ��������� #���� ��� ������� � ������ � ��

Page 20: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

�� ������ ���� �� � �� ������� � � � ��� �� ����� �� �� �� ����� �� ��������� � ��

���� � ������

�� � ����

�� ��� ����� ������ ���� � �� �� ��� �� �� �������� ��� ��� ����

���� ������

���� �� �����

� ����� �������� �� �� �� �� ����� ���� !� ���� ����� ��� �� �� �� �������� ���� �����" #� ����� �� ����� �� ���������� $� �� �������� � ������� ���� ���� ������� ����� �� � ��� �� �� �����" �� �� �� �� �� �������� ������� �� �� ����� ��� ������� !� �� ���������� �� ����� � ���� �� �� ������ ����� �� ���� ����� �� ������ ���� ��� �� ���� ������

������ �� � ������ �������� �� ��� ���������� �������������� �������

���� ������

���� �� ����

�� ������� ���� �� ������ � �� � ��� ��� ������� �������� �����

��� ��� ��

������ %�� �����& � � '�(� )�* ������ �� ���� +������� ���������� � ,��������� ���� ���� �������� �� ���� ���� �-����� ����������& �� ��� �� �������� �-���� ��

����� � ���������� ������ ������ �����

�� �.�()�

%�� �� �� �������& � � �� ������������& �� ���� ��������� ��� �� �� �-�� ��� ��

��� ������ �.�(*�

/�� ����������� � ��� ������ ��� � �� & �� ����� � ���0� ���������& ���� �� � ���� ��� ��������� ������� �� �� ���������

������ ��� �� �� ���� �� �� �� ������ ���� �� �� %�� ���� � ��� ����1������ 2���� ���� �� �� ������ ���& ���� �-���� � 3 �� �� � � � � �4 �� � � � '��� ��

���� � � 5 ��� 5 �� 5 ��� �� 5 � � �5 �� 5 ������� �.�(.�

� �& �& � � �& � �� � �������� �� ��� �������� �����0�� � �.�()�& �� �� �� ������� �� �� ���� �-����� ���� �� � �.�(*� �� ��

���� �� ��� �� �����������& �� ���� �� ����������

������ � ��� � ���� 5 ��� � ����� 5 ��� 5 ������ 5 ��� 5 �����

� 5 � � �

������ � ��� � ���� 5 ��� 5 ����� 5 ��� 5 ������ 5 ��� � �����

� 5 � � �

������ � ��� 5 ��� � 5 ��� � ����� 5 ��� � ������ 5 ��� 5 �����

� 5 � � �

������ � ��� 5 ��� � 5 ��� 5 ����� 5 ��� � ������ 5 ��� � �����

� 5 � � �

Page 21: Interval Polynomials

���� ���� ������ �� ������� � ��� ����� � � � ��� ��� ���

��� ��� ������ �������

���� ���� �� � ��� � ����� �

�� �������� ������������ �������� �� ���� �������� ���� ��� ��� ���

�� ��� � ������ � � ������ !� � � � � ��� � ������ � � ������ ! "#��$%

�������� ���� ������ ����������� �& ������ ' ��� ������������� ��� ������� &������&��� ��� &��� ���� �"�% �� "#'�#% ��������� ������� �� ��� ��� ��� �� �� �������� ���& ������ ���� ���� � ��� ���� ������ ��� �������' �

��� ����� ������ ����� �� ����� ���� ��� ������ ���� ��� �� ������� �� ����������� ����� �& ��� ���������� �������� ��� ��"�%' (� �� ����� ���� �& �� ��)� ��� ��� �������������� �� ��� ����� ����&� "#'�$% ��� ������� �� �� �"��%� ��� ��������� ��� �������� ���� ��� �������� ��� �� ���� &��� ��� �� ���� �� ������� �� ��������� ������������ ��� ��������� ��� �� ��� ������� �����' *� ����� ��� ������� �� ��� ��������� ���� �� ������������ �������'

����� �� � +������� ��� ������ ����� �� ,������ #'�-

"�% ���

� ��� ��

��"���� ���� ��� ��%

���� ��� ���.������ ����� ������� �� &������-

�� � ��//� //!� �� � �$//�0//!� �� � � #/� #//!��� � �� /� �//!� �� � �0/�1/!� �� � ��� !� �� � �� !�

*� ���� �� ����&� �& ��� ������ �� �������� ������� ��� �& �� �� �� ����� ��)� �� �����2���� ��� �������� ����� �& ��� ��������� ������ �� ��� ����� �& � ���� ��� ��� ��� ��� ��� ��!�� ����� ���.������ ����� ���� ��� ����������� ���'��� �������������� ���������� �& ��� ������ ���� ������ ��

�"�% ���� ���

� ���� ���

� ���� ��� ���

3���� ��� ���.������ �& ��� ���������� ��� ���������� �������������� �� ��� ����������������� �������' ���� ����� �� ��� &�������� &��� ����������� �� ����)-

��"�% �// $//� #//�� �//�� 0/�� ��� ��

��"�% �// 0//� #//�� � /�� 0/�� �� ��

��"�% // $//� #/�� �//�� 1/�� ��� ��

��"�% // 0//� #/�� � /�� 1/�� �� ���

3���� ��� &��� ���������� ����������� ��� 4�����5� �� ������� �� ��������� �������� ���� ��������� ������'

Page 22: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

���� ��� ����� �������� ������������ ��� �� ���� ��� ���� ������ � ����� ��� ��������� �������� � ���� �� ������ �� �������� ��� ������� � ��� ������ ���� ��������� ��� ������� � ��� �� �� �������� ����� ������� ������� �� ����� ��� � �� ��� �� �� ��� ����� ��� �� �� ���� ��� ��� ���� ��� ������ ������ ���� ��� � ���������

��� ��� � � � � ��! "

���

���

������ � �����

������ �

� ��#�$

��

����� ��� ��������� ��� ���������� ��������� ��� �� ��� ������ # ��������� ���%��&$� �� �� ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��! ' �(� ((� )�� *�� �� *��� *!� +��� ������� ��� ������� � ��� �� ����� ������ ��� ������,��� �� -����� (#�������%.��� /����� ��� �&���$ �� ��� �� ����� �&� ��������� ��������� ����� ��� ������� ��� �� ��� ������� ������ +� ������� ���� ������������ ��� �0����� ���� �������� ��������� ��� �� � ' ) � � '��

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-10 -5 0 5 10

x

Real

Imag

x

Real

Imag

x

Real

Imag

x

Real

Imag

��� #�$ � � ���#�$

� ���#�$

��� #�$ �

������ �� �� ������� ����� #1&��� ��2$

Page 23: Interval Polynomials

���� ���� ������ �� ������� � ��� ����� � � � ��� ��� ���

������ ��� �� ��� ���� ������������� ���� ������������ �� ��� ���� ��������������������� ��� ����� �� ��� �������� ������ �������� ��� ������� ������� ���������� ������ �� ��������� ����� ������ ���� �� ��� � ������ ������� ���������� ������� ���� ���� !����" � ����

