Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

6
2 1) (1) ElGindy (1981) 2) Alt (1988) 3) n Aronov(1987) 4) Toussaint(1989) 5) O( n log n ) Guha and Suzuki(1997) 6) 7) (2001) 2 1) mn O( n m 2 log m) 10) (2) rDn2 3 rDn 4 5 - - A study on Voronoi diagrams with two-dimensional obstacles - An approximate construction using the shortest-path distance of a Delaunay network - Kotaro Imai and Akira Fujii In this paper, we propose a method for constructing Voronoi diagrams with two-dimensional obstacles by a simple and practical computer algorithm, using the shortest-path distance of a Delaunay network of many random vertices, which we termed as rDn. By measuring the shortest-path distance of the rDn for the detour distance, this method provides an approximate solution for the Voronoi diagrams with obstacles. We verify the isotropy and stability of the ratio of the shortest-path distance of the rDn and the Euclid distance by a computer experiment. We then show the reliability of the approximate solution by comparing with the exact solution in a simple case, and the effectiveness of this method by solving a sample problem with free shaped obstacles. Keywords : Voronoi diagram with obstacles, Detour distance, Delaunay network, Dijkstra method , , , Institute of Industrial Science, the University of Tokyo 77. N Journal of the City Planning Institute of Japan No. 42-3, October, 2007 - 457 -

Transcript of Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

Page 1: Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

�� �����

� �������������������������

��������������������������

��������������������������

����������������

�������������������������

��������������������������

��������������������������

����2�����������������������������������������������

��������������������������

��������������������������

���������������������������

��������������������� 1)����

��������������������������

�������������(1)�

���������������������ElGindy� (1981) 2)���������������������

������Alt�(1988) 3)��������������

��������������������������

��������������������������

��������������������������

��������������������������

�����n������������������������������Aronov(1987) 4)����������

����������Toussaint(1989) 5)���������

�O(n log n)������������������Guha and Suzuki(1997) 6)������������������

���������������������������

��������������������������

��������������������������

������������� 7) (2001)�����������������������������������

�����������������

�������������������2�������������������������������

��������������������������

��������������������������

��������������������������

������������������� 1)������

��������������������������

��������������������������

����������������m�������n�����������O(n m2log m)������� 10)��

��������������������������

��������������������������

��������������������������

��������������������������

������(2)�

�������������������������

�������������rDn����������������������������������

��2���������������������������������3 ������������������������ rDn��������������������������4 ���������������������������������������

���������������������������

��������������������������

������������5�����������

���������������������������

- ����������������������� -�A study on Voronoi diagrams with two-dimensional obstacles- An approximate construction using the shortest-path distance of a Delaunay network -

�� ���� �� �Kotaro Imai and Akira Fujii

In this paper, we propose a method for constructing Voronoi diagrams with two-dimensional obstacles by a simple and practical computer algorithm, using the shortest-path distance of a Delaunay network of many random vertices, which we termed as rDn. By measuring the shortest-path distance of the rDn for the detour distance, this method provides an approximate solution for the Voronoi diagrams with obstacles.

We verify the isotropy and stability of the ratio of the shortest-path distance of the rDn and the Euclid distance by a computer experiment. We then show the reliability of the approximate solution by comparing with the exact solution in a simple case, and the effectiveness of this method by solving a sample problem with free shaped obstacles.

Keywords: Voronoi diagram with obstacles, Detour distance, Delaunay network, Dijkstra method ��������, ����, �����, �������

���� ������������Institute of Industrial Science, the University of Tokyo�

77.

(社)日本都市計画学会 都市計画論文集 No. 42-3 2007年 10月Journal of the City Planning Institute of Japan No. 42-3, October, 2007

- 457 -

Page 2: Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

�� ���

��������������������������

����� Step2� Step3� rDn���������������Step4�����������������������������������

O1

O2

O3

p1

p2

p3

��������������

Step1� ��pi����Oj���������������

���������������(3)�

Step2� �� R���������� xk��������

���pi���� rDn������Step3� ��� Oj���� xk�������������

������������rDn������Oj�����

��������������(4)�

Step4� ���pi��rDn���������xk�����

����������������������(5)�

Step5� ��xk�����pi��������������

�xk����������������

Step6� ������������������������������������������������

Step1�������������������������������������������������

� Step2������������������������������(6)���� rDn��������������Step3 ������������� rDn ����������������2���������������rDn������������������������������������������[��(1)]�����������������������������

����������rDn �������������������������[��(2)]rDn ������������������������������������

����������������������Step3������������������� rDn������������� Step4�����������������������������������������

���������������� rDn�����������������������m�rDn�� n�������O(n m)�����������

[��(1)]����������������������������������������(7) ������

��������������������������

��������������������������

���3������ rDn������rDn�����������������������

[��(2)]�����n �����������������������������������������

�������n (n-1)/2�������1���������������������������������

��������������3n�n�����������������������������������

�O(n2)����(8)������������������

�������������������������4����������������15,000���������������������������������

������(9)�������������������

�����������������

Step5 �����������������������������(10)�Step6���������������������������������������� 4������

�� �����������������

������������� rDn������������������������

���� ���

�������������������������

��������������������������

�����

R R60�

L1

L2

L1

L2

i � �������� ii � ��������

�������������������������

��������������������i) ������������R���������D90��������

� �

��������������������������

���/4�3�/4����������D90 / R��2����������

� �������������������������

��������ii)������� 60����������D60����D60�R����(11)�

� (1)

� (2�

���� ����������

- 458 -

(社)日本都市計画学会 都市計画論文集 No. 42-3 2007年 10月Journal of the City Planning Institute of Japan No. 42-3, October, 2007

Page 3: Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

����������/6���������D60/ R = 2�3 / 3�1.15�������������������������������������������������

���������������������

� (�)�� (�)�������������������

�������������

�������������������������

��������������������������

��������������������������

�������������������

�������������������������

��������������������������

��������������������������

���������

���� ����������������

�� rDn ����������������rDn�����������������������������

������������ Step2�� Step4������������

��������������������������

�����1,000��15,000��(12)������ rDn������������������������������

�������� rDn������������(13)�

������ rDn������������������ 1,000��� 15,000��� 1,000�����������������������������(���5,000)���������1.05���������������������������������������������

���������� 1.05 ���������� 15,000�����������0.011����������������������������������

��������������������������

���������������������������

��������������������������

��������1.04��1.06��������������������������������������

��������������������0.005����������� rDn �������������������������������(14)�

���� �������������������

� �

���� �������������������������������

���������������� �������������������

� ����� ������������������

���� ��������

� � �

(社)日本都市計画学会 都市計画論文集 No. 42-3 2007年 10月Journal of the City Planning Institute of Japan No. 42-3, October, 2007

- 459 -

Page 4: Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

����� �����������������

�� ������������������

��� rDn����������������������������������������������

���������������������

����������������O1���P1,P2��

������(���)����O1������������

����P1 �P2������������������

���������

O1���������� r1��O1 ���������

��������������������P1P2����

������������� r2������P1� O1��

����Q1��������������P1�Q1���

����������

P1= (0 , y0) = (0��a2+b2) , P2= (x1,y1) = (�3 b�b - �a2+b2) , �������, Q1= (0, - �a2+b2) , Q2=(x2, y�) , Q3=(0, y3)�����

����r1�

����r2�

����

� ������������2����Step2�6�������� rDn��������� rDn���������������������������

���� ����������������

���� ����������������

������� Step6�����������������rDn ��������������������������������������������(15)�

��� rDn�����������������������������������������[�� 1]����������������������������

���������������������(16)�

���������� i) ����1���������������ii) �����3�����������������������i) ���������������������������������������e1��

�����������e2,e3�����ii) ������������������������������

��������������i) �����b1�b2��

����e2,e3����ii) ������g�������������

[��1]����������������������B�������B��������������������������������������������

�����������������

���� �����15,000����������������������������������������

��������

- 460 -

(社)日本都市計画学会 都市計画論文集 No. 42-3 2007年 10月Journal of the City Planning Institute of Japan No. 42-3, October, 2007

