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Int´ egrales elliptiques * Krell Stella, Minjeaud Sebastian, Dunand Cl´ ement 19 juillet 2005 Pour d´ eterminer le champ magn´ etique cr´ e par un arc d’anneau circu- laire de faible section travers´ e par un courant, on utilise g´ en´ eralement la for- mule de Biot et Savart. Le champ magn´ etique obtenu s’exprime en fonction de diff´ erentes int´ egrales elliptiques pour lesquelles il n’existe pas de formule exacte. Le but de ce projet est la r´ ealisation d’un programme performant permettant de calculer une approximation de ces int´ egrales elliptiques. * Projet informatique r´ ealis´ e sous la tutuelle de Monsieur Patrice Boissoles

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Integrales elliptiques∗

Krell Stella, Minjeaud Sebastian, Dunand Clement

19 juillet 2005

Pour determiner le champ magnetique cree par un arc d’anneau circu-laire de faible section traverse par un courant, on utilise generalement la for-mule de Biot et Savart. Le champ magnetique obtenu s’exprime en fonctionde differentes integrales elliptiques pour lesquelles il n’existe pas de formuleexacte.Le but de ce projet est la realisation d’un programme performant permettantde calculer une approximation de ces integrales elliptiques.

∗Projet informatique realise sous la tutuelle de Monsieur Patrice Boissoles

Table des matieres

1 Motivation : un probleme de physique 11.1 Presentation du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Champ cree par une portion de spire circulaire . . . . . . . . . 1

2 Integrales elliptiques canoniques 32.1 Definitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Integrale elliptique du premier type . . . . . . . . . . . 32.1.2 Integrale elliptique du deuxieme type . . . . . . . . . . 42.1.3 Integrale elliptique du troisieme type . . . . . . . . . . 42.1.4 Integrales elliptiques completes . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Integrales elliptiques des premier et deuxieme types . . 52.2.2 La fonction Zeta de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Methodes classiques 73.1 Methode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Methode des trapezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Methode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Methode de calcul performante des integrales completes 84.1 Calcul de l’integrale complete de premier type K(k) . . . . . . 8

4.1.1 Forme homogene de l’integrale elliptique de premier type 84.1.2 Introduction de la moyenne Arithmetico-Geometrique . 114.1.3 Calcul de K(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Proprietes intermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.1 Equations differentielles liant les integrales completes

de premier et deuxieme type . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Calcul de l’integrale complete de deuxieme type E(k) . . . . . 20

5 Methode de calcul performante des integrales incompletes 235.1 Relation entre F (φn+1, kn+1) et F (φn, kn) . . . . . . . . . . . . 24

5.1.1 Expression de F (φn+1, kn+1) . . . . . . . . . . . . . . . 245.1.2 Expression de F (φn, kn) . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.3 Egalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Transformation de Landen descendante et retour aux nota-tions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 Algorithme de la moyenne arithmetico-geometrique . . . . . . 28

6 Applications 296.1 Calcul du champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.1.2 Apparition des integrales elliptiques . . . . . . . . . . . 306.1.3 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2 Calcul de la periode d’oscillation d’un pendule . . . . . . . . . 35

3

1 Motivation : un probleme de physique

1.1 Presentation du probleme

L’etude des champs magnetiques trouve ses applications dans de nom-breux domaines scientifiques, notamment l’imagerie medicale, la telephoniemobile, la radiodiffusion, etc. Dans le domaine de l’imagerie a resonancemagnetique (IRM) par exemple, l’image obtenue est due au champ magnetiquecree par une antenne lorsqu’elle est parcourue par une intensite donnee.

x

y

z

Ω

Fig. 1 – Antenne

L’antenne etudiee est de forme cy-lindrique : elle se compose de deuxbases circulaires reliees par des filsqui constituent des generatricesde ce cylindre. L’etude du champmagnetique qu’elle genere passepar le calcul du champ cree parune spire circulaire. Hors de sonaxe, l’expression obtenue fait in-tervenir des integrales dites ellip-tiques, dont on ne peut calculeranalytiquement la valeur exacte.

1.2 Champ cree par une portion de spire circulaire

On souhaite calculer le champ cree par une portion l de spire circulaire.Pour cela, on la parametre dans le repere d’espace par ses coordonnees cy-lindriques. Elle se situe a une altitude Z0, est centree sur l’axe z et a pourrayon Ω. L’angle polaire θ0 variera de θ1 a θ2. Cela se traduit en terme decoordonnees cartesiennes par :

x0 = Ω cos θ0

y0 = Ω sin θ0

z0 = Z0

En choisissant (~i,~j,~k) pour repere cartesien, le deplacement elementaire enun point (x0, y0, z0), soit en cylindriques (Ω, θ0, z0), de l’arc s’ecrit :

−→dl0 = Ω(− sin θ0

~i + cos θ0~j)dθ0

1

On peut alors calculer le potentiel vecteur puis le champ crees dans toutl’espace par cet arc de spire. Si ~r = x~i + y~j + z~k et ~Ω = x0

~i + y0~j + z0

~k, onapplique la loi de Biot et Savart :

~A(x, y, z) =µ0

l

J−→dl0

|~r − ~Ω|ou J designe l’intensite parcourant la spire et µ0 la permeabilite magnetique

du vide.Puis on ecrit :

~B =−→rot ~A

Finalement, en notant D =√

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, on obtient :

~B(x, y, z) =µ0J

[Bx

~i + By~j + Bz

~k]

avec

Bx =

∫ θ2

θ1

(z − z0)Ω cos θ0

D3dθ0

By =

∫ θ2

θ1

(z − z0)Ω sin θ0

D3dθ0

Bz =

∫ θ2

θ1

Ω[Ω− r cos(θ − θ0)]

D3dθ0

En utilisant ~r = (r, θ, z) dans l’expression de D, on obtient :

D =√

(z − z0)2 + r2 + Ω2 − 2rΩ cos(θ − θ0).

On effectue le changement de variable : θ− θ0 = 2φ− π. On adopte en outreles notations suivantes :

R2 = (r + Ω)2 + (z − z0)

2

k2 =4rΩ

R2

L’expression de D devient :

D2 = (r + Ω)2 + (z − z0)2 − 2rΩ(1 + cos(2φ− π))

D2 = R2(1− k2 sin2 φ)

2

Apres changement de variable, en notant φi =π + θ − θi

2pour i = 1, 2, les

coordonnees du champ ~B deviennent :

Bx =

∫ φ2

φ1

−2Ω(z − z0) cos(θ − 2φ + π)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

By =

∫ φ2

φ1

−2Ω(z − z0) sin(θ − 2φ + π)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

Bz =

∫ φ2

φ1

−2Ω(r + Ω− 2r sin2 φ)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

Les trois composantes du champ magnetique cree par l’antenne s’exprimentsous forme d’integrales. Ces integrales sont appelees integrales elliptiques.Elles sont toutes exprimables en fonctions des formes canoniques presenteesci-apres.

