Capıtulo 4

Integracion multiple

4.1. Introduccion.

En el tema sobre la integral definida unidimensional, hemos aprendido

a calcular areas y volumenes. Ahora bien, por lo que se refiere al calculo

de volumenes, aun no hemos dado respuesta al problema de encontrar el

volumen de una figura tridimensional arbitraria, pues solo hemos visto como

se determina el volumen de figuras con determinadas caracterısticas. Vamos

a ver, entre otras muchas aplicaciones, como la integral multiple da respuesta

general a este problema. Para facilitar el aprendizaje, en primer lugar, vamos

a ocuparnos de la integral doble. Veremos que el desarrollo es, en lıneas

generales, similar al realizado con la integral de una variable. Por ello, en

buena medida, las definiciones y resultados resultaran familiares y se podra

avanzar con cierta rapidez. Posteriormente, nos ocuparemos brevemente de

la integral triple, finalizando el tema con el estudio de algunas aplicaciones

de la integracion multiple.

103

4.2. El volumen bajo una superficie como mo-

tivacion de la integral doble

Para motivar los conceptos de particion de un rectangulo y sumas de

Riemann que conducen a la integral doble, vamos a plantearnos el problema

de determinar el volumen bajo una superficie. Concretamente, consideramos

una funcion no negativa f : [a, b]× [c, d] → R y deseamos calcular el volumen

del siguiente subconjunto de R:

A = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)},

donde D denota el dominio de f , es decir, el rectangulo [a, b]× [c, d]. Se trata

de un conjunto que tiene por ”techo” la superficie de ecuacion z = f(x, y)

y cuyo ”suelo” es el dominio de f . La figura siguiente ayuda a visualizar el

conjunto A cuyo volumen queremos calcular.

z= f(x,y)

Z

Y

X

b

a

dcO

104

Trazamos en el rectangulo [a, b]× [c, d] una malla formada por celdas su-

ficientemente pequenas de forma que en cada una de estas celdas, Ci, f(x, y)

varıa de unos puntos a otros muy poco.

Y

X

O a b

c

d

x x1 2

y

y1

2

x x3 4

Obviamente, el volumen buscado es la suma de los volumenes de los pris-

mas (curvilıneos) que tienen por ”suelo” cada celda y por ”techo” el corres-

pondiente trozo de la superficie z = f(x, y)

V =n∑

i=1

V (Ci),

donde V (Ci) denota el volumen del prisma cuya base es la celda Ci. El

volumen de cada prisma curvilıneo puede aproximarse (tanto mejor en cuanto

las celdas sean mas pequenas) por

f(xi, yi) · Ar(Ci),

105

donde (xi, yi) denota el centro de la celda Ci. El producto anterior representa

exactamente el volumen de un prisma de altura f(xi, yi) y cuya base es dicha

celda.

z= f(x,y)

Z

Y

X

b

a

dcO

Por tanto, una aproximacion razonable del volumen bajo nuestra super-

ficie viene dada por

V ≈∑i

f(xi, yi) · Ar(Ci).

El valor de esta suma cambia al tomar una malla diferente, pero a medida

que las celdas son mas pequenas, el valor que se obtiene da una mejor aproxi-

macion al volumen buscado. Esta ideas nos llevan a definir el volumen bajo la

superficie z = f(x, y) como el lımite hacia el que se aproximan estas sumas.

Precisamente, como vamos a ver en las secciones siguientes, esta es la forma

106

de definir la integral doble∫ ∫[a,b]×[c,d]

f(x, y) dx dy.

4.3. La integral doble sobre un conjunto aco-

tado

Sean A un subconjunto acotado de R2 y f : A → R una funcion acotada.

Para definir la integral doble de f en A, necesitamos el concepto de sumas

de Riemann. Como A es acotado, puede escogerse un rectangulo [a, b] ×[c, d] conteniendo el conjunto A. Para producir una malla en el rectangulo,

dividimos los intervalos [a, b] y [c, d] en partes iguales de longitudes ∆x y ∆y,

respectivamente. Al trazar por los puntos de division rectas paralelas a los

ejes coordenados, se produce una malla cuyas celdas tienen las dimensiones

∆x×∆y.

Y

X

O a b

c

d

Partición P�

x x1 2

y

y1

2

x3

A

107

Denotamos por C1, .., Cn la celdas producidas (numeradas de abajo hacia

arriba y de izquierda a derecha) que interceptan al conjunto A y escogemos

en cada una de ellas un punto intermedio (xi, yi) ∈ A; la suma

n∑i=1

f(xi, yi)∆x∆y

se dira que es una suma de Riemann para la integral doble de f en A. Puede

denotarse por S(f,∆x,∆y, {(xi, yi)}) o, mas brevemente, por S(f,∆x,∆y).

Diremos que f es integrable (en el sentido de Riemann) en el conjunto A

si existe y es finito el lımite

lım(∆x,∆y)→(0,0)

n∑i=1

f(xi, yi)∆x∆y,

en cuyo caso, el valor de este lımite se denota por∫ ∫A

f(x, y) dx dy

y recibe el nombre de integral doble de f en el conjunto A.

Terminamos la seccion con una relacion de las propiedades de la integral

doble que habitualmente se necesitan en las aplicaciones y, que por otra parte,

son analogas a las que hemos visto al estudiar la integral unidimensional.

1. Condicion suficiente de integrabilidad. Sea A ⊂ R2 un conjunto acotado

medible (en el sentido de Riemann) y f : A → R una funcion acotada.

Si f es continua en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos cuya

area es cero, entonces f es integrable en A.

2. Linealidad. Si f y g son integrables en A y c es una constante real,

entonces f + g y cf son integrables en A y se verifica

a)∫ ∫

A(f + g) dx dy =

∫ ∫Af dx dy +

∫ ∫g dx dy.

b)∫ ∫

Acf dx dy = c

∫ ∫Af dx dy.

108

3. Aditividad. Sean A y B dos subconjuntos de R2. Si f es integrable en

ambos conjuntos y A ∩ B tiene area nula, entonces f es integrable en

A ∪B y se verifica ∫ ∫A∪B

f dx dy =

=

∫ ∫A

f dx dy +

∫ ∫B

f dx dy.

