INTEGRACIJA NAPONA DRUCKER-PRAGER MATERIJALNOGMODELA PRIMENOM TEORIJE INKREMENTALNE PLASTIČNOSTI

STRESS INTEGRATION OF THE DRUCKER-PRAGER MATERIALMODEL USING INCREMENTAL PLASTICITY THEORY

Dragan Rakić1, Miroslav Živković1, Snežana Vulović2, Dejan Divac3

1 Mašinski fakultet u Kragujevcu2 Fakultet informacionih tehnologija u Beogradu

3 Institut “Jaroslav Černi“ A.D.

Sadržaj – U radu je data formulacija Draker-Pragermaterijalnog modela sa ojačanjem korišćenjem teorijeinkrementalne plastičnosti (Hill, 1950). Rezultati dobijeniprimenom ove metodologije su poređeni sa rezultatitmadobijenim primenom metode vodećeg parametra, kao i sarezultatima dobijenim primenom drugih programskihpaketa koji poseduju ovaj materijalni model.

Abstract – This paper presents formulation of Drucker-Prager material model with hardening by using theincremental plasticity theory (Hill, 1950). Resultsobtained by use of this methodology are compared in thesecond part of the paper with results obtained by use ofgoverning parameter method, as well as with resultsobtained by use of other program packages which containthis material model.

1. UVOD

U ovom radu predstavljena je formulacija računskogalgoritma za Draker-Prager materijalni model saojačanjem primenom metode inkrementalne plastičnosti.Rezltati dobijeni ovom metodom su upoređeni sarezultatima dobijenim upotrebom metode vodećegparametra (Kojic, 1996), kao i sa rezultatima dobijenimupotrebom drugih programskih paketa.

Integracija napona je važan deo sveukupne nelinearneanalize konstrukcija primenom metode konačnihelemenata.Integracija napona predstavlja izračunavanjepromene napona u vremenskom koraku koji odgovarapromeni deformacije u tom koraku. To je u osnoviinkremetalna integracija neelastičnih konstitutivnihrelacija za utvrđivanje istorije deformacije. Važno je daalgoritam integracije precizno reprodukuje materijalnoponašanje pošto mehanički odgovor cele konstrukcijedirektno zavisi od ove preciznosti. Takođe, algoritamtreba da bude računski efikasan jer se integracija naponavrši u svim integracionim tačkama. Za opštu primenu ovaračunska procedura treba da bude jasna i da dajepouzdane rezultate u svim slučajevima opterećenja (Kojici Bathe 2005).

2. FORMULACIJA MODELA

Drucker-Prager materijalni model je definisan sa dvepovrši tečenja koje se seku, od kojih jedna odgovaraperfektnoj plastičnosti, a druga ima karakteristikuojačanja.

Slika 1 Drucker-Prager materijalni model sa ojačanjem

Model je predstavljen u 1 2DI J- koordinatnomsistemu, kao najpogodnijem za predstavljanje ovogmaterijalnog modela, gde su 1I i 2DJ prva invarijantanapona i druga invarijanta devijatora napona, respektivno.Prva invarijanta napona, može biti definisana korišćenjemsrednjeg napona:

1 3 m ij ij iiI s s d s= = = (1)

Elastična oblast (slika 1) je ograničena Drucker-Prager-ovom površi, kapom i linijom maksimalnog zatezanja.

Drucker-Prager-ova površ tečenja je data jednačinom:

1 2 0DP DF I J ka= + - = (2)

dok je funkcija plastičnog potencijala definisana sa:

1 2DP dil DG I J ka= + - (3)

gde su a , dila , k - materijalne konstante.

Jednačina kape je data u obliku:

1 0cF X I= - = (4)

gde je X položaj kape na kraju koraka.

Na slici 1 su pokazana dva položaja kape, u trenutku t i utrenutku t t+ D .

Ojačanje materijala je definisano kroz promenuzapreminske plastične deformacije:

( )01 D X XPVe W e- -é ù= -ê úë û

(5)

Ovaj izraz je još poznat i kao Zakon ojačanja (DiMaggioand Sandler, 1971) gde su ,W D materijalne konstante,dok je 0X početni položaj kape.

Zakon ojačanja može biti napisan i u sledećem obliku:

01 ln 1

PVeX X

D W

æ ö= - -ç ÷ç ÷

è ø(6)

Što je grafički predstavljeno na slici 2.

