Integral Doble en Coordenadas Polares

Integral doble en coordenadas polares

Contenido

1. Coordenadas polares

2. Grafica de ecuaciones polares

3. Regiones en coordenadas polares

4. Integrales dobles en coordenadas polares

Coordenadas polares

(, )

Sistema de coordenadas rectangulares Sistema de coordenadas polares

(eje polar)(polo)

b

a

(, )

Coordenadas polares

2 = 2 + 2

tan =

= sin =

coordenadas polares a

rectangulares

coordenadas rectangulares

a polares

Relacin entre coordenadas polares y rectangulares

Coordenadas polares

Ejemplo 1. Polar a rectangular. Convierta las coordenadas polares (2, 6)en coordenadas rectangulares.

Ejemplo 2. Rectangular a polar. Convierta las coordenadas rectangulares (1, 1) en coordenadas polares.

Ejemplo 3. Ecuacin rectangular en ecuacin polar. Encuentre la ecuacin polar del crculo 2 + 2 = 8

Ejemplo 4. Ecuacin rectangular en ecuacin polar. Encuentre la ecuacin polar de la parbola 2 = 8(2 )

Ejemplo 5. Ecuacin polar en ecuacin rectangular. Encuentre una ecuacin rectangular de la ecuacin polar 2 = 9 cos 2

Grficas de ecuaciones polares

La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.

Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2

r





0

r





0

r 0





0

r 0 0.29





0

r 0 0.29 1





0

r 0 0.29 1 1.71





0 5

r 0 0.29 1 1.71 2 1.71 1 0.29 0


0 5

r 0 0.29 1 1.71 2 1.71 1 0.29 0

Grafica de =


Cardioides


Curvas de las rosas. Las graficas de = y = con 2 se denominan curvas de las rosas. Si es par tiene 2 ptalos y si es impar tiene ptalos.

= =


Crculos con centros sobre un eje.


Lemniscatas.


Limacones. = y =

Regiones en coordenadas polares

Regin r-simple.

= 1() 2()


= 0 3cos 3

6

6

Ejemplo, regin r-simple.

=

6

=

6


= 1 2

1() 2()

Regin -simple.


= 1 2

0

3

= 0

Ejemplo, regin -simple.


= 1 21 2

Ejemplo 1. Exprese la regin en coordenadas polares.

=

6

=

4

= 2= 4

= 2 4

6

4


= 0 2

0

2

Ejemplo 2. Exprese la regin en coordenadas polares.


= 1 30 2

Ejemplo 3. Describa la siguiente regin en coordenadas polares.

Integrales dobles en coordenadas polares

Algunas integrales dobles son mucho ms fciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es as especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y ptalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen 2 + 2.


, =1

( , )

=

El rea de la base del slido

El volumen del pequeo slido

( , )

El altura del pequeo slido

( , )

El volumen aproximado del slido


, = lim

=1

( , )

Como = cos y = sen , = ( cos , sin ), obtenemos la integral doble en coordenadas polares:

, =

=

(, )

El volumen exacto del slido


Ejemplo 1. Sea la regin anular comprendida entre los dos crculos 2 + 2 = 1 y 2 + 2 =5. Evaluar

la integral 2 +


Ejemplo 2. Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la regin slida limitada superiormente

por el hemisferio = 16 2 2

einferiormente por la regin circular dada por 2 + 2 4


Ejemplo 3. Utilizar una integral doble para hallar el rea encerrada por la grfica de = 3 cos 3


Ejemplo 4. Hallar el rea de la regin acotada superiormente por la espiral = 3 e inferiormente por el eje polar, entre = 1 y = 2


Ejercicios 1 a 4. Se muestra la regin R para la integral

, . Decir si seran ms convenientes

coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral.


Ejercicios 5 a 8. Utilizar coordenadas polares para describir la regin mostrada.

5. 6.

7.

8.


Ejercicios 9 a 16. Evaluar la integral doble y dibujar la regin R.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


Ejercicios 17 a 26. Evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares.

23.

17. 22.

24.

25.

26.21.

20.

19.

18.


Ejercicios 27 a 28. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.

27.

28.


Ejercicios 29 a 32. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la

integral doble ,

29.

31.

30.

32.


Ejercicios 33 a 38. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la

integral doble ,


Ejercicios 42 a 44. Utilizar la integral doble para calcular el rea de la regin sombreada.

42. 43. 44.


Ejercicios 45 a 47. Utilizar la integral doble para calcular el rea de la regin sombreada.

45. 46. 47.


Ejercicios 48 a 53. Trazar una grfica de la regin limitada por las grficas de las ecuaciones, despus, usa la integral doble para encontrar el rea de la regin.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

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