~ 1 ~ INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN PRAHOVA COALA CU CLASELE I VIII RARE VOD PLOIETI IINNTTEERRFFEERREENNEE NN

UUNNIIVVEERRSSUULL CCOOLLIIII PUBLICAIE PERIODIC(APARE LA DOU LUNI) A LUCRRILOR PREZENTATE DE ELEVI LA SIMPOZIOANELE NAIONALE DE MATEMATIC I BIOLOGIE PLOIETI NR. 4, SEPTEMBRIE 2011 ~ 2 ~ Coordonatori: Prof. Daniela Badea Prof. Venera Georgescu

Colaboratori:Prof. Luminia Corneci Prof. Ion Badea Tehnoredactare:Prof. Mihaela Gavriloiu Elev Cernamorcenco Rebeca

Copert: Prof. Daniela Badea

Comitet de organizare al simpozioanelor : Director prof. Ion DumitracheProf. Daniela Badea Prof. Venera Georgescu Prof. Mihaela Gavriloiu

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiInterferene n universul colii (online) = ISSN 2069 8690ISSN L = 2069 8690

Responsabilitatea privind coninutul articolelor revine n totalitate autorilor.Toate drepturile asupra przentei ediii aparincolii cu cls. I-VIII Rare VodPloieti ~ 3 ~ nvat e omul care se nva necontenit pe dnsul i nva necontenit pe alii. Nicolae Iorga C CU UV V N NT T N NA AI IN NT TE E nacestnumrvprezentmaltelucrriprezentatedeelevidin nvmntulpreuniversitarlaprimaediieasimpozioanelor interjudeenepentrueleviMatematicatiinilimbuniversal iTerracasamealaseciuneareferatecrortemederivdintema simpozionului.Deasemeneavprezentmlucrrideartvizual premiate la seciuneaconcurs ii instantanee cu participanii la aceste activiti. Revistadoretesvalorificecreativitatea,imaginaiaitalentul elevilorpromovndactivitateadecercetareaacestoraiaprofesorilor care-indrum,prinpublicareapeparcursulanuluiatuturor referatelorprezentatencadrulsimpozioanelor,rezultateleobinutela seciunile concurs. Dorimdeasemeneaofructuoasindelungatcolaborarentre elevii,cadreledidacticeparticipanteicoliledelacareprovin.V ateptm la ediia a III-a a acestor simpozioane care va avea loc n 2012. ~ 5 ~ O OR RG GA AN NI IZ ZA AT TO OR R: :coala cu Clasele I-VIII Rare-VodPloieti Director:profesor I Io on n D Du um mi it tr ra ac ch he e Profesor matematic D Da an ni ie el la a B Ba ad de ea a Profesor informatic M Mi ih ha ae el la a G Ga av vr ri il lo oi iu u C CO OO OR RD DO ON NA AT TO OR R: :Profesor matematic D Da an ni ie el la a B Ba ad de ea a C Co ol la ab bo or ra at to or ri i: : prof. I Io on n B Ba ad de ea aColegiul Spiru Haret Ploietiprof. L Lu um mi in ni i a a C Co or rn ne ec ci i SAM Ing. Gh. Pnculescu Vlenii de Munte Prof. I Io on n B Ba an nc ci iu u coala Radu Stanian Ploieti I IN NS ST TI IT TU U I II I I IM MP PL LI IC CA AT TE E: : Inspectoratul colar Judeean Prahova Insp. c.General:prof. Gheorghe Borovin Insp. matematic:prof. Felicia Georgescu Insp. matematic:prof. Sorin Bucur M MO OT TT TO O. .. .. . Existimatematicipure,imatematiciaplicate.nmatematicilepure, cercettorulface"c cu um mt tr re eb bu ui ie e, ,c ce ep po oa at te e";nmatematicileaplicate,face"c ce e t tr re eb bu ui ie e, , c cu um m p po oa at te e". .. .. .. . G Gr ri ig go or re e M Mo oi is si il l A AR RG GU UM ME EN NT T: :nsocietateacontemporansuccesularelabazoameniicaretius comunice,sgndeasci s raionezeeficient, sdezvolteproblemeledevia,soperezecudatemultiple,scolaborezenechipeisdemonstrezeo puternic motivare pentru ceea ce fac. Pentruformareacompetenelornecesarestrbateriidrumuluisprecheia succesuluitrebuiescreemelevilornotriposibilitateadea-imanifestainiiativantoatedomeniilevieiicolareipersonale,slepermitemalegereametodeipotrivite, dintr-o diversitate de metode cunoscute, s-i ndrumm pentru a putea s acioneze la cele mai ridicate standarde. DesfurmanulacestaediiaaII-aasimpozionlui,sperndsdevino tradiie, din dorina de a spori motivaia elevilor pentru nvarea matematicii, de a le schimba acestora optica fa de ,,viitorulincert, de a apropia teoria de practic i de cotidian. Departedeafiotiinaridiformal,matematicaestestrnslegatde muzic,poezie,pictur,culturngeneral,reprezentndfundamentulatotceea censeamnviaadinjurulnostru.Sartmcmatematicanunseamn recitareade teoremesauscriereacu mna tremurndpetableakilometride formule ci un prilej de creativitate, imaginaie i descoperire. ~ 6 ~ Aplicaii ale matematicii n chimie i biologie A Au ut