Slika 2 Grafički prikaz zakona ojačanja

3. ELASTO-PLASTIČNA MATRICA

Za neki elasto-plastični materijal, priraštaj napona { }ds

se može izraziti preko priraštaja ukupne deformacije { }dekorišćenjem sledeće relacije:

{ } { }EPd C des é ù= ë û (7)

gde je EPCé ùë û elasto-plastična konstitutivna matrica.

Za slučaj malih deformacija, inkrement ukupnedeformacije možemo razložiti na elastični i plastični deo:

{ } { } { }E Pde de de= + (8)

Relacija koja povezuje napon i elastični deo deformacijeima sledeći oblik:

{ } { }E Ed C des é ù= ë û (9)

gde je ECé ùë û elastična konstitutivna matrica.

Zamenom (8) u (9) dobijamo:

{ } { } { }( )E Pd C de des é ù= -ë û (10)

U cilju generalizacije postupka, odnosno kako bi ovajpostupak mogao da se primeni i na druge materijalnemodele u teoriji plastičnosti, funkcija tečenja je datauopšteno i obeležena je simbolom F . U nastavku ovograda postupak je primenjen na Draker-Prager materijalnimodel. Ovaj materijalni model je prema ovde prikazanojproceduri implementiran u programski paket PAK.

U elasto-plastičnim modelima, funkcija tečenja jenajčešće funkcija napona:

( ) ( )ijF F F s= =σ (11)

Promena funkcije tečenja predstavlja totalni izvod ovefunkcije i može se zapisati u sledećem obliku:

{ }TFdF ds

s¶ì ü= í ý¶î þ

(12)

U teoriji inkrementalne plastičnosti, mora biti zadovoljenuslov da je funkcija tečenja u svakom trenutku jednakanuli (u slučaju kada je 0F £ imamo samo elastičnedeformacije). Iz uslova da je 0F = sledi da je 0dF = nakraju vremenskog koraka. Poslednji uslov može bitizapisan kao:

{ } 0TFdF ds

s¶ì ü= =í ý¶î þ

(13)

gde jeTF

s¶ì ü

í ý¶î þ

izvod funkcije tečenja po svih šest

komponenti napona { }ds .

Implicitna integracija napona podrazumeva da je priraštajplastične deformacije u pravcu normale na površplastičnog potencijala:

{ }P Gde dls¶ì ü= í ý¶î þ

(14)

gde je ( )G σ funkcija plastičnog potencijala, dok je dlpozitivan skalar, koji treba izračunati.

Zamenom inkrementa plastične deformacije (14) u (10)dobijamo izraz za inkrement napona:

{ } { }E E Gd C de d Cs ls¶ì üé ù é ù= - í ýë û ë û ¶î þ

(15)

Zamenom (15) u (13) i sređivanjem dobijamo:

{ } 0T T

E EF F GdF C de d Cls s s¶ ¶ ¶ì ü ì ü ì üé ù é ù= - =í ý í ý í ýë û ë û¶ ¶ ¶î þ î þ î þ

(16)

Iz ove jednačine se može izračunati pozitivan skalar dl :

{ }T

E

TE

F C ded

F GC

sl

s s

¶ì ü é ùí ý ë û¶î þ=¶ ¶ì ü ì üé ùí ý í ýë û¶ ¶î þ î þ

(17)

Zamenom dl iz (17) u (15) dobijamo vezu izmeđuinkrementa napona { }ds i inkrementa ukupne

deformacije { }de odnosno jednačinu (7), gde je elasto-plastična konstitutivna matrica:

TE E

EP ET

E

G FC CC C

F GC

s s

s s

¶ ¶ì üì üé ù é ùí ýí ýë û ë û¶ ¶î þî þé ù é ù= -ë û ë û ¶ ¶ì ü ì üé ùí ý í ýë û¶ ¶î þ î þ

(18)

Zamenom (17) u (14) dobijamo priraštaj plastičnedeformacije:

{ }{ }

TE

PT

E

G FC dede

F GC

s s

s s

¶ ¶ì üì üé ù í ýí ýë û ¶ ¶î þî þ=¶ ¶ì ü ì üé ùí ý í ýë û¶ ¶î þ î þ

(19)

Za slučaj asocijativnog uslova tečenja, funkcija F jejednaka funkciji plastičnog potencijala. U nastavku ovograda biće razmatran samo slučaj asocijativne plastičnostitj. funkcija F predstavlja u isto vreme i funkcijuplastičnog potenicjala.