Page 5: Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

�������������������������

��������������������������

�����������

�� rDn�����������������������������������������������

���

���� 1,000��� 15,000��� 1,000���������������������� ���(17)�������

���������������

�������������������������

�������������������� rDn������������������������������

����������������

�������������������������

�������������������

���������(18)���������������

��������������������������

�������������

�������������������10,000������������������������������

����������

��������������� O1�O8������������������������P1�P8�����15,000���������(����)�

����� �����������

O1�������������������������P1� P3��� B1���������������������������O3� O5�����������������������P3���� P6���������B10���������������������������������������������������

���������

����� ������������������������������ ������ �������

(社)日本都市計画学会 都市計画論文集 No. 42-3 2007年 10月Journal of the City Planning Institute of Japan No. 42-3, October, 2007

- 461 -

Page 6: Institute of Industrial Science, the University of Tokyo

�� ���������

�����rDn ��������������������������������������������

�������������������������

�������������������������

��������������������������

���������������������

��������������� rDn����������������������������������

��������������������������

��������������������������

��������������������������

��������������������������

��������������������������

����������

�������������������������

��������������������������

��������������������������

��������

� ���������18����������������C�� 18560592�����������������������������������

������1�� �����������������������������������������������������������������

���������������������������������

����������������������������������

���������������������������������

���������������������������������

���������������������������������

������������

�2�� ����������������������������������������������������������������

������

�3�� ����������������������������������������������������������������

CAD������������������������������������������������������������

�4�� ����������������rDn���������������Step3������������������������� rDn�����������������������������������

�������� rDn ������������������������������������ rDn������������������5�� ��������������������������������10���������������������1�������������������������������������������

���������������������������������

����� 0 ������������������������������������������������������������

���������������������������������

������������������������������

�6�� �������������������C++� rnd������������������ 20,000����������������������������������������������������

��10���������������������������������7�� �����������������������������������������������

�8����������������������������m �����n����O(m+ n log n)�������������O(n2)��������9�����������������MST����������RNG�����������GG��������DT���� 1)�������������

���� 8)�����������������������������

��� 9)��

�10��������������������������������������������������

�11�����/3������������������������������12�����������������������������������������������������������������

���������������������������������

���������������������������������

�����������������������������rDn������������������������������ 5���������������������������������������

���������������������������������

����������������������������������

�13������������� Intel Pentium 4(3.2GHz)DosV��������VisualC++����������14������������������������1�����������������������������������������

���������������������������������

����������������������������������

����������

�15������������������������������������������������������������������

���������������������������������

���������������������������������

���������������������������������

�������������������������������

�16������������������������������������������������������������������

����������������������������������

�17�������������������������10���������������������

�18���13�������������������10� 15,000������2�30���12�����6�20����������

�����1��� Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K., Chiu, S. N. (2000) : Spatial Tessellations

– Concepts and Applications of Voronoi Diagrams, 2nd edition, pp.158-169, John Wiley and Sons.

2���� ElGindy, H.A., Avis, D. (1981) : A Linear Algorithm for Computing the Visibility Polygon from a Point, Journal of Algorithms, vol.2-1, pp.186-197.

3���� Alt, H. and Welzl, E. (1988) : Visibility graphs and obstacle - avoiding shortest paths, Mathematical Methods of Operations Research, vol.32, pp.145-164.�

4���� Aronov, B. (1987) : On the geodesic Voronoi diagram of point sites in a simple polygon, ACM Symposium on Computational Geometry, pp.39-49.�

5���� Toussaint, G. (1989) : Computing geodesic properties inside a simple polygon, Revue d'Intelligence Artificielle, vol.3, No.2, pp.9-42.

6���� Guha and Suzuki (1997) : Proximity problems for points on a rectilinear plane with rectangular obstacles, Algorithmica, vol. 17, pp.281-307.

7���� �����2001�������������������������������������������

8���� ��������������2004�����������������OR��������������pp.332-333. �

9���� �����2005������������������OR��������������pp.200-201.�

10��� Berg, M.D., Kreveld, M.V., Overmars, M., Schwarzkopf, O. (1997) : Computational Geometry - Algorithms and Applications, pp.308-312, Springer.

11��� ����������1993����������������� 2��������

12��� �����1994����������������

- 462 -

(社)日本都市計画学会 都市計画論文集 No. 42-3 2007年 10月Journal of the City Planning Institute of Japan No. 42-3, October, 2007