4. Monotonıa. Si f y g son integrables en A y verifican f(x, y) ≤ g(x, y),

para cada (x, y) ∈ A, entonces

∫ ∫A

f(x, y) dx dy ≤∫ ∫

A

g(x, y) dx dy.

5. La media integral. Si f es integrable en A y m ≤ f(x, y) ≤ M (∀(x, y) ∈A), entonces existe c ∈ [m,M ] de modo que∫ ∫

A

f(x, y) dx dy = c · Ar(A)

4.4. Area de un recinto plano

Hemos visto como la integral doble puede usarse para calcular volumenes.

Pero esta no es la unica aplicacion geometrica. En ese apartado veremos que

la integral doble tambien puede usarse para calcular areas de recintos planos.

Concretamente, vamos a mostrar que∫ ∫A

1 dx dy

representa el area del recinto (acotado) bidimensional A.

Si I = [a, b] × [c, d] es un rectangulo conteniendo A, consideramos una

malla con celdas Ci de dimensiones ∆x y ∆y. Notese que

S(1,∆x,∆y) =∑

∆x∆y,

109

con la suma extendida a todas los celdas que cortan al conjunto A. Como

estas recubren A, se sigue que S(1,∆x,∆y) es una aproximacion por exceso

al area de A

X

Y

O

A

S(P)

I

Por ultimo, basta tener en cuenta que, si la integral∫ ∫A

1 dx dy

existe, podemos escoger una malla suficientemente fina (∆x y ∆y pequenos)

como para que las sumas de Riemann sean tan proximas como queramos

al valor de la integral anterior, cualquiera que sea la eleccion de los puntos

intermedios. Esto, junto con las ideas anteriores, justifican que se tome la

integral como el area del recinto A. Cuando la funcion constantemente igual

a 1 es integrable sobre un conjunto A, se dice que el conjunto A es medible (en

el sentido de Riemann). Solo sobre estos conjuntos tiene sentido considerar

la integral doble.

110

4.5. La integral doble sobre conjuntos pro-

yectables

Vamos a considerar dos tipos de conjuntos medibles para los que la inte-

gral doble puede calcularse por integracion reiterada.

Definicion 4.5.1. (Conjuntos x-proyectables). Un subconjunto A de R2 se

dice que es x-proyectable si es de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : a < x <

b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, donde f1 y f2 son funciones continuas en [a, b] que

verifican f1(x) ≤ f2(x), para cada x ∈ [a, b].

Si existen las integrales involucradas, se verifica:∫ ∫A

f(x, y) dx dy =

=

∫ b

a

[ ∫ y=f2(x)

y=f1(x)

f(x, y) dy]dx. (4.1)

Y

XO

y = f (x)

y = f (x)

a b

2

1

111

Ejemplo 4.5.2. Calcular∫ ∫

A(x + y2) dx dy; siendo A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤

x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.Aes el conjunto x-proyectable que se muestra en la figura. Aplicando (7.1),

obtenemos ∫ ∫A

(x+ y2) dx dy =

∫ 1

0

[ ∫ y=x

y=0

(x+ y2) dy]dx =

=

∫ 1

0

[xy +

y3

3

]y=x

y=0

o, dx =

=

∫ 1

0

(x2 +

x3

3

)dx =

5

12.

Definicion 4.5.3. (Conjuntos y-proyectables). Un conjunto A ⊂ R2 se llama

y-proyectable si es de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, g1(y) ≤ x ≤g2(y)}, siendo g1 y g2 funciones continuas en [c, d] que verifican g1(y) ≤g2(y), para todo y ∈ [c, d].

Ax=g (y) x=g (y)

1 2

X

Y

O

c

d

112

Graficamente, los conjuntos y-proyectables tienen la forma que vemos en la

figura. Igual que en el caso anterior, si existen las integrales involucradas se

verifica ∫ ∫A

f(x, y) dx dy =

=

∫ d

c

[ ∫ x=g2(x)

x=g1(y)

f(x, y) dx]dy.

Ejemplo 4.5.4. Calcular∫ ∫

Axey

5dx dy, siendo A = {(x, y)R2 : 0 ≤ y ≤

1, 0 ≤ x ≤ y2}.En este caso A es un conjunto y-proyectable. Aplicando la igualdad ante-

rior, se obtiene ∫ ∫A

xey5

dx dy =

=

∫ 1

0

[ ∫ x=y2

x=0

xey5

dx]dy =

=

∫ 1

0

[x2

2ey

5]x=y2

x=0dy =

=

∫ 1

0

y4

2ey

5

dy =1

10

[ey

5]y=1

y=0=

e− 1

10.

4.6. Cambio de variables en la integral doble

Al igual que en el caso unidimensional, existe una formula de cambio de

variables para la integral multiple. Antes de abordar esta formula para el

caso de la integral doble, vamos a recordar el enunciado en el caso de una

variable y mostraremos que, cuando la derivada de la funcion u que cambia

de variable es distinta de cero, puede adoptar otra forma que es la manera

en que resulta valida para cualquier numero de variables.

113

Teorema 4.6.1. (Cambio de variable en la integral definida). Sea u definida

y derivable con continuidad en [a, b]. Si f esta definida y es continua en el

conjunto imagen u([a, b]), entonces se verifica la igualdad∫ b

a

f(u(x)) · u′(x)dx =

∫ u(b)

u(a)

f(u)du. (4.2)

Si u′(x) > 0, para cada x ∈ [a, b], entonces u es crciente en [a, b]. Por

tanto, u(a) < u(b) y la igualdad anterior puede expresarse en la forma∫[a,b]

f(u(x))u′(x) dx =

∫[u(a),u(b)]

f(u) du.

Ahora bien, si u′(x) < 0, para cada x ∈ [a, b], entonces u es decreciente en

[a, b] y, por tanto, u(a) > u(b). Esto permite expresar la igualdad (2.1) en la

forma ∫[a,b]

f(u(x))u′(x) dx = −∫[u(b),u(a)]

f(u) du.

