Interaction sol-structure et interaction site-ville : aspects ...

Departement Genie Civil

et Batiment

Annee 2006

N d’ordre : 2006 ISAL 0008

Ecole doctorale MEGA

Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique

INTERACTION SOL-STRUCTURE ET INTERACTION

SITE-VILLE : ASPECTS FONDAMENTAUX ET

MODELISATION

THESE

presentee et soutenue publiquement le 20 Janvier 2006

pour l’obtention du

Doctorat de l’Institut National des Sciences Appliquees de Lyon

(specialite Genie Civil)

par

Pierre ROUSSILLON

Composition du jury

Rapporteurs : Pierre-Yves Bard Ingenieur en chef des Ponts et Chaussees

Docteur d’Etat, LGIT Grenoble

Guy Bonnet Professeur, Universite de Marne-la-Vallee

Examinateurs : Didier Clouteau Professeur a l’Ecole Centrale de Paris

Irini Djeran-Maigre Professeur, INSA de Lyon

Armand Wirgin Directeur de recherche, CNRS Marseille

Directeur de Thèse : Claude Boutin Enseignant-Chercheur HDR, ENTPE

Laboratoire Geomateriaux, Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat, FRANCE

2005 SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE

CHIMIE DE LYON Responsable : M. Denis SINOU

M. Denis SINOU Université Claude Bernard Lyon 1 Lab Synthèse Asymétrique UMR UCB/CNRS 5622 Bât 308 2ème étage 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.44.81.83 Fax : 04 78 89 89 14 [email protected]

E2MC

ECONOMIE, ESPACE ET MODELISATION DES COMPORTEMENTS Responsable : M. Alain BONNAFOUS

M. Alain BONNAFOUS Université Lyon 2 14 avenue Berthelot MRASH M. Alain BONNAFOUS Laboratoire d’Economie des Transports 69363 LYON Cedex 07 Tél : 04.78.69.72.76 Alain.bonnafous∂ish-lyon.cnrs.fr

E.E.A.

ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE M. Daniel BARBIER

M. Daniel BARBIER INSA DE LYON Laboratoire Physique de la Matière Bâtiment Blaise Pascal 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43.64.43 Fax 04 72 43 60 82 [email protected]

E2M2

EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2 M. Jean-Pierre FLANDROIS

M. Jean-Pierre FLANDROIS UMR 5558 Biométrie et Biologie Evolutive Equipe Dynamique des Populations Bactériennes Faculté de Médecine Lyon-Sud Laboratoire de Bactériologie BP 1269600 OULLINS Tél : 04.78.86.31.50 Fax 04 72 43 13 88 E2m2∂biomserv.univ-lyon1.fr

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INFORMATIQUE ET INFORMATION POUR LA SOCIETE http://www.insa-lyon.fr/ediis M. Lionel BRUNIE

M. Lionel BRUNIE INSA DE LYON EDIIS Bâtiment Blaise Pascal 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43.60.55 Fax 04 72 43 60 71 [email protected]

EDISS

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE http://www.ibcp.fr/ediss M. Alain Jean COZZONE

M. Alain Jean COZZONE IBCP (UCBL1) 7 passage du Vercors 69367 LYON Cedex 07 Tél : 04.72.72.26.75 Fax : 04 72 72 26 01 [email protected]

MATERIAUX DE LYON http://www.ec-lyon.fr/sites/edml M. Jacques JOSEPH

M. Jacques JOSEPH Ecole Centrale de Lyon Bât F7 Lab. Sciences et Techniques des Matériaux et des Surfaces 36 Avenue Guy de Collongue BP 163 69131 ECULLY Cedex Tél : 04.72.18.62.51 Fax 04 72 18 60 90 [email protected]

Math IF

MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE FONDAMENTALE http://www.ens-lyon.fr/MathIS M. Franck WAGNER

M. Franck WAGNER Université Claude Bernard Lyon1 Institut Girard Desargues UMR 5028 MATHEMATIQUES Bâtiment Doyen Jean Braconnier Bureau 101 Bis, 1er étage 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43.27.86 Fax : 04 72 43 16 87 [email protected]

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MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE http://www.lmfa.ec-lyon.fr/autres/MEGA/index.html M. François SIDOROFF

M. François SIDOROFF Ecole Centrale de Lyon Lab. Tribologie et Dynamique des Systêmes Bât G8 36 avenue Guy de Collongue BP 163 69131 ECULLY Cedex Tél :04.72.18.62.14 Fax : 04 72 18 65 37 [email protected]

Résumé

La réévaluation sismique du bâti existant est un enjeu de sécurité majeur. Dans ce cadre

a été effectuée une étude de l’interaction sol-structure (ISS) destinée à orienter l’auscultation

du bâti et être intégrée dans un premier diagnostic de vulnérabilité. Elle s’inscrit dans une

approche basée sur l’établissement de modèles simples de comportement dynamique issus de

la confrontation du comportement supposé de la structure avec des données recueillies in situ

par la méthode du bruit de fond, de l’excitation harmonique ou des chocs. Le choix d’une

représentation simplifiée de l’ISS, autorisant un calcul analytique des fonctions d’impédances,

a permis de déterminer, pour chacun des modèles les plus courants de structures, les paramètres

adimensionnels essentiels qui gouvernent le phénomène puis d’estimer, selon les valeurs de ces

paramètres, la nature et l’importance de l’effet de l’ISS sur les caractéristiques modales du

système.

Avec le même souci de privilégier les approches analytiques ou semi-numériques, des mo-

dèles basses fréquences ont été développés pour appréhender le phénomène d’interaction site-

ville (ISV), autrement dit l’effet d’une urbanisation dense sur le champ d’onde sismique.

Une première approche macroscopique, correspondant à une homogénéisation périodique des

conditions aux limites en surface, a permis d’identifier le paramètre significatif du couplage

mécanique entre le sol et la ville puis d’évaluer l’effet de l’interaction site-ville sur l’ampli-

tude et la durée de la réponse sismique. Une deuxième approche, basée sur une formulation

simplifiée et néanmoins réaliste du champ d’onde émis par chaque bâtiment, conduit à définir

une couche limite pour décrire les interactions multiples entre sol et bâtiment. L’estimation

distincte du mouvement en champ libre ou au niveau d’une fondation est ainsi rendue possible.

Mots-clés: Interaction sol-structure, interaction site-ville, étude paramétrique, vulnérabilité

sismique, approche macroscopique, couche limite

Abstract

The seismic vulnerability assessment of existing buildings is of major concern to earth-

quake engineering. In this framework, we carried out a study of soil-structure and site-city

interaction intended for in-situ testing of structures and first level vulnerability diagnoses.

We present a dimensional and parametric analysis of soil structure interaction effects,

using simple representative models of structure (rigid bloc, one-degree-of-freedom pendulum,

bending and shear beams). Closed form impedances given by the cone model approach are

used to introduce the foundation compliance and energy radiation into a soft homogeneous

i

soil. The study highlights the dimensional parameters that govern the main mechanisms of the

phenomenon : geometrical effect, rigidity contrast, and their influence on the modal features

of the system. The given results allow a better physical insight on soil structure interaction,

at least in its fundamental aspects, as well as a first, reasonably accurate estimate of the

importance of the phenomenon.

Two analytical methods which aim at investigating the effect of the urban environment on

seismic motions. We regard cities as a periodic distribution of simple oscillators. The response

to a vertical incident SH wave is analyzed by considering the city with a macroscopic point

of view. As a first approach, the effect of buildings is described by a mean impedance on the

soil-city interface. This enables to identify a mechanical soil-city coupling parameter which

governs the magnitude of the interaction, and to determine a characteristic time of the soil-

city response. A second more refined model based on approximated wave fields radiated by each

building lead to introduce a boundary layer to describe the multiple interactions effect. This

provides an assessment of both free soil motion and building basement motion. Applications are

given for mono-frequency and multi-frequency cities in the case of homogeneous and stratified

substratums.

Keywords: Soil-structure interaction, site-city interaction, dimensional analysis, seismic vul-

nerability, macroscopic approach, boundary layer

ii

Table des matières

Introduction générale

1 Contexte de recherche : la vulnérabilité sismique du bâti existant . . . . . . . . 1

1.1 Les approches « macrosismiques » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Les approches déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Positionnement scientifique de la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Modélisation et analyse des effets d’interaction simple « sol structure »et mul-

tiple « site ville » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Interaction sol structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Interaction site ville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1

Présentation du phénomène d’interaction sol structure

1.1 Description du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Formulation du problème d’interaction sol structure . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Géométrie et définitions – Rappels d’élastodynamique . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Elastodynamique du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Champ diffracté local et champ rayonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.4 Bilan d’efforts sur la fondation : notion d’impédance . . . . . . . . . . . 17

1.2.5 Propriétés de l’impédance de fondation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.6 Propriétés de la force sismique équivalente : notion d’interaction ciné-

matique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.7 Sollicitations non sismiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Bilan intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

Dynamique de l’interaction inertielle sol structure

iii

iv Table des matières

2.1 Modèle masse-ressort-amortisseur de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Equation de vibration du modèle à 1 degré de liberté . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.3 Réponse à un chargement harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.4 Réponse à une sollicitation par déplacement d’appui . . . . . . . . . . . 31

2.2 Modèle discret du type « brochette » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Principe de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2 Équation de vibration du modèle « brochette »sur sol souple . . . . . . . 34

2.2.3 Résolution approchée de l’équation de vibration par la méthode modale

classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3.2 amortissement d’origine structurel, amortissement dû au sol . . 40

2.2.3.3 Cas particulier du modèle à 1 degré de liberté . . . . . . . . . . 42

2.2.3.4 calcul analytique approché des caractéristiques modales du

modèle brochette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.3.5 Précisions sur le domaine d’applicabilité de l’approche modale

classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.4 Résolution « exacte » par modes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.4.1 Base des modes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.4.2 Propriétés d’orthogonalité des modes complexes . . . . . . . . 51

2.2.4.3 Réponse à une sollicitation quelconque . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.4.4 Expressions algébriques approchées des caractéristiques du mode

fondamental et de la réponse dynamique au voisinage de ce mode 61

2.2.5 Résolution directe dans l’espace fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3 Modèles élémentaires continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.1 Equations de vibration des poutres continues . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.1.1 Définitions et conventions de la résistance des matériaux . . . . 69

2.3.1.2 Equations de comportement des poutres . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.1.3 Quelques commentaires pratiques sur la modélisation des struc-

tures de génie civil par des modèles de poutres continues . . . 76

2.3.2 Oscillations libres des poutres continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3.2.1 Formes générales des solutions des équations de vibration . . . 79

2.3.2.2 Modes propres des poutres sur appuis parfaitement rigides . . 85

2.3.2.3 Modes propres des poutres sur appuis parfaitement souples. . . 94

2.3.3 Poutres continues sur appui souple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.3.3.1 Poutre de cisaillement sur appui souple . . . . . . . . . . . . . 101

v

2.3.3.2 Poutre de flexion sur appui souple . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.3.3.3 Poutre de Timoshenko sur appui souple . . . . . . . . . . . . . 109

2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3

Etude paramétrique de l’interaction sol structure

3.1 Calcul des impédances de fondation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1.2 Brève synthèse bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.1.2.1 Méthodes « rigoureuses » : équations intégrales et éléments fi-

nis de frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.1.2.2 Nécessité d’une approche simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.1.3 Modèle de cône : cas d’une fondation circulaire de surface reposant sur

un demi-espace homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.3.1 Hypothèses du modèle et principe du calcul du champ rayonné 119

3.1.3.2 « Cône de translation » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.1.3.3 « Cône de rotation » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.1.3.4 Validation du modèle de cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1.3.5 Proposition de modification du modèle de cône . . . . . . . . . 133

3.1.4 Ajustements du calcul de l’impédance pour des propriétés géométriques

ou mécaniques plus complexes du système sol-fondation . . . . . . . . . 137

3.1.4.1 Profils de sol non uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.1.4.2 Fondation enterrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.1.4.3 Forme de la fondation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.1.4.4 Fondation flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.2 Etude paramétrique de l’interaction sol structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.2.1 Bloc rigide sur sol souple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2.1.1 Equations de vibration et équations modales du bloc rigide sur

sol souple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2.1.2 Analyse dimensionnelle du système bloc rigide sur sol souple . 145

3.2.2 Oscillateur à un degré de liberté sur sol souple . . . . . . . . . . . . . . 155

3.2.2.1 Equations modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.2.2.2 Analyse dimensionnelle de l’oscillateur à un degré de liberté

sur sol souple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.2.3 Poutre de cisaillement sur sol souple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2.3.1 Equations modales de la poutre de cisaillement sur sol souple . 164

vi Table des matières

3.2.3.2 Analyse dimensionnelle de la poutre de cisaillement sur sol souple165

3.2.3.3 Mode fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.2.3.4 Modes supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.2.4 Poutre de flexion sur sol souple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.2.4.1 Equations modales de la poutre de flexion sur sol souple . . . . 194

3.2.4.2 Analyse dimensionnelle de la poutre de flexion sur sol souple . 195

3.2.4.3 Mode fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3.2.4.4 Modes supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4

Fondamentaux de l’interaction site ville

4.1 Hypothèses de base du modèle et déroulement de l’étude . . . . . . . . . . . . . 227

4.2 Approximation en contrainte moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.2.1 Ville mono-fréquentielle sur sol homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.2.2 Analyse de l’effet de la ville monofréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.2.2.1 Un paramètre pour estimer l’influence de la ville . . . . . . . . 232

4.2.2.2 Dépendance fréquentielle de l’effet site ville . . . . . . . . . . . 233

4.2.2.3 Caractéristiques temporelles de l’effet site ville . . . . . . . . . 236

4.2.2.4 Effet de l’interaction site ville sur la réponse des bâtiments . . 239

4.2.3 Ville mono-fréquentielle sur sol stratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.2.4 Généralisation aux villes multi-fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.2.4.1 Sol homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.2.4.2 Sol stratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.3 Modèle de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.3.1 Bref rappel du modèle de cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

4.3.2 Ville sur substratum homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

4.3.2.1 Bâtiment isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

4.3.2.2 Détermination d’une couche limite pour une distribution pé-

riodique de fondations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.3.2.3 Analyse de l’effet de la ville mono-fréquentielle . . . . . . . . . 252

4.3.3 Ville sur sol stratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.3.3.1 Bâtiment isolé sur sol stratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.3.3.2 Interactions multiples sur sol stratifié . . . . . . . . . . . . . . 262

4.3.4 Définition d’une couche limite adaptée aux villes multi-fréquentielles . . 264

4.4 Ville d’extension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

vii

4.4.1 Détermination d’une couche limite pour une distribution de fondations

périodique d’extension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

4.4.2 Analyse de la réponse de la ville d’extension finie . . . . . . . . . . . . . 271

4.5 Limites de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Conclusions générales

1 Interaction sol structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

1.1 Aspects théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

1.2 Aspects expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

2 Interaction site ville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Annexe

A

Amplification des ondes sismiques par une couche molle

Bibliographie 289

viii Table des matières

Introduction générale

1 Contexte de recherche : la vulnérabilité sismique du bâti exis-

tant

Les efforts de recherche en ingénierie parasismique de ces trente dernières années ont permis

l’élaboration de règles de construction fiables appliquées aux structures neuves. En revanche,

la vaste question de la classification du bâti existant et de l’estimation de sa vulnérabilité a été

encore peu abordée. Pourtant, le parc immobilier résidentiel, en France et dans de nombreux

pays, est en grande majorité antérieur à toute réglementation ou a été dimensionné selon des

règles contredites depuis. L’enjeu est également considérable pour les bâtiments industriels.

Parce qu’il concentre une grande partie du patrimoine et des équipements, le milieu urbain

est directement concerné par le manque d’outils, aussi bien théoriques qu’expérimentaux,

permettant d’accéder simplement au comportement dynamique des structures existantes. Les

difficultés spécifiques à cette évaluation tiennent au fait que les méthodes développées pour

les constructions neuves sont en grande partie inopérantes compte tenu du fait que :

– les codes modernes ne sont pas calibrés pour certains types de structure obsolètes. Ils

intègrent de plus des coefficients de sécurité qu’il est économiquement inenvisageable

d’appliquer au bâti existant ;

– les simulations directes de la réponse dynamique, basées sur des outils de modélisation

sophistiqués (éléments finis, etc.), sont inadaptées compte tenu du nombre de bâtiments

concernés, et peu fiables en présence d’une connaissance souvent partielle du premier

oeuvre.

1.1 Les approches « macrosismiques »

Les méthodes actuellement opérationnelles pour estimer la vulnérabilité utilisent princi-

palement le retour d’expérience de séismes passés. Ce sont des méthodes pragmatiques basées

sur l’observation des dégâts et une description statistique des corrélations entre d’une part

les dispositions et principes constructifs, d’autre part une mesure de la puissance du séisme

(intensité macrosismique, accélération ou vitesse maximale, etc.).

Le processus de calibration de ces méthodes est complexe, et par nature fortement lié à

1

2 Introduction générale

un contexte régional donné : sismicité, tradition constructive, etc. Leur transposition au cas

français, caractérisé d’une part par une longue période de retour des événements sismiques

destructeurs, d’autre part par des méthodes de construction spécifiques, est problématique et

de toute façon insuffisante. A ce titre le cas des immeubles construits entre 1960 et 1980 à

destination de l’habitat social, aux antilles comme en métropole, est exemplaire.

1.2 Les approches déterministes

Ces approches prédictives, plus proches des méthodes usuelles d’ingénierie en dynamique

des structures, entendent évaluer la vulnérabilité des bâtiments à la lumière d’une analyse de

leurs spécificités structurelles.

Comme souligné précédemment, elles doivent composer avec l’échelle inédite du problème

pour lequel une modélisation fine, au cas par cas, est inenvisageable. Le principe de ces mé-

thodes (voir par exemple d’Ayala et coll., 1997, pour une application aux centres historiques)

est d’établir, à partir des relevés de la construction et d’une analyse rapide de la structure,

des modèles simples mais suffisamment réalistes. En intégrant à ces modèles la capacité des

éléments structurels à se déformer, une courbe théorique de vulnérabilité peut être établie sous

la forme d’une relation entre niveau d’endommagement et niveau de sollicitation dynamique.

Plus le modèle est simple, plus son utilisation dans l’élaboration de scénarios de risque, à

l’échelle urbaine, sera efficace, à condition toutefois qu’il permette de saisir l’essentiel du com-

portement dynamique réel de la structure, avec une précision suffisante pour les ouvrages à

risque normal.

2 Positionnement scientifique de la recherche

Dans l’esprit des approches sus-citées, les recherches entreprises au LGM (Hans et coll.,

2005; Boutin et coll., 2005; Hans, 2002) visent à développer des outils méthodologiques, théo-

riques et expérimentaux, afin de sélectionner des modèles élémentaires pertinents. Les efforts

ont été concentrés sur les immeubles des années 60-80 précédemment évoqués. Les bâtiments

de ce type ont l’avantage de présenter des géométries simples (structures périodiques « voile »

ou « portique ») en même temps qu’un réel intérêt du point de vue des enjeux de sécurité civile

(on estime qu’ils abritent environ le tiers de la population française). La démarche, visant une

compréhension approfondie de la dynamique et des paramètres essentiels qui la contrôlent,

s’appuie sur des essais de vibration réalisés in-situ et interprétés dans le cadre de l’analyse

modale.

L’apport original de ces recherches est d’avoir montré, sur le plan théorique et expérimental,

que le comportement sous vibration des structures régulières considérées, peut être modélisé de

manière satisfaisante à l’aide d’un nombre très restreint de modèles homogènes élémentaires :

une poutre continue fonctionnant en flexion, une poutre continue fonctionnant en cisaillement

3. Modélisation et analyse des effets d’interaction simple « sol structure »et multiple « site ville »3

et dans les cas intermédiaires une poutre de Timoshenko. Le choix du modèle pertinent et

le calcul de ses caractéristiques continus, sont basés sur les estimations d’un nombre limité

de paramètres, explicités en fonctions des caractéristiques discrètes de la structure grâce à

l’application de la théorie de l’homogénéisation des milieux discrets (Hans, 2002; Boutin et

Hans, 2003).

La méthode est très largement validée par les mesures de vibration effectuées sur des

bâtiments réels. Dans certains cas cependant, le calage du modèle élémentaire bute sur des

effets qu’un modèle de structure isolée sur base rigide ne permet pas d’interpréter, à savoir des

effets d’interaction avec le sol (« interaction sol structure ») ou de couplage dynamique avec

des structures voisines (« interaction structure sol structure ») (Hans et coll., 2005). Cette

constatation pose la question de la nature et de l’importance de ces interactions pour le bâti

courant, vis-à-vis de leurs interférences avec les mesures de vibration réalisées in-situ, et de

leur influence sur les caractéristiques du comportement dynamique des structures et à terme

sur leur vulnérabilité. L’objectif de ce travail est précisément de tenter d’y répondre.

3 Modélisation et analyse des effets d’interaction simple « sol

structure »et multiple « site ville »

Les développements présentés dans cette thèse s’inscrivent dans la continuité de la dé-

marche mise en oeuvre dans les travaux présentés précédemment, en privilégiant une modé-

lisation simplifiée et essentiellement analytique, ne retenant que l’essentiel des phénomènes

mis en jeu. Ce parti pris méthodologique vise à développer des conclusions générales sur les

effets d’interaction sur la réponse dynamique des structures, en prenant soin dans la mesure

du possible :

– d’identifier les paramètres clés qui contrôlent les phénomènes d’interaction entre le sol

et les structures dont le comportement est modélisé par l’un des modèles élémentaires ;

– de caractériser, par une étude paramétrique appropriée, la nature et l’amplitude de ces

effets sur la réponse vibratoire, pour les comportements structurels types ;

– d’interpréter les solutions obtenues, de manière à distinguer les tendances de portée

générale des résultats induits par des hypothèses simplificatrices particulières.

3.1 Interaction sol structure

Le phénomène d’interaction sol structure a fait l’objet de nombreuses mises en évidence

expérimentales : citons les travaux précurseurs de Housner (1957), pour un bâtiment particu-

lier, ou de Bard et coll. (1992) et Stewart et coll. (1998, 1999b) pour une étude systématique

sur un échantillon important de structures courantes. Dans le chapitre 1, nous décrivons qua-

litativement le phénomène, puis nous exposons le cadre théorique mobilisé dans l’analyse

de l’interaction sol structure, en reprenant très largement le formalisme proposé par Aubry


et coll. (1985) et Clouteau (2000). La notion d’impédance, sur laquelle se fonde l’essentiel des

développements, est ainsi introduite sur des bases solides.

Les principaux modèles élémentaires de structure sont présentés au chapitre 2. Les équa-

tions de couplage avec le sol sont formulées sous forme réduite par l’intermédiaire de la condi-

tion d’appui souple (impédance) introduite à la base de ces modèles, puis le passage à l’ap-

proche en modes complexes est explicité. Moyennant certaines approximations, les effets de

l’interaction sur le mode fondamental sont décrits de manière qualitative. Parallèlement à ces

développements et dans la perspective d’appuyer les résultats théoriques obtenus dans cette

thèse sur des essais de vibration réalisés in-situ, on établit de manière rigoureuse les rela-

tions temporelles et les fonctions de transfert permettant (en théorie) d’une part d’identifier

expérimentalement les modes complexes du système sol structure, d’autre part de procéder

à l’analyse inverse, c’est à dire d’extraire les caractéristiques propres de la structure et du

système sol fondation, à partir d’enregistrements accélérométriques.

Le passage à une étude quantitative du phénomène (chapitre 3), nécessite la résolution

numérique des équations modales à partir de valeurs explicites des impédances de fondation.

De même que pour la structure, il est irréaliste d’envisager des calculs sophistiqués de ces im-

pédances. On utilise une méthode d’estimation basée sur le modèle de cône (Meek et Veletsos,

1974) qui a l’intérêt d’être simple (analytique), de fournir des résultats proches de ceux obte-

nus grâce à des méthodes numériques, et de combler un déficit de compréhension intuitive des

phénomènes mis en jeu. Une modification du modèle de cône est proposée qui renforce encore

cette capacité explicative. A l’issue de ces étapes, nous présenterons l’étude paramétrique de

l’interaction sol structure à proprement dite, puis nos conclusions quant aux caractéristiques

de ses effets sur le bâti courant, en termes de modification : des fréquences dominantes de

vibration, de l’amortissement, de la répartition des déformations entre sol et structure et à

l’intérieur même de la structure.

3.2 Interaction site ville

Il est aujourd’hui acquis que l’énergie des vibrations produite par une structure et transmise

au sol, précisément par le phénomène d’interaction sol structure, peut se propager jusqu’à

des distances non négligeables (Jennings, 1970; Guéguen, 2000) et interagir avec d’autres

bâtiments voisins (Luco et Contesse, 1973; Celebi, 1993a,b; Hans et coll., 2005). L’impact de

ces interactions sur la réponse sismique des structures, particulièrement dans les villes très

denses fondées sur sol souple, était encore jusqu’à peu un sujet peu étudié.

Le risque sismique dans les zones fortement urbanisées fait l’objet d’une attention par-

ticulière compte tenu des enjeux humains et économiques. L’approche classique procède gé-

néralement en deux étapes : tout d’abord le calcul de l’aléa sismique pondéré des effets de

sites locaux, puis l’estimation de la réponse d’une structure, dans le meilleur des cas en te-

nant compte de l’interaction sol structure mais toujours avec l’hypothèse implicite que la

4. Remerciements 5

structure est isolée. La problématique de l’influence des interactions multiples avec l’environ-

nement urbain est finalement apparue, de manière indirecte, suite au séisme destructeur de

Michoacan (1985). Les difficultés rencontrées par les méthodes classiques de calcul des effets

de site, pour rendre compte de certaines caractéristiques des enregistrements effectués dans la

ville de Mexico (durée, battements monochromatiques) (Singh et Ordaz, 1993; Chavez-Garcia

et Bard, 1994), ont conduit Wirgin et Bard (1996) à formuler l’idée que l’énergie transmise

aux bâtiments et réémise dans leur voisinage à travers les multiples interactions sol structure

(Housner, 1957; Jennings et Bielak, 1973) et structure sol structure (Luco et Contesse, 1973),

aient pu contaminer significativement le mouvement en surface libre. Ils donnent à ce phé-

nomène qu’ils suspectent le nom d’interaction site ville. Des simulations numériques récentes

(Clouteau et Aubry, 2001; Guéguen et coll., 2002; Semblat et coll., 2002; Tsogka et Wirgin,

2003; Mehzer, 2004; Kham, 2004) basées sur différentes descriptions de la ville et du sous-sol

et diverses méthodes de résolution (modes propres de volume, fonctions de Green, éléments

finis), ont étayé depuis cette intuition.

De manière complémentaire à ces approches numériques, nous proposons au chapitre 4 une

approche simplifiée pour estimer l’influence de l’urbanisation d’une part sur le champ d’onde

sismique, d’autre part sur la réponse des structures. L’objectif de ce travail est d’identifier les

paramètres physiques qui gouvernent l’effet site ville et de quantifier l’importance du phéno-

mène à partir de critères simples et mesurables. Cette étude ne prétend pas fournir un modèle

« exact » mais seulement des estimations. Celles-ci sont établies sur la base d’hypothèses

physiquement justifiées, grâce auxquelles le problème peut être traité de manière analytique.

Cette démarche vise, en quelque sorte, à être pour l’interaction site ville, ce que le modèle de

cône (sur lequel elle se base en partie) est à l’interaction sol structure : elle s’inscrit dans la

tradition de ces méthodes simplifiées visant en premier lieu à améliorer la compréhension du

phénomène, tout du moins dans ses aspects fondamentaux, et si possible à le rendre accessible

à l’ingénierie courante.

4 Remerciements

Nous sommes reconnaissants envers l’AFPS/MATE et le CNRS pour leur soutien financier.

Nos remerciements s’adressent également aux participants de l’ACI "site ville" pour la qualité

et la profitabilité des échanges scientifiques établis dans le cadre de ce projet.

Chapitre 1

Présentation du phénomène

d’interaction sol structure

7

8 Chapitre 1. Présentation du phénomène d’interaction sol structure

Ce chapitre introductif s’articule en deux étapes. On présente tout d’abord le phénomène

qu’il est convenu d’appeler interaction sol structure à travers une comparaison détaillée entre

la réponse sismique d’une structure fondée au rocher et la réponse de la même structure

construite sur un sol souple. Les principaux concepts : interaction cinématique, interaction

inertielle, amortissement radiatif, sont illustrés de manière concrète sur cet exemple. Le cadre

théorique, aussi rigoureux et général que possible, est formulé dans un deuxième temps en se

limitant au domaine élastique. La notion d’impédance, qui joue un rôle central dans la plupart

des études de l’interaction sol structure, ce travail y compris, est introduite.

1.1 Description du phénomène

Afin d’illustrer les principales caractéristiques de l’interaction sol structure, on compare

la réponse à une excitation sismique d’une structure fondée directement sur le substratum

rocheux (considéré comme infiniment rigide par rapport à la structure) à celle de la même

structure fondée sur une couche de sol souple (figure 1.1(a)). Par souci de simplicité, on consi-

dère seulement le cas d’une onde SH en incidence verticale et d’une fondation rigide. Ce cas

suffit à appréhender l’ensemble du phénomène ; c’est aussi le plus étudié en ingénierie para-

sismique courante. On ne donne à ce stade qu’une description qualitative de la façon dont

l’interaction entre le sol et la structure va modifier la réponse dynamique de la structure en

liaison avec la figure 1.1.

Considérons d’abord le cas d’une structure fondée au rocher soumise à un séisme de référence

caractérisé par une excitation horizontale à la surface du rocher (figure 1.1(a), point A). La

modélisation de la source du séisme et de la propagation des ondes jusqu’à ce point relève

de la compétence de la sismologie. Le rocher étant extrêmement rigide, la longueur d’onde

de l’excitation sismique est très grande par rapport aux dimensions de la fondation, particu-

lièrement sa profondeur, de sorte que les mouvements de translation au point A et au point

B sont sensiblement en phase. Le mouvement horizontal de référence peut donc être directe-

ment appliqué à la base de la structure qui va être soumise à une accélération d’entraînement

constante sur sa hauteur. Les forces d’inertie qui en résultent développent un effort tranchant

et un moment fléchissant, qui agissent à la base de la structure pendant la durée du séisme.

La reprise de ces efforts résultants par le rocher de fondation n’induit aucune déformation

de celui-ci. Au final, la différence entre le mouvement de la fondation et le mouvement du

séisme de référence est négligeable ; la fondation est un appui rigide, parfaitement encastré, et

l’excitation sismique correspond à une excitation par déplacement d’appui d’amplitude égale

à celle du mouvement de référence déterminé en champ libre. Le plus souvent, en ingénierie

parasismique, cette hypothèse d’encastrement parfait de la fondation est tacitement faite, et

la prise en compte des caractéristiques mécaniques du sol n’apparaît que dans l’estimation du

mouvement de référence (accélérogramme, spectre...).

1.1. Description du phénomène 9

(a)

rocher

SH

A

B

sol

SH

(d)

D

E

C

SH(b) (c)

SH

Fig. 1.1 – Comparaison de la réponse d’une structure fondée au rocher ou sur un sol souple– Description du phénomène d’interaction sol structure.


Considérons maintenant le cas d’une structure fondée sur sol souple. On propose de décom-

poser la réponse du système en plusieurs étapes afin de mieux appréhender l’influence de la

souplesse du sol. Les trois effets suivants doivent être distingués :

– Premièrement, la présence de la couche de sol, plus souple que le substratum, induit

une amplification de l’excitation sismique (cf. annexe A). Si le mouvement à l’interface

sol-substratum (figure 1.1(b) point C) est inférieur au mouvement de référence du point

A (équation A.4 en z = 0), en revanche le mouvement à la surface du sol (point E)

est considérablement amplifié (équation (A.5) en z = −h). En outre, le piégeage de

l’onde dans la couche de sol est susceptible, selon le contenu fréquentiel de l’excitation,

de provoquer un phénomène de résonance (résonance quart d’onde). Ce phénomène

d’amplification du mouvement du sol en champ libre par la présence du sol ne concerne

pas à proprement parler le phénomène d’interaction sol structure.

– Deuxièmement, l’excavation du sol et la mise en place de la fondation (considérée le

plus souvent comme rigide) induisent l’apparition d’un champ diffracté afin d’assurer

la compatibilité cinématique entre la déformation du sol et les parois (rigides) de la

fondation. En effet, en l’absence de fondation, le champ d’onde régnant dans la couche

est une onde stationnaire (équation (A.5)) dont un ventre coïncide avec la surface. Il

s’en suit que le mouvement en D est en phase avec celui du point E mais d’amplitude

inférieure (figure 1.1(b)). Dans ces conditions le mouvement de la fondation (rigide)

sans masse diffère, évidemment du mouvement de référence, mais aussi du mouvement

amplifié calculé en E. Il faut s’attendre en particulier à l’apparition d’une composante

de rotation de la fondation (figure 1.1(c)). Ce phénomène purement géométrique est

couramment appelé interaction cinématique. On perçoit aisément que, dans le cas d’une

onde S en incidence vertical, le paramètre déterminant de ce phénomène est le rapport

entre la profondeur de la fondation et la longueur d’onde de l’excitation. Si ce rapport

est très faible, en particulier si la fondation est superficielle, l’interaction cinématique est

négligeable. Cette simplification est abusive en cas d’incidence oblique pour laquelle il y

a bien interaction cinématique ; le paramètre déterminant apparaît cette fois comme le

rapport entre la dimension horizontale de la fondation et la longueur d’onde apparente

en surface (figure 1.2).

– Troisièmement, la réponse de la superstructure pesante interagit avec le sol. Tout comme

pour la construction au rocher, les mouvements de corps rigide de la fondation, excitée

par le champ sismique, se traduisent par l’apparition de forces d’inertie (non constantes

avec la hauteur du fait de la composante de rotation de l’accélération d’entraînement)

à l’origine de la déformation de la superstructure. Cette déformation développe des ef-

forts à la base de la structure repris par le sol de fondation. Contrairement au rocher

(théorique) de rigidité infinie, le sol est rétro-activement déformé par les efforts transmis

par la fondation. Ce champ de déformation additionnel, propagé dans le sol de fonda-

1.1. Description du phénomène 11

Fig. 1.2 – Interaction cinématique entre unefondation superficielle et une onde plane en in-cidence oblique.

λ/2

2r0

tion, est le champ rayonné par la fondation. Au final, les mouvements de la fondation,

différents de ceux résultants de l’interaction cinématique, sont le produit du couplage,

appelé interaction inertielle, entre les mouvements du sol et ceux de la structure.

Les phénomènes qui viennent d’être décrits ont des conséquences différentes voire opposées

sur la vulnérabilité sismique de la structure dont voici une description qualitative :

– L’amplification de l’excitation (référencée au rocher) par les couches molles situées au-

dessus du substratum a évidemment un effet catastrophique sur les constructions dont

l’ampleur a été maintes fois constatée sur le terrain. Pour certains auteurs, l’allongement

de la durée du signal dû au piégeage des ondes dans la couche (cf. annexe A) est encore

plus critique.

– La réponse de la structure dans l’interaction inertielle se partage entre mouvement de

corps rigide, selon les modes de corps rigide de la fondation, et déformation structurelle.

Plus le sol est souple, plus la part des mouvements de corps rigides est importante. De

ce point de vue l’interaction sol structure joue dans le sens d’une diminution du risque

de ruine interne de la structure.

– Par ailleurs, les fréquences propres de la structure fondée sur sol souple sont plus basses

que celles du système plus rigide constitué de la structure encastrée à sa base dans un

milieu parfaitement rigide. Cette évidence théorique est corroborée par de nombreuses

observations expérimentales (voir par exemple Stewart et coll., 1998, 1999b, pour une

mise en évidence de ce phénomène sur un grand nombre de bâtiments). L’effet de cette

réduction des fréquences, en particulier de la fréquence fondamentale, dépend du contenu

fréquentiel du séisme (ou de toute autre sollicitation considérée). Dans certains cas,

la valeur de la fréquence fondamentale passe en-dessous de la gamme dans laquelle

l’excitation est la plus forte, et la réponse de la structure (en tout cas du premier mode)

s’en trouve diminuée. L’effet contraire peut être envisagé.

– Il faut examiner également l’effet de la radiation d’énergie dans le sol. Si on considère la

structure comme encastrée à sa base dans un milieu parfaitement rigide, alors l’énergie


injectée par l’excitation dans la structure est dissipée par les non-linéarités internes de

la structure. On parle d’amortissement structurel dont on tient compte dans les mo-

dèles dynamiques par exemple en introduisant (de façon souvent forfaitaire) un facteur

d’amortissement modal. Dans le cas où le couplage avec le sol ne peut être négligé, les

oscillations de la fondation donnent naissance à un champ rayonné constitué d’ondes de

volume et de surface. Dans un milieu semi-infini, ces ondes se propagent indéfiniment

et ne restituent donc pas, sous une forme ou une autre, l’énergie qu’elles contiennent.

Il y a donc dissipation d’énergie et tout se passe comme si le milieu présentait un

amortissement, même si il est supposé élastique, linéaire, et non dissipatif. On parle

d’amortissement géométrique pour souligner le fait que cette perte d’énergie n’est pas

due aux propriétés mécaniques du sol, ou encore d’amortissement radiatif en référence

aux ondes rayonnées par la fondation. Cet amortissement a évidemment un effet posi-

tif pour la sécurité de la structure, en réduisant l’amplitude maximale et la durée des

oscillations.

– Quant à l’interaction cinématique, elle peut être considérée comme un effet du second

ordre, ne se développant qu’à l’échelle des mouvements différentiels, alors que l’interac-

tion inertielle apparaît avec le mouvement d’ensemble (moyen).

En conclusion, il est difficile de savoir a priori si l’interaction sol structure a une influence

positive ou négative sur le comportement de la structure. Elle peut théoriquement contribuer

à amplifier ou diminuer les déplacements à l’intérieur de la structure. Cependant, si on néglige

l’effet d’amplification par les conditions géologiques locales, par exemple en considérant un

séisme de référence calculé, non pas au rocher, mais à la surface du sol sur lequel repose

la structure, alors l’interaction sol structure joue, en pratique, fréquemment dans le sens de

la sécurité de la structure. C’est pourquoi, dans les différents codes parasismiques adoptés

à travers le monde, le fait de négliger ce phénomène est généralement considéré comme une

mesure conservative. En revanche, dans de nombreux cas largement documentés, il n’y a pas

de description possible de la dynamique de la structure, quelque soit le mode de sollicitation

envisagé, sans tenir compte de la souplesse du sol de fondation.

1.2 Formulation du problème d’interaction sol structure

Nous présentons dans cette section une formulation rigoureuse du problème d’interaction

dans l’hypothèse d’une superstructure et d’un sol à comportement linéaire viscoélastique iso-

trope (ou à comportement hystérétique) mis en interaction par l’intermédiaire d’une fondation

unique et rigide. L’objectif est de montrer comment, avec ces hypothèses, l’étude de la réponse

dynamique d’une structure, incluant le couplage avec le sol de fondation de dimension infinie,

peut être ramenée (dans l’espace fréquentiel) à un problème de vibration linéaire, en trois

étapes :

1.2. Formulation du problème d’interaction sol structure 13

Ωb

ui

Ωb

Ωs Γs∞

Ωf

ΓsΓfb

Γfs

Fig. 1.3 – Description du système sol structure et notations

– calcul de l’interaction cinématique entre le champ sismique incident et la fondation,

– calcul du champ radié par un déplacement unitaire de la fondation,

– recomposition des résultats précédents avec le modèle de structure pour construire la

solution complète du problème.

1.2.1 Géométrie et définitions – Rappels d’élastodynamique

Le domaine d’étude est constitué de trois sous-domaines (figure 1.3) : le sol Ωs de dimension

infinie, la structure Ωb et la fondation rigide (de surface ou enterrée) Ωf . Σsf , respectivement

Σfb, sont les interfaces séparant la fondation du sol, respectivement de la structure. En dehors

de ces interfaces, les frontières de ces domaines sont soumises aux conditions de surface libre.

On note us(x, t), uf (x, t) et ub(x, t) les champs de déplacement dans chacun des sous-

domaines, induits par la présence d’un champ sismique ui(x, t). Par convention, ui est la

somme du champ incident et du champ réfléchi, calculés en champ libre (hors de toute in-

fluence du bâtiment). Il comprend les éventuels effets d’amplification par les couches molles

et est supposé connu. On introduit également σ(us), σ(ub), ε(us) et ε(ub) les tenseurs des

contraintes et de déformation associés à ces champs de déplacements dans les domaines dé-

formables (c’est-à-dire en dehors de la fondation).

On rappelle que par définition

εij(ua) = 1/2(∂iuaj + ∂juai) , (1.1)


et que l’équilibre local se traduit par la relation

divσ(ua) = ρa∂ttua dans Ωa , (1.2)

où ρa désigne la masse volumique du domaine Ωa soumis à de petites déformations. Par ailleurs

les tenseurs des contraintes et des déformations sont reliés par la loi de Hook :

σ(ua) = λa(divua)I + 2µaε(ua) dans Ωa , (1.3)

où λa et µa sont les coefficients de Lamé du domaine Ωa supposé élastique. Combinant (1.2)

et (1.3), on obtient

(λa + µa)grad divua + µa∆ua = ρa∂ttua dans Ωa , (1.4)

soit l’équation de Navier de l’élastodynamique, vérifiée pour tout champ de déplacement dans

un domaine élastique isotrope. Il est commode, en utilisant l’hypothèse de linéarité, de recher-

cher la solution dans le domaine fréquentiel en appliquant une transformée de Fourier (T F)

par rapport au temps :

ua(x, t)T F

// bua(x, ω) =Z +∞

−∞ua(x, t)eiωtdt, (1.5)bua(x, ω)

T F−1

// ua(x, t) =1

2π

Z +∞

−∞bua(x, ω)e−iωtdω . (1.6)

On obtient (on omet le b. afin de ne pas alourdir les notations) :

(λa + µa)grad divua + µ∆ua = −ρaω2ua dans Ωa , (1.7)

que l’on note symboliquement :

∆∗aua = −ρaω

2ua dans Ωa , (1.8)

Dans la pratique, les enregistrements montrent que l’amplitude des ondes sismiques dans le

sol décroît avec un taux d’amortissement largement indépendant de la fréquence. Cet amortis-

sement correspondant à une perte d’énergie par frottement peut être introduit très facilement

dans le domaine fréquentiel en substituant aux coefficients de Lamé élastiques les coefficients

complexes λ∗s = λs(1 + 2iξs) et µ∗

s = µa(1 + 2iξs), où ξs est appelé classiquement « coefficient

d’amortissement matériel (ou hystérétique) ». Au passage notons la relation de correspon-

dance entre ce coefficient et le facteur d’atténuation utilisé couramment en géophysique :

ξs = 1/(2Qs).


1.2.2 Elastodynamique du sol

Le déplacement en champ libre ui vérifie :

– l’équation de Navier dans l’espace fréquentiel (1.8) :

∆∗sui = −ρsω

2ui dans Ωs , (1.9)

– la condition de surface libre à l’interface sol/air Γs :

ts(ui) = 0 sur Γs , (1.10)

où ts(ui) est le vecteur contrainte associé au déplacement ui.

La présence de la superstructure et de sa fondation génère un champ diffracté ud :(∆∗

sud = −ρsω2ud dans Ωs , (1.11)

ts(ud) = 0 sur Γs . (1.12)

Ce champ est nul en dehors de la zone d’influence de la structure, ce qu’on écrit symbolique-

ment :

ud = 0 sur Γs∞ . (1.13)

Le champ total us est la somme du déplacement en champ libre et du champ diffracté :

us = ui + ud dans Ωs , (1.14)

de sorte que la continuité des déplacements à l’interface sol fondation impose :

ud = −ui + uf sur Γfs , (1.15)

Le problème constitué des équations (1.11), (1.12), (1.13) et (1.15) admet plusieurs solutions :

une onde se propageant vers l’infini, une onde spatialement « identique »mais de temporalité

inversée, c’est à dire provenant de l’infini (et en outre la superposition des deux, correspondant

à une onde stationnaire). Sans entrer dans des considérations techniques, il convient d’intro-

duire une condition de radiation (notée (C.R.)), dite de Sommerfeld, afin de conserver la seule

solution physique : celle correspondant à une propagation depuis la fondation vers l’infini. Il

est d’usage d’inclure dans la condition de radiation, la valeur nulle à l’infini (équation (1.13)),


de sorte qu’en définitive, ud est la solution unique du problème noté :8>>>><>>>>: ∆∗sud = −ρsω

2u0d dans Ωs ,

ts(ud) = 0 sur Γs ,

ud = −ui + uf sur Γfs,

u0d vérifie la (C.R.)

1.2.3 Champ diffracté local et champ rayonné

La fondation est entraîné dans un mouvement de corps rigide sous l’effet des sollicitations

provenant du sol et de la superstructure. Ce mouvement est décomposé de manière commode

selon 6 modes de corps rigide indépendants, trois translations selon trois axes orthogonaux et

trois rotations autour de ces mêmes axes (Aubry et coll., 1985) :

uf (x, ω) =6X

m=1

cm(ω)Lm(x) ∀x ∈ Ωf , (1.16)

avec par exemple :

L1(x) = e1 L2(x) = e2 L3(x) = e3

L4(x) = (x− xG) ∧ e1 L5(x) = (x− xG) ∧ e2 L6(x) = (x− xG) ∧ e3

(1.17)

où xG désigne le centre de gravité de la fondation et (e1, e2, e3) forment une base orthonormée

de l’espace. Les fonctions Lm sont des données du problème. Le mouvement (inconnu) de la

fondation est déterminé par la valeur des six degrés de liberté cm.

Le contact sol-fondation étant supposé parfait (pas de décollement), la fondation impose sa

cinématique de corps rigide au niveau de l’interface Γfs de sorte que :

us =6X

m=1

cmLm sur Γfs

⇒ ud = −ui +6X

m=1

cmLm sur Γfs . (1.18)

Ce résultat suggère (Aubry et coll., 1985) une nouvelle décomposition du champ diffracté :

⇒ ud = u0d +

6Xm=1

cmumd dans Ωfs . (1.19)


Le champ diffracté local u0d vérifie les équations :8>>>><>>>>: ∆∗

su0d = −ρsω

2u0d dans Ωs , (1.20)

ts(u0d) = 0 sur Γs , (1.21)

u0d vérifie la (C.R.) (1.22)

u0d = −ui sur Γfs . (1.23)

Il représente le champ diffracté lorsque la fondation est fixe. Le champ umd vérifiant

pour m = 1, 6

8>>>><>>>>: ∆∗su

md = −ρsω

2umd dans Ωs , (1.24)

ts(umd ) = 0 sur Γs , (1.25)

umd vérifie la (C.R.) (1.26)

umd = Lm sur Γfs , (1.27)

est le champ rayonné par un déplacement unitaire de la fondation selon le mième mode de

corps rigide (ci = δim).

1.2.4 Bilan d’efforts sur la fondation : notion d’impédance

On écrit l’équilibre dynamique de la fondation soumise aux efforts exercés par le sol et

la superstructure. Pour tout déplacement virtuel vf cinématiquement admissible (donc pour

tout déplacement de corps rigide vf ), le principe des travaux virtuels appliqué à la fondation

donne : ZΓfs

ts(us) · vfdΓ +ZΓfb

tb(ub) · vfdΓ − ω2ZΩf

ρfuf · vf = 0 .

En posant vf = Ln et compte tenu de (1.14) et (1.19), il vient pout tout m = 1, 6 :

6Xm=1

cm

ZΓfs

ts(umd ) ·LndΓ +

ZΓfs

ts(ui + u0d) ·LndΓ +

ZΓfb

tb(ub) ·LndΓ

− ω26X

m=1

cm

ZΩf

ρfLm ·Ln = 0 . (1.28)

On en déduit le système de 6 équations à 6 inconnues traduisant le bilan des efforts exercés

sur la fondation :

KsC + Tb − ω2MfC = Fs , (1.29)

où apparaissent :

– le vecteur C des paramètres du déplacement de la fondation selon les 6 modes de corps

rigide : [C]m = cm.


– la matrice Ks (6×6) de l’impédance généralisée du sol au niveau de la fondation, encore

appelée impédance de fondation,

[Ks]mn =ZΓfs

ts(umd ) ·LndΓ , (1.30)

dont l’interprétation physique évidente justifie son utilisation courante. Prenons par

exemple Ln = ei, i = 1, 3, dans l’expression précédente, soit l’un des trois mouvements

de translation possible de la fondation. Le terme [Ks]im, m = 1, 6, correspond alors à la

projection sur l’axe ei de la résultante des efforts appliqués par umd sur la fondation. Si

on se souvient que umd est le champ radié par un mouvement (translation ou rotation)

unitaire de la fondation selon le mode de corps rigide m, on en déduit que [Ks]im est

la résultante selon ei des efforts exercés par le sol sur la fondation soumise au même

déplacement unitaire (en l’absence de champ incident évidemment). Si on considère

maintenant l’une des trois rotations Li = (x − xG) ∧ ei, i = 3, 6 (cf équation (1.17)),

alors [Ks]im s’interprète comme le moment résultant autour de ei des efforts exercés par

le sol sur la fondation soumise au mouvement unitaire Lm ;

– la force sismique équilavente Fs au niveau de l’interface Γfs,

[Fs]m = −ZΓfs

ts(ui + u0d) ·LmdΓ m = 1, 6 , (1.31)

qui représente les efforts exercées par le sol sur la fondation lorsque celle-ci est fixe ;

– le vecteur Tb résultante des efforts du bâtiment sur la fondation,

[Tb]m =ZΓfb

tb(ub) ·LmdΓ m = 1, 6 . (1.32)

Si le bâtiment est modélisé par une poutre continue, Tb coïncide (aux conventions de

signe près) avec le torseur des éléments de réduction (au sens de la résistance des ma-

tériaux : effort normal, efforts tranchants, moments fléchissants, moment de torsion)

exprimés dans la section Γfb.

– la matrice d’inertie de la fondation Mf :

[Mf ]mn =ZΩf

ρfLm ·Ln .

Si les directions définies par les vecteurs (e1, e2, e3) coïncident avec celles des axes cen-

traux d’inertie de la fondation (si la fondation a un axe de symétrie, il suffit que le repère

soit orienté de telle façon que l’un des vecteurs de base s’aligne sur cet axe de symétrie),

alors la matrice d’inertie de la fondation est diagonale, les 3 premiers termes diagonaux

étant la masse de la fondation, les trois suivants les moments d’inertie autour des axes

(G, ei).


L’équation (1.29), obtenue grâce à la propriété de linéarité du problème, met en évidence la

puissance de ce raisonnement en sous-domaine. Le calcul de la réponse de la structure est

ramené à la résolution d’un problème de vibration, linéaire dans l’espace fréquentiel, après

qu’ont été effectués, une fois pour toute, les calculs indépendants :

– de la matrice d’impédance qui condense toute l’information sur la propagation des ondes

rayonnées dans le sol non borné et représente la rigidité du sol telle qu’elle est perçue

par la structure (cf 1.2.5) ;

– de la force sismique équivalente, caractéristique du chargement sismique (cf 1.2.6).

1.2.5 Propriétés de l’impédance de fondation

Comme nous l’avons souligné dans la section précédente, l’impédance de fondation relie la

résultante des forces et des moments de contact aux six composantes du déplacement de corps

rigide de la fondation. Il s’agit donc d’appliquer une condition aux limites en déplacement à

l’interface sol structure, de calculer la réponse du sol et plus particulièrement la distribution du

vecteur contrainte sur l’interface, soit puisque la fondation est rigide, le torseur correspondant.

Nous reviendrons plus en détail sur les méthodes de résolution de ce problème complexe aux

conditions aux limites mixtes (déplacement imposé au niveau de la fondation, contrainte nulle

en surface libre) à la section 3.1. Contentons nous pour l’instant de commenter deux propriétés

fondamentales de l’impédance de fondation :

– Par application du principe de réciprocité1 la matrice d’impédance est symétrique :

[Ks]mn =ZΓfs

ts(umd ) ·LndΓ =

ZΓfs

ts(umd ) · ts(un

d )dΓ

=ZΓfs

ts(und ) · ts(um

d d)Γ =ZΓfs

ts(und ) ·LmdΓ = [Ks]nm .

ce qui réduit déjà considérablement la quantité de calculs nécessaires. De plus, si la

fondation présente une symétrie selon les plans verticaux (e1, e3) et (e2, e3), les mouve-

ments se découplent deux à deux et la matrice d’impédance prend (après changement

1Soient deux champs ud et u′d satisfaisant l’équation de Navier (1.11), la condition de surface libre (1.12)

et la condition de radiation à l’infini (1.13). Alors par intégration par parties nous obtenons le principe deréciprocité : Z

Γfs

ts(ud) · u′ddΓ =

ZΓfs

ts(u′d) · uddΓ (1.33)


dans l’ordre des termes) la forme quasi-diagonale :8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:Fs1

Ms1

Fs2

Ms2

Fs3

Ms3

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; =

2666666666666664KH1 KH1θ2 0 0 0 0

KH1θ2 Kθ1 0 0 0

0 0 KH2 KH2θ1 0 0

0 0 KH2θ1 Kθ2 0 0

0 0 0 0 KH3 0

0 0 0 0 0 Kθ3

37777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

u1

θ1

u2

θ2

u3

θ3

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; (1.34)

où u1 et u2 désignent les translations horizontales selon les axes de symétrie e1 et e2,

u3 la translation verticale d’axe e3, θi, i = 1, 3, la rotation autour de l’axe ei, Fsi,

i = 1, 3, la résultante des forces de contact selon ei et Msi, i = 1, 3, la résultante des

moments de contact par rapport à (G, ei). Ne subsistent que les termes de couplage

entre le mouvement de translation (tamis) selon l’un des deux axes de symétrie et le

mouvement de rotation (roulis ou basculement) selon l’autre axe de symétrie : KH1θ2 et

KH2θ1.

– Par ailleurs, les coefficients de la matrice d’impédance sont complexes, ce qui dans l’es-

pace fréquentiel traduit une perte d’énergie. Cette perte a deux origines bien distinctes :

– les champs rayonnés par la fondation sont porteurs d’une énergie qui est dissipée

par radiation de ces ondes vers l’infini. On parle d’amortissement géométrique ou

encore d’amortissement radiatif qui caractérise le phénomène d’interaction entre une

structure et le sol non borné ;

– la dissipation par amortissement hystérétique du sol qui implique que les champs

rayonnés, solutions d’une équation à coefficients complexes (l’équation de Navier

(1.8)), sont eux-mêmes à valeur complexe.

Il est courant de définir les coefficients Keqα = Re Kα et Ceq

α = Im Kα/ω de manière à ce

que l’impédance du sol Kα = Keqα +iωCeq

α soit analogue à celle d’un appui visco-élastique

associant en parallèle un ressort et un amortisseur (figure 1.4). Cette représentation

commode n’a de sens que dans l’espace fréquentiel puisque dans le cas général Keqα et

Ceqα varient avec la fréquence. Elle ne peut en aucun cas servir de modèle physique

de l’impédance de fondation, en particulier dans le domaine temporel, à moins que les

coefficients de rigidité et de viscosité équivalents soient quasi constants dans la gamme

de fréquence considérée.


Keqα Ceq

α

Pα uα

Fig. 1.4 – Analogie avec un modèle visco-élastique de type Kelvin-Voigt

1.2.6 Propriétés de la force sismique équivalente : notion d’interaction ci-

nématique

L’autre point clé du calcul de la réponse du système sol structure concerne le calcul de la

force sismique équivalente Fs (équation (1.31)). Notons tout d’abord que la détermination de

cette force sismique est liée à la connaissance du mouvement sismique en champ libre ui aux

côtes coïncidant avec celles de l’interface sol fondation. En revanche, puisque par application

du principe de réciprocité aux champs u0d et um

d (cf note 1 page 19),

[Fs]m = −ZΓfs

ts(ui + u0d) ·LmdΓ

= −ZΓfs

ts(ui) ·LmdΓ −ZΓfs

ts(u0d) · um

d dΓ (cf (1.27))

= −ZΓfs

ts(ui) ·LmdΓ −ZΓfs

ts(umd ) · u0

ddΓ

=ZΓfs

ts(umd ) · uidΓ −

ZΓfs

ts(ui) ·LmdΓ , (cf (1.23))

le calcul de u0d est superflu.

La physique de la force sismique est plus facile à appréhender si on la ré-exprime, comme cela

est fait classiquement, en fonction de la réponse C0 de la fondation sans masse et en l’absence

de superstructure, soit en posant M = 0 et Tb = 0 dans l’équation (1.29) :

Fs = KsC0 . (1.35)

C0 définit le mouvement induit de la fondation dans l’interaction cinématique. Il est, dans le

cas général, différent du mouvement du sol en champ libre :

6Xm=1

[C0]mLm 6= ui sur Γfs .

Cette différence, due à l’incompatibilité cinématique entre la déformation du sol calculée en

champ libre et l’interface rigide de la fondation, est couramment appelée interaction cinéma-

tique. En utilisant la relation (1.35) pour éliminer la force sismique dans l’équation (1.29), on


ui

Ωb

Ωf

Ωs

interaction cinematique

calcul de l’impedance

interaction sol structure

Keq

Ceq

Ωs

1

C0

Ωb

ΩfK

eq

Ceq

uiΩs

C0

Fig. 1.5 – Décomposition en trois étapes du calcul de la réponse du système sol structure

obtient :

Ks(C −C0) + Tb − ω2MfC = 0 (1.36)

qui correspond à l’équilibre dynamique de la fondation, soutenant la superstructure et reposant

sur un appui de rigidité (selon chacun des degrés de liberté) donnée par l’élément correspondant

de la matrice d’impédance, appui lui-même soumis à un déplacement C0. On en déduit que

le calcul exact de la réponse de la structure passe par les trois étapes suivantes :

1. le calcul du mouvement de la fondation sans masse dû à l’action sismique : C0 ;

2. le calcul de la matrice d’impédance de la fondation ;

3. le calcul de la réponse du système superstructure+fondation reposant sur les impédances

calculées au 2 et soumis au déplacement d’appui calculé au 1.

Le principe de ce calcul est représenté schématiquement à la figure 1.5.

Dans le cas particulier d’une fondation superficielle, l’interface sol fondation est confondue

avec la surface libre (Γfs ⊂ Γs), de sorte que le vecteur contrainte de l’excitation sismique, nul

par définition sur la surface libre, est nul également sur l’interface sol fondation : ts(ui) = 0

sur Γfs. On en déduit une expression simplifiée de la force sismique équivalente :

[Fs]m =ZΓfs

ts(umd ) · uidΓ .

Si de plus l’excitation sismique ui est une onde plane à incidence verticale (onde P ou S), ui

1.3. Bilan intermédiaire 23

se ramène à une translation sur l’interface Γfs. Il vient :

[Fs]m = ui ·ZΓfs

ts(umd )dΓ

⇒ Fs = Ksui

⇒ C0 = ui sur Γfs .

Il apparaît donc que dans le cas d’une fondation superficielle soumise à des ondes en incidence

verticale, le mouvement de la fondation sans masse est égal au mouvement du sol en l’absence

d’ouvrage. Il n’y a pas d’interaction cinématique2 et l’approche intuitive qui consiste à calculer

la réponse du bâtiment posé sur des « ressorts de sol » dont la base est excitée par le mouvement

sismique en champ libre est exacte dans ce cas.

1.2.7 Sollicitations non sismiques

Il convient pour compléter cette formulation de l’interaction sol structure d’envisager

d’autres types de sollicitations, en particulier les sollicitations appliquées directement à la

structure : choc, excitation harmonique, vent, etc... Le traitement de ces modes de chargement

est en tout point identique à celui de l’excitation sismique. En l’absence de champ sismique in-

cident ui, par conséquent de champ diffracté ud donc de force sismique équivalente, l’équilibre

de la fondation devient :

KsC + Tb − ω2MfC = 0 (1.37)

où la résultante Tb des efforts transmis par la structure à la fondation inclut implicitement le

chargement extérieur exercé sur la structure. On retrouve un résultat évident conforme à la

signification physique de l’impédance : le sol agit, dans l’espace fréquentiel, comme un appui

dont la rigidité relative à chaque degré de liberté de la fondation est donnée par la valeur

correspondante de l’impédance de fondation.

Cette conclusion reste évidemment vraie en l’absence de sollicitation, c’est à dire pour les

oscillations libres de la structure.

1.3 Bilan intermédiaire

La formulation présentée à la section précédente a permis de décomposer l’analyse du sys-

tème sol structure en trois étapes : l’interaction cinématique entre le champ sismique incident

et la fondation rigide, le calcul de la matrice d’impédance de la fondation, l’étude des vibrations

de la structure en appui sur les ressorts de sol et excitée par la force sismique équivalente (in-

2notons que le raisonnement mathématique présenté ici ne fait que confirmer un résultat évident : lafondation superficielle et sans masse est absolument invisible pour l’onde plane en incidence verticale.


teraction inertielle) et/ou des forces externes appliquées directement à la structure. Ces étapes

constituent des problèmes indépendants et chacun d’eux est un sujet de recherche à part en-

tière. L’interaction cinématique, cependant, n’a qu’un intérêt secondaire dans le contexte de

cette étude :

– elle n’agit pas sur les caractéristiques modales du système sol structure sur lesquelles

portent l’essentiel de ce travail ;

– elle a peu d’interaction avec l’identification expérimentale de ces caractéristiques modales

à partir des mesures réalisées in situ par notre laboratoire. Elle n’intervient évidemment

pas dans les essais de mise en vibration de la structure à l’aide de chocs ou d’un excita-

teur harmonique. Par ailleurs, l’interaction cinématique entre le bruit de fond, d’origine

et de nature aléatoire, et la fondation, ne peut de toute façon pas être évaluée (ni bien

sûr mesurée). Cette question est étudiée plus en détail au 2.2.5 ; on montre que si l’inter-

action sol structure est significative, alors au voisinage de la résonance du système, les

mouvements de la fondation dans l’interaction cinématique sont très petits par rapport

aux mouvements dans l’interaction inertielle. Avec cette propriété, les caractéristiques

essentielles du système sol structure peuvent être identifiées sans qu’il soit nécessaire

d’aborder la question complexe de l’interaction cinématique.

Au bilan, il apparaît que les points clés de la prise en compte de l’interaction sol structure

sont : le calcul de l’impédance de fondation, puis l’étude de l’interaction inertielle, c’est à dire

de la dynamique de la structure dont la condition d’appui (à sa base) est contrôlée par cette

impédance de fondation. Ces points sont l’objet des chapitres suivants.

Chapitre 2

Dynamique de l’interaction inertielle

sol structure

25

26 Chapitre 2. Dynamique de l’interaction inertielle sol structure

Le chapitre précédent a permis de définir le cadre théorique permettant d’appréhender

l’interaction sol structure : la prise en compte du sol se fait naturellement par l’introduction

à la base de la superstructure d’une condition d’appui, à la fois élastique et dissipative, dé-

pendant de la fréquence, qu’il est convenu d’appeler impédance de fondation. Le calcul de

l’impédance de fondation, qui ne dépend que des caractéristiques géométriques et mécaniques

de la fondation et du sous-sol, est comme on l’a déjà souligné le point clé de toute étude de

l’interaction sol structure.

Toute étude paramétrique, destinée à donner un aperçu général de l’interaction sol struc-

ture, se trouve limitée par rapport à ses objectifs, compte tenu du fait que :

– en pratique, le sous-sol se présente dans un nombre de configurations quasi infini ;

– le calcul numérique de l’impédance nécessite des calculs complexes et/ou de fortes ap-

proximations, qui introduisent une part d’incertitude dans les résultats.

En revanche les structures, tout du moins les bâtiments modernes, réguliers en plan et en

élévation, qui sont l’objet d’étude de ce mémoire, peuvent être ramenées à un nombre limité

de modèles élémentaires qui captent l’essentiel de leur comportement (Hans, 2002; Boutin et

Hans, 2003; Boutin et coll., 2005). C’est pourquoi il est intéressant de commencer par étudier

au plus près les systèmes constitués de ces modèles élémentaires, soumis à une condition

d’appui souple non explicitée, dont on sait seulement et avec certitude qu’elle s’exprime dans

le domaine fréquentiel par un ratio entre résultante des efforts et déplacement (impédance),

complexe et à coefficients dépendant de la fréquence (cf. 1.2.5). Ce faisant, ce chapitre poursuit

conjointement trois objectifs principaux :

– Introduire l’approche par modes complexes et établir des passerelles vers l’analyse mo-

dale classique, plus simple et mieux connue.

– Expliciter de manière rigoureuse les relations permettant de déterminer, à partir de

mesures in situ correctement ciblées, les propriétés modales (éventuellement des modes

complexes) du système sol structure, d’identifier par une analyse inverse les caractéris-

tiques structurelles et les conditions d’appui (impédances de fondations). Des recomman-

dations, conclusions, et commentaires sont formulés de manière différenciée en fonction

du type de sollicitation envisagé : réponse sismique, à un excitateur harmonique, aux vi-

brations ambiantes communément appelées bruit de fond, à un choc exercé directement

sur la structure.

– Comme fondement à l’étude paramétrique du chapitre suivant, écrire les équations dy-

namiques et modales pour chaque modèle de structure élémentaire, sur base rigide ou en

interaction avec le sol. Dégager lorsque c’est possible, par une formulation judicieuse ou

des approximations correctement justifiées, les grandes tendances des effets qualitatifs

de la condition d’appui souple et dissipatif, tendances communes ou différenciées selon

le type de structure considéré.

2.1. Modèle masse-ressort-amortisseur de référence 27

c

k

m

f(t)

ug(t)

Fig. 2.1 – Modèle de référence à un degré de liberté

Le lecteur doit être averti que les deux premiers objectifs sont atteints dans le cas particulier

du modèle brochette, qui fait l’objet d’une littérature abondante ; les résultats mis en évidence

sont cependant transposables et généralisables sans difficulté à tout type de structure.

2.1 Modèle masse-ressort-amortisseur de référence

Avant d’entrer dans le vif du sujet, on s’intéresse au système élémentaire constitué d’une

masse m, un ressort de rigidité k et un amortisseur visqueux de constante d’amortissement c

(figure 2.1). Il s’agit du modèle de référence en dynamique des structures et en génie parasis-

mique. Toute la philosophie de l’approche modale dans ces deux domaines consiste à ramener

(lorsque c’est possible) un système comprenant un nombre « grand » (infini dans la réalité) de

degrés de liberté, au modèle de référence grâce aux méthodes de décomposition-recomposition

modales. La réponse dynamique de ce système à une sollicitation quelconque est alors calculée

en fonction de la réponse de chacun de ses modes, déduite de celle du système à un degré de

liberté élémentaire doté des mêmes caractéristiques de fréquence propre et d’amortissement.

L’objectif de cette partie n’est pas de faire un exposé exhaustif de la dynamique du modèle

masse-ressort-amortisseur (Clough et Penzien, 1993) mais simplement de rappeler quelques

propriétés et définitions utiles pour l’étude et la compréhension physique de la dynamique des

systèmes plus complexes, en particulier : le formalisme de résolution par les modes complexes

pour le calcul de la réponse temporelle, les réponses impulsionnelles ou fonctions de transfert

caractérisant la réponse du système dans le domaine fréquentiel.

2.1.1 Equation de vibration du modèle à 1 degré de liberté

On considère les trois types de sollicitation présentant un intérêt pour ce travail de thèse,

– une force harmonique f(t) appliquée sur la masse, correspondant aux essais à l’excitateur

à balourds,

– une excitation par déplacement d’appui ug(t) pour modéliser l’action du bruit de fond

ou d’un séisme,


– l’absence de sollicitation pour l’identification des oscillations libres (après choc ou essai

harmonique).

Le déplacement de la masse dans un référentiel lié à l’appui, que nous qualifierons de dépla-

cement « interne »parce qu’il est représentatif des déformations internes à la structure, est

noté u. ut désigne le déplacement absolu ou « total »par rapport à un référentiel galiléen :

ut = u + ug. L’équation du mouvement s’écrit :

mu + cu + ku = −mug + f(t) (2.1)

2.1.2 Oscillations libres

On présente la résolution de l’équation homogène de vibration (c’est à dire sans second

membre), en utilisant un formalisme analogue à celui des modes complexes (Meirowitch, 1967).

On cherche les solutions de la forme G∗ exp(iω∗t) où le signe ∗ indique que ces valeurs sont

éventuellement complexes. On aboutit à l’équation du second degré

−ω∗2 + 2iξ0ω0ω∗ + ω2

0 = 0, (2.2)

où ω0 =

rk

mest la pulsation propre non-amortie, ξ0 =

c

2√

kmle facteur d’amortissement du

système. La valeur de ξ0 induit des types de comportement très différents :

– dans le cas le plus courant où ξ0 < 1, on dit que le système est sous-amorti et les

solutions de (2.2) sont

ω∗0 = iξ0ω0 − ω0

È1 − ξ2

0 et − ω∗0 = iξ0ω0 + ω0

È1 − ξ2

0 .