4. PRIMENA NA DRUCKER-PRAGERMATERIJALNI MODEL

Tečenje na Drucker-Prager površi tečenja

Materijalne konstante za geološke materijale f (ugaounutrašnjeg trenja materijala) i c (kohezija) se određujueksperimentalno i karakteristične su za Mohr-Coulombmaterijalni model. Između parametara f i c , iparametara k i a , koji figurišu u Draker-Pragerovojfunkciji tečenja, postoji direktna zavisnost definisanasledećim relacijama (Jeremić, 2007):

( )2sin

3 3 sinf

af

=-

,( )6 cos

3 3 sinck f

f=

-(20)

Izvod Drucker-Pragerove funkcije tečenja po naponu,može biti sračunat korišćenjem pravila izvoda složenefunkcije - Chain rule (Bronshtein, 2005) na sledeći način:

1 2

1 2

T TTD

D

I JF F FI Js s s

¶ ¶¶ ¶ ¶ì ü ì üì ü = +í ý í ý í ý¶ ¶ ¶ ¶ ¶î þ î þ î þ

(21)

Treba napomenuti da je ovu metodologiju mogućeprimeniti na sve materijalne modele čija se funkcijatečenja može izraziti preko naponskih invarijanata 1I i

2DJ (što je slučaj sa velikim brojem materijalnih modelaprimenjenih u teoriji plastičnosti). Rešavanjem jednačine(21) dobijamo:

1 2 1

2

1 2 3

2

1 2 3

2

4

2

5

2

6

2

26

26

26

D

D

D

D

D

D

J

J

JF

J

J

J

s s sa

s s sa

s s sa

ss

s

s

- -é ù+ê úê úê ú- + -

+ê úê úê ú- - +ê ú+ê ú¶ì ü ê ú=í ý¶ ê úî þê úê úê úê úê úê úê úê úë û

(22)

U jednačini (21) može biti zamenjena bilo koja funkcijatečenja, tako da se na isti način mogu interpretirati i drugimaterijalni modeli u teoriji plastičnosti.

Tečenje na kapi

Kapa ovog materijalnog modela je definisana jednačinom(4). Ova funkcija odgovara funkciji plastičnog potencijalaza ovu oblast.

Izvod jednačine površi tečenja po naponu, se može dobitikorišćenjem pravila izvoda složene funkcije:

1

1

T T TC C CF F FI X

I Xs s s¶ ¶ ¶¶ ¶ì ü ì ü ì ü= +í ý í ý í ý¶ ¶ ¶ ¶ ¶î þî þî þ

(23)

Rešavanjem pojedinih izvoda, (23) se svodi na:

111

000

CFs

-é ùê ú-ê úê ú-¶ì ü = ê úí ý

¶î þ ê úê úê úê úë û

(24)

Tečenje u Verteks oblasti

U prethodnom delu su izvedene relacije izmeđuinkrementa napona i inkrementa deformacije, za slučajkada je ponašanje materijala definisano samo jednompovrši tečenja. U ovom delu biće izvedene konstitutivnerelacije za slučaj kada tečenje zavisi od dve površitečenja, tj. kada naponsku tačku treba vratiti u presek dvepovrši tečenja.

Kao i u prethodnom slučaju, ukupni inkrementdeformacije možemo podeliti na elastični i plastični deo.

{ } { } { }E Pde de de= + (25)

U slučaju kada naponsku tačku treba vratiti u pravcu dvenormale, inkrement plastične deformacije treba podelitina dva dela (Potts and Zdravković, 1999), prouzrokovansvakom od površi tečenja:

{ } { } { } { }DPE P P

Cde de de de= + + (26)

Inkrement napona u zavisnosti od inkrementa elastičnedeformacije je dat izrazom (9).

Zamenom (26) u (9) dobijamo:

{ } { } { } { }( )DPE P P

Cd C de de des é ù= - -ë û (27)

Inkrement plastične deformacije u funkciji Drucker-Prager-ove funkcije tečenja je:

{ }P DPDP DP

Gde dl

s¶ì ü= í ý¶î þ

(28)

dok je u funkciji kape dat izrazom:

{ }P CC C

Gde dl

s¶ì ü= í ý¶î þ

(29)

gde su DPdl i Cdl pozitivni skalari koje trebaizračunati.

Sada možemo zameniti (28) i (29) u jednačinu (27).