Se han obtenido dos resultados aparentemente diferentes, pero es facil darse

cuenta de que ambos adoptan la forma final siguiente∫[a,b]

f(u(x)) |u′(x)| dx =

∫u([a,b])

f(u) du. (4.3)

Hemos probado que, cuando u′ tiene signo constante, la formula de cambio

de variable (7.2) puede adoptar la forma (7.3). Como u es derivable con

continuidad, esto ocurre cuando u′(x) = 0, para cada x ∈ [a, b]. Este hecho

queda recogido en el siguiente Teorema.

Teorema 4.6.2. Sea u definida y derivable con continuidad en [a, b]. Si f

esta definida y es continua en el conjunto imagen u([a, b]) y u′(x) = 0, para

cada x ∈ [a, b], entonces se verifica la igualdad (7.3).

Esta version de la formula de cambio de variable para la integral de una

variable es la que se extiende de manera natural a la integral multiple.

114

Teorema 4.6.3. (Cambio de variables en la integral doble) Sea A ⊂ R2 un

conjunto medible y consideremos el cambio de variables definido por

u : (x1, x2) → (u1(x1, x2), u2(x1, x2)).

Si u es diferenciable con continuidad, inyectiva y su jacobiano, ∂(u1,u2)∂(x1,x2)

, no

se anula en A, entonces se verifica la igualdad∫ ∫A

f(u1(x1, x2), u2(x1, x2))∣∣∣∂(u1, u2)

∂(x1, x2)

∣∣∣ dx1 dx2 =

=

∫ ∫u(A)

f(u1, u2) du1 du2.

Notas 4.6.4. 1. El Teorema es cierto aun en el caso de que el jacobiano se

anule en un conjunto de area 0.

2. Cuando u′ = 0, en el Teorema relativo al cambio de variable en la

integral unidimensional no se exige que u sea inyectiva en [a, b]. Pero, notese

que u es estrictamente creciente o decreciente y, por tanto, es forzosamente

inyectiva.

Si tenemos esto presente, vemos que la formula de cambio de variables

para la integral doble presenta una gran analogıa con la correspondiente del

caso de una variable, basta sustituir u′(x) por det(u′(x1, x2)

)= ∂(u1,u2)

∂(x1,x2).

Ejemplo 4.6.5. Calcular∫ ∫

B(x2+ y2) dx dy, siendo B = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤

x2 + y2 ≤ 4}.La forma del conjunto B aconseja realizar el cambio de las coordenadas

cartesianas por las polares: x = ρ · cosω, y = ρ · senω.La funcion vectorial que cambia de coordenadas esta definida por

(ρ, ω) ∈ [1, 2]× [0, 2π] → (x, y) =

= (ρ · cosω, ρ · senω) ∈ B.

115

Es facil convencerse de que transforma biunıvocamente el conjunto A =

[1, 2] × [0, 2π] sobre B (basta tener en cuenta que ρ =√x2 + y2, por lo

que las coordenadas polares, (ρ, ω), de cualquier punto (x, y) ∈ B tienen que

verificar las relaciones 1 ≤ ρ ≤ 2 y 0 ≤ ω ≤ 2π). Vamos a aplicar la formula

de cambio de variables de dereha a izquierda:∫ ∫B

(x2 + y2) dx dy =

∫ ∫A

ρ2∣∣∣∂(x, y)∂(ρ, ω)

∣∣∣ dρ dω, (4.4)

ya que B = u(A). Ahora debemos calcular el jacobiano

∂(x, y)

∂(ρ, ω)=

∣∣∣∣∣ ∂x∂ρ

∂x∂ω

∂y∂ρ

∂y∂ω

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ cosω −ρ senω

senω ρ cosω

∣∣∣∣∣ == ρ(cos2 ω + sen2 ω) = ρ.

Sustituyendo el resultado obtenido en (7.4), resulta∫ ∫B

(x2 + y2) dx dy =

∫ 2π

0

[ ∫ 2

1

ρ3 dρ]dω =

=

∫ 2π

0

1

4

[ρ4]ρ=2

ρ=1dω =

15π

2.

4.7. La integral triple

Dada la gran analogıa entre las integrales doble y triple, en este apar-

tado vamos a hacer un desarrollo rapido de la integral triple deteniendonos

especialmente en las tecnicas, que por ser mas propias de la integral triple,

lo requieran.

I) Sumas de Riemann. El punto de partida es el concepto de intervalo

tridimensional. Se llama ası a un conjunto de la forma

I = [a, b]× [c, d]× [e, f ].

Se trata de un paralelepıpedo con caras paralelas a los planos coordenados.

Si, sobre cada eje, dividimos los intervalos [a, b], [c, d] y [e, f ] en partes iguales

116

de longitud ∆x,∆y y ∆z, respectivamente, los planos paralelos a los planos

coordenados pasando por los puntos de division producen una malla con

celdas de dimensiones ∆x×∆y ×∆z.

O

z

x

ya

b

cd

I

e

f

D

El volumen de cada celda es ∆x ·∆y ·∆z.

Dados un conjunto acotado A ⊂ R3 y una funcion acotada f : A → R,

denotemos por C1, .., Cn las celdas que interceptan al conjunto A. Escogido

en cada una de ellas un punto (xi, yi, zi) ∈ A, se define la suma de Riemann

por

S(f,∆x,∆y,∆z) =n∑

i=1

f(xi, yi, zi)∆x∆y∆z.

117

Notese que cada sumando es el producto del volumen de una celda Ci por

el valor de f en un punto de Ci ∩ A.

La figura siguiente puede ayudar a comprender mejor el significado geo-

metrico.

II) Definicion de la integral triple. De forma analoga al caso de la integral

doble, se dira que f es integrable en A si existe el lımite (y es finito) de las

sumas de Riemann y dicho lımite se denota por∫ ∫ ∫A

f dx dy dz.

Cuando existe la integral∫ ∫ ∫

A1 dx dy dz el conjunto A se llama me-

dible. Vamos a mostrar que la integral anterior representa el volumen del

conjunto A. Para ello, consideramos una malla con ∆x,∆y y ∆z pequenos e

118

interpretamos geometricamente la suma

n∑i=1

f(xi, yi, zi)∆x∆y∆z.