to or r: : B Be el lc ch hi i D Di ia an na a M Mi ih ha ae el la a, , c cl la as sa a a a V VI II I- -a a c co oa al la a c c. .c cu u c cl ls s I I- -V VI II II I V Vr r n ne e t ti i V V l le en ni i, , A Ar rg ge e C Co oo or rd do on na at to or r: : p pr ro of f. . S St ta an nc cu u M Ma ar ri ia a Matematica are foarte multe aplicaii n diferite tiine, dar i n viaa cotidian. Aplicaiile n chimie i biologie vizeaz utilizarea cunotinelor de matematic,deexemplunoiunicaproporia,proprietileproporiei, iruriderapoarte,reguladetreisimpl,procenteetc.,pentrunelegerea noiunilor de chimie i a legilor fundamentale ale chimiei. Referatulprezintoaplicaienchimieibiologie,pHidouaplicaiidoarnchimien probleme de amestecuri i aliaje.III ...SSSccc aaalll aaa dddeeepppHHH iiiiii nnndddiii ccc aaattt ooo rrr iii iiiaaaccc iii dddooo --- bbbaaa zzziii ccc iii Unadinnoiunilechimicecumareimportanbiologici industrialestepH,definitcafiindegalcuminuslogaritmulzecimaldin concentraiaionilordehidroniu.7ncondiiinormaledetemperaturi presiune. O valoare mic a pH-ului ne indic soluii de acizi tari, iar o valoare mareapH-uluineindicsoluiidebazetari.Osoluieesteneutrdac concentraia ionilor de hidroniu este egal cu concentraia ionilor hidroxil, iar pH-ul are valoarea 7, n condiii normale de temperatur i presiune. III mmmpppooo rrr ttt aaannn aaa bbbiii ooo lll ooo ggg iii ccc aaa pppHHH Toate procesele vitale ale organismelor vii se desfoar la valori exacte ale pH-ului. SngeleumanarepH-ulcuprinsntre7,387,52,avndvaloriuorbazice.Numainaceste condiii celulele sngelui i pot ndeplini funciile lor. Dac valoarea pH-ului sngelui nu se ncadreaz n acest interval exist riscul decesului: prin com la pH 7; prin tetanizare (contracii puternice involuntare ale muchilor) la pH7,8.III III ...AAAmmmeee sss ttt eee ccc uuurrr iii lll eee Amestecurilesuntrezultatealecuriozitiioamenilor.Punereanansambluaunorproduse, obiecte, materiale, substane s-a fcut din cele mai ndeprtate timpuri i omul a remarcat faptul c amesteculrezultatareproprieti(nsensmatematic)diferitedecelealeelementelorintrodusen ansamblu. ~ 7 ~ Amestecurilesefacngeneralcuscopuldeacorijaanumiteproprieti(concentraie,titlu, densitate, temperatur, pre de cost etc.) ale unor materii. Seconsideramestecdoarasociereademaimultecorpuri,obiecte,materiale,produsefrca ntre ele s existe o reacie chimic. Realizarea de amestecuri genereaz dou tipuri de probleme: Cunoscndcantitileivalorileuneianumiteproprietipentru fiecareelementcaretrebuiesintrenamestecsedetermin valoarea medie (media ponderat ) a proprietii amestecului. Cunoscnd valorile unei anumite proprieti a elementelor ce vor intra n amestec i valoarea proprietii amestecului de realizat se determin cantitile care vor intra n amestec. Exemple: Amestecm 4 kg de cafea cu 100 000 lei kilogramul cu 6 kg de cafea cu 120 000 lei kg. Care este preul unui kg din amestec? Rezolvare Preul unitar este p= 000 1126 4120000 6 100000 4 lei ntr-un laborator exist soluii de acid sulfuric cu concentraia de 90% i cu concentraia de 70%. Cecantitidinceledousoluiiamestecmpentruaobine500gdesoluiedeacidsulfuriccu concentraia 72%? Rezolvare x=cantitatea de soluie de acid sulfuric cu concentraia 90% 500 x= cantitatea de soluie de acid sulfuric cu concentraia 70% 72%=500) 500 ( % 70 % 90 x x sau 500*72%=90%x+70%*(500-x) 500*72=90*x+70*(500-x) :10 50*72=9x+7*(500-x) 3600=9x+3500-7x 2x=100 x=50 g soluie 90% 450 g soluie 70% III III III ...AAAlll iii aaajjj eee lll eee Aliajele sunt amestecuri de mai multe metale topite mpreun. ~ 8 ~ Atunci cnd ntr-un aliaj intr un metal preios, de exemplu aur sau argint, aceste aliaje se numesc metale fine, iar aliajul are un titlu definit prin raportul: T=Mm, unde m=masa metalului preios, iar M=masa total a aliajului. Exemplu: Se d un lingou de 900 g (argint + cupru) cu titlul de 0,805. Ce cantitate de metal fin cu titlul 0,980 (argint+ cupru) trebuie adugat pentru a se obine un aliaj cu titlul de 0,9? Rezolvare x= cantitatea de aliaj cu titlul 0,980 xx 90098 , 0 * 805 , 0 9009 . 