Integral Teknik Kimia

7/28/2019 Integral Teknik Kimia

http://slidepdf.com/reader/full/integral-teknik-kimia 1/24

INTEGRAL

Integral-integral baku:

C a

adxa

C k

edxe

C edxe

C xdx x

C n

xdx x

x x

kx

kx

x x

nn

ln

ln

1

1

1

1)n(harga

C x xdx

C x xdx

C x xdx

C x xdx

C x xdx

sinhcosh

coshsinh

tansec

sincos

cossin

2



C xdx

x

C xdx x

C xdx x

1

2

1

2

12

tan

1

1

cos)1(

1

sin)1(

1

C xdx x

C xdx

x

C xdx x

1

2

1

2

1

2

tanh1

1

cosh

)1(

1

sinh)1(

1



C x xdx

C x xdx

C xdx x

C x

dx x

C e

dxe x

x

cosh2sinh2

cossin

32

8

5

2/3

87

55

C xdx

x

C xdx

x

C xdx

x

C dx

C xdx x

x x

1

2

1

2

1

2

tan1

1

cosh)1(

1

sin

)1(

1

5ln

55

ln55



Fungsi dari suatu fungsi linier dalam x.

Misalkan bentuk ∫(5x-4)6 dx ini sesuai dengan ∫x6 dx.

Bila (5x-4) diganti dengan z maka bentuk integralnya =∫z6 dx yang dapat diubah menjadi :

C xdx x

C z

dz z dz z dz dz

dx z dx z

dz

dx

dx

dz

x z dz

dx

dz dz

dx z dx z

7

76666

66

)45(

35

1)45(

75

1

5

1)

5

1(

5

15

45substitusidaridiperoleh



Hal yang sama pada fungsi :

C x

dx x

C xdx x

C x

dx x

C x xdx

C xdx x

C x xdx

C e

dxe

C edxe

x x

x x

2

)32ln(

)32(

1

ln1

4

)74tan()74(sec

tansec

5)85sin()85cos(

sincos

3

2

2

)43()43(

C xdx x

C x xdx

C dx

C a

adxa

C e

dxe

C edxe

x x

x x

x x

x x

)27sin(7

1

)27cos(

sincos

3ln5

33

ln

4

55

44



J ika suatu fungsi linier dalam x menggantikan xmaka fungsi linier tersebut menggantikan X dalam integral baku juga hasilnya dan dibagi dengan koefisien x.

Integral dalam bentuk :

dx x x

x

contoh

x f (x)f '(x)d dx x f

x f

53

32

:

)(

)('

2

dan

Pembilang adalah deferensial dari penyebutnya. Maka

kita misalkan z = x2+ 3x – 5 dan dz = (2x + 3) dx.

C x xdx

x x

x

C z dz z z

dz dx

x x

x

)53ln(

53

32

ln1

53

32

2

2

2



Bentuk integral yang pembilang adalah koefisien deferensial

Penyebutnya akan termasuk dalam bentuk :

C x f dx x f x f )(ln

)()('

C xdx x

xdx

x

x

C xdx x

xdx x

x

C xdx x

xdx

x

x

C xdx

x

x

)4ln(3

1

4

3

3

1

4

)4ln(3

2

4

3

3

2

4

2

)4ln(24

32

4

6

)4ln(

4

3

3

3

2

3

2

3

3

2

3

2

3

3

2

3

2

3

3

2



C x xdx x x

x

C xdx x

xdx

x

x xdx

C xdx x

x xdx

laincontoh

)54ln(254

84

coslncos

sin

cos

sintan

sinlnsin

coscot

:

2

2

dx

x x

xdx

x

x

dx x x

xdx x x

26

3

cosh

sinh

1442

tansec

2

2

2



C x

xd xdx x x

C x

xd xdx x x

C z zdz xdxdz

x z

dx x x

contoh

x f(x)f '(x)d

2

sin)(sin.sincos.sin

2

tan)(tan.tansec.tan

2sec

tan

sec.tan

:

2

22

22

2

:bentuk Lihat



INTEGRASi SUATU PERKALIAN - INTEGRASI PER BAGIAN (PARSIAL)

Integrasi dari perkalian fungsi yang masing-masing fungsinya

bukan koefisien deferensial dari fungsi yang lain.

∫x2.lnx dx :ln x bukan koefisien deferensial dari x2

x2 bukan koefisien deferensial dari ln x

Jika u dan v adalah fungsi x, maka :

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d )(

Bila diintegrasikan :

dxdxduvuvdx

dxdvu

dxdx

duvdx

dx

dvuuv

Perkalian dua faktor yang harus diintegrasikan, Faktor yang satu disebut u

dan faktor yang lain sebagai koefisien deferensial dari suatu fungsi v.

Untuk memperoleh Harga v maka harus diintegrasikan secara terpisah.



vduuvudvbentuk Ingat

dxdx

duvuvdx

dx

dvu

:

dan dx x xdv xu

xdx xcontoh

.lnln

ln.:

2

2Harga ini bukan

integral baku

3

1ln

322 x

dx xv xdx

dv

xdx

du xu

C x x x

x x

dx x x

dx x x x

dx

x

x x xdx x x

dxdx

duvuvdx

dx

dvu

)

3

1(ln

333

1ln

3

.ln

3

1ln

3

1

33

ln.ln

3332

23

332



3

1

.