U ovom slučaju tečenja, moraju biti zadovoljene obefunkcije, tj. mora da važi uslov da je:

{ }( ) { }( ) 0DP CdF dFs s= = (30)

Korišćenjem pravila izvoda složene funkcije, totalnediferencijale za obe funkcije tečenja možemo da zapišemokao:

{ } 0T

DPDP

FdF ds

s¶ì ü= =í ý¶î þ

(31)

i

{ } 0T

CC

FdF ds

s¶ì ü= =í ý¶î þ

(32)

Zamenom (27) u (31) i (32) i razdvajanjem poznatih inepoznatih, dobijamo sistem dve jednačine sa dvenepoznate, koje korišćenjem odgovarajućih smenadobijaju oblik:

11 12 1

21 22 2

DP C

DP C

d L d L Td L d L Tl ll l

+ =

+ =(33)

Rešavanjem sistema (33) izračunavamo pozitivne skalare:

1 22 2 12

11 22 12 21DP

T L T Ld

L L L Ll

-=

-(34)

2 11 1 21

11 22 12 21C

T L T Ld

L L L Ll

-=

-(35)

5. VERIFIKACIJA RAZVIJENOG MODELA

Jednoosni pritisak (Edometarski test)

Elasto-plastični materijal se sabija u pravcu jedne ose,dok su pomeranja modela u bočnim pravcima sprečena,kako je šematski prikazano na slici 3.

Slika 3 Edometarski test

Materijalni podaci:

Jangov modul, 100E =

Poasonov koeficijent, 0.25n =

Parametar funkcije tečenja, 0.05a =

Parametar funkcije tečenja, 0.25k =

Parametar ojačanja, 0.066W =

Parametar ojačanja, 0.67D =

Maksimalno zatezanje, 0.01T =

Početni položaj kape, 0 0.0X =

Sabijanje modela je izvršeno upotrebom zadatihpomeranja prema funkciji koja je data na slici 4.

Slika 4 Funkcija opterećenja modela

Opterećenje je zadato u 80 koraka sa konstantniminkrementom. Dobijena zavisnost aksijalnog napona odaksijalne deformacije je prikazana na slici 5, dok jeputanja naponske tačke u 1 2DI J- ravni data na slici 6.Podaci o materijalu su preuzeti iz literature Di Maggioand Sandler, 1971. Dimenzije modela su 2 2 2´ ´ .

Slika 5 Aksijalni napon - aksijalna deformacija

Slika 6 Putanja naponske tačke u 1 2DI J- ravni

Za slučaj primene Draker-Prager materijalnog modela, urežimu opterećenja plastično tečenje se odvija u Verteksoblasti (preseku dve površi tečenja), dok se u režimurasterećenja naponska tačka nalazi u oblasti elastičnosti(slika 6).

Iz dobijenih rezultata se može uočiti potpuno poklapanjerezultata dobijenih korišćenjem teorije inkrementalneplastičnosti (IPM) i metodom vodećeg parametra (GPM),sa rezultatima dobijenim primenom programa Adina.

Naponsko-deformacijska analiza brane

Ovaj primer predstavlja primenu razvijenog materijalnogmodela i njegovu verifikaciju na konkretnom problemu:Naponsko-deformacijska analilza brane. Za verifikaciju jekorišćen model brane „Bogovina“. Ovde nisu razmatranisvi detalji analize problema, već je za jedan slučajopterećenja, izvršena naponsko-deformacijska analiza idati rezultati proračuna.

Model brane se sastoji od 28560 elemenata i 32865čvorova, sadrži 18 materijala različitih karakteristika imaterijala brane. Brana je modelirana korišćenjemlinearno elastičnog materijalnog modela. Dimenzijemodela su 600x550 metara. Opterećenja se sastoje odsopstvene težine, hidrostatičkog pritiska vode ifiltracionih sila. Opterećenje je postepeno povećavano,sve do sloma konstrukcije, kako bi se utvrdilomaksimalno opterećenje koje brana može da izdrži, tj.stepen sigurnosti konstrukcije.

Karakteristike materijala tla su dobijene estimiranjemmaterijalnih konstanti Draker-Pragerove funkcije, naosnovu eksperimentalnih rezultata. Estimacja je izvršenaprimenom Troosnog testa. Rezultat estimacije jednog odmaterijala tla je dat na slici 7.