2 Integrales elliptiques canoniques

2.1 Definitions et notations

2.1.1 Integrale elliptique du premier type

L’integrale elliptique du premier type depend de deux parametres : l’am-plitude φ et un angle α.

F (φ, α) =

∫ φ

0

dθ√1− sin2 α sin2 θ

Lorsque φ ∈ [0, π

2

], on peut effectuer le changement de variable simple sui-

vant :

t = sin θ

dt ↔ cos θ dθ

↔√

1− t2 dθ,

F (φ, α) =

∫ sin φ

0

dt√(1− sin2 α t2)(1− t2)

3

On utilise alors plutt le parametre m = sin2 α, (0 6 m 6 1), en notant :

F (φ, m) =

∫ sin φ

0

dt√(1−mt2)(1− t2)

2.1.2 Integrale elliptique du deuxieme type

L’integrale elliptique du deuxieme type est definie avec les deux memesparametres : l’amplitude φ et un angle α.

E(φ, α) =

∫ φ

0

√1− sin2 α sin2 θ dθ

On peut effectuer le meme changement de variable simple lorsque 0 6 φ 6 π2

:

t = sin θ

dt ↔ cos θ dθ

↔√

1− t2 dθ,

on utilise encore le parametre m = sin2 α (0 6 m 6 1). Ce qui donne :

E(φ,m) =

∫ sin φ

0

√1−mt2

1− t2dt

2.1.3 Integrale elliptique du troisieme type

On peut meme definir une troisieme integrale elliptique.

Π(φ, α, n) =

∫ φ

0

(1− n sin2 θ)√

1− sin2 α sin2 θpour n > 0.

On peut effectuer le meme changement de variable simple et obtenir donc :

Π(φ,m, n) =

∫ sin φ

0

dt

(1− n t2)√

(1− t2)(1−mt2)

Mais cette integrale n’intervient pas dans le calcul du champ magnetique.On va donc la laisser de cote.

4

2.1.4 Integrales elliptiques completes

Lorsque l’amplitude vautπ

2, on note les integrales completes :

K(α) = F(π

2, α

)

=

∫ π2

0

dθ√1− sin2 α sin2 θ

et E(α) = E(π

2, α

)

=

∫ π2

0

√1− sin2 α sin2 θ dθ

On utilisera aussi le parametre k = sin α. On notera dans ce cas pour 0 <k < 1 :

E(k) =

∫ π2

0

√1− k2 sin2 θ dθ

K(k) =

∫ π2

0

dθ√1− k2 sin2 θ

2.2 Proprietes

2.2.1 Integrales elliptiques des premier et deuxieme types

Pour tout angle α, on peut se restreindre a l’intervalle[0,

π

2

]pour φ grace

aux proprietes immediates suivantes :On peut se ramener grace aux proprietes ci-dessous a un calcul avec φ ∈[−π

2, π

2

], en utilisant les formules :

∀ s ∈ Z, F (sπ + φ, α) = 2sK(α) + F (φ, α)

∀ s ∈ Z, E(sπ + φ, α) = 2sE(α) + E(φ, α)

En effet,

∀s ∈ Z, F (sπ + φ, α) =

∫ sπ+φ

0

dθ√1− sin2 α sin2 θ

=

∫ sπ

0

dθ√1− sin2 α sin2 θ

+

∫ sπ+φ

dθ√1− sin2 α sin2 θ

5

Le second terme est en fait F (φ, α) par le changement de variable : θ → θ−sπ.

et

∫ sπ

0

[ ]dθ =

∫ π

0

[ ]dθ +

∫ 2π

π

[ ]dθ + · · ·+∫ sπ

(s−1)π

[ ]dθ

= s

[2

∫ π2

0

[ ]dθ

]

Donc : F (sπ + φ, α) = 2sK(α) + F (φ, α)

On a de meme : E(sπ + φ, α) = 2sE(α) + E(φ, α)

On se ramene ensuite a φ ∈[0,

π

2

], puisque si l’amplitude est negative, on a

alors par le changement de variable : θ → −θ :

F (−φ, α) =

∫ −φ

0

dθ√1− sin2 α sin2 θ

= −F (φ, α)

E(−φ, α) =

∫ −φ

0

√1− sin2 α sin2 θ dθ

= −E(φ, α)

Cas particuliers :

F (φ, 0) =

∫ φ

0

dθ√1− sin2(0) sin2 θ

=

∫ φ

0

= φ

F(φ,

π

2

)=

∫ φ

0

cos θ

= ln

(tan

4+

φ

2

))

E(φ, 0) =

∫ φ

0

√1− sin2(0) sin2 θ dθ

= φ

E(φ,

π

2

)=

∫ φ

0

cos θ dθ

= sin φ

6

2.2.2 La fonction Zeta de Jacobi

La fonction Zeta de Jacobi permet de relier E(φ, α) et F (φ, α) pour uneamplitude quelconque a l’aide des integrales completes K(α) et E(α) :

Z(φ, α) = E(φ, α)− E(α)F (φ, α)

K(α)

Il faut donc introduire des methodes numeriques pour calculer l’integraleelliptique de premier type.

3 Methodes classiques

3.1 Methode des rectangles

On subdivise l’intervalle [0, φ] grace a n + 1 points equidistants. Le pas

de la subdivision est note : h =φ

n.

Les points de la subdivision sont notes : ti = ih , (0 6 i 6 n).Sur le i-eme intervalle de la subdivision on approche la fonction a integrerpar sa valeur en ti. On trouve alors :

F (φ, α) ' h

n∑i=1

1√1− sin2 α sin2 ti

3.2 Methode des trapezes

On utilise une subdivision et des notations identiques a celles de la methodedes rectangles.Sur le i-eme intervalle on approche maintenant la fonction a integrer par unedroite passant par ses valeurs en ti et ti+1. On a la formule :

F (φ, α) ' h

2

n∑i=1

(1√

1− sin2 α sin2 ti+

1√1− sin2 α sin2 ti−1

)

F (φ, α) ' h

2

(1√

1− sin2 α sin2 t0+

1√1− sin2 α sin2 tn

)+ h

n−1∑i=1

1√1− sin2 α sin2 ti

7

3.3 Methode de Simpson

La fonction est maintenant approchee par une parabole passant par ses

valeurs en ti,ti + ti+1

2et ti+1. On obtient la formule :

F (φ, α) ' h

6

n−1∑i=0

1√1− sin2 α sin2 ti

+4√

1− sin2 α sin2( ti+ti+1

2

) +1√

1− sin2 α sin2 ti+1

Ces methodes sont polynomiales d’ordre 1, 2 et 4 donc nous allons presenterune methode plus performante.