Dans le cadre de l’analyse par modes complexes, on appellera ω∗0 la fréquence propre

complexe du système, qui intègre l’effet de l’amortissement. On constate en outre que

ξ0 =Im(ω∗

0)

‖ω∗0‖

.

L’expression du déplacement est alors donnée par

u(t) = exp(−ξ0ω0t)G∗ exp(−iω0

È1 − ξ2

0t) + G∗ exp(iω0

È1 − ξ2

0t),

où G∗ désigne le conjugée de G∗ de manière à ce que les parties imaginaires s’annulent,

ou encore

u(t) = 2 exp(−ξ0ω0t)ReG∗ exp(−iω0

È1 − ξ2

0t)

= 2 exp(−ξ0ω0t)Re(G∗) cos(ω0

È1 − ξ2

0t) + Im(G∗) sin(ω0

È1 − ξ2

0t).


G∗ est déterminée en fonction des conditions initiales en vitesse et déplacement, u(0)

et u(0), mais le calcul ne présente pas d’intérêt particulier. Il faut noter surtout que le

mouvement de la masse est une oscillation amortie de pseudo-pulsation ω0

È1 − ξ2 =

Re(‖ω∗0‖) et de temps caractéristique de retour vers l’équilibre 1/(ξ0ω0) = 1/ Im(‖ω∗

0‖).Au bilan, les solutions complexes de l’équation aux fréquences propres (2.2) comprennent

une partie réelle qui correspond à la pulsation des oscillations libres, autrement dit à la

pulsation « naturelle » de vibration du système, une partie complexe traduisant l’effet

de l’amortissement.

– Si ξ0 > 1, le système est dit sur-amorti. C’est un cas rare en dynamique des structures

mais prévu par la théorie pour certains systèmes sol structure. L’équation (2.2) a deux

racines purement complexes

ω∗0 = i(ξ0ω0 ± ω0

Èξ20 − 1),

et les solutions de l’équation de vibration sont de la forme

u(t) = exp(−ξ0ω0t)A sinh(ω0

Èξ20 − 1) + B cosh(ω0

Èξ20 − 1)

.

On constate que la réponse du système ne comporte aucune oscillation autour de la

position de déplacement nul. Le retour à l’équilibre s’effectue de manière monotone.

Les commentaires ci-dessus, tirés de l’expression du déplacement restent valables, en totalité,

pour l’accélération.

2.1.3 Réponse à un chargement harmonique

La masse m est soumise à un chargement harmonique d’amplitude f0 et de pulsation ω.

Après l’établissement rapide du régime permanent, le système oscille de manière harmonique

à la même fréquence que l’excitation. Le calcul temporel est trivial et n’apporte pas d’informa-

tion supplémentaire par rapport au calcul dans le domaine fréquentiel beaucoup plus direct.

L’amplitude et la phase de la réponse du système sont celles de sa transformée de Fourier,

obtenue directement à partir de l’équation (2.1) (pour ug = 0), soit

u(ω) =1

1 −

ω

ω0

2

+ 2iξ0

ω

ω0

f0

mω20

δω = Dω0,ξ0d (ω)

f0

kδω = Dω0,ξ0

d (ω)f0

kδω (2.3)

où δω est un Dirac centré sur la pulsation de la sollicitation, et

Dω0,ξ0d (ω) =

1

1 −

ω

ω0

2

+ 2iξ0

ω

ω0

.


0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ω/ω0

ampl

ifica

tion

dyna

miq

ue

0 1 2 30

pi/2

pi

ω/ω0

déph

asag

e

ξ=0

ξ=0.05

ξ=0.1

ξ=0.2

ξ=0.5

ξ=0.7 ξ=1

ξ=0

ξ=0.05

ξ=0.1

ξ=0.2

ξ=0.5

ξ=0.7

ξ=1

Fig. 2.2 – Modèle élémentaire à 1 degré de liberté : réponse en déplacement.

La phase de u est donnée par la phase de Dω0,ξ0d (ω). Son amplitude est l’amplitude de la

réponse statique f0/(mω20) = f0/k amplifiée d’un facteur dépendant de la fréquence de la

sollicitation ‖Dω0,ξ0d (ω)‖, parfois appelé amplification dynamique en déplacement du système

à la pulsation ω. Les courbes de variation des caractéristiques de Dω0,ξ0d en fonction de la

fréquence ont été représentées à la figure 2.2. Le phénomène de résonance du système est mis

en évidence. Il est caractérisé, pour ξ0 < 1/√

2, par un pic de réponse à la pulsation de réso-

nance ωRd = ω0

È1 − 2ξ2. L’amplitude du pic, lorsqu’il existe, est donnée par 1/(2ξ

È1 − ξ2).

La valeur du facteur d’amortissement apparaît ainsi comme déterminante pour la réponse

maximale du système. On constate par ailleurs que la masse oscille en phase avec l’excitation

pour les fréquences très inférieures à la fréquence de résonance, en opposition de phase pour

les fréquences très supérieures, et en quadrature à la résonance. Une étude analogue peut

être effectuée pour la réponse en accélération, plus adaptée à l’interprétation des mesures

accélérométriques. On a cette fois

ˆu(ω) = −ω2u(ω) = −

ω

ω0

2

1 −

ω

ω0

2

+ 2iξ0

ω

ω0

f0

mδω = Dω0,ξ0

a (ω)f0

mδω. (2.4)

Les caractéristiques de Dω0,ξ0a , amplification dynamique et phase en accélération, légèrement

différentes de celles de Dω0,ξ0d sont représentées à la figure 2.3. Des commentaires identiques

à ceux livrés dans le cas de la réponse en déplacement s’appliquent. En corollaire à ce qui


0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ω/ω0

ampl

ifica

tion

dyna

miq

ue

0 1 2 30

pi/2

pi

ω/ω0

déph

asag

e

ξ=0

ξ=0.05

ξ=0.1

ξ=0.7 ξ=0.5

ξ=0.2

ξ=1

ξ=0

ξ=0.05

ξ=0.1

ξ=0.2

ξ=0.5

ξ=0.7

ξ=1

Fig. 2.3 – Modèle élémentaire à 1 degré de liberté : réponse en accélération.

vient d’être dit, la figure 2.4 illustre l’application de la méthode de la bande-passante pour la

détermination expérimentale du facteur d’amortissement ξ0.

2.1.4 Réponse à une sollicitation par déplacement d’appui

On déduit directement, par transformée fourier de l’équation (2.1) (avec f(t) = 0),

u(ω) =1

1 −

ω

ω0

2

+ 2iξ0

ω

ω0

− ûg

ω20

= −Dω0,ξ0

d (ω)

ûg

ω20

(2.5)

û(ω) =

ω

ω0

2

1 −

ω

ω0

2

+ 2iξ0

ω

ω0

ûg = −Dω0,ξ0a (ω)ûg, (2.6)

où Dω0,ξ0d et Dω0,ξ0

a ont déjà été largement commentés au paragraphe précédent. En se sou-

venant que la transformées de Fourier d’une impulsion est une constante, on peut donner

une nouvelle interprétation de ces grandeurs comme les transformée de Fourier des réponses

impulsionnelles respectivement en déplacement et en accélération.

Enfin, il est intéressant de présenter les rapports spectraux relatifs au déplacement absolu

de la masse ut = u + ug puisque c’est là la grandeur directement accessible par les mesures


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

ω/ω0

ampl

itude

de

la r

épon

se e

n ac

célé

ratio

n

1/(2ξ0(1−ξ

02)1/2)

largeur bande passante: ∆ω/ω

Ra=2ξ

0+4ξ

03+O(ξ

07)

pulsation de résonance ω

Ra=ω

0/(1−2ξ

02)1/2

Fig. 2.4 – Caractéristiques de la réponse en accélération : détermination du facteur d’amor-tissement par la méthode de la bande-passante.

2.2. Modèle discret du type « brochette » 33

accélérométriques. Après calcul, on obtient

ût(ω) =1

1 −

ω

ω0

2 1

1 + 2iξ0ω

ω0

ûg = Dω0,ξ0at

(ω)ûg, (2.7)

où Dω0,ξ0at

apparaît donc comme la réponse impulsionnelle en accélération totale. Ses propriétés

diffèrent de nouveaux légèrement de Dω0,ξ0d et Dω0,ξ0

a par la valeur de la pulsation de résonance

(pour laquelle l’amplitude de la réponse est maximale),

ωRat = ω0

ÌÈ1 + 8ξ2

0 − 1

4ξ20

, (2.8)

de nouveau très proche de ω0 pour les ξ0 modérés.

Remarque : Les rapports spectraux définis ci-dessus (Dω0,ξ0d (ω), Dω0,ξ0

a (ω), Dω0,ξ0at

(ω)) sont

tous infinis à la fréquence complexe définie pour les oscillations libres ω∗0 = iξ0ω0±ω0

È1 − ξ2

0 .

2.2 Modèle discret du type « brochette »

Le modèle brochette est un modèle très classique en génie parasismique, utilisé pour mo-

déliser le comportement de bâtiments multi-portiques à planchers rigides. Sa nature discrète

le rend particulièrement adapté à l’empilement d’étages qui caractérise les structures d’habi-

tation. Elle se prête mal, en revanche, à l’adimensionnalisation dont nous avons fait un des

objectifs de notre étude de l’interaction sol structure. C’est pourquoi son analogue continu,

le modèle de poutre de cisaillement, a été privilégié dans l’étude paramétrique du chapitre

3. Il paraît indispensable cependant, avant d’envisager la transposition aux modèles continus,

de présenter ce modèle dont l’analyse modale, en présence d’interaction sol structure, a fait

l’objet d’une littérature abondante.

2.2.1 Principe de la modélisation

Le moment d’inertie massique Ji et la masse mi d’un étage (i) calculées telles qu’au 2.3.1.3

sont concentrées au niveau du plancher supérieur à la côte hi par rapport au sol (figure 2.5).

Ces éléments d’inertie sont reliés par un ressort de rigidité ki équivalente à celle de l’étage,

obtenue avec l’hypothèse des planchers rigides. On ajoute éventuellement un amortisseur ci

pour rendre compte de la dissipation d’énergie lors de la déformation de la structure, parfois

appelée amortissement structurel. Une structure de n étages se réduit ainsi à un système à n

degrés de liberté internes (les déplacements internes ui) auxquels s’ajoutent les mouvements

de corps rigides de la fondation dont on ne retient que ceux présentant le plus d’intérêt du


Kθ Cθ

KH

CH

θ0

u0

uihiθ0

ki, ci

hi

mi, Ji

ug

θg

Fig. 2.5 – Vibration du modèle brochette

point de vue de la réponse sismique, la translation horizontale u0 et le balancement θ0. La

fondation est considérée comme sans masse, ce qui a peu d’influence sur la dynamique du

système (Perelman et coll., 1968).

Comme on l’a vu à la section 1.2, l’action dynamique du sol sur la fondation est décrite, de

la manière la plus commode, par la matrice d’impédance de la fondation et le mouvement

de la fondation sans masse en interaction cinématique avec l’excitation sismique, tous deux

limités par hypothèse aux degrés de liberté de translation horizontale (tamis) et de rotation

par rapport à l’axe perpendiculaire (roulis ou balancement). Par analogie avec des appuis

visco-élastiques, on introduit les ressorts et amortisseurs équivalents de coefficients KH et CH

pour la translation, Kθ et Cθ pour le balancement. On rappelle que cette analogie n’est valable

que dans l’espace de Fourier puisqu’en toute rigueur ces coefficients de rigidité et de viscosité

dépendent de la fréquence. Les termes de couplage de la matrice d’impédance sont, comme

il est d’usage, négligés. On note enfin ug et θg, la translation, respectivement le basculement,

de la fondation dans l’interaction cinématique. On rappelle que dans le cas d’une fondation

superficielle et d’une onde plane SH en incidence verticale, θg est nulle et ug strictement égal

au mouvement sismique en champ libre.

2.2.2 Équation de vibration du modèle « brochette »sur sol souple

On établit l’équation de vibration sur sol souple du modèle brochette, sollicité par les dé-

placements d’appui ug et θg et les forces horizontales fi appliquées directement aux noeuds de

la structure (vent, excitateur à balourd...). On raisonne (abusivement) dans le domaine tempo-


rel bien qu’encore une fois les coefficients d’impédance dépendent de la fréquence. L’équilibre

dynamique du système sol structure est déduit classiquement (Bielak, 1976) de l’équilibre

dynamique

– du ième étage animé du déplacement ug + u0 + hi(θ0 + θg) + ui, soumis aux forces de

rappel internes et à fi :

mi(u0 + hiθ0 + ui) +Xj

cij uj +Xj

kijuj = −miug − mihiθg + fi, (2.9)

où les cij et kij s’expriment trivialement en fonction des rigidités et constantes d’amor-

tissement des étages,

– de la structure vis à vis de la translation d’ensemble :Xi

miu0 +X

i

mihi

θ0 +

Xi

miui + CH u0 + KHu0 = −X

i

miug −X

i

mihiθg +X

i

fi

(2.10)

– et de la structure vis à vis du basculement d’ensemble :Xi

mihi

u0 +

Xi

mih2i + Ji

θ0 +

Xi

mihiui + Cθθ0 + Kθθ0 = −X

i

mihi

ug

−X

i

mih2i + Ji

θg +

Xi

hifi. (2.11)

Réunissant les trois équations précédentes, on obtient l’équation matricielle de vibration du

modèle brochette sur sol souple :266664 M Mδ Mh/h1

tδM tδMδtδMh/h1

thM/h1thMδ/h1

Pi Ji/h2

1 + thMh/h21

3777758>><>>: u

u0

h1θ0

9>>=>>;+

266664 C 0 0

t0 CH 0

t0 0 Cθ/h21

3777758>><>>: u

u0

h1θ0

9>>=>>;+

26664 K 0 0

t0 KH 0

t0 0 Kθ/h21

377758>><>>: u

u0

h1θ0

9>>=>>; = −

8>><>>: Mδ

tδMδ

tδMh/h1

9>>=>>; ug −

8>>><>>>: Mh/h1

tδMh/h1Pi Ji/h2

1 + thMh/h21

9>>>=>>>;h1θg

+

8>>><>>>: f

tδf

thf/h1

9>>>=>>>; ,

(2.12)notée de manière synthétique : Ms+ Cs+ Ks = p


où δ = t1 1 . . . 1, h = th1 h2 . . . hn et f = tf1 f2 . . . fn. M, C et K sont les matrices de

masse, d’amortissement et de rigidité de la superstructure sur base fixe :

M =

266666666666666664m1 0 0

0 m2

m3

mn−1 0

0 0 mn

377777777777777775C =

2666666666666666666664c1 + c2 −c2 0 0

−c2 c2 + c3 −c3

0 −c3

−cn−1 0

− cn−1 cn−1 + cn −cn

0 0 −cn cn

3777777777777777777775K =

26666666666666666666664k1 + k2 −k2 0 0

−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3

−kn−1 0

− kn−1 kn−1 + kn −kn

0 0 −kn kn

37777777777777777777775.

La résolution de l’équation de vibration (2.12), par une approche de superposition modale

classique, pose problème. Les difficultés rencontrées, propres au système sol structure ont

deux origines. D’une part, l’amortissement radiatif, concentré au niveau de l’appui, est par

nature non proportionnel et induit un couplage des modes non-amortis. D’autre part Kθ et


Cθ, c’est à dire l’impédance de la fondation, varient avec le rapport entre longueur d’onde

des ondes émises dans le sol et dimension de la fondation (cf. 3.1), si bien que la matrice

de rigidité du système sol structure dépend de la fréquence. Par conséquent, le problème

condensé (puisque le sol infini est ramené aux seules impédances) « structure + impédances

de fondation », dépendant de la fréquence, s’écarte du cadre stricte de l’analyse modale.

Malgré tout, l’analyse modale, qui est à la base de la plupart des méthodes développées en

génie parasismique tout en apportant un éclairage indispensable pour la compréhension du

comportement dynamique, reste incontournable. Ce sentiment est renforcé par le fait que

cette difficulté théorique est un effet artificiel de la condensation du système « structure - sol

infini ». Les spectres expérimentaux montrent, de toute évidence, que ce système répond selon

des modes propres de vibration. Nous présentons dans ce qui suit deux extensions intéressantes

de l’analyse modale et les hypothèses qu’elles sous-tendent.

2.2.3 Résolution approchée de l’équation de vibration par la méthode mo-

dale classique

On peut, au prix d’un certain nombre d’approximations, appliquer une analyse modale

classique au système sol structure. Cette démarche, dont les premiers développements sont

dus à Roesset et coll. (1973), Novak (1974, 1975), Rainer (1975) et Bielak (1976), est parti-

culièrement avantageuse pour les systèmes sol structure à faible amortissement radiatif. Elle

a en outre l’intérêt d’enrichir la compréhension mécanique du phénomène.

2.2.3.1 Principe de la méthode

La première hypothèse simplificatrice consiste à supposer que la variation de Kθ est mo-

dérée dans l’intervalle de fréquence considéré et peut être raisonnablement approchée par la

valeur constante Kθ(ω1) correspondant à la fréquence fondamentale (recherchée) du système

sol structure. En génie parasismique, ce choix s’avère être le plus judicieux dans la mesure où

la contribution du premier mode est en général la plus significative (Bielak, 1976). On note φi

et ωi les iième déformées modales et fréquence propre « non-amortis » du système sol structure

(C = 0), solutions du problème aux valeurs propres

K(ω1)φi = ω2i Mφi, (2.13)

Dans la pratique, cette équation est résolue par itération pour i = 1 de manière à trouver

ω1. En outre, grâce au choix d’une valeur constante de l’impédance, on dispose des relations

d’orthogonalité usuelles :

tφiMφj = 0 et tφiKφj = 0 pour i 6= j. (2.14)


Revenant au problème général incluant l’amortissement, on décompose la solution de (2.12)

sur la base des modes non-amortis :

s(t) =X

i

φiqi(t), (2.15)

où les qi sont les coordonnées généralisées du problème, et on réinjecte dans (2.12). En pré-

multipliant par la transposée de Φj et en tenant compte de l’orthogonalité des modes vis à

vis des matrices de masse et de rigidité, on aboutit à l’équation scalaire

tφjMφj qj(t) +X

i

tφjCφiqi(t) + tφjK(ω1)φjqj(t) = tφjp(t), (2.16)

où p(t) est le second membre correspondant à la sollicitation. L’analyse du termeXi

tφjCφiqi(t)

est problématique et n’a pas, à notre connaissance été étudiée dans toute sa complexité dans

les publications sus-citées. Notons tout d’abord que ce terme comprend une participation de

tous les modes, contrairement au cas classique de découplage des modes dans l’hypothèse d’un

amortissement présentant toutes les « bonnes propriétés ». Ce couplage subsiste si on suppose

que C a une valeur constante indépendante de la fréquence. D’autre part, dans l’hypothèse

réaliste où C dépend de la fréquence se pose la question de savoir ce qui définit la fréquence

dans l’équation qui précède. Si p(t) est une sollicitation harmonique de pulsation ωp, on peut

dire sans craindre de se tromper que C = C(ωp). Dans le cas contraire, l’équation (2.16) n’est

définie que dans l’espace fréquentiel, c’est à dire après transformée de Fourier. La solution qui

consiste à négliger la dépendance fréquentielle de C n’est pas satisfaisante dans la mesure où

la dissipation d’énergie liée au mouvement de bascule de la fondation varie fortement avec

la fréquence (3.1). En particulier, le risque est grand de surestimer l’amortissement radiatif,

tendant rapidement vers 0 à basse fréquence. La solution la plus répandue consiste à réduire

la somme sur tous les modes au seul terme

tφjC(ωj)φj qj(t),

ce qui suppose que l’on fasse les approximations suivantes :

– la participation d’un mode à la réponse du système n’est significative qu’au voisinage de

sa fréquence propre ; autrement dit le mode ne répond qu’au contenu de la sollicitation de

fréquence située dans ce voisinage. Par conséquent, il convient d’attribuer à la matrice

d’amortissement (si on préfère à l’impédance) la valeur correspondant à la fréquence

propre du mode considéré.

– Les termes de couplage peuvent, en première approximation, être négligés.


Plusieurs auteurs ont montré que ces hypothèses simplificatrices, bien que partiellement jus-

tifiées, donnent des résultats proches de ceux obtenus par une méthode plus rigoureuse (telle

que la résolution directe de (2.12) dans l’espace de Fourier), même en cas d’interaction sol

structure prononcée (voir par exemple Roesset et coll., 1973; Novak, 1974; Bielak, 1976). La

concordance semble particulièrement bonne au voisinage de la fréquence dominante du sys-

tème.

On obtient en définitive une équation approchée de (2.16) relative à la jième coordonnée mo-

dale :

qj(t) + 2ωj ξj qj(t) + ω2j qj(t) = Pj(t); j = 1, 2, . . . (2.17)

où

Pj(t) =tφjp(t)tφjMφj

(2.18)

et

ω2j =

tφjK(ω1)φj

tφjMφj

et ξj =1

2ωj

tφjC(ωj)φj

tφjMφj

(2.19)

sont de bonnes approximations, respectivement de la fréquence propre et du facteur d’amor-

tissement du mode j.

Remarque : La décomposition de la solution sur la base des modes non-amortis (équation

(2.15)) mérite d’être commentée. Avec cette hypothèse et les notations de (2.26), l’équilibre

des forces agissant sur la fondation sans masse s’écrit

k1

Xi

u1iqi(t) + c1

Xi

u1iqi(t) = KH

Xi

u0iqi(t) + CH

Xi

u0iqi(t), (2.20)

où u1i et u0i sont des éléments du mode non-amorti i et vérifient donc

k1u1i = KHu0i. (2.21)

Réinjectant dans (2.20), on en déduit que

c1

k1=

CH

KH, (2.22)

puis, par un raisonnement identique sur l’équilibre en rotation de la fondation,

c1

k1=

Cθ

Kθ. (2.23)


Par conséquent, les modes non-amortis ne constituent une base de décomposition exacte que

si l’amortissement respecte une relation de proportionnalité :

CH

KH=

Cθ

Kθ=

c1

k1. (2.24)

Compte tenu de la nature très différente des mécanismes à l’origine de ces amortissements

(dissipation d’énergie par déformation des matériaux de la structure, dissipation par radiation

d’ondes vers l’infini dans le sol), une telle condition n’a aucune raison physique d’être vérifiée

et l’équation (2.15) n’est pas rigoureuse. Cependant il faut noter qu’elle n’introduit pas d’ap-

proximation supplémentaire dans la mesure où l’hypothèse de découplage des modes suppose

la même proportionnalité de l’amortissement.

En termes mathématiques, il faut noter que le problème est posé de telle façon que le théo-

rème d’expansion (décomposition sur la base des déformées modales) ne s’applique pas. Ceci

provient de ce que la fondation a été considérée comme sans masse en vertu de l’évidence

physique que cette masse, munie d’un bras de levier nul vis à vis de la base, a un rôle négli-

geable sur la dynamique du système. L’inconvénient de cette hypothèse est d’introduire un

problème présentant moins de termes d’inertie (n) que de degrés de liberté (n + 2) si bien

que le problème aux valeurs propres (2.13) n’admet pas n + 2 valeurs propres non nulles et

n + 2 vecteurs propres linéairement indépendants. Donc en toute rigueur, les vecteurs propres

(les déformées modales) ne forment pas une base complète de l’espace à n + 2 dimensions

des vecteurs représentant une position possible du système. Par conséquent, l’équation (2.15)

revient à supposer qu’un vecteur position appartenant à un instant t au sous-espace défini par

les n modes reste dans ce sous-espace à tout instant. Le problème au niveau de l’équilibre de

la fondation signalé précédemment montre que cette hypothèse est mise en défaut.

Cette difficulté théorique peut être contournée en introduisant une masse symbolique pour la

fondation et en ne négligeant son effet que dans un deuxième temps. Cette commodité restera

implicite dans tout ce qui suit.

2.2.3.2 amortissement d’origine structurel, amortissement dû au sol

L’expression analytique de l’amortissement modal obtenue ci-dessus peut être décomposée,

de manière explicite, en une contribution provenant de la dissipation d’énergie dans la structure

et une contribution provenant de la dissipation par radiation d’énergie à travers la fondation.

Pour cela, on introduit les modes (non-amortis) de la structure sur base fixe :

– déformée modale φi et fréquence propre ωi associée (l’absence de tilde indique qu’il

s’agit des modes sur base rigide) tels que

Kφi = ω2i Mφi et ω2

i =tφiKφi

tφiMφi(2.25)


– amortissement structurel du mode i

ξi =1

2ωi

tφiCφi

tφiMφi.

Distinguons maintenant les éléments de la déformée modale sur sol souple relatifs aux dépla-

cements internes à la structure, du déplacement de corps rigide de la fondation correspondant

soit

φj =

8>><>>: uj

u0j

h1θ0j

9>>=>>; . (2.26)

Le vecteur des déplacements internes uj est décomposable sur la base des modes de la structure

sur base fixe : uj =P

i αijφi où

αij =tφiMuj

tφiMφi.

A partir de l’expression obtenue pour ξj et en procédant à un calcul matriciel par blocs, on

montre alors aisément que l’amortissement modal du système sol structure se décompose sous

la forme

ξj =X

i

βijξi + ξRj (2.27)

où

– les βij =(tφiMuj)

2

(tφiMφi)(tφjMφj)

ωi

ωjpèsent la contribution de l’amortissement structurel

de chacun des modes sur base rigide,

– et ξRj =

1

2ωj

CHu20j + Cθθ

20j

tφjMφj

représente la part d’amortissement modal dû à la radiation

d’énergie dans le sol.

Le premier terme de l’équation (2.27) indique que tous les modes sur base rigide contribuent à

l’amortissement d’un mode sur base souple donné, ce qui semble logique dans la mesure où la

déformation interne du mode sur base souple diffère de celle du mode correspondant sur base

rigide. Cependant, dans le cas où cette déformation interne est peu perturbée par l’interaction

sol structure (uj ≃ αjjφj), on constate, du fait de l’orthogonalité des modes sur base rigide,

que la contribution des modes k 6= j est négligeable. Cette approximation vaut pour tous

les modes sur sol peu souple et particulièrement pour le premier mode dont on montrera au

chapitre 3 qu’il conserve quasiment la même déformation interne quelque soit l’importance de

l’interaction sol structure. Enfin, à titre d’illustration on signale que l’expression 2.27, obtenue

ici en négligeant le couplage des modes (non-amortis) sur base souple par l’amortissement,

peut être retrouvée à partir de considérations énergétiques (Roesset et coll., 1973; Novak,

1974, 1975; Rainer, 1975).


2.2.3.3 Cas particulier du modèle à 1 degré de liberté

u

θ0

KH

Kθ

CH Cθ

m

h

u0

k, c

ug

θg

Fig. 2.6 – Vibration du modèle à 1 degré de liberté

Le cas particulier du modèle brochette où on ne considère qu’une seule masse (figure 2.6) a

été souvent étudié (voir par exemple Perelman et coll., 1968; Veletsos et Meek, 1974; Veletsos

et Nair, 1975; Todorovska et Trifunac, 1992; Stewart et coll., 1999a) parce qu’il met en évidence

aussi simplement que possible l’effet de l’interaction sol structure. L’équation de vibration du

modèle à 1 degré de liberté sur sol souple, déduite de (2.12), s’écrit sous la forme réduite266641 1 1

1 1 1

1 1 1

377758>><>>: u

u0

hθ0

9>>=>>;+

266642ξ1ω1 0 0

0 2ξHωH 0

0 0 2ξθωθ

377758>><>>: u

u0

hθ0

9>>=>>;+

26664ω21 0 0

0 ω2H 0

0 0 ω2θ

377758>><>>: u

u0

hθ0

9>>=>>;= −

8>><>>:1

1

1

9>>=>>; ug −

8>><>>:1

1

1

9>>=>>;hθg +

8>><>>:1

1

1

9>>=>>; f

m, (2.28)

où apparaissent les paramètres

– de fréquence propre et de facteur d’amortissement de la structure sur base rigide,

ω21 =

k

met ξ1 =

c

2mω1,

– de fréquence propre et de facteur d’amortissement d’un système sol structure où la

structure est supposée parfaitement rigide et le balancement de la fondation est bloqué,

ω2H =

KH

met ξH =

CH

2mωH,

– de fréquence propre et de facteur d’amortissement d’un système sol structure dual du

précédent où la structure est supposée parfaitement rigide et la translation de la fonda-


tion est bloquée,

ω2θ =

Kθ

mh2et ξθ =

Cθ

2mh2ωθ.

Le système considéré a trois degrés de liberté mais une seule masse (supposée ponctuelle c’est

à dire sans inertie de rotation) donc un seul degré de liberté « dynamique » et on montre à

partir de (2.28) que l’unique fréquence propre non-amortie du système sol structure vérifie la

relation1

ω21

=1

ω21

+1

ω2H

+1

ω2θ

. (2.29)

Par ailleurs, la déformée modale (non-amortie) du modèle à 1 degré de liberté sur sol souple

est telle que

φ1 =

8>><>>: u1

u01

hθ01

9>>=>>; = u1

8>><>>: 1

ω21/ω2

H

ω21/ω2

θ

9>>=>>; , (2.30)

et enfin, à partir de l’équation (2.27), il vient

ξ1 ≃

ω1

ω1

3

ξ1 +

ω1

ωH

3

ξH +

ω1

ωθ

3

ξθ. (2.31)

Malgré la présence d’un mode unique, cette valeur de l’amortissement modal ξ1 est une valeur

approchée. En effet, de même que dans le cas général du modèle brochette, l’équilibre de la

fondation sans masse n’est qu’approximativement vérifié (cf. remarque page 39). Cependant,

les équations (2.29), (2.30) et (2.31) explicitent de manière limpide l’effet de l’interaction sol

structure. Le système fonctionne comme l’assemblage en série présenté à la figure 2.7 dont les

caractéristiques modales sont directement accessibles à l’intuition :

– la fréquence propre (non-amortie) du système diminue sous l’effet de l’assouplissement

du sol de fondation. Pour un sol et une fondation donnés (c’est à dire une valeur fixe

de l’impédance de fondation), cette diminution (relative) est d’autant plus forte que la

structure est rigide (ω1 grand). Ainsi, l’interaction sol structure agit d’avantage sur une

structure rigide que sur une structure souple et cette propriété se retrouve sur l’allure

de la déformée modale (deuxième point).

– La fondation est entraînée dans un mouvement de translation horizontale et de bascu-

lement. La part de ces mouvements dans le déplacement total de la masse augmentent

quand l’impédance de fondation diminue ou la rigidité (ω1) de la structure augmente.

D’autre part, compte tenu de ce que ω2θ/ω2

1 = Kθ/(h2KH) décroît (rapidement) quand h

croît, il apparaît que la part de rotation par rapport à la translation dans le mouvement

de corps rigide augmente quand la hauteur de la structure augmente.

– L’amortissement modal du système sol structure est la somme des contributions prove-

nant de la dissipation d’énergie à l’intérieur de la structure, et de la radiation d’énergie


relative aux cinématiques de translation et de rotation de la fondation. La contribution

de l’amortissement structurel est plus faible que dans le cas de la structure sur base ri-

gide (ω1/ω1 < 1) ce qui est cohérent avec la redistribution de la déformation interne en

faveur du mouvement de corps rigide. Selon les cas cette diminution peut être compensé

par l’apport de l’amortissement radiatif. Au total, et en l’absence de précision sur la va-

leur de l’impédance de fondation, il est impossible de savoir, a priori, si l’amortissement

modal du système sol structure est inférieur ou supérieur à l’amortissement modal de la

structure sur base rigide.

Notez bien qu’il n’y a pas d’intérêt à ce stade à comparer l’effet sur le niveau d’interaction

sol structure d’une augmentation ou d’une diminution de la hauteur h à ω1 et m constants. Il

conviendrait afin de donner un sens physique à une telle analyse, de supposer d’une part que

la masse croît proportionnellement à la hauteur, d’autre part que la fréquence de résonance

décroît proportionnellement ou avec le carré de la hauteur selon que la structure fonctionne en

cisaillement ou en flexion (cf. section 2.3.2.2). Cette étude est renvoyée aux sections consacrées

à ces différents types de structure (section 2.3.3).

Enfin, notez qu’une augmentation de la masse de la structure n’a, au premier ordre (c’est à

dire en négligeant l’effet de l’amortissement), d’effet ni sur la diminution de fréquence ni sur la

participation du mouvement de corps rigide imputables à l’interaction avec le sol. Elle induit

en revanche une diminution des amortissements structurels et radiatifs.

KH

CH

Kθ/h2

Cθ/h2

k

c

m

ut

uhθ0u0

Fig. 2.7 – Fonctionnement en série du modèle à 1 degré de liberté sur sol souple

Des relations analogues sont maintenant établies pour appréhender le cas plus réaliste de

structures à plusieurs degrés de liberté.

2.2.3.4 calcul analytique approché des caractéristiques modales du modèle bro-

chette

Suivant la démarche de Luco et coll. (1987), on considère un mode non-amorti sur sol souple

φj dont la déformation interne est peu perturbée par l’interaction sol structure. Autrement

dit, le vecteur des déplacements internes uj selon le mode j est supposé proportionnel au


mode sur base rigide φj . Avec une normalisation adéquate on peut donc écrire

φj =

8>><>>: φj

u0j

h1θ0j

9>>=>>; , (2.32)

puis, compte tenu de (2.25) et en effectuant un calcul par blocs,

1

ω2j

=tφjMφj

tφjKφj

=1

ω2j

1 + 2pju0j + 2pjHjθ0j +Mt

Mj(pju0j)

2 +Jt

MjH2j

(pjHjθ0j)2 + 2

St

MjHj(pju0j)(pjHjθ0j)

1 +ω2

Hj

ω21

(pju0j)2 +ω2

θj

ω21

(pjHju0j)2,

(2.33)

où :

– Mt = tδMδ, St = tδMh et Jt = thMh +P

i Ji sont respectivement la masse totale,

le moment statique et le moment d’inertie calculés au niveau de la fondation, de la

structure,

– pj =tφjMδ

tφjMφjest le facteur de participation du jème mode sur base rigide,

– Mj =(tφjMδ)2

tφjMφjet Hj =

tφjMhtφjMδ

sont la masse et la hauteur d’un modèle à 1 degré de

liberté « équivalent » au mode j (cf. commentaires ci-dessous),

– ω2Hj =

KH

Mjet ω2

θj =Kθ

MjH2j

sont les pulsations caractérisant le mouvement de corps

rigide de la structure, similaires à celles introduites pour le modèle à 1 degré de liberté.

Par ailleurs, avec les mêmes notations, l’équation (2.13) donne

pju0j =

1 − St

MjHj

1 − ω2

1

ω21

St

MjHj− Mt

Mj+

ω2Hj

ω21

, (2.34)

et

pjHjθ0j =

1 − St

MjHj

1 − ω2

1

ω21

St

MjHj− Jt

MjH2j

+ω2

θj

ω21

. (2.35)


Fig. 2.8 – Niveau d’approxi-mation des relations (2.36),(2.37) et (2.38), en fonc-tion du nombre d’étages(P

i Ji = 0).

100

101

102

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

nombre d’étages

M1/M

tM

1H

12/J

tM

1H

1/S

t

96/π4 ≈ 0.9855

8/π2 ≈ 0.81

32/π3 ≈ 1.032

Il faut maintenant remarquer que pour le mode fondamental on a :

M1 ≈ Mt , (2.36)

M1H1 ≈ St , (2.37)

M1H21 ≈ Jt . (2.38)

Ces relations, vérifiées de manière exacte dans le cas d’un modèle à un degré de liberté,

constituent un ensemble d’approximations raisonnables (Figure 2.8) grâce auxquelles le calcul

des caractéristiques du mode fondamental du système sol structure est notablement simplifié

et peut être effectué de manière analytique. On trouve ainsi à partir des équations (2.33-2.35) :

φ1 ≈

8>>>>><>>>>>: φ1

1

p1

ω21

ω2H

h1

p1H1

ω21

ω2θ

9>>>>>=>>>>>; , (2.39)

puis,

1

ω21

≈ 1

ω21

+1

ω2H

+1

ω2θ

(2.40)


et enfin grâce à (2.27),

ξ1 ≈

ω1

ω1

3

ξ1 +

ω1

ωH

3

ξH +

ω1

ωθ

3

ξθ , (2.41)

où ξH = CH/(2M1ωH) et ξθ = Cθ/(2M1H21ωθ), et les indices 1 ont été omis. Les trois relations

précédentes sont semblables aux équations (2.29-2.31) obtenues pour le modèle à 1 degré de

liberté sur base souple. On remarquera qu’il aurait été possible de les établir très facilement

à partir de ces dernières en considérant que la réponse du modèle brochette selon son mode

fondamental peut être représentée de manière équivalente par un modèle à un degré de liberté

de masse M1, hauteur H1 et pulsation propre ω1, dont la caractéristique est de développer

les mêmes effort tranchant et moment résultant sur la fondation (Roussillon, 1999). On se

convainc aisément qu’il s’agit d’un raisonnement approché en observant que le modèle à un

degré de liberté équivalent est calculé sur la base de la déformée sur base rigide de la structure,

sans qu’il soit tenu compte des mouvements de corps rigide autorisés par une base souple.

L’avantage de l’approche directe présentée ici, a été d’expliciter clairement les approximations

(2.36), (2.37) et (2.38), introduites implicitement par le raisonnement en termes de modèle à

1 degré de liberté équivalent.

2.2.3.5 Précisions sur le domaine d’applicabilité de l’approche modale classique

La résolution directe de l’équation de vibration du modèle à 1 degré de liberté sur base

souple, dans l’espace fréquentiel, permet de préciser l’étendue du domaine d’application de

l’approche modale classique basée sur les modes non-amortis et plus particulièrement des

relations (2.29-2.31). Ainsi, à partir de la transformée de Fourier de l’équation (2.28),266666666641 − ω21

ω2− 2i

ω1

ωξ1 1 1

1 1 − ω2H

ω2− 2i

ωH

ωξH 1

1 1 1 − ω2θ

ω2− 2i

ωθ

ωξθ

377777777758>>>>>><>>>>>>:bubu0

hbθ0

9>>>>>>=>>>>>>; = −

8>>>>>><>>>>>>:1

1

1

9>>>>>>=>>>>>>; (bug+hbθg)−

8>>>>>><>>>>>>:1

1

1

9>>>>>>=>>>>>>; bfmω2

,

(2.42)


on obtient, après calcul et en introduisant l’accélération absolue ut = u+ u0 +h(θ0 + θg)+ ug,8>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>:butbubu0

hbθ0

9>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>;=

8>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>:1

ω2

ω21

1

1 + 2iω

ω1

ξ1

ω2

ω2H

1

1 + 2iω

ωH

ξH

ω2

ω2θ

1

1 + 2iω

ωθ

ξθ

9>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>;1

1 −ω2

ω21

1

1 + 2iω

ω1

ξ1

(bug+hbθg)−

8>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>:1

ω21

ω21

1 + 2iω

ω1

ξ1

1 + 2iω

ω1

ξ1

ω21

ω2H

1 + 2iω

ω1

ξ1

1 + 2iω

ωH

ξH

ω21

ω2θ

1 + 2iω

ω1

ξ1

1 + 2iω

ωθ

ξθ

9>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>;ω2

ω21

1 −ω2

ω21

+ 2iω

ω1

ξ1

bfm

,

(2.43)

où ω1 et ξ1 sont tels que

1

ω21

1

1 + 2iω

ω1ξ1

=1

ω21

1

1 + 2iω

ω1ξ1

+1

ω2H

1

1 + 2iω

ωHξH

+1

ω2θ

1

1 + 2iω

ωθξθ

. (2.44)

En comparant la réponse (2.43) du modèle à un degré de liberté sur sol souple à celle du

modèle de référence (équations (2.4) et (2.7) pages 30 et suivante), on constate que ω1 et ξ1

doivent être identifiés respectivement comme la pulsation non-amortie et le facteur d’amortis-

sement du système sol structure (ce qui justifie a posteriori la notation). On retrouve alors,

à partir de (2.44), l’équation (2.29) pour ω1, puis, pour des facteurs d’amortissement tous

faibles ((ω/ω1)ξ1 ≪ 1, (ω/ω1)ξ1 ≪ 1, (ω/ωH)ξH ≪ 1 et (ω/ωθ)ξθ ≪ 1), l’expression appro-

chée (2.31) de ξ1. Il ressort donc, de façon plus claire, que (2.31) est une bonne estimation du

facteur d’amortissement des systèmes sol structure faiblement amortis. Les conditions d’exis-

tence de tels systèmes seront précisées grâce à l’étude paramétrique (quantitative) du chapitre

3.

Il apparaît d’autre part au vu de (2.43) que le déplacement interne de la masse u, le bascule-

ment hθ0 et la translation u0 de la fondation ne sont pas en phase du fait de la présence des

termes d’amortissement et du fait qu’en toute vraisemblance l’égalité ξ1/ω1 = ξH/ωH = ξθ/ωθ

n’est pas respectée (on retrouve la propriété d’amortissement non proportionnel). On remar-

quera que cette particularité des systèmes sol structure est totalement occultée si on utilise,

comme dans ce qui précède, un raisonnement approximatif basé sur les modes non-amortis.

La notion de modes complexes développée au 2.2.4 est un cadre théorique plus adapté pour

appréhender ce phénomène.

Un raisonnement similaire dans l’espace fréquentiel peut être mené dans le cas des modèles

brochettes à nombre de degrés de liberté quelconque, mais n’est pas présenté dans le souci


d’éviter les redondances. Cependant des résultats identiques à ceux qui viennent d’être ob-

tenus pour le modèle à 1 degré de liberté seront démontrés grâce aux modes complexes à la

section (2.2.4.4).

2.2.4 Résolution « exacte » par modes complexes

On présente dans cette section la résolution de l’équation de vibration par les modes

complexes. Cette généralisation de la méthode de superposition modale, développée par Foss

(1958) pour étudier les systèmes d’amortissement non classique (non proportionnel), trouve

son application naturelle dans l’étude des systèmes sol structure (Novak et Hifnawy, 1983).

2.2.4.1 Base des modes complexes

La base de décomposition modale est déterminée directement à partir de la résolution de

l’équation homogène de vibration amortie

Ms+ Cs+ Ks = 0 , (2.45)

dont on cherche les solutions particulières de la forme

s(t) = C∗j exp(iω∗

j t)φ∗j , (2.46)

où C∗j est une constante complexe quelconque, ω∗

j la pulsation complexe, et le vecteur de

coordonnées modales indépendantes du temps φ∗j la déformée modale complexe, du mode j.

On a donc l’équation aux modes propres complexes :

(−ω∗2j M + iω∗

j C + K)φ∗j = 0 , (2.47)

dont les solutions non triviales sont obtenues pour les pulsations telles que

det(−ω∗2j M + iω∗

j C + K) = 0 . (2.48)

L’équation (2.48) admet 2n+4 solutions mais puisque M, C et K sont à coefficients réels, ces

solutions fonctionnent en n+2 paires indépendantes (ω∗j ,−ω∗

j ). A chaque valeur de la pulsation

complexe ω∗j , l’équation (2.47) associe une déformée modale complexe φ∗

j . Si l’amortissement

est proportionnel, φ∗j est à valeurs purement réelles et est identique à la déformée modale non-

amortie φj3. A contrario, le système sol structure possédant un amortissement non classique,

le déplacement modal est constitué d’une partie réelle φRj en phase et d’une partie imaginaire

3La proportionnalité de l’amortissement se traduit par,

C =2ξj

ωj

K ,


φIj en quadrature de phase. On introduit le vecteur phase du mode j, défini de manière unique

par

ϕj = tan−1φI

j

φRj

.

Les composantes de ce vecteur sont a priori toutes différentes si bien que le mode ne possède

pas de noeud stationnaire et les valeurs maximales ou minimales de chacune des coordonnées

modales sont atteintes à des instants différents. On retrouve là une caractéristique des systèmes

sol structure, comme de tous les systèmes d’amortissement non classique, déjà mise en évidence

dans le cas du modèle à 1 degré de liberté (section 2.2.3.5).

En prémultipliant (2.47) par la transposée de φ∗j , déformée modale associée à (−ω∗

j ), on obtient

l’équation du second degré en iω∗j ,

µj(iω∗j )

2 + χj(iω∗j ) + κj = 0,

où

µj = tφ∗jMφ∗

j > 0 , χj = tφ∗jCφ

∗j > 0 , κj = tφ∗

jKφ∗j > 0 ,

sont des coefficients réels positifs. Il vient alors par résolution classique de cette équation du

second degré

ω∗j = i

χj

2µj±È

4µjκj − χ2j

2µj. (2.49)

On constate que

‖ω∗j ‖ =

Èκj/µj

et on note de manière plus concise

ω∗j = iξj ||ω∗

j || ± ‖ω∗j ‖q

1 − ξ2j , (2.50)

où ξj , ωj , sont donnés par (2.19). En notant,

µ∗j = iξjωj − ωj

È1 − ξ2

j ,

on vérifie que,

−µ∗j2M + iµ

∗j C + K =

1 − 2ξj

ξj + i

È1 − ξ2

j

(−ω

2j M + K) ,

et donc

(−µ∗j2M + iµ

∗j C + K)φj =

1 − 2ξj

ξj + i

È1 − ξ2

j

(−ω

2j M + K)φj = 0 ,

par définition des caractéristiques modales ωj et φj du système non amorti (équation (2.13)). On en déduitque les solutions (ω∗

j , φ∗j ) de l’équation aux modes propres complexes (2.47) sont telles que

ω∗j = µ

∗j = iξjωj − ωj

È1 − ξ2

j , et φ∗j = φj .


avec

ξj =χj

2‖ω∗j ‖µj

=Im ω∗

j

‖ω∗j ‖

. (2.51)

Calculons maintenant, pour faciliter l’interprétation physique des grandeurs complexes intro-

duites ci-dessus, une solution en vibration libre selon le mode j, appelée solution modale j de

l’équation homogène de vibration. C’est nécessairement la somme de deux solutions particu-

lières complexes mais conjuguées l’une de l’autre, soit :

sj(t) = C∗j exp(iω∗

j t)φ∗j + C∗

j exp(−iω∗j t)φ

∗j

= exp(−ξj‖ω∗j ‖t)

βj cos

‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j t− γj sin

‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j t

(2.52)

où βj = 2 Re C∗j φ

∗j et γj = 2 Im C∗

j φ∗j . L’expression (2.52) apparaît comme la superposition

de deux harmoniques décroissant exponentiellement et en quadrature de phase. Il apparaît

donc de façon claire que :

– ξj est le facteur d’amortissement du mode j ; d’après (2.51) il est nul si la fréquence

complexe est purement réelle (mode non amorti), égal à 1 si la fréquence complexe est

purement imaginaire (mode sur-amorti non oscillant),

– ‖ω∗j ‖q

1 − ξ2j = Re ω∗

j est la pulsation propre amorti du mode j, c’est à dire la pulsation

naturelle des oscillations libres selon le mode j,

– puisque βj 6= γj , les déplacements de chacun des étages de la structure ainsi que la

translation et le basculement de la fondation, sont tous déphasés les uns par rapport

aux autres. Chaque degré de liberté suit un mouvement harmonique simple, cependant

la configuration du système n’est pas stationnaire mais change continuellement, en se

répétant (à l’amplitude près) aux intervalles 2π/‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j

. C’est là une différence

fondamentale avec les systèmes classiquement amortis déjà soulignée précédemment.

2.2.4.2 Propriétés d’orthogonalité des modes complexes

Les propriétés de la base modale complexe sont plus facilement mises évidence après trans-

formation du système (2.45) de n + 2 équations différentielles du second ordre en un système

de 2n + 4 équations différentielles du premier ordre (Meirowitch, 1967) :

Az + Bz = 0 (2.53)

où A et B sont les matrices de dimension (2n + 4 × 2n + 4) données par

A =

24 0 M

M C

35 B =

24− M 0

0 K

35 (2.54)


et z le vecteur de 2n + 4 éléments

z =

s

s

.

Selon la procédure standard, on cherche les solutions de (2.53) de la forme z(t) = C∗jψ

∗j exp(iλ∗

j t).

λ∗j et ψ∗

j sont donc solutions de

det(iλ∗jA + B) = 0 , (2.55)

(iλ∗jA + B)ψ∗

j = 0 . (2.56)

En développant par blocs ces deux équations, il vient

λ∗j = ω∗

j et ψ∗j =

8<:iω∗j φ

∗j

φ∗j

9=; . (2.57)

On pré-multiplie l’équation (2.56) par le vecteur propre ψ∗k,

iω∗jtψ∗

kAψ∗j + tψ∗

kBψ∗j = 0. (2.58)

On a également par simple échange des indices j et k,

iω∗ktψ∗

j Aψ∗k + tψ∗

j Bψ∗k = 0, (2.59)

puis après transposition et en remarquant que les matrices A et B sont symétriques,

iω∗ktψ∗

kAψ∗j + tψ∗

kBψ∗j = 0. (2.60)

A ce stade il faut rappeler que K, C et donc A et B dépendent de la fréquence par l’in-

termédiaire des impédances de fondation. L’équation (2.55) (ou (2.48)) est résolue en tenant

compte de cette dépendance fréquentielle de manière à obtenir des modes propres qui soient

des solutions particulières exactes de l’équation de vibration du système sol structure. En

suivant ce principe, les modes propres calculés sont en fait les projections sur le sous espace

des degrés de liberté de la structure et de la fondation, des modes propres « complets » in-

cluant les déformations du sol. Par conséquent, la résolution directe du problème aux valeurs

propres complexes incluant l’amortissement permet de déterminer des pulsations, déformées

et facteurs d’amortissement modaux caractérisant de manière exacte la physique du problème.

Cependant, une difficulté subsiste : il n’est pas possible en toute rigueur de mettre en évidence

des relations d’orthogonalité entre modes « condensés » dans la mesure où l’orthogonalité des

déformées modales « complètes » ne se vérifie plus entre leurs projections sur les degrés de

liberté de la structure et de la fondation. Afin de poursuivre l’analyse modale il convient donc

de supposer que A et B varient peu au voisinage de la fréquence des modes présentant un


intérêt pour la réponse du système, de telle sorte que par soustraction des équations (2.58) et

(2.60) il vient

(ω∗k − ω∗

j )tψ∗

kAψ∗j = 0, (2.61)

puis pour j 6= k,tψ∗

kAψ∗j = 0 et tψ∗

kBψ∗j = 0. (2.62)

Ces relations d’orthogonalité sont indispensables pour décomposer la réponse du système sur

celle de chacun de ses modes, quelque soit le type de sollicitation. On les utilise donc très

largement dans ce qui suit, en prenant soin de commenter au cas pas cas les approximations

introduites. Enfin, en développant (2.62) par blocs, on obtient

(ω∗k + ω∗

j )tφ∗

kMφ∗j − itφ∗

kCφ∗j = 0 et ω∗

kω∗jtφ∗

kMφ∗j + tφ∗

kKφ∗j = 0 j 6= k . (2.63)

2.2.4.3 Réponse à une sollicitation quelconque

De même qu’au 2.2.3.1, on note p(t) le second membre de l’équation de vibration corres-

pondant à la sollicitation de sorte que

Ms+ Cs+ Ks = p , (2.64)

et après changement de variable,

Az + Bz = y où y =

0

p

. (2.65)

On ne considère, pour des raisons de commodité d’écriture, que les solicitations telles que

p(t) = p0e(t) où le vecteur p0 est indépendant du temps. Les cas d’excitation présentant

un intérêt pratique, excitation par un séisme, le bruit de fond ambient, le vent ou une force

ponctuelle artificielle, entrent dans le cadre de cette hypothèse.

Les 2n + 4 vecteurs ψ∗1 , ψ

∗2 , ... ψ∗

2n+4 constituent, parce qu’ils sont orthogonaux, une base

complète dans laquelle peut être décomposé tout vecteur arbitraire de dimension 2n+4 (dont

les n+2 premiers éléments sont les vitesses à un instant donné des degrés de liberté du système

et les n + 2 éléments suivants leur position) :

z(t) =2n+4Xj=1

q∗j (t)ψ∗j =

n+2Xj=1

q∗j (t)ψ∗j +

n+2Xj=1

q∗j (t)ψ∗j , (2.66)

avec

q∗j (t) =tψ∗

j Az(t)tψ∗

j Aψ∗j

. (2.67)

On réinjecte cette décomposition dans (2.65) et pré-multiplie par la transposée d’un vecteur

propre quelconque ψ∗j , j ∈ [1, 2n + 4]. Compte tenu de l’orthogonalité des vecteurs propres


(équation (2.62)), le problème initial se ramène au système de 2n + 4 équations découplées

q∗j (t) − iω∗j q

∗j (t) =

tψ∗jy(t)

tψ∗j Aψ

∗j

=1

2i(ω∗j − iξj‖ω∗

j ‖)

tφ∗jp0e(t)

tφ∗jMφ∗

j

=P ∗

j0e(t)


j ‖), (2.68)

j = 1, 2, . . . , 2n + 2 ,

dont la solution s’exprime en fonction de l’intégrale de convolution

q∗j (t) =P ∗

j0


j ‖)

Z ∞

−∞H(t − τ) exp

iω∗

j (t − τ)e(τ)dτ , (2.69)

où H(t) est la fonction de Heaviside (échelon). Connaissant l’état du système à une date prise

comme origine des temps, et en notant que H(t− τ) = 0 pour τ > t, (2.69) peut être réécrite

sous la forme

q∗j (t) = exp(iω∗j t)

P ∗

j0


j ‖)

Z t

0exp

−iω∗

j τe(τ)dτ + q∗j (0)

!. (2.70)

Partant de (2.69) ou (2.70), on obtient deux expressions équivalentes de la réponse du système,

s(t) =Xj

q∗j (t)φ∗j + q∗j (t)φ

∗j

=Xj

1

‖ω∗j ‖q

1 − ξ2j

Z t

−∞e−ξj‖ω∗

j ‖(t−τ)βj cos

‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j (t − τ)

. . .

+ γj sin‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j (t − τ)

e(τ)dτ

(2.71)

=Xj

1

‖ω∗j ‖q

1 − ξ2j

Z t

0e−ξj‖ω∗

j ‖(t−τ)βj cos

‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j (t − τ)

. . .

+ γj sin‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j (t − τ)

e(τ)dτ

+ H(t)e−ξj‖ω∗j ‖tβ′

j cos‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j t− γ ′

j sin‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j t

(2.72)

où, γj , βj , γ ′j et β′

j sont quatre vecteurs de Rn+2 tels que P ∗

j0φ∗j = γj + iβj et q∗j (0)φ∗

j = γ ′j +

iβ′j . (2.71) est plus commode pour étudier la réponse en régime permanent à une sollicitation

stationnaire (par exemple une excitation harmonique) supposée agir depuis t = −∞. (2.72)

qui n’est définie que pour t ≥ 0 est plus adaptée aux phénomènes transitoires (excitation

sismique ou oscillations libres). Elle est la somme de deux termes qui peuvent être interprétés

respectivement comme la réponse du système considéré comme initialement (à t = 0) au repos

et de l’atténuation, en oscillations libres, des conditions initiales réelles. Dans le cas d’une


excitation de nature sismique, par exemple du bruit de fond, les oscillations libres peuvent

être négligées et seul le premier terme est significatif. Inversement, en l’absence de sollicitation,

seul le second terme subsiste et on se trouve dans la configuration d’un essai en oscillations

libres.

Alternativement au calcul temporel, on peut exprimer la réponse du système dans l’espace

fréquentiel. Avec les mêmes notations que dans ce qui précède, on obtient par transformée de

Fourier de (2.71)bs(ω) = be(ω)Xj

1

‖ω∗j ‖2q

1 − ξ2j

iω

‖ω∗j ‖βj + ξjβj +

q1 − ξ2

jγj

1 − ω2

‖ω∗j ‖2

+ 2iξjω

‖ω∗j ‖

= be(ω)Xj

1

‖ω∗j ‖2q

1 − ξ2j

D‖ω∗

j ‖,ξj

d (ω)

i

ω


q1 − ξ2

jγj

,

(2.73)

où

D‖ω∗

j ‖,ξj

d (ω) =1

1 − ω2

‖ω∗j ‖2

+ 2iξjω

‖ω∗j ‖

,

est la réponse impulsionnelle en déplacement (exprimée dans l’espace des fréquences) du mo-

dèle de référence (cf. 2.1), dont les caractéristiques sont celles du mode j : pulsation propre

‖ω∗j ‖ et facteur d’amortissement ξj . De même, en accélération, il vientbs(ω) = be(ω)

Xj

1q1 − ξ2

j

D‖ω∗

j ‖,ξj

a (ω)

i

ω


q1 − ξ2

jγj

, (2.74)

où

D‖ω∗

j ‖,ξj

a (ω) = −

ω2

‖ω∗j ‖2

1 − ω2

‖ω∗j ‖2

+ 2iξjω

‖ω∗j ‖

,

désigne cette fois la réponse impulsionnelle (toujours en fréquence) en accélération du même

modèle de référence. Les caractéristiques (phase, amplitude) de D‖ω∗

j ‖,ξj

d (ω) et D‖ω∗

j ‖,ξj

a (ω),

fonctions du facteur d’amortissement et du rapport de la fréquence de l’excitation sur la fré-

quence propre du mode j ont été représentées aux figures 2.2 et 2.3 pages 30 et 31. Nous

allons commenter plus particulièrement la réponse en accélération qui présente un plus grand

intérêt pour l’analyse des mesures accélérométriques. Au vu de la figure 2.3, il apparaît que

la contribution d’un mode donné est prépondérante au voisinage de sa fréquence propre, à

condition que l’amortissement ne soit pas trop élevé. Cette même contribution est négligeable

aux fréquences suffisamment basses. Aux hautes fréquences, en revanche, une contribution de-


meure qui peut perturber les pics des modes d’ordre supérieur. Cette perturbation, observée

également pour les systèmes classiques, est encore accentuée dans ce cas par la présence du

terme déphasé iω/‖ω∗j ‖βj qui augmente avec la fréquence. On en déduit qu’au voisinage de

la fréquence fondamentale du système, la réponse totale peut être assimilée à celle du premier

mode seul, la contribution des modes supérieurs étant négligeables. La qualité de cette hypo-

thèse commode (en particulier pour l’analyse inverse de signaux expérimentaux) se dégrade

pour les modes d’ordre supérieur, de manière d’autant plus rapide que les déformées modales

sont fortement complexes (βj grand), autrement dit d’autant plus vite que l’amortissement

radiatif est élevé.

On a donc, pour ω ≃ ‖ω∗1‖,bs(ω) ≃ be(ω)

1È1 − ξ2

1

D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)

i

ω

‖ω∗1‖β1 + ξ1β1 +

È1 − ξ2

1γ1

(2.75)

et si ξ1 ≪ 1,bs(ω) ≃ be(ω)D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω) (iβ1 + γj) = be(ω)D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)P ∗10φ

∗1 = K∗φ∗

1 , K∗ ∈ C. (2.76)

Les déformées modales complexes étant définies à une constante multiplicative (complexe)

près, il apparaît que la déformée modale complexe φ∗1 est donnée par la transformée de Fou-

rier de s au niveau du premier pic de réponse, à la condition toutefois que le système sol

structure soit faiblement amorti à cette fréquence. Sous cette hypothèse, il est donc possible

de déterminer expérimentalement, à partir de mesures accélérométriques, la déformée com-

plexe du mode fondamental quelque soit le type de sollicitation. La question de la mise en

évidence expérimentale de la pulsation propre complexe (‖ω∗1‖ et ξ1) est discutée indépendam-

ment pour chaque type de sollicitation dans ce qui suit.

Cas des oscillations libres. Le système n’est plus soumis à aucune sollicitation et revient

à sa position d’équilibre. On tire directement de (2.72), pour γj = βj = 0, la réponse totale

du système, pour t > 0, superposition des réponses de chacun des modes pondérées par q∗j (0) :

s(t) = H(t)

n+2Xj=1

q∗j (0) exp(iω∗j t)φ

∗j +

n+2Xj=1

q∗j (0) exp(−iω∗j t)φ

∗j

!= H(t)

n+2Xj=1

exp(−ξj‖ω∗j ‖t)

β′

j cos‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j t− γ ′

j sin‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j t

= H(t)n+2Xj=1

sj(t) ,

(2.77)


avec pour mémoire β′j = 2 Re

q∗j (0)φ∗

j

, γ ′

j = 2 Imq∗j (0)φ∗

j

et les sj , solutions modales

calculées au 2.2.4.1 (équation (2.52))4.

L’expression de la réponse fréquentielle ne peut être déduite de (2.73) (ni (2.74)) puisqu’on

choisit délibérément de ne pas considérer d’excitation mais l’atténuation de conditions initiales

non nulles. Le calcul directe de la transformée de Fourier de (2.77) donne, en accélération,bs(ω) =Z +∞

−∞s(t)e−iωtdt =

Xj

D‖ω∗

j ‖,ξj

a (ω)

i

ω

‖ω∗j ‖β′

j + ξjβ′j −

q1 − ξ2

jγ′j

. (2.80)

où l’on constate de nouveau que la réponse du système au voisinage d’une de ses pulsations

propres est dominée par le mode correspondant mais perturbée par la réponse de tous les modes

de pulsation propre inférieure. Comme on l’a vu précédemment, la réponse fréquentielle au

niveau du premier pic de résonance (c’est à dire au voisinage de la fréquence fondamentale du

système) peut être assimilée, si le facteur d’amortissement est faible (ξ1 ≪ 1), à la déformée

modale :bs(ω) ≃ D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)iβ′

1 − γ ′j

= D

‖ω∗1‖,ξ1

a (ω)q∗1(0)φ∗1 = K∗φ∗

1 , K∗ ∈ C. (2.81)

Il apparaît également, au vu de l’équation précédente (donc toujours à la condition que ξ1 ≪ 1),

que la réponse fréquentielle est proportionnelle à D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω). Du point de vue expérimental, il

est donc possible de déterminer la pulsation propre et le facteur d’amortissement en utilisant

les propriétés bien connues de la réponse impulsionnelle (fréquence au pic et méthode de la

bande passante).

Dans l’hypothèse où le système est plus fortement amorti, les raisonnements qui précèdent

sont pris en défaut et il est plus précis d’exploiter directement la réponse temporelle (2.77). Le

mouvement d’un degré de liberté quelconque du système suit une sinusoïde amortie standard

dont la pseudo-pulsation ‖ω∗1‖È

1 − ξ21 et le temps caractéristique d’amortissement 1/(ξ1‖ω1‖)

peuvent être extraits avec les méthodes classiques (Clough et Penzien, 1993). Avec ces esti-

mations de ‖ω∗1‖ et ξ1, la déformée modale complexe est calculée en soustrayant à la réponse

4Les q∗j (0) s’expriment en fonction des conditions initiales en vitesse et déplacement, soit d’après (2.67) :

q∗j (0) =

tψ∗j Az(0)

tψ∗j Aψ

∗j

=tφ∗

jMs(0)

2 tφ∗jMφ∗

j

+ iξj‖ω

∗j ‖

tφ∗jMs(0) − tφ∗

j Cs(0) − tφ∗jMs(0)

2(ω∗j − iξj‖ω∗

j ‖)tφ∗

jMφ∗j

=tφ∗

jMs(0)

2 tφ∗jMφ∗

j

± iξj‖ω

∗j ‖

tφ∗jMs(0) − tφ∗

j Cs(0) − tφ∗jMs(0)

2‖ω∗j ‖È

1 − ξ2j

tφ∗jMφ∗

j

.

(2.78)

Si sj(t) = 0 et donc, d’après (2.52), si qj(0) = 0 pour tout j 6= r, alors le système oscille selon le mode uniquer. D’après (2.78) cela se produit si tψ∗

j Az(0) = 0 pour tout j 6= r. On note que la condition d’excitationd’un mode unique porte à la fois sur le déplacement initial mais aussi, contrairement au cas des systèmeclassiquement amortis, sur la vitesse initiale, soit :

s(0) = 2Re(C∗φ

∗r) et s(0) = 2Re(iω∗

rC∗φ

∗r) , C

∗ ∈ C qcq. (2.79)


à un instant t quelconque, la réponse un quart de période plus tard redressée en amplitude et

en phase :

s(t) − ie

ξ1√1−ξ2

1

π2

s

t +

π

2‖ω∗1‖È

1 − ξ21

= 2

2ξ2

1 − 1 + 2iξ1

È1 − ξ2

1

‖ω∗

1‖2eiω∗1tq∗1(0)φ∗

1

= K∗′φ∗1 , K∗′ ∈ C . (2.82)

Cas d’une sollicitation harmonique. La structure est soumise à une force harmonique

de pulsation ωf supposée agir depuis t = −∞ de sorte que le régime permanent est installé :

p(t) =

8<: ftδf

thf/h1

9=; sin(ωf t) = pf sin(ωf t).

On note

P ∗jf =

tφ∗jpf

tφ∗jMφ∗

j

et P ∗jf φ

∗j = γjf + iβjf

d’après (2.71),

s(t) =Xj

1

‖ω∗j ‖q

1 − ξ2j

Z t

−∞e−ξj‖ω∗

j ‖(t−τ)βjf cos

‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j (t − τ)

+ γjf sin

‖ω∗

j ‖q

1 − ξ2j (t − τ)

sin(ωfτ)dτ,

et après calcul des intégrales de convolution,

s(t) =Xj

1

‖ω∗j ‖2q

1 − ξ2j

Aj(ωf )

q1 − ξ2

jγjf + ξjβjf

sinωf t − θj(ωf )

+

ω

‖ω∗j ‖βjf cos

ωf t − θj(ωf )

, (2.83)

avec

Aj(ω) =1Ì

1 − ω2

‖ω∗j ‖2

2

+

2ξj

ω

‖ω∗j ‖

2et θj(ω) = tan−1

2ξj

ω

‖ω∗j ‖

1 − ω2

‖ω∗j ‖2

.

La réponse du système est un cumul des réponses modales. La réponse d’un mode j donné

est d’autant plus forte que l’amplitude de Aj(ωf ) est forte. Aj , appelée amplification dyna-

mique du mode j, est l’amplitude de la réponse impulsionnelle en déplacement (exprimée en

fréquence) D‖ω∗

j ‖,ξj

d . Comme on l’a vu ci-dessus, un mode donné vibre de manière fortement


amplifiée au voisinage de sa fréquence propre, mais il contribue également quelque soit la fré-

quence de l’excitation. De ce point de vue le comportement du système sol structure en régime

harmonique forcé est identique à celui d’un système classiquement amorti. En revanche cette

expression temporelle montre clairement que les degrés de liberté, quoique animés de mou-

vements harmoniques, sont déphasés les uns par rapports aux autres. De même que pour les

oscillations libres, la réponse d’un mode ne se fait pas, contrairement au cas classique, selon

une configuration stationnaire (celle de la déformée modale non amortie dans le cas classique)

mais selon un schéma sans cesse mouvant (qui cependant se répète aux intervalles 2π/ωf ).

D’après (2.75), la réponse dans l’espace de Fourier, pour une fréquence d’excitation située au

voisinage de la fréquence fondamentale, a pour expressionbs(ω) ≃ 1È1 − ξ2

1

D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)

i

ω

‖ω∗1‖β1f + ξ1β1f +

È1 − ξ2

1γ1f

δωf

,

et si ξ1 ≪ 1, bs(ω) ≃ D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)P ∗1f φ

∗1δωf

, (2.84)

où δωfest un Dirac centré sur ωf . Ce résultat montre, sous l’hypothèse d’un facteur d’amortis-

sement faible, que la déformée modale complexe est obtenue directement à partir de la trans-

formée de Fourier de la réponse en accélération (avec une précision maximale si la fréquence

de l’excitation coïncide exactement avec la fréquence de résonance de manière à minimiser

les perturbations des modes supérieurs, équation (2.74)). On constate également qu’on peut

reconstituer la réponse impulsionnelle du mode en balayant avec ωf une bande de fréquence

suffisamment large centrée sur la fréquence fondamentale, puis extraire de cette réponse im-

pulsionnelle le facteur d’amortissement du mode (par la méthode de la bande-passante par

exemple). Dans la pratique, il faudra veiller à normaliser l’amplitude de la sollicitation qui,

générée au moyen de masses contrarotatives, varie avec le carré de la fréquence de l’excitation.

Si le mode fondamental est fortement amorti, il est nécessaire, comme dans le cas des oscil-

lations libres, de revenir à l’expression de la réponse temporelle (2.83), qui au voisinage du

mode fondamental est sensiblement égale à la réponse du premier mode seul,

s(t) ≃ A1(ωf )

‖ω∗1‖2È

1 − ξ21

È1 − ξ2

1γ1f + ξ1β1f

sinωf t−θ1(ωf )

+

ω

‖ω∗1‖β1f cos

ωf t−θ1(ωf )

.