00,9*(900+x)=900*0,805+x*0,98 x=1 068,75 g III III III ...AAAmmmeee sss ttt eee ccc uuurrr iii lll eeeccc aaarrr eeennneee nnnsss ooo eee sss cccvvviii aaa aaaNe-am nscut pe o planet n care dou treimi din suprafaa ei este acoperit de mare, adic o soluie (amestec) de 28%sare n ap. Extragemprinrespiraieoxigenuldintr-unamestecdeazot,oxigenibioxiddecarbon, amestec care alctuiete atmosfera terestr. Apa iaerul suntmaterii vitaleexistenei noastre. Sunt ns i alte multe amestecuricareau jalonat i jaloneaz viaa omului. Din amestecul cuprului cu staniul (90% cupru i 10% staniu) omul a creat bronzul, un aliaj de turnat n forme. Dinamesteculargileicuapa,s-aobinutlutul,materialutilizatlarealizareavaselori recipientului de odinioar. Dintr-un amestec de nisip, pietri, ciment i ap a rezultat betonul.Petrolul este un amestec de hidrocarburi. Buturilercoritoaresuntamestecurideap,zahr.Coloranialimentari, arome, uneori pulpe de fructe etc. esturilemodernesuntamestecuridefibrenaturaledein,ln,bumbaccu fibre de poliamid, poliester, celofibr etc. Amestecuriledelegumesaufructepecarelegsimcongelatenoricemaremagazin,ne sunt de mare folos. Matematica nu este o disciplin abstract, doar numere, calcule i formule. Ea este un instrumentutil omului,o tiin i o limb universal. BBBiii bbblll iii ooo ggg rrr aaa fff iii eee ::: Caleidoscop de fizic Editura Albatros, Bucureti, 1988; Dncil Ioan Matematic aplicat, Editura Sigma, Bucureti, 2000 ~ 9 ~ El ement e de combi nat ori c E E l l e ev va a: :A A n nd dr r i i o oa ai i e e I I o oa an na a, , c cl l a as sa a a a X X- - a a C C. .N N . . F F e er r d di i n na an nd d I I B Ba ac c u u P Pr r o of f . .c co oo or r d do on na at t o or r : :L L i i l l i i a an na a U U r r s sa ac ch he e PPPeeerrr mmmuuu ttt rrr iiiFie A o mul|ime cu n elemente, n - numr natural nenul.Mulimile ordonate formate cu toate elementele lui A se numesc permutri de n elemente. Numrul lor se numeste permutri de n si se noteaz Pn. Pn = n! (n factorial) = 123n Prin conven|ie 0! = 1 1)Aranjamente Fie A o mul|ime cu n elemente, n - numr natural nenul.Fie k astfel nct 0 _ k _ n Submulimileordonate formate cu cte k elemente din cele n elemente a lui A se numesc aranjamente de n elemente luate cte k. Numrul lor se numeste aranjamente de n elemente luate cte k si se noteaz Ank Ank=n!( n - k) ! Ank= n( n -1) ( n - 2) ( n -k+1) OOObbb ssseeerrr vvv aaa iii eee Pentru ca aranjamentele s existe punem condi|ii de existen| - n, k N (mul|imea numerelor naturale) - 0 _ k _ n Prin conven|ie A00 = 1 CCCooo mmm bbb iii nnn rrr iiiFie A o mul|ime cu n elemente, n - numr natural nenul.Fie k astfel nct 0 _ k _ n Submulimile formate cu cte k elemente din cele n elemente a lui A se numesc combinri de n elemente luate cte k. Numrul lor se numeste combinri de n elemente luate cte k si se noteaz Cnk Cnk=AnkPk Cnk=n!n! ( n - k) ! Cnk= n( n -1) ( n -2) ( n - k + 1)123 k OOObbb ssseeerrr vvv aaa iii eee Pentru ca, combinrile s existe punem condi|ii de existen| ~ 10 ~ - n, k N (mul|imea numerelor naturale) - 0 _ k _ n Prin conven|ie C00 = 1 Proprieti a)Formula combinrilor complementareCnk= Cnn-k b)Formula de descompunere Cnk= Cn-1k+ Cn-1k-1 c)Suma combinrilorCn0 + Cn1+ Cn2+ + Cnn= 2n (Numrul tuturor submul|imilor unei mul|imi cu n elemente) d)Triunghiul lui Pascal 1 1 2 1 1 3 31 14 641 15 10 10 5 10 |||||| C50 C51C52C53C54C55 2)Binomul lui Newton a)Formula de dezvoltare a binomului la putere ( o + b)n= Cn0on+ Cn0on-1b + Cn0on-1b2++ Cnnbn OOObbb ssseeerrr vvv aaa iii iii-Dezvoltarea are n+1 termeni -Puterile lui a scad si puterile lui b cresc -Suma puterilor lui a si b n fiecare termen este n -Combinrile se numesc coeficien|i binomiali si sunt, n general, diferi|i de coeficien|ii dezvoltrii b)Formula termenului general Ik+1= Cnkon-kbk AAAppp lll iii cccaaa iii iiirrr eeezzz ooo lll vvv aaa ttt eee::: 1.Calcula|i: P5= 5 ! = 1 2 3 4 5 = 1 2 0A53= 5 4 3 = 6 0C53=543123=606= 10 Cn+22=( n + 2) ( n + 1)12=n2 + 3n + 22 ~ 11 ~ C10098= C1002=1009912= 4950P100P98=100 !98 !=98 ! 9910098 != 99100 = 9900Cn+2n= Cn+2n+2-n= Cn+22=( n + 2) ( n + 1)2=n2+ 3n + 22 A80= 1 2.Cte submul|imi cucu 4 elemente are o mul|ime cu 7 elemente? C74=76541234 = 35 3.Cte numere de 4 cifre se pot forma cu2,4,6,8,9? obcJ