En este caso la funcion integrando es constantemente igual a 1, por tanto, la

suma tiene la forma

S(f,∆x,∆y,∆z) =∑i

∆x ·∆y ·∆z,

Es decir, una suma de Riemann es exactamente la suma de los volumenes

de todas las celdas que cortan al conjunto A y, por tanto, representa una

aproximacion (por exceso) al volumen de A.

Esta aproximacion mejora tanto mas en cuanto mas fina es la malla.

119

Los subconjuntos A de R3 medibles son los unicos para los que tiene

sentido considerar la integral triple∫ ∫ ∫A

f(x, y, z) dx dy dz.

Las propiedades de esta integral son las mismas que ya hemos visto al

estudiar la integral doble, con los cambios oportunos.

III) Calculo de integrales triples. Los conjuntos mas simples que podemos

considerar son los que llamaremos proyectables.

1) Conjuntos xy-proyectables.

Un conjunto A se llama xy−proyectable si es de la forma

{(x, y, z) : (x, y) ∈ D, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)},

Y

X

Z

O

D

z=g (x,y)

z=g (x,y)1

2

A

120

donde D ⊂ R2 es medible y g1, g2 : D ⊂ R2 → R son dos funciones

continuas que verifican g1(x, y) ≤ g2(x, y), para cada (x, y) ∈ D. Notese que

A esta formado por los segmentos paralelos al eje OZ que tienen sus extremos

en sendos puntos de las superficies z = g1(x, y) y z = g2(x, y). Es facil probar

que la integral sobre A se calcula como sigue

∫ ∫ ∫A

f(x, y, z) dx dy dz =

=

∫ ∫D

[ ∫ z=g2(x,y)

z=g1(x,y)

f(x, y, z) dz]dx dy,

en el caso de que existan las integrales involucradas (lo que ocurre, por ejem-

plo, si f es continua en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos con

volumen 0).

2) Conjuntos xz-proyectables. Un conjunto A se llama xz-proyectable si

tiene la forma

{(x, y, z) : (x, z) ∈ D, g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)},

donde g1 y g2 son funciones definidas y continuas en un subconjunto D de

R2, tales que g1(x, z) ≤ g2(x, z), para cada (x, z) ∈ D. La integral triple

sobre un conjunto xz-proyectable viene dada por∫ ∫ ∫A

f(x, y, z) dx dy dz =

=

∫ ∫D

[ ∫ y=g2(x,z)

y=g1(x,z)

f(x, y, z) dy]dx dz.

De forma similar se procede para calcular una integral triple sobre un con-

junto yz-proyectable.

Ejemplo 4.7.1. Calcular el volumen del conjunto limitado por las superficies

z = x2 + y2 y x2 + y2 + z2 = 2 (interior al paraboloide).

121

x

y

z

O

D

z = x2+y2 es un paraboloide con eje de revolucion el eje OZ y x2+y2+z2 =

2 es una superficie esferica de centro el origen y radio√2. En la figura se

ha representado graficamente el conjunto interseccion de A con el primer

octante, que denotamos por B. El volumen pedido viene dado por

vol(A) = 4

∫ ∫ ∫B

1 dx dy dz.

B es xy−proyectable sobre el conjuntoD. Por tanto, podemos calcular vol(A)

como sigue

4

∫ ∫D

[ ∫ z=√

2−(x2+y2)

z=x2+y2dz

]dx dy =

= 4

∫ ∫D

[√2− (x2 + y2)− (x2 + y2)

]dx dy.

122

x

y

O

D

1

Para ayudarnos en el calculo de la integral doble anterior, podemos re-

presentar graficamnte el conjunto D en una figura aparte. Por la forma del

conjunto D y del integrando, es conveniente hacer un cambio a coordenaas

polares. Si (x, y) es un punto de D y (ρ, ω) son sus coordenadas polares, en-

tonces (ρ, ω) pertenece al conjunto T = [0, 1]× [0, π2] y viceversa. Por tanto,

la integral doble se convierte en

vol(A) = 4

∫ ∫T

(√2− ρ2 − ρ2

)∣∣∣∂(x, y)∂(ρ, ω)

∣∣∣ dρ dω.Ahora basta recordar que el jacobiano es igual a ρ para obtener

vol(A) = 4

∫ π2

0

[ ∫ 1

0

(√2− ρ2 − ρ2

)ρ dρ

]dω =

= 4

∫ π2

0

[− (2− ρ2)

32

2(

32

) − ρ4

4

]dω =

123

= 4

∫ π2

0

(−7 + 8√2)

12dω =

(−7 + 8√2)

6π.

IV) Cambio de variables en la integral triple.

Teorema 4.7.2. Sea A ⊂ R3 medible y consideremos el cambio de coorde-

nadas definido por

u(x1, x2, x3) =

= (u1(x1, x2, x3), u2(x1, x2, x3), u3(x1, x2, x3)),

siendo u diferenciable con continuidad en A, inyectiva y con jacobiano ∂(x1,x2,x3)∂(u1,u2,u3)

no nulo. Si f esta definida y es continua en u(A), entonces se verifica la

igualdad ∫ ∫ ∫A

f(u(x1, x2, x3))∣∣∣∂(x1, x2, x3)

∂(u1, u2, u3)

∣∣∣ dx1 dx2 dx3 =

=

∫ ∫ ∫u(A)

f(u1, u2, u3) du1 du2 du3.

Nota 4.7.3. El Teorema es cierto aun en el caso de que el jacobiano se anule

en un conjunto de volumen 0.

Para practicar con la formula anterior, vamos a considerar los cambios de

las coordenadas cartesianas a coordenadas cilındricas y esfericas.

1) Coordenadas cilındricas. Las coordenadas cilındricas de un punto P (x, y, z)

se denotan por (ρ, ϕ, z), siendo (ρ, ϕ) las coordenadas polares (en el plano

OXY) del punto P0(x, y, 0) que resulta de proyectar P sobre el plano OXY.

Por tanto, la relacion entre ambos tipos de coordenadas viene dada por las

igualdades siguientes

124

P(x,y,z)

rf

X

Y

Z

O

x = ρ cosϕ

y = ρ senϕ

z = z

con ρ > 0 y ϕ ∈ [0, 2π]. Por lo que se refiere al jacobiano, vamos a ver que es

igual a ρ.