Combinant deux valeurs du déplacement prises à deux instants séparés d’un quart de période,

on obtientiÈ

1 − ξ21 − ξ1

s(t) +

ωf

‖ω∗1‖st +

π

2ωf

=

ωf

‖ω∗1‖È

1 − ξ21 cos(ωf t − θ1)(γ1f + iβ1f )

+ i sin(ωf t − θ1)

γ1f + i

ω2f

‖ω∗1‖2β1f

!−ξ1

È1 − ξ2

1 + iξ21

sin(ωf t − θ1)(γ1f − iβ1f ),

et pour t = θ1/ωf simplement,iÈ

1 − ξ21 − ξ1

s(t)+

ωf

‖ω∗1‖st+

π

2ωf

=

ωf

‖ω∗1‖È

1 − ξ21(γ1f+iβ1f ) = K∗′′φ∗

1 , K∗′′ ∈ C

qui peut servir à la détermination expérimentale de la déformée modale complexe sur la base

d’estimations préalables de θ1, ξ1 et ‖ω∗1‖ :

– dans l’état actuel de nos recherches, ξ1 et ‖ω∗1‖ ne nous paraissent pouvoir être estimés

correctement, dans le cas où le système est « fortement complexe » qu’à partir de la

réponse temporelle en oscillations libres, à une amplitude du même ordre que celle

atteinte en oscillations harmoniques (en prévision d’éventuels effets non linéaires) ;

– θ1(ωf ) = tan−12ξ1(ωf/‖ω∗

1‖)/(1 − ω2f/‖ω∗

j ‖2)

peut en théorie être calculée à partir

des valeurs expérimentales de ξ1 et ‖ω∗1‖. Il est à prévoir cependant que le résultat

obtenu soit soumis à beaucoup d’incertitude si la pulsation de l’excitation ωf est proche

de ‖ω∗j ‖, donc de la résonance du système.

Enfin, il est nécessaire de choisir convenablement l’origine des temps t = 0. Celle-ci ne peut pas

être fixée de manière arbitraire mais doit correspondre à un instant quelconque où l’excitation

harmonique s’annule (p(t = 0) = pf sin(0) = 0). Il convient donc de disposer d’une mesure de

la sollicitation, synchrone des mesures de déplacement, dont pourra être également extrait le

déphasage de la réponse du système par rapport à l’excitation. Si le système possédait un mode

fondamental réel, le déphasage serait homogène et égal à θ1. Comme on l’a vu précédemment,

la nature non classique de l’amortissement implique que ce déphasage est différent en tout

point du système. Si le système répond au voisinage de la résonance, on peut raisonnablement

supposer, cependant, que se dégage des mesures une valeur moyenne du déphasage pouvant

servir d’estimation cohérente pour θ1.

Cas d’une sollicitation sismique. On considère par exemple le cas d’une structure sur

fondation superficielle soumise à une onde SH en incidence verticale (θg = 0). Le système,

supposé au repos à l’instant t = 0, est soumis à une excitation horizontale provenant du sol

ug(t). On a dans ce cas (cf. équation (2.12))

p(t) = −(

MδtδMδ

tδMh/h1

)ug(t) = −pgug(t).


On note

P ∗jg =

tφ∗jpg

tφ∗jMφ∗

j

et P ∗jgφ

∗j = γjg + iβjg,

D’après (2.74),bs(ω) = −bug(ω)Xj

1q1 − ξ2

j

D‖ω∗

j ‖,ξj

a (ω)

i

ω

‖ω∗j ‖βjg + ξjβjg +

q1 − ξ2

jγjg

,

et si ξ1 ≪ 1 et au voisinage de la résonance (soit ω ≃ ‖ω∗1‖ puisque ξ1 ≪ 1),bs(ω) ≃ −bug(ω)D

‖ω∗1‖,ξ1

a (ω)P ∗1gφ

∗1 , (2.85)

dont on extrait directement la déformée modale complexe. Le rapport bs/bug(ω) a les mêmes

propriétés que la réponse impulsionnelle D‖ω∗

1‖,ξ1

a et permet en théorie de calculer le facteur

d’amortissement et la fréquence fondamentale du système. Dans la pratique, en particulier en

bruit de fond, il est peu probable de disposer d’une mesure fiable de ug. En revanche, compte

tenu de sa nature aléatoire, il est communément admis d’assimiler ce type de sollicitation à un

bruit blanc, c’est à dire une excitation dont le spectre ne présente pas de variations notables

dans la gamme d’étude 0 − 50 Hz, de telle sorte que la réponse fréquentielle du système est

sensiblement proportionnelle à la réponse impulsionnelle.

Si le système est fortement amorti et les simplifications précédentes mises en défaut, il n’y a pas

de recours possible à la réponse temporelle. Dans ce cas, la détermination des caractéristiques

modales complexes du système avec ce type de sollicitation semble compromise.

2.2.4.4 Expressions algébriques approchées des caractéristiques du mode fonda-

mental et de la réponse dynamique au voisinage de ce mode

Considérons le mode fondamental du système sol structure, de pulsation propre complexe

ω∗1 et déformée modale complexe

φ∗1 =

8><>: u∗1

u∗01

h1θ∗01

9>=>; .

Le calcul explicite de φ∗1 (chapitre 3), ou encore le calcul réalisé dans l’espace fréquentiel au

2.2.5 (équation (2.95)), montrent que la déformée interne est largement dominée par le mode

fondamental sur base rigide φ1. Dans ces conditions et avec une normalisation adéquate,

l’expression

u∗1 ≃ φ1 soit φ∗

1 ≃

8><>: φ1

u∗01

h1θ∗01

9>=>; , (2.86)


constitue une excellente approximation de la déformée modale complexe qui réintroduite dans

l’équation aux modes propres complexes (2.47) donne2666666666641 − ω2

1

ω∗21

− 2iω1

ω∗1

ξ1 1 1

1Mt

M1− ω2

H

ω∗21

− 2iωH

ω∗1

ξHSt

M1H1

1St

M1H1

Jt

M1H21

− ω2θ

ω∗21

− 2iωθ

ω∗1

ξθ

3777777777758>>>>>><>>>>>>:

1

p1u∗01

p1H1θ∗01

9>>>>>>=>>>>>>; = 0 . (2.87)

En introduisant une nouvelle fois les approximations M1 ≈ Mt, M1H1 ≈ St et M1H21 ≈ Jt

(équations (2.36), (2.37) et (2.38)), on obtient

φ∗1 ≈

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:φ1

1

p1

ω21

ω2H

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

h1

p1H1

ω21

ω2θ

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>; , (2.88)

où ω∗1 est telle que le déterminant du système s’annule, soit

1 − ω∗21

ω21

1

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

− ω∗21

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

− ω∗21

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

≈ 0 . (2.89)

En supposant que chacun des termes (ω∗1/ω1)ξ1, (ω∗

1/ωH)ξH et (ω∗1/ωθ)ξθ sont petits devant

1, il vient

1

‖ω∗1‖2

≈ 1

ω21

+1

ω2H

+1

ω2θ

, et ξ1 ≈‖ω∗

1‖ω1

3

ξ1 +

‖ω∗1‖

ωH

3

ξH +

‖ω∗1‖

ωθ

3

ξθ .

(2.90)

Ces expressions sont identiques à (2.40) et (2.41) établies au 2.2.3.4 à partir de l’analyse en

modes réels. Rappelons qu’avec cette approche, le calcul du facteur d’amortissement n’a pu

être effectué qu’au prix d’une hypothèse mal maîtrisée : l’omission des termes de couplage

dus à l’amortissement radiatif (équation (2.17)). Grâce à ces développements, il est mainte-

nant possible d’affirmer en toute rigueur que cette hypothèse constitue une approximation

acceptable si les conditions d’amortissements précisées ci-dessus sont vérifiées, soit, pour ré-

sumer, si conformément à l’intuition le système sol structure est faiblement amorti. Notons,

comme on le verra au chapitre 3, que cette propriété est compatible avec une interaction sol


structure significative : (ω∗1/ω1)ξ1 ≪ 1 est le plus souvent respectée dans la mesure où l’amor-

tissement structurel des bâtiments courants est généralement faible, compris entre 1 et 5 %.

Les conditions (ω∗1/ωH)ξH ≪ 1 et (ω∗

1/ωθ)ξθ ≪ 1 s’appliquent aux systèmes développant peu

d’interaction sol structure (ω1/ωH ≪ 1 et ω1/ωθ ≪ 1), et/ou pour lesquels ξH et ξθ sont

faibles (c’est à dire les structures lourdes et élancées).

On explicite maintenant, sur la base du calcul analytique de la déformée modale (équation

(2.88)), la réponse fréquentielle du système bs(ω), sous sollicitation harmonique ou sismique.

Rappelons qu’au voisinage du mode fondamental et si le système est faiblement amorti, elle

est donnée avec une bonne précision par (équations (2.84) et (2.85)) :bs(ω) = D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)P ∗1f φ

∗1δωf

− bug(ω)D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)P ∗1gφ

∗1 .

On suppose pour simplifier que la force harmonique est appliquée en tête de la structure,

f = t0 0 . . . 0 f, et que φ(n)1 = 1. On montre alors que

tφ∗1pf = (1 + u∗

01 + Hθ∗01)f

=ω2

1

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ω1ξ1

1 +

1

p1− 1

ω∗2

1

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

+

H

p1H1− 1

ω∗2

1

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

!f ,

ou encore si 1

p1− 1

ω∗2

1

ω2H

1 + 2iω∗

1

ω∗1

ξ1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

+

H

p1H1− 1

ω∗2

1

ω2θ

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

≪ 1 , (2.91)

que

tφ∗1pf ≃ ω2

1

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ω1ξ1

f .

Cette approximation, excellente à faible interaction sol structure (ω∗21 /ω2

H ≪ 1 et ω∗21 /ω2

θ ≪ 1)

reste acceptable pour une interaction modérée compte tenu des valeurs de 1/p1 et H/(p1H1)

(figure 2.9).

Par ailleurs, compte tenu de M1 ≈ Mt, M1H1 ≈ St et M1H21 ≈ Jt, il vient d’une part (calcul

par blocs)

tφ∗1Mφ∗

1 ≃ tφ1Mφ1(1 + p1u∗01 + p1H1θ

∗01)

2 = tφ1Mφ1

ω2

1

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ω1ξ1

!2

,

et d’autre part

tφ∗1pg ≃ p1(1 + p1u

∗01 + p1H1θ

∗01)

tφ1Mφ1 = p1ω2

1

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ω1ξ1

tφ1Mφ1 ,


Fig. 2.9 – Calcul de1/p1 et H/(p1H1) pour

φ(n)1 = 1, en fonction

du nombre d’étages.

100

101

102

0.75

0.85

0.95

1.05

1.15

1.25

nombre d’étages

1/p1

H/(p1H

1)

de sorte que

P ∗1f =

ω∗21

ω21

1

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

ftφ1Mφ1

, P ∗1g =

ω∗21

ω21

1

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

p1 ,

et finalement

bs(ω) =

8>>>>>><>>>>>>:bu(ω)bu0(ω)

hbθ0(ω)

9>>>>>>=>>>>>>; = D‖ω∗

1‖,ξ1

a (ω)

−p1

bug(ω) +f

tφ1Mφ1δωf

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:ω∗2

1

ω21

1

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

φ1

1

p1

ω∗21

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

h1

p1H1

ω∗21

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>; .

(2.92)

Cette expression de la réponse dynamique est susceptible de servir de base à l’analyse inverse

du système sol structure, c’est à dire pour l’essentiel à l’estimation des contributions de rigidité

et d’amortissement de la structure d’une part, du sol d’autre part, à partir de mesures accélé-

rométriques. Il est plus astucieux cependant pour ce faire d’abandonner la description modale

pour revenir à un calcul direct dans l’espace fréquentiel afin de s’affranchir au maximum des

hypothèses simplificatrices qu’il a été nécessaire d’introduire dans ce qui précède et de se pla-

cer dans le cadre le plus général. Cette approche complémentaire basée sur la transformée de

Fourier de l’équation de vibration est exposée dans ce qui suit.


2.2.5 Résolution directe dans l’espace fréquentiel

La résolution directe de l’équation (2.12) dans l’espace fréquentiel a été présentée au 2.2.3.5

dans le cas particulier d’une structure d’un étage. Sa généralisation aux structures ayant un

nombre quelconque de degrés de liberté apporte un point de vue complémentaire à celui de

l’approche modale et permet d’établir des relations utiles pour l’analyse inverse du système

sol structure.

Ne considérant dans un premier temps que l’équilibre de la superstructure (équation (2.12),

première ligne), et après transformée de Fourier, il vient

(−ω2M + iωC + K)bu = bf + ω2Mδ (bu0 + bug) + ω2Mh (bθ0 + bθg) . (2.93)

u, vecteur des déplacements relatifs des degrés de liberté de la structure, est décomposable

sur la base des modes propres de la structure sur base rigide, u =P

j αjφj , avec compte tenu

de (2.93) et de l’orthogonalité des modes,bαj =tφjMbutφjMφj

=

ω2

ω2j

1 − ω2

ω2j

+ 2iξjω

ωj

pj(bu0 + bug) + pjHj(bθ0 + bθg) +

1

ω2

tφjbf

tφjMφj

!= −D

ωj ,ξja (ω)

pj(bu0 + bug) + pjHj(bθ0 + bθg) +

1

ω2

tφjbf

tφjMφj

!,

(2.94)

où pour rappel pj = tφjMδ/tφjMφj et Hj = tφjMh/tφjMδ sont le facteur de participation

et la hauteur équivalente du mode j, Dωj ,ξja (ω) est la réponse impulsionnelle en accélération

d’un modèle de référence dont la pulsation propre et le facteur d’amortissement sont ceux du

mode j sur base rigide. La déformation interne est la somme des contributions individuelles de

chacun des modes sur base rigide pondérées par leur réponse impulsionnelle en accélération.

Cette contribution est maximale au voisinage de la fréquence de résonance du mode, proche

de 0 pour les fréquences significativement plus basses, et faible quoique non négligeable aux

hautes fréquences (figure 2.3 page 31), si bien que ne sont vraiment excités que les modes

de fréquence propre inférieure à, ou dans le voisinage immédiat de, la fréquence d’excitation.

Ainsi la réponse (en terme de déformation structurelle) du système sol structure à sa fréquence

fondamentale, nécessairement plus faible que la plus basse des fréquences propres sur base

rigide, est, en toute vraisemblance, largement dominée par le premier mode sur base rigide :bu(ω) ≃ bα1(ω)φ1 pour ω ≃ ω1 . (2.95)

Ce résultat justifie a posteriori l’hypothèse très utile selon laquelle la partie structurelle de la

déformée du premier mode sur base souple est sensiblement égale au premier mode sur base

rigide (équation (2.86)).


Compte tenu de (2.95) et (2.94), on a, au voisinage de la fréquence fondamentale,but ≃ (bu0 + bug)δ + (bθ0 +

bθg)h+ bαφ1

= (bu0 + bug)δ + (bθ0 +

bθg)h− Dω1,ξ1

a (ω)

p1(bu0 + bug) + p1H1(

bθ0 +

bθg) −

tφ1bf

tφ1Mφ1

!φ1 .

(2.96)

On en déduit, par exemple au niveau du nième et dernier étage (H = hn est la hauteur totale

de la structure, utn le déplacement total au sommet de la structure),butn − (bu0 + bug) − H(bθ0 +

bθg)

p1(bu0 + bug) + p1H1(bθ0 +

bθg) −

tφ1bf

tφ1Mφ1

= −Dω1,ξ1a (ω)φ

(n)1 . (2.97)

Ce résultat généralise les formules établies par Luco et coll. pour un modèle à 1 degré de liberté

(Luco, 1980) et un modèle à n degrés de liberté soumis à une excitation sismique (Luco et coll.,

1988). Il présente un intérêt certain pour l’analyse inverse du système sol structure. Il montre

qu’il est en théorie possible d’extraire la fréquence fondamentale et le facteur d’amortissement

sur base fixe d’une structure à partir de mesures accélérométriques réalisées in situ en présence

d’interaction sol structure :

– butn accélération absolue au sommet de la structure, (bu0 + bug) et (bθ0 +

bθg) accélérations

absolues respectivement en translation et en rotation de la fondation, ainsi que H sont

directement accessibles par l’expérience ;

– l’estimation de M, φ1, H1 et p1 présente deux niveaux de difficultés différents selon que

la structure est périodique (c’est à dire la répétition d’étages identiques) ou irrégulière.

Dans le premier cas (m1 = m2 = . . . = mn = m ; k1 = k2 = . . . = kn = k ; h1 = h2 =

. . . = hn = h) on dispose de l’expression algébrique (Asancheyev, 1993)

φ(j)1 = sin

j

2n + 1π

, j ≤ n,

fonction seulement, comme H1 et p1, du nombre d’étages ; la masse d’un étage m est

estimée en principe facilement par simple métré. Si la structure est non périodique, il

est nécessaire de déterminer expérimentalement l’allure de la déformée de la structure

sur base fixe. Pour cela il convient de disposer d’une mesure de l’accélération absolue à

chaque étage. La déformation interne u, et donc immédiatement φ1 (équation (2.95)),

sont obtenus en retranchant le mouvement de corps rigide (bu0 + bug)δ + (bθ0 +

bθg)h.

Ces dispositions expérimentales sont suffisantes si on effectue des mesures en bruit de fond,

sous mouvement sismique, ou encore en oscillations libres. En revanche, sous sollicitation har-

monique, une mesure synchrone de l’excitation doit être réalisée de manière à déterminer

l’amplitude et la phase de f . L’excitateur harmonique utilisé au LGM n’est pas équipé du


dispositif adéquat. Cependant, une analyse de l’importance relative des différents termes in-

tervenant au dénominateur de la fonction de transfert (2.92), montre que cette difficulté peut

être contournée sous certaines conditions pour lesquelles tφ1bf/(tφ1Mφ1) ≪ p1

bu0 + p1H1bθ0.

En effet, dans la cas particulier (le plus courant) où la force excitatrice est appliquée en tête de

la structure, (2.92) donne, pour une fréquence proche de la fréquence fondamental (et ug = 0),

p1bu0 + p1H1

bθ0

tφ1bf/(tφ1Mφ1)

≃

1 − ω∗21

ω21

1

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

D

‖ω∗1‖,ξ1

a (ω), (2.98)

L’amplitude de D‖ω∗

1‖,ξ1

a présente un pic au voisinage de la résonance. Sa valeur maximale

est on le sait de l’ordre de 1/(2ξ1) soit : 50 pour ξ1 = 0.01, 25 pour ξ1 = 0.02, 10 pour

ξ1 = 0.05, etc . . . Le facteur multiplicatif, situé entre parenthèses, est proche de 0 à très

faible interaction sol structure (‖ω∗1‖ ≃ ω1 et ξ1 ≃ ξ1) mais a, par exemple, une amplitude

de l’ordre de 0.36 pour ‖ω∗1‖/ω1 = 0.8. Il apparaît donc clairement qu’aux basses fréquences

(ω < ‖ω∗1‖), p1

bu0 + p1H1bθ0 est toujours négligeable devant tφ1

bf/(tφ1Mφ1), qu’aux hautes

fréquences p1bu0 + p1H1

bθ0 est au mieux du même ordre que tφ1

bf/(tφ1Mφ1).

En revanche, si le système présente suffisamment d’interaction sol structure (même modéré-

ment) avec un facteur d’amortissement ξ1 qui reste faible, il est probable que tφ1bf/(tφ1Mφ1)

puisse être négligé devant p1bu0+p1H1

bθ0 dans le voisinage proche de la fréquence fondamentale

du système. Cette constatation ouvre la voix à une utilisation de l’essai harmonique, autour

du premier pic de réponse du système, pour déterminer, en l’absence d’enregistrement de l’ex-

citation, les caractéristiques de la structure sur base rigide, à condition toutefois de vérifier au

cas par cas que tφ1bf/(tφ1Mφ1) ≪ p1

bu0 + p1H1bθ0. Enfin, on peut en guise d’illustration re-

marquer que les termes dont il vient d’être question apparaissent également dans l’expression

de ˆut (équation (2.96)). Cette accélération absolue est le cumul de plusieurs contributions dont

on donne une interprétation physique : on reconnaît le mouvement de corps rigide associé aux

déplacements de la fondation, (bu0 + bug)δ + (bθ0 +

bθg)h, puis la déformation de la structure.

Cette déformation est le fruit des forces appliquées sur la structure (terme proportionnel à f)

et des forces d’inerties développées par le mouvement de corps rigide (Wong et coll., 1988).

On constate que si tφ1bf/(tφ1Mφ1) ≪ p1

bu0 + p1H1bθ0, alors la déformation de la structure

est due essentiellement à ces forces d’inertie et beaucoup moins à l’action directe de la force

excitatrice ; tout se passe comme si la structure était soumise à une sollicitation d’appui et les

caractéristiques structurelles peuvent être obtenues à partir de la fonction de transfert entre

base et sommet, sans qu’il soit nécessaire de tenir compte de la sollicitation.

Partant cette fois des deuxième et troisième lignes du système matriciel (2.12), et en conservant

l’hypothèse (2.95) selon laquelle la déformation interne de la structure suit la déformée du


mode fondamental sur base rigide, on montre que

p1bu0

ˆα1 +St

M1H1p1H1(

bθ0 +

bθg) +

Mt

M1p1bug −

1

p1

tφ1bf

tφ1Mφ1

=

ω2

ω2H

1 + 2iω

ωHξH − Mt

M1

ω2

ω2H

(2.99)

et

p1H1bθ0

ˆα1 +St

M1H1p1(bu0 + bug) +

Jt

M1H21

p1H1bθg −

H

p1H1

tφ1bf

tφ1Mφ1

=

ω2

ω2θ

1 + 2iω

ωθξθ −

Jt

M1H21

ω2

ω2θ

,

(2.100)

où

ˆα1 =butn − (bu0 + bug) − H

bθ0

φ(n)1

=tφ1

but

tφ1Mφ1− p1(bu0 + bug) − p1H1

bθ0 .

Les rapports spectraux (2.99) et (2.100) permettent en théorie de déterminer, à partir de

mesures accélérométriques, les pulsations ωH et ωθ et facteurs d’amortissement ξH , ξθ et d’en

déduire les impédances de fondation. Ces expressions introduisent des quantités qui peuvent

être facilement estimées (M, φ1, St, Mt, Jt, p1, M1, H1) ou déterminées par l’expérience (butn,bf). D’autres grandeurs en revanche sont inaccessibles telles que bug,bθg et par conséquent bu0

et bθ0. La mise en oeuvre pratique de ces fonctions de transferts posent donc question, en

particulier en ce qui concerne,

– comme précédemment, la mesure de la phase de bf , en théorie indispensable, mais qui

en pratique peut se révéler superflue. Comme le montre l’équation (2.92), les termes

proportionnels à f peuvent généralement être négligés devant ˆα1, au voisinage de la

fréquence fondamentale du système sol structure, tout au moins tant que l’interaction

sol structure est modérée. Cette hypothèse pourra éventuellement être contrôlée au cas

par cas même s’il fait peu de doute qu’elle soit vérifiée dans la pratique ;

– bug et bθg qui correspondent aux mouvements de la fondation sans masse et en l’absence de

superstructure et ne peuvent par conséquent pas être mesurés. Toutefois, bug correspond

à l’accélération enregistrée en champ libre et en dehors de l’influence de la structure, à

la condition d’une part que la sollicitation (de type sismique) puisse, au moins locale-

ment, être assimilée à une onde plane, d’autre part que l’interaction cinématique soit

négligeable, c’est à dire, en première approche, que la longueur d’onde soit grande par

rapport aux dimensions de la fondation (largeur, longueur et profondeur). Si ce type de

mesure semble pouvoir être utilisé en mouvements forts (Bard et coll., 1992; Stewart et

2.3. Modèles élémentaires continus 69

Fenves, 1998), il est peu probable, en revanche, que le bruit de fond ambient présente

une cohérence spatiale suffisante. Ce problème est peu pénalisant si les mesures sont

exploitées au voisinage de la résonance du système et si l’interaction sol structure est

significative, de telle sorte que bug et bθg soient négligeables respectivement devant bu0

et bθ0 (équation (2.92)). Dans la pratique, il suffira de vérifier que les enregistrements

de la translation et de la rotation de la fondation sortent nettement du bruit de fond

en présentant un pic marqué au niveau de la fréquence fondamentale du système sol

structure.

2.3 Modèles élémentaires continus

On introduit maintenant les modèles de structure continus : poutres de flexion, de ci-

saillement, de Timoshenko. Les équations dynamiques et modales de chacun de ces modèles

élémentaires, sur base rigide ou en interaction avec le sol, sont présentées. Les conditions de

dégénérescence du modèle de Timoshenko vers l’un ou l’autre des modèles de comportement

pur (en flexion ou en cisaillement) sont discutées en détail.

Lorsque c’est possible, certains effets qualitatifs sur la dynamique du système de la condi-

tion d’appui souple et dissipatif, rapprochant ou opposant les différents modèles de structure,

sont mis en évidence.

2.3.1 Equations de vibration des poutres continues

Il s’agit d’écrire les équations du mouvement de poutres sollicitées par une force répartie

ou concentrée, par déplacement d’appui, ou oscillant librement à partir d’une condition ini-

tiale hors équilibre. Le traitement mathématique formel de tels systèmes à caractéristiques

réparties implique l’utilisation d’équations aux dérivées partielles des variables de temps et

d’espace. Dans le cas qui nous intéresse des structures unidimensionnelles du type poutre,

les seules variables indépendantes sont le temps et la position le long de l’axe moyen. Nous

nous limiterons aux poutres rectilignes dont les caractéristiques physiques (masse, rigidité,...)

sont indépendantes de la position le long de l’axe moyen, autrement dit constantes sur toute

la hauteur de la poutre de façon à concentrer au maximum la complexité de l’étude sur les

aspects d’interaction sol structure. En outre, cette hypothèse est peu pénalisante compte tenu

de la régularité remarquable des immeubles « modernes » construits dans les années 50-70.

2.3.1.1 Définitions et conventions de la résistance des matériaux

Les équations du mouvement sont établies à partir des hypothèses et définitions de la

résistance des matériaux.


q(z)

y

q(z, t)

z

x

u(z)

θ(z)

dz

M(z+dz)

T (z+dz)

T (z)

M(z)

θ0

u00

z

x

z

x

Fig. 2.10 – vibration des poutres : notations, bilan d’effort sur une tranche d’épaisseur dz(variable t omise).

Notations - choix cohérent des conventions de signes. Soit donc une poutre recti-

ligne caractérisée seulement, à ce stade, par ses propriétés inertielles et géométriques : masse

linéique m, moment d’inertie massique de section J , hauteur H. On définit le repère local

direct R0(Oxyz) attaché à l’extrémité inférieure de la poutre, autrement dit à la fondation,

et tel que l’axe Oz soit confondu avec l’axe moyen (figure 2.10). M(z, t) et T (z, t) désignent

respectivement le moment fléchissant et l’effort tranchant dans une section, à la hauteur z.

Ce sont les éléments de réduction, projetés respectivement sur les axes y et x, du tenseur,

calculé au centre de la section, des efforts exercés par la partie située au-dessus de la sec-

tion sur celle située en-dessous. Cette convention de signe inhabituelle est la plus commode

pour notre problème : l’axe 0z est positionné verticalement, conformément à l’habitude, et

les efforts transmis par la poutre à ses appuis (équilibrés par les fonctions d’impédance de la

fondation) sont donnés directement par M(0, t) et T (0, t). L’effet de forces axiales éventuelles,

telles le poids propre de la structure, donc de l’effort normal n’est pas pris en compte dans

cette analyse. Enfin, un chargement transversal, réparti, q(z, t) est introduit pour la généralité

du problème.

Le déplacement absolu (ou total) ut d’un point de l’axe moyen de la poutre est la somme du

déplacement dans le repère R0 noté u et du mouvement de corps rigide induit par la trans-

lation horizontale u0 et le balancement θ0 de la fondation relativement au repère absolu (ou

galiléen) Rg :

ut(z, t) = u(z, t) + u0(t) + zθ0(t). (2.101)


De même, la rotation absolue θt d’une section perpendiculaire à l’axe moyen est donnée par

θt(z, t) = θ(z, t) + θ0(t), (2.102)

où θ désigne donc la rotation de la section dans le repère R0 lié à la fondation. ut et θt, écrits

dans un repère d’inertie, apparaissent naturellement dans les équations d’équilibre dynamique.

u et θ, relatifs à la déformation de la poutre, sont les variables naturelles des équations de

comportement de la poutre. On notera par ailleurs que u0 et θ0, prises par rapport au repère

galiléen, incluent ici, contrairement au 2.2, une éventuelle sollicitation sismique.

Relations d’équilibre. Avec ces notations, l’équilibre dynamique d’une « tranche »de poutre

d’épaisseur dz (figure 2.10) s’écrit :

– équilibre en translation : T (z + dz, t) − T (z, t) + q(z, t)dz = m∂2ut

∂t2(z, t)dz,

– équilibre en rotation : M(z + dz, t)−M(z, t) + T (z, t)dz − q(z, t)dzdz

2= J

∂2θt

∂t2(z, t)dz,

d’où, en négligeant le terme d’ordre 2, qdz2

2:

∂T

∂z(z, t) = m

∂2ut

∂t2(z, t) − q(z, t) (2.103)

et

∂M

∂z(z, t) + T (z, t) = J

∂2θt

∂t2(z, t) . (2.104)

L’équation de vibration de la poutre, c’est à dire l’équation différentielle reliant des dérivées

temporelles et spatiales du déplacement aux sollicitations, est déduite des relations précédentes

d’équilibres locales à partir d’hypothèses supplémentaires relatives à la déformation de la

poutre considérée.

2.3.1.2 Equations de comportement des poutres

Il convient maintenant de distinguer les trois types de comportement de poutres envisagés :

poutre en flexion, poutre en cisaillement, poutre de Timoshenko.


dz

∂u∂z

∂u∂z

O

z

x

(a) Poutre de flexion pure

∂u∂z

∂u∂z

dz

O

z

x

(b) Poutre de cisaillement

Fig. 2.11 – Les deux hypothèses classiques de comportement pour les modèles de poutrehomogène.

Poutre en flexion. La poutre de flexion vérifie les hypothèses classiques de Bernouilli,

élémentaires en théorie des poutres. La loi de comportement de ce type de poutre est donnée

par la relation entre moment de flexion et courbure de la déformée interne,

M(z, t) = kf∂2u

∂z2(z, t) (2.105)

où la constante kf (≡ Nm2) est appelée rigidité de flexion. Il est possible d’introduire un

paramètre supplémentaire η traduisant une dissipation d’énergie visqueuse à l’intérieur de la

structure :

M(z, t) = kf∂2u

∂z2(z, t) + ηkf

∂3u

∂t∂z2(z, t). (2.106)

Ce terme, dont la prise en compte ne pose pas de difficulté particulière, sera systématiquement

omis dans ce qui suit de manière à ne pas alourdir les expressions, pour n’être réintroduit que

dans l’anayse modale du 2.3.1.2. D’autre part, déplacement et rotation internes sont liés par

l’équation

θ(z, t) =∂u

∂z(z, t) ⇒ θt(z, t) =

∂ut

∂z(z, t) , (2.107)

qui traduit l’absence de distorsion due à l’effort tranchant.

En injectant ces deux conditions définissant la flexion dans les équilibres locaux, et en remar-

quant que∂2u

∂z2=

∂2ut

∂z2, on obtient l’équation de vibration de la poutre de flexion,

kf∂4ut

∂z4+ m

∂2ut

∂t2− J

∂4ut

∂t2∂z2= q , (2.108)


puis, grâce à (2.103), une expression de l’effort tranchant en fonction du déplacement, utile

pour exprimer les conditions aux limites,

T (z, t) = −kf∂3ut

∂z3+ J

∂3ut

∂t2∂z. (2.109)

Poutre en cisaillement. La poutre de cisaillement est caractérisée par l’absence de rotation

interne (donc relativement au repère R0) des sections, soit θ(z, t) = 0 et donc

θt(z, t) = θ0(t) . (2.110)

Sa loi de comportement naturelle est donnée par l’expression de l’effort tranchant en fonction

de la déformation angulaire locale (c’est à dire la déformation de l’angle, droit en l’absence d’ef-

fort tranchant, de la section avec l’axe moyen, figure 2.11(b)), et de la rigidité de cisaillement

kc(≡ N) :

T (z, t) = kc∂u

∂z(z, t) = kc

∂ut

∂z(z, t) − θ0(t)

. (2.111)

Notons là encore qu’un terme de dissipation visqueuse peut être introduit sans difficulté par-

ticulière. On en déduit aisément, à partir de l’équation d’équilibre local (2.103), l’équation de

vibration de la poutre de cisaillement :

−kc∂2ut

∂z2+ m

∂2ut

∂t2= q . (2.112)

L’inertie de rotation de la section est absente de l’équation de vibration, ce qui corrobore le

fait que la cinématique de cisaillement interdit toute rotation interne des sections les unes

par rapport aux autres (θ = 0). Elle apparaît en revanche explicitement dans l’expression du

moment fléchissant et donc des conditions aux limites qui déterminent la rotation d’ensemble

de la poutre (θ0). Combinant (2.104), (2.110) et (2.111) on obtient

∂M

∂z(z, t) = J

d2θ0

dt2(t) + kcθ0(t) − kc

∂ut

∂z(z, t),

puis, en intégrant entre H et z,

M(z, t) − M(H, t) =

J

d2θ0

dt2(t) + kcθ0(t)

(z − H) − kc

ut(z, t) − ut(H, t)

.

On peut, à ce stade, en perdant un peu de généralité, faire intervenir les conditions particulières

d’extrémité libre en z = H :

T (H, t) = 0 et M(H, t) = 0 .


On en déduit que

θt(z, t) = θ0(t) =∂ut

∂z(H, t) , (2.113)

puis il vient

T (z, t) = kc

∂ut

∂z(z, t) − ∂ut

∂z(H, t)

(2.114)

et enfin

M(z, t) =

J

∂3ut

∂t2∂z(H, t) + kc

∂ut

∂z(H, t)

(z − H) − kc

ut(z, t) − ut(H, t)

. (2.115)

Il est de fait remarquable de constater que le calcul des vibrations d’une poutre de cisaillement

implique, en définitive, la résolution d’une équation aux dérivées spatiales d’ordre 2, disposant

de deux conditions aux limites relatives à la transmission des efforts à la base (z = 0). Dans le

cas de la poutre de flexion, l’équation de vibration est d’ordre 4 et les 4 conditions aux limites,

à la base et en tête de la poutre restent disponibles.

β

O

z

x

∂u

∂z

θ

dz

Fig. 2.12 – déformation du tronçon élémentaire d’une poutre de Timoshenko

Poutre de Timoshenko. La poutre de Timoshenko est un cas plus complexe dans lequel

les déformations de flexion et de cisaillement sont supposées du même ordre de grandeur et

se superposent comme indiqué à la figure 2.12. L’effort tranchant T induit une distorsion de

l’angle droit entre une section et l’axe moyen, sans rotation de cette section dans le repère

local R0 :

β(z, t) =T (z, t)

kc. (2.116)


Le moment fléchissant entraîne cette même section dans un mouvement de rotation dont la

valeur dans le repère local R0 est donnée par l’équation

∂θ

∂z(z, t) =

M(z, t)

kf

, (2.117)

enfin la pente de la déformée, toujours dans R0, est la somme de ces deux effets (figure 2.12),

soit :∂u

∂z(z, t) = β(z, t) + θ(z, t) . (2.118)

En combinant les trois équations précédentes avec les relations (2.103) et (2.104) traduisant

l’équilibre local, on détermine aisément l’équation de vibration de la poutre de Timoshenko :

kf∂4ut

∂z4+ m

∂2ut

∂t2−

kf

kcm + J

∂4ut

∂t2∂z2+

mJ

kc

∂4ut

∂t4= q +

J

kc

∂2q

∂t2− kf

kc

∂2q

∂z2. (2.119)

Les conditions aux limites du problème sont des conditions d’efforts (tout du moins en z = H).

Il convient donc, pour poser convenablement le problème, d’exprimer les efforts de réduction

en fonction de ut. De (2.101) et (2.118) on tire

β(z, t) =∂u

∂z(z, t) − θ(z, t) =

∂ut

∂z(z, t) − θt(z, t) , (2.120)

puis

T (z, t) = kc

∂ut

∂z(z, t) − θt(z, t)

. (2.121)

Par ailleurs,

M(z, t) = kf∂θ

∂z(z, t) = kf

∂θt

∂z(z, t) . (2.122)

Il est donc nécessaire de trouver l’équation non triviale reliant la rotation totale θt au dépla-

cement total ut, soit, en réinjectant l’expression de l’effort tranchant (2.121) dans l’équilibre

local (2.104) :

J∂2θt

∂t2+ kcθt = kf

∂3ut

∂z3− kf

kcm

∂3ut

∂z∂t2+ kc

∂ut

∂z. (2.123)

L’équation (2.123) permet directement d’exprimer les conditions aux limites dans le cas où

l’effet du moment d’inertie de la section peut être négligé (J = 0). Dans le cas général,

(2.123) et l’équation de vibration (2.119) doivent être résolues simultanément. Cependant,

toute difficulté disparaît dans le cadre de l’analyse modale (2.3.2) où l’équation (2.123) admet

une solution triviale pour chaque harmonique.


2.3.1.3 Quelques commentaires pratiques sur la modélisation des structures de

génie civil par des modèles de poutres continues

On livre ici quelques considérations sur la manière d’estimer les paramètres mécaniques

du modèle de poutre de manière à capter l’essentiel du fonctionnement d’une structure réelle.

La réponse à cette question diverge selon qu’on considère une structure dont le mécanisme est

par nature :

– continu : cheminées, antennes, bâtiments dont le comportement est guidé par un élément

continu reprenant l’essentiel des effort tel qu’un voile vertical sollicité dans son plan ou

un noyau central (cage d’escalier) ;

– discontinu : structures portiques ou à murs voiles fonctionnant en portiques, etc.

Structures continues. Les coefficients de rigidité kc et kf sont déterminés directement par

le matériau constitutif et la géométrie de l’élément continu contribuant pour l’essentiel de la

rigidité de la structure. On note I son inertie de section par rapport à l’axe de rotation, Sc

sa section réduite d’effort tranchant, E le module d’Young et G le module de cisaillement

(G = E/(2(1 + ν)) où ν est le coefficient de Poisson) de sorte que :

kf = EI et kc = GS .

Dans le cas où la structure se résume à cet élément continu, c’est à dire si la structure est

une poutre (par exemple une cheminée), alors les caractéristiques inertielles du modèle sont

données directement par

m = ρA et J = ρI ,

où ρ est la masse volumique du matériau constitutif et A l’aire de la surface de matériau

interceptée par une section perpendiculaire à l’axe de la poutre. Lorsque c’est nécessaire, il

convient d’ajouter la masse et l’inertie de rotation des éléments ne contribuant pas à la rigidité

de la structure comme par exemple les planchers (figure 2.13).

Structures portiques. Dans ce cas se pose la question de la représentation par un mo-

dèle homogène de bâtiments périodiques mais fortement hétérogènes à l’échelle de l’étage. Le

travail de Hans (2002) et Boutin et Hans (2003), basé sur la méthode d’homogénéisation des

milieux discrets périodiques, apporte une justification théorique à l’emploi des modèles simples

de poutres et a montré leur efficacité pour décrire la dynamique des bâtiments dans un cer-

tain nombre de cas réels. Plusieurs types de comportements globaux, dont les caractéristiques

continues sont calculées en fonction des caractéristiques géométriques et matérielles locales

des éléments constitutifs (murs et planchers), ont été mis en évidence. Le modèle de Timo-

shenko s’avère adapté à une majorité de situation. On renvoit aux auteurs précités pour la

détermination du modèle continu équivalent dans le cas général. Dans le cas particulier où les


Fig. 2.13 – exemple de structure consti-tuée autour d’un noyau central continu re-prenant l’essentiel des efforts horizontaux.

Fig. 2.14 – exemple de structure portique.

planchers peuvent être considérés comme indéformables, le calcul des rigidités de cisaillement

et de flexion est intuitif :

– L’indéformabilité des planchers implique que tous les éléments compris entre deux plan-

chers successifs sont soumis au même déplacement différentiel horizontal (figure 2.15).

La rigidité en cisaillement d’un étage Ke est donc le cumul des rigidités, associées en

parallèle, de ces éléments verticaux :

Ke =Force∆u

=

Xéléments

Force

∆u=

Xéléments

K ,

où la rigidité K d’un élément doublement encastré est donné, si on tient compte du

cisaillement et de la flexion, par la formule :

1

K=

1

Kf+

1

Kcavec Kf =

12EI

h3et Kt =

GSc

h.

I et Sc désignent respectivement le moment d’inertie de la section et la section réduite

d’effort tranchant de l’élément. Connaissant Ke, la rigidité totale de l’étage, on déduit

intuitivement la rigidité de cisaillement de la poutre continue :

kc = hKe où h est la hauteur de l’étage.

– La rigidité de flexion de l’étage est liée à la reprise en traction-compression par les

éléments verticaux des efforts induits par les rotations différentielles entre planchers

successifs (figure 2.15). Du point de vue de ces efforts, il n’y a pas de différence de

comportement entre la structure portique et une structure continue. On en déduit que


la rigidité de flexion kf de la poutre équivalente est donnée par

kf =X

éléments

EI/∆ ,

où I/∆ est le moment d’inertie de la section de l’élément par rapport à l’axe de rotation

de la section, E le module d’Young du matériau constitutif. Si on note d la distance

entre le centre de la section de l’élément et l’axe de rotation, et A l’aire de cette section,

on a I/∆ = I + Ad2. A noter que l’axe de rotation, inconnu a priori, est déterminé de

façon à minimiser la rigidité de flexion totale.

Les caractéristiques inertielles équivalentes, m et J sont calculées en divisant par la hauteur

de l’étage, la masse et le moment d’inertie de rotation (calculé par rapport au plan vertical

passant par l’axe de rotation) d’un étage complet. Dans ce cas, le calcul inclut tous les les

éléments de la structure, y compris les planchers.

axe de rotation

Fig. 2.15 – Estimation des rigidités de flexion (à gauche) et de cisaillement (à droite) d’unétage

2.3.2 Oscillations libres des poutres continues

Les équations de vibration des poutres dont les comportements sont les plus représentatifs

de ceux des bâtiments réels ont été établies au 2.3.1. La résolution de ces équations pour une

sollicitation quelconque passe par le calcul fondamental de leurs solutions harmoniques en

oscillation libre, c’est à dire de leurs modes propres. Nous nous conformerons à la procédure

classique de détermination de ces modes. Dans un premier temps, une expression générale est

déduite directement de la forme de l’équation de vibration par séparation des variables tempo-

relles et spatiales. Dans un deuxième temps, la précision de conditions aux limites particulières

aboutit à des décompositions modales distinctes, propres au problème considéré. Nous nous

intéresserons dans cette partie, pour chaque modèle de poutre, à deux types de conditions

d’appui correspondant aux deux cas extrêmes (et évidemment théoriques) d’interaction sol-

structure : la condition d’encastrement parfait dans l’hypothèse d’un sol infiniment rigide et

la condition d’appui simple pour un sol infiniment souple. Le cas intermédiaire d’appui souple

faisant intervenir les fonctions d’impédance, sera l’objet de la partie suivante (cf. 2.3.3).


2.3.2.1 Formes générales des solutions des équations de vibration

Poutre de flexion. La recherche des solutions de l’équation de vibration (2.108) sous la

forme ut(z, t) = φ(z) exp(iωt) conduit à l’équation différentielle modale de vibration

kfφ(4) + Jω2φ′′ − mω2φ = 0 . (2.124)

On introduit la longueur L caractéristique de la variation du déplacement selon z (L est donc

de l’ordre de la longueur d’onde du mode considéré), puis le paramètre adimensionnel

C1 =J

mL2, (2.125)

de sorte que

L4φ(4) + L2C1(kL)4φ′′ − (kL)4φ = 0 où k4 =mω2

kf

. (2.126)

Comme L2φ′′ et φ sont du même ordre, il apparaît immédiatement que C1 pèse l’importance

de l’inertie de section dans la dynamique du mode considéré. Pour une poutre donnée, C1 est

d’autant plus fort que L est petit, c’est à dire que l’ordre du mode est élevé. On conclue donc

que plus on s’élève dans l’ordre des modes, plus l’influence de l’inertie de section est marquée.

Au passage, il faut souligner que la longueur caractéristique L, introduite ici en flexion, ne

dépend pas de la nature de la poutre mais reflète le nombre de noeuds, c’est à dire l’ordre, du

mode considéré.

Passées ces premières remarques, cherchons maintenant les solutions de (2.126) sous la forme

d’une onde plane φ(z) = exp(iδz/L). On obtient l’équation en δ,

δ4 − C1(kL)4δ2 − (kL)4 = 0 ,

⇒ δ2(δ2 − δ2J) − δ4

F = 0 , où δF = kL et δ2J = C1δ

4F (2.127)

Les 4 solutions distinctes de (2.127) sont ± δ1f ,± iδ2f où :

δ21f =

δ2J

2+

Ìδ4F +

δ2J

2

2

et δ22f = −δ2

J

2+

Ìδ4F +

δ2J

2

2

. (2.128)

On en déduit la forme générale de la déformée de la poutre de flexion :

φ(z) = A1 sinδ1f

z

L

+ A2 cos

δ1f

z

L

+ A3 sinh

δ2f

z

L

+ A4 cosh

δ2f

z

L

, (2.129)


où les (Ai)i=1,4 sont 4 constantes déterminées par les 4 conditions aux limites exprimées en

déplacement ou en efforts grâce aux relations (cf. (2.107), (2.105), (2.109) et δ21fδ2

1f = δ4F ) :

θt(z) = φ′(z)

=δ1f

L

A1 cos

δ1f

z

L

− A2 sin

δ1f

z

L

+

δ2f

L

A3 cosh

δ2f

z

L

+ A4 sinh

δ2f

z

L

,

(2.130)

M(z) =kf

L2

−A1 sin

δ1f

z

L

+ A2 cos

δ1f

z

L

δ21f +

A3 sinh

δ2f

z

L

+A4 cosh

δ2f

z

L

δ22f

,

(2.131)

T (z) = kfδ2F

L3

A1 cos

δ1f

z

L

− A2 sin

δ1f

z

L

δ2f −

A3 cosh

δ2f

z

L

+A4 sinh

δ2f

z

L

δ1f

,

(2.132)

où on a utilisé de manière implicite la notation intuitive : θt(z, t) = θt(z) exp(iωt)...

L ayant été définie comme la grandeur caractéristique de variation selon z, nécessairement δ1f

est d’ordre 1 (δ1f = O(1)) de sorte que si C1 ≪ 1 alors C1δ21f ≪ 1 et inversement si C1 ≫ 1

alors C1δ21f ≫ 1. Avec cette remarque et le calcul de δ2f en fonction de δ1f :

δ21f − δ2

2f

δ21fδ2

2f

= C1 ⇒ δ2f =δ1fÈ

1 + C1δ21f

, (2.133)

on déduit les deux cas dégénérés :

– si C1 ≪ 1, δ1f ≃ δ2f ≃ δF = kL et on retrouve les résultats classiques de la résistance

des matériaux pour la poutre de flexion pure ;

– inversement si C1 ≫ 1, alors δ1f ≃ δJ =√

C1(kL)2 et δ2f ≃ 0 puis,

φ(z) = A1 sinδJ

z

L

+ A2 cos

δJ

z

L

+ A4 , (2.134)

M(z) = −kf

L2

A1 sin

δJ

z

L

+ A2 cos

δJ

z

L

δ2J , (2.135)

T (z) = 0 , (2.136)

d’où il ressort que lorsque l’inertie de section domine, la poutre de flexion ne développe

pas d’effort tranchant. On désignera par commodité ce type de fonctionnement comme

celui de la « poutre à effort tranchant nul ».

Poutre de cisaillement. Les solutions harmoniques ut(z, t) = φ(z) exp(iωt) de l’équation

de vibration (2.112) de la poutre de cisaillement sont solutions de l’équation

kcφ′′(z) + mω2φ(z) = 0 , (2.137)


soit, en introduisant de nouveau la longueur caractéristique L de vibration selon z, identique

au cas de la flexion, et le paramètre adimensionnel

C2 =kf

L2kc, (2.138)

L2φ′′(z) + C2(kL)4φ(z) = 0 . (2.139)

Cherchant les solutions de (2.139) de la forme φ(z) = exp(iδz/L), on otient l’équation en δ

δ2 − C2(kL)4 = 0 ,

⇒ δ2 = δ2C où δ2

C = C2(kL)4 . (2.140)

On en déduit la forme générale de la déformée de la poutre de cisaillement,

φ(z) = A1 sinδC

z

L

+ A2 cos

δC

z

L

, (2.141)

puis, d’après (2.113), (2.114) et (2.115), les expressions de la rotation de section, du moment

fléchissant et de l’effort tranchant correspondants (en omettant la dépendance temporelle),

θt(z) = θ0 =δC

L

A1 cos

δC

H

L

− A2 sin

δC

H

L

, (2.142)

M(z) = kc

A1

sin

δC

H

L

− sin

δC

z

L

+ A2

cos

δC

H

L

− cos

δC

z

L

+(1 − C1δ

2C)δC

z − H

L

A1 cos

δC

H

L

− A2 sin

δC

H

L

,

(2.143)

T (z) =kcδC

L

A1

cos

δC

z

L

− cos

δC

H

L

− A2

sinδC

z

L

− sin

δC

H

L

. (2.144)

Les constantes A1 et A2 sont déterminées par les conditions aux limites à la base (les conditions

d’efforts nuls en tête étant déjà incluses dans le calcul de (2.114) et (2.115)). Comme pour la

poutre de flexion, le paramètre C1 = J/(mL2) pèse l’effet de l’inertie de section.

Poutre de Timoshenko. Dans le cas de la poutre de Timoshenko, l’équation différentielle

aux modes propres s’écrit

kfφ(4) +

J

m+

kf

kc

mω2φ′′ +

Jω2

kc− 1

mω2φ = 0

⇒ L4φ(4) + L2(C1 + C2)(kL)4φ′′ −1 − C1C2(kL)4

(kL)4φ = 0 , (2.145)

où L désigne une nouvelle fois la longueur caractéristique de variation selon z de φ, du même

ordre pour un mode donné que sa longueur d’onde, et C1 et C2 sont les paramètres adimen-


sionnels définis par (2.125) et (2.138).

Les solutions de (2.145) sont les combinaisons des solutions élémentaires φ(z) = exp(iδz/L)

où δ vérifie l’équation

(δ2 − δ2C)(δ2 − δ2

J) − δ4F = 0 , (2.146)

soit

– si δ2Cδ2

J < δ4F , δ ∈ ± δ1t,± iδ2t avec, par hypothèse δ1t ≥ 0 et δ2t ≥ 0, et :

δ21t =

δ2J + δ2

C

2+

Ìδ4F +

δ2J − δ2

C

2

2

et δ22t = −δ2

J + δ2C

2+

Ìδ4F +

δ2J − δ2

C

2

2

.

(2.147)

Il vient,

φ(z) = A1 sinδ1t

z

L

+ A2 cos

δ1t

z

L

+ A3 sinh

δ2t

z

L

+ A4 cosh

δ2t

z

L

, (2.148)

puis à partir de (2.121), (2.122) et (2.123), et en notant que δ21tδ

22t = δ4

F − δ2Cδ2

J et

δ21t − δ2

2t = δ2C + δ2

J ,

θt(z) =1

L

A1 cos

δ1t

z

L

− A2 sin

δ1t

z

L

δ1t − δ2

C/δ1t

+A3 cosh

δ2t

z

L

+ A4 sinh

δ2t

z

L

δ2t + δ2

C/δ2t

,

(2.149)

M(z) =kf

L2

A1 sin

δ1t

z

L

+ A2 cos

δ1t

z

L

δ2C − δ2

1t

+A3 sinh

δ2t

z

L

+ A4 cosh

δ2t

z

L

δ2C + δ2

2t

,

(2.150)

T (z) =kf

L3

δ4F

δ1tδ2t

A1 cos

δ1t

z

L

− A2 sin

δ1t

z

L

δ2t

−A3 cosh

δ2t

z

L

+ A4 sinh

δ2t

z

L

δ1t

,

(2.151)

– si δ2Cδ2

J > δ4F , δ ∈ ± δ1t,± δ2t avec :

δ21t =

δ2J + δ2

C

2+

Ìδ4F +

δ2J − δ2

C

2

2

et δ22t =

δ2J + δ2

C

2−

Ìδ4F +

δ2J − δ2

C

2

2

.

(2.152)


On a donc dans ce cas,

φ(z) = A1 sinδ1t

z

L

+ A2 cos

δ1t

z

L

+ A3 sin

δ2t

z

L

+ A4 cos

δ2t

z

L

, (2.153)

puis en notant que δ21tδ

22t = δ2

Cδ2J − δ4

F et δ21t + δ2

2t = δ2C + δ2

J ,

θt(z) =1

L

A1 cos

δ1t

z

L

− A2 sin

δ1t

z

L

δ1t − δ2

C/δ1t

+A3 cos

δ2t

z

L

− A4 sin

δ2t

z

L

δ2t − δ2

C/δ2t

,

(2.154)

M(z) =kf

L2

A1 sin

δ1t

z

L

+ A2 cos

δ1t

z

L

δ2C − δ2

1t

+A3 sin

δ2t

z

L

+ A4 cos

δ2t

z

L

δ2C − δ2

2t

,

(2.155)

T (z) =kf

L3

δ4F

δ1tδ2t

A1 cos

δ1t

z

L

− A2 sin

δ1t

z

L

δ2t

+A3 cos

δ2t

z

L

− A4 sin

δ2t

z

L

δ1t

,

(2.156)

L étant la longueur caractéristique de variation de φ selon z, δ1t est O(1). D’après (2.147) et

(2.152), δ2t, δJ , δC et δF sont au plus égaux à δ1t donc soit O(1) soit très petits devant 1,

mais l’un au moins parmi δJ , δC et δF est O(1). Compte tenu de cette remarque, on détermine

sans difficultés les modèles dérivés du modèle de Timoshenko pour les valeurs extrêmes des

paramètres C1 et C2 :

– C1 =J

mL2≪ 1

δF ≤ δ1t = O(1) donc δ2J = C1δ

4F ≪ 1 puis comme δC et δ2 ∈ δ2

1t,±δ22t sont au plus

O(1), δ2J(δ2 − δ2

C) ≪ 1. On en déduit d’après (2.146)

δ2(δ2 − δ2C) − δ4

F ≃ 0 ,

soit l’équation aux modes propres pour la poutre de Timoshenko en RDM (c’est à dire

en l’absence d’inertie de section). Par ailleurs puisque δ2Cδ2

J = δ2CC1δ

4F et δ2

C est au plus

O(1) alors δ2Cδ2

J ≪ δ4F si bien que la déformée et les efforts modaux sont donnés par les

équations (2.147) à (2.151) où δJ est négligé devant δF .

– C2 =kf

L2kc

≪ 1

On retrouve, par un raisonnement parfaitement symétrique au précédent,

δ2(δ2 − δ2J) − δ4

F ≃ 0 ,

c’est à dire l’équation aux modes propres de la poutre de flexion (cf. (2.127)). La conver-


gence en tout point vers ce modèle apparaît dès lors qu’on remarque que δ2C = C2δ

4F ≪

δ4F . On en déduit que nécessairement δ4

C ≪ δ2C ≪ 1 puis comme δ2

J est au plus O(1)

que δ2Cδ2

J ≪ δ4F . Il vient donc δ2

1tδ22t ≃ δ4

F et enfin, puisque δ1t = O(1), δ2C ≪ δ2

2t ≤ δ21t.

Une fois ces comparaisons d’ordre de grandeur effectuées, on vérifie sans difficulté la

convergence de δ1t vers δ1f , δ2t vers δ2f , des géométries modales et des efforts internes

(cf. équations (2.147) à (2.151) pour la poutre de Timoshenko et (2.128) à (2.132) pour

la poutre de flexion).

– C1 ≫ 1 et C2 = O(1)

δ4F = δ2

J/C1 ≪ 1 car δ2J est au plus O(1). Il vient alors δ2

C = C2δ4F ≪ 1 puis δ2

C(δ2−δ2J) ≪

1 et enfin,

δ2(δ2 − δ2J) ≃ 0 , δ1t ≃ δJ et δ2t ≃ 0 .

On en déduit sans difficulté que la géométrie modale ainsi que les efforts internes

convergent vers les expressions (2.134) (2.135) et (2.136). Au bilan, on a montré que

la poutre de Timoshenko converge vers la poutre à effort tranchant nul, dégénérée de la

poutre de flexion dans le cas où l’inertie de section domine. Ce résultat illustre le fait que

la prise en compte de l’inertie de section ne favorise pas (contrairement à ce qui pourrait

être déduit d’un raisonnement erroné) le fonctionnement en cisaillement au détriment

de la flexion mais introduit un type de fonctionnement réellement indépendant des deux

précédents.

– C2 ≫ 1 et C1 = O(1)

Dans ce cas,

δ2(δ2 − δ2J) ≃ 0 , δ1t ≃ δC et δ2t ≃ 0 .

On réécrit (2.156) en utilisant la condition d’effort nul en tête (z = H) ; on obtient

T (z) =kf

L3

δ4F

δ1t

A1

cos

δ1t

z

L

− cos

δ1t

H

L

− A2

sinδ1t

z

L

− sin

δ1t

H

L

,

soit, puisque

δ1t ≃ δC ⇒ kf

L3

δ4F

δ1t≃ kcδC

L,

l’expression de l’effort tranchant pour la poutre de cisailllement (cf. (2.144)). La poutre

de Timoshenko converge vers la poutre de cisaillement.

– C2 ≫ 1 et C1 = C2O(1)

Ce cas particulier ne présente pas qu’un intérêt illustratif mais est susceptible de décrire

le fonctionnement des modes d’ordre élevé (L → 0). Il implique δ4F ≪ δ2

J = δ2CO(1) et

par suite δ2Cδ2

J > δ4F , puis δ1t ≃ max(δC , δJ) et δ2t ≃ min(δC , δJ). On en déduit la géo-


métrie modale ainsi que l’expression des efforts grâce aux équations (2.153) à (2.156). On

observe la spécificité de ce fonctionnement qui associe avec un même ordre de grandeur

et de manière découplée, la géométrie de la poutre de cisaillement à celle de la poutre à

effort tranchant nul.

L’analyse dimensionnelle qui précède nous permet de dégager quelques grands principes :

– les structures susceptibles de fonctionner en flexion sont les structures pour lesquelles

C1 et C2 sont faibles, c’est à dire les structures élancées ;

– le type de fonctionnement d’une structure réelle donnée dépend de l’ordre du mode

considéré. Plus on s’élève dans l’ordre des modes (L croissant), plus l’effet du cisaillement

et de l’inertie de section sont significatifs tandis que l’importance de la flexion décroît.

Il est par exemple possible que le comportement d’une structure telle qu’une cheminée,

très proche de celui d’une poutre de flexion pure au mode fondamental, s’en éloigne

considérablement aux modes supérieurs.

On pourra se faire une idée plus précise de ces résultats qualitatifs au regard des calculs de la

section suivante.

2.3.2.2 Modes propres des poutres sur appuis parfaitement rigides

Les formes générales des solutions modales des équations de vibration ont été données au

2.3.2.1. On précise maintenant l’expression de ces modes propres pour une poutre parfaitement

encastrée à sa base et libre en tête. Ce cas particulier se traduit, en oscillations libres, par les

conditions aux limites suivantes :

– déplacement et rotation nuls au niveau de l’encastrement (z = 0)

ut(0, t) = 0 et θt(0, t) = 0 , (2.157)

– effort tranchant et moment fléchissant nuls au sommet de la poutre (z = H)

T (H, t) = 0 et M(H, t) = 0 . (2.158)

Il convient, avant d’étudier l’effet de ces conditions particulières sur chacun des modèles de

poutre, d’introduire une légère modification des conventions d’écriture. On a, dans la section

précédente, utilisé le paramètre L représentant l’ordre de grandeur des variations du mode

selon z, puis les δ (avec un indice désignant le type de poutre considéré) dont l’un au moins

(qu’on dira « significatif ») est O(1). Deux modes d’ordre différent d’une même poutre ont

des δ « significatifs » du même ordre de grandeur tandis qu’ils se distinguent notablement par

leur longueur caractéristique de variation L : si on note Lj la longueur caractéristique du jième

mode, alors Lj = O(L1/(2j − 1)). Ce choix de notation s’est révélé très efficace pour étudier

les comportements asymptotiques des différents types de poutre, en mettant en évidence,


de manière transparente, l’influence de l’ordre des modes ; il s’avère plus simple (pour des

raisons de facilité d’écriture) dans ce qui suit de procéder différemment : on donne à L une

valeur constante, par exemple L = 2H/π, et la dépendance à l’ordre du mode est entièrement

reportée sur le paramètre δ. La lettre j sera systématiquement mise en indice pour désigner les

variables relatives au jième mode de telle sorte qu’avec les notations de la section précédente

δ1fj , δCj et δ1tj sont O(2j − 1).

Poutre de flexion libre-encastrée. L’écriture des conditions aux limites pour la poutre

de flexion conduit, compte tenu de (2.129), (2.130), (2.131) et (2.132), à l’équation matricielle

aux modes propres (indice f omis) :266666666666666640 1 0 1

δ1j 0 δ2j 0

− δ2j cos

π

2δ1j

δ2j sin

π

2δ1j

δ1j cosh

π

2δ2j

δ1j sinh

π

2δ2j

− δ2

1j sin

π

2δ1j

− δ2

1j cos

π

2δ1j

δ22j sinh

π

2δ2j

δ22j cosh

π

2δ2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; = 0 ,

(2.159)

où d’après (2.133),

δ2j =δ1jÈ

1 + C1δ21j

=δ1jÊ

1 +π2

4CH

1 δ21j

avec CH1 =

J

mH2.

On calcule numériquement, pour une valeur de CH1 donnée, les solutions modales δ1j telles

que le déterminant du système soit nul. On en déduit les déformées modales correspondantes

(équation (2.129) avec L = 2H/π), et puisque δ2Fj = δ1jδ2j , les pulsations de résonance,

ωj =

π

2H

2Ê

kf

m

δ21jÊ

1 +π2

4CH

1 δ21j

Les résultats obtenus pour les trois ou quatre premiers modes sont présentés figures 2.16, 2.18

et 2.19 :

• La figure 2.16 illustre l’évolution des valeurs de δ1j et δ2j en fonction du paramètre CH1 ,

c’est à dire du poids de l’inertie de section dans la dynamique de la poutre de flexion :

– pour CH1 = 0, le déterminant du système (2.159) se réduit à

1 + cos

π

2δ1j

cosh

π

2δ1j

= 0 .


Il vient, numériquement δ11 ≃ 1.194 puis comme pour j ≥ 2, cosh(πδ1j/2) ≫ 1,

δ1j ≃ (2j − 1) , j ≥ 2 . (cf. figure 2.16 à gauche)

– Inversement si CH1 → +∞, l’inertie de section domine, δ2j ≃ 2/(π

ÈCH

1 ) ≪ 1 et les

δ1j sont solutions de

cos

π

2δ1j

≃ 0 , ⇒ δ1j ≃ (2j − 1) , j ≥ 1 . (cf. figure 2.16 à droite)

– On vérifie qu’entre ces deux cas extrêmes, δ1j ne varie pas en ordre de grandeur avec

CH1 malgré le changement de comportement de la poutre, mais aussi, conformément

à ce qui a été montré au 2.3.2.1, que plus on s’élève dans l’ordre des modes plus l’effet

de l’inertie de section est marqué.

• Les déformées modales correspondant au cas classique de la flexion pure (CH1 = 0), au

mode de fonctionnement particulier de la poutre à effort tranchant nul (CH1 → ∞),

ainsi qu’à quelques valeurs intermédiaires de CH1 caractéristiques, ont été représentées

à la figure 2.18. On constate une nouvelle fois que l’effet de l’inertie de section se porte

d’avantage sur les modes supérieurs. Il est d’autre part intéressant de noter que la dé-

formée du mode fondamental est relativement insensible au poids de l’inertie de section.

• Un autre aspect important du problème (en particulier pour l’interprétation des signaux

expérimentaux) concerne le schéma de répartition des fréquences propres (figure 2.19) :

– pour CH1 = 0, le schéma de répartition des ωj suit celui des δ2

1j :

ωj =

π

2H

2Ê

kf

mδ21j ,

et les fréquences se distribuent selon la suite approximative (1.22, 32, 52, 72, ...). Ce

résultat est une caractéristique intéressante de ce type de fonctionnement et peut

constituer, en pratique, un premier critère d’identification pour le choix du modèle de

flexion pure.

– pour CH1 → +∞, on a montré au 2.3.2.1, que δ1f ≃ δJ =

√C1δF , d’où on déduit que :

ωj ≃π

2H

skf

Jδ1j → (2j − 1)

π

2H

skf

J.

Les valeurs des fréquences se suivent comme les nombres impairs et sont considéra-

blement plus proches que dans le cas de la flexion pure.

– Dans les cas intermédiaires enfin, on constate que la répartition des fréquences s’écarte,

sous l’effet de l’inertie de section, de celle de la poutre de flexion pure, ce d’autant

plus qu’on s’élève dans l’ordre des modes.


10−3

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

C1H ou C

2H

δ13

δ23

δ12

δ11

δ22

δ21

Fig. 2.16 – Effet de l’inertie de section sur la poutre de flexion : évolution de δ1f et δ2f enfonction du paramètre CH

1 pour les trois premiers modes.

Fig. 2.17 – Poutre de Timoshenko (J = 0) : évolution de δ1t et δ2t en fonction du paramètreCH



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1C

1H = 0.01

C1H = 0.1

C1H = 1

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

C1H = 0

C1H = +∞

C1H = +∞

C1H = 0

C1H = +∞

C1H = 0

Fig. 2.18 – Effet de l’inertie de section sur les déformées de la poutre de flexion : évolutionavec CH

1 .


10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

100

101

102

C1H ou C

2H

27

52

32

1.1942

1

3

5

7

Mode 1

Mode 4

Mode 3

Mode 2

Fig. 2.19 – Effet de l’inertie de section sur le schéma de répartition des fréquences propres dela poutre de flexion : évolution avec le paramètre CH

1 .

Fig. 2.20 – Poutre de Timoshenko (J = 0) : évolution du schéma de répartition des fréquencespropres en fonction du paramètre CH

2 .


Poutre de cisaillement libre-encastrée. En injectant la forme générale des solutions

modales en déplacement (2.141) et en rotation (2.142) dans les conditions d’encastrement

(2.157), on obtient264 0 1

cos

π

2δCj

0

3758<:A1j

A2j

9=; = 0 ⇒ δCj = (2j − 1) , jǫN∗, (2.160)

puis :

– les déformées modales, définies à la constante A arbitraire près,

φj(z) = A sin(2j − 1)

π

2

z

H

, jǫN∗, (2.161)

– et les pulsations propres correspondantes,

ωj = (2j − 1)π

2H

Êkc

m. (2.162)

Il faut noter que l’inertie de section est sans effet puisque l’encastrement à la base interdit

tout rotation de section de la poutre de cisaillement. L’allure des déformées des trois premiers

modes est représentée figure 2.21 (cas CH2 = 0). Les pulsations (ou fréquences) modales se

répartissent selon la séquence (1, 3, 5, 7, ...) caractéristique du fonctionnement en cisaillement

pur. C’est de nouveau un critère important dans la pratique pour identifier le comportement

d’une structure à partir de mesures expérimentales (Hans, 2002).

Poutre de Timoshenko libre-encastrée. On exprime les conditions aux limites à l’aide

des expressions (2.148) à (2.151) (ou (2.153) à (2.156)). On obtient l’équation matricielle aux

modes propres de la poutre de Timoshenko sur base rigide (indice t omis), soit :

– pour δ2Cjδ

2Jj ≤ δ4

F266666666666666640 1 0 1

δ1j −δ2

Cj

δ1j

0 δ2j +δ2

Cj

δ2j

0

− δ2j cosπ

2δ1j

δ2j sin

π

2δ1j

δ1j cosh

π

2δ2j

δ1j sinh

π

2δ2j

(δ2

Cj − δ21j) sin

π

2δ1j

(δ2

Cj − δ21j) cos

π

2δ1j

(δ2

Cj + δ22j) sinh

π

2δ2j

(δ2

Cj + δ22j) cosh

π

2δ2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;=0,

(2.163)


– pour δ2Cjδ

2Jj > δ4

F266666666666666640 1 0 1

δ1j −δ2

Cj

δ1j

0 δ2j −δ2

Cj

δ2j

0

− δ2j cosπ

2δ1j

δ2j sin

π

2δ1j

− δ1j cos

π

2δ2j

δ1j sin

π

2δ2j

(δ2

Cj − δ21j) sin

π

2δ1j

(δ2

Cj − δ21j) cos

π

2δ1j

(δ2

Cj − δ22j) sin

π

2δ2j

(δ2

Cj − δ22j) cos

π

2δ2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;=0,

(2.164)

où δ1j , δ2j , δJj , δCj , s’expriment (cf. (2.127) (2.140) (2.147) (2.152)) en fonction de δ4Fj =

4mω2j H4

π2kfet des paramètres

CH1 = J/(mH2) et CH

2 = kf/(H2kc) .