f : A B A = {a,b,c,d} B = {2,4,6,8,9} f : {a,b,c,d} {2,4,6,8,9} corJBcudA= 54= 625 4.Cte numere de 4 cifre distincte se pot forma cu 2,4,6,8,9? A5 4= 5432 = 120 5.Determina|i numrul termenilor ira|ionali ai dezvoltrii ( V3 + 1)9. a = V3 = 312 b = 1n = 9 Ik+1= Cnkon-kbk Ik+1= C9k3 12 ( 9-k)1k C9ke N 1keN3 12 ( 9-k) e Q39-k2 e Q { ;)`e9 ,.... 2 , 1 , 02 9kk { ; 9 , 7 , 5 , 3 , 1 e kDezvoltarea are 5 termeni ra|ionali si 10-5 = 5 termeni ira|ionali BBBiii bbb lll iii ooo ggg rrr aaa fff iii eee:::Marius Burtea, Georgeta Burtea - Manual de matematic, clasa a X-a, Editura Carminis, 2005 ~ 12 ~ Proprietile triunghiului aplicate n probleme de geometrie A Au ut to or ri i: : R Re eb be ec ca a C Ce er rn na am mo or rc ce en nc co o & &M M d d l li in na a N Ni is st to or r c co oa al la a : : R Ra ar re e V Vo od d P Pl lo oi ie e t ti i P Pr ro of f. . c co oo or rd do on na at to or r: : D Da an ni ie el la a B Ba ad de ea a