∂(x, y, z)

∂(ρ, ϕ, z)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x∂ρ

∂x∂ϕ

∂x∂z

∂y∂ρ

∂y∂ϕ

∂y∂z

∂z∂ρ

∂z∂ϕ

∂z∂z

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣cosϕ −ρ senϕ 0

senϕ ρ cosϕ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ ==

∣∣∣∣∣ cosϕ −ρ senϕ

senϕ ρ cosϕ

∣∣∣∣∣ = ρ(cos2 ϕ+ sen2 ϕ) = ρ.

Ejemplo 4.7.4. Calcular∫ ∫ ∫

Axy dx dy dz, siendo A el conjunto limitado

por el cilindro x2 + y2 = 1 y los planos z = 0 y z = 2.

Ni que decir tiene que lo apropiado es un cambio a cilındricas. Si P (x, y, z)

es un punto que pertenece al conjunto A, entonces su proyeccion sobre el

plano OXY es el punto de coordenadas (x, y, 0), que pertenece al cırculo de

centro el origen y radiuo 1. Por tanto, sus coordenadas polares (ρ, ϕ) verifican:

0 ≤ ρ ≤ 1 y 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Es decir, cuando (x, y, z) recorre el conjunto A, la

terna (ρ, ϕ, z) recorre el intervalo tridimensional I = [0, 1] × [0, 2π] × [0, 2].

Luego nuestra integral triple se transforma de la forma siguiente∫ ∫ ∫A

xy dx dy dz =

=

∫ ∫ ∫I

ρ2 cosϕ senϕ|∂(x, y, z)∂(ρ, ϕ, z)

| dρ dϕ dz =

=

∫ ∫ ∫I

ρ3 cosϕ senϕ dρ dϕ dz =

125

=

∫ 2

0

[ ∫ 2π

0

(∫ 1

0

cosϕ senϕρ3 dρ)dϕ

]dz =

=1

2

∫ 2

0

[ ∫ 2π

0

(∫ 1

0

sen 2ϕρ3 dρ)dϕ

]dz = 0.

2. Coordenadas esfericas. Las coordenadas esfericas de un punto P (x, y, z)

se denotan por (r, ϕ, θ) y se determinan como sigue: a) r es el modulo del

vector de posicion del punto P , es decir, r =√x2 + y2 + z2, b) θ es el

complementario del angulo que forman dicho vector y el eje OZ positivo y c)

ϕ es el angulo que forman el eje OX positivo y el vector de posicion del punto

P0(x, y, 0) (proyeccion de P sobre el plano OXY). Por tanto, la relacion entre

ambos tipos de coordenadas viene dada por las igualdades siguientes

P(x,y,z)

X

Y

Z

O

r

f

q

x = r cosϕ cos θ

y = r senϕ cos θ

z = r sen θ

con r > 0, ϕ ∈ [0, 2π] y θ ∈ [−π2, π2] (θ se toma positivo o negativo segun

que el punto P pertenezca al semiespacio superior o no). Ahora abordamos

el calculo del jacobiano

∂(x, y, z)

∂(r, ϕ, θ)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x∂r

∂x∂ϕ

∂x∂θ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∂y∂θ

∂z∂r

∂z∂ϕ

∂z∂θ

∣∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣∣cosϕ cos θ −r senϕ cos θ −r cosϕ sen θ

senϕ cos θ r cosϕ cos θ −r senϕ sen θ

sen θ 0 r cos θ

∣∣∣∣∣∣∣ .En el ultimo determinante, podemos sacar el factor comun, r cos θ, de la

segunda columna y r de la tercera. Por tanto, se tiene

126

∂(x, y, z)

∂(r, ϕ, θ)=

= r2 cos θ

∣∣∣∣∣∣∣cosϕ cos θ − senϕ − cosϕ sen θ

senϕ cos θ cosϕ − senϕ sen θ

sen θ 0 cos θ

∣∣∣∣∣∣∣ == r2 cos θ

(sen θ

∣∣∣∣∣ − senϕ − cosϕ sen θ

cosϕ − senϕ sen θ

∣∣∣∣∣++cos θ

∣∣∣∣∣ cosϕ cos θ − senϕ

senϕ cos θ cosϕ

∣∣∣∣∣ ) =

r2 cos θ(sen2 θ

∣∣∣∣∣ − senϕ − cosϕ

cosϕ − senϕ

∣∣∣∣∣++cos2 θ

∣∣∣∣∣ cosϕ − senϕ

senϕ cosϕ

∣∣∣∣∣ ) =

= r2 cos θ(sen2 θ + cos2 θ) = r2 cos θ.

Ejemplo 4.7.5. Calcular∫ ∫ ∫

Az dx dy dz, siendo A el primer octante de la

esfera unidad.

Si (x, y, z) pertenece al primer octante de la esfera unidad, entonces la

terna (r, ϕ, θ) pertenece al intervalo tridimensional I = [0, 1]× [0, π2]× [0, π

2].

Por tanto, la integral se transforma como sigue∫ ∫ ∫A

z dx dy dz =

=

∫ ∫ ∫I

r sen θ∣∣∣∂(x, y, z)∂(r, ϕ, θ)

∣∣∣ dr dϕ dθ =

=

∫ ∫ ∫I

r3 sen θ cos θ dr dϕ dθ =π

16.

127

4.8. Aplicaciones de la integral multiple

I) Calculo de areas y volumenes.

a) Calculo de areas. El area de cualquier conjunto acotado A ⊂ R2 puede

determinarse mediante una integral doble. Con anterioridad, hemos mostrado

que∫ ∫

A1 dx dy representa el area del conjuntoA, caso de que la integral exisa

y entonces A se llama medible.

b) Calculo de volumenes. Podemos determinar el volumen de cualquier

subconjunto acotado A ⊂ R3 por medio de una integral triple. Concretamen-

te, hemos mostrado que vol(A) viene dado por∫ ∫ ∫

A1 dx dy dz, caso de que

exista la integral y entonces A se llama medible.