Slika 7 Rezultati estimacije materijalnih konstanti

Na slici 8 je dat izgled modela brane, sa različitoobojenim zonama, koje predstavljaju materijale različitihkarakteristika. Na slikama 9 do 11 je dato polje plastičnedeformacije, polje efektivnog napona i polje pomeranja,respektivno. Na slici 12 je dato polje pomeranja usleddejstva samo sopstvene težine.

Slika 8 Model brane

Slika 9 Polje plastične deformacije

Slika 10 Polje efektivnog napona

Slika 11 Polje ukupnih pomeranja

Slika 12 Polje pomeranja usled dejstva sopstvene težine

Na osnovu dobijenih rezultata, možemo zaključiti da uslučaju rešavanja problema gde je dominantna stenskamasa, Draker-Prager materijalni model daje dobrerezultate. U prilog tome govori i činjenica da se prilikomestimiranja materijalnih konstanti, bolja poklapanjarezultata sa eksperimentom dobijaju za slučaj korišćenjaDraker-Prager materijalnog modela, u poređenju samaterijalnim modelom gline (slika 7).

Iz poznatih karakteristika ova dva materijalna modelasledi da bi se najrealnija rešenja dobila u slučaju kada bise stenska masa modelirala Draker-Prager materijalnimmodelom, a rasedne zone modelom gline.

6. ZAKLJUČAK

U radu je predstavljen Drucker-Prager materijalni modelrazvijen primenom metode inkrementalne plastičnosti,kao i njegova verifikacija na primeru preuzetom izliterature, kao i primena na realnom problemu. Cilj je bio

poređenje rezultata dobijenih primenom ove metodologijesa rezultatima koje daje Metoda vodećeg parametra(GPM), ali i sa rezultatima drugog softvera.

Na osnovu izloženog se može zaključiti da razvijenialgoritam daje dobro poklapanje rezultata sa rešenjimakoja daje drugi softver koji poseduje ovaj materijalnimodel. Takođe se može uočiti potpuno poklapanjerezultata dobijenih promenom ovde izložene metodologijesa rezultatima koje daje metod vodećeg parametra. Možese zaključiti da ovaj model predstavlja moćan alat zarešavanje praktičnih problema iz oblasti geomehanike.

Može se zaključiti da je Metoda inkrementalneplastičnosti jednostavnija za implementaciju u odnosu naMetodu vodećeg parametra. Njena primena je univerzalnaza sve materijalne modele čija se funkcija tečenja možeizraziti korišćenjem invarijanti napona.

Napomena: Ovaj rad je nastao u okviru projektaMinistarstva za nauku i tehnološki razvoj RepublikeSrbije “Razvoj softvera za eksplicitnu nelinearnudinamičku analizu“- TR 12005.

LITERATURA

[1] Bathe K. J. (1982), Finite Element Procedures inEngineering Analysis, Prentice-Hall, Inc., EnglewoodCliffs, New Jersey 07632.

[2] DiMaggio, F.L., and Sandler, I. S. (1971), Materialmodel for granular soils, J. Engng. Mech. Div., ASCE 97(EM3), 935-950, Proc. Paper 8212.

[3] Geo-Slope Office (2002): Sigma/W for Finite ElementStress and Deformation Analysis, User’s Guide, Calgary,Alberta, Canada.

[4] Hill, R. (1950), The Mathematical Theory ofPlasticity, Oxford University Press.

[5] Kojic M., Slavkovic R., Zivkovic M., Grujovic N.(1998), PAK-finite element program for linear andnonlinear structural analysis and heat transfer, Facultyfor Mechanical Engineering, Kragujevac, University ofKragujevac.

[6] Kojić M., Slavković R., Živković M., Grujović N.,(1998), Metod konačnih elemenata I , MF Kragujevac

[7] Kojic M., K.J. Bathe (2005), Inelastic Analysis ofSolids and Structures, Springer Berlin Heidelberg NewYork.

[8] Kojić M. (1993), Opšti koncept implicitne integracijekonstitutivnih relacija pri neelastičnom deformisanjumaterijala, Srpska akademija nauka i umetnosti –Univerzitet u Kragujevcu, Centar za naučna istraživanja,Kragujevac.

[9] Pots D. M., Zdravković L., (1999), Finite ElementAnalysis in Geotechnical Engineering: Theory, ImperialCollege of Sciense, Technology and Medicine, London.

[10] Živković M., (2005), Nelinearna analizakonstrukcija. Monografija, MF Kragujevac