4 Methode de calcul performante des integrales

completes

On utilise dans cette partie la notation, pour 0 < k < 1 :

E(k) =

∫ π2

0

√1− k2 sin2 θ dθ

K(k) =

∫ π2

0

dθ√1− k2 sin2 θ

On notera k′ =√

1− k2

4.1 Calcul de l’integrale complete de premier type K(k)

4.1.1 Forme homogene de l’integrale elliptique de premier type

On introduit une forme generalisee de l’integrale elliptique complete depremier type definie pour a, b > 0 :

T (a, b) =2

π

∫ π2

0

dθ√a2 cos2 θ + b2 sin2 θ

=2

π

∫ π2

0

cos θ√

a2 + b2 tan2 θ

8

On effectue alors un changement de variable en posant :

t = b tan θ

dt ↔ b

cos θ

√1 + tan2 θ dθ

↔ b

cos θ

√1 +

(t

b

)2

↔ dθ

cos θ

√b2 + t2

C’est-a-dire :

cos θ↔ dt√

b2 + t2

On obtient :

T (a, b) =2

π

∫ +∞

0

dt√(a2 + t2)(b2 + t2)

On pose maintenant :

u =1

2

(t− ab

t

)

du ↔ 1

2

(1 +

ab

t2

)dt

Comme

2u

t= 1− ab

t2

1 +ab

t2= 2

(1− u

t

),

on obtient :

dt ↔ du

1− ut

De plus, on remarque que :

u2 =t4 − 2abt2 + a2b2

4t2

4u2t2 = t4 − 2abt2 + a2b2

9

Donc :

(a2 + t2)(b2 + t2) = t4 + a2b2 + (a2 + b2)t2

= 4u2t2 + 2abt2 + (a2 + b2)t2

= t2(4u2 + (a + b)2)

Ainsi, on obtient :

dt√(a2 + t2)(b2 + t2)

↔ du

(t− u)√

4u2 + (a + b)2

Mais :

t2 − 2ut− ab = 0

t = u±√

u2 + ab

t− u = ±√

u2 + ab

or t− u =1

2

(ab

t+ t

)

> 0

Finalement on arrive a :

T (a, b) =2

π

∫ ∞

−∞

du√(4u2 + (a + b)2)(u2 + ab)

=2

π

∫ ∞

0

du√[u2 +

(a+b2

)2](u2 + ab)

= T

(1

2(a + b),

√ab

)

Nous venons de demontrer :

T (a, b) = T

(1

2(a + b),

√ab

)

Ce qui nous amene a introduire la moyenne arithmetico-geometrique.

10

4.1.2 Introduction de la moyenne Arithmetico-Geometrique

L’egalite :

T (a, b) = T

(1

2(a + b),

√ab

)

nous amene a definir les suites (an)n∈N et (bn)n∈N par :

a0 > 0

an+1 = 12(an + bn)

b0 > 0

bn+1 =√

anbn

bn+1 est bien definie pour tout n ∈ N car ∀n ∈ N, an, bn > 0.

On veut montrer que ces deux suites sont adjacentes.Pour cela on s’interesse d’abord a leur difference :

an − bn =1

2(an−1 + bn−1)−

√an−1bn−1

=an−1 − 2

√an−1bn−1 + bn−1

2

=(√

an−1 −√

bn−1)2

2

Ce qui nous amene a :

an − bn > 0 (1)

an > bn (2)√

an >√

bn (3)

En utilisant (3) et la definition de recurrence de la suite (bn)n>0 on a :

bn+1 =√

an

√bn

> bn

La suite (bn)n>0 est croissante.

11

En utilisant (2) et la definition de recurrence de la suite (an)n>0 on ob-tient :

an+1 =1

2(an + bn)

6 1

2(an + an)

= an

La suite (an)n>0 est decroissante.

De plus, ∀n > 1, an > b0 et bn 6 a0, donc les suites (an)n∈N et (bn)n∈N,monotones et bornees, convergent. On va montrer qu’elles ont meme limite.On revient a la difference des deux suites. En utilisant (3) on a :

an+1 − bn+1 =an − 2

√anbn + bn

2

6 an − bn

2

6 an−1 − bn−1

4...

6 a0 − b0

2n+1

−−−→n→∞

0

Ce qui prouve qu’elles ont meme limite notee M(a, b).De plus, la convergence est exponentielle.

Revenons a l’integrale complete generalisee.On a ∀n > 1, T (an, bn) = T (an−1, bn−1) = · · · = T (a0, b0).Les theoremes d’interversion limite/integrale montrent que :

T (a0, b0) = T (M(a0, b0),M(a0, b0))

12

Or :

T (M(a0, b0),M(a0, b0)) =2

π

∫ ∞

0

dt

M2(a0, b0) + t2

=2

πM(a0, b0)

[arctan

(t

M(a0, b0)

)]∞

0

=2

πM(a0, b0)

2− 0

]

=1

M(a0, b0)

On a donc ∀ a, b > 0, T (a, b) =1

M(a, b)Revenons maintenant a la forme canonique introduite en 4.1 :

T (a, b) =2

π

∫ π2

0

dθ√a2 cos2 θ + b2 sin2 θ

=2

∫ π2

0

dθ√cos2 θ +

(ba

)2sin2 θ

=2

∫ π2

0

dθ√1− (

1− b2

a2

)sin2 θ

En posant k′ = ba, on a :

T (1, k′) =2

πK(k)

=1

M(1, k′)

C’est-a-dire :

K(k) =π

2M(1, k′)

Si on pose a0 = 1 et b0 = k′, la suite

2an

)

n∈Nconverge exponentielle-

ment vers K(k).

13

4.1.3 Calcul de K(k)

La limite des suites (an)n>0 et (bn)n>0 est inchangee si on prend pourtermes initiaux a1 et b1.

M(a, b) = M

(1

2(a + b),

√ab

)

M(1, b) = M

(1

2(1 + b),

√b

)

=1 + b

2M

(1,

2√

b

1 + b

)

On va donc s’interesser a la suite particuliere (n ∈ N) :

0 6 k0 6 1

kn+1 =2√

kn

1 + kn

On va etudier la valeur de M(1, k0).