El volumen de algunos conjuntos puede calcularse tambien mediante una

integral doble. Al comienzo del tema, hemos visto que∫ ∫

Af(x, y) dx dy es el

volumen del cuerpo cilındrico cerrado por arriba por la superficie z = f(x, y)

y por la porcion del plano OXY que determina el conjunto A (si f(x, y) ≥ 0).

II) Aplicaciones a las ciencias experimentales.

a) Masa de un solido con densidad variable. Supongamos que en cierto

solido A ⊂ R3, la masa no esta distribuida homogeneamente y que conocemos

la densidad p(x, y, z), entonces la masa M del solido viene dada por

M =

∫ ∫ ∫A

p(x, y, z) dx dy dz.

Si p(x, y, z) es constante e igual a p, entonces

M = p

∫ ∫ ∫A

1 dx dy dz = p · vol(A).

b) Soluciones no homogeneas. Consideremos un deposito que contiene

cierta solucion no homogenea, es decir, la concentracion de soluto no es cons-

tante sino que es cierta funcion C(x, y, z). Si el interior del deposito tiene

la forma de cierto conjunto A ⊂ R3, la cantidad de soluto que contiene el

deposito viene dada por ∫ ∫ ∫A

C(x, y, z) dx dy dz.

128

Para ver que esto es ası, escogemos una malla con celdas de dimensiones

∆x,∆y, y ∆z pequenas, y analizamos la correspondiente suma de Riemann

S =∑i

C(xi, yi, zi)∆x∆y∆z.

El sumando i−esimo representa, aproximadamente, la cantidad de soluto que

contiene la celda Ci, pues es el producto del volumen de la celda por el valor

de la concentracion en un punto intermedio de dicha celda. Si las celdas son

pequenas, la concentracion varıa muy poco de un punto a otro de cada celda.

c) Las coordenadas del centro de masas del solido A vienen dadas por

xc =

∫ ∫ ∫Axp(x, y, z) dx dy dz∫ ∫ ∫

Ap(x, y, z) dx dy dz

,

yc =

∫ ∫ ∫Ayp(x, y, z) dx dy dz∫ ∫ ∫

Ap(x, y, z) dx dy dz

,

zc =

∫ ∫ ∫Azp(x, y, z) dx dy dz∫ ∫ ∫

Ap(x, y, z) dx dy dz

.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcular el area del recinto limitado en el primer cuadrante por las curvas

y = sen x e y = cos x.

En la figura siguiente se ha dibujado el recinto en cuestion.

129

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y = cos(x) y = sen(x)

Se trata de un conjunto, D, y-proyectable y lo primero que necesitamos

es resolver el sistema

{y = sen x

y = cos x,

para determinar las coordenadas del punto donde se cortan ambas curvas.

En realidad, la solucion del sistem se obtiene rapidamente, si tenemos en

cuenta que debe ser cos x = senx. En definitiva x = π/4 e y =√2/2.

Entonces el area del recinto es igual a∫ ∫D

dx dy =

∫ √2/2

0

dy

∫ x=arc cos y

x=arc sen y

dx =

∫ √2/2

0

(arc cos y−arc sen y

)dy.

Por integracion por partes se encuentra una primitiva del ultimo integran-

do: y(arc cos y− arc sen y)− log√1− y2. Por tanto, el area buscada viene

dada por

Area(D) =[y(arc cos y − arc sen y)− log

√1− y2)

]√2/2

0= (1/2) log 2.

130

2. Invertir el orden de integracion en la integral reiterada

∫ π

0

dx

∫ senx

0

f(x, y) dy.

El recinto de integracion es el conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤sen x}.

pO

Y

Xy

A

B

1

El conjunto A tambien es y−proyectable; por abajo esta cerrado por la

recta y = 0 y los arcos de curva OA y AB cierran por la izquierda y la

derecha, respectivamente. La curva OA tiene por ecuacion y = sen x o lo

que es lo mismo x = arc sen y. Para obtener la ecuacion de la curva AB

de la forma x = g(y), notese en la figura que g(y) = π − arc sen y. Por

tanto, la integral reiterada propuesta es igual a esta otra:

∫ 1

0

dy

∫ x=π−arc sen y

x=arc sen y

f(x, y) dx.

131

3. Calcular

∫ ∫A

dx dy

1 + xy, siendo A el recinto plano limitado en el primer

cuadrante por y = x, y = 2x, xy = 1 y xy = 2.

La forma del recinto y del integrando sugieren el cambio de coordenadas

u = y/x y v = xy. Por la formula de cambio de variables en la integral

doble ∫ ∫A

dx dy

1 + xy=

∫ ∫B

1

1 + v

∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣ du dv,siendo B el rectangulo [1, 2]× [1, 2].

xy=1

xy=2

y=x

y=2xY

X

O

P*

Q*

132

1

1

2

2

u

v

O

B

P

Q

Para ello, notese que las curvas xy = 1, xy = 2, y/x = 1 e y/x = 2 se

corresponden con las curvas de ecuacion v = 1, v = 2, u = 1 y u = 2,

respectivamente. Si escogemos u0 ∈ [1, 2], los puntos del segmento PQ, de

coordenadas (u0, v) con 1 ≤ v ≤ 2, se corresponden con los del segmento

P ∗Q∗, cuyas coordenadas cartesianas son (x, y) con y/x = u0. El punto

P ∗ se obtiene cuando v = 1, en cuyo caso xy = 1, y el punto Q∗ para

v = 2, lo que produce xy = 2. Esto muestra que B es el conjunto en que

se mueve (u, v) cuando (x, y) recorre A. Ahora, en lugar de calcular el

jacobiano que aparece en el segundo miembro, calculamos el jacobiano

∂(u, v)

∂(x, y)=

∣∣∣∣∣ − yx2 y

1x

x

∣∣∣∣∣ = −2y

x= −2u,

y usamos la propiedad que establece que uno es el inverso del otro, es

decir, se tiene ∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣ · ∣∣∣∂(u, v)∂(x, y)

∣∣∣ = 1

Entonces la integral pedida se calcula como sigue∫ ∫A

dx dy

1 + xy=

∫ 2

1

∫ 2

1

du dv

2u(1 + v)=

133

= (1/2)

∫ 2

1

du

u

[ ∫ 2

1

dv

1 + v

]=

= (1/2) log(3/2) · log 2.