)1........(.3

2

3

.233

32

3

3

3

332

32

33232

3

32

32

x

x

x

x x

x

x x x

x

x

x

ev

dx

du

dxedv xu

dx xe

dx xee x

dxe x

dx xee

xdxe x

ev x

dx

du

dxedv xu

dxe x

Bentuk uv

yang lain



x x x x

x

x

x x x

ee xee x

dxee x

dxee

xdx xe

3333

3

3

333

9

1

3

.

33

1

3

.

31

3.

)1(33

.

Substitusikan ke

pers (1)

C x xe

dxe x

C ee xe x

C ee

xe x

dxe x

x x

x x x

x x x

x

9

2

3

2

33

9.32

9.2

3

9

1

3)

3

2(

3

2332

3332

3332

32



Perhatikan : Jika salah satu faktor dalam perkalian berbentuk logaritma

Maka faktor ini (fungsi ln) dipilih sebagai U.

Bukan f(ln), pangkat x sebagai u

(pangkat x harus bulat positif).

)1........(.cos3cos

3.coscossin

cos3

sin

sin

33

333

3

3

3

dxe x xe

dxe x xe xdxe

xvedx

du

xdxdveu

xdxe

x x

x x x

x

x

x



dxe x xedxe x

dxe x xedxe x

xve

dx

du

xdx

dveu

x x x

x x x

x

x

333

333

3

3

.sin3sin.cos

3.sinsin.cos

sin3

cos

)cossin3(

10

sin.

sin3cos.10

9sin3cos.

)sin.3sin.(3cos.

)sin.3sin.(3cos.sin.)1(

33

33

133

333

3333

x xe

xdxe

xe xe I

C I xe xe I

xdxe xe xe I

xdxe xe xe xdxe

x x

x x

x x

x x x

x x x x



Prioritas untuk pemilihan harga u:

ln x, xn dan ekx

Jika salah satu faktornya adalah fungsi logaritma maka pilihlah

sebagai U, urutan kedua dalah fungsi pangkat x dan bila tidakterdapat kedua fungsi tersebut pilihah fungsi eksponen.

xdxe xe

dxe x xe xdxe

xve

dx

du

xdxdveu

xdxe

x x

x x x

x

x

x

3cos3

5

3

3cos

53

3cos)3

3cos(3sin

3

3cos5

3sin

3sin

55

555

5

5

5



15

55

5

55

555

5

5

5

}3sin3

5

)3

3sin

({3

5

3

3cos

3sin

3sin3

5

3

3sin

5

3

3sin)

3

3sin(3cos

3

3sin5

3cos

3cos

C xdxe

x

e

xe

xdxe

xdxe xe

dxe x x

e xdxe

xve

dx

du

xdx

dveu

xdxe

x

x x

x

x x

x x x

x

x

x



C x xe

xdxe

C x xe I

C x xe

I

C I xe xe

I

x x

x

x

x x

}3cos3sin

3

5{

34

33sin

}3cos3sin35{

343

}3cos3sin3

5{

39

349

25)3(sin

9

5)3cos(

3

55

5

1

5

15

5



INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL dx x x

x

23

12

Kaidah pecahan parsial :1. Pembilang dari fungsi tersebut harus lebih rendah derajat

penyebutnya. Bila tidak maka harus dibagi dahulu dengan

pembagian biasa.

2. Faktorkanlah penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya.

3. Faktor linier (ax + b) akan memberikan pecahan parsial yangberbentuk A / (ax + b).

4. Faktor-faktor dan pecahan parsialnya :

cbxax

B Axcbxax

bax

C

bax

B

bax

Abax

bax

B

bax

Abax

2

2

32

3

2

2

)(

)()()(

)(

)(



C x xdx

x x

x

dx x

dx x

dx

x x

x

B B

x x

A B A

x x

x B x A x

x

B

x

A

x x

x

x x

x

dx

x x

x

)1ln(2)2ln(3

23

1

1

2

2

3

23

1

3)12()22)(2(3

202

2)11()21(2

101

)1()2(1

21)2)(1(

1

23

1

23

1

2

2

2

2



4/1)0(2/1)0()4(1

101

2/1)2()0()0(1

101

)1()1)(1()1(

)1(11)1)(1(

)1)(1(:

22

22

2

2

2

A B A

x x

C C B A

x x

xC x x B x A x

xC

x B

x A

x x x

dx x x

xhTentukanla

Mencari konstanta B : dengan menyamakan koefisiennya,

pilih pangkat tertinggi. x2



4/34/111

2

)1()1)(1()1(

222

22

B B A

C Cx B Bx A Ax Ax x

xC x x B x A x

C x

x x

dx xdx x

dx x

dx x x

x

x x x x x

x

)1(2

1)1ln(

4

3)1ln(

4

1

)1(2

1

1

1

4

3

1

1

4

1

)1)(1(

)1(

1

2

1

1

1

4

3

1

1

4

1

)1)(1(

2

2

2

22

2



22

2

2

22

22

2

2

2

)12(

41

)12(

14

01][

22244][

42

1)0()0(1)

4

1(4

2

1012

)12)(()12(14

)12()12()12(

14

)12(

14

x x x x

x

B ASK

B A B A x

C C B A

x x

Cx x x B x A x

x

C

x

B

x

A

x x

x

dx x x

x



C x

x

C x x

dx xdx x

dx x x

x

12

2ln

2).12()12(4ln

)12(41

)12(

14

1

2

2

2

Integral Teknik Kimia

Documents

Transcript of Integral Teknik Kimia