7/26/2019 Integra Multiples2ACGISIT

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AMPLIACION DE CALCULO. CURSO 2015/2016

TEMA 5. INTEGRACION. HOJA 2

1. Sea f :A R. Calcular su integral en los siguientes casos:a) f(x, y) = 1, siendo Ala region limitada por las curvas y2 =x3, y= x.

b) f(x, y) = x2, siendo A la region limitada por las curvas xy = 16, y = x,

y= 0 x= 8.

c) f(x, y) = ex/y, siendo A la region limitada por las curvas y2 = x, x = 0,

y= 1.

d) f(x, y) = x

x2 +y2 , siendo Ala region limitada por las curvas y=x2

2, y= x.

2. Calcular los siguientes volumenes:

a) Volumen del solido limitado superiormente por el plano z = x+ y e infe-

riormente por el triangulo en el plano z= 0 de vertices (0, 0, 0), (0, 1, 0) y

(1, 0, 0).

b) Volumen del solido comprendido entre el paraboloidez= x2 + y2, el cilindro

x2 +y2 = 1 y el plano z= 0.

3. SeaD el conjunto delimitado por las curvasx2

y2

= 1,x2

y2

= 4,x2

+ y2

= 9,x2 +y2 = 16, si x 0, y 0.a) Representar graficamente el recinto definido en este problema.

b) Escribir el conjuntoDcomo un conjunto del plano, fijando primero la variable

xy luego la y, y recprocamente.

c) Escribir de todas las maneras posibles, utilizando el teorema de Fubini, la

integral D

xy dxdy.

d) Calcular la integral anterior haciendo el cambio de variable u = x2

y2,

v= x2 +y2.

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2 AMPLIACIO N D E CALCULO. INTEGRACION. HOJA 2

4. Utilizar el cambio a coordenadas polares para calcular las integrales de las si-

guientes funciones en los recintos que se indican:

a) f(x, y) =

1 x2 y2, y A el disco de centro (0, 0) y radio 1.

b) f(x, y) =

x2 +y2, y A= [0, 1] [0, 1].c) f(x, y) =x2 +y2, y Ael disco de centro (1, 0) y radio 1.

d) f(x, y) = x2 +y2, y A el anillo comprendido entre las circunferencias de

centro (0, 0) y radios 2 y 3.

5. Calcular la integral de f :A Ren cada uno de los siguientes casos:a) f(x, y) =x

1 x2 y2, A= {(x, y) R2 : x2 +y2 1, x , y 0}.

b) f(x, y) =ex/y, A= {(x, y) R2 : 0 y3 x y2}.

c) f(x, y) =x2 +y2, A= {(x, y) R2 : x2 +y2 2y, x2 +y2 1, x 0}.d) f(x, y) = (x2 +y2)3/2, A= {(x, y) R2 : x y, x+y 1, x2 +y2 1}.e) f(x, y) =x2 +y2, A= {(x, y) R2 : (x2 +y2)2 4(x2 y2), x 0}.

6. Calcular el volumen del conjunto A en cada uno de los siguientes casos

a) A= {(x,y,z) R3 : 0 z 4 y2, 0 x 6}.b) A= {(x,y,z) R3 : x y 2x, 0 z 9 x}.c) A= {(x,y,z) R3 : x2 +y2 z2, x2 +y2 +z2 2z}.

7. Calcular la integral de f :A Ren cada uno de los siguientes casos:a) f(x,y,z) =z, A= {(x,y,z) R3 : x2 + y2

4 + z

2

9 1, z 0}.

b) f(x,y,z) =z, A= {(x,y,z) R3 : x2 +y2 z2, 0 z 1}.c) f(x,y,z) = (x +y + z)2,A = {(x,y,z) R3 : x2+ y2 +z2 1, x2+ y2 + z2

2z}.d) f(x,y,z) = zy

x2 +y2, A ={(x,y,z) R3 : 0 z x2 +y2, 0 y

2x x2}.

e) f(x,y,z) =z, A= {(x,y,z) R3 : x2 +y2 +z2 2, x2 +y2 z}.f) f(x,y,z) = 2z(x2 +y2), A= {(x,y,z) R3 : 0 z, z2 x2 +y2 1}.