M(1, k0) =1 + k0

2M (1, k1)

=1 + k0

2

1 + k1

2M (1, k2)

=N−1∏n=1

1 + kn

2M (1, kN)

Comme k0 6 1,une etude de suite montre que kn → 1 et l’encadrement deM(1, kN) :

kN 6 M(1, kN) 6 1

M(1, kN) −−−→N→∞

1

Donc on arrive au resultat :

M(1, k0) =∞∏

n=1

1 + kn

2

14

Rem : Cette etude montre que le produit ci-dessus converge.D’ou :

K(k) =π

2

∞∏n=1

2

1 + k′n

ou kn+1 =2√

kn

1 + kn

.

4.2 Proprietes intermediaires

4.2.1 Equations differentielles liant les integrales completes depremier et deuxieme type

Les theoremes de derivabilite sous le signe de l’integrale montre que :

dE

dk=

∫ π2

0

∂(√

1− k2 sin2 θ)

∂kdθ

=1

k

∫ π2

0

−k2 sin2 θ√1− k2 sin2 θ

=1

k

∫ π2

0

1− k2 sin2 θ√1− k2 sin2 θ

dθ − 1

k

∫ π2

0

1√1− k2 sin2 θ

On obtient une premiere equation differentielle :

dE

dk=

1

k[E(k)−K(k)]

De plus, en utilisant le developpement en serie entiere suivant, valablepour |x| < 1 :

(1 + x)α = 1 + αx +α(α− 1)

2x2 +

α(α− 1)(α− 2)

3!x3 + · · ·

= 1 +∞∑

n=1

α(α− 1)(α− 2) · · · (α− (n− 1))

n!xn

15

On obtient :√

1− k2 sin2 θ = 1 +∞∑

n=1

12(−1

2)(−3

2) · · · (−2n−3

2)

n!(−k2 sin2 θ)n

= 1 +∞∑

n=1

(−1)n−1(2n− 3)!!

2nn!(−k2 sin2 θ)n

= 1−∞∑

n=1

(2n− 3)!!

(2n)!k2n sin2n θ

ou (2n− 3)!! = 1× 3× 5× · · · × (2n− 3).

On integre, et on intervertit integrale et signe somme grace a la conver-gence uniforme :

∫ π2

0

√1− k2 sin2 θ dθ =

π

2−

∞∑n=1

(2n− 3)!!

(2n)!k2n

∫ π2

0

sin2n θdθ

On retrouve les integrales de Wallis :

I2n =

∫ π2

0

sin2n θdθ

=(2n− 1)!!

2nn!

π

2

∫ π2

0

√1− k2 sin2 θ dθ =

π

2

[1−

∞∑n=1

(2n− 3)!!

2nn!

(2n− 1)!!

2nn!k2n

]

E(k) =π

2

[1−

∞∑n=1

[(2n− 1)!!

2nn!

]2k2n

2n− 1

]

De meme :

K(k) =∞∑

n=0

(−12)(−3

2) · · · (−2n−1

2)(−1)n

n!k2nI2n

=∞∑

n=0

(2n− 1)!!

2nn!

(2n− 1)!!

2nn!k2n π

2

2

[1 +

∞∑n=1

[(2n− 1)!!

2nn!

]2

k2n

]

16

On prouve, a l’aide de ces developpements en serie entiere, l’egalite sui-vante :

dK

dk=

E(k)− (1− k2)K(k)

k(1− k2)

En effet, si on note un =

[(2n− 1)!!

2nn!

]2

, (n > 1), on a alors :

k(1− k2)dK

dk=

π

2

∞∑n=1

un2nk2n − π

2

∞∑n=1

un2nk2n+2

et E(k)− (1− k2)K(k) =π

2

[−

∞∑n=1

un

2n− 1k2n −

∞∑n=1

unk2n + k2 +

∞∑n=1

unk2n+2

]

Montrer l’egalite revient a montrer :

2u1 = −2u1 + 1

un+12(n + 1)− un2n = − un+1

2(n + 1)− 1− un+1 + un, n > 1

Or on a bien u1 =1

4et la deuxieme egalite est equivalente a :

un+1

[(2n + 2) +

1

2n + 1+ 1

]= un(2n + 1)

⇐⇒ un+1[(2n + 3)(2n + 1) + 1] = un(2n + 1)2

or un+1[(2n + 3)(2n + 1) + 1] =

[(2n + 1)!!

2n+1(n + 1)!

]2

(4n2 + 8n + 4)

=

[(2n + 1)!!

2n+1(n + 1)!

]2

(n + 1)24

=

[(2n + 1)!!

2nn!

]2

= un(2n + 1)2

On vient de prouver la recurrence de la suite (un)n>0 et donc aussi :

dK

dk=

E(k)− (1− k2)K(k)

k(1− k2)

17

E et K sont relies par les equations differentielles :

dE

dk=

1

k[E(k)−K(k)]

dK

dk=

E(k)− (1− k2)K(k)

k(1− k2)

4.2.2 Proprietes

On introduit ici la notation g pour une fonction qui est deja apparueprecedemment :

g(k) =2√

k

1 + k

On demontre quelques proprietes qui serviront dans la suite :

g−1(k) =1− k′

1 + k′

1 + g−1(k) =2

1 + k′

√1− g(k)2 =

√1− 4k

(1 + k)2

= g−1(k′)

g−1(k′) =√

1− g2(k)

De meme :g(k′) =

√1− g−1(k)2

La propriete etablie sur l’integrale elliptique complete de premier type

T (1, k) = T

(1 + k

2,√

k

)

18

nous permet d’ecrire :

K(k′) =2

1 + kK

(√1− g2(k)

)

=2

1 + kK

(g−1(k′)

)

K(k) =2

1 + k′K

(g−1(k)

)

=2

1 + k′K

(1− k′

1 + k′

)

K (g(k)) =2

1 + g−1(k′)K(k)

= (1 + k)K(k)

K(k) =1

1 + kK

(2√

k

1 + k

)

On differentie la derniere egalite :

K = − 1

(1 + k)2K (g(k)) +

1

1 + kg(k)

dK

dk(g(k))

K(k) = − 1

1 + kK(k) +

1

1 + kg(k)K (g(k))

(1 + k)K(k) + K(k) = g(k)K (g(k))

Or nous avons etabli :

kk′2K(k) = E(k)− k′2K(k)

et g(k)(1− g2(k)

)︸ ︷︷ ︸=

2√

k(1− k)2

(1 + k)3

K (g(k)) = E (g(k))− (1− g2(k)

)K (g(k))

2k(1− k)

1 + k

1− k√k(1 + k)2

︸ ︷︷ ︸= g(k)

