Interferenta Si Coerenta Luminii

8/9/2019 Interferenta Si Coerenta Luminii

1/14

Capitolul 3

Interferenta si coerenta luminii

Interferenta este fenomenul de suprapunere a doua sau mai multe unden urma careia apar maxime si minime de intensitate. Regiunea din spatiun care are loc suprapunerea undelor se numeste cmp de interferenta.

Pentru a se forma o distributie de intensitate caracterizata prin maximesi minime, undele care interfera trebuie sa e coerente. Coerenta implica:

frecventa egala;

diferenta de faza constanta pentru undele care interfera.

Sursele optice conventionale nu sunt punctiforme si emit lumina n moddiscontinuu, sub forma de pachete de unde. Ca urmare, pentru a observainterferenta luminii trebuie ndeplinite doua conditii:

1. coerenta temporala - se refera la realizarea unei diferente de faza con-stanta pentru undele care interfera ntr-un punct dat al cmpului, laoricare doua momente de timp diferite.

2. coerenta spatiala - se refera la realizarea unei corelatii ntre fazele ndoua puncte diferite ale cmpului de interferenta, la orice moment de

timp.

Sa consideram un experiment de tip Young,n care se construiesc douasurse de lumina coerenta cu ajutorul unui ecran prevazut cu doua deschiderifoarte nguste S1, S2 (fante) asezate n fata unei surse conventionale.

23


2/14

24 CAPITOLUL 3. INTERFERENTA SI COERENTA LUMINII

Cmpul electric total n punctul P, la moment de timp t, este dat de

suprapunerea cmpurilor electrice generate de ecare sursa.~EP(t) = ~E1(t) + ~E2(t): (3.1)

Intensitatea undei este media n timp a vectorului Poynting, care, la rndulsau, este proportional cu patratul intensitatii cmpului electric.

IP

~E1(t) + ~E2(t)

2(3.2)

D~E21

E+D~E22

E+ 2

D~E1 ~E2

E(3.3)

I1 + I2 + 2D ~E1 ~E2E (3.4)Termenul

D~E1 ~E2

Edescrie gradul de coerenta dintrcele doua unde. n

mod evident ca, obtinerea unor maxime si minime de intensitate implica cunecesitate prezenta nenula a acestui termen.

D~E1 ~E2

E= 0 !surse necoerente;

D~E1 ~E2

E6= 0 !surse coerente.

Sa consideram, spre exemplu, doua unde plane, monocromatice defazateprin ', descrise de ecuatiile:

~E1 = ~E01 cos(!t kr1) (3.5)~E2 = ~E02 cos(!t kr2 + ') (3.6)

Termenul de coerenta este:D~E1 ~E2

E=

D~E01 ~E02 cos(!t kr1)cos(!t kr2 + ')

E=

1

T~E01 ~E02 Z

T

0

cos(!t kr1) cos(!t kr2 + ')dt

=1

2T~E01 ~E02

ZT0

cos(k(r2 r1) ') +

1

2cos(' + 2!t k(r1 + r2))

dt

=1

T

pI1p

I2

ZT0

cos(k(r2 r1) ') dt


3/14

25

Daca diferenta de faza este o functie aleatoare de timp: ' = '(t) )RT0 cos(k(r2 r1) ') = 0 )

D~E1 ~E2

E= 0

Daca diferenta de faza este o functie constanta n timp )D~E1 ~E2

E6=

0: Sa presupunem pentru simplitate ca ' = const: = 0D~E1 ~E2

E=p

I1p

I2 cosk(r2 r1) (3.7)

Se disting doua situatii extreme:

a. kr = 2m;m 2 Z) coskr = 1 se obtin maxime de intensitate

kr = 2m (3.8)2

r = 2m) r = 2m

2(3.9)

Ip;max =p

I1 +p

I22

(3.10)

b. kr = (2m + 1); m 2 Z) coskr = 1 se obtin maxime de intensi-tate

kr = (2m + 1) (3.11)2

r = (2m + 1) ) r = (2m + 1)

2 (3.12)

Ip;max =p

I1 p

I22

(3.13)

Locul geometric al punctelor de intensitate egala se numeste franja de in-terferenta. Franjele pot luminoase (maxime de intensitate) sau ntunecoase(minime de intensitate).

Dispozitivul lui Young Thomas Young a realizat n 1801, un experimentprin care demonstra caracterul ondulatoriu al luminii.

n fata unei surse de lumina era asezat un ecran opac, prevazut cu douafante nguste, dreptunghiulare.Schema si rezultatul experimentului sunt aratate n gura Fig.??.Ca rezultat al suprapunerii undelor sferice formate la nivelul deschiderilor

S1; S2 pe un ecran opac asezat la distanta mare de planul fantelor, vor aparea


4/14



5/14

27

benzi intensitate luminoase si ntunecoase. O analiza geometrica a drumului

parcurs de razele de lumina care interfera (Fig.??