On calcule numériquement, pour des valeurs particulières de CH1 et CH

2 , les solutions modales

δFj telles que le déterminant du système (2.163) (ou (2.164)) s’annule, puis δ1j et δ2j . On en

déduit les déformées modales correspondantes (équation (2.148) ou (2.153) avec L = 2H/π),

et les pulsations de résonance, soit par exemple pour δ2Cjδ

2Jj ≤ δ4

F ,

ωj =

π

2H

2Ê

kf

m

δ21js

1 +π2

4(CH

1 + CH2 )δ2

1j −π2

4

CH1 CH

2

CH1 + CH

2

(δ21j − δ2

2j)

.

Les résultats obtenus pour les premiers modes, dans le cas où on néglige l’inertie de section

(CH1 = 0), sont présentés aux figures 2.17, 2.21 et 2.20. On constate que les valeurs de δ1j ,

δ2j et ωj coincident (de manière fortuite) avec celles obtenues pour le modèle de flexion pour

CH1 = CH

2 , de sorte que les figures 2.17 et 2.20 sont identiques aux figures 2.16 et 2.19. On

retrouve à gauche de ces figures les propriétés de la poutre de flexion pure, à droite celles de

la poutre de cisaillement pur. Lorsque CH2 . 10−2, les 3 premiers modes restent très proches

de ceux de la poutre de flexion, aussi bien en terme de fréquence que de déformée (figures

2.20 et 2.21) ; au-delà de CH2 = 10 l’ensemble des modes coïncident avec ceux de la poutre de

cisaillement. Comme prévu par l’analyse dimensionnelle du 2.3.2.1, plus on s’élève dans l’ordre

des modes, plus le cisaillement domine sur la flexion. On peut noter par exemple comment

les déformées seconde et encore plus troisième de la poutre de Timoshenko avec CH2 = 0.1 se

rapprochent de celles de la poutre de cisaillement, alors que le premier mode est très nettement

dominé par la flexion (figure 2.21).


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1C

2H=0.01

C2H=0.1

CH2=1

CH2=10

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

flexion

cisaillement

flexion

cisaillement flexion

cisaillement

Fig. 2.21 – Poutre de Timoshenko sur appuis rigides : évolution des déformées des troispremiers modes en fonction du paramètre CH

2 .


2.3.2.3 Modes propres des poutres sur appuis parfaitement souples.

Le calcul des modes sur appuis parfaitement souples est présenté de manière synthétique.

Il convient d’abord de préciser le type de conditions aux limites que désigne cette expression et

son intérêt pour notre étude. Dans le cas où le sol peut être considéré comme infiniment rigide

vis à vis de la structure, autrement dit quand l’interaction sol structure peut être négligée,

les modes du système sont ceux de la poutre encastrée à sa base. Plus le sol est souple, plus

l’interaction sol structure est forte, et moins le sol n’oppose de résistance aux déplacements de

la base. Dans le cas théorique du sol infiniment souple, les modes du système sont ceux de la

poutre dont les deux extrémités sont libres (à l’exception toutefois des modes de corps rigides

sur lesquels on reviendra plus en détail au chapitre 3). Le calcul de ces modes pour chaque

type de poutre est d’un intérêt certain comme cas limite de l’interaction sol structure.

La condition d’appuis libre-libre se traduit donc, en oscillations libres, par les conditions aux

limites d’effort tranchant et moment fléchissant nuls

– à la base (z = 0)

T (0, t) = 0 et M(0, t) = 0, (2.165)

– et en tête (z = H)

T (H, t) = 0 et M(H, t) = 0. (2.166)

L’effort normal (c’est à dire vertical) n’étant pas pris en compte, le degré de liberté de transla-

tion verticale de la base n’est pas sollicité dans notre modèle et peut être ignoré. Le problème

est identique à celui d’une poutre simplement appuyée (appui simple) à sa base.

Poutres de flexion libre-libre. L’écriture des conditions d’efforts nuls aux deux extrémités

de la poutre de flexion donne :26666666666666664− δ2j 0 δ1j 0

0 δ21j 0 − δ2

2j

− δ2j cos

π

2δ1j

δ2j sin

π

2δ1j

δ1j cosh

π

2δ2j

δ1j sinh

π

2δ2j

− δ2

1j sin

π

2δ1j

− δ2

1j cos

π

2δ1j

δ22j sinh

π

2δ2j

δ22j cosh

π

2δ2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; = 0

(2.167)

⇒ 2cos

π

2δ1j

cosh

π

2δ2j

− 1

+ (δ3

1/δ32 − δ3

2/δ31) sin

π

2δ1j

sinh

π

2δ2j

= 0 . (2.168)


Si on néglige l’inertie de section (CH1 = 0), on a plus simplement δ1j = δj2 = δFj , puis :

1 − cos(π

2δ1j) cosh(

π

2δ1j) = 0,

dont les solutions sont les δ1j ≃ 2j + 1, j ∈ N∗. On retrouve des fréquences propres quasi

identiques à celles de la poutre libre-encastrée, à l’exception de la première. Les déformées

modales correspondantes, données dans le tableau récapitulatif 2.1, sont en revanche très

différentes.

Poutres de cisaillement libre-libre. On exprime les conditions d’extrémités libres de la

poutre de cisaillement à partir des équations (2.143) et (2.144). On en déduit2666666664 1 − cos

π

2δCj

sin

π

2δCj

− π

2δCj

1 − C1δ

2Cj

cos

π

2δCj

π

2δCj

1 − C1δ

2Cj

sin

π

2δCj

+ sin

π

2δCj

+ cos

π

2δCj

− 1

37777777758>>>>><>>>>>:A1j

A2j

9>>>>>=>>>>>; = 0 , (2.169)

donc l’équation aux « fréquences » propres

21 − cos

π

2δCj

− π

2δCj sin

π

2δCj

1 − π2

4CH

1 δ2Cj

= 0 . (2.170)

La présence explicite de CH1 indique que les modes propres de la poutre de cisaillement libre-

libre sont sensibles, contrairement au cas de la poutre encastrée à sa base, à l’inertie de

section J . En effet, cette inertie est susceptible d’être mobilisée par un mouvement de rotation

d’ensemble. Toutefois les δCj = 4j, j ∈ N∗, sont toujours solutions de (2.170) quelque soit CH

1 .

On vérifie sans peine qu’ils correspondent à des modes φj = Aj cos

π2 δCjz/H

n’impliquant

aucune rotation de section (θ0j = φ′j(H) = 0).

En l’absence d’inertie de rotation (CH1 = 0), on retrouve évidemment ces modes de translation

pure, les modes d’ordre impair, entre lesquels s’intercalent les modes (d’ordre pair) impliquant

une contribution de rotation de corps rigide : δCj ≃ (4, 5.732, 8, 9.836, 12...). Les déformées

modales correspondantes sont synthétisées dans le tableau 2.2.

Poutres de Timoshenko libre-libre. Les modes propres de la poutre de Timoshenko

libre-libre (ou libre en tête, simplement appuyée à la base) sont solutions de :


– pour δ2Cjδ

2Jj ≤ δ4

F26666666666666664− δ2j 0 δ1j 0

0 δ21j − δ2

Cj 0 − (δ22j + δ2

Cj)

− δ2j cosπ

2δ1j

δ2j sin

π

2δ1j

δ1j cosh

π

2δ2j

δ1j sinh

π

2δ2j

(δ2

Cj − δ21j) sin

π

2δ1j

(δ2

Cj − δ21j) cos

π

2δ1j

(δ2

Cj + δ22j) sinh

π

2δ2j

(δ2

Cj + δ22j) cosh

π

2δ2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;=0,

(2.171)

– pour δ2Cjδ

2Jj > δ4

F26666666666666664δ2j 0 δ1j 0

0 δ21j − δ2

Cj 0 δ22j − δ2

Cj

− δ2j cosπ

2δ1j

δ2j sin

π

2δ1j

− δ1j cos

π

2δ2j

δ1j sin

π

2δ2j

(δ2

Cj − δ21j) sin

π

2δ1j

(δ2

Cj − δ21j) cos

π

2δ1j

(δ2

Cj − δ22j) sin

π

2δ2j

(δ2

Cj − δ22j) cos

π

2δ2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;=0.

(2.172)

Les figures 2.22 et 2.23 illustrent pour CH1 = 0 la transition entre les modèles de flexion pure

(CH2 → 0) et de cisaillement pur (CH

2 → +∞) sur appui infiniment souple. Modes de corps

rigides mis à part, les modes sur appui libre, de la poutre de flexion comme de la poutre de

cisaillement, sont plus haute fréquence que dans le cas de l’encastrement (par exemple, la

fréquence fondamentale de la poutre de flexion libre-libre est égale à la deuxième fréquence

propre de la poutre libre-encastrée). Il est par conséquent normal de constater que pour une

valeur de CH2 donnée, la contribution du cisaillement est un peu plus forte pour le mode

libre-libre que libre-encastré (figures 2.22 et 2.23 à comparer aux figures 2.17 et 2.21).

2.3.3 Poutres continues sur appui souple

Comme à la section 2.2 l’action dynamique du sol sur la fondation est décrite, de la

manière la plus commode, par les ressorts et amortisseurs équivalents de coefficients KH

et CH pour la translation, Kθ et Cθ (en toute rigueur dépendants de la fréquence, cf. 3.1)

pour le balancement. Les équations modales pour chaque type de poutre sont livrées sous

forme adimensionelle et une résolution analytique approchée est proposée dans le cas du mode

fondamental.

La condition d’appui souple se traduit, en oscillations libres, par les conditions aux limites


10−3

10−2

10−1

100

101

102

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C2H

δ13

δ23

δ22

δ12

δ11

δ21

Fig. 2.22 – Poutre de Timoshenko sur appuis libres : évolution de δ1 et δ2 en fonction duparamètre CH



−0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1C

2H = 0.01

C2H = 0.1

C2H = 1

−1 −0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

flexion

cisaillement flexion

cisaillement

flexion

cisaillement

Fig. 2.23 – Poutre de Timoshenko sur appuis libres : évolution des déformées des trois premiersmodes (hors corps rigide) en fonction du paramètre CH

2 .


Poutre de flexion pure (J = 0)base encastrée base libre

Mode j déformée ωk/

π

2H

2Êkf

m

!déformée ωk/

π

2H

2Êkf

m

!1

0 0.5 10

0.5

1

≃ 1, 1942 corps rigide 0

2

−1 0 10

0.5

1

≃ 32 corps rigide 0

3

−1 0 10

0.5

1

≃ 52

−1 0 10

0.5

1

32

4

−1 0 10

0.5

1

≃ 72

−1 0 10

0.5

1

52

Tab. 2.1 – Poutre de flexion pure (J = 0) : modes sur sol infiniment rigide — modes sur solinfiniment souple.


Poutre de cisaillement pur (J = 0)base encastrée base libre

Mode j déformée ωk/

π

2H

Êkc

m

!déformée ωk/

π

2H

Êkc

m

!1

0 0.5 10

0.5

1

1 corps rigide 0

2

−1 0 10

0.5

1

3 corps rigide 0

3

−1 0 10

0.5

1

5

−1 0 10

0.5

1

4

4

−1 0 10

0.5

1

7

−1 0 10

0.5

1

5.732

Tab. 2.2 – Poutre de cisaillement pur (J = 0) : modes sur sol infiniment rigide — modes sursol infiniment souple.


suivantes :

– effort tranchant et moment fléchissant contrôlés à la base (z = 0) par les fonctions

d’impédance

T (0, t) = KHu0(t) + CH u0(t) et M(0, t) = Kθθ0(t) + Cθθ0(t) , (2.173)

– effort tranchant et moment fléchissant nuls au sommet de la poutre (z = H)

T (H, t) = 0 et M(H, t) = 0 , (2.174)

où pour rappel, d’après (2.101) et (2.102),

u0(t) = ut(0, t) et θ0(t) = θt(0, t) .

Les difficultés théoriques relatives à ce type de conditions aux limites (dépendance fréquen-

tielle et amortissement non classique), largement commentées au 2.2 dans le cas du modèle

brochette, nous conduisent à opter pour une approche en modes complexes. Les modes com-

plexes sont les solutions de l’équation de vibration (exprimée en déplacement total) de la forme

φ∗j (z) exp(iω∗

j t), respectant ces conditions aux limites particulières. Les expressions générales

de la géométrie des déplacements et des efforts modaux, établies à la section 2.3.2.1 pour

chaque type de poutre, restent évidement valables dans le cadre des modes complexes et sont

utilisées dans ce qui suit. La seule différence concerne l’ajout de l’exposant ∗ pour indiquer

que les grandeurs concernées sont, compte tenu de la nature des conditions d’appui, à valeurs

nécessairement complexes.

2.3.3.1 Poutre de cisaillement sur appui souple

On explicite les conditions d’impédance (2.173) à l’aide de l’expression générale des dépla-

cements (équations (2.141) et (2.142)) et des efforts (équations (2.143) et (2.144)). On aboutit

à l’équation matricielle aux modes propres complexes de la poutre de cisaillement sur base

souple :266664 t∗c(1 − cos µ∗Cj)µ

∗Cj t∗cµ

∗Cj sinµ∗

Cj − 1

−µ∗Cj

1 + s∗c(1 − CH

1 µ∗2Cj)cos µ∗

Cj µ∗Cj

1 + s∗c(1 − CH

1 µ∗2Cj)sinµ∗

Cj

+s∗c sin µ∗Cj +s∗c(cos µ∗

Cj − 1)

3777758>><>>: A∗1j

A∗2j

9>>=>>; = 0 ,

(2.175)


où on a posé pour alléger les notations µ∗Cj =

π

2δ∗Cj , et introduit les paramètres adimensionnels

t∗c =kc

H(KH + iω∗j CH)

et s∗c =Hkc

Kθ + iω∗j Cθ

. (2.176)

t∗c et s∗c pèsent la rigidité de la structure par rapport à la rigidité du sol relativement aux deux

mouvements possibles de la fondation. On retrouve à t∗c = s∗c = 0 l’équation aux modes propres

de la poutre de cisaillement sur base rigide (équation (2.160)), et pour t∗c = s∗c = +∞ celle

de la poutre sur base parfaitement souple (équation (2.169)). Plus t∗c et s∗c sont grands, plus

l’effet de l’interaction sol structure est important comme l’illustre le calcul du déplacement

total Ut en tête de la poutre sous l’effet d’une force statique F appliquée au sommet :

Ut = (H/kc + 1/KH + H2/Kθ)F = (1 + t0c + s0c)FH/kc , (2.177)

où t0c = kc/(HKH) et s0c = Hkc/Kθ sont les valeurs prises par t∗c et s∗c dans le cas statique.

Existe-t’il une règle permettant de dire laquelle de deux structures, différenciées seulement

par leur hauteur, est susceptible de développer le plus d’interaction sol structure ? C’est une

question a priori difficile à laquelle l’équation précédente apporte des indications de réponse.

Une augmentation de la hauteur de la structure soumise à une force en tête a deux effets

essentiels : d’une part l’augmentation de la flèche (interne) avec l’accroissement de la portée

selon une loi qui caractérise le fonctionnement de la structure ; d’autre part l’augmentation

concomitante du bras de levier exercé par la force sur la fondation favorisant ainsi le mouve-

ment de rotation de corps rigide. Au bilan, la part relative de la translation de corps rigide

dans le déplacement total diminue lorsque la hauteur de la structure augmente, tandis que

l’évolution de la contribution de la rotation de corps rigide dépend du comportement de la

structure considérée. Dans le cas où ce comportement est semblable à celui d’une poutre de

cisaillement, t0c et s0c sont les paramètres clés et le calcul de Ut effectué ci-dessus précise ces

évolutions : inversement proportionnelle à H pour la translation de corps rigide, proportion-

nelle à H pour la rotation de corps rigide. Il apparaît donc clairement que l’élancement de la

structure favorise la rotation de la fondation et défavorise la translation. En revanche, il est

impossible de trancher sur la conséquence de ces deux effets antagonistes sur la participation

globale du comportement de corps rigide, sans plus de précision quantitative sur la rigidité de

la fondation :d

dH(t0c + s0

c) = kcH2KH − Kθ

H2KHKθ> 0 ⇔ H >

ÊKθ

KH. (2.178)

On en déduit l’existence d’une valeur de H au-dessus de laquelle, toute augmentation de la

hauteur de la structure s’accompagne d’une augmentation de la contribution du mouvement

de corps rigide au détriment de la déformation de la structure. Enfin, comme Kθ/KH est pro-

portionnel au carré de la longueur caractéristique de la fondation (cf. analyse dimensionnelle),

cette valeur seuil de la hauteur de la structure, fonction de la valeur des impédances, se traduit


par une condition adimensionnelle d’élancement.

Les résultats qui viennent d’être énoncés, obtenus par un raisonnement statique à force impo-

sée, ne peuvent être transposés aux modes du système sol structure sans précautions ; malheu-

reusement l’équation (2.175) est trop complexe pour qu’apparaissent les tendances d’évolution

des caractéristiques modales du système en fonction des paramètres t∗c et s∗c sans un calcul

numérique explicite. On va montrer cependant qu’un calcul analytique est possible dans le cas

du mode fondamental dont la déformée structurelle sur base souple est très proche de la dé-

formée sur base rigide. On reprend, pour exploiter cette propriété, le calcul du mode sur base

souple en abandonnant l’approche en déplacement total utilisée jusque là. On rappelle que le

déplacement total est la somme du déplacement interne (ou structurel) et du mouvement de

corps rigide, de sorte qu’avec notre système de notation :

φ∗1(z) = u∗

1(z) + u∗01 + zθ∗01 .

On injecte cette décomposition dans l’équation de vibration (2.137) ; il vient

−mω∗21 (u∗

1 + u∗01 + zθ∗01) − kcu

∗′′1 = 0 ,

puis après multiplication par la déformée sur base rigide φ1 et intégration entre 0 et H,

1 − ω21

ω∗21

+

RH0 mφ1RH

0 mu∗1φ1

u∗01 +

RH0 mzφ1RH0 mu∗

1φ1

θ∗01 = 0 ,

et enfin, en introduisant l’approximation u∗1 ≃ φ1, largement commentée au 2.2 et sur laquelle

on ne revient pas ici,

1 − ω21

ω∗21

+ p1u∗01 + p1H1θ

∗01 = 0 , (2.179)

où ω1 est la pulsation propre, p1 =RH0 mφ1/

RH0 mφ2

1 est le facteur de participation, et H1 =RH0 mzφ1/

RH0 mφ1 la hauteur équivalente, du mode fondamental sur base rigide. u∗

01 et θ∗01sont déduits de l’équilibre des efforts exercés par la poutre sur la fondation par les fonctions

d’impédance. Ces efforts sont donnés de la manière la plus simple par les équations (2.114)

et (2.115) en fonction des valeurs en z = 0 et z = H du déplacement interne et de sa dérivée

première. Les valeurs de u∗01 et θ∗01 obtenues à partir de ces équations locales sont telles que

la continuité de la contrainte à l’interface sol structure est vérifiée de manière exacte mais ne

s’assurent pas de l’équilibre globale de la structure. C’est pourquoi cette formulation locale

est avantageusement remplacée par une formulation globale5 exprimant l’équilibre des forces

5On remarquera que seule la formulation globale a été utilisée pour le modèle brochette (cf. équations (2.10)et (2.11) page 35).


d’inertie et des efforts internes, soit dans le cas général (2.103) et (2.104) :

T (z0, t) = −Z H

z0

m∂2ut

∂t2+Z H

zq ,

M(z0, t) = −Z H

z0

mz∂2ut

∂t2−Z H

zJ

d2θ0

dt2+Z H

zzq .

Avec ces expressions et l’approximation u∗1 ≃ φ1, on montre que les conditions aux limites

(2.173) donnent :

1 +

Mt

M1− ω2

H

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ωHξH

p1u

∗01 +

St

M1H1p1H1θ

∗01 = 0 , (2.180)

1 +St

M1H1p1u

∗01 +

Jt

M1H21

− ω2θ

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ωθξθ

p1H1θ

∗01 = 0 , (2.181)

où

– Mt =RH0 m, St =

RH0 mz et Jt =

RH0 (mz2 + J) sont respectivement la masse totale,

le moment statique et le moment d’inertie calculés au niveau de la fondation, de la

structure,

– M1 = (RH0 mφ1)

2/RH0 mφ2

1 la masse équivalente du mode 1,

– ω2H = KH/M1 et ω2

θ = Kθ/(M1H21 ) les pulsations caractérisant le mouvement de corps

rigide du système,

– ξH = CH/(2M1ωH) et ξθ = Cθ/(2M1H21ωθ) les facteurs d’amortissement associés à ce

mouvement de corps rigide.

On constate, sans surprise, que (2.179), (2.180) et (2.181) constituent un ensemble d’équations

strictement analogue au système (2.87) obtenu pour le modèle brochette (cf. section 2.2.4.4

page 62). Comme pour ce dernier les approximations M1 ≈ Mt, M1H1 ≈ St et M1H21 ≈ Jt

conduisent finalement à

p1u∗01 ≈ ω2

1

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

, p1H1θ∗01 ≈ ω2

1

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

, (2.182)

et

1

ω∗21

≈ 1

ω21

+1

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

+1

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

, (2.183)

puis à condition que (ω∗1/ωH)ξH ≪ 1 et (ω∗

1/ωθ)ξθ ≪ 1,

1

‖ω∗1‖2

≈ 1

ω21

+1

ω2H

+1

ω2θ

et ξ1 ≈‖ω∗

1‖ωH

3

ξH +

‖ω∗1‖

ωθ

3

ξθ . (2.184)


Par ailleurs, sachant que pour une poutre de cisaillement homogène (équations (2.161) et

(2.162)),

φ1(z) = sin

π

2

z

H

et ω1 =

π

2H

Êkc

m,

il vient

p1 =4

π, H1 =

2

πH , M1 =

8

π2Mt , puis

ω21

ω2H

= 2t0c etω2

1

ω2θ

=8

π2s0c .

On en déduit puisque

t∗c =t0c

1 + 2iω∗

1

ωHξH

et s∗c =s0c

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

,

que d’après (2.182) et (2.183),

u∗01 ≈ π

2t∗c , Hθ∗01 ≈ s∗c , et

ω21

ω∗21

≈ 1 + 2t∗c +8

π2s∗c . (2.185)

et enfin d’après (2.184) pour un système faiblement amorti,

ω21

‖ω∗1‖2

≈ 1 + 2t0c +8

π2s0c et ξ1 ≈

2t0c

1 + 2t0c + 8π2 s0

c

3/2

ξH +

8π2 s0

c

1 + 2t0c + 8π2 s0

c

3/2

ξθ .

(2.186)

Les équations approchées (2.185) et (2.186) offrent des possibilités d’interprétation identiques

à celles de l’équation (2.177) obtenue dans le cas statique. Les paramètres t0c et s0c pesant la

rigidité interne de la structure par rapport à celle de l’appui, mesurent l’effet de l’interaction

sol structure sur les caractéristiques du mode fondamental : la part du mouvement de corps

rigide et la « diminution » de la fréquence fondamentale du système (par rapport au cas de la

structure sur base rigide) sont d’autant plus forts que t0c et s0c sont grands.

En outre, les tendances mises en évidence par le raisonnement à force imposée se retrouvent

pour le mode fondamental :

– plus la structure est élevée plus la rotation de corps rigide contribue au déplacement

total tandis que la translation de corps rigide décroît ; ces deux phénomènes ont un effet

antagoniste sur le poids global du déplacement de corps rigide vis à vis de la déformation

structurelle. Il apparaît comme dans le cas statique qu’au dessus d’un certain seuil

(H = (π2Kθ/8KH)1/2 sensiblement égal au seuil calculé dans le cas statique), la part de

déplacement de corps rigide est d’autant plus importante que la structure est élancée.

– De manière étroitement corrélée avec la cinématique, l’évolution (en fonction de l’élance-

ment de la structure) de la pulsation propre du système sol structure comparativement


à celle de la structure sur base fixe est le résultat de deux tendances ayant un effet op-

posé sur l’évolution du contraste de rigidité globale entre la structure et le sol (équation

(2.186)) : l’assouplissement supplémentaire apporté au système, à élancement croissant,

par le basculement de corps rigide est contrebalancé par une rigidification relative de la

translation d’ensemble. Au-delà d’un certain seuil, évidemment du même ordre que le

précédent, le gain d’assouplissement domine et il est possible d’affirmer que la pulsation

propre du système sol structure est d’autant plus réduite vis à vis de la pulsation de la

structure sur base fixe, que l’élancement est grand.

Au bilan, on constate que le mode fondamental du système sol structure est d’avantage affecté

par l’interaction sol structure (en termes de déformée et fréquence propres) si l’élancement

croît au-delà d’une valeur qu’il n’est pas possible de comparer, à ce stade de l’étude sans

plus de précision sur les fonctions d’impédance, avec les élancements courants des structures

travaillant en cisaillement.

Des commentaires similaires peuvent être formulés pour le facteur d’amortissement modal

à partir de l’équation (2.186) dans laquelle ξH et ξθ décroissent proportionnellement avec

l’élancement respectivement à la puissance (-1/2) et (-3/2). L’étude complète des variations

de ξ1 avec l’élancement est fastidieuse ; en revanche on montre sans difficulté que d’une part

le premier terme (où apparaît ξH) est une fonction décroissante de la hauteur H, tandis

que le second (où apparaît ξθ) est une fonction croissante en-deçà, décroissante au-delà, de

H = (πKθ/4KH)1/2. Au total, on en déduit qu’au dessus d’une certaine valeur seuil (dont on

sait seulement qu’elle est au plus égal à (πKθ/4KH)1/2, l’éventualité qu’elle soit nulle n’étant

pas exclue), le facteur d’amortissement du mode fondamental diminue lorsque l’élancement

de la structure augmente. On constatera au passage, sur la base de ce dernier résultat, qu’un

renforcement de l’interaction sol structure ne se traduit pas nécessairement par un accroisse-

ment de l’amortissement modal.

Par ailleurs, compte tenu de ce que t0c = kc/(HKH) et s0c = Hkc/Kθ ne dépendent pas de la

masse de la structure mais seulement de sa rigidité, les équations (2.185) et (2.186) confirment

l’effet neutre de la densité sur la diminution de fréquence et le mouvement de corps rigide

imputables à l’interaction sol structure, tout du moins à faible amortissement. En revanche,

puisque ξH et ξθ varient en 1/√

M1, une densité forte implique une modération de l’amortis-

sement radiatif.

Notons enfin qu’il est possible, sans difficulté supplémentaire, de tenir compte d’une dis-

sipation d’énergie dans la structure sous forme visqueuse. Pour cela, il convient d’effectuer,

dans toutes les équations complexes qui précèdent, la substitution :

kc kc

1 + 2i

ω∗j

ω1ξ1

(2.187)

ω1 ω1

s1 + 2i

ω∗j

ω1ξ1 (2.188)


où j peut être égal à 1 selon le contexte. ξ1, facteur d’amortissement structurel, autrement dit

le facteur d’amortissement du mode fondamental de la structure sur base rigide, contribue au

facteur d’amortissement total du système sol structure :

ξ1 ≈‖ω∗

1‖ω1

3

ξ1 +

‖ω∗1‖

ωH

3

ξH +

‖ω∗1‖

ωθ

3

ξθ

≈

1

1 + 2t0c + 8π2 s0

c

3/2

ξ1 +

2t0c

1 + 2t0c + 8π2 s0

c

3/2

ξH +

8π2 s0

c

1 + 2t0c + 8π2 s0

c

3/2

ξθ .

2.3.3.2 Poutre de flexion sur appui souple

On établit comme pour la poutre de cisaillement, l’équation aux modes propres de la

poutre de flexion sur sol souple en explicitant les conditions aux limites (2.173) et (2.174) à

l’aide des expressions du déplacement, de la rotation et des efforts modaux (équations (2.129)

à (2.132)). On pose pour alléger les notations µ∗1j =

π

2δ∗1j et µ∗

2j =π

2δ∗2j (indice f omis), de

sorte que d’après (2.133),

µ∗2j =

µ∗1jq

1 + CH1 µ∗2

1j

avec CH1 =

J

mH2.

Il vient :26666666666666664− t∗fµ∗

1jµ∗22j 1 t∗fµ∗2

1jµ∗2j 1

µ∗1j s∗fµ∗2

1j µ∗2j − s∗fµ∗2

2j

− µ∗2j cos µ∗

1j µ∗2j sinµ∗

1j µ∗1j cosh µ∗

2j µ∗1j sinhµ∗

2j

− µ∗21j sinµ∗

1j − µ∗21j cos µ∗



2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; = 0 , (2.189)

où ont été introduits deux paramètres adimensionnels pesant la rigidité de la structure par

rapport à la rigidité du sol relativement aux deux mouvements possibles de la fondation :

t∗f =kf

H3(KH + iω∗j CH)

et s∗f =kf

H(Kθ + iω∗j Cθ)

. (2.190)

(2.189) est l’équation de base pour l’analyse du rôle de l’interaction sol structure dans la

dynamique de la poutre de flexion sur sol souple. Pour t∗f = s∗f = 0, on retrouve l’équation aux

modes propres de la poutre de flexion sur base rigide (équation (2.159)), et pour t∗f = s∗f = +∞celle de la poutre sur base parfaitement souple (équation (2.167)). Plus t∗f et s∗f sont grands,

plus le sol est souple comparativement à la structure et plus l’interaction sol structure est


importante.

Comme pour la poutre de cisaillement ou le modèle brochette, il est possible de pousser plus

avant l’analyse, sans plus de précision sur les impédances, en exploitant deux propriétés du

mode fondamental :

– d’une part on a montré que le mode fondamental est le mode le moins sensible à l’inertie

de section. On supposera donc que cet effet peut être négligé : CH1 ≪ 1 ;

– d’autre part, on sait que la déformation interne du mode fondamental sur base souple

est sensiblement identique à la déformée φ1 du mode fondamental sur base rigide :

φ∗1(z) = u∗

1(z) + u∗01 + zθ∗01 ≃ φ1(z) + u∗

01 + zθ∗01 .

Avec ces hypothèses simplificatrices, il est possible, par un raisonnement qui a été exposé

en détail dans le cas de la poutre de cisaillement, d’obtenir des expressions analytiques des

caractéristiques du mode fondamental :

p1u∗01 ≈ ω2

1

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

, p1H1θ∗01 ≈ ω2

1

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

, (2.191)

1

ω∗21

≈ 1

ω21

+1

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

+1

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

. (2.192)

On note que ces relations sont strictement analogues aux équations (2.182) et (2.183) dont

on dispose pour la poutre de cisaillement. Les caractéristiques du mode fondamental sur base

rigide de la poutre (homogène) de flexion pure sont telles que :

ω1 ≃ 1.1942

π

2H

2Ê

kf

m, (cf. tableau 2.1)

M1 ≃ 0.613 mH , H1 = 0.726 H . (cf. figure 2.24 pour CH1 → 0)

On en déduit :

p1u∗01 ≈ 7.585 t∗f , p1H1θ

∗01 ≈ 4 s∗f et

ω21

ω∗21

≈ 1 + 7.585 t∗f + 4 s∗f ,

ou encore, pour un système faiblement amorti,

ω21

‖ω∗1‖2

≈ 1 + 7.585 t0f + 4 s0f ,

ξ1 ≈

7.585 t0f1 + 7.585 t0f + 4 s0

f

!3/2

ξH +

4 s0

f

1 + 7.585 t0f + 4 s0f

!3/2

ξθ .

Ces résultats renseignent sur l’influence de l’élancement sur l’interaction sol structure. Les

paramètres t0f et s0f décroissant tous les deux avec l’élancement, on constate sans ambiguïté


Fig. 2.24 – Poutre deFlexion : calcul en fonctionde CH

1 de la hauteur et dela masse équivalente du pre-mier mode sur base rigide.

10−3

10−2

10−1

100

101

102

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

C1H

H1/H

M1/M

t

que la part du mouvement de corps rigide ainsi que la baisse de la fréquence de résonance

sont plus faibles pour une structure élancée. Autrement dit, l’élancement joue en défaveur de

l’interaction sol structure.

L’analyse du facteur d’amortissement (équation (2.3.3.2)) est un peu plus complexe. On note

que la contribution de l’amortissement radiatif relatif à la translation de la fondation décroît

de manière monotone avec l’élancement. En revanche, la contribution provenant du bascu-

lement de la fondation commence par croître puis décroît au-delà d’une certaine valeur de

l’élancement. Au total, il est donc impossible de trancher à ce stade, même qualitativement,

sur les variations du facteur d’amortissement dans la gamme d’élancement des structures de

génie civil.

2.3.3.3 Poutre de Timoshenko sur appui souple

On exprime les conditions aux limites (2.173) et (2.174) à l’aide des équations (2.148) à

(2.151). Les équations (2.153) à (2.156), introduites pour s’assurer que toutes les variables

utilisées soient réelles, n’ont plus d’utilité dans le cadre des modes complexes. On pose pour

alléger les notations µ∗1j =

π

2δ∗1j , µ∗

2j =π

2δ∗2j (indice t omis), µ∗

Fj =π

2δ∗Fj , µ∗

Cj =π

2δ∗Cj et

µ∗Jj =

π

2δ∗Jj , de sorte que d’après (2.127) et (2.140),

µ∗4Fj =

mω∗2j H4

kf

, µ∗2Jj = CH

1 µ∗4Fj , µ∗2

Cj = CH2 µ∗4

Fj , (2.193)


et d’après (2.147) :

µ∗21j =

µ∗2Jj + µ∗2

Cj

2+

Ìµ∗4

Fj +

µ∗2

Jj − µ∗2Cj

2

!2

et µ∗22j = −

µ∗2Jj + µ∗2

Cj

2+

Ìµ∗4

Fj +

µ∗2

Jj − µ∗2Cj

2

!2

.

(2.194)

On en déduit l’équation aux modes propres complexes de la poutre de Timoshenko sur appui

souple :26666666666666664− t∗fµ∗4

Fj/µ∗

1j 1 t∗fµ∗4

Fj/µ∗

2j 1

µ∗

1j −µ∗2

Cj

µ∗

1j

s∗f (µ∗2

1j − µ∗2

Cj) µ∗

2j +µ∗2

Cj

µ∗

2j

− s∗f (µ∗2

1j + µ∗2

Cj)

− µ∗

2j cos µ∗

1jµ∗

2j sinµ∗

1j µ∗

1j cosh µ∗

2j µ∗

1j sinhµ∗

2j

(µ∗2

Cj − µ∗2

1j ) sin µ∗

1j (µ∗2

Cj − µ∗2

1j ) cos µ∗

1j (µ∗2

Cj + µ∗2

2j ) sinh µ∗

2j (µ∗2

Cj + µ∗2

2j ) cosh µ∗

2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; = 0 ,

(2.195)

où pour rappel, t∗f =kf

H3(KH + iω∗j CH)

et s∗f =kf


.

2.4 Conclusions

Les équations dynamiques pour chaque modèle élémentaire, mis dans les conditions de

l’interaction avec le sol par une condition d’appui souple et dissipatif, ont été établies.

La décomposition sur la base des modes complexes de la réponse du système à des sollici-

tations variées (bruit de fond, séisme, excitateur harmonique, choc) a été explicitée de sorte

que les relations permettant de déterminer, à partir de mesures in situ correctement ciblées et

d’un choix de sollicitation approprié, les propriétés modales du système sol structure, ont été

clairement mises en évidences. Si le système s’avère fortement amorti par la radiation d’énergie

à travers la fondation, l’identification modale, y compris du fondamental, est complexe : seul

l’enregistrement d’oscillations libres, provoquées par exemple par un choc excitant principa-

lement le mode fondamental, nous semble (dans l’état actuel de nos connaissances) indiqué

dans ce cas.

La question de l’analyse inverse du système, à savoir l’identification des caractéristiques

propres de la structure (sur base rigide) et de la condition d’appui (impédance de fondation), à

partir de mesures in situ, a également été posée pour le mode fondamental : on a montré qu’elle

est possible directement par passage dans le domaine fréquentiel, moyennant l’hypothèse que

2.4. Conclusions 111

la déformée interne de la structure soit identique sur base souple (en interaction avec le sol)

et sur base rigide (en l’absence d’interaction).

Ajoutant à cette même hypothèse, quelques approximations supplémentaires peu coûteuses

(pour mémoire : M1 ≈ Mt, M1H1 ≈ St et M1H21 ≈ Jt), un modèle à un degré de liberté sur

sol souple, équivalent au mode fondamental de chacun des modèles élémentaires étudiés, a

été construit. Cette équivalence se traduit par le calcul algébrique explicite de la fréquence

et du facteur d’amortissement modaux du système sol structure, en fonction d’une part des

caractéristiques modales de la structure sur sol rigide, d’autre part des propriétés des modes

de corps rigide (voir les équations (2.89-2.90) pour le modèle brochette, et équivalentes pour

les autres modèles élémentaires). Certaines caractéristiques de l’effet qualitatif de l’interaction

sol structure sur le mode fondamental, identiques ou différentes pour chaque type de super-

structure, ont ainsi pu être précisées. On peut, en guise de synthèse, en retracer les grandes

lignes en notant que le mode fondamental du système sol structure, équivalent à un système à

un degré de liberté sur sol souple, fonctionne comme l’assemblage en série présenté à la figure

2.25 :

• L’interaction sol structure se traduit par une diminution de la fréquence de résonance,

une redistribution entre déformation interne et mouvement de corps rigide et parallèle-

ment entre les facteurs d’amortissement relatifs à ces deux cinématiques (amortissement

structurel et amortissement radiatif).

• L’interaction est plus forte pour les structures plus rigides (M1ω21 croissant) et les sols

plus mous (KH , Kθ décroissants).

• Une augmentation de la masse de la structure (à rigidité M1ω21 constante) n’a aucun

effet sur la diminution de fréquence et la cinématique ; elle implique en revanche une

diminution du facteur d’amortissement modal.

• Une augmentation de la hauteur (donc proportionnellement de la masse) favorise la

cinématique de rotation de corps rigide au détriment de la translation. Son influence sur

le niveau d’interaction et le facteur d’amortissement est moins évidente. Le modèle de

la figure 2.25 montre clairement qu’elle dépend en fait de l’évolution de M1ω21 avec la

hauteur, c’est à dire du fonctionnement de la structure :

– Pour la poutre de flexion, M1ω21 est inversement proportionnel au cube de la hauteur

(cf. tableau 2.1), c’est à dire que la rigidité structurelle décroît plus vite que la rigidité

effective en translation (constante) et en rotation (∼ 1/H2). Par conséquent, le niveau

d’interaction avec le sol, en terme de mouvement de corps rigide et de modification

de la fréquence propre, diminue avec la hauteur de la structure.

– Pour la poutre de cisaillement, M1ω21 est inversement proportionnel à la hauteur

(cf. tableau 2.2), de sorte qu’à hauteur croissante, la rigidité de la structure diminue

plus vite que la rigidité effective en translation mais moins vite que la rigidité effective

en rotation. Le résultat de ces effets antagonistes ne peut être définitivement tranché


qu’avec le calcul explicite des impédances de fondation (chapitre 3).

– Enfin, quelque soit le comportement de la structure, une variation de la hauteur im-

plique une redistribution de la cinématique entre rotation et translation de corps

rigide de sorte qu’il est impossible de déterminer l’évolution de l’amortissement ra-

diatif total sans plus de précision sur l’amortissement radiatif relatif à chacune de ces

cinématiques de corps rigide.

KH

CH

Kθ/H21

Cθ/H21

M1ω21

2ξ1M1ω1

M1

1p1H1θ∗01 p1u

∗01RH

0 φ1φ∗1RH

0 φ21

Fig. 2.25 – Fonctionnement en série du modèle à 1 degré de liberté sur sol souple

Partant d’une formulation aussi générale que possible des équations de vibration des

poutres continues, deux aspects, généralement négligés en théorie des poutres mais suscep-

tibles d’émerger dans les modèles de structures homogénéisées, ont été introduits :

• La coexistence, dans le même ordre de grandeur, des déformations de cisaillement et de

flexion définit un modèle intermédiaire, de poutre dite de Timoshenko, dont les condi-

tions de dégénérescence vers l’un ou l’autre des modèles de comportement « pur » (en

flexion ou en cisaillement), ont été étudiées en détail. On retient surtout que la part du

fonctionnement en cisaillement augmente au détriment de la flexion lorsque l’élancement

structurel diminue, ou si l’on considère des modes d’ordre de plus en plus élevé.

• La prise en compte de l’inertie de section entraîne de nettes complications : contrairement

à notre intuition initiale, son effet ne conduit pas à favoriser un peu plus les déformations

de cisaillement au détriment de la flexion, en limitant les rotations de section, plus

coûteuses en énergie. Ce raisonnement à force imposée s’avère erroné ; de fait, l’inertie

de section ajoute une dimension supplémentaire au problème en introduisant un nouveau

jeu de coordonnées modales indépendantes, définies par les modes du modèle dégénéré

dit de « poutre à effort tranchant nul ».

Chapitre 3

Etude paramétrique de l’interaction

sol structure

113

114 Chapitre 3. Etude paramétrique de l’interaction sol structure

Les équations modales du système sol structure, pour les modèles élémentaires les plus

courants, ont été établies au chapitre 2 moyennant l’hypothèse que l’action du sol sur la

fondation peut être modélisée par des impédances équivalentes (cf. chapitre 1). Quelques

tendances qualitatives de l’effet de l’interaction sol structure sur le mode fondamental ont pu

être dégagées.

Cependant, l’étude des modes supérieurs aussi bien que la quantification des tendances

observées, nécessitent la résolution numérique des équations modales à partir de valeurs expli-

cites des impédances de fondation. De même que pour la structure, il est irréaliste d’envisager

des calculs sophistiqués de ces impédances. Une méthode d’estimation simple mais fiable, ba-

sée sur le modèle de cône (Meek et Veletsos, 1974) est présentée. Une modification du modèle

de cône est proposée de manière à rendre compte de certaines évolutions de la vitesse effective

des ondes rayonnées par la fondation, qui restent inaccessibles au modèle de base.

A l’issue de ces étapes, nous serons en mesure de :

– mettre en évidence des paramètres essentiels, simples à estimer, qui gouvernent l’inter-

action sol structure ;

– puis brosser, par une étude paramétrique appropriée, le tableau de la nature et de

l’importance des effets de l’interaction sol structure sur la réponse vibratoire, pour les

comportements structurels types.

Au regard de ces objectifs, seuls les modèles de structure les plus simples correspondant aux

cinématiques les plus stéréotypées sont retenus :

– les modèles théoriques d’oscillateur à un degré de liberté et de bloc rigide sur sol souple,

présentés en soutien des modèles d’application pratique, à savoir,

– la poutre de cisaillement pur, préférée au modèle brochette peu propice à l’adimension-

nalisation compte tenu de la variable nombre d’étages, et la poutre de flexion pure.

Les modèles continus plus sophistiqués incluant l’inertie de section, et/ou la cohabitation des

déformations de flexion et de cisaillement (poutre de Timoshenko), ne sont pas abordés et

pourront faire l’objet de développements futurs. Notez que le comportement de la poutre

de Timoshenko est intermédiaire entre le comportement en flexion et le comportement en

cisaillement qui l’encadrent.

3.1 Calcul des impédances de fondation

3.1.1 Position du problème

Le point clé de l’analyse de l’interaction inertielle sol structure est le calcul préalable de la

relation de couplage effort/déplacement à l’interface sol fondation, c’est à dire la construction

de la matrice d’impédance de la fondation. On rappelle (cf. 1.2.5) que si la fondation présente

une symétrie selon les plans verticaux (e1, e3) et (e2, e3) (fondation parallélépipèdique, cylin-

drique, etc...), les degrés de liberté se découplent deux à deux ; la relation entre mouvements

3.1. Calcul des impédances de fondation 115

de la fondation et efforts résultants s’écrit :8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:Fs1

Ms1

Fs2

Ms2

Fs3

Ms3

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; =

2666666666666664KH1 KH1θ2 0 0 0 0

KH1θ2 Kθ1 0 0 0

0 0 KH2 KH2θ1 0 0

0 0 KH2θ1 Kθ2 0 0

0 0 0 0 KH3 0

0 0 0 0 0 Kθ3

37777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

u1

θ1

u2

θ2

u3

θ3

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; (3.1)

où u1 et u2 désignent les translations horizontales selon les axes de symétrie e1 et e2, u3

la translation verticale d’axe e3, θi, i = 1, 3, la rotation autour de l’axe ei, Fsi, i = 1, 3,

la résultante des forces de contact selon ei et Msi, i = 1, 3, la résultante des moments de

contact par rapport à (G, ei). Ne subsistent que les termes de couplage entre le mouvement de

translation (tamis) selon l’un des deux axes de symétrie et le mouvement de rotation (roulis

ou basculement) selon l’autre axe de symétrie : KH1θ2 et KH2θ1.

Il s’agit donc d’imposer un déplacement unitaire selon l’un des 6 degrés de liberté de la

fondation rigide et de calculer les composantes de la résultante des efforts exercés par le sol

sur la fondation. Pour cela, il faut déterminer le champ d’onde rayonné par la fondation,

respectant :

– la loi de Navier de l’élastodynamique (équation (1.8)),

– la condition aux limites mixte en surface : vecteur contrainte nul en surface libre, dépla-

cement imposé par la fondation le long de l’interface,

– la condition de radiation à l’infini (C.R.).

En outre, si le sol présente des hétérogénéités (sol stratifié par exemple), le champ rayonné

vérifie évidemment toutes les relations caractérisant la propagation d’onde dans ce milieu

particulier : loi de Navier dans chaque sous-domaine visco-élastique et homogène, équations

de continuité aux contacts entre hétérogénéités, etc...

3.1.2 Brève synthèse bibliographique

Le calcul de l’impédance de fondation est un problème complexe, y compris pour des

caractéristiques de sol et de fondation fortement idéalisées. Le cas le plus simple correspond

à une fondation superficielle circulaire reposant sur un demi-espace homogène. L’examen de

ce problème élémentaire montre à l’évidence que la solution ne dépend que du rapport de la

longueur d’onde sur la taille caractéristique (le rayon) de la fondation et des caractéristiques

mécaniques du sol supposé élastique, hystérétique ou encore visco-élastique (par exemple λs,

µs, ξs). L’usage convient d’introduire le coefficient de rigidité statique de la fondation et le

paramètre a0 = 2πr0/λS (r0 rayon de la fondation, λS longueur d’onde des ondes S) appelé


degré de trans. horiz. trans. vert. rot. d’axe horiz. torsion d’axe vert.liberté (tamis) (pompage) (roulis) (lacet)

rigidité statique8µsr0

2 − ν

4µsr0

2 − ν

8µsr30

3(1 − ν)

16µsr30

3

Tab. 3.1 – Coefficient de rigidité statique d’une fondation circulaire superficielle reposant surun demi-espace homogène.

fréquence adimensionnelle, de sorte que pour un degré de liberté α donné :

Kα = Kα,stat(kα(a0, ν) + ia0cα(a0, ν)). (3.2)

kα et cα, qui ne dépendent que de a0 et du coefficient de Poisson ν =λs

2(λs + µs), sont les coef-

ficients respectivement de rigidité et d’amortissement dynamique. On trouvera les expressions

analytiques des 4 coefficients de rigidité statique indépendants dans le tableau 3.1.

3.1.2.1 Méthodes « rigoureuses » : équations intégrales et éléments finis de fron-

tière

Le calcul rigoureux de kα et cα, basé sur l’intégration des expressions analytiques des

fonctions de Green sur l’interface sol structure, a été présenté la première fois par Veletsos et

Wei (1971) pour les mouvements couplés de tamis et de roulis. Des résultats similaires pour

les mouvements verticaux (pompage) et de torsion (lacet), ainsi que pour un sol hystérétique

ou visco-élastique ont été obtenus par Veletsos et Nair (1974) et Veletsos et Verbic (1973). Les

solutions s’appliquant aux sols stratifiés horizontalement suivent immédiatement par exemple

dans les travaux de Luco (1974), Kausel et coll. (1975) et Gazetas et Rosset (1979) pour n’en

citer que quelques uns6.

Par la suite, le développement conjoint de l’informatique et de nouvelles formulations discrètes

(éléments finis de frontière) a permis d’étendre le calcul des fonctions d’impédance à tout

type de géométrie de l’interface sol structure (fondations enterrées, sur pieux, etc...), pourvu

que l’hypothèse de linéarité (sol élastique, visco-élastique ou hystérétique) soit conservée. On

rappelle que la linéarité n’est pas une contrainte propre à la méthode des éléments finis de

frontière (ou des équations intégrales) mais concerne la méthode par impédance elle-même.

3.1.2.2 Nécessité d’une approche simplifiée

En réalité, la limitation essentielle à l’utilisation de l’approche rigoureuse est sa complexité.

Nous y voyons deux inconvénients majeurs :

6On trouvera une synthèse de ces résultats dans le manuel des fonctions d’impédance de Sieffert et Cevaer(1992)


– d’une part, le calcul de l’impédance requiert l’utilisation d’un code de calcul sophis-

tiqué. Une bonne compréhension du phénomène d’interaction sol structure (pour une

description générale comme dans le cadre de ce mémoire, ou à des fins de conception

ou d’évaluation d’un ouvrage particulier), de l’importance relative des différents pa-

ramètres et de la manière dont ils agissent sur le problème, supposerait qu’un grand

nombre d’études paramétriques ou de sensibilité soient conduites de sorte que leur coût

s’avérerait prohibitif ;

– plus fondamentalement, ces méthodes numériques, quoique indispensables pour traiter

des situations complexes de manière réaliste, ne sont pas nécessairement les plus adaptées

pour éclairer la physique des phénomènes mis en jeu, tout du moins dans ses aspects les

plus fondamentaux.

A contrario, des modèles simplifiés ne vont fournir qu’une solution approchée ; mais, en ne

retenant que les paramètres les plus significatifs, ils permettent d’appréhender les mécanismes

impliqués dans le phénomène de manière plus parlante. En outre, la précision de bons mo-

dèles simplifiés peut être tout à fait suffisante pour des cas pratiques, que ce soit au stade

préliminaire de la conception, dans les études de vulnérabilité mises en place à l’échelle d’une

ville ou pour caractériser un type de construction répandu, ou encore vis à vis des nombreuses

incertitudes pesant sur l’interprétation de mesures réalisées in-situ.

Dans la pratique, l’utilisation d’un code de calcul basé sur les éléments finis de frontière,

couplée à un code éléments finis pour tenir compte de la non-linéarité du sol (Wolf, 1988),

est réservée à des installations très spécifiques (centrales nucléaires etc...). C’est pourquoi dès

l’origine, les mêmes chercheurs engagés dans la mise au point d’une formulation rigoureuse du

calcul de l’impédance, ont essayé dans le même temps de développer des modèles simplifiés,

à la fois pour expliquer leurs résultats et répondre aux besoins de l’ingénierie courante ou de

leurs propres études expérimentales. Ces tentatives peuvent être de nature très différente. On

distingue, grossièrement, deux types d’approche :

– certains auteurs ont proposé, pour chaque degré de liberté de la fondation, des modèles

de sols constitués d’un nombre plus ou moins grand de masses, ressorts et amortisseurs

à coefficients indépendants de la fréquence (Veletsos et Verbic, 1973; Wolf et Somaini,

1986; Wolf, 1991; de Barros et Luco, 1990). Les valeurs de ces coefficients sont autant

de paramètres calculés pour approcher au mieux les variations de l’impédance avec la

fréquence telles qu’elles ont été déterminées par un calcul rigoureux en élastodynamique

tridimensionnelle. Dans le même ordre d’idée, d’autres auteurs suggèrent que le processus

de calage se fasse non plus sur la réponse de la fondation (autrement dit l’impédance),

mais sur la réponse complète du système sol structure : les formules analytiques de

Gaffar-Zadeh (1992) sont obtenues par calage de la fréquence fondamentale d’un modèle

à un degré de liberté en interaction avec le sol. La transposition de ces formules pour les

structures plus complexes est basée sur l’approximation du modèle à un degré de liberté


équivalent (cf. chapitre 2). Outre leur intérêt pour l’ingénierie courante, ces modèles

à coefficients indépendants de la fréquence sont surtout intéressants pour effectuer des

calculs de réponse sismique en temporel, ouvrant ainsi la voix à la simulation de faibles

incursions dans le domaine non-linéaire ;

– procédant dans une direction différente, d’autres auteurs ont cherché à développer une

représentation simplifiée mais réaliste du sol de fondation de manière à obtenir, par

un calcul simple (généralement analytique), des valeurs de l’impédance de fondation

raisonnablement proches de celles obtenues par des méthodes plus sophistiquées. Les

approches du type modèle Winkler ont rencontré quelques succès (Novak, 1974; Nogami

et Lam, 1987; Nogami et coll., 2001) et sont particulièrement intéressantes pour les

fondations sur pieux (Novak et Aboul-Ella, 1978) ; cependant leur apport pour la com-

préhension physique du phénomène, en particulier les mécanismes de radiation d’ondes

par la fondation, est limité. Les modèles de la famille du modèle de cône constituent, à

notre connaissance, le seul ensemble théorique cohérent capable de se substituer dans de

nombreux cas à l’élastodynamique tridimensionnelle, jouant en quelque sorte, pour la

dynamique des fondations, un rôle analogue à celui de la résistance des matériaux pour

la dynamique des structures.

Le concept de cône a été introduit la première fois par Ehlers (1942) pour étudier les vi-

brations horizontales d’une fondation circulaire et superficielle. Meek et Veletsos (1974) et

Veletsos et Nair (1974) l’ont étendu au mouvement de roulis pour expliquer quelques unes

des caractéristiques de base des coefficients de rigidité et d’amortissement dynamique. Par la

suite, le modèle de cône a été utilisé avec succès pour clarifier le phénomène d’amortissement

radiatif en deux et trois dimensions (Gazetas et Dobry, 1984; Gazetas, 1987), ou encore, en

présence d’une couche molle, celui de l’absence d’amortissement radiatif pour les fréquences

inférieures à celle de la couche (Meek et Wolf, 1991) ; leur étude, comme celle de leurs prédé-

cesseurs, illustre de manière frappante la capacité du modèle de cône à expliciter la physique

de l’interaction entre le sol et la fondation, du moins dans ses aspects fondamentaux. En-

couragés par cette constatation, Meek et Wolf ont perfectionné le modèle de cône et calculé

les impédances d’une fondation sur sol homogène (Meek et Wolf, 1992a), d’une fondation sur

couche molle et substratum rigide (Meek et Wolf, 1992b), puis d’une fondation sur couche

molle et substratum souple (Wolf et Meek, 1993). Ces développements analytiques considéra-

blement plus accessibles que le calcul exact en élastodynamique tridimensionnelle, facilitent

grandement l’interprétation des mécanismes qui déterminent les caractéristiques essentielles

de la dynamique de la fondation, mais ont aussi un intérêt pratique certain compte tenu des

résultats quantitatifs obtenus ; l’étroite similitude entre ces résultats et ceux issus de méthodes

numériques sophistiquées est un argument de poids pour penser que le modèle de cône, basé

sur une description simple voire simpliste du champ d’onde, capte l’essentiel de la physique

du problème. Pour terminer, il faut signaler les tentatives réussies, quoique plus complexes,


z0

r0

u0

u

βS

cisaillement

TAMIS

z0

r0

βS

cisaillement

LACET (TORSION)

θ0

θ

z0

r0

u

βP

traction-compression

POMPAGE

u0z0

r0

βP

traction-compression

ROULIS

θ

θ0

Fig. 3.1 – Représentation du cône pour chaque degré de liberté indépendant : ouverture,nature de la déformation et vitesse de propagation de l’onde associée (d’après Wolf (1994)).

de généralisation aux fondations profondes (Meek et Wolf, 1994).

3.1.3 Modèle de cône : cas d’une fondation circulaire de surface reposant

sur un demi-espace homogène

Nous présentons dans cette section le principe du calcul de l’impédance de fondation par

le modèle de cône. Nous nous limitons au cas d’une fondation de surface et d’un sol homogène.

Le cas du sol stratifié (bi-couche) est traité à la section 4.3.3.1 du chapitre 4. Une présentation

plus détaillée du modèle de cône peut être trouvée par exemple dans l’ouvrage de synthèse de

Wolf (1994).

Le sol de fondation est donc supposé homogène, élastique linéaire, semi-infini de densité

ρs. La relation contrainte-déformation dans le sol peut être exprimée indifféremment par les

deux constantes de Lamé (λs,µs), le couple (λs,ν) ou encore les deux vitesses de propagation

(βS ,βP ) correspondant respectivement aux ondes S et P . Les correspondances les plus utiles

entre ces différentes constantes élastiques sont synthétisées dans le tableau 3.2.

L’interface entre le sol et la fondation rigide est un disque (plan) de rayon r0. On en déduit sa

surface A0 = πr20 et son moment d’inertie (surfacique) par rapport à l’axe de roulis I0 = πr4

0/4.

Compte tenu de la symétrie de révolution, la matrice d’impédance se déduit du calcul de la

réponse du sol à quatre déplacements indépendants imposés à la fondation : une translation

selon et une rotation autour, d’un axe horizontale de direction quelconque et passant par le

centre de la fondation, la translation selon et la rotation autour, de l’axe vertical passant

également par le centre de la fondation.

3.1.3.1 Hypothèses du modèle et principe du calcul du champ rayonné

Pour chaque degré de liberté, le sol est idéalisé comme un cône semi-infini élastique dont le

sommet est situé à la côte z0 au-dessus de la surface du sol, différente pour chaque direction


λs µs ν µs βS βP

λs2ν

1 − 2νµs

λs

2(λs + µs)

µs ρsβ2S

νλs

2(λs + µs)

(βP /βS)2 − 2

2(βP /βS)2 − 2

µs ρsβ2S

βS

rµs

ρs

rµs

ρs

βP

Êλs + 2µs

ρs

Ê2µs

ρs

1 − ν

1 − 2ν

Tab. 3.2 – Relations entre constantes élastiques du sol.

du mouvement (figure 3.1), et dont les génératrices s’appuient sur la fondation. La portion

de sol située en dehors du volume occupé par le cône est négligée, c’est à dire qu’on lui

substitue fictivement du vide. On considère donc que lorsqu’on impose un déplacement à la

fondation, les contraintes et déformations transmises dans le sol agissent à l’intérieur d’une

surface fermée qui croît avec la profondeur ; ce qui est représenté approximativement par un

cône. Cette première hypothèse est en quelque sorte une généralisation en dynamique de la

notion de cône de diffusion des contraintes déduite, en statique, de la théorie de Boussinesq.

La deuxième hypothèse consiste à considérer que les ondes émises par la fondation se propagent

dans ce cône comme dans une pseudo-poutre élastique de section croissante, au sens de la

résistance des matériaux : chaque section plane reste plane de sorte que les déplacements

peuvent être rapportés à l’axe central du cône. On substitue ainsi au problème initial complexe

de propagations d’ondes de volume et de surface dans un milieu à trois dimensions, un problème

beaucoup plus simple de propagation, de fait unidirectionnel, dans une poutre. La nature des

ondes rayonnées et les mécanismes de déformation mis en jeu dépendent du mouvement de la

fondation considéré (figure 3.1). Pour les mouvements de tamis et de lacet (torsion), une onde

impliquant le cisaillement des sections se propage à la vitesse des ondes S, soit βS . Pour le

pompage et le roulis, les déformations se propagent par traction-compression à la vitesse des

ondes P, βP .

D’un point de vue technique, notons que la condition de radiation est vérifiée automatiquement

en ne considérant que des ondes qui se propagent vers le bas (z croissant).

Enfin, la dernière inconnue du problème, z0, qui désigne la côte du sommet du cône, donc

de fait son ouverture, est déterminée à l’issue du calcul de l’impédance grâce aux expressions

dont on dispose en statique (tableau 3.1). De façon remarquable on constate que l’ouverture


Fig. 3.2 – Cône semi-infini detranslation : notations, méca-nisme de déformation, et équi-libre d’une tranche d’épaisseurinfinitésimale.

r0

z0zu0

T0

dz

T

T + T,zdzρsSdz u

u

du cône z0/r0 ne dépend que du coefficient de Poisson ν.

3.1.3.2 « Cône de translation »

Détaillons maintenant le calcul de l’impédance pour le mouvement de tamis. Il s’agit donc

dans un premier temps de déterminer l’onde émise par la fondation soumise à un déplacement

horizontal de transformée de Fourier u0. u0 est évidemment une fonction de la pulsation ω.

Pour une simple question de notation, on préférera à cette description dans l’espace de Fourier,

un pseudo calcul temporel, c’est à dire que de manière strictement équivalente on considère

que la fondation est soumise à un déplacement harmonique u0 exp(iωt). Cette dépendance

temporelle, commune à toutes les variables du problème, est systématiquement omise dans ce

qui suit, et on raisonne directement sur les amplitudes.

Les hypothèses du modèle de cône se traduisent par les propriétés suivantes :

– seuls sont à considérer l’équilibre et les composantes dans la direction du mouvement

prescrit à la fondation, soit, le déplacement horizontal u et la contrainte tangeantielle

τ ;

– ces variables ne dépendent que de la profondeur z (puisque ω est considérée ici comme

une constante du problème), et compte tenu du comportement élastique du sol, elles

sont liés par la relation contrainte-déformation unidimensionnelle :

τ(z) = µsdu(z)

dz


S(z) = (z/z0)2S0 est la surface de la section du cône à la profondeur z mesurée à partir du

sommet (figure 3.2). L’équilibre des forces appliquées dans la direction du mouvement à une

tranche de cône d’épaisseur infinitésimale dz s’écrit :

dτ(z)S(z)

dz= −ρsω

2u(z)S(z) ,

soit compte tenu de l’équation de comportement et de µs = ρsβ2S ,

d2zu(z)

dz2+

ω

βS

2

zu(z) = 0 .

On reconnaît l’équation classique de propagation d’une onde de cisaillement (onde S) en 1

dimension, exprimée en (zu), de solution :

zu = c1 exp

i

ω

βSz

+ c2 exp

−i

ω

βSz

.

En ne conservant que le terme de radiation vers l’infini et compte tenu de u(z = z0) = u0 par

continuité du déplacement à l’interface sol fondation, il vient :

u(z) = u0uc(z) avec uc(z) =z0

zexp

−ikS(z − z0)

et kS =

ω

βS, (3.3)

τ(z) = −µs(ikS + 1/z)u(z) . (3.4)

L’équation (3.3) définit ce qu’on pourrait appeler une onde de cône, se propageant depuis la

fondation vers l’infini à la vitesse d’une onde S, et dont le front d’onde croît avec le carré de

la profondeur tandis que son amplitude s’atténue en 1/z. Quant à la force de réaction exercée

par le sol sur la fondation, elle est donnée par l’équation (3.4) en z = 0 soit :

T0 = S0τ(z0) = −µsS0(ikS + 1/z0)u0 .

On en déduit l’impédance de la fondation dans le mouvement de translation horizontal :

KH = −T0/u0 = µsS0(ikS + 1/z0) .

En statique (kS = 0), la calibration de l’impédance avec l’expression exacte de la rigidité de

la fondation KH,stat (tableau 3.1) impose :

z0/r0 =π

8(2 − ν) ⇒ KH = KH,stat

1 + ia0

z0

r0

=

8µSr0

2 − ν

1 + ia0

π

8(2 − ν)

, (3.5)

où on rappelle que a0 = ωr0/βS = 2πr0/λS est la fréquence adimensionnelle du problème.

L’ouverture du cône, qui ne dépend que du coefficient de Poisson, est assez grande : z0/r0 ≈ 2/3


pour ν = 1/3. Les coefficients de rigidité et d’amortissement dynamique,

kH = 1 et cH =z0

r0=

π

8(2 − ν) (3.6)

ne dépendent pas de la fréquence. Autrement dit, le sol agit, pour ce mouvement de la fonda-

tion, comme un appui visco-élastique composé d’un ressort et d’un amortisseur à coefficients

constants.

Le calcul de l’impédance pour la translation verticale (pompage) est tout à fait analogue à celui

qui vient d’être présenté pour la translation horizontale. Le mouvement vertical harmonique

de la fondation donne naissance à une onde unidirectionnelle selon l’axe du cône. Le bilan des

efforts de traction-compression s’exerçant sur une tranche d’épaisseur infinitésimale donne :

dσ(z)S(z)

dz= −ρsω

2u(z)S(z) ,

soit, compte tenu de la relation entre contrainte et déformation σ = (λS+2µS)u,z et λS+2µS =

ρβ2P ,

d2zu(z)

dz2+

ω

βP

2

zu(z) = 0 . (3.7)

On reconnaît cette fois l’équation de propagation d’une onde P. Le champ rayonné est celui

d’une onde de cône,

u(z) = u0uc(z), uc(z) =z0

zexp

−ikP (z − z0)

et kP =

ω

βP

se propageant à la vitesse d’une onde P. Le front d’onde balaye une surface de plus en plus

grande tandis que l’amplitude de l’onde décroît en 1/z. Revenant à la relation entre contrainte

et déformation, on calcule la force normale d’interaction à l’interface sol fondation :

N0 = −ρsβ2P S0(ikP + 1/z0)u0 ⇒ KV = −N0/u0 = ρsβ

2P S0(ikP + 1/z0) . (3.8)

On en déduit, compte tenu de l’expression de l’impédance en statique (tableau 3.1),

z0/r0 =π

4(1 − ν)

βP

βS

2

=π

2

(1 − ν)2

1 − 2ν, (3.9)

KV = KV,stat

1 + ia0

z0

r0

βS

βP

=

4µSr0

1 − ν

1 + ia0

π

2√

2

(1 − ν)3/2

(1 − 2ν)1/2

, (3.10)

⇒ kV = 1 et cV =z0

r0

βS

βP=

π

2√

2

(1 − ν)3/2

(1 − 2ν)1/2. (3.11)

Le cône de translation verticale est plus fermé que le cône de translation horizontale (pour

ν = 1/3, z0/r0 ≈ 2) mais agit également comme un appui visco-élastique. Ce résultat est

en contradiction avec les calculs « exacts » de Veletsos et Wei (1971) qui montrent une im-


Fig. 3.3 – Cône semi-infinide rotation : notations, méca-nisme de déformation, et équi-libre d’une tranche d’épaisseurinfinitésimale.

r0

z0zθ0

M0

dzρsIdz θ

θM

M + M,zdz

portante variation avec la fréquence du coefficient de rigidité dynamique kV , au moins pour

les sols quasi-incompressibles (ν > 1/3). Cette divergence et les moyens d’y remédier seront

commentés plus en détail à la section 3.1.3.4.

3.1.3.3 « Cône de rotation »

On procède au calcul du coefficient d’impédance Kθ, reliant le roulis (la rotation autour

d’un axe horizontal passant par le centre de gravité) θ0 de la fondation, au moment résultant

des efforts exercés par le sol sur la fondation.

L’hypothèse assimilant le cône à une poutre au sens de la résistance des matériaux, impose que

la rotation du disque de la fondation, génère à la profondeur z une rotation d’ensemble d’angle

θ(z) de la section du cône, autour de l’axe perpendiculaire à la fibre neutre (les sections planes

restent planes). Cette cinématique se traduit par une répartition linéaire de la déformation,

donc des contraintes de traction-compression, proportionnelle à la distance à la fibre neutre

(figure 3.3). On en déduit la relation, incluant l’hypothèse élastique, entre le moment de flexion

M(z) exercé par le milieu en-dessous sur celui situé au-dessus de la section, et la rotation θ(z) :

M(z) = (λs + 2µs)I(z)dθ

dz= ρsβ

2P I(z)

dθ

dz,

où I(z) = (z4/z40)I0 est le moment d’inertie (surfacique) de la section du cône située à la

profondeur z.

Combinant cette équation avec l’écriture de l’équilibre dynamique d’une tranche d’épaisseur


dz,dM(z)

dz= −ρsω

2θ(z) ,

on obtient l’équation en θ,

d2θ(z)

dz2+

4

z

dθ(z)

dz+ k2

P θ(z) = 0 , (3.12)

dont les solutions respectant la condition de radiation sont de la forme (Wolf, 1994) :

θ(z) = c1(z30/z3 + ikP z3

0/z2) exp−ikP (z − z0)

, c1 constante qcq .

Compte tenu de la continuité du déplacement à l’interface sol fondation (θ(z = z0) = θ0), il

vient,

θ(z) = θ0z30/z3 + ikP z3

0/z2

1 + ikP z0exp

−ikP (z − z0)

,

M(z) = ρsβ2P

I0θ0

z0

−3 − 3ikP z + k2P z2

1 + ikP z0exp

−ikP (z − z0)

.

On en déduit l’impédance de la fondation dans le mouvement de roulis :

Kθ = −M0/θ0 =3ρsβ

2P I0

z0

1 − 1

3

k2P z2

0

1 + k2P z2

0

+ ikP z01

3

k2P z2

0

1 + k2P z2

0

.

Calant cette expression avec la valeur exacte en statique (tableau 3.1) on obtient finalement,

z0/r0 =9π

32(1 − ν)

βP

βS

2

=9π

16

(1 − ν)2

1 − 2ν, (3.13)

Kθ = Kθ,stat

1 − 1

3

a20

βP

βS

r0

z0

2+ a2

0

+ ia0βS

βP

z0

3r0

a20

βP

βS

r0

z0

2+ a2

0

(3.14)

=8µsr

30

3(1 − ν)

1 − 1

3

a20

512(1−2ν)81π2(1−ν)3

+ a20

+ ia03π

16√

2

(1 − ν)3/2

(1 − 2ν)1/2

a20

512(1−2ν)81π2(1−ν)3

+ a20

, (3.15)

⇒ kθ = 1 − 1

3

a20

512(1−2ν)81π2(1−ν)3

+ a20

et cθ =3π

16√

2

(1 − ν)3/2

(1 − 2ν)1/2

a20

512(1−2ν)81π2(1−ν)3

+ a20

. (3.16)

Les coefficients de rigidité et d’amortissement dynamique kθ et cθ dépendent de la fréquence.