K (g(k)) = E (g(k))− (1− k)2

(1 + k)2K (g(k))

2k(1− k)

1 + k

[(1 + k)K(k) + K(k)

]= 2k(1− k)K(k) +

2k(1− k)

1 + kK(k)

= E (g(k))− (1− k)2

(1 + k)2K (g(k))

19

En utilisant l’expression de la derivee de K(k) :

2

1 + k

[E(k)− k′2K(k)

]+

2k(1− k)

1 + kK(k) = E (g(k))− (1− k)2

(1 + k)2K (g(k))

E(k) +(k(1− k)− k′2

)K(k) =

1 + k

2E (g(k))− (1− k)2

2K(k)

E(k) =1 + k

2E (g(k)) +

[−2k(1− k) + 2k′2 − (1− k)2

2

]K(k)

=1 + k

2E (g(k)) +

k′2

2K(k)

En substituant g−1(k) a k, on obtient :

E(g−1(k)

)=

1 + g−1(k)

2E(k) +

g2(k′)2

K(g−1(k)

)

=1

1 + k′E(k) +

2k′

(1 + k′)2

1 + k′

2K(k)

E(k) = (1 + k′)E(g−1(k)

)− k′K(k)

4.3 Calcul de l’integrale complete de deuxieme typeE(k)

Introduisons les formes homogenes de l’integrale elliptique :

I(a, b) =

∫ π2

0

dθ√a2 cos2 θ + b2 sin2 θ

=1

aK

√1−

(b

a

)2

2T (a, b)

J(a, b) =

∫ π2

0

√a2 cos2 θ + b2 sin2 θ dθ

= aE

√1−

(b

a

)2

20

On a montre que si on introduit les suites, n > 0 avec a0 > 0, b0 > 0

an+1 =an + bn

2

bn+1 =√

anbn

cn+1 =an − bn

2

alors I(an, bn) = I(a0, b0), ∀n ∈ N.Montrons que

∀ n ∈ N, 2J(an+1, bn+1)− J(an, bn) = anbnI(an, bn)

Pour cela, on pose kn =cn

an

, n > 0, alors

k′n =√

1− k2n

=

√1− c2

n

a2n

=

√1− a2

n − b2n

a2n

=bn

an

2J(an+1, bn+1) = 2an+1E(kn+1)

J(an, bn) = anE(kn)

Or :

kn+1 =an − bn

an + bn

=1− k′n1 + k′n

D’apres la propriete de E(k), on obtient :

E(kn) = (1 + k′n)E(kn+1)− k′nK(kn)

1

an

J(an, bn) =2

an

an + bn

2an+1︸ ︷︷ ︸=1

J(an+1, bn+1)− bn

an

K (kn)

2J(an+1, bn+1)− J(an, bn) = anbnI(an, bn)

= anbnI(a0, b0)

21

On remarque que :

4a2n+1 − 2a2

n − 2anbn = (an + bn)2 − 2a2n − 2anbn

= b2n − a2

n

= −c2n, n > 1

On en deduit donc :

2n+1[J(an+1, bn+1)− a2n+1 I(a0, b0)]− 2n

[J(an, bn)− a2

nI(a0, b0)]

= 2n[2J(an+1, bn+1)− J(an, bn) + (a2

n − 2a2n+1)I(a0, b0)

]

= 2n[anbnI(a0, b0) + (a2

n − 2a2n+1)I(a0, b0)

]

= 2n−1c2nI(a0, b0)

On somme :

∞∑n=1

2n−1c2nI(a0, b0) = −2J(a1, b1) + 2a2

1I(a0, b0)

= −J(a0, b0)− a0b0I(a0, b0) +(a0 + b0)

2

2I(a0, b0)

= −J(a0, b0) + I(a0, b0)a2

0 + b20

2

J(a0, b0) = I(a0, b0)

[a2

0 + b20

2−

∞∑n=1

2n−1c2n

]

En posant, a0 = 1, b0 = k′ et c0 = k, on a :

E(k) = K(k)

[1 + k′2

2−

∞∑n=1

2n−1c2n

]

K(k)− E(k) =

[1− 1 + k′2

2+

∞∑n=1

2n−1c2n

]K(k)

K(k)− E(k)

K(k)=

k2

2+

∞∑n=1

2n−1c2n

=1

2

∞∑n=0

2nc2n

22

avec :K(k) =

π

2M(1, k′)

On a vu au paragraphe 4.1.2, en notant A = a0 − b0, ∀n > 1,

cn 6 A

2n

2nc2n 6 A2

2n

∞∑n=N+1

2nc2n 6 A2

∞∑n=N+1

1

2n

=A2

2N

On a ainsi trouver deux suites

2an

)

n∈Net

(1

2

n∑

k=0

2kc2k

)

n∈Nqui approche

respectivement K(k) etK(k)− E(k)

K(k). On a donc un moyen de calcul rapide

des integrales completes.Nous allons generaliser ce procede pour le calcul des integrales completes.

5 Methode de calcul performante des integrales

incompletes

Le principe est de construire deux suites (φn)n∈N et (kn)n∈N permettantde relier simplement F (φn+1, kn+1) et F (φn, kn). On choisit la suite des kn demaniere a ce qu’elle tende vers 0 pour pouvoir exploiter la relation F (φ, 0) =φ vue en 2.2.1.Introduisons les suites definies de la maniere suivante :

kn+1 =1− k′n1 + k′n

et tan(φn+1 − φn) = k′n tan φn

23

5.1 Relation entre F (φn+1, kn+1) et F (φn, kn)

5.1.1 Expression de F (φn+1, kn+1)

F (φn+1, kn+1) =

∫ φn+1

0

dθ√1− k2

n+1 sin2 θ

=

∫ φn+1

0

dθ√1− (1− k′n)2

(1 + k′n)2sin2 θ

= (1 + k′n)

∫ φn+1

0

dθ√(1 + k′n)2 − (1− k′n)2 sin2 θ

On s’interesse tout d’abord a l’interieur de la racine carree :

(1 + k′n)2 − (1− k′n)2 sin2 θ = (1− sin2 θ)(1 + k′2n ) + 2k′n(cos2 θ + sin2 θ) + 2k′n sin2 θ

= (1 + k′2n )︸ ︷︷ ︸

=

(a + b

a

)2

cos2 θ + 4k′n︸︷︷︸= 4

b

a

sin2 θ

On revient donc a l’integrale :

F (φn+1, kn+1) = (1 + k′n)