��#�$ % � ��� ��#�$ % �&'�(�

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 0 5 10

x

x

x

x

Real

Imag

��� #�$ �

� ���#�$

� ���#�$

��� #�$

������ � �� �������� ������ #) ����� ��*$

����� ������ �� ���� ��� � ���� �������

+�� � �� ������� ��� ������� ����� �������� ������� ���� �� � ���� �������� ���,� -� ���� ���� ��� ���� ���������� �� �#�$ ������� ��������������������� .� ���������� ��� � ���� �����#�$ � � ������ ������� �������� ����� � ����� �� ���������� �#�$ ��� #�$ ��� ��������� �� ���� ���� �� �������������������� ��� ��� ���������� �#�$ ��� #�$ ���� �� ��������� ����������� ��������� ���������� ������� � #�$ ��� �#�$ ������������ -� ����� �� ��� � ������ ��

Page 24: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

�����

�� � �

���

������ �� � ������ � ����

� ����� � � �������� ����� ���

���� ��

����� �

����

����� ���� � � ���� ���� � ����

��

��������� ��� ������� ���� �� � ����� �� ���� ��� ���� ���� ������� ������������

�� ����� ��� ��� ����� ���� � ���� �������� ��� ������� ���� ���� ��������� ������ � ����� ����� �� ����� ��� ��� ��������� ��� ����� �� �������� ���� � ���� ����� �

!��� � ���� � ����

�� �� ������� ������ � �� �� "�����# ��� �� �����$�������� ��� � ������ ���

��� � �!��� � ���� � ���� � ���� � � ���� ���� � ����� �

%��� ������ ������� ���� ��� ���� ��� ����� �� ��� �� "�����# �� �� ��&���� �� %��� � �� �� �� ����'�� ����������� � ��� ��

� ���� � � (�)�*�+ ��

������� � (� )� *� + ������ ��� ,�������� ��� ������ ������� ���� � ��� ��

���� ���������� � -�� �������� ��� �������� ��� �� ������ � � ����� ��

����

������� ���� ��� ������� ���� ���� � ��������

��

���� ��

���� ���

������

� � � (� )� *�+

��

������� ��� �� ��� � � ���� � ������ ���� � �������� ��� �������� �����

���� �� � ����� ������ �� ��� �� �� ���� � ��� � ������ ������ � � ����� ��

��

���� �� �������

����� �� ���� �� ����� ��� !��� ������ �� ������ � �� "�����# ��� �������� ����� � � ��� � ����� � ������� ���� ��� ��������� �� ����������� ����� ������� � ��� �� ���� ��� ��� �� ������ � ������� ��� ����� ���� � ��� �� �� ��� ��� ��� ,�������� ��� ������ �� ��� �� ��� ���� ��

� ��� �������$ � � (� )� *�+� %��� ��� ���� !��� �� ����� �� �� ��� �� ��� ������

��� ��� � ��

����$ � � (� )� *�+ �� �� ����� �� �� ������ �� %�� ����� �� ���� ���.������� �� ��� ������� �� ��� ������ � ����� ������� � ������� ���� � �� ������� �� ��

����� �

Page 25: Interval Polynomials

���� ���� ���� ��� �������� ����������� ���

�� ��������� ������ ���� ������ �� ������ � ���� �� � ������ ����� ������� ���������� ������� ��� ������ ����� �� ������� ��� ��� � �� �� ��� ���������� ����� � �� ������ �� �� ��� �� ��� ����� �� �� � � � �� ����� ������ ������������� �� ������� ���� ���� ������� �� ����� �� ��� � � ��� ���� ������� ������� �� ���� ������ ��� ����� ��������� �� ��� ������� ����� �� ������ �������� ���� ������� ���� �� �� ������� ��! "��� �� ��� ��� � �� �� ��� ����� ����� ���� ������ ����� �# �� �� �� ������ �� ���� �� ���! "��� �� ��� ����

��� ��� � �� �� ��� ����� �� ��� ����� � �� ���� �� �� ��� ����# $� ���������� �� ���� ������� ��� �� ���� �� ��������

������ �� � � ���� ��� ���� ������ �� � ����� � � ���� � ���� �

������ ���� �� � ������� ���� ������ ������������ � � ������� � �������

������ ��

�����

����� %������ ��� ������������ ��������� &��� ' ����(����� ���������� �� ��� ���� ���� ����� ������ )� ���� ���� ����� �� � ���� �� �� ������� ������)� �������� � ��� *�������� ���������� �� ���� ����� �� � �

���� ( ���

����� � '

��+�,� - ������� ��� ���� ����� �� ��� ��� � �� ��� ��� ��� ���� �� ������ �������� ��� ��� ������ ��

����� �

����� ��� $ ����� ����� ��� �� ������ �� ��� ���� �� � �������� ������������� �� ��������� ��� ��� �� �� ����� *�������� ������ ���� .������ /�0��

��� ������ ����� ��� �����������

�� ���� ������� �� ��� �� ����������� �� *��������1� ����� �� ����� �������2�3����� "� ������� ��� �������� �����! ������� ���� ��� �� ���� � ��� �� ������� ������� �

��� ��� � � � �

����

��

�� ���� ���� � ��� �� �������� ���������� �� ��! 4�5 4�5 � � �5 4���5 ������� ��� ������� ��� ����� ����� �� ���� ����������5

���� ' �� ( ��� ( ���� ( � � �( �����

��� ( ���

����

�� �

��� �

4�

+� �� (

4�

+

�� � � � � ���� �

����� �

4���

+� ����(

4���

+

�� ����� ������ ����� ����� ���� ��� ����� ����� �������� �� ����� ��� ������������������

������� ��� ���� ��� ��� ��� � ����� �� � ��� �������

� ' ���� ��� � � � � ������

Page 26: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

�� ��������� �� ����� �� �� ��� �� ����� �� �� ������ ���

� �� � �� � ��� � �� � ���� � �� � ����� � � � �� ���� � ������

��� � ���

�� ������ �� ������ ���� � �� ��������� ��� ���� ���� � � �� ����� ������������ ����� ��� � ����� ���� � ������� � ����� � �� ���� �� ������� �� ���������� �� �� � ����� ����! �����" ��� ������ ����� ��������� ��� �� ����� � ����#�����$ ������� �� � ���� ���� ����� ����� ������ �� � �� � ����������� �������� ���� ��� �� ��%���� �� ������������� ��������� �� � �� ���&�� �� ������ �����������" �� ������� ��� ������ � ������ �%����� ��� � ������ ��� � ����� '"(" )��������� �� ������ � �� �� ���� �� �������� ����"

����� �� ��� � �� � ������� ������ � ��� � �� �� � ������ ��������� �� �����

�� * �� �� � � � �� � � � �� ����

��� ���� ��� � � +�

��� ����� ������ � � + ���� �����

�� � � �� � ��� � � � �� � � � �� ����

��� � ���

�� ������ �� � ��� ��� � � ,+ ���

��� � �� � ��������� ������� ��� ������ � ���� �-��� ������ �������� ����� � � �� �� ���� .� �� .�� * �� .�� / �� .�� 0�1 ��� �� �� ������� ��� ���� ��� � � �� �� ���� .� ��� �� ��� ���$ ���� ���� ����� �������� ��� � � � �� �� ���� .� � � � � * / 0"2� � � .�� � � + � ��� ���

� �� � � � ��� � � �� ���������

��� �� �� ��� ��� ����� �� � �� �� ��� ���

����� �� � � � ��� � � � �� �����

����

���� �� � ��� � � � � �� �����

�����

3� �� ���� ���

� � �� �� ����� ��� � � � ��� � ��

�� � � � � �����

����

� � �� ������ ���

��� � � �

� � ��� � � � � �����

�����

� �� ��� ������ � $��� �� �� ���#)��� ����� ���� � � �� ��� ��#���� /��* ����� ����� ����� ����� � � �� �������� ���� � � �� ��� ���� /��* ���������� ����� ����� � � �� �������� ��� ���� ��� ����� ������ � �� �������� ������

+ � ���� � ���� � ���� � ���� � � � � � ������� � ��������

Page 27: Interval Polynomials

���� ���� ���� ��� �������� ����������� ���

�� ��� �� ��� ������ ���

� ������� � � �� ��� ��� �� � �� �� ��� � ������� � � �� ��� ��� �� � �� ����

��� ��

� ������� � �� � ������� � �� � � � � � ���������� � �� � ���������� � �� ������

��� �� �����

� � ���� ���

��� �������

��������

�� ������

�� ������ �� ��� ��� � �� ������� !� ��� �� "�� �� ������#$

��� � � �� % ���� �� ������ �� ��� ��� �� �� � &�� ���

��� �� ��"������ ������ ��� �� � �� ��� �� �� �� �� ���

� � �� � �� ����'�

����� ��� ����� �"� #���� ��

����� � � ���� � � � ��� % ��

�� � � � � �����

�����

����� � � ���� % ����� � � � ��

� % ���� � � � � �����

���� % ������

!� �"� #��# � �� ��� ����� ��� ����� ������� �� (�"����)�����" *�"�� "����� ��� �� "������ ����� �� ����� ��+��� �� ����'��,�"�� �� ��� �� "�� � ����� � � ����� *�� �� ��� ��� ����� � � � � ��� ���

�������� � � ������� % �����������

��� �� ������ ��� ����'� �� ���

�������� � � ��������� �������

��������������

��

� �� ���

*�� �������� � �� *�� �� ���

�������� � � ������� % �����������

��� �� ������ �� ��� ��� � ������� � � ��� ��"��"� �� ��� ���

�������� � ��

-�"����# �� ���� "������# �� ���� "�� �� �.����� �� ���� ��� ��� ��������# ���/�������� ��

����� � �� �������� � �� �������� � �� � � � � ����������� � �� ����������� � �����0��

Page 28: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

���� ���� � ��� � ���� ����� ��� ������ �� � � ����� �� �� ��� ���������� ��������� �����

������ ��

���� � � � � ��

�������

��� ���� ��� ����� ������ ���� �� ����� �� ������

� � ����� � ���� � ����� � ���� � � � � � �������� � �������� ������

������� � � �� ������ ����

����������� � ��

��� ��� ��� � �� � ���� ����� ��� ���

������ � ��

����� ����� ��� � !��� ������� ���� ������ ���� �����!�

������� � ������� ������

���� ������ ��� ������ � ��� � ���� ����� ��� ����� ������� �� "����#$���� ���� ��� ������ ���� �� ������

� ����� �� ����� �� ���� ����� ���� ���� ���� �� ����� ��� ������ ����� � � ��� � ��� ��� �� ���� ��� �� �� �� �������� ������ �� �� ������ ���� ��� ��� % � �� ���������� ��� ���� ��� � � � ���&����� ���� ��������� �� ������� '��� �� �� ��������� ���� ��� � ����

�� � ����� ��� ������ � � �� � ������� � � �� � (���������)� ���� ��� ����

��� �

���� ��� ��� � ����

�� ���� ����� %� ��� � ��� ����� �

���� �� �� � � ������������ ��� ������ �� ����� �� �� ����� ���� % *��

��� �� ��+ �� ��������� �� � , �� ��+ ���� ���� �� &���� � ����

�� � % *�� % ���� ���

�� �������

��������

��

�� � % *�� �� % ���� ����

�� �������

����������

��

�� � % *�� �� % ���� ����

� �������

����������

��

�� � % *�� �� % ���� ���

� �������

���������

��

� ������ �� �� ����� ��� �� ���� ��� �� ������� �

- �� ��� � ���� �� ��������& ����� �� ����� �� . ����� ����� �� ���&�����& �� ���� ������

Page 29: Interval Polynomials

���� ���� ���� ��� �������� ����������� ���

������� � ��� ��� ��� � ������ �������� ���� ��� � � � � ������ ��� �� ���

��� � ������� ������ ���� ���� � � �� ������ �� �� ������� �� ��� � ������ � ����

���� ��� ������ ���� ����� �� �������

����� ��� ���� � �� ���������

��� �� ���� � � ������ ���� ���� ���� � ������ � � �� ��� ������� �� �������� � ��� ������� ������� ����������� ���� � ����� �� �� �� ������� ��� ���������� � ������� � ���� �� � � ������ ���� ����� � !� ����

�������� " ���������

���� � � ������� �� # � � ������ ���� � ���� ���� ��� " �����

�� ����

����

$%

����

$% � � �%

������

$� �&����

'� ��� ��� " �� % ��� % ���

� % � � �% ���������

� � �� ���� ��� ��� ����! � (����� �� ���� ����� � ������ � � ��

���� "

��� �

���

)

�%

��� �

���

)

�� %

��� %

���

)

��� % � � � �

���� "

��� �

���

)

�%

��� %

���

)

�� %

��� %

���

)

��� % � � � �

���� "

��� %

���

)

�%

��� �

���

)

�� %

��� �

���

)

��� % � � � � �&��$�

���� "

��� %

���

)

�%

��� %

���

)

�� %

��� �

���

)

��� % � � � �

*� �� ����� ���� ����� ��� ���� ����� ��� ������ � �� � ����� ���� � �� �����

��� �� +�! ����� � ����� &�� !� � �! ���� !� �� # � ��� ������ ������ � � � � ���� ����

���� % ���� � ������ �� , � �� � �� � " �� )� ��$�

��� �� ������ � � ��� ������ ����� ���� ���� ��� ���� �����

���� % �� �&��&�

��� ��� ������� � �� �� ����� �� �� �-��� �� � ����� � ��� ��� � ��� ���������� �� ��� !� �� ������ " �. �����!�� !� ������� ������� � �� �

�!��� �

������� ��� � � � !� � �! ��� �&��&� ���� ��� ��� ���� �����

����� "�

���� % ���

Page 30: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

��� ������� �� �� ��� ���������� ����� ��� ������ �� �� ��� ��������� ���������� ���������� ��� �� ������ �� ����������

���� � �� � ��� � � � �� �������� � ���

����

�� �

��

��� �

���

��

��� �

���

�� � � �

� � � � ���� �

��

����� �

�����

��

����� �

�����

��

��� �������� ��� ������ �� �������� �������

���� �� � �!��� ��� �� ���� �� ������ � �� ���

�� � ��� ��

���� ��� � � �� � � � � � �

���� �� � � �� ����� ��� �� ��� � ��� ��� ��������� �� ������� ��" ��������� ��� ����� �� �������� �� ���� #� ���������� �� �� � ��" ��� ���� ���������� �� ������ � ��� ���� �� �� ����� �� ������ #�� ����� ���� ��� �$��� ����������� ��� � �� �� �����

������ �� � % ��� ��� �� ������� ��������� ��

�� � �� � ��� � &�� � ��� � � � ��

��� �����

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� � ��� �� ���&������

'�� � ��� ��� �� ���� �� ����� �� ��������� ��� �� ���������� �������

��� � &� ��� � (� ��� � �� ��� � �� ��� � )� ��� � (

���� �� *������� �� ��������� ������ ��������� �� ������ (

���� � �� � ��� � � � (� � �+�� � �+�� � (�� � ��

#� ���������� �� ������ ������ ������ � �� ,� �� ���� ��� �� �������

-�

����

-� � � ��

������

-� (&�

#�.��� �������� � � /0 �� ��� ���

� ��� � / � &+�� /+�� � /+�� � &+�� � /���

Page 31: Interval Polynomials

���� ���� ������ � ������� �� ����� � ������ �� ���

��� � ������ ��� ���� ���� �� �� �� � ���� ����� �� ���� ����������� � ���� �� ��� � ��

� ���� ��� � ������ ��� � ���� � ����� � ������

� ���� ��� � ������ ��� � �!���� � ����� � "�����

� ���� ��� � ������ �!�� � ���� � ������ � ������

� ���� ��� � ������ �!�� � �!���� � ������ � "�����

���� �# �� �����$����� �� % ��� ��� ��� � �� �����&��� ���� �

�� � ��� � �� � ���� �� � ���"�� �� � ��"���

��� �� � ��� & $�� $��� � �' �� ���� �� ���� �����������

����� ��� � ������ ��� � ���� � ����� � ����� � ���

����� ��� � ������ ��� � �!���� � ����� � "���� � ���

����� ��� � ������ �!�� � ���� � ������ � ����� � ���

����� ��� � ������ �!�� � �!���� � ������ � "���� � ���

�� ����� �

���� �# ( )��� ��� �� ��*

�� �� � � �� �� �� � � �!� �� �� � � �"�

�� �� � � �� �� �� � � �"� �� �� � � ��

��� �������� ��� ���� �� ������ ��������

��

+� ���� � $���� & ,� �� �� ������ �� ����������� �� &��$� -���������.� �� �� ������ �� /����� � �� � �� ��� ���� ����������

���� ���� # � � 0�� �

� 1� � �� �� � � � � ��� �����

��� � ��� � ����������

�� � �� � �� � � � �� �� �� ������

( � � ��� �� ���������� ������

������� ������� # ��� � ����� ����"�

Page 32: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

����� �������� �� ������ � �� ��� ����

����� � ������ � ������� � � � �� ���

���� ������

����� ���� � ����� �� ��� ������� �� ����� ��� ��������� ����� �� � ������������ ��� � ��� ������� ������� �� �!

"� ���� �� � ��� � ��� ������� �� �� ����� ������� �����# ��� �������$����#��% �#�� ������ ��� �� �� ��� ����� �� ���� ��� ��� �� �� ��� �� ����������% �� ����� #��� ����� ��� ���� &�������� �� �� ��� �'����� �� � #����'������� ��� �� � ���� ������� �� � # � �� ����#�� ��� ����� ��#�� �������� �� � ���� � �� �� ��(��� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ������ ��

)�������������������������

������ ��� *� ������# ������ � ����� ��� ���� ��� � ��� ����� "� ���� ���� ������ �� � ���# �����

����� ��� ����� ��� ��� ������� ���� �� ���� ��� � �� �� �� ��� ���

������� �������� �� ��� �� ��

���� � + ����� � � ���� � �����

�� ��������� �� ��� ������� �������� �� ��� ���� ��� ����� � � � + ,� -� ��.�

&�� ���� �� ���� ��� ����� � ��� ���� � ���� �� ��� �� �� ��� � � + �� ������ � �� �� ��������

��������� �����

/�� ��#�� ��� �� 0 �� ��� ����' �� �� �� � � �� � ������ �� 01�� ��� ��� ����� �� �� ��� ��� �� 0�

2������� ������ ����� �� ������ � &�� �� + ������% � � �������% �������� ��� ����' �� ���� 3���� ��� �� �� ��� ���4���� ��� ���� "���� �� ���� ��� �� 5 �� ����� �� ��� ������� �% ��� ��� �� �� ��� ����� �� ��������� ����� � �� ��� ��� � � ��% ����� �� � 6�� ���� 5� &��� ��� ���� ���������� �� ��� ����� � ������ �� �� ��� ��� �� �� ����� �� � ���� ������ �� 5� ��� ����� � + � )�� �� ����� �� ���� ��� �� 5� ���� ����� �� � �� ��� �������� �� ���� �� �� �� � ��� �� � ����� �� �� ��� �� ��� ����� � +

�� ��� 5� + ��7�3�� ��� � �� ������ �����% ��� ����� ��� �� ���� ��� �� 5�% � +

,� -� �� . �� ��5� �+ �����5��

����� ��� ����� ����

5� + ��

��� ���� �� �� �� ������� �� ������� ����� �� ��� ��� �� ��� �� 5������������ ��� � ��� ����� �� ��� �� �� ��� �� ��� 5��

Page 33: Interval Polynomials

���� ���� ������ � ������� �� ����� � ������ �� ���

������ ��� ��� ��� � � �� �� �� ��� ����� � �� ��� ����

��� � ��� � ���� � ��� � � � � � ���

�������� � �� ��� � ��� ��� � ��� � � � ��� � ��� �

��� ������� ��������� � ����� �� ���������� �� ������� ��������� � ��� ��������� � �� � ���� ����� ���� ������� ��������� � ����� �� ���������� �� ���������������� � ��� �������� ������ ���� ��� � �� � � � !� "� � � � ��� #� �� � ��$ ���� ��� ��� � �� �� ������� ������ � ��� ���� � �� � %�� &� � ������ ��� ���������������� � ����� �� ���������� �� %�'��������� � ���� �

���� ����� �� ��� �������( ����� �������

���� ��� ��� �������� ���� ����� � ����� ����� � �� ���� � ���

���� ��������� �����

�� � � !� "� �$ �� ����� ������

������ )�������� �� ������� ������� ����� ��� ������ ���� ��� � ���� � ������*�� ��+������� �� ,��� ���� ������� ��������� � �

����

�� ����� ��� %�'���������

� ���� ���� ���� ���� ��� �� %�'������ ��� ������ �� ��� �������� ������ ��-������ �� ������� ������� �

��� ����� ������ � �������� ��� ��.����� ������ � ����,��( ��� ��������� ��� -�� /� ������ ��- ��� 0��� ��� �� ��������� ��� �� ���� %� ��� ���� ����,��� %�'��������� � �� ��� /� ������ ��1� �� ��� ����� ����� ��� ��� �������� ����,��� ������� ��������� � ��� ��� 02�� ������ ���� �

����

��

���� �� �� ���� ���������� ��� ������ ��� ��� �� �� 02��� 3������ ��� ������� �� �� ��������� ������ ���� ��� �� ���������� �����(� �� � ��������

4�� � ���� 5 ��� ��� ��� � � � � ��� ��� ��$6�

����� � �� � �����2 ��������� 7� ��, ��� ��������5 8���� �� �������� � ��� �� 9���� � ��������� � ��� ��$6� ����� ��� ����� ���� ���������� �� ��� ������ ���� ���

4���� � ������ 5 ��� � ���� � � 4� ��$!�

������� ������:7� ���� � ��� ������ ���� �� � ���� ��� �� � ��(��� ��� ��� ������ ���� ��

4 ���� ��� �� � ��(��� ��

���� �� � ��� %� �� �� ���� ��� ���� 4���� � ����� � �� ���� � 4��� %��������

������ ��� � ��� 4���� �� � ��� ��

4���� � ������ 5 � � 4��� �

#� ������ ��-� ��� � ��� ����� �� ������� ������ � ��� ���� � ��� �� %�'������� �

Page 34: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

���� ������� �� ��� �� �� ��� ���� �� ��� ��� ������ �� �������

������� � ��� ������ ������� � �� ��� ����� �� ��� ���� �� ��� ���� �������

�������

��

��������

�� � � �

�� � � �� ���� ��� ��

��� �� ��� ������

!"� �� ��� �� � �� ��� �� �� ���#��� " ����"���� �� �� "� ���� ��� ��� � �#�# ���� �� ��� �$����� ������ %�� ����� ������ ��� �$����� ����� �� ����� !"��$����� ���� � ��� ������� �� �# �� ��� ����

��� ������� & ������� � � '(� �)� ��� ��

*� �������� ��� "��������� �� �� �#

��� ����

������

�& ���

������

�� � � '(� �) ��� �

�� "� � � ������� �� ��� �$����� ���� �� �������

�� +����"� �� �� ��"� �� � ��

��� � "��������� �� �� ��� �$����� ����� �� �, �� ��� ��� ������ �� �������

������� �� ��� ������ ������� � ����� �� ��� ���� �� ��� ����� ��� ���� ����

������� �� ��� ��������� �������

������ ���������

�� � � ��

�� � � �� �� ��

��� ������

�� � ������ � "������"� �� � � ����"�� ��� ���� ��� ������ ��� � �# �� ��� �� ���-������� ��������� .� ����/ ���� ��� ��� ��"��� � �������� �""��� �� ��� � ������� ���� ���� � ����# ������ ������ � ���� � ����������� ������ ����������

��� ����� ������ �� ������� ��� ������

.� ����� 0� ��� 1�� �����2� ������� ����� ��� 3��� �0 ��� � �#, ��� � ���������� ��� ���# �� �� ���# ��� ���� ��� ������ �� �$����� ��������� �� � �"� ������ "�� �� 4"��� ��� � �#�

� ����� �� ��� ������ ���#��� �

���� � � �� & �� &�

��� �

�� �

���5

6�&

�5

6

�� ��� ����� ��� ��������� �� ���� ��

�� 4"��� ����� ��� ��� � ��� �� ���� (� �

��� 4"��� ������

Page 35: Interval Polynomials

���� ���� ���� ��� � � �� ����� ������� ��� ���

������ �� �������� �� ������� ���������

���� �� �� � ���� � ���

� � ��� ��

���

�� � ���� ��� �� �

����

�������

���

�� �� �

���

������

���

��

� !�"� #������� ���������� ����$����� ��� ����

����� � ��

����

���� �

���

����� � ��

����� � ��

����

���� �

���

����� � �� � ��

����� � ��

����

���� �

���

����� � ��

����� � ��

����

���� �

���

����� � �� � ��

��� ��� %$"� ���&��' ("��������) �� ���� �! �� ����* ����������

+����� � ��

����

���� �

���

����� � �� � ��

+����� � ��

����

���� �

���

����� � �� � ��

+����� � ��

����

���� �

���

����� � ��

+����� � ��

����

���� �

���

����� � ��

��� ���� ��� %$"� ���&��' ,�����) �� ���������

+���� � ��

���

�� �

���

����� �

��� � ��

�� �� !����� �� ��� ����� �� ���� � ����-�� ��$ ��� ��� ������ �� "��� $��$��' �� ���� ��� ������ �� ���&����� �! �� #������� ���������� ��� ��� �����&����� �! ��� �� ����* ���������� ."�������� �� %$"� ���&����� �! �� ������!�����'

%$"� ���&����� �! � ��������� �� �/"������ �� �� �������$��. �! �� ��������$��� ������������$ ���� �! �� ��������� ���"���� ����. �� "��� $��$��' 0� �� $����!��� �� �&�� �*�� �� ��� �������$��. �! �� ����* ���������� $����� ."��������� �������$��. �! �� ��������$ ��� ������������$ ���� �! ���� ���&�� �! ��������� !�����' 0� �� $��� �! ,"����1 ���&�����) �� �������$��. �! �� ��� ��� ��� ���� �! �� !�"� #������� ���������� �� !�$� ."�������� �� �������$��. ����.�� �� �*�� �! ���� ��������� �� �� !�����'

Page 36: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

�� ���� �� �� ���� ��� ��� � �� �� �� ��� � ���� �� ���� ��������� � ������� ����� �� ��� ��������� � ��� ���� �� �� ����� �� ��������� ���� ����

� ��� � ���� � �����

��� � � � �� ��

��� ��������� ��������� �� ��� ��

� �� �� �� ���� � � � � ��� � �� � ����� ��

� � � � !� � � � � ��� �"�#"�

�����$��� �� ������� � �$ �$�� � �� �� ��� ��

� �� ����� � � � � ��� � �� � ���

�� ���� � � !� � � � � ��� �"�#%�

�$

�� �� ����� � � � � ��� � �� � ���

�� ���� � � !� � � � � �� � �� �

�� � ����� ��

� � �"�#&�

�$

� � ��

������ �"�#'�

(� ����� ���$��� ����� �� ������ �$ �$�� ��������� �� $�)��$ ��

����� �� �� ��� � ���� � �����

��� � � � �� �� � ���� � � � � ��� � �� �"�#*�

����� �� �� ��� � ���� � �����

��� � � � �� �� � ���� � � � � ��� � ��� �"�"!�

�� � ������ �� �� ������� ����� � ��������� ����� �$ �������� ������� ���� ����� �� �� $��������$ �� �� �� �� ���� �$ �$�� � +� ��� �� ������������ ��� ������

����� �� � ������ ��� �� ���� � ��� ������� ���� �� �������� �������

��� ���� �� ���� ������ � ��� ��� � ����� �� ���� �������

(� ����� � ������$ �� ������ ���� �� ���� �� ������� ����� �� ,���� #�(� ���� �� ��� �� ��� ��$ ��� �� ������� ������� �� ���� ��� �� ��� �� ����)���� $�� ��� ���� �������- �� ������ �� �$�� �� �� �� ��$ ��� ��������� �� ��$���$ �$ �� � �� �� ��� �� ��� ��� �����

�� �� �� � �� �� ������- ������ ���� ��� ���� ������� (� )� � ���� ������ ���� � ������ �� ��� ��� � ������� ����� ��� )��$ ����� ��$�� ��������� �

����� ��� ��� � � . ��� ������ ��� �� �� ���� ���� �� ��� ���� �����

����� ����������� ����� ��� ���

� ���

�� � ��

/� .� � � � � � � � �� ����� ���

� ��� � .�

/� .� � � � � � � � �� ���� ��� �� ������ ���� ���� �� ������ � ��� ���

� �� ���� � ������ ��� ������� ����� �� �������

Page 37: Interval Polynomials

���� ���� ���� ��� � � �� ����� ������� ��� ���

������ �� ��� ������ ���� �� ��� � �� �� � ������ ��������� ���� ��� ������ ��������� ��� � ��� �� ��������� �� ������� �� ����� ��������� �� ��� ������������ ���� ���� ��� �������

� ��� � ���� � �����

��� � � � �� ��

�� ���� ��� � �� ��� ��� �� ��� �������

� ��� !� �� � "���

��� "

�� "

�� #�����$ ��� �� %��

� ��� !� ���� � "�� � ���� � "������ � "� � ���� � "������� "��

� � � �� ����� � "�

� �� � "��

� � ������� � "�

����� � "�

��� �&�&"�

� � � �� ���� � "���

'�� ���� � ��� ���� �� �������� �� ��� ��� �&�&"� ���� ��� �������� ������� ���(��( ���� �!

���� !��� ��� ! �� � )��

�� ��

�*� � � �+� "� � � � � ��

��

���� ���� �� � �������� ����, � ��� -�(� ������, �� �� ��� � �� ��� ��� ����� ������� ��(�� ���� ����� ��(�� ���������� �� ��� ��(�� �� �, ���� ��, �� �����(���� �� ���� �� � ���� �� (��� ��� ������� ����� ��� ��� ���� �� ����� � �� �����.������� ��� ��� �� ����� ����� � ������ � �����( �� ��� ��� �

�+� "� � � � � �

����� �� )��

�� ��

�* ��� /���( ��, � � �+� "� � � � � ��, � �� �� � ������� ���� � ����

������� ������( ��� 0����� '�� �.������ 1, '�� 1�"2� �� �������� �����3������ �� ��� ��������� �� ����� ��(� ��������� ����� ��3������� ��� �� ���������� � ���

��� � "���

���� � ���

��� � "������ � "�� � � � �

����

� ����

��� � "�

� �� � "��

� �

4�� ��� 0����� '�� �� ���� ���� �������� ����� ��3������� ��� �� ��� ����������� � ������ ���� ��� ����#�����$ ��� ���� ���� �� ���, ��(� ���(������� ���� �� (��������� � ���� �� ��� ��������� �� ��� ���� ��� ��3������ ��������� ��� ��� �������� �� ���� ���� ��������� ��� ���� �� ��� ������ �������������� �� ���� ��� ��� ��� ���� �� ��� ������ ����� 5� �������� ����� ����� ������ ���� � ��� ���� ��� ��� ��3������ ���( ���� ��� ���� ��(�� ��� ��/��� ���� �

�+� "� � � � � �

�� "

�� �

�� ��� � ��� �����, �� ���������� � ������ ������� ���� ����� ��� ����� ��������������� ���� /���� %�� �� �� �������� �� �� ������ ������� ���� ����� ���� ���������� ��� ����� �� ����� 4�� ����������� �� �� � ��/��� �� �����!

��� � ���� ! �� ���1� "�

1� 1� � � � � �

��� � ��� ! �� �

�� "

1� "�

�� "

1� 1� � � � � �

��

Page 38: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

�� ����� �� ��� �������� ��� � � �� �� ��� ������� � ��� �� ��� � �� ���������� ���� ������� � ������ �� �� ��� ����� � ���� �� ���� ����� ������ ���������� ��� ������ �� ����� ��� �� � �� ������� �� � �� ���� ��� �������� ����� ���� ��� ����� �������� ��� ���� �� ���� � �� �� ����� �������� ������ ��� ����� �� �������� ������ ������ �

��� ��� ! �� ��� ! ���� " �����

��� " � � �" �� ���� � � � � ��� � ��� �#�#$�

� �� ��� � �� ���� ������ � ����� ��

���� " � � �" ����

�" �%� ����

���� " � � �" �� �#�#&�

� � ��� �� ! ���

�� ���� � ! '� � � � � �� � �! ��

����� ��� ��$

�$�� � � �#�#(��

� " %

$

�$�� � ��� �#�##�

���� � �� ������

������ ���� )����� � ����� ����� �������

� ��� ! ���� " ��� " ��

������� � *��� � �

�� +� �� � *��� � �

�� +� �� � *��� � �

�� +�

����� ��� ( � �� ����� ��� ��

����� " �%� ����� ��� " ��� � " ���

����� " �%� ����� ��� " ��� � " ���

����� " �%� ����� ��� " ��� � " ���

����� " �%� ����� ��� " ��� � " ���

, ��� ����� ��� ��� �� ��� �� ���� ����� � %$�

�� �� ���� ��� ������� �� ������ � ��� -���� ������� �� ������ ����������� ����� �� ������ ���� ��� ������ �� ��� �������� ���� � ��

���� ��� ��� ��� ���� � ������ ��� ���� ��� ��� � ���� �������

��� ��� ��� � �������

������ .� /���� #�#� ��� ������� �� ��� ����� � ���� � �0������ �� ���� ����� ������� ������ �� ��� ��� ����� �������� �� ���� ������� �� ����� ���� �� �������� ���� ���� �������� ��� ������� �� ���� �� ����� ��� ����� �� ��� �� �� ������ ���� ���� �� ���� ������ ����� ����� ������� ���������� ����� ��� ���� ��� ��� ����� ��� ����� �

Page 39: Interval Polynomials

���� ���� ���� ��� � � �� ����� ������� ��� ���

�� �� �������� �� �� �� ���� � ��� �� ���� �� �� �� �� ��������� ��� ��� �� ���� �� ��� �� ����� �� � ����� ������ ���� �� ���� ���� ���������� �� ����� ����� �������� ���� ������� �������� ��� ��������� �� ����� ���� ��� ��� � ������ ��������� �� ��� �� � �� ����� �� � �� � ����� ��� �� ���� ����� �� ���� �� �� �! ��� � ��

���� �� �� ��� � �� �����

� �� "� � ������ ��� � ���� ���� ������

��������� ��� �� � ����� ���� � � ��� # ��� ���� $�� � ����� ���������� ��������� ��� �� ##% ����� ��� � � ��� �& ��� ����

������ ���� '����� �� �������� ���� ���� ���������

� ��� ( ���� � ��� � ��

���� ��)���� ������ � ����� �������

�� � * �+� #,� �� � *�-��� -� +,� �� � *-� � -�%,

.� ���������� ����� ��� �� ������ �� ����� � �� �� ��)���� ����� � ������ �� ���� �� ���� ��)���� �� � ����� / ����� 0