Le cône de rotation n’est donc pas physiquement équivalent à un appui visco-élastique dont

les coefficients de rigidité et d’amortissement sont constants.

Il est aisé de transposer les développements précédents au cas de la torsion (figure 3.1) :

– θ(z) désigne la rotation autour de l’axe neutre de la section à la profondeur z. I(z) est

le moment d’inertie polaire de cette section, I(z) = I0(z/z0)4 = πr4

0/2(z/z0)4 ;


– M est le moment de torsion. C’est la résultante des contraintes de cisaillement générées

par la rotation différentielle de deux section infiniment proches : M = µsIθ,z = ρsβ2Sθ,z.

Le calcul est strictement identique, à la seule condition de remplacer βP par la vitesse d’une

onde S, βS . On aboutit aux résultats suivants :

z0/r0 =9π

32, (3.17)

KT = KT,stat

1 − 1

3

a20

r0

z0

2+ a2

0

+ ia0z0

3r0

a20

r0

z0

2+ a2

0

(3.18)

=16µsr

30

3

1 − 1

3

a20

329π

2+ a2

0

+ ia03π

32

a20

329π

2+ a2

0

, (3.19)

⇒ kT = 1 − 1

3

a20

329π

2+ a2

0

et cT =3π

32

a20

329π

2+ a2

0

. (3.20)

3.1.3.4 Validation du modèle de cône

Les résultats numériques issus du modèle de cône convergent de manière très satisfaisante

avec les calculs tridimensionnels plus complexes (Veletsos et Verbic, 1973), à deux exceptions

près : les impédances de roulis Kθ et de pompage KV pour les sols quasi-incompressibles

(1/3 < ν < 1/2). Dans ces deux cas, le modèle de cône tel qu’il a été présenté jusque là est

incapable de reproduire la décroissance parabolique du coefficient de rigidité dynamique, et le

plafonnement de la vitesse de propagation autour de 2βS aux basses fréquences :

– La figure 3.4(a) compile les résultats d’un calcul rigoureux pour le mouvement de pom-

page et un sol peu compressible (ν = 1/3, 0.45 et 0.5). Ceux-ci mettent en évidence un

fléchissement parabolique du coefficient de rigidité dynamique kV (a0) aux basses fré-

quences (a0 faible) d’autant plus marqué que ν est grand. Ce résultat laisse penser que

pour ces fréquences, la réaction du sol est perturbée par la présence d’une masse piégée

sous la fondation, parce que le sol est quasi-incompressible, et vibrant en phase avec elle,

de sorte que l’impédance de pompage est celle d’un système masse-ressort-amortisseur :

« KV (ω) = K − ω2M + iωC ». Lorsque la fréquence augmente, la masse disparaît pro-

gressivement à l’exception du sol parfaitement incompressible (ν = 0.5). Son effet est

à peine perceptible pour ν = 1/3, mais très marquée par exemple pour ν = 0.45, à tel

point que le coefficient de rigidité dynamique a dans une certaine plage de fréquence une

valeur négative.

– Les courbes de la figure 3.4(b) représente les variations du rapport CeqV /(ρsβSS0) en

fonction de a0, où CeqV est le coefficient d’amortissement de l’amortisseur dans l’analogie

visco-élastique (cf. section 1.2.5 : KV = KeqV + iωCeq

V ). D’après (3.8), le modèle de cône

donne CeqV = ρsβP S0, avec βP = 2βS pour ν = 1/3, βP =

√11βS pour ν = 0.45

et βP → ∞ pour ν = 1/2. La droite de la figure 3.4(b) montre qu’à basse fréquence


(a0 < 4), la vitesse appropriée, appelons-la βV , à inclure dans la formule de l’amortisseur

vertical est toujours plus petite que celle donnée par le modèle de cône (c’est à dire βP )

et plafonne vers 2βS : βV = 1.5βS pour ν = 1/3, βV = 1.86βS pour ν = 0.45 et

βV = 2.14βS pour ν = 1/2. En revanche, à l’exception du cas ν = 1/2, la limite haute

fréquence de la vitesse de propagation coïncide avec celle prévue par le modèle de cône.

(a) (b)

Fig. 3.4 – Coefficients d’impédance « exacts » d’une fondation circulaire en translation vertical(pompage) à la surface d’un demi-espace homogène, pour différentes valeurs du coefficient dePoisson ν (d’après Luco et Mita, 1987).

Des tendances identiques à celles décrites ci-dessus sont observées dans le cas du roulis (Wolf,

1994). L’utilisation du modèle de cône en l’état conduirait donc à une surestimation à basse

et moyenne fréquence de l’amortissement radiatif et du ressort de sol, pour les mouvements de

pompage et de roulis des fondations sur sols peu compressibles (typiquement des sols saturés).

C’est pourquoi Meek et Wolf (1992a) ont proposé de perfectionner le modèle de cône en

introduisant les modifications suivantes :

– Pour chacun des mouvements de roulis et de pompage, la vitesse effective de propagation,

β, à utiliser dans tous les calculs considérant le modèle de cône doit être :

β =

8><>:βP pour ν ≤ 1/3

2βS pour 1/3 < ν ≤ 1/2

Ce choix conduit à la bonne limite haute fréquence pour ν ≤ 1/3 et ν = 1/2 et permet

le meilleur calage à basse fréquence pour toutes les valeurs de ν. Au dessus de a0 = 5

et pour ν compris entre 1/3 et 1/2, la précision est médiocre mais dans le sens d’une

sous-estimation de l’amortissement radiatif, donc dans le sens de la sécurité. Notons que

cette modification de la vitesse de propagation affecte automatiquement l’angle d’ouver-

ture du cône.


– Afin de reproduire la décroissance parabolique du coefficient kV , on introduit une masse

additionnelle, attachée à la fondation, et dont la valeur est fixée par simple calage avec

les résultats numériques issus de la méthode tridimensionnelle :

∆M = µV ρsr30 avec µV =

8><>:0 pour ν ≤ 1/3

2.4π(ν − 1/3) pour 1/3 < ν ≤ 1/2.

Pour le pompage, la masse piégée est remplacée par une inertie massique de rotation

déterminée également par calage :

∆I = µθρsr50 avec µθ =

8><>:0 pour ν ≤ 1/3

0.3π(ν − 1/3) pour 1/3 < ν ≤ 1/2.

Les expressions des impédances de pompage et de roulis qui en découlent pour les sols quasi-

incompressibles pourront être trouvées dans le tableau de synthèse 3.3.

Avec ces modifications, le modèle de cône fournit de très bonnes approximations de l’impé-

dance, quelque soit le degré de liberté de la fondation considéré, en particulier pour les deux

plus importants du point de vue de la réponse sismique, le roulis et le tamis :

– Pour le tamis, les coefficients de rigidité kH(a0) et d’amortissement cH(a0) ont été tracés

en fonction de a0, pour les coefficients de Poisson ν = 0, 1/3, et 1/2, à la figure 3.5 (tirée

de Wolf (1994)). Les courbes (lignes pleines ou tiretées) sont celles du modèle de cône.

Les calculs « exacts » effectués par Veletsos et Wei (1971) sont représentés par des points

distincts. On constate que dans la gamme 0 ≤ a0 ≤ 8, la convergence entre les deux

méthodes est très satisfaisante, quelque soit la valeur de ν. L’analogie entre la réaction

du sol et celle d’un appui visco-élastique est très largement confirmée, même si le modèle

de cône surestime légèrement l’amortissement radiatif à basse fréquence (cf. figure 3.5(b)

pour a0 < 2). Cette surestimation n’excède pas cependant 15 %. Les valeurs de c(a0),

comparables à celles de k(a0), laissent percevoir que la réponse dissipative du sol peut

jouer un rôle notable à moyenne et haute fréquence.

– Les graphes de la figure 3.6 nous permettent également de constater le bon comportement

du modèle de cône pour le roulis. L’erreur sur kθ est maximale (de l’ordre de 30 %) pour

ν = 1/3 et a0 > 2 − 3 (figure 3.6(a)). Ceci s’explique par le fait que pour les valeurs de

ν supérieures, la précision du modèle de cône est rétablie par calage de la valeur de la

masse piégée (figures 3.6(c) et 3.6(d) pour ν = 0.45). A ces détails près, le modèle de

cône fournit une approximation très acceptable de l’impédance de roulis et décrit très

bien sa caractéristique principale : l’amortissement radiatif est nul à basse fréquence,

augmente ensuite avec a0 de manière parabolique puis se stabilise pour a0 & 3 autour

d’une valeur constante (figure 3.6(b)) ; au final, il est toujours sensiblement plus faible


que dans le cas du mouvement de tamis.

(a) (b)

Fig. 3.5 – Coefficients de rigidité et d’amortissement dynamiques d’une fondation circulaireen mouvement de translation horizontale (tamis) à la surface d’un demi-espace homogène(d’après Wolf, 1994). Les courbes (pleines ou tiretées) se rapportent au modèle de cône ; lespoints distincts sont les résultats « exacts » (Veletsos et Wei, 1971).

Des comparaisons du même type sont présentées aux figures 3.7 et 3.8 pour l’impédance de

torsion et de pompage vertical. Elles illustrent une nouvelle fois la fiabilité remarquable du

modèle de cône.


(a) (b)

(c) (d)

Fig. 3.6 – idem figure 3.5, cette fois pour l’impédance de roulis.


(a) (b)

(c) (d)

Fig. 3.7 – idem figure 3.5, pour l’impédance de pompage. Les résultats « exacts » sont tirésde Luco et Mita (1987).

(a) (b)

Fig. 3.8 – idem figure 3.5, pour l’impédance de lacet (torsion) indépendante du coefficient dePoisson ; résultats « exacts » d’après Veletsos et Nair (1974).

132Chapitre

3.

Etu

de

para

métriqu

ede

l’intera

ction

solstru

cture

Mouvement rayon ouverture Poisson vitesse de propag. masse piégée coefficients dynamiquesr0 z0/r0 ν β µ

Tamis r

S0

π

π

8(2 − ν) ∀ν βS 0

k(a0) = 1 − µ

π

z0

r0

β2S

β2a2

0

c(a0) =z0

r0

βS

βPompageπ

4(1 − ν)

β2

β2S

ν ≤ 1/3 βP 0

1/3 < ν ≤ 1/2 2βS 2.4π(ν − 1/3)

Torsion 4

r

2I0

π

9π

32∀ν βS 0

k(a0) = 1 − 4

3

µ

π

z0

r0

β2S

β2a2

0 −1

3

a20

ββS

r0

z0

2+ a2

0

c(a0) =βS

β

z0

3r0

a20

ββS

r0

z0

2+ a2

0Roulis 4

r

4I0

π

9π

32(1 − ν)

β2

β2S

ν ≤ 1/3 βP 0

1/3 < ν ≤ 1/2 2βS 0.3π(ν − 1/3)

Tab. 3.3 – Modèle de cône : fonctions d’impédance d’une fondation circulaire à la surface d’un demi-espace élastique homogène.


3.1.3.5 Proposition de modification du modèle de cône

Comme il a été dit précédemment, l’intérêt du modèle de cône, outre le fait qu’il four-

nit de bonnes estimations des impédances de fondation, est d’être basé sur une description

simplifiée, mais physiquement fondée, des ondes rayonnées par la fondation, tout du moins

tant que le coefficient de Poisson est inférieur à 1/3. Dans le cas des sols peu compressibles

(ν > 1/3) et des mouvements de pompage et de roulis, il s’est avéré nécessaire d’introduire

« artificiellement » une masse piégée (déterminée par calage) et de fixer la vitesse des ondes

de cône à 2βS ; ces modifications ne sont pas prévues par la construction du champ de cône

et constituent de ce fait une limitation de la capacité du modèle à « expliquer » la physique

du phénomène.

Nous proposons dans cette section une construction alternative du champ de cône qui lève

cette difficulté. Nous considérons seulement le mouvement de pompage. Une transposition au

roulis semble possible quoique plus complexe du fait de la perte de la symétrie cylindrique.

On impose donc à la fondation un déplacement vertical u0. Comme précédemment, ce dépla-

cement donne naissance à un champ unidirectionnel (toutes grandeurs ne dépendent que de

z). Les sections planes restent planes et subissent sous l’effet de la contrainte verticale σ(z),

un déplacement d’ensemble u(z). Avec ces hypothèses, on a l’équation d’équilibre :

dσ(z)S(z)

dz= −ρsω

2u(z)S(z) .

La différence avec le modèle de cône « classique » intervient dans l’expression de la contrainte

en fonction du déplacement. On tient compte du confinement latéral du cône par le massif

élastique : on intègre la résistance aux efforts radiaux du sol entourant le cône mais on le

suppose non chargé et non déformé selon z. Avec ces hypothèses, les tenseurs de déformation

et de contrainte sont de la forme :

– dans le massif,

ε′ =

2664ε′r 0 0

0 ε′θ 0

0 0 0

3775 σ′ =

2664σ′r 0 0

0 σ′θ 0

0 0 0

3775 ,

– dans le cône,

ε =

2664εr 0 0

0 εθ 0

0 0 ε

3775 σ =

2664σr 0 0

0 σθ 0

0 0 σ

3775 ,

avec à l’interface cône/massif σ′r = σr et ε′θ = εθ, et compte tenu de l’isotropie dans le cône

et de la symétrie cylindrique, σθ = σr et εθ = εr.

Par ailleurs, le sol étant supposé élastique, contrainte et déformation sont liés par l’équation,

σ = λstr(ε)I3 + 2µsε .


On en déduit : 8<:σ′z = 0

ε′z = 0⇒ ε′θ = −ε′r ,

puis,

σ′r = 2µsε

′r = −2µsε

′θ ,

et compte tenu des conditions de continuité à l’interface cône/massif,

εr = εθ = − λs

λs + 2µs

ε

2= − ν

1 − ν

ε

2. (3.21)

Finalement, en réinjectant ces résultats dans la relation contrainte déformation, on obtient,

σ(z) =4(λs + µs)µs

λs + 2µsε(z) =

2µs

1 − ν

du(z)

dz,

puis, avec l’équation d’équilibre,

d2zu(z)

dz2+

ωÈ2

1−ν βS

!2

zu(z) = 0 . (3.22)

On reconnaît l’équation, exprimée en (zu), d’une onde plane se propageant verticalement à la

vitesse βV =È

21−ν βS . Pour ν = 0, βV =

√2βS = βP coïncide avec la vitesse du modèle de

cône ; pour ν = 1/3, 0.45 et 1/2, le modèle donne βV = 1.7βS , 1.9βS , 2βS . Cette vitesse est

notablement plus proche de la valeur « exacte » (respectivement βV = 1.5βS , 1.86βS , 2.14βS

à basse fréquence, cf. figure 3.4(b)) que la vitesse prévue par le modèle de cône.

Le champ de déplacement, solution de (3.22) et respectant la condition aux limites u(z =

z0) = u0 ainsi que la condition de radiation, a pour expression :

u(z) = u0z0

zexp

−ikV (z − z0)

avec kV =

ω

βV=

ωÈ2

1−ν βS

.

Il vient alors :

σ(z) = − 2µs

1 − ν

z0

z(ikV + 1/z)u0 exp

−ikV (z − z0)

,

puis par passage à la limite en z = z0,

KV = ρsβ2V S0(ikV + 1/z0) .


Suivant la procédure maintenant classique de calage avec l’expression exacte de la rigidité

statique (tableau 3.1), on obtient finalement :

z0/r0 =π

2, (3.23)

KV = KV,stat

1 + ia0

z0

r0

βS

βV

=

4µSr0

1 − ν

1 + ia0

π

2

r1 − ν

2

, (3.24)

⇒ kV = 1 et cV =z0

r0

βS

βV=

π

2

r1 − ν

2. (3.25)

Ces expressions et celles obtenues par Meek et Wolf (1992a) (équations (3.9)-(3.11)), coïn-

cident pour ν = 0 mais divergent pour toutes les autres valeurs du coefficient de Poisson. Ceci

s’explique très bien si on remarque qu’en imposant comme vitesse de propagation βP , Meek

et Wolf construisent en réalité une onde se propageant sans déformation transversale (comme

une onde P dont le front d’onde est infini). Si ν = 0, les déformations longitudinales (selon z)

n’entraînent aucune déformation transversale et la différence entre les hypothèses de Meek et

celles retenues ici ne se ressent pas.

En l’état, cette modification du modèle de cône permet une meilleure interprétation physique

de la vitesse effective de propagation. Examinons maintenant de plus près le raccord cinéma-

tique au dessous de la fondation afin d’éclaircir le concept de masse piégée. D’après (3.21), le

tenseur des déformations à l’intérieur du cône, donné par,

ε =

266664− ν

2(1 − ν)0 0

0 − ν

2(1 − ν)0

0 0 1

377775 ε ,

est incompatible avec des déformations latérales (c’est à dire dans le plan (er, eθ)) supposées

nulles à l’interface avec la fondation rigide (frettage du sol par la fondation). On peut s’at-

tendre à ce que le raccord cinématique entre le champ de cône et la fondation, assuré par un

champ de description complexe, conduise à une valeur d’impédance notablement différente de

celle prévue par le modèle.

Pour déterminer ce raccord cinématique, rendant compatible le champ de cône avec l’indéfor-

mabilité de la fondation, notons que dans la direction, donnée par le vecteur tsin α 0 cos αen coordonnées cylindriques, le milieu subit l’élongation :

δl

l=

266664− ν

2(1 − ν)0 0

0 − ν

2(1 − ν)0

0 0 1

3777758>>><>>>:sin α

0

cos α

9>>>=>>>; =

− ν

2(1 − ν)sin2 α + cos2 α

ε .


Pour tan2 α = 2(1 − ν)/ν, l’élongation est nulle, de sorte que le point dans l’axe du cône

P situé à la profondeur r0/ tan α sous la fondation se déplace avec elle (figure 3.9). Par

conséquent, il apparaît que pour assurer la compatibilité cinématique, le disque entraîne dans

son mouvement une partie du sol de fondation dont on peut estimer que le volume est compris

entre celui du cône de sommet P et celui du cylindre de hauteur r0/ tan α. La comparaison

entre cette estimation de la masse entraînée et celle obtenue par calage du modèle de cône

(figure 3.10) montre une bonne cohérence des ordres de grandeur. La droite du modèle de

cône classique de Meek-Wolf, ainsi que son coefficient directeur sont compris dans l’intervalle

des estimations haute (cylindre) et basse (cône) fournies par le modèle de cône+confinement

présenté ici, dès lors que ν est supérieur à 0.37. En outre pour ν inférieur à 1/3, le modèle

de cône+confinement montre qu’il subsiste une masse entraînée ; ce résultat est conforme

avec l’amorce, à basse fréquence, d’une décroissance parabolique du coefficient de rigidité

dynamique « exact » (figure 3.7(a) pour ν = 1/3). En revanche, le modèle de cône+confinement

ne permet pas d’expliquer la disparition progressive de la masse entraîné et la remontée du

coefficient de rigidité dynamique vers sa valeur statique, à haute fréquence.

Au bilan, il apparaît que le modèle de cône selon Meek-Wolf (sans masse ajoutée par calage)

r0

tan α

u0

u0

ε =0ε =

0

champ de contrainteet de déformation

complexes

α

ε =

2664− ν

2(1 − ν)0 0

0 − ν

2(1 − ν)0

0 0 1

3775 ε

champ de cône

P

Fig. 3.9 – frettage du sol par la fondation et masse entraînée.

est plus pertinent à haute fréquence, tandis que le modèle de cône+confinement présenté ici

donne de meilleurs résultats à basse fréquence. Cette constatation est conforme à l’intuition :

– Lorsque la fréquence augmente, les ondes inhomogènes qui assurent la compatibilité

cinématique entre le frettage par la fondation et l’onde de cône homogène affectent une

profondeur de plus en plus faible du massif de sol ; la masse de sol piégée sous la fondation

disparaît progressivement (figure 3.4(a)). Par ailleurs, les dimensions transversales du


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

coefficient de Poisson ν

mas

se p

iégé

e −

coe

ffici

ent µ

Meek−Wolf

Cône confiné − estimation basse et haute

Fig. 3.10 – Comparaison des estimations de la masse entraînée par la fondation dans lemouvement de translation verticale (pompage) : modele de Meek-Wolf (pointillés) et modelede cône+confinement (traits pleins).

cône devenant très grandes par rapport à la longueur d’onde, la vitesse effective de

l’onde de cône est celle de l’onde P (dont le front d’onde est infini) (figure 3.4(b)). Ces

tendances coïncident avec les hypothèses de base du modèle de Meek-Wolf qui apparaît

donc plutôt comme un modèle haute fréquence donnant des résultats corrects à basse

fréquence grâce au calage pour a0 = 0 avec l’expression connue de la rigidité statique.

– Le modèle présenté ici est meilleur à basse fréquence pour des raisons strictement in-

verses : on comprend intuitivement que les grandes longueurs d’onde soient plus sensibles

aux dimensions transversales du problème (celles de la fondation, du cône). Ce phéno-

mène est capté par la prise en compte du confinement du cône par le massif, et les

vitesses effectives de propagation obtenues sont très proches des vitesses réelles.

3.1.4 Ajustements du calcul de l’impédance pour des propriétés géomé-

triques ou mécaniques plus complexes du système sol-fondation

En dépit de l’importance fondamentale du calcul de l’impédance d’une fondation circulaire

sur un demi-espace homogène, des cas pratiques couramment rencontrés tels que les profils de

sol non uniformes, les fondations, enterrées, non circulaires ou flexibles, ainsi que la présence

de pieux ne sont pas modélisés directement par cette procédure. Les effets de ces conditions

particulières (à l’exception des pieux) peuvent être modélisés de manière approchée et relative-

ment simple par une approche du type cône (Meek et Wolf, 1992b, 1994; Wolf et Meek, 1993;


Pradhan et coll., 2004). Il existe également dans la littérature un certain nombre de recomman-

dations d’ajustement de la solution de base (fondation circulaire sur sol homogène), calibrées

sur les résultats de méthodes numériques sophistiquées et parfois données sous la forme d’une

formule analytique approchée. Cependant, la prise en compte explicite de ces situations va au

delà des objectifs de ce travail et risquerait d’obscurcir les résultats d’une étude paramétrique

déjà relativement complexe. Il convient toutefois de commenter rapidement quelques résultats,

issus de la littérature, afin de cerner les limites de l’utilisation du modèle de base (fondation

rigide, circulaire, reposant à la surface d’un demi-espace homogène) et par là des résultats tirés

de l’étude paramétrique qui suit ; il s’agit également d’ouvrir quelques pistes pour l’adaptation

des modèles simplifiés utilisés dans cette étude à des fins expérimentales.

3.1.4.1 Profils de sol non uniformes

Les profils de sol non homogènes peuvent souvent être caractérisés par une augmentation

graduelle de la rigidité avec la profondeur, ou a contrario un substratum rocheux très dur

surmontée de couches de sol souple.

Pour les profils présentant cette évolution progressive de la rigidité, un choix courant consiste

à utiliser les valeurs de l’impédance d’un sol homogène dont les propriétés mécaniques sont

celles mesurées à la profondeur 0.5 r0 du sol hétérogène. Dans tous les cas, ce profil continu

n’est pas le siège d’un phénomène physique majeur susceptible de modifier qualitativement

l’interaction entre sol et structure.

Les différences entre un sol homogène et un sol constitué d’une couche de sol présentant un

fort contraste de rigidité avec le substratum rocheux sont plus fondamentales. Le point clé

tient au piégeage dans la couche des ondes émises par la fondation et réfléchies à l’interface

sol substratum. Le coefficient de rigidité dynamique suit les mêmes tendances que dans le cas

homogène mais présente des oscillations associées à la fréquence de résonance de la couche.

Ces oscillations sont particulièrement marquées à faible niveau d’amortissement hystérétique

mais peuvent être négligées dès lors que l’amortissement hystérétique dépasse 7 % (Roesset,

1980). Au-delà de la fréquence de résonance de la couche, l’amortissement radiatif est proche

de celui sur sol homogène ; en revanche, il est remarquable de constater qu’en deçà de cette

fréquence l’amortissement radiatif est nul.

La généralisation du modèle de cône au cas d’une couche de sol souple reposant sur un substra-

tum rigide, présentée à la section 4.3.3.1, reproduit de manière très satisfaisante les caractéris-

tiques qui viennent d’être décrites, tout en offrant un éclairage très intéressant des phénomènes

mis en jeu. Une étude paramétrique de l’effet de cette configuration de sol sur l’interaction sol

structure est possible avec ce modèle, mais n’est pas présentée dans ce mémoire.


3.1.4.2 Fondation enterrée

Le premier effet de l’enfouissement est évidemment une augmentation des rigidités sta-

tiques de la fondation (selon tous ses degrés de liberté) ; des expressions analytiques de ces

rigidités statiques sont disponibles dans la littérature.

En dynamique, les valeurs numériques des coefficients de rigidité et d’amortissement dyna-

miques (normalisés par rapport à la rigidité statique adéquate) d’une fondation cylindrique,

enterrée dans un milieu homogène ou stratifié, ont été obtenues par exemple par Apsel et

Luco (1987). Une comparaison complète entre ces valeurs et celles obtenues pour un sol homo-

gène serait fastidieuse, compte tenu du nombre de paramètre, et hors de propos. Les grandes

tendances, vérifiées pour la plupart des cas pratiques, sont les suivantes :

– les coefficients de rigidité dynamique, c’est à dire les variations de la réponse élastique

du sol en fonction de la fréquence, sont sensiblement identiques à ceux de la fondation

superficielle ; ces derniers peuvent être utilisés en première approximation ;

– la différence entre la fondation enterrée et la fondation superficielle est beaucoup plus

significative en ce qui concerne les coefficients d’amortissement dynamiques. On observe

une augmentation systématique de la dissipation radiative avec un enfouissement crois-

sant atteignant par exemple pour un sol de coefficient de Poisson ν = 0.5 et un rapport

d’enfouissement e/r0 = 1 (e étant la profondeur de la fondation) : 25 % pour cH (tamis),

50 % pour cV (pompage) et 10 % pour cθ (roulis). Malgré ces variations quantitatives, il

est intéressant de constater que l’allure des courbes d’amortissement dynamique restent

qualitativement inchangée : quasi plates pour les mouvements de translation selon les-

quels la réponse du sol est sensiblement celle d’un appui visco-élastique (à l’exception des

sols peu compressibles pour le pompage) ; partant de 0 à très basse fréquence, croissant

d’abord de manière exponentielle puis plus lentement pour rejoindre un plateau à haute

fréquence, pour les mouvements de rotation. Enfin, de même que dans le cas superficiel,

le mouvement de roulis reste quelque soit la fréquence, moins dissipatif que le tamis.

Encore une fois, l’enfouissement de la fondation peut être intégré à une étude paramétrique de

l’interaction sol structure grâce aux nombreuses expressions analytiques approchées que l’on

trouve dans la littérature (Pais et Kausel, 1988, par exemple). Constatant d’une part qu’il ne

modifie pas fondamentalement la réponse du sol, d’autre part que la plupart des structures

auscultées par le laboratoire sont fondées en surface (ou ont au plus un étage enterré pour

un coefficient d’enfouissement faible de l’ordre de 1/5), nous n’avons pas tenu compte de ce

paramètre.

3.1.4.3 Forme de la fondation

Les structures courantes telles que celles qui sont l’objet de cette étude possèdent en gé-

néral une fondation de forme rectangulaire. L’usage convient d’analyser de telles fondations

rectangulaires à l’aide des impédances calculées pour une fondation circulaire équivalente,


dès lors que le rapport entre leurs dimensions longitudinale et transversale n’excède pas 4.

On définit ainsi quatre rayons équivalents différents, à utiliser dans les formules établies pré-

cédemment pour une fondation circulaire (tableau 3.3), calculés de manière à retrouver les

valeurs respectivement, de la surface de la fondation rectangulaire pour les mouvements de

translation, des moments d’inertie (axial ou polaire) pour les mouvements de rotation. Ces

critères d’utilisation courante, adoptés par la plupart des codes sismiques internationaux, sont

corroborés par exemple par le travail de synthèse réalisé par Dobry et Gazetas (1986). Ils

conduisent toutefois à une sous-estimation de l’amortissement en roulis aux basses fréquences.

En effet, comme on l’a vu précédemment (figures 3.6(b) et 3.6(d)), le coefficient d’amortis-

sement cθ d’une fondation circulaire est faible aux basses fréquences : les ondes émanant de

la fondation interfèrent et se neutralisent mutuellement (le mouvement de roulis impliquant

fondamentalement une opposition de phase de part et d’autre de l’axe de rotation). Ces in-

terférences destructives disparaissent progressivement quand la fréquence augmente, les deux

extrémités de la fondation agissant de plus en plus comme des sources indépendantes, et le

coefficient d’amortissement tend vers une valeur finie à haute fréquence. Pour les fondations

rectangulaires, ce phénomène d’interférence est réduit conduisant à un coefficient d’amortis-

sement supérieur à basse et moyenne fréquence (a0 < 2) mais tendant asymptotiquement vers

celui de la fondation circulaire équivalente à haute fréquence (a0 > 3 − 4).

3.1.4.4 Fondation flexible

Les calculs d’impédance présentés dans ce qui précède sont basés sur l’hypothèse d’une

fondation agissant comme une interface parfaitement rigide entre le sol et la structure. La

prise en compte de la déformabilité de la fondation est un problème complexe qui nécessite

de recourir à des méthodes de discrétisation numérique sophistiquées. Comme dans les para-

graphes précédents, nous tentons, sur la base des résultats disponibles dans la littérature, de

savoir dans quelle mesure et dans quelles conditions la souplesse de la fondation est susceptible

d’être mobilisée et de modifier sensiblement la valeur de l’impédance.

La fondation étant en général très rigide dans son plan, les impédances de tamis dans l’hypo-

thèse d’une fondation rigide ou flexible sont similaires. La plupart des études se concentrent

sur le mouvement de roulis qui sollicite d’avantage la résistance hors plan. Les éléments mis

en jeu sont évidemment les caractéristiques de solidité de la fondation (sa résistance aux ef-

forts hors plan) mais aussi les caractéristiques de la structure même. Une structure construite

autour d’un noyau central reprenant l’essentiel des efforts constitue un cas exemplaire étudié

par Iguchi et Luco (1982). La base du noyau poinçonne la fondation qui subit dans cette zone

une rotation bien plus marquée que dans le périmètre (voir par exemple Luco et coll., 1988,

pour une mise en évidence expérimentale de ce phénomène). Dans un cas limite (fondation très

flexible), l’impédance coïncide avec celle de la portion de fondation sur laquelle repose le noyau

central et est considérablement plus faible que l’impédance de la fondation rigide (Kθ ∼ r30).

3.2. Etude paramétrique de l’interaction sol structure 141

Deux autres configurations intéressantes car représentatives d’un certain nombre de situations

courantes ont été étudiées par Liou et Huang (1994) et Riggs et Waas (1985). Le contact entre

la structure et la fondation est assuré, pour les premiers par un mur peu épais situé sur le pé-

rimètre de la fondation (circulaire), pour les seconds par des voiles concentriques plus rigides.

Dans le premier cas et a fortiori le second, la présence du mur en périmètre suffit à assurer

une rotation d’ensemble de la fondation aux basses fréquences, c’est à dire lorsque le rayon de

la fondation est petit devant la longueur d’onde (typiquement jusqu’à a0 = 2πr0/λS < 3− 4).

En conclusion, il apparaît que sauf présence d’un noyau central ou d’une discontinuité mé-

canique du même type, la souplesse de la fondation peut être négligée à basse fréquence. Il

est impossible, compte tenu de la variété des configurations de murs rencontrées, de définir

avec précision l’étendue du domaine de fréquence dans lequel l’hypothèse de fondation rigide

est acceptable. Le critère intuitif de comparaison entre la longueur d’onde et le rayon de la

fondation (fondation rigide si la longueur d’onde des déformations dans le sol est très grande

devant le rayon de la fondation et inversement) peut être dépassé dans un sens ou dans l’autre

sous l’action de la structure : une répartition très irrégulière des efforts favorise la déformation

de la fondation, au contraire une répartition régulière de murs offre une grande résistance aux

efforts normaux et ainsi aux déformations hors plan de la fondation.

Au vu de ce constat et de l’impossibilité d’intégrer de manière simple la souplesse de la fonda-

tion aux modèles sol structure étudiés, ce problème n’est qu’effleuré dans la suite de ce travail :

les modes du système sol structure sont déterminés en supposant la fondation parfaitement

rigide ; dans un deuxième temps, le réalisme ou la portée générale des résultats obtenus sont

jaugés au regard de la valeur plus ou moins élevée de la fréquence adimensionnelle associée à

chacun de ces modes.

3.2 Etude paramétrique de l’interaction sol structure

Nous tirons profit maintenant des expressions de l’impédance fournie par le modèle de

cône pour examiner quelques systèmes sol structure élémentaires, en ne considérant que les

mouvements de translation horizontale (tamis) et de rotation d’axe horizontal (roulis), couplés

par les efforts de la structure sur la fondation (en toute rigueur le couplage est également assuré

par le sol et le terme d’impédance KHθ, mais ce couplage est généralement négligeable). Les

cinématiques de pompage vertical et de torsion pourraient être traitées de la même manière,

mais sont moins facilement activées sous séisme (pour des structures régulières) et présentent

donc un intérêt plus limité.

Les expressions des fonctions d’impédance de tamis et de roulis, présentées de manière

synthétique dans le tableau 3.3, soulignent les différences de réaction du sol à ces mouvements

de la fondation. On rappelle qu’en translation la partie réelle de l’impédance est indépendante

de la fréquence, tandis que la partie imaginaire croît linéairement avec la fréquence (figure 3.5).


Le sol réagit de manière similaire à un appui visco-élastique relativement visqueux ; la réponse

dissipative est susceptible de dominer à moyenne fréquence. En roulis, la réponse élastique

décroît avec la fréquence (pour une réduction de l’ordre du tiers comparativement à la valeur

statique à haute fréquence ; figure 3.6(a)) tandis que la réponse dissipative croît d’abord en

a30 puis linéairement en a0 (figure 3.6(b)). Il s’ensuit que le mouvement de roulis dissipe très

peu d’énergie à basse et moyenne fréquence.

On perçoit intuitivement que la nature et l’importance des effets de l’interaction sol struc-

ture sont liés au contraste de rigidité entre le sol et la structure. Mais du fait du couplage

entre tamis et roulis ainsi que du comportement différent du sol et de la structure, cette idée

ne se traduit pas simplement. En effet, la réponse du système dépend du moment et de l’effort

tranchant appliqués par la structure en mouvement sur la fondation. Le poids relatif de ces

deux efforts varie en fonction des caractéristiques géométriques et inertielles de la structure,

ainsi que de sa cinématique de déformation. En conséquence, afin de dégager une vision suf-

fisamment synthétique et claire de l’influence de l’interaction sol structure, nous procéderons

successivement à l’analyse des systèmes (adimensionnels) suivants :

– le bloc rigide sur sol souple qui est évidemment le système le plus simple et suffit à mettre

en évidence l’influence de la géométrie, ainsi que de l’inertie, de la structure. L’interaction

sol structure joue un rôle prépondérant puisque les déformations sont localisés dans le sol

uniquement. Il permet d’appréhender en première approximation le comportement de

structures très rigides par rapport au sol, mais sert surtout comme cas limite théorique

pour tous les autres modèles sol structure.

– le modèle à un degré de liberté sur sol souple qui présente un intérêt double. C’est d’une

part le modèle le plus simple pour introduire la souplesse de la structure et expliciter

son couplage avec la souplesse du sol. D’autre part, sous certaines conditions largement

commentées au chapitre 2 (voir les relations (2.39) à (2.41) (modes réels) ou (2.88)

et (2.90) (modes complexes) et les commentaires qui les accompagnent), le modèle à

un degré de liberté peut être utilisé pour représenter les vibrations d’une structure

quelconque au voisinage du mode fondamental.

– les modèles de poutre de flexion et de cisaillement sur sol souple pour étudier l’influence

de la cinématique ; la plupart des structures régulières en plan et en élévation ont un

comportement qui peut être modélisé par l’un de ces modèles, ou un modèle intermédiaire

du type Timoshenko (Hans, 2002). L’analyse portera sur les 3-4 premiers modes qui

dominent très largement la réponse du système dans la gamme sismique (de plus les

modes d’ordre supérieur ne peuvent en général pas être appréhendés par un modèle

continu homogène car la longueur caractéristique de la déformation structurelle est de

la même échelle que la discontinuité, c’est à dire l’étage).

Le modèle brochette, d’utilisation courante, ne sera pas étudié car il n’est pas possible de

s’affranchir du paramètre « nombre d’étages » ; la poutre de cisaillement, version homogénéisée


de la brochette, lui est préféré car il est totalement adimensionnalisable.

Pour chacun des modèles analysés, l’influence de l’interaction sol structure est évaluée

par son effet sur les propriétés modales du système. On privilégie systématiquement le calcul

du mode complexe : à faible amortissement il est très proche du mode réel d’interprétation

physique classique, tandis qu’à fort amortissement l’approche modale classique est inopérante

compte tenu de la nature « non-diagonale » de l’amortissement radiatif (cf. section 2.2).

3.2.1 Bloc rigide sur sol souple

Fig. 3.11 – Bloc rigide sursol souple : notations.

u0

θ0

KH

KθCH

Cθ

HG(Mt, JG)

Les caractéristiques du bloc rigide sont sa masse Mt, moment d’inertie massique JG par

rapport au centre de masse G, hauteur H (figure 3.11). Il repose sur une fondation rigide dont

l’impédance est donnée, en roulis, par les coefficients de ressort et d’amortisseur équivalent

Kθ et Cθ, en translation horizontale par KH et CH . L’impédance de couplage entre ces deux

mouvements est, conformément à l’usage, négligée. Les expressions de ces coefficients d’impé-

dance sont données par le modèle de cône appliqué à une fondation de rayon (équivalent) r0

à la surface d’un sol pouvant être assimilé à un demi-espace élastique homogène.

Introduisant comme pour les modèles de poutres continues (cf. 2.3) l’inertie massique de sec-

tion J , on a : JG = HJ + MtH2/12.

3.2.1.1 Equations de vibration et équations modales du bloc rigide sur sol souple

Les degrés de liberté du système sont (par exemple) le basculement θ0 et la translation

horizontale u0 de la fondation. Avec ce choix de paramètre du mouvement, l’équilibre dyna-

mique des forces et moments s’appliquant sur la fondation sans masse s’écrit dans le domaine

temporel (l’écriture est évidemment symbolique puisque l’impédance n’a de sens que dans le


domaine fréquentiel) : 8>><>>:Mtu0 +MtH

2θ0 + CH u0 + KHu0 = 0

MtH

2u0 + J0θ0 + Cθθ0 + Kθθ0 = 0

où J0 = JG + Mt(H/2)2 = MtH2/3 + HJ est le moment d’inertie du bloc calculé au centre

de la fondation.

Après passage dans l’espace fréquentiel (ou modal), on réécrit le système des équations d’équi-

libre sous la forme réduite :8>><>>:1 − ω2H

ω2

1 + 2i

ω

ωHξH

bu0 +H

2bθ0 = 0

Mt(H/2)2

J0bu0 +

1 − ω2

θ

ω2

1 + 2i

ω

ωθξθ

H

2bθ0 = 0

(3.26)

où l’on retrouve comme dans un chapitre précédent (cf. 2.2) :

– la pulsation propre et le facteur d’amortissement du système si le balancement de la

fondation est bloqué,

ω2H =

KH

Mtet ξH =

CH

2MtωH,

– la pulsation propre et le facteur d’amortissement du système dual du précédent où cette

fois la translation de la fondation est bloquée,

ω2θ =

Kθ

J0et ξθ =

Cθ

2J0ωθ.

Les modes propres réels (classiques) du système bloc rigide sont définis par les valeurs et vec-

teurs propres du système (3.26) non amorti, c’est à dire où tous les coefficients d’amortissement

sont considérés comme nuls. On vérifie aisément que le passage à ces coordonnées modales ne

découple pas les termes d’amortissement. Une meilleure description modale est donnée par les

deux modes complexes solutions du problème aux valeurs propres complexes intégrant direc-

tement l’amortissement. ω∗i pulsation propre complexe est telle que le déterminant du système

(3.26) soit nul :1 − ω2

H

ω∗2i

1 + 2i

ω∗i

ωHξH

1 − ω2

θ

ω∗2i

1 + 2i

ω∗i

ωθξθ

=

Mt(H/2)2

J0∈ R

+ . (3.27)

Raisonnant à faible amortissement, l’équation qui précède implique que nécessairement :

(ωi < ωθ et ωi < ωH) ou (ωi > ωθ et ωi > ωH) ,


où ωi = Re ω∗i désigne la (pseudo-)pulsation des oscillations libres de la structure. On en

déduit que le système bloc rigide sur sol souple possède :

– un mode basse fréquence de pulsation ω∗1 (ω1 < ωH et ωθ) correspondant à un mouve-

ment de corps rigide dont le centre de rotation est situé sous la fondation,

φ∗1 =

8><>: u∗01

H

2θ∗01

9>=>; =

8>><>>: 1

ω2H

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ωHξH

− 1

9>>=>>; , (3.28)

Mode 1

– un mode haute fréquence de pulsation ω∗2 (ω2 > ωH et ωθ) correspondant à un mouve-

ment de corps rigide dont le centre de rotation est au-dessus de la fondation,

φ∗2 =

8><>: u∗02

H

2θ∗02

9>=>; =

8>><>>: 1

ω2H

ω∗22

1 + 2i

ω∗2

ωHξH

− 1

9>>=>>; . (3.29)

Mode 2

On rappelle que physiquement le mode complexe i = 1, 2 est un mode amorti qui oscille à la

pulsation Re(ω∗i ) et décroît exponentiellement avec le taux d’amortissement ξi = Im(ω∗

i )/‖ω∗i ‖.

La translation horizontale u0 et le basculement θ0 de la fondation sont déphasés, c’est à dire

qu’ils n’atteignent pas leur amplitude maximale au même instant. Nous ne revenons pas plus

en détail sur ce problème d’interprétation du mode complexe qui a été largement développé

au chapitre 2.2 sous tous ses aspects (réponse en oscillation libre, régime forcé...) mais nous

attachons maintenant à affiner l’analyse à partir des expressions des fonctions d’impédance.

3.2.1.2 Analyse dimensionnelle du système bloc rigide sur sol souple

Comme on l’a vu à la section 3.1, on a pour chaque degré de liberté α = θ, H,

Kα = Kα,stat(kα + ia0cα) ,

où les coefficients de rigidité et d’amortissement dynamique kα et cα ne dépendent, pour un

sol homogène et une fondation superficielle, que du coefficient de Poisson ν et de la fréquence

adimensionnelle a0. Par conséquent, en utilisant les expressions des rigidités statiques Kα,stat

du tableau 3.1, le problème aux pulsations propres (équation (3.27)) ainsi que les modes propres

(équations (3.28) et (3.29)) peuvent être entièrement réexprimé sous forme adimensionnelle en

fonction du coefficient de Poisson ν, du rapport de la densité de la structure (ρb = Mt/(S0H))


sur celle du sol, δ = ρb/ρs, de l’élancement de la structure η = H/r0, du paramètre CH1 =

J/MH pesant l’effet de l’inertie de section (cf. 2.3), et de la fréquence adimensionnelle modale,

inconnue du problème, a∗0i = ω∗i r0/βS :

ω2H

ω∗2i

=1

a∗20i

8

(2 − ν)π

1

δηkH(a∗0i, ν) , ξH =

Ê2

(2 − ν)π

Ê1

δη

cH(a∗0i, ν)ÈkH(a∗0i, ν)

,

ω2θ

ω∗2i

=1

a∗20i

8

(1 − ν)π

1

(1 + 3CH1 )δη3

kθ(a∗0i, ν) , ξθ =

Ê2

(1 − ν)π

s1

(1 + 3CH1 )δη3

cθ(a∗0i, ν)È

kθ(a∗0i, ν)

.

Il en découle quatre propriétés remarquables des modes du bloc rigide sur sol souple :

– la fréquence adimensionnelle du mode i = 1, 2, a∗0i, ne dépend que des paramètres η, δ,

ν et CH1 . Elle est donc, en particulier, indépendante de la rigidité du sol ;

– le facteur d’amortissement modal ξi = Im(a∗0i)/‖a∗0i‖, possède de fait la même propriété ;

– puisque a∗0i ne dépend pas de la rigidité du sol, les pulsations propres varient linéairement

avec la vitesse des ondes de cisaillement βS (donc en racine de la rigidité µs) ;

– de même que l’amortissement, les « déformées » modales (équations (3.28) et (3.29))

ne sont fonctions que de η, δ, ν et CH1 , c’est à dire que pour un bloc rigide donné, les

parts relatives de la rotation (roulis) et de la translation (tamis) dans le mouvement

sont indépendantes de la rigidité du sol.

Il faut bien noter que ces propriétés ont été démontrées indépendamment de tout calcul ap-

proximatif des impédances de fondation. Il s’agit donc avec certitude de propriétés intrinsèques

du système bloc rigide sur sol souple.

Par ailleurs, les expressions ci-dessus permettent d’anticiper l’importance des différents para-

mètres. Contrairement à δ qui apparaît à la même puissance dans les expressions relatives à

la translation ou à la rotation, le paramètre d’élancement η est à une puissance trois fois plus

élevées dans les dénominateurs de ξθ et ω2θ/ω∗2

i que dans ceux de ξH et ω2H/ω∗2

i . Une variation

de l’élancement s’accompagne donc d’une redistribution importante de la cinématique entre

translation et rotation, affectant ainsi sensiblement les caractéristiques modales du système.

On utilise maintenant les expressions des coefficients de rigidité et d’amortissement dyna-

miques établies par le modèle de cône (tableau 3.3) pour quantifier l’influence de chacun des

paramètres sur les propriétés modales du système. On néglige systématiquement l’inertie de

section (CH1 = 0).

Les équations modales sont résolues numériquement dans une gamme de variation des para-

mètres réaliste :

– coefficient de Poisson 0.1 ≤ ν ≤ 0.45,

– élancement 0.5 ≤ η ≤ 10 pour le bâti courant jusqu’à η = 20 pour les cheminées,

antennes, etc...

– rapport de densité 0.15 ≤ δ ≤ 0.25 pour le bâti courant jusqu’à δ = 0.35 pour certaines

installations industrielles.


Effet de l’élancement. La figure 3.12 illustre l’effet fondamental de l’élancement sur le pre-

mier mode. Sur la vignette (a), ont été tracées la partie réelle de la fréquence adimensionnelle

Re(a∗01) correspondant à la partie oscillante de la fréquence amortie (trait plein), la fréquence

adimensionnelle non-amortie, c’est à dire en l’absence d’amortissement radiatif (ligne tiretée),

ainsi que les fréquences adimensionnelles ωHr0/βS et ωθr0/βS correspondant aux mouvements

de translation et de rotation pure.

On constate que les structures d’élancement η ≥ 2 ont un premier mode modérément amorti

(ξ1 < 25 %) et des fréquences amorties et non-amorties similaires. Conformément à l’intui-

tion, la fréquence adimensionnelle décroît vers 0 quand l’élancement croît, et converge vers

la fréquence en rotation pure pour η ≥ 3, ce qui suggère que pour ces structures élancées la

part de la translation de la fondation dans le mouvement de corps rigide du premier mode est

négligeable. L’allure du déplacement modal (figure 3.15(a)) confirme cette tendance. Simul-

tanément, le facteur d’amortissement modal décroît très vite avec l’élancement et rejoint le

facteur d’amortissement en rotation pure ξθ (vignette 3.12(b)). Cette décroissance très rapide

s’explique d’une part par la diminution de la fréquence adimensionnelle donc de la réponse

« visqueuse » d’autre part par le fait que le mouvement de roulis dissipe nettement moins

d’énergie que le mouvement de tamis, en particulier aux basses fréquences (cf. 3.1.3.4).

Inversement, aux faibles élancements, on observe la convergence de la fréquence non amortie

vers celle du mouvement de translation pure alors que la cinématique modale comporte de

moins en moins de rotation (figure 3.15(a)). La fréquence amortie montre quant à elle une

évolution en cloche sous l’effet de l’amortissement modal élevé. le mode est à peine oscillant

voire même sur-amorti (Re(a∗01) = 0 et ξ1 = 1) pour un élancement approximativement infé-

rieur à 0.8.

Le déphasage entre rotation et translation (figure 3.16(a)), qui on le rappelle est une caractéris-

tique des systèmes amortis de façon non classique, ne suscite pas de commentaires particuliers

si ce n’est qu’il est maximal pour les structures les plus courantes (2 < η < 3).

Le deuxième mode est également sur-amorti dès lors que η . 4 − 5. ξ2 diminue lentement

avec l’élancement mais reste très élevé pour les valeurs courantes de η. Sa cinématique (figure

3.16(b)) correspond à une rotation par rapport à un point situé entre les côtes H/2 pour

les structures ramassées (η → 0) et 2H/3 pour les structures très élancées (η → ∞). La

translation et la rotation de la fondation sont sensiblement en (opposition de) phase (figure

3.16(b)) malgré le haut niveau d’amortissement.

Enfin, on note que la fréquence adimensionnelle reste dans les limites de validité de l’hypo-

thèse de fondation rigide discutée au paragraphe 3.1.4.4, à l’exception du deuxième mode pour

les faibles élancements. Le très haut niveau d’amortissement de ce mode, vérifié y compris aux

forts élancements, n’est cependant pas remis en cause.

Effet du coefficient de Poisson et de la densité de la structure. Les paramètres de

densité δ et le coefficient de Poisson jouent un rôle secondaire. Plus l’inertie de la structure est


importante, moins le facteur d’amortissement est élevé ; cependant, dans la gamme d’étude,

la différence n’est sensible, pour le premier comme pour le deuxième mode, que dans la bande

très étroite des structures dont l’élancement les place à la limite du sur-amortissement (figure

3.13). Les mêmes tendances peu remarquables sont observées pour le coefficient de Poisson

(figure 3.14).

Effet de l’inertie de section. Les résultats obtenus précédemment, en particulier le fait

que les structures très ramassées ont deux modes sur-amortis, interrogent sur un biais éventuel

introduit par l’hypothèse d’inertie de rotation nulle (CH1 = 0). Afin de lever le doute sur ce

point, on effectue quelques simulations en tenant compte de l’inertie de section. Il faut pour

cela préciser quelles sont les valeurs réalistes du paramètre CH1 . Le tableau 3.4 synthétise les

valeurs de CH1 des éléments les plus courants d’une structure de génie civil. Il est généralement

compris entre 1/η2 pour des voiles perpendiculaires au mouvement et 1/η2/3 pour les planchers

qui constituent une part importante de l’inertie d’une structure, ce qui permet de situer la

valeur de CH1 pour la structure totale autour de la valeur moyenne 1/η2/2. Au regard des

résultats présentés à la figure 3.17, on est en mesure d’affirmer que la prise en compte de

l’inertie de section n’a que peu d’influence, y compris aux faibles élancements, et ne remet pas

en cause l’existence (au moins théorique) de modes sur-amortis.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

élancement η=H/r0

fréq

uenc

e m

odal

e

cas amorticas non−amorti

rotation "pure"

translation "pure"

(a) fréquence adimensionnelle (mode 1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

élancement η=H/r0

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent m

odal

rotation "pure" (ξθ)

translation "pure" (ξH

)

(b) facteur d’amortissement ξ1

Fig. 3.12 – fréquence adimensionnelle et facteur d’amortissement du premier mode du blocrigide sur sol souple (δ = 0.15, ν = 0.3, CH

1 = 0) ; vignettes (a) : en trait plein Re(a∗01), entraits tiretés a01 calculé en négligeant l’amortissement radiatif.


Caractéristiques de la section expression du paramètre CH1

cheminée

R

e

y

CH1 =

1

2

R

H

2

≃ 1

2

1

η

2

murs transversauxy

2a

2be

CH1 =

a

H

2

≃

1

η

2

voile longitudinaly

e

2a

CH1 =

1

3

a

H

2

≃ 1

3

1

η

2

plancher y

2a

2b CH1 =

1

3

a

H

2

≃ 1

3

1

η

2

Tab. 3.4 – Quelques éléments courants des structures de génie civil et les valeurs de CH1 =

J/(mH2) correspondantes.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

élancement η=H/r0

fréq

uenc

e m

odal

e

δ = 0.15δ = 0.2δ = 0.25


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

élancement η=H/r0

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent m

odal

δ = 0.15δ = 0.2δ = 0.25

(b) facteur d’amortissement ξ1 (mode 1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

élancement η=H/r0

deux

ièm

e fr

éque

nce

mod

ale

(c) fréquence adimensionnelle (mode 2)

5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

élancement η=H/r0

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent (

mod

e 2)

δ = 0.15δ = 0.2δ = 0.25

(d) facteur d’amortissement ξ2 (mode 2)

Fig. 3.13 – Influence du rapport de densité δ = ρb/ρs sur les caractéristiques modales du blocrigide sur sol souple (ν = 0.3, CH

1 = 0) ; vignettes (a) et (c) : en trait plein Re(a∗0i), en traitstiretés a0i calculé en négligeant l’amortissement radiatif.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

élancement η=H/r0

fréq

uenc

e m

odal

e

ν = 0.1ν = 0.3ν = 0.45


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

élancement η=H/r0

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent m

odal

ν = 0.1ν = 0.3ν = 0.45


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

élancement η=H/r0

deux

ièm

e fr

éq. m

odal

e

cas amorticas non amorti


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

élancement η=H/r0

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent (

mod

e 2)

ν = 0.1ν = 0.3ν = 0.45


Fig. 3.14 – Influence du coefficient de Poisson sur les caractéristiques modales du bloc rigidesur sol souple (δ = 0.15, CH

1 = 0) ; vignettes (a) et (c) : en trait plein Re(a∗0i), en traits tiretésa0i calculé en négligeant l’amortissement radiatif.


0 10 20 30 40 50 60 70 800

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

déplacement modal

z/r 0

(a) mode 1

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

déplacement modal (mode 2)

z/r 0

(b) mode 2

Fig. 3.15 – Cinématique des modes du bloc rigide sur sol souple : amplitude des déplacementsselon les deux modes de corps rigide.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

déph

asag

e ro

tatio

n/tr

ansl

atio

n (r

ad)

élancement η=H/r0

(a) mode 1

0 20 40 60 80 100−5

0

5

10

15

20x 10

−4

élancement η=H/r0

déph

asag

e ro

tatio

n/tr

ansl

atio

n (r

ad)

(b) mode 2

Fig. 3.16 – Cinématique des modes du bloc rigide sur sol souple : déphasage de la rotationpar rapport à la translation de la fondation pour les deux modes de corps rigide.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

élancement η=H/r0

fréq

uenc

e m

odal

e

cas amorticas non amorti


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

élancement η=H/r0

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent m

odal

C1H = 1/η2/3

C1H=0


2 4 6 8 10 12 140

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

élancement η=H/r0

deux

ièm

e fr

éque

nce

mod

ale cas amorti

cas non amorti


2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

élancement η=H/r0

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent m

odal

C1H=0

C1H=1/η2/3

C1H=1/η2/2


Fig. 3.17 – Influence de l’inertie de section (CH1 ) sur les caractéristiques modales du bloc

rigide sur sol souple (ν = 0.3, δ = 0.15).


3.2.2 Oscillateur à un degré de liberté sur sol souple

Fig. 3.18 – Oscillateur àun degré de liberté sur solsouple : notations.

u

θ0

KH

Kθ

CHCθ

m

h

u0

k, c

On considère maintenant un pendule inverse en appui sur un sol homogène par l’intemé-

diaire d’une fondation rigide et sans masse (figure 3.18). Ce second modèle introduit de la

manière la plus simple l’effet de la souplesse de la structure. Les propriétés du pendule sont

sa masse m, sa hauteur h, sa pulsation propre et son facteur d’amortissement ω1 et ξ1 qui

caractérisent ses vibrations sur base encastrée. Le système sol structure a un seul degré de

liberté car la masse (ponctuelle) n’a pas d’inertie de rotation propre.

3.2.2.1 Equations modales

Les équations de vibration, établies à la section 2.2.3.3 du chapitre 2, conduisent à la

formulation du problème aux modes propres complexes du pendule sur sol souple :1 − ω2

1

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ω1ξ1

1 1

1 1 − ω2H

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ωHξH

1

1 1 1 − ω2θ

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ωθξθ

= 0 , (3.30)

et26666666641 − ω21

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ω1ξ1

1 1

1 1 − ω2H

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ωHξH

1

1 1 1 − ω2θ

ω∗21

1 + 2i

ω∗1

ωθξθ

37777777758>>>>><>>>>>: u∗

1

u∗01

hθ∗01

9>>>>>=>>>>>; = 0,

(3.31)


où les paramètres,

ω2H =

KH

mξH =

CH

2mωH

ω2θ =

Kθ

mh2ξθ =

Cθ

2mh2ωθ

ont la même interprétation physique que dans le cas du bloc rigide, en terme de translation

et rotation « purs ».

La résolution des équations (3.30) et (3.31) (cf. section 2.2.4.4, équations (2.88) et (2.89))

confirme l’existence d’un mode unique incluant :

– la pulsation propre complexe ω∗1 = |ω∗

1|È

1 − ξ21 + iξ1|ω∗

1| telle que,

1

ω∗21

=1

ω21

1

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

+1

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

+1

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

. (3.32)

– la déformée modale,

φ∗1 =

8>><>>: u∗1

u∗01

hθ∗01

9>>=>>; = u∗1

8>>>>>>>><>>>>>>>>:1

ω21

ω2H

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

ω21

ω2θ

1 + 2iω∗

1

ω1ξ1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

9>>>>>>>>=>>>>>>>>; , (3.33)

Résonnant sur la base de ces équations et à faible amortissement, il est possible de dégager

quelques tendances de l’effet de l’interaction sol structure sur le système (cf. section 2.2.3.3).

Nous précisons maintenant ces résultats en introduisant les paramètres adimensionnels qui

gouvernent la dynamique du système.

3.2.2.2 Analyse dimensionnelle de l’oscillateur à un degré de liberté sur sol souple

Les équations modales (3.32) et (3.33) peuvent être reformulées de manière à exprimer

l’effet de l’interaction sol structure sur la fréquence propre (ω∗1/ω1) et sur la déformée modale

du système sol structure, en fonction d’un nombre très limité de paramètres adimensionnels.

Utilisant en effet les expressions de l’impédance en statique (tableau 3.1), on montre que :

ω2H

ω21

=8

(2 − ν)π

η

σ2δkH(a∗01, ν) , ξH =

Ê2

(2 − ν)π

Ê1

δη

cH(a∗01, ν)ÈkH(a∗01, ν)

,

ω2θ

ω21

=8

3π(1 − ν)

1

σ2δηkθ(a

∗01, ν) , ξθ =

Ê2

3(1 − ν)π

Ê1

δη3

cθ(a∗01, ν)È

kθ(a∗01, ν)

,


avec :

a∗01 =ω∗

1r0

βS=

σ

η

ω∗1

ω1,

où interviennent les paramètres adimensionnels contrôlant l’interaction de l’oscillateur à un

degré de liberté avec le sol, soit par ordre d’importance :

– σ = ω1h/βS exprimant le contraste de rigidité (en racine carré) entre la structure et le

sol :

σ → 0 pour un sol extrêmement rigide

σ → ∞ pour un sol très souple

– l’élancement η = H/r0 et le rapport de densité δ = m/(ρshπr20), semblables au cas du

bloc rigide, traduisant les effets de la géométrie et de l’inertie,

– le coefficient de Poisson ν qui agit directement sur l’impédance statique et les coefficients

de rigidité et d’amortissement dynamiques,

– le facteur d’amortissement structurel ξ1.

On résout maintenant numériquement les équations modales à partir des expressions des

coefficients de rigidité et d’amortissement dynamiques du modèle de cône (tableau 3.3), afin

de quantifier l’influence de chacun des paramètres sur les propriétés modales du système. On

en déduit la nature et l’ampleur des modifications des caractéristiques modales structurelles

par l’interaction sol structure.

Effet du contraste de rigidité entre sol et structure. Le paramètre σ qui pèse (en

racine) la souplesse du sol relativement à celle de la structure, est le paramètre essentiel de

l’interaction sol structure. Le principal effet constaté est la réduction conforme à l’intuition de

la fréquence naturelle de vibration du système quand σ augmente, autrement dit quand le sol

est de plus en plus souple par rapport à la structure (figure 3.19(a)). Quelque soit la valeur

des autres paramètres, en particulier de l’élancement, cette diminution est négligeable quand

σ est inférieur à environ 0.2, significative au-delà. Pour σ > 6, la fréquence de l’oscillateur

sur sol souple (traits pleins) est très proche de celle du système où l’oscillateur est supposée

parfaitement rigide (tiretés).

Cette évolution de la fréquence propre est corrélée exactement à celle de la cinématique du

déplacement modal (figure 3.20). Pour σ < 0.2, le sol est extrêmement rigide par rapport à

la structure et les mouvements de la fondation sont négligeables relativement au déplacement

relatif de l’oscillateur. Au-delà de σ = 10, l’interaction sol structure est prépondérante et la

quasi totalité des déformations est localisée dans le sol de fondation (figure 3.20). La cinéma-

tique de la structure converge vers celle d’un pendule rigide sur sol souple. Pour les valeurs

intermédiaires de σ, le déplacement se répartit entre déplacement relatif de l’oscillateur et


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σ=ω1h/β

S

Re(

ω1* )/

ω1

oscillateur à 1 ddlbloc rigide

2 3 5 10

1

0.5

η décroissant

(a) Fréquence de résonance.

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σ=ω1h/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent

η = 0.5

η = 1

η = 2

η = 3 η = 5

η dé

croi

ssan

t

(b) Facteur d’amortissement modal.

Fig. 3.19 – Evolution de la fréquence de résonance et du facteur d’amortissement modal enfonction du contraste de rigidité entre la structure et le sol κc et de l’élancement η (ν = 0.3,δ = 0.15, ξ1 = 0). En traits pleins Re(ω∗

1)/ω1 et ξ1, en tiretés idem en supposant l’oscillateurrigide.


10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η = 1

σ10

−110

010

110

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η = 2

σ

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η = 3

σ10

−110

010

110

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η = 5

σ

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η = 10

σ10

−110

010

110

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

σ = ω1h/β

S

légende

déplacement total = 1

de la translation de corps rigide

contributiondu déplacement interne

de la rotation de corps rigide

Fig. 3.20 – Cinématique modale : part du déplacement interne (relatif), de la translationet de la rotation de corps rigide dans l’amplitude du déplacement total de l’oscillateur à undegré de liberté. En rouge, évolution du ratio translation/rotation de la fondation (normaliséen σ → 0).


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8η = 1

σ

déph

asag

e (r

ad)

rotation de la fondationdéplacement relatif

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5η = 2

σ

déph

asag

e (r

ad)

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35η = 3

σ

déph

asag

e (r

ad)

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

0.2η = 5

σ

déph

asag

e (r

ad)

10−1

100

101

102

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07η = 10

σ

déph

asag

e (r

ad)

Fig. 3.21 – Déphasage du déplacement relatif (interne) et de la rotation de corps rigide parrapport à la translation de corps rigide de la fondation.


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5η = 1

σ

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

ξ1 = 0.05

ξ1 = 0.01

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

η = 2

σ

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05η = 3

σ

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05η = 5

σ

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05η = 7

σ

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05η = 10

σ

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

Fig. 3.22 – Influence du facteur d’amortissement structurel ξ1 sur le facteur d’amortissementdu système sol structure ξ1.


mouvements de corps rigide de la fondation. Comme l’indique le tracé de |u∗0|/|hθ∗0| (courbes

en rouge normalisées par rapport à σ → 0), la part relative de la rotation et de la translation

dans le mouvement de la fondation varie peu avec σ, dès que l’élancement est supérieur à 2.

Pour ces oscillateurs, la répartition entre rotation et translation de la fondation est donc fon-

damentalement déterminée par les caractéristiques géométriques et inertielles de la structure,

indépendamment de la souplesse du sol.

La figure 3.19(b) illustre un autre point essentiel de l’interaction sol structure : la contribu-

tion de la radiation d’énergie dans le sol au facteur d’amortissement modal du système. Pour

σ = 0, le facteur d’amortissement du système est égal à l’amortissement structurel (ici ξ1 = 0).

Pour σ → +∞, ξ1 tend vers le facteur d’amortissement du bloc rigide sur sol souple et est

entièrement contrôlé par l’amortissement radiatif.

Influence de l’élancement. Les grandes tendances observées pour le bloc rigide sur sol

souple restent valables pour l’oscillateur à un degré de liberté :

– l’élancement favorise la rotation de la fondation au détriment de sa translation ; la par-

ticipation de cette dernière au déplacement total de l’oscillateur est négligeable dès lors

que η est supérieur à 5 (figure 3.20) ;

– Dans la suite logique du commentaire qui précède, on observe que la contribution de

l’amortissement radiatif diminue très rapidement avec l’élancement, d’une part parce que

la rotation de la fondation dissipe beaucoup moins d’énergie que sa translation, mais

aussi parce que la fréquence adimensionnelle et donc la réponse visqueuse de la fondation

diminue quand l’élancement augmente. Elle est négligeable et sans doute indécelable in-

situ (compte tenu des incertitudes habituelles pesant sur l’amortissement structurel)

pour η > 2, alors qu’elle conduit au sur-amortissement des structures très ramassées

(η = 0.5) ;

Par ailleurs, à σ donné, l’interaction est d’autant plus forte que la structure est élancée :

diminution de fréquence (par rapport au sol infiniment rigide) supérieure et niveaux d’amor-

tissement et de déplacement de corps rigide plus proches des niveaux limites du bloc rigide sur

sol souple correspondant (figures 3.19(a), 3.19(b) et 3.20). Sur ce plan cependant l’influence

de l’élancement reste modérée.

Influence des autres paramètres. On ne revient pas ici sur le paramètre de densité et le

coefficient de Poisson. L’influence de ces paramètres est faible et de même nature que dans le

cas du bloc rigide. Reste le facteur d’amortissement structurel ξ1 compris en général entre 1 et

5 %. Ce paramètre n’interagit ni avec la diminution de fréquence ni avec le mouvement de corps

rigide de la fondation, qui caractérisent l’interaction sol structure. Son influence sur le facteur

d’amortissement du système est illustrée par la figure 3.22. Comme il a été dit précédemment,

le facteur d’amortissement du système sol structure varie entre le facteur d’amortissement

structurel, quand l’interaction sol structure est négligeable, et le facteur d’amortissement, de


nature entièrement radiatif, de l’oscillateur rigide sur sol souple. Entre ces deux cas extrêmes, la

contribution de l’amortissement structurel est d’autant plus faible que σ est grand donc que la

part de la déformation structurelle est faible. Inversement, la contribution de l’amortissement

radiatif, maximale quand la totalité de la déformation est concentrée dans le sol (σ → +∞),

est d’autant plus forte que σ est grand donc que la déformation est redistribuée depuis la

structure vers le sol. L’évolution de ξ1 avec le contraste de rigidité σ est la somme de ces deux

effets antagonistes :

– aux élancements faibles (η ≤ 2) la diminution de la contribution de l’amortissement

structurel est plus que compensée par la forte dissipation d’énergie radiative de la trans-

lation de la fondation et quelque soit la valeur de σ (donc quelque soit le sol), l’amortis-

sement du système sol structure est toujours supérieur à l’amortissement de la structure

seule ;

– à fort élancement (η ≥ 5), le mouvement de corps rigide, dominé par la rotation, est très

peu amorti. Au final, l’interaction sol structure se traduit toujours par une diminution

du facteur d’amortissement ;

– pour les valeurs d’élancement intermédiaires (2 < η < 5), l’interaction sol structure

conduit à une diminution du facteur d’amortissement si la structure est très amortie

(ξ1 = 5 %), à une augmentation dans le cas contraire (ξ1 = 1 %).


3.2.3 Poutre de cisaillement sur sol souple

On étudie dans cette section l’interaction entre le sol et une structure dont le comportement

dynamique peut être modélisé par celui d’une poutre de cisaillement pur caractérisée par sa

masse linéique m, sa hauteur H, sa rigidité en cisaillement kc et son inertie massique de

section J . La fondation, rigide et superficielle, a pour rayon (équivalent) r0. Pour les besoins

de l’analyse dimensionnelle, on introduit la densité du bâtiment ρb = m/(πr20).