∫ φn+1

0

dθ√(a + b)2

a2cos2 θ + 4

b

asin2 θ

= (1 + k′n)a

∫ φn+1

0

dθ√(a + b)2 cos2 θ + 4ab sin2 θ

= (1 + k′n)a

2

∫ φn+1

0

dθ√(a + b

2

)2

cos2 θ + ab sin2 θ

= (1 + k′n)a

2

∫ φn+1

0

dθ√a2

1 cos2 θ + b21 sin2 θ

On fait le changement de variable :

u =a1

tan θ

24

F (φn+1, kn+1) = (1 + k′n)a

2

∫ +∞a1

tan φn+1

du√(a2

1 + u2)(b21 + u2)

5.1.2 Expression de F (φn, kn)

F (φn, kn) =

∫ φn

0

dθ√1− k2

n sin2 θ

=

∫ φn

0

dθ√1− (1− k′n)2 sin2 θ

=

∫ φn

0

cos2 θ +b2

a2sin2 θ

= a

∫ φn

0

dθ√a2 cos2 θ + b2 sin2 θ

On fait le changement de variable :

t = b tan θ

F (φn, kn) = a

∫ b tan φn

0

dt√(a2 + t2)(b2 + t2)

On fait le changement de variable :

u =1

2

(t− ab

t

)

F (φn, kn) =a

2

∫ 1

2

(b tan φn − a

tan φn

)

−∞

du√√√√((

a + b

2

)2

+ u2

)(u2 + ab

)

=a

2

∫ +∞1

2

(a

tan φn

− b tan φn

) du√√√√((

a + b

2

)2

+ u2

)(u2 + ab

)

25

5.1.3 Egalite

Or

tan(φn+1 − φn) = k′n tan φn

tan φn+1 =(1 + k′n) tan φn

1− k′n tan2 φn

=(a + b) tan φn

a− b tan2 φn

1

tan φn+1

=a− b tan2 φn

(a + b) tan φn

a + b

tan φn+1

=a

tan φn

− b tan φn

Ce qui demontre l’egalite :

∫ +∞a1

tan φn+1

dθ√(a2

1 + u2)(b21 + u2)

=

∫ +∞1

2

(a

tan φn

− b tan φn

) du√√√√((

a + b

2

)2

+ u2

)(u2 + ab

)

F (φn+1, kn+1) = (1 + k′n)a

2

∫ +∞a1

tan φn+1

dθ√(a2

1 + u2)(b21 + u2)

F (φn, kn) =a

2

∫ +∞1

2

(a

tan φn

− b tan φn

) du√√√√((

a + b

2

)2

+ u2

)(u2 + ab

)

Donc F (φn+1, kn+1) = (1 + k′n)F (φn, kn)

5.2 Transformation de Landen descendante et retouraux notations initiales

On definit les suites (αn)n∈N et (φn)n∈N par les relations suivantes :

α0 = ααn+1 6 αn

(1 + sin αn+1)(1 + cos αn) = 2

26

φ0 = φφn+1 > φn

tan(φn+1 − φn) = cos αn tan φn

On verifie, en posant k′n = cos αn, la relation de recurrence kn+1 =1− k′n1 + k′n

.

On a alors d’apres la partie precedente :

F (φ, α) = (1 + cos α)−1F (φ1, α1)

=1

2(1 + sin α1)F (φ1, α1)

...

= 2−n

n∏s=1

(1 + sin αs)F (φs, αs)

= Φ∞∏

s=1

(1 + sin αs)

ou Φ = limn→∞

1

2nF (φn, αn)

= limn→∞

φn

2n

et

K(α) =1

∞∏s=1

(1 + sin αs)

2

∞∏s=0

2

1 + cos αs

Donc

F (φ, α) =2

πK(α)Φ.

Ceci nous donne donc un moyen de calcul de l’integrale elliptique de premiertype.

27

5.3 Algorithme de la moyenne arithmetico-geometrique

On va construire les suites definies par la moyenne arithmetico-geometrique(an)n>0, (bn)n>0 et (cn)n>0 avec :

a0 = 1

b0 = cos α

c0 = sin α

an+1 =1

2(an + bn)

bn+1 =√

anbn

cn+1 =1

2(an − bn)

Grace a la transformation de Landen, on va calculer les integrales elliptiquesen construisant la suite (φn)n>0 definie par :

φ0 = φ

tan(φn+1 − φn) =bn

an

tan φn , φn+1 > φn

A partir d’un certain rang, N assez grand, aN et bN sont tres prochesdonc cN est presque nul.

Ce qui nous permet d’approcher :

K(α) ' π

2aN

E(α) ' K(α)

(1− 1

2

(c20 + 2c2

1 + 22c22 + · · ·+ 2Nc2

N

))

F (φ, α) ' φN

2NaN

Z(φ, α) ' c1 sin φ1 + c2 sin φ2 + · · ·+ cN sin φN

E(φ, α) ' Z(φ, α) +E(α)

K(α)F (φ, α)

Les methodes classiques : la methode des rectangles, la methode destrapezes et la methode de Simpson sont respectivement d’ordre 1, 2 et 4,alors que la methode de la moyenne arithmetico-geometrique converge expo-nentiellement.

28

6 Applications

6.1 Calcul du champ magnetique

6.1.1 Notations

Les notations utilisees par la suite sont les suivantes :

x

y

z

L

Ω

Fig. 2 – Notations

– Ω designe le rayon des anneauxterminaux

– L est la longueur des branchesde l’antenne

Les axes sont choisis de facon a ceque le centre de l’antenne ait pourcoordonnees (x, y, z) = (0, 0, 0) etque l’anneau terminal du haut aitune cote positive.

On oriente le repere de facon a ce qu’il y ait deux branches sur l’axe des x.La premiere branche est celle situee sur le demi-axe x > 0. On note θj l’angleentre l’axe des x et la j-ieme branche de l’antenne. Compte tenu du choixde la premiere branche, θ1 = 0 et, les autres branches etant equireparties,l’angle θj est donne par :

∀ 1 6 j 6 N, θj =2π(j − 1)

N

Le vecteur (I1, . . . , IN) des courants dans l’anneau terminal du haut est :

∀ 1 6 j 6 N, Ij = I0 exp(iθj)

M(r, θ, z) est la position du point ou l’on calcule le champ.

La position initiale est M

(Ω, θ,

L

2

).