) conduce la urmatoarelerezultate:

diferenta de drum pentru razele care ajung n punctul P

= r2 r1 (3.14)

distantele parcurse de raze (folosind teorema cosinusului):

r21 = r2 +

d

2

2 rd cos

2

(3.15)

r22 = r2 +

d2

2 rd cos

2

+

(3.16)

adica:

r21 = r2 rd sin (3.17)

r22 = r2 + rd sin (3.18)

Ca urmare:r22 r

21 = (r2 r1)(r2 + r1) = 2rd sin (3.19)

n cazul n care ecranul este situat la distanta foarte mare de planulfantelor, se poate folosi aproximatia:

r2 + r1 2r (3.20)

iar diferenta de drum devine:

= d sin (3.21)

Se disting doua situatii:

1. = d sin = m;m = 0;1;2;3;::: se obtine interferenta construc-tiva sau MAXIME de intensitate (franje luminoase).

2. = d sin = (2m + 1) 2;m = 0;1;2;3;::: se obtine interferenta

distructiva sau MINIME de intensitate (franje ntunecoase).


6/14


Numarul ntreg m deneste ordinul de interferenta. Cazul m = 0 de-

neste franja centrala, luminoasa, plasata n centrul ecranului, n locul ncare diferenta de drum ntre cele doua raze este nula.Pozitia franjelor de interferenta se gaseste din conditia:

= d sin ' d tan = dy

L(3.22)

) y =L

d (3.23)

Deci:

pozitia franjelor luminoase de ordin m este:

ymaxm = mL

d (3.24)

pozitia franjelor ntunecoase de ordin m este:

yminm = (2m + 1)L

d

2(3.25)

interfranja, adica distanta dintre doua franje de interferenta de acelasiordin, consecutive, este:

ymaxm+1 ymaxm = y

minm+1 y

minm = Ld

(3.26)


7/14

Capitolul 4

Difractia

Fenomenul de difractie consta n mprastierea undelor prin medii ce continneomogenitati sau obstacole de dimensiuni comparabile cu lungimea de unda.

n cazul undelor optice, difractia se manifesta prin patrunderea luminiin zona de umbra geometrica a unui obstacol.n Fig. este ilustrata o gurade difractie ce apare daca ntre sursa si ecranul de observatie se interpuneun mic obstacol. Figura de difractie apare n zona de umbra geometrica aobstacolului, n vecinatatea marginii acestuia si consta ntr-o succesiune defranje luminoase si ntunecoase.

Explicatiile fenomenului pot date cu ajutorul Principiului lui Huygens.Orice punct al frontului de unda devine o sursa de oscilatii de la care pleacanoi unde elementare. nfasuratoarea tuturor fronturilor de unda la un mo-ment dat determina frontul de unda la momentul ulterior.

Exista doua tipuri de difractie:

1. difractie Fresnel (n cazul undelor sferice, adica pentru cazul n caredistanta dintre sursa si observator este nita);

2. difractie Fraunhofer (n cazul undelor plane, adica pentru cazul n caredistanta dintre sursa si observator este innita)

29


8/14

30 CAPITOLUL 4. DIFRACTIA

Figura 4.1: Ilustrarea principiului Huygens pentru o unda plana (a) si pentru ounda sferica (b)

4.1 Difractia pe o fanta dreptunghiulara

Fie o fanta dreptunghiulara cu deschiderea a.Conform Principiului Huy-gens,ecare punct al frontului de unda devine sursa de oscilatie, de la carepleaca noi unde elementare, de aceea, putem mparti lungimea fantei n N

"antene" elementare, astfel ca, notnd cu d distanta dintr edoua antene suc-cesive, se poate scrie:a = (N 1)d (4.1)

Deoarece punctul de observatie este foarte ndepartat, undele care ajung la elpot considerate n prima aproximatie unde plane. Ca urmare, acest puncteste supus la N oscilatii paralele, cu aceeasi frecventa si defazate din cauzadrumului parcurs de ecare unda n parte:

r1

r1 + d sin

r1 + 2d sin :::

r1 + (N 1)d sin :

Cmpul electric al undei rezultante n punctul P, va :


9/14

4.1. DIFRACTIA PE O FANTA DREPTUNGHIULARA 31

EP = E1 + E2 + E3 + ::: + En (4.2)

= E0ei!teikr1 + eik(r1+d sin) + ::: + eik(r1+(N1)d sin

(4.3)

= E0ei(!tkr1)

1 + eikd sin + ::: + eikd sin

: (4.4)

n ultima paranteza s-a obtinut o progresie geometrica cu ratia:

q= eikd sin ; (4.5)

de aceea suma termenilor este:

S =1 qN

1 q=

1 eiNkd sin

1 eikd sin (4.6)

=eiN=2kd sin

eik=2d sin

eiN=2kd sin eiN=2kd sin

(eik=2d sin eik=2d sin )

(4.7)

= ei(N1)=2kd sin sin(N=2kd sin )

sin(1=2kd sin ): (4.8)

