INSTITUCION EDUCATIVA OCTAVIO CALDERON MEJIA

ÁREA: MATEMATICAS GRADO: NOVENO

TEMA:UNIDAD Nº 2 GUIA 3 ¿EN QUE APLICAMOS LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS?

PROFESOR: JUAN ANGEL VELEZ M.

TIEMPO:FECHA DE INICIACION FECHA DE FINALIZACIÓN:

LOGRO: Realizar operaciones entre fracciones algebraicas identificando sus propiedades elementales y algunos casos de factorización.

INDICADOR DE LOGRO:

1. Cognitivo: Identifica cada una de las propiedades de las fracciones algebraicas, diferenciándolas de las fracciones aritméticas.

2. Procedimental: Resuelve operaciones entre las fracciones algebraicas, aplicándolas a la solución de problemas matemáticos.

3. Actitudinal: Utilizar de manera sistemática los implementos necesarios en la solución de situaciones que involucran fracciones algebraicas.

Recomendaciones generales.

Realiza una lectura analítica e interpretativa sobre FRACCIONES ALGEBRAICAS, encontrada en las páginas 193 a 197 del texto de Aurelio Baldor.

Cada estudiante debe tener su guía de trabajo. Traer hojas de block tamaño carta en cada clase. Traer todos sus implementos básicos para desarrollar las guías

no se permite salir a comprar ni prestar en otros salones. No se permite usar calculadora. Para todas las clases traer una carpeta de evidencias. Acude a tu profesor cuando consideres necesario.

A. ACTIVIDADES BASICAS

CUANTO SABEMOS

ALGO DE HISTORIA:

Presenta un informe claro en tu cuaderno al profesor de cada concepto planteado en esta actividad.

Se considera que fueron los egipcios quienes usaron por primera vez las fracciones, pero sólo aquellas de la forma 1/n o las que pueden obtenerse como combinación de ellas.

Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. Su notación era la siguiente:

Por  su parte los babilonios desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionaria, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes.  Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevas operaciones que ayudaron a la comunidad matemática de siglos posteriores  a hacer buenos cálculos de, por ejemplo, las raíces cuadradas. Para los babilónicos era relativamente fácil conseguir aproximaciones muy precisas en sus cálculos utilizando su sistema de notación fraccionaria, la mejor de que dispuso civilización alguna hasta la época del Renacimiento.   Por último, en china antigua se destaca el hecho de que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones. . Algunas veces se adoptaron ciertas artimañas de carácter decimal para aligerar un poco la manipulación de las fracciones.   Los griegos mostraron sus grandes dotes en cuanto a geometría en algunas construcciones geométricas de segmentos cuyas longitudes representan racionales.

CONCEPTO DE FRACCIÓN

3/5 4/6 3/8

En el primer dibujo, el cilindro se divide en  cinco partes iguales, a cada parte se le llama quinta.  De estas cinco, hay 3 sombreadas; lo cual significa que de cada cinco toma tres y se representa con la fracción  3/5. Así mismo el triángulo se divide en seis y se toman cuatro, lo cual representa a 4/6.  A cada parte se le llama sexto. El cubo se divide en ocho partes iguales y se toman tres, simbolizado por 3/8.  A cada parte se le llama octavo. De igual manera si se divide en tres,  cada parte se le llama tercio;  en siete, séptimo, etc.

Definición

Si dividimos un objeto o unidad  en varias partes iguales, a cada  una de ellas, o a un grupo de  esas partes, se las denomina  fracción. Las fracciones están formadas por numerador y el denominador En la fracción a/b a. Es NUMERADOR: indica las partes que se toman. b.   Es DENOMINADOR: indica las partes iguales en que se divide la unidad.

FRACCIÓN MIXTA

Toda fracción impropia (a / b, a > b)  se puede expresar como fracción mixta, así:

En el ejemplo anterior, podemos aplicar el algoritmo de la división, para obtener la expresión mixta:  

Fracción Algoritmo de la división 

Expresión mixta

14/8    13

Otros ejemplos:  29/5 = 25/5 + 4/5          =   5   + 4/5          = 5 4/5

Podemos transformar una expresión mixta en fracción siguiendo el siguiente proceso: Expresión mixta                Procedimiento                             Fracción 4¼  =  4+1/4                     ((4x4) +1)/4                 17/4 5¼  =  5+1/4                     ((5x4) + 1)/4                 21/4

Resolver los siguientes problemas de aplicación

1. Si un curso está compuesto por 23 hombres y 15 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que representa el número de hombres del curso?

2. Un matrimonio decide pasar su luna de miel en Concepción, durante 4 días. ¿Cuál es la fracción de semana que duró su luna de miel?

3. ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?4. ¿Qué fracción representa el trabajo diario de un obrero que labora 8

horas diarias?5. ¿Cuántos octavos hay en 5 unidades?. ¿Cuántos quintos en 3

unidades?6. ¿Qué fracción de un siglo son 40 años?7. En un curso de 45 alumnos, 25 practican básquetbol. ¿Qué fracción

representa a los que no practican ese deporte?8. Antonio demora 13/20 de hora en hacer una tarea y Rodrigo 4/15 de

hora en hacer la misma actividad. ¿Quién se demora menos?9. Si me como 3/8 de un pastel. ¿Qué parte del pastel quedó?10. Un camionero destina 3/8 del día para trabajar, 1/6 para descanso y

alimentación, y 7 horas para dormir. ¿Cuántas horas de tiempo libre para practicar un deporte le quedan?

