JOSE MELENDEZ CI: 18655812

Índice

Biografia…………………………………………………………………….. 2

El Problema De La Interpolación……………………………………………. 5

Tabla De Diferencias…………………………………………………………. 5

Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss ……………………… 6

Polinomio Interpolante de Gauss………………………………………………. 7

Interpolación De Hermite ……………………………………………………… 7

Interpolación Usando Splines …………………………………………………. 8

Polinomio Interpolante De Lagrange …………………………………………. 8

Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton…………………….. 10

Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De

Problemas………………………………………………………………………… 11

Pasadtiempos………………………………………………………………………12

Isaac Newton

Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643,

según el calendario gregoriano), en la pequeña aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire.

Su padre, un pequeño terrateniente, acababa de fallecer a comienzos de octubre, tras haber

contraído matrimonio en abril del mismo año con Hannah Ayscough, procedente de una

familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeño Isaac acababa de cumplir tres años,

su madre contrajo de nuevo matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North

Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influiría decisivamente en el

desarrollo del carácter de Newton: Hannah se trasladó a la casa de su nuevo marido y su

hijo quedó en Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.

Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y el reverendo Smith da buena

cuenta el que en una lista de «pecados» de los que se autoinculpó a los diecinueve años, el

número trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con ellos dentro. Cuando Newton

contaba doce años, su madre, otra vez viuda, regresó a Woolsthorpe, trayendo consigo una

sustanciosa herencia que le había legado su segundo marido (y de la que Newton se

beneficiaría a la muerte de ella en 1679), además de tres hermanastros para Isaac, dos niñas

y un niño.

Charles Hermite

(Dieuze, Francia, 1822 - París, 1901) Matemático francés. Fue profesor en la Escuela

Politécnica y en La Sorbona de París y miembro de la Academia de Ciencias de París. En

1873 publicó, en su memoriaSobre la función exponencial, la primera demostración de que

el número e (llamado número de Euler o constante de Napier) es un número trascendente y

no la raíz de una ecuación algebraica o polinómica con coeficientes racionales.

Fue una figura destacada en el desarrollo de la teoría de formas algebraicas, la teoría

aritmética de las formas cuadráticas y la teoría de las funciones abelianas y elípticas.

También aplicó las funciones elípticas para obtener la solución de la ecuación general de

quinto grado. Se deben asimismo a sus investigaciones los llamados polinomios de

Hermite, un tipo de polinomios ortogonales que posteriormente se aplicaron a la mecánica

cuántica, y el método de interpolación de datos conocido comointerpolación de Hermite.

Joseph-Louis de Lagrange

(Turín, 1736 - París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad

natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas.

Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su

interés, y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado

profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus

alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.

En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros

resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso

particular del movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica

mediante el cálculo de variantes. Escribió asimismo numerosos artículos sobre el cálculo

integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos

a fuerzas de atracción mutuas.

A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del

flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar,

donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la

concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se

trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía,

resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones

diferenciales y mecánica analítica.

En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo

durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique,

Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como

«perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base

de sus obras Teoría de las funciones analíticas yResolución de ecuaciones

numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos

terceras partes antes de su muerte.

El Problema De La Interpolación

Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder,

por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que

desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las

conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que

obtengamos será una aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la

expresión analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada como para

calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya conocidos.

Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la

interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos

(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan

polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.

Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se

encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que

estamos haciendo extrapolación.

Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del

error queda fuera de los límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica.

Tabla De Diferencias

Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál

es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con

las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un

conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la

función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.

Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función

desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco

engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma

ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de

los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o

determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La

siguiente tabla es una tabla típica de diferencias (ejemplo):

x

f(x)

D f(x)

D 2f(x)

D 3f(x)

D 4f(x)

0,0 0,000

0,203

0,2 0,203 0,017

0,220 0,024

0,4 0,423 0,041 0,020

0,261 0,044

0,6 0,684 0,085 0,052

0,346 0,096

0,8 1,030 0,181 0,211

0,527 0,307

1,0 1,557 0,488

1,015

1,2 2,572

Polinomio Interpolante de Newton-Gregory Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede

aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que

pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de

Newton-Gregory (en avance y retroceso).

Fórmula de Avance

Fórmula de Retroceso

La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a

la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar

el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que

serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el

caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila

diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los

valores de xi

Polinomio Interpolante de Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-

Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por

ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la

trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán

seleccionados en forma de zig-zag.

En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando

primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula

de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba,

luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las

fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

Interpolación De Hermite

Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que

interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única

por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño

4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la

disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Interpolación Usando Splines Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la

desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha

observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar

discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con

este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son

funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades:

1. s(x) es polinomio cúbico en .

2. existen y son continuas en .

3. s(x) interpola a la función f en los datos .

4. s(x) es continua en el intervalo.

Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos

dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-

(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de

frontera adicionales en s(x).

Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal

Polinomio Interpolante De Lagrange Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: ,

donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de

Lagrange.

Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero

tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se

tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se

propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de

convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los

modelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos:

… ,, Se usan estos datos para

determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de

diferencias divididas que viene dada por

X

f(x)

.......

X0

f(X0)

X1

f(X1)

..................

X2

f(X2)

..................

..................

X3

f(X3)

..................

.

.

. X4

f(Xn)

Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es

necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores

deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton

está sujeto a un error

Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La

Resolución De Problemas. Erísticas que hemos identificado en los polinomios de Hermite. Para datos tabulados en forma

equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de

las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como

las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con

computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de

librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales

ordinarias.

Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que

interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de

Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del

problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador

diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los

polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville.

Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el

caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada

polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una

función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes

encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos

problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas caract

Pasatiempos