4. Calcular

∫ ∫A

√x2 + y2 dx dy, siendo A el recinto plano limitado por y =

0, y = x y x2 + y2 − 2x = 0.

Hacemos un cambio a coordenadas polares x = ρ cosω e y = ρ senω.

Entonces ∫ ∫A

√x2 + y2 dx dy =

∫ ∫B

ρ2 dρ dω,

siendo B el recinto B = {(ρ, ω) : ω ∈ [0, π/4], 0 ≤ ρ ≤ 2 cosω}, pues la

circunferencia x2 + y2 − 2x = 0 se escribe en polares de la forma ρ2 −2ρ cosω = 0, es decir, ρ = 2 cosω.

1 2

Y

XO

y=x

M

134

P

Q

r

w

En efecto, las curvas que delimitan el recinto A, y = x, x2+y2−2x = 0, e

y = 0, se corresponden con ω = π/4, ρ = 2 cosω y ω = 0, respectivamente.

Si escogemos ω0 ∈ [0, π/4], los puntos del segmento PQ (de coordenadas

(ω0, ρ) con 0 ≤ 2 cosω0) se corresponden en el plano OXY con los del

segmento OM (de coordenadas cartesianas (x, y) con y/x = tgω0). Para

ρ = 0 se obtiene O y para ρ = 2 cosω0 resulta el punto de la circunferencia

M . En definitiva, se tiene∫ ∫A

√x2 + y2 dx dy =

=

∫ π/4

0

∫ ρ=2 cosω

ρ=0

ρ2 dρ dω =

= (8/3)

∫ π/4

0

cos3 ω dω =

= (8/3)

∫ π/4

0

(cosω − cosω sen2 ω) dω =10√2

9.

135

5. Calcular el centro de masas de una lamina que tiene la forma de un sector

circular de radio R y amplitud α radianes.

Escogemos el sistema de referencia como se indica en la figura.

X

Y

O

a/2

Por la simetrıa de la lamina, el centro de masas estara sobre el eje OX, de

modo que solo queda determinar el valor de la coordenada x del centro de

masas. Por tanto

xc =

∫ ∫A

x dxdy

S,

siendo S el area de la lamina. La integral puede calcularse en coordenadas

polares:

xc = (1/S)

∫ R

0

∫ α/2

−α/2

ρ2 cosω dρdω =

=2R3

3Ssen

α

2.

Finalmente, usamos la expresion S = (1/2)αR2 y obtenemos

xc =4R

3αsen

α

2.

136

6. Calcular el volumen del cuerpo tridimensional limitado por la superficie

esferica x2 + y2 + z2 = 2R2 y el cono z2 = x2 + y2 (interior a ambos).

X

Y

Z

O

R

El cuerpo consta de dos partes que tienen igual volumen. En la figura se

muestra la parte A que queda por encima del plano z = 0. Por tanto, el

volumen pedido se obtiene multiplicando por 2 el volumen de la figura que

se indica

V = 2

∫ ∫ ∫A

1 dxdydz.

Ambas superficies se cortan segun una circunferencia cuya ecuacion es{x2 + y2 + z2 = 2R2

x2 + y2 = z2

Si restamos ambas ecuaciones, resulta z2 = R2. Es decir, la circunferencia

interseccion viene dada por el sistema{x2 + y2 + z2 = 2R2

z2 = R2,

137

o, equivalentemente {x2 + y2 = R2

z = R

La proyeccion de esta circunferencia sobre el plano z = 0 es la circunferen-

cia x2+y2 = R2 del planoOXY . Por tanto, el conjuntoA es xy-proyectable

y V se calcula como sigue

V = 2

∫ ∫D

[ ∫ z=√

2R2−(x2+y2)

z=√

x2+y2dz

], (4.5)

donde D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}. Realizando la integral simple que

aparece en (7.5), se obtiene para V la siguiente expresion

2

∫ ∫D

(√2R2 − x2 − y2 −

√x2 + y2

)dxdy.

Ahora hacemos un cambio a coordenadas polares y encontramos

V = 2

∫ 2π

0

∫ R

0

ρ(√

2R2 − ρ2 − ρ) dρdω =

= 4π(∫ R

0

ρ√

2R2 − ρ2 dρ−∫ R

0

ρ2 dρ)=

=8πR3

3(√2− 1).

7. Calcular el area del recinto A limitado por las curvas x2+y2 = 2x, x2+y2 =

4x, y = x, e y = 0. Por la forma del recinto, lo mas oportuno es usar

coordendas polares. Por tanto, el area del recinto A es

∫ ∫A

1 dx dy =

∫ ∫B

ρ dρ dω,

donde B viene dado por

{(ω, ρ) : 0 ≤ ω ≤ π/4, 4 cosω ≤ ρ ≤ 2 cosω}.

138

X

Y

O 1 2

P

Q

y=x

En efecto, vemos que, escogido un valor de ω en [0, π/4], los puntos del

recinto A con tal coordenada son los del segmento PQ. En estos puntos

la coordenada ρ varıa entre ρP y ρQ. Para encontrar estos valore extremos

de ρ, pasamos las circunferencias a coordenadas polares y resulta: ρ2 =

4ρ cosω y ρ2 = 2ρ cosω. Es decir, ρ = 4 cosω y ρ = 2 cosω. Una vez que

hemos visto la forma que tiene B, pasamos a calcular la integral

∫ ∫A

1 dx dy =

∫ ∫B

ρ dρ dω =

=

∫ π/4

0

dω

∫ ρ=4 cosω

ρ=2 cosω

ρ dρ =

= 6

∫ π/4

0

cos2 ω dω = 6

∫ π/4

0

(1 + cos 2ω

2

)dω = 3(π/4 + 1/2).

8. Determinar el volumen del recinto A limitado por la superficie esferica

x2 + y2 + z2 = a2 y los planos y = x e y =√3x.

