integraion numerica

5/12/2018 integraion numerica - slidepdf.com

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La necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge por dos

motivos fundamentalmente:

la dificultad o imposibilidad en el calculo de una primitiva, la función a integrar

solo se conoce por una tabla de valores.

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo,

es preciso obtener previamente una integral indefinida Aunque se conocendiversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable

de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables.

Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La

integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua

en un intervalo cerrado con la exactitud deseada.



INDICE

Regla del trapecio

Regla de Simpson

Regla compuesta de SimpsonRegla compuesta del trapecio

Regla del punto medio



Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del

Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se

conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad

considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos

no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la

integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral

definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud

deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración

numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson (debida a Thomas no a

Homero).



Regla del trapecio

Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b, i.e.,

Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p1(x) directamente seobtiene que

Asi que podemos escribir la aproximación:



Regla se Simpson

Resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en

una ecuación de aproximación con integral:

Después de la integración y manejo algebraico, resulta:

Donde h = (b ± a)/2



M ETODO DE NEWTON COTES

En análisis numérico las

fórmulas de Newton-Cotes

(nombradas así por Isaac

Newton y Roger Cotes) son un

grupo de fórmulas deintegración numérica de tipo

interpolatorio, en las cuales se

evalúa la función en puntos

equidistantes, para así hallar

un valor aproximado de la

integral. Cuanto másintervalos se divida la función

más preciso será el resultado.

Se divide el intervalo [a, b] en n sub-intervalos

de igual amplitud

xi= x0 + (b-a)/n h

Se aproxima la función por

un polinomio de grado n y se

integre para obtener la aproximación

´b

an dx x p )(



MÉTODOS DE DIFERENCIAS

DIVIDIDAS

h

x f h x f x f

h

00

00

lim'

!p

10 xh x !

01

01

' x x

x f x f x f

!

),( 101,0 x x f f !

2,1,0 f 02

1021 ),(),(

x x

x x f x x f

02

21

01

12

12 )()()()(

x x

x x

x f x f

x x

x f x f



h x x

! 21h x x ! 12

!1,0 f h

x f x f )0()1(

h

x f )0((!

!2,1,0 f !

22

)0()1(2)2(

h

x f x f x f

2

2

2

)0(

h

x f (



)( 0 x f )( 01,0 x x f ))(( 102,1,0 x x x x f

)( 0 x f (

h

x x x f ))(( 00

2^2

)1)()((2^ 00

h

x x x x x f (

sh x x ! 0

h

x x s

0!

! )( 02 sh x p )( 0 x f ( s x f *)( 0

2

)1(*)(2^ 0 ( s s x f

´ ´$b

a

b

a

n dx x pdx x f )()(



h x x s

0

! !dx

d s

h

1

hd sdx !

´´!

2

0

02 )()( hd s sh x pdx x f

b

a

d s x f s x f s

x f s x f h )2

)0(

2

)0()0()0((

22

0

22(

(

(´

)0(( x s f h

2

)0(2 x f s (

(

6

)0(23 x f s 2

0

22

)4

)0( x f s (



)1

)(

3

)(4

))()((2

)(2

(

02

02

010

x f x f

x f x f x f h

(

(

)3

)()(2)(2)(2(

02

010

x f x f x f x f h

(

!

(

3

)( 02 x f

3

)()(

3

2

3

)( 0

1

2 x f x f

x f

3

)( 0 x f

3

)(4 1 x f

3

)( 2 x f ? A)2()1(4)0(

3 x f x f x f

h



Regla compuesta de S impson

Empleando un razonamiento similar al anterior y tomando un polinomio de

grado n=2 para interpolar a f , obtenemos la conocida regla de Simpson:

que es exacta para todos los polinomios de grado 2 y cur iosamente, exacta para todoslos polinomios de grado 3.

En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson

compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número

par, n, de subintervalos. Tenemos entonces:

h = (b-a)/n

Aplicando la regla de Simpson (77) en cada uno de los subintervalos se obtiene la

expresión final:

(77)



Regla compuesta del punto medio

PROPOSICION: Sea f C 4[a, b], n par, h = (b ± a)/(n+2), y x j = a + ( j +1)h para

cada j = ±1, 0, 1, 2, ... n+1. La regla de compuesta del punto medio para n

subintervalos puede escribirse como:

§´!

!

2/

0

22

n

j

j

b

a x f hdx x f

x 0 = a x n+1 = b

y= f ( x )

x 0 x j -1 x j x n x 1 x j +1



Regla compuesta del trapecio

la Regla de Trapecio Compuesta está dada por:

x 0 = a x n = b

y= f ( x )

x 1 x j -1 x j x n ±1



Por medio de todos los métodos estudiados encontrar la integral de la

siguiente función:

3.1 Mediante calculo iterativo a mano



S olución con metodo de simpson

´ !

3.1

0

3

55 dx

x I

5!n

2

03.1

2

!

!

abh

65.0!h

? A)()(4)(3

)(210

x f x f x f h

dx x f I

b

a

}! ´



En estas notas hemos discutido algunos métodos clásicos para aproximar integrales,

así como algunas de las técnicas de integración desarrollados durante los últimos

años: aproximaciones analíticas, integración numérica, métodos de Monte Carlo y

técnicas de Monte Carlo vía cadenas de Markov. Cuál de estos métodos es mejor? La

elección depende, por supuesto, del tipo de información que se requiera en cadaaplicacion específica. Los métodos de Monte Carlo vía cadenas de Markov son

bastante flexibles en relación con los otros métodos, pero pueden llegar a tener un

costo computacional muy alto. Probablemente la mejor estrategia en una aplicación

concreta consista en combinar varios de los métodos revisados en estas notas. Es

frecuente, por ejemplo, que la aproximación normal asintótica a la distribución final

del parámetro de interés sugiera formas que pueden ser utilizadas como

distribuciones de muestreo por importancia para Monte Carlo, o bien como

distribuciones de transición para el algoritmo de Metropolis-Hastings.

c onc lusiones



CONCLUSIONES

El método de simpson es la mejor seaproxima al integral real.

Mientras más intervalos mucho mejor sera

la aproximación.



REFE RENCIAS B I BLIOG R AFICAS

http://www.monografias.com/trabajos-pdf/integracion-

numerica/integracion-numerica.pdf

https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r60541.

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