3.2.3.1 Equations modales de la poutre de cisaillement sur sol souple

Fig. 3.23 – Poutre de ci-saillement sur sol souple :notations.

u0

u

θ0 z

KH

KθCH Cθ

Les équations modales de la poutre de cisaillement sur sol souple ont été écrites sous

forme réduite au chapitre 3.8(b) (section 2.3.3.1, équation (2.175)). La jième pulsation propre

complexe ω∗j et la déformée modale associée φ∗

j (z) = A∗1j cos(µ∗

Cjz/H)+A∗2j sin(µ∗

Cjz/H) sont

telles que : t∗c(1 − cos µ∗Cj)µ

∗Cj t∗cµ

∗Cj sin µ∗

Cj − 1

−µ∗Cj

1 + s∗c(1 − CH


Cj µ∗Cj

1 + s∗c(1 − CH

1 µ∗2Cj)sinµ∗

Cj

+s∗c sinµ∗Cj +s∗c(cos µ∗

Cj − 1)

= 0 (3.34)

et266664 t∗c(1 − cos µ∗Cj)µ

∗Cj t∗cµ

∗Cj sinµ∗

Cj − 1

−µ∗Cj

1 + s∗c(1 − CH


Cj µ∗Cj

1 + s∗c(1 − CH

1 µ∗2Cj)sinµ∗

Cj

+s∗c sinµ∗Cj +s∗c(cos µ∗

Cj − 1)

3777758>><>>:A∗1j

A∗2j

9>>=>>; = 0 , (3.35)


où ont été introduites les grandeurs adimensionnelles :

µ∗Cj =

π

2δ∗Cj =

ω∗j HÈkc/m

, t∗c =kc

H(KH + iω∗j CH)

et s∗c =Hkc

Kθ + iω∗j Cθ

.

On rappelle que si le sol de fondation est parfaitement rigide relativement à la structure, et si

l’inertie de section est négligeable (CH1 = 0), alors δ∗Cj = δCj = (2j − 1) (équation (2.160)). Il

vient donc :

µ∗Cj =

π

2

ω∗j

ω1,

où ω1 = π/(2H)È

kc/m est la pulsation fondamentale de la poutre de cisaillement (supposée

sans inertie de section) sur sol rigide.

Par ailleurs, pour une fondation rigide et superficielle, située sur un sol homogène, les fonctions

d’impédances (qui apparaissent aux dénominateurs de t∗c et s∗c) s’écrivent sous la forme :

KH + iω∗j CH = KH,stat(kH(a∗0j , ν) + ia∗0jcH(a∗0j , ν)) ,

Kθ + iω∗j Cθ = Kθ,stat(kθ(a

∗0j , ν) + ia∗0jcθ(a

∗0j , ν)) .

3.2.3.2 Analyse dimensionnelle de la poutre de cisaillement sur sol souple

Suivant la même démarche que pour l’oscillateur à un degré de liberté, on reformule les

équations modales en introduisant les expressions des rigidités statiques de la fondation KH,stat

et Kθ,stat (tableau 3.1) :

a∗0j =µ∗

Cjκc

η,

t∗c =(2 − ν)π

8

κ2cδ

η

1

kH(a∗0j , ν) + ia∗0jcH(a∗0j , ν)), (3.36)

s∗c =3(1 − ν)π

8

κ2cδη

kθ(a∗0j , ν) + ia∗0jcθ(a

∗0j , ν))

, (3.37)

où :

– η = H/r0, δ = ρb/ρs, sont les paramètres d’élancement, de densité, déjà introduits pour

le bloc rigide ;

– κc =

Èkc/m

βS=

2

π

ω1H

βSest le paramètre pertinent pour peser la rigidité de la structure

par rapport à celle du sol.

En réinjectant ces expressions dans l’équation (3.35), on exprime ainsi l’influence de l’interac-

tion sol structure sur :

– les fréquences propres sur sol souple rapportées à la fréquence fondamentale sur sol rigide

et en l’absence d’inertie de section (ω∗j /ω1 = 2µ∗

Cj/π),

– les déformées modales sur sol souple,


en fonction du nouveau jeu de paramètres adimensionnels κc, η, δ, CH1 et ν.

Introduisant enfin les expressions des coefficients de rigidité et d’amortissement dynamique

(kα et cα, α = H ou θ) données par le modèle de cône (tableau 3.3), on résout numériquement

l’équation modale de manière à quantifier l’effet de ces paramètres adimensionnels. Les résul-

tats de cette étude paramétrique sont livrés dans ce qui suit à commencer par ceux relatifs

au mode fondamental. Pour ce dernier, en effet, les tendances décrites pour l’oscillateur à un

degré de liberté sur sol souple sont retrouvées quasiment à l’identique. L’analyse des modes su-

périeures, plus complexe, est présentée séparément. L’inertie de section est systématiquement

négligée (CH1 = 0).

3.2.3.3 Mode fondamental

Contraste de rigidité. κc, de la même manière que σ pour l’oscillateur à un degré de

liberté, exprime le contraste de rigidité (en racine) entre la structure et le sol. Si κc → 0, le sol

est extrêmement rigide par rapport à la structure et l’interaction sol structure est négligeable ;

inversement, si κc → +∞, la structure est infiniment rigide relativement au sol et interagit

avec lui à la manière d’un bloc rigide :

– Pour κc < 0.2, les effets de l’interaction sol structure sur la diminution de fréquence (fi-

gure 3.24(a)), le facteur d’amortissement radiatif (figure 3.24(b)), et la déformée modale

(figures 3.25, 3.26 et 3.27) sont négligeables quelque soit l’élancement ;

– inversement, au delà de κc ≃ 8 − 10, la fréquence propre et le facteur d’amortissement

du système sol structure, ainsi que la cinématique modale coïncident avec ceux du bloc

rigide sur sol souple ;

– dans les cas intermédiaires, la fréquence propre du système sol structure est sensiblement

inférieure à celle de la structure fondée au rocher (sol infiniment rigide) ; la déformation

est répartie de manière comparable entre la structure et le sol de sorte que le facteur

d’amortissement agrège les contributions de l’amortissement structurel et de l’amortis-

sement radiatif.

La figure 3.28 illustre une autre propriété très importante du mode fondamental sur sol souple.

On y trouve, pour un éventail de valeurs de κc et η balayant toutes les situations courantes,

l’amplitude et le déphasage (par rapport à la translation de la fondation) de la composante de

déplacement interne du mode complexe sur sol souple. On constate, quelque soit l’élancement

et la rigidité relative du sol et de la structure, que :

– d’une part l’amplitude (c’est à dire la norme ‖ ‖) du déplacement modal interne selon la

hauteur de la structure présente une allure identique à la déformée du mode fondamental

sur base rigide ;

– d’autre part, la phase du déplacement modal interne est sensiblement constante sur la

hauteur de la poutre.


Au bilan donc, il apparaît que le mode de la structure sur base souple, quoique oscillant à une

fréquence très différente de la fréquence sur base rigide, est composé, quelque soit le niveau

d’interaction, d’un déplacement relatif de tous les points de la structure vibrant en phase et

selon une déformée remarquablement proche de la déformée sur base rigide, auquel s’ajoute le

déplacement de corps rigide imposé par les mouvements de la fondation, soit avec les notations

du chapitre 2 (section 2.3.3) :

φ∗1(z) ≃ φ1(z) + u∗

01 + zθ∗01 . (3.38)

On a là confirmation d’une propriété anticipée au chapitre 2. Elle signifie que la distribution

des déformations à l’intérieur de la structure ne dépend pas de l’importance de l’interaction

entre le sol et la structure ; en d’autres mots, l’interaction sol structure modifie de manière

significative l’amplitude des déformations structurelles, du fait de leur redistribution entre sol

et structure et également du changement du facteur d’amortissement, mais n’agit pas sur la

manière dont ces déformations sont localisées sur la hauteur de la structure dans le mode

fondamental. D’un point de vue pratique, c’est un résultat important car il permet d’affirmer

que l’analyse d’une structure donnée, aussi bien au stade de la conception parasismique que

de la réévaluation a posteriori, n’est pas fondamentalement remise en cause par l’éventualité

d’une forte interaction avec le sol, tout du moins si le système sol structure est conçu pour

répondre essentiellement selon son mode fondamental.

Par ailleurs, avec cette propriété du déplacement relatif, il est possible d’avoir une vision

synthétique des caractéristiques du mode complexe simplement à partir des valeurs relatives,

de la phase du mouvement relatif en un point quelconque de la structure, ainsi que de la phase

de la translation (tamis) et de la rotation (roulis) de la fondation rigide. Les résultats de ce

calcul sont donnés à la figure 3.29 pour le déplacement relatif en tête et un large panel de

valeurs de l’élancement :

– Les déphasages sont évidemment proches de 0 lorsque que κc tend vers 0, c’est à dire

lorsque la fréquence adimensionnelle a∗01 donc la réponse visqueuse de la fondation

tendent vers 0. On constate cependant qu’une avance (en général) de phase signifi-

cative par rapport à la translation de la fondation, d’une part du déplacement relatif

(traits pleins), d’autre part de la rotation de la fondation (tiretés), émerge à des valeurs

de κc pour lesquelles l’influence de l’interaction sol structure sur la pulsation, le facteur

d’amortissement et la déformée reste faible.

– Le calcul des fonctions d’impédance présenté à la section 3.1.3.4 a montré que la réponse

visqueuse en rotation de la fondation est très faible aux basses et moyennes fréquences

(adimensionnelles). Par conséquent, le déplacement relatif et la rotation de la fondation

sont quasiment en phase dans un grand nombre de configurations de paramètres pour

lesquelles la fréquence adimensionnelle (croissant de 0 en l’absence d’interaction vers la

valeur du bloc rigide pour une interaction prépondérante) reste faible, soit : quelque soit


l’élancement à faible interaction sol structure, pour les élancements forts sur toute la

gamme de variation de κc, c’est à dire quelque soit l’importance de l’interaction.

Ces propriétés du mode complexe se traduisent évidemment par un déphasage à l’intérieur

même de la structure dès lors qu’on s’intéresse au déplacement absolu (celui mesuré expé-

rimentalement). Son allure, donnée pour différentes valeurs de η aux figures 3.25, 3.26 et

3.27 montre, si on prend comme référence le déplacement en tête, un déphasage fortement

concentré à la base de la structure (plus on s’élève dans la structure, plus la rotation de corps

rigide et le déplacement relatif, tous deux quasi en phase, représentent une part importante

du déplacement total, au détriment de la translation de corps rigide fortement déphasée). Ce

résultat théorique qualitatif est systématiquement corroboré par les observations in-situ (cf.

Hans, 2002).

Effet de l’élancement. L’effet de l’élancement sur le mode fondamental de la poutre de

cisaillement est identique au cas de l’oscillateur à un degré de liberté. Ce résultat est sans

surprise au vu de ce qui a été dit au paragraphe précédent : on a montré au chapitre 2 que

l’interaction entre le sol et une structure quelconque, dont le déplacement relatif dans le mode

sur sol souple s’effectue selon un schéma identique au mode sur base rigide, peut être analysée

à l’aide d’un oscillateur à un degré de liberté équivalent au premier mode de la structure. On

reviendra plus en détail sur cette analogie au paragraphe suivant.

On a donc pour résumer les propriétés suivantes :

– A κc constant, une structure élancée interagit avec le sol d’avantage qu’une structure

plus ramassée (noter la diminution plus importante de la fréquence sur la figure 3.24(a)).

Cette différence est cependant modérée, voire imperceptible pour la déformée modale

(comparer à κc donné, la part de mouvement de corps rigide et de déformation de la

structure dans chacune des figures 3.25, 3.26 et 3.27). A noter que deux bâtiments de

structure en plan identique mais de hauteur différente et fondés sur un même sol ont

même κc ; on en déduit que le plus haut des deux subit un peu plus d’interaction sol

structure.

– Par ailleurs, la contribution de l’amortissement radiatif au facteur d’amortissement du

système sol structure diminue fortement avec l’élancement (figure 3.24(b)). Ceci résulte,

comme pour le bloc rigide ou le modèle à un degré de liberté, d’une part de ce que le

mouvement de corps rigide d’une structure élancée privilégie le roulis au tamis (figures

3.25, 3.26 et 3.27), d’autre part d’une valeur faible de la fréquence adimensionnelle

et donc de la réponse visqueuse de la fondation. Inversement, la réponse fortement

visqueuse des structures peu élancées se traduit par un déphasage important entre tamis,

roulis et déplacement relatif (figure 3.29). Pour η = 0.5 et κc = 2, déplacement relatif et

tamis de la fondation sont en quadrature de phase ; l’avance de phase du déplacement

interne vaut encore π/4 pour η = 1, π/6 pour η = 2.


Oscillateur à un degré de liberté équivalent Les développements du chapitre 2 ont

permis d’établir que le système sol structure est équivalent, au voisinage de son mode fonda-

mental, à un système dans lequel la structure est remplacée par un oscillateur à un degré de

liberté dont les caractéristiques sont déduites de celles du mode fondamental de la structure

sur sol rigide, soit masse et hauteur équivalente M1 et H1, pulsation propre et amortissement

structurel ω1 et ξ1, avec pour une poutre de cisaillement :

H1 =2

πH M1 =

8

π2mH . (3.39)

Ce principe du système à un degré de liberté équivalent est un raisonnement approché basé

sur des approximations mises en évidence au chapitre 2 et dont on rappelle la formulation :

– la composante de déplacement relatif (interne) dans le mode fondamental sur sol souple,

suit un schéma identique (est en fait proportionnelle) au mode fondamental sur sol rigide,

ce que traduit l’équation (3.38) ;

– les caractéristiques inertielles de la structure et de son modèle à un degré de liberté

équivalent sont supposées suffisamment proches du point de vue des mouvements de

corps rigide, ce qu’expriment les relations M1 ≈ Mt, M1H1 ≈ St et M1H21 ≈ It.

Les résultats présentés aux figures 3.30 et 3.31 permettent de juger quantitativement des

valeurs de l’élancement η et du contraste de rigidité κc pour lesquelles ces approximations

sont acceptables du point de vue des applications pratiques. Sont comparées, les propriétés

du mode fondamental :

– en traits pleins, d’un système du type poutre de cisaillement sur sol souple de paramètres

κc, η, δ et ν ;

– en tiretés, d’un modèle à un degré de liberté dont les caractéristiques équivalentes,

déduites de (3.39), sont définies par les paramètres σeq = κc, ηeq = 2πη, δeq = 4

π δ et ν.

– Enfin, les courbes présentées en pointillés correspondent au calcul approché des proprié-

tés modales du modèle à un degré de liberté par la méthode des modes réels, c’est à dire

qu’on a testé les expressions approchées obtenues au chapitre 2 :

1

‖ω∗1‖2

≈ 1

ω21

+1

ω2H

+1

ω2θ

et ξ1 ≈‖ω∗

1‖ω1

3

ξ1 +

‖ω∗1‖

ωH

3

ξH +

‖ω∗1‖

ωθ

3

ξθ . (3.40)

On constate que :

– Les caractéristiques modales de la poutre de cisaillement sur sol souple et du système

à un degré de liberté équivalent concordent de manière excellente tant que l’interaction

sol structure est modérée (typiquement κc < 3), soit tant que le déplacement de corps

rigide reste faible devant le déplacement interne de la structure.

– Pour les élancements moyens et forts (η > 1), la divergence entre poutre de flexion et

modèle équivalent reste très faible quelque soit le niveau d’interaction : négligeable pour

la fréquence, au plus de l’ordre de 5 % pour le facteur d’amortissement.


– Le calcul par les modes réels (équations (3.40)) donne, comme prévu au chapitre 2,

également une bonne estimation de la pulsation et de l’amortissement tant que l’inter-

action sol structure est faible ou modérée (ω1/ωH ≪ 1 et ω1/ωθ ≪ 1, typiquement pour

κc < 3), et/ou si ξH et ξθ sont faibles (c’est à dire si la structure est élancée). Dans le cas

où ces conditions ne sont pas remplies, l’erreur sur le facteur d’amortissement n’excède

pas 10 à 20 % à forte interaction sol structure. A l’exception du cas particulier η = 0.5,

les valeurs de fréquence sont remarquablement proches sur toute la gamme de variation

de κc et quasi indiscernables pour η ≥ 2.

Au bilan, il apparaît que l’analogie avec un modèle à un degré de liberté capte l’essentiel du

phénomène d’interaction, au voisinage du mode fondamental, entre le sol et une structure

travaillant en cisaillement, à l’exception toutefois des systèmes très fortement amortis, c’est à

dire pour les structures très faiblement élancées. Cette propriété justifie l’utilisation du modèle

à un degré de liberté dans l’étude des interactions multiples (« site-ville ») du chapitre 4, sans

perte substantielle de généralité.

D’autre part, les relations (3.40) qui introduisent une approximation supplémentaire en né-

gligeant le couplage des modes réels, apparaissent comme suffisantes dans une large gamme

de paramètres, en particulier à interaction sol structure modérée, y compris pour estimer le

facteur d’amortissement. Elles constituent des expressions simples et d’une grande utilité dans

de nombreuses situations réelles.


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω1* )/

ω1

bloc rigidepoutre de cisaillement

η décroissant 10

5 3 2 1

0.5


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent (

mod

e 1)

η = 0.5

η = 1

η = 2

η = 3

η = 5

η dé

croi

ssan

t


Fig. 3.24 – Evolution de la fréquence de résonance et du facteur d’amortissement modal enfonction du contraste de rigidité entre la structure et le sol κc et de l’élancement η (ν = 0.3,δ = 0.15, ξ1 = 0). En traits pleins Re(ω∗

1)/ω1 et ξ1, en tiretés idem en supposant la poutrerigide.


0 0.5 1

κc = 0

−0.4−0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

poutre de cisaillementcomportement rigide

0 0.5 1

κc = 0.5

−0.4−0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 1

−0.4−0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 2

−0.4−0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 5

−0.4−0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 10

−0.4−0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

Fig. 3.25 – Déformée du mode fondamental de la poutre de cisaillement sur sol souple (η = 2,δ = 0.15, ν = 1/3) – Pour chaque valeur de κc : vignette de gauche, déphasage par rapportau sommet ; vignette de droite, amplitude du déplacement de la poutre (trait plein) et dumouvement de corps rigide (tiretés) – comparaison avec le comportement du bloc (tiretés-pointillés).


0 0.5 1

κc = 0.5

−0.5 0 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H


0 0.5 1

κc = 2

−1 0 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 5

−0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 7

−0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 10

0 0.05 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 30

0 0.05 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

Fig. 3.26 – idem figure 3.25 avec η = 1.

0 0.5 1

κc = 0

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H


0 0.5 1

κc = 0.5

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 1

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 2

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 5

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κc = 10

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H



0 0.5 1

κc = 0

η = 1η = 2η = 3η = 5

0 0.02

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

z/H

0 0.5 1

κc = 0.5

0 0.02

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9z/

H

0 0.5 1

κc = 1

0 0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

z/H

0 0.5 1

κc = 2

0 0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

z/H

0 0.5 1

κc = 5

0 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

z/H

0 0.5 1

κc = 10

0 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

z/H

Fig. 3.28 – Déplacement relatif (interne) selon le mode fondamental du système sol structure– Pour chaque valeur de κc et de η : à gauche, déphasage par rapport à la translation (tamis)de la fondation ; à droite, amplitude du déplacement relatif.


10−1

100

101

102

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

κc

déph

asag

e (r

ad)

η = 0.5

roulis/tamisdépl. interne/tamisroulis/tamis (bloc rigide)

10−1

100

101

102

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

κc

déph

asag

e (r

ad)

η = 1

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

κc

déph

asag

e (r

ad)

η = 2

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

κc

déph

asag

e (r

ad)

η = 3

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

κc

déph

asag

e (r

ad)

η = 5

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

κc

déph

asag

e (r

ad)

η = 10

Fig. 3.29 – Phase du mode fondamental de la poutre de cisaillement sur sol souple (ν = 0.3,δ = 0.15) – déphasage entre déplacement interne (relatif) en tête et translation (tamis) dela fondation (traits pleins) ; déphasage entre rotation (roulis) et translation de la fondation(tiretés) ; déphasage entre rotation (roulis) et translation de la fondation dans l’hypothèsed’une poutre rigide (tiretés-pointillés).


10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 0.5

κc

fréqu

ence

pro

pre

exact 1ddl équ. 1ddl équ.+modes réels

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 1

κc

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 2

κc

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 3

κc

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 5

κc

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 10

κc

fréqu

ence

pro

pre

Fig. 3.30 – Comparaison poutre de cisaillement/oscillateur à un degré de liberté équivalent :mode complexe de la poutre de cisaillement (trait plein), mode complexe de l’oscillateur à 1ddléquivalent (courbes tiretées), mode réel de l’oscillateur à 1ddl équivalent (pointillés) (ν = 0.3,δ = 0.15, ξ1 = 0).


10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 0.5

κc

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

exact 1ddl équ. 1ddl équ.+modes réels

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 1

κc

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35η = 2

κc

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

η = 3

κc

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03η = 5

κc

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3 η = 10

κc

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

Fig. 3.31 – idem figure 3.30 pour le facteur d’amortissement modal ξ1.


3.2.3.4 Modes supérieurs

Il est beaucoup plus difficile de présenter de manière exhaustive et synthétique l’influence

de l’interaction sol structure sur les modes supérieurs compte tenu de la variété des situations

rencontrées. Les propriétés modales du système sol structure varient, selon le contraste de

rigidité κc, entre deux états limites (théoriques) bien définis (cf. tableau 2.2 page 100) :

– En l’absence d’interaction avec le sol (κc → 0), les modes du système sont ceux de la

poutre sur appui parfaitement rigide (encastrement parfait dans le sol).

– Lorsque l’interaction est prépondérante, c’est à dire lorsque le sol est infiniment souple

par rapport à la structure (κc → +∞), les modes convergent vers ceux de la poutre sur

appui simple (rotation et translation horizontale libres ; les degrés de liberté découplés

des précédents, à savoir la torsion et la translation verticale, étant bloqués par hypothèse)

auxquels s’ajoutent les deux modes de corps rigide calculés au 3.2.1.

La transition entre ces deux états (c’est à dire pour les valeurs intermédiaires de κc) est simple

et régulière si on néglige l’amortissement radiatif. Les résultats de ce calcul correspondent aux

courbes en tiretés-pointillés des figures 3.32(a) à 3.38(a) (notez que les valeurs de fréquence

sont toutes normalisées par rapport à la fréquence fondamental sur sol parfaitement rigide) :

– On observe, conformément à l’intuition, la convergence progressive, lorsque κc croît vers

l’infini, des deux premiers modes vers les deux modes de corps rigide, du troisième mode

vers le premier mode de la poutre de cisaillement sur appui simple, du quatrième mode

vers le deuxième mode sur appui simple, et ainsi de suite. Il découle immédiatement

de ce qui précède que plus on s’élève dans l’ordre des modes, moins la diminution de

fréquence relativement à la fréquence sur sol parfaitement rigide est importante.

– L’intervalle des valeurs de κc significatives est identique pour tous les modes, y compris

le fondamental ; L’effet de l’interaction sol structure est négligeable tant que κc < 0.2.

Pour κc > 8, les modes de corps rigide et de poutre sur appui simple sont atteints.

L’analyse est plus complexe si on tient compte de l’amortissement radiatif prévu par le modèle

de cône. Comme on l’a vu précédemment, son effet sur le mode fondamental est modéré à

l’exception des systèmes les plus ramassés (η = 0.5). Pour les modes supérieurs, en revanche,

le rôle de l’amortissement est prépondérant pour tous les élancements courants de sorte que

l’influence de l’interaction sol structure diverge fortement, y compris quantitativement, de

celle décrite ci-dessus pour un système non-amorti. Les résultats de l’étude paramétrique sont

présentés aux figures 3.32 à 3.38. Pour chaque valeur d’élancement (η = 0.5, 1, 2, 3, 5, 7

et 10), une première figure (a) donne l’évolution de la pulsation propre de résonance des 6

premiers modes en fonction du paramètre κc. Les courbes en traits pleins correspondent aux

calculs « exacts », tenant compte de l’amortissement radiatif, et se distinguent des courbes

« non-amorties » en tiretés-pointillés, ainsi que des deux modes de corps rigide en tiretés

noirs. Notez que toutes les courbes sont normalisées par rapport au fondamental. La deuxième

figure (b) traduit l’évolution du facteur d’amortissement des 6 premiers modes de la poutre


de cisaillement sur sol souple ; la valeur constante du facteur d’amortissement des modes de

corps rigide est représentée en tiretés noirs. Ces courbes montrent la complexité et la variété

des situations rencontrées. Quelques grandes tendances ou spécificités peuvent être dégagées :

– On observe un effet de « seuil » : les fréquences propres des modes supérieurs restent

plus ou moins inchangées tant que κc est en dessous de 6, environ ; le basculement des

fréquences sur appui rigide vers celles sur appui infiniment souple se produit dans un

gamme très étroite autour d’une valeur remarquablement peu sensible à l’élancement,

κc ≃ 7. Cette effet de seuil s’estompe légèrement mais demeure prononcé pour les struc-

tures très élancées. On vérifie, par exemple sur la figure 3.39, que cette valeur pivot varie

linéairement avec le paramètre de densité δ, comme les paramètres t∗c et s∗c traduisant

l’assouplissement du système en translation et rotation (équations (3.36) et (3.37)).

– La zone de forte variation de fréquence est associée à un pic des facteurs d’amortisse-

ment modaux (sauf pour le mode convergeant vers le deuxième mode de corps rigide).

La valeur au pic, généralement comprise entre 10 et 30 % décroît lentement avec l’ordre

du mode mais varie peu avec l’élancement de la structure. Ce résultat distingue net-

tement les modes supérieurs du mode fondamental qui, on le rappelle, génère très peu

d’amortissement radiatif aux forts élancements.

– En dehors d’un pic étroit (κc ∈ [7; 8]), la contribution de l’amortissement radiatif aux

facteurs d’amortissement des modes d’ordre supérieur ou égal à 3 est faible ou modé-

rée (< 10 %). Le mode présentant une cinématique d’ordre 2 (qui n’est pas, avec les

conventions des figures, nécessairement le deuxième mode compte tenu des éventuelles

« interversions », cf. alinéa suivant), est en revanche fortement amorti, y compris à in-

teraction modérée (κc < 3) et fort élancement (η > 3).

– Par ailleurs il est remarquable de constater que les courbes de fréquences de résonance

peuvent croître ou décroître quand κc augmente et dans certains cas se croiser. Ainsi,

d’éventuelles « interversions » de modes surviennent dès que η ≤ 5. Pour η = 2, par

exemple, la deuxième pulsation de résonance soit Re(ω∗2) croît avec κc vers la pulsa-

tion du premier mode sur appui simple, tandis que Re(ω∗3) converge vers la pulsation

(nulle) du deuxième mode (sur-amorti) de corps rigide (cf. figure 3.34(a)). Notons que

deux modes dont les courbes de fréquence sont sécantes, se différencient, au point d’in-

tersection, par leur facteur d’amortissement et leur déformée, de sorte qu’il n’y a pas

d’ambiguïté sur l’identification des modes au-delà du point d’intersection (c’est à dire

pour les valeurs supérieures de κc).

Ces résultats montrent, une assez forte sensibilité du modèle aux paramètres, particulièrement

autour de la valeur pivot κc = 7 et pour les élancements tels que l’un, au moins, des deux modes

de corps rigide est sur-amorti. Ce manque de robustesse apparent nous conduit à revenir sur

l’hypothèse de fondation rigide qui induit un rôle prépondérant de l’amortissement aux modes

supérieurs. Il ressort de la littérature sur le sujet, dont quelques éléments ont été rapidement


discutés à la section 3.1.4.4, que le paramètre discriminant du comportement rigide ou flexible

de la fondation est (pour une configuration structurelle donnée) la fréquence adimensionnelle

a0 = ωr0/βS = 2πr0/λS . Conformément à l’intuition en effet, les basses fréquences, c’est

à dire les valeurs de la fréquence (adimensionnelle) pour lesquelles le rayon de la fondation

(r0) est petit devant la grandeur caractéristique des déplacements du sol (λS , longueur des

ondes S), favorisent un comportement de bloc rigide de la fondation. Inversement aux hautes

fréquences, la fondation accommode des déplacements de courte longueur d’onde et l’hypothèse

de fondation rigide n’est pas réaliste. Ceci étant, il est difficile de déterminer avec plus de

précision l’intervalle de fréquence dans lequel l’hypothèse de fondation rigide est acceptable,

puisque celui-ci est différent pour chaque système de fondation et configuration structurelle.

Les figures 3.40(a) à 3.40(g) situent, pour un échantillon de valeurs d’élancement, les courbes

de variation (en module cette fois) des 6 premières fréquences propres complexes par rapport

à 4 domaines délimités par les courbes à fréquence adimensionnelle constante a0 = 2π/10,

2π et 2π ∗ 10. Pour fixer les idées, dans le premier domaine (a0 < 2π/10 → r0 ≪ λS), on

peut supposer que l’hypothèse de fondation rigide s’applique sans difficulté à la plupart des

situations réelles. Dans le deuxième domaine (a0 < 2π → r0 < λS), l’hypothèse de fondation

rigide reste vraisemblable mais s’apprécie au cas par cas de sorte que la portée générale des

résultats présentés doit être nuancée. Au-delà d’une fréquence adimensionnelle égale à 2π

(r0 > λS), les modes obtenus grâce au modèle de cône (ou tout autre calcul d’impédance de

fondation rigide) ont une réalité physique discutable. On vérifie sans surprise que la fréquence

adimensionnelle, dont l’expression en fonction des paramètres adimensionnels et du rapport

de la fréquence propre à la fréquence fondamentale sur sol rigide s’écrit

a∗0j =µ∗

Cjκc

η=

π

2

ω∗j

ω1

κc

η,

augmente avec l’ordre du mode (j) et diminue avec l’élancement. L’évolution avec κc est

sensiblement monotone croissante, depuis 0 sur sol parfaitement rigide vers les valeurs sur sol

parfaitement souple, valeurs finies dans le cas des modes de corps rigides (cf. 3.2.1), infinies

pour les modes de la poutre sur appui simple (1.1942(ω∗j /ω1) → 32, 52, 72, . . . et κc → +∞).

Par conséquent, la pertinence de l’hypothèse de fondation rigide diminue lorsque la structure

est peu élancée, l’interaction sol structure est forte, et l’ordre du mode considéré est élevé.

Analysant plus en détail les figures 3.40(a) à 3.40(g), on aboutit aux conclusions suivantes :

– L’hypothèse de fondation rigide s’applique de manière robuste (r0 ≪ λS) et quelque soit

le niveau d’interaction (c’est à dire quelque soit κc), au mode fondamental des systèmes

dont les structures sont d’élancement supérieurs à 3 ; à noter que pour ces systèmes,

l’amortissement radiatif maximal atteint est de l’ordre de 10 % (figure 3.24(b)). Pour η

compris entre 1 et 2 , la longueur caractéristique de variation des déplacements dans le sol

λS reste nettement supérieure au rayon de la fondation r0 (figure 3.40(b)). En revanche,


aux très faibles élancements (η = 0.5, figure 3.40(a)), la fréquence adimensionnelle du

fondamental dépasse pour κc > 2 la valeur 2π définissant la limite supérieure au-delà de

laquelle l’hypothèse de fondation rigide n’est plus réaliste.

– Le cas du deuxième mode est déjà plus problématique. Pour η > 4, la fréquence adimen-

sionnelle reste dans la gamme d’applicabilité « étendue » de l’hypothèse de fondation

rigide (|a∗02| < 2π), quelque soit le niveau d’interaction, le cas échéant à l’exception d’une

bande étroite de valeurs de κc correspondant à la zone de transition rapide, autour de

κc = 7 (3.40(e)). A noter que de très forts facteurs d’amortissement (d’origine radia-

tive) peuvent être atteints, y compris à ces élancements (figure 3.38(b) par exemple).

Pour η ≤ 3, la fréquence adimensionnelle du deuxième mode de corps rigide, vers lequel

converge le deuxième mode du système sol structure (sauf inversion), étant supérieure à

2π, le réalisme de l’hypothèse de fondation rigide est contestable au-delà d’une certaine

valeur de κc, comprise entre 0.7 (η = 0.5) et 4 (η = 3). La transition rapide vers le

mode de corps rigide (ou un mode de poutre sur appui simple dans le cas où survient

une inversion) qui caractérise le comportement du modèle est systématiquement rejetée

en dehors du domaine dans lequel l’hypothèse de fondation rigide est pertinente. En

revanche, l’effet « plateau », traduisant le peu d’influence de l’interaction sol structure

sur la deuxième fréquence de résonance y compris pour des sols relativement souples,

s’avère être une caractéristique robuste du système.

– Les modes d’ordre j ≥ 3 convergent (sauf inversion) vers les modes de la poutre sur appui

simple de fréquence adimensionnelle tendant vers l’infini. Par conséquent, de même que

le deuxième mode aux faibles élancements, ces modes sortent nécessairement, quelque

soit l’élancement, du domaine basse fréquence dans lequel l’hypothèse de fondation rigide

est pertinente. A l’exception du troisième mode pour η = 10, le critère choisi pour limiter

ce domaine (a0 < 2π) est dépassé pour un niveau d’interaction inférieur au seuil pour

lequel les fréquences basculent brusquement vers celles de la poutre sur appui simple

(κc ≃ 7).


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω i* )/ω1

(i=1

à 6)

(a) Pulsation propre de résonance.

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent ξ

i (i=

1 à

6)

modes de corps rigide 1 et 2mode 1mode 2mode 3mode 4mode 5mode 6


Fig. 3.32 – Evolution de la fréquence propre (Re(ω∗i )/ω1) et du facteur d’amortissement ξi

des 6 premiers modes de la poutre de cisaillement sur base souple, en fonction du contraste derigidité entre la structure et le sol κc (η = 0.5, ν = 0.3, δ = 0.15, ξ1 = 0). En tiretés-pointillésdans le cas où on néglige l’amortissement radiatif, en tiretés noirs les deux modes de corpsrigide.


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω i* )/ω1

(i=1

à 6)


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent ξ

i (i=

1 à

6)



Fig. 3.33 – idem 3.32 pour η = 1


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω i* )/ω

1 (i=

1 à

6)


100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent ξ

i (i=

1 à

6)



Fig. 3.34 – idem 3.32 pour η = 2


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω i* )/ω1

(i=1

à 6)


100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent ξ

i (i=

1 à

6)



Fig. 3.35 – idem 3.32 pour η = 3


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω i* )/ω1

(i=1

à 6)


100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent ξ

i (i=

1 à

6)



Fig. 3.36 – idem 3.32 pour η = 5


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω i* )/ω1

(i=1

à 6)


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent ξ

i (i=

1 à

6)



Fig. 3.37 – idem 3.32 pour η = 7


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ωi* )/

ω1

(i=1

à 6)


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

κc=(2/π)ω

1H/β

S

fact

eur

d’am

ortis

sem

ent ξ

i (i=

1 à

6)



Fig. 3.38 – idem 3.32 pour η = 10


100

101

102

8

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

9

κc=(2/π)ω

1H/β

S

Re(

ω5* )/

ω1

δ = 0.15δ = 0.20δ = 0.25

Fig. 3.39 – Illustration, dans le cas du 5ième mode de la poutre d’élancement η = 3, de lavariation linéaire de la valeur de κc au seuil, en fonction du paramètre de densité δ.


100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(a) η = 0.5.

10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(b) η = 1.

Fig. 3.40 – Evolution en norme de la fréquence propre complexe des 6 premiers modes (traitspleins) et des modes de corps rigide (tiretés) en fonction du paramètre κc. Comparaison avecles courbes à fréquence adimensionnelle constante a0 = 2π/10, 2π et 2π ∗ 10.


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(c) η = 2.

10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(d) η = 3.

Fig. 3.40 – suite (autres valeurs d’élancement).


10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(e) η = 5.

10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(f) η = 7.



10−1

100

101

102

0

2

4

6

8

10

12

κc=(2/π)ω

1H/β

S

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π*10 a

0 = 2π

(g) η = 10.



3.2.4 Poutre de flexion sur sol souple

On étudie dans cette section l’interaction entre le sol et une structure dont le comportement

dynamique peut être modélisé par celui d’une poutre de flexion pure caractérisée par sa masse

linéique m, sa hauteur H, sa rigidité en flexion kf et son inertie massique de section J . La

fondation, rigide et superficielle, a pour rayon (équivalent) r0. On introduit, pour les besoins

de l’analyse dimensionnelle, la densité du bâtiment ρb = m/(πr20).

3.2.4.1 Equations modales de la poutre de flexion sur sol souple

Fig. 3.41 – Poutre de flexionsur sol souple : notations.

u0

u

θ0

z

KH

KθCH Cθ

Pulsations propres complexes ω∗j et déformées modales associées φ∗

j (z) = A1j sinµ∗

1jz/H+

A2j cosµ∗

1jz/H+A3j sinh

µ∗

2jz/H+A4j cosh

µ∗

2jz/H, sont solutions du système d’équa-

tions réduites (section 2.3.3.2, équation (2.189)) :− t∗fµ∗

1jµ∗22j 1 t∗fµ∗2

1jµ∗2j 1

µ∗1j s∗fµ∗2

1j µ∗2j − s∗fµ∗2

2j


1j µ∗2j sinµ∗



2j

− µ∗21j sinµ∗




2j

= 0 (3.41)


et 26666666666666664− t∗fµ∗

1jµ∗22j 1 t∗fµ∗2

1jµ∗2j 1

µ∗1j s∗fµ∗2

1j µ∗2j − s∗fµ∗2

2j


1j µ∗2j sinµ∗



2j

− µ∗21j sin µ∗




2j

377777777777777758>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

A1j

A2j

A3j

A4j

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; = 0 , (3.42)

où pour rappel :

µ∗1j =

π

2δ∗1j =

Ïω∗

j H2È

kf/m

Í1 +

CH

1

2

ω∗j H

2Èkf/m

2

+CH

1

2

ω∗j H

2Èkf/m

,

µ∗2j =

π

2δ∗2j =

Ïω∗

j H2È

kf/m

Í1 +

CH

1

2

ω∗j H

2Èkf/m

2

− CH1

2

ω∗j H

2Èkf/m

,

t∗f =kf

H3(KH + iω∗j CH)

et s∗f =kf


.

Compte tenu de l’expression de la pulsation fondamentale en l’absence d’interaction avec le

sol et d’inertie de section (CH1 = 0), ω1, établie au 2.3.2.2, on note que dans les expressions

précédentes :ω∗

j H2È

kf/m=

1.194π

2

2 ω∗j

ω1.

Par ailleurs, les fonctions d’impédances (apparaissant aux dénominateurs de t∗f et s∗f ) s’écrivent,

pour une fondation rigide et superficielle située sur un sol homogène, sous la forme :

KH + iω∗j CH = KH,stat(kH(a∗0j , ν) + ia∗0jcH(a∗0j , ν)) ,

Kθ + iω∗j Cθ = Kθ,stat(kθ(a

∗0j , ν) + ia∗0jcθ(a

∗0j , ν)) .

3.2.4.2 Analyse dimensionnelle de la poutre de flexion sur sol souple

Suivant la même démarche que dans les paragraphes précédents, on reformule les équa-

tions modales rappelées ci-dessus en fonction des paramètres adimensionnels contrôlant la

dynamique du système. Introduisant les expressions des rigidités statiques KH,stat et Kθ,stat


(tableau 3.1), il vient :

a∗0j =

1.194π

2

2 ω∗j

ω1

κf

η2,

t∗f =(2 − ν)π

8

κ2fδ

η3

1

kH(a∗0j , ν) + ia∗0jcH(a∗0j , ν)),

s∗f =3(1 − ν)π

8

κ2fδ

η

1

kθ(a∗0j , ν) + ia∗0jcθ(a

∗0j , ν))

,

où on retrouve :

– les paramètres d’élancement η = H/r0, de densité δ = ρb/ρs, et le coefficient de Poisson

ν,

– le paramètre clé pesant la rigidité de la structure par rapport à celle du sol

κf =

Èkf/m

r0βS=

2

1.194π

2 ω1H2

r0βS,

En réinjectant ces expressions dans l’équation (3.42), on exprime ainsi l’influence de l’interac-

tion sol structure sur :

– les fréquences propres sur sol souple rapportées à la fréquence fondamentale sur sol rigide

(ω∗j /ω1),

– les déformées modales sur sol souple,

en fonction du nouveau jeu de paramètres adimensionnels κc, η, δ, CH1 et ν.

L’étude paramétrique est menée numériquement grâce aux expressions des coefficients de

rigidité et d’amortissement dynamique (kα et cα, α = H ou θ) données par le modèle de cône

(tableau 3.3). Les résultats sont présentés dans les sections suivantes, à commencer par le

mode fondamental. Les modes supérieures, plus complexes, sont analysés séparément et dans

un deuxième temps. L’inertie de section est systématiquement négligée (CH1 = 0).

3.2.4.3 Mode fondamental

Contraste de rigidité. κf , de la même manière que σ pour l’oscillateur à un degré de

liberté ou κc pour la poutre de cisaillement sur sol souple, exprime le contraste de rigidité (en

racine) entre la structure et le sol. Si κf → 0, le sol est extrêmement rigide par rapport à la

structure et l’interaction sol structure est négligeable ; inversement, si κf → +∞, la structure

est infiniment rigide relativement au sol et interagit avec lui à la manière d’un bloc rigide.

On vérifie et affine, grâce au calcul numérique, l’influence de κf sur le mode fondamental.

Notez qu’une structure très ramassée est peu susceptible de se comporter comme une poutre

de flexion ; le cas η = 0.5, présenté en guise d’illustration, n’est donc pas pris en compte dans

l’analyse qui suit :

– Pour κf < 0.2, les effets de l’interaction sol structure sur la fréquence (figure 3.42(a)),


le facteur d’amortissement radiatif (figure 3.42(b)), et la déformée modale (figures 3.43,

3.44 et 3.45) sont négligeables pour les élancements courants ;

– inversement, au delà de κf = 20, la fréquence propre et le facteur d’amortissement du

système sol structure, ainsi que la cinématique modale coïncident avec ceux du bloc

rigide sur sol souple ;

– dans les cas intermédiaires, la fréquence de résonance du système sol structure est sen-

siblement inférieure à celle de la structure fondée au rocher (sol infiniment rigide) et

décroît de manière monotone quand κf augmente ; la déformation est répartie de ma-

nière comparable entre la structure et le sol de sorte que le facteur d’amortissement

agrège les contributions de l’amortissement structurel et de l’amortissement radiatif.

On retrouve à la figure 3.46, présentant, pour un éventail de valeurs de κc et η balayant

toutes les situations courantes, l’amplitude et le déphasage (par rapport à la translation de

la fondation) de la composante de déplacement interne du mode complexe sur sol souple, une

autre propriété très importante du mode fondamental sur sol souple, déjà vérifiée par la poutre

de cisaillement. Quelque soit l’élancement et la rigidité relative du sol et de la structure :

– d’une part l’amplitude (c’est à dire la norme ‖ ‖) du déplacement modal relatif (interne)

selon la hauteur de la structure présente une allure identique à la déformée du mode

fondamental sur base rigide ;

– d’autre part, la phase de ce déplacement relatif est sensiblement constante sur la hauteur

de la poutre.

Au bilan donc, il apparaît que le mode de la structure sur base souple est composé, quelque

soit l’importance de l’interaction avec le sol, du déplacement relatif de tous les points de la

structure vibrant en phase et selon la déformée sur base rigide, auquel s’ajoute le mouvement

de corps rigide imposé par les mouvement de la fondation, soit avec les notations du chapitre

2 (section 2.3.3) :

φ∗1(z) ≃ φ1(z) + u∗

01 + zθ∗01 . (3.43)

On vérifie donc de nouveau que l’interaction sol structure n’agit pas sur la manière dont les

déformations sont réparties sur la hauteur de la structure dans le mode fondamental.

Par ailleurs, avec cette propriété du déplacement relatif, il est possible d’avoir une vision

synthétique des caractéristiques du mode complexe simplement à partir des valeurs relatives,

de la phase du mouvement relatif en un point quelconque de la structure, ainsi que de la phase

de la translation (tamis) et de la rotation (roulis) de la fondation rigide. Les résultats de ce

calcul sont donnés à la figure 3.47 pour le déplacement relatif en tête et un large panel de

valeurs de l’élancement :

– On constate, comme pour la poutre de cisaillement, qu’une avance (en général) de phase

significative par rapport à la translation de la fondation, d’une part du déplacement

relatif (traits pleins), d’autre part de la rotation de la fondation (tiretés), émerge à des

valeurs de κf pour lesquelles l’influence de l’interaction sol structure sur la pulsation, le


facteur d’amortissement et la déformée reste faible. Par exemple, pour η = 2 et κf = 0.5,

le déphasage de la rotation est de l’ordre de 0.24 radient soit environ 60 % de sa valeur

maximale, atteinte lorsque κf → ∞ (figure 3.47). En comparaison, la pulsation de

résonance, le facteur d’amortissement et la déformée du système sont très peu affectés,

pour les mêmes valeurs de paramètres, par l’interaction sol structure (figures 3.42(a),

3.42(b) et 3.43).

– Le calcul des fonctions d’impédance présenté à la section 3.1.3.4 a montré que la réponse

visqueuse en rotation de la fondation est très faible aux basses et moyennes fréquences

(adimensionnelles). Par conséquent, le déplacement relatif et la rotation de la fondation

sont quasiment en phase dans un grand nombre de configurations de paramètres pour

lesquelles la fréquence adimensionnelle (croissant de 0 en l’absence d’interaction vers la

valeur du bloc rigide pour une interaction prépondérante) reste faible, soit : quelque soit

l’élancement, à faible interaction sol structure, pour les élancements forts sur toute la

gamme de variation de κf , c’est à dire quelque soit l’importance de l’interaction.

Ces propriétés du mode complexe se traduisent évidemment par un déphasage à l’intérieur

même de la structure dès lors qu’on s’intéresse au déplacement absolu (celui qu’on mesure

expérimentalement). Son allure, donnée pour différentes valeurs de η aux figures 3.43, 3.44 et

3.45 montre, si on prend comme référence le déplacement en tête, une allure identique au cas

de la poutre de cisaillement, caractérisée par un déphasage concentré à la base de la structure.

On rappelle que ce résultat théorique est systématiquement corroboré par les observations

réalisées in-situ (cf. Hans, 2002).

Effet de l’élancement. L’élancement apparaît comme le deuxième paramètre déterminant

de l’interaction sol structure. Son effet sur le niveau d’interaction entre la poutre de flexion et

le sol de fondation est inversé et nettement plus marqué par rapport au cas d’une structure

fonctionnant en cisaillement :

– A κf constant, on vérifie qu’une structure élancée interagit moins avec le sol qu’une

structure plus ramassée, ce qui se traduit (en valeurs relatives) par une diminution

moindre de la fréquence sur la figure 3.24(a) et une contribution plus faible de l’amortis-

sement radiatif au facteur d’amortissement modal (figure 3.42(a)). Cette différence est

également nettement perceptible pour la déformée modale (comparer à κc donné, la part

de mouvement de corps rigide et de déformation de la structure dans chacune des figures

3.25, 3.26 et 3.27). Notez bien que deux bâtiments de structure en plan identique mais

de hauteur différente, fonctionnant tous deux en flexion pure et fondés sur un même sol,

ont même κf ; on en déduit que le moins haut des deux, d’élancement inférieur, interagit

d’avantage avec le sol.

– De même que pour les systèmes étudiés précédemment, le niveau du facteur d’amor-

tissement du système sol structure est d’autant plus élevé que l’élancement est faible

(figure 3.24(b)) ; cette tendance est corrélée d’une part à une fréquence adimensionnelle


plus élevée (calcul non montré ici), d’autre part à la contribution plus importante de la

translation de la fondation dans le mouvement (figures 3.25, 3.26 et 3.27). L’importance

de la réponse visqueuse que traduit ce facteur d’amortissement fort, se retrouve dans les

valeurs élevées du déphasage entre tamis, roulis et déplacement relatif (figure 3.29).

Oscillateur à un degré de liberté équivalent. L’étude paramétrique qui précède a mon-

tré que le déplacement relatif dans le mode fondamental du système sol structure est peu

différent du mode de la poutre de flexion sur base rigide. Ce résultat, anticipé au chapitre 2,

nous conduit naturellement à tester la possibilité de reproduire les effets de l’interaction sol

structure sur le mode fondamental à l’aide d’un système beaucoup plus simple dans lequel la

poutre de flexion est remplacée par un oscillateur à un degré de liberté. Ses caractéristiques

équivalentes sont déduites de celles du mode fondamental de la structure sur sol rigide, soit

masse et hauteur équivalente M1 et H1, pulsation propre et amortissement structurel ω1 et

ξ1, avec pour une poutre de flexion (cf. 2.3.3.2) :

H1 = 0.7265H M1 = 0.6131mH . (3.44)

On rappelle, comme il a été démontré au chapitre 2, qu’il n’y a pas d’équivalence stricte entre

les deux systèmes puisque la condition sur le déplacement relatif et les relations M1 ≈ Mt,

M1H1 ≈ St et M1H21 ≈ It, ne sont vérifiées qu’approximativement. Les figures 3.49 et 3.50

permettent de juger quantitativement des configurations de paramètres pour lesquelles ces

approximations sont acceptables du point de vue des applications pratiques. Sont comparées,

les propriétés du mode fondamental :

– en traits pleins, d’un système du type poutre de flexion sur sol souple de paramètres κf ,

η, δ et ν ;

– en tiretés, d’un modèle à un degré de liberté dont les caractéristiques équivalentes,

déduites de (3.44), sont définies par les paramètres σeq = 2.5556κf/η, ηeq = 0.7265η,

δeq = 0.8439δ et ν.

– Enfin, les courbes présentées en pointillés sont des estimations basées sur les relations

1

‖ω∗1‖2

≈ 1

ω21

+1

ω2H

+1

ω2θ

et ξ1 ≈‖ω∗

1‖ω1

3

ξ1 +

‖ω∗1‖

ωH

3

ξH +

‖ω∗1‖

ωθ

3

ξθ , (3.45)

obtenues au chapitre 2 en effectuant un calcul de modes réels.

On fait les constatations suivantes :

– Quelque soit l’élancement, la concordance entre les propriétés du modèle de poutre et du

modèle équivalent est excellente à faible interaction sol structure (κf petit), soit tant que

le déplacement de corps rigide reste faible devant le déplacement interne de la structure.

– Pour les élancements moyens et forts (η ≥ 2), la divergence entre poutre de flexion et

modèle équivalent reste très faible quelque soit le niveau d’interaction : négligeable pour


la fréquence, au plus de l’ordre de 5 % pour le facteur d’amortissement.

– Les formules (3.45) fournissent, comme prévu au chapitre 2, une bonne estimation des

propriétés modales tant que l’interaction sol structure (soit κf ) est faible ou modérée

(ω1/ωH ≪ 1 et ω1/ωθ ≪ 1), et/ou si ξH et ξθ sont faibles (c’est à dire si la structure

est élancée). Dans le cas contraire, l’erreur sur le facteur d’amortissement est toujours

inférieure à 20 % (à l’exception de η = 0.5 qui on l’a vu est une valeur improbable),

tandis que les valeurs de fréquence sont remarquablement proches, y compris pour les

systèmes assez fortement amortis (par exemple η = 2 et κf > 5).

On en conclut que l’analogie du modèle à un degré de liberté capte l’essentiel de la physique

de l’interaction, au voisinage du mode fondamental, entre la poutre de flexion et le sol de

fondation, tout du moins pour les élancements supérieurs à 1 (c’est à dire la quasi totalité des

structures fonctionnant en flexion). Une nouvelle fois, cette propriété justifie l’utilisation du

modèle à un degré de liberté dans l’étude des interactions multiples (« site-ville ») de la partie

3.8(b).

D’autre part, les relations (3.45) qui introduisent une approximation supplémentaire en né-

gligeant le couplage des modes réels, apparaissent comme suffisantes dans une large gamme

de paramètres, en particulier à interaction sol structure modérée, y compris pour estimer le

facteur d’amortissement. Elles constituent des expressions analytiques simples et d’une grande

utilité dans de nombreuses situations réelles.

Comparaison avec la poutre de cisaillement. On trace sur un même graphique et

pour une même abscisse (2/π)ω1H/βS (= κc pour la poutre de cisaillement), les courbes de

fréquence et d’amortissement obtenues pour la poutre de cisaillement et la poutre de flexion

(figure 3.48). On constate pour η ≥ 1, que ces courbes sont quasiment confondues. Ce résultat

non intuitif mérite une explication. Pour cela, rappelons la relation traduisant l’équivalence

entre la dynamique du système sol structure au voisinage de son mode fondamental et un

système à un degré de liberté de caractéristiques ω1, M1, H1 (équations 2.183 et 2.192) :

ω21

ω∗21

≈ 1 +ω2

1

ω2H

1

1 + 2iω∗

1

ωHξH

+ω2

1

ω2θ

1

1 + 2iω∗

1

ωθξθ

. (3.46)


ω2H = KH/M1, ω2

θ = Kθ/(M1H21 ), ξH = CH/(2M1ωH) et ξθ = Cθ/(2M1H

21ωθ) dépendent du

type de fonctionnement de la structure, et valent pour les poutres de flexion et cisaillement :

ω2H ≃

8>><>>:1.234KH

Mtcisaillement

1.631KH

Mtflexion

ω2θ ≃

8>><>>:0.328Kθ

MtH2cisaillement

0.323Kθ

MtH2flexion

ξH ≃

8>><>>:1.11CH

2√

KHMtcisaillement

1.277CH

2√

KHMtflexion

ξθ ≃

8>><>>:1.75Cθ

2È

KθMtH2cisaillement

1.76Cθ

2È

KθMtH2flexion

On note que les expressions de ωθ et ξθ sont très proches pour la poutre de cisaillement et la

poutre de flexion. On en déduit immédiatement que l’influence de l’interaction sol structure

(donnée par l’équation (3.46)) est similaire quelque soit le fonctionnement de la poutre, dès

que la contribution, au déplacement total, du basculement de la fondation, domine sur celle

de la translation (H1θ∗01 ≫ u∗

01, équations (2.182) et (2.191)), c’est à dire pour les structures

suffisamment élancées. Dans la pratique, cette propriété est atteinte pour η ≥ 3 (section 3.2.1,

figure 3.12). Pour η = 1 ou 2 cependant, les résultats obtenus pour la poutre de cisaillement et

la poutre de flexion restent très proches (figure 3.48), du fait que ωH et ξH varient également

assez peu avec le comportement de la structure.

Ce résultat a une conséquence très intéressante : il implique que, pour un sol donné, l’effet

de l’interaction sol structure sur la fréquence propre et le facteur d’amortissement du mode

fondamental, ne dépend pas du fonctionnement en flexion ou en cisaillement de la structure,

mais seulement de ses caractéristiques géométriques (η), inertielles (δ), et du produit de sa

fréquence propre par sa hauteur (ω1H). Il est peu douteux que cette propriété peut être

étendue à la poutre de Timoshenko, intermédiaire entre la poutre de cisaillement et la poutre

de flexion, et par conséquent à une majorité de structures régulières en élévation qui, comme

l’ont montré Boutin et Hans (2003) en théorie et dans un certain nombre de cas réels, peuvent

en général être modélisées par une poutre de Timoshenko. Ce résultat renforce l’intérêt et la

portée générale de l’étude paramétrique présentée dans ce mémoire, en justifiant a posteriori le

choix de se limiter à deux types de comportement stéréotypés (flexion et cisaillement purs). Du

point de vue pratique, il s’en suit que sauf cas particulier, l’effet de l’interaction sol structure

(sur la fréquence propre et le facteur d’amortissement modal) peut être estimé sans qu’il soit

nécessaire de déterminer avec précision le comportement de la structure étudiée mais seulement

sa fréquence fondamentale, accessible sans trop de difficultés par des mesures in-situ (cf. section

2.2.5).


10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

Re(

ω1* )/

ω1

corps rigidepoutre de flexion

η croissant

10 5 3 2 1

0.5


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent (

mod

e 1)

η dé

croi

ssan

t

η = 1

η = 0.5

η = 2

η = 3

η = 5


Fig. 3.42 – Evolution de la fréquence de résonance et du facteur d’amortissement modal enfonction du contraste de rigidité entre la structure et le sol κf et de l’élancement η (ν = 0.3,δ = 0.15, ξ1 = 0). En traits pleins Re(ω∗

1)/ω1 et ξ1 ; en tiretés idem en supposant la poutrerigide.


0 0.5 1

κf = 0.1

−0.4 −0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

poutre de flexioncorps rigide

0 0.5 1

κf = 0.5

−0.4 −0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 1

−0.5 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 2

−0.5 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 5

−0.4 −0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 10

−0.4 −0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

Fig. 3.43 – Déformée du mode fondamental de la poutre de flexion sur sol souple (η = 2,δ = 0.15, ν = 1/3) – Pour chaque valeur de κf : vignette de gauche, déphasage par rapportau sommet ; vignette de droite, amplitude du déplacement de la poutre (trait plein) et dumouvement de corps rigide (tiretés) – comparaison avec le comportement du bloc (tiretés-pointillés).


0 0.5 1

κf = 0.1

−0.5 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H


0 0.5 1

κf = 0.5

−1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 1

−1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 1.5

−0.5 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 2

−0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 5

0 0.050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H


0 0.5 1

κf = 0.1

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H


0 0.5 1

κf = 1

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 2

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 5

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 10

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 20

−0.2−0.1 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H



0 0.5 1

κf = 1

η = 1η = 2η = 3η = 5

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 2

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1z/

H

0 0.5 1

κf = 3

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 5

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 10

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

0 0.5 1

κf = 20

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z/H

Fig. 3.46 – Déplacement relatif (interne) selon le mode fondamental du système sol structure– Pour chaque valeur de κf et de η : à gauche, déphasage par rapport à la translation (tamis)de la fondation ; à droite, amplitude du déplacement relatif.


10−1

100

101

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

κf

déph

asag

e (r

ad)

η = 0.5

roulis/tamis (corps rigide)roulis/tamisdépl. interne/tamis

100

101

102

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

κf

déph

asag

e (r

ad)

η = 1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

κf

η = 2

déph

asag

e (r

ad)

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

κf

η = 3

déph

asag

e (r

ad)

10−1

100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

κf

η = 5

déph

asag

e (r

ad)

10−1

100

101

102

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

κf

η = 10

déph

asag

e (r

ad)

Fig. 3.47 – Phase du mode fondamental de la poutre de flexion sur sol souple (ν = 0.3,δ = 0.15) – déphasage entre déplacement interne (relatif) en tête et translation (tamis) dela fondation (traits pleins) ; déphasage entre rotation (roulis) et translation de la fondation(tiretés) ; déphasage entre rotation (roulis) et translation de la fondation dans l’hypothèsed’une poutre rigide (tiretés-pointillés).


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(2/π)ω1H/β

S

Re

(ω1*)/

ω1

η = 0.5η = 1η = 2η = 3η = 5η = 10

tiretés → cisaillement

traits pleins → flexion


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(2/π)ω1H/β

S

fact

eu

r d

’am

ort

isse

me

nt (m

od

e 1

)


Fig. 3.48 – Comparaison de l’influence de l’interaction sol structure sur le mode fondamentalde deux structures de mêmes caractéristiques géométriques et inertielles (η et δ), de mêmepulsation propre (ω1), mais se comportant l’une en flexion (traits pleins), l’autre en cisaillement(tiretés) (δ = 0.15, ν = 0.3).


10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

η = 0.5

κf

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 1

κf

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 2

κf

fréqu

ence

pro

pre

exact1ddl équ.1ddl équ. + modes réels

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 3

κf

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 5

κf

fréqu

ence

pro

pre

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 10

κf

fréqu

ence

pro

pre

Fig. 3.49 – Comparaison poutre de flexion/oscillateur à un degré de liberté équivalent : modecomplexe de la poutre de flexion sur sol souple (trait plein), mode complexe de l’oscillateurà 1ddl équivalent (courbes tiretées), mode réel de l’oscillateur à 1ddl équivalent (pointillés)(ν = 0.3, δ = 0.15, ξ1 = 0).


10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 0.5

κf

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1η = 1

κf

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4η = 2

κf

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

exact1ddl équ.1ddl équ. + modes réels

10−1

100

101

102

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

η = 3

κf

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03η = 5

κf

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

10−1

100

101

102

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3 η = 10

κf

fact

eur d

’am

ortis

sem

ent

Fig. 3.50 – idem figure 3.30 pour le facteur d’amortissement modal ξ1.


3.2.4.4 Modes supérieurs

Dans le cas de la poutre de flexion, les propriétés modales du système sol structure varient,

selon le contraste de rigidité κf , entre les deux états limites (théoriques) suivants (cf. tableau

2.1 page 99) :

– En l’absence d’interaction avec le sol (κf → 0), les modes du système sont ceux de la

poutre sur appui parfaitement rigide (encastrement parfait dans le sol).

– Lorsque l’interaction est prépondérante, c’est à dire lorsque le sol est infiniment souple

par rapport à la structure (κf → +∞), les modes convergent vers ceux de la poutre de

flexion sur appui simple (rotation et translation horizontale libres ; les degrés de liberté

découplés des précédents, à savoir la torsion et la translation verticale, étant bloqués

par hypothèse) auxquels s’ajoutent les deux modes de corps rigide calculés au 3.2.1.

La transition entre ces deux états (c’est à dire pour les valeurs intermédiaires de κf ) est simple

et régulière si on néglige l’amortissement radiatif. Les courbes en tiretés-pointillés des figures

3.51(a) à 3.56(a) traduisent la convergence progressive, lorsque κf croît vers l’infini, des deux

premiers modes vers les deux modes de corps rigide, du troisième mode vers le premier mode

de la poutre de flexion sur appui simple, du quatrième mode vers le deuxième mode sur appui

simple, et ainsi de suite. Si on tient compte de l’amortissement radiatif prévu par le modèle

de cône, l’analyse est encore plus complexe que pour la poutre de cisaillement. Les résultats

de l’étude paramétrique traduisant l’influence de l’interaction sol structure sur les fréquences

et facteurs d’amortissement des 6 premiers modes sont présentés aux figures 3.51 à 3.56 :

– Quelque soit l’élancement, le mode fondamental converge, comme dans le cas non-amorti,

vers le premier mode de corps rigide. Dans une majorité des cas, en revanche, les modes

supérieurs ne convergent pas vers le même mode que dans le cas non-amorti mais vers

le mode d’ordre immédiatement supérieur. On peut penser, sans que cela constitue une

explication, que ce phénomène est facilité par la correspondance des fréquences des

modes sur base rigide d’ordre n et des modes sur base souple d’ordre n+1 (en comptant

les deux modes de corps rigide).

– Notez que compte tenu de ce qui vient d’être dit, il existe nécessairement, à partir d’un

certain niveau d’interaction, un mode intercalé convergeant vers le mode sur base souple

intercepté par aucun des 6 premiers modes sur base rigide (soit le deuxième mode de

corps rigide pour η = 1 et 2, figures 3.56(a) et 3.55(a) ; respectivement les premier,

deuxième, troisième et quatrième modes de poutre sur appui simple pour η = 3, 5,

7 ou 10, figures 3.51(a) à 3.54(a)). Ce mode intercalé n’a pas pu être calculé à faible

interaction (cf. l’interruption de la courbe orange). Toutefois, extrapolant les résultats

obtenus pour d’autres modes, on peut raisonnablement affirmer qu’aux valeurs de κf

pour lesquelles le calcul n’a pas abouti, le mode « intercalé » est soit haute fréquence et

de fait en dehors du champ de l’étude, soit très fortement amorti et par conséquent de

peu d’influence sur la dynamique du système.


– On observe comme pour la poutre de cisaillement un effet de « seuil » ou de « plateau »

différant, par rapport au cas non-amorti, dans certain cas d’un facteur 10 (sur κf ), la

zone dans laquelle la diminution de fréquence de résonance des modes supérieurs est

significative. Cette zone est encadrée par deux pics du facteur d’amortissement dont les

amplitudes décroissent avec l’ordre du mode.

– Les valeurs des facteurs d’amortissement montrent une très grande variabilité en fonction

des paramètres. On observe cependant de manière systématique que le facteur d’amor-

tissement des modes supérieurs est nettement supérieur à celui du mode fondamental,

sur la totalité du spectre d’interaction pour η ≥ 5 et sur un intervalle important de va-

leurs de κf couvrant les situations d’interaction sol structure faible ou modérée lorsque

η ≤ 3.

Pour terminer cette étude, on revient sur les valeurs de fréquence adimensionnelle associées à

chaque mode afin d’évaluer la pertinence de l’hypothèse de fondation rigide . La fréquence adi-

mensionnelle augmente avec l’ordre du mode, diminue avec l’élancement, et sauf cas particulier

est d’autant plus forte que l’interaction sol structure est forte. Au regard des figures 3.40(g) à

3.57(f), situant les courbes de variation de fréquence (en module) par rapport aux frontières

du domaine d’applicabilité de l’hypothèse de fondation rigide, on note que les conclusions

tirées de l’étude de la poutre de cisaillement s’applique à l’identique dans le cas de la flexion,

à savoir :

– L’hypothèse de fondation rigide s’applique de manière robuste (r0 ≪ λS) et quelque soit

le niveau d’interaction (c’est à dire quelque soit κf ), au mode fondamental des systèmes

dont les structures sont d’élancement supérieurs à 3. Elle s’applique encore avec une

faible marge d’erreur (r0 < λS/5) pour η compris entre 1 et 2 ;

– En ce qui concerne les modes supérieurs, on constate que dans les zones présentant

une forte sensibilité aux paramètres, généralement associées à un fort amortissement

modal et une évolution singulière de la fréquence (décroissance brutale, interversion,

convergence « paradoxale »), la fréquence adimensionnelle dépasse la valeur 2π au-delà de

laquelle l’hypothèse de fondation rigide n’est pas réaliste. En revanche, l’effet « plateau »,

traduisant l’effet différé de l’interaction sol structure sur les fréquences de résonance des

modes supérieurs, survient à des fréquences (adimensionnelles) suffisamment basses pour

apparaître comme un résultat robuste du modèle.


10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

Re(

ωi* )/

ω1 (

i=1

à 6)

?


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

fact

eurs

d’a

mor

tisse

men

t mod

al ξ

i (i=

1 à

6)

modes de corps rigide 1 et 2mode 1mode 2mode 3mode 4mode 5mode 6mode n°?

?


Fig. 3.51 – Evolution de la fréquence propre (Re(ω∗i )/ω1) et du facteur d’amortissement ξi des

6 premiers modes de la poutre de flexion sur base souple, en fonction du contraste de rigiditéentre la structure et le sol κf (η = 10, ν = 0.3, δ = 0.15, ξ1 = 0). En tiretés-pointillés dans lecas où on néglige l’amortissement radiatif, en tiretés noirs les deux modes de corps rigide.


10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

Re(

ωi* )/

ω1 (

i=1

à 6)

?


100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

fact

eurs

d’a

mor

tisse

men

t mod

al ξ

i (i=

1 à

6)


?


Fig. 3.52 – idem 3.51 pour η = 7


10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

Re(

ωi* )/

ω1 (

i=1

à 6)

?


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

fact

eurs

d’a

mor

tisse

men

t mod

al ξ

i (i=1

à 6

)


?


Fig. 3.53 – idem 3.51 pour η = 5


10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

Re(

ωi* )/

ω1 (

i=1

à 6)

?


100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

fact

eurs

d’a

mor

tisse

men

t mod

al ξ

i (i=

1 à

6)


?


Fig. 3.54 – idem 3.51 pour η = 3


10−1

100

101

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

Re(

ω i* )/ω 1 (

i=1

à 6)

?


10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

fact

eurs

d’a

mor

tisse

men

t mod

al ξ

i (i=1

à 6

)

?


Fig. 3.55 – idem 3.51 pour η = 2


10−2

10−1

100

101

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

Re(

ω i* )/ω1 (

i=1

à 6)

?


10−2

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

fact

eurs

d’a

mor

tisse

men

t mod

al ξ

i (i=1

à 6

)


?


Fig. 3.56 – idem 3.51 pour η = 1


100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

||ωi* ||/

ω1 (

i=1

à 6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(a) η = 10.

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

?

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(b) η = 7.

Fig. 3.57 – Evolution en norme de la fréquence propre complexe des 6 premiers modes (traitspleins) et des modes de corps rigide (tiretés) en fonction du paramètre κf . Comparaison avecles courbes à fréquence adimensionnelle constante a0 = 2π/10, 2π et 2π ∗ 10.


10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

||ωi* ||/

ω1 (

i=1

à 6)

?

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

(c) η = 5.

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

?

(d) η = 3.



10−1

100

101

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

?

(e) η = 2.

10−2

10−1

100

101

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

κf=ω

1H2/(β

Sr0)/3.5176

||ωi* ||/

ω 1 (i=

1 à

6)

a0 = 2π/10

a0 = 2π

a0 = 2π*10

?

(f) η = 1.



3.3 Conclusions

L’étude des systèmes couplant les modèles de structures les plus usuels, aux expression

des impédances fournies par le modèle de cône (Meek et Veletsos, 1974; Meek et Wolf, 1991),

a permis de dresser un tableau assez élaboré des effets de l’interaction sol structure sur la

réponse vibratoire des structures dans le cas d’un sol élastique homogène.