Motto: Geometria este cea mai bun i mai simpl dintre toate logicile, cea mai potrivit s dea inflexibilitate judecii i raiunii. Denis Diderot Multenumeimportante dinistorialumii audefinit ntr-unmod sau altulmatematica. Cnd spunem matematic, ne gndim la tiina luat cu toate ramurile sale. i totui, cea mai ndrgit dintre ramuri a fost geometria. Poei, matematicieni, filosofi,istorici i oameni de rnd ncercat-au de-alungultimpuluisoferematematiciiodefiniieexact.Aliidoarauridicat-onslava.Fiind mamatuturortiinelormatematicaafost,esteivarmneceamaidepretiindinctea cunoscut pn acummintea uman. Matematicafaceilogicul saibalogic, descoper nelesul din nenlesi,maiales,oferouriaasatisfactiemoral.Estehranafrdecareminteanoastrs-ar stinge ncet, dar sigur.inoi,chiardacnusuntemnitefilozoficudiplomsaumatematicieninelepiam ncercatscultivmpasiuneanoastrpentruartaexactitii.nacestreferatvomvorbidesigur, dup cum spune i titlul, despre triunghiul n geometrie.Mai cu chiu, mai cu vai, reuit-am ntr-un sfrit s dezlegm o parte din misterul geometriei, i anume: Prorpietile triunghiului. Apoi, ca s vedei ct de ncntate am fost am aplicat aceste proprieti n probleme. Dar nu orice probleme, ci unelemultmaigreledectceledatelaclasa.Niteproblemeruptedinconcret,cumult personalitate i, v asigur, sunt probleme pe care, rezolvndu-le, v vei nclzi creierul.Saruncmunochipesteproblemelealesedenoi,consultndu-nebinenelescudoamna dirigint, care ne-a explicat anumite lucruri pe care nu le tiam.Rmne de vzut! PPPrrr ooobbblll eee mmmeee cccuuu pppeeerrr sss ooonnnaaalll iii ttt aaattt eee 1.ntriunghiulechilateralABCseiaupunctele:MBC, Q BA, P AC, astfel nct QM AC i MP AB. a)S se arate c AM QP = {E|EA EM}; b)QM+MP= constant. RRReeezzzooolllvvvaaarrreee:::

