Superficies Superficies ParamétricasParamétricas y sus y sus Superficies Superficies ParamétricasParamétricas y sus y sus áreas. Integrales de Superficies.áreas. Integrales de Superficies.g pg p

Cálculo VectorialBioingeniería - Bioinformática

20092009

Superficie ParamétricaSuperficie ParamétricaSuperficie ParamétricaSuperficie Paramétrica

Superficie ParamétricaSuperficie ParamétricaSuperficie ParamétricaSuperficie Paramétrica

Cuando el par (u, v) toma todos los valores posibles en D, el extremo de dibuja una superficie S en el espacio 3

rp p

Superficie ParamétricaSuperficie ParamétricaSuperficie ParamétricaSuperficie Paramétrica

S es el conjunto imagen de laS es el conjunto imagen de lafunción aplicada a DrS = (D)r

S se denomina superficie paramétricaS se denomina superficie paramétricaS se denomina superficie paramétricaS se denomina superficie paramétrica

Ecuaciones Paramétricas de S:

Ecuaciones Paramétricas de una Ecuaciones Paramétricas de una Ecuaciones Paramétricas de una Ecuaciones Paramétricas de una porción de cilindro circular con porción de cilindro circular con radio r=2, comprendido entre los radio r=2, comprendido entre los planos z= 0 y z=1planos z= 0 y z=1planos z= 0 y z=1planos z= 0 y z=1

Cilindro circular con radio r=2, Cilindro circular con radio r=2, comprendido entre los planos z= 0 comprendido entre los planos z= 0 =1 =1 y z=1 y z=1

Código MuPAD

x := 2*cos(u):y := 2*sin(u):y : 2 sin(u):z := v:s := plot::Surface([x y z] u = 0 2*PI v = 0 1)s : plot::Surface([x, y, z], u 0 .. 2 PI, v 0 .. 1)plot(s):

Cilindro circular con radio r=2, Cilindro circular con radio r=2, comprendido entre los planos comprendido entre los planos z= 0 y z=1z= 0 y z=1z= 0 y z=1z= 0 y z=1

Ecuación Vectorial de un planoEcuación Vectorial de un planoEcuación Vectorial de un planoEcuación Vectorial de un plano

Ecuaciones Ecuaciones ParamétricasParamétricas de un de un planoplano

Ecuaciones Ecuaciones ParamétricasParamétricas de una de una superficie esférica.superficie esférica.

Ecuaciones Ecuaciones ParamétricasParamétricas de una de una superficie esféricasuperficie esférica

Código MuPAD

x := r*cos(u)*sin(v):* i ( )* i ( )y := r*sin(u)*sin(v):

z := r*cos(v):1r := 1:

s := plot::Surface([x, y, z], u = 0 .. 2*PI, v = 0 .. PI)l t( S li C t i d)plot(s, Scaling = Constrained):

ParametrizaciónParametrización de una superficie S de una superficie S áfi d f ió áfi d f ió f( ) f( ) gráfica de una función gráfica de una función f(x, y) f(x, y) con con

dominio en una región D del plano. dominio en una región D del plano. g pg p

Dos formas de Dos formas de parametrizarparametrizar un un conocono

Dos formas de Dos formas de parametrizarparametrizar un un conocono

Superficie de Revolución Superficie de Revolución Superficie de Revolución Superficie de Revolución

Una superficie de revolución es la Una superficie de revolución es la generada por una curva que gira en torno ll d d l ó d a una recta llamada eje de revolución, de

tal modo que los puntos se mantienen a una misma distancia del eje.La curva que gira se llama generatriz, y los La curva que gira se llama generatriz, y los puntos de la generatriz al rotar crean circunferencias cuyos centros están en el circunferencias cuyos centros están en el eje de revolución y se encuentran en l di l l jplanos perpendiculares al eje.

Superficie de revoluciónSuperficie de revoluciónSuperficie de revoluciónSuperficie de revolución

ParametrizaciónParametrización de una superficie de una superficie de revolución de revolución

Un ejemplo con Un ejemplo con MuPADMuPAD: un arco de : un arco de Un ejemplo con Un ejemplo con MuPADMuPAD: un arco de : un arco de parábola rotando alrededor del eje xparábola rotando alrededor del eje x

U j l U j l M PADM PAD d d Un ejemplo con Un ejemplo con MuPADMuPAD: un arco de : un arco de parábola rotando alrededor del eje xparábola rotando alrededor del eje xp jp j

Curvas ReticularesCurvas ReticularesCurvas ReticularesCurvas Reticulares

Software y curvas reticularesSoftware y curvas reticularesen general usan las curvas reticulares en general usan las curvas reticulares en general usan las curvas reticulares en general usan las curvas reticulares para graficar superficies para graficar superficies paramétricasparamétricasp g pp g p pp

Plano Tangente a una superficie Plano Tangente a una superficie paramétricaparamétrica

Plano Tangente a una superficie Plano Tangente a una superficie paramétricaparamétrica

Área de una superficie Área de una superficie Área de una superficie Área de una superficie

Área de una superficie Área de una superficie paramétricaparamétricaÁrea de una superficie Área de una superficie paramétricaparamétrica

Área de una superficie Área de una superficie paramétricaparamétricaÁrea de una superficie Área de una superficie paramétricaparamétrica

Área de una superficie Área de una superficie paramparamétricaétricaÁrea de una superficie Área de una superficie paramparamétricaétrica

Área superficial de una gráficaÁrea superficial de una gráficaÁrea superficial de una gráficaÁrea superficial de una gráfica

Integrales de SuperficieIntegrales de SuperficieIntegrales de SuperficieIntegrales de Superficie

Integrales de Superficieg p

Integrales de Superficieg p

Integrales de SuperficieIntegrales de Superficie

Superficies orientablesSuperficies orientablesSuperficies orientablesSuperficies orientables

Superficies OrientablesSuperficies OrientablesSuperficies OrientablesSuperficies Orientables

Superficies OrientablesSuperficies OrientablesSuperficies OrientablesSuperficies Orientables

Superficies OrientablesSuperficies OrientablesSuperficies OrientablesSuperficies Orientables

Superficie Cerrada orientadaSuperficie Cerrada orientadaSuperficie Cerrada orientadaSuperficie Cerrada orientada

Integrales de Superficie de Campos Integrales de Superficie de Campos Vectoriales Vectoriales

Integrales de Superficie de Campos Integrales de Superficie de Campos VectorialesVectoriales

Una superficie no orientableUna superficie no orientableUna superficie no orientableUna superficie no orientable