Les paramètres adimensionnels essentiels qui gouvernent le phénomène d’interaction sol

structure s’avèrent être en nombre très limité et faciles à estimer. Ils se résument à :

– un paramètre de comparaison (en racine) entre la rigidité du sol et de la structure

κα (α = c, f), dont l’expression est déterminée par le comportement de la structure ;

c’est le paramètre de base de l’interaction sol structure. Selon la valeur de κα et pour

un type de structure donné, on valide l’une des hypothèses suivantes : l’interaction sol

structure est négligeable (κα faible) ; l’interaction sol structure est prépondérante et le

système se comporte comme un bloc rigide sur sol souple (κα grand) ; et pour les valeurs

intermédiaires de κ les souplesses du sol et de la structure agissent concomitamment.

– l’élancement de la structure η ;

– sa densité par rapport au sol δ ;

– le coefficient de Poisson du sol ν ;

auxquels il conviendrait d’ajouter les paramètres CH1 et CH

2 si on avait tenu compte de l’inertie

de section et d’un comportement intermédiaire entre cisaillement et flexion purs (cf. 2.3).

Les variations des caractéristiques modales du système sol structure en fonction de ces

paramètres adimensionnels, se sont révélées plus complexes qu’on l’avait envisagé. Cependant

on distingue deux situations contrastées : d’une part le mode fondamental pour lequel le modèle

fournit des résultats robustes, fiables et potentiellement généralisables ; d’autre part les modes

supérieurs qui montrent une forte sensibilité aux paramètres, et approchent ou dépassent

les limites au-delà desquelles certaines hypothèses simplificatrices du modèle ne sont plus

pertinentes. Au regard de l’exigence de synthèse, ces deux cas sont commentés séparément.

Mode fondamental. Dans ce cas les grandes lignes de l’influence de l’interaction sol struc-

ture peuvent être dessinées. κα croissant, l’amplification de l’interaction sol structure se traduit

par une diminution de la fréquence de résonance, et l’accroissement concomitant des dépla-

cements de corps rigide et de la contribution de l’amortissement radiatif au facteur d’amor-

tissement modal. Le mode fondamental se situe, selon le niveau d’interaction, entre le mode

fondamental de la structure sur base rigide (κα → 0) et le premier mode de corps rigide sur

sol souple (κα → +∞).

Une densité forte de la structure favorise l’interaction avec le sol (baisse de fréquence,

déplacement de corps rigide) mais limite l’amortissement radiatif. Cependant ce paramètre,

variant dans un intervalle étroit pour le bâti courant (δ = 0.15 − 0.25), n’a qu’un rôle secon-

daire, tout comme le coefficient de Poisson qui ne joue qu’à la marge. On rappelle en outre


qu’une augmentation de la densité de la structure à rigidité constante (M1ω21 constant) n’agit

pas sur l’amplitude de la diminution de fréquence et du mouvement de corps rigide, mais réduit

le facteur d’amortissement (diminution simultanée de l’amortissement structurel et radiatif).

L’élancement (η) est en revanche un paramètre décisif. Pour η ≥ 3, le mouvement de

corps rigide est très largement dominé par le basculement de la fondation qui impose sa sou-

plesse et sa dissipation d’énergie radiative. Sous l’action combinée de la baisse de la fréquence

adimensionnelle et de la participation de la translation au mouvement de corps rigide, l’amor-

tissement radiatif diminue rapidement avec l’élancement pour être négligeable, quelque soit

le niveau d’interaction, quand η ≥ 5. Pour η ≥ 2, l’amortissement radiatif reste modéré et

a peu d’effet sur la fréquence du système, mais il s’illustre par le déphasage de la déformée.

Aux élancements faibles en revanche, la translation de la fondation est significative, et, à forte

interaction, le système sol structure est fortement voire sur-amorti (η . 0.8).

L’action de l’élancement sur le niveau d’interaction varie selon le type de fonctionnement de

la structure :

– en cisaillement, l’interaction augmente légèrement avec l’élancement de la structure ;

– inversement en flexion, les structures peu élancées favorisent très nettement l’interaction

sol structure.

Pour la poutre de cisaillement comme pour la poutre de flexion, le mode fondamental sol

structure coïncide de manière remarquable, pour η ≥ 1, avec le modèle à un degré de liberté

équivalent dont les caractéristiques modales varient peu (singulièrement lorsque la translation

de corps rigide est négligeable devant la rotation) selon le comportement de la structure. Il

s’en suit qu’en première approximation, le niveau d’interaction d’une structure avec un sol

donné, ne dépend pas de son fonctionnement en flexion ou en cisaillement, mais seulement

de ses caractéristiques géométriques (η), inertielles (δ), et du produit de sa fréquence propre

par sa hauteur (ω1H). Ce résultat important d’un point de vue pratique, vérifié pour les

comportements de structure « extrêmes », peut être extrapolé aux structures présentant un

comportement intermédiaire qui constituent la majorité des bâtiments réguliers en élévation

(Hans, 2002)..

Au vu du commentaire précédent et des figures 3.48 et 3.24, on peut affirmer sans se

préoccuper du fonctionnement de la structure, que pour 2/π(ω1H/βS) < 0.2 l’interaction sol

structure est négligeable, qu’inversement pour 2/π(ω1H/βS) > 8 l’interaction sol structure est

prépondérante et la structure se comporte comme un bloc rigide. Situons approximativement,

en guise de conclusion, les structures réelles par rapport à ces limites. Sur la base de l’esti-

mation empirique classique de la période des structures portiques, à savoir T1 ≈ H/30 (H en

mètres, T1 en secondes), on obtient 2/π(ω1H/βS) ≈ 120/βS . On en déduit que dans le cas des

structures portiques, l’interaction avec le sol est négligeable pour βS > 600 m/s. La condition

2/π(ω1H/βS) > 8 implique βS < 15 m/s, ce qui n’est pas réaliste. Pour 2/π(ω1H/βS) = 2,

soit βS = 60 m/s, l’interaction est très significative avec une baisse de fréquence comprise entre


20 et 50 % selon l’élancement de la structure ; pour 2/π(ω1H/βS) = 1, soit βS = 120 m/s,

la baisse de fréquence est située entre 10 et 30 %. Dans un cas comme dans l’autre cepen-

dant, compte tenu de la souplesse du sol, l’éventualité d’un système de fondations profondes,

y compris pour des constructions courantes, est à considérer. A contrario à Vaulx-en-Velin,

construite sur un sous-sol d’un type alluvionnaire relativement ferme et où les fondations sont

majoritairement superficielles, la vitesse βS a été mesurée de l’ordre de 250 m/s (cf. Roussillon,

1999). Dans ce cas, la baisse de fréquence des structures portiques n’est plus que de l’ordre de

5 à 15 %.

A dimensions égales, les structures à murs voiles ou construites selon un principe mixte

poteaux-voiles, ont une fréquence propre nettement plus élevée que les structures portiques.

Dans les codes de construction parasismique américains, par exemple, l’estimation de la fré-

quence des structures à noyau en béton armé est 50 % plus élevée que pour une structure

portique. Il est donc à prévoir que de tels bâtiments interagissent d’avantage avec le sol que

les structures portiques.

Modes supérieurs. Les modes supérieurs du système sol structure se situent selon le niveau

d’interaction, entre d’une part les modes supérieurs de la structure sur base rigide (κα → 0),

d’autre part les modes non-amorti de la structure sur appui parfaitement souple et le deuxième

mode de corps rigide sur sol souple (κα → ∞).

La fréquence adimensionnelle augmente avec l’ordre du mode, diminue avec l’élancement,

et sauf cas particulier est d’autant plus forte que l’interaction sol structure est forte. Dans le

meilleur des cas, seuls les deux premiers modes admettent une fréquence adimensionnelle com-

patible avec l’hypothèse de fondation rigide, sur toute l’étendue des situations d’interaction.

Pour les modes d’ordres supérieurs, les résultats obtenus grâce aux impédances de fondation

rigide, ne sont fiables qu’à interaction faible voire modérée et montrent de manière robuste :

– un niveau d’amortissement modéré (< 20 %, supérieur à celui du mode fondamental

dans le cas d’un fonctionnement en flexion, ou en cisaillement pour les élancements forts ;

inférieur pour le fonctionnement en cisaillement et les élancements faibles), relativement

indépendant de l’élancement, et décroissant légèrement avec l’ordre du mode ;

– un effet « plateau », traduisant l’effet différé de l’interaction sol structure sur les fré-

quences de résonance des modes supérieurs.

A plus forte interaction, le modèle montre une forte sensibilité aux paramètres. Pour la poutre

de cisaillement, cette variabilité s’exprime dans un intervalle étroit de valeurs du contraste

de rigidité autour de la valeur pivot κc = 7 (pour δ = 0.15). Pour la poutre de flexion,

elle concerne un éventail plus important de niveaux d’interaction, s’élargissant avec l’ordre du

mode et la diminution de l’élancement. Dans les deux cas, il est difficile d’extraire une tendance

générale des évolutions des modes supérieurs au regard de la variété, parfois de la singularité,

des situations rencontrées. Compte tenu de l’importance des déformations de la fondation à

ces niveaux de fréquence adimensionnelle, ces résultats doivent être pris avec précaution.

Chapitre 4

Fondamentaux de l’interaction site

ville

225

226 Chapitre 4. Fondamentaux de l’interaction site ville

Les développements des chapitres précédents ont mis en évidence l’influence de l’interac-

tion avec le sol sur la dynamique d’une structure considérée implicitement comme isolée. Il est

aujourd’hui acquis que l’énergie des vibrations produite par une structure et transmise au sol,

précisément par le phénomène d’interaction sol structure, peut se propager jusqu’à des dis-

tances non négligeables (Jennings, 1970; Guéguen, 2000) et interagir avec d’autres bâtiments

voisins (Luco et Contesse, 1973; Celebi, 1993a,b; Hans et coll., 2005). Cette constatation pose

naturellement la question de l’éventualité (plus précisément de l’ordre de grandeur) du cou-

plage dynamique, s’exerçant à travers le sol, des structures constituant une ville fortement

urbanisée. Pourtant l’impact de ces interactions sur la réponse sismique des structures, parti-

culièrement dans les villes très denses fondées sur sol souple, était encore jusqu’à peu un sujet

peu étudié.

Le risque sismique dans les zones urbanisées mérite une attention particulière pour de

multiples raisons parmi lesquelles :

– la concentration de population,

– la concentration de biens, en particulier immobiliers, et d’activités humaines ayant un

impact socio-économique important,

– la présence de bâtiments stratégiques et de services publics (hôpitals, casernes de pom-

piers, centres de télécommunications, etc.).

De nombreux travaux ont été menés pour étudier la réponse sismique de sites urbains. L’ap-

proche courante consiste à supposer que le mouvement sismique en surface résulte de la source

sismique et de la structure plus ou moins complexe du sous-sol. Un des succès majeurs de ces

études a été de mettre en évidence et d’expliquer physiquement le phénomène d’amplification

par une couche de sol reposant sur un substratum rigide (Aki, 1988). Cependant, malgré le dé-

veloppement de modèles sophistiqués, incluant les effets géométrique bi ou tri-dimensionnels et

une description détaillée du sous-sol (en termes de comportement rhéologique et de distribution

spatiale des propriétés mécaniques), certaines caractéristiques spécifiques des enregistrements

sismiques restent inexpliquées. C’est le cas du séisme dévastateur de Michoacan (1985) pour

lequel la durée très importante du mouvement dans le bassin de la ville de Mexico (Singh et

Ordaz, 1993), et la présence de battements dans certains enregistrements effectués à l’intérieur

de la ville, résistent encore à une analyse classique réaliste (Chavez-Garcia et Bard, 1994).

Ces observations ont conduit Wirgin et Bard (1996) à formuler l’idée que la réponse ne

dépend pas seulement du subtratum mais aussi du « sur »stratum, c’est à dire la ville. Cette

hypothèse est suggérée par le fait :

– d’une part que la ville de Mexico est densément urbanisée ;

– d’autre part que le sous-sol, d’origine lacustre, est constitué d’une couche d’argile molle,

favorisant l’interaction sol structure, et résonant à une fréquence proche de la fréquence

fondamentale d’un grand nombre de bâtiments de grande hauteur.

Ainsi, l’énergie transmise aux bâtiments et réémise dans leur voisinage à travers les multiples

4.1. Hypothèses de base du modèle et déroulement de l’étude 227

interactions sol structure (Housner, 1957; Jennings et Bielak, 1973) et structure sol structure

(Luco et Contesse, 1973), pourrait modifier significativement le mouvement en surface libre

et allonger sa durée. Des simulations numériques réalisées sur une ville idéalisée, vue comme

une distribution périodique et unidimensionnelle d’irrégularités de surface, ont apporté une

première confirmation qualitative de cette hypothèse (Wirgin et Bard, 1996). Des calculs plus

récents, basés sur différentes descriptions de la ville (bi ou tri-dimensionnelle, périodique ou

non) et diverses méthodes (modes propres de volume, fonctions de Green, éléments finis)

donnent des résultats quantitativement plus réalistes (Clouteau et Aubry, 2001; Guéguen

et coll., 2002; Semblat et coll., 2002; Tsogka et Wirgin, 2003; Mehzer, 2004; Kham, 2004). Ils

prouvent que dans des situations spécifiques, l’effet de la ville peut être important. Cependant,

bien que certaines tendances peuvent déjà être dégagées de ces quelques cas d’étude, des

investigations systématiques couplées avec un traitement statistique des résultats devraient

être menées afin d’identifier l’influence (combinée) des nombreux paramètres impliqués dans

le phénomène.

De manière complémentaire à ces approches numériques, nous proposons une approche

simplifiée pour estimer l’influence de la ville sur le champ d’onde sismique. L’objectif de ce

travail est d’identifier les paramètres physique qui gouvernent l’effet site ville et de quantifier

l’importance du phénomène à partir de critères simples et mesurables. Cette étude ne prétend

pas fournir un modèle « exact » mais seulement des estimations. Celles-ci sont établies sur

la base d’hypothèses physiquement justifiées, grâce auxquelles le problème peut être traité de

manière analytique. L’analyse procède par changement d’échelle, depuis l’échelle du bâtiment

jusqu’à l’échelle de la ville : à partir d’une description simplifiée, à l’échelle locale, d’une zone

représentative de la ville, un comportement moyen est calculé qui caractérise l’effet global à

l’échelle de la ville. Revenant à l’échelle locale, les effets à l’intérieur de la ville sont estimés

en moyenne (dans un sens précisé dans ce qui suit).

L’essentiel de ce travail a été publié dans le BSSA (Boutin et Roussillon, 2004b).

4.1 Hypothèses de base du modèle et déroulement de l’étude

On se concentre sur l’étude de la réponse sismique d’une ville d’urbanisation dense à une

onde SH en incidence verticale. Par souci de simplicité et de schématisation du phénomène,

on ne considère que les villes présentant une certaine invariance spatiale dans le plan et qui

peuvent en première approche être assimilées à la répétition périodique du même élément.

Cet ERB (elementary representative bloc) de surface S est typiquement de la taille du pâté

de maisons et est constitué d’un ou plusieurs bâtiments. Les implications théoriques et limi-

tations pratiques de cette hypothèse de périodicité seront discutées plus en détail par la suite.

Notons toutefois que bon nombre de quartiers de villes modernes ne diffèrent que peu de cette

représentation.


Les bâtiments qui composent l’ERB sont supposés se comporter de manière élastique,

linéaire, et l’étude est restreinte à l’influence de leur mode fondamental de vibration. On les

modélisera donc par un oscillateur à un degré de liberté équivalent (cf. chapitre 3). Le sol de

fondation homogène ou stratifié est caractérisé par ses propriétés élastiques (généralement la

rigidité µ, la masse volumique ρ et le coefficient de Poisson ν). On pourra également tenir

compte de la dissipation hystérétique d’énergie, indépendante de la fréquence, en introduisant

un facteur de qualité q dans l’expression des constantes élastiques.

Même avec une ville et un sol aussi schématiques, la résolution exacte du problème élasto-

dynamique tridimensionnel, incluant les multiples interaction sol structure et structure sol

structure, est extrêmement complexe et inaccessible par un calcul analytique. Cependant, la

complexité du problème peut être grandement réduite si le déplacement en surface varie selon

une grandeur caractéristique significativement plus grande que la taille caractéristique l de

l’ERB ; autrement dit, si au premier ordre, les variations de déplacement (ou de toute autre

grandeur du champ d’onde) sont négligeables à l’échelle de l’ERB. Cette propriété de sépa-

ration d’échelle conditionne l’"homogénéisabilité" du problème (Boutin et Roussillon, 2005;

Sanchez-Palencia, 1987). Elle est valable à des fréquences suffisamment basses pour que la

longueur d’onde λ de la solution dynamique soit considérablement plus grande que l. La suite

des développements s’inscrit systématiquement dans le cadre de cette hypothèse.

En pratique, l’intervalle de fréquence dans lequel la séparation d’échelle est effective (qui

dépend de la géométrie de la ville et des conditions de sol) ne peut être estimé que grossière-

ment. L’estimation la moins restrictive consiste à retenir les fréquences pour lesquelles on a

simplement λ > l. Dans cette hypothèse et en supposant que la longueur caractéristique de

l’ERB est de l’ordre de l = 50 m pour les zones d’urbanisation dense, on se limitera, pour les

deux cas d’étude présentés dans le tableau 4.1, à savoir un quartier de Mexico et un quartier

de Nice, aux intervalles 0 − 1.6 HZ et 0 − 4 Hz respectivement.

Ce chapitre présente deux approches : une approximation en contrainte moyenne et un

modèle de couche limite. Dans l’approximation en contrainte moyenne, la ville est représentée

par une condition aux limites macroscopique équivalente ; on met ainsi en évidence la nature de

l’interaction et le rôle prépondérant de quelques paramètres, peu nombreux, caractéristiques

du sol et de la ville. Dans un deuxième temps, on tire partie du modèle de cône (Meek

et Veletsos, 1974; Wolf, 1994), pour construire une couche limite à partir de la description

schématique du champ rayonné par les fondations. Cette couche limite permet de prendre

en compte l’hétérogénéité de la distribution des contraintes en surface et de différencier le

mouvement en champ libre du mouvement sous les fondations.

4.2. Approximation en contrainte moyenne 229

4.2 Approximation en contrainte moyenne

Il s’agit de l’approximation du premier ordre dans laquelle on suppose donc que tous

les points du même ERB sont animés du même déplacement d’ensemble. Cette hypothèse

permet de déterminer la condition de frontière macroscopiquement équivalente, en écrivant, à

l’interface entre le sol et la ville, l’équilibre entre la contrainte dans le sol d’une part, et les

efforts équivalents exercés par la ville d’autre part. Ces derniers sont calculés en moyennant

sur toute la surface de l’ERB les efforts d’inertie exercés par les bâtiments excités par le même

déplacement d’ensemble à leur base. Constatons que ce calcul très simplifié serait exact si tous

les bâtiments du même ERB reposaient sur une fondation commune parfaitement rigide. Par

conséquent, cette approche introduit un couplage direct entre les structures d’un même ERB

supérieur au couplage réel qui s’exerce par l’intermédiaire du sol. Il faut donc s’attendre à ce

que ce modèle exagère l’effet de l’interaction site ville. Notons d’autre part que les moments

exercés sur la fondation, équivalents à des contraintes de moyenne nulle, ne sont pas pris en

compte par cette vision macroscopique dans laquelle les conditions aux limites ne sont vérifiés

qu’en moyenne.

4.2.1 Ville mono-fréquentielle sur sol homogène

SΓ

MK , C

ρµ , q

Ut = Ub + Us

Us

z

0

UIeikz URe−ikz

Fig. 4.1 – Approximation en contrainte moyenne, ville sur substratum homogène.

On applique, pour commencer, l’approche décrite précédemment au cas d’une ville mo-

nofréquentielle, c’est à dire constituée d’un seul type de bâtiment, périodique, construite sur

un demi-espace infini homogène (figure 4.1). L’ERB, de surface S, inclut un unique bâtiment

représenté par un oscillateur associant une masse M , un ressort de rigidité K, et un amortis-

seur visqueux C. Cet oscillateur est caractérisé par la fréquence de ses oscillations libres non

amorties f0 = ω0/(2π) = 1/(2π)È

K/M et son taux d’amortissement ξ = C/(2√

KM). Le

demi-espace infini est constitué d’un sol homogène élastique de densité ρ, rigidité (module de


cisaillement) µ, et facteur de qualité q. Le principe de correspondance permet de définir un

module de cisaillement complexe, tenant compte de la dissipation matérielle, à utiliser dans

les équations de l’élasticité :

µ∗ = µ

1 +

i

q

, i2 = −1. (4.1)

On définit de même :

– la vitesse (des ondes de cisaillement) β =È

µ/ρ et la grandeur complexe correspondante,

β∗ = β

Ê1 +

i

q≃ β

1 +

i

2q

, (4.2)

– le nombre d’onde complexe,

k =ω

β∗ ≃ ω

β

1 − i

2q

. (4.3)

L’onde sismique incidente est une onde SH harmonique en incidence verticale. Compte tenu

de la linéarité du problème (conservée malgré le facteur de qualité fini), tous les éléments

oscillent à la même pulsation ω qui est celle de l’onde incidente. On définit l’axe vertical Oz,

orienté vers le bas et dont l’origine est choisie sur l’interface Γ entre le sol et la ville. Le

déplacement de l’incidence est donné par UI expi(kz +ωt)

. On introduit, comme dans le cas

classique de la surface libre, une onde réfléchie UR expi(−kz + ωt)

qui se propage vers les

z croissant. Le déplacement à l’interface site ville Γ est noté US exp(iωt), identique dans tous

les ERB en incidence verticale. En ce qui concerne les mouvements des bâtiments, Ut exp(iωt)

et Ub exp(iωt) sont respectivement le déplacement total de la masse dans le référentiel fixe, et

le déplacement relatif par rapport à la base, de telle sorte que :

Ut = Ub + US . (4.4)

Le problème est déterminé par trois équations linéaires, soit en omettant le terme exp(iωt) :

– l’équilibre dynamique de la masse du bâtiment,

−KUb − CiωUb = −Mω2(Ub + Us) (4.5)

– la continuité du déplacement à l’interface Γ

Us = UI + UR (4.6)

– l’équilibre sur la surface S de l’ERB, d’une part de la contrainte dans le sol, d’autre part


de l’effort moyen exercé par la ville,

KUb + CiωUb = −µ∗ik(UI − UR)S (4.7)

On définit encore deux quantités utiles par la suite, la fonction de transfert B(ω) et la réac-

tance F (ω), reliant respectivement le déplacement total de la masse et la force exercée par le

bâtiment, au déplacement de la base :

B(ω) =Ut

US=

ω20 + 2iξωω0

ω20 + 2iξωω0 − ω2

, (4.8)

F (ω) = B(ω)Mω2. (4.9)

De (4.5), on tire :

Ub = (B(ω) − 1)US , (4.10)

et donc :

−KUb − CiωUb = −Mω2B(ω)US = F (ω)US . (4.11)

En réinjectant, (4.7) devient :

UI − UR = P (ω)US , (4.12)

avec :

P (ω) =

1 − i

2q

σ

iω

ω0B(ω), σ =

√KM

S√

µρ. (4.13)

Finalement, la résolution du système d’équations (4.6), (4.10) et (4.12) en fonction de P (ω)

(noté P ) donne :

US =2UI

1 + P, (4.14)

UR =1 − P

1 + PUI , (4.15)

Ut =2B

1 + PUI , (4.16)

et

Ub =2(B − 1)

1 + PUI . (4.17)

On retrouve le cas de la réflexion totale, en l’absence d’interaction site ville, lorsque P (ω) = 0,

c’est à dire, outre le cas statique ω = 0, lorsque σ = 0. σ est le paramètre pertinent pour

évaluer l’importance du phénomène et sera systématiquement utilisé dans la suite.


4.2.2 Analyse de l’effet de la ville monofréquentielle

4.2.2.1 Un paramètre pour estimer l’influence de la ville

Il apparaît clairement dans les résultats précédents que l’amplitude de P conditionne l’effet

de l’interaction site ville sur la réponse sismique dans le cas d’une onde SH en incidence

verticale. P dépend linéairement (4.13) de la valeur du paramètre adimensionnel σ =

√KM

S√

µρ.

Par conséquent, la présence de la ville n’a pas d’influence sur le champ d’onde, lorsque σ tend

vers 0 c’est à dire si la ville est constituée de bâtiments légers (M → 0), souples (K → 0),

et dispersés (S → ∞), construits sur un sol rigide (µ → ∞). Inversement, l’influence de

l’interaction site ville est d’autant plus forte que la ville est densément urbanisée avec des

bâtiments lourds et rigides, et située sur un sol mou.

σ peut être estimé à partir de la formule empirique classique reliant la fréquence de résonance

des structures portiques à leur hauteur Hb :

1

f0= T0 ≃ Hb

30. (4.18)

En introduisant d’autre part la densité ρb du bâtiment et la surface Sb de sa fondation tels

que M = ρbSbHb, on obtient une expression approchée σ0 de σ :

σ =

√KM

S√

µρ=

1

S

M

ρ

ÊK

M

rρ

µ≃ 2π

Sb

S

ρb

ρ

30

β= σ0. (4.19)

On note θ = Sb/S, la densité de la ville. θ = 1/2 paraît atteignable par les villes les plus denses.

ρb est de l’ordre de 250 − 350 kg/m3 et ρ dans l’intervalle 1500 − 2500 kg/m3. La vitesse des

ondes de cisaillement β varie entre 1500 m/s pour un substratum rocheux de bonne qualité et

50 m/s pour un sol sédimentaire très souple. En définitive σ ne semble pas pouvoir dépasser 1.

Dans la pratique, σ = 1/3 est une valeur limite plus réaliste. On obtient par exemple, à partir

des données recueillies par Guéguen et coll. (2002) dans le quartier Roma Norte de Mexico et

le quartier de la Gare à Nice (tableau 4.1), σ0Mex. ≃ 0.25 et σ0

Nice ≃ 0.05.

Mexico - Roma Norte Nice - Gare SudSubstratum

couche 1couche 2

Rapport d’impédance

β(m/s) ρ(kg/m3) q h(m) fl(Hz)

65 1400 25 40 0.4600 2000 50 ∞ /

R = 0.07 R−1 = 13

β(m/s) ρ(kg/m3) q h(m) fl(Hz)

200 1600 25 50 11000 2200 100 ∞ /

R = 0.16 R−1 = 6

Villeθ σ0 ξ

0.5 0.25 0.01 or 0.05θ σ0 ξ

0.33 0.05 0.01 or 0.05

Tab. 4.1 – Profil simplifié de sol et caractéristiques de la ville dans un quartier de Mexico etun quartier de Nice.


4.2.2.2 Dépendance fréquentielle de l’effet site ville

La partie réelle de la réactance (équation (4.9)), c’est à dire la partie résistive (élastique),

non dissipative, est positive pour les fréquences inférieures à la fréquence de résonance, négative

dans le cas contraire (Strasberg et Feit, 1996). Par conséquent, en deçà de la résonance, la

ville agit comme une masse supplémentaire répartie à la surface du sol et au-delà comme un

ressort ou un amortisseur.

Réponse basse fréquence. A très basse fréquence (f ≪ f0), B(ω) est proche de 1 puis

F (ω) ≃ Mω2 ; l’effet du bâtiment est celui d’une masse M qui suit les mouvements de la

surface (Ub ≃ 0). Dans ces conditions, une valeur approchée de P est donnée par :

P (ω) ∼ωω0

→0σ

iω

ω0

1 − i

2q

−−−−→

ωω0

→00 (4.20)

On constate que l’interaction site ville disparaît aux fréquences significativement plus basses

que celle de la ville. D’autre part, en remarquant qu’avec q ≫ 1 :

P (ω) ∼ωω0

→0σ

iω

ω0= i

√KM

S√

µρ

ωÈK/M

= 2πM

ρSλ, (4.21)

on déduit une interprétation physique de P à basse fréquence comme le ratio (au facteur 2π

près) entre la masse de l’ERB et la masse de sol sous-jacente ramenée à une longueur d’onde λ.

Plus la fréquence est basse, plus la longueur d’onde et donc la masse de sol mise en mouvement

est grande, moins le masse de la ville est, en comparaison, significative.

SΓ

K

UIeikz URe−ikz

Fig. 4.2 – interaction site ville à haute fréquence : frontière élastique.


Réponse haute fréquence. Supposons dans un premier temps un amortissement structurel

ξ nul. Dans ce cas, à haute fréquence (f ≫ f0) :

B(ω) ∼ωω0

→+∞

ω0

ω

2

−−−−−−→ωω0

→+∞0, (4.22)

⇒ P (ω) ∼ωω0

→+∞iσ

ω0

ω

−−−−−−→

ωω0

→+∞0, (4.23)

et l’effet de la ville s’évanouit : US → 2I. D’autre part, le déplacement total Ut de la masse du

bâtiment tend vers 0 et la réactance F (ω) = Mω2B(ω) ≃ K. La ville agit comme une frontière

élastique (figure 4.2) et P pèse l’importance de cet apport de rigidité comparativement à la

rigidité propre du sol :

P (ω) ∼ωω0

→+∞iσ

ω0

ω

=

i

2π

K/S

µ/λ. (4.24)

En présence d’amortissement structurel (ξ 6= 0),

P (ω) −−−−−−→ωω0

→+∞2σξ

1 − i

2q

6= 0, (4.25)

et puisque usuellement ξ ≪ 1 et q ≫ 1, un léger effet de la ville, comme frontière absorbante,

demeure aux hautes fréquences.

Comportement au voisinage de la résonance. Toutefois l’essentiel du phénomène se

produit au voisinage de la résonance de la ville où, dans le cas (théorique) d’amortissement

structurel nul, le déplacement de l’interface US(ω0) est nul. La ville est, pour le sol, semblable à

une frontière parfaitement rigide. Autour de la résonance, la plage de fréquence pour lesquelles

subsistent une désamplification notable du signal (comparativement au cas sans effet site ville :

US(ω) = 2UI) est d’autant plus large que σ est grand (figure 4.3). Inversement pour les villes

de σ proches de 0 (villes peu denses...), la zone perturbée est très étroite mais la valeur de

déplacement nul à la résonance demeure du fait de l’amplification infinie des structures en

l’absence d’amortissement. Dans le cas plus réaliste de structures amorties, cette singularité

disparaît ; cependant l’influence de la ville sur la réponse sismique reste significative :

B(ω) −−−−→ωω0

→1

1 + 2iξ

2iξ(4.26)

⇒ P (ω) −−−−→ωω0

→1

σ

2ξ(1 + 2iξ)

1 − i

2q

≃ σ

2ξ, (4.27)


0 0.5 1 1.5 2−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ω/ω0

P/i

σ

(a) P fonction de σ

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

ω/ω0

|US/U

I|

σ

(b) désamplification fonction de σ

Fig. 4.3 – Effet de la ville avec amortissement structurel nul.

puis,

US ∼ωω0

→12I

2ξ

σ + 2ξ, (4.28)

Ut ∼ωω0

→1Ub ∼ω

ω0→1

− 2Ii

σ + 2ξ. (4.29)

La ville agit comme un milieu de grande impédance σ/(2ξ) provoquant une nette désamplifica-

tion des déplacements à l’interface sol ville ainsi que des déplacements internes et absolus des

bâtiments. L’amortissement structurel a un rôle prépondérant (équation (4.28)), en revanche

l’influence de l’amortissement matériel dans le sol est du second ordre. On verra au 4.2.3

que cette propriété tient toujours avec un sol stratifié malgré les multiples réflexions dans la

couche. La figure 4.4 présente les variations de US avec la fréquence pour des valeurs de ξ et σ

estimées à Nice et Mexico (tableau 4.1). On se limite aux plages de fréquences pour lesquelles

l’hypothèse de séparation d’échelle semble raisonnable (section 4.1). On observe que :

– la présence de la ville induit une décroissance de la réponse spectrale US quelque soit la

fréquence,

– l’effet et la largeur spectral de la perturbation augmente quand σ augmente (σ0Mex. >

σ0Nice),

– l’amplitude minimale est observée au voisinage de la résonance, d’autant plus faible que

l’amortissement structurel ξ est faible.


Remarque — la première propriété peut être aisément démontrée en remarquant que :

ReP (ω)

= Re

σ

iω

ω0B(ω)

= Re

2σξ

ωω0

4+ iσ ω

ω0

1 + (4ξ2 − 1)

ωω0

2 1 −

ωω0

2+ 2iξ ω

ω0

2

Ǒ≥ 0

⇒ ‖1 + P‖ = ‖1 + Re(P ) + i Im(P )‖ =

r1 + Re(P )

2+

2Im(P ) ≥ 1 .

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

frequency (Hz)

Us/U

I

ξ = 0.01ξ = 0.05Ricker spectrum

0 10 20 30 40 50

0

1

time (s)

u s(t)

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

frequency (Hz)

Us/U

I

0 5 10 15 20

0

1

time (s)

u s(t)

Mexico (half space)

Mexico (half space)

Nice (half space)

Nice (half space)

fR = f

0

fR = f

0

incident wave (Ricker)

ξ = 0.05

ξ = 0.01

Fig. 4.4 – Ville monofréquentielle sur sol homogène. A gauche : spectre de réponse à une ondeSH en incidence verticale, du mouvement total en surface. A droite : réponse temporelle àune ondelette de Ricker dont la fréquence centrale coïncide avec la fréquence de résonance desbâtiments f0. Les propriétés du substratum homogène sont prises égales à celles de la couchesupérieure supportant, en haut la ville de Mexico, en bas la ville de Nice.

4.2.2.3 Caractéristiques temporelles de l’effet site ville

On se propose d’étudier l’effet de l’interaction site ville dans le domaine temporel. Pour cela

on calcule la réponse temporel du système site ville soumis à une onde incidente impulsionnelle,

soit UI(t) = δ(t) et UI(ω) = 1. L’amortissement matériel dans le sol, dont le rôle secondaire

a été souligné, est ici négligé. On s’intéresse particulièrement à la différence des réponses en

présence (US(t)) et en absence (2UI(t)) de la ville, notée Ud(t). D’après l’équation (4.14), on


peut écrire dans le domaine fréquentiel que :

Ud = US − 2UI = −2UIP

1 + P= −2UI

σ

1 + 2σξ(−2ξω2 + iωω0)J(ω), (4.30)

avec

J(ω) =1

−ω2 + 2iζωΩ0 + Ω20

, Ω0 =ω0√

1 + 2ξσ, ζ =

ξ + σ/2√1 + 2ξσ

.

Par conséquent, dans le domaine temporel, Ud(t) est relié à J(t), transformée de Fourier inverse

de J(ω), par :Ud(t)

ω0= − 2σ

1 + 2ξσ

2ξ

ω0

¨J(t) +

˙J(t)

, (4.31)

où, comme ζ est plus petit que 1 pour les valeurs usuelles de σ, J(t) est donné par :

J(t) =1

ΩÈ

1 − ζ2sinΩ0

È1 − ζ2t

exp(−ζΩ0t). (4.32)

D’où finalement :

Ud(t) =2σ

1 + 2ξσ

ζω0 − 2ξ(2ζ2 − 1)Ω0È

1 − ζ2sinΩ0

È1 − ζ2t

+ (4ζξΩ0 − ω0) cos

Ω0

È1 − ζ2t

!exp(−ζΩ0t). (4.33)

On note que la présence de la ville conduit à une réponse oscillatoire amortie, différée dans

le temps et non plus instantanée comme dans le cas du champ libre. Ce délai existe même

en l’absence d’amortissement et n’est pas dû à d’éventuelles réflexions de couches puisque le

sol est homogène, mais correspond au temps de retour à l’équilibre des structures dont les

oscillations interagissent à travers le sol. La pseudo-pulsation des oscillations Ω0 est proche

mais légèrement inférieure à la pulsation propre des structures sur base rigide ω0. Le temps

caractéristique de relaxation τ vaut 1/(ζΩ0), inversement proportionnel à σ et ω0 si on néglige

l’amortissement ξ. Donc à ω0 fixée, plus σ est grand, plus la décroissance des oscillations

est rapide tandis que l’amplitude initiale de la perturbation (= O(2ω0σ)) est plus forte. La

dépendance de la réponse selon σ résulte donc d’un compromis entre durée et amplitude

de l’effet site ville. Ces conclusions restent valables dans leur totalité si on tient compte de

l’amortissement structurel dont l’effet est essentiellement (comme il apparaît clairement dans

la réponse spectrale, figure 4.4) de limiter l’amplitude de la perturbation mais aussi, comme on

peut s’y attendre avec un retour à l’équilibre plus rapide des structures, sa durée. On retrouve

ces résultats à la figure 4.5 où est représenté Ud(t) pour des valeurs réalistes de ξ et σ.

Remarque — on veillera à ne pas conclure de ce qui précède, en contradiction avec l’analyse


0 5 10 15−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

temps (s)

Ud(t

)

ξ=0.01

σ = 0.05σ = 0.25

0 5 10 15−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

temps (s)U

d(t)

ξ=0.05

σ = 0.05σ = 0.25

Fig. 4.5 – Perturbation de la réponse impulsionnelle de l’interface en présence d’effet site ville(ξ = 0.01 et 0.05 ; σ = 0.05 et 0.25).

fréquentielle, qu’un σ élevé contribue à amplifier la réponse de l’interface US(t). Un σ fort

implique une perturbation forte, ce qui se traduit au contraire par une réponse (fortement)

atténuée pendant la durée du signal incident puis, au-delà, oscillante jusqu’à l’équilibre et non

plus nulle comme en l’absence de ville. Ce phénomène est illustré à la figure 4.4 présentant

l’effet de l’interaction site ville sur la réponse temporelle, pour les villes de Nice et Mexico

dont le sol est supposé homogène. L’onde incidente est un Ricker dont la fréquence centrale

coïncide avec celle de la ville de façon à maximiser l’effet site ville :

UI(t) =

π

t − tstp

2− 1/2

exp

−π

t − tstp

2

où tp =1

f0. (4.34)

ts, choisi librement, est l’instant où le Ricker atteint sa valeur (négative) maximale. Au delà de

t = ts + tp, l’amplitude du Ricker peut être considérée comme nulle, et la ville entre en régime

(transitoire + permanent) d’oscillations libres. L’estimation de σ pour la ville de Mexico, très

dense et construite sur un sol lacustre extrêmement souple, est nettement supérieure au cas

de Nice σ0Mex. > σ0

Nice. En parfait accord avec l’analyse qui précède, on note que :

– la durée de la réponse (en terme de nombres d’oscillations) est plus longue dans le cas

de Nice que dans celui de Mexico ;

– En revanche, la ville de Mexico atténue plus fortement l’excitation (cf. amplitude pour

t ≃ ts) mais les oscillations qui suivent immédiatement la fin du Ricker, quoique amorties

plus rapidement, sont plus fortes que dans le cas de Nice.


4.2.2.4 Effet de l’interaction site ville sur la réponse des bâtiments

De (4.17), on tire :

Ub = 2UI1

1 + 2ξσω2J(ω).

On en déduit la réponse impulsionnelle d’un bâtiment soumis à l’effet site ville : Ub(t) = − 2

1 + 2ξσbJ(t)

=2Ω0

1 + 2ξσ

2ζ cos

Ω0

È1 − ζ2t

+

1 − 2ζ2È1 − ζ2

sinΩ0

È1 − ζ2t

!exp(−ζΩ0t).

4.2.3 Ville mono-fréquentielle sur sol stratifié

On considère maintenant le cas d’une ville mono-fréquentielle, c’est à dire constituée d’os-

cillateurs de même fréquence de résonance f0, fondée sur un sol stratifié composé :

– d’un substratum rocheux de densité ρ2, rigidité µ2 et facteur de qualité q2 ;

– d’une couche superficielle horizontale d’épaisseur constante h et de propriétés mécaniques

ρ1, µ1 et q1.

On note R le contraste d’impédance entre sol et substratum, ou encore R∗ le contraste d’im-

pédance complexe incluant la dissipation matérielle :

R =

rµ1ρ1

µ2ρ2R∗ = R

1 + i/2q1

1 + i/2q2

En l’absence de ville, cette configuration induit un effet de site (Aki, 1988) : le mouvement

en surface libre est amplifié d’un facteur 2/R (en négligeant l’amortissement hystérétique,

cf. annexe A), aux fréquences propres de la couche. Sous incidence normale, la fréquence

fondamentale fl correspond à la résonance quart d’onde de la couche, à savoir fl = β1/(4h),

tandis que les harmoniques supérieurs sont données par la relation fln = (2n − 1)fl.

En présence de la ville, effet de site et effet site ville se combinent. On écrit, pour une onde

SH en incidence verticale, la continuité du déplacement et de la contrainte, en surface et à

l’interface entre les deux couches :

U+1 + U−

1 = Usl,

U+1 − U−

1 = P (ω)Usl,

U+1 exp(ik1h) + U−

1 exp(−ik1h) = U+2 exp(ik2h) + U−

2 exp(−ik2h),

R⋆[U+1 exp(ik1h) − U−

1 exp(−ik1h)] = U+2 exp(ik2h) − U−

2 exp(−ik2h),

où U+i , U−

i et ki désignent respectivement l’onde se propageant vers le haut (+), ou vers le

bas (−), ainsi que le nombre d’onde, dans la couche i = 1, 2 (cf. figure 4.6). Il s’en suit que,

pour une onde incidente d’amplitude I = U+2 exp(ik2h), le déplacement Usl sur Γ est donné


SΓ

MK , C

ρ1

µ1 , q1

Ut = Ub + Usl

Usl

z

0

U+1 eik1z U−

1 e−ik1z

U+2 eik2z U−

2 e−ik2z

h

ρ2

µ2 , q2

Fig. 4.6 – Approximation en contrainte moyenne, ville sur sol stratifié.

par :

Usl = 2I2

(1 + R⋆)(1 + P ) exp(ik1h) + (1 − R⋆)(1 − P ) exp(−ik1h)(4.35)

La ville modifie le spectre de réponse en surface libre (que l’on retrouve pour P = 0) particu-

lièrement au voisinage de la résonance des bâtiments où P (ω) atteint son amplitude maximale.

Comme pour le sol homogène, l’effet site ville est d’autant plus fort que le rapport σ/(2ξ) est

grand. A chaque pulsation propre de la couche ωln, l’amplitude du déplacement en surface

vaut :

‖Usl(ωln)‖ =2I

‖R⋆ + P (ωln)‖ ,

contre ‖Usl(ωln)‖ = 2/R∗ en surface libre (c’est à dire sans ville). Dans le cas non-amorti

(qi = +∞ et ξ = 0), il est possible de démontrer analytiquement que la présence de la ville,

d’une part atténue l’effet d’amplification du mouvement sismique par la couche de sol, d’autre

part modifie les fréquences de résonance pour lesquelles l’amplification est maximale.

Ces caractéristiques de l’effet site ville apparaissent clairement sur les spectres des figures 4.7

et 4.8, calculés à partir des données de sous-sol des villes de Mexico et Nice (tableau 4.1), et

pour différentes valeurs du rapport entre la fréquence de la ville et celle de la couche de sol

f0/fl. L’influence de la ville, plus forte pour Mexico que pour Nice (σ0Mex. > σ0

Nice), se traduit

de la manière suivante :

– Dans le domaine fréquentiel, la perturbation du spectre de réponse en surface est maxi-

male quand la fréquence des bâtiments coïncide avec l’une des fréquences propres de la

couche (f0/fl = 1, 3, etc.). On observe dans ce cas, le dédoublement du pic d’amplifi-

cation en (deux) pics d’amplitude moindre, tandis qu’à la fréquence propre considérée,

l’amplitude de la réponse spectrale est de l’ordre de 2/(R + σ/(2ξ)) au lieu de 2/R en

l’absence de ville. Si inversement la fréquence de bâtiments ne coïncide pas avec une

fréquence propre de la couche de sol (f0/fl = 1/2, 3/2, etc.), l’interaction site ville fait

apparaître un nouveau pic, centré asymétriquement sur la fréquence des bâtiments (voir


0 50 100 150 200

01

time (s)

u sl(t)

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

Usl

ξ =0.01ξ =0.05without cityRicker spectrum

0 20 40 60 80 100

01

time (s)

u sl(t)

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

Usl

0 20 40 60

01

time (s)

u sl(t)

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

Usl

0 10 20 30 40 50

01

time (s)

u sl(t)

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

Usl

0 10 20 30

01

time (s)

u sl(t)

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

Usl

f0/f

l = 1/2

fR

= f0

f0/f

l = 1

fR

= f0

f0/f

l = 3/2

fR

= f0

f0/f

l = 2

fR

= f0

f0/f

l = 3

fR

= f0

ξ = 0.01

ξ = 0.05

without city

Fig. 4.7 – Villes mono-fréquentielles sur sol stratifié. Données de la ville de Mexico. De hauten bas : f0/fl = 1/2, 1, 3/2, 2 et 3. Pour d’autres commentaires, voir figure 4.4.


0 20 40 60 80

01

time (s)

u sl(t)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

Usl

ξ =0.01ξ =0.05without cityRicker spectrum

0 10 20 30 40

01

time (s)

u sl(t)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

Usl

0 5 10 15 20 25

01

time (s)

u sl(t)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

Usl

0 5 10 15 20

01

time (s)

u sl(t)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

Usl

0 5 10

01

time (s)

u sl(t)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

Usl

f0/f

l = 1/2

fR

= f0

f0/f

l = 1

fR

= f0

f0/f

l = 3/2

fR

= f0

f0/f

l = 2

fR

= f0

f0/f

l = 3

fR

= f0

ξ = 0.01

ξ = 0.05

without city

Fig. 4.8 – idem figure 4.7, avec les données de la ville de Nice.


par exemple les figures 4.7 et 4.8 pour f0/fl = 0.5), et/ou induit une modification des

fréquences dominante de la couche (figures 4.7 et 4.8 avec f0/fl = 2 par exemple) :

Comme on l’a vu à la section 4.2.2.2, la ville se comporte en-dessous de sa fréquence de

résonance comme une masse additionnelle, ce qui provoque le décalage vers les basses

fréquence des pics d’amplification de la couche ; inversement, les pics d’amplification

situés au-dessus de la fréquence de la ville sont décalés vers les hautes fréquences sous

l’effet de la ville agissant comme une frontière élastique. Dans tous les cas, l’accroisse-

ment de l’amortissement structurel a tendance à lisser les perturbations de l’effet site

ville (comparer les courbes des figures 4.7 et 4.8 pour ξ = 0.01 et ξ = 0.05).

– La réponse temporelle à une ondelette de Ricker, dont la fréquence centrale coïncide

avec la fréquence des bâtiments (équation (4.34)) est également présentée. Le dédou-

blement des pics de résonance produit des battements dans le signal. L’importance de

ces battements est le résultat d’un compromis entre leur période et l’amplitude de la

perturbation, tous deux liées à l’écart de fréquence entre les deux pics jumeaux ; il n’est

donc pas contradictoire qu’ils apparaissent plus clairement avec les données relatives à

la ville de Nice malgré une interaction site ville moindre. Par ailleurs, un accroissement

significatif de la durée du signal est systématiquement observé, y compris pour les pics

asymétriques. Cependant, pour des mouvements sismiques à large spectre, il y a tout

lieu de penser que l’influence des bâtiments dont la fréquence est éloignée d’une fré-

quence propre de la couche de sol, sera masquée par l’effet dominant de la résonance de

couche. Par conséquent, la perturbation due à l’effet site ville est à attendre principale-

ment des bâtiments dont les fréquences sont proches des fréquences propres de la couche.

Étudiant la même configuration site ville, Guéguen, Bard et Chavez-Garcia (2002) ont

proposé un indicateur de l’importance de l’effet site ville, E , basé sur une comparaison de

l’énergie cinétique dans le sol et dans la ville, en supposant que la couche oscille essentiellement

à sa fréquence de résonance et que la fréquence des bâtiments est supérieur à celle de la couche.

Pour une ville mono-fréquentielle, E s’écrit :

E = θρb

ρ

Hb

h

fl

f0

2

,

alors qu’avec les mêmes paramètres, σ prend la forme :

σ =1

S

M

ρ

ÊK

M

rρ

µ=

π

4θ

ρb

ρ

Hb

h

f0

fl.

La comparaison de E et σ montre que ces deux paramètres coïncident quand f0/fl ≃ 1. Leurs

significations physiques différentes (contraste d’impédance contre ratio d’énergie cinétique)

expliquent sans doute qu’ils divergent aux autres fréquences.


4.2.4 Généralisation aux villes multi-fréquentielles

La généralisation du modèle de ville mono-fréquentielle au cas multi-fréquentiel, plus réa-

liste, ne présente pas de difficulté. Le bloc élémentaire représentatif (ERB) est constitué, cette

fois, de N bâtiments différents (indexés par n) distribués sur sa surface S. La densité urbaine

relative aux bâtiments d’indice n est donnée par θn = Sbn/S et la densité urbaine totale est

θ =PN

1 θn. De la même manière, tous les paramètres définis précédemment pour la ville

mono-fréquentielle sont indexés par n pour caractériser les bâtiments de type n.

4.2.4.1 Sol homogène

Si on considère la réponse à une onde S en incidence verticale, la seule différence entre une

ville mono et multi-fréquentielle apparaît dans l’équilibre des forces (équation (4.7)) faisant

intervenir la somme des efforts transmis par chaque bâtiment n. On définit alors par analogie

avec ce qui précède la fonction PM (M pour Multi) incluant les contributions de tous les

bâtiments de l’ERB :

PM (ω) =

1 − i

2q

NXn=1

σniω

ω0nBn(ω) avec σn =

√KnMn

S√

µρ.

En introduisant une nouvelle fois l’équation empirique reliant la période d’une structure por-

tique à sa hauteur (Tbn ≈ Hbn/30), il vient :

σn ≈ θn

θσ0.

Le mouvement en surface du sol et l’amplitude de l’onde réfléchi sont données par :

UsM =2I

1 + PM, URM = I

1 − PM

1 + PM,

tandis que les déplacements interne et total sont différents pour chaque bâtiment :

Utn =2I

1 + PMBn , Ubn =

2I

1 + PM(Bn − 1) .

Les propriétés des Pn se cumulant dans la fonction PM , la perturbation spectrale due à l’effet

site ville s’étend sur tout l’intervalle des fréquences des bâtiments, et puisque σn < σ0, son

amplitude est inférieure au cas de la ville mono-fréquentielle de même σ0. Ce point apparaît

clairement si on compare les spectres de la figure 4.4, à ceux de la figure 4.9 obtenus pour une

ville multi-fréquentielle constituée de 5 types de bâtiments différents (f0n/fl = 1/2, 1, 3/2, 2 et

3), présents en densité égale (θn/θ = 1/5). Par conséquent, dans la gamme de fréquence de la

séparation d’échelle, la ville a plus d’influence si elle est constituée de bâtiments comparables

plutôt que de bâtiments présentant une grande dispersion de fréquence.


0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

frequency (Hz)

UsM

0 10 20 30 40 50

0

1

time (s)

u sM(t

)

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

frequency (Hz)0 5 10 15 20

0

1

time (s)

u sM(t

)

Mexico (half space)

Nice (half space)

Mexico (half space)

Nice (half space)

ξ = 0.01

ξ = 0.05


fR = f

0

fR = f

0

UsM

Fig. 4.9 – Ville multi-fréquentielle sur substratum homogène. Ville composée de 5 types debâtiments, en densité égale, de fréquences de résonance f0/2, f0, 3f0/2, 2f0, 3f0. Pour d’autrescommentaires se référer à la figure 4.4.


Étant donné la complexité de l’expression de PM , le calcul analytique direct de la réponse

impulsionnelle par la transformée de Fourier est fastidieux. Néanmoins, deux constantes de

temps, τ0 et τ∞, caractérisant la décroissance exponentielle de la réponse temporelle , respec-

tivement aux temps courts (ω → +∞) et aux temps longs (ω → 0) peuvent être calculés à

partir des approximations haute et basse fréquence de PM . On trouve à faible amortissement

dans les bâtiments et dans le sol :

τ0 =1 + 2

PNn=1 σnξnPN

n=1 σnω0n

, τ∞ =

PNn=1

1+2σnξn

ω20nPN

n=1σn

ω0n

.

4.2.4.2 Sol stratifié

Le passage de la ville mono-fréquentielle à la ville multi-fréquentielle est tout aussi direct

que dans le cas du sol homogène. Le déplacement en surface noté UslM est obtenu en substi-

tuant PM à P dans l’expression (4.35), tandis que les déplacements interne et total, différents

pour chaque bâtiment sont donnés par :

Utn = UslMBn , Ubn = UslM (Bn − 1) .

La perturbation résultant de l’interaction entre le site et la ville multi-fréquentielle est plus

complexe que dans le cas mono-fréquentielle (figure 4.10) ; cependant, la caractéristique prin-

cipale de cet effet site ville, à savoir le fait qu’il est dominé par les bâtiments dont la fréquence

de résonance coïncide avec celle de la couche, est conservée. Le calcul de la réponse temporelle

à une ondelette de Ricker, dont la fréquence centrale coïncide avec la fréquence propre de la

couche, montre que le signal peut présenter des battements encore plus marqués que pour la

ville mono-fréquentielle (comparer par exemple la figure 4.10 pour Mexico avec la figure 4.7

pour f0/fl = 1) ; ce qui, on le rappelle, n’est pas contradictoire avec un effet site ville moins

prononcé mais résulte d’un « meilleur » compromis entre amplitude et période des battements.

4.3 Modèle de couche limite

L’approximation en contrainte moyenne a permis de mettre en évidence des caractéristiques

fondamentales de l’effet site ville. Néanmoins, cette approche est limitée par le fait que le

problème de propagation d’ondes n’est résolu qu’en moyenne, autrement dit à l’échelle de la

ville. En particulier, le champ de déplacement en surface, défini de manière unique sur toute la

surface de la ville, ne permet pas de rendre compte de la disparité des mouvements à l’échelle

local, c’est à dire à l’échelle de l’ERB, entre les fondations des bâtiments et la surface libre.

Pour améliorer cette analyse, il est nécessaire de prendre en compte la distribution de

contraintes en « créneaux » (constante sous les bâtiments, nulle en surface libre) à l’interface

site ville. Le calcul exact du champ d’onde généré par cette condition aux limites complexe

4.3. Modèle de couche limite 247

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

Usl

M

ξ = 0.01ξ = 0.05without cityRicker spectrum

0 20 40 60 80 100

01

time (s)

u slM

(t)

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)0 10 20 30 40

01

time (s)

u sM(t

)

Mexico

Nice

Mexico

Nice

fR = f

l

fR = f

l

Usl

M

ξ = 0.01

ξ = 0.05

without city

Fig. 4.10 – Ville multi-fréquentielle sur sol stratifié. Ville composée de 5 types de bâtiments, endensité égale, de fréquences de résonance f0/2, f0, 3f0/2, 2f0, 3f0. Pour d’autres commentairesse référer à la figure 4.4.


pourrait être effectué en utilisant l’une des méthodes numériques sophistiquées mentionnées

précédemment. Nous considérons ici une approche alternative permettant d’affiner la descrip-

tion du champ d’onde tout en conservant les avantages d’un calcul analytique. L’idée directrice,

à la base de cette nouvelle approximation, consiste à définir (à partir de considérations phy-

siquement fondées) une couche limite réalisant la transition entre la distribution hétérogène

de contraintes à l’interface site ville et une répartition homogène à une certaine profondeur.

Nous utilisons à cette fin le modèle de cône qui fournit une description approchée du champ

rayonné par une fondation de surface (cf section 3.1.3).

Dans ce qui suit, le sol est supposé élastique afin d’alléger la présentation. Cependant,

ces développements sont parfaitement généralisables pour tenir compte d’un amortissement

hystérétique, en substituant simplement à la rigidité du sol µ la rigidité complexe µ(1 + i/q),

où q est le facteur de qualité.

4.3.1 Bref rappel du modèle de cône

On revient très brièvement sur le modèle de cône de translation présenté en détail à la

section 3.1.3. Soit donc une fondation superficielle de surface S0 et de rayon (équivalent) r0 =ÈS0/π, soumise à une force horizontale harmonique T0 exp(iωt) (figure 4.11). Les hypothèses

T0,u0

r0

z0 = αr0z

S(z)

u(z)=u0 uc(z)

Γ

Fig. 4.11 – Champ de cône. Rappel des notations.

du modèle de cône conduisent aux expressions analytiques :

– du champ rayonné par la fondation à l’intérieur du cône (équation (3.3)) :

u(z) = u0uc(z) avec uc(z) =z0

zexp

−ik(z − z0)

et k =

ω

β. (4.36)

Le champ « unitaire » uc est appelé, par commodité, « champ de cône » ;


– du champ de contrainte (équation (3.4)) :

τ(z) = −µ(ik + 1/z)u(z) ; (4.37)

– de l’impédance en translation horizontale, notée ici G par souci de cohérence :

G = T0/u0 = µS0(ik + 1/z0) avec z0/r0 = α =π

8(2 − ν) . (4.38)

Notez que l’ouverture du cône est assez importante quelque soit la valeur du coefficient

de Poisson ν. Pour ν = 1/3 par exemple, α = z0/r0 ≃ 2/3.

Wolf (1994) montre que l’hypothèse de diffusion conique des déformations est réaliste, de sorte

que l’impédance dynamique peut être estimée en négligeant la portion de sol située en dehors

de cône. La proximité des valeurs d’impédance issues du modèle de cône, avec les résultats

du calcul numérique « exact » (3.1.3.4), semble confirmer cette thèse. Par conséquent, tout

est réuni pour penser que le modèle de cône fournit une fonction de Green dont la précision

est valable pour le problème étudié, tout du moins pour les déplacements de la portion de sol

située au-dessous de la fondation. Cependant, le point faible du modèle de cône est l’absence

de description du champ d’onde à l’extérieur du cône. Pour une distribution périodique de

fondations, cette lacune est partiellement comblée grâce à la couche limite introduite à la

section suivante.

4.3.2 Ville sur substratum homogène

On introduit une couche limite pour décrire la distribution périodique des fondations. On

en déduit l’effet site ville par comparaison avec la réponse d’un bâtiment isolé, en interaction

simple, calculée préalablement.

4.3.2.1 Bâtiment isolé

Disposant de l’estimation de l’impédance obtenue grâce au modèle de cône, la réponse à

une onde S en incidence verticale, d’un bâtiment isolé en interaction avec le sol de fondation,

peut être calculée très facilement en notant, comme il a été re-démontré au chapitre 1, qu’en

l’absence d’interaction cinématique, la réponse est celle d’un bâtiment posé sur des « ressorts

de sol » dont la base est excitée par le mouvement sismique en champ libre (c’est à dire en

l’absence de superstructure). On privilégie cependant une approche directe (et strictement

équivalente) afin d’établir un parallèle entre l’interaction simple étudiée ici et l’interaction

multiple, site ville, qui est l’objet de la section suivante.

On note I l’amplitude identique des ondes incidente et réfléchie s’équilibrant en l’absence de

structure. En présence du bâtiment, il convient de superposer à ces champs le champ rayonné

par la fondation sous la forme d’une onde de cône d’amplitude en surface u1 inconnue. De cette

manière, la condition de champ libre (contrainte nulle) est respectée en dehors de la fondation,


tandis que la résultante des efforts exercés sur la fondation par le champ de contrainte conique

vaut, par définition de l’impédance : T ′1 = −Gu1. Par ailleurs T ′

1 équilibre la force exercée par

le bâtiment sur sa fondation : T ′1 = −Tb = −F (ω)(2I + u1) (équation (4.9)). On en déduit

l’amplitude du champ rayonné u1, puis du déplacement total de la fondation noté USSI :

USSI =2I

1 − F/G. (4.39)

Avec cette approximation, le mouvement en surface libre n’est pas modifié par la présence du

bâtiment : UΓ = 2I. Enfin, les déplacements, total et relatif, de l’oscillateur sont donnés par :

UtSSI = B(ω)USSI , UbSSI = (B(ω) − 1)USSI .

4.3.2.2 Détermination d’une couche limite pour une distribution périodique de

fondations

L’attention est maintenant portée sur le champ approché rayonné par une distribution

bidimensionnelle, périodique, de fondations superficielles identiques, soumises simultanément

à la même force harmonique T0 exp(iωt). À cette fin, on définit une couche limite adaptée à

cette distribution en créneau des contraintes en surface.

Notons que les champs de cône rayonnés par les fondations interceptent quasiment toute

la surface du substratum à une profondeur Z déterminée par l’ouverture des cônes α et la

densité urbaine θ (figure 4.12) :z0

Z + z0

2

= θ ⇒ Z = (1/√

θ − 1)αr0 . (4.40)

Par construction, Z définit l’épaisseur de la couche limite. À la profondeur Z le déplacement

et la contrainte peuvent être considérés, en négligeant en première approximation les zones

dans lesquelles le champ est nul ou, au contraire, la superposition de deux champs de cône

(cf. géométrie 2D), comme uniformes et données par (équations (4.36) et (4.37)) :

u(z0 + Z) =z0

z0 + Zu0 exp(−ikZ)

τ(z0 + Z) = −µik +

1

z0 + Z

z0

z0 + Zu0 exp(−ikZ)

Ce champ, uniforme à la profondeur Z, pourrait être équilibré par un couple d’ondes S se

propageant, en dessous de Z, l’une vers le haut (z décroissant) et l’autre vers le bas (z crois-

sant). Cette solution doit être écartée puisqu’elle contient une onde provenant du substratum,

qui n’a pas de signification physique dans ce problème de champ rayonné par les fondations.

Ceci nous conduit à introduire, à l’intérieur même de la couche limite, un système de deux

ondes S se propageant dans la direction opposée, qui ne modifie pas les contraintes en surface


(en z = z0) et permet d’équilibrer le champ total à la profondeur Z par une unique onde

S se propageant en-dessous de la couche limite vers l’infini (figure 4.12). D’un point de vue

physique, ces deux ondes additionnelles représentent le champ diffracté global, généré par les

multiples interactions entre fondations.

T0,u0

u(z)

T0,u0T0,u0

u(z) u(z)

0z0

Z

z

Eu0e−ik(z−z0)

Du0eik(z−z0) Du0e

−ik(z−z0)

Γ

Fig. 4.12 – Description de la couche limite et principales notations.

Afin de conserver des notations aussi simples que possibles, les amplitudes de tous les

champs sont normés par rapport au déplacement u0, de sorte que :

– u0D− exp

−ik(z − z0)

et u0D

+ expik(z − z0)

désignent les ondes diffractées dans la

couche limite,

– et u0E exp−ik(z − z0)

l’onde propagée au-dessous de la couche limite vers l’infini.

La condition aux limites en surface (contrainte nulle en surface libre, efforts exercés par la

fondation équilibrés par l’onde de cône) impose une même amplitude pour les ondes montante

et descendante diffractées dans la couche limite : D+ = D− = D. Par ailleurs, la continuité

de la contrainte et du déplacement en z = z0 + Z se traduit par le système d’équation :

z0

z0 + Zexp(−ikZ) + D exp(−ikZ) + D exp(ikZ) = E exp(−ikZ) ,

−

1 +1

ik(z0 + Z)

z0

z0 + Zexp(−ikZ) − D exp(−ikZ) + D exp(ikZ) = −E exp(−ikZ) ,

de solutions :

2D =1

ik(z0 + Z)

z0

z0 + Zexp(−2ikZ) = θ

exp(−2ikZ)

ikz0, (4.41)

E =

1 +

1 + exp(−2ikZ)

2ik(z0 + Z)

z0

z0 + Z=

√θ

1 +

√θ1 + exp(−2ikZ)

2ikz0

. (4.42)

Finalement le champ total dans la couche limite, normalisé par u0, est la superposition du

champ de cône rayonné par chaque fondation et du champ d’interaction. Ce champ non ho-

mogène vaut donc : ÜU(z) =

8<:2D cosk(z − z0)

+ uc(z) dans les cones,

2D cosk(z − z0)

hors des cones.

(4.43)


Au passage, on constate que tout l’intérêt de cette approche est de permettre de différencier

le déplacement à la base de chaque bâtiment, ÝU0 = (1+2D), du déplacement en surface libre,ÝU0 = 2D.

L’« impédance périodique » reliant la force exercée sur la fondation, au déplacement effectif

de la fondation prend la forme :

GP =T0

u0(1 + 2D)=

G

1 + θ exp(−2ikZ)/ikz0.

Pour une ville très dense (θ → 1 ⇒ Z → 0), GP tend vers iµkS, à savoir l’impédance d’un sol

uniformément chargé, reflétant ainsi l’effet dominant des multiples interactions. Inversement,

on retrouve l’impédance d’une fondation isolée G pour les densités urbaines faibles (θ → 0).

4.3.2.3 Analyse de l’effet de la ville mono-fréquentielle

u(z)u(z) u(z)

0z0

Z

z

Du0eik(z−z0) Du0e

−ik(z−z0)

Γ

Au0e−ik(z−z0) Au0e

ik(z−z0)

Eu0e−ik(z−z0)

Fig. 4.13 – Modèle de couche limite, ville sur substratum homogène.

On considère maintenant la réponse du système à une onde S harmonique, en incidence

verticale, notée u0A exp−ik(z − z0)

. Afin de ne pas modifier les contraintes en surface, on

introduit simultanément une onde réfléchie de même amplitude, u0A expik(z − z0)

(figure

4.13). Par conséquent, le champ de déplacement normalisé (par rapport à u0) dans le substra-

tum a pour expression :

– dans la couche limite (z0 ≤ z ≤ Z + z0),ÜU(z) + Aexp

ik(z − z0)

+ exp

−ik(z − z0)

, (4.44)

– en dessous de la couche limite (Z + z0 ≤ z),

A expik(z − z0)

+ (A + E) exp

−ik(z − z0)

. (4.45)


La force exercée sur la fondation par l’oscillateur soumis au déplacement de sa base vaut

T0 = F (ω)(1 + 2D + 2A)u0. Par construction, cette force n’est équilibrée que par le champ de

cône, soit par définition de l’impédance : T0 = Gu0. On en déduit :

2A = G/F − (2D + 1) = −1 +

1

ikz0

θ

P−

1 + θexp(−2ikZ)

ikz0

. (4.46)

Revenant aux amplitudes non normées, on note I = Au0 l’amplitude de l’onde incidente et

on obtient les expressions :

– du déplacement de la fondation :

Uf = u0(1 + 2D + 2A) =2I

1 + Π(4.47)

où :

Π = −F (2D + 1)

G= P

1 + θ exp(−2ikZ)ikz0

1 + 1ikz0

1

θ(4.48)

– du déplacement en surface libre :

UΓ = u0(2D + 2A) =2I

1 + Π

1 +

Π

1 + θ exp(−2ikZ)ikz0

(4.49)

– des déplacements, total et relatif, du bâtiment :

Ut = B(ω)Uf Ub = (B(ω) − 1)Uf . (4.50)

Le ratio UΓ/2I renseigne sur l’influence des bâtiments sur le mouvement en champ libre à

l’intérieur de la ville. Cet effet tend à disparaître quand Π, c’est à dire P tend vers 0 ; mais

aussi d’après (4.49), pour :

‖θ exp(−2ikZ)/(ikz0)‖ = θ/kz0 ≪ 1 ⇒ αr0

θ≪ λ

2π,

où λ est la longueur d’onde. Ce cas, qui correspond à la disparition du champ diffracté dans la

couche limite (D ≃ 0, cf. équation (4.41)), n’est pas compatible avec l’hypothèse de séparation

d’échelle . Inversement, aux fréquences pour lesquelles l’hypothèse de séparation d’échelle est

pertinente, θ exp[−2ikZ]ikz0

est à valeur finie, et l’effet site ville est fort quand Π, donc P , est fort,

c’est à dire au voisinage de la fréquence de résonance des bâtiments.

Les calculs présentés à la figure 4.14 (pour la valeur représentative r0 = 10), permettent

de comparer les déplacements de la fondation d’un bâtiment isolé USSI (équation (4.39)),

et ceux du même bâtiment entouré par une ville Uf (équation (4.47)). Ils illustrent aussi la

correction introduite par la couche limite par comparaison avec l’approximation en contrainte

moyenne Us (équation (4.14)). Dans les deux cas étudiés (Nice et Mexico), le mouvement


de la fondation Uf et le mouvement moyen en surface Us sont très proches. Leur divergence

relative est de l’ordre de 5 % autour de la fréquence de résonance des bâtiments, négligeable

partout ailleurs. Le déplacement du sol en surface libre UΓ (équation (4.49)), suit les mêmes

tendances d’évolution (désamplification sensible aux fréquences inférieures à la fréquence des

bâtiments, et légère amplification aux plus hautes fréquences) avec une amplitude différente.