Revenind n expresia cmpului electric rezultant, se gaseste ca amplitudineaeste modulata:

EP = E0sin(N=2kd sin )

sin(1=2kd sin )ei(!tkr1(N1)=2kd sin ) (4.9)

= E0sin()

sin(=N)ei(!tkrm) (4.10)


10/14


unde:

rm = r1 + (N 1)=2kd sin ; (4.11)

=Nkd

2sin =

a

sin : (4.12)

Deoarece:

a = (N 1)d sin ' Nd sin ) d sin 'a

N; (4.13)

se poate face aproximarea:

N!1) =N! 0 ) sin=N' =N: (4.14)

Intensitatea undei n punctul P este proportionala cu patratul amplitudinii,deci:

IP jEpj2 = N2E20

sin

2: (4.15)

Ca urmare:

EP ' E0sin()

=Nei(N1)=2kd sin (4.16)

= E0sin

Nd

sin

d

sin ei(N1)=2kd sin (4.17)

= E0sin

a

aN

ei(N1)=2kd sin (4.18)

= NE0sin

a

a

ei(N1)=2kd sin : (4.19)

Intensitatea undei n punctul P este proportionala cu patratul amplitudinii,deci:

IP jEpj2 = N2E20

sin

2: (4.20)

Pentru a aa pozitia maximelor si minimelor de interferenta, cautam ex-

tremele functiei IP:

dIpd

= 0 ) 2N2E20sin

sin cos

2= 0 (4.21)

) sin= 0 sau tg = : (4.22)


11/14


Se observa ca pentru ! 0 :

lim!0

sin

= 1 (4.23)

se obtine un maxim principal, central. Acesta este urmat de maxime se-cundare, care se obtin prin rezolvarea graca a ecuatiei transcendente. Dinintersectia gracelor y= si y=tg se obtin solutii n vecinatatea multiplilorimpari de =2

= (2m + 1)

2;m = 1;2;::: (4.24)

ka sin = (2m + 1)

2(4.25)

a sin = (2m + 1) 2: (4.26)

Minimele de difractie se obtin din conditia:

= m;m = 1;2;::: (4.27)

kNd sin = m (4.28)

a sin = m: (4.29)

Raportul intensitatilor maximelor secundare fata de maximul principalscade pe masura cresterii ordinului de difractie (m), de exemplu:

ImImax

=

sin

(2m + 1) 2

(2m + 1) 2

!2

I1Imax

=

sin(3

2)

32

2=

4

92= 0:045

I2Imax

=

sin(52 )

52

2=

4

252= 0:016

:::

Difractia pe o retea de fante

O retea de difractie se construieste practicnd mici fante (zgrieturi),nguste, drepte, paralele, pe suprafata unui material dielectric, transparent.Se deneste constanta retelei:

d = a + b; (4.30)


12/14


Figura 4.2: Difractia printr-o fanta dreptunghiulara

iar numarul de fante pe unitatea de lungime:

N=

L

d : (4.31)

Analizam fenomenul de difractie pe o retea ca rezultatul a doua fenomene:

difractia luminii pe o fanta dreptunghiulara;

interferenta tuturor fasciculelor provenite de la cele N fante.

Asadar, difractia pe o retea corespunde interferentei a N rezultate aledifractiei pe o singura fanta.

n cazul difractiei pe o singura fanta, intensitatea este proportionala cutermenul:

sin

2=

"sin

a sin

a

sin

#2: (4.32)


13/14


Urmnd un rationament similar, gasim pentru cazul interferentei, inten-

sitatea ind proportionala cu termenul:

sin(N)

sin

2=

"sin(Nd sin)

sin(d

sin)

#2: (4.33)

Asadar, efectul nal al acestor contributii conduce la o distributie de inten-sitate de forma:

IP = I0

sin

a sin

a

sin

!2sin2(Nd

sin)

sin2(d sin)(4.34)

= I0sin

2 sin(N)

sin2

: (4.35)

Analiza acestei functii conduce la urmatoarele concluzii:

pentru difractie:

dIPd

= 0 ) (4.36)

sin = 0(minime) )a

sin = m) (4.37)

sin min = m

a

(4.38)

tg = (maxime) )a

sin = (2m + 1)

2) (4.39)

sin max = (2m + 1)

a(4.40)

pentru interferenta:

dIPd

= 0 ) (4.41)

2sinN

sin

sinNcos cosNsin

sin2 = 0 (4.42)

= 0 maxim principal (4.43)

sinN = 0 ) N = m)Nd

sin = m)(4.44)

sin =m

N

dmaxime ,

m

N2 Z; minime,

m

N=2 Z(4.45)


14/14


ntre doua maxime succesive de interferenta se gasesc (N-1) minime de

interferenta. Maximele secundare se gasesc din conditia:tg N = Ntg(maxime secundare) (4.46)

ntre doua maxime principale se gasesc N-2 maxime secundare.

Interferenta Si Coerenta Luminii

Documents

Transcript of Interferenta Si Coerenta Luminii