139

En coordenadas esfericas, la ecuacion de los planos toma la forma: ϕ = π/4

y ϕ = π/3. Por ello, el problema va a resultar muy simple si usamos

coordenadas esfericas. Concretamente, el volumen pedido es igual a

V =

∫ ∫ ∫A

1 dx dy dz =

=

∫ ∫ ∫B

r2 cos θ dr dϕ dθ,

siendo

B = {(r, ϕ, θ) : 0 ≤ r ≤ a, π/4 ≤ ϕ ≤ π/3,−(π/2) ≤ θ ≤ π/2} y r2 cos θ

el jacobiano∂(x, y, z)

∂(r, ϕ, θ).

Por tanto, el volumen viene dado por

V =

∫ ∫ ∫A

1 dx dy dz =

=

∫ ∫ ∫B

r2 cos θ dr dϕ dθ =

=

∫ π/3

π/4

dϕ

∫ π/2

−(π/2)

cos θ dθ

∫ a

0

r2 dr =

=a3

3

∫ π/3

π/4

dϕ

∫ π/2

−(π/2)

cos θ dθ =

=2a3

3

(π/3− π/4

)=

πa3

18.

9. Se consideran la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4a2 y el cilindro x2 +

y2 − 2ay = 0. Determinar el volumen limitado por las dos superficies y el

plano z = 0 (interior al cilindro).

140

La ecuacion del cilindro puede escribirse en la forma x2 + (y − a)2 = a2,

lo que permite encontrar el centro y radio de la circunferencia de la base (

en z = 0). Vemos que el centro es el punto (0, a, 0) y el radio a. El recinto

es un tıpico conjunto xy-proyectable: el techo es un trozo de la superficie

esferica z =√4a2 − x2 − y2 y el suelo z = 0. Por tanto, el volumen pedido

vale

V = 2

∫ ∫D

√4a2 − x2 − y2 dxdy,

siendo D el conjunto que vemos en la figura (la circunferencia x2 + (y −a)2 = a2 en polares tiene la forma r = 2a senω)

141

X

Y

O

a

2a

D

Pasamos a coordenadas polares y el volumen adopta la forma

V = 2

∫ ∫T

√4a2 − r2 rdrdω,

donde T es el conjunto que se indica

r

w

O

p/2

2a

T

r= 2 a sen w

Esta ultima integral se cal cula mediante integracion reiterada

2

∫ π/2

0

(∫ r=2a senω

r=0

r(4a2 − r2)1/2 dr)dω

142

y su valor es

V = (8/9)a3(3π − 4).

10. Calcular el volumen del recinto que delimitan los cilindros x2 + y2 = 1 y

x2 + z2 = 1.

0

1

2

3

4

5

01

23

45

0

1

2

3

4

5

En la figura aparece la parte del recinto que pertenece al primer octante.

Por tanto, el volumen viene dado por

V = 8

∫ ∫D

√1− x2 dxdy,

donde D es el conjunto

143

Y

X

1

1

D

Pasando a coordenadas polares, resulta

V = 8

∫ π/2

0

∫ 1

0

√1− r2 cosω2 rdrdω = 16/3.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcular el volumen de la piramide determinada por los planos coordena-

dos y el plano x+ 2y + 3z = 6.

Solucion: 6.

2. Invertir el orden de integracion en las siguientes integrales reiteradas:

a)

∫ 1

0

dx

∫ y=x2

y=0

f(x, y) dy,

b)

∫ a

0

dx

∫ y=√a2−x2

y=−√a2−x2

f(x, y) dy.

c)

∫ π/2

0

dx

∫ 1

cosx

f(x, y) dy.

Solucion: a)

∫ 1

0

dy

∫ x=1

x=√y

f(x, y) dx, b)

∫ a

−a

dy

∫ x=√

a2−y2

x=0

f(x, y) dx.

144

c)

∫ 1

0

dy

∫ π/2

y=arc cos y

f(x, y) dx.

3. Calcular∫ ∫

Dex/y dx dy, siendo D el conjunto limitado por la curva x = y2

y las rectas x = 0 e y = 2.

Solucion: e2 − 1.

4. Calcular la integral doble∫ ∫

Dxy2 dx dy, siendo D el recinto limitado por

y2 = 2x y la recta x = 1.

Solucion: 8√2/21.

5. Calcular∫ ∫

Dx dx dy, siendo D el triangulo cuyos vertices son el origen y

los puntos A(0, 1) y B(1, 1).

Solucion: 1/6.

6. Calcular el area del recinto limitado por las curvas x = y2, x + y = 3/4 e

y = 0.

solucion: 5/24.

7. Calcular el area del recinto limitado por las parabonas y = x2 y x = y2.

Solucion: 1/3.

8. Calcular∫ ∫

Dx2y2 dx dy, siendo D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.

Solucion: Cambio a polares.

9. Calcular∫ ∫

Dxy dx dy, siendoD el recinto limitado en el primer cuadrante

por la circunferencia x2 + y2 − 4x = 0 y el eje OX.

Solucion: Cambio a polares.

10. Calcular

∫ ∫A

(x + y)2 dxdy, siendo A el recinto limitado por las rectas

y = −x, y = −x+ 1, y = 2x e y = 2x− 3.

Solucion: 1/3 (hacer el cambio de variables: u = x+ y y v = 2x− y).

145

11. Calcular la masa de una lamina circular de radio R, sabiendo que la

densidad superficial de masa es igual en cada punto a la distancia de este

al centro de la lamina.

Solucion: (2/3)πR3.

12. Calcular el volumen de una esfera de radio R usando la integral triple.

Solucion: (4/3)πR3 (hacer un cambio a coordenadas esfericas).

13. Calcular

∫ ∫ ∫A

yz dxdydz, siendo A el recinto limitado por los planos

x+ y = 1 y z = 4.

Solucion: 4/3.

14. Calcular el volumen de un cono circular recto usando la integral triple.

Solucion: Si el vertice es el origen de coordenadas, el eje OZ es el eje de

revolucion y la base esta en el plano z = H, la ecuacion de la superficie

conica es z2 = (H/R)2(x2 + y2). Volumen = (1/3)πR2H.

15. Calcular el volumen del recinto encerrado por la superficie z = x2 + y2 y

el plano z = 1.

Solucion: π/2.

16. En un tronco de madera de forma cilındrica con altura H y radio R se

hace un taladro (longitudinal) de forma conica con radio R y altura H.

Calcular el volumen del tronco resultante. Solucion: (1/3)πR3.

146