Il est important de noter que le mouvement de la fondation d’un bâtiment isolé peut être

significativement plus grand qu’en présence de la ville : il semble, dans les limites de l’hypothèse

de séparation d’échelle, que les multiples interactions ont pour effet de redistribuer dans tout

le sol les vibrations qui seraient très concentrées dans le cas d’un bâtiment unique. Cet effet

tend à uniformiser les déplacements, de sorte qu’en présence de la ville, les mouvements en

surface libre sont accrus au détriment des mouvements des fondations. Du point de vue de la

sécurité des bâtiments au séisme, il apparaît par conséquent que les déplacements (internes

ou absolus) subis par les structures sont modérés sous l’influence de la ville. Ce résultat est

illustré de manière remarquable à la figure 4.15 pour la ville de Mexico : le déplacement des

bâtiments est notablement plus faible, en amplitude et en durée, en présence qu’en absence

de la ville. Cette remarque met en évidence la différence physique entre un effet global (de

« groupe », Kham, 2004) de la ville, observable dans l’intervalle de fréquence pour lequel

l’hypothèse de séparation d’échelle est pertinente, et un effet localisé d’interaction structure sol

structure susceptible d’accentuer localement les déplacements subis par les bâtiments. Enfin,

la comparaison entre les cas de Mexico et de Nice, montre que l’influence de l’interaction site

ville est notablement plus faible pour les valeurs de σ inférieures.

4.3.3 Ville sur sol stratifié

On adapte la construction de la couche limite au cas d’un sol bi-couche. On présente

préalablement la généralisation du modèle de cône pour les sols stratifiés.

4.3.3.1 Bâtiment isolé sur sol stratifié

De même que dans le cas du substratum homogène, il est intéressant de comparer la

réponse de la ville à celle d’une structure isolée. Par souci de cohérence avec les hypothèses

retenues pour la construction de la couche limite, on introduit ici une généralisation du modèle

de cône qui tient compte des ondes réfléchies et/ou transmises à l’interface couche substratum

ainsi qu’en surface.

Impédance de fondation sur sol stratifié. Soit donc une fondation rigide, circulaire de

rayon r0, et soumise à une force horizontale harmonique T0 exp(iωt). Le sol de fondation est

constitué d’une couche de sol (milieu 1 d’épaisseur h, rigidité µ1, densité ρ1 et coefficient

de Poisson ν1) et d’un substratum rocheux (milieu 2, µ2, ρ2, ν2). Meek et Wolf (1992b) pro-

posent une construction approximative du champ d’onde rayonné, basée sur le modèle de cône,


0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

Uf

UΓ

Us

USSI

0 20 40 60 80 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

uΓ

uf

uSSI


time (s)

time

resp

onse

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

0 10 20 30 40-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

uΓ

uf

uSSI


time (s)

time

resp

onse

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

Mexico (half space) ξ = 0.01


Nice (half space) ξ = 0.01


Mexico (ξ = 0.01)

Nice (ξ = 0.01)

Fig. 4.14 – Comparaison du modèle de couche limite, de l’approximation en contraintemoyenne et de l’interaction simple (bâtiment isolé) pour un substratum homogène : spectresde réponse à une onde S unitaire en incidence verticale, UΓ (couche limite : surface libre), Uf

(couche limite : fondations), Us (approximation en contrainte moyenne : déplacement moyen),USSI (interaction simple sol structure : fondation). A gauche : ville de Mexico ; à droite : villede Nice. r0 = 10.


0 0.5 1 1.50

20

40

60

80

100

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse

Ut

UtSSI

Rocks

0 20 40 60 80 100-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

ut

utSSI

rigid substratum (rocks)

time (s)

time

re

spo

nse

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

25

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse

0 1 2 3 40

20

40

60

80

100

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse

0 10 20 30 40-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

ut

utSSI

rigid substratum (rocks)

time (s)

time

re

spo

nse

0 1 2 3 40

10

20

30

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse




Nice (half space) ξ = 0.05 Nice (ξ = 0.05)

Mexico (ξ = 0.05)

Fig. 4.15 – Comparaison, pour un sol homogène, des réponses fréquentielles et temporellesà une onde S en incidence verticale, d’un bâtiment en milieu urbain (Ut(ω), ut(t)), isolé eninteraction simple sol structure (UtISS(ω), utISS(t)), ou fondé au rocher. A gauche, réponsespectrale à une onde S en incidence verticale ; à droite, réponse à un Ricker centré sur lafréquence des bâtiments (fR = f0).


T0,u0

z

Γ 0

−z0

z1

−z2

−zT0

ρ1

µ1 , q1

ρ2

µ2 , q2

Fig. 4.16 – Fondation sur couche et substratum souples. Hypothèse cinématique de champsconiques.

respectant les conditions aux limites de contrainte nulle en surface libre et de compatibilité

cinématique à l’interface des deux couches de sol. Il s’agit d’une superposition (en nombre in-

fini) d’ondes de cône tantôt réfléchies aux deux discontinuités ou transmises dans le milieu 2.

La première de ces ondes (indice 0) est celle émise immédiatement en dessous de la fondation

et ne "voit" pas le milieu 2 ; c’est à dire qu’elle est identique à l’onde de cône dans le cas d’un

demi-espace homogène de même caractéristique que le milieu 1 (cf. équation (4.36) transposée

avec l’origine de l’axe z à la surface) :

u0(z) = u0uc,0(z) = u0z0

z + z0exp(−ik1z) où z0 =

π

8(2 − ν1).

Pour tenir compte de la discontinuité entre les milieux 1 et 2, il convient maintenant de

superposer deux ondes supplémentaires : une onde réfléchie (indice 1) et une onde transmise

dans le milieu 2 (indice T0 ), toutes deux du type cône :

u1(z) = u1uc,1(z) = u1z0 + h

z0 + 2h − zexp

ik1(z − h)

,

uT0 (z) = uT

0 uTc,0(z) = uT

0

zT0 + h

zT0 + z

exp−ik2(z − h)

,


où zT0 , coordonnée de l’apex du cône de l’onde transmise (cf. figure 4.16), est donnée par :

zT0 =

2 − ν2

2 − ν1(z0 + h) − h.

Les conditions de continuité en z = h s’écrivent :

– pour le déplacement : u0(z = h) + u1(z = h) = uT0 (z = h)

⇒ z0

z0 + hu0 exp(−ik1h) + u1 = uT

0 ,

– pour la contrainte de cisaillement : τmilieu1(z = h) = τmilieu2(z = h)

⇒ z0

z0 + hu0 exp(−ik1h) − u1 =

µ2

µ1

ik2 + 1zT0

+h

ik1 + 1z0+h

uT0 .

D’où on déduit que :

uT0 =

2µ1(ik1 + 1z0+h)

µ1(ik1 + 1z0+h) + µ2(ik2 + 1

zT0

+h)

z0

z0 + hexp(−ik1h)u0

et u1 =µ1(ik1 + 1

z0+h) − µ2(ik2 + 1zT0

+h)

µ1(ik1 + 1z0+h) + µ2(ik2 + 1

zT0

+h)

z0

z0 + hexp(−ik1h)u0.

Étudions maintenant le respect des conditions aux limites en z = 0. Les efforts développés au

niveau de la fondation sont équilibrés par l’onde de cône d’indice 0 seule soit, comme dans le

cas du sol homogène ((4.38)) :

T0 = Gu0 = iµ1k1S0

1 +

1

ik1z0

u0.

Autour de la fondation, la condition de champ libre implique une contrainte de surface nulle.

Il convient donc d’équilibrer la contrainte développée par l’onde d’indice 1 provenant de l’in-

terface par la superposition d’une nouvelle onde réfléchie (indice 2), également de type cône :

u2(z) = u2uc,2(z) = u2z0 + 2h

z + z0 + 2hexp(−ik1z),

et la nullité de la contrainte en z = 0 donne :

u2 =z0 + h

z0 + 2hexp(−ik1h)u1

⇒ u2 =µ1(ik1 + 1

z0+h) − µ2(ik2 + 1zT0

+h)

µ1(ik1 + 1z0+h) + µ2(ik2 + 1

zT0

+h)

z0

z0 + 2hexp(−i2k1h)u0.


Comme précédemment, le respect de la compatibilité cinématique à l’interface (z = h) né-

cessite d’introduire deux nouvelles ondes de cône, l’une réfléchie et l’autre transmise, et ainsi

de suite en superposant une infinité de fois des ondes affectant de plus en plus de terrain

mais d’amplitude de plus en plus faible. Par construction, ces ondes vérifient les conditions

aux limites par paquet de trois ondes d’indices successifs. Leur forme générale est donnée par

(pour n ≥ 1) :

propagation vers les z > 0 u2n−2(z) = u2n−2uc,2n−2(z) = u2n−2z0 + (2n − 2)h

z + z0 + (2n − 2)hexp(−ik1z),

propagation vers les z < 0 u2n−1(z) = u2n−1uc,2n−1(z) = u2n−1z0 + (2n − 1)h

z0 + 2nh − zexp

ik1(z − h)

,

ondes transmises uT2n−2(z) = uT

2n−2uTc,2n−2(z) = uT

2n−2

zT2n−2 + h

zT2n−2 + z

exp−ik2(z − h)

où zT

2n−2 =2 − ν2

2 − ν1(z0 + (2n − 1)h) − h.

L’écriture des conditions aux limites donnent pour les "nième réflexions" à l’interface et en

surface :

– continuité du déplacement et de la contrainte en z = h

z0 + (2n − 2)h

z0 + (2n − 1)hu2n−2 exp(−ik1h) + u2n−1 = uT

2n−2,

z0 + (2n − 2)h

z0 + (2n − 1)hu2n−2 exp(−ik1h) − u2n−1 =

µ2

µ1

ik2 + 1zT2n−2

+h

ik1 + 1z0+(2n−1)h

uT2n−2,

– contrainte de cisaillement nulle en z = 0

u2n =z0 + (2n − 1)h

z0 + 2nhexp(−ik1h)u2n−1,

d’où on déduit finalement :

u2n =

n−1Yp=0

αp

!z0

z0 + 2nhexp(−i2nk1h)u0,

u2n−1 =

n−1Yp=0

αp

!z0

z0 + (2n − 1)hexp

−i(2n − 1)k1h

u0.


puis :

u2n(z) =

n−1Yp=0

αp

!z0

z0 + 2nh + zexp(−i2nk1h) exp(−ik1z)u0,

u2n−1(z) =

n−1Yp=0

αp

!z0

z0 + 2nh − zexp(−i2nk1h) exp(ik1z)u0.

où :

αp =µ1(ik1 + 1

z0+(2p+1)h) − µ2(ik2 + 1zT2p+h

)

µ1(ik1 + 1z0+(2p+1)h) + µ2(ik2 + 1

zT2p+h

)

=µ1(ik1 + 1

z0+(2p+1)h) − µ2(ik2 + 2−ν1

2−ν2

1z0+(2p+1)h)

µ1(ik1 + 1z0+(2p+1)h) + µ2(ik2 + 2−ν1

2−ν2

1z0+(2p+1)h)

. (4.51)

On peut maintenant calculer le déplacement total à la verticale de la fondation :

ut(z) =+∞Xn=0

un(z)

= u0(z) + u0

+∞Xn=1

"n−1Yp=0

αp

z0

z0 + 2nh − zexp

ik1(z − h)

+

z0

z0 + 2nh + zexp

−ik1(z + h)

exp

−i(2n − 1)k1h

#.

En particulier, pour z = 0, on obtient le déplacement total de la fondation, normalisé par u0

soit :ut(z = 0)

u0= 1 + 2

+∞Xn=1

"n−1Yp=0

αp

exp(−i2nk1h)

1 + 2n hz0

#| z terme correcteur dû aux mul-

tiples réflexions dans la couche

Si les caractéristiques élastiques du milieu 2 sont identiques à celles du milieu 1 (µ2 = µ1,

ρ2 = ρ1, ν2 = ν1) alors αp = 0, ∀p, (équation (4.51)) et donc ut(z = 0) = u0 ce qui correspond

effectivement au cas homogène. Dans le cas d’un fort contraste de rigidité entre la couche et

le substratum rocheux, αp est proche de (−1) et :

ut(z = 0)

u0≃ 1 + 2

+∞Xn=1

"(−1)n exp(−i2nk1h)

1 + 2n hz0

#.


L’impédance de la fondation, notée Gl (l pour layer), est donnée, dans le cas général, par :

Gl =T0

ut(z = 0)=

T0

u0

u0

ut(z = 0)

⇒ Gl =G

1 + 2P+∞

n=1

Qn−1p=0 αp

exp(−i2nk1h)

1+2n hz0

=iµ1k1S0

1 + 1

ik1z0

1 + 2

P+∞n=1

Qn−1p=0 αp

exp(−i2nk1h)

1+2n hz0

(4.52)

Pour une comparaison détaillée de ce résultat avec les calculs données par une approche

"exacte" du type éléments frontières, on pourra se reporter aux pages 184− 185 (substratum

rocheux infiniment rigide) et 202 − 203 (sol et substratum souples) du livre de Wolf (1994).

Il en ressort pour l’essentiel une excellente concordance tant qualitative que quantitative des

valeurs d’impédance pour les "suffisamment basses" fréquences, typiquement a0 = ωr0

β1≤ 8

(β1 =È

µ1

ρ1vitesse des ondes de cisaillement dans la couche de sol), ce qui correspond à

la majorité des applications pratiques. Malgré une forte schématisation du champ d’onde,

cette modélisation semble donc saisir l’essentiel du phénomène des réflexions multiples dans

la couche. On l’utilise dans ce qui suit pour calculer, avec une très bonne approximation, la

réponse à une onde SH incidente d’une structure isolée à la surface d’un sol stratifié.

Réponse d’une structure isolée sur un sol stratifié. La réponse à une onde SH en

incidence verticale, d’une structure isolée, placée en surface d’un sol constitué d’un substratum

rocheux recouvert d’une couche de sol plus souple, peut être aisément déterminée grâce à la

généralisation du modèle de cône présenté au paragraphe précédent.

Considérons tout d’abord le champ d’onde en l’absence de structure, en conservant les

notations du 4.2.3 : ondes U+2 exp

ik2(z − h)

(incidente) et U−

2 exp−ik2(z − h)

(réfléchie à

l’interface) dans le milieu 2, ondes U+1 exp(ik1z) (transmise dans le milieu 1) et U−

1 exp(−ik1z)

(réfléchie à la surface libre) dans le milieu 1. Le respect de la condition de contrainte nulle en

surface implique nécessairement U+1 = U−

1 ; enfin de l’écriture de la continuité du déplacement

et de la contrainte à l’interface entre les deux milieux, on déduit l’expression du phénomène

classique d’amplification par une couche :

U+1

U+2

=2

(1 + R⋆) exp(ik1h) + (1 − R⋆) exp(−ik1h)=

1

cos(k1h) + iR sin(k1h)(4.53)

où R =È

µ1ρ1

µ2ρ2est le contraste d’impédance entre la couche et le substratum.

En présence de la structure, il convient de superposer le champ rayonné par la fondation

tel qu’il a été construit ci-dessus. De cette manière les conditions aux limites sont respectées à

l’interface et en surface libre. La fondation est animée d’un déplacement noté USSI,l et donné


par :

USSI,l = 2U+1 + u0

1 + 2

+∞Xn=1

"n−1Yp=0

αp

exp(−i2nk1h)

1 + 2nh/z0

#!(4.54)

L’amplitude du champ radié (normalisé par u0 dans les développements ci-dessus) se déduit de

l’équilibre dynamique de la fondation. Celle-ci étant considérée sans masse, les efforts d’inertie

F (ω)USSI,l exercés par la masse du bâtiment sont repris intégralement par le sol de fondation :

F (ω)USSI,l = Gl(USSI,l − 2U+1 ) (= Gu0)

⇒ USSI,l =2U+

1

1 − F/Gl,

et donc en tenant compte de (4.53) :

USSI,l =2

1 − F/Gl.

1

cos(k1h) + iR sin(k1h)I, (4.55)

où I = U+2 a été introduit par assurer la cohérence avec les notations précédemment intro-

duites. Finalement, le déplacement total de la masse de la structure et la déformation interne

sont donnés par :

UtSSI,l = B(ω)USSI,l UbSSI,l = (B(ω) − 1)USSI,l. (4.56)

4.3.3.2 Interactions multiples sur sol stratifié

En présence d’une couche de sol d’épaisseur h supérieure à la profondeur de la couche

limite Z, construite au 4.3.2 pour un sol homogène, le champ d’ondes (normées) déterminé

au-dessous de la couche limite (Z + z0 ≤ z) (équation (4.45)), peut être équilibré dans le

substratum rocheux (milieu 2) par un système de deux ondes S, l’une montante l’autre des-

cendante, d’amplitude respective (également normée) A+2 et A−

2 (cf. figure 4.17). Les équations

de continuité de la contrainte et du déplacement à l’interface sol substratum s’écrivent :

A exp(ik1h) + (A + E) exp(−ik1h) = A+2 exp(ik2h) + A−

2 exp(−ik2h),

R (A exp(ik1h) − (A + E) exp(−ik1h)) = A+2 exp(ik2h) − A−

2 exp(−ik2h),

où A et E sont données par les équations (4.46) et (4.42). On en tire :

A(1 + R) exp(−ik1h) + (A + E)(1 − R) exp(−ik1h) = 2A+2 exp(ik2h),

puis, en revenant aux variables non dimensionnelles, et en considérant une onde incidente

d’amplitude u0A+2 = I exp(−ik2h) :


u(z)u(z) u(z)

0z0

ZDu0e

ik1(z−z0) Du0e−ik1(z−z0)

Γ

Au0e−ik1(z−z0) Au0e

ik1(z−z0)

Eu0e−ik1(z−z0)

z

A−2 u0e

−ik2(z−z0) A+2 u0e

ik2(z−z0)

Fig. 4.17 – Modèle de couche limite, ville sur sol stratifié.

– le déplacement des fondations,

Ufl = 2I1 + 2D + 2A

A(1 + R) exp(ik1h) + (A + E)(1 − R) exp(−ik1h),

ou encore,

Ufl =2I

(1 + Π)

2

(1 + R) exp(ik1h) + (1 + E/A)(1 − R) exp(−ik1h), (4.57)

– le déplacement en surface libre,

UΓl = Ufl(1 − F

G), (4.58)

– les déplacements internes et absolus des bâtiments,

Ub = (B(ω) − 1)Ufl , Ut = B(ω)Ufl . (4.59)

Les figures 4.18 et 4.19, tracées avec les données représentatives de Mexico et Nice, per-

mettent de comparer les déplacements des fondations (Ufl) et de la surface libre (UΓl) dans

le modèle de couche limite avec le déplacement moyen (Usl) de l’approximation en contrainte

moyenne, et le déplacement de la fondation d’un bâtiment identique mais isolé (USSI,l).

Comme pour le substratum homogène, on observe une grande similarité entre les approches en


contrainte moyenne et par couche limite ; Seules quelques différences émergent dans le mouve-

ment en surface libre, à haute fréquence. Les comparaisons entre la réponse des fondations en

interaction simple (bâtiment isolé) et interactions multiples (en présence de la ville) confirme

également la tendance mise en évidence dans le cas du substratum homogène, à savoir le fait

que l’interaction site ville tend à redistribuer les déformations depuis les structures vers le sol.

Cet effet est bien visible si on considère les déplacements totaux des bâtiments (figure 4.20),

en particulier lorsque leur fréquence coïncide avec celle de la couche de sol (f0 = fl) : on note

dans ce cas un écrêtage prononcé du spectre des bâtiments de sorte que la réponse temporelle

à une ondelette de Ricker centrée en fréquence (fR = f0) est bien plus faible, en amplitude et

en durée, en présence qu’en absence de la ville.

4.3.4 Définition d’une couche limite adaptée aux villes multi-fréquentielles

Suivant la même démarche que précédemment, on construit une couche limite adaptée

aux villes multi-fréquentielles, en superposant les couches relatives à chaque type de bâtiment

constituant l’ERB.

On suppose le substratum homogène. On conserve les mêmes notations que dans le cas

de la ville mono-fréquentielle (cf 4.3.2) avec l’indice n en référence aux bâtiments de type n.

Pour chaque distribution périodique de bâtiments identiques (de type n), le champ (normé) ÝUn

présent dans la couche limite d’épaisseur Zn est formé du champ conique et du champ diffracté

caractérisé par le coefficient Dn. Pour l’ensemble des bâtiments, on détermine le champ de

couche limite total ÜV sous la forme d’une combinaison linéaire des ÝUn :ÜV =NX

n=1

ÝUnu0n. (4.60)

Par construction de ÜV :

– La contrainte exercée à la base d’un bâtiment n donné résulte du champ de cône seul,

tandis que le déplacement est la somme du champ de cône et des champs diffractés par

l’ensemble des bâtiments.

– En surface libre, la contrainte s’annule et le déplacement est la combinaison des champs

diffractés seuls.

Les valeurs des coefficients u0n sont fonctions de l’amplitude de l’onde S en incidence verticale

I exp(ikz) (avec l’origine de l’axe vertical sur la surface libre). Comme précédemment, une

onde réflechie d’amplitude identique, I exp(ikz), est introduite simultanément pour conserver

une contrainte nulle en surface libre. Pour un bâtiment de type n donné, l’équilibre des forces

exercées d’une part par le sol, d’autre part par la structure, sur la fondation (sans masse)

donne :

T0n = Gnu0n = Fn

2I + u0n + 2

NXn=1

Dnu0n

!


0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

Ufl

UΓl

Usl

without cityU

SSI,l

Ricker spectrum

0 50 100 150 200

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 20 40 60 80 100

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 20 40 60

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 10 20 30 40 50

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 10 20 30

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

f0/f

l = 1/2

fR

= f0

f0/f

l = 1

fR

= f0

f0/f

l = 3/2

fR

= f0

f0/f

l = 2

fR

= f0

f0/f

l = 3

fR

= f0

ufl

uΓl

without city

uSSI,l

Fig. 4.18 – Modèle de couche limite, ville monofréquentielle sur sol stratifié (Mexico, ξ = 0.01). Duhaut en bas : f0/fl = 1/2, 1, 3/2, 2 et 3 ; à gauche spectres de réponse à une onde S en incidenceverticale, à droite réponse temporelle à un Ricker (fR = f0). Comparaison entre modèle de couchelimite (Ufl, UΓl), approximation en contrainte moyenne (Usl), et interaction simple (bâtiment isolé,USSI,l).


0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

Ufl

UΓl

Usl

without cityU

SSI,l

Ricker spectrum

0 20 40 60 80

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 10 20 30 40

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 5 10 15 20 25

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 5 10 15 20

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

frequency (Hz)

spec

tral r

espo

nse

0 5 10

-5

0

5

time (s)

time

resp

onse

f0/f

l = 1/2

fR

= f0

f0/f

l = 1

fR

= f0

f0/f

l = 3/2

fR

= f0

f0/f

l = 2

fR

= f0

f0/f

l = 3

fR

= f0

ufl

uΓl

uSSI,l

without city

Fig. 4.19 – idem figure 4.18 avec les données de la ville de Nice.


0 0.5 1 1.50

50

100

150

200

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse

Utl

UtISS,l

no interaction

0 20 40 60 80 100-40

-20

0

20

40

time (s)

time

re

spo

nse

0 0.5 1 1.50

10

20

30

40

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse

0 20 40 60-40

-20

0

20

40

time (s)

time

re

spo

nse

0 1 2 3 40

50

100

150

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse

0 10 20 30 40

-20

-10

0

10

20

time (s)

time

re

spo

nse

0 1 2 3 40

10

20

30

frequency (Hz)

spe

ctra

l re

spo

nse

0 5 10 15 20 25

-20

-10

0

10

20

time (s)

time

re

spo

nse

utl

utSSI,l

no interaction

Mexico (layer) f

0 = f

l

Mexico (layer) f

0 = 3/2 f

l

Nice (layer) f

0 = f

l

Nice (layer) f

0 = 3/2 f

l

Fig. 4.20 – Comparaison, pour un sol stratifié, des réponses fréquentielles et temporelles d’unbâtiment, en milieu urbain (Ut(ω), ut(t)), isolé en interaction simple sol structure (UtISS(ω),utISS(t)), ou fondé au rocher (plus précisément en négligeant toute interaction avec le sol). Agauche, réponse spectrale à une onde S en incidence verticale ; à droite, réponse à un Rickercentré sur la fréquence des bâtiments (fR = f0). De haut en bas : f0/fl = 1, puis 3/2. ξ = 0.05.


soit : Gn

Fn− 1

u0n − 2

NXn=1

Dnu0n = 2I

La résolution de ce système de N (N nombre total de bâtiments dans l’ERB) équations

linéaires conduit aux expressions des inconnues u0n :

u0n =2I

Gn/Fn − 1∆ , avec ∆ =

1

1 − 2NX

n=1

Dn

Gn/Fn − 1

. (4.61)

Au bilan, le déplacement de la fondation est différent pour chaque type de bâtiment et s’écrit :

Ufn = 2I∆

1 − Fn/Gn, (4.62)

tandis que le déplacement est déterminé de manière unique (en moyenne) en tout point de la

surface libre :

UΓM = 2I∆ . (4.63)

On déduit directement les expressions des déplacements relatif et absolu du bâtiment n :

Ubn = BnUfn , Utn = (Bn − 1)Ufn . (4.64)

Sur la base de ces résultats, une étude paramétrique et quasi-analytique, incluant les mouve-

ments différentiels des bâtiments de type distinct, peut être mise en oeuvre. Le champ d’onde

dans la couche limite ÜV pourra être calculé explicitement en combinant les équations (4.60),

(4.61), (4.43), (4.9), (4.38) et (4.41), à condition de prendre garde à l’origine de l’axe z et à

l’épaisseur de la couche limite Zn, associées à chaque champ ÝUn. Le plus grand des Zn définit

l’épaisseur ZM de la couche limite pour la ville multi-fréquentielle. Enfin, la construction du

champ d’onde sera tout à fait achevée en introduisant les champs En réémis aux profondeurs

supérieures à Zn (cf équation (4.42) et figure 4.13). Ce calcul, sans difficulté théorique mais

fastidieux, n’est pas présenté dans ce mémoire.

Cette couche limite, adaptée aux villes multi-fréquentielles, peut également être utilisée

pour traiter le problème du sol stratifié, à condition que sa profondeur soit inférieure à celle

de la couche de sol superficielle.

4.4 Ville d’extension finie

Le fait que les villes sont en réalité d’extension finie n’a pas été pris en compte jusque

là. Afin d’étudier l’influence de la taille de la ville, on considère maintenant une ville carrée,

périodique, constituée de Q × Q ERB. On se place dans l’hypothèse la plus simple de la ville

4.4. Ville d’extension finie 269

mono-fréquentielle fondée sur un sol homogène (figure 4.21).

4.4.1 Détermination d’une couche limite pour une distribution de fonda-

tions périodique d’extension finie

z0

Z

y0 =αQr0√

θ

r0

r0√θ Qr0√

θ

O

Fig. 4.21 – Définition d’une couche limite pour la ville mono-fréquentielle d’extension finie.

Suivant une démarche identique aux développements précédents (section 4.3.2), on examine

pour commencer les champs coniques générés par les fondations soumises simultanément à la

même force T0. Dans le plan situé à la profondeur Z, définie comme la profondeur de la couche

limite pour la ville infinie, le champ d’onde est quasi uniforme sur la surface Σ = Q2S, où

déplacement et contrainte sont donnés par les équations (4.36) et (4.37). Cependant, en dehors

de Σ, le champ est nul. Par conséquent, il n’est pas possible, comme dans le cas des villes non

bornées, d’équilibrer ce champ (uniforme sur Σ, nul en dehors) par des ondes planes. Des

ondes coniques, dont les génératrices s’appuient sur Σ et dont l’apex O est situé à la hauteur

y0 = αÈ

Σ/π (figure 4.21) au dessus-de Σ, s’avèrent plus adaptées à la géométrie du problème :

par analogie avec le cas périodique infini, on introduit dans le cône tronqué d’épaisseur Z, deux

ondes de cône se propageant dans la direction opposée et laissant inchangée la contrainte en

surface (sur Γ). Ces deux ondes représentent le champ diffracté par les multiples interactions se

produisant dans la ville. Compte tenu des caractéristiques du modèle de cône, cette procédure

nous permet d’évaluer le champ d’onde dans et au-dessous de la ville, mais pas à l’extérieur

de celle-ci.

Comme y0 6= z0, il est commode d’utiliser une nouvelle variable d’espace y associée à un


nouvel axe vertical, parallèle à l’ancien, mais ayant pour origine l’apex du cône défini à l’échelle

de la ville, O. En travaillant sur la géométrie du problème, et en introduisant la densité de la

ville θ (équation (4.40)), on établit les relations entre y, y0, z, z0 et Z :

y = z + y0 − (Z + z0) ,z0

y0=

√θ

Q,

y0 − Z

y0=

Q − 1 +√

θ

Q. (4.65)

Avec la variable y, les déplacements et contraintes associés aux champs coniques diffractés

(normés par u0) ont pour expression :

C+D(y) = C+

D0

y0

yexp

ik(y − y0)

, C−

D(y) = C−D0

y0

yexp

−ik(y − y0)

,

τ+(y) = µ(ik − 1/y)C+(y) , τ−(y) = −µ(ik + 1/y)C−(y) ,

où les signes + et − renvoient respectivement à l’onde montante et à l’onde descendante. Les

amplitudes C+D0 et C−

D0 sont déterminées en exprimant que :

– le champ diffracté ne modifie par la contrainte en surface (y = y0 − Z) :

τ+(y0 − Z) + τ−(y0 − Z) = 0 ,

– à la profondeur Z (y = y0), le champ total (normé) est équilibré par une onde conique

unique se propageant au-dessous de la couche limite (y > y0), notée :

CE(y) = CE0y0

yexp

−ik(y − y0)

.

Ces trois conditions (contrainte en surface, continuité de la contrainte et du déplacement à la

profondeur Z) se traduisent par les équations :

−

ik +1

y0 − Z

exp(ikZ)C−

D0 +

ik − 1

y0 − Z

exp(−ikZ)C+

D0 = 0 ,

−

ik +1

y0

C−

D0 +

ik − 1

y0

C+

D0 −ik +

1

Z + z0

z0

Z + z0exp(−ikZ) = −

ik +

1

y0

CE0 ,

C−D0 + C+

D0 +z0

Z + z0exp(−ikZ) = CE0 .

La résolution de ce système donne compte tenu de (4.65) :

C+D0 =

θ

2ikz0

Q − 1

Qexp(−ikZ) , C−

D0 =ikz0 −

√θ

Q−1+√

θ

ikz0 +√

θQ−1+

√θ

exp(−2ikZ)C+D0 .

4.4. Ville d’extension finie 271

On en déduit le déplacement effectif (normé) des fondations :ÞUQ0 = uc(z = z0) + C+D(y = y0 − Z) + C−

D(y = y0 − Z)

= 1 + θQ − 1

Q − 1 +√

θ

exp(−2ikZ)

ikz0 +√

θQ−1+

√θ

. (4.66)

La comparaison de ÞUQ0 avec ÝU0 = 1 + 2D = 1 + θ exp(−2ikZ)/(ikz0) obtenu pour une ville

infinie (équations (4.41) et (4.43) en z = z0), montre que ces résultats sont très proches si

Q − 1 ≫√

θ et√

θ/(Q − 1 +√

θ) ≪ kz0. θ étant compris entre 0 et 1, la première condition

est équivalente à Q ≫ 1. On réexprime la deuxième condition de manière plus parlante en

substituant la longueur d’onde dans le sol au nombre d’onde grâce à la relation λ = 2π/k. Il

vient, compte tenu de Q ≫ 1, Qz0/√

θ ≫ λ/2π, soit αQr0/√

θ = αL = O(L) ≫ λ/2π, où L

est la longueur total de la ville. Conformément à l’intuition donc, l’hypothèse de ville infinie

est acceptable à condition d’une part que le nombre de bâtiments dans les deux directions

soit très supérieur à 1, d’autre part que la dimension totale de la ville soit très supérieure

à la longueur d’onde sur 2π. En guise d’illustration, les quartiers Roma-Norte de Mexico et

Gare-Sud de Nice s’étendent sur environ 1 km2, et 50 m×50 m semble être un bon ordre de

grandeurs des dimensions de l’ERB, de sorte que pour ces villes Q ≃ 20, largement plus grand

que 1. Par conséquent, l’hypothèse de ville infinie est raisonnable pour les fréquences telles que

le critère L ≫ λ/2π soit respecté, c’est à dire compte tenu des caractéristiques des sols dans

chacune des deux villes, pour les fréquences très supérieures à 0.01 Hz pour Mexico, 0.032 Hz

pour Nice. Les fréquences pour lesquelles l’interaction site ville est significative, situées au

voisinage de la fréquence de résonance des bâtiments, semblent assez largement respecter ce

critère. Les résultats numériques présentés à la section suivante confirment cette observation.

Enfin, il est possible de définir l’impédance GPQ reliant la force T0 au déplacement effectif

(c’est à dire total) des fondations, soit :

GPQ =T0

u0UQ0=

G

1 + θQ − 1

Q − 1 +√

θ

exp(−2ikZ)

ikz0 +√

θQ−1+

√θ

.

On notera au passage que ce calcul d’impédance pourrait être utilisé pour un bâtiment fondé,

comme beaucoup de structures poteaux-poutres, sur un réseau de semelles superficielles.

4.4.2 Analyse de la réponse de la ville d’extension finie

Une fois la couche limite définie comme à la section précédente, on calcule la réponse de la

ville à une excitation de type sismique en suivant un raisonnement strictement analogue à celui

mis en oeuvre pour la ville infinie à la section 4.3.2.3. On introduit, simultanément à l’onde

incidente u0A expik(z − z0)

, une onde réfléchie de même amplitude u0A exp

−ik(z − z0)


afin de conserver une contrainte nulle en surface. La force de réaction F (ω)(UQ0 + 2A)u0

exercée par les bâtiments soumis au déplacement d’appui (UQ0 + 2A)u0, est équilibré par la

réaction du sol, soit par construction Gu0. On en déduit :

2A = G/F − UQ0 = −1 +

1

ikz0

θ

P−

1 + θ

Q − 1

Q − 1 +√

θ

exp(−2ikZ)

ikz0 +√

θQ−1+

√θ

Ǒ. (4.67)

Revenant aux amplitudes non normées, on note I = Au0 l’amplitude de l’onde incidente et

on obtient les expressions :

– du déplacement de la fondation :

UfQ = u0(UQ0 + 2A) =2I

1 + ΠQ, (4.68)

où :

ΠQ = −FUQ0

G= P

1 + θ Q−1

Q−1+√

θ

exp(−2ikZ)

ikz0+√

θ

Q−1+√

θ

1 + 1ikz0

1

θ, (4.69)

– du déplacement en surface libre :

UΓ = u0(UQ0 − 1 + 2A) =2I

1 + ΠQ

1 +

ΠQ

1 + θ Q−1

Q−1+√

θ

exp(−2ikZ)

ikz0+√

θ

Q−1+√

θ

, (4.70)

– des déplacements, total et relatif, des bâtiments :

UtQ = B(ω)UfQ , UbQ = (B(ω) − 1)UfQ . (4.71)

La figure 4.22 compare, en utilisant les données de Nice et Mexico, une ville infinie à une ville

d’extension finie avec successivement Q = 5, Q = 10, Q = 20. On est peu surpris, compte

tenu des ordres de grandeur donnés à la section précédente, de constater que l’effet de la ville

telle que Q = 20 est quasi semblable à celui de la ville infinie. Il est peut être plus étonnant

d’observer, que pour Q = 5, la réponse d’un bâtiment diverge considérablement de celle du

même bâtiment isolé (noter la différence d’amplitude du pic pour Uf et USSI) malgré le petit

nombre de structures constituant la ville.

4.5 Limites de l’étude

On revient ici sur les hypothèse de base qui sous-tendent l’approche mise en oeuvre ; leurs

limites de validité sont discutées brièvement.

La première restriction concerne l’intervalle de fréquence acceptable. Considérons de nou-

4.5. Limites de l’étude 273

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

Uf

UΓ

UfQ

UΓQ

USSI

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

frequency (Hz)

spec

tral

res

pons

e

Mexico (Q = 5) Mexico (Q = 10) Mexico (Q = 20)

Nice (Q = 5) Nice (Q = 10) Nice (Q = 20)

Fig. 4.22 – Comparaison de l’influence sur les déplacements en fondation et en champ libre,d’une ville de dimension infinie (Uf , UΓ) avec celle d’une ville de mêmes caractéristiques maisde dimension finie (UfQ, UΓQ). En haut : Mexico ; en bas : Nice. De gauche à droite : Q = 5,10 et 20.


veau la réponse d’une ville périodique infinie (de période l × l, où l est la dimension carac-

téristique de l’ERB), excitée par une une onde SH harmonique, en incidence verticale. La

périodicité de la ville implique nécessairement la périodicité (identique) des contraintes et

des déplacements à l’interface site ville Γ. Suivant le principe de Huygens-Fresnel, ces condi-

tions aux limites agissent comme une distribution bidimensionnelle périodique de sources. Par

conséquent, le champ SH rayonné par chaque source ponctuelle peut être décomposé, selon

la transformée de Fourier spatiale, en une somme discrète d’ondes plane SH sur la base des

fonctions :

exp(2iπm/l)x

exp

(2iπn/l)y

exp

ikm,nz

, m, n entiers

avec,

(2πm/l)2 + (2πn/l)2 + k2mn = (ω/β)2 = (2πf/β)2 . (4.72)

Le champ diffracté total, superposition des champs rayonnés par chacune des sources, est donc

de la forme :

m=∞Xm=−∞

n=∞Xn=−∞

Amn exp(2iπm/l)x

exp

(2iπn/l)y

exp

ikm,nz

. (4.73)

On aboutit au même résultat et de manière plus directe, en remarquant que le champ pério-

dique en surface (exprimé sous la formePm=∞

m=−∞Pn=∞

n=−∞ amn exp((2iπm/l)x) exp((2iπn/l)y))

ne peut être équilibré que par un champ d’ondes SH diffracté, présentant les mêmes nombres

d’ondes horizontaux (et discrets).

Le terme m = n = 0 dans l’expression (4.73) renvoit à une onde SH plane, homogène, en

propagation verticale. Son amplitude A00 est reliée au premier terme de la transformée de

Fourier (c’est à dire à la valeur moyenne) de la distribution de sources sur Γ. La nature des

termes supérieurs de (4.73) dépend des valeurs relatives de la taille caractéristique de l’ERB

(l) et de la longueur d’onde (λ = β/f) :

– Si l < λ, c’est à dire aux fréquences f < β/λ pour lesquelles il y a séparation d’échelle,

alors d’après (4.72), (km,n)2 < 0 pour mn 6= 0, et les termes supérieurs correspondent

à des ondes inhomogènes s’amortissant exponentiellement en profondeur. Le champ dif-

fracté « lointain »se limite donc à l’onde SH, plane et verticale, équilibrant en moyenne

la contrainte sur Γ. Ce résultant est cohérent avec les hypothèses introduites dans ce

chapitre.

– si la séparation d’échelle n’est pas vérifiée, l > λ, un certain nombre (fini) des termes

supérieurs sont propagatifs ((km,n)2 > 0 pour mn 6= 0), et ces ondes planes homogènes

doivent être intégrées au champ diffracté lointain. Ce dernier est beaucoup plus complexe

et l’approche macroscopique est invalidée.

On remarquera que ce raisonnement, bien qu’il ne constitue pas à proprement parlé une

démonstration, justifie a posteriori l’interprétation peu restrictive de la condition de séparation

4.6. Conclusion 275

d’échelle, à savoir l < λ plutôt que l ≪ λ.

La deuxième limite de ce travail, étroitement liée à la précédente, est la simplicité de la

distribution des bâtiments dans la ville, introduite par l’hypothèse de périodicité. Très pro-

bablement, dans l’intervalle de fréquences pour lesquelles il y a séparation d’échelle, cette

hypothèse est adaptée pour identifier l’effet site ville dans ses aspects fondamentaux, y com-

pris pour les villes réelles désordonnées (présentant néanmoins une certaine invariance spa-

tiale). Cette intuition est confortée par le fait bien établi que les longues longueurs d’ondes

ne distinguent pas les objects de petites dimensions, perçus seulement dans leur ensemble.

Cependant, à courte longueur d’onde, les phénomènes de diffraction sont de nature différentes

dans les milieux ordonnés et désordonnés (Mehzer, 2004; Kham, 2004), et l’hypothèse de pé-

riodicité est certainement plus problématique. Par conséquent, l’effet des villes réelles sur le

champ d’onde peut être estimé aux basses fréquences, tant que la séparation d’échelle s’ap-

plique, sans connaissance exacte de la répartition des bâtiments. Aux plus hautes fréquences,

la cohérence du champ diffracté est affaiblie ou perdue, et des phénomènes locaux associés à

des bâtiments et une géométrie spécifiques, peuvent prédominer. Néanmoins, on peut raison-

nablement supposer que si l’effet site ville est faible dans l’intervalle de séparation d’échelle,

de forts couplages à plus haute fréquence sont peu susceptibles de se produire (à l’exception

des interactions locales résultant d’interactions structure sol structure conventionnelles).

Une troisième objection peut être formulée concernant les simplifications introduites dans

la description des champs d’onde. Le modèle de cône, utilisé pour construire la couche limite,

ne permet pas de modéliser directement les mouvements de surface à proximité des fondations ;

seule une valeur moyenne est accessible de manière indirecte, à partir des relations de continuité

à la frontière de la couche limite. Ces approximations introduisent une part d’incertitude de

sorte que les estimations obtenues pourraient ne donner qu’une représentation partielle du

phénomène. Néanmoins, la cohérence (au moins qualitative) des conclusions tirées de cette

étude, avec les simulations numériques effectuées par d’autres auteurs (Wirgin et Bard, 1996;

Clouteau et Aubry, 2001; Guéguen et coll., 2002; Semblat et coll., 2002; Tsogka et Wirgin,

2003), suggère que ces simplifications sont acceptables pour une première estimation fiable de

l’interaction site ville.

4.6 Conclusion

L’approche macroscopique présentée dans ce chapitre fournit une estimation simple, aussi

bien qualitative que quantitative, de l’effet d’une urbanisation dense sur le mouvement sis-

mique, à partir de données de base sur la ville et le sol de fondation. Les aspects fondamentaux

de l’interaction site ville, mis en évidence de manière numérique par les auteurs précédemment

cités, à savoir l’allongement de la durée du signal, des effets d’amplification/désamplification,

la présence de battements, ont été décrits de manière analytique en prenant soin d’identifier


explicitement les paramètres clés du phénomène. On a montré comment l’effet site ville et

l’effet de site classique, qui sont deux phénomènes indépendants, peuvent se combiner et mo-

difier le mouvement en champ libre. L’approximation en contrainte moyenne (section 4.2) ne

donne qu’une valeur uniforme moyenne de la réponse à l’intérieur de la ville. Le modèle de

couche limite (section 4.3) fournit une estimation de la réponse des fondations, distincte pour

chaque type de bâtiments, et une valeur moyenne pour le sol en surface libre. L’influence de

la répartition des bâtiments dans l’ERB, ainsi que les fluctuations locales du mouvement en

champ libre, ne peuvent être décrites par aucune de ces deux méthodes.

Les deux cas d’étude considérés ici montrent que l’influence de la ville peut être significa-

tive pour un substratum homogène : la ville agit, au voisinage de sa fréquence de résonance,

comme un milieu de forte impédance qui provoque une nette désamplification des déplace-

ments en surface (champ libre et fondations). L’effet site ville sera cependant plus marqué

s’il coïncide avec un effet de site, particulièrement si les bâtiments et la couche de sol souple

résonnent de concert, de sorte que le pic d’amplification provoquée (en l’absence de ville) par

la mise en résonance de la couche coïncide avec la désamplification maximale induite par l’effet

d’impédance de la ville. Dans ce cas, on observe pour l’essentiel :

– une nette diminution des amplitudes maximales du mouvement en surface libre (à l’in-

térieur de la ville) et un allongement de sa durée (comparativement au mouvement en

l’absence de ville), accompagné éventuellement de battements ;

– une réduction encore plus prononcée de l’amplitude et de la durée des vibrations des

bâtiments, comparativement à la réponse de bâtiments identiques mais isolés.

Ces effets sont d’autant plus fort que le sol est souple, la ville dense, et les bâtiments lourds

et peu amortis. A noter, pour éviter tout contre-sens, que lorsque l’influence de l’effet site

ville décroît, la perturbation du mouvement en surface par les ondes provenant des fondations

diminue en amplitude, mais est en revanche présente plus longtemps dans le signal compte

tenu de ce que les vibrations des bâtiments sont moins amorties.

Pour terminer, on notera que d’autres installations humaines telles que certaines zones

industrielles comprenant des structures lourdes (entrepôts, réservoirs, etc.) sont susceptibles

de donner naissance à cet effet de « groupe ». Cette affirmation est confortée par le fait qu’un

petit nombre de structures sont suffisantes pour générer une interaction significative (section

4.4.2).

Conclusions générales

Au terme de ce travail, nous articulons nos remarques de conclusion autour des principaux

résultats issus des modélisations simplifiées des phénomènes d’interaction sol structure et site

ville, de leurs limites et prolongements éventuels.

1 Interaction sol structure

1.1 Aspects théoriques

L’étude des systèmes couplant les modèles de structures les plus usuels, aux expression

des impédances fournies par le modèle de cône (Meek et Veletsos, 1974; Meek et Wolf, 1991),

a permis de dresser un tableau assez élaboré des effets de l’interaction sol structure sur la

réponse vibratoire des structures de type courant dans le cas d’un sol élastique homogène.

Les paramètres adimensionnels essentiels qui gouvernent le phénomène d’interaction sol

structure s’avèrent être en nombre très limité et faciles à estimer. Ils se résument à :

– un paramètre de comparaison (en racine) entre la rigidité du sol et de la structure

κα (α = c, f), dont l’expression est déterminée par le comportement de la structure ;

c’est le paramètre de base de l’interaction sol structure. Selon la valeur de κα et pour

un type de structure donné, on valide l’une des hypothèses suivantes : l’interaction sol

structure est négligeable (κα faible) ; l’interaction sol structure est prépondérante et le

système se comporte comme un bloc rigide sur sol souple (κα grand) ; et pour les valeurs

intermédiaires de κα les souplesses du sol et de la structure agissent concomitamment.

– l’élancement de la structure η ;

– sa densité par rapport au sol δ ;

– le coefficient de Poisson du sol ν ;

Les variations des caractéristiques modales du système sol structure en fonction de ces

paramètres adimensionnels, se sont révélées plus complexes qu’on l’avait envisagé. Cependant

on distingue deux situations contrastées : d’une part le mode fondamental pour lequel le

modèle fournit des estimations robustes, fiables et potentiellement généralisables ; d’autre part

les modes supérieurs qui montrent une forte sensibilité aux paramètres, et dont les résultats

doivent être interprétés avec plus de précaution.

277

278 Conclusions générales

Mode fondamental. Dans ce cas les grandes lignes de l’influence de l’interaction sol struc-

ture peuvent être dessinées. κα croissant, l’amplification de l’interaction sol structure se traduit

par une diminution de la fréquence de résonance, et l’accroissement concomitant des dépla-

cements de corps rigide et de la contribution de l’amortissement radiatif au facteur d’amor-

tissement modal. Le mode fondamental se situe, selon le niveau d’interaction, entre le mode

fondamental de la structure sur base rigide (κα → 0) et le premier mode de corps rigide sur

sol souple (κα → +∞).

Une densité forte de la structure favorise l’interaction avec le sol (baisse de fréquence,

déplacement de corps rigide) mais limite l’amortissement radiatif. Cependant ce paramètre,

variant dans un intervalle étroit pour le bâti courant (δ = 0.15 − 0.25), n’a qu’un rôle secon-

daire, tout comme le coefficient de Poisson qui ne joue qu’à la marge. On rappelle en outre

qu’une augmentation de la densité de la structure à rigidité constante (M1ω21 constant) n’agit

pas sur l’amplitude de la diminution de fréquence et du mouvement de corps rigide, mais réduit

le facteur d’amortissement (diminution simultanée de l’amortissement structurel et radiatif).

L’élancement (η) est en revanche un paramètre décisif. Pour η ≥ 3, le mouvement de

corps rigide est très largement dominé par le basculement de la fondation qui impose sa sou-

plesse et sa dissipation d’énergie radiative. Sous l’action combinée de la baisse de la fréquence

adimensionnelle et de la participation de la translation au mouvement de corps rigide, l’amor-

tissement radiatif diminue rapidement avec l’élancement, pour être négligeable, quelque soit

le niveau d’interaction, quand η ≥ 5. Pour η ≥ 2, l’amortissement radiatif reste modéré et

a peu d’effet sur la fréquence du système, mais il s’illustre par le déphasage de la déformée.

Aux élancements faibles en revanche, la translation de la fondation est significative, et, à forte

interaction, le système sol structure est fortement voire sur-amorti (η . 0.8).

L’action de l’élancement sur le niveau d’interaction varie selon le type de fonctionnement de

la structure :

– en cisaillement, l’interaction augmente légèrement avec l’élancement de la structure ;

– inversement en flexion, les structures peu élancées favorisent très nettement l’interaction

sol structure.

Pour la poutre de cisaillement comme pour la poutre de flexion, le mode fondamental sol

structure coïncide de manière remarquable, pour η ≥ 1, avec le modèle à un degré de liberté

équivalent dont les caractéristiques modales varient peu (singulièrement lorsque la translation

de corps rigide est négligeable devant la rotation) selon le comportement de la structure. Il

s’en suit qu’en première approximation, le niveau d’interaction d’une structure avec un sol

donné, ne dépend pas de sa cinématique, mais seulement de ses caractéristiques géométriques

(η), inertielles (δ), et du produit de sa fréquence propre par sa hauteur (ω1H). Ce résultat,

important d’un point de vue pratique, peut de toute évidence être extrapolé aux structures

présentant un comportement intermédiaire entre flexion et cisaillement purs, de type poutre de

Timoshenko, et qui constituent la majorité des bâtiments réguliers en élévation (Hans, 2002).

1. Interaction sol structure 279

Au vu du commentaire précédent et des résultats numériques obtenus au chapitre 3, on peut

affirmer sans se préoccuper du fonctionnement de la structure, que pour 2/π(ω1H/βS) < 0.2

l’interaction sol structure est négligeable, qu’inversement pour 2/π(ω1H/βS) > 8 l’interaction

sol structure est prépondérante et la structure se comporte comme un bloc rigide. La plupart

des situations réelles se situent entre ces deux états ; d’un point de vue pratique, les calculs

réalisés et présentés sous forme graphique serviront à préciser l’influence de l’interaction, à

l’aide de données de base sur le sol et la structure. Les premières estimations fournies (sur

la base de valeurs forfaitaires de la fréquence des structures réelles, qui mériteraient d’être

confirmées par l’expérience) indiquent que les structures portiques, intrinsèquement souples,

interagissent faiblement avec le sol. En revanche, pour les bâtiments plus rigides, du type voile

(très courant en France) ou construits selon un principe mixte, l’interaction sol structure a

potentiellement un effet important sur la réponse dynamique et à terme la vulnérabilité.

Notons pour terminer que la fréquence adimensionnelle du mode fondamental, propor-

tionnelle au ratio de la longueur caractéristique de la fondation sur la longueur d’onde, est

compatible avec l’hypothèse de fondation rigide, quelque soit le niveau d’interaction.

Modes supérieurs. Aux modes supérieurs, en revanche, la fréquence adimensionnelle, de-

vient rapidement excessive lorsque le niveau d’interaction croît. A interaction faible ou modé-

rée, les résultats obtenus grâce aux impédances de fondation rigide, donnent pour l’essentiel :

– un niveau d’amortissement modéré (< 20 %), supérieur à celui du mode fondamental

dans le cas d’un fonctionnement en flexion et dans le cas d’un fonctionnement en ci-

saillement pour les élancements forts ; inférieur à celui du mode fondamental dans le cas

d’un fonctionnement en cisaillement pour les élancements faibles. Ce niveau d’amortis-

sement est relativement indépendant de l’élancement, et décroît légèrement avec l’ordre

du mode ;

– un effet « plateau », traduisant l’effet différé de l’interaction sol structure sur les fré-

quences de résonance des modes supérieurs.

A plus forte interaction, le modèle montre une forte sensibilité aux paramètres sous l’effet

de l’amortissement radiatif. Il est difficile d’extraire une tendance générale des évolutions des

modes supérieurs au regard de la variété, parfois de la singularité, des situations rencontrées.

Cependant, ces résultats, associés à des valeurs de fréquence adimensionnelle pour lesquelles

les déformations de la fondation ne sont a priori plus négligeables, doivent être pris avec

précaution.

1.2 Aspects expérimentaux

L’étude paramétrique proposée, associant modèles de structures représentatifs et un cal-

cul simplifié des impédances de fondation, fournit une description aussi bien qualitative que

quantitative, des effets de l’interaction sol structure, à partir de données de base sur la struc-


ture et le sol de fondation. Cette caractérisation théorique du phénomène ouvre la voix à une

campagne de validation expérimentale, ciblant, parmi toutes les configurations sol structure,

celles qui ont un intérêt particulier : parce qu’elles présentent la présomption d’un fort niveau

d’interaction, ou permettent de tester l’une ou l’autre des hypothèses du modèle.

La question des mesures et traitements adaptés pour l’identification expérimentale du

phénomène a été posée. Les réponses apportées au chapitre 2 ont permis d’établir les relations

permettant de déterminer, à partir d’un choix de mesures et de sollicitations approprié :

– les spécificités modales complexes du système sol structure, et en particulier le déphasage

de la déformée modale qui constitue une variable de calage originale et, a priori efficace,

de l’amortissement d’origine radiative ;

– par analyse inverse, les caractéristiques propres de la structure (sur base rigide) et de la

condition d’appui (impédance du système sol-fondation).

Dans les deux cas, les approximations indispensables ont été justifiées avec rigueur.

Par ailleurs, la discussion des hypothèses du modèle de base (fondation rigide, reposant à

la surface d’un sol homogène), utilisé pour l’étude paramétrique, permet de cerner les limites

de son application à des cas réels et d’envisager, dans une certaine mesure, son adaptation à

des fins expérimentales. La décomposition algébrique de l’interaction sol structure selon ce qui

relève de la déformation interne, de la translation de corps rigide, ou de la rotation de corps

rigide (équations (2.88) et (2.90) exprimant l’équivalence approximative du mode fondamental

sol structure avec un modèle à un degré de liberté sur sol souple), est un résultat classique,

qui a été réétabli ici en prenant soin d’expliciter et d’expliquer les approximations qui le sous-

tendent. Elle pourrait s’avérer particulièrement utile pour appréhender certains phénomènes

complexes (et non pris en compte par le modèle de base) agissant sur l’un ou l’autre des termes

de la décomposition.

2 Interaction site ville

L’approche macroscopique présentée fournit une estimation simple, aussi bien qualitative

que quantitative, de l’effet d’une urbanisation dense sur le mouvement sismique, à partir de

données de base sur la ville et le sol de fondation. L’approximation en contrainte moyenne

(section 4.2) ne donne qu’une valeur uniforme moyenne de la réponse à l’intérieur de la ville.

Le modèle de couche limite (section 4.3) fournit une estimation de la réponse des fondations,

distincte pour chaque type de bâtiments, et une valeur moyenne pour le sol en surface libre.

L’influence de la répartition des bâtiments dans l’ERB, ainsi que les fluctuations locales du

mouvement en champ libre, ne peuvent être décrites par aucune de ces deux méthodes.

Les aspects fondamentaux de l’interaction site ville, mis en évidence de manière numé-

rique par des auteurs précédemment cités, à savoir l’allongement de la durée du signal, des

effets d’amplification/désamplification, la présence de battements, ont été décrits de manière

2. Interaction site ville 281

analytique en prenant soin d’identifier explicitement les paramètres clés du phénomène. On a

montré comment l’effet site ville et l’effet de site classique, qui sont deux phénomènes indé-

pendants, peuvent se combiner et modifier le mouvement en champ libre, particulièrement si

les bâtiments et la couche de sol souple résonnent de concert, de sorte que le pic d’amplifica-

tion provoquée (en l’absence de ville) par la mise en résonance de la couche coïncide avec la

désamplification maximale induite par l’effet d’impédance de la ville. Dans ce cas, on observe

pour l’essentiel :

– une nette diminution des amplitudes maximales du mouvement en surface libre (à l’in-

térieur de la ville) et un allongement de sa durée (comparativement au mouvement en

l’absence de ville), accompagné éventuellement de battements ;

– une réduction encore plus prononcée de l’amplitude et de la durée des vibrations des

bâtiments, comparativement à la réponse de bâtiments identiques mais isolés.

Ces effets sont d’autant plus fort que le sol est souple, la ville dense, et les bâtiments lourds

et peu amortis. A noter, pour éviter tout contre-sens, que lorsque l’influence de l’effet site

ville décroît, la perturbation du mouvement en surface par les ondes provenant des fondations

diminue en amplitude, mais est, en revanche, présente plus longtemps dans le signal compte

tenu de ce que les vibrations des bâtiments sont moins amorties.

La généralisation de ces modèles à d’autres types d’ondes sismiques (ondes SV, P, de Ray-

leigh, etc.) et à l’incidence oblique, est possible mais n’a pas été présentée dans ce mémoire. Ces

prolongements seront bientôt publiés dans un article encore sous presse (Boutin et Roussillon,

2005). On y trouvera, en outre, une approche basée sur la méthode d’homogénéisation pério-

dique appliquée à un milieu bidimensionnel (l’interface Γ) qui assoit solidement les hypothèses

simplificatrices formulées dans ce travail sur des bases théoriques plus explicites.

Du point de vue des applications pratiques, les résultats obtenus permettent de distinguer

les situations dans lesquelles l’effet site ville est négligeable de celles dans lesquelles la présence

de la ville pourrait contaminer significativement les enregistrements sismiques. L’intérêt réside

par exemple dans l’analyse des enregistrements sismiques ou en bruit de fond obtenus en milieu

urbain, ou dans les conséquences que les multiples interactions entre structures pourraient avoir

sur leur vulnérabilité. Sur ce dernier point, les deux cas d’étude considérés ici montrent que

l’interaction site ville, tout du moins par son effet fondamental de couplage des résonances

des structures, a un rôle très favorable vis-à-vis de leur vulnérabilité au séisme, en réduisant à

la fois l’amplitude et la durée de leurs oscillations. Cet effet globalement favorable de la ville

n’exclut pas que dans une ville réelle, des phénomènes locaux, « non cohérents » (Kham, 2004;

Mehzer, 2004), puissent prédominer et amplifier localement le mouvement sismique subi par

les bâtiments.

Du point de vue expérimental, l’obtention de signatures indiscutables du phénomène dans

les enregistrements réalisés au sol, dans une ville réelle, semble délicate. En effet, la nature

(anomalies spectrales dispersées sur tout l’intervalle de variation des fréquences propres des


bâtiments) et l’amplitude de la contamination par la ville (qui paraît insuffisante pour dominer

toutes les autres sources possibles de perturbation du spectre idéalisé) sont telles que, dans

la plupart des configurations, le mouvement en surface sera selon toute vraisemblance, priori-

tairement contrôlé par l’effet de site. Cependant, dans certaines situations favorables (comme

à Mexico), l’analyse du contenu fréquentiel et de la décroissance temporelle de la queue de

signaux, enregistrés en tête de bâtiments dont la fréquence coïncide approximativement avec

celle de la couche, devrait infirmer ou confirmer l’établissement d’un effet de « groupe » à

l’intérieur de la ville.

Pour terminer, on notera que d’autres installations humaines telles que certaines zones

industrielles comprenant des structures lourdes (entrepôts, réservoirs, etc.) sont susceptibles

de donner naissance à cet effet de « groupe ». Cette affirmation est confortée par le fait qu’un

petit nombre de structures sont suffisantes pour générer une interaction significative (section

4.4.2).

Annexe A

Amplification des ondes sismiques par

une couche molle

283

284 Annexe A. Amplification des ondes sismiques par une couche molle

z

h

Γ

ρ1

µ1U+

1 eiωz/β1 U−1 e−iωz/β1

U+2 eiωz/β2 U−

2 e−iωz/β2ρ2

µ2

O

Fig. A.1 – Couche de sol souple sur substratum rocheux excitée par une onde S en incidenceverticale : notations.

On rappelle ici quelques résultats du phénomène très classique d’amplification des ondes

sismiques par une couche de sol molle. On se limite au cas le plus simple : une couche souple

reposant sur un substratum plus rigide et une onde incidente S en propagation verticale.

Les principales notations du problème sont résumés à la figure A.1. La couche de sol

d’épaisseur h (milieu 1) et le substratum (milieu 2), tous deux de comportement élastique,

sont caractérisés par leur module de cisaillement µi et densité ρi, i = 1, 2. On note βi =Èµi/ρi la vitesse des ondes S dans chacun de ces milieux de sorte que les déplacements

transversaux engendrés respectivement par l’onde incidente, l’onde réfléchie à l’interface sol-

substratum, l’onde transmise dans la couche de sol et l’onde réfléchie en surface, sont de la

forme : U+2 eiω(t+z/β1), U−

2 eiω(t−z/β1), U+1 eiω(t+z/β2) et U−

1 eiω(t−z/β2).

L’amplitude de l’onde incidente U+2 est une donné du problème tandis que U−

2 , U+1 et U−

1

sont imposées :

– par la continuité du déplacement et de la contrainte tangeantielle à l’interface sol-

substratum (z = 0) :

U+1 + U−

1 = U+2 + U−

2 ,µ1

β1(U+

1 − U−1 ) =

µ2

β2(U+

2 − U−2 ) ,

– la nullité de la contrainte en surface libre (z = −h)

U+1 e−iωh/β1 − U+

1 eiωh/β1 = 0 .

285

On en déduit :

U−2 /U+

2 =1 − iR tan(2πh/λ2)

1 + iR tan(2πh/λ2), (A.1)

U+1 /U+

2 =e2iπh/λ2

cos(2πh/λ2) + iR sin(2πh/λ2), (A.2)

U−1 /U+

2 =e−2iπh/λ2

cos(2πh/λ2) + iR sin(2πh/λ2), (A.3)

où λ2 = 2πβ2/ω est la longueur d’onde des ondes S dans le substratum et R =µ1β2

µ2β1=r

µ1ρ1

µ2ρ2,

le contraste d’impédance entre la couche et le substratum.

Finalement le déplacement dû au champ d’onde total vaut :

– dans le substratum,

u2(z, t) = U+2 eiω(t+z/β2) + U−

2 eiω(t−z/β2)

=2 cos(2πz/λ2) − 2R tan(2πh/λ1) sin(2πz/λ2)

1 + iR tan(2πh/λ1)U+

1 eiωt ; (A.4)

– dans le sol,

u1(z, t) = U+1 eiω(t+z/β1) + U−

1 eiω(t−z/β1) =2 cos

2π(z + h)/λ1

cos(2πh/λ1) + iR sin(2πh/λ1)

U+1 eiωt ,

(A.5)

correspondant à une onde stationnaire piégée dans la couche.

L’information critique du point de vue de l’ingénierie parasismique est l’amplification du mou-

vement sismique au pied du bâti, c’est à dire en surface. On note Us l’amplitude de ce mou-

vement, et prenant la norme de (A.5), on obtient :

‖u1(z, t)‖ =2|cos

2π(z + h)/λ1

|U+

2È1 − (1 − R2) sin2(2πh/λ1)

⇒ Us = ‖u2(−h, t)‖ =2U+

2È1 − (1 − R2) sin2(2πh/λ1)

.

(A.6)

On retrouve en posant R = 1 le cas du sol homogène (le substratum sans la couche supérieur),

soit Us = 2U+2 . On définit alors le facteur d’amplification de la couche Al comme le rapport

entre l’amplitude du mouvement sismique en surface, en l’absence et en présence de la couche

de sol :

Al =1È

1 − (1 − R2) sin2(2πh/λ1). (A.7)

Puisque dans la pratique le sol est plus souple que le substratum, R est compris entre 0 et

1 et le facteur d’amplification est toujours supérieur à 1. L’amplification est maximale à la

résonance quart d’onde de la couche, c’est à dire pour les ondes de fréquences fl telles que


0 1 2 3 4 5 6 7 81

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f/fl

lfa

cteu

r d’

ampl

ifica

tion

A

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

sign

al a

mpl

ifié

t/tl

0 5 10 15 20−1

−0.5

0

0.5

t/tl

sign

al d

e ré

fére

nce

Fig. A.2 – Facteur d’amplification (à gauche) et réponse de la couche (en bas à droite) àune excitation du type Ricker (tl = 1/fl est le temps caractéristique de la couche). A titre decomparaison, réponse en l’absence de couche (en haut à droite)

λl = β1/fl =4

2k + 1h, k ∈ N, et vaut Al,max = 1/R (figure A.2 à gauche). Conformément à

l’intuition, plus le contraste de rigidité entre la couche de sol et le substratum est fort plus

l’amplification est importante.

L’effet temporel de la résonance est illustré par la réponse à une onde incidente de type Ricker

R(t) dont la fréquence centrale coïncide avec la fréquence propre de la couche fl :

R(t) =

π

t − tstp

2

− 1/2

!exp

π

t − tstp

2!

avec tp = 1/fl et ts qcq. (A.8)

La comparaison entre la réponse à la surface du sol (figure A.2 en bas à droite) et le mouve-

ment de référence, c’est à dire la réponse à la surface du substratum en l’absence de couche

de sol (figure A.2 en haut à droite), montre, outre l’amplification du mouvement maximal, un

net allongement de la durée du signal sous l’effet du piégeage des ondes dans la couche.

Pour plus de vraisemblance, on peut modifier les résultats précédents en introduisant une dis-

sipation d’énergie sous la forme d’un amortissement hystérétique. On définit alors les modules

de cisaillement complexes :

µ∗1 = µ1(1 + i/q1) et µ∗

2 = µ2(1 + i/q2),

où q1 et q2 sont les facteur d’atténuation (ou de qualité) respectivement du sol mou et du

287

0 1 2 3 4 5 6 7 81

2

3

4

5

6

7

8

f/fl

lfa

cteu

r d’

ampl

ifica

tion

A

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

sign

al a

mpl

ifié

t/tl

0 5 10 15 20−1

−0.5

0

0.5

t/tl

sign

al d

e ré

fére

nce

Fig. A.3 – Idem figure A.2 en présence d’amortissement hystérétique défini par les facteursd’atténuation q1 = 25 dans la couche de sol et q2 = 100 dans le substratum.

substratum, et à l’avenant les vitesses de propagation complexes :

β∗1 = β1(1 + i/2q1) et β∗

2 = β2(1 + i/2q2),

etc... Les calculs précédents sont alors directement transposables à condition de raisonner dans

l’espace de Fourier. Le type de résultats obtenus est illustré à la figure A.3 pour q1 = 25 et

q2 = 100. On observe une certaine atténuation des effets de la couche précédemment décrits,

en particulier au niveau des pics de résonance secondaires. Cependant, les résultats restent

qualitativement identiques.

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FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : ROUSSILLON DATE de SOUTENANCE : 20 Janvier 2006 (avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) Prénoms : Pierre Guillaume TITRE : INTERACTION SOL-STRUCTURE ET INTERACTION SITE-VILLE : ASPECTS FONDAMENTAUX ET MODELISATION NATURE : Doctorat Numéro d'ordre : 2006 ISAL - 0008 Ecole doctorale : Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique (MEGA) Spécialité : Génie Civil Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE : RESUME : La réévaluation sismique du bâti existant est un enjeu de sécurité majeur. Dans ce cadre a été effectuée une étude de l'interaction sol-structure (ISS) destinée à orienter l'auscultation du bâti et être intégrée dans un premier diagnostic de vulnérabilité. Elle s'inscrit dans une approche basée sur l'établissement de modèles simples de comportement dynamique issus de la confrontation du comportement supposé de la structure avec des données recueillies in situ par la méthode du bruit de fond, de l'excitation harmonique ou des chocs. Le choix d'une représentation simplifiée de l'ISS, autorisant un calcul analytique des fonctions d'impédances, a permis de déterminer, pour chacun des modèles les plus courants de structures, les paramètres adimensionnels essentiels qui gouvernent le phénomène puis d'estimer, selon les valeurs de ces paramètres, la nature et l'importance de l'effet de l'ISS sur les caractéristiques modales du système. Avec le même souci de privilégier les approches analytiques ou semi-numériques, des modèles basses fréquences ont été développés pour appréhender le phénomène d'interaction site-ville (ISV), autrement dit l'effet d'une urbanisation dense sur le champ d'onde sismique. Une première approche macroscopique, correspondant à une homogénéisation périodique des conditions aux limites en surface, a permis d'identifier le paramètre significatif du couplage mécanique entre le sol et la ville puis d'évaluer l'effet de l'interaction site-ville sur l'amplitude et la durée de la réponse sismique. Une deuxième approche, basée sur une formulation simplifiée et néanmoins réaliste du champ d'onde émis par chaque bâtiment, conduit à définir une couche limite pour décrire les interactions multiples entre sol et bâtiment. L'estimation distincte du mouvement en champ libre ou au niveau d'une fondation est ainsi rendue possible. MOTS-CLES : Interaction sol-structure, interaction site-ville, étude paramétrique, vulnérabilité sismique, approche macroscopique, couche limite. Laboratoire (s) de recherche :

Laboratoire Géo-Matériaux / DGCB /ENTPE Directeur de thèse: Claude BOUTIN Président de jury : Composition du jury : Irini DJERAN-MAIGRE Pierre-Yves BARD Guy BONNET Didier CLOUTEAU Armand WIRGIN

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