29

6.1.2 Apparition des integrales elliptiques

On revient aux coordonnees du champ ~B determinees dans la premierepartie :

Bx =

∫ φ2

φ1

−2Ω(z − z0) cos(θ − 2φ + π)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

By =

∫ φ2

φ1

−2Ω(z − z0) sin(θ − 2φ + π)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

Bz =

∫ φ2

φ1

−2Ω(r + Ω− 2r sin2 φ)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

On va commencer par exprimer Bx en fonction des integrales elliptiquescanoniques :

Bx =2Ω(z − z0)

R3

∫ φ2

φ1

cos(2φ− θ)

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

Bx =2Ω(z − z0)

R3

[∫ φ2

φ1

sin(2φ) sin θ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ +

∫ φ2

φ1

cos(2φ) cos θ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

]

Bx =2Ω(z − z0)

R3

[sin θ

∫ φ2

φ1

2 sin φ cos φ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

︸ ︷︷ ︸= A(k,φ1,φ2)

+ cos θ

∫ φ2

φ1

1− 2 sin2 φ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

︸ ︷︷ ︸= B(k,φ1,φ2)

]

Des manipulations similaires sur By donnent :

By =2Ω(z − z0)

R3

[− cos θ

∫ φ2

φ1

2 sin φ cos φ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

︸ ︷︷ ︸= A(k,φ1,φ2)

+ sin θ

∫ φ2

φ1

1− 2 sin2 φ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

︸ ︷︷ ︸= B(k,φ1,φ2)

]

D’ou la necessite de calculer A et B :

A(k, φ1, φ2) =

∫ φ2

φ1

2 sin φ

(1− k2 sin2 φ)3/2d(sin φ)

A(k, φ1, φ2) =2

k2

[1

1− k2 sin2 φ

]φ2

φ1

30

B ne peut pas etre calculee de maniere exacte. Son expression va faire inter-venir des integrales elliptiques. Ici on notera :

E(k, φ1, φ2) =

∫ φ2

φ1

(1− k2 sin2 φ)1/2dφ

et F (k, φ1, φ2) =

∫ φ2

φ1

(1− k2 sin2 φ)−1/2dφ

On peut naturellement exprimer simplement ces deux integrales en fonctiondes formes canoniques definies precedemment :

E(k, φ1, φ2) = E(φ2, k2)−E(φ1, k

2) et F (k, φ1, φ2) = F (φ2, k2)−F (φ1, k

2)

Calcul de B :

B(k, φ1, φ2) =

∫ φ2

φ1

1− 2 sin2 φ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

B(k, φ1, φ2) =1

k2

∫ φ2

φ1

k2 − 2k2 sin2 φ

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

B(k, φ1, φ2) =1

k2

∫ φ2

φ1

(2− 2k2 sin2 φ) + (k2 − 2)

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

B(k, φ1, φ2) =1

k2

[2

∫ φ2

φ1

(1− k2 sin2 φ)1/2

︸ ︷︷ ︸= F (k,φ1,φ2)

+ (k2 − 2)

∫ φ2

φ1

(1− k2 sin2 φ)3/2

︸ ︷︷ ︸= C(k,φ1,φ2)

]

On va voir que E apparaıt quant a lui dans le calcul de C. En effet, pourexprimer C, commencons par effectuer la derivee suivante :

d

[k2 sin φ cos φ(1− k2 sin2 φ)−1/2

]

= k2(cos2 φ− sin2 φ)(1− k2 sin2 φ)−1/2 + k2 sin φ cos φ[k2 sin φ cos φ(1− k2 sin2 φ)−3/2

]

=k2(1− 2 sin2 φ)

(1− k2 sin2 φ)1/2+

k4 sin2 φ cos2 φ

(1− k2 sin2 φ)3/2

=k2

[(1− 2sin2φ)(1− k2 sin2 φ) + k2 sin2 φ cos2 φ

]

(1− k2 sin2 φ)3/2

31

Et :

k2[(1− 2sin2φ)(1− k2 sin2 φ) + k2 sin2 φ cos2 φ

]

= k2[(1− 2 sin2 φ)− k2 sin2 φ(1− 2 sin2 φ) + k2 sin2 φ(1− sin2 φ)

]

= k2[(1− 2 sin2 φ) + k2 sin4 φ

]

= 1− 2k2 sin2 φ + k4 sin4 φ + k2 − 1

= (1− k2 sin2 φ)2 + k2 − 1

Donc :

d

[k2 sin φ cos φ(1− k2 sin2 φ)−1/2

]=

(1− k2 sin2 φ)2 + k2 − 1

(1− k2 sin2 φ)3/2

Soit :

d

[k2 sin φ cos φ(1− k2 sin2 φ)−1/2

]= (1− k2 sin2 φ)1/2 + (k2 − 1)(1− k2 sin2 φ)−3/2

Ceci nous amene donc a :

(1− k2 sin2 φ)3/2=

k2

k2 − 1

sin φ cos φ dφ

(1− k2 sin2 φ)1/2− 1

k2 − 1(1− k2 sin2 φ)1/2dφ

En integrant les deux membres de φ1 a φ2, on a l’expression de C :

∫ φ2

φ1

(1− k2 sin2 φ)1/2=

k2

k2 − 1

[sin φ cos φ dφ

(1− k2 sin2 φ)−3/2

]φ2

φ1

− 1

k2 − 1

∫ φ2

φ1

(1−k2 sin2 φ)1/2dφ

Soit : C(k, φ1, φ2) =k2

k2 − 1

[sin φ cos φ dφ

(1− k2 sin2 φ)1/2

]φ2

φ1

− 1

k2 − 1E(k, φ1, φ2)

Donc Bx et By peuvent s’exprimer en fonction de E et F qui sont les modelesd’integrales elliptiques respectivement des premier et deuxieme types. Il enest de meme pour Bz :

Bz =

∫ φ2

φ1

−2Ω(r + Ω− 2r sin2 φ)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

Bz =1

R3

[∫ φ2

φ1

−2Ω2

(1− k2 sin2 φ)3/2dφ +

∫ φ2

φ1

−2rΩ(1− 2 sin2 φ)

R3(1− k2 sin2 φ)3/2dφ

]

32

D’ou :

Bz = −2Ω2C(k, φ1, φ2)− 2rΩ

R3k2B(k, φ1, φ2)

Bz = −2Ω2C(k, φ1, φ2)− 2rΩ

R3k2

[(k2 − 2)C(k, φ1, φ2) + 2F (k, φ1, φ2)

]

Bz =−2 [k2(rΩ + Ω2)− 2rΩ]

R3k2C(k, φ1, φ2)− 4rΩ

R3k2F (k, φ1, φ2)

Finalement, on obtient un champ magnetique dont les coordonnees peuvents’exprimer en fonction des integrales elliptiques de premiere et deuxiemeespeces :

Bx =2Ω(z − z0)