B. ACTIVIDADES prácticas

Practiquemos lo aprendidoFRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma , donde p(x), q(x)

P(x); q(x) 0.El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraicaEjemplos:

Simplificación de expresiones algebraicas

Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.

EjemplosSimplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a)

(b)

Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:

Ejercicios

Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas

(1) = (2) =

(3) = (4) =

(5) = (6) =

(7) = (8) =

(9) = (10) =

Amplificación de fracciones

Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente

Ejemplos:

(a) Amplificada por 2, la fracción

(b) Amplificada por 3am la fracción

Ejercicios:

Completa el cuadro

Fracción Amplificada por Fracción Equivalente

(1) 5x2y3

(2) 8a2m3n

(3)

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto.Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente.

Ejemplos.Polinomios factores m.c.m.

Ejercicios.

Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios

Polinomios Factores m.c.m.

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores igualesPara la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.

Ejemplos

Consideremos los siguientes casos(a)

(b)

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

Entonces:

Ejercicios:

Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas en tu cuaderno y simplifica cuando proceda

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos

En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador)A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador común

Ejemplos:Consideremos los siguientes casos:

(a)

Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos:

m.c.m. = Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones para igualar los denominadores:

(b)

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

m.c.m.=Luego, amplifiquemos las fracciones:

Ejercicios:

Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

Multiplicación de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible

Ejemplo:

(a)

(b)

Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.

(c)

Factoricemos y simplifiquemos

Entonces:

Ejercicios

Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

División de fracciones algebraicas

Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor

Ejemplos:

(a)

(b)

Factoricemos y simplifiquemos

(c)

Al factorizar y simplificar resulta:

(d)

Factoricemos y simplifiquemos

Ejercicios:

Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

c. ACTIVIDADES de aplicación Apliquemos a la vida diariaRe solver los siguientes problemas sobre fracciones

1. José tiene 12 3/5 años y Manuel 15 1/6 años. ¿Cuál es la diferencia de sus edades?

2. Si en un curso 5/13 representa la fracción de varones, ¿cuál es la fracción de mujeres del curso?

3. Isabel recorre 2/7 de una pista de atletismo en un minuto, Magdalena 5/9 y Soledad 7/11 en el mismo tiempo. ¿Cuál es el orden de llegada a la meta después de una vuelta?

4. Javier y Basilio son dos hermanos Javier tiene los 9/20 de la edad de su padre, y Basilio los 2/5. ¿Cuál es el mayor?

5. En una tormenta de granizo han sido dañadas 7 manzanas de cada 15 en la huerta de Juan, mientras que en la de Pedro han sido dañadas 4 de cada 9. ¿En qué huerta se han dañado más?

6. En el colegio, 1/3 de los alumnos estudia Inglés y un 33% francés. ¿Cuál es la lengua más elegida?.

7. El agua al congelarse aumenta su volumen 1/10 del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200 litros de agua después de congelarse?

8. Al tostarse el café, este pierde 1/5 de su peso. Si se tuestan 80 Kg, cuánto pesarán después.

9. Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc. ¿Cuántos Kilogramos de cada metal habrá en 348 Kg de aleación?

10. Luis invita a sus amigos a comer una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luis se come el resto. ¿Cuánto come

Ejercicios

1. Simplificar las siguientes fracciones

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

2. Amplificar las siguientes fracciones

(4)

(5)

3. Hallar el mínimo común múltiplo de las siguientes fracciones

4. Realiza los siguientes cocientes entre fracciones

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

Realiza los productos entre les siguientes fracciones

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

5. Realiza las adiciones y sustracciones entre las siguientes fracciones

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

(19) (20)

(21) (22)

d. para saber mas

Refuerzos y profundización Resolver los ejercicios propuestos el algebra de Baldor pagina 199

ejercicio119, (22 al 40). Página 212 ejercicio 127, (15 al 25). Página 218 ejercicio130, (10 al 15). Página 221 ejercicio 132, (10 al 21). Página 224 ejercicio 135, (1 al 8). Preséntalos en tu cuaderno. Usted puede conocer más sobre el origen y la historia de las fracciones

consultando las siguientes direcciones.  

http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/archivo/papel/673/673A.html http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/archivo/papel/673/673B.htm

Puede consultar las siguientes direcciones para profundizar en el concepto de fracción

http://www.pucp.edu.pe/~ctt/textos/mate1u4.html http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/archivo/papel/673/673C.html

http://www.pucp.edu.pe/~ctt/textos/mate1u4.html http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/archivo/papel/673/673C.htmlhttp://www.pucp.edu.pe/~ctt/textos/mate1u4.html http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/archivo/papel/673/673C.html

BibliografíaNuevo pensamiento matemático grado9° Desafío matemático grado9°Algebra Aureliano Baldor.