����� �� ( �+�� � -��� � -�%� -�1�

����� �� ( �+�� � -� +� � -�%� -�1�

����� �� ( #�� � -��� � -�%� -�1�

����� �� ( #�� � -� +� � -�%� -�1�

����� �� ( �+�� � �-� +� -�2+��� � -�

����� �� ( �+�� � �-� +� -�2+��� � -�%

����� �� ( #�� � �-� +� -�2+��� � -�

����� �� ( #�� � �-� +� -�2+��� � -�%

���� �� ( �#� ��+���� � -��� � -�

������ �� ( �#� ��+���� � -��� � -�%

������ �� ( �#� ��+���� � -� +� � -�

������ �� ( �#� ��+���� � -� +� � -�%

.� ��� ��� ��������� ���� � ��� ��

����� �� ( �# � ��+���� � -��� � -�

����� �� ( �# � ��+���� � -��� � -�%

����� �� ( �# � ��+���� � -� +� � -�

����� �� ( �# � ��+���� � -� +� � -�%

3 �� � ���� �� ��� ��� �� � � ��� �� �� ����� ���� .� ��� ����� �� ���� ��� ��� ��� ���� �� �� ������ �� �� ����� ��� �� ������ �� ���� � $�� �� +��2 �� +��# ����������

Page 40: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

Real

Imag

������ �� ��������� �� � ��� �� �� � ����� � � ������� �����

� ��� �� ������ � ��� ��� ��� ���� ��� � ���� ������ �� ������������ �� ������ �� ��� ��� ��� � ��� �� �� � ���� � � �� � ���������� �� � ��� �� �� � ����� � ��

� � !��� ��� � � ��� ����� ��� ��� ������ "��� ��������� �� �� ������� ��������� � ��������� �� �������� ��� ��#���� �� � ���� ������������ $�� ������� ����� ��� ����� �� �%���� � ����������� �� � ���� ��� � ���� ����������� ���� ��� � ��������� ��& �� � ��� � ���������� �� ��������

Page 41: Interval Polynomials

���� ���� ������� ���

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

Real

Imag

������ �� ���������� � �� ��� � ��� � �� ����� �� �� �������� �����

��� ���������

� �������� �� ������� ������ ���� �� �� ��� ����� �� ���������� ��� �� ����

���� � ��� � ��

�� � ���� � ���� � ��� � ���� � �

���

������ � � ��� ��! ������ ��������� ����

�� �� ������� ��� ��"

�� � #$�%&� �� � #'� $&� �� � #���(&�

Page 42: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

����� � ������ �� � ����� ���� �� � ����� �� � ��� ���

� � ���� �� �� ���� � ���� ���� � �� ������� ����� �� ��� ��� ���� ����� �� � ������������

��� !�� �� ���� � �� "# ���� � � � ���� �� ���$ �� ��# ���� �� ��� � �� ���� ���� %� �� ������ �� �� � �$��� �� �� ��� � �� �� �� ��& �' �� �� ����� ��� �� ����� �( ��� ����� �� ���� � ���� � ����� �����

��� )��� �� �� #���� ���� *��������+,� -� �� � �� � ��� ���� �� � �� ��������� � $��� �� �� ����� � ���� ���� . ��� � ��( � � �

��� )��� ���� ��� ��� �+�� ����������� �� � $� � �� ���� ��# �� ��/� � �� � �� � � ����� ���� ����������� �� �������$ *��������+,� � �� � � ���� ��� ��� � $� �� ���� � �� ����������� �� � �� �0 �( �� �������� �� �� ��������� ���� �� ��$�� ���� �� /�� ��� �� �� ��� ���1 2����� � �� ��� ������$ ��� � ���� �������$ �� �� ��� �+�� ������ ��� ���� $�

��� 2����� � �� ������� ��������� �� �� ��� �+�� ������ �� � �� ���� �� /�� �����3 �� �� � ���������� �� ��( �� �� /�� �� �� �� ��� �� ��������� � � ��� � � ��� �� )��� ���� �� �� �#�� �� ��������� � ���� �� ���� �� ����� � $� �� ��� �� �� ���������� � $� ���

��� 4���� �� � ���� �� "# ���� � � �� �� ������� ����������

�%�' 5 �� 6 ���� 6 ���

� 6 ��� 6 ��

���� ������� ����� � ��

��� 5 �� ��� 5 �� ��� 5 � ��� 5 ��

)����� ���� ��� �� /�� ��� #� �� �� � ���� &# � ��� �� +��� � �� �������1

��� � �� � ��� �

� � ���� �� ���$ �� ��� �+�� %��� � ��

� ' ��� ����� �%�' � ����� ������� . � �� ������� ��� �� �� �� /�� ��� ��( ��( ��� ��

�� 2����� � �� ������� ����������

�%�' 5 �� 6 ���� 6 ���

� 6 ��� 6 ��

���� ������� ����� � �� �� 5 ����� ���� �

��� �

��� $�+ � ��1

��� 5 �� ��� 5 �� ��� 5 � ��� 5 ��

Page 43: Interval Polynomials

���� ���� ������� ���

������� ���� ��� ������� ��� ������������� ������ � �������� �� ��� �� ����� �� �� ���

�� ���� � ��� � ��� � �� � ��� � ���� � � �������

����� ������� �� � �� ��� ��� !���!�� ���� �� � ��� ���� ��������� �� ������ ������!��� ���� �� � ��� �

��� "������� �� ����� �� ��!��� ��� ���� ���� �� ��� #�������� ������!���� ����!������� �������� $���� ����� ����� ��� ��� �� ��� ����� ����� ���� �����% ���� ��������� ��!��� �� �!������� ���������

��� "������� ��� �������� ������ ������ �����! ����� �� ����� &��' ������

�$�%� �� � �

���

���� �� �� ( ������) �����! $*������ &�+%

,�� �$�% ������ �� � ��!��� �� ����� �� �����!� �$�% �� �� ������ &��� �������� ��� ����� ���� �����! �� �������� ������ $������ ��� ��� �$�% � �$�%% �� ������� �� �� �� ������ ��� ��� �����! �� ��� ��� �� ������ � #�������� �����!�

���$�% �

����� $�%

��$�%

� � � �� �� ��-

.�� � ���� �� ��� �����! �� �������� ������/ ��� !���!�! ���� !����� � �� �������� �� ��!��� �$�% �� �������� � �� ��� ������ ��

�$�%�

�� � ,�� ��� ����� ���� �������������� �� ��� �����! $� �% ��

����

� � � �� � � �� � � ��� �� �� ��

��� �

��������

���

������� � 0�� ��&1� �� � 0���&� �1� �� � 0�� �1� �� � 0�� �1�

��� ��� ����� ������) ������ ��� ���� �������� ���������� ��� ����� ���� �����!�

�� "������� ��� 2������ ������ ����� �� ������!��� ��!���

�$�% � ���� � ���

� � ��� � ��

Page 44: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

�� � ����� ����� �� � ������ �� � ������ �� � ����� �����

�� �� �� ����� ��� ���� ���� ��������� ����� ���� ��� �� ���� �� ����� �� �� ��� �� ��� �

���� !�� �� ������� ������ ���

���� " ���� # ���

� # ��� # ��

�� � ��� �� � # ��� �� �

��

�� ���

�# �

��

�� �

��

$

�� ���

$

�# �

�� �� �

�$

��� ��

$

��# �

��� �� �� ��� �� ���% �& � &�� ����� �� &� ��� �� '��%� ����� %���� (��)� � �$

���� *������ �� ������� &� ��� ���� �& ��� ������ ����

���� " �� # ��� # ���� # ���

� # ���� # � � �# ���

��� �� ��+����� �� ������ ���� �����,

�� � ���� ��� �� � ���� ��� � � � � �� � ���� ���

'%���� ��� ���� �� " � ��� ���� �� �, � " �� �� �� � � � � � � � '��� ���� ��-%����. ��������� �& �� &� ��� ��� � ��� ��� �� ���/���, �� �������� �� ��%�%�� &�%� 0��������� ������ ����

1 ���� " ���� # ����

��� # ������� # �����

��� # �������� # � � � �

1 ���� " ���� # �����

��� # ������� # ����

��� # �������� # � � � �

1 ���� " ��� # �����

��� # �������� # ����

��� # ������� # � � � �

1 ���� " ��� # ����

��� # �������� # �����

��� # ������� # � � � �

�� &�������� ��� ���������� ������ ����

1 ���� " �������� # �����

��� # ������� # ����

��� # � � �

1 ���� " ������� # �����

��� # �������� # ����

��� # � � �

���2 3�� ���� 1 ���� ��� 1 ���� ��� � ������� &�� 1 ���� ��� 1 ���� ����)����� �� ������ � " � 3�� %� �� ���% �� ���� &�� � ���� ������ ��� ����

�& ��� �� �, �� &� ��� �� # �����, � ��

����

��� -%����. ����� �& ��� ���� �&

���� ��� ��� # ���� �� -%����. ����� �

Page 45: Interval Polynomials

���� ����� ��� ��� � ��� ���

���� ����� ����� � ��� � � ���� � � �� � �� � � �� ��

���� ��� ����� ������ � � �������� ���������� ������

���� � ���� � ���

� � ��� � ��

� ���

�� � ��� �� � � � � �� � ��� �� � � � � �� � �!� �� ! � � � �� � ��� �� � � �

��� ������� � ��

� � �� � �

��� � � �� � � � � � � "�������� � � ��#��$� ���$� �� � ��� � �� � ������� �������� �� %$����& ���'��

���� (� )#������ ���� �$����� � �� � � ���������� ���� ������ �� � ��������

*��� � ����� � ��� � �� � � + � � �� � � ��� � � � � �� � �

"�������� � � ��#��$� ���$� �� � ��� � �� � � ������ *������� �� %$����& ���'��

���� ����� � ������� ��

, � �������� ���������� ���'��� ��� ���-������ ����� '� .���� �/� � � ����������� ����� �� $���- � � 0�$� 1%$����& ���������� 2��� ��������� ��� ���� �$3��������������� ���� �'������ '� .���� ��� � � ���'��� �������� ���� $���� 4 ��������-��� � �������� ���$���� 4 �������� 5��� �$'��� �� �� � ����� ��� ���� ��������1��� �� �/67 ��� � ��� � �� �#������ �� �� � � ������# ���� �� ���� , � ������ ��8����� �7 ��� 8����� ��� ��� �������� ��� ������$���- � �� ���$�� �� � � 9�������������$�� 2������ ���������� �� � �� � ����� ��� ������'�� �� � � �������$�� :���-� �� �� ��� ������� 8��� ��� � ;�$�- ��� 9��- ���< ��� =����� ����� :��-������� "����� ��7� ��� > ������� ��� 8 ����� ����� ��6 : ������1� ������� ������� 4 ��������?� , ����� ��� � � ������# ���� ��� -���� '� 8��� ��� 2 � ��< $���-������# ��������� �$������� , �� � � ��� ����� �� � ������-�� ��� 5��� ��������$� '� "��-$��� �6� ��� ���� �� ���� �� '� @���� �� "��-$���?� ������-�� , ������ �� =����� ���� �� �� �� '���� �� � � ���-� ��� �������� -���� �� 2������ ��, � ����� �� > ������� ��� 8 ����� ����� ��6 �� '���� �� � � 2�-���� ������> ����� �� =����$� ��� :������� ��6� ��� ������ 4 ��������?� , ����� $���-� � ������ ��� �� �� ����$��� , � ����$�������� ������� �� �����-��- � � ��'�# ������'�� �� )#������ �6 ��� 5��� �������� �� 8����� ��� , � �#������ ����1���� �� � � 4 �������� ������������ , ����� �� ��� 5��� ������ '� > ������� ���8 ����� ����� ��! ��� � � ��'$�� ���'���&����� ���$�� �� , ����� �6 �� ����������� > ������� ��� 8 ����� ����� ��/ =����$�� 4��$� ��� :������� ��6� ���4��$�� :������� ��� =����$� ���� ��� -���� ������� ���$��� �� ��'$�� 2� $� ���1'����� ��� �����- 4 �������� � ������ ��� 2� $� �������� ������� ����� �� ���

Page 46: Interval Polynomials

��� �������� �������� ���������� ������ ��� �

������� ��� ��� ����� �� ������� �� ����� �� ������� ����� �� ����� � �! ��� ���"��� "� �� #����� �� $������� ������ �� %��"�� &����"�� �� '"�� ������(� %��"� �� &����"� ���)� ��� � � ��� �"���� �* � +�� �� �� ����,� *�� -��"����� � �� �* �� ������� ������� �� � �� �� � �� � �"���� �* ��"��� ���� � ��� "�� ,� ��� #"� �� ���� ���� � � ����� � .������ ��/� ��" � ��� ��������* ��������� � �+ ���� � �� ��+ ��� � ��� ������� ����� *�� � �� � � ��"� �������� � �� �* ��� ��� ���� ��� �* �� ������� *�� �� +"������� ���� �* ��� ��� �� *�� ���#� ���� ���� �"�� ��+ ��� �� ����� %��� ����� ��+ ���� ��� ��������� �� �� ������ � �� ���� � �� ��� �� ��� ��� ���� ������� &����� � 0��� �� �� �� ��1/����� ���� � %��� �����2� ������� �� ������ ��� �������� &�� �� %�,��� ���)� ���� �� ��� �� 3��� ��� ��4" �� �� ����� %��� �����2� ������� �� ��� �������� ��� �+��� ��� ���� ��� �

�5 6 7��� 8���� �� ���9:� %��� �����2� �������

��� ���� +������ �� �� 0�������� �� $������������ ���� *�� ��� ������� ���������� � � ���� �� � 0������ 1� ;�� �"� ����� +������ ��� ��� �* ��� %��� �����2�������� ���� ���� ������� � (� ��� $��� +������ �� %��� �����2� ������� �������� ���� �� �� ���� ���� ��� ������� �+ #"� �� �������� �* � ��� �* � !��� ��� ������� ������� ��� ��"� �� ������ ��� �� ����, �+ ���� � 3� �� �"�����* ������� � ��� ��� ������� ���� &"�� ���� ���� ������� ������� ��� ��� ������" � �� $��" �9)�� $��� �� ��)� ��� ������� � +������ ��� �� �* ��� ��!����� *�"� ������� �� ������� �* %��� ������ ��� ������ �� �* %��� �����2� ��������� ������� �� *"��� ��� �* ������� ������� ��� ���� �� � -��� �� ��1 ��� "� ��%��� ����� ��<��