R3

[sin θ A(k, φ1, φ2) +

cos θ

k2

[2F (k, φ1, φ2) + (k2 − 2)C(k, φ1, φ2)

] ]

By =2Ω(z − z0)

R3

[− cos θ A(k, φ1, φ2) +

sin θ

k2

[2F (k, φ1, φ2) + (k2 − 2)C(k, φ1, φ2)

] ]

Bz =−2 [k2(rΩ + Ω2)− 2rΩ]

R3k2C(k, φ1, φ2)− 4rΩ

R3k2F (k, φ1, φ2)

6.1.3 Calculs

Le champ magnetique cree par le j-ieme arc de cercle de l’anneau terminaldu haut est donc :

~Bjah(x) =

µ0Ij

4πBj

x

~Bjah(y) =

µ0Ij

4πBj

y

~Bjah(z) =

µ0Ij

4πBj

z

ou Bjx, B

jx, et Bj

x designe les composantes du champ, exprimees precedemment,calculees avec φ1 = θj et φ2 = θj+1.Le champ magnetique cree par le j-ieme arc de cercle de l’anneau terminal

33

du bas est obtenu en remplacant Ij par −Ij etL

2par

−L

2, soit :

Bjab(x) =

−µ0Ij

4πBj

x

Bjab(y) =

−µ0Ij

4πBj

y

Bjab(z) =

−µ0Ij

4πBj

z

Le champ magnetique cree par la j-ieme branche est donne par la formulesuivante :

Bjb(x) =

µ0Ij

4π2i exp

(−iπ

N

)sin

( π

N

) (−r sin θ + Ω sin θj) exp(iθj)Bbx

(r cos θ − Ω cos θj)2 + (r sin θ − Ω sin θj)2

Bjb (y) =

µ0Ij

4π2i exp

(−iπ

N

)sin

( π

N

) (r cos θ + Ω cos θj) exp(iθj)Bby

(r cos θ − Ω cos θj)2 + (r sin θ − Ω sin θj)2

Bjb(z) = 0

Bbx =z − L

2√(r cos θ − Ω cos θj)2 + (r sin θ − Ω sin θj)2 +

(z − L

2

)2

− z + L2√

(r cos θ − Ω cos θj)2 + (r sin θ − Ω sin θj)2 +(z + L

2

)2

Bby =z − L

2√(r cos θ − Ω cos θj)2 + (r sin θ − Ω sin θj)2 +

(z − L

2

)2

− z + L2√

(r cos θ − Ω cos θj)2 + (r sin θ − Ω sin θj)2 +(z + L

2

)2

Le champ magnetique total cree par l’antenne cage d’oiseau est doncdonne par la formule suivante :

−−−−−−→B(x, y, z) =

N∑j=1

−−→Bj

ah +−→Bj

ab +−→Bj

b

34

6.2 Calcul de la periode d’oscillation d’un pendule

Les integrales elliptiques ont d’autres applications. Considerons par exempleun probleme physique tres simple : celui du pendule oscillant. Si l’on ne sup-pose pas que les oscillations restent au voisinage de la position d’equilibre(approximation dite des “petits angles”), le calcul de la periode d’oscillationconduit a une integrale elliptique.

Soit un pendule constitue d’une masse ponctuelle m fixee a l’extremited’une tige rigide de masse nulle et de longueur R. L’acceleration de pesanteurest notee g. Initialement, la tige forme avec la position d’equilibre un angleα et le pendule est lache sans vitesse initiale.

On travaille dans le repere de Frenet (−→uT ,−→uN) et on repere la position dupendule par l’angle φ qu’il forme avec la position d’equilibre.

La vitesse de la masse ponctuelle est tangentielle :

~v = −→vT = Rdφ

dt−→uT = v−→uT

Son acceleration s’ecrit donc :

~a =d~v

dt=

dv

dt−→uT + v

d−→uT

dt︸ ︷︷ ︸=aN

−→uN

D’ou l’acceleration tangentielle qui sera la seule utile ici :

−→aT =d

dt

(R

dt

)−→uT

Le pendule est soumis a l’action de la pesanteur : ~P = m~g, ou ~g est le vecteurde l’acceleration de pesanteur, de norme g. La composante tangentielle du

35

poids est :~P .−→uT = mg sin φ

En outre, il subit egalement la tension de la tige, dont la composante ortho-radiale est nulle. Finalement, la projection sur la direction −→uT de la relationfondamentale de la dynamique s’ecrit :

maT = mg sin φ

mRd2φ

dt2= mg sin φ

D’ou l’equation differentielle :

d2φ

dt2− g

R︸︷︷︸=ω2

0

sin φ = 0

En multipliant les deux membres pardφ

dtpuis en integrant par rapport au

temps, on obtient :

(d2φ

dt2

)dφ

dt− ω2

0 sin φdφ

dt= 0

1

2

(dφ

dt

)2

− ω20 cos φ = k

Si l’angle maximal d’oscillation du pendule du pendule est α, alors en φ = α,

on adφ

dt= 0, ce qui conduit a k = −ω2

0 cos α. D’ou, en considerant la racine

positive de la vitesse :

dt= ω0

√2(cos φ− cos α)

soit :dφ√

2(cos φ− cos α)= ω0dt

Le temps necessaire pour que φ passe de 0 a α est le quart de la periodetotale. D’ou :

ω0T

4=

∫ α

0

dφ√cos φ− cos α

36

On utilise cos φ = 1− 2 sin2

2

)et cos α = 1− 2 sin2

2

). En posant p =

sin(α

2

), on a :

T = 2

√R

g

∫ α

0

dφ√p2 − sin2

(φ2

)

On effectue le changement de variable : sin

2

)= p sin θ. Alors quand φ =

α, θ =π

2. En outre :

cos

2

)dφ

2↔ p cos(θ)dθ

dφ ↔ 2p√

1− sin2 θ√1− sin2

(φ2

) dθ

dφ ↔2√

p2 − sin2(

φ2

)√

1− p2 sin2 θdθ

Alors on trouve l’expression de T :

T = 4

√R

g

∫ π/2

0

dθ√1− p2 sin2 θ

Elle fait effectivement intervenir une integrale elliptique de premiere espece :

T = 4

√R

gF (

π

2, p2)

Nos programmes de calcul de cette integrale permettent de donner une valeur

numerique approchee du resultat avec un angle initial deπ

4et R = 0, 5 m :

– la methode des rectangles pour une subdivision en 10 sous-intervallesdonne T ' 1, 4699 s ;

– avec la meme subdivision, la methode des trapezes donne T ' 1, 4752 s ;– la methode arithmetico-geometrique donne le meme resultat en 4 iterations

de la boucle seulement.

37