?????? ???????????? ?????? ???????????? ???????????????????????????????????? ?????? ?????? = ????????? ???????????? ???????????? ??????

Dar din QM AC QMB BAC60BQM BAC60

~ 13 ~

MBQ echilateral QB QMDar i AQ PM AQ + QB = QM+ PM= latura triunghiului echilateral 2.Fie ABCD un patrulater convex i E un punct interior segmentului AB astfel nct EABC i EBAD . Artai c DCE este echilateral dac i numai dac DAB CBA= 60 RRReeezzzooolll vvvaaarrr eee:::DCE echilateral DAB CBA

B A(1)E1 C2D2 E3

LLL EAD CBE

Dar: E1+E2+ E3= 180E2= 60

E1+ E3= 120Cum: E1 C2 C2+ E3= 120

B = 60Din (1) B A B B = 60 EAD CBE ED CE1

E1+E2+E3= 180C2+E3= 120E1 C2 E1+E3= 120 E2= 60Care mpreun cu relatia 1duce la ECD echilateral. 3.O condiie necesar i suficient ca un triunghi s fie isoscel este ca bisectoarea exterioar a unuia dintre unghiurile sale s fie paralel cu latura opus. RRReeezzzooolll vvvaaarrr eee:::Dac Ax-bisectoarea exterioar a A i Ax BC,atunciABC-isoscel.

Ax BCAB secant A1 B(alt. int. )

Ax BCAC secant A2 Ccoresp. Ax- bisectoarea exterioar aA A1 A2

B C ABC isoscel." "DacAxbisectoareaexterioaraA,ABC-isoscel atunci Ax BC.

Fie Ay bisectoarea interioar a ACum Ax bisectoarea exterioar aAi Aext+Aint .= 180 Ax Ay1

ABC isoscelAy bisectoare Ay nalime Ay BC (2)Din (1)si (2) Ax BC ~ 14 ~ 4.ntriunghiulABCnotmcuDiEmijloacele laturilor AB resprectiv AC. Fie [Cx o semidreapt astfel nct [Cx DE={F}.SsedemonstrezecAFCestedreptdaci numai dac [Cx este bisectoarea ACB.

Fie Cx-bisectoarea C, D,E mijl.AB iAC, Cx DE={F} AFC= 90 . C1 iC2(1);DE-liniemij.DE BC C1F1FEC isoscel EF EC = AC2 i cum FE mediana n AFC, avem c AFC dreptunghic AFC = 90. Dac AFC = 90; D, E mijl. AB i AC Cx bisectoarea C.

AFC = 90 AFC dreptunghic,FE median FE=AC2=EC FEC isoscel F1 C2(1) De linie mijlocie ED BC F1C1(2);Din(1)i(2) C1 C2Cx bisectoare. OOObbbsss eee rrr vvvaaa iii eee ::: Deomnstraiile rmn valabile i pentru Cx- bisectoare exterioar. 5.FietriunghiulABC,ascuitunghic.Bisectoarea unghiuluiACBntalnetenlimeadinBnMi mediatoarealaturiiBCnN(MN).DacPeste punctuldeinterseciealnlimiicumediatoarea, atunci: a)Determinai natura triunghiului MNP b)Dac BC=1 cm i ACB =30, determinai perimetrul patrulaterlui EFCP i natura lui . (E i F sunt picioarele nlimii, respectiv mediatoarei) a)n CFN: FNC=90-FCN1 CEM: EMN = 90 ECM2 Dar: FCN ECM Deci: FNC EMN, i cum: FNC PNM(op. La vrf) , avem: PNMEMN; Aadar: PMN este isoscel. b)SededucecPBCesteechilateral.EFesteliniemijlocienPBC,deciEF PC;EFCP este deci un trapez isoscel n care baza mic ste congurent cu laturile neparalele i egala cu jumtatea bazei mari. PEFCP= 5FC;PEFCP=52 ~ 15 ~ Apl i cai il a pat rul at ere i nscri pt i bi l e A A u ut t o or r : :A A n nd dr r e ee ea a C Co om ma an nc cl l a as sa a a a V V I I I I - -a a c co oa al l a a : : R Ra ar r e eV V o od d P Pl l o oi i e e t t i i P Pr r o of f e es so or r n nd dr r u um m t t o or r : :D D a an ni i e el l a a B B a ad de ea a Motto:,,Geometria este cea mai buni mai simpl dintre toate logicile, cea mai potrivita s dea inflexibilitate judecaii i raiunii Matematicaapatrunstotmaimultnzilelenoastredeaceeaeaaajunsunadintrecelemai cautatematerii pentru via|a de zi cu zi!!! n aceast prezentare va voi arta cums aplica|i patrulaterele inscriptibile in probleme. PPP rrr ooobbblll eeemmmaaa111 :::n ABC Acu , )060 = ZA m ,fiepunctul Mmijlocul laturii BC si B`,C`picioarelenl|imilor din B, respectiv C. a) S se arate c` `C MB Aeste echilateral; b) Dac AC = b, iar B este variabil, s se determine minimul lungimii laturii` `C MB A . SSSooolll uuuiii aaa 111:::a) MB` median nBC B` A dreptunghic n B`2`BCMB = . Analog nBC C` Aavem mediana 2`BCM C = , de unde C`M = B`M ` `C MB A isoscel. n C MB` A isoscel, ) , ) , ) , ) C m M m C MB m C m Z = Z Z = Z 2 180 `01 n ` MBC A isoscel avem, ) , ) B m M m Z = Z 2 18002 Se ob|ine astfel, ) , ) , ) , )02 10360 180 = Z + Z = Z M m M m M m,deci` `C MB A este echilateral. b)Deoarece 2`BCMB = ,lungimealaturii(MB`)esteminimatuncicndlungimealaturiiBCeste minim.Cum AC = b si, )060 = ZA mdeci fixe, atunci si punctul C` va fi fixat deoarece 2`bAC = , ~ 16 ~ iarpunctulestemobilpedreaptaAC`.LungimealuiBCesteminimcndseconfundcu perpendiculara CC`. Minimul cerut 432` b CC= . SSSooolll uuu iii aaa222 :::a)Patrulaterul BCB`C` este inscriptibil deoarece, ) , )090 ` ` = Z = Z B CC C BB m ,cercul circumscris avnd diametrul BC si MB` = MC` =2BC= R.Conform teoremei referitoare la msura unghiului cu vrful n exteriorul cercului, , ), ) , ) , ), ), )0 0060 2 180` `2` ` 1802` `= Z == == ZA mC B mC B m C B m BC mA m Atunci, )060 ` ` = Z MC B msi` `C MB A este echilateral. PPP rrr ooobbblll eeemmmaaa222 ::: ninteriorul unui unghi de600seconsiderunpunctM,alecruidistan|elalaturileunghiului sunt respectiv 2 cm si 11 cm. S se afle distan|a de la punctul M la vrful unghiului SSSooolll uuu iii aaa111 :::Fie P si Q proiec|iile punctului M pe laturile Oxrespectiv Oy ale unghiului xOy de 600 si{ ; Ox MQ A= .nMPA Adreptunghicavem, )030 = ZA m ,deci AM = 2MP = 22 cm. Rezult cAQ = 24 cm DinAOQ A dreptunghic n Q avem OQ = AQ tg300 = 3 8 cm iar din teorema lui Pitagora aplicat nOMQ A rezult OM = 14 cm. SSSooolll uuu iii aaa222 :::Fie P si Q proiec|iile punctului M pe laturile Ox respectiv Oy ale ~ 17 ~ unghiului xOy de 600 .Patrulaterul MQOP este inscriptibil, )0120 = ZM m . Cercul circumscris are diametrul OM. Fie D proiec|ia punctului Q pedreapta MP. Aplicm teorema lui Pitagora generalizat nPMQ Asi ob|inemMD PM MP QM QP + + = 22 2 2,undeMD=QM cos600= 1cm De unde3 7 = QP cm. nPOQ A conform rela|iei (1) 760 sin 20 = = QPR cm. PPP rrr ooobbblll eeemmmaaa333 ::: Fiind datcercul C si tangenta in A la cerc, se consider punctul C diametral opus lui A si un punct M pe cerc. Ducem din M perpendiculara MN pe tangenta AT.Fie Pintersec|ia dintre CNsiC ,iar M punctul diametral opus lui M. Dac :MPAT={B}, s se demonstreye ca punctele: C,M,B sunt coliniare. SSSooolll uuu iii eee:::m(